Nociones básicas
- 2. Triángulos: Semejanza - Congruencia Pág. 01 Triángulo:Sedenominatriánguloalaunióndetres puntosno colineales,siendoestala figurageométrica conmenorcantidaddelados. 1. Vértices: 𝐴, 𝐵, 𝐶 Elementos 2. Lados: 𝐴𝐵̅̅̅̅, 𝐵𝐶̅̅̅̅,𝐴𝐶̅̅̅̅ 3. Ángulos Interiores:∢𝐴; ∢𝐵; ∢𝐶 Exteriores:∢𝐸𝐴𝐵; ∢𝐹𝐵𝐶; ∢𝐵𝐶𝐻 CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS 1. Según sus lados Triángulo Escaleno: (a b c) Se cumple: Triángulo Isósceles: (a = c b) Se cumple: = < 90° AC : Base Triángulo Equilátero: (a = b = c) Se cumple: = = = 60° TEMA NOCIONES PREVIAS DE TRIÁNGULOS A B C HE F A B C a b c B ac A Cb A C a b c B
- 3. Triángulos: Semejanza - Congruencia Pág. 01 2. Según su ángulos Triángulos Oblicuángulos - Triángulo Acutángulo < 90° ; < 90° ; < 90° - Triángulo Obtusángulo > 90° ; < 90° ; < 90° PROPIEDADES BÁSICAS 1. Suma de las medidas de los ángulos interiores. Se cumple: + + = 180° 2. Cálculo de la medida de un ángulo exterior. Se cumple: z = + 3. Suma de medidas de ángulos exteriores considerando uno por cada vértice. Se cumple: x + y + z =360° 4. De correspondencia. Si: > > Se cumple: a > b > c 5. Relación de existencia del triángulo. Si: a > b > c Se cumple: b – c < a < b + c a – c < b < a + c a – b < c < a + b Observación: Para que el triángulo exista es suficiente que se verifique sólo una de las relaciones anteriores. PROPIEDADES ADICIONALES: 1. Se cumple: x = + + A B C A B C z x y z a bc a bc x
- 4. Triángulos: Semejanza - Congruencia Pág. 02 2. Se cumple: + = m + n 3. Se cumple: x = 2 nm 4. Se cumple: + = m + n TRIÁNGULO (líneas y puntos notables) ALTURA Es el segmento perpendicular trazado desde una vértice al lado opuesto o a su prolongación. En todo triángulo se pueden trazar tres alturas, las cuales se cortan en un punto que recibe el nombre de “Ortocentro (O)” el cual se ubica: a. En el interior del triángulo, en el caso de triángulo acutángulo. b. En el vértice del ángulo recto, en el caso de triángulo rectángulo. c. Fuera de triángulo, en el caso de triángulo obtusángulo. MEDIANA Es el segmento de recta que une un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto. En todo triángulo se pueden trazar tres medianas, las cuales se cortan en un punto interior al triángulo que recibe el nombre de “Baricentro (G)”, “Centroide” o “Centro de Gravedad”. Propiedad del Baricentro: En todo triángulo, el baricentro divide a cada mediana en dos partes cuya relación es 2 a 1. m n m n m x n A B C O A B CP N M 2y 2 x 2z z y x G C O A C A B O
- 5. Triángulos: Semejanza - Congruencia Pág. 03 Así, en el triángulo ABC, cuyo baricentro es G, se verifica que: AG = 3 2 AM ; BG = 3 2 BP ; CG = 3 2 CN Mediana relativa a la hipotenusa de un Triángulo Rectángulo La mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide la mitad de la hipotenusa. AM = 2 BC Además, se forman dos triángulos isósceles (ABM y AMC) BISECTRIZ Es el rayo que parte de un vértice y divide al ángulo en dicho vértice en dos ángulos congruentes. En todo triángulo se pueden trazar tres bisectrices de los ángulos interiores (bisectrices interiores), las cuales se cortan en un punto interior al triángulo que recibe el nombre de “Incentro”. Propiedad de la Bisectriz: Todo punto situado sobre la bisectriz de un ángulo equidista de los lados de dicho ángulo. En la figura. OM : bisectriz del ángulo AOB Si : P OM, Entonces: PQ = PR OQ = OR * Lo recíproco de este problema es cierto. Propiedad del Incentro: El incentro equidista de los tres lados deltriángulo y además, es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. El radio de la circunferencia recibe el nombre de “Inradio” r. I - incentro IH = IJ = IK = r r – radio de la circunferencia inscrita (inradio) A B CK H r r r I J A B M R Q Q O a a P m m A B C M
- 6. Triángulos: Semejanza - Congruencia Pág. 04 MEDIATRIZ Es la recta perpendicular a un lado del triángulo, trazada desde su punto medio. En todo triángulo se pueden trazar tres mediatrices, las cuales se cortan en un punto llamado “Circuncentro”, el cual se ubica: a. En el interior del triángulo, en el caso de triángulo acutángulo. b. En el punto medio de la hipotenusa en el caso de triángulo rectángulo. c. Fuera del triángulo, en el caso de triángulo obtusángulo. Propiedad de la Mediatriz: Todo punto situado sobre la mediatriz de un segmento equidista de los extremos del segmento. Propiedad del Circuncentro: El circuncentro equidista de los tres vértices del triángulo y además, es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. El radio de la circunferencia recibe el nombre de “circunradio”. P – circuncentro AP = BP = CP = R R – radio de la circunferencia circunscrita (Circunradio ) BA P Q Mediatriz AP = PB AQ = QB Q P R C A B C P P R Q C Q P R C
- 7. Triángulos: Semejanza - Congruencia Pág. 05 PROPIEDADES 1. En un triángulo isósceles se cumple: Altura Mediana Bisectriz Mediatriz 2. En un triángulo equilátero; el ortocentro, baricentro, incentro y circuncentro coinciden en un mismo punto interior del triángulo. Ortocentro Baricentro Incentro Circuncentro 3. En un triángulo rectángulo el ortocentro, baricentro y circuncentro se alinean a lo largo de la mediana relativa a la hipotenusa. 6 BC 3 AM 2 AG PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS CON LAS LÍNEAS NOTABLES 1. = 90° + 2 2. = 2 3. ∅ = 90° − 𝛽 2 4. = 2 A B C H P A C B P 30°30° 30° 30° 30° 30° A B C A B C Ortocentro Baricentro Circuncentro 3m3m 2m G m A B C M BH