Origen de los números en las civilizaciones.docx
- 1. Origen de los números Desde los tiempos primitivos, el hombre ha sentido la necesidad de contar, ya fuera sus piezas de caza, sus utensilios o el número de miembros de su tribu. En este sentido cabe tal vez interpretar algunos vestigios antropológicos singulares, como las muescas ordenadas que aparecen incisas en algunas paredes rocosas o en los útiles prehistóricos. Sistemas de numeración de las primeras civilizaciones Desde el Neolítico, los sistemas de cómputo y numeración se fueron complicando y enriqueciendo progresivamente. Las grandes civilizaciones de la Antigüedad se distinguieron por un importante desarrollo de la aritmética y la geometría, que desembocó en la creación de sistemas de numeración sistemáticos. Así, por ejemplo: Los primeros signos numéricos egipcios conocidos datan de hace unos 7.000 años. Su método se basaba en agrupar los elementos de diez en diez, y asignar a cada grupo de diez un símbolo diferente. Los babilonios utilizaban, hacia el año 1700 a. C., un sistema de numeración de base 60, enormemente complicado por la cantidad de numerales que consideraba. La civilización grecolatina utilizó las letras del alfabeto como signos numerales. Su sistema de numeración contaba de diez en diez. En América, la cultura maya usaba desde el siglo IV d. C. un sistema de numeración de base 20, en el que, por primera vez en la historia, se utilizó la noción de número cero. En la India, se desarrolló un sistema de representación de números del que deriva el actual, que fue transmitido a Occidente a través de los árabes. La numeración romana El Imperio romano difundió en toda Europa, norte de África y Asia occidental su propio sistema de numeración, que todavía se utiliza en algunos contextos especiales. Este sistema, de base decimal, utiliza letras como símbolos de varias unidades elementales (I para 1;V para 5; X para 10; L para 50; C para 100; D para 500 y M para 1.000). El sistema romano resultaba muy práctico para realizar sumas y restas, aunque no multiplicaciones y divisiones. Por ello, aun cuando se conserva para indicar ciertas cantidades (por ejemplo, años), desde el Renacimiento fue desplazado por el sistema indo- arábigo. Civilizaciones y números
- 2. Como decíamos anteriormente, los números son el alfabeto universal del lenguaje de las matemáticas. Las diferentes culturas y civilizaciones han ido utilizando este alfabeto según iban descubriendo nuevos números. Cada civilización encontró su manera para dar forma a este alfabeto que representara conceptos matemáticos. Algunas de estas numeraciones las conocemos hoy gracias a las incripciones que hacían talladas en piedra o pintadas sobre papel o papiro, como la numeración china, la egipcia, la mesopotámica, la maya o la romana, entre otras. Los primeros números que utilizaron los sumerios o los elemitas fueron “cálculos”, objetos de barro de diferentes formas y tamaños, que utilizaron tanto para representar los números, como para realizar con ellos las operaciones aritméticas. Su antigüedad se remonta, al menos, al milenio IV a.n.e. Los números sumerios consistían en un sistema de numeración aditivo (es decir, al igual que los números romanos, cada número se obtiene por acumulación de las cifras básicas), de base mixta 10 y 60, cuyas cifras básicas eran un cono pequeño 1, una bola pequeña 10, un cono grande 60, un cono grande perforado 600 (= 60 x 10), una esfera 3.600 (= 602 ) y una esfera perforada 36.000 (= 602 x 10), y se desconoce cuál era la forma de la figura de barro, si existía, para la siguiente cantidad, 216.000 (603 ). Cifras básicas sumerias, que consisten en una serie de “cálculos” de arcilla con diferentes formas. Imagen extraída del libro Historia universal de las cifras, de Georges Ifrah Como el sistema de numeración sumerio era aditivo, para representar el número 164.571, se utilizaban 4 esferas perforadas, 5 esferas, 4 conos grandes perforados, 2 conos grandes, 5
- 3. esferas pequeñas y 1 cono pequeño, ya que 164.571 = 4 x 36.000 + 5 x 3.600 + 4 x 600 + 2 x 60 + 5 x 10 + 1 x 1. SISTEMA DE NUMERACIÓN EN MESOPOTAMIA: En Mesopotamia se desarrollaron las matemáticas desde el inicio de la primera cultura sumeria. Junto a la escritura cuneiforme apareció un sistema de numeración de base sexagesimal. Los escribas del primer Imperio babilónico, además de las operaciones aritméticas elementales, calcularon raíces cuadradas y cúbicas, establecieron relaciones trigonométricas en triángulos rectángulos y resolvieron ecuaciones algebraicas lineales y cuadráticas. En menor proporción consideraron algunos tratamientos geométricos en triángulos, trapecios, circunferencia y círculo. En Mesopotamia se erige la matemática como la ciencia que encauza los elementos vitales de toda sociedad organizada de su tiempo: La producción agrícola (Agricultura) lo que obliga a la necesidad de conocer los cielos (Astronomía), la medida del tiempo,… la contabilidad del estado (Economía) –de ahí nuestro término estadística- y las construcciones (Arquitectura) de todo tipo.
- 4. Fueron los sumerios los que sentaron las bases de la matemática que se construyó bajo el primer imperio babilónico – tiempo de Hammurabi- desde 1800 a 1530 aprox. ; esta producción matemática serían los cimientos de la matemática racional que se construye en Grecia. Plimpton: Plimpton 322 es una tablilla de barro de Babilonia, que destaca por contener un ejemplo de las matemáticas babilónicas. Tiene el número 322 en la colección GA Plimpton en la Universidad de Columbia. Esta tableta, se cree que fue escrita cerca de 1800 a. C., tiene una tabla de cuatro columnas y 15 filas de números en escritura cuneiforme de la época. Esta tabla muestra lo que ahora se llaman ternas pitagóricas, es decir, números enteros a, b, c que satisfacen . El contenido principal de Plimpton 322 es una tabla de números, con cuatro columnas y quince filas, en notación sexagesimal babilónica. Otto E. Neugebauer (1957) aboga por una interpretación de Teoría de Números, señalando que esta tableta provee una lista de (pares de números que conforman) ternas pitagóricas. Por ejemplo, la línea 11 de la tabla se puede interpretar como la descripción de un triángulo con el lado corto de 3/4 y la hipotenusa 5/4, que forma la familiar terna (3,4,5) -el cuadrado de tres más el cuadrado de cuatro se comporta como el cuadrado de cinco-. Si p y q son dos números primos entonces forman una terna pitagórica, y todas las ternas pitagóricas se pueden obtener como múltiplos de esta. Numeración Egipcia y Números Egipcios
- 5. Los antiguos egipcios fueron posiblemente la primera civilización en practicar las artes científicas. De hecho, la palabra química se deriva de la palabra alquimia, que es el nombre antiguo de Egipto. Donde los egipcios realmente sobresalieron fue en medicina y matemáticas aplicadas. Pero aunque existe una gran cantidad de literatura en papiro que describe sus logros en medicina, no hay registros de cómo llegaron a sus conclusiones matemáticas. Por supuesto, deben haber tenido una comprensión avanzada del tema porque sus hazañas en ingeniería, astronomía y administración no habrían sido posibles sin ella. Por ello, vamos a enseñaros todo acerca de los números egipcios y su numeración. Esta es la Historia conocida de la numeración egipcia La numeración egipcia, y por ende, los números egipcios fueron un apartado importante dentro de la historia del antiguo reinado faraónico. Lejos de parecerse a los gráficos que representan los números que nosotros conocemos, los números egipcios eran representados con diversos ideogramas.
- 6. El sistema de numeración egipcio representaba números que abarcaban desde el uno hasta millones, apareciendo en los inicios de la escritura jeroglífica. Tres milenios antes de la era de Cristo, los egipcios ya contaban con el primer sistema desarrollado de numeración con base 10. Este permitía el uso de grandes números, describiendo también pequeñas cantidades en forma de fracciones unitarias, llamadas las fracciones del Ojo de Horus. Pero a pesar de este gran desarrollo dentro de la escritura numérica, la misma apenas fue empleada en la vida diaria de los egipcios. Esto se debe a que la mayor parte de los textos administrativos se encontraban escritos en papiro o en ostraca en lugar de tallarse en piedra, y la gran mayoría de los textos que empleaban el sistema numeral egipcio utilizaban la notación hierática.
- 7. LOS NÚMEROS EN JAPÓN Sangaku. La matemática que se desarrolla en Japón durante el período Edo (1603 – 1887), es independiente de la matemática occidental; a este período pertenece el matemático Seki Kōwa, de gran influencia por ejemplo, en el desarrollo del wasan (matemática tradicional japonesa), y cuyos descubrimientos (en áreas como el cálculo integral), son casi simultáneos a los matemáticos contemporáneos europeos como Gottfried Leibniz. La matemática japonesa de este período se inspira de la matemática china, está orientada a problemas esencialmente geométricos. Sobre tablillas de madera llamadas sangaku, son propuestos y resueltos «enigmas geométricos»; de allí proviene, por ejemplo, el teorema del sexteto de Soddy. Matemática en la India clásica (hacia 400–1600)
- 8. Aryabhata. Los avances en matemática india posteriores a los Sulba Sutras son los Siddhantas, tratados astronómicos de los siglos IV y V d.C. (período Gupta) que muestran una fuerte influencia helénica. Son significativos en cuanto a que contienen la primera instancia de relaciones trigonométricas basadas en una semi-cuerda, como en trigonometría moderna, en lugar de una cuerda completa, como en la trigonometría ptolemaica. Con una serie de alteraciones y errores de traducción de por medio, las palabras «seno» y «coseno» derivan del sánscrito «jiya» y «kojiya». El Suria-sidhanta (hacia el año 400) introdujo las funciones trigonométricas de seno, coseno y arcoseno y estableció reglas para determinar las trayectorias de los astros que son conformes con sus posiciones actuales en el cielo. Los ciclos cosmológicos explicados en el texto, que eran una copia de trabajos anteriores, correspondían a un año sideral medio de 365.2563627 días, lo que solo es 1,4 segundos mayor que el valor aceptado actualmente de 365.25636305 días. Este trabajo fue traducido del árabe al latín durante la Edad Media. Los números y matemáticas en China El mundo de los números tal y como se conocen hoy en día no fue siempre así, por lo que conocer la historia resulta un buen punto de partida para comprender muchas cosas sobre las operaciones matemáticas. Una de las mejores maneras de desarrollar este tipo de conocimiento es realizando una investigación sobre las matemáticas chinas, ya que este país a pesar de contar con un idioma que puede parecer algo difícil, cuentan con grandes avances en diferentes áreas. Cuando se buscan datos sobre las matemáticas es normal conseguir que en la historia diferentes culturas antiguas representaron un punto de vital interés, como es el caso de Egipto, Mesopotamia y Grecia, a quienes se les atribuye la creación del lenguaje básico de los números y los cálculos. El sistema de numeración chino Para cualquiera que admire la gran muralla china en la actualidad, es normal que piense que se requirió de gran esfuerzo y tiempo para poder construir, pero algo en lo que se suele pensar muy poco es en la cantidad de cálculos que se deben realizar para una estructura de este tipo. Uno de los puntos más resaltantes es que la misma tomó casi 2.000 años para que se pudiera completar, al momento de la construcción debido a las imperfecciones con las que contaba el terreno fue necesario que se hicieran diferentes cálculos sobre la distancia, los ángulos de elevación, por lo que contar con un método para ello resultaba vital. Teniendo estos aspectos en cuenta puede parecer algo muy sencillo, pero ya en china se implementó esta especie de ábaco mil años antes de que llegará al Occidente
- 9. los mayas desarrollaron a lo largo de su historia amplios conocimientos de matemáticas y astronomía. Para ello dispusieron de una herramienta inapreciable: un sistema numérico vigesimal, equiparable al sistema decimal que rige en las sociedades contemporáneas. De este modo, si nuestros números de posición son 1, 10, 100, 1.000, etcétera, los de los mayas serían 1, 20, 400, 8.000, 160.000... Para representar estos valores utilizaban un ingenioso método a base de puntos y rayas, que podía aplicarse a los guarismos más elevados. En algunos casos, sin embargo, también empleaban un método de tipo pictográfico, en el que los números estaban indicados por figuras de cabezas. La numeración mediante figuras de cabeza se utilizaba para eventos que los mayas consideraban especialmente importantes y es mucho menos frecuente que la de puntos y rayas. Para transcribir los números 1 al 4, los mayas utilizaban puntos. El 5 se resumía en una raya, sobre la que se añadían puntos hasta el 9. El 10 se formaba con dos rayas. A partir del 20
- 10. cada número se componía de dos bloques: el de los múltiplos de 20 y el de las unidades. El 0 se representaba con una concha. SÍMBOLOS INDO-ARÁBIGOS o Numeración Árabe: La notación numérica usada universalmente en la actualidad procede de sistemas de numeración hindúes ya existentes hacia el siglo VI d. C. Estos sistemas ofrecían respecto de los utilizados en Europa dos ventajas sustanciales: El concepto del número 0, que, aunque probablemente fue importado de las culturas mesopotámicas, se integró por primera vez en un sistema decimal junto con las otras nueve cifras del sistema. (La noción del cero había sido también desarrollada en América por la cultura maya.) La asignación de un valor posicional a cada cifra, de manera que un mismo guarismo tenía un valor diferente según su posición global en la expresión de la cantidad numérica. Este sistema fue adoptado por los árabes antes del siglo IX, y popularizado por los escritos de Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (h. 780-h. 850), autor del primer manual de aritmética inspirado en el sistema decimal posicional. En el siglo XIII, las traducciones al latín de las obras de los matemáticos árabes hicieron posible que los sabios escolásticos medievales conocieran los principios del sistema numeral posicional. No obstante, fue el italiano Leonardo de Pisa quien, en su obra Liber abaci (1202), ofreció una exposición de las cifras hindúes en la que se sitúa el origen del sistema moderno de numeración. La grafía de los numerales tomados del sistema de numeración indo-arábigo experimentó ciertos cambios desde su adopción en Europa en el siglo XII hasta su expresión actual. Muchos términos que se usan en matemáticos son árabes Como la lengua era parte importante de la comunicación y registro de los conocimientos científicos, muchos términos relacionados con las matemáticas, pero también con la astronomía, se acuñaron en árabe y así se transfirieron a otras lenguas y a nuestros tiempos. Por ejemplo el álgebra, viene del término árabe al-ŷabr, que puede interpretarse como “recomposición” u “obtención de datos”. Lo cuál tiene mucho sentido pues el álgebra estudia la combinación de ciertas estructuras formales bajo ciertas reglas. Y por supuesto, esta rama de las matemáticas también la desarrollaron los matemáticos del imperio islámico, igual que los algoritmos, que en matemáticas, son un conjunto de reglas definidas para llegar a un resultado. En este caso el nombre es una latinización del nombre del matemático persa Al-Juarismi. El punto decimal Justamente Al-Juarismi, que vivió en el siglo IX, fue uno de los científicos del mundo islámico, más influyentes de su tiempo, que es considerada como la Edad de Oro del
- 11. Islam, y quizá ustedes lo conozcan si es que llevaron en la escuela el libro de “Álgebra” de Aurelio Baldor: pues es quién está en la portada. Además de sus aportaciones a las matemáticas, también hizo contribuciones a la astronomía y fue jefe de la biblioteca de la Casa de la Sabiduría de Bagdad. Esto explica que Al-Juarismi tuviera a su alcance una enorme colección de textos sobre matemáticas de todo el mundo conocido. Conocimientos que reunió y usó como base para sus propuestas, como por ejemplo el punto decimal. Un concepto matemático que ahora nos puede resultar muy obvio, para escribir las cantidades fraccionarias, pero que no existió formalmente hasta que las matemáticas islámicas lo introdujeron. Número pi Los números arábigos Al-Juarismi escribió varios tratados sobre matemáticas, como los de resolución de ecuación, o álgebra y también sobre el uso de los símbolos para los números, que ahora por supuesto ahora llamamos número arábigos recordando su origen. Aunque la idea de esos símbolos no fue completamente original, pues la tomó del sistema de numeración decimal que ya habían desarrollado otros matemáticos en la India. Sin embargo, quizá el mérito de Al-Juarismi y sus colaboradores, fue reunir muchos conocimientos sobre matemáticas que hasta este momento estaban aislados y reunirlos en un sistema coherente y fuera útil. Tan útil que lo seguimos usando en nuestros días.