Parte-4.-Cuadrilateros-–-Continuemos-estudiando-3.pdf

Parte 4. Cuadriláteros
Propuestas didácticas para el estudio de la Geometría en
Segundo Ciclo. Material para docentes.
Creado: 28 noviembre, 2022 | Actualizado: 30 de junio, 2023
Momentos de esta propuesta:
1 Retomar Primer Ciclo.
2 Circunferencia y Círculo.
3 Ángulos y Triángulos.
4 Cuadriláteros.
Acerca de la organización del material para
estudiantes
El material “Parte 4: Cuadriláteros”1 está separado por grandes títulos, que
llamaremos apartados, éstos contienen grupos de problemas que
permiten aproximarse a cierta porción del conocimiento geométrico en
torno a estas figuras. Cada título hace referencia a los temas que
estudiarán las y los estudiantes, por ejemplo “Estudiar algunos
cuadriláteros” o “Estudiar algunas características de los paralelogramos”.
Los problemas de cada apartado se proponen para resolver
individualmente o, a decisión de cada docente, en parejas. Luego de las
resoluciones será interesante coordinar momentos de intercambio

colectivo en los que sea posible difundir y analizar estrategias, soluciones,
errores y/o conclusiones; más adelante nos explayaremos sobre estos
aspectos. En ciertos apartados se ha agregado un subtítulo en letra itálica
que informa cuáles son los instrumentos geométricos que será necesario
tener disponibles para resolver los problemas allí incluidos, con la
intención de que tanto docentes como estudiantes puedan anticiparlo.
Al igual que venimos proponiendo en otros materiales, incluimos
instancias de reflexión sobre lo realizado. Estas situaciones plantean un
retorno sobre los problemas matemáticos y sobre los diversos
procedimientos desplegados para resolverlos, entendiendo que detenerse
y volver atrás es fundamental para avanzar; los conocimientos
movilizados durante la resolución suelen funcionar de manera implícita y
podrían permanecer en ese estado de no mediar situaciones que
requieran su explicitación. Nos referimos a las instancias “Para revisar y
seguir pensando”, en las que se propone la reflexión, el análisis y/o el
registro de lo realizado a propósito de un conjunto o subconjunto de
problemas de un mismo apartado. Estos nuevos acercamientos a los
problemas ya resueltos se proponen, también, con diferentes
modalidades de organización (individual, en pequeños grupos o en grupo
total) mediados por la o el docente y usando el pizarrón como soporte
para el registro. Además, en estas secciones se pretende poner en juego,
en nuevos problemas, lo trabajado y aprendido en el apartado
correspondiente. Presentamos a continuación ejemplos de estas
instancias:
Para revisar y seguir pensando (pág. 4)
Para revisar y seguir pensando (pág. 16)

La escritura de conclusiones está planteada en forma colectiva, sin
embargo, en otros momentos podría ser propuesta en parejas o pequeños
grupos. Las situaciones en las que estudiantes le dictan a la o el docente
las conclusiones para que queden en un cartel o en el pizarrón son
buenas oportunidades para revisar las ideas iniciales, para profundizar en
el análisis de las argumentaciones o para analizar errores. Es importante
que esos registros resulten claros para todas y todos y que puedan
reconocer allí aquello que circuló en la clase y puede ser reutilizado. Esas
escrituras podrán ser retomadas y revisadas a medida que se transforman
los conocimientos de las y los estudiantes; por lo que será necesario que
estén a la vista del grupo, por ejemplo, en grandes carteles en el aula o
pequeños registros en carpetas o cuadernos.
Incluimos, asimismo, algunos recuadros con texto y dibujos que podrían
actuar de ayuda-memoria, toma de notas u orientaciones para el trabajo,
bajo los títulos de “Para recordar” y “Para tener en cuenta”. Los primeros
se proponen con doble intención, por un lado, recordar algunas

características o propiedades ya conocidas de las figuras geométricas y,
por otro lado, anticipar algo nuevo que será necesario recordar. Los
segundos apuntan a tomar nota de cómo usar ciertos instrumentos para
la construcción o trazado de objetos geométricos, por ejemplo, regla no
graduada, escuadra, transportador. También se incluyen en estos
recuadros notas para recordar alguna de las propiedades o características
trabajadas. Todos se incluyen con la intención de que estén “a mano”
durante la resolución de nuevos problemas.
Podría ser interesante que las y los estudiantes vayan construyendo una
sección dentro de la carpeta que compile, para su consulta, la información
valiosa ofrecida en estos recuadros como así también los registros
personales y colectivos que van elaborando a medida que avanzan en la
sistematización de los conocimientos que circulan en las clases.
A continuación, se presentan ejemplos de estos recuadros:
Para recordar (pág. 6)
Para tener en cuenta (pág. 4)2

La variedad de modalidades de organización también representa un
recurso potente para dar lugar a las diversas voces y conocimientos de
las chicas y los chicos. En ocasiones, es importante reservar un primer
acercamiento individual para que cada estudiante tenga un espacio propio
para analizar el problema geométrico propuesto, movilizar los
conocimientos que considere pertinentes y ensayar un primer camino de
resolución. En otras, el trabajo individual se plantea al final de un conjunto
de clases en parejas o grupos, dada la potencialidad de las interacciones
entre pares para la construcción y el avance de los conocimientos, con la
intención de favorecer una mayor autonomía para usar lo que se aprendió
luego de un tiempo de estudio colectivo.
Sobre el uso de los instrumentos geométricos
Incluimos en algunos apartados y/o problemas el uso de algunos de los
instrumentos que las y los estudiantes deben aprender a utilizar para
copiar o construir objetos geométricos. Es importante señalar, como ya se
dijo en páginas anteriores, que uno de los cambios que presenta la
actividad geométrica durante el Segundo Ciclo con respecto al Primer
Ciclo refiere a los modos de validación y argumentación, es decir, de qué
manera las y los estudiantes darán cuenta de la validez de las respuestas
y procedimientos que han utilizado en la resolución de las situaciones
dadas. Por tal motivo es central en el Segundo Ciclo analizar el papel que
juega la medición dentro de los problemas geométricos. Ésta siempre
implica la presencia de errores, es decir, las mediciones pueden ser más o
menos precisas, pero nunca exactas; por tal razón, cualquier argumento
basado en mediciones tendrá un componente de aproximación. En

cambio, es necesario pasar progresivamente a argumentos basados en
propiedades o características de la figura en cuestión y no del dibujo
particular realizado. Por ejemplo, si el problema está centrado en la
búsqueda de la amplitud de un ángulo, la medición con el transportador
arrojará respuestas como “mide 61º”, o “mide 59º”, o “mide 60º”; será
necesario discutir con la clase cuáles de esas mediciones son
aproximadas.
El trabajo con compás, transportador, regla graduada, regla no graduada y
escuadra es un valioso recurso para propiciar el estudio de ciertas
propiedades de las figuras. Es necesario, por lo tanto, enseñar a utilizarlos
sin perder de vista su propósito. En el material para estudiantes, en el
apartado que aborda el trazado de rectas y segmentos paralelos y
perpendiculares, se presentan problemas “para enseñar a usar la
escuadra” con la intención de ayudar a construir dichas ideas.
Otro aspecto importante a tener en cuenta en el trabajo geométrico es el
tipo de hoja que se propone usar para la resolución de los problemas,
pues según sea cuadriculada o lisa se promueve o no la puesta en primer
plano de algunas propiedades o características de las figuras que se
pretenden estudiar. Por ejemplo, si se solicita la construcción de un
rectángulo en hoja lisa, los estudiantes deberán buscar el modo de
garantizar la perpendicularidad de lados consecutivos, cuestión que no se
constituye como centro del problema si la hoja es cuadriculada. Es por
esta razón que algunos de los problemas de construcción y copiado
podrán proponerse inicialmente en hoja cuadriculada, y luego en hoja lisa,
de modo de poner en juego las características que se quieren estudiar.3
Sobre el contenido y la organización del documento
La propuesta que presentamos en esta oportunidad aborda la enseñanza
de las figuras geométricas. Detallamos a continuación los contenidos
incluidos:

Construir y analizar construcciones de cuadrados, rectángulos,
rombos y paralelogramos como medio para explorar algunas de sus
propiedades referidas a igualdad y paralelismo de lados, igualdad de
ángulos, suma de ángulos interiores, igualdad y perpendicularidad de
las diagonales, etc. Análisis de la cantidad de soluciones posibles.
Analizar posibles clasificaciones de cuadriláteros (sin necesidad de
memorizarlas).
Iniciación en la resolución de problemas deductivos que implican
determinar el valor de un lado o de un ángulo a partir de los datos que
se ofrecen y de las propiedades de triángulos y cuadriláteros.
En la misma línea que venimos planteando en los materiales producidos
por la Dirección Provincial de Educación Primaria entre 2020 y 2022 (entre
los que se encuentran las propuestas de intensificación de la enseñanza),
los problemas que se incluyen proponen una progresión y una
secuenciación que apuntan a movilizar ciertos conocimientos con la
intención de generar nuevos aprendizajes. Es importante tener en cuenta,
entonces, que las y los estudiantes ingresan a estos contenidos a partir
de lo que saben acerca de las figuras geométricas y que han construido
tanto dentro de la escuela como fuera de ella. Es posible entonces
anticipar que los procedimientos iniciales de copiado y construcción de
figuras que las niñas y los niños desplieguen tendrán un fuerte anclaje en
los conocimientos que han elaborado al resolver otros problemas
similares. Cada docente podrá reconocer que para algunas y/o algunos
estudiantes no será necesario detenerse por mucho tiempo en esas
propuestas menos complejas dado que las resuelven sin dificultad. Sin
embargo, es posible que para otras y otros sea preciso destinar un poco
más de tiempo a estudiar aquello con lo que no han tenido oportunidades
suficientes de interactuar en años anteriores.
En el material para estudiantes se encuentran los siguientes apartados:
En los apartados Estudiar algunos cuadriláteros, Rectas y segmentos
paralelos y perpendiculares, Estudiar algunas características de los

paralelogramos se apunta al trabajo relacionado con construir y
analizar construcciones de cuadrados, rectángulos, rombos y
paralelogramos como medio para explorar algunas de sus
propiedades referidas a igualdad y paralelismo de lados e igualdad
de ángulos.
En los apartados Problemas para estudiar las diagonales de los
cuadrados y de los rectángulos, Problemas para estudiar las
diagonales de los rombos y de los paralelogramos, Cuadriláteros a
partir de lados y diagonales el trabajo gira en torno a resolver
problemas que demandan la suma de ángulos interiores de los
cuadriláteros, igualdad y perpendicularidad de las diagonales, etc.,
así como a analizar la cantidad de soluciones y posibles
clasificaciones de cuadriláteros (sin necesidad de memorizarlas).
En el último apartado, Problemas para explorar los ángulos de los
cuadriláteros, se propone integrar el trabajo realizado sobre las
construcciones de cuadriláteros a partir de las medidas de los
ángulos e iniciar a los estudiantes en la resolución de algunos
problemas deductivos (tales como aquellos que implican
determinar el valor de un lado o ángulo considerando los datos que
se ofrecen y apelando a las propiedades de triángulos y
cuadriláteros).
El conjunto de problemas que propone cada apartado contribuye a la
construcción y problematización del siguiente. Es así que las situaciones
iniciales que se presentan en cada caso se apoyan en el uso de los
conocimientos que las y los estudiantes puedan tener disponibles a partir
de lo movilizado anteriormente.
A continuación, presentaremos algunas orientaciones didácticas para
cada apartado.

Orientaciones didácticas
Para comenzar el trabajo sobre cuadriláteros en este material se propone
el apartado Estudiar algunos cuadriláteros (pág. 2). Allí se han incluido
situaciones en las que es necesario copiar y completar figuras en hoja lisa
apelando al uso de los instrumentos geométricos que se mencionan. Se
espera que las chicas y los chicos pongan en juego algunos
conocimientos sobre estas figuras geométricas construidos
anteriormente, dentro o fuera de la escuela.
El problema 1 (pág. 2-3) plantea realizar copias en hoja lisa y solo se
habilita el uso de regla no graduada, compás y escuadra. La intención de
excluir el uso de la regla graduada es promover que se traslade la medida
de segmentos con el compás y sin cuantificar su longitud. La escuadra se
habilita para construir ángulos rectos y la regla no graduada -que puede
ser reemplazada por la parte no graduada de la escuadra- para trazar
segmentos sin cuantificar sus medidas.
En este problema puede notarse la progresión en la complejidad de las
copias a realizar, por ejemplo, el ítem b- incluye un cuadrado dentro de un
rectángulo. Los lados de ambas figuras no tienen puntos de contacto, lo
cual representa una dificultad dado que será necesario considerar la
distancia entre cada vértice del cuadrado interior y los lados del
rectángulo exterior. Finalmente, la última figura dada no está sobre hoja
cuadriculada y su posición no es la más habitual (lados paralelos a los
bordes de las hojas). Será necesario usar la escuadra para asegurarse que
los ángulos de dicha figura sean rectos, es decir que se trate
efectivamente de un cuadrado. Resultará interesante conversar con las y
los estudiantes acerca de la posición en que dibujan las copias, si
respetan o no la de la figura original. Asimismo, se podrá conversar sobre
algún modo de validar las copias, es decir de determinar si coinciden con
la figura dada. Si para ello algunas y algunos estudiantes proponen
superponer ambas imágenes, las maestras y los maestros podrán dirigir
la discusión hacia el uso de argumentos basados en las características de

las figuras. Por ejemplo, frente al último ítem: “los cuatro ángulos son
rectos como en la figura porque usamos la escuadra y los cuatro lados
miden lo mismo que la original porque usamos el compás para
asegurarnos eso, por último, la diagonal va de un vértice a otro. Así está
bien hecho”.
En los problemas 2 y 3 (pág. 3-4) se busca completar el dibujo con la
intención de recuperar los conocimientos sobre triángulos y colaborar en
la explicitación de relaciones entre triángulos y cuadriláteros,
considerando algunas características de los cuadriláteros involucrados.
Resaltar este vínculo es interesante porque permite utilizar los
conocimientos disponibles sobre una figura conocida al estudiar una
“nueva”. Así, en el problema 2 deberán utilizar que los cuadrados tienen
sus cuatro lados iguales y que el triángulo dado ofrece dos de sus lados
iguales. A su vez, podrán apoyarse en que se trata de un triángulo
rectángulo, cuyo ángulo recto será uno de los ángulos del cuadrado. Es
posible que algunas chicas y algunos chicos no tomen en cuenta esta
característica y que, sin embargo, la construcción les quede correcta
porque dibujan otro triángulo de modo que los cuatro lados midan lo
mismo que los catetos del triángulo dado. Será necesario conversar con
ellas y ellos, luego de resolver estos dos problemas (el 2 y el 3), acerca de
qué se tuvo en cuenta para la construcción. Esta es la intención del
espacio de trabajo en parejas propuesto en el recuadro denominado Para
revisar y seguir pensando (pág. 4). De manera implícita, las y los
estudiantes pondrán en juego que cada diagonal divide a los cuadrados y
a los rectángulos en dos triángulos rectángulos iguales. Esta
característica será estudiada a propósito de las diagonales en apartados
posteriores.
Si bien las situaciones del apartado Rectas y segmentos paralelos y
perpendiculares (pág. 4) no giran en torno al tratamiento de cuadriláteros
de manera explícita, involucran conocimientos que permiten aprender
otras características de estas figuras. Por ejemplo, para la construcción
de cuadrados será necesario el trazado de lados paralelos y

perpendiculares y para la construcción de paralelogramos será necesario
tener en cuenta segmentos oblicuos y paralelos. En el subtítulo del
apartado se indica que solo puede usarse escuadra y regla graduada,
pues con estos dos instrumentos es posible trazar segmentos paralelos y
perpendiculares a otros dados. El recuadro Para tener en cuenta (pág. 6)
ofrece una explicación sobre cómo se utilizan estos instrumentos para tal
fin.
Es posible que sea necesario tomarse unos minutos para ayudar a
comprender este recuadro, explicitando el movimiento necesario de la
escuadra y el sostenimiento firme de la regla para el trazado de paralelas.
En los primeros dos problemas de este apartado (pág. 2-3) no se
mencionan las palabras “perpendicular” ni “paralelo” pues estas
relaciones aparecen de manera exploratoria. Más adelante encontrarán el
recuadro Para recordar (pág. 6) en el que se sistematizan estas
definiciones, se establecen relaciones entre ángulo recto y
perpendicularidad, entre ángulo no recto y oblicuidad, y entre rectas que
no se cruzan y paralelismo.
Para recordar (pág. 6)

Los problemas 3 a 5 de este apartado buscan abonar estas ideas que
luego serán recuperadas para las construcciones de diversas figuras en
las que se pone en juego el paralelismo y la perpendicularidad entre
segmentos.
Los problemas incluidos en la sección Para revisar y seguir pensando
(pág. 8) apuntan a poner en uso las condiciones de perpendicularidad,
oblicuidad y paralelismo para relacionarlas con otras cuestiones que
posiblemente los estudiantes ya conozcan. Se propone analizar si existe o
no un triángulo o un cuadrado que cumpla las características indicadas, y
se espera que las y los estudiantes puedan escribir algunas conclusiones,
por ejemplo, “no importa cómo es el triángulo, nunca podrá tener dos lados
paralelos porque si no, no se forma el triángulo”, o “hay triángulos con
lados perpendiculares, pero solo dos lados”, entre otras.
Los problemas 6 y 7 (pág. 9) presentan instructivos en los que se incluyen
las nociones de perpendicularidad, oblicuidad y paralelismo para construir
figuras; será necesario usar los instrumentos que permitan trazar los
segmentos pedidos. Las instrucciones deberían llevar a que se
construyan un paralelogramo y un rectángulo, respectivamente, sin
embargo, no se pretende en este momento de la enseñanza que se
formalicen ni memoricen sus nombres. Estas construcciones podrían ser
retomadas más adelante, cuando se comience el trabajo específico sobre
las figuras mencionadas. Por ejemplo, el problema 6 (pág. 9), en el que se

requiere interpretar el instructivo para completar el dibujo dado, no se
busca que identifiquen la figura formada, sino que pongan en juego las
relaciones de paralelismo entre segmentos.
El apartado Estudiar algunas características de los paralelogramos (pág. 9)
se ha separado en tres partes, en cada una se consideran diferentes tipos
de cuadriláteros. La primera parte aborda el estudio de los cuadrados; la
segunda, de los rectángulos y los rombos y la tercera, de los
paralelogramos. Al comienzo de cada parte se presenta un recuadro
titulado Para tener en cuenta en los que se incluyen definiciones de cada
clase de cuadriláteros y algunas imágenes que los representan. Los
dibujos incluidos son solo algunos de los representantes posibles dado
que hay infinidad de cuadrados, rectángulos, rombos y paralelogramos.
Incluso, y es algo que se pretende estudiar a lo largo de este material,
existen solapamientos entre las definiciones: podemos considerar al
cuadrado como un rombo, un rectángulo o un paralelogramo (dado que
para que un cuadrilátero sea considerado rombo debe tener sus cuatro
lados de la misma medida, y el cuadrado cumple esta condición; para que
sea rectángulo debe tener sus cuatro ángulos rectos y el cuadrado
también cumple con esta condición; y del mismo modo el cuadrado es
también una clase de paralelogramos).
Las construcciones constituyen una oportunidad potente para indagar
propiedades de las figuras, analizar la cantidad de soluciones según los

datos que se tienen y buscar argumentos basados en las características
conocidas que permitan determinar que la figura cumple con ciertas
propiedades. En este caso no se mencionan los instrumentos
geométricos habilitados al inicio del apartado sino que se especifican en
algunos de los problemas. Así, se limita su uso en algunos casos con
intenciones particulares, por ejemplo, poner de relieve ciertas propiedades
por sobre otras (los problemas en los que están habilitadas la regla y la
escuadra permiten resaltar cierta relación de paralelismo –como entre los
lados de los paralelogramos en general– o de perpendicularidad –como
entre los lados de los rectángulos–).
En aquellos problemas en los que está habilitado el compás, se quiere
poner en juego la igualdad entre las longitudes de los lados. Por ejemplo,
en el problema 1 (pág. 10) se solicita construir un cuadrado usando
compás y escuadra de manera que sea la perpendicularidad de los lados
lo que rige la construcción, y el compás se incluye para asegurar lados del
mismo largo que el segmento ofrecido, sin que sea necesario cuantificar
su medida. Así la elección de los instrumentos permitirá poner el foco en
propiedades diferentes, por ejemplo, el transportador y la escuadra para
trazar los cuatro ángulos rectos. En el problema 2 (pág. 11) se pide
construir el cuadrado usando transportador y regla graduada. Esta vez la
regla se admite porque el dato es la medida de los lados y no un
segmento. El transportador será usado para asegurar ángulos rectos
entre lados consecutivos. En estos dos problemas se solicita que las y los
estudiantes escriban qué tuvieron en cuenta para asegurar que la
construcción efectivamente es un cuadrado y se espera que puedan
remitirse a la perpendicularidad y a la igualdad de los lados: “es un
cuadrado porque los ángulos son todos rectos como la escuadra, y los
lados son iguales porque usamos el compás”.
En la primera sección de este apartado Para revisar y seguir pensando
(pág. 11) se trabaja sobre cuadrados. Con el primer ítem se busca
analizar la necesidad de asegurar los ángulos rectos en los cuadrados,
por eso no alcanza con usar regla para su construcción. Con el segundo

ítem se busca que puedan empezar a relacionar a los cuadrados con los
paralelogramos, aun cuando no se espera que se nombren de esa
manera. El enunciado dice:
Cabe destacar que este segundo problema tiene relación directa con uno
de los problemas presentados en la página 6 de este material. Allí, en la
sección Para resolver y seguir pensando (pág. 8) del apartado Rectas y
segmentos paralelos y perpendiculares (pág. 4), el primer problema (pág.
8) propone:

La imagen y el inicio de la consigna para ambos problemas es la misma.
Se busca que el trabajo presentado en las primeras situaciones con
cuadrados constituya un anclaje para abordar este nuevo problema y que
la discusión planteada en relación al problema del apartado de Rectas y
segmentos paralelos y perpendiculares brinde argumentos sobre las
condiciones de paralelismo y perpendicularidad en la construcción de
cuadrados.
En la página 12 se presenta el segundo recuadro Para tener en cuenta,
esta vez incluyendo definiciones y representaciones de rombos y
rectángulos. Notarán que hemos escogido para ambos tipos de
cuadriláteros un “representante” en común, el cuadrado, destacando
especialmente una característica de él en cada caso. La intención es
seguir poniendo en evidencia la relación entre rombos, rectángulos y
cuadrados. Algunos de los problemas que siguen en este material
permiten analizar dichas relaciones.
Para tener en cuenta (pág. 12)

En los primeros problemas sobre rectángulos y rombos se limita el uso de
algunos instrumentos geométricos con el propósito de resaltar algunas
características en particular, similar a lo mencionado para cuadrados. Así,
por ejemplo, en el problema 3 (pág. 12-13) se solicita construir un
rectángulo usando escuadra de manera que sea la condición de
perpendicularidad de los lados la que motoriza esa tarea; en este sentido,
la escuadra permite asegurar los ángulos rectos y el trazado de
segmentos. Cabe mencionar que diferentes estudiantes podrán construir
rectángulos variados, pues no se informa la medida de los lados
consecutivos. Así, las y los estudiantes deberán decidir qué longitud
tendrán dichos segmentos, pudiéndose dar el caso particular del
cuadrado. Si ningún estudiante incluyera el caso de los lados iguales, esta
solución podría ser propuesta por la o el docente para plantear su
análisis.
En el problema 4 (pág. 13) se pide ubicar el cuarto vértice usando sólo el
compás, de esta manera se pone de relieve la igualdad de lados opuestos.

La construcción es única pues habrá un solo punto de intersección entre
los arcos de circunferencia que deberán trazar para ubicar el cuarto
vértice.
Para continuar el estudio de los cuadriláteros se propone trabajar sobre
los rombos, comenzando con una copia en el problema 6 (pág. 14). Al
resolver esta tarea será necesario tener en cuenta algunas características
propias de la figura que inicialmente funcionan de manera implícita pero
luego, a partir del pedido del ítem b-, deberán explicitarse. En este punto
se espera que se produzca un intercambio general en el que se analicen
las diferencias en las estrategias de reproducción, pero también se
reflexione sobre lo escrito, para analizar si la información registrada es
suficiente y pertinente. Por ejemplo, es posible que algunas chicas y
algunos chicos escriban “fui trazando las líneas con la regla”, lo que no
describe en profundidad los pasos seguidos ni explicita las
características de la figura puestas en juego. Podrían elegirse algunos
registros de la clase y analizarlos grupalmente para agregar información
que consideren necesaria o mejorar el modo en que se anotan los pasos.
Los problemas 7 y 8 (pág. 15) parecen similares pues demandan ubicar el
cuarto vértice del rombo, sin embargo, se apoyan en cuestiones
diferentes. El problema 7 se basa en el paralelismo de los lados opuestos
del rombo (por eso se solicita usar regla no graduada y escuadra), en
cambio, el problema 8 se basa en la igualdad de dichos lados (por eso se
solicita usar el compás). Podría generarse un momento de análisis
colectivo en el que se discuta que ambas estrategias se relacionan, que el
paralelismo de los lados implica su igualdad, que la igualdad de los lados
determina que son paralelos; y aunque no se pretendan demostraciones
rigurosas, estas cuestiones pueden escribirse como conclusiones. Más
adelante, estas producciones ayudarán a sostener que los rombos son
paralelogramos con una característica especial: sus cuatro lados miden lo
mismo.

En el problema 9 (pág. 15-16), la intención de limitar la construcción
usando solo regla y escuadra se basa en aprovechar el paralelismo de los
lados opuestos, ya que con estos dos instrumentos geométricos es
posible trazar segmentos paralelos entre sí (cuestión que ya se propuso
en problemas anteriores). Nuevamente hemos incluido una pregunta
referida a la cantidad de construcciones posibles con los datos dados.
Será interesante coordinar un intercambio, luego de las respuestas
individuales de las y los estudiantes, para comparar producciones
diferentes entre sí. Entre ellas es posible que se encuentre un cuadrado;
de ser así será relevante ponerlo a consideración y retomar la conclusión
de que el cuadrado es un rombo particular. En caso de que ningún
estudiante haya construido un cuadrado, podrá ser la maestra o el
maestro quien lo proponga para discutirlo, analizarlo y registrarlo como
una conclusión.
En la sección Para revisar y seguir pensando (pág. 16) se incluye una
situación que intenta recuperar las posibles discusiones acerca de
algunas características de los cuadriláteros estudiados hasta este
momento. Además, busca poner el foco en aquellas que son compartidas
por distintos cuadriláteros, por ejemplo, en el ítem a- la igualdad de los
cuatro lados es una característica que comparten rombos y cuadrados.
En la página 17 se presenta el tercer recuadro Para tener en cuenta, esta
vez incluyendo definiciones y representaciones de paralelogramos. Si bien
es posible definir los paralelogramos de diversas maneras, se ha optado
aquí por establecer que son cuadriláteros que tienen dos pares de lados
paralelos e iguales. Los rectángulos, los cuadrados y los rombos son
paralelogramos particulares porque cumplen con esa propiedad. Por
ejemplo, si los lados paralelos de un paralelogramo forman ángulos
rectos, es un rectángulo; si los lados son todos iguales, es un rombo; si
los lados son todos iguales y los ángulos interiores son rectos, es un
cuadrado. Algunos de los problemas que siguen propondrán analizar
dichas relaciones de inclusión.

Para tener en cuenta (pág. 17)
Para continuar el estudio de los cuadriláteros se propone trabajar sobre
los paralelogramos. Una vez más, una situación de copiado como la que
plantea el problema 10 (pág. 17) permitirá poner en juego algunas
características de los distintos cuadriláteros ya trabajados. Nótese que
aquí no se limita el uso de instrumentos geométricos particulares con la
intención de que esa elección les permita a las niñas y a los niños
explicitar algunas características de los paralelogramos, solicitadas en el
ítem b-. En este punto se espera que se produzca un intercambio general
en el que se analicen las diferencias en las estrategias de reproducción,
pero también se reflexione sobre lo escrito, para avanzar en la suficiencia
y pertinencia de los registros.
Los problemas 11 y 12 (pág.17-18) demandan construcciones de
paralelogramos, y es importante mencionar que ese término define a un
conjunto de cuadriláteros (con los que se trabaja en estos problemas) y
también al cuadrilátero específico que no es ni rectángulo, ni rombo, ni
cuadrado y tiene dos pares de lados paralelos e iguales. Es por ello que en
el problema 11 las dos construcciones solicitadas determinan
paralelogramos que no son ni rombos ni rectángulos4. En el problema 12
se habilita la posibilidad de construir, entre otras opciones, un rectángulo,
pues no se plantea condición alguna sobre los ángulos interiores. Con

estas situaciones se promueve la discusión referida a que, al solicitar la
construcción de un paralelogramo, según qué datos sean dados, se puede
obtener un rombo, un rectángulo, un cuadrado o un paralelogramo que no
sea ni rombo ni rectángulo.
Es necesario resaltar la solicitud de realizar las construcciones del
problema 11 (pág. 17-18) usando diferentes instrumentos geométricos
con la intención de poner de relieve ciertos atributos de los
paralelogramos. Así, con el ítem a- se quiere resaltar la condición de
paralelismo entre los lados opuestos, con el ítem b- el foco está en la
igualdad entre los lados opuestos y con el ítem c- se busca que las y los
estudiantes puedan explicitar las dos características mencionadas de los
paralelogramos. Es posible que algunas niñas o algunos niños intenten
dibujar el paralelogramo “a ojo” usando sólo la regla no graduada, de esta
manera los lados “parecerían” paralelos e iguales aun cuando el uso de
los instrumentos de construcción no consideró esas características. Será
necesario analizar de manera colectiva si se puede garantizar que se trata
de un paralelogramo sin haber tenido en cuenta las características de la
figura.
En el problema 12 (pág. 18) es necesario habilitar el uso de la regla
graduada por los datos numéricos que se ofrecen. El compás puede ser
usado, luego de trazar dos lados consecutivos de 3 cm y 5 cm, para ubicar
el cuarto vértice como se hizo, por ejemplo, en el problema 4 de la página
9 de este mismo apartado. Presentamos a continuación posibles
construcciones para el problema 12:
12. a- Construí un paralelogramo que tenga dos lados de 3 cm y dos lados
de 5 cm, usando regla graduada y compás.
b- ¿Se puede obtener otro paralelogramo diferente con dos lados de 3 cm y
dos de 5 cm? Explicá cómo lo pensaste.

Este problema permite volver sobre el anterior. Mientras que en el
problema 11 se puede formar solo un paralelogramo para cada ítem, en
este caso hay más de una construcción posible dado que la amplitud del
ángulo entre dos lados consecutivos no está dada y se puede optar por
muchas medidas diferentes.
En los problemas 13 a 16 (pág. 19-21), que completan este apartado, se
busca volver sobre las características de los paralelogramos poniendo en
juego las condiciones de paralelismo, perpendicularidad e igualdad de
lados, remarcando la inclusión entre los diversos tipos de paralelogramos.
El problema 13 (pág. 19-20) plantea la construcción de cuadriláteros a
partir de interpretar y seguir instrucciones. Serán importantes las
intervenciones docentes para acompañar la interpretación de cada
instructivo, por ejemplo, el instructivo del ítem a- plantea:
13. a-

Podría surgir una construcción, como la que presentamos en la imagen,
en la que se traza un segmento AC, luego el segmento AB oblicuo a éste y
por último el segmento BD paralelo e igual a . En este caso queda
determinado un cuadrilátero cóncavo. Será necesario poner en discusión
que este tipo de construcción responde al instructivo aunque se trate de
una clase de cuadriláteros diferentes de los que se han venido
estudiando.
Una posible construcción correcta, entre muchas, se presenta en la
imagen que sigue.

Se podría proceder de igual manera para el resto de los ítems propuestos
en el problema 13. El ítem e- propone analizar el tipo de figuras que
quedaron formadas en los ítems anteriores y apelar a las características
que se han estudiado para fundamentar las respuestas. Se espera
entonces que puedan dar razones de por qué en el ítem a- se formó un
paralelogramo, en el ítem b- un rectángulo, en el ítem c- un rombo y en el
d- un cuadrado. En los problemas 14 y 15 (pág. 21) se espera que las y
los estudiantes puedan recuperar algunas de las características que
comparten los paralelogramos con los rectángulos y los rombos
apuntando a un tratamiento más inclusivo de lo que define a cada clase
de cuadriláteros. Por ejemplo, podrían decir que tanto los rectángulos
como los rombos tienen lados opuestos paralelos e iguales, lo mismo que
los paralelogramos. Y, además, que hay paralelogramos que tienen los
cuatro lados del mismo tamaño, como los rombos; así como hay
paralelogramos con sus cuatro ángulos rectos, como los rectángulos. La
discusión general llevada adelante luego de las resoluciones de estos dos
problemas podría propiciar el reconocimiento de que el cuadrado

entonces comparte características con el paralelogramo, debido a que se
incluye dentro de las definiciones de los rombos y de los rectángulos. Otra
posibilidad es dejar esta discusión para después de resolver el problema
16 (pág. 21), ante el cual posiblemente haya quienes afirmen que la
construcción no es correcta porque se trata de un rectángulo (se
aseguran ángulos rectos por las marcas realizadas).
En la sección Para revisar y seguir pensando (pág. 22) se incluyen
prácticas de estudio que recuperan las discusiones acerca de algunas
características de los cuadriláteros analizados hasta este momento. Se
apunta a que las y los estudiantes exploren y expliciten de un modo
sistemático algunas características de los cuadriláteros, así en la
situación que se plantea ENTRE TODAS Y TODOS (pág. 22) se espera que
puedan volver sobre lo trabajado en los problemas anteriores.
Podría ser momento del armado de algún afiche en forma colectiva
resaltando las características trabajadas hasta el momento, como se
propone en esta tarea.
Nótese que no se han presentado situaciones en las que se discutan las
características de las diagonales ya que serán propuestas más adelante.
En Problemas para estudiar las diagonales de los cuadrados y de los
rectángulos (pág. 23) se propone comenzar el estudio de las diagonales

de dos tipos de cuadriláteros, estudio que se profundiza en el apartado
siguiente a propósito de rombos y paralelogramos. Se inicia con un
recuadro Para recordar en el que se representa un cuadrilátero cualquiera
que tiene trazada una diagonal. Podría discutirse con las y los estudiantes
acerca de que las diagonales son segmentos que quedan por dentro de
las figuras y que necesariamente comienzan y terminan en un vértice
(podrán remitirse al primer apartado y notar que allí ya trazaron
diagonales al realizar las copias).
Nos interesa remarcar que las situaciones que se proponen en este
apartado tienen el propósito de explorar las características de las
diagonales de los distintos cuadriláteros, por esa razón, no se presentan
inicialmente. Se espera contribuir para que las chicas y los chicos
concluyan que las diagonales de los cuadrados son iguales,
perpendiculares y se cortan en el punto medio, mientras que las
diagonales de los rectángulos son iguales y se cortan en su punto medio.
El problema 1 (pág. 23-24) busca el establecimiento de relaciones entre lo
que las y los estudiantes ya saben de triángulos para avanzar con algunas
conjeturas acerca de las diagonales del cuadrado. Nótese que vuelve a
entrar en escena un triángulo rectángulo isósceles. Las maestras y los
maestros podrían recuperar lo trabajado en el problema 2 (pág. 25) del
apartado Estudiar algunos cuadriláteros acerca de la construcción de un
cuadrado a partir de un triángulo. Este problema propone la discusión
centrada en la diagonal de un cuadrado con el fin de establecer una
relación entre el lado , hipotenusa del triángulo ABC y la diagonal
que quedará determinada luego de construirse el cuadrado. Así se
presenta el problema 1 (pág. 23-24).

Se busca que las y los estudiantes expliciten las relaciones que saben
sobre los triángulos en este problema de cuadriláteros, entonces podrían
responder al ítem b- diciendo para la primera afirmación que es verdadera
“porque dos lados miden lo mismo y un ángulo es recto, eso se ve en la
imagen del triángulo dado, y el otro triángulo será igual”. Para la segunda
afirmación podrían decir que es verdadera “porque la suma de los tres
ángulos debe ser 180º, uno es 90º, y 180º menos 90º es 90º”. Para la
tercera, necesitarán remitirse a una característica de los triángulos
isósceles que no suele recordarse: no solo dos lados miden lo mismo,
también dos ángulos.
El problema 2 (pág. 25) es similar al problema 1 pero debe formarse un
rectángulo no rombo. La construcción podría apoyarse en que los lados
opuestos del rectángulo son iguales, por lo tanto, el triángulo a dibujar

debe ser idéntico al dado pero “girado”. Puede surgir la duda -si no la
presentan las y los estudiantes la puede poner en discusión la o el
docente- sobre los ángulos del rectángulo, ya que por definición deben ser
todos rectos; así, podrá asegurarse que hay dos que lo son, pues el
triángulo ofrecido y el nuevo dibujado son rectángulos. Para determinar
que los otros dos también son de 90º podrían apoyarse en que el ángulo
Â y el Ĉ sumados deben dar 90º a partir de considerar la suma de los tres
ángulos interiores del triángulo ABC de 180º. Podrán tener en cuenta esa
información ya que el nuevo triángulo dibujado tiene las mismas
amplitudes que el ABC original y queda apoyado un ángulo Ĉ consecutivo
a uno Â, es decir, sumados dan 90º. No se espera que se sistematicen
términos como “ángulos consecutivos” o “ángulos complementarios”,
sino que se utilicen esas ideas de manera exploratoria.
En este apartado se presentan dos secciones Para revisar y seguir
pensando (una después del problema 1 y la otra después del 2) que
apuntan a analizar las figuras formadas a partir de un cierto
procedimiento de construcción, poniendo de relieve las características de
las diagonales. Estas situaciones (otras muy similares volverán a
aparecer en el siguiente apartado) tienen como objeto discutir las
características de las diagonales de algunos cuadriláteros, en esta
ocasión, de los cuadrados y de los rectángulos; así como también que las
y los estudiantes interpreten los procedimientos de construcción. En la
primera de estas secciones (pág. 24-25) se presenta un procedimiento de
construcción de un cuadrado a partir de una de sus diagonales. Se espera
que las chicas y los chicos puedan discutirlo en parejas y establezcan
algunas conclusiones que les permitan afirmar la veracidad o falsedad de
las afirmaciones que luego se presentan. Podrían dar algunas
explicaciones tales como “las diagonales del cuadrado son iguales”, “las
diagonales del cuadrado son iguales y perpendiculares”, “las diagonales
forman ángulos rectos y son iguales” o “las diagonales del cuadrado son
iguales, se cruzan en el medio y forman ángulos rectos”. En la segunda de
estas secciones (pág. 25-26) se presenta un procedimiento de
construcción de un rectángulo a partir de una de sus diagonales, y se

busca que las y los estudiantes elaboren algunas conclusiones sobre
características de las diagonales de los rectángulos.
El segundo paso de este instructivo demanda el trazado de un segmento
oblicuo, que pase por el punto medio y sea más largo que la diagonal
dibujada en el primer paso. Por otra parte, en el procedimiento se hace
uso de una circunferencia con el objeto de determinar todos los puntos
que se encuentran a una misma distancia de un punto dado. Nada de lo
recién dicho anticipa que ese segundo segmento constituirá la segunda
de las diagonales. Se espera que durante el análisis y el intercambio

colectivo puedan surgir estas relaciones y reconocer la pertinencia del
uso de la circunferencia.
Luego de la resolución de las dos secciones de reflexión que
comentamos en los párrafos anteriores podría generarse un espacio de
discusión entre todas y todos en el que se pongan de relieve las
características que interesa sean registradas y recordadas: las diagonales
de los rectángulos son de la misma longitud y se cortan en sus puntos
medios; si el rectángulo es un cuadrado, además las diagonales serán
perpendiculares.
El trabajo que se propone a continuación se centra en considerar que el
cuadrado también es un rombo, y que los tres cuadriláteros mencionados
son a la vez paralelogramos.
El problema 3 (pág. 26) demanda utilizar y explicitar las características de
las diagonales.
Por ejemplo, para dar respuesta al ítem b- las niñas y los niños podrían
plantear “es la primera imagen porque en la última los segmentos no son
iguales y en la segunda no se forman ángulos rectos”. Sería interesante ir
registrando provisoriamente alguna de estas conclusiones durante el
intercambio colectivo. Posiblemente pase inadvertido para algunas y
algunos que hay dos juegos de segmentos que pueden ser diagonales de
rectángulos, el de la izquierda (cuadrado) y el del medio; será necesario,
entonces, recuperar las relaciones ya tratadas.

El problema 4 (pág. 27) nuevamente permite poner en discusión que
construir un cuadrado puede ser correcto cuando se pide construir un
rectángulo; en este caso, como solo se ofrece una de las diagonales del
cuadrilátero, serán las niñas y los niños quienes decidan la longitud y la
inclinación respecto del segmento dado de la segunda diagonal. Al tomar
esta decisión deberán tener en cuenta las características antes
trabajadas, en especial que deben medir lo mismo y cruzarse en sus
puntos medios. Al considerar la nueva diagonal perpendicular u oblicua al
segmento BE estarán determinando rectángulos cuadrados o no.
En el primer problema de la sección de reflexión (pág. 27-28) se solicita
analizar la cantidad de construcciones posibles. Será interesante
conversar con el grupo clase que, para resolver el ítem b-, hay muchos
rectángulos posibles con esa diagonal y uno de ellos es el cuadrado
dibujado para el ítem a-. Los tres siguientes problemas tienen la intención
de reflexionar sobre las características que deben cumplir las diagonales
para que se trate de un cuadrado o de un rectángulo en general. Por
ejemplo:
DE A DOS: Si un cuadrilátero tiene sus diagonales iguales, que se
cortan en sus puntos medios de modo no perpendicular, ¿es posible
estar seguro de qué cuadrilátero se trata? Discutan cómo lo
pensaron.
Ante este problema se espera que puedan decir que la condición “de un
modo no perpendicular” elimina de las soluciones a los cuadrados.
Es necesario mencionar que, a lo largo de este apartado, Problemas para
estudiar las diagonales de los cuadrados y de los rectángulos, no se
presentan las secciones “Para recordar” o “Para tener en cuenta”. En lugar
de ofrecer información sobre características de las diagonales de estos
tipos de figuras, se busca que las y los estudiantes puedan elaborar sus
propias conjeturas. Será interesante proponer su escritura provisoria en
afiches para luego, retomarlas, revisarlas y ampliarlas a partir de la
exploración de las diagonales de rombos y paralelogramos.

En el siguiente apartado, Problemas para estudiar las diagonales de los
rombos y de los paralelogramos (pág. 28), se presenta una serie de
situaciones que buscan analizar y construir las características de las
diagonales de los rombos y de los paralelogramos. Se proponen
problemas en los que hay que construir estas figuras a partir de
triángulos, de manera que se utilice uno de sus lados como diagonal del
cuadrilátero a dibujar. En otros problemas vuelven a proponerse
procedimientos de construcción para debatir y analizar el
comportamiento de las diagonales en cada uno de los casos. Además, se
trata de analizar los datos que posibilitan la determinación acerca de la
cantidad de soluciones. Se espera que las y los estudiantes, luego del
trabajo sobre estos problemas y a partir de la coordinación de momentos
de intercambio colectivo por parte de la o el docente, puedan dar
explicaciones sobre las características de las diagonales de los rombos y
de los paralelogramos, registrar en carteles y utilizar dichos registros en
nuevos problemas. Así, por ejemplo, podrían plantear: “las diagonales del
rombo se cruzan formando ángulos rectos” o “las diagonales del rombo y
del paralelogramo se cortan a la mitad”. Al final del apartado se presenta la
sección Para tener en cuenta (pág. 33) donde se sintetizan las
características de las diagonales de los cuadriláteros estudiados hasta
ese momento. Esto puede ser una oportunidad de volver colectivamente
sobre la escritura de esas primeras hipótesis para ponerlas en diálogo con
estas nuevas ideas.
En los problemas que presenta el apartado Cuadriláteros a partir de lados
y diagonales (pág. 34) se busca, a partir de la construcción de distintos
cuadriláteros, explicitar relaciones entre lados y diagonales no estudiados
hasta el momento. Una vez más se orientan los tipos de instrumentos
geométricos que se van a necesitar: regla graduada, compás y escuadra,
para poner de relieve algunas características de las figuras sobre otras.
Así, por ejemplo, en el problema 1 (pág. 34) se trata de construir un
rectángulo y un cuadrado teniendo como dato la diagonal:

Será necesario recurrir a lo estudiado en el apartado anterior para abordar
la construcción de ambas figuras tomando como dato la medida de una
de las diagonales. Así, un posible procedimiento de construcción del
rectángulo sería:
dibujar un segmento de 6 cm (será una diagonal) en cualquier
posición;
trazar otro segmento de 6 cm (será la otra diagonal) que pase por el
punto medio del primero pero que a la vez sea cortado por éste en
su punto medio;
como los extremos de las dos diagonales trazadas conforman los
vértices del rectángulo, restaría unirlos con segmentos que serán los
lados.
Algo semejante puede suceder con la construcción del cuadrado aunque,
en este caso, los segmentos además de ser iguales y cortarse en sus
puntos medios deberán formar ángulos rectos. La maestra o el maestro
podrá poner a consideración del grupo si las figuras obtenidas son únicas,
informando que si la forma es la misma no importa su ubicación en la
hoja, se trata de la misma figura. Nótese que no es necesario recurrir a las
condiciones de paralelismo o perpendicularidad de lados para asegurarse
que la construcción obtenida es un rectángulo o un cuadrado.
El problema 2 (pág. 34) propone construcciones de paralelogramos para
lo que podría ser útil retomar o volver a mirar los afiches con conclusiones
creados a partir de apartados anteriores. En cada ítem se ofrecen datos
distintos, por lo que será necesario tener en cuenta características
diferentes para la construcción. Nuevamente sucede que, como los datos
son longitudes de lados y diagonales, se permite la construcción de
rectángulos o rombos como representantes posibles de los

paralelogramos. Para construir en el ítem a- podrían resaltar el
paralelismo o la igualdad entre lados opuestos; la variedad de figuras
posible estará determinada por la amplitud del ángulo entre lados
consecutivos. En el ítem b- sucede algo similar, las distintas amplitudes
posibles para el ángulo entre el lado de 3 cm y la diagonal de 6 cm serán
quienes determinen las diversas figuras a construir, entre ellas se
encuentra nuevamente un rectángulo. Con el ítem c- será posible
construir una gran variedad de paralelogramos, entre los que se
encontrará un rombo. Finalmente, con el último ítem se pretende seguir
abordando la inclusión entre clasificaciones de cuadriláteros, pues con
dos lados de la misma medida se podrán construir rombos o cuadrados.
Es posible que algunas y algunos estudiantes no reconozcan
inmediatamente esta opción.
Presentamos a continuación algunas construcciones posibles del ítem a-:
Una construcción posible del ítem b- podría partir del trazado del lado de
3 cm, luego la diagonal de 6 cm con cualquier amplitud del ángulo entre
ellos, para continuar completando un triángulo al unir los puntos E y G (ver
figura que sigue). Una vez hecho esto el problema será similar al
propuesto en el apartado Problemas para estudiar las diagonales de los
rombos y de los paralelogramos (pág. 28), particularmente el problema 4
(pág. 30), en el que se solicitó la construcción de un paralelogramo a
partir de un triángulo dado, sabiendo que uno de sus lados sería la
diagonal del paralelogramo a construir. Es decir, podrán remitirse al
trazado de paralelas a los lados opuestos.
En la sección Para revisar y seguir pensando (pág. 34) se propone retomar
los problemas 1, 2 y 3 para comparar si las producciones de la pareja son

iguales. En los problemas 1.b- y 3 las construcciones son únicas, por lo
que las realizaciones de la pareja deberían verse igual. Será preciso
recordar que, aunque se encuentren en distintas posiciones, se trata de la
misma figura si la forma es la misma. En los restantes problemas, los
datos admiten diversidad de figuras, será interesante discutir si son o no
correctas todas y cuántas soluciones admite cada caso.
En el último problema de esta sección de reflexión solicitamos que
agreguen información de la segunda diagonal de manera que pueda
asegurarse que se trata del tipo de cuadrilátero mencionado en cada
inciso.
Así, para el primero de los incisos será necesario tener en cuenta que los
rectángulos no cuadrados tienen diagonales de la misma longitud, que se
cruzan en sus puntos medios y el ángulo que forman al cruzarse no es

recto. Para el segundo inciso deberán recordar que los rombos tienen sus
diagonales perpendiculares que se cruzan en sus puntos medios, pero al
demandar que no sea cuadrado se exige que las diagonales tengan
diferentes longitudes. Finalmente, para el tercero de los incisos, habrá que
unificar las características antes mencionadas para rectángulos y rombos,
es decir, las diagonales deberán ser de la misma longitud, perpendiculares
y cruzarse en sus puntos medios.
Es posible que sea necesario conversar con las y los estudiantes acerca
de las denominaciones “rectángulo no cuadrado” y “rombo no cuadrado”.
Para ponerlo en discusión podrían remitirse a muchos de los problemas
ya resueltos a partir de este material y, especialmente, a los registros de
conclusiones.
En el siguiente apartado, Problemas para explorar los ángulos de los
cuadriláteros (pág. 36), se busca que las y los estudiantes puedan
explorar y establecer algunas conjeturas vinculadas a la existencia o no
de un cuadrilátero conociendo la medida de sus ángulos. Las situaciones
que aquí se incluyen apuntan a construir con ellas y ellos la propiedad que
afirma que la suma de los ángulos interiores de todo cuadrilátero equivale
a 360º. Así como también poner en juego otras características de los
cuadriláteros y triángulos, como por ejemplo: “si se trata de un rectángulo
sus ángulos interiores miden 90º”; “si es un triángulo isósceles dos
ángulos medirán lo mismo”; “si es un rombo los lados serán de la misma
longitud” (lo que llevaría a que se forman triángulos isósceles); “la suma
de los ángulos interiores de los triángulos es de 180º”; entre otras
posibles. Se trata de introducir a las y los estudiantes en un trabajo
deductivo a partir de lo que han construido sobre las características y
propiedades de las figuras, sus diagonales y sus ángulos. Para favorecer
ese tipo de trabajo en todos ellos se inhibe el uso de instrumentos de
medición.
En el problema 1 (pág. 36) se propone trabajar de modo exploratorio. Una
forma de iniciar el proceso de resolución podría ser anticipando/eligiendo

las medidas de los ángulos que cumplan las condiciones dadas en los
incisos a- y c-. Luego, podrían intentar las construcciones y, al no
conseguirlo, concluir que “sus lados nunca se van a juntar”, que “el
cuadrilátero no cierra” o que “no queda un cuadrilátero”. En el inciso c-
hemos escogido que la suma supere los 400º para que haya una
diferencia importante respecto de lo necesario para que se pueda
construir el cuadrilátero, así no será la imprecisión en los trazados lo que
invalide las conclusiones. En cambio, en el inciso a- podrían escoger
ángulos agudos pero todos muy cercanos a 90º y, dados los errores de
medición con los instrumentos geométricos, conseguir que parezca un
cuadrilátero. En esa instancia será interesante volver a conversar acerca
de la necesidad de apoyarse en las características de las figuras en lugar
de confiar sin reparos en las mediciones. En el ítem b- probablemente
logren anticipar que se pueden construir rectángulos o cuadrados; y si no
la lograran, la maestra o el maestro podría solicitar que analicen y
comparen con los problemas anteriores antes de intentar la
construcción.
El problema 2 (pág. 37) permite explorar que si tres de los ángulos de un
cuadrilátero son rectos, el cuarto ángulo no puede ser de cualquier
medida. Es posible que las y los estudiantes conjeturen que el cuarto
ángulo es de 90º. La maestra o el maestro podría volver sobre esta
afirmación y analizar que, si se conoce la medida de tres de los ángulos, la
amplitud del siguiente está determinada.
La situación que se presenta en la sección Para revisar y seguir pensando
(pág. 37) apunta a que se establezca que en un cuadrilátero la suma de
sus ángulos interiores es 360º apelando a la propiedad de la suma de los
ángulos interiores de los triángulos4. El problema propone el análisis de
este razonamiento para validar la respuesta, sin apoyarse en la medida de
los ángulos.
Con los problemas 3 (pág. 38) y 4 (pág. 38) se busca que reutilicen el
razonamiento que se empleó en la situación de la sección de reflexión

anterior para determinar la medida de los ángulos desconocidos. Para el
problema 3 podrían plantear “como la suma de todos los ángulos tiene que
ser 360º y aquí los tres ángulos dados suman 282º, entonces el cuarto
ángulo será de 78º”; y para el problema 4, “si la suma de los ángulos
interiores tiene que ser 360º y con los dos datos se suma 224º, entonces
se lo restamos a 360º y nos queda 136º, a esto hay que dividirlo en dos
partes iguales porque dice que Ĉ y D̂ miden lo mismo, nos queda 68º”. Una
vez más se busca que puedan decidir apelando a argumentos y sin medir.
Se espera que a partir de las discusiones en torno a estas resoluciones
las y los estudiantes puedan concluir que los ángulos opuestos en todos
los paralelogramos tienen la misma amplitud, y que en algunos casos los
ángulos interiores consecutivos pueden medir diferente. Una forma de
analizar esta verdad es considerar que en ellos, al trazar una de las
diagonales, quedan determinados dos triángulos iguales.
Presentamos a continuación una posible resolución del problema 5 (pág.
34):
Las y los estudiantes podrían relacionar el triángulo que brinda el dato del
ángulo de 40º y argumentar que es isósceles ya que las diagonales de los
rectángulos se cortan en sus puntos medios y tienen la misma longitud,
entonces los otros dos ángulos también son iguales. Como los ángulos
interiores de los triángulos suman 180º, la suma de esos ángulos debe
ser 140º (surge de 180º - 40º) por lo que cada uno mide 70º. Ese dato
ayuda a buscar la amplitud de M̂ dado que los ángulos de los rectángulos

son rectos -miden 90º-, entonces M̂ debe medir lo que falta desde 70º
para llegar a 90º, es decir 20º.
Presentamos a continuación una posible resolución del problema 6 (pág.
39):
Para este rombo, los ángulos N̂ y Q̂ son opuestos, por lo que podrán
concluir que miden lo mismo a partir de utilizar relaciones estudiadas en
problemas anteriores, por ejemplo, decir que los triángulos MNP y MPQ
son iguales (dado que los lados del rombo son iguales y comparten el
tercer lado -la diagonal-) e isósceles, entonces, en cada triángulo M̂
medirá igual que P̂ , es decir 55º. Con esto, y usando que la suma dentro
del triángulo debe ser 180º, N̂ mide 70º. Si partieron de considerar la
igualdad de triángulos entonces pueden concluir que el ángulo Q̂ también
mide 70º. Si no partieran de esa consideración, podrían realizar un estudio
similar para el triángulo MPQ y llegar a la conclusión que Q̂ mide 70º. Si
este fuese el caso, sería interesante poner en relevancia que los dos
ángulos desconocidos miden lo mismo y son opuestos. Luego se podría
proponer analizar si sucede lo mismo con los otros ángulos opuestos del
rombo, P̂ y M̂ . Para complementar estas ideas, la maestra o el maestro
podría retomar otras figuras de este material para analizar e intervenir
preguntando, por ejemplo, qué sucede con los ángulos opuestos de los
rectángulos o de los cuadrados.

Con el siguiente recuadro Para recordar y tener en cuenta (pág. 39) se
pretende sistematizar la idea anterior, solo que aquí se presenta
extendiendo a todos los paralelogramos, es decir se deja de poner el foco
en los rombos, en los rectángulos o en los cuadrados, para dar
argumentos más amplios. En los siguientes problemas se pondrán en
juego estas ideas.
En el problema 7 (pág. 40) se busca trabajar en torno a las relaciones de
igualdad de ángulos opuestos en los paralelogramos y que la suma de los
ángulos interiores es 360º.
Una manera posible de resolver este problema es partir de considerar la
igualdad de los ángulos opuestos. Así, para la figura completa, Ŝ y F̂ son
opuestos, por lo tanto, iguales; de forma análoga, Â y D̂ son opuestos e
iguales. Es posible pensar que Ŝ mide 130º -suma de 50º y 80º-, entonces
F mide 130º. Como la suma de los ángulos interiores de los cuadriláteros
es 360º, y Ŝ más F̂ es 260º, entonces Â más D̂ debe ser 100º. Como son
iguales por ser opuestos, entonces cada uno medirá 50º. Anticipamos
que estas deducciones y conclusiones pueden no surgir rápidamente
entre las chicas y los chicos, por lo que podría ser útil un primer
acercamiento al problema de manera individual para luego pasar a un
trabajo en parejas o ternas, de modo que puedan presentarse debates
internos, exposición de estrategias o de ideas, búsqueda de conclusiones
al menos parciales.

Como hemos mencionado anteriormente puede ser útil para las y los
estudiantes sistematizar lo trabajado escribiendo cuadros con algunas
conclusiones, propiedades y características de las figuras. A modo de
ejemplo, les ofrecemos a continuación un cuadro que podría elaborarse
en las aulas.
Los problemas que presenta la sección Para revisar y seguir pensando
(pág. 40-41) buscan recapitular el trabajo sobre el estudio de
cuadriláteros, a la vez que sistematizar las ideas que fueron surgiendo.
Particularmente esto puede verse en el último de los ítems, propuesto
para resolver entre todas y todos en la clase. Se trata de una tabla en la
que se han escrito características de los cuadriláteros y se solicita
determinar cuál o cuáles de los diferentes tipos de éstos las cumplen.
Será necesario recordar a las y los estudiantes que hay relaciones de
inclusión entre las figuras del cuadro y que, por lo tanto, deberán

considerarse las figuras más generales y no solo algunos ejemplos en
particular.
Los intercambios grupales que pudieran surgir en torno al cuadro, podrían
redactarse como ideas que les permitieran a las y los estudiantes volver
sobre ellas en otras oportunidades, como por ejemplo en momentos de
evaluación. Ofrecemos a continuación una posible síntesis de las
mismas.
Con los problemas de las páginas anteriores estuvimos trabajando sobre
las siguientes ideas:
En todos los cuadriláteros la suma de los cuatro ángulos
interiores tiene que dar 360º.
Todos los cuadriláteros tienen dos diagonales.
Existen diversos tipos de cuadriláteros según qué
propiedades cumplen los lados y los ángulos:
Si tiene dos pares de lados paralelos e iguales, son
Paralelogramos.
Si son paralelogramos con 4 ángulos rectos, son
Rectángulos.
Si son paralelogramos con 4 lados iguales, son
Rombos.
Si son paralelogramos con 4 lados iguales y 4
ángulos rectos, son Cuadrados.
En todos los tipos de paralelogramos se cumple que los
ángulos opuestos son iguales.
En todos los tipos de paralelogramos cada diagonal divide
a la figura en dos triángulos iguales.
En todos los tipos de paralelogramos cada diagonal corta
en su punto medio a la otra diagonal. Además, puede
ocurrir que:

Si es un rectángulo, las diagonales miden lo mismo.
Si es un rombo, las diagonales son perpendiculares.
Si es un cuadrado, las diagonales miden lo mismo y
son perpendiculares.
En este documento hemos intentado acompañar el análisis de los
problemas del material para estudiantes. Esperamos que su lectura
constituya un aporte para la planificación y la coordinación de las clases.
1 En este documento y en el material para estudiantes, hemos optado por referirnos a los
segmentos utilizando la notación “extremos del segmento” con una rayita sobre las letras.
2 Si bien en hojas cuadriculadas se puede volver necesaria la consideración de la
perpendicularidad de lados consecutivos de un rectángulo si no se construye siguiendo el
cuadriculado de la hoja, reservamos su uso para cuando sí coinciden los lados de las
figuras con el cuadriculado.
3 En algunas publicaciones para estudiantes y para docentes, a estas figuras se las
denomina “paralelogramo propiamente dicho”. En este material no usaremos dicha
denominación con las y los estudiantes con el fin de que no se desdibujen las relaciones de
inclusión, es decir que rombos, rectángulos y cuadrados son también paralelogramos.
4 Esta propiedad fue tratada en la Parte 3 de este material sobre el estudio de la geometría.
Imagen de portada: Freepik.es
Primaria / 4to, 5to, 6to, Matemática, Intensificación de la enseñanza /
#Geometría
Materiales complementarios

Este documento fue generado de manera automática. Para una mejor experiencia
ingresar a Continuemos Estudiando.
Continuemos estudiando v2.1
material-para-estudiantes-parte-4-continuemos-estudiando-1.pdf
Sitio desarrollado y actualizado por la
Dirección de Tecnología Educativa dependiente de la
Subsecretaría de Educación
abc.gob.ar

Parte-4.-Cuadrilateros-–-Continuemos-estudiando-3.pdf

Más contenido relacionado

Similar a Parte-4.-Cuadrilateros-–-Continuemos-estudiando-3.pdf (20)

Último (20)

Parte-4.-Cuadrilateros-–-Continuemos-estudiando-3.pdf