Poligonal Cerrada - - trabajo- teodolito
- 1. TOPOGRAFÍA UNIDAD 1 PRINCIPIOS BÁSICOS PLANIMETRÍA MEDICIONES ANGULARES ESTACIÓN TOTAL POLIGONAL CERRADA COORDENADAS UTM UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADAS LAUREATE INTERNATIONAL UNIVERSITIES
- 2. A D B N Az (1000,1000,100) C POLIGONALES • Definición • Tipos de Poligonales • Cálculo y Ajuste de Poligonales Cerradas TOPOGRAFÍA Poligonal Cerrada
- 3. POLIGONALES Una poligonal es una serie de líneas consecutivas cuyas longitudes y direcciones se determinan a partir de mediciones en campo. Las poligonales se usan para establecer puntos de control y puntos de apoyo para el levantamiento de detalles, replanteo de proyectos y para el control en la ejecución de obras. PUNTO DE CONTROL TOPOGRAFÍA Poligonal Cerrada
- 4. VÉRTICES DE LA POLIGONAL Los vértices de las poligonales se materializan en campo mediante hitos de concreto. TOPOGRAFÍA Poligonal Cerrada
- 5. VÉRTICES DE LA POLIGONAL TOPOGRAFÍA Poligonal Cerrada
- 6. TIPOS DE POLIGONALES Las poligonales pueden ser cerradas o abiertas. Sólo las poligonales cerradas permiten obtener un control sobre la precisión obtenida. Las poligonales abiertas se usan normalmente para propósitos exploratorios. Poligonal cerrada Poligonal abierta TOPOGRAFÍA Poligonal Cerrada
- 7. A D B N Az (1000,1000,100) C POLIGONALES CERRADAS • Son aquellas que se inician y finalizan en el mismo vértice o en vértices diferentes pero de coordenadas conocidas. • Proporcionan comprobaciones de los ángulos y de las distancias medidas. • Se emplean en levantamientos de control, levantamientos de detalles o replanteos de obras. Poligonal cerrada Una poligonal cerrada queda definida por: • Sus lados • Sus ángulos interiores • Las coordenadas de un vértice, que pueden ser arbitrarias o verdaderas • El azimut del lado de partida. TOPOGRAFÍA Poligonal Cerrada
- 8. Solucionar una poligonal consiste en el cálculo de las coordenadas rectangulares de cada vértice. CÁLCULO Y AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS Procedimiento: 1. Cálculo y compensación del error de cierre angular. 2. Cálculo de azimutes de los lados de la poligonal. 3. Cálculo de las proyecciones de los lados. 4. Cálculo del error de cierre lineal. 5. Compensación del error lineal. 6. Cálculo de las coordenadas de los vértices. TOPOGRAFÍA Poligonal Cerrada
- 9. AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS 1. ERROR DE CIERRE ANGULAR: Una vez establecidos los vértices de la poligonal se procede a medir sus ángulos internos y las distancias de cada lado. Debido a errores instrumentales y operacionales no siempre la suma de los ángulos medidos coincide con la suma geométrica. El error angular (e) esta dado por la diferencia entre el valor medido en campo y el valor teórico. i : ángulo interno poligonal n : número de vértices o lados de la poligonal = − − = n 1 i i α 2) (n 180º α e TOPOGRAFÍA Poligonal Cerrada
- 10. 1.ERROR DE CIERRE ANGULAR (continuación): Se debe verificar que el error angular sea menor que la tolerancia angular: n a Tolerancia = a: aproximación del equipo n : número de vértices o lados AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS La tolerancia se determina a partir de la teoría de propagación de errores: f= i=a+b+….+n TOPOGRAFÍA Poligonal Cerrada
- 11. Si e es mayor que la tolerancia se procede a medir nuevamente los ángulos de la poligonal. Si e es menor que la tolerancia se procede al ajuste angular; repartiendo el error entre todos los ángulos, asumiendo que el error es independiente de la magnitud del ángulo medido. n e C α α = AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS C : corrección angular e : error angular n: número de vértices Por ejemplo, si el equipo utilizado en la medición angular tiene una precisión de 20”, se asume que el error repartido en cada vértice es 20”. Por tanto el error admisible (tolerancia) se considera igual a: TOPOGRAFÍA Poligonal Cerrada
- 12. AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS 2. CÁLCULO DE AZIMUTES: Los azimuts de los de lados de una poligonal se pueden calcular a partir de un azimut conocido y de los ángulos medidos. 180 180 − + = − = = − = AB BC B AB BC BC luego siendo : será BC de azimut El B AB N B C A AB BC B Datos: Azimut AB = AB Angulo en B = Azimut BC = BC = ? TOPOGRAFÍA Poligonal Cerrada
- 13. AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS 2. CÁLCULO DE AZIMUTES (continuación): Generalizando el cálculo de azimut, tenemos la siguiente ecuación aplicable a poligonales etiquetadas en sentido anti-horario. ϕi = ϕi−1 + i ± 180º ϕi = azimut del lado ϕi-1 = acimut anterior i = ángulo interno en el vértice Aplicando los siguientes criterios: Si (ϕi−1 + i ) < 180º se suma 180º Si (ϕi−1 + i ) ≥ 180º se resta 180º Si (ϕi−1 + i ) ≥ 540º se resta 540º (los azimuts son menores a 360º) TOPOGRAFÍA Poligonal Cerrada
- 14. 3.CÁLCULO DE LAS PROYECCIONES DE LOS LADOS: Las proyecciones de los lados de la poligonal se calculan en función de los azimuts y distancias de los lados, aplicando las siguientes ecuaciones: AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS Cos(Az) Distanc Proy x N = Sen(Az) Distanc Proy x E = N E A B D C ProyNAB (+) ProyNBC (+) ProyEBC (-) ProyECD (-) ProyNCD (-) ProyNDA (-) ProyEDA (+) ProyEAB (+) TOPOGRAFÍA Poligonal Cerrada
- 15. La suma de proyecciones sobre el eje Este-Oeste debe ser igual a cero. De manera similar la suma de proyecciones sobre el eje Norte-Sur debe ser igual a cero. Pero esto no se cumple debido a los errores instrumentales y operacionales en la medición de distancias. Por lo tanto se tendrán errores en las proyecciones Este y Norte: = = n 1 i Este Este Proy e = = n 1 i Norte Norte Proy e AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS 4. CÁLCULO DEL ERROR DE CIERRE LINEAL: N E A B D C ProyNAB (+) ProyNBC (+) ProyEBC (-) ProyECD (-) ProyNCD (-) ProyNDA (-) ProyEDA (+) ProyEAB (+) TOPOGRAFÍA Poligonal Cerrada
- 16. El error de cierre lineal será: e e e 2 Norte 2 Este L + = Y la precisión lineal de la poligonal estaría dada por: L e Perímetro 1 Precisión = AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS 4. CÁLCULO DEL ERROR DE CIERRE LINEAL (continuación): D A A’ eEste eNorte TOPOGRAFÍA Poligonal Cerrada
- 17. Determinado el error lineal se verifica que éste sea menor a la tolerancia lineal especificada por las normas, condiciones topográficas y precisión de los equipos. AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS 5. COMPENSACIÓN DEL ERROR DE CIERRE LINEAL: El método de compensación depende de la precisión lograda por los instrumentos y procedimientos empleados en la medición. Algunos de los métodos de compensación utilizados son: el método de la brújula, el del tránsito, el de Crandall, el de los mínimos cuadrados, etc. Actualmente los equipos han igualado la precisión obtenida en la medición de distancias con la precisión obtenida en la medición angular, lo que hace al método de la brújula el método más adecuado para la compensación del error lineal, no sólo por asumir esta condición sino por la sencillez de los cálculos involucrados. TOPOGRAFÍA Poligonal Cerrada
- 18. Método de la Brújula: Método propuesto por Nathaniel Bowditch (1800) y es el más utilizado en los trabajos normales de topografía. El método asume que : • Los ángulos y distancias se miden con igual precisión. • El error ocurre en proporción directa a la distancia • Las proyecciones se corrigen proporcionalmente a la longitud de los lados. Perímetro Lado ) e ( C Norte Norte − = Perímetro Lado ) e ( C Este Este − = 5. COMPENSACIÓN DEL ERROR DE CIERRE LINEAL (continuación): AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS TOPOGRAFÍA Poligonal Cerrada
- 19. Las coordenadas de los nuevos vértices se determinan sumando a las coordenadas del vértice anterior las proyecciones corregidas. Es recomendable trabajar de manera tabulada: Lado Distanc. med correg Az ProyN ProyE CNorte CEste ProyNcorr ProyEcorr E N Corr_Poligonal_ UPC.xls Perim i eNorte eEste Cos(Az) x Distanc ProyN = Sen(Az) x Distanc ProyE = Norte N corr N C Proy Proy + = Este E corr E C Proy Proy + = Perímetro Lado ) e ( C Norte Norte − = Perímetro Lado ) e ( C Este Este − = AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS 6. CÁLCULO DE LAS COORDENADAS DE LOS VÉRTICES: TOPOGRAFÍA Poligonal Cerrada
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- 21. TOPOGRAFÍA Poligonal Cerrada Método de Coordenadas: AREAS DE POLIGONALES CERRADAS Conociendo las coordenadas de cada uno de los vértices de la poligonal se puede calcular su área mediante sumas y restas de figuras conocidas. N E A B C D E ) x x ( 2 ) y y ( ) x x ( 2 ) y y ( ) x x ( 2 ) y y ( ) x x ( 2 ) y y ( ) x x ( 2 ) y y ( A E D D E A E E A C D D C B C C B A B B A − + − − + − − + + − + + − + = = − + − = n 1 i 1 i 1 i i ) x (x y 2 1 A
- 22. TOPOGRAFÍA Poligonal Cerrada Método de Coordenadas: AREAS DE POLIGONALES CERRADAS También puede usar la fórmula determinante de Gauss: N E A B C D E Norte A YA B YB C YC D YD E YE A YA Este XA XB XC XD XE XA 2A = - A E C B B A y x ...... y x y x + + + = A E C B B A x y ....... x y x y + + + = Donde:
- 23. RELLENO DE UNA POLIGONAL Consiste en obtener las coordenadas de puntos pertenecientes a un terreno o construcción. Dependiendo de las características de la zona de trabajo las poligonales pueden ser interiores, exteriores o coincidentes con los vértices del terreno en estudio. A (1000,1000,100) D B NM Az C Poligonal exterior TOPOGRAFÍA Poligonal Cerrada
- 24. TOPOGRAFÍA Poligonal Cerrada Nos permite determinar el perímetro y área del terreno. Se efectúa un relleno interior para obtener las curvas de nivel. A B D NM (1000,1000,100) C RELLENO DE UNA POLIGONAL Poligonal coincidente con los vértices del terreno.