POTENCIAL ELECTRICO

Física General III Potencial Eléctrico Toribio Córdova C.

CAPITULO IV
POTENCIAL ELÉCTRICO

141


4.1 INTRODUCCIÓN.

Es sabido que todos los objetos poseen una propiedad conocida como carga eléctrica. Un campo eléctrico ejerce
una fuerza sobre un objeto cargado, acelerando a éste en la dirección de la fuerza, ya sea en el mismo sentido o
en el sentido opuesto a la dirección del campo. Si el objeto tiene una carga positiva, la fuerza y la aceleración
están en la misma dirección del campo. Esta fuerza tiene la misma dirección que el vector campo eléctrico, y su
magnitud está dada por el valor de la carga multiplicado con la magnitud del campo eléctrico.

Los conceptos tales como fuerza, energía, potencial, etc. son explorados y estudiados con más detalle en la
mecánica clásica. Aquí se muestra que la fuerza y la energía potencial están relacionadas directamente. Así por
ejemplo, cuando un objeto se mueve en la dirección de la fuerza, esta lo acelera, disminuyendo su energía
potencial. Analogamente, la energía potencial de una bala de cañón es mayor en la cima de una colina que en la
base de la misma. Por otro lado, cuando el móvil desciende su energía potencial disminuye dicha disminución de
energía potencial se transforma en energía cinética de movimiento.

Para ciertas fuerzas, es posible definir el “potencial” de un campo tal que la energía potencial de un objeto
debido al campo es dependiente solamente de la posición del objeto con respecto al campo. Este efecto de las
fuerzas sobre los objetos depende solo de las propiedades intrínsecas del objeto y de su posición, y obedecen a
otras reglas matemáticas.

Dos de tales son la fuerza gravitacional y la fuerza eléctrica en ausencia de campos magnéticos variables con el
tiempo. El potencial de un campo eléctrico el llamado potencial eléctrico. El potencial eléctrico se mide en
voltios. En este capítulo definiremos la energía potencial eléctrica, la diferencia de potencial y la función
potencial eléctrico y determinaremos el potencial de distribuciones discretas y continuas de carga.
Posteriormente veremos la relación entre el campo y el potencial eléctricos para finalmente estudiar el potencial
en el interior de conductores.

4.2 SISTEMAS GRAVITACIONALES Y ELÉCTRICOS: Similitudes y diferencias

Las interacciones gravitacional y eléctrica son debidas a diferentes propiedades inherentes a las partículas que
constituyen la materia; la masa gravitacional y la carga eléctrica. Pero matemáticamente, ellas en forma similar
obedecen con la ley de la inversa al cuadrado de la distancia (ley de la gravitación universal de Newton y la ley
de Coulomb.

Así como la fuerza electrostática total sobre un cuerpo cargado es la suma de las fuerzas ejercidas sobre este por
todos los demás cuerpos cargados, la fuerza gravitacional sobre un cuerpo es la suma de las fuerzas
gravitacionales ejercidas sobre éste por todas las demás masas que la rodean. Por ejemplo, el sol y la tierra
ejercen fuerzas gravitacionales significativas sobre la luna, por tanto existirá una fuerza resultante actuando
sobre la luna. De igual forma ocurre con las partículas de desecho que conforman los anillos de Saturno. Estas
incluyen a las fuerzas ejercidas por Saturno, por fuerzas que ejercen el resto de partículas en el anillo, y aquellas
fuerzas ejercidas por pequeñas lunas que giran con los anillos y ayudan a mantener la configuración mostrada en
la figura.

Figura 4.2.1. Movimiento de pequeñas lunas y cuerpos irregulares de materia en el planeta Saturno.

142


En el curso de mecánica, vimos que la fuerza gravitacional ejercida por la tierra sobre una partícula de masa m
localizada a una distancia r desde el centro de la tierra está dada por la ecuación

r Mm
Fg = −G 2 er
ˆ (4.1)
r

Donde, G = 6,67.10-11N.m2/kg2, es la constante de gravitación universal y er es un vector unitario dirigido
ˆ
radialmente hacia afuera. Asumiendo que la tierra es un cuerpo de forma esférica de mas M. El campo

gravitacional correspondiente g , definido como la fuerza gravitacional por unidad de masa, está dado por
r
r Fg M
g= = −G 2 er ˆ (4.2)
m r

La ecuación (4.2) indica que el campo gravitacional g , solamente depende de la masa M del cuerpo que crea el
campo y la distancia r medida desde el centro de M.

Para determinar el trabajo hecho por la fuerza gravitacional durante el movimiento de m desde A hacia B,
consideremos el movimiento de dicha partícula de masa m bajo la influencia de la gravedad tal como se muestra
en la figura

Figura 4.2.2. Trabajo desarrollado por la fuerza gravitacional sobre m.

En este caso, el trabajo de Fg , viene expresado por

rB r r rB  Mm 
WA→ B = ∫  −G 2 er .(drer + rdϕ eϕ )
∫rA Fg .ds = ˆ  ˆ ˆ
rA
 r
rB
drrB 1
WA → B −GMm ∫
=2 = GMm  
rA r
 r  rA

1 1
= GMm  − 
WA → B (4.3)
 rB rA 
Esta ecuación muestra que el trabajo es independiente de la trayectoria seguida por m y solamente depende de la
posición inicial y final, respectivamente. Debe recalcarse además que existen diferencias significativas entre el
ext
trabajo hecho por la fuerza gravitacional WA→ B y el trabajo realizado por un agente externo WA→ B . Sin embargo,
ambas cantidades son iguales y de signo opuesto, es decir WAext B = −WA→ B .
→

143


En el ejemplo planteado anteriormente, si la trayectoria descrita por m es una trayectoria cerrada, de tal forma
que el cuerpo m se mueve alrededor de ella retornando a su posición inicial, el trabajo neto hecho por la fuerza
gravitacional podría ser cero, en estas condiciones se dice que la fuerza gravitacional es conservativa. En forma
general decimos que una fuerza es conservativa si su trabajo alrededor de una trayectoria cerrada es nulo, esto es
r r
=
We ∫
= 0
Ñ
C
Fg .ds (4.4)

Cuando trabajamos con fuerzas conservativas, es conveniente introducir el concepto de energía potencial U. El

cambio en la energía potencial asociada con una fuerza conservativa F actuando sobre un cuerpo cuando se
mueve desde A hasta B es definido como

rB r r
∆U = B − U A =WA→ B =∫ F .ds
U − − (4.5)
rA

Donde WA→ B es el trabajo realizado por la fuerza sobre el cuerpo de masa m. para el caso de la fuerza
gravitacional la energía potencial es

GMm GMm
Ug , B −U g , A =
− ⇒ Ug =
− + U0 (4.6)
r r
Donde U0 es una constante arbitraria la cual depende del punto de referencia escogido. En general se escoge el
punto de referencia a aquel en el cual la energía potencial es cero. Para el caso de la fuerza gravitacional,
escogemos un punto de referencia a una distancia muy grande (infinito) de tal manera que U 0 (r =∞) =0 .
Debido a que Ug depende del punto de referencia escogido, solamente tiene importancia física la variación de
energía potencial ΔUg.

En puntos alejados de la superficie terrestre el campo gravitacional es variable ya que depende de r y como tal
las líneas de campo gravitacional son radiales e ingresan a la tierra tal como se muestra en la figura 4.2.3a,

mientras que en puntos cercanos a la superficie terrestre el campo gravitacional g , es aproximadamente
constante, de tal forma que las líneas de campo gravitacional se pueden considerar paralelas tal como se muestra
en la figura 4.2.3b.

Figura 4.2.3 Campo gravitacional: (a) lejos de la superficie terrestre, (b) cerca de ella.

Entonces, cerca de la superficie terrestre, la fuerza gravitacional está dada por
r r
Fg = mg (4.7)


Donde el campo gravitacional g , es aproximadamente constante, con una magnitud g = 9,8 m/s2. El trabajo
hecho por la fuerza de gravedad para mover un cuerpo desde el punto A el cual está a una altura yA hasta el
punto B ubicado a una altura yB (véase la figura 4.2.4), es

yB r r yB r r yB
∫ F
yA∫ ( ∫ ( ˆ ˆ ˆ
WA→ B = g .ds =mg ).( ds ) =−mgj ).( dxi + dyj )
yA yA

144


yB
∫
WA→ B =(−mgdy ) = ( yB − y A ) =
yA
−mg − mgh (4.8)

Figura 4.2.4 Trabajo hecho por la fuerza gravitacional durante desplazamientos en puntos cercanos a la superficie
terrestre.

La variación de energía potencial en estas condiciones es

∆U g = A→ B = ( yB − y A ) =
−W mg + mgh (4.9)

Un concepto el cual está completamente relacionado con la energía potencial es el “Potencial Gravitacional” el
cual se define como la energía potencial por unidad de masa esto es
r
∆U g B  Fg  r B r r
−∫
∆Vg = =   .ds = g .ds −∫ (4.10)
m A  m  A
 
4.3 ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA

Estamos interesados en la cantidad de trabajo hecho por una fuerza eléctrica durante el desplazamiento de una
carga desde un punto inicial A hasta un punto final B. Para ello seguimos la secuencia desarrollada para el caso
de la fuerza gravitacional. La figura 4.3.1 muestra un campo eléctrico producido por un sistema de cargas, al
 
colocar una carga q0 en este campo ella experimenta una fuerza eléctrica dada Fe = q0 E , la que tiende a mover
en la dirección del campo si la carga de prueba es positiva y en sentido contrario si dicha carga es negativa.

Figura 4.3.1. Movimiento de una carga en un campo no homogéneo.

El trabajo hecho por el campo sobre la carga cuando se mueve desde A hasta B a través de la trayectoria color
verde es

B r r B r r
=
WA → B ∫ Fe .ds
=
A ∫A
q0 E.ds (4.11)

145


Si ahora movemos a la carga desde A hasta B a través de la trayectoria II, como se muestra en la figura 4.3.1,
observamos que el trabajo es el mismo, esto quiere decir que el trabajo es independiente de la trayectoria
seguida. Por lo tanto podemos considerar a la fuerza eléctrica como una fuerza conservativa. En este caso el
trabajo puede expresarse como una variación de energía potencial eléctrica, esto es

B r r
∆U =WA→ B =q0 ∫ E.ds
− − (4.12)
A

Debe recordarse que la integral en la ecuación (4.12) es un integral de línea y como tal debe evaluarse a lo largo
de la trayectoria escogida para mover a q0. Claro está en el caso eléctrico debido a que la fuerza es conservativa
dicha integral de línea no depende de la trayectoria tomada.

En general, queremos discutir la energía potencial de una carga o sistema de cargas en un punto en particular, es

decir queremos encontrar una función U (r ) , pero para obtenerlo es necesario escoger un punto en el cual la
energía potencial es nula. Normalmente se toma la decisión de que la energía potencial es nula en puntos muy
alejados de la distribución de carga esto es U 0 (∞) = .
0

4.4 DIFERENCIA DE POTENCIAL Y POTENCIAL ABSOLUTO.
 
En la presencia de un campo eléctrico E y siguiendo lo descrito en el campo gravitacional g , definimos la
diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos A y B como
r
∆U e B F  r B r r
∆Ve = =∫  e  .(ds ) =∫ E.ds
− − (4.13)
q0 A q 
 0
A

Donde q0 es la carga de prueba. La diferencia de potencial ∆𝑉, representa la cantidad de trabajo por unidad de
carga hecho por el campo para mover una carga de prueba q0 desde un punto A hasta otro final B, sin cambiar su
energía cinética. Una vez más, la diferencia de potencial no de confundirse con la variación de la energía
potencial. Las dos cantidades están relacionadas mediante la ecuación.

∆U = q0 ∆V (4.14)

Las unidades de la diferencia de potencial en el SI es el voltio (V)

= 1 joule / segundo ⇒ (1V 1J / s )
1voltio = (4.15)

Cuando se trate de sistemas a escala atómica o molecular, un joule (J), a menudo resulta ser demasiado grande
como unidad de energía. A esta escala es mucho más útil el uso del llamado electrón voltio (eV), el cual se
define como la energía que adquiere un electrón (o pierde) cuando se desplaza a través de una diferencia de
potencial de 1 voltio.

= 1(1, 6.10−19 C )(1V ) 1, 6.10−19 J
1eV = (4.16)

La ecuación (4.13) nos da simplemente la diferencia en el valor del potencial entre dos punto A y B. Para

determinar una función V ( r ) que defina el potencial en todos los puntos necesitamos especificar un punto en
el cual el potencial V es cero. Frecuentemente escogemos este punto a distancias muy grandes (infinito), es decir
en puntos muy alejados de la ubicación de la carga productora de campo o potencial siendo, en estos puntos el
campo o el potencial eléctrico son muy pequeños en valor absoluto. Sin embargo, este punto de referencia puede
ser escogido para cada problema en particular lo único que se requiere es estar seguro de que V = 0 en dicho

lugar antes de hablar con sensatez acerca de la función V ( r ) . Entonces la ecuación (4-13) se escribe

r B r r
V (r ) = − ∫ E.ds (4.17)
ref

146


4.5 DIFERENCIA DE POTENCIAL EN CAMPOS ELECTRICOS UNIFORMES.

Consideremos una carga q0 moviéndose desde un punto A hasta un punto B situado a una distancia d en el

interior de un campo eléctrico E = E0i , como se muestra en la figura 4.5.1.
ˆ

Figura 4.5.1. Movimiento de una carga en un campo eléctrico uniforme.

Al moverse la carga desde A hasta B, el trabajo hecho por el campo eléctrico es

Br r B B
=
WA → B ∫
A
=
Fe .ds ∫
A
ˆ= ˆ
(q0 Ei ).( dxi ) ∫
A
= q0 E ( xB − x A )
q0 Edx

WA→ B = q0 Ed (4.18)

La variación de energía potencial está dada por

∆U =WA→ B =q0 Ed
− − (4.19)

La diferencia de potencial entre estos dos puntos es

∆U q Ed
∆V = = 0
− = ⇒ VB − VA =
− Ed − Ed (4.20)
q0 q0

El signo menos en la ecuación (4.20) indica que el potencial del punto B es menor al potencial del punto A. Por
otro lado la variación de energía potencial dada por la ecuación (4.19) indica que si q > 0, ΔU es negativa, esto
implica que la energía potencial de una carga positiva disminuye conforme se mueve a lo largo de la dirección
del campo.

Si ahora la carga q0 se mueve en una dirección no paralela al campo sino que forma un ángulo tal como se
θ,
muestra en la figura 4.5.2.

Figura 4.5.2. Movimiento de una carga puntual positiva en una dirección no paralela al campo eléctrico uniforme.

La diferencia de potencial en este caso es

B r r B
∆V = ∫ E.ds = ∫ E cos θ ds = E cos θ ( sB − s A ) = Ed
− − − − (4.21)
A A

147


Por otro lado si la carga se mueve desde A hasta C y posteriormente a B, la diferencia de potencial de A a C es
∆VAC = , y la diferencia de potencial entre los puntos C y B es cero debido a que el campo es
− Ed
perpendicular al desplazamiento. Entonces tenemos:

∆V = ∆VAC + ∆VCB = − Ed + 0 = − Ed (4.22)

Esta ecuación indica por un lado que la diferencia de potencial es independiente de la trayectoria por tanto el
campo eléctrico es conservativo. Así mismo se observa que los puntos B y C tienen el mismo potencial, por
tanto a esta línea que une B y C se le denomina “línea equipotencial”.

Ejemplo 4.1

Encuentre el voltaje requerido en un set de placas paralelas separadas 10,00 cm y que llevan cargas iguales y
opuestas; para crear un campo eléctrico de 1000N/C en la región comprendida entre ellas.

Solución

En la figura 4.5.3 se muestra la disposición de las placas, el campo se considera uniforme en las regiones

alejadas de los bordes E = Ei .
ˆ

Figura 4.5.3. Diferencia de potencial entre placas paralelas.

La diferencia de potencial entre las placas es

d r r d d
∆V = ∫ E.ds = ∫ ( Ei ).( dxi ) = E ∫ dx = Ed
− − ˆ ˆ − −
0 0 0

∆V = (1000 N / C )(0,10m)
−
∆V =B − VA =100Volt
V −

El signo menos indica que el A está a mayor potencial que el punto B

Un electrón que se mueve paralelamente al eje x tiene una velocidad inicial de 3,7. 106 𝑚/𝑠 en el origen. Su
Ejemplo 4.2

velocidad se reduce a 1,4. 105 𝑚/𝑠 en el punto x = 2,00 cm. Determine la diferencia de potencial entre el origen
y ese punto. ¿Cuál de los puntos está a mayor potencial?.

Solución

Debido a que el electrón se mueve en un campo eléctrico uniforme, la energía se conserva por tanto

1 1
Ti + U i =Ti + U i ⇒ me vi2 + qeVi = me v 2 + qeV f
f
2 2
1
me (vi2 − v 2 )= qe (V f − V0 )
f
2

148


1
  (−1, 6.10−19 C
(9,1.1031 kg ) (3, 7.106 m / s ) 2 − (1, 4.105 m / s ) 2  =)(V2 − V0 )
2
(V2 − V0 ) = volt
−38,9

De esta ecuación se concluye que el punto x = 0 está a mayor potencial, esto es

V= V2 + 38,9volt
0

4.6 POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL.

En esta sección vamos a determinar la diferencia de potencial entre dos puntos A y B mostrados en la figura
4.6.1, debido a una carga puntual +Q. Debemos recordar que el campo eléctrico de una carga puntual es

E = (kQ / r 2 )er , donde er es un vector unitario dirigido a lo largo del campo eléctrico.
ˆ ˆ

Figura 4.6.1. Diferencia de potencial producido por una carga puntual.

La diferencia de potencial entre los puntos A y B cuando la carga se mueve en el interior del campo eléctrico es

r r B  Qr 
∆V =B − VA = ∫ E.ds =  −k 2 er .(drer + rdϕ eϕ )
− ∫A  r  ˆ
B
V ˆ
A

r
1 Q 1 1
B
rB dr
VB − VA = ∫
−kQ =  =  − 
kQ (4.23)
 r  rA 4πε 0  rB rA 
2
rA r

Una vez más observamos que la diferencia de potencial es independiente de la trayectoria y solamente depende
de las posiciones final e inicial de la carga testigo.

Al igual que en el caso de la fuerza gravitacional, solamente la diferencia de potencial tiene importancia física
significativa. Por lo tanto, es conveniente establecer un punto de referencia en el cual el potencial es cero. En la
práctica se escoge al punto de referencia que tiene potencial nulo al infinito. Entonces el potencial en cualquier
punto será.
r r
VP = − ∫ E.ds
B
(4.24)
∞

Con este punto de referencia, el potencial en un punto P ubicado a una distancia r de una carga puntual Q es

Q
V (r ) = (4.25)
4πε 0 r

149


Ejemplo 4.3

Una carga positiva de valor 2 μC está localizada en el origen. (a) ¿Cuál es el potencial eléctrico V en un punto a
4 m del origen respecto al valor V = 0 en el infinito?. (b) ¿Cuánto trabajo debe ser realizado por un agente
exterior para llevar la carga de 3μC hasta r = 4 m considerando que se mantiene fija en el origen de coordenadas
la carga de 2 μC?

Solución

En la figura 4.6.2, se muestra la carga

Figura 4.6.2. (a) Potencial de una carga puntual en un punto a una distancia, (b) Carga moviéndose
desde el infinito hasta P.

Parte (a). El potencial en el punto P está dado por

Q 2.10−6 C
= k= 9.109 N .m 2 / C 2 (
VP )
r 4m
VP = 4,5.103 volt

Parte (b). El trabajo realizado por el agente externo para traer la carga q3 desde el infinito hasta el punto P será

W∞→ P q= 3.10−6 C (4,5.103 vol )
= 3VP
W∞→ P = 13,5.10−3 J

4.7 POTENCIAL ELÉCTRICO DE UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES.

Consideremos un sistema de N cargas puntuales situadas en posiciones fijas como se muestra en la figura 4.7.1,
las cuales producen campos eléctricos en el espacio que los rodea. Para evaluar el potencial producido por el
sistema se evalúa el movimiento de una carga testigo +q0 a lo largo de la trayectoria desde un punto inicial hasta
otro final (P).

Figura 4.7.1. Potencial debido a un sistema de cargas puntuales.

150


El potencial en el punto P debido al sistema de cargas puntuales es

P r r
V ( x, y, z ) − 0 = ∫ E.ds
−
i

Al evaluar la integral se usa un procedimiento siguiente

P r r P r r P r r P r r
V ( x, y, z ) = ∫ E1.ds + ∫ E2 .ds + ..... + ∫ Ei .ds + ..... + ∫ EN .ds 
−
 i
 i i i 

Las integrales son idénticas a la resuelta para el caso de una sola carga puntual, por ello, la primera integral
corresponde al potencial de la primera carga y así sucesivamente, entonces tenemos.

q1 q2 qi qN
V ( x, y , =
z) + + .... + + .... +
4πε 0 r1 4πε 0 r2 4πε 0 ri 4πε 0 rN

1 N
 qi 
V ( x, y , z ) = ∑ r
4πε 0 i =1  i 
 (4.26)

Ejemplo 4.4

Cargas puntuales idénticas de 1,7 μC se fijan diagonalmente en las esquinas opuestas de un cuadrado. Una
tercera carga es entonces fijada en el centro del cuadrado, tal que esta cause potenciales en las esquinas vacías
cambien de signo sin cambiar sus magnitudes. Encontrar el signo y la magnitud de la tercera carga.

Solución

La figura muestra dos cargas idénticas, q fijas en las esuinas del cuadrado. El potencial en la esuina A es
causado por la presencia de las dos cargas y está dado por

q q q
VA ,i = k + k = 2k
r r r

Figura 4.7.2 (a) Carga fijas en la esquina del cuadrado (inicial), (b) ubicación de la tercera carga en el centro del cuadrado

Debido a que ambas cargas están a la misma distancia de B, este potencial es igual al potencial en la esquina B.
Si ahora una tercera carga Q es localizada en el centro del cuadrado, el ptencial en la esquina A (así como en la
esquina B) es

q q Q q Q
VA , f = k +k +k = 2k + 2k

De la geometria se determina la longitud de la diagonal 𝑑 = 𝑟√2 . Entonces tenemos
r r d /2 r d

q Q
=
VA , f 2 k + 2k
r r 2

151


De la condición del problema, conocemos que la adición de Q causa que el potencial en A o B cambia de signo
sin cambiar la magnitud. En otras palabras

VA, f = −VA,i
q  q Q 
2k = + 2k
−  2k 
r  r r 2
Q = q = (1, 7.10−6 C )
−2 2 −2 2
Q = −4,8µ C

Ejemplo 4.5

Considere un dipolo eléctrico ubicado sobre el eje y, como se muestra en la figura. Encuentre el potencial
eléctrico V en u punto P en el plano xy.

Figura 4.7.3 Potencial eléctrico de un dipolo eléctrico

Solución

Utilizando el principio de superposición, el potencial en el punto P está dado por

q q 1 1
VP = V+ + V− = k − k = kq  − 
r+ r−  r+ r− 
Utilizando la ley de los cosenos, se determina las distancias 𝑟+ y 𝑟− , esto es

r±2 r 2 + a 2 m 2ra cos θ
=

Debido a que la distancia entre las cargas es mucho menor a la distancia del centro del dipolo al punto donde se
determina el potencial (a << r), entonces se tiene
−1/ 2
1 1 a  1  1  a  2a 
2 2
2a
=1 +   m cos θ 
 =1 −   ±
 cos θ 
r± r   r 
 r 
 r  2 r 
 r 

Remplazando este valor en la ecuación del potencial del dipolo se tiene

kq  1  a  2a 
2 2
1  a  2a
=
VP 1 −   + cos θ − 1 +   + cos θ 
r  2 r 
 r 2 r  r 

2kqa
VP ≈ cos θ
r2

152


rr
p p.er
VP ≈ cos θ =
4πε 0 r 2 4πε 0 r 2

Donde el momento dipolar es p = 2qaj .
ˆ

4.7 POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA.

La ecuación (4.26) también es válida aunque el número de cargas tienda al infinito y la distribución de cargas
sea contínua. Sin embargo, en este caso es necesario conocer la cantidad de carga que contiene cualquier
elemento diferencial de carga. Para esto debemos conocer la densidad de carga por unidad de volumen o por
unidad de área o por unidad de longitud. Así mismo es necesario conocer la distancia entre el elemento
diferencial de carga y el punto de observación (véase la figura 4.7.1). En consecuencia el elemento de carga
produce un pequeño potencial dado por

1 dq
dV ( x, y, z ) = r r (4.27)
4πε 0 r − r '

Figura 4.7.1. Potencial eléctrico de una distribución contínua de carga

El potencial total se obtiene sumando (integrando) sobre toda la distribución de carga, esto es

1 dq
V ( x, y , z ) =
4πε 0 ∫ r −r '
r r (4.28)

Para el caso de una distribución lineal la ecuación se convierte en
r
1 λ (r ')ds
V ( x, y , z ) =
4πε 0 ∫
s
r r
r −r '
(4.29)

Para una distribución superficial tenemos
r
1 σ (r ')dA
V ( x, y , z ) =
4πε 0 ∫∫
A
r r
r −r '
(4.30)

Finalmente para una distribución volumétrica se tiene
r
ρ (r ')dV
1
4πε 0 ∫∫∫ r − r '
V ( x, y , z ) = r r (4.31)
V

Ejemplo 4.6

Sobre una barra delgada no conductora de longitud 2L, se ha distribuido uniformemente una carga +Q con un
densidad de carga por unidad de longitud λ. Determine el potencial el en un punto a lo largo de la
éctrico
bisectriz perpendicular a la barra a una distancia z de su centro.

153


Figura 4.7.2. Potencial eléctrico de una distribución lineal finita de carga.

Consideremos un elemento diferencial de longitud dy el cual lleva una carga 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑦 = , como se muestra
Solución
𝑄
2𝑎
en la figura 4.7.2. El elemento que produce el potencial está localizado en (0, 𝑦, 0) mientras que el punto en
donde se determina el potencial está en el eje z en (0, 0, 𝑧). La distancia del elemento diferencial al punto P
es| ⃗| = �𝑦 2 + 𝑧 2 . Entonces la contribución al potencial esta dado por
𝑟

dq λ dy
=
dV = r
4πε 0 r 4πε 0 ( y 2 + z 2 )1/ 2

Tomando al potencial en el infinito como cero, el potencial neto debito a la distribución entera es

λ dy λ a
λ  a + a2 + z 2 
ln  y + y 2 + z 2 
a
=
V
4πε 0 ∫− a ( y 2 + z 2 )1/ 2 4πε 0 
= = ln 
 − a 4πε 0  −a + a 2 + z 2


 
En el límite cuando z << a, se tiene

 2      2  
1/ 2
z 
2
z 
 a + a 1+    1+ 1+     1 + 1 +  z   
λ λ λ   a  
 a   a   
=V = = ln  ln  ln  
4πε 0 2  4πε 0 2  4πε 0  2 1/ 2
 −a + a 1 +  z    −1 + 1 +  z    z  
         −1 + 1 +  a   
   
 a   a     

λ  4a 2  λ  2a 
V≈ ln  2  = ln
4πε 0  z  2πε 0  z 
 

Por otro lado si z >> a, tenemos

  a  
a 
  z   z 1+ 1+  
λ  a+z  λ λ
ln    ln  
z
= =
V ln  = 
4πε 0  −a + z  4πε 0   a   4πε 0  
 a 
z 1− 1−
  z 
    z  
 
λ   a  a  λ a a  2λ a
V≈ ln 1 +  − ln 1=
−   − (− ) 
=
4πε 0   z 
  z   4πε 0  z z  4πε 0 z
Q
V≈
4πε 0 z

154


Ejemplo 4.7

Un anillo de radio R cargado uniformemente con una carga por unidad de longitud λ, se encuentra sobre el plano
xy con su eje a lo largo del eje z. Determine el potencial eléctrico en cualquier punto del eje z debido a la
distribución.

Solución

pequeños elementos diferenciales de carga dq de longitud 𝑑𝑠 = 𝑅𝑑𝜑. El elemento tiene una carga
En la figura se muestra el anillo en el plano xy. Para determinar el potencial se divide a la distribución en

= λ ds λ Rdϕ
dq =

Figura 4.7.3. Potencial eléctrico de una distribución lineal de carga en forma de anillo

El potencial producido por el elemento diferencial es

dq λ Rdϕ
=
dV = r
4πε 0 r 4πε 0 R 2 + z 2


λR 2π
V=
4πε 0 ( R + z )
2 2 1/ 2 ∫
0
dϕ

2πλ R Q
=V =
4πε 0 ( R + z )
2 2 1/ 2
4πε 0 ( R 2 + z 2 )1/ 2

Donde la carga total del anillo es 𝑄 = 2𝜋𝑅𝜆. En el límite cuando z >> R, se tiene

Q Q
=V =
4πε 0 R 2 + z 2  R  2 
4πε 0 z 2   + 1
 z 
 

Q
V≈
4πε 0 z

155


Ejemplo 4.8

Un disco de radio R cargado uniformemente con una carga por unidad de área se encuentra sobre el plano xy
σ,
con su eje a lo largo del eje z. Determine el potencial eléctrico en cualquier punto del eje z debido a la
distribución.

Solución

Se divide a la distribución de carga en elementos dq en forma de anillos de radio a y espesor da tal como se
muestra en la figura 4.7.4, tal que la carga del elemento dq está dada por

Q dq
σ= = → dq =σ dA =σ (2π ada ) ⇒ dq = 2πσ ada
A dA

Figura 4.7.4. Potencial eléctrico de una distribución superficial de carga en forma de anillo

El potencial producido por el elemento diferencial es

dq 2πσ rdr σ rdr
=
dV = r =
4πε 0 r 4πε 0 a + z
2 2
2ε 0 a 2 + z 2


σ R rdr σ  2 2 R
=V
2ε 0 ∫
0
=
a 2 + z 2 2ε 0 
a +z
0
σ  2 2
=V R +z − z
2ε 0  

En el límite cuando | 𝑧| ≫ 𝑅

 1   R 2  
1/ 2
  R 2 
R + z = z 1 +   
2 2
= z 1 +     + .....
 z  
 2  z    
   
Remplazando este valor en el potencial del disco, se tiene

σ  z R2  πσ R 2
V≈  z+ − z=
2ε 0  2z2  4πε 0 z
Q
V≈
4πε 0 z

Determinemos ahora el potencial en el centro del disco
156


σ 
=V
2ε 0 

(R 2
) − z  2σ 
+ z2 =

 ε0 

(R 2
+ 0 ) − 0


σR
V=
2ε 0

Ejemplo 4.9

Una corteza delgada esférica de radio R posee una carga total Q con una densidad superficial uniforme de carga
σ en la superficie. Mediante integraci directa, determine el potencial eléctrico en términos de la distancia r
ón
desde el centro de la corteza.

Solución

Se divide a la distribución en elementos diferenciales de carga en forma de anillos de radio y, espesor ds y carga
dq como se muestra en la figura. Dicho elemento diferencial tiene una carga dq dado por

= σ dA σ (2π y )( Rdθ ) σ (2π Rsenθ )( Rdθ )
dq = =

dq = 2πσ R 2 senθ dθ (a)

El potencial eléctrico producido por el elemento diferencial dq en el punto P situado a una distancia r del centro
del cascarón es

dq 2πσ R 2 senθ dθ
= k= k
dV (b)
S S

Figura 4.7.5. Potencial eléctrico de un cascarón esférico cargado

Antes de proceder a integrar la ecuación (b) es necesario eliminar una de las dos variables S y θ. En este caso las
variables se remplazan en función de S

Aplicando la ley de cosenos en el triángulo OPA

S 2 = R 2 + r 2 − 2 Rr cos θ (c)

Derivando la expresión (e), tenemos

2 SdS = 2rRsenθ dθ

SdS
senθ dθ = (d)
rR
Remplazando la ecuación (d) en (e), se tiene

157


 SdS 
2πσ R 2  
dq
= k= k
dV  rR  k 2πσ R dS
=
S S r (f)

Tomando al potencial en el infinito como cero, el potencial neto debito a la distribución esférica completa es

2π kσ R r + R 2π kσ R 1 (4πσ R 2 )
[ S ]r − R
r+R
=V = =
r ∫r − R dS
r 4πε 0 r
Q
V=
4πε 0 r

El potencial en la superficie de la corteza será.

Q
V= (g)
4πε 0 R 2

El potencial en puntos interiores es

2π kσ R R + r 2π kσ R 1 (2πσ R)
∫R−r dS = 4πε 0 r [ R + r − ( R − r )]
[ S ]R − r
R+r
=V =
r r
1 (4πσ rR ) 1 (4πσ R 2 )
=V =
4πε 0 r 4πε 0 R
Q
V=
4πε 0 R

Esta ecuación indica que el potencial en puntos interiores es constante e igual al potencial en la superficie.

4.8 ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA DE SISTEMAS DE CARGAS.

4.8.1 Energía de dos cargas puntuales.

Consideremos a una carga puntual fija q en el espacio y una carga q0 que se desplaza de A hacia B tal
como se muestra en la figura 4.8.1.

Figura 4.8.1. Energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales.

El trabajo realizado por la fuerza eléctrica sobre la carga q0 al moverse de A hasta B es

158


B r r rB  qq0 
=
WA → B ∫ Fe .ds
=
A ∫rA

 4πε 0 r
e .(drer + rdϕ eϕ )
2 r 
ˆ

ˆ ˆ

qq0 rB dr qq0  1 1 
4πε 0 ∫rA r 2 4πε 0  rA rB 
=
WA → B =  −  (4.32)

Se observa que el trabajo de una fuerza eléctrica es independiente de la trayectoria seguida por lo tanto dicha
fuerza es conservativa y como tal el trabajo puede expresarse como una variación de la energía potencial, esto es

qq  1 1 
∆U =WA→ B = 0  − 
− (4.33)
4πε 0  rB rA 

La energía potencial U cuando la carga de prueba q0 está en cualquier distancia r de q, es

qq0
U= (4.34)
4πε 0 r

La ecuación (4.34) es válida para cualquier combinación de signos. La energía potencial es positiva si las cargas
q y q0 son del mismo signo (figura 4.8.2a) y negativa si tienen signos opuestos (figura 4.8.2.b).

Figura 4.8.2. Gráficas de la energía potencial U en función de r para dos cargas puntuales: (a) q y q0
tienen el mismo signo y (b) q y q0 tienen diferente signo.

La energía potencial siempre se define con respecto a un punto de referencia en el cual U = 0. En la ecuación
(4.34), la energía potencial es nula cuando las cargas q y q0 están separadas una distancia muy grande esto es
r = ∞ . Por lo tanto, U representa el trabajo que el campo eléctrico de la carga q realiza sobre la carga testigo q0
si esta se desplaza desde una distancia inicial r hasta el infinito.

4.8.2 Energía potencial de varias cargas puntuales.

Para determinar la energía potencial de un sistema de cargas puntuales consideremos en primer lugar
que se desea ensamblar un sistema de dos cargas mediante un agente externo, entonces ∆U =Wi → f = i → f .
− W ext
Esto es, el cambio en la energía potencial del sistema es igual trabajo realizado por un agente externo para
ensamblar la configuración. En nuestro caso, las cargas son traídas lentamente desde el infinito, sin aceleración,
esto es, ellas están en reposo al final del proceso. Empezaremos el ensamblaje con dos cargas q1 y q2 para ello
consideremos que la región ¡ está libre de cargas y el campo eléctrico debe ser nulo en todas las partes y
posteriormente traemos una a una a las cargas hasta ubicarlas en las posiciones mostradas. De la figura 4.8.3, se
observa que el trabajo requerido para colocar la primera carga q1 en el punto A es cero (W1 = 0), debido a que en
la región no existe campos eléctricos. El trabajo requerido para colocar la segunda carga q2 en la posición B es
igual al producto de la carga q2 por el potencial en el punto B debido a q1, es decir (W2 = q2VB,1).

159


(a) (b)

Figura 4.8.3. (a) Región del espacio sin cargas; (b) Traslado secuencial de cargas desde el infinito para formar la
configuración mostrada.

Por lo tanto, el trabajo es

WE = 1 + W2 = + q2VB ,1 = 2VB ,1
W 0 q (4.35)

Debido a que el potencial de q1 en el punto B es VB ,1 = ( q1 / 4πε 0 r ) , donde r es la distancia medida desde q1
hasta B. entonces la energía potencial será

q1q2
U= WE
= (4.36)
4πε 0 r
12

Si ahora añadimos una tercera carga al sistema tal como se muestra en la figura 4.8.4, el trabajo requerido es

= q3 (VC ,1 + VC ,2 )
W3 (4.37)

Figura 4.8.3. Traslado secuencial de cargas para ensamblar la configuración de tres cargas.

En este caso el trabajo desarrollado por el agente para ensamblar dicha configuración es

WE = 1 + W2 + W3 = + q2VB ,1 + q3 (VC ,1 + VC ,2 )
W 0 (4.38)

La energía potencial para esta configuración es entones

qq  q1 q2 
U = 1 2 + q3 
WE = +  (4.39)
4πε 0 r12  4πε 0 r13 4πε 0 r23 

q1q2 qq qq
U= + 1 3 + 2 3 = U12 + U13 + U 23 (4.40)
4πε 0 r12 4πε 0 r13 4πε 0 r23

La ecuación muestra que la energía potencial total es simplemente la suma de las contribuciones de distintos
pares. Generalizando para un sistema de N cargas, tenemos.

160


1 N N qi q j
U= ∑∑
4πε 0 = 1 = 1 rij
i j
(4.41)
j >i

Donde la limitación j > 1 se utiliza para evitar la doble contabilidad de cada par. Alternativamente se puede
contar dos veces cada par y dividir el resultado entre dos. Esto conduce a

 
1 N N qi q j 1 N  1 N q j  1 N
= = U ∑∑
8πε 0 = 1 = 1 rij
∑ q= ∑ qiV ( ri )
∑
2= 1  2πε 0 = 1 rij  2= 1
i
(4.42)
i j i  j  i
j ≠i  j ≠i 

Donde V ( ri ) , es el potencial en la localización de qi debido a todas las demás cargas.

Ejemplo 4.10

Consideremos un cuadrado de lado a, con una carga en cada esquina +q y una carga –q en el centro. Determine
la energía electrostática total del sistema de cinco cargas

Solución

En la figura 4.8.4 se muestra la ubicación de las carga

Figura 4.8.4. Ensamblaje del sistema de cinco cargas en un cuadrado.

Imaginemos que las cargas se traen una a una desde el infinito hasta dejarlas en su posición final. Entonces el
trabajo realizado por un agente externo es

U tot = Wneto = W1 + W2 + W3 + W4 + W5
U tot = q2V2,1 + q3 (V3,1 + V3,2 ) + q4 (V4,1 + V4,2 + V4,3 ) + q5 (V5,1 + V5,2 + V5,3 + V5,4 )
0+

Determinando los potenciales y remplazando tenemos

 kq   kq kq   kq kq kq   kq1 kq2 kq3 kq4 
U tot = q2  1  + q3  1 + 2  + q4  1 + 2 + 3  + q5  + + + 
 a   a a 2 a 2 a a  a 2 / 2 a 2 / 2 a 2 / 2 a 2 / 2

2kq 2 2kq 2 2kq 2 8kq 2 4kq 2 6kq 2 4kq 2 3kq 2 2
U tot = + + − = − = −
a a 2 a a 2 a a 2 a a
2
kq
U tot = 2 − 4)
− (3
a
4.8.3 Energía potencial de de una distribución contínua de carga.

161


Si en lugar de una distribución de carga discreta tenemos una distribución contínua de carga, podemos
generalizar la ecuación (4.42), simplemente haciendo que la suma se extienda hasta el infinito en este caso

∑ → ∫ ; qi → d qy V (ri ) → V (r ) . Entonces se tiene

1 1
2∫ 2 ∫∫∫
=U = V (r )dq ρ (r )V (r )dv (4.43)
v v

Donde ρ ( r ) , es la densidad de carga por unidad de volumen; V(r) es el potencial y dv es el diferencial de
volumen.

En el caso de una distribución lineal o superficial de carga, la integral se convierte de acuerdo a la distribución.

Debido a que la integral es sobre la distribución de carga, esta puede ser extendida a todo el espacio mediante la
definición de la densidad de carga nula fuera de la distribución, tal que la contribución a la integral es la debida
solamente a la región del espacio donde existe carga.

1
2 ∫∫∫todoelespacio
U= ρ (r )V (r )dv (4.44)

De la forma diferencial de la ley de Gauss tenemos ∇. �⃗ = 𝜌⁄ 𝜀0, entonces tenemos
�⃗ 𝐸

ε0 r r
2 ∫∫∫
=U (∇.E )V (r )dv (4.45)
todoelespacio

Usando el vector intensidad
r r r r r r r r r r
∇.(VE ) = ∇.E + E.∇V ⇒ V ∇.E = .(VE ) − E.∇V
V ∇
r r r r r2
V ∇.E =.(VE ) − E
∇

Donde se ha remplazado �⃗ = −∇𝑉. Entonces la energía se escribe
𝐸

ε0 r r ε r2
2 ∫∫∫ ∫∫∫
=
U ∇.(VE )dv + 0 E dv (4.47)
todoelespacio 2 todoelespacio

Podemos expandir las fronteras de la superficie S1 a S2 debido a que en la región comprendida entre S1 y S2 no
existe carga y como tal su contribución a la integral de la ecuación (4.43) es nula. Sin embargo, el campo
eléctrico en esta región no es cero. Así si observamos la ecuación (4.47) el volumen se incrementa conforme S2
es mucho mayor.

Entonces podemos tomar la superficie a distancias infinitas donde el campo eléctrico es cero. Como resultado el
primer término de la ecuación (4.47) se desprecia, es decir

ε0 r2
2 ∫∫∫
U= E dv (4.48)
todoelespacio

Figura 4.8.4. La superficie S1 encierra la distribución de carga y la región comprendida entre S1 y S2 no existe
cargas.

162


4.9 CAMPOS ELECTRICOS A PARTIR DE POTENCIALES.

La ecuación 4.13, establece la relación entre el campo eléctrico y la diferencia de potencial mediante la ecuación
B  
− ∫
∆V = E. ds , con esta ecuación se puede determinar la diferencia de potencial si es que se conoce el campo
A
eléctrico. Sin embargo, dicha ecuación también se puede utilizar para determinar el campo eléctrico a partir de
potenciales, para esto consideremos que el punto A es muy cercano a B, de tal manera que la diferencia de
potencial será
r r
dV = − E.ds
Ecuación que nos da el potencial para un desplazamiento 𝑑𝑠 Por otro lado, debido a que el potencial es un
⃗.
(4.49)

campo escalar, entonces depende de las coordenadas, es decir 𝑉 ( 𝑥, 𝑦, 𝑧). En consecuencia si se considera a dV
como el cambio de potencial al pasar de un punto de coordenadas ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) a otro muy cercano ( 𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦 + 𝑑𝑦,
𝑧 + 𝑑𝑧). Entonces se tiene

∂V ∂V ∂V
dV = dx + dy + dz (4.50)
∂x ∂y ∂z
Por otro lado el campo eléctrico y el desplazamiento se escriben
r r r r
E = Ex i + E y j + Ez k
r r r (4.51)
r
ds = dxi + dyj + dzk
Y el producto escalar de ambos es
r r
E.ds = Ex dx + E y dy + Ez dz (4.52)

Al remplazar la ecuación (4.50) y (4.52) en la ecuación (4.49)

∂V ∂V ∂V
dx + dy + dz =dx − E y dy − Ez dz
− Ex
∂x ∂y ∂z
Por lo tanto las componentes del campo eléctrico son

∂V ∂V ∂V
Ex = y = z =
− E − E − (4.53)
∂x ∂y ∂z
Al remplazar estas componentes en el campo eléctrico se tiene

r ∂V r ∂V r ∂V r
E=i −
− j− k
∂x ∂y ∂z
r  ∂ r ∂ r ∂ r
E= i +
− j + k V (4.54)
 ∂x ∂y ∂z 
r r
E = −∇V
Siguiendo la misma secuencia se puede encontrar las componentes radial y transversal, esto es

∂V 1 ∂V
Er = θ =
− ; E − (4.55)
∂r r ∂θ

163


El potencial eléctrico en un punto en el plano xy está dado por 𝑉 = [2𝑥 2 − 3𝑦 2 ] 𝑉𝑜𝑙/𝑚2 . Determine la
Ejemplo 4.11

expresión vectorial del campo eléctrico en el punto (3,0 𝑚, 2,0 𝑚).

Solución

Las componentes del campo eléctrico son

∂V ∂ 2 x2 − 3 y 2 
Ex = = 
− −  =x
−4
∂x ∂x
∂V ∂ 2 x2 − 3 y 2 
Ey = = 
− −  =y
+6
∂y ∂y

La expresión vectorial será
r
E = + Ey ˆ = i + 6 y ˆ
ˆ
Ex i j −4 x ˆ j

El campo en el punto (3 m, 2 m) será
r
E = i + 6(2) ˆ =12i + 12 ˆ)volt / m
−4(3) ˆ j (− ˆ j
Ejemplo 4.12

Un campo eléctrico está dado por la expresión E = bx i , donde b= 2,00 kV/m4. Determine la diferencia de
ˆ 3

potencial entre el punto en x = 1,00 m y el punto x = 2,00 m. ¿Cuál de estos puntos está a un potencial más
alto?.

Solución

Debido a que V(x) y Ex y están relacionados mediante la ecuación E = −∂V / ∂x , se puede encontrar V a partir
de E mediante integración

∂V
Ex = bx 3 = −
∂x
Debido a que el campo solo depende de x, entonces la derivada parcial se convierte en ordinaria y se procede a
separar variables e integrar. Es decir,

dV = −bx 3 dx
B 2m
∫ A
dV = −b ∫
1m
x 3 dx
2m
x4 2.103V / m 4
= ( 24 − 14 ) =
b
VB − VA =
b − − (15 m 4 )
4 1m
4 4
VB − VA =
−7500volt

El punto que está a mayor potencial es A (x = 1 m)

Ejemplo 4.13

El campo eléctrico en el interior de una esfera no conductora de radio R con carga distribuida uniformemente a
través de su volumen, está radialmente dirigido y tiene una magnitud de E (r ) = (kqr / R 3 ) . Donde q (positiva o

164


negativa) es la carga total dentro de la esfera y r es la distancia medida desde el centro de la esfera. (a)
Considerando V= 0 en el centro de la esfera, determine el potencial eléctrico V(r) dentro de la esfera, (b) ¿Cuál
es la diferencia de potencial entre un punto sobre la superficie y el centro de la esfera?. (c) Si q es positiva, cuál
de éstos dos puntos está a un mayor potencial?.

Solución

Parte (a) En este caso debido a que el campo eléctrico solo depende de r, podemos utilizar la ecuación
Er = −∂V / ∂r , entonces se tiene

qr
dV =dr =
− Er − dr
4πε 0 R 3

Teniendo en cuenta que V0 = 0, en r = 0 (punto de referencia, el potencial para cualquier punto r dentro de la
esfera será V(r) se obtiene integrando la ecuación anterior

V (r ) q r
∫V0 = 0
dV = −
4πε 0 R 3 ∫
0
rdr
r
 r2 
q qr 2
V (r ) − 0 =− =−
4πε 0 R 3  2  0
  8πε 0 R 3
qr 2
V (r ) = −
8πε 0 R 3

Parte (b). Usando el resultado de la parte (a), la diferencia de potencial entre un punto en la superficie y el centro
de la esfera es

qR 2  q (0) 2 
V (r ) − V (0) =− −− 
8πε 0 R 3  8πε 0 R 3 
qR 2
V (r ) − V (0) = 3
−
8πε 0 R

Parte (c). Para cuando la carga q es positiva, la respuesta a la parte (b) es un número negativo. Por lo tanto el
centro de la esfera está a un mayor potencial.

Ejemplo 4.14

Una carga q es distribuida uniformemente a través de un volumen esférico de radio R. (a) Asumiendo que V = 0
en el infinito, muestre que el potencial a una distancia r del centro, donde r < R, está dado por
= q (3R 2 − r 2 ) / 8πε 0 R 3 . (b) ¿Porqué este resultado difiere de aquel encontrado en el ejemplo 4.13?. (c) ¿Cuál
V
es la diferencia de potencial entre un punto en la superficie y el centro de la esfera?. (d) ¿Porqué este resultado
difiere de aquel encontrado en el ejemplo previo?.

Solución

Campo para 𝒓 > 𝑅. Aplicado la ley de Gauss tenemos
Parte (a) Se determina primero el campo en el exterior e interior de la esfera:

r r
∫∫
ε 0 Ò E.ndA = ε 0 E (4π r 2 ) =
S ,G
Qenc ⇒ q

q
E=
4πε 0 r 2

165


Superficies gaussianas para r > R y para r < R, utilizadas para determinar �⃗
𝑬

Campo para 𝒓 < 𝑅. Aplicado la ley de Gauss tenemos
Figura 4.9.1

r r
∫∫
ε 0 Ò E.ndA = Qenc
S ,G

r r 4
ε 0 E (4π r 2 )
= ∫= ρ ∫ 4=
0
ρ dV π r 2 dr
0 3
πρ r 3

Teniendo en cuenta que ρ = 3q / 4π r 3 , se tiene

 
4  q  3
ε 0 E ( 4π r ) = π 
2
r
3  4 π R3 
3 
qr
E=
4πε 0 R 3

Potencial para puntos exteriores (r > R). Debido a que el campo solo depende de r, se usa la ecuación

q
dV =dr = 2 dr
− Er −
4πε 0 r
r
V (r ) q dr
r q  1 q  1 1
= 0
V∞ ∫ dV =−
4πε 0 ∫∞ r 2 ⇒ V (r ) − 0 = 4πε 0
−  − r  = πε  − r + ∞ 
 ∞ 4 0  
q
V (r ) =
4πε 0 r

Potencial para puntos interiores (r < R). Debido a que el campo solo depende de r, se usa la ecuación

Figura 4.9.2 Determinación de la diferencia de potencial para puntos interiores

qr
dV =dr =
− Er − dr
4πε 0 R 3

V (r ) q r
∫V (R)
dV = −
4πε 0 R 3 ∫
R
rdr

166


r
q  r2  q  r 2 R2 
V (r ) − V ( R) = 3   = 3  − 
− −
4πε 0 R  2  R 4πε 0 R  2 2 
q  r 2 R2  q q
V (r ) = V ( R) −  2 2
 2 − 2  = 4πε R + 8πε R 3  R − r 
4πε 0   0 0

q (3R − r )
2 2
V (r ) =
8πε 0 R 3

Parte (b). La diferencia entre este resultado y aquel obtenido en el ejemplo previo es debido a los diferentes
puntos de referencia utilizados. Aquí no existe problema alguno ya que solamente las diferencias de potencial
tienen importancia física.

Parte (c). Las diferencias de potencial entre un punto en la superficie y el centro, es

q q (3R 2 − 02 ) q 3q
V ( R) − V (0)= − = −
4πε 0 R 8πε 0 R 3
4πε 0 R 8πε 0 R
q
V ( R) − V (0) =
−
8πε 0 R

El resultado es el mismo que aquel obtenido en el ejemplo anterior

Parte (d). Las diferencias en el potencial eléctrico no dependen en realidad del punto de referencia escogido, la
respuesta podría ser la misma que el ejemplo anterior…. Si el potencial es calculado correctamente.

4.10 SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES.

Consideremos una carga puntual +q fija en la posición mostrada en la figura 4.10.1a, cuyas líneas de campo
eléctrico son radiales y salientes. Procedamos a determinar la diferencia de potencial entre dos puntos A y B
ubicados sobre la circunferencia de radio r

(a) (b)

Figura 4.10.1. Cuando se mueve q0 de A a B a lo largo de la circunferencia la diferencia de potencial entre estos
puntos es nula.

El trabajo hecho por el campo eléctrico cuando se mueve la caga testigo desde A hasta B, es
r r B r r B
=
WA → B ∫=
F .dse q0 ∫ = q0 ∫ E cos 900 ds
A
E.ds
A

WA → B = 0

167


La variación de energía potencial desde A hasta B será

∆U =WA→ B =
− 0

Sabemos además que la variación de potencial (diferencia de potencial es la variación de energía potencial por
unidad de carga. Por tanto se tiene

∆U 0
∆V = VB − VA = = = 0
q0 q0

VB = VA (4.56)

La ecuación (4.56) indica que la diferencia de potencial entre dos puntos que están sobre una circunferencia
concéntrica a la carga +q es cero; es decir los puntos A y B están al mismo potencial. Por lo tanto, todos los
puntos sobre esta circunferencia se encuentran al mismo potencial. Es a esta circunferencia que se le denomina
línea equipotencial. En general, cuando no se realiza trabajo para mover una carga de prueba lentamente de un
lugar a otro sobre una superficie como lo es la trayectoria I de la figura 4.10.1b, se dice que todos los puntos de
dicha superficie están al mismo potencial y a una superficie como esta se denomina superficie equipotencial.

En la figura 4.10.2a se muestra las líneas equipotenciales de una carga puntual y en la figura 4.10.2b se
muestran dos superficies equipotenciales para una carga puntual +q.

(a) (b)

Figura 4.10.2. (a) Líneas equipotenciales y líneas de fuerza para una carga puntual q. (b) superficies equipotenciales
para la carga q.

En la figura 4.10.3a se muestra las líneas equipotenciales (líneas de color verde) en la región comprendida entre
dos placas cargadas con cargas iguales y de signos opuestos y en la figura 4.10.2b se muestran dos superficies
equipotenciales para la misma configuración

(a) (b)

Figura 4.10.3. (a) Líneas equipotenciales y líneas de fuerza para dos planos paralelos cargados. (b) superficies
equipotenciales para la distribución de planos paralelos

168


En la figura 4.10.4a se muestra las líneas equipotenciales (líneas de color naranja) en la región comprendida
entre dos cargas puntuales de igual valor pero diferente signo (dipolo) y en la figura 4.10.4b se muestran dos
superficies equipotenciales dos cargas puntuales de igual valor y signo.

Las propiedades de las superficies equipotenciales pueden resumirse como sigue.

a. Las líneas de campo eléctrico son perpendiculares a las equipotenciales
b. Por simetría, las superficies equipotenciales producidas por cargas puntuales son una familia de esferas
concéntricas, y para campos eléctricos uniformes, una familia de planos perpendiculares a las líneas de
campo.
c. La componente tangencial del campo eléctrico a lo largo de la superficie equipotencial es cero, por otra
parte ningún trabajo puede hacerse para mover una carga de un punto a otro en una superficie.

(a) (b)

Figura 4.10.1. (a) Superficies equipotenciales y líneas de fuerza para un dipolo. (b) superficies
equipotenciales y líneas de campo para dos cargas iguales

tienen una misma elevación. Cada línea de contorno matemáticamente se expresa como 𝑧 = 𝑓 ( 𝑥, 𝑦) =
Un uso análogo a las curvas equipotenciales son los mapas topográficos (figura 4.10.5) utilizados por los

𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. Debido a que el potencial gravitacional cerca a la superficie terrestre es 𝑉𝑔 = 𝑔𝑧, estas curvas
alpinistas y excursionistas. En un mapa topográfico se trazan curvas de nivel que pasan por los puntos que

corresponden a equipotenciales gravitacionales.

Figura 4.10.5. Mapas topográficos de un volcán

169


4.11 EQUIPOTENCIALES Y CONDUCTORES.

En el capítulo anterior, usando la ley de Gauss se demostró que cuando se alcanza el equilibrio electrostático
permanente, una carga adicional que se coloque en un conductor aislado se moverá a la superficie exterior.
Podemos asegurar que la carga q se distribuirá en esta superficie de tal manera que todos los puntos del
conductor, incluyendo los de la superficie y los interiores tienen el mismo potencial. Por lo tanto, el campo

eléctrico E es siempre perpendicular a la superficie del conductor (figura 4.11.1).
Por otro lado, si un conductor contiene una cavidad y no existe carga en el interior de ésta, entonces no puede
haber carga neta en ninguna parte de la superficie de la cavidad. Esto significa que si una persona está en el
interior de una caja conductora con carga (figura 4.11.1b), puede tocar sin peligro alguno cualquier punto de las
paredes interiores a la caja sin sufrir descarga. ¡Demuestre este teorema!

Figura 4.10.1. (a) En equilibrio electrostático las líneas de campo son perpendiculares a las superficies
equipotenciales. (b) Un hombre en el interior al tocar la caja metálica no experimenta descarga a
pesar que en la parte exterior existe una descarga intensa.

Finalmente, establecemos que la distribución de carga en un conductor es proporcional al inverso del radio de
curvatura del conductor, esto es

1
σ∝ (4.57)
R
Donde σ es la densidad de carga superficial y R el radio de curvatura de la superficie en el punto en cuestión. Es

consiguiente, es proporcional a (1/R). Por tanto �⃗ puede alcanzar valores muy elevados cerca de las puntas
decir, la carga tiende a acumularse en las partes más aguzadas del conductor, en donde el radio de curvatura es

𝐸
pequeño. Por otro lado, debido a que el campo eléctrico es proporcional a la densidad de carga σ y por

aguzadas. Este hecho es utilizado en el diseño de dispositivos de alto voltaje. Puede además ocurrir una descarga
corona en estos objetos si su potencial es muy alto.

Podemos entender este efecto considerando un conductor de forma no esférica (figura 4.10.2b), la superficie de
este será equipotencial, pero la densidad de carga y el campo justamente fuera del conductor varían de un punto

radio de curvatura mayor. Por tanto, si 𝜎 es la densidad de carga, entonces el potencial será
a otro. Así por ejemplo en A la densidad de carga y el campo serán grandes mientras que en B estas cantidades
son mucho menores. Esto se entiende cualitativamente asumiendo que el extremo A es esférico y B tiene un

1 q
V= (4.58)
4πε 0 r

170


(a) (b)

Figura 4.10.2 (a) En el conductor de forma arbitraria las cargas se concentran en aquella zona donde el radio de

Pero la densidad de carga está relacionada con el radio y la carga mediante 𝑞 = 4𝜋𝑟 2 𝜎. Entonces al remplazar
curvatura es menor, (b) El campo es más intenso en las zonas de menor radio de curvatura

este valor en el potencial se tiene

1 4π r 2σ σ r
=V =
4πε 0 r ε0

ε 0V
σ= (4.59)
r

carga. Y como el campo está dado por 𝐸 = , el campo es mucho mayor en los puntos sobre el conductor donde
𝜎
Debido a que ambas “esferas” está al mismo potencial, la de menor radio tendrá mayor densidad superficial de
𝜀0
el radio de curvatura es mínimo (véase la figura 4.10.2b).

Ejemplo 4.15

¿Cuáles son (a) la carga y (b) la densidad de carga sobre la superficie de un conductor de forma esférica de radio
R = 20 cm el cual posee un potencial de 500 V (con V = 0 en el infinito)?

Solución.

Parte a. Para determinar la carga en la superficie del conductor primero se determina el campo eléctrico fuera
del conducto, posteriormente se determina el potencial en puntos exteriores r > R y después el potencial en la
superficie de dicho conductor.

Campo para r > R. La figura 4.10.3 se muestra el conductor rodeada por la superficie gaussiana de radio r >R.

Figura 4.10.3 Superficie gaussiana para determinar E en puntos exteriores al conductor

Aplicando la ley de Gauss se tiene

171


r r
∫∫
ε 0 Ò E.ndA = ε 0 E (4π r 2 ) =
S ,G
Qenc ⇒ q

q
E=
4πε 0 r 2

Potencial para r > R. Debido a que el campo eléctrico solo depende de r y teniendo en cuenta que 𝑉(∞) = 0, se
tiene

q
dV =dr = 2 dr
− Er −
4πε 0 r
V (r ) q r dr
= 0
V∞ ∫ dV = −
4πε 0 ∫
∞ r2
r
q  1 q  1 1
V (r ) − 0 =−  − r  = πε − r + ∞ 
4πε 0   ∞ 4 0  
q
V (r ) =
4πε 0 r

El potencial en la superficie del conductor será

q
VR =
4πε 0 R

Entonces la carga en la superficie será

q
VR =
4πε 0 R
= 4= 4π (8,85.10−12 C 2 / N .m 2 )(0, 20m)(500V )
q πε 0 RVR
q = 11,12nC
Parte (b) La densidad de carga en la superficie es

q q 11,12nC
σ
= = =
A 4π R 2
4π (0, 2m) 2
σ = 5, 6nC / m 2

El potencial eléctrico de una placa metálica aislada muy grande es 𝑉0 . Ésta lleva una distribución de carga
Ejemplo 4.16

uniforme sobre su superficie con una densidad σ (C/m2). Determine el potencial V a una distancia x de la placa.
Considere que el punto x está lejos de los bordes y asumir que x es mucho menor que las dimensiones de las
placas.

Solución

En la figura se muestra la placa cargada positivamente.

172


Figura 4.10.3 Aplicación de la ley de Gauss a un plano conductor cargado

Aplicando la ley de Gauss a la superficie en forma de paralelepípedo y teniendo en cuenta que el flujo en una de
las caras es nulo por estás en el conductor, además en las otras caras paralelas al campo electico tampoco existe
flujo y sólo hay flujo en la cara situada a una distancia x del plano, se tiene:

r r Qenc r r Qenc
Ò E.ndA =∫ ( E i ).(dAi ) =
∫∫ ε
⇒
0 ε x
0
S ,G

σA σ
Ex A = ⇒ Ex =
ε0 ε0

El potencial a una distancia x se obtiene a partir de la ecuación 𝐸 𝑥 = − 𝑑𝑉, esto es
𝑑𝑥

σ
dV =dx = dx
− Ex −
ε0
V σ x σ
∫ V0
dV =−
ε0 ∫0
dx ⇒ V − V0 =−
ε0
x

σ
V V0 −
= x
ε0

173


entre ellas es de 10 cm, la velocidad de la partícula 𝑚1
PROBLEMAS RESUELTOS entonces soltadas. Debido a la repulsión electrostática
las partículas se separan, y cuando dicha separación
Problema 01
es 125 m/s. Encuentre la separación inicial entre las
Una lámina no conductora infinita tiene una densidad partículas.
de carga σ = 25nC / m 2 sobre un lado. ¿Qué distancia
se encuentran separadas dos superficies equipotenciales Solución
cuyos potenciales difieren en 25 V.
La fuerza que actúa sobre las dos partículas es la fuerza
Solución. eléctrica y ésta es conservativa. Por lo tanto, la energía
total (cinética más potencial eléctrica) se conserva
En la figura se muestra la lámina y las dos superficies cuando las partículas se separan. En suma, la fuerza
equipotenciales externa neta que actúa sobre el sistema de dos partículas
es nula (las fuerzas eléctricas que se ejercen las
partículas entre sí son fuerzas internas). Así el momento
lineal del sistema también se conserva. Entonces
podemos utilizar la conservación de la energía y la
conservación del momento lineal para encontrar la
separación inicial.

Aplicando la conservación de energía se tiene

Ei = E f
1 1 kq q 1 1 kq q
m1v1,i + m2 v2,i + 1 2 =
2 2
m1v1, f + m2 v2, f + 1 2
2 2

2 2 ri 2 2 r2
1
𝑟1
Despreciando el efecto de los bordes y considerando
que la intensidad del campo eléctrico para un plano Resolviendo esta ecuación para determinar y teniendo

infinito es uniforme y esta dado por E = (σ / 2ε 0 )i .
ˆ en cuenta que v1,i = v2,i = 0, se tiene
Entonces la diferencia de potencial será
1 1 1 1 1 2 
= m1v1, f + m2 v2, f  (a)
+ 2
2

r r  σ r r ri rf kq1q2  2 
dV = =
− E.ds  − i  .(dxi )
 2ε 0  Aplicando la conservación del momento lineal para
encontrar la relación entre las velocidades finales se
B σ xB
∫ ∫
tiene
dV = − dx
2ε 0
( pi )sistema = ( p f )sistema
A xA

σ σ
∆V =B − VA =
V − ( xB − x A ) =− ∆x m1v1,i + m2 v2,i = m1v1, f + m2 v2, f
2ε 0 2ε 0
σ = m1v1, f + m2 v2, f
0
VA − VB = ∆x
2ε 0 m 3.10−3 kg
v2, f =1, f =−3 (125m / s )
− 1v −
Entonces la separación entre las equipotenciales es
m2 6.10 kg

2ε 0 (VA − VB ) 2(8,85.10−12 C 2 / Nm 2 )(25V ) v2, f = −62,5m / s (b)
=∆x =
σ 25.10−9 C / m 2
Remplazando (b) en (a) y simplificando se tiene
∆x = 7.10−3 m
17,
1 2
 2 ( 3.10 ) (125 ) + 2 ( 3.10 ) ( −62,5 ) 
1 1 1 −3 1 −3
= +
2

ri 0,1 9.109 ( 8.10−6 )2  

Problema 02
-3
r1 = 1, 41.10−2 m
Una partícula tiene una masa de m1 = 3.10 kg y una
carga q1 =8,0 μC. Una segunda partícula tiene una masa
de m2 = 6.10-3 kg y la misma carga. Las dos partículas
están inicialmente en reposo separadas cierta distancia y

174


Problema 03

El potencial eléctrico en la superficie de una esfera
uniformemente cargada es 450 V. En un punto fuera de
la esfera a una distancia radial de 20 cm desde su
superficie, el potencial eléctrico es 150 V. Asumiendo
que el potencial para puntos muy alejados de la esfera
es cero. ¿Cuál es el radio de la esfera, y cuál es la carga
de la esfera?.

Solución

Sea R el radio de la esfera y Q su carga. Podemos El cambio en la energía potencial eléctrica está dado por
expresar el potencial de las dos ubicaciones dadas y
resolver las ecuaciones simultáneamente para ∞ r r ∞  kq r r
determinar R y Q ∆U =qP ∫ E.ds =qP ∫  2P
− − i  .(dri )
R R
 r 
El potencial en la superficie de la esfera es ∞
∞ dr  1
∆U =kqP ∫
− 2 =kqP  − 
−
kQ  r R
2
=
VR = 450V (a)
R r
R 2
qP 9.109 N .m 2 / C 2 (1, 6.10−19 C ) 2
∆U =− =−
El potencial a una distancia de 20 cm de la superficie 4πε 0 R 0,1.10−9
será
∆U =2,3.10−18 J
−
kQ kQ
=
Vr = = 150V (b) Note que ∆U = U (∞) − U (r ) . Es habitual considerar
R R + 0, 20 m U (∞) = de tal manera que podemos decir que la
0
energía potencial de los protones fue
Dividiendo las dos ecuaciones anteriores se tiene −18
U ( R) = 2,3.10 J . Estos protones originalmente
kQ tienen una alta energía potencial por ello ellos tienden a
separarse cuando se les da la oportunidad.
R 450V
=
kQ 150V
R + 0, 20 m

Una gota esférica de agua lleva una carga de 30 𝑝𝐶
Problema 05
R = 10cm
Al remplazar este valor en (a) se tiene tiene un potencial de 500 V en su superficie (con V = 0
en el infinito). (a) ¿Cuál es el radio de la gota?. Si dos
450V (0,10m) gotas con la misma carga y radios iguales se combinan
=Q = 5nC para formar una sola gota, ¿Cuál el potencial de la
9.109 N .m 2 / C 2
superficie de la nueva gota?.
Problema 04
Solución
Encuentre el cambio en la energía potencial eléctrica
(a) Consideremos a la gota como un conductor, de
cuando dos protones inicialmente separados 0,100 nm
tal manera que el potencial está dado por
se apartan hasta estar completamente separados.

Solución kQ kQ 9.109 (30.10−12 )
V= ⇒ R= =
Asumimos que un protón esta fijo y el otro se va a R V 500
mover en el campo del primer protón R = 54mm
(b) Cuando se combinan dos gotas, la gota nueva
tiene otro radio, el mismo que se determina a
partir de la conservación de la masa

175


M = 2m0 La diferencia de potencial entre los puntos P y O se
determina integrando la ecuación anterior, es decir
4  4 
ρ  π R13  = 2 ρ  π R 3 
3  3  Vo 2 2σ z =a zdz
= R 2 54 2 76,37 mm
R1 = =
∫
VP
dV =
4πε 0 ∫
z =0
z 2 + (a − z ) 2
σa  a 2 +a 
El potencial de la nueva gota será VO − VP = ln  
M = 2m0 2ε 0  a 2 − a 
 
4  4 
ρ  π R13  = 2 ρ  π R 3  Problema 07
3  3 
El potencial eléctrico (V) como una función de la
R1 = R(2 )
1/ 3
distancia es graficado en la figura. Determine la
kQ1 k (2q ) 2 magnitud del campo eléctrico en las regiones (a) A a B;
=
V1 = = V0 (b) B a C y (c) C a D.
R1 R(2 ) (21/ 3 )
1/ 3

2
V1 = (500V )
(21/ 3 )
V1 = 793, 7V

Problema 06

radio a y altura a, el cual lleva una densidad de carga σ
Encuentre la diferencia de potencial entre la parte
superior (P) y el centro de la base (O) de un cono de

sobre el área lateral.

Solución

El campo eléctrico entre puntos en el espacio es
proporcional a la diferencia de potencial entre puntos
dividida por la distancia entre ellos. Esto es

∆V
E= −
∆x
Parte (a). Campo entre A y B
Solución
∆V 5, 0V − 5V
Debido a la geometría el ángulo del cono es 45°. Para E1 = =
− − = /m
−0V
encontrar el potencial primero dividamos a la superficie ∆x 0, 2m − 0, 0m
lateral en rebanadas de radio x a una profundidad z
(desde el vértice del cono). Por ser el ángulo de 45° el Parte (b). Campo entre B y C
radio x es igual a la altura z. La longitud del elemento
diferencial a lo largo de la pendiente es dS = 2dz y ∆V 3, 0V − 5, 0V
E2 = =
− − = /m
10V
el area del pequeño elemento diferencial es ∆x 0, 4m − 0, 2m
dA = 2π z ( 2dz ) . Por lo tanto la contribución del
elemento diferencial al potencial es Parte (b). Campo entre B y C

∆V 1, 0V − 3, 0V
kσ (2 2π zdz ) E3 = =
− − =/ m
5V
dV = ∆x 0,8m − 0, 4m
z 2 + (a − z ) 2

176


Problema 08 Parte (b). Debido a que la parte (a) es un caso particular
de (b) entonces comenzamos con la última para ello
Un campo eléctrico uniforme de magnitud 325 V/m está dividimos a la distribución en elementos de carga dq de
dirigido en dirección negativa de las y como se muestra longitud ds, entonces el potencial será
en la figura. Las coordenadas del punto A son
(- 0,2 m; -0,3 m) y las coordenadas del punto B es dq (λ )ds (λ )ds
(- 0,4 m; -0,5 m). Determine la diferencia de potencial: = k= k +r + k −r
dV r
(a) utilizando la trayectoria ACB, (b) utilizando la r r r
trayectoria recta AB y (c) ¿Cuál punto está a mayor (λ+ R)dθ (λ− R)dθ
potencial?. = k
dV +k
R +z2 2
R2 + z 2

Solución

Parte (a) Diferencia de potencial para el trayecto ACB

B C r r B r r

A ∫
dV =ds − ∫ E.ds
− ∫ E.
A C El campo total se obtiene integrando la ecuación
C r r B r r anterior, esto es
VB − VA = (− Ej ).( dsj ) − ∫ (− Ej ).( dsi )
−∫
A C
λ+ R π /2 λ− R 2π
VB − VA = ( sC − s A ) − 0
+E =V
4πε 0 R 2 + z 2
∫0
dθ +
4πε 0 R 2 + z 2
∫π /2
dθ
= (325= 260V
VB − VA N / C )(0,8m)
π  π
λ+ R( ) λ− R  2π − 
Parte (b) Diferencia de potencial para el trayecto AB
=V 2 +  2
B r r B 4πε 0 R 2 + z 2 4πε 0 R 2 + z 2
∫A dV = − ∫ E.ds
A λ+ R π λ− R  3π 
= ( )+
2  2 
B r r r V
−∫
VB − VA = (− Ej ).( dxi + dyj ) 4πε 0 R + z 2 4πε 0 R + z  
2 2 2
A
B  +Q   −6Q 
VB − VA E ∫ dy E ( yB − y A )
= =  R π  R
 3π 
A
=  2π R / 4  ( ) +  6π R / 4 
V  
= (325= 260V
VB − VA N / C )(0,8m) 4πε 0 R 2 + z 2 2 4πε 0 R 2 + z 2  2 
+Q 6Q
V= −
4πε 0 R 2 + z 2 4πε 0 R 2 + z 2
Problema 09
5Q
Con una barra plástico se ha formado un aro de radio R. V= −
Éste tiene una carga +Q distribuida uniformemente a lo 4πε 0 R 2 + z 2
largo de un cuarto de circunferencia y una carga
negativa -6Q ha sido distribuida a lo largo del resto del
Parte (a). El potencial en el centro del anillo será
anillo. Considerando a V = 0 en el infinito, determine el
potencial eléctrico: (a) en el centro del anillo y (b) en
5Q 5Q
un punto O, el cual está sobre el eje del anillo a una V= =
− −
distancia z del centro. 4πε 0 R + z
2 2
4πε 0 R 2 + 02
Solución 5Q
Vo = −
4πε 0 R
177


Problema 10 Problema 11

superficial dada por 𝜎 = 𝜎0 𝑅⁄ 𝑟 . Donde 𝜎0 es una
sobre las dos placas extremas son ±𝜎 como se muestra
Un disco de radio R tiene una densidad de carga Las tres placas conductoras mostradas en la figura está,
cada una separadas por una distancia b. Si las cargas
constante y r es la distancia desde el centro del disco.
Encuentre: (a) la carga total sobre el disco. (b) una en la figura. Determine la diferencia de potencial entre
expresión para el potencial eléctrico a una distancia x las placas extremas
desde el centro del disco sobre el eje que pase a través
del centro del disco y es perpendicular a su plano.

Solución

Podemos encontrar Q mediante integración de la carga
sobre un anillo de radio r y espesor dr desde r = 0 hasta
r = R y el potencial en el eje del disco mediante
integración de la expresión del potencial en el eje de un
anillo de carga entre los mismos límites.

Solución

se inducen cargas – 𝜎 en el lado B y +𝜎 en el lado C.
Debido a que las placas son conductoras en la placa CD

Parte (a). La expresión para la carga de un anillo de
radio r y espesor dr está dada por

σ0R
= σ dA σ (2π rdr )
dq = = (2π rdr )

�⃗ entre las láminas AB y CD, esto es
𝐸
r Además usando la ley de Gauss se determina el campo
dq = 2πσ 0 Rdr

La carga total del anillo se obtiene integrando la r r Qenc
expresión anterior, esto es ∫∫
Ò E.ndA =
SG
ε0
σA σ
R
=
Q ∫=
dq 2πσ 0 R ∫ dr
0 E ( A )= ⇒ E=
ε0 ε0
Q = 2πσ 0 R 2
La diferencia de potencial entre A y B es
El potencial producido por dq en el punto P es
B B r r B r r
dq
= k= k
dV r
2πσ 0 Rdr ∫A
− ∫ E.ds − ∫ ( Ei
dV = = ).( dxi )
A A
r r 2 + x2 σ σ (1)
VB − VA = ( xB − x A ) = d
− −
El potencial neto en P se obtiene integrando la ecuación
ε0 ε0
anterior
La diferencia de potencial entre C y D es
σ0R  R + R + x 2 2
V= ln  
2ε 0   x 


178


D D r r D r r
∫ C
− ∫ E.ds − ∫ ( Ei
dV = = ).( dxi )
C C

σ σ
VD − VC = ( xD − xC ) = d
− −
ε0 ε0

al mismo potencial por tanto 𝑉 𝐶 = 𝑉 𝐵 . Entonces se tiene
Debido a que la placa central es conductora, el campo
en su interior es cero y como tal todos los puntos están

σ Aplicando las ecuaciones de equilibrio según los ejes
VD − VB = d
− (2)
ε0 mostrados se tiene

Sumando las ecuaciones se tiene ∑F x = 300 =
0 ⇒ T cos mg

σ σ mg
VD − VA = d −
− d T= (b)
ε0 ε0 cos 300
2σ
VD − VA = d
−
ε0 ∑F x = ⇒ qE = 300
0 Tsen (c)

Problema 12 Remplazando (b) en (c) se tiene

separadas 5 cm. La carga en la esfera es 5,8 μC. ¿Qué
Una pequeña esfera de 3,2 g de masa cuelga de un hilo qE = mgtg 300 (d)
de seda entre dos placas conductoras paralelas verticales
Remplazando la ecuación (a) en (d), resulta
diferencia de potencial entre las placas hará que el hilo
forme un ángulo de θ = 30° con la vertical.
 ∆V 
 = mgtg 30
0
q
 d 
mgdtg 300 3, 2,10−3 (9,8)(5.10−2 )tg 300
=
∆V =
q 5,8.10−6
∆V = V
156
Problema 13

Se tiene dos anillos finos de alambre de radio R, cuyos
ejes coinciden. Sus cargas son iguales a q y –q.
Determine la diferencia de potencial entre sus centros,
Solución siendo la distancia entre ellos igual a d.
Debido a que la carga +q se desvía hacia la derecha, Solución
entonces el campo electico entre las placas debe estar
dirigido hacia la derecha, por ello la placa izquierda es En la figura se muestra a ambos anillos
positiva y la derecha negativa. Entonces la diferencia de
potencial será

B B r r B r r
∫ A
− ∫ E.ds − ∫ ( Ei
dV = = ).( dxi )
A A

VB − VA =
− Ed

VA − VB =
+ Ed (a)

En la figura Se muestra el DCL de la carga, sobre ella
actúan el Peso (mg); la tensión en el hilo (T) y la fuerza
eléctrica debido al campo ( Fe = qE ). En el ejemplo se demostró que el potencial para un
anillo en puntos sobre su eje es

179


kq r r Qenc λL
V= Ò E.ndA = ⇒ E ( 2π rL ) =
∫∫ ε ε
R2 + z 2 S ,G 0 0

λ
El potencial en el punto O’ es la suma de los potenciales E=
2πε 0 r
del anillo +q y del anillo –q. es decir
Como el campo solo depende de la distancia r al
= V+ q ,O ' + V− q ,O '
VO ' alambre, la diferencia de potencial entre los puntos A y
kq kq B será
=VO ' −
R +z
2 2 R λ
dV = =
− Edr − dr
El potencial en el punto O es la suma de los potenciales 2πε 0 r
del anillo +q y del anillo –q. es decir B λ rB dr
∫ dV = −
2πε 0 ∫ r
= V+ q ,O + V− q ,O
A rA
VO

kq kq λ r  λ ηr 
=
VO − VB − VA =
− ln  B  =
− ln  A 
R R2 + z 2 2πε 0  rA  2πε 0  rA 

λ
VA − VB = ln (η )
La diferencia de potencial entre sus centros será.
2πε 0
 kq kq   kq kq 
VO '= 
− VO − − − 
 R +z R R R2 + z 2 
2 2
Remplazando valores se tiene
2kq 2q
VO =
' − VO = 0, 40.10−6 C
R +z
2 2
4πε 0 R 2 + z 2 VA − VB = ln 2
2π (8,85.10−12 C 2 / N .m 2 )
q
VO ' − VO = VA − VB = kV
5, 0
2πε 0 R 2 + z 2

Problema 14
Problema 15
Se tiene un hilo recto y muy largo, cargado con una
densidad lineal de carga λ = 0, 40 µ C / m . Determine la

superficial de carga σ
Halle el potencial eléctrico en el centro de una
diferencia de potencial en los puntos A y B si el punto semiesfera de radio R, cargada con una densidad
B dista η = 2, 0 veces más del hilo, que el A.

Solución Solución

espesor 𝑑𝑠 = 𝑅𝑑𝜃 como se muestra en la figura
En la figura se muestra el hilo recto y muy largo Para determinar el potencial de la distribución de carga
conjuntamente con una superficie gaussiana cilíndrica en O, se divide a ésta en anillos de radio y con un
que permite evaluar el campo producido por el hilo

180


referencia 𝑟 = 𝑎.
El potencial del elemento diferencial será Donde el potencial cero se considera en un punto de

dq σ (2π yds ) σ ( R cos θ )( Rdθ )
=
dV = = El potencial debido al alambre que transporta una
4πε 0 R 4πε 0 R 2ε 0 R densidad +λ, será
σR
dV = cos θ dθ
2ε 0 a
V+ = 2k λ ln  
 r+ 
El potencial neto en el punto O se obtiene integrando la
expresión anterior El potencial debido al alambre que transporta una
densidad -λ, será
σ R π /2 σR
∫0 cos θ dθ 2ε 0 [ senθ ]0
π /2
=V =
2ε 0 a
V− = −2k λ ln  
σR  r− 
V=
2ε 0
El potencial total en el punto P será
Problema 16
a  a
uniformemente hasta la densidad lineal λ y – λ.
Dos hilos finos y paralelos que distan l se cargan V = V+ + V− = 2k λ ln   − 2k λ ln  
 r+   r− 

bajo un ángulo θ al vector p como se muestra en la
Determine el potencial eléctrico a la distancia r >> l
  r 
V = 2k λ [ − ln r+ + ln r− ] = 2k λ ln  − 
figura.   r+ 
Haciendo uso de la ley de cosenos se tiene
2
l l
r+2 = +   − 2r   cos θ
r2
2 2
2
l l
r = +   + 2r   cos θ
−
2
r 2

2 2
El potencial se escribe ahora en la forma
Solución.
 2 
 r +   + 2r   cos θ
l l
En la figura se muestra el punto P donde se halla V 2
  
 2 2 
V = 2k λ ln  
2
 r 2 +  l  − 2r  l  cos θ 
     
 2 2 

 l2 l  
1/ 2

 1 + 2 + cos θ  
V = 2k λ ln    
4r r
 1/ 2 

 1+ l 2
l  
− cos θ 
  4r 2 r
    

≈ 0, se tiene
𝑙2
4𝑟 2
En el problema N° 10 se ha demostrado que el potencial Teniendo en cuenta que para r >> l,
para un alambre infinito está dado por
  l 
1/ 2
 l  
1/ 2
r V ≈ 2k λ ln 1 + cos θ  − ln 1 − cos θ  
V = −2k λ ln  
a   r
   r   

181


  l   l  V = V+ + V− =
kq
−
kq
V ≈ k λ ln 1 + cos θ  − ln 1 − cos θ  
  r   r 
2 2
 l  l
x−  +R x+  +R
2 2

 2  2
z 2 z3
Usando la relación ln(1 + z ) =z − + + ..........
2 3  2 l2 
1/ 2
 l2  
1/ 2

  x + R 2 + xl +  −  x 2 + R 2 − xl +  
V = kq  
4  4 
2
 l  l l   2 1/ 2 2 1/ 2 
ln 1 + cos θ  = cos θ −  cos θ  + .....   x 2 + R 2 + xl + l   x 2 + R 2 − xl + l  

  
 r  r r   
 4  4  
 l  l
ln 1 + cos θ  ≈ cos θ 
 1 + 2
lx
+
l2 
1/ 2

− 1 − 2
lx
+
l2  
1/ 2


 r  r V=
kQ x + R   x + R 4( x + R ) 
2 2 2 2 2 
 x + R 4( x + R  
2 2 2 

x +R
2 2  1/ 2 1/ 2 
 1 + lx +    
2 2
l lx l
Remplazando este desarrollo en la ecuación para el  2  1 − 2 + 2 
  x + R 4( x + R )   x + R 4( x + R )  
2 2 2 2 2

potencial total se tiene.

l l  2k λ l l2
V ≈ k λ  cos θ + cos θ  = θ cos Si R >>l, entonces entonces se tiene
r r  r 4( x 2 + R 2 )
λl
V≈ cos θ 
2πε 0 r lx  
1/ 2 1/ 2
lx  
 1 + 2  − 1 − 2  
kQ( x + R )   x + R 2 
2 2
 x +R  
2
V≈ 2
Problema 17 (x + R ) 
2 3/ 2
 lx 
1/ 2

 1 − ( 2 )2  
Dos anillos coaxiales finos de alambre de radios R cada   x +R  2

uno se encuentran a una pequeña distancia l uno de otro
(l << R) y tienen cargas +q y – q. Determine el Usando el binomio de newton tenemos
potencial eléctrico en el eje del sistema como función
de la coordenada x (véase la figura).  1 lx   1 lx 
 1+ ( ) + ...  − 1 − ( 2 ) + ...  
kQ( x 2 + R 2 )   2 x 2 + R 2
   2 x + R2 
V≈ 2
( x + R 2 )3/ 2   lx 2
1/ 2

 1 − ( 2 )  
  x +R  2


Simplificando resulta

1 lx 1 lx 
 ( 2 )+ ( 2 )
kQ ( x + R )  2 x + R 2
2 2
2 x + R2 
V ≈
(x + R )
2 2 3/ 2
  lx 
1/ 2

  1− ( 2 )2  
Solución   x +R 2
 
ql x
El potencial para un anillo está dado por la ecuación V ≈
4πε 0 ( x 2 + R 2 )3/ 2
kq
V=
Una carga lineal uniforme 𝜆 = 1 𝑛𝐶/𝑚 está arreglada
(a) Problema 18
R +x
2 2

punto 𝑃(0, 0, 5 𝑚) (b) en el centro del cuadrado; (c) el
El potencial en un punto P sobre el eje x producido por en forma de un cuadrado de 6 m de lado, como se

trabajo necesario para trasladar una carga de 600 𝜇𝐶
los anillos cargados es muestra en la figura. Determine: (a) El potencial en el

kq kq
V+ = y V− desde el punto P hasta el centro del cuadrado.
2 2
 l  l
x−  +R x+  +R
2 2

 2  2

El potencial neto en cualquier punto sobre el eje x es

182


carga puntual de 20 μC en el extremo marcado con
100 cm. ¿Qué trabajo hay que realizara para transportar
la regla de metro desde una distancia muy grande hasta
una posición a lo largo del eje z con el extremo marcado
con O en z = 0,2 m y el otro extremo en z = 1,2 m.

Solución

En la figura se muestra al anillo y a la regla con las
cargas puntuales en su posición final.

Solución

Parte (a) El potencial en el punto P debido al elemento
diferencial de carga dq = λdx es

kdq k λ dx
=dV =
x 2 + 34 x 2 + 34
El potencial debido a este lado del cuadrado será la
suma (integración) del potencial diferencial

3 dx
VP = k λ ∫ El trabajo realizado para traer la regla con las cargas
−3
x 2 + 34 desde un punto muy alejado y colocarlo en dicha
V p = 8,89V configuración es

 kqanillo   kq 
El potencial debido al cuadrado completo en P será W∞→ P q= q1 
= movVP +q  anillo

 0,12 + 0, 22  2  0,12 + 1, 22 
   
Vtot , P 4= 4(8,89= 35,56V
= VP V) =W∞→ P
9.109 (10.10−6 )(100.10−6 ) 9.109 (20.10−6 )(100.10−6 )
+
0,12 + 0, 22 0,12 + 1, 22
Parte (b) El potencial en el punto O debido a un lado es W∞→ P = 55,19 J

3 dx
VO = k λ ∫
Problema 20

uniforme λ C/m, está situada paralelamente a una
−3
x +92

lámina infinita la que lleva una densidad superficial σ
Una carga lineal de longitud L (m) y densidad de carga
VO = 15,84V

El potencial debido al cuadrado completo en O será C/m2, tal como se indica en la figura. Determine el
trabajo necesario para girar la carga lineal un ángulo de
Vtot ,O 4= 4(15,84= 63,36V
= VP V) 90° hasta situarla sobre el eje z

Parte (c) El trabajo es

= qmovil (Vtot ,O − Vtot , P )
WP →O
= 600.10−6 (63,36 − 35,56)
WP →O
WP →O = 16, 68.10−3 J

Problema 19

100 μC y un radio de 10 cm yace en el plano xy con su
Un anillo cargado uniformemente con una carga total de
Solución

puntual de 10 μC en el extremo marcado con el O y una
centro en el origen. Una regla de metro tiene una carga
Se ha demostrado que el campo eléctrico para una
distribución plana infinita es

183


r σ r Parte (a). Se divide a la distribución volumétrica en
E= en elementos de carga en forma de cascaras esféricas de
2ε 0 radio r y espesor dr, entonces la carga de este elemento
diferencial será
El potencial eléctrico será
= ρ (r )dV Ar (4π r 2 dr ) 4π Ar 3 dr
dq = =
r r σ r r σ
dV = = k ).( dzk ) = dz
− E.ds −( − R
2ε 0 2ε 0 Q = 4π A∫ r 3 dr
0
Vf σ z
Q = π AR 4
∫V 1 2ε 0 ∫z
dV = − dz
i

Despejando el valor de la constante A se tiene
σ
Vf = Vi − ( z − zi )
2ε 0 A=
Q
σ π R3
= cte −
V z
2ε 0 Parte (b). Campo para puntos exteriores

de carga 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑦 desde el punto inicial al final, está
El trabajo del campo eléctrico para traslada el elemento

dado por la ecuación

dWi → f dq (Vi − V f )
=

Al girar la carga lineal, el elemento de carga 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑦

𝑉𝑖 = 𝑉(ℎ) al potencial 𝑉2 = 𝑉 ( 𝑧) = 𝑉(ℎ + 𝑦)
situado a una distancia y del origen, pasa del potencial

La ley de Gauss nos da

r r Qenc Q
∫∫
Ò E.ndA = ⇒ E (4π r )=
2

S ,G
ε 0 ε0
Q
E=
4πε 0 r 2

σλ Campo para puntos interiores
λ
dWi → f = (Vi − V f )dy = ydy
2ε 0
σλ a
Wi → f =
2ε 0 ∫0
ydy

σλ a 2
Wi → f =
4ε 0

Problema 21

densidad está dada por 𝜌( 𝑟) = 𝐴𝑟 C/m3 para 𝑟 ≤ 𝑟, y
𝜌( 𝑟) = 0 para 𝑟 ≥ 𝑟, siendo k una constante. La carga
Una distribución de carga con simetría esférica cuya

La ley de Gauss nos da
total contenida en la esfera de radio R es Q. Determine:
(a) el valor d la constante k en función de Q y R; (b) la
intensidad de campo eléctrico en puntos interiores y
exteriores de la esfera, y (c) el potencial en la superficie
V(R) y el potencial en el origen V(0).

Solución

184


 Q  En la figura se muestra al sistema
4π 
r r π R4  r 3
E.ndA = ⇒ E (4π r 2 ) =  r dr
Qenc
∫∫
Ò
S ,G
ε0 ∫ ε0 0

Qr 2
E=
4πε 0 R 4

Parte (c). Potencial para puntos exteriores

Q Primero se halla el campo eléctrico usando la ley de
dV = =
− Edr − dr Gauss
4πε 0 r 2
V Q r Q
∫V∞
dV =−
4πε 0 ∫
∞
r −2 dr ⇒ V =
4πε 0 r

El potencial en la superficie es

Q
V ( R) =
4πε 0 R

Campo para 𝑎 < 𝑟 < 𝑏
Potencial para puntos interiores

Qr 2
dV = =
− Edr − dr
4πε 0 R 4 r r Qenc +Q
V Q r ∫∫
Ò E.ndA = ⇒ E (4π r 2 ) =
ε0 ε0
∫VR
dV = −
4πε 0 R 4 ∫R
r 2 dr S ,G

Q
E=
4πε 0
r
Q  r3 

Campo para 𝑏 < 𝑟 < 𝑐
V − VR =
−
4πε 0 R 4  3  R
 
Q Q 1 r  3
V= +  −  r r Qenc +Q − Q
4πε 0 R 4πε 0 R  3 3R 3  ∫∫
Ò E.ndA = ⇒ E (4π r 2 ) =
S ,G
ε0 ε0
 r3  Q
=V  4− 3  0
12πε 0 R  R  =E = 0
4πε 0

Campo para 𝑟 > 𝑐
El potencial en el centro de la esfera es (r = 0)

Q
V (0) = r r Qenc +Q − Q + Q − 3Q
3πε 0 R ∫∫
Ò E.ndA = ⇒ E (4π r 2 ) =
S ,G
ε0 ε0
Problema 22 2Q
E= −
Una corteza conductora esférica de radio interno b y 4πε 0
radio externo c rodea concéntricamente una pequeña Potencial eléctrico para puntos exteriores
esfera metálica de radio a < b. La esfera metálica tiene
una carga positiva +Q mientras que la carga total de la
esfera conductora es -3Q. (a) ¿Cuál es el potencial de la
corteza esférica?. (b) ¿Cuál es el potencial de la esfera
metálica?.

Solución

185


2Q
dV = = 2 dr
− Edr
4πε 0 r
V 2Q r
∫ V∞
dV =
4πε 0 ∫∞
r −2 dr
r
2Q  1  2Q
V −0 =−  r  ⇒ V = 4πε r
−
4πε 0   ∞ 0

El potencial en la superficie del cascaron es
El campo eléctrico para una línea cargada
2Q uniformemente a una distancia r es
VC = −
4πε 0 c
λ
E=
Debido a que el campo en el interior del cascarón es 2πε 0 r
nulo, el potencial permanece constante, entonces
Fuerza sobre la carga positiva
2Q
Vb = − r r λ r
4πε 0 c F+ = qE = + q
Potencial eléctrico para 𝑏 < 𝑟 < 𝑐
i
2πε 0 r

La fuerza sobre la carga negativa es
Q
dV = =
− Edr − dr r r λ r
4πε 0 r 2 F− = qE = −q i
Va Q a
2πε 0 r
∫Vb
dV = −
4πε 0 ∫ b
r −2 dr
La fuerza resultante sobre el dipolo es

Q 1 
a
Q 1 1
r r r qλ r qλ r
Va − Vb = FR = F+ + F− = i− i
 r  ⇒ Va = Vb + 4πε  a − b 
4πε 0   b 2πε 0 r 2πε 0 r
0   r
−2Q Q 1 1 Q 1 1 2 FR = 0
=
Va +  −=  − −
4πε 0 c 4πε 0  a b  4πε 0  a b c 
  Parte (b) En la figura se muestra al alambre y el dipolo

Problema 23

densidad lineal de carga λ, se encuentra un dipolo, cuyo
momento dipolar eléctrico es ⃗. Determine la fuerza ⃗
A la distancia r de un filamento largo, cargado con la

𝑝 𝐹
que actúa sobre el dipolo, si el vector ⃗ se orienta: (a) a
𝑝
lo largo del filamento; (b) a lo largo del radio vector ⃗.
𝑟

Solución
La fuerza sobre –q es
Parte (a) En la figura se muestra al alambre y el dipolo
r r qλ r
F− = qE = − i
2πε 0 (r − a )

La fuerza sobre +q es

r r qλ r
= =
F+ qE i
2πε 0 (r + a )

186


La fuerza resultante sobre el dipolo es

r r r qλ r qλ r
FR = F+ + F− = i− i
2πε 0 (r + a) 2πε 0 (r − a)
r qλ  1 1 r qλ  −2a r
=
FR  − =i  i
2πε 0  r + a r − a  2πε 0  (r + a)(r − a) 

Debido a r >> a, entonces se tiene

r 2qaλ r
FR = − i Ahora el sistema inicial se reduce a la interacción entre
  a  a  
2πε 0  r 2 1 + 1 −  
actúan la fuerza elástica ( 𝐹𝑠 = 𝐾𝑥 ) y la fuerza eléctrica
dos cargas puntuales para ello se traza el DCL de la
  r  r  
( 𝐹𝑒 = 𝑞⁄4𝜋𝜀0 (2𝑙 )2 ) , observe que el peso se desprecia
bola con carga +q en donde se observa que sobre ella
r
r λp
FR = −
2πε 0 r 2

Problema 24

Sobre un plano conductor ilimitado cuelga, de un hilo
elástico aislante de rigidez K, una pequeña bola. Una
vez que la bola se cargó ésta descendió x cm, y su
distancia hasta el plano conductor llegó a ser igual a l.
Determine la carga de la bola.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
Solución

En la figura se muestra la disposición de los elementos
∑F v = ⇒ Fe = s
0 F
según el enunciado. q2
= Kx
4πε 0 (2l ) 2
q = 4l πε 0 Kx

Problema 25

A la distancia l de un plano conductor ilimitado se
encuentra una carga puntual q. ¿Qué trabajo se necesita
realizar contra las fuerzas eléctricas para separar
lentamente esta carga a una gran distancia del plano?.

Solución

En la figura se muestra el plano infinito conjuntamente
con la carga +q. Además se usa el método de imágenes
Para resolver el problema usamos el método de para evaluar el problema, es decir a una distancia x está
imágenes, es decir al colocar la carga +q cerca del q y a la izquierda la carga imagen q’ = - q a una
plano los electrones libres de éste se redistribuyen distancia idéntica – x.
quedando el plano cargado con carga de signo contrario
a la carga inductora +q. La líneas de fuerza salen de la
carga positiva y terminan e el plano conductor. El plano
conductor se comporta como una superficie
equipotencial, debido a la simetría de las líneas de

que 𝑞 ′ = −𝑞.
fuerza podemos “IMAGINAR” que las líneas
convergen en donde se encuentra la carga imagen q’, tal

187


Las cargas imagen se muestra en la figura
La fuerza eléctrica entre la carga +q y la carga imagen
será

r q2 r q2 r
Fe = i =
− − i
4πε 0 (2 x) 2 16πε 0 x 2

El trabajo necesario será

∞ r r ∞  q2 r r
=
Wi →∞ ∫l
Fe .=
ds ∫
l
 −
 16πε 0 x
2
i  .dxi

∞
q2 ∞ q2  1 
16πε 0 ∫l
Wi →∞ =dx =
− x −2
16πε 0  x  l
 
La fuerzas eléctricas sobre +q serán

q2 r q2 r
Wi →∞ = − F1 = − i
16πε 0l 4πε 0l 2

El trabajo hecho por un agente externo es r r
q2
F2 = − j
q2 4πε 0l 2
Wagen =
−Wi →∞ ,campo =
16πε 0l r r
q2
F2 = − j
Problema 26 4πε 0l 2

Las carga puntuales +q y – q se sitúan a la distancia l r q2 r q2 r
una de la otra y a unas distancias idénticas l/2 de un = F3 cos θ i + senθ j
4πε 0 (l 2) 2
4πε 0 (l 2) 2
mismo lado de un plano conductor ilimitado. Determine
el módulo del vector fuerza sobre la carga positiva +q. =r q2  l r q2  l r
F3 2  i +  j
4πε 0 (l 2)  l 2  4πε 0 (l 2) 2  l 2 
Solución r 2 r 2 r
q q
=F3 i+ j
En la figura se muestra la ubicación de las cargas y el 4πε 0 (2l ) 2
2 2
4πε 0 (2l 2 ) 2
2

plano infinito
La fuerza eléctrica resultante es

r  2  r r
q2
=
FR  − 1 (i + j )
4πε 0l  4 2

El módulo de la resultante será

r q2
=FR (2 2 − 1)
8πε 0l 2

188


Problema 27 La fuerza eléctrica resultante es

Entre dos semiplanos conductores mutuamente r q2 r r
perpendiculares se encuentra una carga puntual +q, =
FR 1 − 8  (i + j )
distante una distancia l de ambos. Determine la fuerza 16πε 0l 8
2  
eléctrica que actúa sobre la carga
El módulo de la resultante será
Solución
r q2
En la figura se muestra la ubicación de la carga y los =FR (2 2 − 1)
planos 32πε 0l 2

Problema 28

Una carga puntual +q se encuentra a la distancia l de un
plano conductor ilimitado. Determine la densidad
superficial de cargas, inducidas en el plano, en función
de la distancia r desde la base de la perpendicular
bajada de la carga al plano.

Solución
La carga +q induce cargas en los planos de tal manera En la figura se muestra al plano, la carga +q y la carga
que estos se comportan como superficies imagen correspondiente, y un punto arbitrario del
equipotenciales, entonces se traza las cargas imágenes espacio en donde se halla el potencial.
como se muestra en la figura.

El potencial electrostático en el punto P será

La fuerzas eléctricas sobre +q serán q q q 1 1
V= − =  − 
4πε 0 r+ 4πε 0 r− 4πε 0  r+ r− 
r q2 r
F1 = − i
4πε 0 (2l ) 2
q  1 1 
=V  − 
4πε 0  ( x − l ) + y + z

2 2 2
(x − l) + y2 + z2
2


r q2 r
F1 = − j
4πε 0 (2l ) 2
La densidad superficial es

r q2 r q2 r  ∂V 
=F3 cos θ i + senθ j σ= ε 0 Ex= ε 0  − 
=0
 ∂x  x =0
yz
4πε 0 (2l ) 2
4πε 0 (l 2) 2
∂
r q2  2l  r q2  2l  r σ yz = 0 q
−ε (( x − l ) 2 + y 2 + z 2 ) −1/ 2 − (( x + l ) 2 + y 2 + z 2 ) −1/ 2 
=F3 2   i+ 2  j ∂x  
4πε 0 (l 8)  l 8  4πε 0 (l 8)  l 8 
r 2q 2 r 2q 2 r  −(x −l) (x +l) 
=F3 i+ j σ yz =3/ 2 +
−ε 0 q  
4πε 0 (8l ) 8
2 2
4πε 0 (8l ) 8
2 2

2
(( x − l ) + y + z )
2 2
(( x + l ) 2 + y 2 + z 2 )3/ 2  x =0

189


Remplazando x = 0 r λ r
=F (λ L)  − i
q  l l   2πε 0 (2l ) 
σ yz =3/ 2 + 2
− r
4π  (l 2 + y 2 + z 2 )
 (l + y 2 + z 2 )3/ 2 
 F
= −
λ2 r
i
q l L 4πε 0l
σ yz = −
2π (l + r 2 )3/ 2
2
Parte (b) Para determinar la densidad superficial de
carga se determina primero el potencial en un punto
Problema 29 arbitrario

unidad de longitud λ y se sitúa paralelamente a un
Un hilo fino de longitud ilimitada tiene una carga por λ
V = r+ − ln r− )
− (ln
2πε 0

( )
plano conductor infinito. la distancia entre el hilo y el λ 
V=
− (x −l) + y 2 + z 2 ) − ln (x +l) + y2 + z2 
2 2
plano es igual a l. Determine: (a) el módulo del vector
2πε 0 ln( 


𝜎( 𝑟) en el plano, donde x es la distancia hasta el plano
de la fuerza que actúa por unidad de longitud del hilo;
(b) La distribución de la densidad superficial de carga
La densidad de carga superficial es
perpendicular a la superficie conductora y que pasa a
 ∂V 
través del hilo. σ= ε 0 Ex= ε 0  − 
=0
 ∂x  x =0
yz

Solución λ ∂ 
σ yz = 0  −
−ε
 ln[( x − l ) + y + z ] − ln[( x + l ) + y + z ] 

2 2 2 1/ 2 2 2 2 1/ 2

 2πε 0  ∂x
En la figura se muestra las dos distribuciones de carga λ  (x − l) (x + l) 
=σ yz  [( x − l ) 2 + y 2 + z 2 ] − [( x + l ) 2 + y 2 + z 2 ] 
2π   x =0

λ  l l 
σ yz = 2 + 2
−  (l 2 + y 2 + z ) (l + y 2 + z 2 ) 
2π  
λ l
σ yz = −
π (l + r 2 )
2

equipotencial. Entonces la fuerza ⃗ que la carga ejerce
Para determinar la fuerza se usa el método de imágenes,

𝐹
para esto el plano se considera como una superficie Problema 30

sobre la placa es del mismo valor pero de sentido Un anillo de alambre fino de radio R tiene una carga q.
contrario a la fuerza que la placa (o la imagen q’) ejerce El anillo se sitúa paralelamente a un plano conductor
sobre la carga ilimitado a la distancia l, determine el potencial y la
intensidad de campo eléctrico en el centro del anillo.

Solución

En la figura se muestra las distribuciones conjuntamente
con la carga imagen que en este caso es un anillo que
lleva una carga – q.

Parte (a) Fuerza entre la carga imagen – λ y la carga
+λ. Para ello determinamos el campo eléctrico por la
carga imagen en el punto de ubicación de la carga
lineal positiva

r λ r λ r
E=i = i
− −
2πε 0 r 2πε 0 (2l )
Primero determinamos el potencial en el centro del
anillo positivo en este caso el plano es sustituido por la
carga imagen.

190


 
 
kq kq q  1 
VO = − =1 − 
R R + 4l
2 2 4πε 0 R  2l 
2
 1+   
 R 
 

El campo eléctrico será

q ∂    2l   
2 −1/ 2
∂V 1 − 1 +    
E=− =−
4πε 0 R ∂l    R   
El potencial neto se obtiene integrando la ecuación anterior, es
∂l
    decir
−3/ 2 Q Q
1   2l  
2
q
= 1 +    ( 4l ) 2π R S
2π R
2 ∫0
E
4πε 0 R 2   R   = =
Vx dS (2π R)
  4πε 0 R + x
2
4πε 0 R 2 + x 2
−3/ 2
  2l 2 
ql
=E 1 +    Q
2πε 0 R   R  
  Vx =
4πε 0 R 2 + x 2
El potencial en el centro del anillo será
Problema 31.
Q
El eje de las x es el eje de simetría de un anillo V( x =0) =
estacionario uniformemente cargado de radio R y de 4πε 0 R
carga Q, véase la figura. Inicialmente en el centro del Debido a que la fuerza eléctrica es una fuerza conservativa,
anillo se ubica una carga puntual Q de masa M. Cuando entonces, se aplica la conservación de la energía para

que la rapidez final de la carga puntual es 𝒗 =
ésta es desplazada ligeramente, la carga puntual se determinar la inquietud solicitada en el enunciado, esto es

( 𝟐𝒌𝑸 𝟐⁄ 𝑴𝑹) 𝟏/𝟐.
acelera a lo largo del eje x hacia el infinito. Demuestre
Ti + U e,i = f + U e, f
T
1 1
Mvi2 + QVi= Mv 2 + QV f
f
2 2
1 1
Mv0 + QV0=
2
Mv∞ + QV∞
2

2 2
Q2 1
0+ = Mv 2 + Q(0)
4πε 0 R 2
Q2
v=
2πε 0 MR
Solución

Primero se determina el potencial eléctrico en cualquier punto
P sobre el eje x. Para esto se divide la distribución en
elementos de carga dq, tal como se muestra en la figura y está
dado por
Q
= λ dS
dq = ds
2π R
El potencial en P debido a la distribución es
Q
dS
dq λ dS 2π R
= = =
dV
4πε 0 r 4πε 0 r 4πε 0 R 2 + x 2

191


Una carga puntual de +33 μC es localizada a 36 cm
PROBLEMAS PROPUESTOS de bario para emerger de la superficie a alta

de una carga idéntica de +33 μC. Una carga
velocidad como se muestra en la figura. Para medir

puntual de -1,5 μC es movida desde el punto A al
1. la máxima energía de los electrones, el colocada
otra placa sobre la placa de bario la misma que está
a un suficiente potencial de tal manera que los

potencial de la placa superior es −3,02 𝑉
punto B, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el electrones emitidos son lentamente detenidos y
cambio en la energía potencial. retornados a la superficie de la placa de bario. Si el

(comparado a la de bario) cuando los electrones son
detenidos. ¿Cuál fue la velocidad de estos
electrones cuando ellos fueron emitidos?.

2. En cada una de las esquinas ye en el centro de un
cubo de lado l hay una carga puntual Q, como se
muestra en la figura. (a) ¿Cuál es el potencial en
centro del cubo (V = 0 en r =∞)?. (b) ¿Cuál es el
5. El potencial en cierta región del espacio está dada
potencial en cada una de las esquinas debido a las
por la ecuación
otras ocho cargas?. (c) ¿Cuál es la energía potencial
del sistema?.
V2
V = V0 + V1 ( 3 x − y ) +

Donde ( 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) ≠ 0 y 𝑉0 = 3,2. 102 𝑉,
x + y2 + z2
2

𝑉1 = 6,89. 102 𝑉/𝑚, 𝑉2 = 9,80. 102 𝑉/𝑚. Derivar
una expresión para el campo eléctrico �⃗ ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) en
𝐸

de campo en el punto (0, 1, −1) donde todas las
algún punto. Calcular la magnitud de la intensidad

distancias están dadas en metros.

6. Un electrón es localizado en el plano xy donde el
potencial eléctrico depende de x e y como se
muestra en la figura (el potencial no depende de z).
Usando la notación de vectores unitarios determine
la fuerza eléctrica sobre el electrón.
3. Cuatro cargas puntuales están localizadas en las
esquinas de un cuadrado que tiene 8,0 cm de lado.
Las cargas Q, 2Q, -3Q, y -4Q son colocadas
sucesivamente alrededor del cuadrado como se
muestra en la figura. ¿Cuál es la energía potencial
eléctrica almacenada en el sistema, relativa a U = 0
a una separación infinita.

conductores delgados, de radios b y c, 𝑎 < 𝑏 < 𝑐
7. Una esfera no conductora de radio a posee una
carga qa. Rodeando a ésta hay dos cascarones

los que llevan cargas qb y qc. El cascarón más
externo está conectado a tierra. Obtenga
expresiones para el potencial de las otras dos
4. En una fotocelda, la luz ultravioleta provee esferas.
suficiente energía a algunos electrones en la placa

192


8. Dos dipolos,cada uno con momento dipolar de P sobre el eje x. (e) Determine la forma de la
6.10-30 C.m, están localizados como se muestra en expresión cuando x >>a; (f) Usando la respuesta de
la figura, siendo su separación 0,4 nm. Determine la parte (d) determine el potencial en x = 3a para
la energía potencial de los dipolos. los mismos valores a q y a dados en la parte (c).

9. Si ahora los dipolos se colocan en línea recta como
se muestra en la figura, determine la energía
potencial de los dipolos.

13. Un núcleo de helio de carga 𝑄 𝐻𝑒 = 2𝑒 y que tiene
una masa 𝑀 𝐻𝑒 = 6,646. 10−27 𝑘𝑔 es liberado desde

campo eléctrico uniforme de magnitud 𝐸 =
5 𝑘𝑁/𝐶 dirigido hacia el norte. Determine: (a) la
el reposo en una región del espacio donde hay un
10. Dos cargas eléctricas puntuales guardan la relación

se ha movido una distancia 𝑙 = 0,765 𝑚; (b) el
q1=3q2 = 6,78μC. La carga q1 está fija en el origen
velocidad del núcleo de helio en el instante en que

es ⃗2,1 = −3,0 𝑚 ⃗ − 5,0 𝑚 ⃗. Determine el trabajo
𝑟 𝚤 𝚥
de un sistema coordenado. La caga q2 está
inicialmente localizada en un punto cuya posición
cambio en el potencial eléctrico durante su

posición dada por ⃗2,𝑖 = −6,0 𝑚 ⃗ + 3,0 𝑚 ⃗.
𝑟 𝚤 𝚥
14. Un electrón de carga 𝑄 𝑒 = −𝑒 y que tiene una
hecho por la fuerza eléctrica si q2 es movido a la desplazamiento.

masa 𝑀 𝑒 = 9,11. 10−31 𝑘𝑔 es liberado desde el
por 𝑞1 = 𝑞2 = 𝑞3 = 𝑞 = 4.339 𝜇𝐶. Las cargas
campo eléctrico uniforme de magnitud 𝐸 =
11. Tres cargas eléctricas idénticas están relacionadas

5 𝑘𝑁/𝐶 dirigido hacia el este. Determine: (a) la
reposo en una región del espacio donde hay un

isósceles para el cual 2𝑠 = 2,0 𝑚, como se
están fijas en los vértices de un triángulo rectángulo

movido una distancia 𝑙 = 1,0 𝑚; (b) el cambio en
velocidad del electrón en el instante en que se ha
representa en la figura. Determine la cantidad de
trabajo que se puede hacer en conjunto para mover
las cargas hasta ocupar la configuración final donde el potencial eléctrico durante su desplazamiento.
s = 1,0 m
15. Para el cuadrupolo eléctrico representado en la
figura. (a) Derivar una expresión del potencial
eléctrico en un punto arbitrario P sobre el eje x tal
que x > a; (b) determine la forma de esta ecuación

potencial neto en P si 𝑄 = 8,0 𝑛𝐶, 𝑎 = 0,00286 𝑚
cuando el valor de x es mucho mayor que el valor
de a, es decir, cuando x >> a; (c) determine el

y x = 2a; (d) determine la energía potencial
eléctrica para esta configuración de cargas.

están separdos por una distancia 𝑙 = 2𝑎. Uno de
12. Un dipolo ele´ctrico consiste en dos cargas
puntuales de igual magnitud y signos opuestos que

estos dipolos es representado en la figura. (a)

16. Tres cargas idénticas 𝑞 = 2,6 𝜇𝐶 están fijas en los
Determine el potencial en un punto arbitrario P’

vértices de un rectángulo de dimensiones 𝑙 = 3𝑤 =
sobre el eje y tal que y > a; (b) Determine la forma

0,12 𝑚, como se muestra en el diagrama.
que esta expresión toma cuando y >> a; (c)
Usando la expresión de la parte (a) calcular el
potencial cuando y = 3a, si q tiene una magnitud de
q = 2,48 nC y el valor de a es a = 0,0650m; (d) Determine: (a) El potencial eléctrico neto en el
cuarto vértice, (b) el trabajo neto hecho para
Derivar una expresión para el potencial en el punto

193


ensamblar dicha configuración, (c) la cantidad de 𝜌 = 𝜌0 (1 − 𝛼𝑟 2 ) para 𝑟 < 𝑅0 y 𝜌 = 0 para 𝑟 > 𝑅0

distribución de carga, (b) ¿Cuál es el valor de α?
trabajo hecho por el campo eléctrico durante el (α es una constante). (a) encuentre el potencial
desplazamiento de una cuarta carga idéntica desde eléctrico en puntos exteriores e interiores a la
el infinito hasta el cuarto vértice.

positivamente con una densidad 𝜆 = 3,70 𝑛𝐶/𝑚.
22. Dos lados de un no conductor cuadrado cuya
longitud de sus lados es a son cargados

(a) Calcular el potencial eléctrico en el punto P. P
está en la esquina del cuadrado. (b) calcular el
trabajo sobre un protón para desplazarlo desde el
infinito hasta el punto P

17. Un conductor esférico de radio R1 está cargado a 20
kV. Cuando se conecta mediante un fino y largo
alambre a una segunda esfera conductora situada
lejos de él, su potencial cae a 12 kV. ¿Cuál es el
radio de la segunda esfera?.

18. Un anillo cargado uniformemente, de radio a y
carga Q, se encuentra sobre el plano yz con su eje a
lo largo del eje x. Una carga puntual se coloca Q0 23. A lo largo del eje de un disco uniformemente
se sitúa sobre el eje x en x = 2a. (a) Determine el cargado, en un punto situado a 0,6 m del centro del
potencial eléctrico en cualquier punto del eje x disco, el potencial es 80 V y la magnitud del campo
debido al sistema de cargas. (b) Determine el eléctrico es 80 V/m; a una distancia de 1,5 m, el
campo eléctrico para cualquier punto sobre el eje x. potencial es 40 V y el campo tiene un módulo de
23,5 V/m. Determine la carga total residente en el
19. La varilla de plástico ilustrada en la figura tiene disco.
una longitud L, sobre ella se ha distribuido
uniformemente una carga negativa –q. 24. Considere un cable coaxial muy largo. El conductor
Considerando que V = 0 en el infinito, determine, interior tiene a y es mantenido a un potencial V0. El
el potencial eléctrico en el punto P. conductor exterior tiene un radio exterior b y está
conectado a tierra. Determine la función potencial
en el espacio entre los conductores.

20. La varilla de plástico ilustrada en la figura tiene

𝜆 = 𝛽𝑥 donde β es una constante positiva.
una longitud L, sobre ella se ha distribuido una
carga con una densidad lineal no uniforme dada por

Considerando que V = 0 en el infinito, determine:
(a) el potencial en el punto P1 y (b) el potencial en
P2; (c) Si una carga q0 se mueve desde P1 hasta P2
¿Cuál es el trabajo desarrollado? 25. Las dos placas de un condensador están separadas
una distancia d y mantenidas a potenciales 0 y V0.
Asumiendo despreciable el efecto de los bordes,
determine: (a) el potencial en cualquier punto
dentro de las placas y (b) las densidades de cargas
superficiales en las placas

21. Un cilindro no conductor tiene una distribución de
carga dada por una densidad de carga volumétrica

194


26. Dos esferas metálicas tienen 3,0 cm de radio y
llevan cargas de +10 nC y -30 nC, respectivamente,
asumiendo que las cargas son distribuidas
uniformemente y que sus centros están separados
2,0 m. (a) Determine el potencial en el punto medio
de la línea que une sus centros. (b) encuentre el
potencial sobre cada esfera.

27. Sobre una cáscara cilíndrica de radio R muy larga
se ha distribuido uniformemente sobre su superficie 30. Considere una plancha no conductora con un

densidad de carga uniforme 𝜌 = 1,45 𝜇𝐶/𝑚3. Si
una carga +Q. como se muestra en la figura. espesor d en la dirección y extendiéndose al infinito

𝑑 = 1,25 𝑚 y el punto medio está en y = 0,
Determine la diferencia de potencial entre su en las direcciones x y z, la plancha lleva una

encuentre la diferencia de potencial entre 𝑦 = 0 y
superficie y el punto P ubicado a una distancia r.

𝑦 = +0,45 𝑚

conductor y tiene una densidad de carga 𝜌 = 𝐴𝑟 −3
31. Un tubo cilíndrico hueco de radio interno RA y
radio externo RB es hecho de un material no

densidad de carga volumétrica 𝜌 = 𝐴𝑟 2 donde r es
28. Considere un cilindro de material no conductor
cuyo radio es R0 y su longitud es infinita con una entre RA y RB y la densidad de carga es cero en

tubo tal que 𝑅 𝐴 < 𝑟 < 𝑅 𝐵 . (b) Si el potencial en RA
todas las demás regiones. (a) Determine el campo
la distancia medida desde el eje del cilindro. eléctrico a un distancia arbitraria r desde el eje del
Calcular la diferencia de potencial entre un punto P

𝑟 = 30 . Asuma que el cilindro es cargado
2𝑅
y la superficie del cilindro. P está a un valor de

donde 𝑅 𝐴 < 𝑟 < 𝑅 𝐵 .
es V = 0, calcule la diferencia de potencial entre un
punto en RA y un punto a una distancia arbitraria r

la diferencia de potencial 𝑉 ( 𝑃) − 𝑉(0).
positivamente y establezca claramente el signo de

con una densidad de carga dada por 𝜌 = 𝐴𝑟 3 , una densidad de carga 𝜌 = 𝜌0 (1 − 𝐴𝑟 5 ), donde ρ0
29. Una esfera no conductora es cargada negativamente 32. Una esfera no conductora de radio R = 4 cm tiene

3,3 𝜇𝐶 y la densidad de carga tiende a cero en su
donde A es una constante. Si el radio de la esfera es y A son constantes. Si la carga total de la esfera es

P situado a una distancia 𝑟 < 𝑅0 de su centro. (b) constantes ρ0 y A. (b) Encuentre el valor numérico
R0. (a) calcule la magnitud de la diferencia de
potencial entre la superficie de la esfera y un punto superficie. (a) determine el valor numérico de las

𝑉 ( 𝑟) − 𝑉 ( 𝑅0 ) y dar una explicación física clara
Establezca el signo de la diferencia de potencial del potencial eléctrico en la superficie de la esfera.
(c) Cuál es el valor numérico del campo eléctrico
(no matemática) para este signo. Si la carga total de en un punto a 3,00 cm del centro

𝜌 = 𝐴𝑟 2 , donde A es una constante y r es la
la esfera es Q, calcule A.
33. Una densidad de carga esférica es modelada como

distancia desde el centro de la esfera. El radio de la
esfera R0. (el signo de la carga es incluido en A).
(a) si tomamos V = 0 en r = 0 (el centro de la

195


𝑅
esfera), encuentre el potencial en 𝑟 = 0�3. (b) Si 40. Un conductor esférico aislado de radio R1 lleva una

de A en función de R0, QT y 𝜀0 .
carga Q. Una segunda esfera conductora de radio
la carga total de la esfera es QT, encuentre el valor
R2 e inicialmente descargada es entonces conectada
a la primera mediante un alambre conductor muy
largo. (a) Después de la conexión, ¿qué podría Ud.
34. Se tienen dos cilindro coaxiales muy largos, que decir acerca de potencial eléctrico de cada esfera?.
tienen cargas opuestas. El cilindro interior con (b) ¿Cuánta carga es transferida a la segunda
carga negativa se encuentra a un potencial de -20 esfera?.

carga puntual de 1 μC, uniformemente, desde el
kV, mientras que el cilindro exterior, con carga
positiva, a +10 KV. Una fuerza externa mueve una 41. Un conductor esférico que tiene un radio interno R1
y un radio externo R2 = 2R1 lleva una carga neta
cilindro negativo al positivo. ¿Cuánto trabajo +Q . Si en el centro del conductor se coloca una
efectúa la fuerza externa?. carga puntual Q/2 como se muestra en la figura.
Determine: (a) la intensidad de campo eléctrico en
35. Encuentre el potencial eléctrico en el límite de un todas las regiones como una función de r, la

superficial es σ
disco delgado de radio R, sobre el cual se distancia desde el centro, (b) el potencial eléctrico
distribuye uniformemente una carga, cuya densidad en las tres regiones y (c) grafique el potencial V en
función de la distancia r desde r = 0 hasta r = 2 R2
36. Se tiene un condensador plano de placas circulares

hasta la densidad de carga σ y –σ. Determine el
delgadas de radio R situadas a una distancia d
(d << R) una de la otra y cargadas uniformemente

potencial en el eje del sistema en función de la
distancia z hasta las placas, si z >> d. Analice las
expresiones para z >> R.

37. Un cascarón cilíndrico uniformemente cargado
tiene una carga total Q, un radio R y una altura h.

42. El alambre curvado tiene una densidad de carga λ
Determine el potencial eléctrico en el punto P que
se encuentra a una distancia d del extremo derecho
del cilindro, como se muestra en la figura. uniformemente distribuida a lo largo de su
longitud. El radio de curvatura es R. Derive una
expresión para el potencial eléctrico en un punto P
el cual es el centro del arco.

38. Un cilíndrico uniformemente cargado tiene una
carga total Q, un radio R y una altura h. Determine
el potencial eléctrico en el punto P que se encuentra
a una distancia d del extremo derecho del cilindro,
como se muestra en la figura.

43. Considere un conjunto de tres placas metálicas
planas paralelas cada una de área A. Las placas
izquierda (I) y derecha (D) están conectadas a tierra
y en la placa del medio (M) se deposita una carga
Q. Determine el potencial en el punto P como

cargada a 680 V respecto a V = 0 en 𝑟 = ∞. (a)
función de la variable x.
39. Una esfera conductora de 32 cm de diámetro es

Cuál es la densidad de carga superficial?. (b) ¿A
qué distancia el potencial debido a la esfera será
solamente 25 V?.

196


44. La figura muestra el perfil de un conjunto de
cilindros muy largos. El cilindro interior de radio a 47. El campo eléctrico de un plano uniformemente

carga varía radialmente en la forma 𝜌( 𝑟) = 𝛼⁄ 𝑟,
es metálico y tiene una carga +Q. Entre a y b existe cargado tiene una magnitud de 400 N/C. En un

donde α es una constante positiva. Entre b y c
un cascarón cilíndrico dieléctrico cuya densidad de instante particular, una partícula cargada está en la
posición mostrada en la figura y tiene una
velocidad de 800 m/s dirigida hacia la placa. (a) Si
existe un cascarón cilíndrico metálico de carga –Q. la partícula cargada es un ión positivo y la placa
Halle el potencial eléctrico en todo el espacio en plana está cargada negativamente. (a) Encuentre el
función de la distancia radial al eje del sistema de cambio en la energía potencial con que la partícula
cilindros. viaja desde su posición inicial hasta impactar sobre
la placa. (b) Encuentre el cambio en la energía
cinética y (c) si el ión tiene una masa de 2.10-26 kg
determine la velocidad con la cual impacta en la
placa.

radialmente uniforme, es decir 𝜌( ⃗) = 𝑐𝑡𝑒. Si se le
𝑟
45. Un cilindro dieléctrico de radio 2R largo e infinito
tiene una densidad volumétrica de carga

𝑉(𝑥) en el punto P1(x) en función de la distancia
hacen dos agujeros cilíndricos infinitamente largos,
cada uno de radio R, hallar el potencial eléctrico

radial x mostrada en la figura. 48. El campo eléctrico entre dos placas planas paralelas
cargadas uniformemente con signos opuestos como
se muestra en la figura tiene una magnitud de 1500
N/C. (a) Si un protón es liberado desde el punto P
en la figura, cuál placa podría impactarlo y con qué
velocidad lo hace?. (b) Si un electrón es liberado en
P cual de las placas podría impactarlo y con qué
velocidad)?.

carga 𝜌 = 𝛼𝑥, donde α es una constante positiva.
46. Una placa dieléctrica de extensión infinita tiene un
espesor d y lleva una densidad volumétrica de

Esta placa dieléctrica infinita está pegada a un

uniforme – 𝜎. Determine el potencial eléctrico para
plano infinito con densidad superficial de carga

(a) 𝑥 ≤ 0; (b) 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑑 y (c) 𝑥 ≥ 𝑑
49. En la figura, la carga Q sobre el objeto ubicado en
el centro es de 1μC. Calcule el cambio en el
potencial si vamos: (a) desde A hacia B; (b) desde
C a D y (c) desde A a D. Brevemente discutir cuál

197


es la relación que hay entre la última respuesta y 53. ¿Cuál es la magnitud del potencial eléctrico neto

radio 6,00 cm y que lleva una carga de -3μC; (ii)
sus respuestas de los apartados (a) y (b). en el centro?. Si el sistema está compuesto por (i)
Una varilla delgada en forma de circunferencia de

de +2 μC y (iii) Un dipolo eléctrico con un
Una varilla en forma de arco de radio 4,00 cm
subteniendo un ángulo de 90° y que lleva una carga

momento dipolar que es perpendicular a la línea
radial y qué tiene una magnitud de 1,28.10-21 C.m

50. Un electrón es acelerado desde el reposo en un tubo
de rayos catódicos por una diferencia de potencial
de 5500 V. Posteriormente el electrón se mueve
entre dos placas horizontales de 6,5 cm de longitud

muestra en la figura. ¿Con qué ángulo θ abandona
y separadas 1,3 cm las mismas que se mantienen a
una diferencia de potencial de 250 V, como se

las placas el electrón? 54. El potencial eléctrico de un sistema como una
función de la posición a lo largo del eje x se
muestra en la figura. (a) en cuál de las regiones 1,
2, 3, o 4 podría esperarse que Ex es el más grande?.
¿En cuál región la magnitud de Ex es mucho más
grande?. Explique. (b) Calcular Ex en cada una de

51. Cuatro cargas puntuales con q = 2 μC separadas
las regiones 1, 2, 3 y 4.

por una distancia d = 0,96 m son distribuidas como
se muestra en la figura. Encuentre el potencial total
en el punto P. Asuma que el potencial de una carga
puntual es cero en el infinito.

densidad de carga superficial 𝜎 = 𝐶𝑟, donde C es
55. El disco de radio R mostrado en la figura tiene una

una constante positiva y r se mide a partir del
centro del disco. Determine el potencial eléctrico
del disco en el punto P.

52. Sobre la varilla plástica doblada en forma de arco
circular de radio R = 3,71 cm y ángulo central φ =
120° , ha sido distribuida uniformemente una carga
Q = -25,6 pC. Considerando el potencial cero en el
infinito. ¿Cuál es el potencial en P, centro de
curvatura de la varilla?.

56. Dos partículas, con cargas de 20 nC y -20 nC están
colocadas en las coordenadas (0, 4)cm y (0, -4)cm,
como se muestra en la figura. El origen se
encuentra una partícula con carga de 10 nC. (a)
determine la energía potencial eléctrica de la
configuración de las tres cargas fijas. (b) Una

198


cuarta partícula, con una masa de 2.10-13 kg y una lineal λ. Encuentre una expresión para el potencial
carga de 40 nC, se libera desde el reposo en el eléctrico en el punto P.
punto (3, 0)cm. Determine su velocidad después de
haberse movido libremente hasta una distancia muy
lejana.

61. Una partícula de masa m que posee una carga
positiva q está restringida a moverse a lo largo del
eje x. En los puntos x = L y x = -L existen dos
anillos cargados de radios L. Cada uno de estos

una densidad de carga 𝜎 = 𝐴𝑟, donde r es la
57. Determine el potencial eléctrico en el punto P sobre anillos están centrados en el eje x y localizados
el eje del anillo mostrado en la figura el cual lleva perpendicularmente al mismo, siendo ambos

función de x para −𝐿 < 𝑥 < 𝐿. (b) Demostrar que
portadores de una carga +Q. (a) Obtenga una
distancia medida a lo largo del radio del disco. expresión del potencial entre las cargas anulares en

forma 𝑉 ( 𝑥 ) = 𝑉(0) + 𝛼𝑥 2. (c) Deducir una
en esta región V(x) pasa por un mínimo para x = 0.
(c) Demostrar que para x << L, el potencial es de la

expresión para la frecuencia angular de oscilación
de la masa m si se desplaza ligeramente desde el
origen y se deja libre.

uniforme λ es doblado en la forma mostrada en la
58. Un alambre e que transporta una densidad de carga

figura. Determine el potencial eléctrico en el punto
O (centro de la semicircunferencia de radio R.

62. Un disco plástico es cargado en un lado con una
59. Considere dos cascarones esféricos conductores densidad de carga σ uniforme y entonces es
delgados cuya sección transversal es mostrada en la removido el tercer cuadrante del disco. Asumiendo
figura. El cascarón interior tiene un radio r1 = 15,0 que el potencial V = 0 en el infinito, ¿Cuál es el

(a) Encuentre el campo eléctrico �⃗ y (b) el
cm y una carga de 10,0 nC. El cascarón exterior potencial eléctrico debido a la distribución de carga

𝐸
tiene un radio r2 = 30 cm y una carga de -15,0 nC. restante en el punto P, el cual se encuentra sobre el
eje central del disco original a una distancia z desde
potencial eléctrico V en las regiones A, B, y C, el origen central?.
considerando al potencial V = 0 en r = ∞
63. Un cascarón esferico delgado de radio R, es
colocado sobre un soporte aislante y cargado hasta
alcanzar un potencial –V. Entonces es lanzado un
electron desde un punto P a una distancia r desde el
centro del cascarón (r >> R) con una velcoidad v0,
radialmente dirigida hacia ella. ¿Qué velocidad v0
se necsitara darle al ele´ctron para que alcance a las
justas la superficie de la cáscara antes de invertir su
movimiento?.
60. La varilla delgada uniformemente cargada que se
muestra en la figura tiene una densidad de carga

199


64. En cierta región del espacio, la función potencial
está dada por la expresión V ( x, y, z ) x + xy ,
= 2

donde el potencial es medido en voltios y la
distancia en metros. Determine el campo eléctrico
en el punto (2, 1).

65. El potencial en cierta región del espacio está dado
68. Dos esferas conductoras de radios de curvatura
por la expresión V ( x, y, z ) = xy 2 z 3 , con r = 1 m y R = 2 m, se encuentran cargadas con
respecto al punto de referencia. Encuentre la cargas q = 60 μC y Q = -30 μC, respectivamente.
componente y del campo eléctrico en el punto Determine la diferencia de potencial entre los
P (1, -3, 2) m. puntos A y B sabiendo que la distancia de
separación entre A y B es d = 4 m.
66. Se tiene un conductor esférico compuesto por dos
esferas metálicas huecas concéntricas de radios a y
b > a y de espesor despreciable aunque finito. La
esfera interna se carga con una carga Q0 > 0. (a) La
armadura externa se conecta a tierra a través de una
batería cuya diferencia de potencial entre sus
bornes es V0. Calcular la función potencial para
puntos a < r < b y para r > b. (b) Si se 69. La figura muestra tres cuerpos esféricos de radios
cortocircuita la batería (conexión directa a tierra), de curvatura a, b y c, cargados con cargas QA , QB
determine los potenciales en los puntos pedidos en y QC , respectivamente. El cascarón de radio c y la
la parte (a). (c) Si se le desconecta la esfera externa esfera de radio b son concéntricos y aislados. Halle
de tierra y si se le acerca una carga puntual q > 0 la carga final, tiempo después, que se les pone en
hasta una distancia c > b del centro del conductor. contacto la esfera de radio a con el cascarón de
Decida si la acción de la carga q modifica o no (i) radio c.
la carga total de cada una de las esferas; (ii) la
densidad de carga en ellas.

70. Suponga que el campo eléctrico varía a lo largo del
eje x como se muestra en la figura. El potencial no
varía en el eje y o z. para los intervalos mostrados
(ignore el comportamiento en los extremos de los
intervalos), determine los intervalos en los cuales
Ex tiene: (a) su mayor valor absoluto, (b) su menor
67. Una carga puntual positiva +Q está localizada en el
valor, (c) grafique Ex como función de x, (d) ¿Qué
punto x = - a.
tipo de distribuciones de carga podrían producir
(a) ¿Cuánto trabajo se necesita para llevar una
estos cambios en el potencial? ¿Dónde estarían
segunda carga puntual igual y positiva +Q
localizados?.
desde el infinito hasta x = + a.

Si tenemos dos cargas iguales positivas en x = - a
y x = + a,

(b) ¿Cuánto trabajo se requiere para desplazar una
tercera carga –Q desde el infinito hasta el
origen?.
(c) ¿Cuánto trabajo es necesario para mover la
carga –Q desde el origen hasta el punto x = 2a
a lo largo de una trayectoria circular (véase la
figura)

200


71. De un trabajo experimental en el laboratorio de r < a, a < r < b; b < r< c y r > c. (b) La diferencia de
física se obtiene los siguientes curvas potencial entre la cascara conductora y la esfera.
equipotenciales en una zona y se conoce el
potencial de cada una y se indica en la figura.
¿Cuál es el trabajo para llevar una carga de 2 μC
desde A hasta D siguiendo la trayectoria seguida?.

75. En la figura se muestra dos cargas puntuales Q2 =
4Q1 y Q3 = -2Q1 y un arco de radio R = 2 m
centrado en el origen de coordenadas con un ángulo
centra θ = 2 0 ° sobre el q ue se ha distribuid o u n a
,
carga Q1 = 7,21 pC. Determine el potencial
eléctrico en el origen de coordenadas.

72. La figura muestra una porción de un cable
concéntrico infinitamente largo en sección
transversal. El conductor interno posee una carga
de 6 nC/m, mientras que el conductor externo es
eléctricamente neutro. (a) Determine el campo
eléctrico para todos los valores de r. (b) El
potencial eléctrico en todas las regiones. (c) ¿Cuál
es la diferencia de potencial entre el conductor
interior y el exterior si a la superficie externa con
un alambre a tierra?.

76. Un disco de plástico de radio R = 64 cm es cargado
con una densidad de carga superficial
σ = 7,7 3 μC/m2, y entonces es removido las tres
cuartas partes. El cuadrante remanente es mostrado
en la figura. Suponiendo que el potencial en el
infinito es nulo. Determine el potencial eléctrico
que el cuadrante remanente produce en el punto P
el cual se encuentra en el eje del disco a una
distancia D = 25,9 cm desde el origen de
coordenadas.

73. Un cilindro sólido hecho de material aislante de longitud
infinita y de radio R tiene una densidad de carga
volumétrica que varía en función del radio de la forma
siguiente.
r
= ρ0 (a − )
ρ
b

Donde ρ0, a y b son constantes positivas y r la distancia
al eje del cilindro. (a) Utilice la ley de Gauss para
determinar el campo eléctrico para r < R y para r > R.
(b) Determine el potencial en todas las regiones. 77. La figura muestra tres barras dobladas en forma de
cuartos de circunferencia con centro en el origen de
74. Una esfera aislante sólida de radio a, tiene una densidad coordenadas sobre las que se ha distribuidos
de carga uniforme ρ y una carga total Q. Colocada en
uniformemente las cargas Q1 = 30 nC; Q2 = +3Q1
forma concéntrica a esta esfera existe otra esfera hueca,
conductora pero descargada, de radios interno y externo y Q3 = -8Q1. Determine el potencial eléctrico neto
b y c, respectivamente, como se puede observar en la en el origen de coordenadas.
figura. a) Determine el potencial eléctrico en las regiones

201


81. Un cascaron esférico lleva una densidad de carga ρ
= k/r2 para a < r < b y en el interior del cascarón no
existe carga alguna. Determine el potencial
eléctrico para cualquier punto del espacio.

82. En los vértices de un triángulo rectángulo se ha
colocado tres cargas puntuales +q, +2q y –q como
se muestra. Determine: (a) el potencial eléctrico en
78. La figura muestra dos cargas fijas q1 = +4e y el punto medio P de la línea de unión de las carga
q2 = -q1/2. Sabiendo que d = 1,4 cm, θ1 = 43° y +q y -q, (b) la energía potencial de esta
θ2 = 60°. Determine el trabajo desarrollado por un configuración de cargas, y (c) el trabajo realizado
agente externo para traer una tercera carga para traer lentamente una cuarta carga +3q desde el
Q = +16e, desde el infinito hasta el punto en que infinito hasta el punto P.
se muestra en la figura.

79. La figura muestra un anillo de radio exterior
R = 13 cm y radio interior r = 0,20R, sobre el que
se ha distribuido uniformemente una carga con una
densidad de carga σ = 6,20 μC/m2. Sabiendo que el 83. Una esfera conductora de radio R que lleva una
potencial en el infinito es nulo. Determine el carga +Q es rodeada por un cascarón conductor
potencial eléctrico debido al anillo en el punto P muy delgado de radio 2R cuya superficie exterior
ubicado sobre el eje x a una distancia z = 2,00R es conectada a tierra. Si este cascarón es rodeado
desde el centro del anillo. por otro cascarón de radio interno 3R y radio
exterior 4R sobre el que se ha distribuido una carga
-2Q como se muestra en la figura. Encuentre: (a) el
campo y potencial eléctrico como una función de r
en todas las regiones y (b) el trabajo necesario para
traer una carga desde el infinito hasta el centro.

80. En la figura se muestra tres arcos circulares de
radios R = 8,5 cm. Sobre cada uno de ellos se ha
distribuido uniformemente cargas q1 = 4,52 μC;
q2 = -2q1 y q3 = +3q1. Sabiendo que el potencial en
el infinito es nulo. Determine el potencial eléctrico
neto en el centro de curvatura.

84. Una partícula α con una energ cinética de 1 MeV
ía
es lanzada contra un núcleo estacionario que tiene
una carga de -75e. Despreciando el movimiento del
núcleo. Determine la distancia de acercamiento de
la partícula α.

202


potencial eléctrico en el punto P a una distancia x
desde el centro de la nube esférica.

85. Se tiene un sistema formado por una esfera
metálica de radio a, inicialmente descargada,
conectada a tierra y un cascarón metálico esférico
de radios b y c. Sobre este cascarón se deposita una
carga +Q. Calcular: (a) la carga Qi, que se debe
inducir sobre la esfera interior de radio a (lo cual es
posible debido a su conexión a tierra); (b) el campo
eléctrico E (r) y el potencial eléctrico V(r) en todas
las regiones es decir r < a; a < r < b; b < r < c y
r > c. Sugerencia: para poder determinar la carga
inducida Qi en la esfera de radio a recuerde que Va
= V (r = ∞).

86. Considere un disco cargado, el cual tiene un radio
R = 8 cm, y una densidad de carga σ = (3 + 220 r)
µC/m2 la cual varía con la distancia al centro del
disco. (a) ¿Cuál es el potencial eléctrico en el punto
P1 localizado a una distancia x1 = 12 cm desde el
centro del disco como se muestra en el diagrama?.
(b) ¿Cuánto trabajo se hará para mover una carga
de 5 µC desde el infinito al punto P1?. (c) Suponga
que esta carga de 5 µC, la cual tiene una masa de
5,2.10-5 kg, el liberada en el punto P1 y acelerada
hasta el punto P2, el cual está localizado a una
distancia x2 = 18 cm del centro del disco, ¿cuál será
la velocidad de la partícula cargada cuando ésta
alcance e punto P2?.

87. Considere una nube esférica de carga de densidad
de carga uniforme ρ y radio a, conteniendo una
cavidad esférica de radio a/2 , como se muestra en
la figura. Determine el campo eléctrico y el

203

POTENCIAL ELECTRICO

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