Presentación matemática financiera

UD 5: MATEMÁTICA
FINANCIERA
ALFONSO NAVARRO PERAL

MATEMÁTICA
FINANCIERA
INTERÉS
SIMPLE
COMPUESTO
ANUALIDADES
DE
CAPITALIZACIÓN
DE
AMORTIZACIÓN
MAPA CONCEPTUAL

SUPUESTO 1
QUEREMOS COMPRAR UN COCHE QUE TIENE
UN PRECIO DE 16.000 €.
SIN EMBARGO, SOLO DISPONEMOS DE 7.000 €.
TENEMOS QUE FINANCIAR LOS 9.000 €
RESTANTES.
ACUDIMOS A CUATRO BANCOS QUE NOS
PROPONEN LAS SIGUIENTES OFERTAS. ¿CUÁL
SERÁ LA OPCIÓN MÁS VENTAJOSA?
BANCO OFERTA
VERDE Interés simple del 3,5% a devolver en 4 años.
AZUL Interés compuesto del 2,75% con capitalización trimestral a
devolver en 5 años.
ROJO Pagar 215 € al comienzo de cada mes al 6,5% anual durante 5
años.
AMARILLO Pagar 1125 € al comienzo de cada semestre al 4,25 % anual
durante 6 años.

SUPUESTO 2
CARLOS HA GANADO 200.000 € EN LA LOTERÍA DE
NAVIDAD. TIENE QUE PAGAR UN 20% DEL PREMIO A
HACIENDA. DE ESTE MODO EL DINERO QUE REALMENTE
GANA ES 160.000 €.
QUIERE INVERTIR DICHO DINERO PARA RECUPERAR
LOS 40.000 € QUE CEDE EN CONCEPTO DE IMPUESTOS.
ACUDE A CUATRO BANCOS QUE LE PLANTEAN LAS
SIGUIENTES OFERTAS.
¿CUÁL SERÁ EL MENOR TIEMPO NECESARÍO PARA
RECUPERAR LOS 40.000 €?
BANCO OFERTA
CASTOR Interés simple del 2,21% anual.
GACELA Interés compuesto del 2,20% con capitalización semestral.
BÚFALO Invertir 475 € al comienzo de cada mes al 7%.

1. INTERÉS SIMPLE
Si depositamos una determinada cantidad
de dinero (capital) en un banco lo que
hacemos es prestar este capital a la
entidad bancaria y ésta, a cambio, nos da
un tanto por ciento del dinero que
depositamos.
Igual ocurre si en vez de depositar este
dinero se pide prestado.
1.1. ¿Qué es?

1. INTERÉS SIMPLE
Capital (C) :cantidad de dinero que depositamos en una entidad financiera.
Interés (I):cantidad de dinero producida por un capital de un interés determinado.
Rédito o tanto por ciento (r): ganancia que producen 100 € en un año.
Tiempo (t): expresado en años.
𝐼 = 𝐶 · 𝑟 · 𝑡
1. Si depositamos 50.000 € en una libreta de ahorro al 1’5% cada año recibimos:
𝐼 = 50.000 · 0,015 = 750 €
1.2. Expresión
1.3. Ejemplos
2. Determinar cuántos años tenemos que invertir 10.000 € al 8% para conseguir
14.000 €:
𝑡 =
4000
10000 · 0,08
= 5 𝑎ñ𝑜𝑠

2. INTERÉS COMPUESTO
Colocar un capital a interés compuesto significa que el capital se va
incrementando con los intereses producidos en cada periodo de
tiempo.
Al capital existente en cada momento, le llamamos montante.
No cobramos los intereses en los distintos periodos de tiempo sino que
éstos se van sumando al capital, éste se va incrementando.
2.1. ¿Qué es?

Capital inicial (C) Número de capitalizaciones (n) : por cada año.
Rédito (r) Periodos anuales (T): número total de capitalizaciones.
Montante (M)
𝑀 = 𝐶 · 1 +
𝑟
𝑛
𝑇
𝑀1 = 𝐶 + 𝐶𝑟 = 𝐶 1 + 𝑟
𝑀2 = 𝐶(1 + 𝑟) + 𝐶(1 + 𝑟)(1 + 𝑟) = 𝐶(1 + 𝑟)2
𝑀 = 𝐶 + 𝐶 1 + 𝑟 + 𝐶(1 + 𝑟)2+ ⋯
𝑇 =
𝑙𝑛𝑀 − 𝑙𝑛𝐶
ln 1 +
𝑟
𝑛
2.2. Expresión
Despejando de la expresión:
Se trata del término
general de una progresión
geométrica:

1. Si depositamos 12.000 € al 2% de interés compuesto con capitalización trimestral
durante 16 meses y medio, ¿cuánto dinero produciremos?
𝑀 = 12.000 · 1 +
0,02
4
16,5:3
= 12.333,73 €
2.3. Ejemplos
𝑇 =
𝑙𝑛75.000 − 𝑙𝑛30.000
ln 1 + 0,05
= 18,78 𝑎ñ𝑜𝑠 = 225,36 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
2. Determinar cúantos años son necesarios para convertir 30.000 € en 75.000 € en
un interés compuesto del 5% anual.

3. ANUALIDADES DE
CAPITALIZACIÓN
Las anualidades de capitalización son pagos o aportaciones fijas que
hacemos al principio de cada año para formar, junto con sus intereses
compuestos, un capital al cabo de un número determinado de t años.
SE
REALIZAN
Al comienzo
de cada año
(periodo)
OBJETIVO
Formar
un capital
3.1. ¿Qué es?

3. ANUALIDADES DE
CAPITALIZACIÓN
La suma de todos estos montantes da lugar a la capitalización del capital C:
𝐶 = 𝑎 1 + 𝑟 + 𝑎(1 + 𝑟)2
+ ⋯ + 𝑎(1 + 𝑟) 𝑡
Aplicando la expresión de la suma de n términos consecutivos de una
sucesión o progresión geométrica a la progresión anterior de razón (1 + r) y
números de términos t, obtenemos:
𝐶 =
𝑎 1 + 𝑟 · [ 1 + 𝑟 𝑡 − 1]
𝑟
3.2. Expresión
Anualidad (a)
Rédito (r)
Nº de periodos (t)
Capital (C)

3. ANUALIDADES DE
CAPITALIZACIÓN
Una persona, al cumplir los 40 años, decide hacer un plan de ahorro. Se plantea dos
posibilidades:
1. Cada tres meses guardar 90 € en una caja fuerte.
2. Acudir a un banco y depositar al inicio de cada trimestre 90 € al 3 % annual.
¿Qué capital obtendrá al cumplir los 60 años en cada uno de los supuestos?
𝐶 =
90 1 + 0,03/4 · [ 1 + 0,03/4 80
− 1]
0,03/4
= 9.890,15€
3.3. Ejemplos
Solución:
Opción 1: 90 · 4 · 20 = 7.200 €
Opción 2:

4. ANUALIDADES DE
AMORTIZACIÓN
Las anualidades de amortización son pagos o aportaciones fijas que
hacemos al final de cada año, para amortizar o cancelar una deuda,
junto con sus intereses compuestos, durante un número determinado, t
de años.
SE
REALIZAN
Al final de
cada año
(periodo)
OBJETIVO
Cancelar
una deuda
4.1. ¿Qué es?

4. ANUALIDADES DE
AMORTIZACIÓN
4.2. Expresión
Aplicando la expresión de la suma de n términos consecutivos de
una sucesión o progresión geométrica a la sucesión anterior de
razón 1 + r y de t términos, obtenemos:
𝐷(1 + 𝑟) 𝑡−
𝐷 · 𝑟 · 1 + 𝑟 𝑡
1 + 𝑟 − 1
=
𝑎 =
𝐷 · 𝑟 · (1 + 𝑟) 𝑡
(1 + 𝑟) 𝑡−1
Anualidad (a)
Rédito (r)
Nº de periodos (t)
Capital (C)

4. ANUALIDADES DE
AMORTIZACIÓN
4.3. Ejemplos
En el Mercado de Ocasión del coche usado nos venden un coche
por 1800 €. La empresa tiene una entidad financiera, la cual cobra
un 2 % anual. ¿Cuál debe ser la amortización mensual para saldar la
deuda en 2 años?
𝑎 =
1800 · (
0,02
12
)(1 + 0,02/12)2·12
(1 + 0,02/12)2·12−1
= 76,58 €

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