Presentación tema 5 rentabilidad y riesgo de las carteras de inversión

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TEORÍA DE LA INVERSIÓN

TEMA 5:RENTABILIDAD Y RIESGO DE LAS
CARTERAS DE INVERSIÓN

U N I V E R S ITAR IA

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Tema 5: Rentabilidad y riesgo de las carteras de
inversión.

5.1.- El comportamiento del inversor y la función de
utilidad.
5.2.- Rentabilidad y riesgo.
5.3.- Ventajas de la diversificación.
5.4.- Ejemplos prácticos.

U N I V E R S laIInversiónA R I A
FLORIDA Universitària. Teoría De T (CAG 2011-2012)

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Señalar que estamos ante un planteamiento puramente
teórico. La realidad es otra como podemos ver día a día en
la evolución de los mercados financieros. Existen variables
no contempladas en esta teoría como:
- Intereses de particulares, Estados y grandes
Corporaciones.
- Corrupción.
- Factor suerte, entre otras………..


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5.1.- El comportamiento del inversor y la función de
utilidad.
Podemos considerar dos tipos de inversiones:

- Inversiones reales.
- Inversiones financieras, tema a tratar.

Las inversiones financieras vienen determinadas por
cuatro parámetros:

- Rentabilidad
- Riesgo
- Liquidez
- Control
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Buy Now to Create PDFde que el inversor posee
Partimos de la hipótesis without Trial Watermark!!
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aversión al riesgo, prefiriendo una inversión con un
grado de riesgo y rentabilidad a otra.

El inversor intentará maximizar la utilidad esperada de
su riqueza, es decir: maximizar el rendimiento
esperado y minimizar el riesgo.

La utilidad esperada o función de utilidad se expresa
en función de la media y varianza de los rendimientos
de los títulos en cuestión:

E[U(Řp)]=ƒ[E((Řp), σ2(Řp)]
(La utilidad esperada del rendimiento de una cartera “p” está en
función del rendimiento medio y de su riesgo medido en términos
de varianza)

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Podemos reflejar gráficamente distintas combinaciones
de rentabilidad y riesgo: en el eje de ordenadas
tendremos el rendimiento esperado: E(R) y en el eje de
abscisas el riesgo, medido por la desviación típica de
los rendimientos (raíz cuadrada de la varianza): σ(R).
ESTAS


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ESTAS CURVAS DE INDIFERENCIAS SE
DENOMINAN:

CURVAS DE ISOUTILIDAD
Definición:

Representación del conjunto de combinaciones
rendimiento esperado-riesgo que proporcionan al
inversor la máxima utilidad.
Son crecientes (pendiente positiva)
A medida que el riesgo crece será necesario un
incremento mas que proporcional en el rendimiento
esperado para mantener constante la utilidad.
No se pueden cortar entre ellas.


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Ejemplo:

Un inversor ve incrementada la rentabilidad de
una cartera del 3,9% al 5,7% (180 puntos básicos)
estando dispuesto a asumir un incremento del riesgo
del 3,4% al 8,5% (510 puntos básicos). Por otros 510
puntos básicos de aumento en el riesgo EXIGIRÁ UNA
COMPENSACIÓN SUPERIOR a 180 puntos básicos
para que las combinaciones rentabilidad-riesgo le
reporten la misma utilidad.

RENDIMIENTOS MARGINALES CRECIENTES


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CUANTO MAYOR PENDIENTE Y/O CONVEXIDAD
TENGA LA CURVA INDICA MAYOR AVERSION AL
RIESGO Y POR LO TANTO LA EXIGENCIA DE
MAYORES PRIMAS DE RENTABILIDAD.


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5.2.- Rentabilidad y riesgo.

Todo inversor está dispuesto a colocar sus ahorros o parte
de ellos adquiriendo títulos de la empresa “i” por un precio
unitario si tiene la esperanza de que suba su
cotización y las pueda vender por un precio unitario
más elevado. Además el inversor tiene en cuenta un
dividendo por acción incierto , siendo la rentabilidad
aleatoria (por moverse dentro del espacio de las
probabilidades):
Ři – Rentabilidad del título en tanto
por uno

Ři = – Plusvalía por la venta
del título


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La rentabilidad de un título es una variable aleatoria que
puede tomar diferentes valores en función de sus
probabilidades. Podemos calcular dos estadísticos:

 Media o rendimiento esperado:

La varianza de dicho rendimiento que mide la
variabilidad del título “i”: Cuanto mayor sea la varianza mas
arriesgado e incierto es el título
(mayor dispersión)

, siendo:

- Rentabilidad del activo “i” en el estado de la naturaleza “j”, la
probabilidad de que ocurra ese estado de la naturaleza “j”.


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Tanto la rentabilidad media como la varianza están
expresadas en porcentaje o tanto por uno.
La desviación típica de los rendimientos como medida
de dispersión también está en porcentaje siendo:

Las desviaciones respecto a la media que deben
preocupar al inversor son las negativas ya que el
rendimiento alcanzará un valor menor a lo esperado.


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5.3.- Ventajas de la diversificación.

Podemos calcular rentabilidad y riesgo de un único
título o de un conjunto de valores diferentes (cartera)
con unas determinadas ponderaciones o peso dentro
de la cartera ( ).
El objetivo de la formación de carteras es la
DIVERSIFICACIÓN para poder reducir el riesgo de la
cartera.
Ejemplo: Con economía en auge la demanda de automóviles nuevos es alta. La
Industria automotriz ofrece altos rendimientos. Pero a medida que el crecimiento
económico decrece, el consumidor no cambia con facilidad su automóvil y decide
mantenerlo con demanda de recambios. En este periodo, la industria de recambios
obtendrá altos rendimientos. DEBIDO AL COMPORTAMIENTO CÍCLICO DE LA
INDUSTRIA DEL AUTOMÓVIL Y ANTICÍCLICO DE LA DE RECAMBIOS, UN
INVERSOR CON TÍTULOS EN AMBAS INDUSTRIAS PUEDE TENER RENDIMIENTOS
MAS ESTABLES POR LA DIVERSIFICACIÓN QUE SI INVIRTIERA SÓLO EN UNA
INDUSTRIA.

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LA RENTABILIDAD DE UNA CARTARA VENDRÁ DADA
POR LA MEDIA PONDERADA DE LAS RENTABILIDADES
ALEATORIAS DE LOS TÍTULOS QUE LA COMPONEN:

Aplicando el operador esperanza e introduciendo la
aleatoriedad llegaremos:


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Un inversor querrá saber el riesgo asumido con la
cartera formada. LA VARIANZA DE LA CARTERA
será:
σ2(Řp)= w12 σ2(Ř1)+ w22 σ2(Ř2)+ … + wn2
σ2(Řn)+2w1w2Cov(Ř1, Ř2)+ 2w1w3Cov(Ř1, Ř3)+ ……
+2wn-1wnCov(Řn-1, Řn)

(nota: tener en cuenta que al ser dos títulos el denominador
de la fórmula debe ser: n-1=1)


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CORRELACIÓN ENTRE DOS TITULOS

COCIENTE ENTRE LA COVARIANZA DE AMBOS TÍTULOS
ENTRE EL PRODUCTO DE LAS DESVIACIONES TÍPICAS
DE CADA TÍTULO

ρij = 1 Los títulos se mueven en el mismo sentido
(si pierde uno, pierde otro). PERFECTA POSITIVA.

ρij =-1 Los títulos se mueven en sentido opuesto
(si uno pierde, el otro gana).PERFECTA NEGATIVA.

ρij = 0 Rendimientos aleatorios independientes, no
guardan relación lineal. LINEAL NO PERFECTA .

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5.4.- Ejemplos prácticos. Ejemplo con Microsoft Excel.
Supongamos dos títulos (A y B) con la siguiente distribución
dentro de la cartera: wA= 60% del presupuesto y wB = 40 %
del presupuesto. Los escenarios estimados serán los
siguientes:

Escenario Probabilidad Rento. Titulo A Rento. Título B

Expansión 30% 40% -5%

Normal 50% 20% 15%

Recesión 20% -20% 20%

(Recordar el ejemplo de la industria del automóvil nuevo y la
de recambios)

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Para cada título los cálculos de rentabilidad y riesgo serán:
Título A:
Escenario P(x) Rendto. P(x)*R Desv. (R-E(R))2 (R-E(R))2*P(x)
(R)

Expansión 30% 40% 12% 22% 0,048 0,01452
Normal 50% 20% 10% 2% 0,000 0,0002
Recesión 20% -20% -4% -38% 0,14 0,02888

E(R) 18% σ2 0,04360
σ 20,88%

1) La desviación del rendimiento de cada escenario se calcula sobre la media:
Calculamos la media (18%): suma del rendimiento esperado x probabilidad de que
ocurra en cada escenario.
Restamos al rendimiento esperado en cada escenario la media esperada (R-E(R)).

2) Elevamos al cuadrado la desviación y posteriormente multiplicamos el cuadrado por la
probabilidad. La suma de esta columna nos proporcionará LA VARIANZA DEL TÍTULO A.

3) La raíz cuadrada de la varianza nos mostrará la DESVIACIÓN TÍPICA O MEDIDA DE
RIESGO, QUE EXPRESADA EN TANTO POR CIEN SERÁ: 20,88%.

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Con el título B actuaremos de la misma forma:
Título B:
Escenario P(x) Rendto. P(x)*R Desv. (R-E(R))2 (R-E(R))2*P(x)
(R)

Expansión 30% -5% -0,015 -15% 0,023 0,007
Normal 50% 15% 0,075 5% 0,003 0,001
Recesión 20% 20% 0,04 10% 0,010 0,002

E(R) 10% σ2 0,01
σ 10%

1) La desviación del rendimiento de cada escenario se calcula sobre la media:
Calculamos la media (10%): suma del rendimiento esperado x probabilidad de que
ocurra en cada escenario.
Restamos al rendimiento esperado en cada escenario la media esperada (R-E(R)).

2) Elevamos al cuadrado la desviación y posteriormente multiplicamos el cuadrado por la
probabilidad. La suma de esta columna nos proporcionará LA VARIANZA DEL TÍTULO A.

3) La raíz cuadrada de la varianza nos mostrará la DESVIACIÓN TÍPICA O MEDIDA DE
RIESGO, QUE EXPRESADA EN TANTO POR CIEN SERÁ: 10%.

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Tabla resumen de ambos títulos: CARTERA.
Escenario P(x) Desv. A Desv.B Desv. A*B P(x)*Desv.A*Desv.B

Expansión 30% 22% -15% -0,033 -0,0099
Normal 50% 2% 5% 0,001 0,0005
Recesión 20% -38% 10% -0,038 -0,0076
Covarianza -0,017

Multiplicamos para cada escenario las desviaciones respecto a
la media: Desv. A x Desv. B.
Al resultado anterior le aplicaremos la probabilidad asignada a
cada escenario.
El sumatorio del producto anterior será la COVARIANZA.
Una covarianza negativa DISMINUYE LA VARIANZA DEL
RENDIMIENTO DE LA CARTERA EN SU CONJUNTO.


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Cálculo final: RENDIMIENTO Y RIESGO DE LA CARTERA.
Título wi E(R) σ2 σ

A 60% 18% 0,0436 0,2088
B 40% 10% 0,01 0,1
E(Rp) 14,8% σ2(Řp) 0,09136
σ(Rp) 9,56%
Covarianza -0,017 ρij(2) -0,8142

 En función de lo datos anteriores calcularemos el
RENDIMIENTO ESPERADO la cartera aplicando la fórmula:

 Para el cálculo de VARIANZA DE LA CARTERA
utilizaremos la fórmula: σ2(Řp)= w12 σ2(Ř1)+ w22 σ2(Ř2)
+2w1w2Cov(Ř1, Ř2) ya que sólo tenemos dos títulos.


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La desviación típica será la raíz cuadrada de la varianza de
la cartera.
El COEFICIENTE DE CORRELACIÓN vendrá dado por el
cociente de la covarianza entre el producto de las
desviaciones típicas de cada título: (-0,017)/ (0,2088 x 0,1).
 AL SER NEGATIVO EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
DEMOSTRAMOS QUE LOS RENDIMIENTOS DE AMBOS
TÍTULOS SE MUEVEN EN SENTIDO OPUESTO.


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Disminución del riesgo cuando se reduce el coeficiente de
correlación: DEMOSTRACIÓN.
E(Řp)(%) σ2(Řp) σ(Řp) (%)

1 14 0,0361 19

0,5 14 0,0271 16,46

0 14 0,0181 13,45

-0,5 14 0,0091 9,54

-1 14 0,0001 1

Rendimiento de cada título, peso en la cartera y varianzas
de cada título:

E(Řp)=w1 E(Ř1)+ w2 E(Ř2)
E(Řp)=0,4*20%+0,6*10%=14%
σ2(Ř1)= 25% , σ2(Ř2)= 15%.

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ρ12=1
σ (Řp)=w σ
2
Create w ρ σ(Ř )σ(Ř )=
2 2 2 2
24
1 1 2 2 1 2 12 1 2
0,4²(0,25)²+0,6²(0,15)²+2*0,4*0,6*1*0,25*0,15=0,0361
σ(Řp)=√0,0361=19%

ρ12=0,5
σ2(Řp)=w12σ2(Ř1)+w22σ2(Ř2)+2w1w2ρ12σ(Ř1)σ(Ř2)=
0,4²(0,25)²+0,6²(0,15)²+2*0,4*0,6*0,5*0,25*0,15=0,0271
σ(Řp)=√0,0271=16,46%

ρ12=0
0,4²(0,25)²+0,6²(0,15)²+2*0,4*0,6*0*0,25*0,15=0,0181
σ(Řp)=√0,0181=13,45%

ρ12=-0,5
0,4²(0,25)²+0,6²(0,15)²+2*0,4*0,6*-0,5*0,25*0,15=0,0091
σ(Řp)=√0,0091=9,54%

ρ12=-1
σ2(Řp)=w12σ2(Ř1)+w22σ2(Ř2)+2w1w2 ρ12σ(Ř1)σ(Ř2)=
0,4²(0,25)²+0,6²(0,15)²+2*0,4*0,6*(-1)*0,25*0,15=0,0001
σ(Řp)=√0,0001=1%

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GRACIAS POR LA
ATENCIÓN PRESTADA.


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