PROBABILIDAD Y ESTADISTICA BASICA PARA INGENIEROS.pdf

Escuela Superior Politécnica del Litoral
Instituto de Ciencias Matemáticas
Guayaquil - Ecuador
2007
Luis Rodríguez Ojeda, MSc.
lrodrig@espol.edu.ec
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
BÁSICA PARA INGENIEROS
Con el soporte de MATLAB para cálculos y gráficos estadísticos
ISBN: 978-9942-922-02-1

CONTENIDO
1 Fundamentos de la Estadística 8
1.1 Objetivo 8
1.2 Definiciones preliminares 8
1.3 Desarrollo de un proyecto estadístico 9
1.3.1 Preguntas 10
2 Estadística Descriptiva 11
2.1 Recopilación de datos 11
2.2 Simbología 11
2.2.1 Preguntas 12
2.3 Descripción de conjuntos de datos 13
2.4 Tabla de distribución de frecuencia 13
2.4.1 Ejercicios 15
2.5 Representación gráfica de conjuntos de datos 17
2.5.1 Histograma de frecuencias 17
2.5.2 Polígono de frecuencias 18
2.5.3 Ojiva 18
2.5.4 Gráficos de frecuencias con formas especiales 19
2.5.5 Ejercicios 20
2.6 Medidas de tendencia central 22
2.6.1 Media muestral 22
2.6.2 Moda muestral 22
2.6.3 Mediana muestral 22
2.7 Medidas de dispersión 23
2.7.1 Rango 23
2.7.2 Varianza muestral 24
2.7.3 Desviación estándar muestral 22
2.8 Medidas de posición 24
2.8.1 Cuartiles 24
2.8.8 Deciles 25
2.8.9 Percentiles 25
2.9 Coeficiente de variación 25
2.9.1 Ejercicios 26
2.10 Fórmulas para datos agrupados 28
2.10.1 Ejercicios 30
2.11 Instrumentos gráficos adicionales 31
2.11.1 Diagrama de caja 31
2.11.2 Diagrama de puntos 31
2.11.3 Diagrama de Pareto 31
2.11.4 Diagrama de tallo y hojas 32
2.12 Muestras bivariadas 36
2.12.1 Correlación 37
2.12.2 Covarianza muestral 37
2.12.3 Signos de la covarianza muestral 38
2.12.4 Coeficiente de correlación lineal muestral 38
2.12.5 Matriz de varianzas y covarianzas 39
2.12.6 Matriz de correlación 39

3 Fundamentos de la teoría de la probabilidad 44
3.1 Fórmulas de conteo 44
3.1.1 Permutaciones 45
3.1.2 Permutaciones con todos los elementos 46
3.1.3 Arreglo circular 47
3.1.4 Permutaciones con elementos repetidos 47
3.1.5 Combinaciones 48
3.1.6 Ejercicios 51
3.2 Experimento estadístico 53
3.3 Espacio muestral 53
3.4 Eventos 54
3.5 Sigma-álgebra 54
3.6 Probabilidad de eventos 54
3.6.1 Asignación de valores de probabilidad a eventos 55
3.6.2 Probabilidad de eventos simples 57
3.7 Axiomas de probabilidad de eventos 58
3.8 Propiedades de la probabilidad de eventos 58
3.8.1 Demostraciones basadas axiomas de probabilidad 58
3.8.2 Ejercicios 62
3.9 Probabilidad condicional 63
3.9.1 Ejercicios 65
3.10 Eventos independientes 66
3.11 Regla multiplicativa de la probabilidad 68
3.12 Probabilidad total 71
3.13 Teorema Bayes 73
3.14 Ejercicios 75
4 Variables aleatorias discretas 76
4.1 Distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta 77
4.2 Distribución de probabilidad acumulada 80
4.2.1 Ejercicios 82
4.3 Valor esperado de una variable aleatoria discreta 83
4.3.1 Valor esperado de expresiones con una variable aleatoria 84
4.3.2 Propiedades del valor esperado 85
4.3.3 Corolarios 85
4.4 Varianza de una variable aleatoria discreta 86
4.4.1 Fórmula calcular la varianza 87
4.4.2 Propiedades de la varianza 87
4.4.3 Corolarios 87
4.4.4 Ejercicios 88
4.5 Momentos de una variable aleatoria discreta 89
4.5.1 Momentos alrededor del origen 89
4.5.2 Momentos alrededor de la media 89
4.5.3 Coeficientes para comparar distribuciones 89
4.5.4 Equivalencia entre momentos 90
4.6 Función generadora de momentos 90
4.6.1 Obtención de momentos 90
4.6.2 Unicidad de funciones de distribución de probabilidad 92
4.7 Teorema de Chebyshev 92
4.8 Ejercicios 93
5 Distribuciones de probabilidad discretas 95
5.1 Distribución discreta uniforme 95
5.1.1 Media y varianza 96
5.2 Distribución de Bernoulli 96

5.3 Distribución binomial 97
5.3.1 Parámetros y variables 98
5.3.2 Distribución de probabilidad binomial acumulada 98
5.3.3 Gráfico de la distribución binomial 99
5.4 Distribución binomial negativa 103
5.5 Distribución geométrica 104
5.6 Distribución hipergeométrica 105
5.6.2 Aproximación de la distribución hipergeométrica
con la distribución binomial 107
5.7 Distribución de Poisson 110
5.7.1 Media y varianza de la distribución de Poisson 111
5.7.2 Aproximación de la distribución binomial con
la distribución de Poisson 111
6 Variables aleatorias continuas 114
6.1 Función de densidad de probabilidad 114
6.2 Función de distribución 115
6.3 Media y varianza de variables aleatorias continuas 118
6.3.1 Propiedades de la media y la varianza 118
6.3.2 Valor esperado de expresiones con una variable 119
aleatoria continua
6.4 Momentos y función generadora de momentos 119
6.5 Teorema de Chebyshev 120
6.6 Ejercicios 120
7 Distribuciones de probabilidad continuas 121
7.1 Distribución discreta uniforme 121
7.1.2 Función de distribución de probabilidad 122
7.2 Distribución normal 124
7.2.1 Distribución normal estándar 125
7.2.2 Estandarización de la distribución normal 127
7.2.3 Valores referenciales de la distribución normal 129
7.2.4 Aproximación de la distribución binomial con
la distribución normal estándar 129
7.3 Distribución gamma 133
7.4 Distribución exponencial 135
7.4.2 Una aplicación de la distribución exponencial 137
7.5 Distribución de Weibull 141
7.6 Razón de falla 142
7.7 Distribución beta 142

7.8 Distribución de Erlang 144
7.9 Distribución ji-cuadrado 145
7.10 Distribución empírica acumulada 148
8 Distribuciones de probabilidad conjunta 150
8.1 Caso discreto bivariado 150
8.1.1 Distribución de probabilidad conjunta 150
8.1.2 Distribución de probabilidad acumulada 150
8.1.3 Distribuciones de probabilidad marginal 151
8.1.4 Distribuciones de probabilidad condicional 153
8.1.5 Variables aleatorias discretas independientes 154
8.2 Caso discreto trivariado 155
8.3 Caso continuo bivariado 159
8.3.1 Densidad de probabilidad conjunta 159
8.3.2 Distribución de probabilidad acumulada conjunta 159
8.3.3 Densidades de probabilidad marginal 160
8.3.4 Densidades de probabilidad condicional 161
8.3.5 Variables aleatorias continuas independientes 162
8.4 Caso continuo trivariado 164
8.5 Media para variables aleatorias conjuntas bivariadas 166
8.5.1 Casos especiales 167
8.6 Covarianza para variables aleatorias conjuntas bivariadas 167
8.6.1 Signos de la covarianza 169
8.6.2 Matriz de varianzas y covarianzas 171
8.6.3 Coeficiente de correlación lineal 172
8.6.4 Matriz de correlación 172
8.7 Media y varianza para variables aleatorias conjuntas trivariadas 174
8.8 Distribución multinomial 180
8.9 Distribución hipergeométrica multivariada 181
8.10 Propiedades de las variables aleatorias conjuntas 184
9 Muestreo Estadístico 186
9.1 Distribuciones de Muestreo 188
9.2 Distribución de muestreo de la media muestral 189
9.2.1 Corrección de la varianza 189
9.2.2 Media muestral de una población normal 190
9.3 Teorema del Límite Central 191
9.4 La distribución T 194
9.4.1 Gráfico de la distribución T 194
9.5 La distribución ji-cuadrado 196
9.5.1 Gráfico de la distribución ji-cuadrado 196
9.6 Distribución F 198
9.6.1 Gráfico de la distribución F 198

9.7 Estadísticas de orden 200
9.7.1 Densidad de probabilidad de las estadísticas de orden 200
10 Estadística inferencial 205
10.1 Inferencia estadística 205
10.2 Métodos de inferencia estadística 205
10.2.1 Estimación puntual 205
10.2.2 Estimación por intervalo 206
10.2.3 Prueba de hipótesis 206
10.3 Propiedades de los estimadores 206
10.4 Inferencias relacionadas con la media 215
10.4.1 Estimación puntual (muestras grandes) 215
10.4.2 Tamaño de la muestra (muestras grandes) 217
10.4.3 Estimación por intervalo (muestras grandes) 218
10.4.4 Intervalos de confianza unilaterales (muestras grandes) 219
10.4.6 Estimación puntual (muestras pequeñas) 221
10.4.7 Estimación por intervalo (muestras pequeñas) 223
10.5 Prueba de hipótesis 226
10.5.1 Prueba de hipótesis relacionada con la media 227
(muestras grandes)
10.5.3 Prueba de hipótesis relacionada con la media 232
(muestras pequeñas)
10.5.5 Valor-p de una prueba de hipótesis 235
10.5.6 Cálculo del error tipo I 236
10.5.7 Cálculo del error tipo II 237
10.5.8 Curva característica de operación 238
10.5.9 Potencia de la prueba 238
10.6 Inferencias relacionadas con la proporción (muestras grandes) 247
10.6.1 Estimación puntual 247
10.6.2 Estimación por intervalo 248
10.7 Inferencias relacionadas con la varianza 252
10.7.1 Intervalo de confianza 252
10.8 Inferencias relacionadas con la diferencia de dos medias 256
10.8.1 Estimación puntual e intervalo de confianza 256
(muestras grandes)
10.8.2 Prueba de hipótesis (muestras grandes) 258
10.8.3 Intervalo de confianza (muestras pequeñas) 260
10.8.4 Prueba de hipótesis (muestras pequeñas) 262
10.9 Inferencias para la diferencia entre dos proporciones 266
(muestras grandes)

10.10 Inferencias para dos varianzas 269
10.11 Prueba para la diferencia de medias con muestras pareadas 273
10.12 Tablas de contingencia 277
10.13 Pruebas de bondad de ajuste 281
10.13.1 Prueba ji-cuadrado 281
10.13.3 Prueba de Kolmogorov-Smirnov 286
10.14 Análisis de varianza 290
10.14.1 Tabla ANOVA 291
11 Regresión lineal simple 294
11.1 Recta de mínimos cuadrados 296
11.2 Coeficiente de correlación 297
11.3 Análisis del modelo de regresión lineal simple 298
11.5 Coeficiente de determinación 300
11.6 Tabla ANOVA 301
11.7 Prueba de dependencia lineal del modelo 301
11.8 Estimación de la varianza 302
11.9 Inferencias con el modelo de regresión lineal 302
11.10 Inferencias acerca de la pendiente de la recta 303
11.11 Inferencias para la intercepción de la recta 304
11.12 Prueba de la normalidad del error 305
11.13 Ejercicios 307
12 Regresión lineal múltiple 310
12.1 Método de mínimos cuadrados 311
12.2 Método de mínimos cuadrados para k = 2 311
12.3 Regresión lineal múltiple en notación matricial 312
12.5 Coeficiente de determinación 316
12.6 Tabla ANOVA 316
12.7 Prueba de dependencia lineal del modelo 317
12.8 Estimación de la varianza 317
12.9 Matriz de varianzas y covarianzas 318
12.10 Inferencias con el modelo de regresión lineal 319
12.10.1 Estadísticos para estimación de parámetros 319
12.10.2 Intervalos de confianza 319
12.11 Prueba de la normalidad del error 321
12.12 Ejercicios 322

Anexos
1 Alfabeto griego 325
2 Tabla de la distribución normal estándar 326
3 Tabla de la distribución T 328
4 Tabla de la distribución ji-cuadrado 329
5 Tabla de la distribución F 330
6 Tabla para la prueba de Kolmogorov-Smirnov 331
7 Descripción de los utilitarios DISTTOOL y RANDTOOL 332
Bibliografía 334

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA BÁSICA PARA INGENIEROS
Con el Soporte de MATLAB

para Cálculos y Gráficos Estadísticos
PREFACIO
Esta obra es una contribución bibliográfica para los estudiantes que toman un primer curso de
Probabilidad y Estadística a nivel universitario en las carreras de ingeniería. El pre-requisito es el
conocimiento del cálculo diferencial e integral y alguna experiencia previa con el programa
MATLAB para aprovechar el poder de este instrumento computacional como soporte para los
cálculos y gráficos estadísticos.
Este libro se originó en la experiencia desarrollada por el autor en varios años impartiendo el curso
de Estadística en forma presencial y a distancia que ofrece el Instituto de Ciencias Matemáticas
para estudiantes de ingeniería de la ESPOL y contiene el material del curso con algunos ejemplos
basados en temas propuestos en exámenes receptados.
El enfoque de esta obra también tiene como objetivo que los estudiantes aprecien el uso de un
instrumento computacional moderno y flexible que en forma integradora puede ser usado como
soporte común para los diferentes cursos básicos de matemáticas, incluyendo Probabilidad y
Estadística. Este soporte lo proporciona el programa MATLAB que dispone de un amplio repertorio
de funciones especializadas para manejo estadístico y de muchas otras áreas de las ciencias y la
ingeniería. Todos los cálculos en esta obra, incluyendo el manejo matemático simbólico y gráfico
fueron realizados con estas funciones. Al final de este libro se incluye la descripción de dos
instrumentos computacionales interactivos para experimentar con modelos de probabilidad y con la
generación de muestras aleatorias.
Otro objetivo importante de esta obra se relaciona con el desarrollo de textos virtuales para ser
usados interactivamente, reduciendo el consumo de papel y tinta, contribuyendo así con el cuidado
del medio ambiente. Una ventaja adicional de los libros virtuales es la facilidad para su
actualización y mejoramiento continuo del contenido.
El libro ha sido compilado en formato pdf. El tamaño del texto en pantalla es controlable, contiene
un índice electrónico para facilitar la búsqueda de temas y dependiendo de la versión del programa
de lectura de este formato, se pueden usar las facilidades disponibles para resaltar digitalmente
texto, insertar comentarios, notas, enlaces, revisiones, búsqueda por contenido, lectura, etc.
Esta obra tiene derechos de autor pero es de libre uso y distribución. Su realización ha sido factible
por el apoyo de la Institución a sus profesores en el desarrollo de sus actividades académicas
Luis Rodríguez Ojeda, M.Sc.
lrodrig@espol.edu.ec
Profesor titular
Instituto de Ciencias Matemáticas
Escuela Superior Politécnica del Litoral, ESPOL
Guayaquil, Ecuador
2007

8
1 FUNDAMENTOS DE LA ESTADÍSTICA
1.1 OBJETIVO
El objetivo fundamental de la Estadística es analizar datos y transformarlos en información útil
para tomar decisiones.
El conocimiento de la Estadística se remonta a épocas en las que los gobernantes requerían
técnicas para controlar a sus propiedades y a las personas.
Posteriormente, el desarrollo de los juegos de azar propició el estudio de métodos matemáticos
para su análisis los cuales con el tiempo dieron origen a la Teoría de la Probabilidad que hoy es
el sustento formal de la Estadística.
El advenimiento de la informática ha constituido el complemento adecuado para realizar estudios
estadísticos mediante programas especializados que facilitan enormemente el tratamiento y
transformación de los datos en información útil.
La Estadística ha alcanzado un nivel de desarrollo muy alto y constituye actualmente el soporte
necesario para todas las ciencias y para la investigación científica, siendo el apoyo para tomar
decisiones en un entorno de incertidumbre.
Es importante resaltar que las técnicas estadísticas deben usarse apropiadamente para que la
información obtenida sea válida.
1.2 DEFINICIONES PRELIMINARES
ESTADÍSTICA
Ciencia inductiva que permite inferir características cualitativas y cuantitativas de un conjunto
mediante los datos contenidos en un subconjunto del mismo.
POBLACIÓN OBJETIVO
Conjunto total de individuos u objetos con alguna característica que es de interés estudiar.
PARÁMETRO
Es alguna característica de la población en estudio y que es de interés conocer.
MUESTRA
Es un subconjunto de la población y contiene elementos en los cuales debe estudiarse la
característica de interés para la población.
VARIABLE
Representación simbólica de alguna característica observable de los elementos de una
población y que puede tomar diferentes valores.
OBSERVACIÓN o DATO
Cada uno de los valores obtenidos para los elementos incluidos en la muestra. Son el resultado
de algún tipo de medición.

9
MODELO
Descripción simbólica o física de una situación o sistema que se desea estudiar
MODELO DETERMINÍSTICO
Representación exacta de un proceso. Permite obtener respuestas precisas si se conocen los
valores de las variables incluidas en el modelo.
MODELO PROBABILISTA
Representación de un sistema que incluye componentes aleatorios. Las respuestas obtenidas se
expresan en términos de probabilidad.
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Técnicas para recopilar, organizar, procesar y presentar datos obtenidos en muestras.
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Técnicas para obtención de resultados basados en la información contenida en muestras.
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Es la extensión a la población de los resultados obtenidos en una muestra
1.3 DESARROLLO DE UN PROYECTO ESTADÍSTICO
En forma resumida, se describen los pasos para resolver un problema usando las técnicas
estadísticas
PROBLEMA
Es una situación planteada para la cual se debe buscar una solución.
DEFINICIÓN
Para el problema propuesto deben establecerse los objetivos y el alcance del estudio a ser
realizado considerando los recursos disponibles y definiendo actividades, metas y plazos. Se
debe especificar la población a la cual está dirigido el estudio e identificar los parámetros de
interés así como las variables que intervienen.
Se deben formular hipótesis y decidir el nivel de precisión que se pretende obtener en los
resultados. Deben elegirse el tamaño de la muestra y las técnicas estadísticas y
computacionales que serán utilizadas.
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Es el uso de las técnicas para obtener y analizar datos, incluyendo el diseño de cuestionarios en
caso de ser necesarios. Se debe usar un plan para la obtención de los datos.
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Son las técnicas estadísticas utilizadas para realizar inferencias estadísticas que permiten validar
las hipótesis propuestas.
Definición Estadística
Descriptiva
Estadística
Inferencial
Problema Resultados

10
RESULTADOS
Los resultados obtenidos deben usarse para producir información útil en la toma de decisiones.
La metodología de diseño en otros ámbitos de la ciencia e ingeniería usa la retroalimentación
para corregir las especificaciones con las que se ejecutan las actividades, hasta que los
resultados obtenidos concuerden con las especificaciones y requerimientos iniciales.
Sin embargo, el uso de retroalimentación en la resolución de un problema estadístico podría
interpretarse como un artificio para modificar los datos o la aplicación de las técnicas estadísticas
para que los resultados obtenidos concuerden con los requerimientos e hipótesis formuladas
inicialmente. En este sentido, usar retroalimentación no sería un procedimiento aceptable.
1.4 PREGUNTAS
1) ¿Cual es la relación entre dato, información y Estadística?
2) ¿Cual es el aporte de la informática para el uso de las técnicas estadísticas?
3) ¿Por que hay que tener precaución en el uso de los resultados estadísticos?
4) ¿Cual es la diferencia entre población y muestra?
5) ¿Cual es la característica principal de un modelo probabilista?
6) ¿Cual es el objetivo de realizar una inferencia estadística?

11
I
2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Es el estudio de las técnicas para recopilar, organizar y presentar datos obtenidos en un estudio
estadístico para facilitar su análisis y aplicación.
2.1 RECOPILACIÓN DE DATOS
Fuentes de datos
1) Investigación en registros administrativos: INEC, Banco Central, Cámaras de la
Producción, Universidades, etc. para obtener índices de empleo, índice de precios, datos
de salud, datos de eficiencia, etc.
2) Obtención de datos mediante encuestas de investigación Ej. Estudios de mercado.
Estudios de preferencia electoral, etc
3) Realización de experimentos estadísticos
Criterios para diseñar una encuesta de investigación
1) Definir el objetivo del estudio
2) Definir la población de interés
3) Determinar el tamaño de la muestra
4) Seleccionar el tipo de muestreo
5) Elegir temas generales
6) Elaborar el formulario para la encuesta: Preguntas cortas, claras y de opciones.
7) Realizar pruebas
8) Realizar la encuesta
Tipos de datos
Los resultados que se obtiene pueden ser
1) Datos cualitativos: corresponden a respuestas categóricas
Ej. El estado civil de una persona
2) Datos cuantitativos: corresponden a respuestas numéricas
Ej. La edad en años.
Los datos cuantitativos pueden ser
1) Discretos: Se obtienen mediante conteos
2) Continuos: Se obtienen mediante mediciones
2.2 SIMBOLOGÍA
Sea N el tamaño de la población objetivo y n el número de elementos que se incluyen en la
muestra, entonces si X representa la característica que es de interés estudiar, la muestra es el
conjunto de variables:
X: {X1, X2, ..., Xn}
En la notación vectorial, X es un vector de n variables:
XT
= (X1, X2, ..., Xn)
Cada variable puede tomar un valor que se obtiene mediante una medición, y estos valores se los
puede representar por
x: {x1, x2, ..., xn}
Si se escribe X1 = x1 debe entenderse que al tomar la medición, para la variable X1 se obtuvo el
valor x1. Entonces el vector de datos se puede escribir
xT
= (x1, x2, ..., xn)

12
I
Ejemplo. Una bodega contiene N = 50 artículos. Cada uno puede estar en tres estados: aceptable
(a), regular (r), o defectuoso (d). Para una inspección se decide tomar una muestra X de
n = 4 artículos elegidos al azar. Entonces,
X: {X1, X2, X3, X4}, representa cada muestra que se puede obtener
Supongamos que los valores obtenidos son respectivamente: d, a, a, r. Entonces
X1 = d, X2 = a, X3 = a, X1 = r
x: {d, a, a, r} son los datos que se obtuvieron en esta muestra
Es útil ordenar los datos de la muestra. Para representar una muestra de tal manera que los
valores de las n variables estén en forma ordenada creciente se usa la siguiente notación:
X(1), X(2), ..., X(n)
Esto implica que X(1) ≤ X(2) ≤ ... ≤ X(n-1) ≤ X(n)
Las variables X(1), X(2), ..., X(n) se denominan estadísticos de orden 1, 2, ..., n respectivamente.
Ejemplo. Una muestra de tamaño n = 4 contiene los valores
X1 = 7, X2 = 8, X3 = 5, X4 = 2
Entonces
X(1) = 2, X(2) = 5, X(3) = 7, X(4) = 8
2.2.1 PREGUNTAS
a) En las fuentes de recopilación de datos no se ha mencionado el uso de Internet. ¿Cuales
son las ventajas y peligros de su uso?
b) Al diseñar el formulario de una encuesta de investigación. ¿Porqué se prefieren preguntas
con opciones para elegir?
c) El número telefónico de una persona. ¿Es un dato cualitativo o cuantitativo?
d) El dinero es un dato cuantitativo, ¿Discreto o continuo?

13
I
2.3 DESCRIPCIÓN DE CONJUNTOS DE DATOS
Los datos obtenidos se los puede representar de diferentes formas:
1) Tabularmente
2) Gráficamente
3) Mediante números que caracterizan al grupo de datos
Si la muestra contiene pocos datos, estos se pueden representar directamente. Pero si el número
de datos es grande conviene agruparlos para facilitar su análisis
2.4 TABLA DE FRECUENCIAS
Es un dispositivo para agrupación de datos y facilitar su interpretación.
Recomendaciones para construir la Tabla de Frecuencias
Sea X una muestra de tamaño n
1) Identificar la unidad de medida de los datos
2) Obtener el rango de los datos: distancia entre el mayor y el menor valor de los datos
R = X(n) - X(1) (Rango de los datos)
3) Seleccionar el numero de clases (o intervalos) k, para agrupar los datos.
Sugerencia para elegir k
Sean n: número de datos
k: Número de clases
n k
Menos de 50 5 a 7
Entre 50 y 100 6 a 10
Entre 100 y 250 7 a 12
Mas de 250 10 a 20
4) Obtener la longitud de las clases,
L = R/k (Longitud)
Se puede redefinir la longitud, el número de clases y los extremos de cada clase de tal
manera que las clases tengan la misma longitud y los intervalos de cada clase incluyan a
todos los datos, sean excluyentes y los valores en los extremos de cada clase sean simples.
Si ai, bi son los extremos de la clase i, entonces el intervalo de la clase i es [ai, bi)
5) Realizar el conteo de datos para obtener la frecuencia en cada clase
Notación n: número de datos
k: número de clases
fi: frecuencia de la clase i, i=1, 2, 3, …, k
fi/n: frecuencia relativa de la clase i
Fi: frecuencia acumulada de la clase i: Fi = f1+f2+f3+…+fi
Fi/n: frecuencia acumulada relativa de la clase i
mi : marca de la clase i (es el valor central del intervalo de la clase i)
Los resultados se los organiza en un cuadro denominado Tabla de Frecuencia

14
I
Ejemplo.- Obtenga la Tabla de Frecuencias para los siguientes 40 datos de una muestra,
correspondientes al tiempo que se utilizó para atender a las personas en una estación de servicio:
3.1 4.9 2.8 3.6
4.5 3.5 2.8 4.1
2.9 2.1 3.7 4.1
2.7 4.2 3.5 3.7
3.8 2.2 4.4 2.9
5.1 1.8 2.5 6.2
2.5 3.6 5.6 4.8
3.6 6.1 5.1 3.9
4.3 5.7 4.7 4.6
5.1 4.9 4.2 3.1
Solución
1) Precisión: un decimal
2) Rango: R = 6.2 – 1.8 = 4.4
3) Número de clases: k=6
4) Longitud: R/k = 0.7333...
Por simplicidad se redefine la longitud como 1 y se usan números enteros para los
extremos de las clases.
5) Conteo de los datos (puede hacerse en un solo recorrido), n=40
Número Clase (Intervalo) Frecuencia absoluta
1 [1, 2) 1
2 [2, 3) 9
3 [3, 4) 11
4 [4, 5) 12
5 [5, 6) 5
6 [6, 7) 2
Tabla de Frecuencias
Número
i
Clase
(Intervalo)
[a, b)
Marca de
clase
m
Frecuencia
absoluta
f
Frecuencia
relativa
f/n
Frecuencia
absoluta
acumulada
F
Frecuencia
relativa
acumulada
F/n
1 [1, 2) 1.5 1 0.025 1 0.025
2 [2, 3) 2.5 9 0.225 10 0.250
3 [3, 4) 3.5 11 0.275 21 0.525
4 [4, 5) 4.5 12 0.300 33 0.825
5 [5, 6) 5.5 5 0.125 38 0.950
6 [6, 7) 6.5 2 0.050 40 1.000

15
I
2.4.1 EJERCICIOS
1) Suponga que una población objetivo consta de 5 personas y que es de interés para un estudio
la edad en años. Los valores incluidos en esta población son: 25, 30, 40, 25, 20. De esta población
se toma una muestra de tamaño 3
Si representamos la muestra con X: {X1, X2, X3}
a) ¿Cuantas muestras diferentes pueden obtenerse? (Las muestras son combinaciones)
b) Liste todas las muestras diferentes que se pueden tomar de esta población.
(Debe considerar todos los valores que pueden tomar las variables X1, X2, X3)
Sugerencia: Revise la fórmula de combinaciones de las Técnicas de Conteo
2) Con los resultados obtenidos y descritos en la Tabla de Frecuencias del ejemplo desarrollado
en la Sección 1.4.4 conteste las siguientes preguntas
a) ¿Cuántas personas requirieron no más de 4 minutos para ser atendidas?
b) ¿Cuántas personas requirieron entre 2 y 5 minutos?
c) ¿Cuántas personas requirieron al menos 4 minutos?
d) ¿Cuál es la duración que ocurre con mayor frecuencia?
3) Suponga que se desean analizar los siguientes datos correspondientes al costo de
electricidad durante un mes y que se obtuvieron en una muestra de 50 casas en una zona
residencial de Guayaquil:
96 171 202 178 147 102 153 129 127 82
157 185 90 116 172 111 148 213 130 165
141 149 206 175 123 128 144 168 109 167
95 163 150 154 130 143 187 166 139 149
108 119 183 151 114 135 191 137 129 158
Procedimiento para decidir el número de clases para la Tabla de Frecuencias
Rango:
Número de clases:
Longitud:
Conteo de Frecuencias
Número
Clase
(intervalo)
Conteo Frecuencia
1
2
3
4
5
6
7
8

16
I
Tabla de Frecuencias
Número
Clase
(Intervalo)
Marca de
clase
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Frec. abs.
acum.
Frec. rel.
acum.
1
2
3
4
5
6
7
8
MATLAB
Construcción de la Tabla de Frecuencias
Vector con los datos
>> x=[3.1 4.9 2.8 3.6 4.5 3.5 2.8 4.1 2.9 2.1 3.7 4.1 2.7 4.2 3.5 3.7 3.8 2.2 4.4 2.9...
5.1 1.8 2.5 6.2 2.5 3.6 5.6 4.8 3.6 6.1 5.1 3.9 4.3 5.7 4.7 4.6 5.1 4.9 4.2 3.1];
>> a = min(x) El menor valor
a =
1.8000
>> b = max(x) El mayor valor
b =
6.2000
Para definir 6 clases 1-2, 2-3, . . ., 6-7
>> m=[1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5]; se crea un vector con las marcas de clase
>> f=hist(x,m) Obtención de las frecuencias
f = en las marcas de clase
1 9 11 12 5 2
>> fr=f/40 Frecuencias relativas
fr =
0.0250 0.2250 0.2750 0.3000 0.1250 0.0500
>> F=cumsum(f) Frecuencias acumuladas
F =
1 10 21 33 38 40
>> Fr=F/40 Frecuencias acumuladas relativas
Fr =
0.0250 0.2500 0.5250 0.8250 0.9500 1.0000

17
2.5 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CONJUNTOS DE DATOS
En esta sección revisamos algunos dispositivos frecuentemente usados para resaltar
visualmente las características de grupos de datos.
2.5.1 HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
Es la manera más común de representar gráficamente la distribución de frecuencia de los datos.
Se lo construye dibujando rectángulos cuya base corresponde a cada intervalo de clase, y su
altura según el valor de la frecuencia. Puede ser la frecuencia absoluta o la frecuencia relativa.
Ejemplo. Construya el histograma para el ejemplo de la unidad anterior. Use los valores de la
frecuencia absoluta
:
Tabla de Frecuencia
Número
Clase
(Intervalo)
Marca
de clase
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Frecuencia
absoluta
acumulada
Frecuencia
relativa
acumulada
1 [1, 2) 1.5 1 0.025 1 0.025
2 [2, 3) 2.5 9 0.225 10 0.250
3 [3, 4) 3.5 11 0.275 21 0.525
4 [4, 5) 4.5 12 0.300 33 0.825
5 [5, 6) 5.5 5 0.125 38 0.950
6 [6, 7) 6.5 2 0.050 40 1.000
Histograma
El histograma permite dar una primera mirada al tipo de distribución de los datos:
1) Si las alturas de las barras son similares se dice que tiene distribución tipo “uniforme”
2) Si las alturas son mayores en la zona central se dice que tiene forma tipo “campana” y
puede ser simétrica o asimétrica, con sesgo hacia el lado positivo o al lado negativo
3) Si hay barras muy alejadas del grupo, se dice que son datos atípicos. Probablemente
estos datos se pueden atribuir a errores de medición y se los puede descartar pues no
pertenecen al grupo que se desea caracterizar.

18
2.5.2 POLÍGONO DE FRECUENCIAS
Es una manera de representar el perfil de la distribución de los datos. Se obtiene uniendo
mediante segmentos de recta los puntos (marca de clase, frecuencia)
Para cerrar el polígono se puede agregar un punto a cada lado con frecuencia 0.
Polígono de frecuencia para el ejemplo dado:
2.5.3 OJIVA
Este gráfico se usa para representar la frecuencia acumulada, absoluta o relativa. Se lo obtiene
uniendo segmentos de recta que se extienden entre los extremos de las clases y usando los
valores de la frecuencia acumulada.
Ojiva para el ejemplo dado:
La ojiva permite responder preguntas tipo “cuantos datos son menores que”
Ejemplo. ¿Cuantos datos tienen un valor menor a 4.5?
Respuesta: aproximadamente 27 datos

19
2.5.4 GRÁFICOS DE FRECUENCIAS CON FORMAS ESPECIALES
Los gráficos pueden tomar otros aspectos usando barras, colores, efectos tridimensionales,
sombreado, etc. o usando una representación tipo pastel. Como ilustración se muestran algunos:
Diagrama de barras
Diagrama de barras con efecto tridimensional
Diagrama tipo pastel
El ángulo de cada sector circular es proporcional al valor de la frecuencia respectiva.
Se puede resaltar algún valor particular separándolo del dibujo.

20
2.5.5 EJERCICIOS
Dibuje los siguientes gráficos con los resultados del ejercicio 3 de la Sección 1.4.5
Histograma
Polígono de Frecuencia
Ojiva

21
MATLAB
Obtención de gráficos. Los dibujos obtenidos se muestran en las páginas anteriores
Vector con los datos
>> x = [3.1 4.9 2.8 3.6 4.5 3.5 2.8 4.1 2.9 2.1 3.7 4.1 2.7 4.2 3.5 3.7 3.8 2.2 4.4 2.9...
5.1 1.8 2.5 6.2 2.5 3.6 5.6 4.8 3.6 6.1 5.1 3.9 4.3 5.7 4.7 4.6 5.1 4.9 4.2 3.1];
Vector con las marcas de clase
>> m=[1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5];
Graficación del histograma
>> hist(x, m); Dibujar el histograma con barras sobre las marcas
>> grid on Dibujar cuadrículas
Graficación del polígono de frecuencias
>> mp=[0.5 m 7.5]; Se agrega un punto con frecuencia cero a los lados
>> f = hist(x, m); Obtención de las frecuencias en las marcas de clase
>> fp=[0 f 0];
>> clf Borrar el gráfico anterior
>> plot(mp,fp,'o') Dibujar los puntos del polígono
>> hold on Mantener el gráfico anterior para superponer otro
>> plot(mp,fp) Trazado de las líneas del polígono
>> grid on Cuadrículas
Graficación de la ojiva
>> c=[1 2 3 4 5 6 7]; Vector con los extremos de las seis clases
>> F=cumsum(f); Vector con las frecuencias acumuladas
>> Fo=[0 F]; Se agrega un punto a la izquierda con frecuencia cero
>> clf
>> plot(c,Fo,'o') Dibujo de los puntos en un nuevo gráfico
>> hold on Para superponer el siguiente gráfico
>> plot(c, Fo) Trazado de las líneas de la ojiva
>> grid on
Gráfico de diagrama de barras, color verde
>> clf
>> bar(f,’g’)
Gráfico de diagrama de barras, horizontal con efecto tridimensional, color rojo
>> clf
>> bar3h(f,’r’)
Gráfico tipo pastel, con rótulos y extracción de porciones
>> sacar = [0 0 0 1 0 0]; Sacar la cuarta porción
>> nombres = {'A','B','C','D','E','F'}; Rótulos para las porciones
>> pie(f, sacar, nombres) Dibujar el pastel con rótulos

22
2.6 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Son números que definen cual es el valor alrededor del que se concentran los datos. Se indican
a continuación los más utilizados.
2.6.1 MEDIA MUESTRAL
Si X: X1, X2, ... , Xn es una muestra de n datos, entonces la media muestral es el promedio
aritmético simple de los datos:
Definición: Media Muestral
n
1 2 n
i
i 1
x x ... x 1
X x
n n =
+ + +
= = ∑
Ejemplo. Si los datos son 2, 6, 11, 8, 11, 4, 7, 5
Entonces X = (2+6+11+8+11+4+7+5)/8 = 6.75
La media muestral es una medida de uso común. En el cálculo intervienen todos los datos, sin
embargo, algunos datos pueden hacer cambiar significativamente el valor de la media muestral.
Ejemplo. Si los datos son 2, 6, 11, 8, 11, 4, 7, 5, 90
Entonces X = (2+6+11+8+11+4+7+5 + 90)/9 = 16
Un sólo dato cambió significativamente el valor de la media con respecto al ejemplo anterior
Para evitar esta distorsión, una estrategia consiste en descartar algún porcentaje de los datos
más grandes y más pequeños antes de calcular la media muestral. Este porcentaje puede ser
por ejemplo 5% o 10%. Cuando se usa este criterio la media se denomina media cortada.
2.6.2 MODA MUESTRAL
Es el dato que ocurre con mayor frecuencia en una muestra. Puede ser que no exista la moda y
también es posible que exista más de una moda.
Definición: Moda Muestral
Moda muestral: Mo es el valor que más veces se repite
Entonces Mo = 11
2.6.3 MEDIANA MUESTRAL
Es el valor ubicado en el centro de los datos ordenados
Sean X: X1, X2, ... , Xn una muestra de tamaño n
X(1), X(2), ... , X(n) los elementos de la muestra ordenados en forma creciente

23
Definición: Mediana Muestral
x
~=
n 1
( )
2
n n
( ) ( 1)
2 2
X , si n es impar
1
(X X ), si n es par
2
+
+




+



Ejemplo: Si los datos son 2, 6, 11, 8, 11, 4, 7, 5
Los datos ordenados: 2, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 11, entonces x
~=
1
(6 7) 6.5
2
+ =
Las medidas de tendencia central no son suficientes para describir de manera completa el
comportamiento de los datos de una muestra. Se necesitan otras medidas.
2.7 MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Son números que proveen información adicional acerca del comportamiento de los datos,
describiendo numéricamente su dispersión.
2.7.1 RANGO
Es la diferencia entre el mayor valor y el menor valor de los datos de la muestra.
Definición: Rango
R = X(n) – X(1)
Entonces el rango es: R = 11 – 2 = 9
2.7.2 VARIANZA MUESTRAL
Esta medida cuantifica las distancias de los datos con respecto al valor de la media muestral
Definición: Varianza Muestral
n
2
i
2 i 1
(X X)
S
n 1
=
−
=
−
∑
Fórmula para calcular la varianza
n n
2 2
i i
2 i 1 i 1
n X ( X )
S
n(n 1)
= =
−
=
−
∑ ∑
Fórmula alternativa para calcular la varianza
El motivo que en el denominador se escriba n – 1 en lugar de n (que parece natural), se
justificará formalmente en el estudio de la Estadística Inferencial.
Ambas fórmulas son equivalentes. Se puede demostrar mediante desarrollo de las sumatorias

24
Ejemplo. Si los datos son 2, 6, 11, 8, 11, 4, 7, 5 y se ha calculado que X = 6.75
Entonces la varianza es
S2
=
2 2 2
(2 6.75) (6 6.75) ... (5 6.75)
7
− + − + + −
= 10.2143
2.7.3 DESVIACIÓN ESTÁNDAR MUESTRAL
Es la raíz cuadrada positiva de la variancia. La desviación estándar muestral o desviación típica
está expresada en las mismas unidades de medida que los datos de la muestra
Definición: Desviación Estándar Muestral
= + 2
S S
Ejemplo. Calcule la desviación estándar para el ejemplo anterior.
Si la varianza es S2
= 10.2143, entonces, la desviación estándar es
S = 2
S 10.2143
= = 3.196
2.8 MEDIDAS DE POSICIÓN
Son números que distribuyen los datos ordenados de la muestra en grupos de aproximadamente
tamaño con el propósito de resaltar su ubicación relativa. Estos números se denominan
cuantiles en forma genérica.
2.8.1 CUARTILES
Son números que dividen a los datos de la muestra en grupos de tamaño aproximado de 25%.
Primer Cuartil (Q1)
A la izquierda de Q1 están incluidos 25% de los datos (aproximadamente)
A la derecha de Q1 están el 75% de los datos (aproximadamente)
Segundo Cuartil (Q2)
Igual que la mediana divide al grupo de datos en dos partes, cada una con el 50% de los datos
(aproximadamente)
Tercer Cuartil (Q3)
A la izquierda de Q3 están incluidos 75% de los datos (aproximadamente)
A la derecha de Q3 están el 25% de los datos (aproximadamente)
Ejemplo. Suponer que una muestra contiene 40 datos ordenados:
X(1), X(2), ... , X(40). Calcular Q1, Q2, Q3
Q1: 25% de 40 = 10
Por lo tanto: Q1 = (X(10) + X(11))/2
Q2: 50% de 40 = 20 es igual a la mediana
Q2 = (X(20) + X(21))/2
Q3: 75% de 40 = 30
Q3 = (X(30) + X(31))/2

25
2.8.2 DECILES
Primer Decil (D1)
A la izquierda de D1 están incluidos 10% de los datos (aproximadamente)
A la derecha de D1 están el 90% de los datos (aproximadamente)
Segundo Decil (D2)
A la izquierda de D2 están incluidos 20% de los datos (aproximadamente)
A la derecha de D2 están el 80% de los datos (aproximadamente)
Etc.
X(1), X(2), ... , X(40). Calcular D1
D1: 10% de 40 = 4
Por lo tanto: D1 = (X(4) + X(5))/2
2.8.3 PERCENTILES (O PORCENTILES)
Primer Percentil (P1)
A la izquierda de P1 están incluidos 1% de los datos (aproximadamente)
A la derecha de P1 están el 99% de los datos (aproximadamente)
Segundo Percentil (P2)
A la izquierda de P2 están incluidos 2% de los datos (aproximadamente)
A la derecha de P2 están el 98% de los datos (aproximadamente)
Etc.
X(1), X(2), ... , X(400). Calcular P1, P82
P1: 1% de 400 = 4
Por lo tanto: P1 = (X(4) + X(5))/2 (Percentil 1)
P82: 82% de 400 = 328 (Percentil 82)
P82 = (X(328) + X(329))/2
2.9 COEFICIENTE DE VARIACIÓN
Es un número que se usa para comparar la variabilidad de los datos de diferentes grupos. Es
una medida adimensional.
Definición: Coeficiente de Variación
V =
S
X
Ejemplo: Para un grupo de datos X = 20, S = 4, entonces v = 4/20 = 0.2 = 20%
Para un segundo grupo X = 48, S = 6, entonces v = 6/48 = 0.125 = 12.5%
Se concluye que el primer grupo tiene mayor variabilidad relativa con respecto a su media.

26
2.9.1 EJERCICIOS
1) Demuestre mediante propiedades de las sumatoria que
2
n
i
n n
i 1
2 2
i i
i 1 i 1
x
(x x) x
n
=
= =
 
 
 
− = −
∑
∑ ∑
Esto demuestra la equivalencia entre las dos fórmulas definidas para calcular la varianza.
2) Se tiene una muestra aleatoria con datos del costo por consumo de electricidad en una zona
residencial de cierta ciudad.
96 171 202 178 147
157 185 90 116 172
141 149 206 175 123
95 163 150 154 130
108 119 183 151 114
Calcule X , x
~, S2
, S, Q1, Q3, R, D1, D5
3) Se tienen los siguientes datos de la cantidad de barriles por día que producen 20 pozos
petroleros en un campo: cantidad mínima: 45; cantidad máxima 265; primer cuartil 85; mediana
160; tercer cuartil 205. Grafique la Ojiva con la mayor precisión que le sea posible.
0 50 100 150 200 250 300
4) Respecto al problema anterior. Una compañía está interesada en comprar solamente los
pozos que produzcan mas de 100 barriles por día y pagará $150000 por cada uno. ¿Cuanto le
costaría la inversión aproximadamente?
20
15
10
5
0

27
MATLAB
Fórmulas para estadística descriptiva
>> x=[2 6 11 8 11 4 7 5]; Vector con los datos de una muestra
>> xb=mean(x) Media aritmética
xb =
6.7500
>> m=median(x) Mediana
m =
6.5000
>> x=0:1:100; Vector con los primeros 100 números naturales
xb =
50
>> x=[x 1000]; Vector con un valor grande agregado al final
xb =
59.3137
>> xb=trimmean(x,10) Media aritmética omitiendo 5% de datos en cada lado
xb =
50.5000
>> x=[2 6 11 8 11 4 7 5]; Vector con los datos de una muestra
>> r=range(x) Rango de los datos
r =
9
>> a=min(x) El menor valor
a =
2
>> b=max(x) El mayor valor
b =
11
>> s2=var(x) Varianza muestral
s2 =
10.2143
>> s=std(x) Desviación estándar muestral
s =
3.1960
>> rq=iqr(x) Rango intercuartil
rq =
5
>> q1=prctile(x,25) Primer cuartil (percentil 25)
q1 =
4.5000
>> q3=prctile(x,75) Tercer cuartil (percentil 75)
q3 =
9.5000
>> y=sort(x) Datos ordenados en forma creciente
y =
2 4 5 6 7 8 11 11
>> x=rand(1,400); Vector con una fila de 400 números aleatorios
>> d7=prctile(x,70) Decil 7 (percentil 70)
d7 =
0.7013
>> p82=prctile(x,82) Percentil 82
p82 = 0.8335

28
.
2.10 FÓRMULAS PARA DATOS AGRUPADOS
Si los datos de una muestra están disponibles únicamente en una Tabla de Frecuencias, se
pueden usar fórmulas para calcular las medidas estadísticas descriptivas, en forma aproximada
Suponer que se dispone de la Tabla de Frecuencias con los valores que se indican en forma
simbólica:
Número Clase Marca f F f/n F/n
1 [a1, b1] m1 f1 F1 f1/n F1/n
2 [a2, b2] m2 f2 F2 f2/n F2/n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
k [ak, bk] mk fk Fk fk/n Fk/n
Definición: Media de datos agrupados
X =
k
i i
i 1
1
m f
n =
∑
n número de datos
k número de clases
mi marca de la clase i (es el valor central del intervalo de la clase)
fi frecuencia de la clase i
Definición: Varianza de datos agrupados
k
2 2
i i
i 1
1
S f (m X)
n 1 =
= −
−
∑
n número de datos
k número de clases
mi marca de la clase i (es el centro del intervalo de la clase)
fi frecuencia de la clase i
Ejemplo: La Tabla de Frecuencias siguiente contiene los datos agrupados en 6 clases del número
de artículos vendidos por un almacén en 50 días. Calcule la media y varianza
1 [10, 20) 15 2 2 0.04 0.04
2 [20, 30) 25 10 12 0.2 0.24
3 [30, 40) 35 12 24 0.24 0.48
4 [40, 50) 45 14 38 0.28 0.76
5 [50, 60) 55 9 47 0.18 0.94
6 [60, 70) 65 3 50 0.06 1
Media
X =
k
i i
i 1
1
m f
n =
∑ =
1
[(15)(2) (25)(10) ... (65)(3)] 40.4
50
+ + + =
Varianza
k
2 2
i i
i 1
1
S f (m X)
n 1 =
= −
−
∑
= 2 2 2
1
[2(15 40.4) 10(25 40.4) ... 3(65 40.4) ] 164.12
49
− + − + + − =

29
.
Para comparar, se tienen los datos originales de los cuales se obtuvo la Tabla de Frecuencias:
37 48 48 57 32 63 55 34 48 36
32 47 50 46 28 19 29 33 53 68
49 26 20 63 20 41 35 38 35 25
23 38 43 43 45 54 58 53 49 32
36 45 43 12 21 55 50 27 24 42
Con estos datos, los resultados calculados son:
X = 40.16
S2
= 169.81
Hay una diferencia, aunque no muy grande, por el uso de las fórmulas con datos agrupados
Ejemplo. Se dispone de los siguientes datos incompletos en una Tabla de Frecuencias
1 [1, 2) 1
2 6
3 0.25
4 0.7
5 8 0.9
6 0.05
7
Completar la Tabla de Frecuencias
Solución
Se escriben directamente los intervalos, marcas de clase y algunos valores de frecuencia
que se pueden determinar observando los datos dados y con las definiciones establecidas
Numero Clase Marca f F f/n F/n
1 [1, 2) 1.5 1 1
2 [2, 3) 2.5 5 6
3 [3, 4) 3.5 0.25
4 [4, 5) 4.5 0.7
5 [5, 6) 5.5 8 0.2 0.9
6 [6, 7) 6.5 0.05 0.95
7 [7, 8) 7.5 0.05 1

30
.
Para continuar usamos la siguiente relación contenida en la tabla: 8/n = 0.2
De donde se obtiene que n = 40. Conocido el valor de n, se puede continuar desde arriba
1 [1, 2) 1.5 1 1 0.025 0.025
2 [2, 3) 2.5 5 6 0.125 0.15
3 [3, 4) 3.5 0.25 0.40
4 [4, 5) 4.5 0.3 0.7
5 [5, 6) 5.5 8 0.2 0.9
6 [6, 7) 6.5 0.05 0.95
7 [7, 8) 7.5 0.05 1
Finalmente, con la definición de frecuencia relativa F = f/n se puede completar la tabla
1 [1, 2) 1.5 1 1 0.025 0.025
2 [2, 3) 2.5 5 6 0.125 0.15
3 [3, 4) 3.5 10 16 0.25 0.40
4 [4, 5) 4.5 12 28 0.3 0.7
5 [5, 6) 5.5 8 36 0.2 0.9
6 [6, 7) 6.5 2 38 0.05 0.95
7 [7, 8) 7.5 2 40 0.05 1
Calcular la media y varianza
Con las fórmulas correspondientes se pueden calcular las medidas descriptivas indicadas igual
que en el ejemplo anterior
2.10.1 EJERCICIOS
Se dispone de los siguientes datos incompletos en una Tabla de Frecuencias
1 2
2 0.25
3 [15, 20) 14 0.6
4
5 36
6 0.975
7
Se conoce además que la media calculada con los datos agrupados es 19.7
a) Complete la Tabla de Frecuencias
b) Calcule la media y varianza

31
.
2.11 INSTRUMENTOS GRÁFICOS ADICIONALES
2.11.1 DIAGRAMA DE CAJA
Es un dispositivo gráfico que se usa para expresar en forma resumida, algunas medidas
estadísticas de posición:
El diagrama de caja describe gráficamente el rango de los datos, el rango intercuartílico (Q3 – Q1)
los valores extremos y la ubicación de los cuartiles. Es una representación útil para comparar
grupos de datos. Por ejemplo se resalta el hecho que el 50% de los datos está en la región
central entre los valores de los cuartiles Q1 y Q3
2.11.2 DIAGRAMA DE PUNTOS
Si la cantidad de datos es pequeña, (alrededor de 20 o menos), se los puede representar
mediante puntos directamente sin agruparlos en intervalos.
2.11.3 DIAGRAMA DE PARETO
Es un gráfico útil para identificar las causas principales que producen cierto tipo de resultados.
La Ley de Pareto dice que de cualquier conjunto de eventos que pueden asociarse a un suceso,
solamente unos pocos contribuyen en forma significativa mientras que los demás son
secundarios. Generalmente hay únicamente 2 o 3 causas que explican mas de la mitad de las
ocurrencias del suceso.
Procedimiento para construir el diagrama de Pareto
1) Categorice los datos por tipo de problema
2) Determine la frecuencia y ordene en forma decreciente
3) Represente la frecuencia relativa con barras
4) Superponga la ojiva de la frecuencia relativa acumulada
5) Analice cuales son las causas mas importantes que inciden en el suceso de interés
Ejemplo
Un fabricante ha realizado un conteo de los tipos de defectos de sus productos y ha registrado
su frecuencia. Se desea analizar su incidencia en la producción con un Diagrama de Pareto.
Los resultados, tabulados según el procedimiento anterior son:
Tipo de Defecto Frecuencia Frecuencia
relativa (%)
Frecuencia
acumulada
Frecuencia
acumulada
relativa (%)
A 66 0.33 66 0.33
B 44 0.22 110 0.55
C 34 0.17 144 0.72
D 20 0.10 164 0.82
E 14 0.07 178 0.89
F 12 0.06 190 0.95
G 10 0.05 200 1.00

32
.
Diagrama de Pareto
Se puede observar que más del 70% de los defectos de producción corresponden a los tipos A,
B y C. Con esta información, una decisión adecuada sería asignar recursos para solucionar
estos tipos de problemas pues son los que tienen mayor incidencia en la producción.
2.11.4 DIAGRAMA DE TALLO Y HOJAS
Es un dispositivo utilizado cuando la cantidad de datos es pequeña. Permite describir la
distribución de frecuencia de los datos agrupados pero sin perder la información individual de los
datos.
La longitud de cada fila ayuda a visualizar la frecuencia, en forma parecida a un histograma pero
al mismo tiempo se pueden observar individualmente los datos.
Se construye escribiendo verticalmente las primera(s) cifra(s) de los datos (tallo) y escribiendo
las restantes cifras horizontalmente (hojas).
Ejemplo. Los siguientes datos corresponden a la cantidad de artículos defectuosos producidos
en una fábrica en 20 días:
65, 36, 59, 84, 79, 56, 28, 43, 67, 36, 43, 78, 37, 40, 68, 72, 55, 62, 22, 82
Dibuje el diagrama de tallo y hojas
Se elige la cifra de las decenas como tallo y la cifra de las unidades como las hojas:
Tallo Hojas
2 2 8
3 6 6 7
4 0 3 3
5 5 6 9
6 2 5 7 8
7 2 8 9
8 2 4
Frecuencia
acumulada de
A, B, C

33
.
2.11.5 EJERCICIOS
1) Dibuje un Diagrama de Caja para los siguientes datos
1.42 1.26 1.10 1.33 1.41
1.00 1.34 1.18 1.41 1.25
1.35 1.21 1.81 1.65 1.18
2) Dibuje un Diagrama de Pareto con los siguientes datos
46 4 26 15 52 2 5
Tipo Frecuencia Frecuencia
relativa (%)
Frecuencia
acumulada
Frecuencia
acumulada
relativa (%)
A
B
C
D
E
F
G

34
.
3) Realice un Diagrama de Tallo y Hojas con los siguientes datos
8.3 4.5 9.5 1.4 8.6 7.6 4.4 6.2 9.5 6.4 2.4 3.5 1.8 4.9 4.0
4.6 6.1 8.7 3.1 6.0 1.7 6.2 2.4 5.8 5.0 4.6 5.4 9.4 3.4 4.0
3.0 4.1 2.8 3.9 5.0 7.2 3.0 1.1 4.4 4.6 7.1 6.6 7.2 2.8 2.6
Tallo Hojas
4) Un fabricante de cierto componente electrónico se interesa en determinar el tiempo de vida
(en horas) de estos dispositivos, para lo cual ha tomado una muestra de 12 observaciones:
123, 116, 120, 130, 122, 110, 175, 126, 125, 110, 119, ?
Uno de los datos se ha extraviado pero se conoce que la media de los 12 datos es 124 horas.
a) Encuentre el dato faltante
b) Calcule la mediana, primer y tercer cuartil
c) Encuentre el rango, varianza y desviación estándar
d) Dibuje el diagrama de caja

35
.
MATLAB
Dibujar un diagrama de Pareto para los siguientes datos
>> x = [66 44 34 20 14 12 10]; Vector con los datos
>> nombres = {'A' 'B' 'C' 'D' 'E' 'F','G'}; Nombres para los componentes en el diagrama
>> pareto(x, nombres) Dibujar el diagrama de Pareto
>> grid on Agregar cuadrículas
El dibujo resultante se muestra en la página anterior
Dibujar un diagrama de caja
>> x = [0.1 1.7 2.3 4.4 4.5 4.8 6.0 6.1 7.3 7.6 7.9 8.2 8.9 9.2 9.5]; Vector con datos
>> boxplot(x) Diagrama de caja
>> boxplot(x, 1, '', 0) Diagrama de caja
horizontal, con muesca

36
2.12 MUESTRAS BIVARIADAS
Es común tener que estudiar muestras con datos que miden dos características, siendo de
interés determinar si hay alguna relación entre ellas.
Para visualizar la relación entre las variables de una muestra bivariada, es útil graficar los datos
en una representación que se denomina Diagrama de Dispersión.
Introducimos este importante concepto mediante un ejemplo
Ejemplo 2.1
Se tiene una muestra con las calificaciones de 10 estudiantes de sus exámenes parcial y final.
Examen
Parcial
60 74 66 34 60 66 57 71 39 57
Examen
Final
72 82 75 46 73 74 70 82 60 61
Dibuje el Diagrama de Dispersión.
Sean X: Calificación del primer parcial (variable independiente)
Y: Calificación del examen final (variable dependiente)
Se observa que los datos están relacionados con una tendencia lineal con pendiente positiva
En la siguiente sección se definen los instrumentos matemáticos para cuantificar el nivel y el tipo
de correlación.
X
Y

37
2.12.1 CORRELACIÓN
Se usa el término correlación para describir la relación entre los datos de muestras bivariadas.
Los siguientes gráficos son casos típicos para observar la correlación entre dos variables:
Se puede decir que los datos en el Ejemplo 2.1 tienen correlación lineal positiva
2.12.2 COVARIANZA MUESTRAL
Esta definición permite cuantificar el nivel de correlación lineal que existe entre dos variables.
Primero anotamos algunas definiciones conocidas para muestras univariadas:
Sean X, Y: Variables muestrales
n: Tamaño de la muestra
X, Y : Medias aritméticas de X, Y, respectivamente
2
X
S , 2
Y
S : Varianzas muestrales de X, Y, respectivamente
2 2
X X Y Y
S S , S S
= = : Desviaciones estándar muestrales de X, Y respectivamente
Medias aritméticas muestrales
n
i
i 1
1
X X
n =
= ∑ ,
n
i
i 1
1
Y Y
n =
= ∑
Varianzas muestrales
n
2 2
X i
i 1
1
S (x x)
n 1 =
= −
−
∑ ,
n
2 2
Y i
i 1
1
S (y y)
n 1 =
= −
−
∑
Ahora se proporciona una definición de variablidad conjunta para muestras con dos variables.
Note que si la variable X es igual a Y, esta fórmula se reduce a la fórmula de varianza:
Definición: Covarianza muestral
SXY: Covarianza muestral
n
XY i i
i 1
1
S (x x)(y y)
n 1 =
= − −
−
∑

38
2.12.3 SIGNOS DE LA COVARIANZA MUESTRAL
La covarianza es una medida del nivel de correlación entre las variables muestrales X, Y.
La covarianza tiene significado si la relación entre las variables es lineal.
Si valores grandes de X están asociados con valores grandes de Y, y si valores pequeños de X
están asociados con valores pequeños de Y entonces la covarianza tiene signo positivo. En
este caso los datos tienen una tendencia lineal con pendiente positiva.
Si valores grandes de X están asociados con valores pequeños de Y, y si valores pequeños de
X están asociados con valores grandes de Y entonces la covarianza tiene signo negativo. En
este caso los datos tienen una tendencia lineal con pendiente negativa
Para entender este comportamiento debemos referirnos a la definición de covarianza:
n
XY i i
i 1
1
S (x x)(y y)
n 1 =
= − −
−
∑
Si en las parejas xi, yi ambos valores son mayores que su media o ambos valores son menores
que su media respectiva, entonces el producto de las diferencias i i
(x x)(y y)
− − tendrá signo
positivo, y la suma tendrá signo positivo. Pero si en las parejas xi, yi, un valor es mayor que su
media y el otro valor es menor que su media, entonces el producto de las diferencias
i i
(x x)(y y)
− − tendrá signo negativo y por lo tanto la suma tendrá signo negativo.
Es importante que se mida la correlación entre variables cuya asociación tenga algún significado
de interés. Asimismo, si las variables no están correlacionadas linealmente, pudiera ser que
tengan algún otro tipo de correlación, pero no lineal
Es necesario distinguir entre correlación y causalidad. Si dos variables están correlacionadas,
esto no implica necesariamente que una sea causa de la otra pues ambas pueden depender de
una tercera variable. Aún en el caso de que la correlación represente una causalidad, la
estadística solamente permite detectarla y medirla, pero no demostrarla pues esto cae en el
ámbito de la ciencia en la que se aplica la estadística
2.12.4 COEFICIENTE DE CORRELACION LINEAL MUESTRAL
Es una definición para cuantificar el grado de correlación lineal entre dos variables en forma
adimensional y normalizada.
Definición: Coeficiente de Correlación Lineal
XY
X Y
S
r
S S
= , -1 ≤ r ≤ 1
Valores referenciales
Valor de r X y Y
Cercano a 1 Tienen correlación lineal positiva fuerte
Cercano a -1 Tienen correlación lineal negativa fuerte
Cercano a 0 Tienen correlación lineal muy débil o no están correlacionadas linealmente.
El valor que puede tomar r, matemáticamente representa la pendiente de la tendencia de los
puntos en el Diagrama de Dispersión.
Consideremos el caso en el que X, Y son variables con componentes idénticos, tales que: X = Y

39
⇒
n n
2 2
XY i i i XX X
i 1 i 1
1 1
S (x x)(y y) (x x) S S
n 1 n 1
= =
= − −
= −
=
=
− −
∑ ∑
⇒
2
XY XX X
2
X Y X X X
S S S
r 1
S S S S S
= = ==
2.12.5 MATRIZ DE VARIANZAS Y COVARIANZAS
Es una matriz simétrica con la que se pueden representar ordenadamente las varianzas y las
covarianzas entre las variables.
Para definirla se puede usar la notación:
1
1 X X
X X, S S
= =
2
2 X Y
X Y, S S
= =
Definición: Matriz de Varianzas y Covarianzas
1 1 2
i j
2 1 2
2
X X X
X X 2
X X X
S S
S
S S
 
   
=
   
 
2.12.6 MATRIZ DE CORRELACION
Es una representación ordenada de los coeficientes de correlación de cada variable con la otra
variable y consigo misma.
Para definirla se puede usar la notación:
1
1 X X
X X, S S
= =
2
2 X Y
X Y, S S
= =
Coeficiente de Correlación lineal entre Xi y Xj
i j
i j
X X
ij
X X
S
r
S S
=
Definición: Matriz de Correlación
1,1 1,2
ij
2,1 2,2
r r
r
r r
 
  =  
 
 
Es una matriz simétrica. Los valores en la diagonal principal son iguales a 1
Las definiciones establecidas para la Matriz de Varianzas-Covarianzas y Matriz de Correlación
con dos variables, pueden extenderse directamente a más variables

40
Ejemplo 2.2
Se tiene una muestra con las calificaciones de 10 estudiantes del primer parcial y del segundo
parcial.
Primer
Parcial
60 74 66 34 60 66 57 71 39 57
Segundo
Parcial
72 82 75 46 73 74 70 82 60 61
Encuentre el Coeficiente de Correlación Lineal e interprete el resultado
Solución
Sean: X: Calificación del primer parcial
Y: Calificación del segundo parcial
n
i
i 1
1 1
x x (60 74 66 34 60 66 57 71 39 57) 58.4
n 10
=
= = + + + + + + + + + =
∑
n
2 2 2 2 2
X i
i 1
1 1
s (x x) [(60 58.4) (74 58.4) ... (57 58.4) ] 166.4889
n 1 9
=
= − = − + − + + − =
−
∑
2
x X
s s 166.4889 12.9031
= = =
n
i
i 1
1 1
y y (72 82 75 46 73 74 70 82 60 61) 69.5
n 10
=
= = + + + + + + + + + =
∑
n
2 2 2 2 2
Y i
i 1
1 1
s (y y) [(72 69.5) (82 69.5) ... (61 69.5) ] 121.8333
n 1 9
=
= − = − + − + + − =
−
∑
2
Y Y
s s 121.8333 11.0378
= = =
n
XY i i
i 1
1
S (x x)(y y)
n 1
1
[(60 58.4)(72 69.5) (74 58.4)(82 69.5) ...
9
(57 58.4)(61 69.5)] 134.1111
=
= − −
−
= − − + − − +
+ − − =
∑
Coeficiente de Correlación
XY
X Y
S 134.1111
r 0.9416
S S (12.9031)(11.0378)
= = =
El resultado indica que la correlación es fuertemente positiva

41
Escriba las matrices de Varianzas-Covarianzas y de Correlación.
Sean 1
1 X X
X X, S S
= =
2
2 X Y
X Y, S S
= =
Matriz de Varianzas-Covarianzas
1 1 2
i j
2 1 2
2
X X X
X X 2
X X X
S S 166.4889 134.1111
S
134.1111 121.8333
S S
   
   
= =  
     
 
Matriz de Correlación
Con la definición:
i j
i j
X X
ij
X X
S
r
S S
=
Sustituyendo los valores calculados respectivos se obtiene
1,1 1,2
ij
2,1 2,2
r r 1 0.9416
r
r r 0.9416 1
   
 
= =
   
 
 
 

42
2.12.7 EJERCICIOS
Los siguientes datos representan el tiempo de entrenamiento, en horas, que recibieron los
trabajadores de una empresa, y el tiempo, en minutos, que posteriormente tardaron en realizar
la actividad encomendada
Tiempo de
entrenamiento
10 5 12 8 6 8 4 10
Tiempo que tardaron
en la actividad
9 12 8 10 13 11 12 8
a) Dibuje el Diagrama de Dispersión e indique que tipo de correlación parecen tener las variables
X y Y
b) Escriba la Matriz de Varianzas y Covarianzas
1 1 2
i j
2 1 2
2
X X X
X X 2
X X X
S S
S
S S
 
   
= =
   
 
c) Escriba la Matriz de Correlación
1,1 1,2
ij
2,1 2,2
r r
r
r r
 
 
= =
 
 
 
d) Calcule el Coeficiente de Correlación e interprete el resultado

44
3 FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
En esta unidad se revisan algunas definiciones necesarias para fundamentar el estudio de la
Teoría de la Probabilidad.
3.1 FÓRMULAS DE CONTEO
En esta sección revisamos algunas fórmulas básicas para conteo de los elementos de grupos.
Definición: Principio Básico del Conteo
Si un grupo tiene m elementos y otro grupo tiene n elementos, entonces existen mxn
formas diferentes de tomar un elemento del primer grupo y otro elemento del segundo
grupo.
Ejemplo. Se lanzan un dado y una moneda. ¿Cuantos resultados diferentes se obtienen en este
experimento?
Respuesta: Al lanzar el dado se pueden tener m = 6 resultados diferentes, mientras que al
lanzar la moneda se obtienen n = 2 resultados diferentes. Por lo tanto, el número total de
resultados del experimento es mxn = 6x2 = 12. El conjunto de resultados posibles es:
{(1, c), (1, s), (2, c), (2, s), (3, c), (3, s), (4, c), (4, s), (5, c), (5, s), (6, c), (6, s)}, c: cara, s: sello
Ejemplo: Para ir de su casa a la universidad un estudiante debe ir primero a una estación
intermedia de transferencia:
Sean A: Casa del estudiante
B: Estación intermedia de transferencia
C: Universidad
Suponga que para ir de A hasta B hay tres líneas de buses y que para ir desde B hasta C,
puede usar el bus de la universidad o el carro de un amigo. ¿De cuantas formas diferentes
puede ir de su casa a la universidad?
Respuesta: Sean 1, 2, 3 las líneas de buses de A a B, y 4, 5 las formas de ir de B a C.
Representemos las diferentes opciones mediante un diagrama de árbol.
Para ir de A a B hay 3 formas diferentes. Para ir de B a C hay 2 formas diferentes.

45
Por lo tanto, para ir de A a C hay en total 3x2 = 6, formas diferentes.
El conjunto de resultados posibles es: {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}
La fórmula de conteo puede extenderse directamente a más grupos
Ejemplo. Un club de 10 personas debe elegir a su directiva; presidente, secretario, tesorero.
Todos pueden ser elegidos, pero una persona no puede tener más de un cargo.
¿De cuantas maneras diferentes puede realizarse la elección?
Respuesta:
Para elegir presidente en el grupo existen 10 opciones distintas.
Para elegir secretario queda un grupo con 9 opciones distintas
Para elegir tesorero queda un grupo con 8 opciones distintas
Por el Principio Básico del Conteo, hay 10 x 9 x 8 = 720 formas diferentes de realizar la elección.
Ejemplo. ¿Cuantos números de placas diferentes pueden existir en la provincia del Guayas?
Respuesta: Cada número de placa tiene la siguiente estructura:
G (letra) (letra) (dígito) (dígito) (dígito)
Hay 26 letras diferentes (sin incluir ñ) y 10 dígitos diferentes. Si no importa repetir letras o dígitos
en cada placa, el total es: 26 x 26 x 10 x 10 x 10 = 676000
3.1.1 PERMUTACIONES
Son los arreglos diferentes que se pueden hacer con los elementos de un grupo.
En estos arreglos se debe considerar el orden de los elementos incluidos.
Suponga un conjunto de n elementos diferentes, del cual se toma un arreglo de r elementos.
Si cada arreglo incluye un elemento (r=1), la cantidad de arreglos diferentes que se obtienen es:
n (Cualquiera de los n elementos puede ser elegido)
Si cada arreglo incluye 2 elementos (r=2), la cantidad de arreglos diferentes que se obtienen es:
n(n-1) (Para elegir el segundo elemento quedan n – 1 disponibles)
Si cada arreglo incluye 3 elementos (r=3), la cantidad de arreglos diferentes que se obtienen es:
n(n-1)(n-2) (Para elegir el tercer elemento quedan n – 2 disponibles)
. . .
Si cada arreglo incluye r elementos, entonces la cantidad de arreglos diferentes obtenidos es:
n(n-1)(n-2). . .(n-r+1) (Para elegir el elemento r quedan n – r + 1 disponibles)
Con eso se puede escribir la fórmula general para la cantidad de permutaciones:

46
Definición: Número de permutaciones
Número de permutaciones con n elementos diferentes de un conjunto
del cual se toman arreglos conteniendo r elementos
nPr = n(n-1)(n-2). . .(n-r+1)
Ejemplo. Un grupo de 10 personas debe elegir a su directiva; presidente, secretario, tesorero.
Todos pueden ser elegidos, pero una persona no puede tener más de un cargo. ¿De cuantas
maneras diferentes puede realizarse la elección? (Use la fórmula de permutaciones)
Respuesta: Los arreglos posibles son permutaciones pues el orden en cada uno si es de
interés. Por lo tanto
n = 10, r = 3, 10P3 = 10x9x8 = 720
La fórmula de permutaciones se puede expresar en notación factorial completando el producto:
Definición: Fórmula alterna para calcular el número de permutaciones
nPr = n(n-1)(n-2). . .(n-r+1)
n(n 1)(n 2)...(n r 1)(n r)(n r 1)...(2)(1) n!
(n r)(n r 1)...(2)(1) (n r)!
− − − + − − −
= =
− − − −
CASOS ESPECIALES
3.1.2 PERMUTACIONES CON TODOS LOS ELEMENTOS
Definición: Permutaciones con todos los elementos de un conjunto
nPn !
n
!
0
!
n
)!
n
n
(
!
n
=
=
−
= , n es la cantidad de elementos del conjunto
Ejemplo: Una máquina desarmada tiene cinco componentes. Para ensamblarla se pueden
colocar sus cinco componentes en cualquier orden. ¿Cuantas pruebas diferentes de ensamblaje
pueden realizarse?
Respuesta: Son permutaciones con todos los elementos: 5P5 = 5! = 120

47
3.1.3 ARREGLO CIRCULAR
Suponga un grupo conteniendo n elementos diferentes. Un arreglo circular es una permutación
con todos los elementos del grupo, tal que el primero y el último elemento están conectados.
Para que los arreglos sean diferentes, se debe fijar un elemento, mientras que los otros pueden
ser intercambiados.
Definición: Número de permutaciones en un arreglo circular
(n-1)! n es el número total de elementos
Ejemplo: ¿De cuantas formas diferentes pueden colocarse 5 personas alrededor de una mesa?
Respuesta: 4! = 24
3.1.4 PERMUTACIONES CON ELEMENTOS REPETIDOS
Si del total de n elementos, n1 fuesen repetidos, entonces los arreglos tendrían formas idénticas
cuando se considera el orden de los n1 elementos repetidos. Existen n1! formas de tomar los n1
elementos repetidos, por lo tanto, la cantidad de permutaciones se reduciría por el factor n1!
Definición: Cantidad de permutaciones con elementos repetidos
!
n
!
n
1
, n elementos, de los cuales n1 son repetidos
Este razonamiento, puede extenderse cuando hay más grupos de elementos repetidos
Sean: n: Cantidad total de elementos
n1: Cantidad de elementos repetidos de un primer tipo
n2: Cantidad de elementos repetidos de un segundo tipo
Se debe cumplir que n1 + n2 = n
Definición: Permutaciones con dos tipos de elementos repetidos
!
n
!
n
!
n
2
1
, n elementos, de los cuales n1 son de un tipo y n2 son de otro tipo
Ejemplo: En una caja hay 3 botellas de vino tinto y 2 de vino blanco. Las botellas de cada uno
de los dos tipos de vino tienen la misma marca y forma. ¿De cuantas formas diferentes pueden
colocarse en una hilera las 5 botellas?
Respuesta: Son permutaciones con elementos repetidos con n=5, n1=3, n2=2,
10
3!
!
2
!
5
=

48
La fórmula se puede generalizar a más grupos con elementos repetidos
Definición: Permutaciones con n elementos y k grupos con elementos repetidos
Sean n: Total de elementos, distribuidos en k grupos
n1: Número de elementos repetidos de tipo 1
n2: Número de elementos repetidos de tipo 2
.
.
nk: Número de elementos repetidos de tipo k
Siendo n1 + n2+ … +nk = n
Cantidad de arreglos diferentes que se pueden obtener
!
n
...
!
n
!
n
n!
k
2
1
.
Ejemplo. ¿Cuántos arreglos diferentes pueden hacerse con las letras de la palabra
MATEMÀTICA?
n=10.
n1=2 (repeticiones de la letra M)
n2=3 (repeticiones de la letra A)
n3=2 (repeticiones de la letra T)
las otras letras ocurren una sola vez
Respuesta:
10!
2! 3! 2! 1! 1! 1!
= 151200
3.1.5 COMBINACIONES
Son los arreglos que se pueden hacer con los elementos de un conjunto considerando que el
orden de los elementos en cada arreglo no es de interés.
Cada arreglo se diferencia únicamente por los elementos que contiene, sin importar su ubicación
Sean n: Cantidad de elementos del conjunto
r: Cantidad de elementos en cada arreglo
Se usa la notación nCr, o
n
r
C , o 







r
n
para denotar la cantidad de combinaciones de tamaño r
que se pueden realizar con los n elementos distintos de un conjunto
Para obtener la fórmula del número de combinaciones, consideremos la fórmula de las
permutaciones.
Debido a que en las combinaciones no interesa el orden de los elementos en cada arreglo, es
equivalente a tener permutaciones con elementos repetidos. Así se obtiene la fórmula.

49
Definición: Número de combinaciones
n elementos con los cuales se forman arreglos conteniendo r elementos
nCr
n r
P n! n(n 1)(n 1)...(n r 1)
r! (n r)! r! r!
− − − +
= = =
−
Ejemplo. Un bar dispone de 10 frutas diferentes de las cuales pueden elegirse tres para un
batido. ¿De cuantas maneras diferentes puede hacerse la elección?
Respuesta: Son combinaciones pues el orden de las frutas no es de interés.
n=10, r=3, ⇒ 10C3
10!
120
7! 3!
= =
Ejemplo. Para probar un test de aptitud debe elegirse una muestra de cinco estudiantes de un
curso que contiene 20 estudiantes. ¿De cuantas formas puede tomarse la muestra?
Respuesta: En la muestra no interesa el orden de los estudiantes
n=20, r=5, ⇒ 20C5
20!
15504
15! 5!
= =
Ejemplo. De una caja que contiene 6 baterías de las cuales 4 están en buen estado, se extrae
una muestra de dos baterías
a) ¿De cuantas formas diferentes se puede tomar la muestra?
Respuesta: n=6, r=2, ⇒ 6C2
6!
15
4! 2!
= =
b) ¿En cuantas de estas muestras, las dos baterías están en buen estado?
Respuesta: n=4, r=2, ⇒ 4C2
4!
6
2! 2!
= =
Es la cantidad de formas de sacar 2 baterías en buen estado de las 4 existentes

50
Ejemplo. En un grupo de 15 personas, 7 leen la revista A, 5 leen la revista B y 6 ninguna
revista. Encuentre la cantidad de personas que leen al menos una revista
Respuesta. Para el cálculo puede usarse una representación gráfica de conjuntos, pero una
representación tabular facilita hallar el número de elementos de cada evento.
Primero colocamos en el cuadro los datos (color negro). y luego completamos el cuadro con los
valores faltantes (color azul). Para los cálculos se ha seguido el orden indicado en el dibujo.
Del cuadro se obtiene directamente que
4 leen A, únicamente
2 leen B, únicamente
3 leen A y B
Por lo tanto, 9 personas leen al menos una revista
Encuentre la cantidad de formas diferentes de elegir cuatro personas que al menos lean una
revista
Respuesta: 9C4
4
9!
5! !
= = 126
Encuentre la cantidad de formas diferentes de elegir cuatro personas de tal manera que dos
lean solamente A, una lea solamente B, y una no lea revistas.
Respuesta:
Cantidad de formas diferentes de elegir 2 de las que leen solamente A: 4C2 = 6
Cantidad de formas diferentes de elegir 1 de las que leen solamente B: 2C1 = 2
Cantidad de formas diferentes de elegir 1 de las que no leen revistas: 6C1 = 6
Por el Principio Básico del Conteo el resultado final es: 6 x 2 x 6 = 72

51
3.1.6 EJERCICIOS
1) Un taller de mantenimiento tiene tres técnicos: A, B, C. Cierto día, dos empresas X, Y
requieren un técnico cada una. Describa el conjunto de posibles asignaciones si cada técnico
puede ir solamente a una empresa.
2) En el ejercicio anterior, suponga que el mismo técnico debe ir primero a la empresa X y luego
a la empresa Y. Describa el conjunto de posibles asignaciones.
3) Hay tres paralelos para el curso de Cálculo Diferencial y tres paralelos para Algebra Lineal.
Un estudiante desea tomar ambos cursos. Escriba el conjunto de posibles asignaciones.
4) En un curso preuniversitario los exámenes solían contener 20 preguntas y cada una con
cinco opciones. ¿De cuantas formas diferentes se podía contestar el examen?
5) Una caja contiene cinco libros de Matemáticas y una segunda caja contiene 4 libros de Física.
¿De cuantas maneras diferentes se puede tomar un libro para materia? a) si todos los libros son
diferentes, b) si los libros de cada materia son iguales
6) Una caja contiene 3 bolas azules y 2 rojas. Una segunda caja contiene dos bolas rojas. De la
primera caja se extrae una bola y se la coloca en la segunda caja. Finalmente, de la segunda
caja se extraen dos bolas. ¿Cuantos resultados diferentes se pueden obtener al tomar las dos
bolas de la segunda caja? ¿En cuantos de estos resultados se obtendrían dos bolas de diferente
color?
7) Para un proyecto se requiere dos ingenieros y tres técnicos. Si hay cuatro ingenieros y cinco
técnicos disponibles. ¿De cuantas maneras se puede hacer la elección?
8) Una caja contiene 6 baterías de las cuales 2 son defectuosas. ¿De cuantas maneras se
pueden tomar tres baterías de tal manera que solamente haya una defectuosa?
9) En un grupo de 60 estudiantes, 42 están registrados en Análisis Numérico, 38 en Estadística
y 10 no están registrados en ninguna de estas dos materias. ¿Cuantos están registrados
únicamente en Estadística? ¿Cuantos están registrados en Estadística pero no en Análisis
Numérico?
10) El cable de seguridad de una bicicleta tiene un candado que contiene 4 discos. Cada disco
tiene seis números. Si probar cada combinación toma cinco segundos, determine el tiempo
máximo que le tomará a una persona encontrar la clave para quitar el cable de seguridad que
sujeta a la bicicleta

52
MATLAB
>> c = nchoosek(9,4) Cálculo de 9C4
c = 126
>> r = factorial(5) Factorial de 5
r = 120
>> x=[2 3 5 7]; Conjunto de 4 elementos
>> lista=combnk(x,3) Lista de combinaciones de 3 elementos
lista =
2 3 5
2 3 7
2 5 7
3 5 7
>> n=length(lista) Número de combinaciones
n = 4
>> x=[3 5 7]; Conjunto de tres elementos
>> lista=perms(x) Lista de permutaciones
lista =
7 5 3
7 3 5
5 7 3
5 3 7
3 5 7
3 7 5
>> x = {'Juan', 'Pedro', 'Pablo'}; Conjunto con tres elementos
>> lista=combnk(x,2) Lista de combinaciones de 2 elementos
lista =
'Juan' 'Pedro'
'Juan' 'Pablo'
'Pedro' 'Pablo'

53
3.2 EXPERIMENTO ESTADÍSTICO
Es un procedimiento que se realiza con el propósito de obtener observaciones para algún
estudio de interés. Un experimento requiere realizar pruebas o ensayos para obtener
resultados.
Un Experimento Estadístico tiene las siguientes características:
1. Se conocen todos los resultados posibles antes de realizar el experimento.
2. No se puede predecir el resultado de cada ensayo realizado (propiedad de aleatoriedad)
3. Debe poderse reproducir o repetir el experimento en condiciones similares.
4. Se puede establecer un patrón predecible a lo largo de muchas ejecuciones del experimento.
Esta propiedad se denomina regularidad estadística.
Ejemplos
1) Lanzar un dado y observar el resultado obtenido.
2) Medir la altura de una persona
3) Observar el tipo de defecto de un artículo producido por una fábrica
3.3 ESPACIO MUESTRAL
El Espacio Muestral, representado con la letra S, es el conjunto de todos los resultados
posibles de un experimento. Cada elemento de S se denomina Punto Muestral.
Según la naturaleza del experimento, los puntos muestrales pueden determinar que S sea
discreto o continuo.
S es discreto si sus elementos pueden ponerse en correspondencia con los números
naturales. En este caso S puede se finito o infinito.
S es continuo si los resultados corresponden a algún intervalo de los números reales. En este
caso S es infinito por definición.
Ejemplos
Experimento: Lanzar un dado y observar el resultado
Espacio Muestral: S={1, 2, 3, 4, 5, 6]
Propiedades de S: Discreto y finito
Experimento: Elegir al azar dos artículos de un lote y observar la cantidad de
artículos defectuosos
Espacio Muestral: S={0, 1, 2}
Propiedades de S: Discreto y finito
Experimento: Lanzar un dado y contar la cantidad de intentos hasta obtener como
resultado el 6
Espacio Muestral: S={1, 2, 3, . . .}
Propiedades de S: Discreto e infinito
Experimento: Medir el peso en gramos de un artículo elegido al azar
Espacio Muestral: S={x | x>0, x∈R}
Propiedades de S: Continuo (infinito por definición)

54
3.4 EVENTOS
Un evento es algún subconjunto del Espacio Muestral S. Se pueden usar letras mayúsculas
para denotar eventos: A, B, . . . También se pueden usar índices E1, E2, . . .
Ejemplo:
Experimento: Lanzar un dado y observar el resultado
Espacio Muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6]
Describa el evento de interés: A: el resultado es un número par
Respuesta: A = {2, 4, 6}
Representación gráfica con un Diagrama de Venn
Definiciones:
Evento nulo: No contiene resultados (puntos muestrales)
Evento simple: Contiene un solo resultado (punto muestral)
Eventos excluyentes: Eventos que no contienen resultados comunes
3.5 σ-ALGEBRA
El soporte matemático natural para el estudio de las propiedades de los eventos es la Teoría
de Conjuntos. Pero existe un álgebra formal específica para su estudio denominada σ-Algebra
(sigma álgebra).
σ-Algebra A es una colección no vacía de subconjuntos de S tales que
1) S ∈ A
2) Si A ∈ A, entonces AC
∈ A
3) Si A1, A2, ... ∈ A, entonces ∈
∞
= A
U i
1
i A
En resumen una σ-Algebra A incluye a S, a sus subconjuntos y es cerrada con respecto a la
operación de unión de conjuntos.
3.6 PROBABILIDAD DE EVENTOS
El valor de la probabilidad de un evento es una medida de la certeza de su realización
Sea A un evento, entonces P(A) mide la probabilidad de que el evento A se realice
P(A)=0 es la certeza de que no se realizará
P(A)=1 es la certeza de que si se realizará
P(A)=0.5 indica igual posibilidad de que se realice o no se realice

55
3.6.1 Asignación de valores de probabilidad a eventos
1) Empírica
Es la proporción de veces que un evento tuvo el resultado esperado respecto al total de
intentos realizados.
Ejemplo. Se han realizado 20 ensayos en un experimento en condiciones similares. Cuatro
ensayos tuvieron el resultado esperado. Entonces, la probabilidad que en el siguiente ensayo
se obtenga el resultado esperado tiene un valor aproximadamente: 4/20 = 0.2 = 20%
2) Mediante modelos matemáticos
Para muchas situaciones de interés puede construirse modelos matemáticos con los cuales se
puede determinar la probabilidad de eventos. Algunos de estos modelos son estudiados en
este curso, tanto para variables discretas como continuas.
3) Asignación clásica
Su origen es la Teoría de Juegos. El valor de probabilidad de un evento es la relación entre la
cantidad de resultados que se consideran favorables para el evento de interés, respecto al total
de resultados posibles (Espacio Muestral).
Definición: Asignación Clásica de Probabilidad a Eventos
Sean S: Espacio muestral
A: Evento de interés .
Si N(S) y N(A) representan la cardinalidad (número de elementos)
Entonces la probabilidad del evento A es:
N(A)
P(A)
N(S)
=
.
Ejemplo. Calcule la probabilidad que al lanzar una vez un dado y una moneda se obtenga un
número impar y sello
Si c, s representan los valores cara y sello de la moneda, entonces el espacio muestral es:
S = {(1,c),(2,c),(3,c),(4,c),(5,c),(6,c),(1,s),(2,s),(3,s),(4,s),(5,s),(6,s)}
Mientras que el evento de interés es: A = {(1,s),(3,s),(5,s)}
Repuesta: P(A) = N(A)/N(S) = 3/12 = 1/4 = 0.25 = 25%
revista.
a) Encuentre la probabilidad que al elegir al azar una persona, ésta lea al menos una revista
Respuesta: Representación tabular de datos:
Leen B No leen B
Leen A 3 4 7
No leen A 2 6 8
5 10 15
Del cuadro se obtiene que:
4 únicamente leen A
2 únicamente leen B
3 leen A y B
9 personas leen al menos una revista

56
Sean
E: Evento que la persona elegida al azar lea al menos una revista
S: Conjunto de todas las personas entre las que se puede elegir una.
Entonces
P(E) = N(E)/N(S) = 9/15 = 0.6
b) Encuentre la probabilidad que al elegir al azar tres personas, dos lean ambas revistas y una
no lea revistas.
Respuesta:
Sean
E: Evento que dos personas lean ambas revistas y una no lea revistas
S: Incluye todas las formas diferentes de elegir tres personas
N(S) = 15C3 = 455
Cantidad de formas diferentes de elegir 2 de las 3 que leen ambas
3C2 = 3
Cantidad de formas diferentes de elegir 1 de las 6 que no leen revistas
6C1 = 6
Por el Principio Básico del Conteo, la cantidad de elementos en el evento E
N(E) = 3 x 6 = 18
Por lo tanto
P(E) = N(E)/N(S) = 18/455 = 0.0396 = 3.96%
Ejemplo. Suponga que se ha vendido una serie completa de las tablas del Peso Millonario.
Cada tabla es diferente y contiene 15 números diferentes elegidos al azar entre los enteros del
1 al 25. Calcule la probabilidad que al comprar una tabla esta sea la tabla ganadora.
Respuesta:
Sea S: conjunto de tablas del Peso Millonario
N(S) = 25C15 = 3268760 (Cantidad de tablas diferentes que se generan)
Sea E: evento de tener la tabla premiada (solamente hay una tabla premiada)
P(E) = N(E)/N(S) = 1/3268760 ≅ 0.0000003 (Cercano a cero)
Para tomar una idea de lo pequeño que es este número imagine cual sería su chance de sacar
el premio si en una caja hubiesen 1000 tablas entre las que está la tabla ganadora.
Si usted debe elegir al azar una tabla y obtener la tabla ganadora, es muy poco probable que
acierte.
Ahora suponga que en una bodega hay 3268 cajas, cada una con 1000 tablas. Primero usted
debe elegir al azar la caja que contiene la tabla ganadora, y luego de esta caja elegir al azar
una tabla esperando que esta sea la tabla ganadora.
Se puede concluir que la probabilidad del evento de obtener el premio es insignificante.

57
3.6.2 Probabilidad de Eventos Simples
Un Evento Simple incluye un solo punto muestral. Un evento cualquiera A de S puede
considerarse entonces como la unión de sus eventos simples.
Definición: Probabilidad de Eventos Simples
Sean S: Espacio muestral, con n puntos muestrales
A: Evento cualquiera de S con k puntos muestrales
E1, E2, . . ., Ek: Eventos simples incluidos en A
Entonces
P(A) = P(E1 ∪ E2 ∪ . . . ∪ Ek) = P(E1) + P(E2) + . . . + P(Ek)
Si cada evento simple tiene igual probabilidad, entonces
P(A) = k (1/n)
Ejemplo. ¿Cual es la probabilidad que al lanzar un dado se obtenga un número par?
Respuesta: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {2, 4, 6} Evento de interés
E1 = {2}, E2 = {4}, E3 = {6}: Eventos simples incluidos en el evento A
Entonces:
P(A) = P(E1 ∪ E2 ∪ E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) = 3 (1/6) = 0.5
Ejemplo. Suponga que un dado está desbalanceado de tal manera que se conoce que la
probabilidad que salga el número 6 es el doble que los otros números. ¿Cual es la probabilidad
que al lanzarlo salga un número par?
Respuesta: En este ejemplo los puntos muestrales no tienen la misma probabilidad (1/6).
Sea x la probabilidad que salga alguno de los números 1, 2, 3, 4, 5. Por lo tanto, la
probabilidad que salga el número 6 es el doble, 2x
Entonces x + x + x + x + x + 2x = 1 ⇒ x = 1/7
Sean A = {2, 4, 6}: Evento que salga un número par
E1 = {2}, E2 = {4}, E3 = {6}: Eventos simples incluidos en A
P(A) = P(E1) + P(E2) + P(E3) = 1/7 + 1/7 + 2/7 = 4/7
Ejemplo. De una caja que contiene 6 baterías de las cuales 4 están en buen estado, se extrae
una muestra de dos baterías
Calcule la probabilidad que ambas baterías en la muestra estén en buen estado.
Respuesta:
Cantidad total de muestras que se pueden obtener:
N(S) = 6C2
6!
15
4! 2!
= =
Sea E: Evento correspondiente a la obtención de una muestra con ambas baterías buenas
Cantidad total de muestras en las que ambas baterías están en buen estado
N(E) = 4C2
4!
6
2! 2!
= =
Entonces
P(E) = N(E)/N(S) = 6/15 = 0.4

58
3.7 AXIOMAS DE PROBABILIDAD DE EVENTOS
En esta sección se introduce la formalidad matemática necesaria para fundamentar la Teoría
de la Probabilidad de Eventos.
Sea S: Espacio muestral
E: Evento de S
P(E): Probabilidad del evento E
ℜ: Conjunto de los reales
Sea P una función que asocia a cada evento E de S un número real:
Definición: Función de Probabilidad de un Evento
P: S → ℜ
E → P(E), dom P = S, rg P = [0, 1]
P se denomina Función de Probabilidad de un Evento y cumple los siguientes axiomas
Axiomas de Probabilidad de Eventos
1) P(E) ≥ 0
2) P(S) = 1
3) E1, E2 ∈ S ∧ E1 ∩ E2 = ∅ ⇒ P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2)
El primer axioma indica que la probabilidad de un evento no puede tener valores negativos. El
segundo axioma establece que la probabilidad de que un resultado pertenezca al espacio
muestral es 1, lo cual es evidente pues S contiene todos los resultados posibles.
El tercer axioma establece que si dos eventos son mutuamente excluyentes entonces la
probabilidad del evento que resulta de la unión de estos eventos, es la suma de las
probabilidades de ambos eventos.
3.8 PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD DE EVENTOS
Con los axiomas establecidos se pueden demostrar algunas propiedades de interés, para los
eventos de un espacio muestral S.
3.8.1 Demostraciones basadas en axiomas de probabilidad
a) Probabilidad de un Evento Nulo: P(∅) = 0
Demostración: S = S∪∅ eventos excluyentes
⇒ P(S) = P(S) + P(∅) por el Axioma 3
⇒ 1 = 1 + P(∅) por el Axioma 2
⇒ P(∅) = 0
b) Probabilidad del Evento Complemento: P(Ec
) = 1 – P(E)
Demostración: S = E∪Ec
eventos excluyentes
⇒ P(S) = P(E) + P(Ec
) por el Axioma 3
⇒ 1 = P(E) + P(Ec
) por el Axioma 2
⇒ P(Ec
) = 1 – P(E)
c) Probabilidad de Eventos Incluidos: Si A ⊂ B, entonces P(A) ≤ P(B)
Demostración: Sean A, B eventos de S
Si A está incluido en B se puede escribir
B = A ∪ (AC
∩ B) eventos excluyentes
P(B) = P(A) + P(AC
∩ B) por el Axioma 3
P(B) ≥ P(A) por el Axioma 1

59
d) La probabilidad de un Evento está entre 0 y 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1
Demostración Sea E un evento cualquiera de S, entonces
∅ ⊂ E ⊂ S
P( ∅ ) ≤ P(E) ≤ P(S) por la Propiedad 3
0 ≤ P(E) ≤ 1 por la Propiedad 1 y Axioma 2
e) Probabilidad de la Diferencia de Eventos:
P(A – B) = P(A) – P(A∩B) = P(A∩Bc
)
Demostración: A = (A – B)∪(A∩B) eventos excluyentes
⇒ P(A) = P(A – B) + P(A∩B) por el Axioma 3
⇒ P(A – B) = P(A) –- P(A∩B) = P(A∩Bc
)
f) Regla Aditiva de Probabilidad de Eventos:
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Demostración: A∪B = (A – B)∪(A∩B)∪(B – A) eventos excluyentes
⇒ P(A∪B) = P(A – B) + P(A∩B) + P(B – A) por el Axioma 3
⇒ P(A∪B) = P(A – B) + P(A∩B) + P(B – A) + P(A∩B) – P(A∩B
⇒ P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) con la Propiedad 5
Representación gráfica con un Diagrama de Venn de la Regla Aditiva de Probabilidad
Ejemplo. Si la probabilidad que un estudiante apruebe Álgebra Lineal es 0.7, la probabilidad
que apruebe Ingles es 0.8 y la probabilidad que apruebe ambas materias es 0.6, ¿cual es la
probabilidad que el estudiante apruebe al menos una de estas dos materias?
Respuesta:
Sean los eventos
A: El estudiante aprueba Álgebra Lineal
B: El estudiantes aprueba Ingles
A∩B: El estudiante aprueba ambas materias
S: Conjunto de todos los estudiantes
A y B no son eventos excluyentes, entonces, por la Regla Aditiva de Probabilidad se tiene
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0.7 + 0.8 – 0.6 = 0.9
Ejemplo. Sean A, B eventos de S, tales que P(A) = 0.35, P(Bc
) = 0.27, P(Ac
∩B) = 0.59
Calcule:
a) P(A∩B)
b) P(A∪B)
c) P(A∪Bc
)
d) P(Ac
∪Bc
)

60
Respuesta:
Una representación tabular de los valores de probabilidad facilita los cálculos.
B Bc
A 0.14 0.21 0.35
Ac
0.59 0.06 0.65
0.73 0.27 1
Cada respuesta se la obtiene directamente de la tabla:
a) P(A∩B) = 0.14
b) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0.35 + 0.73 - 0.14 = 0.94
c) P(A∪Bc
) = P(A) + P(Bc
) – P(A∩Bc
) = 0.35 + 0.27 – 0.21 = 0.41
d) P(Ac
∪Bc
) = P(Ac
) + P(Bc
) – P(Ac
∩Bc
)= 0.65 + 0.27 – 0.06 = 0.86
revista. Encuentre la probabilidad que al elegir al azar una persona, ésta lea al menos una
revista
Respuesta: Representación tabular para los datos:
4 únicamente leen A
2 únicamente leen B
3 leen A y B
Entonces, 9 personas leen al menos una revista
Sean los eventos
A: La persona elegida al azar lee la revista A
B: La persona elegida al azar lee la revista B
A∪B: La persona elegida al azar lee al menos una revista
A∩B: La persona elegida al azar no lee ni la revista A ni la revista B
S: Conjunto de las 15 personas
Por lo tanto, con la Regla Aditiva de Probabilidad,
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 7/15 + 5/15 – 3/15 = 9/15 = 0.6
Leen B No leen B
Leen A 3 4 7
No leen A 2 6 8
5 10 15

61
Las propiedades pueden extenderse a más eventos
Sean A, B, C, tres eventos del espacio muestral S
Definición: Regla Aditiva de Probabilidad para tres Eventos
Si A, B, C son eventos mutuamente excluyentes,
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C)
Si A, B, C son eventos cualesquiera,
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(A∩C) – P(B∩C) + P(A∩B∩C)
Ejemplo. Si la probabilidad que Juan vaya al estadio, al cine o a estudiar son respectivamente
0.3, 0.2, 0.4, ¿cual es la probabilidad de que no haga alguna de estas tres actividades?
Respuesta:
Sean A, B, C los eventos de que vaya al estadio, al cine o a estudiar
S: Conjunto de todas las actividades que puede realizar Juan
Siendo estos eventos mutuamente excluyentes, la probabilidad es
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) = 0.3 + 0. 2 + 0.4 = 0.9
Por lo tanto, la probabilidad de que no haga alguna de estas tres actividades es
P(A∪B∪C)C
= 1 – P(A∪B∪C) = 1 – 0.9 = 0.1

62
3.8.2 EJERCICIOS
1) En una fábrica hay cinco motores, de los cuales tres están defectuosos. Calcule la
probabilidad que al elegir dos motores al azar,
a) Ambos estén en buen estado
b) Solamente uno esté en buen estado
c) Al menos uno esté en buen estado
2) En un grupo de 60 estudiantes, 42 están registrados en Análisis Numérico, 38 en
Estadística y 10 no están registrados en ninguna de estas dos materias. Calcule la probabilidad
que al elegir entre los 60 algún estudiante al azar,
a) Esté registrado únicamente en Estadística
b) Esté registrado en ambas materias
3) Sean A, B eventos cualesquiera de un espacio muestral.
Si P(A)=0.34, P(B)=0.68, P(A∩B)=0.15, calcule
a) P(A∪B)
b) P(A∩B
c
)
c) P(Ac
∪Bc
)
4) En una encuesta en la ciudad se ha hallado que
La probabilidad que una familia tenga TV es 0.7
La probabilidad que una familia tenga reproductor de DVD es 0.4
La probabilidad que una familia tenga TV pero no tenga reproductor de DVD es 0.36
Calcule la probabilidad que una familia tenga ni TV ni reproductor de DVD
a) Use una representación tabular
b) Use únicamente reglas de probabilidad

63
3.9 PROBABILIDAD CONDICIONAL
La probabilidad de un evento puede depender o estar condicionada al valor de probabilidad de
otro evento. Introducimos este concepto con un ejemplo:
Ejemplo. Un experimento consiste en lanzar una vez un dado y una moneda. Calcule la
probabilidad de obtener como resultados el número 5 y sello
Sean c, s los valores cara y sello de la moneda, entonces el espacio muestral S es:
S = {(1,c),(2,c),(3,c),(4,c),(5,c),(6,c),(1,s),(2,s),(3,s),(4,s),(5,s),(6,s)}
Sea el evento de interés,
A: obtener como resultados el número 5 y sello
A = {(5, s)}
El evento A contiene un punto muestral. Entonces la probabilidad del evento A es 1 entre 12:
P(A) = 1/12 ≅ 0.0833
Suponga ahora que luego de lanzar el dado y la moneda, nos informan que el número del dado
fue impar. ¿Cual es la probabilidad del evento A dado el evento indicado?
Sea B este evento conocido: B = {(1,c),(3,c),(5,c),(1,s),(3,s),(5,s)}
Entonces, la probabilidad del evento A dado el evento B, es 1 entre 6:
P(A) dado B = 1/6 ≅ 0.1667
Definición: Probabilidad Condicional
Sean A, B eventos de S
La Probabilidad Condicional del evento A dado el evento B se escribe P(A|B) y es:
P(A B)
P(A | B) , P(B) 0
P(B)
∩
= ≠
Para justificar esta importante fórmula, suponga que S contiene solo dos eventos, A y B.
En la siguiente tabla se ha escrito simbólicamente el número de elementos de cada evento,
siendo N el total de elementos del espacio muestral:
Entonces,
1
1
1 3
1 3
n
n P(A B)
N
P(A | B)
n n
n n P(B)
N
∩
= = =
+
+
, resultado igual a la fórmula anterior
Interpretación gráfica con un Diagrama de Venn
P(A | B) es una función de probabilidad y cumple los axiomas anteriormente escritos.
B Bc
A n1 n2
Ac
n3 n4
N

64
Ejemplo.- Use la fórmula de la Probabilidad Condicional para resolver el ejemplo anterior,
S = {(1,c),(2,c),(3,c),(4,c),(5,c),(6,c),(1,s),(2,s),(3,s),(4,s),(5,s),(6,s)}
B = {(1,c),(3,c),(5,c),(1,s),(3,s),(5,s)}
A∩B = {(5, s)} ⇒
P(A B) 1/12
P(A | B) 1/6
P(B) 6/12
∩
= = =
Ejemplo. En una empresa hay 200 empleados, de los cuales 150 son graduados. 60
empleados realizan trabajo administrativo. De estos últimos, 40 son graduados. Si se toma al
azar un empleado, encuentre la probabilidad que,
a) Sea graduado y no realiza trabajo administrativo.
b) Sea graduado dado que no realiza trabajo administrativo.
c) No sea graduado dado que realiza trabajo administrativo
Solución:
Sean estos eventos:
G: el empleado es graduado
A: el empleado realiza trabajo administrativo
Para facilitar el cálculo completamos el cuadro con la cantidad de elementos de cada evento.
Los datos faltantes se los ha escrito con color negro:
A Ac
G 40 110 150
Gc
20 30 50
60 140 200
Respuestas
a) P(G∩Ac
) = 110/200 = 0.55
b) P(G|Ac
) = P(G∩Ac
)/P(Ac
) = (110/200) / (140/200) = 110/140 = 0.7857
c) P(Gc
|A) = P(Gc
∩A)/P(A) = (20/200) / (60/200) = 20/60 = 0.3333

65
Ejemplo. Las enfermedades A y B son comunes entre las personas de una región. Suponga
conocido que 10% de la población contraerá la enfermedad A, 5% la enfermedad B, y 2%
ambas enfermedades.
Encuentre la probabilidad que cualquier persona
a) Contraiga al menos una enfermedad
b) Contraiga la enfermedad A pero no B
c) Contraiga la enfermedad A dado que ya contrajo B
d) Contraiga la enfermedad B dado que no contrajo A
e) Contraiga ambas enfermedades dado que ya contrajo al menos una.
Solución:
Para facilitar el cálculo completamos el cuadro de probabilidades, siendo A y B
los eventos que corresponden a contraer las enfermedades A y B, respectivamente
B Bc
A 0.02 0.08 0.10
Ac
0.03 0.87 0.90
0.05 0.95 1
Ahora se puede expresar cada pregunta en forma simbólica y obtener cada respuesta
directamente del cuadro:
Respuestas
a) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0.1 + 0.05 – 0.02 = 0.13 = 13%
b) P(A∩Bc
) = 0.08 = 8%
c) P(A | B) = P(A∩B) / P(B) = 0.02 / 0.05 = 0.4 = 40%
d) P(B | Ac
) = P(B∩Ac
) / P(Ac
) = 0.03 / 0.9 = 0.3 = 30%
e) P[(A∩B) | (A∪B)] = P[(A∩B)∩(A∪B) | P(A∪B)] = P(A∩B) / P(A∪B) = 0.02/0.13 = 0.1538
3.9.1 EJERCICIOS
1) En un club de amigos, 10 practican tenis, 7 practican fútbol, 4 practican ambos deportes y
los restantes 5 no practican algún deporte. Si se elige una de estas personas al azar, calcule la
probabilidad que,
a) Al menos practique un deporte
b) No practique tenis
c) Practique tenis y no practique fútbol
d) Practique tenis dado que no practica fútbol
2) Sean los eventos A, B tales que P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(A∩B)=0.1, encuentre
a) P(A|B)
b) P(B|A)
c) P(A|A∪B)
d) P(A|A∩B)
e) P(A∩B|A∪B)
3) En una granja se tiene que la probabilidad que un animal tenga la gripe aviar es 0.3. La
probabilidad que la reacción a una prueba sea negativa para un animal sano es 0.9, y que sea
positiva para un animal enfermo es 0.8
a) Calcule la probabilidad que para un animal elegido al azar, el examen sea positivo
b) Calcule la probabilidad que el animal elegido al azar esté enfermo, dado que el
examen fue positivo

66
3.10 EVENTOS INDEPENDIENTES
Sean A y B eventos cualesquiera de un espacio muestral S. Se dice que A y B son
independientes si P(A|B) = P(A) y P(B|A) = P(B), es decir que el evento A no depende del
evento B y el evento B no depende del evento A
Lo anterior es equivalente a la siguiente definición:
Definición: Eventos Independientes
A y B son eventos independientes si P(A∩B) = P(A) P(B)
Demostración:
De la definición de probabilidad condicional,
P(A|B) = P(A∩B)/P(B), P(B)≠0
Si A y B son independientes: P(A|B) = P(A).
Si se sustituye en la fórmula de probabilidad condicional:
P(A) = P(A∩B)/P(B)
Se obtiene el la fórmula en la definición
INTERPRETACIÓN GRÁFICA
Ejemplo. Calcule la probabilidad que el último dígito del número de una placa de carro elegida
al azar sea par y el penúltimo dígito sea impar
Sean los eventos
A: El último digito es par
B: El penúltimo dígito es impar
Cada evento no está relacionado con el otro evento, entonces son independientes.
Por lo tanto,
P(A∩B) = P(A) P(B) = 0.5 x 0.5 = 0.25

67
Ejemplo. En una caja hay 10 baterías de las cuales 4 están en buen estado. Se repite dos
veces el siguiente ensayo: extraer una batería al azar, revisar su estado y devolverla a la
caja.
a) Encuentre la probabilidad que en ambos intentos se obtenga una batería en buen estado.
Sean los eventos
A: La primera batería que se toma de la caja está en buen estado
B: La segunda batería que se toma de la caja está en buen estado
Este tipo de experimento se denomina: Muestreo con Reemplazo.
La primera batería se toma de la caja y se la devuelve, entonces el evento B no es afectado
por el resultado que se obtuvo en el evento A, por lo tanto son eventos independientes.
P(A∩B) = P(A) P(B) = 0.4 x 0.4 = 0.16
b) Calcule la probabilidad que en los dos intentos se obtenga al menos una batería en buen
estado
Con la conocida Fórmula Aditiva de Probabilidad,
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0.4 + 0.4 – 0.16 = 0.64
Pregunta. Si A, B son eventos no nulos, mutuamente excluyentes, de un espacio muestral S.
¿Son A y B independientes?
Respuesta:
Nuestra intuición nos puede hacer pensar que A y B son eventos independientes,
sin embargo no es verdad, como se demuestra:
Si A, B son eventos no nulos: P(A) >0, P(B) >0 ⇒ P(A) P(B) >0
Pero si A y B son excluyentes: A∩B = ∅ ⇒ P(A∩B) = 0
Por lo tanto: P(A∩B) ≠ P(A) P(B) ⇒ A y B no son independientes
Pregunta. Si A, B son eventos no nulos e independientes ¿son A, B mutuamente excluyentes?
Si A, B son eventos independientes y no nulos: P(A∩B) = P(A) P(B) > 0
Pero P(A∩B) > 0 ⇒ A∩B ≠ ∅
Por lo tanto A, B no pueden ser mutuamente excluyentes
NOTA: Ambos razonamientos son lógicamente equivalentes como se muestra a continuación:
Sean las proposiciones:
p: A y B son eventos no nulos mutuamente excluyentes,
q: A y B son eventos no nulos e independientes
Entonces, por la conocida equivalencia lógica:
p ⇒ q ≡ q ⇒ p

68
La definición de independencia entre dos eventos puede extenderse a más eventos
Definición: Eventos Independientes con tres Eventos
Si A, B, C son eventos mutuamente independientes, entonces
P(A∩B∩C) = P(A) P(B) P(C) .
3.11 REGLA MULTIPLICATIVA DE LA PROBABILIDAD
Sean A, B eventos no nulos cualquiera de S, entonces
Definición: Regla Multiplicativa de la Probabilidad
P(A∩B) = P(A) P(B|A)
Esta fórmula se la obtiene directamente despejando P(A∩B) de la fórmula de Probabilidad
Condicional
Ejemplo. En una caja hay 10 baterías de las cuales 4 están en buen estado. Se extraen al azar
dos baterías sin devolverlas a la caja. Calcule la probabilidad que,
a) Ambas baterías estén en buen estado
b) Solamente una batería esté en buen estado
c) Al menos una batería esté en buen estado
d) Ninguna batería esté en buen estado
Solución:
Sean los eventos
A: La primera batería que se toma de la caja está en buen estado
B: La segunda batería que se toma de la caja está en buen estado
Este tipo de experimento se denomina: Muestreo sin Reemplazo.
Al tomar la primera batería de la caja y no devolverla, el evento B es afectado por el resultado
que se obtuvo en el evento A, por lo tanto no son eventos independientes.
a) La probabilidad que ambas baterías estén en buen estado es P(A∩B), pero los eventos
A y B no son independientes. Entonces con la fórmula anterior
P(A∩B) = P(A) P(B|A) =
4 3
( )( )
10 9
= 2/15 =0.1333
La probabilidad de éxito del evento A es 4/10. Para el evento B la probabilidad de éxito es 3/9,
dado que A es favorable (quedan 3 baterías en buen estado del total de 9 baterías)
b) La probabilidad que una batería esté en buen estado y la otra en mal estado:
P(A∩Bc
) + P(Ac
∩B) = P(A)P(Bc
|A) + P(Ac
)P(B|Ac
)
= (4/10)(6/9) + (6/10)(4/9) = 12/15 = 0.5333
Los eventos que solamente la primera batería esté en buen estado y que solamente la segunda
batería esté en buen estado son excluyentes, por lo tanto sus probabilidades se suman:

69
c) La probabilidad que al menos una esté en buen estado. Con los resultados de en a) y b):
P(A∪B) = P(A∩B)∪P(A∩Bc
)∪P(Ac
∩B) = 2/15 + 8/15 = 2/3 =0.6666
Los eventos que ambas estén en buen estado o que solamente una esté en buen estado son
mutuamente excluyentes, por lo tanto sus probabilidades se suman.
d) La probabilidad que ninguna esté en buen estado
P((A∪B)c
) = 1 – P(A∪B) = 1 – 2/3 = 1/3 = 0.3333
Es el complemento del evento que al menos una esté en buen estado.
El ejemplo anterior también puede resolverse con las conocidas fórmulas de conteo:
a) Probabilidad que ambas baterías estén en buen estado
Sea A: evento que ambas baterías están en buen estado
N(A): cantidad de formas de sacar 2 baterías en buen estado de las 4 existentes:
N(S): cantidad de formas de sacar 2 baterías del total de 10 baterías
P(A) = N(A) / N(S) = 4C2 / 10C2 = 2/15
b) Probabilidad que solamente una batería esté en buen estado
Sea A: Evento que una batería está en buen estado y la otra esté en mal estado.
Este evento incluye las formas de sacar una batería en buen estado de las 4 existente:
4C1, y una en mal estado de las 6 existentes: 6C1
P(A) = 4C1 6C1 / 10C2 = 8/15
c) Probabilidad que al menos una batería esté en buen estado
Sean los eventos
A: Ambas baterías están en buen estado
B: Solamente una batería está en buen estado
A y B son eventos excluyentes, por lo tanto
P(A∪B) = P(A) + P(B) = 2/15 + 8/15 = 10/15 = 2/3
La Regla Multiplicativa de Probabilidad puede extenderse a más eventos.
Definición: Regla Multiplicativa de Probabilidad para tres Eventos
Sean A, B, C eventos cualesquiera de S, entonces
P(A∩B∩C) = P(A) P(B|A) P(C|A∩B)
.
Ejemplo. En el ejemplo anterior de las 10 baterías con 4 en buen estado, encuentre la
probabilidad que al extraer tres sin devolverlas, las tres estén en buen estado
Solución:
Sean A, B, C eventos correspondientes a que la primera, segunda y tercera batería estén
en buen estado,
Con la Regla Multiplicativa de Probabilidad:
P(A∩B∩C) = P(A) P(B|A) P(C|A∩B) = (4/10) (3/9) (2/8) = 1/30 = 0.0333 = 3.33%

70
Este ejemplo también se puede resolver usando fórmulas de conteo:
Sean A: Evento que las tres baterías están en buen estado
N(A): cantidad de formas de tomar 3 baterías en buen estado de las 4 existentes
N(S): cantidad de formas de tomar 3 baterías del total de 10
P(A) = N(A) / N(S) = 4C3 / 10C3 = 1/30
3.11.1 EJERCICIOS
1) Dos jugadores de fútbol realizan un disparo cada uno. Se conoce que la probabilidad de
éxito del primero es 0.7 mientras que la probabilidad de éxito del segundo jugador es 0.6.
Calcule la probabilidad que
a) Ambos jugadores tengan éxito.
b) Ninguno tenga éxito.
c) Al menos uno tenga éxito
2) Dos alarmas contra incendio funcionan independientemente. La probabilidad de éxito de
detección de la primera es 0.95, mientras que para la segunda es 0.9. Calcule la probabilidad
que:
a) Al menos una alarma tenga éxito.
c) Solamente una alarma tenga éxito.
3) Sean A, B eventos independientes. Demuestre que los eventos A
c
, Bc
también son eventos
independientes.

71
.
3.12 PROBABILIDAD TOTAL
Existen situaciones en las cuales varios eventos intervienen en la realización de algún otro
evento del mismo espacio muestral.
Sean B1, B2, ... ,BK eventos mutuamente excluyentes en S y que constituyen una partición de
S, es decir, cumplen las siguientes propiedades:
a) ∀i,j (Bi∩Bj = ∅, i ≠ j) (Los eventos son mutuamente excluyentes)
b) B1∪B2∪ ... ∪BK = S (La unión de todos estos eventos es S)
Sea A un evento cualquiera de S La realización de A depende de los eventos B1, B2, ... ,BK
El siguiente gráfico permite visualizar esta relación entre los eventos descritos:
La siguiente fórmula permite calcular la probabilidad del evento A conocidos los valores de
probabilidad de los eventos B1, B2, ... ,BK
Definición:
Fórmula de la Probabilidad Total
P(A) = P(B1) P(A|B1)+P(B2) P(A|B2)+...+P(Bk) P(A|Bk) =
k
i i
i 1
P(B )P(A | B )
=
∑
Demostración
A = (A∩B1)∪(A∩B2)∪ ... ∪(A∩BK) A es la unión de eventos excluyentes
P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) + ... + P(A∩BK) Por el Axioma 3 de probabilidad
Entonces, con la definición de Probabilidad Condicional
P(A) = P(B1) P(A|B1)+P(B2) P(A|B2)+...+P(Bk) P(A|Bk)

72
.
Ejemplo. Una empresa tiene tres personas para atender a sus clientes: María, Carmen y
Beatriz. Se dispone de un registro histórico del porcentaje de quejas de los clientes atendidos
por estas tres personas: 1%, 3%, 2% respectivamente. Cierto día acudieron 50 clientes a la
empresa de los cuales 15 fueron atendidos por María, 10 por Carmen y 25 por Beatriz.
Calcule la probabilidad que un cliente elegido al azar de entre los que fueron atendidos ese día
se queje por la atención recibida.
Solución.
Los datos disponibles son
Persona
Clientes
atendidos
Probabilidad
de queja
María 15 1%
Carmen 10 3%
Beatriz 25 2%
Si se definen los siguientes eventos:
A: El cliente elegido al azar presenta una queja
B1: El cliente fue atendido por María
B2: El cliente fue atendido por Carmen
B3: El cliente fue atendido por Beatriz
B1, B2, y B3 son eventos que conforman una partición, y contribuyen a la realización de otro
evento, A. Por lo tanto es un problema de Probabilidad Total:
P(A) = P(B1) P(A|B1) + P(B2) P(A|B2) + P(B3) P(A|B3)
= (15/50)0.01 + (10/50)0.03 + (25/50)0.02 = 0.019 = 1.9%
Ejemplo. Una fábrica tiene tres máquinas M1, M2, M3 para la producción de sus artículos. El
siguiente cuadro describe el porcentaje de producción diaria de cada una y la frecuencia de
artículos defectuosos que producen cada una.
Máquina Producción
Artículos
defectuosos
M1 50% 4%
M2 30% 3%
M3 20% 2%
Determine la probabilidad que un artículo elegido al azar de la producción total de un día, sea
defectuoso.
Solución
Sea A: Evento que el artículo elegido al azar sea defectuoso
El evento A depende de B1, B2, B3 que representan los eventos de que un artículo sea
producido por las máquinas: M1, M2, M3 respectivamente. Estos eventos forman una partición
por lo que con la fórmula de la Probabilidad Total
P(A) = P(B1) P(A|B1) + P(B2) P(A|B2) + P(B3) P(A|B3)
= (0.5)(0.04) + (0.3)(0.02) + (0.2)(0.03) = 0.032 = 3.2%

73
.
Ejemplo. En la caja 1 hay 20 baterías de las cuales 18 están en buen estado. En la caja 2 hay
10 baterías de las cuales 9 están en buen estado. Se realiza un experimento que consiste en
las siguientes dos acciones:
Primero se toma al azar de la caja 2 una batería y sin examinarla se la coloca en la caja 1.
Segundo, se toma al azar una batería de la caja 1 y se la examina.
Encuentre la probabilidad que esta última batería esté en buen estado.
Respuesta
El siguiente gráfico describe el experimento:
Sean los eventos
B: La batería tomada de la caja 2 y colocada en la caja 1 está en buen estado
Bc
: La batería tomada de la caja 2 y colocada en la caja 1 no está en buen estado
A: La batería tomada de la caja 1 está en buen estado
El evento A depende de los eventos B y Bc
, los cuales son excluyentes y forman una partición.
De estos eventos depende el evento A. Entonces con la fórmula de la Probabilidad Total:
P(A) = P(B) P(A|B) + P(Bc
) P(A|Bc
) = (9/10)(19/21) + (1/10)(18/21) = 0.9
3.13 TEOREMA DE BAYES
Sean B1, B2, ... ,BK eventos no nulos mutuamente excluyentes de S y que constituyen una
partición de S, y sea A un evento no nulo cualquiera de S
La siguiente fórmula se denomina Fórmula de Bayes y permite calcular la probabilidad
correspondiente a cada uno de los eventos que contribuyen a la realización de otro evento,
dado que se conoce la probabilidad de este evento.
Definición: Fórmula de Bayes
P(Bi|A) = i i i i
K
i i
I 1
P(B ) P(A | B ) P(B ) P(A | B )
P(A)
P(B ) P(A | B )
=
=
∑
, i=1, 2, ..., k
Demostración. Se obtiene directamente de la definición de Probabilidad Condicional y la
fórmula de Probabilidad Total:
P(Bi|A) = i i i
P(B A) P(B ) P(A | B )
P(A) P(A)
∩
= , i = 1, 2, ... ,k

74
.
Ejemplo. En el problema de la fábrica del ejemplo anterior, suponga que el artículo elegido al
azar fue defectuoso. Calcule la probabilidad que haya sido producido por la máquina M1:
Solución:
P(B1|A) = 1 1
P(B ) P(A | B ) (0.50)(0.04)
P(A) 0.032
= = 0.625 = 62.5%
Ejemplo. Sean A, B eventos de algún espacio muestral S. Se conoce que
P(B) = 0.4
P(A|B) = 0.3
P(A|Bc
) = 0.8
Encuentre
a) P(A) b) P(B|A) c) P(B|Ac
)
Solución:
Para facilitar la interpretación de este problema colocamos los datos en un diagrama de árbol y
con un Diagrama de Venn visualizamos los eventos.
Los datos los escribimos en color azul. Los valores faltantes los completamos en negro.
Los eventos B y Bc
constituyen una partición y contribuyen a la realización del evento A.
Con los valores indicados en el diagrama y las fórmulas de Probabilidad Total y el Teorema de
Bayes se obtienen las respuestas:
a) P(A) = P(B) P(A|B) + P(Bc
) P(A|Bc
) = (0.4)(0.3) + ((0.6)(0.8) = 0.6
b) P(B|A) = P(B∩A)/P(A) = P(B) P(A|B) / P(A) = (0.4) (0.3) / 0.6 = 0.2
c) P(B|Ac
) = P(B∩Ac
)/P(Ac
) = P(B) P(Ac
|B) / P(Ac
) = (0.4) (0.7) / 0.4 = 0.7

75
.
3.14 EJERCICIOS
1) La Comisión de Tránsito del Guayas ha implantado un sistema de control de velocidad
mediante un radar colocado en cuatro puntos de la ciudad: X1, X2, X3, X4. Cada día, estos
aparatos están activos en los sitios indicados, 16 horas, 10 horas, 12 horas y 15 horas
respectivamente en horarios al azar. Una persona maneja a su trabajo diariamente y lo hace
con exceso de velocidad y la probabilidad de que pase por alguno de estos sitios es
respectivamente 0.3, 0.1, 0.4 y 0.2
a) Calcule la probabilidad que en algún día reciba una multa por exceso de velocidad.
b) Cierto día, la persona recibió una multa por exceso de velocidad. Determine el sitio en que
hay la mayor probabilidad de haber sido multado.
2) Para concursar por una beca de estudio en el exterior se han presentado a rendir un examen
10 estudiantes de la universidad X1, 20 de la universidad X2 y 5 de la universidad X3. De
experiencias anteriores, se conoce que las probabilidades de éxito en el examen son
respectivamente: 0.9, 0.6, 0.7
a) Calcule la probabilidad que un estudiante elegido al azar apruebe el examen
b) Calcule la probabilidad condicional de que un estudiante elegido al azar y que haya
aprobado el examen, sea de la universidad X1.
MATLAB
Ejemplo
Eventos P(B) P(A|B)
B1 50% 4%
B2 30% 3%
B3 20% 2%
Probabilidad total
>> pb = [.5 .3 .2]; P(Bi)
>> pab = [.04 .03 .02]; P(A|Bi)
>> pa = sum(pb.*pab) P(A) = P(B1)P(A|B1) + .....
pa = 0.0330
Fórmula de Bayes
>> pba = pb.*pab/pa P(Bi|A)
pba = 0.6061 0.2727 0.1212

76
dom X = S, rg X = {0, 1, 2, 3}
4 VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
En el material estudiado anteriormente aprendimos a calcular la probabilidad de eventos de un
espacio muestral S. En esta unidad estudiaremos reglas para establecer correspondencias de
los elementos de S con los números reales, para luego asignarles un valor de probabilidad.
Ejemplo.
En un experimento se lanzan tres monedas y se observa el resultado (c: cara o s: sello).
El conjunto de posibles resultados (espacio muestral) para este experimento, es el siguiente:
S = {( c, c, c),( c, c, s),( c, s, c),( s, c, c),( c, s, s),( s, c, s),( s, s, c),( s, s, s)}
Describa con una variable, el número de sellos que se obtienen.
Los posibles resultados se los puede representar con una variable. Si X es ésta variable,
entonces se dice que X es una variable aleatoria:
X: Variable aleatoria (número de sellos que se obtienen)
Al realizar el experimento, se obtendrá cualquier elemento del espacio muestral S.
Por lo tanto, la variable aleatoria X puede tomar alguno de los números: x = 0, 1, 2, 3.
Las Variables Aleatorias establecen correspondencia del espacio muestral S al conjunto de
los números reales. Esta correspondencia es funcional y se la puede definir formalmente.
Definición: Variable aleatoria
Sean X: Variable aleatoria
S: Espacio muestral
e: Cualquier elemento de S
x: Valor que puede tomar X
ℜ: Conjunto de los números reales
Entonces
X: S → ℜ Es la correspondencia que establece la variable aleatoria X
e → x, dom X = S, rg X ⊂ ℜ .
Ejemplo: Tabule la correspondencia que establece la variable aleatoria X del ejemplo anterior:
S = {( c, c, c),( c, c, s),( c, s, c),( s, c, c),( c, s, s),( s, c, s),( s, s, c),( s, s, s)}
X: Variable aleatoria (número de sellos que se obtienen)
x = 0, 1, 2, 3
e (elemento de S) x (valor de X)
( c, c, c) 0
( c, c, s) 1
( c, s, c) 1
( s, c, c) 1
( c, s, s) 2
( s, c, s) 2
( s, s, c) 2
( s, s, s) 3
Las variables aleatorias pueden representarse con las letras mayúsculas X, Y, ...
Para un mismo espacio muestral S pueden definirse muchas variables aleatorias.
Para el ejemplo de las 3 monedas, algunas otras variables aleatorias sobre S pueden ser:
Y: Diferencia entre el número de caras y sellos
Z: El número de caras al cubo, mas el doble del número de sellos, etc.

77
Para cada variable aleatoria el rango es un subconjunto de los reales. Según el tipo de
correspondencia establecida, las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas.
En el ejemplo de las monedas, X es una variable aleatoria discreta pues su rango es un
subconjunto de los enteros. Además es finita.
Ejemplo. En un experimento se lanza repetidamente una moneda. Determine el rango y tipo
de la variable aleatoria discreta siguiente:
X: Cantidad de lanzamientos realizados hasta que sale un sello
S={( s), (c, s), (c, c, s), (c, c, c, s), ...}, resultados posibles
rg X = {1, 2, 3, 4, ...}
X es una variable aleatoria discreta infinita
4.1 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE
ALEATORIA DISCRETA
Cada valor de una variable aleatoria discreta puede asociarse a un valor de probabilidad
Definición: Probabilidad de una Variable Aleatoria Discreta
Sea X: Variable aleatoria discreta
Entonces, P(X=x) representa la probabilidad que la variable X tome el valor x
La correspondencia que define P(X=x) es una función y se denomina Distribución de
Probabilidad de la variable aleatoria X. Esta correspondencia puede definirse formalmente y
ser designarda con la notación f::
Definición: Distribución de Probabilidad de una Variable Aleatoria Discreta X
Sean X: Variable aleatoria discreta
f(x) = P(X=x): Probabilidad que X tome el valor x
Entonces, la correspondencia
f: X → ℜ,
x → f(x) = P(X=x), dom f = X, rg f ⊂ [0, 1]
Es la Distribución de Probabilidad de la Variable Aleatoria Discreta X
f es una función de probabilidad, por lo tanto su rango está en el intervalo [0, 1]
Definición: Propiedades de la Distribución de Probabilidad de una Variable Aleatoria
Discreta
f(x): Distribución de Probabilidad de X
Propiedades de f(x)
1) ∀x [ f(x) ≥ 0 ] Los valores de probabilidad no pueden ser negativos
2)
X
f(x) 1
=
∑ La suma de todos los valores de probabilidad es 1
La correspondencia que establece f puede describirse en forma tabular como en el ejemplo
de las tres monedas. También puede describirse gráficamente, y en algunos casos mediante
una fórmula matemática como se verá en los siguientes capítulos.

78
Ejemplo. En el experimento de lanzar tres monedas y observar el resultado de cada una:
cara(c), o sello(s). Encuentre la Distribución de Probabilidad en forma tabular, de la variable
aleatoria X: cantidad de sellos que se obtienen
Espacio muestral: S = {( c, c, c),( c, c, s),( c, s, c),( s, c, c),( c, s, s),( s, c, s),( s, s, c),( s, s, s)}
e (elemento de S) x (valor de X)
( c, c, c) 0
( c, c, s) 1
( c, s, c) 1
( s, c, c) 1
( c, s, s) 2
( s, c, s) 2
( s, s, c) 2
( s, s, s) 3
Los valores de probabilidad para este ejemplo se pueden obtener del conteo de valores x:
El valor 0 ocurre 1 vez entre 8, el valor 1 ocurre 3 veces entre 8, etc
x f(x)=P(X=x)
0 1/8
1 3/8
2 3/8
3 1/8
Ejemplo. En un lote de 5 artículos, 3 son defectuosos y 2 aceptables. Se toma una muestra
aleatoria sin reemplazo de 2 artículos. Encuentre la Distribución de Probabilidad de la variable
aleatoria: cantidad de artículos defectuosos que se obtienen en la muestra.
Respuesta
Sean: a, b, c: artículos defectuosos
d, e: artículos aceptables
Cantidad de formas diferentes de obtener la muestra de 2 artículos cualesquiera
N(S) = 5C2 =10
S = {(a, b), (a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e), (c, d), (c, e), (d, e)}
Sea X: Variable aleatoria discreta (cantidad de artículos defectuosos)
x = 0, 1, 2
La distribución de probabilidad de X en forma tabular se obtiene mediante un conteo directo
x f(x)=P(X=x)
0 1/10
1 6/10
2 3/10
Ejemplo. Sea X una variable aleatoria discreta cuya distribución de probabilidad está dada por
f(x) = P(X=x) =
x
2
kx ,x 0,1,2,3
0, otro
 =




Encuentre P(X=2)
Respuesta. Por la propiedad 2)
X
f(x) 1
=
∑
3
2
x 0
kx
=
∑ = k(0)2
+ k(1)2
+ k(2)2
+ k(3)2
= 1 ⇒ k = 1/14 ⇒ f(x) = P(X=x) =
2
1
x ,x 0,1,2,3
14
0, otro x

=




Por lo tanto, P(X=2) = (1/14)(2)2
= 2/7

79
Ejemplo. Grafique un histograma de la distribución de probabilidad para el ejemplo de las tres
monedas
Ejemplo. Para ensamblar una máquina se usan dos componentes electrónicos. Suponga que
la probabilidad que el primer componente cumpla las especificaciones es 0.95, y para el
segundo es 0.98. Además, los componentes funcionan independientemente.
Encuentre la distribución de probabilidad del número de componentes que cumplen las
especificaciones, x = 0, 1, 2
Sea X: Variable aleatoria discreta (número de componentes que cumplen las especificaciones)
x = 0, 1, 2
Sean los eventos:
A: el primer componente cumple las especificaciones
B: el segundo componente cumple las especificaciones
AC
: el primer componente no cumple las especificaciones
BC
: el segundo componente no cumple las especificaciones
Entonces
P(X=0) = P(AC
)P(BC
) = (1 - 0.05)(1 - 0.98) = 0.001 (Eventos independientes)
P(X=1) = P(A∩BC
) + P(B∩AC
) = 0.95(1-0.98) + 0.98(1-0.95) = 0.068
P(X=2) = P(A)P(B) = (0.95)(0.98) = 0.931 (Eventos independientes)
Por lo tanto, Distribución de Probabilidad de la Variable Aleatoria X es:
Estos resultados se fundamentan en la propiedad de que si A, B son eventos independientes,
entonces también A
C
, BC
son eventos independientes.
x f(x) = P(X=x)
0 0.001
1 0.068
2 0.931
X
f(x)

80
4.2 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULADA
DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
También es importante conocer la probabilidad que la variable aleatoria tome algún valor
menor o igual que un valor dado. Esta función se denomina Distribución de Probabilidad
Acumulada y su dominio incluye a todos los números reales
Definición: Distribución de Probabilidad Acumulada de la variable aleatoria X
Sean X: Variable aleatoria discreta,
f: Distribución de Probabilidad de la variable aleatoria discreta X
F: Distribución de Probabilidad Acumulada de la variable aleatoria discreta X
Entonces
F(x) = P(X≤x) = ∑
≤x
t
t
f )
( es la Distribución de Probabilidad Acumulada de X
Correspondencia funcional de la distribución de probabilidad acumulada
F: ℜ → ℜ, dom F = ℜ, rg F ⊂ [0, 1]
Ejemplo. Encuentre la distribución de probabilidad acumulada para el ejemplo de las tres
monedas
Respuesta:
Sea X: variable aleatoria discreta (cantidad de sellos que se obtienen)
Su distribución de probabilidad es:
x f(x)=P(X=x)
0 1/8
1 3/8
2 3/8
3 1/8
Entonces,
F(0) = P(X≤0) =
t 0
f(t)
≤
∑ = f(0) =1/8
F(1) = P(X≤1) =
t 1
f(t)
≤
∑ = f(0) + f(1)= 1/8 + 3/8 = 1/2
F(2) = P(X≤2) =
t 2
f(t)
≤
∑ = f(0) + f(1) + f(2) = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8
F(3) = P(X≤3) =
t 3
f(t)
≤
∑ = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 1
Distribución de Probabilidad Acumulada de la vaiable aleatoria X:
F(x) =
0, x 0
1/8, 0 x 1
1/2, 1 x 2
7/8, 2 x 3
1, x 3
<

 ≤ <


≤ <

 ≤ <

≥



81
X
La Distribución Acumulada puede graficarse
Ejemplo. Grafique la Distribución Acumulada obtenida para el ejemplo anterior
Definición: Propiedades de la Distribución Acumulada para Variables Aleatorias
Discretas
1) 0 ≤ F(x )≤1 F es una función de probabilidad
2) a ≤ b ⇒ F(a) ≤ F(b) F es creciente
3) P(X>a) = 1 – P(X≤a) = 1 – F(a) Complemento de Probabilidad .
El dominio de F es el conjunto de los números reales, por lo tanto es válido evaluar F(x) para
cualquier valor real x.
Ejemplo. Calcule algunos valores de F(x) para el ejemplo anterior.
Con la Distribución Acumulada F(x) previamente calculada:
F(2.5) = P(X ≤ 2.5) = 7/8
F(-3.4) = 0
F(24.7) = 1
F(x)

82
4.2.1 EJERCICIOS
1) Sea X una variable aleatoria discreta y su función de distribución de probabilidad:
2x 1
f(x) ,x 0, 1, 2, 3, 4
25
+
= =
a) Verifique que f satisface las propiedades de las distribuciones de probabilidad
b) Grafique f mediante un histograma
c) Calcule P(X=3), P(2≤X<4)
2) Para ensamblar una máquina se usan dos componentes mecánicos. Suponga que la
probabilidad que el primer componente cumpla las especificaciones es 0.95, y para el segundo
es 0.98. Además, los componentes funcionan independientemente.
Encuentre la función de distribución de probabilidad del número de componentes que cumplen
las especificaciones, X = 0, 1, 2
3) Respecto al ejercicio 1)
a) Encuentre y grafique la función de distribución acumulada F
c) Usando F calcule P(X<1.25), P(1.5<X≤3), P(X<2.5 ∨ X>3.2)
MATLAB
Probabilidad con variables aleatorias discretas
>> x = [0 1 2 3]; Valores de una variable aleatoria X
>> f = [1/8 3/8 3/8 1/8]; Distribución de probabilidad f(x)
>> bar(f, 1, 'y'), grid on Histograma de probabilidad, color amarillo
>> F=cumsum(f) Probabilidad acumulada F(x)
F =
1/8 1/2 7/8 1

83
4.3 VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA
DISCRETA
El Valor Esperado o Media es una medida estadística que describe la tendencia central de una
variable aleatoria. Podemos pensar que representa el valor promedio que tomaría la variable
aleatoria si el experimento se realizara un gran número de veces en condiciones similares.
Definición: Valor Esperado o Media de una Variable Aleatoria Discreta
f(x): Distribución de probabilidad de X
µ o E(X): Media o Valor Esperado de la Variable Aleatoria X
Entonces:
µ = E(X) = )
x
(
f
x
x
∑ es la Media o Valor Esperado de X
La definición representa la suma de los valores de X ponderados con su valor de probabilidad
Ejemplo. Calcule el valor esperado de la variable aleatoria X en el experimento de lanzar tres
monedas, siendo X: Número de sellos que se obtienen
Respuesta: De un ejemplo anterior, se tiene la Distribución de Probabilidad de X
x f(x)=P(X=x)
0 1/8
1 3/8
2 3/8
3 1/8
Entonces, el valor esperado de X es:
µ = E(X) = ∑
=
3
0
x
)
x
(
xf = 0(1/8) + 1(3/8) + 2(3/8) + 3(1/8) = 1.5
Significa que si se realizaran un gran número de ensayos, en promedio se obtendrán 1.5 sellos.
En el ejemplo anterior, el valor esperado se ubica en el centro de la distribución de los valores de
X. Esto se debe a que la distribución de probabilidad de X es simétrica alrededor de la media.
Ejemplo. En el experimento de obtención de muestras del lote de 5 artículos, encuentre el valor
esperado de la variable aleatoria X: Número de artículos defectuosos.
Respuesta: Se tiene la Distribución de Probabilidad de X:
x f(x)=P(X=x)
0 1/10
1 6/10
2 3/10
Entonces, el valor esperado de X es:
µ = E(X) = ∑
=
2
0
x
)
x
(
xf = 0(1/10) + 1(6/10) + 2(3/10) = 1.2, (media de artículos defectuosos)

84
Distribución de Probabilidad de X
En este ejemplo, el Valor Esperado no está en el centro de la distribución de los valores de X.
Esto se debe a que la Distribución de Probabilidad de X no es simétrica alrededor de la media.
Es natural que el Valor Esperado se ubique cercano a la región en la que se encuentran los
valores de X que tienen mayor probabilidad de ocurrir.
La media µ de una variable aleatoria es una medida estadística referida al espacio muestral;
mientras que la media muestral X se refiere a un subconjunto de la población (espacio muestral)
4.3.1 VALOR ESPERADO DE EXPRESIONES CON UNA VARIABLE
ALEATORIA
Se pueden construir expresiones con variables aleatorias. Estas expresiones también son
variables aleatorias y su dominio generalmente es el mismo que el dominio de las variables
aleatorias, mientras que el rango puede ser diferente.
Definición: Valor Esperado de Expresiones con una Variable Aleatoria
G(X): Alguna expresión con la variable aleatoria X
Entonces
µG(X) = E[G(X)] =
x
G(x)f(x)
∑ es la Media o Valor Esperado de G(X)
Ejemplo. Sea X una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad:
x f(x)
1 0.1
2 0.4
3 0.3
4 0.2
Sea G(X) = 2X + 1. Encuentre E[G(X)]
Respuesta.
µG(X)=E[G(X)] = ∑
=
4
1
x
)
x
(
f
)
x
(
G =(2(1)+1)(0.1) + (2(2)+1)(0.4) + (2(3)+1)(0.3) + (2(4)+1)(0.2) = 6.2
Ejemplo. Un almacén vende diariamente 0, 1, 2, 3, o 4 artículos con probabilidad 10%, 40%,
30%, 15%, y 5% respectivamente. Mantener el local le cuesta diariamente $40 a la empresa.
Por cada artículo que vende, tiene una ganancia de $50.
Encuentre el valor esperado de la ganancia diaria.
Respuesta:
Sea X: Variable aleatoria discreta (número de artículos que vende cada día). Se tiene:
x f(x)=P(X=x)
0 0.1
1 0.4
2 0.3
3 0.15
4 0.05

85
Sea G(X) = 50X – 40, variable aleatoria que representa la ganancia diaria
Entonces: E[G(X)]=
4
x 0
G(x)f(x)
=
∑ = (50(0)-40)(0.1) + (50(1)-40)(0.4) + .... = 42.5
Definición: Juego Justo
Se dice que "un juego es justo” si el valor esperado de la ganancia es cero: µ = E(X) = 0
Ejemplo. Un juego consiste en lanzar tres monedas. Si salen 1 o 2 sellos, se pierde $2.
¿Cuanto se debe ganar en los otros casos para que sea un "juego justo”?
Respuesta:
Sea X: Número de sellos (variable aleatoria discreta)
G(X): Ganancia (variable aleatoria)
Se tiene la Distribución de Probabilidad de X:
x f(x)=P(X=x) G(x)
0 1/8 k
1 3/8 -2
2 3/8 -2
3 1/8 k
k es la cantidad que se debe ganar cuando salen 0 o 3 sellos.
Entonces E[G(X)] = ∑
=
3
0
x
)
x
(
f
)
x
(
G = k(1/8) + (-2)(3/8) + (-2)(3/8) + k(1/8) = 0
Pues el valor esperado debe ser 0. De donde se obtiene k = 6 dólares.
4.3.2 PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO
Propiedades del Valor Esperado
a, b ∈ ℜ: Números reales cualesquiera
Entonces E(aX + b) = aE(X) + b .
Demostración
x x x x x
E(aX b) (ax b)f(x) axf(x) bf(x) a xf(x) b f(x)
+ = + = + = +
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
Se tiene
x
E(X) xf(x)
= ∑ , además
x
f(x) 1
=
∑ , con lo que se completa la demostración.
4.3.3 COROLARIOS
1) E(aX) = a E(X), 2) E(b)=b .
El segundo corolario establece que si el resultado de un experimento es un valor constante, el
valor esperado o media, también debe ser constante.

86
Ejemplo. Calcule el valor esperado para el ejemplo del almacén usando la nueva fórmula
Respuesta:
G(X) = 50X – 40
E[G(X)] = E(50X – 40) = 50 E(X) – 40
E(X) = ∑
=
4
0
x
)
x
(
xf = 0(0.1) + 1(0.4) + 2(0.3) + 3(0.15) + 4(0.05) = 1.65
⇒ E[G(X)] = 50(1.65) – 40 = 42.5
4.4 VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
La Varianza o Variancia es una medida estadística que cuantifica el nivel de dispersión o
variabilidad de los valores la variable aleatoria alrededor de la media.
Definición: Varianza de una Variable Aleatoria Discreta
f(x): Distribución de probabilidad
µ, o E(X): Media o Valor Esperado de la variable aleatoria X
Entonces
σ2
= V(X) = E[(X - µ)2
] = 2
x
(x ) f(x)
− µ
∑ es la Varianza de la variable aleatoria X
En la definición de la Varianza se suman las diferencias de cada valor x con respecto a la media
ponderadas con los valores de probabilidad. Elevar al cuadrado puede interpretarse que se
suman las magnitudes de las diferencias. El verdadero motivo pertenece a la Teoría Estadística.
Ejemplo. En el experimento de lanzar tres monedas, se definió la variable aleatoria
X: Número de sellos que se obtienen. Calcule la varianza de esta variable aleatoria.
Respuesta: Se tiene la distribución de probabilidad de X
x f(x)=P(X=x)
0 1/8
1 3/8
2 3/8
3 1/8
Previamente se ha calculado el valor esperado de X: µ = E(X) = ∑
=
3
0
x
)
x
(
xf = 1.5
Entonces, usando la definición de la varianza de X,
σ2
= V(X) = E[(X-µ)2
] =
3
2
x 0
(x ) f(x)
=
− µ
∑ =
(0-1.5)2
(1/8) +(1-1.5)2
(3/8) + . . . + (2-1.5)2
(3/8)+(3-1.5)2
(1/8) = 0.75

87
4.4.1 FÓRMULA PARA CALCULAR LA VARIANZA
La siguiente fórmula es equivalente a la anterior. Es importante recordarla
Definición: Fórmula alterna para calcular la Varianza de una Variable Aleatoria Discreta
σ2
= V(X) = E[(X–µ)2
] = E(X2
) – µ2
.
Demostración. Usando las propiedades del valor esperado:
V(X) = E[(X –µ)2
] = E(X2
– 2µX + µ2
) = E(X2
) – E(2µX) + E(µ2
) =
= E(X2
) – 2µE(X) + µ2
= E(X2
) – 2µ2
+ µ2
= E(X2
) – µ2
Ejemplo. Calcule la varianza en el ejemplo anterior usando la fórmula alterna
E(X2
) =
3
2
x 0
x f(x)
=
∑ = 02
(1/8) + 12
(3/8) + 22
(3/8) + 32
(1/8) = 3
σ2
= V(X) = E(X2
) - µ2
= 3 – 1.52
= 0.75
4.4.2 PROPIEDADES DE LA VARIANZA
Definición: Propiedades de la Varianza
a, b ∈ ℜ: Números reales cualesquiera
Entonces V(aX + b) = a2
V(X) .
Demostración
Usando la fórmula alterna de varianza y las propiedades del valor esperado:
V(aX+b) = E[(aX + b)2
] – E2
(aX +b) = E(a2
X2
+ 2abX + b2
) – [aE(X) + b]2
= a2
E(X2
) + 2abE(X) + b2
– [a2
E2
(X) + 2abE(X) + b2
]
= a2
[E(X2
) – E2
(X)] = a2
V(X)
4.4.3 COROLARIOS
1) V(aX) = a2
V(X) 2) V(b)=0 .
El segundo corolario muestra que si el resultado de un experimento es un valor constante
entonces la varianza (o variabilidad), es nula.

88
4.4.4 EJERCICIOS
1) Sea X una variable aleatoria discreta y f su función de distribución de probabilidad:
2x 1
f(x) , x 0, 1, 2, 3, 4
25
+
= =
a) Calcule la media de X
b) Sea G(X) = 2X+1. Calcule la media de G(X)
c) Calcule la varianza de X
2) Para ensamblar una máquina se usan dos componentes mecánicos. Suponga que la
probabilidad que el primer componente cumpla las especificaciones es 0.95, y para el segundo
es 0.98. Además, los componentes funcionan independientemente.
Usando función de distribución de probabilidad de la variable aleatoria X que representa al
número de componentes que cumplen las especificaciones, x = 0, 1, 2, obtenida en la unidad
anterior.
a) Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria X
b) Suponga que el costo asociado con los componentes instalados que no cumplen
las especificaciones es G(X)=$5000X
2
. Encuentre el valor esperado de este costo.
MATLAB
Cálculo del valor esperado de una variable aleatoria discreta
>> x = [1 2 3 4]; Valores de la variable aleatoria X
>> f = [0.1 0.4 0.3 0.2]; Distribución de probabilidad de la variable X
>> mu = sum(x.*f) Media de X
mu =
2.6000
Valor esperado de una expresión
>> g = 2*x+1; Una expresión con X: g(X) = 2x + 1
>> mug=sum(g .*f) Media de g(X)
mug =
6.2000
Cálculo de la varianza de una variable aleatoria discreta
>> sigma2 = var(x, f)
sigma2 =
0.8400

89
4.5 MOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
La media de una variable aleatoria discreta describe su tendencia central y la variancia mide su
variabilidad, pero estas medidas no son suficientes para describir completamente la forma de la
distribución de probabilidad.
Los momentos de una variable aleatoria son los valores esperados de algunas funciones de la
variable aleatoria y constituyen una colección de medidas descriptivas con las que se puede
caracterizar de manera única a su distribución de probabilidad. Usualmente estas definiciones
se las hace usando como referencia el origen o la media de la variable aleatoria.
4.5.1 MOMENTOS ALREDEDOR DEL ORIGEN
Definición: Momentos alrededor del Origen
Entonces, el r-ésimo momento de X alrededor del origen es:
µ’r = E(Xr
) = r
x
x f(x)
∑ .
r=1: µ’1 = E(X) =
x
xf(x)
∑ = µ (Primer Momento alrededor del origen. Es la media)
r=2: µ’2 = E(X2
) = 2
x
x f(x)
∑ (Segundo Momento alrededor del origen)
etc.
4.5.2 MOMENTOS ALREDEDOR DE LA MEDIA
Definición: Momentos alrededor de la Media
Entonces, el r-ésimo momento de X alrededor de la media
o r-ésimo momento central, es:
µr = E[(X–µ)r
] = r
x
(x ) f(x)
− µ
∑ .
r=1: µ1 = E[(X-µ)] = E(X) – µ = 0 (Primer Momento Central)
r=2: µ2 = E[(X-µ)2
] = σ 2
(Segundo Momento Central. Es la varianza)
r=3: µ3 = E[(X-µ)3
] (Tercer Momento Central)
r=4: µ4 = E[(X-µ)4
] (Cuarto Momento Central)
El Segundo Momento Central o Varianza, mide la dispersión
El Tercer Momento Central, mide la asimetría o sesgo
El Cuarto Momento Central, mide la curtosis o “puntiagudez”.
Se definen coeficientes para expresar los momentos en forma adimensional para que no
dependan de la escala de medición y puedan usarse para comparar la distribución entre
variables aleatorias. Para los tres momentos centrales indicados arriba, son respectivamente:
4.5.3 COEFICIENTES PARA COMPARAR DISTRIBUCIONES
Definiciones
Coeficiente de Variación: σ/µ
Coeficiente de Asimetría: µ3/(µ2)3/2
Coeficiente de Curtosis µ4/(µ2)2

90
VALORES REFERENCIALES
Valores referenciales y significado de algunos coeficientes
Coeficiente de Asimetría
Positivo: La distribución tiene sesgo positivo (se extiende a la derecha)
Cero: La distribución es simétrica.
Negativo: La distribución tiene sesgo negativo (se extiende a la izquierda)
Coeficiente de Curtosis
Mayor a 3: La distribución es “puntiaguda” o “leptocúrtica”
Igual a 3: La distribución es “regular”
Menor a 3: La distribución es “plana” o “platicúrtica”
4.5.4 EQUIVALENCIA ENTRE MOMENTOS
Los momentos centrales pueden expresarse mediante los momentos alrededor del origen
usando la definición de valor esperado:
µ2 = E[(X-µ)2
] = E(X2
) - µ2
= µ’2 – µ2
(Es la definición de varianza)
µ3 = E[(X-µ)3
] = µ’3 - 3µµ’2 + 2µ3
µ4 = E[(X-µ)4
] = µ’4 - 4µµ’3 + 6µ2
µ’2 - 3µ4
4.6 FUNCIÓN GENERADORA DE MOMENTOS
Es una función especial que puede usarse para obtener todos los momentos de una variable
aleatoria discreta
Definición: Función Generadora de Momentos de una Variable Aleatoria Discreta
Entonces la función generadora de momentos de X es:
M(t) = E(etX
) = ∑
x
etX
f(x)
4.6.1 OBTENCIÓN DE MOMENTOS
La definición matemática de la función generadora de momentos se fundamenta en el
desarrollo de etX
en serie de potencias:
etX
= 1 + tX + t2
X2
/2! + t3
X3
/3! + ...
Con la definición de valor esperado se obtiene:
M(t) = E(etX
) = E(1) + E(tX) + E(t2
X2
/2!) + E(t3
X3
/3!) + ...
= 1 + t E(X) + t2
/2! E(X2
) + t3
/3! E(X3
) + ...
= 1 + (t) µ’1 + (t2
/2!) µ’2 + (t3
/3!) µ’3 + ...
Este desarrollo justifica el uso de la siguiente fórmula como un dispositivo matemático para
obtener cualquier momento alrededor del origen, de una variable aleatoria discreta:
Definición: Fórmula para obtención de Momentos alrededor del origen
µ’r = r
r
dt
d
M(t) |t=0

91
Aplicación
1) Primer momento alrededor del origen:
d
dt
M(t)|t=0 =
d
dt
E[etX
]|t=0 = E[
d
dt
etX
]|t=0 = E[XetX
]t=0 = E(X) = µ’1
2) Segundo momento alrededor del origen:
2
2
d
dt
M(t)|t=0 =
2
2
d
dt
E[etX
]|t=0 = E[
2
2
d
dt
etX
]|t=0 = E[X2
etX
]t=0 = E(X2
) = µ’2
Ejemplo.
Suponga una variable aleatoria discreta X con la siguiente distribución de probabilidad:
x f(x)
1 0.2
2 0.3
3 0.4
4 0.1
a) Encuentre el Coeficiente de Variación
µ = µ’1 = E(X) =
4
x 1
xf(x)
=
∑ = 1(0.2) + 2(0.3) + 3(0.4) + 4(0.1) = 2.4
µ’2 = E(X2
) =
4
2
x 1
x f(x)
=
∑ = 12
(0.2) + 22
(0.3) + 32
(0.4) + 42
(0.1) = 6.6
µ2 = σ2
= E[(X–µ)2
] =E(X2
) – µ2
= µ’2 – (µ’1)2
= 6.6 – (2.4)2
= 0.84
v = σ/µ = 0.84 /2.4 = 0.3819
b) Encuentre el Coeficiente de Asimetría
µ’3 = E(X3
) =
4
3
x 1
x f(x)
=
∑ = 13
(0.2) + 23
(0.3) + 33
(0.4) + 43
(0.1) = 19.8
µ3 = E[(X–µ)3
] = µ’3 – 3µµ’2 + 2µ3
= 19.8 – 3(2.4)(6.6) + 2(2.4)3
= –0.072
Coeficiente de asimetría: µ3/(µ2)3/2
= –0.072/(0.84)3/2
= –0.0935
Siendo este valor negativo, se concluye que la distribución es asimétrica con
sesgo hacia la izquierda.
c) Encuentre la Función Generadora de Momentos
M(t) = E(etX
) = tx
x
e f(x)
∑ =
4
tx
x 1
e f(x)
=
∑ = 0.2et
+ 0.3e2t
+ 0.4e3t
+ 0.1e4t
d) Encuentre la Media de X usando la Función Generadora de Momentos
d
dt
M(t)|t=0 =
d
dt
(0.2et
+ 0.3e2t
+ 0.4e3t
+ 0.1e4t
)|t=0
= [0.2(et
) + 0.3(2e2t
) + 0.4(3e3t
) + 0.1(4e4t
)]|t=0
= 0.2(1) + 0.3(2) + 0.4(3) + 0.1(4) = 2.4
Con la función generadora de momentos se pueden obtener todos los momentos de la variable
aleatoria. Los momentos son las medidas descriptivas de la variable aleatoria, con los cuales
se puede caracterizar a su función de probabilidad.
Si la función generadora de momentos existe, entonces esta es única. Por lo tanto permite
describir completamente a la distribución de probabilidad de una variable aleatoria. Una
consecuencia de este argumento es la siguiente propiedad

92
4.6.2 UNICIDAD DE FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
Definición: Unicidad de Funciones de Distribución de Probabilidad
Sean
X, Y Variables aleatorias discretas
f(x), f(y) Distribuciones de Probabilidad de X, Y respectivamente
MX(t), My(t) Funciones Generadoras de Momentos de X, Y respectivamente
Si MX(t) = My(t) entonces f(x) = f(y)
Si dos variables aleatorias tienen funciones generadoras de momentos idénticas, entonces
tienen idénticas funciones de distribución de probabilidad. Esta propiedad usa el hecho de que
una función generadora de momentos describe la forma de la distribución de probabilidad
4.7 TEOREMA DE CHEBYSHEV
Este teorema establece un valor mínimo para la probabilidad de una variable aleatoria en un
intervalo alrededor de la media, independientemente de su función de probabilidad. El valor
que se obtiene es únicamente una referencia.
Definición: Teorema de Chebyshev
Sea X una variable aleatoria discreta con media µ y varianza σ2
, entonces, la probabilidad que
X tome un valor dentro de k desviaciones estándar σ de su media µ, es al menos 1 – 1/k2
P(µ – kσ < X < µ + kσ) ≥ 1 – 1/k2
, k∈ℜ+
, k≥1
Demostración:
En esta demostración se incluye una variable aleatoria discreta, pero también se puede
demostrar para una variable aleatoria continua.
Separamos el dominio de la variable aleatoria X en tres regiones R1, R2, R3:
X
µ–kσ µ µ+kσ
Con la definición de varianza:
σ2
= E[(X-µ)2
] = ∑ µ
−
x
2
x )
( f(x)
= ∑ µ
−
1
R
2
x )
( f(x) + ∑ µ
−
2
R
2
x )
( f(x) + ∑ µ
−
3
R
2
x )
( f(x)
σ2
> ∑ µ
−
1
R
2
x )
( f(x) + ∑ µ
−
3
R
2
x )
( f(x), se suprime un término positivo
En R1: x ≤ µ – kσ ⇒ –x ≥ –µ + kσ ⇒ –(x–µ) ≥ kσ ⇒ (x–µ)2
≥ k2
σ2
En R3: x ≥ µ + kσ ⇒ x–µ ≥ kσ ⇒ (x–µ)2
≥ k2
σ2
Al sustituir en las sumatorias, se mantiene la desigualdad:
σ2
> ∑ σ
1
R
2
2
k f(x) + ∑ σ
3
R
2
2
k f(x),
De donde se obtiene, simplificando,
1/k2
> ∑
1
R
x
f )
( + ∑
3
R
x
f )
( ,
Las sumas son valores de probabilidad
1/k2
> P(X ≤ µ–kσ ∨ X ≥ µ+kσ),
Finalmente, con el complemento de probabilidad: 1 – 1/k2
≤ P(µ – kσ < X < µ + kσ)

93
Ejemplo.
La producción diaria de una fábrica es una variable aleatoria discreta con media 120 artículos,
y desviación estándar de 10 artículos. Calcule la probabilidad que en cualquier día la
producción esté entre 95 y 145 artículos.
Respuesta
95 120 145
µ–kσ µ µ+kσ
Por lo tanto, kσ = 25 ⇒ k(10) = 25 ⇒ k = 2.5
P(95 < X < 145) ≥ 1 – 1/2.52
⇒ P(95 < X < 145) ≥ 0.84
4.8 EJERCICIOS
1) Suponga una variable aleatoria discreta X con la siguiente distribución de probabilidad:
x f(x)
1 0.10
2 0.20
3 0.50
4 0.15
5 0.05
a) Encuentre el coeficiente de variación
b) Encuentre el coeficiente de asimetría e interprete el resultado
c) Encuentre el coeficiente de curtosis e interprete el resultado
d) Encuentre la función generadora de momentos
e) Encuentre la media de la variable aleatoria usando la función generadora
de momentos
2) Encuentre el menor valor de k en el teorema de Chebyshev para el cual la probabilidad de
que una variable aleatoria tome un valor entre µ – kσ y µ + kσ sea
a) cuando menos 0.95
b) cuando menos 0.99

94
MATLAB
>> x = [1 2 3 4]; Valores de la variable aleatoria X
>> f = [0.2 0.3 0.4 0.1]; Distribución de probabilidad de la variable X
>> mu=sum(x.*f) Media
mu =
2.4000
>> mu2=sum((x-mu).^2.*f) Varianza
mu2 =
0.8400
>> mu3=sum((x-mu).^3.*f) Asimetría
mu3 =
-0.0720
>> mu4=sum((x-mu).^4.*f) Curtosis
mu4 =
1.4832
>> syms t
>> fgm=sum(exp(x*t).*f) Función generadora de momentos
fgm =
1/5*exp(t)+3/10*exp(2*t)+2/5*exp(3*t)+1/10*exp(4*t)
>> t=0;
>> mu=eval(diff(fgm)) Media usando la función generadora de momentos
mu =
2.4000

95
5 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
En este capítulo se estudian los modelos matemáticos para calcular la probabilidad en algunos
problemas típicos en los que intervienen variables aleatorias discretas.
El objetivo es obtener una fórmula matemática f(x) para determinar los valores de probabilidad
de la variable aleatoria X.
5.1 DISTRIBUCIÓN DISCRETA UNIFORME
Una variable aleatoria tiene distribución discreta uniforme si cada uno de los resultados de su
espacio muestral tiene puede obtenerse con igual probabilidad.
Definición: Distribución discreta uniforme
x = x1, x2, x3, ..., xn Son los n valores que puede tomar X con igual probabilidad
Entonces la distribución de probabilidad de X es:
f(x) =
otro x
1 2 n
1
, x x ,x ,...,x
n
0,

=




.
Ejemplo. Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el resultado.
Si X es la variable aleatoria correspondiente a los seis resultados posibles, encuentre su
distribución de probabilidad.
Respuesta
Cada resultado tiene igual probabilidad, por lo tanto la distribución de probabilidad de X es
discreta uniforme:
1/6, x=1, 2, . . . , 6
P(X x) f(x)
0, para otro x

= = = 

Calcule la probabilidad que X tome el valor 3
P(X = 3) = f(3) = 1/6
Gráfico de la distribución discreta uniforme
El gráfico de la distribución discreta uniforme tiene forma regular
Ejemplo. Graficar la distribución de probabilidad para el ejemplo anterior

96
5.1.1 MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN DISCRETA UNIFORME
Se obtienen directamente de las definiciones correspondientes
Definición: Media y Varianza de una variable con Distribución Discreta Uniforme
Sea X: Variable aleatoria con Distribución Discreta Uniforme
Media: µ = E(X) =
x
xf(x)
∑ =
n n
i i i
i 1 i 1
1
x f(x ) x
n
= =
=
∑ ∑
Varianza: σ2
= E[(X – µ)2
] = 2
i
x
(x ) f(x)
− µ =
∑
n
2
i
i 1
1
(x )
n =
− µ
∑
Ejemplo. Un almacén vende diariamente 0, 1, 2, 3, o 4 artículos con igual probabilidad.
Calcule la probabilidad que en algún día venda al menos 2 artículos
Respuesta
Sea X: Cantidad de artículos que vende cada día (variable aleatoria discreta)
x = 0, 1, 2, 3, 4
X tiene distribución uniforme con probabilidad 1/5
P(X = x ) = f(x) = 0.2, x = 0, 1, 2, 3, 4
P(X≥2) = f(2) + f(3) + f(4) = 3(0.2) = 0.6
5.2 DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI
Es un experimento estadístico en el que pueden haber únicamente dos resultados posibles. Es
costumbre designarlos como “éxito” y “fracaso” aunque pueden tener otra representación y
estar asociados a algún otro significado de interés.
Si la probabilidad de obtener “éxito” en cada ensayo es un valor que lo representamos con p,
entonces, la probabilidad de obtener “fracaso” será el complemento q = 1 – p.
Definición: Distribución de Bernoulli
Sean X: Variable aleatoria cuyos valores pueden ser 1: “éxito”, 0: “fracaso”
p: Valor de probabilidad de que el resultado del ensayo sea “éxito”
Entonces, la distribución de probabilidad de X es
p, x 1
f(x)
1 p, x 0
=

= 
− =

El experimento puede repetirse y en cada ensayo el valor de probabilidad p se mantiene
constante. Se supondrá también que los ensayos son independientes, es decir el resultado
de un ensayo no afecta a los resultados de los otros ensayos.
Suponer que se desean obtener los siguientes resultados: 1 1 0 0 1 0 ..., en donde 1 es
“exito”, 0 es “fracaso”
Sean p Probabilidad que el resultado sea éxito
q = 1 – p Probabilidad que el resultado sea fracaso
Entonces la probabilidad de obtener esta secuencia de resultados es:
P(X=1,X=1,X=0,X=0,X=1,X=0, ...) = f(1) f(1) f(0 f(0) f(1) f(0) ... = pp(1-p)(1-p)pq...
Ejemplo. Suponer que la probabilidad de éxito de un experimento es 0.2 y se realizan cinco
ensayos independientes. Calcule la probabilidad que el primero y el último ensayo sean
éxitos, y los tres ensayos intermedios sean fracasos.
Sean 1: El ensayo es éxito (con probabilidad 0.2)
0: El ensayo es fracaso (con probabilidad 0.8)
Entonces
P(X=1,X=0,X=0,X=0,X=1) = f(1)f(0)f(0)f(0)f(1) = (0.2)(0.8)(0.8)(0.8)(0.2) = 0.0205 = 2.05%

97
5.3 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Esta distribución es muy importante y de uso frecuente. Corresponde a experimentos con
características similares a un experimento de Bernoulli, pero ahora es de interés la variable
aleatoria relacionada con la cantidad de “éxitos” que se obtienen en el experimento.
Características de un Experimento Binomial
a) La cantidad de ensayos n, que se realizan es finita.
b) Cada ensayo tiene únicamente dos resultados posibles: “éxito” o “fracaso”
c) Todos los ensayos realizados son independientes
d) La probabilidad p, de obtener “éxito” en cada ensayo permanece constante.
Algunos ejemplos de problemas con estas características
1) Determinar la probabilidad de la cantidad de artículos que son defectuosos en una
muestra tomada al azar de la producción de una fábrica, suponiendo conocida la
probabilidad de que un artículo sea defectuoso
2) Determinar la probabilidad de la cantidad de personas que están a favor de un
candidato, en una muestra de personas elegidas al azar de una población grande.
Suponiendo conocida la probabilidad de que una persona esté a favor del candidato.
Definición: Distribución Binomial
Sean X: Variable aleatoria discreta (representa la cantidad de ensayos
considerados “éxitos” en una serie de n ensayos realizados).
x = 0, 1, 2, ..., n valores que puede tomar X
p: Probabilidad de que el resultado de cada ensayo sea “éxito”
f(x) =
x n x
n
p (1 p) , x 0, 1, 2, ..., n
x
−
 
− =
 
 
.
Demostración
Al realizar n ensayos se obtienen x éxitos y n - x fracasos, por lo tanto siendo ensayos
independientes la probabilidad de obtener estos resultados es px
(1-p)n-x
Pero, en los n ensayos realizados hay
n
x
 
 
 
formas diferentes de obtener los x éxitos y los
n - x fracasos. Este número es entonces un factor para el valor de probabilidad anterior.
Los símbolos
n
x
 
 
 
, nCx, n
x
C representan el número de combinaciones o arreglos diferentes
que se obtienen con n elementos de los cuales se toman x elementos.
Ejemplo. Se realizan 8 lanzamientos de un dado. Calcule la probabilidad de obtener 4 veces
el número 5.
Respuesta. Este experimento tiene las características de un experimento binomial con:
n = 8: Cantidad de ensayos realizados (se suponen independientes)
p = 1/6 Probabilidad que cada ensayo sea “éxito” (se obtiene el 5)
X: Variable aleatoria discreta (cantidad de veces que sale el 5)
x = 0, 1, 2, ..., 8 Valores que puede tomar X
Es un problema cuyo modelo de probabilidad es Binomial. Sustituyendo los datos:
P(X=x) = f(x) = =
x n x
n
p (1 p)
x
−
 
−
 
 
8
x
 
 
 
(1/6)x
(5/6)8-x
, x = 0, 1, 2, ..., 8
De donde se obtiene
P(X=4) = f(4) =
8
4
 
 
 
(1/6)4
(5/6)8-4
= (70) (1/6)4
(5/6)4
= 0.026 = 2.6%

98
Ejemplo Una fábrica tiene una norma de control de calidad consistente en elegir al azar
diariamente 20 artículos producidos y determinar el número de unidades defectuosas. Si hay
dos o más artículos defectuosos la fabricación se detiene para inspección de los equipos. Se
conoce por experiencia que la probabilidad de que un artículo producido sea defectuoso es 5%.
Encuentre la probabilidad de que en cualquier día la producción se detenga al aplicar esta
norma de control de calidad.
Respuesta
Esta situación corresponde a un experimento binomial
n = 20 Cantidad de ensayos (independientes)
p = 0.05 Probabilidad de éxito (constante)
X: Variable aleatoria discreta (cantidad de artículos defectuosos)
x = 0, 1, ..., 20 Valores que puede tomar X
P(X=x) = f(x) = x n x
n
p (1 p)
x
−
 
−
 
 
= x 20 x
20
0.05 (0.95)
x
−
 
 
 
, x = 0,1,2, ...,20
Entonces
P(X≥2) = 1 – P(X≤1) (conviene usar esta propiedad)
= 1 – (P(X=0) + P(X=1)) = 1 – (f(0) + f(1))
f(0) = 0 20
20
0.05 (0.95)
0
 
 
 
= 0.3585
f(1) = 1 19
20
0.05 (0.95)
1
 
 
 
= 0.3774
P(X≥2) = 1 – 0.3585 – 0.3774 = 0.2641 = 26.41%
5.3.1 PARÁMETROS Y VARIABLES
Los parámetros de un modelo de distribución de probabilidad se refieren a valores con los que
se describe un problema particular. Para la Distribución Binomial los parámetros son n y p.
Una vez que está definido el problema, se especifica la variable aleatoria de interés y se
procede a calcular la probabilidad correspondiente a los valores que puede tomar esta variable.
Se puede usar la siguiente notación para distinguir entre variables y parámetros:
f(x; n, p) = x n x
n
p (1 p) , x 0, 1, 2, ..., n
x
−
 
− =
 
 
En el ejemplo anterior, el modelo de distribución de probabilidad se puede escribir:
f(x; 20, 0.05) = x 20 x
20
0.05 (0.95)
x
−
 
 
 
, x = 0, 1, . . ., 20
5.3.2 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL ACUMULADA
Definición: Distribución de Probabilidad Binomial Acumulada
Sea X: Variable aleatoria discreta con Distribución Binomial con parámetros n, p
Entonces, la Distribución de Probabilidad Acumulada F de la variable X es
F(x) = P(X ≤ x) = t n t
t x
n
p (1 p)
t
−
≤
 
−
 
 
∑ , x ≥ 0
Variable Parámetros

99
5.3.3 GRAFICO DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
La distribución binomial tiene su gráfico con forma simétrica cuando p=0.5
Ejemplo. Grafique la distribución binomial con n=10, p=0.5
x 10 x 10
10 10
f(x) (0.5) (0.5) (0.5) ,x 0,1,...,10
x x
−
   
= = =
   
   
f(0) = 0.0010
f(1) = 0.0098
f(2) = 0.0439
. . .
f(8) = 0.0439
f(9) = 0.0098
f(10) = 0.0010
Distribución binomial con p=0.5
Si p>0.5, la forma de la distribución binomial tiene sesgo negativo.
Si p<0.5, la forma de la distribución binomial tiene sesgo positivo.
Ejemplo
Grafique la distribución binomial con n=10, p=0.65
x 10 x
10
f(x) (0.65) (0.35) ,x 0,1,...,10
x
−
 
= =
 
 
f(0) = 0.0000
f(1) = 0.0005
. . .
f(9) = 0.0725
f(10) = 0.0135
Distribución binomial con p>0.5

100
5.3.4 MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Definición: Media y Varianza de la Distribución Binomial
Sea X: variable aleatoria discreta con Distribución Binomial con parámetros n, p
Entonces
µ = E(X) = np Media de X
σ2
= V(X) = np(1-p) Varianza de X
Demostración
Esta demostración usa la definición de función generadora de momentos para variables
aleatorias discretas
Distribución de probabilidad de la distribución binomial:
f(x) = x n x
n
p q
x
−
 
 
 
, x = 0, 1, ..., n, siendo q = 1 - p
Los términos de la distribución binomial coinciden con el desarrollo del binomio: (q + p)n
(q + p)n
=
n
0 n 1 n 1 n 0 x n x
x 0
n n n n
p q p q ... p q p q
0 1 n x
− −
=
       
+ + + =
       
       
∑
La función generadora de momentos para la distribución binomial:
m(t) = E(etX
) =
n n n
tx tx x n x t x n x
x 0 x 0 x 0
n n
e f(x) e p q (e p) q
x x
− −
= = =
   
= =
   
   
∑ ∑ ∑
Se puede observar que la última expresión tiene la misma forma que la fórmula del binomio
sustituyendo p por et
p. Entonces se tiene
Definición: Función Generadora de Momentos de la Distribución Binomial
m(t) = (q + et
p)n
Con la definición correspondiente se pueden obtener los momentos alrededor del origen:
t n t n 1 t n 1
1 t 0 t 0 t 0
d d
' m(t) | (e p q) | n(e p q) e p | n(p q) p
dt dt
− −
= = =
µ = µ = = + = + = + ,
Pero p + q = 1, entonces: µ = np. Esto completa la demostración.
La demostración de la varianza sigue un camino similar. Primero se encuentra µ’2 con la
definición:
0
t
2
2
2 t
m
dt
d
=
=
µ )|
(
' , y después se usa la definición: σ2
= V(X) = E(X2
) – µ2
= µ’2 – µ2
Ejemplo.
Encuentre la media y la varianza para el ejemplo del control de calidad en la fábrica.
Respuesta:
µ = np = 20 (0.05) = 1
σ2
= npq = 20(0.05)(0.95) = 0.95
µ representa la cantidad promedio de artículos defectuosos que se obtienen cada día
σ2
es una medida de la variabilidad o dispersión de los valores de X

101
5.3.5 EJERCICIOS
1) La variable aleatoria X tiene distribución discreta uniforme para x=1, 2, 3, . . . , 50
a) Determine la media y varianza de X
b) Calcule P(5<X≤10)
c) Calcule la media y varianza de la variable aleatoria Y=5X
2) La variable aleatoria X tiene distribución binomial con n=8, p=0.4.
a) Defina la función de distribución de probabilidad de X
b) Grafique la función de distribución de probabilidad
c) Grafique la función de distribución de probabilidad acumulada
d) Cuales son los valores de X mas factibles que ocurran
e) Cuales son los valores de X menos factibles
f) Calcule P(X=5)
g) Calcule P(X≤2)
3) Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica,
inspecciona una muestra al azar de tres motores de la producción. Se sabe que 15% de los
motores salen defectuosos. Calcule la probabilidad que en la muestra
a) Ninguno sea defectuoso,
b) Uno sea defectuosos,
c) Al menos dos sean defectuosos?
d) Obtenga la media y la varianza de la variable aleatoria del problema
4) La probabilidad de que disco compacto dure al menos un año sin que falle es de 0.95.
Calcule la probabilidad de que en 15 de estos aparatos elegidos al azar,
a) 12 duren menos de un año,
b) A lo más 5 duren menos de un año,
c) Al menos 2 duren menos de un año.
d) Obtenga la media y la varianza de la variable aleatoria del problema
5) Un examen de opciones múltiples tiene 20 preguntas y cada pregunta tiene cuatro posibles
respuestas entre las cuales se debe elegir la correcta. Un estudiante decide usar una moneda
para contestar el examen de la siguiente manera:
Para cada pregunta lanza dos veces la moneda.
Si el resultado es (cara, cara) marca la primera opción
Si el resultado es (cara, sello) marca la segunda opción
Si el resultado es (sello, cara) marca la tercera opción
Si el resultado es (sello, sello) marca la cuarta opción
Para aprobar el examen se necesita marcar al menos 60% de las respuestas correctas.
Calcule la probabilidad que este estudiante (?) apruebe el examen

102
MATLAB
Probabilidad con la distribución binomial
>> f = binopdf(0, 20, 0.05) Probabilidad con la distribución binomial: x=0, n=20, p=0.05
f =
0.3585
>> f = binopdf(1, 20, 0.05) Probabilidad con la distribución binomial: x=1, n=20, p=0.05
f =
0.3774
>> f = binocdf(3, 10, 0.2) Probabilidad con la distribución binomial acumulada
f = P(X≤3), n = 10, p = 0.2
0.8791
>> x = 0:10; Valores para evaluar la distribución binomial, x=0, 1, 2, . . ., 10
>> f = binopdf(x, 10, 0.65) Distribución binomial, x=0, 1, 2, . . ., 10; n=10, p=0.65
f =
0.0000 0.0005 0.0043 0.0212 0.0689 0.1536 0.2377 0.2522 0.1757 0.0725 0.0135
>> bar(f, 1, 'b'), grid on Gráfico de la distribución de probabilidad en color azul
>> f = binocdf(x, 10, 0.65); Distribución binomial acumulada, x=0, 1, 2, . . ., 10
f = n=10, p=0.65
0.0000 0.0005 0.0048 0.0260 0.0949 0.2485 0.4862 0.7384 0.9140 0.9865 1.0000
>> plot(x, f, 'ob') Gráfico de los puntos de la distribución acumulada, en azul
>> hold on
>> plot(x,f,’k’), grid on Gráfico superpuesto de la distribución acumulada, en negro

103
5.4 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA
Este modelo de probabilidad tienen características similares al modelo binomial: los ensayos
son independientes, cada ensayo tiene únicamente dos resultados posibles, y la probabilidad
que cada ensayo tenga un resultado favorable es constante. Pero, en este modelo la variable
aleatoria es diferente:
En la Distribución Binomial Negativa, la variable de interés es la cantidad de ensayos que se
realizan hasta obtener un número requerido de éxitos, k
Definición: Distribución Binomial Negativa
Sea X: Variable aleatoria discreta con Distribución Binomial Negativa
(cantidad de ensayos realizados hasta obtener k “éxitos”)
p: Probabilidad de “éxito”. Es un valor constante en cada ensayo
x = k, k+1, k+2, ... (valores que puede tomar la variable X)
P(X=x) = f(x) = 







−
−
1
k
1
x
pk
(1–p)x-k
, x = k, k+1, k+2, . . .
Demostración
Cada “éxito” ocurre con probabilidad p y cada “fracaso” con probabilidad 1 – p.
En algún ensayo x se tendrán finalmente k éxitos. Por lo tanto siendo ensayos independientes
la probabilidad de obtener los k ”éxitos” y los x – k “fracasos” es el producto: p
k
(1 – p)
x-k
Pero, antes de obtener el k-ésimo “éxito” se realizaron x–1 ensayos con los previos k – 1
“éxitos”. Esto puede ocurrir en 





−
−
1
k
1
x
formas diferentes, por lo que este número es un factor
para la fórmula. Esto se completa la demostración
Está claro que la cantidad de ensayos que deben realizarse es al menos k.
Ejemplo.
Suponiendo que la probabilidad de que una persona contraiga cierta enfermedad a la que está
expuesta es 30%, calcule la probabilidad que la décima persona expuesta a la enfermedad sea
la cuarta en contraerla.
Respuesta
Cada persona expuesta a la enfermedad constituye un ensayo. Estos ensayos son
independientes y la probabilidad de “éxito” es constante: 0.3. (Note que “éxito” no siempre tiene
una connotación favorable)
Por la pregunta concluimos que la variable de interés X tiene Distribución Binomial Negativa
con k=4, p=0.3.
Sean X: Cantidad de ensayos realizados hasta obtener k “éxitos” (variable aleatoria discreta)
x = 4, 5, 6, . . .
P(X=x) = f(x) =
x 1
4 1
−
 
 
−
 
0.3
4
(1– 0.3)
x-4
, x=4, 5, 6, ...
Por lo tanto
P(X=10) = f(10) =
10 1
4 1
−
 
 
−
 
0.3
4
0.7
10-4
= 0.08

104
5.4.1 MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA
Definición: Media y Varianza para la Distribución Binomial Negativa
Media: µ = E[X] =
p
k
, Varianza: σ2
= V[X] = )
( 1
p
1
p
k
−
5.5 DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
Es un caso especial de la distribución binomial negativa, cuando k=1. Es decir interesa conocer
la probabilidad respecto a la cantidad de ensayos que se realizan hasta obtener el primer
“éxito”
Definición: Distribución Geométrica
Sean X: Variable aleatoria discreta con Distribución Geométrica
(cantidad de ensayos realizados hasta obtener el primer ‘éxito’)
x = 1, 2, 3, ... (valores factibles para la variable X)
p: probabilidad constante de "éxito" en cada ensayo
P(X=x) = f(x) = p(1-p)x-1
, x = 1, 2, 3, ...
Demostración
Se obtiene directamente haciendo k=1 en el modelo de la distribución binomial negativa.
5.5.1 MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
Definición: Media y Varianza para la Distribución Geométrica
Media: µ = E[X] =
p
1
, Varianza: σ2
= V[X] = )
( 1
p
1
p
1
−
Ejemplo.
Calcule la probabilidad que en el quinto lanzamiento de tres monedas se obtengan tres sellos
por primera vez.
Respuesta:
En el experimento de lanzar tres monedas hay 8 resultados posibles.
En cada ensayo la probabilidad que salgan tres sellos es constante e igual a 1/8 y la
probabilidad que no salgan tres sellos es 7/8.
Estos ensayos son independientes, y por la pregunta concluimos que la variable de interés X
tiene distribución geométrica con p=1/8,
Sea X: Cantidad de ensayos hasta obtener el primer “éxito” (variable aleatoria discreta)
x = 1, 2, 3, . . .
P(X=x) = f(x) = (1/8)(7/8)
x-1
, x=1, 2, 3, ...
Por lo tanto
P(X=5) = f(5) = (1/8)(7/8)
5-1
= 0.0733

105
5.6 DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Esta distribución se refiere a los experimentos estadísticos que consisten en tomar una
muestra sin reemplazo, de un conjunto finito el cual contiene algunos elementos considerados
“éxitos” y los restantes son considerados “fracasos”.
Tomar una muestra sin reemplazo significa que los elementos son tomados uno a uno, sin
devolverlos. Podemos concluir entonces que los ensayos ya no pueden ser considerados
independientes porque la probabilidad de “éxito” al tomar cada nuevo elemento es afectada por
el resultado de los ensayos anteriores debido a que la cantidad de elementos de la población
está cambiando.
Definición: Distribución Hipergeométrica
Sean N: Cantidad de elementos del conjunto del que se toma la muestra
K: Cantidad de elementos existentes que se consideran “éxitos”
X: Variable aleatoria discreta (es la cantidad de resultados considerados “éxitos”
que se obtienen en la muestra)
x = 0, 1, 2, ..., n (son los valores que puede tomar X)
f(x) = n
2
1
0
x
n
N
x
n
K
N
x
K
,...,
,
,
, =
















−
−








Demostración
N
Con referencia al gráfico:






x
K
es la cantidad total de formas de tomar x “éxitos” en la muestra de los K existentes






−
−
x
n
K
N
es la cantidad total de formas de tomar n – x “fracasos” de los N – K existentes.






x
K






−
−
x
n
K
N
es la cantidad total de formas de tomar x “éxitos” y n–x “fracasos” en la muestra






n
N
.cantidad total de formas de tomar la muestra de n elementos del conjunto de N elementos
Finalmente, mediante la asignación clásica de probabilidad a eventos obtenemos la fórmula
para la distribución hipergeométrica. Esto completa la demostración
K N – K
x n – x
n
Total de
“éxitos”
Total de “fracasos”
Muestra
“éxitos” en
la muestra
“fracasos” en la muestra
Conjunto

106
Se observa que x no puede exceder a K. La cantidad de “éxitos” que se obtienen en la
muestra no puede exceder a la cantidad de “éxitos” disponibles en el conjunto. Igualmente,
la cantidad de n - x “fracasos” no puede exceder a los N - K disponibles.
Ejemplo. Una caja contiene 9 baterías de las cuales 4 están en buen estado y las restantes
defectuosas. Se toma una muestra eligiendo al azar tres baterías. Calcule la probabilidad que
en la muestra se obtengan,
a) Ninguna batería en buen estado
b) Al menos una batería en buen estado
c) No mas de dos baterías en buen estado
Respuesta. Este es un experimento de muestreo sin reemplazo, por lo tanto es un
experimento hipergeométrico con
N=9 (Total de elementos del conjunto)
K=4 (Total de elementos considerados ‘éxitos’)
n=3 (Tamaño de la muestra)
X: Cantidad de baterías en buen estado en la muestra
(Variable aleatoria discreta)
f(x) =
K N K
x n x
N
n
−
  
  
−
  
 
 
 
=
4 9 4
x 3 x
, x 0,1,2,3
9
3
−
  
  
−
   =
 
 
 
a) P(X=0) = f(0) =
4 9 4
0 3 0
9
3
−
  
  
−
  
 
 
 
= 0.119
b) P(X≥1) = 1 – P(X<1) = 1 – f(0) = 1 - 0.119 = 0.881
c) P(X≤2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = f(0) + f(1) + f(2)
=
4 9 4
0 3 0
9
3
−
  
  
−
  
 
 
 
+
4 9 4
1 3 1
9
3
−
  
  
−
  
 
 
 
+
4 9 4
2 3 2
9
3
−
  
  
−
  
 
 
 
= 0.119 + 0.4762 + 0.3571 = 0.9523
También se puede calcular c) considerando que
P(X≤2) = 1 – P(X>2) = 1 – f(3)
5.6.1 MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Definición: Media y Varianza para la Distribución Hipergeométrica
Media: µ = E[X] =
N
K
n , Varianza: σ2
= V[X] = )
)(
(
1
N
n
N
N
K
1
N
nK
−
−
−
Las demostraciones se las puede encontrar en textos de Estadística Matemática. En el
desarrollo se usa la definición de valor esperado y las propiedades de las sumatorias.
Ejemplo. Calcule la media y la varianza para el ejemplo anterior
Respuesta:
µ = 3(4/9) = 1.333 (es la cantidad promedio de baterías en buen estado
que se obtienen al tomar muestras)
σ2
=
3(4) 4 9 3
(1 )( )
9 9 9 1
−
−
−
= 0.555

107
5.6.2 APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN IPERGEOMÉTRICA CON LA
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Si el tamaño de la muestra n es muy pequeño respecto a N, entonces se puede aceptar que la
probabilidad de “éxito” en cada ensayo no cambia significativamente, es decir podemos
considerar que los ensayos son “aproximadamente independientes”.
Por ejemplo, si N=1000 y n=10, y hay 200 elementos considerados “éxitos”, entonces, la
probabilidad de “éxito” del primer ensayo será 200/1000=0.2, la probabilidad de “éxito” del
segundo ensayo podrá ser 199/999=0.1992 o 200/999=0.2002, dependiendo si el primer
resultado fue o no “éxito”. Ambos resultados son muy cercanos.
En esta situación, se puede considerar que el Modelo Hipergeométrico es ‘aproximadamente
binomial’ y se puede usar la fórmula de la Distribución Binomial con p=K/N
La bibliografía estadística establece que esta aproximación es aceptable si n < 5% N.
Sea h: Distribución Hipergeométrica
b: Distribución Binomial
Si n<5%N, entonces h(x; N, K, n) ≅ b(x; n, K/N)
5.6.3 EJERCICIOS
1) La probabilidad que una persona expuesta a cierta enfermedad la contraiga es 0.3.
Calcule la probabilidad que la quinta persona expuesta a esta enfermedad sea la segunda en
contraerla.
2) Suponga que en dos de cada diez intentos, un vendedor realiza una venta.
Calcule la probabilidad que en el sexto intento realice la primera venta.
3) Suponga que la probabilidad de tener un hijo varón o mujer son iguales a 0.5.
Calcule la probabilidad que en una familia
a) El cuarto hijo sea el primer varón
b) El tercer hijo sea la segunda mujer
c) El quinto hijo sea el tercer varón o sea la cuarta mujer
4) Un caja de 10 alarmas contra robo contiene 4 defectuosas. Si se seleccionan al azar 3 de
ellas y se envían a un cliente.
Calcule la probabilidad que el cliente reciba
a) Ninguna defectuosa;
b) No más de una defectuosa;
c) Al menos una defectuosa
5) Si probabilidad de que un estudiante en una escuela de conducción obtenga su licencia de
conducir es 0.8, encuentre la probabilidad que uno de estos estudiantes apruebe el examen
a) En el segundo intento.
b) En el tercer intento.

108
MATLAB
Distribución binomial negativa
>> f =nbinpdf(6, 4, 0.3) Probabilidad con la distrib. binomial negativa: x=6, k=4, p=0.3
f = x es el número de “fracasos” hasta obtener k “éxitos”
0.0800
>> f=nbincdf(6, 4, 0.3) Probabilidad con la distrib. binomial negativa acumulada
f = P(x≤6), k=4, p=0.3, x = 0, 1, 2, ..., 6
0.3504
>> x = 0:40; x=0, 1, 2, ..., 40
>> f = nbinpdf(x, 4, 0.3) Distribución binomial negativa: k=4, p=0.3, x=0, 1, 2, ..., 40
f = 0.0081 0.0227 0.0397 0.0556 0.0681 0.0762 0.0800 0.0800 0.0770 0.0719 0.0654
0.0583 0.0510 0.0439 0.0374 0.0314 0.0261 0.0215 0.0175 0.0142 0.0114 0.0092
0.0073 0.0058 0.0045 0.0036 0.0028 0.0022 0.0017 0.0013 0.0010 0.0008 0.0006
0.0004 0.0003 0.0003 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001
>> bar(f, 1, 'b'), grid on Gráfico de la distribución binomial negativa, color azul
Distribución geométrica
>> f = geopdf(4, 1/8) Probabilidad con la distribución geométrica: x=4, p=1/8
f = x es el número de fracasos hasta obtener el primer “éxito”
0.0733
>> x = 0:40; x=0, 1, 2, ..., 40
>> f = geopdf(x, 1/8) Distribución geométrica: p=1/8, x=0, 1, 2, ..., 40
f = 0.1250 0.1094 0.0957 0.0837 0.0733 0.0641 0.0561 0.0491 0.0430 0.0376 0.0329
0.0288 0.0252 0.0220 0.0193 0.0169 0.0148 0.0129 0.0113 0.0099 0.0087 0.0076
0.0066 0.0058 0.0051 0.0044 0.0039 0.0034 0.0030 0.0026 0.0023 0.0020 0.0017
0.0015 0.0013 0.0012 0.0010 0.0009 0.0008 0.0007 0.0006

109
>> bar(f,1,'b'), grid on Gráfico de la distribución geométrica, en color azul
Distribución hipergeométrica
>> f = hygepdf(0, 9, 4, 3) Distribución hipergeométrica x=0, N=9, K=4, n=3
f = Cálculo de P(X = 0)
0.1190
>> f = hygecdf(2, 9, 4, 3) Distribución hipergeométrica acumulada
f = P(X≤2), N=9, K=4, n=3, x=0, 1, 2
0.9524
>> [mu, var]=hygestat(9, 4, 3) Media y varianza de la distr. hipergeométrica: N=9, K=4, n=3
mu = 1.3333
var = 0.5556
>> x = 0:10;
>> f = hygepdf(x, 75, 20, 10)
f = 0.0353 0.1534 0.2791 0.2791 0.1694 0.0651
0.0159 0.0025 0.0002 0.0000 0.0000
>> bar(f, 1, 'b'),grid on Gráfico de la distribución hipergeométrica, en color azul
>> f = hygepdf(6, 1000, 200, 10) Distrib. hipergeométrica x=6, N=1000, K=200, n=10
f =
0.0053
>> f = binopdf(6, 10, 200/1000) Distribución binomial x=6, n=10, p=K/N
f =
0.0055 Los resultados son cercanos pues n < 5%N

110
5.7 DISTRIBUCIÓN DE POISSON
La distribución de Poisson es un modelo que puede usarse para calcular la probabilidad
correspondiente al número de “éxitos” que se obtendrían en una región o en intervalo de
tiempo especificados, si se conoce el número promedio de “éxitos” que ocurren.
Este modelo requiere que se cumplan las siguientes suposiciones:
a) El número de “éxitos” que ocurren en la región o intervalo es independiente de lo que
ocurre en otra región o intervalo
b) La probabilidad de que un resultado ocurra en una región o intervalo muy pequeño, es
igual para todos los intervalos o regiones de igual tamaño y es proporcional al tamaño
de la región o intervalo.
c) La probabilidad de que más de un resultado ocurra en una región o intervalo muy
pequeño no es significativa.
Algunas situaciones que se pueden analizar con este modelo:
Número de defectos por unidad de área en piezas similares de un material.
Número de personas que llegan a una estación en un intervalo de tiempo especificado.
Número de errores de transmisión de datos en un intervalo de tiempo dado.
Número de llamadas telefónicas que entran a una central por minuto.
Número de accidentes automovilísticos producidos en una intersección, en una semana.
Definición: Distribución de Poisson
Sea X: Variable aleatoria discreta con distribución de Poisson
(cantidad de “éxitos” en una región o intervalo especificados)
x = 0, 1, 2, . . . (valores posibles para la variable X)
λ: Cantidad promedio de “éxitos” en la región o intervalo especificados
f(x) =
x
e
x!
−λ
λ
, x=0, 1, 2, ...., e = 2.71828...
Ejemplo.
La cantidad de errores de transmisión de datos en una hora es 5 en promedio. Suponiendo que
es una variable con distribución de Poisson, determine la probabilidad que:
a) En cualquier hora ocurra solamente 1 error.
b) En cualquier hora ocurran al menos 3 errores
c) En dos horas cualesquiera ocurran no más de 2 errores.
Respuesta:
Sea X: Variable aleatoria discreta (cantidad de errores por hora)
λ = 5 (promedio de errores de transmisión en 1 hora)
a) P(X=1) = f(1) =
5 1
e 5
1!
−
= 0.0337
b) P(X≥3) = 1 – P(X≤2) = 1 – (f(0) + f(1) + f(2)) = 1 – 0.1247 = 0.8743
c) Sea X: variable aleatoria discreta (cantidad de errores en 2 horas)
λ = 10 (promedio de errores de transmisión en dos horas)
P(X≤2) = f(0) + f(1) + f(2) =
10 0
e 10
0!
−
+
10 1
e 10
1!
−
+
10 2
e 10
2!
−
= 0.0028

111
5.7.1 MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Definición: Media y Varianza de la Distribución de Poisson
Media: µ = E[X] = λ, Varianza: V[X] = λ
Demostración
Primero se obtiene la función generadora de momentos de la Distribución de Poisson.
m(t) = E[etX
] =
x x t x
tX tX tX
x 0 x 0 x 0 x 0
e (e )
e f(x) e e e e
x! x! x!
−λ
∞ ∞ ∞ ∞
−λ −λ
= = = =
λ λ λ
= = =
∑ ∑ ∑ ∑
Se tiene el desarrollo de la función exponencial:
...
!
!
+
+
+
+
=
3
y
2
y
y
1
e
3
2
y
Haciendo y= λ
t
e se obtiene
Definición: Función Generadora de Momentos de la Distribución de Poisson
m(t) = λ
λ
− t
e
e
e
Entonces con la definición conocida:
µ = µ’1 = λ
=
λ
=
= =
λ
λ
−
=
λ
λ
−
= 0
t
t
e
0
t
e
0
t e
e
e
e
e
dt
d
t
m
dt
d t
t
|
|
|
)
(
Con esto se completa la demostración
La demostración de la varianza sigue un camino similar.
5.7.2 APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL CON
LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON
En la Distribución Binomial cuando n es grande no es práctico el uso de la fórmula. Para
entender esto, suponga que n=100, p=0.05 y se quiere calcular la probabilidad que la variable
aleatoria X tome el valor 4:
P(X = 4) = f(4) = x n x
n
p (1 p)
x
−
 
−
 
 
=
100
4
 
 
 
0.054
0.95100-4
En esta situación se puede calcular aproximadamente la probabilidad mediante otro modelo,
en este caso, con la Distribución de Poisson.
Del desarrollo algebraico, que lo omitimos, se obtiene el siguiente resultado para la Distribución
Binomial:
f(x; n, p) →
x
e
x!
−λ
λ
, x = 0, 1, 2, ...., ,
cuando n→∞ y p→0.
Este modelo corresponde a la distribución de Poisson, siendo λ = np
Las referencias bibliográficas indican que esta aproximación es aceptable si n ≥ 20 y p ≤ 0.05.
Otro criterio utilizado establece que la aproximación es aceptable si n ≥ 100 y np ≤ 10

112
Ejemplo.
Calcular con la Distribución Binomial x=4, n=100, p=0.05.
P(X=4) = f(4) =
100
4
 
 
 
0.054
0.95100-4
= 4 96
100!
0.05 0.95
4! 96!
= 0.1781
Calcular un valor aproximado con la Distribución de Poisson x=4, λ = np = 100*0.05 = 5
P(X=4) = f(4) ≅
x
e
x!
−λ
λ
=
5 4
e 5
4!
−
= 0.1755
Valor cercano al resultado anterior pues n ≥ 20 y p ≤ 0.05
5.7.3 EJERCICIOS
1) Cierto tipo de tela usada en tapicería tiene, en promedio, dos defectos por metro cuadrado.
Si se supone una distribución de Poisson, calcule la probabilidad que
a) Un rollo de 30 m2
tenga no más de 5 defectos
b) Un rollo de 30 m2
tenga al menos 6 defectos
c) Un rollo de 60 m2
tenga exactamente 10 defectos
2) Un cargamento grande de libros contiene 3% de ellos con encuadernación defectuosa.
Utilice la aproximación de Poisson para determinar la probabilidad que entre 400 libros
seleccionados al azar del cargamento,
a) Exactamente 10 libros estén defectuosos
b) Al menos 10 tengan defectos
3) Un bar prepara un batido especial que contiene en promedio 4 frutas diferentes, encuentre la
probabilidad de que el batido contenga más de 4 frutas:
a) En un determinado día, b)En tres de los siguientes 5 días,

113
MATLAB
Probabilidad con la Distribución de Poisson
>> f=poisspdf(1,5) Probabilidad con la distribución de Poisson, x=1, λ=5
f =
0.0337
>> f=poisscdf(2,5) Probabilidad con la distribución de Poisson acumulada
f = P(X≤5), λ=5
0.1247
>> x=0:15; x = 0, 1, 2, . . ., 15
>> f=poisspdf(x,5) Probabilidad con la distribución de Poisson, λ=5, x=0, 1, 2, ...15
f = 0.0067 0.0337 0.0842 0.1404 0.1755 0.1755 0.1462 0.1044
0.0653 0.0363 0.0181 0.0082 0.0034 0.0013 0.0005 0.0002
>> bar(f,1,'b') Gráfico de la distribución de Poisson λ=5, x=0, 1, 2, ...15

114
6 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Las variables aleatorias continuas definen reglas de correspondencia entre los resultados
obtenidos en experimentos cuyos valores se miden en una escala continua y el conjunto de los
números reales.
6.1 FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD
La probabilidad de una variable aleatoria continua puede especificarse si existe una función
denominada función de densidad de probabilidad (o simplemente función de densidad), tal
que el área debajo del gráfico de esta función cumpla los requisitos para que sea una medida
del valor de probabilidad. Para variables aleatorias discretas, la probabilidad se obtiene de la
sumatoria de f(x). En el límite, esta sumatoria se transforma en un integral.
Definición: Función de Densidad de Probabilidad
Sea X una variable aleatoria continua.
Se dice que f es una función de densidad de probabilidad si y solo si,
P(a≤X≤b) = ∫
b
a
dx
x
f )
( , siendo a,b∈ℜ
Representación gráfica
Cada función de densidad de probabilidad debe cumplir las siguientes propiedades:
Definición: Propiedades de una Función de Densidad de Probabilidad
1) f(x) ≥ 0, -∞ < x < +∞ f(x) no puede tomar valores negativos
2) f(x)dx
+∞
−∞
∫ = 1 El área total debajo de f(x) debe ser igual a 1
Esta propiedad implica que la probabilidad para variables aleatorias continuas solamente
puede calcularse para intervalos de la variable. La probabilidad que la variable aleatoria tome
un valor real específico es cero. Este resultado debe entenderse de la siguiente definición:
b
a b b
lim P(a X b) P(b X b) P(X b) f(x)dx 0
→
≤ ≤ = ≤ ≤ = = = =
∫
Por lo tanto, en el cálculo de probabilidad para variables aleatorias continuas, es igual incluir o
no incluir los extremos del intervalo:
P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b)
.

115
Ejemplo
Suponga que el tiempo de atención de cada cliente en una estación de servicio es una variable
aleatoria continua con la siguiente función de densidad de probabilidad:
f(x) =
2
(x 2), 0 x 1
5
0, otro x

+ ≤ ≤




a) Verifique que cumple las propiedades de una función de densidad
Sea X: variable aleatoria continua (duración en horas)
1) f(x) ≥ 0, -∞ < x <+∞: evidente para f(x) especificada
2) f(x)dx
+∞
−∞
∫ = 1:
1
0
2
(x 2)dx
5
+
∫ =
2
1
0
2 x
( 2x) 1
5 2
+ =
b) Calcule la probabilidad que el tiempo de atención esté entre 15 y 30 minutos
P(1/4<X<1/2) =
1/ 2
1/ 4
2
(x 2)dx
5
+
∫ =
2
1/ 2
1/ 4
2 x
( 2x) 19/80
5 2
+ == 0.2375
6.2 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
Al igual que en el caso discreto se puede definir una función de probabilidad acumulada, la cual
en el caso continuo se denomina función de distribución
Definición: Función de Distribución
Sea X una variable aleatoria contínua con función de densidad f(x)
Entonces, la función
F(x) = P(X≤x) = ∫∞
−
x
dt
t
f )
( , para -∞ < x < +∞
se denomina función de distribución de la variable aleatoria X
Definición: Propiedades de la Función de Distribución
1)
d
dx
F(x) = f(x) La derivada de la función de distribución es la densidad
2) a < b ⇒ F(a) < F(b), F es una función creciente
3) P(a ≤ x ≤ b) = F(b) – F(a)
La propiedad 3) es útil para calcular valores de probabilidad de la variable X

116
Ejemplo.
Encuentre la función de distribución para el ejemplo anterior
Respuesta
F(x) =
x x
0
2
f(t)dt (t 2)dt
5
−∞
= +
∫ ∫ =
2
x
0
2 t
( 2t)
5 2
+ =
2
5
(
2
x
2x)
2
+
Esta es una función cuyo dominio es el conjunto de los números reales::
F(x) =
2
0, x 0
2 x
( 2x), 0 x 1
5 2
1, x 1
<



+ ≤ <


≥


Gráfico de la función de distribución
Use la Función de Distribución para calcular P(1/4<X<1/2) en el ejemplo anterior
Respuesta
P(1/4<X<1/2) = F(1/2) – F(1/4) =
2
5
(
2
(1/2)
2(1/2))
2
+ -
2
5
(
2
(1/ 4)
2(1/ 4))
2
+ = 19/80
6.2.1 EJERCICIOS
1) La densidad de probabilidad de una variable aleatoria X está dada por
4 4
630x (1 x) ,0 x 1
f(x)
0, otro x
 − < <
= 

a) Verifique que satisface las propiedades de una función de densidad
c) Calcule la probabilidad que X tenga un valor mayor a 0.75.
e) Determine la probabilidad que X tome un valor dentro del intervalo de dos desviaciones
estándar alrededor de la media y compare con el valor proporcionado por el Teorema de
Chebyshev.
2) El tiempo que tardan en atender a un individuo en una cafetería es una variable aleatoria con
densidad de probabilidad
0.25X
0.25e ,x 0
f(x)
0, otro x
−
 >
= 

, x en minutos
Calcule la probabilidad que el tiempo que tardan en atenderlo sea más de 5 minutos

117
MATLAB
Probabilidad con variables aleatorias continuas
>> syms x Para manejo simbólico de la variable x
>> f = 2/5*(x + 2); Definición de una función de densidad
>> p = int(f, 1/4, 1/2) Cálculo de la probabilidad P(1/4 < X < 1/2)
p =
19/80
>> ezplot(f, 0, 1), grid on Gráfico de la función de densidad
>> F = int(f) Obtención de la función de distribución
F =
1/5*x^2+4/5*x
>> p=eval(subs(F,'1/2')) - eval(subs(F,'1/4')) Cálculo de la probabilidad P(1/4 < X < 1/2)
p = con la función de distribución: F(1/2) – F(1/4)
19/80
>> ezplot(F, 0, 1), grid on Gráfico de la función de distribución

118
6.3 MEDIA Y VARIANZA DE VARIABLES ALEATORIAS
CONTINUAS
Definición: Media y Varianza de Variables Aleatorias Continuas
Sean X: Variable aleatoria continua
f(x): Función de densidad de probabilidad
Media de X: µ = E(X) = ∫
+∞
∞
−
dx
)
x
(
xf
Varianza de X: σ2
= V(X) = E[(X - µ)2
] = ∫
+∞
∞
−
µ
− dx
)
x
(
f
)
x
( 2
Ejemplo
Calcule la media y la varianza para el ejemplo de la estación de servicio en donde X es una
variable aleatoria continua que representa tiempo de atención en horas, siendo su densidad de
probabilidad:
f(x) =
2
(x 2), 0 x 1
5
0, otro x

+ ≤ ≤




Respuesta:
µ = E(X) =
1 3
2
0
1
2 2 x
x (x 2)dx [ x ] 8/15
0
5 5 3
+ = + =
∫ = 0.533
Es el tiempo de atención promedio para los clientes
σ2
= V(X) = E[(X–µ)2
] = E(X2
) – µ2
=
1
2
0
2
x (x 2)dx
5
+
∫ – (8/15)2
= 0.0822
6.3.1 PROPIEDADES DE LA MEDIA Y LA VARIANZA
Definiciones: Propiedades de la Media y la Varianza
Sea X: una variable aleatoria continua con densidad de probabilidad f(x)
a, b ∈ ℜ
Media: E(aX + b) = aE(X) + b
Corolarios: E(aX) = aE(X); E(b) = b
Varianza: V(aX + b) = a2
V(X)
Corolarios: V(aX) = a2
V(X); V(b) = 0
Las demostraciones y los corolarios son similares al caso de las variables aleatorias discretas,
pero usando integrales en lugar de sumas.

119
6.3.2 VALOR ESPERADO DE EXPRESIONES CON UNA VARIABLE
ALEATORIA CONTINUA
Estas expresiones también son variables aleatorias y su dominio generalmente es el mismo
que el dominio de la variable aleatoria original. El rango puede ser diferente.
Definición: Valor Esperado de Expresiones con una Variable Aleatoria Continua
Sea X: Variable aleatoria continua
f(x): Densidad de probabilidad deX
G(X): Alguna expresión con la variable aleatoria X
Entonces
µG(X) = E[G(X)] = G(x)f(x)dx
+∞
−∞
∫ , es la media o valor esperado de G(X)
Ejemplo
Suponga que en ejemplo de la estación de servicio, el costo de atención a cada cliente está
dado por la siguiente variable aleatoria:
G(X) = 10 + 5X en dólares
Calcule la media del costo de atención
Respuesta
E[G(X)] = E(10 + 5X) = 10 + 5E(X) = 10 + 5(8/15) = 12.667 dólares
6.4 MOMENTOS Y FUNCIÓN GENERADORA DE MOMENTOS
PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTÍNUAS
Las definiciones que fueron establecidas para las variables aleatorias discretas se extienden al
caso discreto sustituyendo sumatorias por integrales
Definiciones: Momentos y Funciones Generadoras de Momentos
Sean X: Variable aleatoria continua
f(x): Densidad de probabilidad
r-ésimo momento de X alrededor del origen
µ’r = E(Xr
) = ∫
+∞
∞
−
dx
)
x
(
f
xr
r-ésimo momento de X alrededor de la media, o r-ésimo momento central
µr = E[(X-µ)r
] = ∫
+∞
∞
−
µ
− dx
)
x
(
f
)
x
( r
Función generadora de momentos
M(t) = E(etX
) = tx
e f(x)dx
+∞
−∞
∫
Obtención de momentos alrededor del origen
µ’r = r
r
dt
d
M(t) |t=0

120
6.5 TEOREMA DE CHEBYSHEV
El Teorema de Chebyshev es aplicable también a variables aleatorias contínuas.
La demostración usa integrales en lugar de sumatorias
Definición: Teorema de Chebyshev (Variables Aleatorias Continuas)
Sea X una variable aleatoria continua con media µ y varianza σ2
, entonces
la probabilidad que X tome algún valor que no se desvíe de su media µ
en más de kσ, es al menos 1 – 1/k2
:
P(µ - kσ < x < µ - kσ) ≥ 1 – 1/k2
, k∈ℜ+
6.6 EJERCICIOS
1) La densidad de probabilidad de una variable aleatoria X está dada por
4 4
630x (1 x) ,0 x 1
f(x)
0, otro x
 − < <
= 

a) Calcule la media y varianza de X
b) Calcule la media y varianza de la variable Y=2X+1.
2) El tiempo que tardan en atender a una persona en una cafetería es una variable aleatoria
con densidad de probabilidad
0.25X
0.25e ,x 0
f(x)
0, otro x
−
 >
= 

, x en minutos
Calcule la media y varianza de X
3) Demuestre que si X es una variable aleatoria con media µ tal que f(x)=0, para x<0, entonces
para una constante positiva k cualquiera, se tiene:
P(x ≥ k) ≤
k
µ
Esta desigualdad se conoce como desigualdad de Markov y es utilizada también para acotar
el valor de probabilidad de una variable aleatoria.
MATLAB
Media y varianza de variables aleatorias continuas
>> syms x Definir X para manejo simbólico
>> f = 2/5*(x + 2); Función de densidad de X
>> mu = int(x*f, 0,1) Media de X
mu =
8/15
>> sigma2 = int(x^2*f,0,1)-mu^2 Varianza de X
sigma2 =
37/450
>> sigma = eval(sqrt(sigma2)) Desviación estándar
sigma =
0.5355

121
7 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS
En este capítulo se estudian los modelos matemáticos para calcular la probabilidad en algunos
problemas típicos en los que intervienen variables aleatorias continuas.
El objetivo es obtener una fórmula matemática f(x) para determinar los valores de probabilidad
de la variable aleatoria X.
7.1 DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA
Este modelo corresponde a una variable aleatoria continua cuyos valores tienen igual valor de
probabilidad en un intervalo especificado para la variable
Definición: Distribución Uniforme Continua
Sea X: Variable aleatoria continua.
X tiene distribución Uniforme si su densidad de probabilidad está dada por,
1
, a x b
f(x) b a
0, x

≤ ≤

= −


 para otro
a, b son los parámetros para este modelo
Representación gráfica de la distribución Uniforme Continua
Se puede observar que f(x) cumple las propiedades de las funciones de densidad
7.1.1 MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA
Definición: Media y Varianza de la Distribución Uniforme Continua
Sea X: Variable aleatoria con distribución Uniforme Continua
Media: µ = E(X) =
1
(a b)
2
+
Varianza: σ2
= V(X) = 2
1
(b a)
12
−
Se obtienen directamente de las definiciones respectivas

122
Demostración para la media
µ = E(X) = xf(x)dx
∞
−∞
∫ =
b
a
1
x dx
b a
−
∫ = ( )
2 2
1 1 1
b a (a b)
b a 2 2
 
− = +
 
−  
7.1.2 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
De acuerdo a la definición establecida:
F(x) = P(X≤x) =
x
f(t)dt
−∞
∫ , para -∞ < x < +∞
Para la Distribución Uniforme Continua:
F(x) = P(X≤x) =
x x
a
1 x a
f(t)dt dx
b a b a
−∞
−
= =
− −
∫ ∫ ⇒ F(x) =
0, x a
x a
, a x b
b a
1, x b
<

 −

≤ <

−

≥


Ejemplo
Cuando falla cierto componente de una máquina, esta debe detenerse hasta que sea reparado.
Suponiendo que el tiempo de reparación puede tomar cualquier valor entre 1 y 5 horas.
a) Calcule la probabilidad que la duración tome al menos 2 horas
Solución
X: Variable aleatoria Continua (duración de la reparación)
Tiene distribución Uniforme, por lo tanto, su función de densidad es
f(x) =
1
b a
−
=
1
5 1
−
= 1/4 , 1 ≤ x ≤ 5
P(X ≥ 2) =
5
2
1
dx
4
∫ = 3/4 = 75%
b) Calcule el valor esperado de la duración de la reparación
Solución
E(X) =
1
(a b)
2
+ =
1
(1 5)
2
+ = 3 horas
b) Suponga que la reparación tiene un costo fijo de $100 y un costo variable de $10, el cual se
incrementa cuadráticamente dependiendo de la duración. Calcule el valor esperado del costo de
la reparación.
Solución
C: Costo de la reparación (es una variable aleatoria continua)
C = 100 + 10 x2
E(C) = E(100 + 10 x2
) = 100 + 10 E(X2
)
E(x2
) =
5
5 3
2
1 1
1 1 x
x dx
4 4 3
 
=  
 
∫ = 31/3
E(C) = 100 + 10(31/3) = $203.3

123
7.1.3 EJERCICIOS
1) Se elige un punto C sobre una recta AB cuya longitud es k. Si la distancia entre C y A es una
variable aleatoria X con distribución uniforme continua, calcule la probabilidad que la diferencia
de longitud entre los segmentos AC y BC no exceda en mas de 10% de k.
2) En un negocio de hamburguesas se despacha el refresco en vasos. La cantidad es una
variables aleatoria con una distribución uniforme entre 130 y 160 ml. (mililitros)
a) Calcule la probabilidad de obtener un vaso que contenga a lo más 140 ml.
b) ¿Cuántos ml. contiene en promedio un vaso?
c) Obtenga la varianza para la variable aleatoria
3) Una resistencia eléctrica se comporta de acuerdo a una distribución continua con valores
entre 900 y 1100 ohms. Encuentre la probabilidad que la resistencia,
a) Aguante a lo más 950 ohms antes de quemarse
b) Tenga un valor entre 950 y 1050 ohms.

124
7.2 DISTRIBUCIÓN NORMAL
La Distribución Normal es la piedra angular de la teoría estadística moderna. Conocida y
estudiada desde hace mucho tiempo, es utilizada para describir el comportamiento aleatorio de
muchos procesos que ocurren en la naturaleza y también realizados por los humanos.
Definición: Función de Densidad de la Distribución Normal
Sea X: Variable aleatoria continua con media µ y varianza σ2
X tiene distribución Normal si su función de densidad es:
2
1 x
( )
2
1
f(x) e
2
−µ
−
σ
=
σ π
, -∞ < x < +∞
Se puede demostrar que f cumple las propiedades de una función de densidad:
1) f(x) ≥ 0, -∞<x<+∞:
2) f(x)dx
+∞
−∞
∫ = 1
La gráfica de f es similar al perfil del corte vertical de una campana y tiene las siguientes
características:
1) Es simétrica alrededor de µ
2) Su asíntota es el eje horizontal
3) Sus puntos de inflexión están ubicados en µ – σ y µ + σ
Gráfico de la distribución Normal para varios valores de µ y σ
Para calcular probabilidad se tiene la definición
P(a≤X≤b) =
b
a
f(x)dx
∫ , siendo a,b∈ℜ
También se puede usar la definición de distribución acumulada o función de distribución:
F(x) = P(X≤x) = ∫∞
−
x
dt
t
f )
( , para -∞ < x < +∞
Esta definición es útil para calcular probabilidad con la propiedad: P(a≤X≤b) = F(b) – F(a)

125
7.2.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR
Para generalizar y facilitar el cálculo de probabilidad con la distribución Normal, es conveniente
definir la Distribución Normal Estándar que se obtiene haciendo µ = 0, y σ2
= 1 en la
función de densidad de la Distribución Normal
Definición: Función de densidad de la distribución Normal Estándar
Sea Z: Variable aleatoria continua con media µ = 0 y varianza σ2
= 1
Z tiene distribución Normal Estándar si su función de densidad es:
2
1
z
2
1
f(z) e
2
−
=
π
, -∞ < z < +∞
Para calcular probabilidad con la distribución Normal Estándar se puede usar la definición de la
distribución acumulada o función de distribución:
F(z) = P(Z ≤ z)
2
1
z z
t
2
1
f(t)dt e dt
2
−
−∞ −∞
= =
π
∫ ∫ , -∞ < z < +∞
Gráfico de la distribución Normal Estándar
Para el cálculo manual se pueden usar tablas con valores de F(z) para algunos valores de z
En un anexo se incluye una Tabla de la Distribución Normal Estándar. Esta tabla contiene los
valores de F(z) con 6 decimales para valores de z en el intervalo de –3.59 a 3.59 con
incrementos de 0.01. Los valores de F(z) fuera de este intervalo ya no son significativamente
diferentes.
Para aplicaciones comunes es suficiente usar sólo los cuatro primeros decimales de F(z)
redondeando el último dígito.
Algunas tablas de la distribución Normal Estándar no incluyen valores de F(z) para valores
negativos de z, por lo cual y por la simetría de f(z), se puede usar la siguiente relación:
F(–z) = P(Z ≤ –z) = P(Z ≥ z) = 1 – P(Z ≤ z) = 1 – F(z) ⇒ F( –z) = 1 – F(z)

126
Ejemplos
Usando la Tabla de la Distribución Normal Estándar calcule:
a) P(Z ≤ 1.45)
P(Z ≤ 1.45) = F(1.45) = 0.9265
El resultado se toma directamente de la Tabla de la Distribución Normal Estándar:
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.500000 0.503989 0.507978 0.511967 0.515953 0.519939 0.532922 0.527903 0.531881 0.535856
0.1 0.539828 0.543795 0.547758 0.551717 0.555760 0.559618 0.563559 0.567495 0.571424 0.575345
0.2 0.579260 0.583166 0.587064 0.590954 0.594835 0.598706 0.602568 0.606420 0.610261 0.614092
0.3 0.617911 0.621719 0.625516 0.629300 0.633072 0.636831 0.640576 0.644309 0.648027 0.651732
0.4 0.655422 0.659097 0.662757 0.666402 0.670031 0.673645 0.677242 0.680822 0.684386 0.687933
0.5 0.691462 0.694974 0.698468 0.701944 0.705401 0.708840 0.712260 0.715661 0.719043 0.722405
0.6 0.725747 0.729069 0.732371 0.735653 0.738914 0.742154 0.745373 0.748571 0.751748 0.754903
0.7 0.758036 0.761148 0.764238 0.767305 0.770350 0.773373 0.776373 0.779350 0.782305 0.785236
0.8 0.788145 0.791030 0.793892 0.796731 0.799546 0.802338 0.805106 0.807850 0.810570 0.813267
0.9 0.815940 0.818589 0.821214 0.823815 0.826391 0.828944 0.831472 0.833977 0.836457 0.838913
1.0 0.841345 0.843752 0.846136 0.848495 0.850830 0.853141 0.855428 0.857690 0.859929 0.862143
1.1 0.864334 0.866500 0.868643 0.870762 0.872857 0.874928 0.876976 0.878999 0.881000 0.882977
1.2 0.884930 0.886860 0.888767 0.890651 0.892512 0.894350 0.896165 0.897958 0.899727 0.901475
1.3 0.903199 0.904902 0.906582 0.908241 0.909877 0.911492 0.913085 0.914657 0.916207 0.917736
1.4 0.919243 0.920730 0.922196 0.923641 0.925066 0.926471 0.927855 0.929219 0.930563 0.931888
1.5 0.933193 0.934478 0.935744 0.936992 0.938220 0.939429 0.940620 0.941792 0.942947 0.944083
1.6 0.945201 0.946301 0.947384 0.948449 0.949497 0.950529 0.951543 0.952540 0.953521 0.954486
b) P(Z ≥ 1.45)
P(Z ≥ 1.45) = 1 – P(Z<1.45) = 1 – F(1.45) = 1 – 0.9264 = 0.0735
c) P(Z ≤ –1.45)
P(Z ≤ –1.45) = F(–1.45) =0.0735 (Directamente de la Tabla)
F(–1.45) = 1 – F(1.45) = 1 – 0.9265 = 0.0735 (Usando la relación para valores negativos)
d) P(1.25 ≤ Z ≤ 1.45)
P(1.25 ≤ Z ≤ 1.45) = F(1.45) – F(1.25) = 0.9265 – 0.8944 = 0.0321
e) Encuentre z tal que P(Z ≤ z) = 0.64
P(Z ≤ z) = F(z) = 0.64
En la Tabla, el valor de z más cercano a F(z) = 0.64 corresponde a z = 0.36
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.500000 0.503989 0.507978 0.511967 0.515953 0.519939 0.532922 0.527903 0.531881 0.535856
0.1 0.539828 0.543795 0.547758 0.551717 0.555760 0.559618 0.563559 0.567495 0.571424 0.575345
0.2 0.579260 0.583166 0.587064 0.590954 0.594835 0.598706 0.602568 0.606420 0.610261 0.614092
0.3 0.617911 0.621719 0.625516 0.629300 0.633072 0.636831 0.640576 0.644309 0.648027 0.651732
0.4 0.655422 0.659097 0.662757 0.666402 0.670031 0.673645 0.677242 0.680822 0.684386 0.687933
0.5 0.691462 0.694974 0.698468 0.701944 0.705401 0.708840 0.712260 0.715661 0.719043 0.722405
0.6 0.725747 0.729069 0.732371 0.735653 0.738914 0.742154 0.745373 0.748571 0.751748 0.754903
0.7 0.758036 0.761148 0.764238 0.767305 0.770350 0.773373 0.776373 0.779350 0.782305 0.785236
0.8 0.788145 0.791030 0.793892 0.796731 0.799546 0.802338 0.805106 0.807850 0.810570 0.813267
F(1.45) = 0.9265
redondeando al
cuarto decimal
Este es el valor más
cercano a F(z) = 0.64

127
7.2.2 ESTANDARIZACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Si una variable tiene distribución Normal, mediante una sustitución se la puede transformar a otra
variable con distribución Normal Estándar. Este cambio de variable facilita el cálculo de
probabilidad y se denomina estandarización de la distribución de la variable.
Notación
X ∼ N(µ, σ) Define a X como una variable con distribución Normal
con media µ y desviación estándar σ
Z ∼ N(0, 1) Define a Z como una variable con distribución Normal Estándar
con media 0 y desviación estándar 1
Definición: Estandarización de la distribución Normal
Sea X una variable aleatoria con distribución Normal: X ∼ N(µ, σ),
Entonces, la variable aleatoria Z =
σ
µ
−
X
Tiene distribución Normal Estándar: Z ∼ N(0, 1)
Gráfico de la distribución Normal y la distribución Normal Estándar
La relación entre X y Z es lineal, por lo tanto la distribución de Z debe tener una forma similar a la
distribución Normal. Mediante las definiciones de valor esperado y varianza:
E(Z) = E(
X − µ
σ
) =
1
σ
[E(X) – E(µ)] =
1
σ
(µ – µ) = 0
V(Z) = V(
X − µ
σ
) = 2
1
σ
[V(X) – V(µ)] = 2
1
σ
(σ2
– 0) = 1
Se puede probar que Z tiene distribución Normal Estándar: Z ∼ N(0, 1)
Ejemplo.
La duración de un evento tiene distribución Normal con media 10 y varianza 4.
Encuentre la probabilidad que el evento dure,
a) Menos de 9 horas
b) Entre 11 y 12 horas

128
Solución
Sea X: Variable aleatoria continua (duración en horas) con distribución Normal:
X ∼ N(10, 2)
Entonces Z =
X 10
2
−
tiene distribución Normal Estándar: Z ∼ N(0, 1)
a) P(X ≤ 9) = P(Z ≤
9 10
2
−
) = P(Z ≤ –0.5) = F(–0.5) = 0.3085 = 30.85%
b) P(11 ≤ X ≤ 12) = P(
11 10
2
−
≤ Z ≤
12 10
2
−
) = P(0.5 ≤ Z ≤ 1) = F(1) – F(0.5)
= 0.8413 – 0.6915 = 0.1498
Ejemplo
Sea X ∼ N(10, σ). Encuentre σ tal que P(X ≤ 9) = 0.025
Solución
P(X ≤ 9) = P(Z ≤ z) = F(z) = 0.025 ⇒ z = –1.96
z =
σ
µ
−
x
⇒ –1.96 =
9 10
−
σ
⇒ σ = 0.5102
Ejercicio
Sea X ∼ N(300, 50). Encuentre el valor de k tal que P(X>k) = 0.1075
Solución
P(X > k) = 0.1075 ⇒ P(Z > z) = 0.1075 ⇒ P(Z ≤ z) = 1 – 0.1075 = 0.8925
P(Z ≤ z) = F(z) = 0.8925 ⇒ z = 1.24

129
Pero, z =
k − µ
σ
, por lo tanto 1.24 =
k 300
50
−
⇒ k = 362
7.2.3 VALORES REFERENCIALES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Hay ciertos valores de la distribución Normal de uso frecuente.
Si X es una variable aleatoria con distribución Normal, la probabilidad que tome valores en un
intervalo centrado en µ, hasta una distancia de una desviación estándar σ es aproximadamente
68%, hasta una distancia de 2σ es aproximadamente 95% y hasta una distancia de 3σ es
cercano a 100% como se demuestra a continuación:
1) P(µ – σ ≤ X < µ + σ) = P(
σ
µ
−
σ
−
µ )
(
≤ Z ≤
σ
µ
−
σ
+
µ )
(
) = P( –1 ≤ Z ≤ 1)
= F(1) – F(–1) = 0.8413 – 0.1587 = 0.6826 = 68.26%
2) P(µ – 2σ ≤ X < µ + 2σ) = P(
σ
µ
−
σ
−
µ )
2
(
≤ Z ≤
σ
µ
−
σ
+
µ )
2
(
) =P( –2 ≤ Z ≤ 2)
= F(2) – F(–2) = 0.9773 – 0.0228 = 0.9545 = 95.45%
3) P(µ – 3σ ≤ X < µ + 3σ) = P(
σ
µ
−
σ
−
µ )
3
(
≤ Z ≤
σ
µ
−
σ
+
µ )
3
(
) =P( –3 ≤ Z ≤ 3)
= F(3) – F(–3) = 0.9987 – 0.0014 = 0.9973 = 99.73%
7.2.4 APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
CON LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR
Sea X una variable aleatoria discreta con distribución Binomial con media µ = np, y varianza
σ2
= np(1-p)
Entonces, el límite de la distribución de la variable aleatoria
Z =
σ
µ
−
X
=
)
( p
1
np
np
X
−
−
, cuando n→∞,
Es la distribución Normal Estándar: N(0,1)
La demostración es una aplicación del Teorema del Límite Central, uno de los teoremas
fundamentales de la estadística y que será enunciado posteriormente
La bibliografía estadística establece que la aproximación es aceptable aún con valores pequeños
de n, siempre que p esté cerca de 0.5, o si simultáneamente:
np > 5 y n(1-p) > 5

130
Ejemplo
En una fábrica, el 20% de los artículos salen defectuosos. Calcule la probabilidad que en un lote
de 100 artículos elegidos al azar, 15 sean defectuosos.
Respuesta
Sea X: variable aleatoria discreta con distribución Binomial, con n=20, p=0.2
El cálculo con el modelo de la distribución Binomial puede ser impráctico:
P(X=x) = 







x
n
px
(1-p)n-x
⇒ P(X=15) =
100
15
 
 
 
(0.2)15
(0.8)85
Se observa que np = 100(0.2) = 20, n(1–p) = 100(0.8) = 80.
Siendo ambos productos mayores a 5, según el criterio dado, la distribución Normal Estándar
será una aproximación aceptable:
Z =
X − µ
σ
=
X np
np(1 p)
−
−
=
X 100(0.20)
100(0.20)(0.80)
−
=
X 20
4
−
P(X = 15) ≅ P(
14.5 15.5
Z
− µ − µ
≤ ≤
σ σ
) = P(
14.5 20 15.5 20
Z
4 4
− −
≤ ≤ )
= P(–1.375 ≤ Z ≤ –1.125) = F(–1.125) – F(–1.375)
= 0.130 – 0.084 = 0.046 = 4.6%
Observe la corrección que se realiza al tomar el valor discreto para usarlo en la distribución
Normal. Para la distribución Normal se considera que un valor discreto se extiende entre las
mitades de los valores adyacentes: el valor 15 de la distribución Binomial corresponde al
intervalo (14.5, 15.5) para la distribución Normal.

131
7.2.5 EJERCICIOS
1) Suponga que Z es una variable aleatoria con distribución Normal Estándar. Use la tabla para
calcular:
a) P(Z<1.45)
b) P(Z>2.01)
c) P(Z<-1.24)
d) P(Z>1.78)
e) P(-1.25<Z<2.31)
2) Suponga que X es una variable aleatoria con distribución Normal, con media 25 y desviación
estándar 5. Use la tabla para calcular
a) P(X<18)
b) P(X>30)
c) P(24<X<27)
3) Si X ~ N(10, σ2
) determine el valor de la varianza si P(X<9)=0.025
4) El peso de los artículos producidos por una fábrica tiene distribución Normal con una media
de 50 gr. y una desviación estándar de 5 gr.
a) Calcule la probabilidad que un artículo elegido al azar tenga un peso de mas de 60 gr.
b) Calcule la proporción de los paquetes que tendrían un peso entre 46 y 54 gr.
5) El tiempo necesario para llenar un frasco de un producto es una variable aleatoria que sigue
una distribución Normal con una media de 10 segundos y una desviación estándar de dos
segundos.
a) Calcule la probabilidad que el tiempo de llenado exceda a 11 segundos
b) Encuentre el tiempo de llenado del frasco tal que la probabilidad de excederlo tenga una
probabilidad de 3%
6) Una fábrica de tornillos produce un tipo de tornillo con un diámetro promedio de 6.5 mm. y una
desviación estándar de 1.5 mm. Suponiendo que la distribución es Normal calcule la probabilidad
de encontrar tornillos con diámetro,
a) mayor que 7mm.
b) entre 6 y 7 mm.
7) El pH de un químico tiene una distribución N(µ, 0.102
). Durante la elaboración del producto
se ordena suspender la producción si el pH supera el valor 7.20 o es inferior a 6.80.
a) Calcule la probabilidad que la producción no sea suspendida si µ=7.0
b) Calcule la probabilidad que la producción no sea suspendida si µ=7.05
c) Cual debe ser µ para que la probabilidad de que se suspenda la producción sea 0.85
8) La tolerancia especificada para aceptar los ejes producidos por una fábrica es que el diámetro
sea 0.45 ± 0.005 cm. Si los ejes producidos por la fábrica tienen distribución Normal con media
0.452 y desviación estándar 0.003 cm., determine cuantos ejes serán rechazados de cada lote
de 500 ejes producidos.

132
MATLAB
Probabilidad con la distribución Normal
>> p=normcdf(-1.45) Distribución Normal Estándar acumulada, P(Z ≤ -1.45)
p =
0.0735
>> p=normcdf(1.45)-normcdf(1.25) Calcular P(1.25 ≤ Z ≤ 1.45)
p =
0.0321
>> p=normcdf(9, 10, 2) Distribución Normal: calcular P(X ≤ 9), µ =10, σ = 2
p =
0.3085
>> x=norminv(0.3085, 10, 2) Función inversa: calcular x tal que F(x) = 0.3085
x = µ =10, σ = 2
8.9998
>> x=-6: 0.5: 9; x = -6, -5.5, -5.0, . . ., 9
>> f=normpdf(x, 2, 1.8); Valores de densidad Normal f(x), µ = 2, σ = 1.8
>> plot(x,f,'b'), grid on Gráfico de la función de densidad Normal
>> legend('mu=2, sigma=1.8')
>> f=normcdf(x, 2, 1.8); Valores de la distribución acumulada µ = 2, σ = 1.8
>> plot(x,f,'ob'), grid on Gráfico de puntos de F(x)
>> hold on Superponer gráfico
>> plot(x,f,'b') Gráfico de la distribución acumulada F(x)

133
7.3 DISTRIBUCIÓN GAMMA
Es un modelo básico en la Teoría de la Probabilidad y corresponde a la siguiente definición
Definición: Distribución Gamma
X tiene distribución Gamma si su función de densidad es
1 x /
1
x e , x 0
f(x) ( )
0, x
α− − β
α

>

= β Γ α


 para otro
α>0, β>0 son los parámetros para este modelo
Γ(α) es la función Gamma que está definida de la siguiente forma:
1 x
0
( ) x e dx
∞
α− −
Γ α =∫
Si α es un entero positivo, entonces
Γ(α) = (α - 1)!
Demostración
1 x
0
( ) x e dx
∞
α− −
Γ α =∫
u = xα-1
⇒ du = (α-1)xα-2
dx (integración por partes)
dv = e-x
dx ⇒ v = -e-x
Se obtiene
2 x
0
( ) ( 1) x e dx
∞
α− −
Γ α = α − ∫ = (α - 1)Γ(α - 1)
Sucesivamente
Γ(α) = (α -1)(α-2)(α-3)...Γ(1). Finalmente, Γ(1) = 1 por integración directa.
Gráfico de la Distribución Gamma
Son gráficos asimétricos con sesgo positivo y su dominio es ℜ+
La distribución Gamma para algunos valores de α, β

134
7.3.1 MEDIA Y VARIANZA PARA LA DISTRIBUCIÓN GAMMA
Definición: Media y Varianza para la Distribución Gamma
Sea X una variable aleatoria continua con distribución Gamma, entonces
Media: µ = E(X) = αβ Varianza: σ2
= V(X) = αβ2
Demostración
µ = xf(x)dx
∞
−∞
∫ = 1 x /
0
1
x x e dx
( )
∞
α− − β
α
β Γ α
∫ = x /
0
1
x e dx
( )
∞
α − β
α
β Γ α
∫
Mediante la sustitución y = x/β
µ = y
0
1
( y) e dy
( )
∞
α −
α
β β
β Γ α
∫
= y
0
y e dy
( )
∞
α −
β
Γ α ∫
Con la definición de la función Gamma:
= ( 1)
( )
β
Γ α +
Γ α
= ( )
( )
β
αΓ α = αβ
Γ α
Ejemplo
El tiempo en horas que semanalmente requiere una máquina para mantenimiento es una
variable aleatoria con distribución gamma con parámetros α=3, β=2
a) Encuentre la probabilidad que en alguna semana el tiempo de mantenimiento sea mayor
a 8 horas
b) Si el costo de mantenimiento en dólares es C = 30X + 2X2
, siendo X el tiempo de
mantenimiento, encuentre el costo promedio de mantenimiento.
Solución
Sea X: duración del mantenimiento en horas (variable aleatoria)
Su densidad de probabilidad es:
f(x) = 1 x / 3 1 x / 2 2 x / 2
3
1 1 1
x e x e x e
16
( ) 2 (3)
α− − β − − −
α
= =
β Γ α Γ
Gráfico de la función de densidad para el ejemplo

135
a) P(X>8) es el área resaltada en el gráfico
P(X>8) = 1 – P(X≤8) = 1 –
8
2 x / 2
0
1
x e dx
16
−
∫
Para integrar se pueden aplicar dos veces la técnica de integración por partes:
∫
−
dx
e
x 2
x
2 /
,
u = x2
⇒ du = 2x dx
dv = e-x/2
dx ⇒ v = –2 e-x/2
= –2x2
e-x/2
+ 4 x / 2
x e dx
−
∫
x / 2
x e dx
−
∫
u = x ⇒ du = dx
dv = e-x/2
dx ⇒ v = –2 e-x/2
= –2x e-x/2
+ 2 x / 2
e dx
−
∫
Sustituyendo los resultados intermedios,
P(X>8) = 1 –
1
16
2 -x/2 -x/2 -x/2 8
-2x e 4(-2x e 2(-2 e ))
0
 
+ +
  = 0.2381
b) E(C) = E(30X + 2X2
) = 30 E(X) + 2 E(X2
)
E(X) = αβ = 3(2) = 6
E(X2
) = 2
x f(x)dx
∞
−∞
∫ = 2 2 x / 2
0
1
x x e dx
16
∞
−
∫ = 4 x / 2
0
1
x e dx
16
∞
−
∫
Sustituya y = x/2 para usar la función Gamma
= 4 y
0
1
(2y) e (2dy)
16
∞
−
∫ = 4 y
0
2 y e dy
∞
−
∫ = 2Γ(5) = 2(4!) = 48
Finalmente se obtiene
E(C) = 30(6) + 2(48) = 276 dólares
7.4 DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Es un caso particular de la distribución Gamma y tiene aplicaciones de interés práctico.
Se obtiene con α = 1 en la distribución Gamma
Definición: Distribución Exponencial
X tiene distribución Exponencial si su densidad de probabilidad está dada por
x /
1
e , x 0
f(x)
0, x
− β

>

β
= 

 para otro
En donde β > 0, es el parámetro para este modelo

136
Gráfico de la Distribución Exponencial
El gráfico de la densidad de probabilidad de la distribución Exponencial tiene la forma típica
decreciente y su dominio es ℜ+
7.4.1 MEDIA Y VARIANZA PARA LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Definición: Media y Varianza de la Distribución Exponencial
Sea X: Variable aleatoria continua con distribución Exponencial, entonces
Media: µ = E(X) = β Varianza: σ2
= V(X) = β2
Se obtienen directamente de la distribución Gamma con α = 1
Problema
Un sistema usa un componente cuya duración en años es una variable aleatoria con distribución
Exponencial con media de 4 años. Si se instalan 3 de estos componentes y trabajan
independientemente, determine la probabilidad que al cabo de 6 años, dos de ellos sigan
funcionando.
Solución
Sea Y: Variable aleatoria continua (duración de un componente en años)
Y tiene distribución Exponencial con µ = β = 4
Su densidad de probabilidad es
y / 4
1
f(y) e ,y 0
4
−
= >
La probabilidad que un componente siga funcionando al cabo de 6 años:
P(Y≥6) = 1 – P(Y<6) =
6
y / 4
0
1
1 e dy
4
−
− ∫ = 0.2231
β=4

137
Sea X: Variable aleatoria discreta (cantidad de componentes que siguen
funcionando luego de 6 años)
X tiene distribución Binomial con n=3, p=0.2231
Su función de distribución de probabilidad es:
f(x) = x n x x 3 x
n 3
p (1 p) 0.2231 0.7769
x x
− −
   
− =
   
   
Entonces,
P(X=2) = f(2) = 2 3 2
3
0.2231 0.7769
2
−
 
 
 
= 0.1160 = 11.6%
7.4.2 UNA APLICACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Puede demostrarse que si una variable aleatoria tiene distribución de Poisson con parámetro
λ, entonces el tiempo de espera entre dos “éxitos” consecutivos es una variable aleatoria con
distribución Exponencial con parámetro β = 1/λ
Ejemplo
La llegada de los barcos a un puerto tiene distribución de Poisson con media de 4 por día.
Calcule la probabilidad que el tiempo transcurrido entre la llegada de dos barcos consecutivos en
algún día sea menor a 4 horas.
Solución
Sea X el tiempo transcurrido entre dos llegadas consecutivas (en días)
X es una variable aleatoria continua con distribución Exponencial con parámetro
β = 1/λ = 1/4
Su función de probabilidad es
f(x) = x /
1
e− β
β
= λe-λx
= 4e-4x
, x>0
Por lo tanto, P(X<1/6) =
1/ 6
4x
0
4e dx
−
∫ = 0.4866 = 48.66%

138
7.4.3 EJERCICIOS
1) En cierta ciudad, el consumo diario de energía eléctrica en millones de Kw-hora puede
considerarse como una variable aleatoria con distribución Gamma con α=3 y β=2. Si la planta
de energía tiene una capacidad de producción diaria de doce millones de Kw-hora, calcule la
probabilidad que en un día cualquiera, el suministro de energía sea insuficiente.
2) La duración en miles de Km. de cierto tipo de llantas, es una variable aleatoria con distribución
exponencial con media 40 mil Km. Calcule la probabilidad que una de estas llantas dure
a) Al menos 20 mil Km.
b) No más de 30 mil Km.
3) El tiempo que transcurre antes de que una persona sea atendida en un bar es una variable
aleatoria que se puede modelar col la distribución exponencial con una media de 5 minutos.
Calcule la probabilidad de que una persona sea atendida antes de que transcurran 3 minutos en
al menos 4 de los 7 días siguientes.
4) Se conoce que la cantidad de reparaciones que cierto tipo de electrodoméstico necesita, tiene
distribución de Poisson con una media de una vez cada dos años. Suponiendo que los intervalos
entre reparaciones tienen distribución exponencial. Calcule la probabilidad que este artículo
funcione por lo menos tres años sin requerir reparación.

139
MATLAB
Probabilidad con la distribución gamma
>> x=0:0.5:30; x = 0, 0.5, 1, . . ., 30
>> f=gampdf(x, 3, 2); Valores de densidad de probabilidad gamma, α = 3, β = 2
>> plot(x, f, 'b'), grid on Gráfico de la densidad de probabilidad gamma, α = 3, β = 2
>> legend('Gamma, alfa=3, beta=2');
>> p=gamcdf(8, 3, 2) Distribución gamma acumulada: F(8) = P(X≤8), α = 3, β = 2
p =
0.7619
>> x=gaminv(0.7619, 3, 2) Distribución gamma acumulada inversa:
x = Encontrar x tal que P(X≤x) = 0.7619, α = 3, β = 2
8.0000
>> [mu, var]=gamstat(3, 2) Media y varianza de la distribución gamma, α = 3, β = 2
mu = 6
var = 12
Probabilidad con la distribución exponencial
>> x=0:0.5:20; x = 0, 0.5, 1.0, ..., 20
>> f=exppdf(x,4); Valores de densidad de probabilidad exponencial, β = 4
>> plot(x,f,'k'),grid on Gráfico de la densidad
de probabilidad exponencial β = 4
>> legend('')
Distribucion exponencial, beta=4

140
>> p=expcdf(6, 4) Distribución exponencial acumulada: F(6) = P(X≤6), β = 4
p =
0.7769
>> x=expinv(0.7769, 4) Distribución exponencial acumulada inversa:
x = Encontrar x tal que P(X≤x) = 0.7769, β = 4
6.000

141
7.5 DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL
Este modelo propuesto por Weibull se usa en problemas relacionados con fallas de materiales
y estudios de confiabilidad. Para estas aplicaciones es más flexible que el modelo exponencial.
Definición: Distribución de Weibull
Una variable aleatoria continua X tiene distribución de Weibull si su densidad
de probabilidad está dada por
1 x
x e , x 0
f(x)
0, x
β
β− −α
αβ >

= 

 para otro
En donde α>0, β>0 son los parámetros para este modelo
Si β = 1, este modelo se reduce a la distribución Exponencial.
Si β > 1, el modelo tiene forma tipo campana con sesgo positivo
Gráficos de la distribución de Weibull
7.5.1 MEDIA Y VARIANZA PARA LA DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL
Definición: Media y Varianza para la distribución de Weibull
Si X es una variable aleatoria continua con distribución de Weibull, entonces
Media µ = E(X) = α-1/β
Γ(1+1/β)
Varianza σ2
= V(X) = α-2/β
[Γ(1+2/β) – (Γ(1+1/β))2
]
Demostración
Con la definición
µ = E(X) = 1 x
0
xf(x)dx x x e dx
β
∞ ∞
β− −α
−∞
= αβ
∫ ∫
Usando la sustitución
y = αxβ
⇒ dy = αβxβ-1
dx = βyx-1
dx = βy(y/α)-1/β
dx
Se obtiene
µ = α-1/β
1/ y
0
y e dy
∞
β −
∫
Finalmente, se compara con la función Gamma
µ = α-1/β
Γ(1+1/β)

142
Ejemplo
Suponga que la vida útil en horas de un componente electrónico tiene distribución de
Weibull con α=0.1, β=0.5
a) Calcule la vida útil promedio
b) Calcule la probabilidad que dure mas de 300 horas
Solución
Sea X: Vida útil en horas (variable aleatoria continua)
su densidad de probabilidad:
f(x)= 1 x
x e
β
β− −α
αβ =
0.5
0.5 0.1x
0.05x e
− −
a) µ = α-1/β
Γ(1+1/β) = (0.1)-1/0.5
Γ(1+1/0.5) = 0.1-2
Γ(3) = 200 horas
b) P(X>300) =
300
∞
∫
0.5
0.5 0.1x
0.05x e
− −
dx
Mediante la sustitución y=x
0.5
⇒ dy = 0.5x
-0.5
dx = 0.5(
1
y
)dx ⇒ dx =
y
0.5
dy
se obtiene
P(X>300) = 0.1y 0.1
300 300
1 y
0.05 e dy 0.1 e dy
y 0.5
∞ ∞
− −
=
∫ ∫
= 1 – P(X≤300) = 1 –
300
0.1
0
0.1 e dy
−
∫ = 0.177
7.6 RAZÓN DE FALLA
Si la variable aleatoria es el tiempo t en que falla un equipo, el índice o razón de falla en el
instante t es la función de densidad de falla al tiempo t, dado que la falla no ocurre antes de t.
Definición: Razón de Falla
Sean t: Variable aleatoria continua (tiempo)
f(t): Función de densidad de probabilidad
F(t): Función de distribución (función de probabilidad acumulada)
Entonces
f(t)
r(t)
1 F(t)
=
−
es la razón de falla
7.7 DISTRIBUCIÓN BETA
Este modelo tiene aplicaciones importantes por la variedad de formas diferentes que puede
tomar su función de densidad eligiendo valores para sus parámetros.
Definición: Distribución Beta
Una variable aleatoria continua X tiene distribución Beta si su densidad de
probabilidad está dada por
-1 -1
0 x 1
x
( )
x (1-x) ,
( ) ( )
f(x)
0,
α β
< <
Γ α + β


Γ α Γ β
= 

 para otro
En donde α>0, β>0 son los parámetros para este modelo. Γ( ) es la función Gamma
El dominio de la distribución Beta es el intervalo (0, 1), pero puede adaptarse a otros intervalos
finitos mediante una sustitución de la variable aleatoria.

143
Gráfico de la distribución Beta para algunos valores α, β
7.7.1 MEDIA Y VARIANZA PARA LA DISTRIBUCIÓN BETA
Definición: Media y Varianza para la Distribución Beta
Si X es una variable aleatoria continua con distribución Beta, entonces
Media: µ = E(X) =
α
α + β
Varianza: σ2
= V(X) = 2
( ) ( 1)
αβ
α + β α + β +
Se omite la demostración, la cual se fundamenta en la definición de la función Beta.
Ejemplo
Un distribuidor de cierto producto llena su bodega al inicio de cada semana. La proporción del
artículo que vende semanalmente se puede modelar con la distribución Beta con α=4, β=2
a) Encuentre la probabilidad que en alguna semana venda al menos 90%
b) Encuentre el valor esperado de la proporción de venta semanal
Solución
Sea X: Proporción del artículo que vende semanalmente (variable aleatoria continua)
Su densidad de probabilidad es
f(x) = 4 1 2 1
(4 2)
x (1 x)
(4) (2)
− −
Γ +
−
Γ Γ
= 20x3
(1-x), 0<x<1
a) P(x≥0.9) =
1
3
0.9
20 x (1 x)dx
−
∫ = 0.082 = 8.2%. Es el área marcada en el siguiente gráfico
b) µ = E(X) =
α
α + β
=
4
4 2
+
= 2/3 (vende en promedio 2/3 del producto cada semana)

144
7.8 DISTRIBUCIÓN DE ERLANG
La función de densidad de la distribución de Erlang es igual a la distribución gamma, pero el
parámetro α debe ser entero positivo.
Definición: Distribución de Erlang
Una variable aleatoria continua X tiene distribución de Erlang si su densidad de probabilidad
está dada por
.
1 x /
1
x e , x 0
( )
f(x)
0, x
α− − β
α

>

β Γ α
= 

 para otro
α>0, β>0 son los parámetros para este modelo, α entero positivo
7.8.1 MEDIA Y VARIANZA PARA LA DISTRIBUCIÓN DE ERLANG
Definición: Media y Varianza para la Distribución de Erlang
Si X es una variable aleatoria continua con distribución de Erlang, entonces
Media: µ = E(X) = αβ, Varianza: σ2
= V(X) = αβ2

145
7.9 DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO
Este modelo es importante en el estudio de la Estadística Inferencial. Se obtiene de la
distribución Gamma con α = ν/2, β = 2
Definición: Distribución Ji-cuadrado
Una variable aleatoria continua X tiene distribución Ji-cuadrado si su densidad de probabilidad
está dada por
1
x / 2
2
/ 2
1
x e , x 0
f(x) 2 ( /2)
0, x
ν
−
−
ν

>

= Γ ν


 para otro
Esta distribución tiene un parámetro: ν > 0 y se denomina número de grados de libertad.
Gráfico de la distribución Ji-cuadrado con ν = 5
7.9.1 MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO
Definición: Media y Varianza para la Distribución Ji-cuadrado
Si X es una variable aleatoria continua con distribución Ji-cuadrado, entonces
Media µ = E(X) = ν, Varianza: σ2
= V(X) = 2ν
Se obtienen directamente de la distribución Gamma con α = ν/2, β = 2

146
7.9.2 EJERCICIOS
1) Si la proporción anual de declaraciones incorrectas del impuesto sobre la renta
entregadas al fisco puede considerarse como una variable aleatoria que tiene una
distribución Beta con α=2 y β=9.
a) Calcule la probabilidad que en un año cualquiera haya mas de 40% de
declaraciones incorrectas
b) Encuentre la media de esta distribución, es decir, la proporción de
declaraciones que en promedio serán incorrectas
2) Suponga que el tiempo de servicio en horas de un semiconductor es una variable
aleatoria que tiene distribución de Weibull con α=0.025, β=0.5
a) Calcule el tiempo esperado de duración del semiconductor
b) Calcule la probabilidad que este semiconductor esté funcionando después de
4000 horas de uso
3) Sea t una variable aleatoria continua que representa el tiempo de falla de un equipo.
Demuestre que si t tiene distribución exponencial, la razón de falla es constante.
4) Durante cada turno de trabajo de 8 horas, la proporción de tiempo que una máquina
está en reparación tiene distribución Beta con α=1 y β=2.
a) Determine la probabilidad que la proporción del turno que la máquina está en
reparación se menor que 2 horas
b) Si el costo de reparación es $100 más $10 por la duración al cuadrado,
encuentre el valor esperado del costo de reparación
MATLAB
Distribución de Weibull
>> p=weibcdf(300,0.1,0.5) Distribución acumulada Weibull , α = 0.1, β = 0.5
p = Calcular P(X≤300)
0.8231
>> [mu, var]=weibstat(0.1, 0.5) Media y varianza distr. Weibull, α = 0.1, β = 0.5
mu = 200.0000
var = 2.0000e+005
>> x=0:0.1:5;
>> f=weibpdf(x,0.8,1.5); Puntos de la distr. Weibull, α = 0.8, β = 1.5
>> plot(x,f,'k'), grid on Gráfico de la distribución Weibull
>> legend('Weibull - alfa = 0.8, beta = 1.5')

147
Distribución beta
>> p=betacdf(0.9, 4, 2) Distribución acumulada beta, α = 4, β = 2
p = Calcular P(X≤0.9)
0.9185
>> x=betainv(0.9185, 4, 2) Distribución beta inversa
x = Calcular x tal que F(x) = 0.9185, α = 4, β = 2
0.9000
>> [mu, var] = betastat(4, 2) Media y varianza distr. beta, α = 4, β = 2
mu = 0.6667
var = 0.0317
>> x=0: 0.05: 1;
>> f=betapdf(x, 4, 2); Puntos de la distr. beta, α = 4, β = 2
>> plot(x, f, 'k'), grid on Gráfico de la distribución beta
>> legend('Distribucion beta, alfa=4, beta=2')
Distribución ji-cuadrado
>> p=chi2cdf(2,5) Distribución acumulada ji-cuadrado, ν = 5
p = Calcular P(X≤2)
0.1509
>> [mu, var]=chi2stat(5) Media y varianza distr. ji-cuadrado, ν = 5
mu = 5
var = 10
>> x=0:0.5:20;
>> f=chi2pdf(x,5); Puntos de la distr. ji-cuadrado, ν = 5
>> plot(x,f,'k'), grid on Gráfico de la distribución ji-cuadrado
>> legend('Distribucion ji-cuadrado, nu=5')

148
7.10 DISTRIBUCIÓN EMPÍRICA ACUMULADA
Esta distribución es un modelo matemático que se asigna a un conjunto de datos cuando se
desconoce si pertenecen a un modelo de probabilidad específico. La Distribución Empírica
Acumulada es una función de probabilidad que asocia cada valor de la variable x con la
proporción de datos menores que el valor de x dado
Definición: Distribución Empírica Acumulada
Sean
x1, x2, . . ., xn , datos obtenidos en una muestra.
Si se escriben estos datos en orden creciente:
x(1), x(2), . . ., x(n)
Se define la Distribución Empírica Acumulada
F(x) =
(1)
(i) (i 1)
(n)
0, x x
i
, x x x
n
1, x x
+
<



≤ <


≥


, x∈ℜ
Ejemplo. Dados los siguientes datos de una muestra: 4, 3, 8, 6, 5
Encuentre y grafique la distribución Empírica
Solución
Datos ordenados: 3, 4, 5, 6, 8 (n=5)
Su distribución Empírica Acumulada es:
F(x) =
0, x 3
1/5, 3 x 4
2/5, 4 x 5
3/5, 5 x 6
4 /5, 6 x 8
1, x 8
<

 ≤ <

 ≤ <


≤ <

 ≤ <

≥


Gráfico de la distribución Empírica Acumulada

149
7.10.1 EJERCICIOS
1) Grafique la distribución empírica correspondiente a los siguientes datos
14, 5, 8, 3, 8, 7, 11, 13, 14, 3
2) Calcule la media aritmética, mediana, varianza, y distribución empírica de la siguiente
muestra: 4, 8, 2, 7, 10, 8, 4, 9, 7
MATLAB
Gráfico de la distribución empírica y la distribución normal acumuladas
>> x=[3 4 5 6 8]; Vector con datos de una muestra
>> cdfplot(x) Gráfico de la distribución empírica acumulada
>> m=mean(x); Media muestral
>> s=std(x); Desviación estándar muestral
>> z=0: 0.1: 10; Puntos para la distribución normal acumulada
>> hold on Para superponer gráficos
>> f=normcdf(z, m, s); Valores de la distribución normal acumulada para los puntos
>> plot(z, f, '.k') Gráfico de la distribución normal acumulada, puntos en negro
>> legend('Distribucion empirica','Distribucion normal',2) Colocar rótulos arriba izquierda
El número 2 indica
que los rótulos se
coloquen arriba a la
izquierda

150
8 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONJUNTA
Algunos experimentos estadísticos pueden incluir más de una variable aleatoria las cuales
actúan en forma conjunta, y es de interés determinar la probabilidad correspondiente a los
diferentes valores que estas variables puedan tomar.
8.1 CASO DISCRETO BIVARIADO
8.1.1 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONJUNTA
Definición: Distribución de Probabilidad Conjunta
Sean X, Y: variables aleatorias discretas.
x, y: valores que pueden tomar X, Y
Su función de distribución de probabilidad conjunta se escribe f(x,y)
y describe el valor de probabilidad en cada punto P(X=x, Y=y)
Esta función establece correspondencia de (x,y) a (0,1) y satisface las siguientes propiedades
1) ∀x∀y f(x,y) ≥ 0 f no puede tomar valores negativos
2)
x y
f(x,y) 1
=
∑∑ La suma de todos los valores de f debe ser 1
3) P(X=x, Y=y) = f(x,y) f debe ser un modelo para calcular probabilidad
8.1.2 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULADA CONJUNTA
Definición: Distribución de Probabilidad Acumulada Conjunta
F(x,y) = P(X≤x, Y≤y) =
s x t y
f(s,t)
≤ ≤
∑ ∑ , -∞ < x, y < ∞
Ejemplo
Suponga que X, Y son variables aleatorias discretas cuya función de distribución de
probabilidad está descrita en el siguiente cuadro:
X
a) Verifique que f(x, y) cumple las propiedades 1) y 2)
Por simple observación en el cuadro con los valores de f(x,y)
b) Determine la probabilidad que X=0 y que Y=2
P(X=0, Y=2) = f(0, 2) = 0.3
c) Calcule la probabilidad que X>0 y que Y=1
P(X>0, Y=1) = f(1,1) + f(2,1) = 0.2 + 0.05 = 0.25
Ejemplo
Determine el valor de k para que la función
f(x,y) = kxy, x = 1, 2, 3; y = 1, 2
Pueda usarse como una función de probabilidad conjunta con las variables X, Y
0 1 2
1 0.1 0.2 0.05
2 0.3 0.1 0.25
Y
Valores
de f(x, y)

151
Si es una función de probabilidad debe cumplir la propiedad
x y
f(x,y) 1
=
∑∑
Tabulación de los valores de f(x, y)
x y f(x,y)
1 1 k
1 2 2k
2 1 2k
2 2 4k
3 1 3k
3 2 6k
Entonces:
3 2
x 1y 1
f(x,y)
= =
∑∑ = k + 2k + 2k + 4k + 3k + 6k = 18k = 1 ⇒ k = 1/18
Así, la función de distribución de probabilidad conjunta es
f(x, y) =
1
18
xy, x=1, 2, 3; y=1, 2; cero para otros (x, y)
Se puede expresar en forma tabular
X
Una representación gráfica en tres dimensiones:
8.1.3 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD MARGINAL
Cuando se estudian más de una variable aleatoria en forma conjunta, puede ser de interés
conocer la distribución de probabilidad de las variables aleatorias individualmente. Estas
funciones se denominan distribuciones marginales.
Definiciones: Distribuciones de Probabilidad Marginal con Variables Aleatorias Discretas
Sean X,Y: Variables aleatorias discretas y
f(x,y): Función de probabilidad conjunta.
Entonces
g(x) =
y
f(x,y)
∑ Distribución marginal de X
h(y) =
x
f(x,y)
∑ Distribución marginal de Y
1 2 3
1 1/18 2/18 3/18
2 2/18 4/18 6/18
Y

152
Las distribuciones marginales g(x), h(y) son funciones de probabilidad de las variables
aleatorias X, Y separadamente. Estas funciones deben cumplir las propiedades de una función
de probabilidad y pueden ser usadas para calcular probabilidad para cada variable.
1) g(x)≥0, h(y)≥0, x,y∈ℜ
2)
y x
g(x) 1, h(y) 1
= =
∑ ∑
3) P(X=x) = g(x), P(Y=y) = h(y)
Ejemplo.
probabilidad conjunta está descrita en el siguiente cuadro
X
0 1 2
1 0.1 0.2 0.05
2 0.3 0.1 0.25
a) Encuentre las distribuciones marginales tabularmente
Se suman los valores de filas y columnas y se escriben en los márgenes. Estos valores
representan la probabilidad de una variable, incluyendo todos los valores de la otra variable.
X
0 1 2 h(y)
1 0.1 0.2 0.05 0.35
2 0.3 0.1 0.25 0.65
g(x) 0.4 0.3 0.3 1
b) Calcule P(X=1)
P(X=1) = g(1) = 0.3
c) Calcule P(Y=2)
P(Y=2) = h(2) = 0.65
Ejemplo
Sean X, Y variables aleatorias con la siguiente función de probabilidad conjunta
f(x,y) =
1
18
xy, x = 1, 2, 3; y = 1, 2
a) Encuentre las distribuciones marginales analíticamente
2 2
y y 1 y 1
1 x x x
g(x) f(x,y) xy y (1 2)
18 18 18 6
= =
= = = = + =
∑ ∑ ∑ , x = 1, 2, 3
3 3
x x 1 x 1
1 y y y
h(y) f(x,y) xy x (1 2 3)
18 18 18 3
= =
= = = = + + =
∑ ∑ ∑ , y = 1, 2
b) Calcule P(X=3), P(Y=1)
P(X=3) = g(3) = 1/2
P(Y=1) = h(1) = 1/3
En los ejemplos anteriores se puede verificar que las distribuciones marginales g(x) y h(y)
cumplen las propiedades 1), 2), tabularmente o analíticamente.
Y
Y

153
8.1.4 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONDICIONAL
conocer la distribución de probabilidad de cada variable aleatoria dado que la otra variable
aleatoria toma un valor específico. Estas funciones se denominan Distribuciones Condicionales
Recordemos la fórmula de probabilidad condicional para eventos,
P(A|B) =
P(A B)
P(B)
∩
, P(B) ≠ 0
Definamos los eventos A, B de la siguiente manera
A: X=x
B: Y=y
Siendo X, Y variables aleatorias discretas con distribución de probabilidad conjunta f(x,y),
Entonces,
P(X=x|Y=y) =
P(X x,Y y)
P(Y y)
= =
=
Que se puede expresar con la notación establecida para las distribuciones conjuntas:
f(x|y) =
f(x,y)
h(y)
La función f(x|y) también satisface las propiedades de las funciones de probabilidad
Definiciones: Distribuciones de Probabilidad Condicional
Sean X, Y: Variables aleatorias discretas
f(x, y): Distribución de probabilidad conjunta
Entonces,
f(x|y) =
f(x,y)
h(y)
Es la distribución condicional de X dado que Y=y
f(y|x) =
f(x,y)
g(x)
Es la distribución condicional de Y dado que X=x
Las distribuciones condicionales f(x|y), f(y|x) son funciones de probabilidad de X, Y. Estas
funciones cumplen las propiedades establecidas y pueden usarse para calcular probabilidad
condicional.
1) f(x|y) ≥ 0, x∈ℜ, f(y|x) ≥ 0, y∈ℜ
2)
x
f(x | y) 1
=
∑ ,
y
f(y | x) 1
=
∑
Ejemplo.
probabilidad está descrita en el siguiente cuadro:
X
0 1 2 h(y)
1 0.1 0.2 0.05 0.35
2 0.3 0.1 0.25 0.65
g(x) 0.4 0.3 0.3 1
Calcule la probabilidad condicional P(X=2 | Y=1)
P(X=2 | Y=1) = f(2 | 1) =
f(2,1) 0.05
h(1) 0.35
= = 0.1429
Y

154
Ejemplo
Sean X, Y variables aleatorias con la siguiente función de probabilidad conjunta
f(x,y) =
1
18
xy, x = 1, 2, 3; y = 1, 2; cero para otro (x, y)
a) Encuentre las distribuciones condicionales, analíticamente
Previamente se obtuvieron las distribuciones marginales:
g(x) x /6
= , x = 1, 2, 3
h(y) y/3
= , y = 1, 2
Por lo tanto, para este problema:
1
xy
f(x,y) x
18
f(x | y)
y
h(y) 6
3
= = = Significa que X no depende de Y
1
xy
f(x,y) y
18
f(y | x)
x
g(x) 3
6
= = = Significa que Y no depende de X
b) Calcule la probabilidad condicional P(X=1 | Y=2)
P(X=x | Y=y) =
x
f(x | y)
6
= ⇒ P(X=1 | Y=2) = f(1 | 2) = 1/6
8.1.5 VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS INDEPENDIENTES
Definición: Variables Aleatorias Discretas Independientes
Se dice que X, Y son variables aleatorias discretas estadísticamente
independientes si y solo si f(x,y) = g(x) h(y), en cada punto (x, y).
Demostración
Sean X,Y variables aleatorias discretas y f(x,y) su distribución de probabilidad conjunta.
Su distribución condicional f(x|y) es:
f(x|y) =
f(x,y)
h(y)
Su distribución marginal g(x) es:
g(x) =
y
f(x,y)
∑
Sustituimos la distribución condicional en la distribución marginal:
g(x) =
y
f(x | y)h(y)
∑
Supongamos que f(x|y) no depende de y. Esto significa que la expresión f(x|y) no contendrá
a la variable y. Por lo tanto, puede salir de la sumatoria:
g(x) = f(x|y)
y
h(y)
∑
Pero
y
h(y) 1
=
∑ , pues h(y) es también una función de distribución de probabilidad .
Entonces f(x|y) = g(x)
Sustituyendo en la distribución condicional en el inicio, se obtiene f(x,y) = g(x) h(y)

155
Ejemplo
Sean X, Y variables aleatorias discretas cuya función de distribución de probabilidad conjunta
es f(x,y) =
1
18
xy, x=1, 2, 3; y=1, 2
Pruebe que X, Y son variables aleatorias estadísticamente independientes
Solución
Se tienen las distribuciones marginales
x
g(x)
6
= , x = 1, 2, 3
y
h(y)
3
= , y = 1, 2
Entonces
g(x)h(y) =
x y
( )( )
6 3
=
1
18
xy = f(x,y), x = 1, 2, 3; y = 1, 2
Por lo tanto, X, Y son variables aleatorias estadísticamente independientes.
Siendo X, Y variables aleatorias estadísticamente independientes se cumple también que
1
xy
f(x,y) x
18
f(x | y)
y
h(y) 6
3
= = = = g(x),
1
xy
f(x,y) y
18
f(y | x)
x
g(x) 3
6
= = = = h(y)
8.2 CASO DISCRETO TRIVARIADO
Las definiciones para distribuciones bivariadas pueden extenderse a más variables.
El siguiente ejemplo es una referencia para los conceptos relacionados
Ejemplo
Sea V un vector aleatorio discreto cuyos componentes son las variables aleatorias X, Y, Z
con distribución de probabilidad conjunta
2
kx (y z); x 1,2,3;y 3,4;z 1,2
f(x,y,z)
0; para el resto de x,y,z
 − = = =
= 

a) Tabule f(x,y,z) para cada valor de los componentes
Primero debe determinarse k con la propiedad de las funciones de probabilidad:
3 4 2
x 1 y 3 z 1
f(x,y,z) 1
= = =
=
∑∑∑
3 4 2 3 4 2
2 2
x 1 y 3 z 1 x 1 y 3 z 1
2 2 2
kx (y z) k x (y z)
1
k[(1 2 3 )((3 1) (3 2) (4 1) (4 2))] k(14)(8) 1 k
112
= = = = = =
−
= −
=
+ + − + − + − + − = = ⇒ =
∑∑∑ ∑ ∑∑
Entonces la distribución conjunta es:
2
1
x (y z); x 1,2,3;y 3,4;z 1,2
f(x,y,z) 112

− = = =

= 



156
Tabulación
x y z f(x,y,z)
1 3 1 2/112
1 3 2 1/112
1 4 1 3/112
1 4 2 2/112
2 3 1 8/112
2 3 2 4/112
2 4 1 12/112
2 4 2 8/112
3 3 1 18/112
3 3 2 9/112
3 4 1 27/112
3 4 2 18/112
b) Encuentre las distribuciones marginales univariadas
Analíticamente, dando por entendido el dominio de cada función
4 2 4 2 4 2
2 2 2
y 3 z 1 y 3 z 1 y 3 z 1
1 1 8
f(x) f(x,y,z) x (y z) x (y z) x
112 112 112
= = = = = =
= = −
= −
=
∑∑ ∑∑ ∑∑
3 2 3 2
2 2
x 1 z 1 x 1 z 1
1 1 1 14
f(y) x (y z) x (y z) (14)(y 1 y 2) (2y 3)
112 112 112 112
= = = =
= −
= −
= − + −
= −
∑∑ ∑ ∑
3 4 3 4
2 2
x 1 y 3 x 1 y 3
1 1 14
f(z) x (y z) x (y z) ( 2z 7)
112 112 112
= = = =
= − = − = − +
∑∑ ∑ ∑
Tabularmente, sumando el contenido de la tabla de la distribución conjunta
c) Encuentre las distribuciones marginales bivariadas
2
2 2 2
2 2
z 1 z 1 z 1
1 1 x
f(x,y) f(x,y,z) x (y z) x (y z) (2y 3)
112 112 112
= = =
= = −
= −
= −
∑ ∑ ∑
2
4 4 4
2 2
y 3 y 3 y 3
1 1 x
f(x,z) f(x,y,z) x (y z) x (y z) ( 2z 7)
112 112 112
= = =
= = −
= −
= − +
∑ ∑ ∑
3 3 3
2 2
x 1 x 1 x 1
1 1 14
f(y,z) f(x,y,z) x (y z) (y z) x (y z)
112 112 112
= = =
= = −= − = −
∑ ∑ ∑
Tabularmente, sumando el contenido de la tabla de la distribución conjunta
f(x,y)
x
y
1 2 3
3 3/112 12/112 27/112
4 5/112 20/112 45/112
f(x,z)
x
z
1 2 3
1 5/112 20/112 45/112
2 3/112 12/112 27/112
x 1 2 3
f(x) 8/112 32/112 72/112
y 3 4
f(y) 42/112 70/112
z 1 2
f(z) 70/112 42/112

157
f(y,z)
y
z
3 4
1 28/112 42/112
2 14/112 28/112
Se puede observar, analítica o tabularmente, que
f(x,y) = f(x) f(y)
f(x,z) = f(x) f(z)
f(y,z) ≠ f(y) f(z)
Entonces,
X, Y son variables aleatorias estadísticamente independientes
X, Z son variables aleatorias estadísticamente independientes
Y, Z son variables aleatorias estadísticamente no independientes
d) Encuentre las distribuciones condicionales
2
2 2
x
(2y 3)
f(x,y) x 8x
112
f(X x | Y y) f(x | y)
14
f(y) 14 112
(2y 3)
112
−
= = = = = = =
−
⇒ f(x|y) = f(x) pues X, Y son estadísticamente independientes
También se puede verificar que
f(x|z) = f(x) pues X, Z son estadísticamente independientes
Mientras que para f(y| z), se debe encontrar la relación
14
(y z)
f(y,z) y z
112
f(y | z)
14
f(z) 2z 7
( 2z 7)
112
−
−
= = =
− +
− +
Tabularmente:
y f(y|z=1) f(y|z=2)
3 2/5 1/3
4 3/5 2/3
8.2.1 EJERCICIOS
Si la distribución de probabilidad conjunta de las variables aleatorias discretas X, Y
está dada por
1
f(x,y) (x y)
30
= + , x=0, 1, 2, 3; y=0, 1, 2
a) Verifique que es una función de probabilidad
b) Construya una tabla con todos los valores de probabilidad
c) Obtenga tabularmente la distribución marginal de X
d) Exprese mediante una fórmula la distribución marginal de Y
e) Obtenga la distribución condicional de X dado que Y=1
f) Obtenga la distribución condicional de Y dado que X=2
g) Determine si las dos variables aleatorias son estadísticamente independientes

158
MATLAB
Manejo simbólico de una distribución trivariada continua (comparar con el ejemplo)
>> syms x y z Definición de variables simbólicas X, Y, Z
>> f=x*(y+z); Función de densidad trivariada f(x,y,z)
>> p=int(int(int(f,y,0,z),z,0,1), x,0,2) Verificar que f es función de densidad
p =
1
>> p=int(int(int(f,y,0.1,0.4),z,0.5,0.8), x,1.2,1.8) Calcular P(0.1<Y<0.4, 0.5<Z<0.8,1.2<Z<1.8)
p =
729/10000
>> fx=int(int(f,y,0,z),z,0,1) Densidad marginal f(x)
fx =
1/2*x
>> fy=int(int(f,x,0,2),z,y,1) Densidad marginal f(y)
fy =
2*y*(1-y)+1-y^2
>> fy=expand(fy) Expansión algebraica
fy =
2*y-3*y^2+1
>> fz=int(int(f,y,0,z),x,0,2) Densidad marginal f(z)
fz =
3*z^2
>> fxy=int(f,z,y,1) Densidad marginal f(x,y)
fxy =
x*y*(1-y)+1/2*x*(1-y^2)
>> fxy=expand(fxy)
fxy =
x*y-3/2*x*y^2+1/2*x
>> fxz=int(f,y,0,z) Densidad marginal f(x,z)
fxz =
3/2*x*z^2
>> fyz=int(f,x,0,2) Densidad marginal f(y,z)
fyz =
2*y+2*z
>> r=expand(fxy)==expand(fx*fy) Verificar que X, Y son variables independientes
r =
1
>> r=expand(fxz)==expand(fx*fz) Verificar que X, Z son variables independientes
r =
1
>> r=expand(fyz)==expand(fy*fz) Verificar que Y, Z no son var. independientes
r =
0
>> p=int(fx, 1.2, 1.8) Calcular la marginal P(1.2<X<1.8)
p =
9/20
>> p=int(int(fxy, x, 1.2, 1.8),y,0.2, 0.8) Calcular la marginal P(1.2<X<1.8, 0.2<Y<0.8)
p =
783/2500

159
8.3 CASO CONTINUO BIVARIADO
Algunos experimentos estadísticos pueden incluir más de una variable aleatoria contínua, las
cuales pueden actuar en forma conjunta, y es de interés determinar la probabilidad
correspondiente a los valores que estas variables puedan tomar.
8.3.1 DENSIDAD DE PROBABILIDAD CONJUNTA
Definición: Función de Densidad de Probabilidad Conjunta
Sean X, Y: Variables aleatorias continuas.
Su función de densidad de probabilidad conjunta se escribe f(x,y)
Esta función debe satisfacer las siguientes propiedades
1) f(x,y) ≥ 0, x∈ℜ, y∈ℜ
2) f(x,y)dxdy 1
∞ ∞
−∞ −∞
=
∫ ∫
La función de densidad de probabilidad conjunta puede usarse para calcular probabilidad
3) P(a≤X≤b, c≤Y≤d) = ∫∫
d
c
b
a
dxdy
y
x
f )
,
(
La función de densidad de probabilidad de dos variables aleatorias continuas X, Y es una
superficie en el espacio. El volumen debajo de esta superficie sobre el plano X-Y es igual a 1.
La probabilidad P(a≤X≤b, c≤Y≤d) es igual a la porción del volumen debajo de la superficie
f(x,y) y sobre el rectángulo a≤X≤b, c ≤Y≤d
8.3.2 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULADA CONJUNTA
Definición: Distribución de Probabilidad Acumulada Conjunta
P(X≤x, Y≤y) = F(x,y) =
y x
f(u,v)dudv
−∞ −∞
∫ ∫ -∞ < x, y < +∞

160
Ejemplo.
Suponga que el tiempo semanal de mantenimiento de una máquina depende de dos variables
aleatorias continuas medidas en horas:
X: duración del mantenimiento mecánico
Y: duración el mantenimiento eléctrico
Suponga que la densidad de probabilidad conjunta es
f(x,y) =
2
(x 2y), 0 x, y 1
3
0, otros x, y

+ ≤ ≤




a) Verifique que f(x, y) es una función de densidad de probabilidad
1) f(x,y)≥0, x∈ℜ, y∈ℜ.
2) f(x,y)dxdy 1
∞ ∞
−∞ −∞
=
∫ ∫
1 1 1 1
0 0 0 0
2 2
f(x,y)dxdy (x 2y)dxdy (x 2y)dxdy
3 3
∞ ∞
−∞ −∞
= + = +
∫ ∫ ∫∫ ∫∫
=
1 1
2
1 2 1
0 0
0 0
2 x 2 1 2 y
[ 2xy] dy ( 2y)dy [ y ] 1
3 2 3 2 3 2
+ = + = + =
∫ ∫
b) Calcule la probabilidad que en alguna semana, el mantenimiento mecánico dure menos de
15 minutos y el mantenimiento eléctrico dure más de 30 minutos
P(X≤1/4, Y≥1/2) =
1 1/ 4
1/ 2 0
2
(x 2y)dxdy
3
+
∫ ∫ = 13/96
8.3.3 DENSIDAD DE PROBABILIDAD MARGINAL
conocer la distribución de probabilidad de las variables aleatorias individualmente. Estas
funciones se denominan densidades marginales
Definiciones: Densidades de Probabilidad Marginal
Sean X,Y: Variables aleatorias continuas
f(x,y): Función de densidad de probabilidad conjunta.
Entonces,
g(x) = f(x) = f(x,y)dy
∞
−∞
∫ Densidad de probabilidad marginal de X
h(y) = f(y) = f(x,y)dx
∞
−∞
∫ Densidad de probabilidad marginal de Y
Para cada variable la densidad marginal se obtiene integrando la función de probabilidad sobre
la otra variable.
Las densidades marginales g(x), h(y) son funciones de probabilidad de X, Y en forma
separada. Estas funciones deben cumplir las propiedades respectivas:
1) g(x) ≥ 0, x∈ℜ, h(y )≥ 0, y∈ℜ
2) g(x)dx 1
∞
−∞
=
∫ , h(y)dy 1
∞
−∞
=
∫
Las densidades marginales pueden usarse para calcular probabilidad de cada variable.

161
Ejemplo.
En el problema del mantenimiento de la máquina, en donde X, Y es tiempo en horas
a) Encuentre las densidades marginales
g(x) =
1
1
2
0
0
2 2 2
f(x,y)dy (x 2y)dy xy y (x 1),
3 3 3
∞
−∞
 
= + = + = +
 
∫ ∫ 0 ≤ x ≤ 1
h(y) =
1
1 2
0 0
2 2 x 1 4y
f(x,y)dx (x 2y)dx 2yx
3 3 2 3 3
∞
−∞
 
= + = + =
+
 
 
∫ ∫ , 0 ≤ y ≤ 1
b) Calcule P(0.25 ≤ X ≤ 0.75)
P(0.25 ≤ X ≤ 0.75) =
0.75 0.75
0.25 0.25
2
g(x)dx (x 1)dx 0.5
3
= + =
∫ ∫
8.3.4 DENSIDAD DE PROBABILIDAD CONDICIONAL
conocer la distribución de probabilidad de cada variable aleatoria dado que la otra variable
aleatoria tiene un valor específico. Estas funciones se denominan densidades condicionales.
Recordemos la fórmula de probabilidad condicional para eventos
P(A|B) =
P(A B)
, P(B) 0
P(B)
∩
≠
Definamos los eventos A, B de la siguiente manera
A: X ∈ Rx
B: Y ∈ Ry
Siendo X, Y variables aleatorias continuas con distribución de probabilidad conjunta f(x,y),
mientras que Rx, Ry son regiones arbitrarias.
Entonces,
P(X ∈ Rx|Y∈ Ry) =
x y
y
P(X R ,Y R )
P(Y R )
∈ ∈
∈
Que se puede expresar con la notación establecida para las distribuciones conjuntas:
f(x|y) =
f(x,y)
h(y)
La función f(x|y) también satisface las propiedades de las funciones de probabilidad
Definiciones: Densidades de Probabilidad Condicional
Sean X, Y: Variables aleatorias continuas
f(x, y): Densidad de probabilidad conjunta
Entonces,
f(x|y) =
f(x,y)
h(y)
Es la densidad condicional de X dada h(y)
f(y|x) =
f(x,y)
g(x)
Es la densidad condicional de Y dada g(x)
Las densidades condicionales f(x|y), f(y|x) son funciones de probabilidad. Estas funciones
cumplen las propiedades establecidas y pueden usarse para calcular probabilidad condicional.
1) f(x|y) ≥ 0, x∈ℜ, f(y|x) ≥ 0, y∈ℜ
2) f(x | y)dx 1
∞
−∞
=
∫ , f(y | x)dy 1
∞
−∞
=
∫

162
Ejemplo.
En el problema del mantenimiento de la máquina, en donde X, Y es tiempo en horas
a) Encuentre la densidad condicional f(y|x)
f(y|x) =
2
(x 2y)
f(x,y) x 2y
3
2
g(x) x 1
(x 1)
3
+
+
= =
+
+
, 0 ≤ x, y ≤ 1
b) Calcule la probabilidad que el mantenimiento eléctrico Y dure menos de 15 minutos dado
que el mantenimiento mecánico X duró 30 minutos
P(Y ≤ 0.25|X = 0.5) =
0.25 0.25
0 0
0.5 2y
f(y | 0.5)dy dy
0.5 1
+
=
+
∫ ∫ = 0.125
8.3.5 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS INDEPENDIENTES
Definición: Variables Aleatorias Continuas Independientes
Se dice que X, Y son variables aleatorias continuas estadísticamente
independientes si y solo si f(x,y) = g(x) h(y) en el dominio de X, Y
Demostración
Sean X,Y variables aleatorias continuas y f(x,y) su densidad de probabilidad conjunta.
La densidad condicional f(x|y) es:
f(x|y) =
f(x,y)
h(y)
Y la densidad marginal g(x) es:
g(x) = f(x,y)dy
∞
−∞
∫
Sustituyendo la densidad condicional en la densidad marginal:
g(x) = f(x | y)h(y)dy
∞
−∞
∫
Supongamos que f(x|y) no depende de y. Esto significa que la expresión f(x|y) no contendría
a la variable y. Por lo tanto, puede salir del integral:
g(x) = f(x|y) h(y)dy
∞
−∞
∫
Pero h(y)dy 1
∞
−∞
=
∫ , pues h(y) es también una función de densidad de probabilidad .
Entonces g(x) = f(x|y).
Sustituyendo en la densidad condicional inicial se obtiene f(x,y) = g(x) h(y)

163
Ejemplo
Sea [X, Y] un vector aleatorio bivariado cuya densidad de probabilidad conjunta es:
f(x,y) = kxy, 0 ≤ x, y ≤ 1, cero para otro (x,y)
a) Encuentre el valor de k para que sea una función de probabilidad
El dominio: 0 ≤ x, y ≤ 1 es equivalente a: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤1
Se debe cumplir que
1 1
0 0
kxydxdy 1
=
∫ ∫
2 2
1 1 1 1
1 1
0 0
0 0 0 0
x k k y k
k kxydxdy k [ ] ydy ydy [ ] 1 k 4
2 2 2 2 4
= = = = = ⇒ =
∫ ∫ ∫ ∫
⇒ f(x,y) = 4xy, 0 ≤ x, y ≤ 1, cero para otro (x,y)
b) Calcule la probabilidad P(X < 0.5, Y > 0.75)
P(X < 0.5, Y > 0.75) =
2
1 0.5 1 1
0.5
0
0.75 0 0.75 0.75
x 1
4xydxdy 4 [ ] ydy ydy 0.1094
2 2
= = =
∫ ∫ ∫ ∫
c) Encuentre las densidades marginales
2
1 1 1
0
0 0
y
f(x) f(x,y)dy 4xydy 4x[ ] 2x, 0 x 1
2
= = = = ≤ ≤
∫ ∫
2
1 1 1
0
0 0
x
f(y) f(x,y)dx 4xydx 4y[ ] 2y, 0 y 1
2
= = = = ≤ ≤
∫ ∫
d) Determine si X, Y son variables aleatorias independientes
Se debe cumplir que f(x,y) = f(x)f(y) para todo (x,y)
f(x,y) = 4xy, f(x)f(y) = (2x)(2y) = 4xy = f(x, y) ⇒ X, Y son independientes
e) Encuentre las densidades condicionales
f(x|y) = f(x,y)/f(y) = 4xy/2y=2x = f(x) Resultado previsto pues X,Y son independientes
0 ≤ x ≤ 1
f(y|x) = f(x,y)/f(x)=4xy/2x=2y = f(y) Resultado previsto pues X,Y son independientes
0 ≤ y ≤1
Ejemplo
Sea [X, Y] un vector aleatorio bivariado cuya densidad de probabilidad conjunta es:
f(x,y) = kxy, 0 ≤ x ≤ y ≤ 1, cero para otro (x,y)
a) Encuentre el valor de k para que f(x, y) sea una función de probabilidad
El dominio: 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 es equivalente a: 0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 1
Se debe cumplir que
1 y
0 0
kxydxdy 1
=
∫ ∫
2 4
1 y 1 1
y 3 1
0
0
0 0 0 0
x k k y k
kxydxdy k [ ] ydy y dy [ ] 1 k 8
2 2 2 4 8
= = = = = ⇒ =
∫ ∫ ∫ ∫
⇒ f(x,y) = 8xy, 0 ≤ x ≤ y ≤ 1, cero para otro (x,y)
b) Encuentre las densidades marginales
,
2
1 1 1 3
x
x x
2
y y y 3
0
0 0
y
f(x) f(x,y)dy 8xydy 8x[ ] 4(x x ), 0 x 1
2
x
f(y) f(x,y)dx 8xydx 8y[ ] 4y 0 y 1
2
= = = = − ≤ ≤
= = = = ≤ ≤
∫ ∫
∫ ∫

164
c) Determine si X, Y son variables aleatorias independientes
Se debe cumplir que f(x,y) = f(x)f(y) para todo (x,y)
f(x,y) = 8xy, f(x)f(y) = 4(x – x3
)(4y3
) ≠ 8xy ⇒ X, Y no son independientes
c) Encuentre las densidades condicionales
f(x|y) = f(x,y)/f(y) = 3 2
8xy 2x
4y y
= , 0 ≤ x ≤ y ≤ 1, f(y) ≠ 0
f(y|x) = f(x,y)/f(x) = 3 2
8xy 2y
4(x x ) 1 x
=
− −
, 0 ≤ x ≤ y ≤ 1, f(x) ≠ 0
8.4 CASO CONTINUO TRIVARIADO
El siguiente ejemplo es una referencia para revisar los conceptos relacionados
Ejemplo
Sea [X, Y, Z] un vector aleatorio trivariado cuya distribución de probabilidad conjunta es:
f(x,y,z) = kx(y+z), 0 < x < 2, 0 < y < z < 1, cero para otro (x,y,z)
a) Encuentre el valor de k para que f(x, y, z) sea una función de probabilidad
El dominio: 0 < y < z < 1 es equivalente a: 0 < y < z, 0 < z < 1
Se debe cumplir que
2 1 z
0 0 0
kx(y z)dydzdx 1
+ =
∫ ∫ ∫
2
2 1 z 2 1 z 2 1 z
0
0 0 0 0 0 0 0 0
y
kx(y z)dydzdx k x (y z)dydzdx k x [ yz] dzdx
2
+ = + = +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2 2
2 1 2 1 2 1
z 2 2
0
0 0 0 0 0 0
y z 3k
k x [ yz] dzdx k x ( z )dzdx x z dzdx
2 2 2
= + = + =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
3 2
2 2
1 2
0 0
0 0
3k z k k x k 4
[ ] xdx xdx [ ] ( ) 1 k 1
2 3 2 2 2 2 2
= = = = = ⇒ =
∫ ∫
⇒ f(x,y,z) = x(y+z), 0 < x < 2, 0 < y < z < 1, cero para otro (x,y,z)
b) Encuentre las distribuciones marginales univariadas
2
1 z 1 z 1 z
0
0 0 0 0 0
y
f(x) x(y z)dydz x (y z)dydz x [ yz] dz
2
= + = + = +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2 3
1 1
2 2 1
0
0 0
z 3x 3x z 3x 1 x
x ( z )dz z dz [ ] ( )
2 2 2 3 2 3 2
= + = = = =
∫ ∫ , 0 < x < 2
2
1 2 1 2 1 2
0
y 0 y 0 y
x
f(y) x(y z)dxdz (y z) xdxdz (y z)[ ] dz
2
= + = + = +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2
1 1 2
y
y
z
2 (y z)dz 2[yz ] 1 2y 3y , 0 y 1
2
= + = + = + − < <
∫
2
2 z 2 z 2 z
0
0 0 0 0 0
y
f(z) x(y z)dydx x (y z)dydx x[ zy] dx
2
= + = + = +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2
2 2 2 2 2
0
0
3 3 x
xz dx z [ ] 3z , 0 z 1
2 2 2
= = = < <
∫

165
b) Encuentre las distribuciones marginales bivariadas
2 2
1 1 2 2
y
y
z 1 y x
f(x,y) x(y z)dz x[yz ] x(y y (1 2y 3y )
2 2 2 2
0 x 2, 0 y 1
= + = + = + − − = + −
< < < <
∫
2 2 2
z z 2
0
0
y z 3xz
f(x,z) x(y z)dy x[ zy] x( z ) , 0 x 2, 0 z 1
2 2 2
= + = + = + = < < < <
∫
2
2 2
0
0
x
f(y,z) x(y z)dx (y z)[ ] 2(y z), 0 y z 1
2
= + = + = + < < <
∫
c) Determine si X, Y, Z son variables aleatorias estadísticamente independientes
2
x
f(x,y) (1 2y 3y ) f(x)f(y)
2
= + − = ⇒ X, Y son independientes
2
3xz
f(x,z) f(x)f(z)
2
= = ⇒ X, Z son independientes
f(y,z) 2(y z)
= +
2 2
f(y)f(z) (1 2y 3y )(3z ) f(y,z)
= + − ≠ ⇒ Y, Z no son independientes
d) Verifique que f(x) es una función de densidad de probabilidad
2 2
2 2
0
0
x 1 x 1 2
dx [ ] ( ) 1
2 2 2 2 2
= = =
∫
e) Verifique que f(x, z) es una función de densidad de probabilidad
2 3 2
2 1 2 1 2 2
2 1 2
0 0
0 0 0 0 0 0
3xz 3 3 z 1 1 x
dzdx x z dzdx x[ ] dx xdx [ ] 1
2 2 2 3 2 2 2
= = = = =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
8.4.1 EJERCICIOS
1) X1 y X2 tienen la función de densidad de probabilidad conjunta dada por
1 2 1 2
1 2
kx x , 0 x 1, 0 x 1
f(x ,x )
0, para otros puntos
≤ ≤ ≤ ≤

= 

a) Calcule el valor de k que hace que f sea una función de densidad de probabilidad
b) Calcule P(X1≤0.75, X2≥0.5)
2) X1 y X2 tienen la función de densidad de probabilidad conjunta dada por
2 1 2
1 2
k(1 x ), 0 x x 1
f(x ,x )
0, para otros puntos
− ≤ ≤ ≤

= 

a) Calcule el valor de k que hace que f sea una función de densidad de probabilidad
b) Calcule P(X1≤0.75, X2≥0.5)
3) Si la densidad de probabilidad conjunta de las variables aleatorias continuas X, Y
está dada por
1
(2x y), 0<x<1, 0<y<2
f(x,y) 4
0, para otros valores

+

= 


a) Verifique que es una función de densidad de probabilidad
b) Obtenga la densidad marginal de X
c) Obtenga la densidad marginal de Y
d) Obtenga la densidad condicional de X dado que Y=1
e) Obtenga la densidad condicional de Y dado que X=1/4
f) Determine si X, Y son variables aleatorias estadísticamente independientes

166
8.5 MEDIA PARA VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS
CASO BIVARIADO
Definición: Media para Variables Aleatorias Conjuntas Caso Bivariado
Sean X, Y: Variables aleatorias discretas (o continuas)
f(x, y): Distribución (o densidad) de probabilidad conjunta
Sea G(X,Y), alguna expresión con X, Y.
Si X, Y son variables aleatorias discretas, entonces
[ ]
G(X,Y)
X Y
E G(X,Y) G(x,y)f(x,y)
µ = = ∑∑ , es la media o valor esperado de G(X,Y)
Si X, Y son variables aleatorias continuas, entonces
[ ]
G(X,Y) E G(X,Y) G(x,y)f(x,y)dxdy
∞ ∞
−∞ −∞
µ = = ∫ ∫ , es la media o valor esperado de G(X,Y)
Ejemplo
es f(x,y) =
1
xy, x 1,2,3; y 1,2
18
0, otro (x,y)

= =




Calcule la media de la suma X + Y
G(X,Y) = X + Y
=
3 2 3 2
x 1y 1 x 1y 1
1 1
E[G(X,Y)] E(X Y) (x y) xy (x y)xy
18 18
1
[(1 1)1 (1 2)2 (2 1)2 (2 2)4 (3 1)3 (3 2)6 4
18
= = = =
= + = + = +
+ + + + + + + + + + + =
∑∑ ∑∑
Ejemplo
Sean X, Y variables aleatorias continuas cuya función de densidad de probabilidad conjunta es
f(x,y) =
2
(x 2y), 0 x,y 1
3
0, otro (x,y)

+ ≤ ≤




Calcule la media de la suma X + Y:
G(X,Y) = X + Y
E[G(X,Y)] =
1 1
0 0
E(X Y) (x y)f(x,y)dxdy
+ = +
∫∫
1 1
0 0
2
(x y) (x 2y)dxdy
3
= + +
∫∫ = 7/6

167
8.5.1 MEDIA PARA VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS
CASOS ESPECIALES
Definición: Media para Variables Aleatorias Conjuntas Casos Especiales
Sean X, Y Variables aleatorias discretas (o continuas)
f(x, y) Distribución (o densidad) de probabilidad conjunta
g(x), h(y) Distribuciones (o densidades) marginales de X y Y respectivamente
Si X, Y son variables aleatorias discretas
Si G(X,Y) = X, entonces su media es
X
X Y x y x
E(X) xf(x,y) x f(x,y) x g(x)
µ= = = =
∑∑ ∑ ∑ ∑
Si G(X,Y) = Y, entonces su media es
Y
X Y y x y
E(Y) yf(x,y) y f(x,y) y h(y)
µ= = = =
∑∑ ∑ ∑ ∑
Si X, Y son variables aleatorias continuas
Si G(X,Y) = X, entonces su media es
X E(X) x g(x)dx
∞
−∞
µ= = ∫
Si G(X,Y) = Y, entonces su media es
Y E(Y) y h(y)dy
∞
−∞
µ= = ∫
8.6 COVARIANZA PARA VARIABLES ALEATORIAS
CONJUNTAS: CASO BIVARIADO
La definición de varianza se extiende a variables aleatorias conjuntas y se denomina
covarianza. Es una medida de la dispersión combinada de ambas variables.
Definición: Covarianza
Sean X, Y variables aleatorias discretas con distribución conjunta f(x,y)
Entonces, la covarianza de X, Y es
[ ]
XY X Y X Y
x y
Cov(X,Y) E (X )(Y ) (x )(y )f(x,y)
σ
= = − µ − µ
= − µ − µ
∑∑
Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad conjunta f(x,y)
Entonces, la covarianza de X, Y es
[ ]
XY X Y X Y
Cov(X,Y) E (X )(Y ) (x )(y )f(x,y)dxdy
∞ ∞
−∞ −∞
σ
= = − µ − µ
= − µ − µ
∫ ∫
La siguiente fórmula es equivalente a la anterior y es de uso común para calcular la covarianza:
Definición: Fórmula alterna para la Covarianza
XY X Y
Cov(X,Y) E(XY)
σ
= = − µ µ Variables aleatorias Discretas o Continuas
Demostración
Cov(X,Y) = E[(X–µX)(Y–µY)] = E[XY – XµY – YµX + µXµY]
= E(XY) – µYE(X) – µXE(Y) + µXµY
= E(XY) – µYµX – µXµY + µXµY = E(XY) – µXµY
Si X = Y, la covarianza se reduce a la varianza
2
X
σ = V(X) = E[(X – X
µ )2
] = E(X2
) –
2
X
µ

168
Ejemplo
es f(x,y) =
1
18
xy, x = 1, 2, 3; y = 1, 2, cero para otro (x,y)
Encuentre la covarianza entre X, Y
Para usar la fórmula de la covarianza: σXY = Cov(X,Y) = E(XY) – µXµY
Se necesitan las distribuciones marginales
2 2
y y 1 y 1
1 x x x
g(x) f(x,y) xy y (1 2)
18 18 18 6
= =
= = = = + =
∑ ∑ ∑ , x = 1, 2, 3
3 3
x x 1 x 1
1 y y y
h(y) f(x,y) xy x (1 2 3)
18 18 18 3
= =
= = = = + + =
∑ ∑ ∑ , y = 1, 2
Entonces
3 3 3
2 2 2 2
X
x 1 x 1 x 1
x 1 1 7
E(X) xg(x) x x (1 2 3 )
6 6 6 3
= = =
µ= = = = = + + =
∑ ∑ ∑
2 2 2
2 2 2
Y
y 1 y 1 y 1
y 1 1 5
E(Y) yh(y) y y (1 2 )
3 3 3 3
= = =
µ= = = = = + =
∑ ∑ ∑
Además
E(XY) =
3 2 3 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x 1 y 1 x 1 y 1
1 1 1 70
xy xy x y [1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2 ]
18 18 18 18
= = = =
= = + + + + + =
∑∑ ∑∑
Sustituyendo
σXY = Cov(X,Y) = E(XY) – µXµY = 70/18 – (7/3)(5/3) = 0
Ejemplo
f(x,y) =
2
(x 2y)
3
+ , 0 ≤ x, y ≤ 1, cero para otro (x,y)
Encuentre la covarianza entre X, Y
Para usar la fórmula de la covarianza: σXY = Cov(X,Y) = E(XY) – µXµY
Se necesitan las distribuciones marginales
1
0
2 2
g(x) (x 2y)dy (x 1)
3 3
= + = +
∫ ,
1
0
2 1
h(y) (x 2y)dx (1 4y)
3 3
= + = +
∫
Entonces
1 1
X
0 0
2 5
E(X) xg(x)dx x (x 1)dx
3 9
µ= = = + =
∫ ∫
1 1
Y
0 0
1 11
E(Y) yh(y)dy y (1 4y)dy
3 18
µ= = = + =
∫ ∫
Además
1 1 1 1
0 0 0 0
2 1
E(XY) xyf(x,y)dxdy xy (x 2y)dxdy
3 3
= = + =
∫∫ ∫∫
Sustituyendo
σXY = Cov(X,Y) = E(XY) – µXµY = 1/3 – (5/9)(11/18) = –1/162

169
8.6.1 SIGNOS DE LA COVARIANZA CASO BIVARIADO
La covarianza es una medida del nivel de relación entre las variables aleatorias X, Y.
La covarianza tiene significado si la relación entre las variables aleatorias es lineal.
a) Si valores grandes de X están asociados probabilísticamente con valores grandes de Y, o
si valores pequeños de X están asociados probabilísticamente con valores pequeños de Y
entonces la covarianza tiene signo positivo.
b) Si valores grandes de X están asociados probabilísticamente con valores pequeños de Y, o
si valores pequeños de X están asociados probabilísticamente con valores grandes de Y
entonces la covarianza tiene signo negativo.
Para entender este comportamiento debemos referirnos a la definición de covarianza:
[ ]
X Y X Y
x y
Cov(X,Y) E (X )(Y ) (x )(y )f(x,y)
= − µ − µ
= − µ − µ
∑∑
Si los valores de X y Y son ambos mayores o ambos menores con respecto a su media, cada
producto de las diferencias X Y
(x )(y )
− µ − µ tendrá signo positivo. Si en la sumatoria, estos
términos tienen valores de probabilidad altos, entonces el resultado final tendrá signo positivo.
En los casos contrarios la suma tendrá signo negativo.
Esta relación se puede visualizar como la pendiente de una recta que relaciona X y Y.
c) Si X, Y son variables aleatorias estadísticamente independientes, entonces Cov(X,Y)=0
Demostración
Si X, Y son variables aleatorias estadísticamente independientes, se tiene que
f(x,y) = g(x) h(y).
Esto permite separar las sumatorias:
E(XY) =
x y x y x y
xyf(x,y) xyg(x)h(y) xg(x) yh(y)
= =
∑∑ ∑∑ ∑ ∑ = E(X) E(Y)
Este resultado se sustituye en la fórmula de la covarianza:
Cov(X,Y) = E(XY) – µXµY = E(X)E(Y) – µXµY = µXµY – µXµY = 0
NOTA:
Si Cov(X,Y) = 0 esto no implica necesariamente que X, Y sean variables aleatorias
independientes.

170
Ejemplo
es f(x,y) =
1
18
Demuestre con la propiedad anterior que Cov(X,Y) = 0
Solución
Se obtuvieron previamente las distribuciones marginales
2 2
y y 1 y 1
1 x x x
g(x) f(x,y) xy y (1 2)
18 18 18 6
= =
= = = = + =
∑ ∑ ∑ , x = 1, 2, 3
3 3
x x 1 x 1
1 y y y
h(y) f(x,y) xy x (1 2 3)
18 18 18 3
= =
= = = = + + =
∑ ∑ ∑ , y = 1, 2
Se tiene que
f(x,y) =
1
18
xy, x=1, 2, 3; y = 1, 2.
g(x)h(y) =
x y 1
( )( ) xy
6 3 18
= , x = 1, 2, 3; y = 1, 2.
Se cumple que
f(x,y) = g(x)h(y), x = 1, 2, 3; y = 1, 2.
Por lo tanto, X, Y son variables aleatorias estadísticamente independientes
En consecuencia,
Cov(X,Y) = 0

171
8.6.2 MATRIZ DE VARIANZAS Y COVARIANZAS
Es una representación ordenada de las varianzas y covarianzas entre las variables aleatorias.
Definición: Matriz de Varianzas y Covarianzas Caso Bivariado
Sean X y Y variables aleatorias conjuntas (discretas o continuas)
2
X
σ = V(X), 2
Y
σ = V(Y) Varianzas
XY YX
σ =
σ = Cov(X, Y) = Cov(Y, X) Covarianzas
Entonces la matriz de varianzas y covarianzas es
[ ]
2
X XY
XY 2
YX Y
 
σ σ
σ =
 
σ σ
 
 
Esta matriz es simétrica y contiene en la diagonal las varianzas de cada variable. Los otros
componentes son las covarianzas entre las dos variables: XY YX
σ =
σ
Ejemplo
es f(x,y) =
1
18
Encuentre la matriz de varianzas y covarianzas
Se obtuvieron previamente las distribuciones marginales
2 2
y y 1 y 1
1 x x x
g(x) f(x,y) xy y (1 2)
18 18 18 6
= =
= = = = + =
∑ ∑ ∑ , x = 1, 2, 3
3 3
x x 1 x 1
1 y y y
h(y) f(x,y) xy x (1 2 3)
18 18 18 3
= =
= = = = + + =
∑ ∑ ∑ , y = 1, 2
Medias, varianzas y covarianza
3 3 3
2 2 2 2
X
x 1 x 1 x 1
x 1 1 7
E(X) xg(x) x x (1 2 3 )
6 6 6 3
= = =
µ= = = = = + + =
∑ ∑ ∑
2 2 2
2 2 2
Y
y 1 y 1 y 1
y 1 1 5
E(Y) yh(y) y y (1 2 )
3 3 3 3
= = =
µ= = = = = + =
∑ ∑ ∑
3 3 3
2 2 2 3 3 3 3
x 1 x 1 x 1
x 1 1
E(X ) x g(x) x x (1 2 3 ) 6
6 6 6
= = =
= = = = + + =
∑ ∑ ∑
2 2 2
2 2 2 3 3 3
y 1 y 1 y 1
y 1 1
E(Y ) y h(y) y y (1 2 ) 3
3 3 3
= = =
= = = = + =
∑ ∑ ∑
E(XY) = E(YX) =
3 2
x 1 y 1
1 70
xy xy
18 18
= =
=
∑∑
g(x) h(y) =
x y
( )( )
6 3
=
1
18
xy = f(x,y), x = 1, 2, 3; y = 1, 2
⇒ X, Y son variables aleatorias independiente ⇒ XY
σ = Cov(X, Y) = 0
2
X
σ = V(X) = E(X2
) – E2
(X) = 6 – (7/3)2
= 5/9
2
Y
σ = V(Y) = E(Y2
) – E2
(Y) = 3 – (5/3)2
= 2/9
Matriz de varianzas - covarianzas
[ ]
2
X XY
XY 2
YX Y
5 /9 0
0 2/9
 
σ σ  
σ
= =
   
σ σ  
 
 

172
8.6.3 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL
Es una medida normalizada de la relación lineal entre dos variables aleatorias. Se puede
demostrar que el coeficiente de correlación reduce el rango de la covarianza al intervalo [-1, 1]
Definición: Coeficiente de Correlación Lineal Caso Bivariado
Sean X, Y variables aleatorias conjuntas (discretas o continuas)
entonces, el coeficiente de correlación lineal de X, Y es:
XY
XY
X Y
Cov(X,Y)
V(X) V(Y)
σ
ρ
= =
σ σ
, XY
1 1
− ≤ ρ ≤
Valores referenciales
Valor de XY
ρ X y Y
Cercano a 1 Tienen correlación lineal positiva fuerte
Cercano a -1 Tienen correlación lineal negativa fuerte
Cercano a 0 Tienen correlación lineal muy débil o no están correlacionadas linealmente.
Es importante que se mida la correlación entre variables cuya asociación tenga algún
significado de interés. Asimismo, si las variables no están correlacionadas linealmente, pudiera
ser que tengan algún otro tipo de correlación, pero no lineal
Es necesario distinguir entre correlación y causalidad. Si dos variables están correlacionadas,
esto no implica necesariamente que una sea causa de la otra pues ambas pueden depender de
una tercera variable. Aún en el caso de que la correlación represente una causalidad, la
estadística solamente permite detectarla y medirla, pero no demostrarla pues esto cae en el
ámbito de la ciencia en la que se aplica la estadística
8.6.4 MATRIZ DE CORRELACIÓN
Es una representación ordenada de los valores de correlación entre las variables aleatorias.
Definición: Matriz de Correlación Caso Bivariado
Sean X y Y variables aleatorias conjuntas (discretas o continuas)
Entonces la matriz de correlación es
[ ] XY
XY
YX
1
1
ρ
 
ρ =
 
ρ
 
Esta matriz es simétrica y contiene el valor 1 en la diagonal. Los otros componentes son
valores de correlación entre las dos variables tales que XY YX
ρ =
ρ

173
Las definiciones anteriores pueden extenderse a más variables aleatorias conjuntas
Definiciones: Matriz de Varianzas y Covarianzas y Matriz de Correlación Caso k-variado
Sean: X1, X2, . . . Xk Variables aleatorias conjuntas (discretas o continuas)
ii
σ = V(Xi) Varianza de la variable Xi
ij
σ = Cov(Xi, Xj) Covarianza de las variables Xi, Xj
ρij Coeficiente de correlación lineal entre las variables Xi, Xj
Matriz de Varianzas-Covarianzas
11 12 1k
21 22 2k
i j
k1 k2 kk
. .
. .
. . . . .
. . . . .
. .
σ σ σ
 
 
σ σ σ
 
   
σ =
   
 
 
σ σ σ
 
Matriz de Correlación
12 1k
21 2k
i j
k1 k2
1 . .
1 . .
. . . . .
. . . . .
. . 1
ρ ρ
 
 
ρ ρ
 
   
ρ =
   
 
 
ρ ρ
 

174
8.7 MEDIA Y VARIANZA PARA VARIABLES ALEATORIAS
CONJUNTAS TRIVARIADAS
Los siguientes son ejemplos referenciales
Ejemplo con tres variables aleatorias discretas
Sea V un vector aleatorio discreto cuyos componentes son las variables aleatorias
X, Y, Z, con distribución de probabilidad conjunta
2
1
x (y z);x 1,2,3;y 3,4;z 1,2
f(x,y,z) 112

− = = =

= 


Encuentre la matriz de varianzas y covarianzas y la matriz de correlación
Distribuciones marginales (se da por entendido el dominio de cada una)
4 2 4 2 4 2
2 2 2
y 3 z 1 y 3 z 1 y 3 z 1
1 1 8
f(x) f(x,y,z) x (y z) x (y z) x
112 112 112
= = = = = =
= = −
= −
=
∑∑ ∑∑ ∑∑
3 2 3 2
2 2
x 1 z 1 x 1 z 1
1 1 1 14
f(y) x (y z) x (y z) (14)(y 1 y 2) (2y 3)
112 112 112 112
= = = =
= −
= −
= − + −
= −
∑∑ ∑ ∑
3 4 3 4
2 2
x 1 y 3 x 1 y 3
1 1 14
f(z) x (y z) x (y z) ( 2z 7)
112 112 112
= = = =
= − = − = − +
∑∑ ∑ ∑
2
2 2 2
2 2
z 1 z 1 z 1
1 1 x
f(x,y) f(x,y,z) x (y z) x (y z) (2y 3)
112 112 112
= = =
= = −
= −
= −
∑ ∑ ∑
2
4 4 4
2 2
y 3 y 3 y 3
1 1 x
f(x,z) f(x,y,z) x (y z) x (y z) ( 2z 7)
112 112 112
= = =
= = −
= −
= − +
∑ ∑ ∑
3 3 3
2 2
x 1 x 1 x 1
1 1 14
f(y,z) f(x,y,z) x (y z) (y z) x (y z)
112 112 112
= = =
= = −= − = −
∑ ∑ ∑
f(x,y) = f(x) f(y) ⇒ X, Y son variables aleatorias independientes
f(x,z) = f(x) f(z) ⇒ X, Z son variables aleatorias independientes
f(y,z) ≠ f(y) f(z) ⇒ Y, Z son variables aleatorias no independientes
Medias, varianzas y covarianzas
3 3 3
2 3
x 1 x 1 x 1
8 8 288
E(X) xf(x) x x x
112 112 112
= = =
= = = =
∑ ∑ ∑
3 3 3
2 2 2 2 4
x 1 x 1 x 1
8 8 784
E(X ) x f(x) x x x
112 112 112
= = =
= = = =
∑ ∑ ∑
4 4 4
y 3 y 3 y 3
14 14 29
E(Y) yf(y) y (2y 3) y(2y 3)
112 112 8
= = =
= = −
= −
=
∑ ∑ ∑
4 4 4
2 2 2 2
y 3 y 3 y 3
14 14 107
E(Y ) y f(y) y (2y 3) y (2y 3)
112 112 8
= = =
= = −
= −
=
∑ ∑ ∑
2 2 2
z 1 z 1 z 1
14 14 11
E(Z) zf(z) z ( 2z 7) z( 2z 7)
112 112 8
= = =
= = − +
= − +
=
∑ ∑ ∑
2 2 2
2 2 2 2
z 1 z 1 z 1
14 14 17
E(Z ) z f(z) z ( 2z 7) z ( 2z 7)
112 112 8
= = =
= = − +
= − +
=
∑ ∑ ∑
4 2 4 2
y 3 z 1 y 3 z 1
14 560
E(YZ) (yz)f(y,z) yz(y z)
112 112
= = = =
= = −
=
∑ ∑ ∑ ∑

175
2 2 2 2
X
784 288
V(X) E(X ) E (X) ( ) 83/196
112 112
σ= = − = − =
2 2 2 2
Y
107 29 15
V(Y) E(Y ) E (Y) ( )
8 8 64
σ = = − = − =
2 2 2 2
Z
17 11 15
V(Z) E(Z ) E (Z) ( )
8 8 64
σ = = − = − =
XY YX Cov(XY) 0
σ =
σ = = Por ser variables aleatorias independientes
XZ ZX Cov(XZ) 0
σ =
σ = = Por ser variables aleatorias independientes
YZ ZY Cov(YZ) E(YZ) E(Y)E(Z)
σ =
σ = = − =
560 29 11 1
112 8 8 64
− =
Matriz de varianzas y covarianzas
2
X XY XZ
2
ij YX Y YZ
2
ZX ZY Z
[ ]
 
σ σ σ
 
σ = σ σ σ =
 
 
σ σ σ
 
 
83/196 0 0
0 15 /64 1/64
0 1/64 15 /64
 
 
 
 
 
Coeficientes de correlación
XY
XY
X Y
Cov(X,Y)
0
V(X) V(Y)
σ
ρ= = =
σ σ
XZ
XZ
X Y
Cov(X,Z)
0
V(X) V(Z)
σ
ρ= = =
σ σ
YZ
YZ
Y Z
Cov(Y,Z) 1/64 1
15
V(Y) V(Z) 15 /64 15 /64
σ
ρ= = = =
σ σ
Matriz de correlación
XY XZ
i,j YX YZ
ZX ZY
1 1 0 0
[ ] 1 0 1 1/15
1 0 1/15 1
ρ ρ
   
   
ρ = ρ ρ =
   
   
ρ ρ  
 
Ejemplo con tres variables aleatorias continuas
Sea [X, Y, Z] un vector aleatorio trivariado cuya distribución de probabilidad conjunta es:
f(x,y,z) = x(y+z), 0 < x < 2, 0 < y < z < 1, cero para otro (x,y,z)
Distribuciones marginales
2
1 z 1 z 1 z
0
0 0 0 0 0
y
f(x) x(y z)dydz x (y z)dydz x [ yz] dz
2
= + = + = +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2 3
1 1
2 2 1
0
0 0
z 3x 3x z 3x 1 x
x ( z )dz z dz [ ] ( )
2 2 2 3 2 3 2
= + = = = =
∫ ∫ , 0 < x < 2
2
1 2 1 2 1 2
0
y 0 y 0 y
x
f(y) x(y z)dxdz (y z) xdxdz (y z)[ ] dz
2
= + = + = +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2
1 1 2
y
y
z
2 (y z)dz 2[yz ] 1 2y 3y , 0 y 1
2
= + = + = + − < <
∫
2
2 z 2 z 2 z
0
0 0 0 0 0
y
f(z) x(y z)dydx x (y z)dydx x[ zy] dx
2
= + = + = +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2
2 2 2 2 2
0
0
3 3 x
xz dx z [ ] 3z , 0 z 1
2 2 2
= = = < <
∫

176
2 2
1 1 2 2
y
y
z 1 y x
f(x,y) x(y z)dz x[yz ] x(y y (1 2y 3y )
2 2 2 2
0 x 2, 0 y 1
= + = + = + − − = + −
< < < <
∫
2 2 2
z z 2
0
0
y z 3xz
f(x,z) x(y z)dy x[ zy] x( z ) , 0 x 2, 0 z 1
2 2 2
= + = + = + = < < < <
∫
2
2 2
0
0
x
f(y,z) x(y z)dx (y z)[ ] 2(y z), 0 y z 1
2
= + = + = + < < <
∫
2
x
f(x,y) (1 2y 3y ) f(x)f(y)
2
= + − = ⇒ X, Y son independientes
2
3xz
f(x,z) f(x)f(z)
2
= = ⇒ X, Z son independientes
f(y,z) 2(y z)
= +
2 2
f(y)f(z) (1 2y 3y )(3z ) f(y,z)
= + − ≠ ⇒ Y, Z no son independientes
Medias, varianzas y covarianzas
2 2
0 0
x 4
E(X) xf(x)dx x( )dx
2 3
= = =
∫ ∫
2 2
2 2 2
0 0
x
E(X ) x f(x)dx x ( )dx 2
2
= = =
∫ ∫
1 1 2
0 0
5
E(Y) yf(y)dy y(1 2y 3y )dy
12
= = + − =
∫ ∫
1 1
2 2 2 2
0 0
7
E(Y ) y f(y)dy y (1 2y 3y )dy
30
= = + − =
∫ ∫
1 1 2
0 0
3
E(Z) zf(z)dz z(3z )dz
4
= = =
∫ ∫
1 1
2 2 2 2
0 0
3
E(Z ) z f(z)dz z (3z )dz
5
= = =
∫ ∫
3 2
1 z 1 z 1
2 2 2 z
0
0 0 0 0 0
1 4
0
y z y
E(YZ) yz(2(y z))dydz 2 (y z yz )dydz 2 [ z ] dz
3 2
5
z dz 1/3
3
= + = + = +
= =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
2 2 2 2
X
2 2 2 2
Y
2 2 2 2
Z
V(X) E(X ) E (X) 2 (4 /3) 2/9
V(Y) E(Y ) E (Y) 7/30 (5 /12) 43/720
V(Z) E(Z ) E (Z) 3/5 (3/ 4) 3/80
σ = = − = − =
σ
= = − = − =
σ = = − = − =
XY Cov(XY) 0
σ
= = Por ser variables aleatorias independientes
XZ Cov(XZ) 0
σ
= = Por ser variables aleatorias independientes
YZ Cov(Y,Z) E(YZ) E(Y)E(Z) 1/3 (5 /12)(3/ 4) 1/ 48
σ = = − = − =
2
X XY XZ
2
ij YX Y YZ
2
ZX ZY Z
2/9 0 0
[ ] 0 43/720 1/ 48
0 1/ 48 3/80
 
σ σ σ  
   
σ = σ σ σ =
   
   
σ σ σ  
 
 

177
8.7.1 EJERCICIOS
1) Si la distribución de probabilidad conjunta de las variables aleatorias discretas X, Y
está dada por
1
f(x,y) (x y)
30
= + , x=0, 1, 2, 3; y=0, 1, 2
2) Si la distribución de probabilidad conjunta de las variables aleatorias continuas X, Y
está dada por
1
(2x y), 0<x<1, 0<y<1
f(x,y) 4
0, para otros valores

+

= 


Encuentre la matriz de correlación

178
MATLAB
Manejo simbólico de media y varianza para distribuciones conjuntas
Variables aleatorias discretas
es f(x,y) =
1
xy, x 1,2,3; y 1,2
18
0, otro (x,y)

= =




>> syms x y Definición de variables simbólicas
>> f=x*y/18; Distribución de probabilidad conjunta (discreta)
>> g=0; Obtención de la distribución marginal g(x)
>> for y=1:2
g=g+eval(subs(f,'y',y));
end
>> g
g =
1/6*x
>> syms x y
>> h=0; Obtención de la distribución marginal h(y)
>> for x=1:3
h=h+eval(subs(f,'x',x));
end
>> h
h =
1/3*y
>> EX=0; Obtención de E(X)
>> for x=1:3
EX=EX+eval(x*g);
end
>> EX
EX =
7/3
>> EY=0; Obtención de E(Y)
>> for y=1:2
EY=EY+eval(y*h);
end
>> EY
EY =
5/3
>> EX2=0; Obtención de E(X
2
)
>> for x=1:3
EX2=EX2+eval(x^2*g);
end
>> EX2
EX2 =
6

179
>> EY2=0; Obtención de E(Y2
)
>> for y=1:2
EY2=EY2+eval(y^2*h);
end
>> EY2
EY2 =
3
>> EXY=0; Obtención de E(XY)
>> for x=1:3
for y=1:2
EXY=EXY+eval(x*y*f);
end
end
>> EXY
EXY =
35/9
>> sigma2X=EX2-EX^2 Varianza de X
sigma2X =
5/9
>> sigma2Y=EY2-EY^2 Varianza de Y
sigma2Y =
2/9
>> CovXY=EXY-EX*EY Covarianza de X, Y
CovXY =
8.8818e-016 El resultado es aproximadamente cero
Variables aleatorias continuas
f(x,y) =
2
(x 2y), 0 x,y 1
3
0, otro (x,y)

+ ≤ ≤




>> syms x y Definición de variables simbólicas
>> f=2/3*(x + 2*y); Función de densidad conjunta f(x,y)
>> g=int(f,y,0,1) Densidad marginal g(x)
g =
2/3*x+2/3
>> h=int(f,x,0,1) Densidad marginal h(y)
h =
1/3+4/3*y
>> EX=int(x*g,0,1) Obtención de E(X)
EX =
5/9
>> EY=int(y*h,0,1) Obtención de E(Y)
EY =
11/18
>> EXY=int(int(x*y*f,x,0,1),y,0,1) Obtención de E(XY)
EXY =
1/3
>> CovXY=EXY-EX*EY Covarianza de X,Y
CovXY =
-1/162 X, Y no son independientes
>> r=expand(f)==expand(g*h) Verificar que f(x,y) = g(x) h(y)
r =
0 No es verdad

180
8.8 DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL
Es una generalización de la distribución Binomial. Se presenta cuando los resultados de cada
ensayo tienen más de dos resultados posibles. Se supondrá que los ensayos son
independientes y que la probabilidad se mantiene constante para cada tipo de resultado.
Definición: Distribución Multinomial
Sean n: cantidad de ensayos realizados
k: cantidad de resultados diferentes que se pueden obtener en cada ensayo
Sean las variables aleatorias discretas:
X1: Cantidad de resultados de tipo 1
X2: Cantidad de resultados de tipo 2
. . .
Xk : Cantidad de resultados de tipo k
Tales que x1 + x2 + . . . + xk = n
Sean las probabilidades correspondientes a cada tipo de resultado
p1: Probabilidad que el resultado sea de tipo 1
p2: Probabilidad que el resultado sea de tipo 2
. . .
pk: Probabilidad que el resultado sea de tipo k
Tales que p1 + p2 + . . . + pk = 1
Entonces, las variables aleatorias X1, X2, . . . Xk tienen distribución Multinomial
y la distribución de probabilidad está dada por:
1 2 k 1 2 k
x x x x x x
1 2 k 1 2 k 1 2 k
1 2 k 1 1 k
n n!
f(x ,x ,...,x ) p p ... p p p ... p
x ,x ,...,x x !x !...x !
 
= =
 
 
x1, x2, . . . , xk = 0, 1, 2, . . . ,n; x1+ x2 + . . . + xk = n
Demostración
Siendo ensayos independientes, la probabilidad de tener x1 resultados de tipo 1, x2
resultados de tipo 2, ..., xk resultados de tipo k, es 1 2 k
x x x
1 2 k
p p ... p . Pero existen
1 2 k
n
x ,x ,..., x
 
 
 
formas diferentes de obtener estos resultados, por lo tanto, esta cantidad es un factor.
En donde
1 2 k 1 2 k
n n!
x ,x ,..., x x !x ! ... x !
 
=
 
 
8.8.1 MEDIA Y VARIANZA PARA LA DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL
Se puede calcular la media y varianza de cada variable aleatoria considerando a las demás
variables aleatorias como otra variable:
Definición: Media y Varianza para la Distribución Multinomial
Sea Xi cualquiera de las variables discretas de la distribución binomal
Entonces
Media de Xi
i
X i i
E(X ) np
µ= =
Varianza de Xi
i
2
X i i i
V(X ) np (1 p ),
σ = = − i = 1, 2, ..., k
Ejemplo
Cada artículo producido por una fábrica puede ser de tipo aceptable, regular o defectuoso,
con probabilidad 0.85, 0.10, y 0.05 respectivamente. Si se toman 5 artículos para
examinarlos, calcule la probabilidad que 4 sean aceptables, 1 sea regular y ninguno
defectuoso

181
Es un experimento multinomial con
n = 5 Cantidad de artículos tomados para examinar
X1: Cantidad de artículos aceptables
X2: Cantidad de artículos regulares
X3: Cantidad de artículos defectuosos
p1 = 0.85 Probabilidad que un artículo sea aceptable
p2 = 0.10 Probabilidad que un artículo sea regular
p3 = 0.05 Probabilidad que un artículo sea defectuoso
La distribución de probabilidad para este experimento es:
3 3
1 2 1 2
x x
x x x x
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 1 3
5 5!
f(x ,x ,x ) p p p p p p
x ,x ,x x !x !x !
 
= =
 
 
x1, x2, x3 = 0, 1, 2, 4, 5; x1 + x2 + x3 = 5
Entonces
P(X1=4, X2=1, X3=0) = 4 1 0 4 1 0
5 5!
f(4,1,0) 0.85 0.10 0.05 0.85 0.10 0.05
4,1,0 4!1!0!
 
= =
 
 
= 0.261
NOTA. Este problema puede reducirse a dos variables definiendo X3 = 5 – X1 – X2 mientras
que p3 = 1 – (p1 + p2) con lo cual, la distribución de probabilidad es:
1 2 1 2
x x 5 x x
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
5
f(x ,x ) p p (1 p p )
x ,x , 5 x x
− −
 
= − −
 
− −
 
x1, x2 = 0, 1, 2, 3, 4, 5; x1 + x2 ≤ 5; x3 = 5 – x1 – x2
8.9 DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA MULTIVARIADA
Esta distribución es una generalización de la distribución Hipergeométrica. Se aplica a
experimentos de muestreo sin reemplazo de una población finita en la que hay objetos de
más de dos tipos diferentes. Los objetos tomados no son devueltos a la población. Por lo
tanto la cantidad de objetos en el conjunto cambia y los valores de probabilidad cambian.
Definición: Distribución Hipergeométrica Multivariada
Sean N: Cantidad de objetos en un conjunto en el que existen k diferentes tipos.
C1: Cantidad de objetos de tipo 1 en el conjunto
C2: Cantidad de objetos de tipo 2 en el conjunto
. . .
Ck: Cantidad de objetos de tipo k en el conjunto
Tales que C1 + C2 + . . . + Ck = N
Sea n: Cantidad de objetos que se toman en la muestra, sin devolverlos.
Sean las variables aleatorias discretas:
X1: Cantidad de objetos de tipo 1 que se obtienen en la muestra.
X2: Cantidad de objetos de tipo 2 que se obtienen en la muestra.
. . .
Xk : Cantidad de objetos de tipo k que se obtienen en la muestra.
Tales que x1 + x2 + . . . + xk = n
Entonces, la distribución de probabilidad de X1, X2, . . . Xk está dada por la función:
1 2 k
1 2 k
1 2 k
C C C
...
x x x
f(x ,x ,..., x )
N
n
    
    
    
=
 
 
 
x1, x2, . . ., xk = 0, 1, . . ., n; x1 + x2 + . . . + xk = n; C1 + C2 + . . . + Ck = N

182
Demostración
Se tienen 1
1
C
x
 
 
 
formas diferentes de tomar x1 objetos de tipo 1 de los C1 disponibles
Se tienen 2
2
C
x
 
 
 
formas diferentes de tomar x2 objetos de tipo 2 de los C2 disponibles
. . .
Se tienen k
k
C
x
 
 
 
formas diferentes de tomar xk objetos de tipo k de los Ck disponibles
Además hay
N
n
 
 
 
formas diferentes de tomar n objetos de los N existentes en la población
La fórmula se obtiene aplicando el principio fundamental del conteo y la asignacíón clásica
de probabilidad
Ejemplo
Una caja contiene 4 baterías en buen estado, 3 baterías en regular estado, y 2 baterías
defectuosas. De esta caja se toma una muestra aleatoria de dos baterías.
a) Encuentre la distribución de probabilidad conjunta.
Sean las variables aleatorias discretas
X: Cantidad de baterías aceptables en la muestra
Y: Cantidad de baterías en regular estado en la muestra
Z: Cantidad de baterías defectuosas en la muestra.
Es un experimento hipergeométrico. Entonces, la distribución de probabilidad conjunta es
P(X=x, Y=y, Z=z) = f(x,y,z) =
4 3 2
x y z
9
2
   
   
   
 
 
 
, x, y, z = 0,1,2; x+y+z=2
b) Calcule la probabilidad de obtener una en buen estado y una defectuosa
P(X=1, Y=0, Z=1) = f(1,0,1) =
4 3 2
1 0 1
9
2
   
   
   
 
 
 
= 0.2222
NOTA. Este problema puede reducirse a dos variables definiendo Z = 2 – X – Y
Con esta sustitución, la distribución de probabilidad es:
P(X=x, Y=y) = f(x,y) =
4 3 2
x y 2 x y
9
2
   
   
− −
   
 
 
 
, x, y = 0,1,2; x+y ≤ 2
c) Calcule la probabilidad de obtener una en buen estado y una defectuosa
P(X=1, Y=0) = f(1,0) =
4 3 2
1 0 2 1 0
9
2
   
   
− −
   
 
 
 
= 0.2222
d) Calcule P(X=0)
La probabilidad de una variable es la distribución marginal
P(X=0) = g(0) =
2
y 0
f(0,y)
=
∑ = f(0,0)+f(0,1)+f(0,2) = 0.2778

183
e) Obtenga una fórmula para la distribución marginal g(x)
Separamos las variables en dos grupos: X y las demás: 2 – x
g(x) =
4 5
x 2 x
9
2
  
  
−
  
 
 
 
, x = 0, 1, 2
f) Calcule P(X=0) con la distribución marginal g(x)
P(X=0) = g(0) =
4 5
0 2 0
9
2
  
  
−
  
 
 
 
= 0.2778
g) Encuentre la distribución condicional de X dado que Y = 1
f(x|1) = f(x,1)/h(1)
h(1) =
2
x 0
f(x,1)
=
∑ = f(0,1)+f(1,1)+f(2,1) = 0.5
f(x|1) =
f(x,1)
0.5
h) Calcule la probabilidad que al tomar la segunda batería, ésta sea aceptable dado que la
primera fue una batería en estado regular Y = 1
P(X=1|Y=1) =
f(1,1)
0.5
=
0.3333
0.5
= 0.6667
8.9.1 EJERCICIOS
1) En una ciudad, 60% de los empleados viaja a su trabajo en bus, 25% lo hace en su auto,
10% usa bicicleta y 5% camina. Encuentre la probabilidad que en una muestra de 8
empleados, 5 usen bus, 2 usen su auto, 1 camine y ninguno use bicicleta.
2) De acuerdo con la teoría de la genética, un cierto cruce de conejillos de indias resultara en
una descendencia roja, negra y blanca en la relación 8:4:4. Encuentre la probabilidad de que
de 10 descendientes, 6 sean rojos, 3 negros y 1 blanco.
3) Un frasco contiene 25 pastillas de igual forma y color. 15 son laxantes, siete son
calmantes y tres son vitaminas. Si se eligen al azar cinco de estas pastillas, calcule la
probabilidad de obtener
a) Cuatro laxantes y un calmante
b) Dos laxantes, un calmante y dos vitaminas.
4) Un club de estudiantes tiene en su lista a 3 serranos, 2 amazónicos, 5 costeños y 2
insulares. Si se selecciona aleatoriamente un comité de 4 estudiantes encuentre la
probabilidad de que:
a) Estén representadas todas las regiones del país.
b) Estén representadas todas las nacionalidades excepto la amazonía.

184
8.10 PROPIEDADES DE LAS VARIABLES ALEATORIAS
CONJUNTAS
En esta sección se establecen algunas propiedades útiles que serán usadas posteriormente en
el tema principal de esta unidad que es el estudio de las Distribuciones de Muestreo.
PROPIEDAD 1
Sean X1, X2 variables aleatorias (discretas o continuas)
a1, a2 ∈ ℜ
Y = a1 X1 + a2 X2, variable aleatoria definida con las variables X1 y X2
Entonces la media, o valor esperado de la variable Y es
µY = E(Y) =E(a1 X1 + a2 X2) = a1 E(X1) + a2 E(X2) = a1
1
X
µ + a2
2
X
µ
Esta definición se puede extender a expresiones con más variables aleatorias:
Sea Y = a1 X1 + a2 X2 + ... + an Xn , (Xi: variables aleatorias)
Entonces µY = 1 2 n
1 X 2 x n X
a a ... a
µ + µ + + µ
PROPIEDAD 2
a1, a2 ∈ ℜ
Entonces la varianza de la variable aleatoria Y es
2
Y
σ = V(Y) = a2
1 V(X1) + a2
2 V(X2) + 2 a1 a2 Cov(X1, X2)
Demostración
V(Y) = V(a1 X1 + a2 X2) = E[(a1 X1 + a2 X2)2
] - E2
(a1 X1 + a2 X2)
= E(a2
1 X2
1 + 2 a1 a2 X1 X2 + a2
2 X2
2) – [a1 E(X1) + a2 E(X2)]2
= a2
1 E(X2
1) + 2 a1 a2 E(X1 X2) + a2
2 E(X2
2) – a2
1 E2
(X1) – 2 a1 a2 E(X1)E(X2) – a2
2 E2
(X2
2)
= a2
1 E(X2
1) – a2
1 E2
(X1) + a2
2 E(X2
2) – a2
2 E2
(X2
2) + 2 a1 a2 E(X1 X2) – 2 a1 a2 E(X1)E(X2)
= a2
1 [E(X2
1) – E2
(X1)] + a2
2[E(X2
2) – E2
(X2
2)] + 2 a1 a2[E(X1 X2) – E(X1)E(X2)]
= a2
1 V(X1) + a2
2 V(X2) + 2 a1 a2 Cov(X1, X2)
Si X1, X2 son variables aleatorias estadísticamente independientes
Cov(X1, X2) = 0
Entonces
σ2
Y = a2
1 V(X1) + a2
2 V(X2) = 1 2
2 2 2 2
1 X 2 X
a a
σ + σ
Esta propiedad se puede extender a expresiones con más variables aleatorias:
Sea Y = a1 X1 + a2 X2 + ... + an Xn , (Xi: variables aleatorias independientes)
Entonces 2
Y
σ = 1 2
2 2 2 2 2 2
1 X 2 X n Xn
a a ... a
σ + σ + + σ

185
COROLARIO
a1, a2 ∈ ℜ
Entonces, la covarianza entre a1X1 y a2X2 es:
Cov(a1X1, a2X2) = a1 a2 Cov(X1, X2)
Demostración
Cov(a1X1, a2X2) = E(a1X1 a2X2) – E(a1X1)E(a2 X2)
= a1 a2 E(X1 X2) – a1 E(X1) a2 E(X2)
= a1 a2 [E(X1 X2) – E(X1) E(X2)]
= a1 a2 Cov(X1, X2)
PROPIEDAD 3
Sean X1, X2 variables aleatorias estadísticamente independientes (discretas o continuas)
a1, a2 ∈ ℜ
Entonces la función generadora de momentos de la variable aleatoria Y es
my(t) = )
(
)
( t
m
t
m 2
2
1
1 X
a
X
a
Demostración
mY(t) = E(eYt
) = =
1 1 2 2 1 1 2 2
(a X a X )t a X t a X t
E[e ] E(e e )
+
Si X1, X2 son variables aleatorias estadísticamente independientes ( E(X1X2) = E(X1)E(X2) )
= )
1 1 2 2 1 1 2 2
a X t a X t a X t a X t
E(e e ) E(e E(e )
Por lo tanto
my(t) = )
(
)
( t
m
t
m 2
2
1
1 X
a
X
a
Esta propiedad se puede extender a expresiones con más variables aleatorias:
Sea Y = a1 X1 + a2 X2 + ... + an Xn , (Xi : variables aleatorias independientes)
Entonces mY(t) = )
(
)
(
)
( t
m
.
.
.
t
m
t
m n
n
2
2
1
1 X
a
X
a
X
a

186
9 MUESTREO ESTADÍSTICO
El muestreo estadístico es un procedimiento para obtener datos de una población con la finalidad
de usar esta información para realizar inferencias acerca de dicha población mediante las
técnicas que se estudian en Estadística Inferencial.
Las muestras son subconjuntos de los datos. El conjunto de todas las muestras que se pueden
obtener de la población se denomina espacio muestral.
El muestreo estadístico se basa en el principio de equiprobabilidad, es decir que cada individuo
de la población tiene la misma probabilidad de ser elegido. Consecuentemente, cada muestra
también tendrá la misma probabilidad de ser seleccionada.
Para obtener conclusiones y evidencias comprobatorias suficientes, el investigador no está
obligado a examinar todos y cada uno de los individuos o muestras de una población. Solamente
debe examinar una muestra representativa de dicha población. El tamaño de la muestra, el tipo
de muestreo, la escala de medición, el procedimiento de recolección de datos y otros aspectos
relacionados, forman parte del diseño estadístico previo que debe concordar con el objetivo del
estudio y con el nivel de confiabilidad que se pretende obtener.
Técnicas de selección de muestras
Muestreo probabilístico
Todas las muestras de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidas.
Muestreo no probabilístico
La selección de la muestra está influenciada por la persona que la realiza o por otros factores no
estadísticos.
Muestreo aleatorio simple
Una muestra aleatoria simple es aquel en el que cada elemento de la población tiene la misma
probabilidad de ser seleccionado.
Muestreo con reemplazo
Cada elemento que se extrae de la población es observado y luego devuelto a la población, por
lo que puede ser elegido más de una vez. Esto permite tomar infinidad de muestras de una
población finita
Muestreo sin reemplazo
Los elementos elegidos en la muestra no son devueltos a la población
Muestreo simple, doble, múltiple
En estos tipos de muestreo se toman una, dos o más muestras de la población para analizar
resultados y llegar a conclusiones definitivas.
Muestreo estratificado
La población previamente es dividida en grupos o clases a los que se les asigna una cuota de
individuos de la población que comparten la característica que se estudia.

187
Muestreo por conglomerados
Las muestras son elegidas de grupos en los que se divide de manera natural la población y que
representan la variabilidad de la población. El muestreo puede concentrarse únicamente en
estos grupos.
Muestreo sistemático
Las muestras son elegidas recorriendo los elementos en un orden previamente determinado.
Muestreo errático o asistemático
El muestreo se realiza priorizando algún aspecto no estadístico conveniencia, reducción de costo
o tiempo, etc.
Escalas de medición
Escala nominal
Es la asignación arbitraria de números o símbolos a cada una de las diferentes categorías en las
que se puede dividir la característica que se estudia. No permite establecer relaciones entre
categorías, solamente distinguirlas.
Escala ordinal
Se utiliza para establecer diversos grados de la característica que se observa en los individuos
con lo que se puede establecer una relación de orden entre ellos. La asignación de los números
o símbolos debe reflejar este orden.
Escala de intervalos
Utiliza una unidad de medida común y constante en la valoración de la característica que se
observa en los individuos. Esta escala permite determinar la distancia entre los elementos y
utilizar las medidas estadísticas cuantitativas.
Escala de coeficientes
Es similar a la escala de intervalos pero posee adicionalmente un punto de origen o cero para la
escala, el cual representa la ausencia de la característica que se estudia. Esta escala permite
medir la variabilidad de la característica que se mide.

188
9.1 DISTRIBUCIONES DE MUESTREO
En esta sección se establecen algunas definiciones y términos relacionados con el estudio de la
Estadística Inferencial que constituye el componente fundamental del estudio de la Estadística.
Una inferencia estadística es una afirmación que se hace acerca de algún parámetro de la
población utilizando la información contenida en una muestra tomada de esta población.
Debemos aceptar que por la naturaleza aleatoria de los datos obtenidos en la muestra, hay un
riesgo en la certeza de la afirmación propuesta, y es necesario establecer una medida para
determinar la magnitud de este riesgo.
Supongamos una población de tamaño N de la cual se toma una muestra de tamaño n,
obteniéndose los siguientes resultados: x1, x2, ..., xn
Los n resultados obtenidos x1, x2, ..., xn son algunos de los posibles valores que se extraen de
la población cada vez que se toma una muestra de tamaño n. Por lo tanto, podemos
representarlos mediante n variables aleatorias: X1, X2, ..., Xn
Definición: Muestra Aleatoria
Es un conjunto de n variables aleatorias X1, X2, ..., Xn tales que son independientes y
provienen de la misma población, es decir que tienen la misma función de probabilidad.
Para que esta definición sea válida, N debe ser muy grande respecto a n, o debe realizarse
muestreo con reemplazo. Adicionalmente, cada elemento de la población debe tener la misma
probabilidad de ser elegido.
Definiciones relacionadas:
Parámetro: Es una medida estadística poblacional, cuyo valor es de interés conocer
Por ejemplo, la media poblacional µ es un parámetro.
Estadístico o Estimador: Es una variable aleatoria definida con las variables de la muestra
aleatoria. Por ejemplo, la media muestral X es un estadístico.
Distribución de Muestreo de un Estadístico: Es la distribución de probabilidad del
estadístico

189
9.2 DISTRIBUCIÓN DE MUESTREO DE LA MEDIA MUESTRAL
En esta sección se estudian las propiedades de la distribución de probabilidad de la Media
Muestral.
Definición: Media y Varianza de la Media Muestral
Sean X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria tomada de una población con media µ y varianza σ2
,
entonces, la media muestral es una variable aleatoria que se define con la siguiente fórmula:
n
i
i 1
1
X X
n =
= ∑ y su media y varianza son:
Media de X : X
E(X)
µ = =
µ
Varianza de X :
2
2
X
V(X)
n
σ
σ
= =
Demostración
Media muestral:
n
i 1 2 n
i 1
1 1 1 1
X X X X ... X
n n n n
=
= = + + +
∑
Por las propiedades estudiadas anteriormente, si X1, X2, ..., Xn son variables aleatorias
independientes, entonces
X
µ = 1 2 n
X x X
1 1 1
...
n n n
µ + µ + + µ
2
X
σ = 1 2 n
2 2 2 2 2 2
X X X
1 1 1
( ) ( ) ... ( )
n n n
σ + σ + + σ
Además, como las variables aleatorias provienen de la misma población:
i
x
µ = E(Xi) = µ, i = 1, 2, 3, . . ., n
i
2
x
σ = V(Xi) = σ2
, i = 1, 2, 3, . . ., n
Al sustituir en las fórmulas anteriores y simplificar, se completa la demostración.
La media o valor esperado X
µ de la media muestral X debe entenderse como el valor que
tomaría la variable aleatoria X si se tomase una cantidad muy grande de muestras y se
calculara su promedio. Entonces el resultado se acercaría cada vez más al valor de µ
9.2.1 CORRECCIÓN DE LA VARIANZA
Si el tamaño N de la población es finito y este número no es muy grande con respecto al
tamaño n de la muestra, se debe usar la siguiente fórmula para corregir la varianza muestral, la
cual se aplica si el tamaño de la muestra es mayor al 5% del tamaño de la población.
Definición: Corrección de la Varianza
2
2
X
N n
n N 1
σ −
 
σ =  
−
 
, si n > 5%N.

190
9.2.2 MEDIA MUESTRAL DE UNA POBLACIÓN NORMAL
Definición: Media Muestral de una Población Normal
Si la muestra proviene de una población con Distribución Normal con media µ y varianza σ2
,
entonces la media muestral X tiene también Distribución Normal y su media y varianza son:
Media: µ
=
µX
Varianza:
2
2
X
n
σ
σ =
Demostración
Para demostrar que la media muestral tiene Distribución Normal, se compara la función
generadora de momentos de una variable aleatoria X con Distribución Normal y la función
generadora de momentos de la media muestral X definida con el producto de las funciones
generadoras de momentos de las variables aleatorias. Se omite el desarrollo.
Ejemplo
Un fabricante especifica que la duración de sus baterías tiene Distribución Normal con media 36
meses y desviación estándar 8 meses. Calcule la probabilidad que una muestra aleatoria de 9
baterías tenga una duración media menor o igual que 30 meses.
Especificaciones para la población
X: Variable aleatoria continua (duración en meses de cada batería)
µ: Parámetro de interés (media poblacional)
X: Tiene Distribución Normal con µ = 36, σ2
= 82
Datos de la muestra
Media muestral:
n
i
i 1
1
X X
n =
= ∑ , tamaño de la muestra: n = 9
Por la propiedad anterior:
X tiene aproximadamente Distribución Normal con X
µ =
µ = 36 y
2
2
X
n
σ
σ = =
2
8
9
= 7.1
La variable aleatoria y la media muestral tienen Distribución Normal aproximadamente

191
P( X ≤ 30) = P( X
X
X
Z
− µ
≤
σ
) = P(
30 36
Z
7.1
−
≤ ) = P(Z≤ –2.6) = F( –2.6) = 0.0122 = 1.22%
La media o valor esperado de X es igual a la media poblacional µ, por lo tanto, cualquier valor
de X , aunque aleatorio, debería estar razonablemente cerca de µ.
El resultado obtenido indica que la probabilidad de que la media muestral obtenida con los datos
sea menor o igual al valor propuesto de 30 meses, tiene un valor muy pequeño. Esto podría
interpretarse como un indicio de que la muestra no apoya a lo afirmado por el fabricante.
9.3 TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
El siguiente enunciado es uno de los más importantes teoremas de la Estadística Inferencial
Definición: Teorema del Límite Central
Si X es la media de una muestra aleatoria de tamaño n extraída de una población que
tiene media μ y varianza σ2
, entonces:
X
Z
n
− µ
=
σ
,
es una variable aleatoria cuya función de probabilidad se aproxima a la Distribución
Normal Estándar a medida que n aumenta
La demostración formal de este teorema requiere el manejo del límite de la función generadora
de momentos de la variable aleatoria
X -
Z
n
=
σ
µ
.
Se puede experimentar mediante simulaciones con el computador observándose que, sin
importar la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta o continua X de la cual
se muestrea, el límite de la variable aleatoria Z tiende a la forma tipo campana de la Distribución
Normal Estándar cuando n crece.
Con carácter general, o al menos en los modelos de probabilidad clásicos, se admite como una
aproximación aceptable al modelo Normal siempre que n ≥ 30, y se dice que la muestra es
“grande”. Adicionalmente en este caso, si se desconoce la varianza de la población se puede
usar como aproximación la varianza muestral: σ2
≅ S2
NOTA: El Teorema del Límite Central no implica que la distribución de la variable X tiende a la
Distribución Normal a medida que n crece. El teorema establece que la distribución de la
variable Z tiende a la Distribución Normal Estándar cuando n crece.

192
Ejemplo
Un fabricante especifica que cada paquete de su producto tiene un peso promedio 22.5 gr. con
una desviación estándar de 2.5 gr. Calcule la probabilidad que una muestra aleatoria de 40
paquetes de este producto tenga un peso promedio menor o igual que 20 gr.
Especificaciones para la población
X: Variable aleatoria continua (peso en gr. de cada paquete)
Tiene media igual a µ=22.5, y varianza σ2
= 2.52
. No se especifica su distribución
µ: Parámetro (media poblacional)
Datos de la muestra
Media muestral:
n
i
i 1
1
X X
n =
= ∑ , tamaño de la muestra n = 40, (muestra grande),
Por el Teorema del Límite Central, la variable aleatoria
X
Z
n
− µ
=
σ
tiene distribución de
probabilidad aproximadamente Normal Estándar
P = P( X ≤ 20) ≅ P(
20
Z
n
− µ
≤
σ
) = P(
20 22.5
Z
2.5
40
−
≤ ) = P(Z ≤ –6.3246) = F(–6.3246) ≅ 0
Conclusión
Se observa que la probabilidad de que la media muestral tenga un valor menor o igual a 20 es
aproximadamente cero, por lo tanto inferimos que lo especificado por el fabricante no es verdad.
El valor de la media de X
es igual al valor de la media
poblacional µ

193
Ejemplo
Si X es una variable aleatoria exponencial con parámetro β = 4 y de esta población se toma una
muestra aleatoria de tamaño 36, determine la probabilidad de que la media muestral tome algún
valor entre 3.60 y 4.11
Si la variable X tiene distribución exponencial, entonces su media y varianza son:
µ = E(X) = β = 4, σ2
= V(X) = β2
= 16 ⇒ σ = 4
Si la muestra es grande, entonces por el Teorema del Límite Central
x
z
/ n
− µ
=
σ
tiene Distribución Normal Estándar aproximadamente
Entonces
3.60 4 4.11 4
P(3.60 X 4.11) P( Z ) P( 0.6 Z 0.165) 0.2913
4 / 36 4 / 36
− −
< < = < < = − < < =
9.3.1 EJERCICIOS
1) Una máquina envasadora de refrescos está programada para que la cantidad de líquido sea
una variable aleatoria con distribución normal, con media 200 mililitros y una desviación estándar
de 10 mililitros. Calcule la probabilidad que una muestra aleatoria de 20 envases tenga una
media menor que 185 mililitros
2) La altura media de los alumnos de un plantel secundario es 1.50 mts. con una desviación
estándar de 0.25 mts. Calcule la probabilidad que en una muestra aleatoria de 36 alumnos, la
media sea superior a 1.60 mts.

194
9.4 LA DISTRIBUCIÓN T
La distribución T o de Student es una función de probabilidad con forma tipo campana simétrica
Su aplicación más importante se describe a continuación.
Suponer que se toma una muestra aleatoria de tamaño n<30 de una población con distribución
normal con media µ y varianza desconocida. En este caso ya no se puede usar la variable
aleatoria Z. En su lugar debe usarse otro estadístico denominado T o de Student
Este estadístico es útil cuando por consideraciones prácticas no se puede tomar una muestra
aleatoria grande y se desconoce la varianza poblacional. Pero es necesario que la población
tenga distribución normal.
Definición: Distribución T
Sean X y S2
la media y varianza de una muestra aleatoria de tamaño n<30 tomada de
una población normal con media µ y varianza desconocida, entonces la variable aleatoria
X
T
S
n
− µ
= ,
tiene distribución T con ν = n – 1 grados de libertad
9.4.1 GRAFICO DE LA DISTRIBUCIÓN T
La forma específica de la distribución T depende del valor de ν, el cual es el parámetro para
este modelo con la definición: ν = n – 1 y se denomina “grados de libertad”.
Distribución T para ν = 2, 5, 20 grados de libertad.
Para calcular probabilidad con la distribución T, si no se dispone de una calculadora estadística o
un programa computacional estadístico, se pueden usar tablas que contienen algunos valores de
esta distribución para diferentes grados de libertad con la siguiente definición:
Definición: tα
tα es el valor de T tal que el área a la derecha es igual a α: P(T ≥ tα) = α

195
Uso de la distribución T
Ejemplo
Una población con distribución aproximadamente normal tiene una media especificada de 5.5
siendo su varianza desconocida.
Calcule la probabilidad que una muestra aleatoria de tamaño 6 tenga una media mayor o igual a
6.5 con una desviación estándar de 0.5.
Los datos especificados corresponden a la distribución T con n = 6
x
T
S
n
− µ
= , con ν = n − 1 = 5 grados de libertad
P( X ≥ 6.5) = P(
6.5 5.5
T
0.5
6
−
≥ ) = P(T ≥ 4.9)
En la Tabla T, se puede observar en la fila ν = n – 1 = 5,
α .40 .25 .10 .05 .025 .01 .005 .0025 .001 .0005
ν 1 .325 1.000 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 127.320 318.310 636.620
2 .289 .816 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 14.089 23.326 31.598
3 .277 .765 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 7.453 10.213 12.924
4 .271 .741 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5.598 7.173 8.610
5 .267 .727 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 4.773 5.893 6.869
6 .265 .718 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 4.317 5.208 5.959
7 .263 .711 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.029 4.785 5.408
t0.0025 = 4.773: P(T ≥ 4.773) = 0.0025
t0.001 = 5.893: P(T ≥ 5.893) = 0.001
Por lo tanto 0.001 ≤ P(T ≥ 4.9) ≤ 0.0025
Se puede concluir que 0.001 ≤ P( X ≥ 6.5) ≤ 0.0025
Mediante una interpolación lineal se puede obtener una aproximación más precisa.
Aquí se ubica
t = 4.9

196
9.5 LA DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO
Esta distribución se la obtiene de la distribución gamma. Tiene forma tipo campana con sesgo
positivo. Se puede demostrar que si X es una variable aleatoria con distribución normal,
entonces X2
es una variable aleatoria con distribución ji-cuadrado. Este hecho explica la
importancia de la distribución ji-cuadrado en problemas de muestreo de poblaciones con
distribución normal. Una aplicación práctica es la estimación de la varianza poblacional.
Definición: Distribución Ji-Cuadrado
Sean X y S2
la media y varianza de una muestra aleatoria de tamaño n tomada
de una población normal con media µ y varianza σ2
, entonces la variable aleatoria
2
2
2
S
(n 1)
χ = −
σ
,
tiene distribución Ji-cuadrado con ν = n – 1 grados de libertad
El valor esperado de la variable χ2
es E(χ2
) = n – 1
9.5.1 GRÁFICO DE LA DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO
La forma específica de esta distribución de probabilidad depende del valor de ν, el cual es el
parámetro para este modelo con la definición ν = n – 1 y se denomina “grados de libertad”
La distribución ji-cuadrado con ν = 2, 4, 6
Algunos valores de la distribución ji-cuadrado están tabulados para ciertos valores de ν y para
valores típicos de α con la siguiente definición
Definición:
2
α
χ
2
α
χ es el valor de χ2
tal que el área a la derecha es igual a α: P(χ2
≥ 2
α
χ ) = α

197
Uso de la distribución ji-cuadrado
Ejemplo
Una población con distribución aproximadamente normal tiene varianza especificada de 0.8.
Calcule la probabilidad que una muestra aleatoria de tamaño 6 tenga una varianza mayor o igual
a 1.2.
Los datos especificados corresponden al uso de la distribución ji-cuadrado:
χ2
=
2
2
S
(n 1)
−
σ
, con ν = n −1 grados de libertad
P(S2
> 1.2) = P(χ2
>
2
2
S
(n 1)
−
σ
) = P(χ2
>
1.2
(6 1)
0.8
− ) = P(χ2
> 7.5)
En la Tabla_ji-cuadrado se puede observar en la fila ν = n −1 = 5
α .995 .990 .975 .950 .900 .500 .100 .050 .025 .010 .005
ν
1 .00003 .0001 .0009 .0039 .02 .45 2.71 3.84 5.02 6.63 7.88
2 .01 .02 .05 .10 .21 1.39 4.61 5.99 7.38 9.21 10.60
3 .07 .11 .22 .35 .58 2.37 6.25 7.81 9.35 11.34 12.84
4 .21 .30 .48 .71 1.06 3.36 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86
5 .41 .55 .83 1.15 1.61 4.35 9.24 11.07 12.83 15.09 16.75
6 .68 .87 .24 1.64 2.20 5.35 10.65 12.59 14.45 16.81 18.55
7 .99 .24 .69 2.17 2.83 6.35 12.02 14.07 16.01 18.48 20.28
2
0.5
χ = 4.36: P(χ2
≥ 4.35) = 0.5
2
0.1
χ = 9.24: P(χ2
≥ 9.24) = 0.1
Por lo tanto 0.1 ≤ P(χ2
≥ 7.5) ≤ 0.5
Con lo cual se puede concluir que 0.1 ≤ P(S2
≥ 1.2) ≤ 0.5
Mediante una interpolación lineal se puede obtener una aproximación mas precisa.
Aquí se ubica
χ2
=7.5

198
9.6 DISTRIBUCIÓN F
Esta distribución es útil para realizar inferencias con las varianzas de dos poblaciones normales
usando los datos de las varianzas de dos muestras aleatorias independientes con la siguiente
definición.
Definición: Distribución F
Sean 2
1
S y 2
2
S las varianzas de dos muestras aleatorias independientes de tamaño
n1 y n2 tomadas de poblaciones normales con varianzas
2
1
σ ,
2
2
σ , entonces la
variable aleatoria
F =
2 2
1 1
2 2
2 2
S /
S /
σ
σ
tiene distribución F con ν1 = n1 – 1, ν2 = n2 – 1 grados de libertad
9.6.1 GRÁFICO DE LA DISTRIBUCIÓN F
La distribución F tiene forma tipo campana con sesgo positivo y depende de dos parámetros
para este modelo: ν1 , ν2 los cuales se denominan “grados de libertad”
La distribución F para varios ν1 , ν2
Algunos valores de esta distribución están tabulados para valores específicos de α, ν1, ν2
de acuerdo a la siguiente definición:
Definición:
1 2
, ,
Fα ν ν
1 2
, ,
Fα ν ν es el valor de F tal que el área a la derecha es igual a α: P(
1 2
, ,
F Fα ν ν
≥ ) = α

199
Uso de la distribución F
La siguiente es una relación útil para obtener otros valores de la distribución F:
1 2
2 1
1 , ,
, ,
1
F
F
−α ν ν
α ν ν
=
Ejemplo
Calcule F con α = 0.05 y α = 0.95 si ν1 = 9, ν2 = 7
Tabla F para α = 0.05 .
ν1 .
ν2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞ .
1 161.4 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5 241.9 243.9 245.9 248.0 249.1 250.1 251.1 252.2 253.3 254.3
2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40 19.41 19.43 19.45 19.45 19.46 19.47 19.48 19.49 19.50
3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.74 8.70 8.66 8.64 8.62 8.59 8.57 8.55 8.53
4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 5.91 5.86 5.80 5.77 5.75 5.72 5.69 5.66 5.63
5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.68 4.62 4.56 4.53 4.50 4.46 4.43 4.40 4.36
6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 4.00 3.94 3.87 3.84 3.81 3.77 3.74 3.70 3.67
7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.57 3.51 3.44 3.41 3.38 3.34 3.30 3.27 3.23
8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 3.28 3.22 3.15 3.12 3.08 3.04 3.01 2.97 2.93
9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.07 3.01 2.94 2.90 2.86 2.83 2.79 2.75 2.71
0.95, 9, 7
0.05, 7, 9
1
F
F
= =
1
3.29
= 0.304
0.05, 9, 7
F = 3.68

200
9.7 ESTADÍSTICAS DE ORDEN
Sea una población infinita con densidad de probabilidad continua de la que se toma una muestra
aleatoria de tamaño n y se obtienen los valores:
x1, x2, x3, . . ., xn.
Los datos se los escribe en orden creciente:
x(1), x(2), x(3), . . ., x(n)
Estos valores son instancias de las variables aleatorias
X(1), X(2), X(3), . . ., X(n)
Las variables definidas se denominan estadísticas de orden
Definición: Estadísticas de Orden para una Muestra Aleatoria de Tamaño n
X(1), X(2), X(3), . . ., X(n)
9.7.1 DENSIDAD DE PROBABILIDAD DE LAS ESTADÍSTICAS DE ORDEN
Se puede probar que si f y F son respectivamente la densidad y la distribución acumulada de
X, entonces la densidad fr del estadístico de orden r es
Definición: Densidad de Probabilidad de la Estadística de Orden r
r 1 n 1
r (r) (r) (r) (r) (r)
n!
f (x ) [F(x )] [1 F(x )] f(x ), x
(r 1)!(n r)!
− −
= − ∈ ℜ
− −
Ejemplo. Se tiene una población cuyos elementos están definidos por una variable aleatoria
contínua X con densidad de probabilidad:
kx, 0 x 1
f(x)
0, para otro x
< <

= 

De esta población se toma una muestra aleatoria de tamaño n = 5
Encuentre las estadísticas de orden 1, 2, 3, 4, 5
Solución
Primero determinamos el valor de k con la propiedad:
1
2
1 1
0 0
0
x k
f(x)dx kxdx k 1
2 2
 
= = = =
 
 
∫ ∫ ⇒ k = 2 ⇒
2x, 0 x 1
f(x)
0, para otro x
< <

= 

Densidad de la variable poblacional: f(x) = 2x, 0 < x < 1
Su distribución acumulada: -
x 2
0
F(x) 2xdx x , x
= = ∞ < < ∞
∫

201
Estadísticas de orden para la muestra aleatoria de tamaño n = 5
Densidad del estadístico de orden r para n = 5, r = 1, 2, 3, 4, 5
r 1 5 r
r (r) (r) (r) (r) (r)
5!
f (x ) [F(x )] [1 F(x )] f(x ), x
(r 1)!(5 r)!
− −
= − ∈ ℜ
− −
Densidad del estadístico de orden uno
r = 1, n = 5, f(x) = 2x, 0 < x < 1, F(x) = x2
, con la notación: x = x(r)
2 1 1 2 5 1
1
5!
f (x) [x ] [1 x )] (2x), x (0,1)
(1 1)!(5 1)!
− −
= − ∈
− −
Simpificando se obtiene
2 4
1
f (x) 10(x)(1 x ) , 0 x 1
= − < <
Sucesivamente se obtienen las densidades de los otros estadísticos de orden
r = 2, n = 5, f(x) = 2x, F(x) = x2
3 2 3
2
f (x) 40x (1 x ) , 0 x 1
= − < <
r = 3, n = 5, f(x) = 2x, F(x) = x2
5 2 2
3
f (x) 60x (1 x ) , 0 x 1
= − < <
r = 4, n = 5, f(x) = 2x, F(x) = x2
7 2
4
f (x) 40x (1 x ), 0 x 1
= − < <
r = 5, n = 5, f(x) = 2x, F(x) = x2
9
5
f (x) 10x , 0 x 1
= < <
Determine la probabilidad que la estadística de orden cuatro tome un valor menor que 1/2
P(X(4) < 1/2) =
1/ 2 7 2
0
40x (1 x )dx 1/64
− =
∫
Graficar las densidades de las estadísticas de orden obtenidas
Gráfico de 1
f (x), 0 < x < 1
Extremos f1(0) = 0, f1(1) = 0
Máximo: ' 2 4 2 2 3 2 3 2 2
1
f (x) 10(1 x ) 80x (1 x ) 10(1 x ) [(1 x ) 8x ] 0
= − − − = − − − =
⇒ 2 3
(1 x ) 0 x 1
− = ⇒ =
±
2 2 2 1
(1 x ) 8x 1 9x 0 x
3
− − =
− =
⇒ =
±
Máximo: (1/3, 2.081)

202
Gráficos de las densidades de las estadísticas de orden
9.7.2 EJERCICIOS
1) a) Encuentre t0.1 con ν=18.
b) Encuentre tα dado que P(t>tα) = 0.05, ν=16
2) Una población normal tiene especificada su media con el valor 5. Calcule la probabilidad
que una muestra de 6 observaciones tenga una media menor que 4 con varianza de 1.2
3) Una población con distribución aproximadamente normal tiene varianza especificada de
1.4. Calcule la probabilidad que una muestra aleatoria de tamaño 8 tenga una varianza
menor que 0.8
4) Calcule F con α = 0.05 y α = 0.95 si ν1 = 15, ν2 = 20
5) Se tiene una población cuya variable aleatoria X tiene la siguiente densidad de
probabilidad:
2
(x 1), 1 x 2
f(x) 5
0, para otro x

+ < <

= 


Si se toma una muestra aleatoria de tamaño n=4, calcule la probabilidad que la
estadística de orden dos tome un valor mayor que 1.5
f2
f1
f5
f3
f4

203
MATLAB
Graficar la densidad de la distribución T
>> t=-6:0.1:6; Puntos para evaluar la distribución T
>> f1=tpdf(t, 2); Puntos de la distribución T
>> f2=tpdf(t, 5);
>> f3=tpdf(t, 20);
>> plot(t,f1,'b'), grid on, hold on Graficación
>> plot(t,f2,'k')
>> plot(t,f3,'r')
>> legend('nu=2','nu=5','nu=20') Rótulos
Obtener y graficar las estadísticas de orden 1, 2, 3, 4, 5 para f(x) = 2x, 0<x<1
>> syms x r
>> f=2*x; Definición de la densidad f(x)
>> F=int(f) Obtención de la distribución F(x)
F = x^2
Obtención de estadísticas de orden
>> r=1;f1=factorial(5)/(factorial(r-1)*factorial(5-r))*F^(r-1)*(1-F)^(5-r)*f
f1 = 10*(1-x^2)^4*x
f2 = 40*x^3*(1-x^2)^3
f3 = 60*x^5*(1-x^2)^2
f4 = 40*x^7*(1-x^2)
f5 = 10*x^9

204
Gráficación de las estadísticas de orden.
>> ezplot(f1,[0,1]), grid on,hold on
>> ezplot(f2,[0,1])
>> ezplot(f3,[0,1])
>> ezplot(f4,[0,1])
>> ezplot(f5,[0,1])
Calcular para la estadística de orden 4: P(X(4) < 1/2)
>> p = int(f4, 0, 1/2)
p = 1/64

205
10 ESTADÍSTICA INFERENCIAL
La Estadística Inferencial proporciona las técnicas para formular proposiciones acerca de la
población, incluyendo una medida para determinar el riesgo de la afirmación.
10.1 INFERENCIA ESTADÍSTICA
Una inferencia estadística es una afirmación que se hace acerca de la población en base a la
información contenida en una muestra aleatoria tomada de esta población.
Debido a la naturaleza aleatoria de los datos obtenidos en la muestra, hay un riesgo en la
certeza de la afirmación propuesta, y es necesario cuantificar el valor de este riesgo.
Un estimador es una variable aleatoria cuyas propiedades permiten estimar el valor del
parámetro poblacional de interés. La muestra aleatoria proporciona únicamente un valor de esta
variable y se denomina estimación puntual.
Para estimar al parámetro poblacional, es posible definir más de un estimador, por ejemplo para
a la media poblacional µ pueden elegirse la mediana muestral X
 o la media muestral X . Cada
uno tiene sus propias características, por lo tanto, es necesario establecer criterios para elegirlo.
Sean θ : Parámetro poblacional de interés (Ej. µ) (Valor desconocido)
Θ : Estimador (Ej. X ) (Variable aleatoria)
θ

: Estimación puntual de Θ (Ej. x ) (Un valor del estimador)
La intuición sugiere que el estimador debe tener una distribución muestral concentrada alrededor
del parámetro y que la varianza del estimador debe ser la menor posible. De esta manera, el
valor que se obtiene en la muestra será cercano al valor del parámetro y será útil para estimarlo.
10.2 MÉTODOS DE INFERENCIA ESTADÍSTICA
Sean θ : Parámetro poblacional de interés (Ej. µ) (Valor desconocido)
Θ : Estimador (Ej. X ) (Variable aleatoria)
θ

: Estimación puntual de Θ (Ej. x ) (Un valor del estimador)
10.2.1 ESTIMACIÓN PUNTUAL
Se trata de determinar la distancia, o error máximo entre la estimación puntual θ

y el valor del
parámetro θ que se desea estimar, con algún nivel de certeza especificado.
|θ

– θ |
Distribución muestral
del estimador Θ
Valor del estimador, o estimación
puntual, obtenido con la muestra
El estimador Θ es una
variable aleatoria

206
10.2.2 ESTIMACIÓN POR INTERVALO
Con el valor θ

del estimador Θ se construye un intervalo que contenga al valor del parámetro θ
que se desea estimar, con algún nivel de certeza especificado.
Li ≤ θ ≤ Ls
En donde Li y Ls son los límites inferior y superior del intervalo
10.2.3 PRUEBA DE HIPÓTESIS
Se formula una hipótesis acerca del parámetro θ asignándole un valor supuesto θ0 y con el valor
θ

del estimador Θ se realiza una prueba para aceptar o rechazar la hipótesis propuesta con
algún nivel de certeza especificado.
Hipótesis propuesta: θ = θ0
10.3 PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES
Las siguientes definiciones establecen las características deseables de los estimadores
Sean θ: Parámetro poblacional que se desea estimar.
Θ: Estimador
Definición 1: Estimador insesgado
Se dice que el estimador Θ es un estimador insesgado del parámetro θ
si E(Θ) = θ
Un estimador insesgado es aquel cuya media o valor esperado coincide con el parámetro que se
quiere estimar.
En el gráfico se observa que Θ1 es un estimador insesgado del parámetro θ pues E(Θ1) = θ.
En cambio, Θ2 no es un estimador insesgado del parámetro θ pues E(Θ2 ) ≠ θ.
Debido a lo anterior, es mas probable que una estimación puntual de Θ1 esté más cercana al
parámetro θ, que una estimación puntual de Θ2

207
Ejemplo. La media muestral X es un estimador insesgado del parámetro µ (media poblacional)
Demostración:
E( X ) =
n
i
i 1
1
E x
n =
 
 
 
∑ = [ ]
n
i
i 1
1
E x
n =
 
 
 
∑ =
n
i 1
1
n =
 
µ
 
 
∑ =
1
n
n
µ =µ
Definición 2: Estimador más eficiente
Se dice que un estimador Θ1 es más eficiente que otro estimador Θ2 si
ambos son insesgados y además V(Θ1) < V(Θ2)
Un estimador es más eficiente si tiene menor varianza.
En el gráfico se observa que Θ1 es un estimador más eficiente del parámetro θ, que el estimador
Θ2 pues ambos son insesgados pero la varianza de Θ1 es menor que la varianza de Θ2. Por lo
tanto, es mas probable que una estimación puntual de Θ1 esté más cercana al valor de θ, que
una estimación puntual de Θ2
Definición 3: Estimador consistente
Se dice que un estimador Θ es un estimador consistente del parámetro θ
si Θ es un estimador insesgado de θ y
n
lim V( ) 0
→∞
Θ =
Ejemplo. La media muestral X es un estimador consistente de µ
Demostración:
V( X ) =
2
n
σ
⇒
2
n
lim 0
n
→∞
σ
= ⇒ X → µ
Definición 4: Sesgo de un estimador
El sesgo B de un estimador Θ está dado por
B = E(Θ) – θ
Es la diferencia entre el valor esperado del estadístico y el valor del parámetro.
De acuerdo con la definición anterior, el sesgo de un estimador insesgado es cero pues
E(Θ1) = θ.

208
Definición 5: Error cuadrático medio (ECM)
Es el valor esperado del cuadrado de la diferencia entre el estimador Θ
y el parámetro θ:
ECM(Θ) = E[Θ – θ]2
Si se desarrolla el cuadrado y se sustituye la definición de varianza y de sesgo se obtiene:
ECM(Θ) = V(Θ) + [E(Θ) – θ]2
= V(Θ) + B2
Esta definición resume las características deseables de un estimador: su varianza debe ser
mínima y su distribución de muestreo debe estar concentrada alrededor del parámetro que es
estimado, es decir el sesgo debe ser mínimo.
Ejemplo
Pruebe que la varianza muestral es un estimador insesgado de la varianza poblacional si se
toma una muestra de tamaño n de una población normal con media µ y varianza σ2
Sea
n
2 2
i
i 1
1
S (x x)
n 1 =
= −
−
∑ . Se tiene que probar que E(S2
) = σ2
Primero expresamos la varianza muestral en una forma conveniente
n n n n n
2 2
2 2 2 2
i i i i i
i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
1 1 1
S (x x) (x 2x x x ) ( x 2x x x )
n 1 n 1 n 1
= = = = =
= −
= − +
= − +
− − −
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
n n n
2 2 2 2
2 2 2
i i i
i 1 i 1 i 1
1 1 1
( x 2x(nx) nx ) ( x 2nx nx ) ( x nx )
n 1 n 1 n 1
= = =
= − + = − + = −
− − −
∑ ∑ ∑
Con la definición de valor esperado
n n
2 2
2 2 2
i i
i 1 i 1
1 1
E(S ) E[ ( X nX )] [ E(X ) nE(X )]
n 1 n 1
= =
= −= −
− −
∑ ∑
Cada variable Xi proviene de la misma población con varianza σ2
y media µ
i
2 2 2 2 2 2 2 2 2
x i i i i
E(X ) E (X ) E(X ) E(X )
σ = σ = − = − µ ⇒ = σ + µ
La media muestral es una variable aleatoria con media µ y varianza σ2
/n
2 2
2 2 2
2 2 2 2
x
E(X ) E (X) E(X ) E(X )
n n
σ σ
σ
= = − = − µ ⇒ = + µ
Se sustituyen en la definición anterior con lo cual se completa la demostración
2
n
2 2 2 2 2 2
i 1
2
2
1 1
E(S ) ( ( ) n( )) (n n n )
n 1 n n 1
(n 1)
n 1
=
σ
= σ + µ − + µ
= σ + µ − σ − µ
− −
σ
= − =
σ
−
∑

209
Ejemplo
Se tiene una población de tamaño N = 6 definida por: {1, 2, 3, 3, 4, 5}
a) Calcule la media de la población µ
b) Calcule la varianza de la población σ2
c) Especifique cuales son todas las muestras de tamaño n = 3 que se pueden obtener
d) Determine la distribución de la media muestral
e) Determine la distribución de la mediana muestral
f) Verifique que la media muestral es un estimador insesgado
g) Verifique si la mediana muestral es un estimador insesgado
h) Verifique que la media muestral es un estimador mas eficiente que la mediana muestral
Solución
a) Calcule la media de la población µ
De la población especificada se deduce que la distribución de probabilidad es:
1/6, x 1, 2, 4, 5
f(x) P(X x) 2/6, x 3
0, otro x
=


= = = =



µ =
x
xf(x)
∑ = 1(1/6) + 2(1/6) + 3(2/6) + 4(1/6) + 5(1/6) = 3
b) Calcule la varianza de la población σ2
σ2
= E(X2
) – E2
(X)
E(X2
) = 2
x
x f(x)
∑ = 12
(1/6) + 22
(1/6) + 32
(2/6) + 42
(1/6) + 52
(1/6) = 32/3
σ2
= 32/3 – 32
= 5/3
c) Especifique cuales son todas las muestras de tamaño n = 3 que se pueden obtener
Cantidad de muestras de tamaño 3
N 6 6!
20
n 3 3! 3!
   
= = =
   
   
(Las muestras son combinaciones)
Muestras Cantidad
Media muestral
x
Mediana muestral

x
(1, 2, 3) 2 (*) 6/3 2
(1, 2, 4) 1 7/3 2
(1, 2, 5) 1 8/3 2
(1, 3, 3) 1 7/3 3
(1, 3, 4) 2 8/3 3
(1, 3, 5) 2 9/3 3
(1, 4, 5) 1 10/3 4
(2, 3, 3) 1 8/3 3
(2, 3, 4) 2 9/3 3
(2, 3, 5) 2 10/3 3
(2, 4, 5) 1 11/3 4
(3, 3, 4) 1 10/3 3
(3, 3, 5) 1 11/3 3
(3, 4, 5) 2 12/3 4
Total 20

210
(*) La cantidad de formas diferentes de tomar el elemento 1, existiendo solamente uno en la
población, el elemento 2, existiendo solamente uno en la población, y el elemento 3, del cual
existen dos en la población es:
1 1 2
2
1 1 1
   
=
   
   
, etc
Las muestras son combinaciones, por lo tanto el orden de los elementos no es de interés.
d) Determine la distribución de probabilidad de la media muestral X
Media muestral x f( x ) =P(X x)
=
6/3 2/20
7/3 2/20
8/3 4/20
9/3 4/20
10/3 4/20
11/3 2/20
12/3 2/20
Total 1
e) Determine la distribución de probabilidad de la mediana muestral 
X
Mediana muestral 
x f( 
x ) =  
P(X x)
=
2 4/20
3 12/20
4 4/20
Total 1
f) Verifique que la media muestral es un estimador insesgado de µ
X
x
E(X) x f(x)
µ= = =
∑ (6/3)(2/20) + (7/3)(2/20) + . . . + (12/3)(2/20) = 3
E(X) 3
= = µ ⇒ X es un estimador insesgado de µ
g) Verifique en este ejemplo si la mediana muestral es un estimador insesgado de µ

  

X
x
E(X) x f(x)
µ= = =
∑ 2(4/20) + 3(12/20) + 4(4/20) = 3

E(X) 3
= = µ ⇒ 
X es un estimador insesgado de µ
Nota: La media muestral es un estimador insesgado de µ. En cambio, la mediana es un
estimador insesgado de µ únicamente cuando la distribución de probabilidad de la variable X
es simétrica alrededor de µ

211
Diagrama de barras de la variable aleatoria X
h) Verifique que la media muestral es un estimador más eficiente que la mediana
muestral
Se deben comparar las varianzas de los estimadores X y 
X
2
2 2
X
V(X) E(X ) E (X)
σ
= = −
2 2
x
E(X ) x f(x)
= ∑ =(6/3)2
(2/20) + (7/3)2
(2/20) + . . . + (12/3)2
(2/20) = 9.333
V(X) = 9.333 – 32
= 0.333

  
2
2 2
X
V(X) E(X ) E (X)
σ
= = −
  

2 2
x
E(X ) x f(x)
= ∑ = 22
(4/20) + 32
(12/20) + 42
(4/20) = 47/5

V(X) = 47/5 – 32
= 0.4
)
V(X < 
V(X) ⇒ La media muestral X es un estimador más eficiente que la mediana
muestral 
X para estimar a la media poblacional µ

212
10.3.1 EJERCICIOS
1) Suponga que se tiene una población cuyos elementos son: { 3, 4, 4, 6} de la cual se toman
muestras de tamaño 2.
a) Escriba el conjunto de todas las muestras de tamaño 2 que se pueden obtener con los
elementos de la población dada.
b) Grafique el histograma de frecuencias de la media muestral
c) Determine la distribución de probabilidad de la media muestral
d) Demuestre que la media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional.
2) Si se toma una muestra de tamaño n = 3 de una población cuya distribución de probabilidades
está dada por
1
x, x 1,2,3,4
f(x) 10
0, otro x

=

= 


Determine si la mediana muestral es un estimador más eficiente que la media muestral para
estimar a la media poblacional.
Sugerencia: Asocie la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X a la siguiente
población: { 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 } y liste todas las muestras de tamaño 3

213
MATLAB
Estudio de estimadores de la media poblacional
>> x=[1 2 3 3 4 5]; Población
>> format rat Formato para ver números racionales
>> mu = mean(x) Media poblacional
mu =
3
>> sigma2 = var(x, 1) Varianza poblacional. (Se escribe var(x)
sigma2 = para varianza de una muestra)
5/3
>> muestras=combnk(x,3) Lista de las muestras de tamaño 3
muestras =
3 4 5
3 4 5
3 3 5
3 3 4
2 4 5
2 3 5
2 3 4
2 3 5
2 3 4
2 3 3
1 4 5
1 3 5
1 3 4
1 3 5
1 3 4
1 3 3
1 2 5
1 2 4
1 2 3
1 2 3
>> n=length(muestras) Cantidad de muestras de tamaño 3
n =
20
>> medias = mean(muestras' ) Lista de las medias de las 20 muestras
medias =
4 4 11/3 10/3 11/3 10/3 3 10/3 3 8/3
10/3 3 8/3 3 8/3 7/3 8/3 7/3 2 2

214
>> medianas = median(muestras' ) Lista de las medianas de las 20 muestras
medianas =
4 4 3 3 4 3 3 3 3 3
4 3 3 3 3 3 2 2 2 2
>> mmedias = mean(medias) Media de las medias muestrales
mmedias =
3 (estimador insesgado)
>> mmedianas=mean(medianas) Media de las medianas muestrales
mmedianas =
3 Coincide con la media poblacional
>> vmedias =var(medias', 1) varianza de la media muestral
vmedias =
1/3
>> vmedianas=var(medianas', 1) Varianza de la mediana muestral
vmedianas =
2/5
La varianza de la mediana muestral es mayor a la varianza de la media muestral, por lo tanto la
media muestral es un estimador más eficiente de la media poblacional

215
10.4 INFERENCIAS RELACIONADAS CON LA MEDIA
10.4.1 ESTIMACIÓN PUNTUAL DE LA MEDIA
Caso: Muestras grandes (n ≥ 30)
Parámetro: µ (Es la medida poblacional cuyo valor se desea estimar)
Población con distribución desconocida, varianza σ2
Estimador: X (Media muestral)
n
i
i 1
1
X X
n =
= ∑ , Media: X
µ =
µ , Varianza:
2
2
X
n
σ
σ =
Siendo la muestra grande, por el Teorema del Límite Central, el estadístico
Z =
X
/ n
− µ
σ
, es una variable con distribución normal estándar, aproximadamente
Definición: zα
zα es el valor de la variable Z en la distribución normal estándar tal que el área
a la derecha debajo de f(z) es igual a un valor especificado α: P(Z ≥ zα) = α.
Ejemplo
Encuentre z0.01
P(Z ≥ z0.01) = 0.01 ⇒ P(Z ≤ z0.01) = 0.99 ⇒ F(z0.01) = 0.99
⇒ z0.01 = 2.33 (Con la tabla de la distribución normal estándar)
ALGUNOS VALORES DE USO FRECUENTE PARA RECORDAR
z0.1 = 1.28
z0.05 = 1.645
z0.025 = 1.96
z0.01 = 2.33
z0.005 = 2.575
f(z)

216
Fórmula para Estimación Puntual de la Media
Consideremos la distribución normal estándar separando el área en tres partes. La porción
central con área o probabilidad 1 - α, y dos porciones simétricas a los lados con área o
probabilidad α/2 cada una, siendo α un valor especificado
Por la definición de probabilidad, se puede escribir:
P(-zα/2 ≤ Z ≤ zα/2) = 1 - α
Es equivalente a decir que la desigualdad
-zα/2 ≤ Z ≤ zα/2 se satisface con probabilidad 1 - α
O equivalentemente:
| Z | ≤ zα/2 se satisface con probabilidad 1 - α
Como se supone que la muestra es grande, por el Teorema del Límite Central
Z =
X
/ n
− µ
σ
, tiene distribución normal estándar aproximadamente
Sustituyendo en la desigualdad se obtiene:
|
X
/ n
− µ
σ
| ≤ zα/2 con probabilidad 1 - α
De donde |X - µ| ≤ zα/2
n
σ
con probabilidad 1 - α.
| X - µ| es el error en la estimación del parámetro µ mediante X . Su máximo valor establece
una cota para este error
Definición: Estimación puntual de la media, n ≥ 30
E = zα/2
n
σ
es el máximo error en la estimación con probabilidad 1 - α
Es decir que si se estima µ mediante X con una muestra de tamaño n≥30, entonces se
puede afirmar con una confianza de 1 - α que el máximo error no excederá de zα/2
n
σ
NOTA: Si se desconoce la varianza poblacional σ2
se puede usar como aproximación la
varianza muestral S2
, siempre que n ≥ 30
Ejemplo
Se ha tomado una muestra aleatoria de 50 artículos producidos por una industria y se obtuvo
que el peso de la media muestral fue 165 gr. con una desviación estándar de 40 gr. Encuentre
el mayor error en la estimación de la media poblacional, con una confianza de 95%.

217
Parámetro: µ
Estimador: X
n≥30: muestra grande
1 - α = 0.95 ⇒ α/2 = 0.025 ⇒ Z0.025 = 1.96
σ2
≅ S2
⇒ σ ≈ S = 40
E = zα/2
n
σ
= 1.96 ( 40
50
) = 11.08 gr.
Conclusión
Se puede afirmar con una confianza de 95% que al usar la media muestral para estimar
a la media poblacional el error no excederá en más de 11.08 gr.
.
10.4.2 TAMAÑO DE LA MUESTRA
La fórmula anterior también se puede usar para estimar el tamaño de la muestra para que el
error en la estimación no exceda a cierto valor con una probabilidad especificada
Definición: Tamaño de la muestra, n ≥ 30
Tamaño de la muestra para que con probabilidad 1 - α el máximo error en la estimación no
exceda al valor especificado E
2
/ 2
n Z
E
α
σ
 
=  
 
Se obtiene directamente de la fórmula anterior:
Ejemplo
Se conoce que la varianza de una población es 20. Determine cual debe ser el tamaño de la
muestra para que el error máximo en la estimación de la media poblacional mediante la media
muestral no exceda de 1 con una probabilidad de 99%
Solución
1 - α = 0.99 ⇒ Zα/2 = Z0.005 = 2.575
σ = 20 = 4.4721
E = 1
2
/ 2
n Z
E
α
σ
 
=  
 
2
4.4721
2.575
1
 
=  
 
= 132.6 ⇒ n ≅ 133
Conclusión
Debe usarse una muestra de tamaño 133

218
Estimador: X (Media muestral)
n
i
i 1
1
X X
n =
= ∑ , Media: X
µ =
µ Varianza:
2
2
X
n
σ
σ =
Siendo la muestra grande, por el Teorema del Límite Central, el estadístico
Z =
X
/ n
− µ
σ
, es una variable con distribución normal estándar aproximadamente
Fórmula para Estimación por Intervalo para la Media
Consideremos la distribución normal estándar separando el área en tres partes. La porción
central con área o probabilidad 1 - α, y dos porciones simétricas a los lados con área o
probabilidad α/2 cada una, siendo α un valor especificado:
P(-zα/2 ≤ Z ≤ zα/2) = 1 - α
- zα/2 ≤ Z ≤ zα/2 se satisface con probabilidad 1 - α
Como se supone que la muestra es grande, por el Teorema del Límite Central
Z =
X
/ n
− µ
σ
Sustituyendo se obtiene:
- zα/2 ≤
X
/ n
− µ
σ
≤ zα/2 con probabilidad 1 - α
De donde al despejar el parámetro de interés µ se tiene,
X - zα/2
n
σ ≤ µ ≤ X + zα/2
n
σ
, con probabilidad 1 - α
Definición: Estimación por Intervalo para la Media con Muestras Grandes
Intervalo de confianza para µ con nivel 1 - α, con una muestra de tamaño n ≥ 30,
X - zα/2
n
σ ≤ µ ≤ X + zα/2
n
σ
Los valores extremos se denominan límites de confianza (inferior y superior)

219
Ejemplo
que la media muestral del peso de los artículos fue 165 gr. con una desviación estándar de 40
gr. Encuentre un intervalo para la media poblacional, con un nivel de confianza de 98%.
Parámetro: µ (población con distribución desconocida)
Estimador: X
n ≥30: muestra grande
1 - α = 0.98 ⇒ α/2 = 0.01 ⇒ Z0.01 = 2.33
σ2
≅ S2
⇒ σ ≅ S = 40
X - zα/2
n
σ ≤ µ ≤ X + zα/2
n
σ
Sustituimos los datos
165 - 2.33 40
50
≤ µ ≤ 165 + 2.33 40
50
151.8 ≤ µ ≤ 178.1
Conclusión
Se puede afirmar con una confianza de 98% que la media poblacional se encuentra
entre 151.8 y 178.1 gr.
10.4.4 INTERVALOS DE CONFIANZA UNILATERALES
Estimador: X (Media muestral, se usa para estimar al parámetro)
Fórmula para Estimación por Intervalos Unilaterales
Con referencia a la distribución normal estándar:
En forma similar al caso considerado para el intervalo de confianza bilateral, se pueden obtener
fórmulas para intervalos de confianza unilaterales que, con una probabilidad especificada,
contengan a la media poblacional.
Definición: Estimación por intervalo para la media
Intervalo de confianza para µ con nivel 1 - α, con una muestra de tamaño n ≥ 30,
µ ≤ X + zα
n
σ Intervalo de confianza unilateral inferior
µ ≥ X - zα
n
σ Intervalo de confianza unilateral superior

220
10.4.5 EJERCICIOS
1) Calcule Z0.025
2) La media de la presión sanguínea de 40 mujeres de edad avanzada es 140. Si estos datos
se pueden considerar como una muestra aleatoria de una población cuya desviación estándar
es 10, encuentre, con una confianza de 95%, el mayor error en la estimación de la media
poblacional.
3) De una población con distribución desconocida se tomó una muestra aleatoria de tamaño 40
y se obtuvo una media de 65.2 y una desviación estándar de 16. Construya un intervalo de
confianza de 90% para la media poblacional.
4) Un fabricante de pinturas desea determinar el tiempo promedio de secado de una nueva
pintura. En 36 pruebas realizadas obtuvo un tiempo de secado medio de 64.2 minutos con una
desviación estándar de 8.5 minutos. Construya un intervalo de confianza unilateral inferior de
95% para la media del tiempo de secado de la nueva pintura.
MATLAB
Obtención de intervalos de confianza para la media, n ≥ 30
Se pueden calcular intervalos de confianza usando la función inversa de la distribución normal
>> p = [0.01, 0.99]; Intervalo de confianza bilateral
>> x = norminv(p, 165, 40/sqrt(50)) 1 - α = 98%, X = 165, S = 40, n = 50
x =
151.8402 178.1598
>> p = [0, 0.98]; Intervalo de confianza unilateral inferior
x =
-Inf 176.6178
>> p = [0.02, 1]; Intervalo de confianza unilateral superior
x =
153.3822 Inf

221
10.4.6 ESTIMACIÓN PUNTUAL DE LA MEDIA
Caso: Muestras pequeñas (n<30)
Población con distribución normal, varianza σ2
desconocida
Para realizar inferencias se usa una variable aleatoria con distribución T
T =
X
s/ n
− µ
, con ν = n –1 grados de libertad
NOTA: Si la población tuviese distribución normal y la varianza poblacional σ2
fuese conocida, la variable aleatoria para realizar inferencias tendría distribución
normal estándar Z, sin importar el tamaño de la muestra.
Fórmula para Estimación Puntual de la Media
Consideremos la distribución T separando el área en tres partes. La porción central con área o
probabilidad 1 - α, y dos porciones simétricas a los lados con área o probabilidad α/2 cada
una, siendo α un valor especificado
P(-tα/2 ≤ T ≤ tα/2) = 1 - α
- tα/2 ≤ T ≤ tα/2 se satisface con probabilidad 1 - α
O equivalentemente:
| T | ≤ tα/2 se satisface con probabilidad 1 - α
Como se supone que la muestra es grande, por el teorema del límite central
T =
X
s/ n
− µ
Sustituyendo en la desigualdad se obtiene:
|
X
s/ n
− µ
| ≤ tα/2 con probabilidad 1 - α
De donde |X - µ| ≤ tα/2
s
n
con probabilidad 1 - α.
| X - µ| es el error en la estimación del parámetro µ mediante X
Definición: Estimación puntual de la media, n < 30
E = tα/2
s
n
es el máximo error en la estimación con probabilidad 1 - α

222
Es decir que si se estima µ mediante X con una muestra de tamaño n < 30, entonces se
puede afirmar con una confianza de 1 - α que el máximo error no excederá a tα/2
s
n
Ejemplo
que el peso de la media muestral fue 165 gr. con una desviación estándar de 40 gr. Encuentre
el mayor error en la estimación de la media poblacional, con una confianza de 95%. Suponga
que la población tiene distribución normal.
Solución
Parámetro: µ, población normal, varianza desconocida
Estimador: X
n <30: muestra pequeña
1 – α = 0.95 ⇒ α/2 = 0.025 ⇒ t0.025 = 2.093, con la tabla T
ν =20 –1=19 grados de libertad
E = tα/2
n
s
= 2.093( 40
20
) = 18.72 gr.
Conclusión
Se puede afirmar con una confianza de 95% que al usar la media muestral para
estimar a la media poblacional, el error no excederá a 18.72 gr.

223
10.4.7 ESTIMACIÓN POR INTERVALO PARA LA MEDIA
Caso n < 30 (Muestras pequeñas)
desconocida
T =
X
s/ n
− µ
, con ν = n-1 grados de libertad
NOTA: Si la población tuviese distribución normal y la varianza poblacional σ2
fuese conocida, la variable aleatoria para realizar inferencias tendría distribución
normal estándar Z, sin importar el tamaño de la muestra.
Fórmula para Estimación por Intervalo para la Media
Consideremos la distribución T separando el área en tres partes. La porción central con área o
probabilidad 1 - α, y dos porciones simétricas a los lados con área o probabilidad α/2 cada
una, siendo α un valor especificado
P(-tα/2 ≤ T ≤ tα/2) = 1 - α
- tα/2 ≤ T ≤ tα/2 se satisface con probabilidad 1 - α
Sustituyendo: T=
X
s
n
− µ
en la desigualdad
Se obtiene:
–tα/2 ≤
X
s
n
− µ
≤ tα/2 con probabilidad 1 - α
De donde al despejar el parámetro de interés µ se tiene,
X – tα/2
s
n
≤ µ ≤ X + tα/2
s
n
, con probabilidad 1 - α
Definición: Estimación por Intervalo para la Media con Muestras Pequeñas
Intervalo de confianza para µ con nivel 1 - α, con n < 30, (muestras pequeñas)
población normal y varianza desconocida,
X - tα/2
n
s
≤ µ ≤ X + tα/2
n
s
Los valores extremos son los límites de confianza

224
Ejemplo
De una población con distribución normal se tomó una muestra aleatoria de 4 observaciones
obteniéndose: 9.4, 12.2, 10.7, 11.6. Encuentre un intervalo para la media poblacional, con un
nivel de confianza de 90%
Parámetro: µ, población normal, varianza desconocida
Estimador: X
n<30: muestra pequeña
Calculamos la media y varianza muestrales:
X =
n 4
i i
i 1 i 1
1 1
x x
n 4
= =
=
∑ ∑ =
1
4
(9.4 + 12.2 + 10.7 + 11.6) = 10.975
S2
=
n
2
i
i 1
1 1
(x x)
n 1 3
=
− =
−
∑ [(9.4 – 10.975)2
+ (12.2 – 10.975)2
+ ... ] = 1.4825
S = 2
S 1.4825
= = 1.2176
1 – α = 0.90 ⇒ α/2 = 0.05 ⇒ tα/2 = t0.05 = 2.353, (Tabla T)
ν = 4 – 1 = 3 grados de libertad
Sustituímos los valores en la desigualdad
X – tα/2
s
n
≤ µ ≤ X + tα/2
s
n
Se obtiene
10.975 – 2.353 1.2176
4
≤ µ ≤ 10.975 + 2.353 1.2176
4
9.5425 ≤ µ ≤ 12.4075
Conclusión
Se puede afirmar con una confianza de 90% que la media poblacional
se encuentra entre 9.5425 y 12.4075
10.4.8 EJERCICIOS
1) Un inspector de alimentos examina una muestra aleatoria de 10 artículos producidos por una
fábrica y obtuvo los siguientes porcentajes de impurezas: 2.3, 1.9, 2.1, 2.8, 2.3, 3.6, 1.8, 3.2,
2.0, 2.1. Suponiendo que la población tiene distribución normal, encuentre el mayor error en la
estimación de la media poblacional, con una confianza de 95%.
2) De una población con distribución normal y varianza 225 se tomó una muestra aleatoria de
tamaño 20 y se obtuvo una media de 64.5. Construya un intervalo de confianza de 95% para
la media poblacional.
3) Un fabricante de pinturas desea determinar el tiempo promedio de secado de una nueva
pintura. En diez pruebas realizadas obtuvo un tiempo de secado medio de 65.2 minutos con
una desviación estándar de 9.4 minutos. Construya un intervalo de confianza de 95% para la
media del tiempo de secado de la nueva pintura. Suponga que la población es normal.
4) El peso de seis artículos de una muestra aleatoria tomada de la producción de una fábrica
fueron: 0.51, 0.59, 0.52, 0.47, 0.53, 0.49 kg. Encuentre un intervalo de confianza de 98% para
la media del peso de todos los artículos producidos. Suponga distribución normal.

225
MATLAB
Obtención de intervalos de confianza para la media, n < 30
>> u = [9.4 12.2 10.7 11.6]; Vector conteniendo una muestra de cuatro datos
>> m = mean(u) Media muestral
m =
10.9750
>> s = std(u) Desviación estándar muestral
s =
1.2176
>> ta = tinv(0.95,3) Valor del estadístico t para α = 0.05, ν = 3
ta =
2.3534
>> x =[m - ta*s/sqrt(4), m+ta*s/sqrt(4)] Intervalo de confianza bilateral para µ
x =
9.5423 12.4077

226
Posibles decisiones que pueden tomarse
10.5 PRUEBA DE HIPÓTESIS
Esta técnica estadística es muy utilizada como soporte a la investigación sistemática y
científica. Consiste en suponer algún valor para el parámetro de interés y usar los datos de la
muestra para aceptar o rechazar esta afirmación.
Es importante entender las diferentes situaciones que pueden ocurrir al probar
estadísticamente una hipótesis.
Sea Ho: alguna hipótesis que se propone para el parámetro de interés
Suponer que se dispone de datos y que se realiza una prueba estadística para verificar la
hipótesis. Entonces pueden ocurrir las siguientes situaciones al tomar una decisión:
Suponer que la hipótesis propuesta Ho es verdadera, pero la prueba estadística dice que Ho
es falsa, entonces al rechazar la hipótesis propuesta cometemos el Error Tipo I
Suponer que la hipótesis propuesta Ho es falsa, pero la prueba estadística dice que Ho es
verdadera, entonces al aceptar la hipótesis propuesta cometemos el Error Tipo II.
Ambos errores pueden tener consecuencias importantes al tomar una decisión en una situación
real. Por lo tanto es necesario cuantificar la probabilidad de cometer cada tipo de error.
Definiciones: Medición de los errores Tipo I y Tipo II
Error Tipo I:
α = P(Rechazar Ho dado que Ho es verdadera)
Error Tipo II:
β = P(Aceptar Ho dado que otra hipótesis es verdadera)
El valor α se denomina nivel de significancia de la prueba y puede darse como un dato
para realizar la prueba.
Algunos valores típicos para α son: 10%, 5%, 2%, 1%
Terminología
Ho: Hipótesis nula. Es la hipótesis propuesta para el parámetro de interés.
Ha: Hipótesis alterna. Es la hipótesis que se plantea en oposición a Ho y que es aceptada en
caso de que Ho sea rechazada
Generalmente es de interés probar Ha, por lo que se plantea Ho con la esperanza de que sea
rechazada mediante la información contenida en la muestra.

227
Ejemplo
Suponer que se desea probar que la media poblacional no es igual a 5
Entonces se pueden plantear:
Ho: µ = 5 (Hipótesis nula)
Ha: µ ≠ 5 (Hipótesis alterna)
Si con los datos de la muestra se puede rechazar Ho, entonces habremos probado Ha,
caso contrario, se dice que no hay evidencia suficiente para rechazar Ho
TIPOS DE PRUEBAS
Sean θ: Parámetro de interés
θ0: Algún valor que se propone para el parámetro
Pruebas de una cola
1) Ho: θ = θ0: (Hipótesis nula)
Ha: θ < θ0: (Hipótesis alterna)
Ha: θ > θ0: (Hipótesis alterna)
Prueba de dos colas
Ha: θ < θ0 ∨ θ > θ0: (Hipótesis alterna)
PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS
Para conocer el procedimiento para la Prueba de Hipótesis, se describe la prueba relacionada
con la media, sin embargo la técnica es aplicable para pruebas con otros parámetros
10.5.1 Prueba de Hipótesis relacionada con la media
Caso n ≥ 30 (Muestra grande)
Parámetro: µ (media poblacional)
Población con varianza σ2
, distribución desconocida,
Estimador: X (media muestral)
Valor propuesto para el parámetro: µ0
Procedimiento
Paso 1. Formular la hipótesis nula: Ho: µ = µ0
Paso 2. Formular una hipótesis alterna, la cual es de interés probar. Elegir una entre:
1) Ha: µ > µ0
2) Ha: µ < µ0
3) Ha: µ < µ0 ∨ µ > µ0
Paso 3. Especificar el nivel de significancia de la prueba: α
Paso 4. Seleccionar el estadístico de prueba y definir la región de rechazo de Ho
En este caso, por el Teorema del Límite Central, el estadístico
o
X
Z
/ n
− µ
=
σ
, tiene Distribución Normal Estándar aproximadamente
La región de rechazo depende de la hipótesis alterna elegida Ha y está determinada
por el valor de α especificado. Se analiza la primera situación: 1) Ha: µ > µ0

228
Ho: µ = µ0
Ha: µ > µ0
Con el valor especificado α se obtiene un valor para Zα el cual delimita la región de rechazo.
La media muestral X es un estimador insesgado del parámetro µ, por lo tanto su valor
esperado coincide con el valor propuesto µ0 para el parámetro.
Según lo anterior, el valor obtenido para la media muestral X debería estar cerca de µ0, y por
lo tanto, el valor de o
X
Z
/ n
− µ
=
σ
deberá estar cercano a 0.
Pero si el valor obtenido para la media muestral X es significativamente mas grande que µ0,
entonces Z caerá en la región de rechazo definida. Esto debe entenderse como una evidencia
de que la media µ0 propuesta para el parámetro µ no es verdad y que debería ser algún valor
más grande, es decir se puede concluir que: µ > µ0
Con esta interpretación rechazamos Ho en favor de Ha con un nivel de significancia α
Sin embargo, siendo X una variable aleatoria, existe la probabilidad de que pueda tomar
cualquier valor. Por lo tanto, es posible que se obtenga un valor para X que caiga en la región
de rechazo aún siendo verdad que su valor esperado sea µ0.
La posibilidad de que se produzca esta situación constituye el Error Tipo I, y la probabilidad
que esto ocurra es también α
Paso 5. Calcular el valor del estadístico de prueba con los datos de la muestra
Paso 6. Tomar una decisión
Si el valor del estadístico de prueba cae en la región de rechazo, la decisión es rechazar Ho
en favor de Ha. Pero, si el valor no cae en esta región crítica, se dice que no hay evidencia
suficiente para rechazar Ho. En este caso es preferible abstenerse de aceptar como
verdadera Ho pues esto puede introducir el Error tipo II
Región en la que µ > µ0
con significancia α

229
Ejemplo
Una muestra aleatoria de 100 paquetes mostró un peso promedio de 71.8 gr. con una
desviación estándar de 8.9 gr.
Pruebe, con un nivel de significancia de 5%, que el peso promedio de todos los paquetes
(población) es mayor a 70 gr.
Seguimos los pasos indicados en el procedimiento básico indicado anteriormente:
1. Hipótesis nula
Ho: µ = 70
2. Hipótesis alterna
Ha: µ > 70
3. Nivel de significancia
α = 0.05
4. Estadístico de prueba
o
X
Z
/ n
− µ
=
σ
por el Teorema del Límite Central. Además σ2
≅ s2
Región de rechazo
zα = z0.05 = 1.645 ⇒ Rechazar Ho en favor de Ha, si z > 1.645
5. Valor del estadístico
o
X
Z
/ n
− µ
=
σ
=
71.8 70
8.9/ 100
−
= 2.02 ⇒ 2.02 cae en la región de rechazo
6. Decisión
Se rechaza que la media poblacional es 70 y se concluye, con una significancia de 5%
que el peso promedio de la población es mayor a 70 gr,

230
El análisis anterior permite interpretar las otras dos situaciones para la hipótesis alterna:
2) Ho: µ = µ0
Ha: µ < µ0
3) Ho: µ = µ0
Ha: µ < µ0 ∨ µ > µ0
10.5.2 EJERCICIOS
1) Una muestra aleatoria de n=40 observaciones tomada de una población en estudio, produjo
una media X =2.4 y una desviación estándar S=0.28. Suponga que se desea demostrar que la
media poblacional µ es mayor a 2.3
a) Enuncie la hipótesis nula para la prueba
b) Enuncie la hipótesis alterna para la prueba
c) Use su intuición para predecir si el valor de la media muestral X = 2.4 es suficiente
evidencia para afirmar que la media poblacional µ es mayor que el valor propuesto 2.3
d) Realice la prueba de hipótesis con un nivel de significancia de α=0.05 y determine si
los datos son evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula en favor de la
hipótesis alterna.
2) Repita el ejercicio 1) con los mismos datos, pero suponiendo que se desea demostrar que la
media poblacional es menor que 2.7
3) Repita el ejercicio 1) con los mismos datos, pero suponiendo que se desea demostrar que la
media poblacional es diferente que 2.7
Región en la que µ < µ0
Regiones en las que
µ < µ0 ∨ µ > µ0

231
MATLAB
Prueba de hipótesis relacionada con la media, n ≥ 30
Vector con los datos de una muestra
>> x = [71.76 69.34 83.16 88.38 67.15 72.72 64.61 77.86 50.76 80.61 73.75 74.13 ...
82.60 69.36 70.62 60.49 56.99 65.54 74.30 66.98 59.93 81.35 65.46 71.70 ...
71.79 69.58 75.33 69.45 56.99 62.64 73.96 60.62 68.71 63.42 61.35 62.71 ...
68.23 73.35 70.77 81.27];
>> m=mean(x) media muestral
m =
69.7430
>> s=std(x) desviación estándar muestral
s =
8.0490
>> [h,p,ci,z]=ztest(x, 67, 8.049, 0.05, 1) Prueba Ho: µ = 67 vs. Ha: µ > 67,
σ ≅S = 8.049, α = 0.05. Prueba unilateral derecha
h = 1 h=1 ⇒ La evidencia es suficiente para rechazar Ho
p = 0.0156 Valor p de la prueba
ci = 67.6497 Inf Intervalo de confianza con nivel 1 – α
z = 2.1553 Valor del estadístico de prueba Z
Prueba unilateral derecha

232
10.5.3 PRUEBA DE HIPÓTESIS RELACIONADA CON LA MEDIA
Caso n<30 (Muestras pequeñas)
desconocida
Estimador T (Variable aleatoria con distribución T, con ν = n-1 )
Valor propuesto para el parámetro: µ0
T =
X
s/ n
− µ
, con ν = n –1 grados de libertad
PROCEDIMIENTO BÁSICO
PASOS
1. Formular la hipótesis nula: Ho: µ = µ0
2. Formular una hipótesis alterna. Elegir una entre:
Ha: µ < µ0
Ha: µ > µ0
Ha: µ ≠ µ0
3. Especificar el nivel de significancia de la prueba: α
4. Seleccionar el estadístico de prueba y definir la región de rechazo de Ho
o
X
t
s/ n
− µ
= , tiene distribución t con ν = n–1 grados de libertad
Ha Región de rechazo de Ho en favor de Ha
µ < µ0 t < -tα
µ > µ0 t > tα
µ ≠< µ0 t <-tα/2 ∨ t > tα/2
5. Con los datos de la muestra calcular el valor del estadístico
6. Si el valor del estadístico de prueba cae en la región de rechazo, la decisión es rechazar Ho
en favor de Ha. Pero, si el valor no cae en esta región crítica, se dice que no hay evidencia
suficiente para rechazar Ho. En este caso es preferible abstenerse de aceptar Ho como
verdadera pues esto puede introducir el error tipo II
Ejemplo
De una población normal se tomó una muestra aleatoria y se obtuvieron los siguientes
resultados: 15, 17, 23, 18, 20. Probar con una significancia de 10% que la media de la
población es mayor a 18
Solución
1. Ho: µ = 18
2. Ha: µ >18
3. Nivel de significancia de la prueba α = 0.10
4. Estadístico de prueba

233
o
X
T
s/ n
− µ
= , tiene distribución T con ν = n – 1 grados de libertad
1
x
5
= (15+17+23+18+20)=18.6
S2
=
1
4
((15-18.6)2
+ (17-18.6)2
+ ... ) = 9.3 ⇒ S = 3.05
Región de rechazo de Ho
α = 0.1 , ν = 5 – 1 = 4 ⇒ t0.1 = 1.53 con la Tabla T
Rechazar Ho si t > 1.53
5. t =
18.6 18
3.05 / 5
−
= 0.44 ⇒ 0.44 no cae en la región de rechazo
6. Decisión
No hay evidencia suficiente para rechazar que la media poblacional es 18.
10.5.4 EJERCICIOS
1) Una muestra aleatoria de 10 observaciones tomada de una población con distribución
normal produjo una media 2.5 y una desviación estándar 0.28. Suponga que se desea
demostrar que la media poblacional es mayor a 2.3
a) Enuncie la hipótesis nula para la prueba
b) Enuncie la hipótesis alterna para la prueba
c) Use su intuición para predecir si el valor de la media muestral es suficiente
evidencia para afirmar que la media poblacional es mayor que el valor propuesto
d) Realice la prueba de hipótesis con un nivel de significancia de 5% y determine si
los datos son evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula en favor de la
hipótesis alterna.
2) El peso de seis artículos de una muestra aleatoria tomada de la producción de una fábrica
fueron: 0.51, 0.59, 0.52, 0.47, 0.53, 0.49 kg. Pruebe si estos datos constituyen una evidencia
suficiente para afirmar que el peso promedio de todos los artículos producidos por la fábrica es
mayor a 0.5 Kg. Encuentre el valor p o nivel de significancia de la prueba. Suponga distribución
normal.

234
MATLAB
Prueba de hipótesis relacionada con la media, n < 30
>> x = [15 17 23 18 20]; Vector con los datos de la muestra
>> [h, p, ci, t] = ttest(x, 18, 0.1, 1) Prueba Ho: µ =18 vs. Ho: µ >18
α = 0.1. Prueba unilateral derecha
h =
0 h=0 ⇒ La evidencia no es suficiente para rechazar Ho
p =
0.3414 Valor p de la prueba
ci =
16.5090 Inf Intervalo de confianza con nivel 1 – α
t =
tstat: 0.4399 Valor del estadístico de prueba
df: 4 Grados de libertad

235
10.5.5 VALOR P DE UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS
El Valor–p de una prueba de hipótesis, o Probabilidad de Cola, es el valor de probabilidad
correspondiente al área de la cola (o colas), a partir del valor observado y representa el nivel de
significancia obtenido con la muestra.
Si esta probabilidad es pequeña, es un indicativo de que los datos de la muestra no apoyan a la
hipótesis nula propuesta pues el valor del estadístico de prueba se ubica lejos del valor
propuesto para el parámetro. Pero si esta probabilidad es grande, significa que los datos de la
muestra favorecen a la hipótesis nula pues el valor del estadístico se ubica cerca del valor
especificado para el parámetro
Ejemplo
Una muestra aleatoria de 100 paquetes mostró un peso promedio de 71.8 gr. con una desviación
estándar de 8.9 gr. Pruebe que el peso promedio de todos los paquetes (población) es mayor a
70 gr. Exprese la respuesta mediante el Valor p de la prueba
El nivel de significancia α no está especificado, por lo tanto se lo puede definir mediante los
datos de la muestra
Hipótesis nula Ho: µ = 70
Hipótesis alterna Ha: µ > 70
Valor del estadístico de prueba
o
X
Z
/ n
− µ
=
σ
≈
71.8 70
8.9/ 100
−
= 2.02
Probabilidad de cola
P = P(Z ≥ 2.02) = 1 – F(2.02) = 1 – 0.9783 = 0.0217 = 2.17%
Se puede concluir que la prueba tiene una significancia de 2.17%
Este valor de probabilidad se denomina Valor p de la prueba o Probabilidad de Cola.

236
10.5.6 CÁLCULO DEL ERROR TIPO I
El Error Tipo I tiene el mismo valor de probabilidad que el nivel de significancia α de la prueba y
representa el error en que se incurrirá si la evidencia de la muestra nos hace rechazar Ho, sin
conocer que Ho es verdadera.
Suponga que se define la siguiente hipótesis relacionada con la media, con una muestra grande.
Ho: µ = µ0 (Hipótesis nula)
Ha: µ > µ0 (Hipótesis alterna)
α: (Nivel de significancia o Error Tipo I)
Z > zα (Región de rechazo)
La región de rechazo está definida con el valor crítico zα que se obtiene del valor especificado α.
La región de rechazo también puede definirse proponiendo un valor crítico c para X , entonces
el Error Tipo I de la prueba es
Definición: Error Tipo I con Ha: µ > µ0 siendo µ = µ0
α = P(Rechazar Ho | Ho es verdadera) = P( X > c) = P(Z > 0
c
/ n
− µ
σ
)
Los valores zα y c están relacionados directamente: zα = 0
c
/ n
− µ
σ
⇒ c = µ0 + zα ( / n
σ )
Para facilitar la comprensión del concepto se ha graficado también X con distribución normal
Ejemplo. X es una variable aleatoria con distribución normal y varianza 49. Se plantea el
siguiente contraste de hipótesis Ho: µ = 15 vs Ha: µ > 15 y se ha especificado como región
de rechazo de Ho que la media X de todas las muestras con n = 40 tengan un valor mayor a 17
Encuentre la medida del Error Tipo I
Error Tipo I: α = P( X >c) = P( X >17)=P(Z > 0
c
/ n
− µ
σ
) = P(Z >
17 15
7/ 40
−
) =P(Z>1.807) ≅ 0.04

237
10.5.7 CÁLCULO DEL ERROR TIPO II
El Error Tipo II se representa por β, y se usa para cuantificar el error en que se incurrirá al
aceptar Ho: µ=µ0 cuando la evidencia de la muestra no es suficiente para rechazarla, sin saber
que el verdadero valor de la media µ es algún otro valor µ1. Para entender el concepto
usamos un caso particular
Caso
Ho: µ = µ0 (Hipótesis nula)
Ha: µ > µ0 (Hipótesis alterna)
α: (Nvel de significancia)
Para calcular el valor de β debemos suponer que hay otro valor verdadero para el parámetro µ.
Sea µ1 el valor que suponemos verdadero. Entonces β es la probabilidad calculada con este
valor µ1 (área a la izquierda del valor crítico c).
Definición: Error Tipo II con Ha: µ > µ0 siendo µ = µ1
1
1
c
P(X c) P(Z )
/ n
µ=µ
− µ
β
= < = <
σ
Ejemplo.-
Suponga que se define la siguiente hipótesis relacionada con la media.
Muestra: n = 100, X =71.8, S = 8.9
Ho: µ = 70 (Hipótesis Nula)
Ha: µ > 70 (Hipótesis alterna)
α: 5% (Nivel de significancia)
Calcule la magnitud del Error Tipo II suponiendo que la media poblacional verdadera es µ = 73
1) Con α se obtiene zα
2) Con zα se obtiene c
3) Con c y µ1 se obtiene β

238
Solución
Región de rechazo de H0
α = 0.05 ⇒ zα = z0.05 = 1.645 ⇒ z > 1.645
Calculemos el valor crítico c de X para la región de rechazo:
zα = 0
c
/ n
− µ
σ
⇒ c = µ0 + zα ( / n
σ ) = 70 + 1.645 ( 8.9/ 100 ) = 71.46
β = P(Aceptar Ho dado que la hipótesis verdadera es: µ = µ1 )
β = P( X < c ) con µ = µ1
= P(Z < 1
c
s/ n
− µ
) = P(Z <
71.46 73
8.9/ 100
−
) = P(Z < –1.73) = 4.18% (Error Tipo II con µ = 73)
Se concluye que la probabilidad de aceptar µ = 70 siendo falsa es 4.18% si µ = 73 es verdadera
10.5.8 CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓN
Si se grafican los puntos de β para algunos valores de µ y se traza una curva, el gráfico
resultante se denomina Curva Característica de Operación. Esta curva es utilizada como
criterio en estudios de Control de Calidad.
10.5.9 POTENCIA DE LA PRUEBA
La Potencia de una Prueba estadística es un concepto relacionado con el Error Tipo II.
Suponga que se define la siguiente hipótesis relacionada con la media:
Ho: µ = µ0
Ha: µ > µ0
Cálculo del Error Tipo II: β = P(Aceptar Ho dado que otra hipótesis es verdadera: µ = µ1 )

239
Si la muestra es grande, entonces:
1
1
c
P(X c) P(Z )
/ n
µ=µ
− µ
β
= < = <
σ
En donde c es el valor crítico de X con el que se acepta o rechaza Ho:
Es posible calcular β para otros valores µ = µ1, µ2, µ3,... por lo tanto, β es una función de µ.
El complemento de β(µ) es otra función de µ y se denomina Potencia de la Prueba K(µ):
Definición: Potencia de la Prueba
K(µ) = 1 - β(µ)
Si β mide la probabilidad de aceptar una hipótesis falsa, entonces la Potencia de la Prueba K
mide la probabilidad de rechazar una hipótesis falsa.
El gráfico de K(µ) representa la probabilidad de rechazar la hipótesis nula dado que es falsa,
para diferentes valores de µ
Ejemplo
Un modelo para la describir el error en la calibración de una máquina es que sea N(µ, 42
)
Se postula el siguiente contraste de hipótesis
Ho: µ = 250 vs. H1: µ > 250
Determine el tamaño de la muestra n y la cantidad c para que la región crítica R de la muestra
sea
R = {(X1, X2, . . . , Xn) | X > c}
Se requiere que el nivel de significancia α o Error Tipo I de la prueba sea 0.0329, y que el Error
Tipo II sea 0.0228 cuando µ valga 252.
Solución
Modelo poblacional: X ∼ N(µ, 42
), σ2
= 42
⇒ σ = 4
Hipótesis nula Ho: µ = 250
Hipótesis alterna H1: µ > 250
La región crítica R = {(X1, X2, . . . , Xn) | X > c} establece que todas las muestras de
tamaño n deben cumplir que su media aritmética X sea mayor a c

240
Nivel de significancia de la prueba o Error Tipo I: α = 0.0329
α = 0.0329 ⇒ α = P(Z > zα)
= P( X > c)
= P(
c
Z
/ n
− µ
>
σ
) con µ = 250
0.0329 = P(
c 250
Z
4 / n
−
> )
⇒ 0.9671 = P(
c 250
Z
4 / n
−
≤ ) ⇒
c 250
4 / n
−
= 1.84 (1) Con la Tabla Z
Error Tipo II: β = 0.0228 con µ = 252
β = 0.0228 ⇒ β = P(Z ≤ zα) con µ = 252
= P( X ≤ c) con µ = 252
= P(
c
Z
/ n
− µ
≤
σ
) con µ = 252
0.0228 = P(
c 252
Z
4 / n
−
≤ ) ⇒
c 252
4 / n
−
= –2.09 (2) Con la tabla Z
Al resolver las ecuaciones
(1)
c 250
4 / n
−
= 1.84, (2)
c 252
4 / n
−
= –2.09
Se obtienen c = 250.936, n = 61.78 ≅ 62

241
Calcule la Potencia de la Prueba para µ entre 247 y 253. Calcule al menos diez valores
β = P(Z ≤ zα) con µ = 247
= P( X ≤ c) con µ = 247
= P( X ≤250.936) con µ = 247
= P(
c
Z
/ n
− µ
≤
σ
) con µ = 247
= P(
250.936 247
Z
4 / 62
−
≤ )
= P(Z ≤ 7.748)
= F(7.748) ≅ 1
K = 1 – β = 1 – 1 = 0
Siguiendo este procedimiento con los otros valores de µ, se obtienen los resultados que se
muestran en el cuadro más abajo
µ z β K = 1 – β
247.0 7.7480 1.000 0.000
247.5 6.7638 1.000 0.000
248.0 5.7795 1.000 0.000
248.5 4.7953 1.000 0.000
249.0 3.8110 1.000 0.000
249.5 2.8268 0.997 0.003
250.0 1.8425 0.967 0.033
250.5 0.8583 0.804 0.196
251.0 -0.1260 0.450 0.550
251.5 -1.1102 0.133 0.867
252.0 -2.0945 0.018 0.982
252.5 -3.0787 0.001 0.999
253.0 -4.0630 0.000 1.000
Gráfico de la Potencia de la Prueba
K(µ)

242
Ejemplo
De una población X∼N(µ, 72
), (significa que la variable X tiene distribución normal con media µ
y varianza 7
2
), se ha tomado una muestra aleatoria de tamaño n para realizar la prueba de
hipótesis:
Ho: µ = 15
Ha: µ > 15
Siendo la región crítica X > c
Se requiere que la Potencia de la Prueba tome el valor 0.8 cuando µ = 17, y que la Potencia
de la Prueba tome el valor 0.95 cuando µ = 18.
Determine los valores de n, c
Solución
Primero obtenemos los valores respectivos de β
µ K β = 1 - K
17 0.8 0.2
18 0.95 0.05
Usamos la fórmula para calcular β: 1
1
c
P(X c) P(Z )
/ n
µ=µ
− µ
β
= < = <
σ
Con µ = 17: 17
P(X c)µ=
β
= < = P(Z<
c 17
7/ n
−
) = F(
c 17
7/ n
−
)
0.2 = F(
c 17
7/ n
−
) ⇒
c 17
7/ n
−
= -0.84 (1) Con la tabla Z
Con µ = 18: 18
P(X c)µ=
β
= < = P(Z<
c 18
7/ n
−
) = F(
c 18
7/ n
−
)
0.05 = F(
c 18
7/ n
−
) ⇒
c 18
7/ n
−
Resolviendo estas dos ecuaciones:
(1)
c 17
7/ n
−
= -0.84 (2)
c 18
7/ n
−
= -1.65
Se obtiene n ≅ 32, c = 15.96
Calcule el nivel de significancia de la prueba α, o Error Tipo I
Solución
α 0
0
c 15.96 15
P(X c) P(Z ) P(Z ) 1 F(0.7758) 0.22
7/ n 7/ 32
µ=µ
− µ −
= > = > = > =− ≅

243
Calcule la Potencia de la Prueba con µ = 12, 13, ..., 19
Solución
1
1
15.96
K( ) 1 ( ) 1 P(X c) 1 P(Z )
7/ 32
µ=µ
− µ
µ = − β µ = − < = − <
Valores calculados:
µ β K=1- β
12 0.999 0.001
13 0.991 0.009
14 0.943 0.057
15 0.781 0.219
16 0.487 0.513
17 0.200 0.800
18 0.049 0.951
19 0.007 0.993
Gráfico de la Potencia de la Prueba

244
Ejemplo
Se conoce que la estatura de la población en cierto país puede ser modelada como una variable
aleatoria normal con media µ desconocida y desviación estándar σ = 0.04 m. Para inferir el
valor desconocido de la media se plantea el siguiente contraste de hipótesis:
Ho: µ = 1.7 vs. H1: µ < 1.7, y se define la región crítica como:
R = {(x1, x2, . . ., xn)∈ℜn
| x1 + x2 + . . . + xn < k}
Determine k y n si se requiere que el nivel de significancia α o Error Tipo I sea 0.01, y que la
Potencia de la Prueba sea igual a 0.98 cuando µ = 1.67
Solución
Modelo poblacional: X ∼ N(µ, 0.042
)
Hipótesis nula Ho: µ = 1.7
Hipótesis alterna H1: µ < 1.7 (H1, es la hipótesis alterna)
La región crítica R = {(x1, x2, . . ., xn) ∈ ℜn
| x1 + x2 + . . . + xn < k} establece que
todas las muestras de tamaño n deben cumplir que x1 + x2 + . . . + xn < k
La especificación: x1 + x2 + . . . + xn < k si se divide para n es equivalente a
especificar que la región crítica o de rechazo es: x < k/n. Sea c = k/n
Los cálculos se describen a continuación:
Error Tipo I: α = 0.01
α = 0.01 ⇒ α = P(Z < -zα)
= P( X < c)
= P(
c
Z
/ n
− µ
<
σ
) con µ = 1.7
0.01 = P(
c 1.7
Z
0.04 / n
−
< ) ⇒
c 1.7
0.04 / n
−
En donde c = k/n es el valor crítico de X que define a la región de rechazo de Ho

245
Potencia de la Prueba: K = 0.98 cuando µ = 1.67
K = 0.98, con µ = 1.67 ⇒ Error Tipo II: β = 1 – K = 1 – 0.98 = 0.02, con µ = 1.67
β = 0.02 ⇒ β = P(Z > -zα) con µ = 1.67
= P( X > c) con µ = 1.67
= P(
c
Z
/ n
− µ
>
σ
) con µ = 1.67
0.02 = P(
c 1.67
Z
0.04 / n
−
> )
⇒ 0.98 = P(
c 1.67
Z
0.04 / n
−
≤ ) ⇒
c 1.67
0.04 / n
−
= 2.055 (2) Con la tabla Z
Al resolver las dos ecuaciones:
(1)
c 1.7
0.04 / n
−
= -2.33
(1)
c 1.67
0.04 / n
−
= 2.055
Se obtiene c = 1.684, n = 34.3 ≅ 35 ⇒ k = nc = 58.94
10.5.10 EJERCICIOS
1) Una variable aleatoria X tiene distribución normal con varianza 49. Se plantea el siguiente
contraste de hipótesis:
Ho: µ = 15 vs Ha: µ > 15
La región crítica para rechazar Ho es R = {(X1, X2, . . . , Xn) ∈ ℜn
| X > c}. Esto significa que la
media muestral X debe ser mayor a c para todas las muestras aleatorias reales de tamaño n
tomadas de la población.
Se desea que el error tipo I sea 0.05, y que el error tipo II sea 0.04 cuando µ = 17
a) Determine c y n
b) Calcule y grafique la potencia de la prueba con µ = 13.0, 13.5, 14.0, 14.5, 15.0, 15.5, 16.0

246
MATLAB
Potencia de la prueba
Resolver el sistema de ecuaciones del último ejemplo
(1)
c 17
7/ n
−
= -0.84 (2)
c 18
7/ n
−
= -1.65
>> [c,n]=solve('(c-17)/(7/sqrt(n))=-0.84','(c-18)/(7/sqrt(n))=-1.65')
c =
15.9629
n =
32.1489
Graficar la curva de la potencia de la prueba para el último ejemplo
>> mu = 12:19 Valores de µ
mu =
12 13 14 15 16 17 18 19
>> beta = normcdf((15.96 - mu)/(7/sqrt(32))) Valores de β(µ)
beta =
0.9993 0.9916 0.9434 0.7811 0.4871 0.2003 0.0496 0.0070
>> k = 1- beta Valores de k(µ) = 1 - β(µ)
k =
0.0007 0.0084 0.0566 0.2189 0.5129 0.7997 0.9504 0.9930
>> plot(mu,k,'ob'),grid on,hold on Gráfico de los puntos k(µ)
>> plot(mu,k,'b') Gráfico de las líneas de k(µ)
>> legend('Potencia de la prueba K(mu)',2)

247
10.6 INFERENCIAS RELACIONADAS CON LA PROPORCIÓN
En muchas aplicaciones interesa conocer el valor de un índice, tasa, etc., la cual representa la
proporción de datos que consideramos “favorables” del total de datos en la población.
En estas situaciones el modelo de probabilidad es la distribución binomial. Este modelo requiere
conocer el valor de probabilidad de "exito" p en cada ensayo. Por lo tanto, es de interés práctico
determinar o al menos estimar el valor de este parámetro poblacional p.
Sea una variable aleatoria X con distribución binomial, con media µ=np y varianza σ2
= npq.
De esta población se toma una muestra de tamaño n y se obtienen x datos favorables. La
relación x/n se denomina proporción muestral p y es un estimador para el parámetro p.
Caso n ≥ 30 (Muestras grandes)
La variable aleatoria p=x/n es la media muestral. Esta variable es un estimador insesgado del
parámetro p, es decir E(p) = p
Demostración
Media de p: p
µ = E(p) = E(X/n) = 1/n E(X) = 1/n (np) = p
Además:
Varianza de p:
2
p
σ = V(p) = V(X/n) = 1/n2
V(X) = 1/n2
(npq) =
pq
n
10.6.1 ESTIMACIÓN PUNTUAL
Parámetro: p (Es la proporción poblacional y cuyo valor se desea estimar)
Población con distribución binomial con media µ y varianza σ2
desconocidas
Estimador: p = x/n (Proporción muestral, se usa para estimar al parámetro)
Muestras grandes (n ≥ 30).
Por el Teorema del Límite Central, el estadístico
p
p
p p p
Z
pq/n
− µ −
= =
σ
tendrá aproximadamente distribución normal estándar.
Fórmula para la Estimación Puntual de la Proporción
Este análisis es similar al realizado para la estimación de la media muestral cuando n ≥ 30 .
Suponer especificado un valor de probabilidad 1 - α ubicado en la parte central del dominio de Z
La desigualdad - zα/2 ≤ Z ≤ zα/2 se satisface con probabilidad 1 - α
Equivale a decir que | Z | ≤ zα/2 tiene probabilidad 1 - α
Sustituyendo Z se obtiene: |
p - p
pq/n
| ≤ zα/2 , con probabilidad 1 - α

248
De donde |p p
− | ≤ zα/2
pq
n
con probabilidad 1 - α
|p p
− | es el error en la estimación de p mediante p
Definición: Estimación Puntual de la Proporción con Probabilidad 1 - α, n ≥ 30
E = zα/2
pq
n
Es el máximo error en la estimación de p
Para evaluarlo, se usa la varianza muestral como aproximación para la varianza poblacional:
pq pq
n n
≅
Parámetro: p (Es la medida poblacional cuyo valor se desea estimar)
desconocidas
Estimador: p=x/n (Proporción muestral)
p
p
p p p
Z
pq/n
− µ −
= =
σ
Fórmula para Estimación por Intervalo de la Proporción
En la misma desigualdad anterior:
- zα/2≤ Z ≤ zα/2 , con probabilidad 1 - α
Sustituimos Z =
p - p
pq
n
y despejamos del numerador el parámetro p
Definición: Intervalo de Confianza para la Proporción con Nivel 1 - α, n ≥ 30
p – zα/2
pq
n
≤ p ≤ p + zα/2
pq
n
Para evaluarlo, se usa la varianza muestral como aproximación para la varianza poblacional:
pq pq
n n
≅

249
Ejemplo
En un estudio de mercado para un producto se tomó una muestra aleatoria de 400 personas de
las cuales 140 respondieron favorablemente.
Encuentre el error máximo en la estimación con probabilidad de 95%
1 – α = 0.95 ⇒ zα/2 = z0.025 = 1.96
p = 140/400 = 0.35
E = zα/2
pq
n
≅ 1.96
(0.35)(0.65)
400
= 4.67%
Encuentre un intervalo de confianza para p con un nivel de 95%
p – zα/2
pq
n
≤ p ≤ p + zα/2
pq
n
0.35 – 1.96
(0.35)(0.65)
400
≤ p ≤ 0.35 + 1.96
(0.35)(0.65)
400
0.303 ≤ p ≤ 0.397
Se puede afirmar con una confianza del 95% que la proporción de personas en la población
que favorecen al producto está entre 30.3% y 39.7%
Parámetro: p (Es la medida poblacional cuyo valor se desea estimar)
desconocidas
Estimador: p=x/n (Proporción muestral)
Valor propuesto para el parámetro: p0
p 0
0 0
p
p p p
Z
p q /n
− µ −
= =
σ
Procedimiento Básico
1) Formular la hipótesis nula: Ho: p = p0 (algún valor específico para p)
2) Formular una hipótesis alterna, elegir una entre:
Ha: p < p0
Ha: p > p0
Ha: p ≠ p0
3) Especificar el nivel de significancia α para la prueba

250
4) Seleccionar el estadístico de prueba y definir la región de rechazo
z = 0
0 0
p - p
p q
n
por el teorema del límite central tiene distribución normal estándar
p < p0 z < -zα
p > p0 z > zα
p ≠ p0 z <-zα/2 ∨ z > zα/2
5) Con los datos de la muestra calcule el valor del estadístico
6) Si el valor del estadístico de prueba cae en la región de rechazo, la decisión
es rechazar Ho en favor de Ha. Caso contrario, se dice que no hay evidencia
suficiente para rechazar Ho.
Ejemplo
La norma para la cantidad de artículos de artículos aceptables producidos por una fábrica es
≥90%. Se ha tomado una muestra aleatoria de 175 artículos y se encontraron 150 artículos
aceptables. Pruebe con una significancia de 5% que no se está cumpliendo con la norma
Solución
Sea p: proporción de artículos aceptables que produce la fábrica
p = x/n = 150/175 = 0.857 = 85.7%
¿Es esto una evidencia de que p < 90% o puede atribuirse únicamente a la aleatoriedad de los
datos, con 5% de probabilidad de equivocarnos?
1) Ho: p = 0.9
2) Ha: p < 0.9
3) Nivel de significancia de la prueba α = 0.05
4) Estadístico de prueba
z = 0
0 0
p - p
p q
n
α = 0.5, zα = z0.05 = 1.645
Rrechazar Ho si z < -1.645
5) z = 0
0 0
p - p
p q
n
=
0.857- 0.9
(0.9)(0.1)
175
= -1.869 ⇒ z < -1.645
6) Decisión: Hay evidencia suficiente para afirmar que, con una significancia de 5%, no
se cumple la norma.

251
10.6.4 EJERCICIOS
1) Se ha tomado una muestra aleatoria de 200 artículos producidos por una empresa y se
observó que 175 fueron aceptables. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la
proporción de artículos aceptables.
2) Una muestra aleatoria de 400 observaciones produjo 150 resultados considerados éxitos. Es
de interés para una investigación probar que la proporción de éxitos difiere de 0.4
a) Proponga la hipótesis nula y la hipótesis alterna
b) Realice una prueba para determinar si hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula
en favor de la hipótesis alterna, con 10% de significancia.
3) Una empresa realizó un estudio de mercado de su producto para lo cual consultó a 200
consumidores. 28 expresaron su preferencia por el producto de la empresa. El fabricante cree,
con este resultado que tiene el 10% del mercado para su producto. Pruebe con 5% de
significancia si esta afirmación es correcta.

252
10.7 INFERENCIAS RELACIONADAS CON LA VARIANZA
Para algunas pruebas y aplicaciones estadísticas, es importante estimar el valor de la varianza
poblacional σ2
.
Suponer una población con distribución normal o aproximadamente normal de la cual se toma
una muestra aleatoria de tamaño n y se obtiene la varianza muestral S2
:
n
2 2
i
i 1
1
S (X X)
n 1 =
= −
−
∑ ,
n
i
i 1
1
X X
n =
= ∑
El estadístico S2
es un estimador insesgado del parámetro σ2
puesto que:
E(S2
) = σ2
También se puede probar la siguiente fórmula para la varianza muestral:
V(S2
) =
4
2
n 1
σ
−
, n > 1
Características
Parámetro: σ2
(Es la medida poblacional cuyo valor se desea estimar)
Población con distribución normal
Estimador: S2
(Varianza muestral, se usa para estimar al parámetro
El estadístico de prueba para realizar inferencias es χ2
=
2
2
S
(n - 1)
σ
que tiene distribución Ji-cuadrado con ν = n – 1 grados de libertad
10.7.1 INTERVALO DE CONFIANZA
Para definir un intervalo de confianza, se sigue un procedimiento similar a otros parámetros.
Definimos un intervalo central para la variable χ2
con área o probabilidad 1 - α, y la diferencia
α se reparte a ambos lados en dos áreas iguales con valor α/2.
Debido a que la distribución de χ2
es asimétrica, los valores de esta variable no tienen la misma
distancia desde el centro y se los representa con
2
2
/
1 α
−
χ y
2
2
/
α
χ de acuerdo a la definición
establecida para uso de la Tabla Ji-cuadrado.
Entonces, con probabilidad 1 - α se puede construir un intervalo para χ2
:
2
2
/
1 α
−
χ ≤ χ2
≤
2
2
/
α
χ

253
Si se sustituye la definición de la variable aleatoria χ2
= (n–1)
2
2
S
σ
y se despeja el parámetro de
interés σ2
se obtiene
Definición: Intervalo de confianza para la Varianza con Nivel 1 – α
(n – 1)
2
2
/
2
S
α
χ
≤ σ2
≤ (n – 1)
2
2
/
1
2
S
α
−
χ
Ejemplo
En una muestra aleatoria se registró el peso de 10 paquetes y se obtuvieron los siguientes
resultados en gramos: 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 41.9, 45.2, 46.0
Encuentre un intervalo de confianza para la varianza del peso de toda la producción, con un nivel
de 95%. Suponga que la población tiene distribución normal
n = 10,
n
i
i 1
1
X X
n =
= ∑ =
1
10
[46.4 + 46.1 + ... ] = 45.62
n
2 2
i
i 1
1
S (X X)
n 1 =
= −
−
∑ =
1
9
[(46.4 – 45.62)2
+ (46.1 – 45.62)2
+ ... ] = 1.919
1 – α = 0.95, ν = n – 1 = 9 ⇒
2
2
/
α
χ =
2
025
.
0
χ = 19.02 (Tabla χ2
)
⇒
2
2
/
1 α
−
χ =
2
975
.
0
χ = 2.7 (Tabla χ2
)
Se sustituye en la definición del intervalo de confianza:
(n – 1)
2
2
/ 2
S
α
χ
≤ σ2
≤ (n – 1)
2
2
1 / 2
S
−α
χ
9 (1.919/19.02) ≤ σ2
≤ 9 (1.919/2.7) ⇒ 0.908 ≤ σ2
≤ 6.398
Se puede afirmar con una confianza de 95% que la varianza poblacional se encuentra en
el intervalo [0,908, 6.398]
Se usa el mismo procedimiento básico para los parámetros estudiados anteriormente:
1) Definir la hipótesis nula Ho: σ2
=
2
o
σ (algún valor especificado)
2) Elegir una hipótesis alterna: Ha: σ2
<
2
o
σ
Ha: σ2
>
2
o
σ
Ha: σ2
≠
2
o
σ

254
3) Seleccionar el nivel de significancia α
χ2
= (n-1)
2
o
2
S
σ
, distribución ji-cuadrado con ν = n-1 grados de libertad
Región crítica
σ2
< 2
o
σ χ2
< 2
1 α
−
χ
σ2
> 2
o
σ χ2
> 2
α
χ
σ2
≠ 2
o
σ χ2
< 2
2
/
1 α
−
χ ∨ χ2
> 2
2
/
α
χ
5) Calcular el valor del estadístico de prueba con los datos de la muestra
6) Tomar una decisión.
Ejemplo
Un fabricante afirma que la duración de su producto tiene distribución aproximadamente normal
con una desviación estándar de 0.9 años.
Una muestra aleatoria de 10 productos tuvo una desviación estándar de 1.2 años. Pruebe, con
una significancia de 5%, si esta evidencia es suficiente para afirmar que la desviación estándar
poblacional es mayor a la especificada
La prueba es aplicable a la varianza σ2
por lo tanto σ2
= (0.9)2
= 0.81
1) Ho: σ2
= 0.81
2) Ha: σ2
> 0.81
3) α = 0.05
χ2
= (n-1)
2
2
o
S
σ
, distribución ji-cuadrado con ν = n-1 grados de libertad
Región de rechazo
α = 0.05, ν = n - 1 = 9 ⇒ 2
0.05
χ = 16.91
Rechazar Ho si χ2
> 16.91
5) χ2
= (n-1)
2
2
o
S
σ
= 9
2
(1.2)
0.81
=16.0
6) Con 5% de significancia se puede concluir que no hay evidencia suficiente para
rechazar la afirmación del fabricante

255
10.7.3 EJERCICIOS
1) Se tomó una muestra aleatoria de 15 observaciones de una población normal y se obtuvo que
la media y la varianza muestrales fueron respectivamente 3.92 y 0.325. Encuentre un intervalo
de confianza de 90 para varianza de la población.
2) Una muestra aleatoria de 20 observaciones tomada de una población normal produjo una
varianza muestral igual a 18.2. Determine si los datos proporcionan suficiente evidencia para
afirmar que ñla varianza poblacional es mayor a 15. Haga la prueba con 5% de significancia.
3) El fabricante de un artículo afirma que la resistencia media de su artículo tiene distribución
normal con una desviación estándar de 0.5. Una muestra aleatoria 4 observaciones produjo los
siguientes resultados de su resistencia: 5.2 4.3 3.7 3.9 5.7. Realice una prueba con 5% de
sigificancia para determinar si la desviación estándar especificada por el fabricante es cierta.
4) Un fabricante de cables de cobre afirma que la resistencia de su producto tiene distribución
normal con varianza de 100.
Al probar la resistencia de cuatro artículos de una muestra aleatoria se obtuvieron los siguientes
resultados: 130, 152, 128, 145.
Pruebe con una significancia de 5% que la varianza excede a la especificación.
MATLAB
Obtención de un intervalo de confianza para la varianza σ2
Vector conteniendo una muestra de diez datos
>> u=[46.4 46.1 45.8 47.0 46.1 45.9 45.8 41.9 45.2 46.0];
>> v=var(u) Varianza muestral
v =
1.9196
>> ja=chi2inv(0.975,9) Valor del estadístico χ2
para α = 0.025, ν = 9
ja =
19.0228
>> j1a=chi2inv(0.025,9) Valor del estadístico χ2
para α = 0.975, ν = 9
j1a =
2.7004
>> x=[9*v/ja, 9*v/j1a] Intervalo de confianza bilateral para σ2
x =
0.9082 6.3976

256
10.8 INFERENCIAS RELACIONADAS CON LA DIFERENCIA
ENTRE DOS MEDIAS
10.8.1 ESTIMACIÓN PUNTUAL E INTERVALO DE CONFIANZA
CASO: Muestras grandes (n≥30)
En esta sección se desarrolla la técnica para comparar las medias de dos poblaciones.
Supongamos dos poblaciones de las cuales se toman muestras aleatorias independientes y
se usa la diferencia de las medias muestrales para estimar la diferencia de las medias
poblacionales.
Parámetro: µ1 - µ2 Diferencia de medias poblacionales
Poblaciones con distribuciones desconocidas, con varianzas 2
1
σ , 2
2
σ
Estimador: 1
X - 2
X Diferencia de medias muestrales
Muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n2 mayores o iguales a 30
Media y varianza del estimador:
2
x
1
x −
µ = E( 1
X - 2
X ) = E( 1
X ) – E( 2
X ) = µ1 - µ2 (Es un estimador insesgado)
1 2
2
X X
−
σ = V( 1
X - 2
X ) = V[(1) 1
X + (-1) 2
X ] = (1)2
V( 1
X ) + (-1)2
V( 2
X ) =
2 2
1 2
1 2
n n
σ σ
+
Adicionalmente, pueden aproximarse las varianzas poblacionales con las varianzas
muestrales: 2
1
σ ≅ 2
1
S , 2
2
σ ≅ 2
2
S
Siendo las muestras grandes, por el Teorema del Límite Central, el estadístico
1 2
1 2
1 2 x x
x x
(x x )
Z
−
−
− − µ
=
σ
= 1 2 1 2
2 2
1 2
1 2
(x x ) ( )
n n
− − µ − µ
σ σ
+
,
tiene distribución normal estándar aproximadamente,

257
Con un planteamiento similar al realizado en casos anteriores se tiene
Con probabilidad 1 - α, se cumple la desigualdad: -zα/2 ≤ Z ≤ zα/2
Sustituyendo Z y con la definición de error en la estimación se obtiene:
Definición: Error máximo en la estimación de µ1 - µ2 con probabilidad 1 - α
E = z α/2
2 2
1 2
1 2
n n
σ σ
+
Sustituyendo Z y despejando el parámetro de interés µ1 - µ2 se obtiene:
Definición: Intervalo de confianza para µ1 - µ2 con nivel 1 - α
( 1
X - 2
X ) - z α/2
2 2
1 2
1 2
n n
σ σ
+ ≤ µ1 - µ2 ≤ ( 1
X - 2
X ) + z α/2
2 2
1 2
1 2
n n
σ σ
+
Ejemplo
De dos poblaciones, 1 y 2, se tomaron muestras aleatorias independientes y se obtuvieron los
siguientes resultados:
Muestra n x S2
1 36 12.7 1.38
2 49 7.4 4.14
Encuentre el mayor error en la estimación puntual de µ1 - µ2 con probabilidad 95%
1- α = 0.95 ⇒ zα/2 = z0.025 = 1.96. Sustituimos en la fórmula:
E = z α/2
2 2
1 2
1 2
n n
σ σ
+ ≅ 1.96
1.38 4.14
36 49
+ = 0.687
Z = 1 2 1 2
2 2
1 2
1 2
(x x ) ( )
n n
− − µ − µ
σ σ
+

258
Encuentre un intervalo de confianza para µ1 - µ2 con nivel 95%
Sustituimos en la fórmula respectiva:
(12.7 - 7.4) – 1.96
1.38 4.14
36 49
+ ≤ µ1 - µ2 ≤ (12.7 - 7.4) + 1.96
1.38 4.14
36 49
+
4.613 ≤ µ1 - µ2 ≤ 5.987
Con los datos de las muestras se puede afirmar con una confianza de 95% que µ1 es
mayor a µ2 en un valor que puede ir desde 4.613 hasta 5.987
CASO: Muestras grandes (n≥30)
PROCEDIMIENTO BÁSICO
1) Formular la hipótesis nula: Ho: µ1 - µ2 = d0 (usualmente d0=0 para probar Ho: µ1 = µ2)
2) Formular una hipótesis alterna. Elegir una entre:
Ha: µ1 - µ2 < d0
Ha: µ1 - µ2 > d0
Ha: µ1 - µ2 ≠ d0
3) Especificar el nivel de significancia para la prueba α
4) Seleccionar el estadístico de prueba y definir la región de rechazo de Ho
Z = 1 2 0
2 2
1 2
1 2
(x x ) d
n n
− −
σ σ
+
tiene distribución normal estándar aproximadamente
Adicionalmente: 2
1
σ ≅ 2
1
S , 2
2
σ ≅ 2
2
S
µ1 - µ2 < d0 z < -zα
µ1 - µ2 > d0 z > zα
µ1 - µ2 ≠ d0 z<-zα/2 ∨ z > zα/2
5) Con los datos de la muestra calcule el valor del estadístico
6) Si el valor del estadístico de prueba cae en la región de rechazo, la decisión
es rechazar Ho en favor de Ha. Caso contrario, se dice que no hay evidencia
suficiente para rechazar Ho.

259
Ejemplo. Suponga los siguientes datos correspondientes a dos muestras aleatorias
independientes tomadas de dos poblaciones cuyas medias se desea estudiar
Muestra n x S2
1 75 82 64
2 50 76 36
Pruebe la hipótesis µ1 > µ2 con un nivel de significancia de 10%
Solución
1) Ho: µ1 - µ2 = 0
2) Ha: µ1 - µ2 >0
3) α = 0.1
4) Z = 1 2 0
2 2
1 2
1 2
(x x ) d
n n
− −
σ σ
+
zα = 1.28: Rechazar Ho si z > 1.28
5) Z =
(82 76) 0
64 36
75 50
− −
+
= 4.78
6) Con una significancia de 10% se acepta que µ1 > µ2

260
Muestras pequeñas (n<30)
En esta sección se desarrolla la técnica para comparar las medias de dos poblaciones.
Supongamos dos poblaciones de las cuales se toman muestras aleatorias independientes
para usar la diferencia de las medias muestrales como una estimación de las medias
poblacionales.
Parámetro: µ1 - µ2 Diferencia de medias poblacionales
Poblaciones con distribuciones normales, con varianzas 2
1
σ , 2
2
σ desconocidas
Estimador: 1
X - 2
X Diferencia de medias muestrales
Muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n2 menores a 30
Media del estimador
2
x
1
x −
µ = E[ 1
X - 2
X ] = E[ 1
X ] - E[ 2
X ] = µ1 - µ2 (Estimador insesgado)
Estadístico de prueba
T =
1 2
1 2 1 2
X X
(X X ) ( )
S −
− − µ − µ
, distribución T
Nota: Si las varianzas poblacionales 2 2
1 2
,
σ σ fuesen conocidas teniendo las poblaciones
distribución normal el estadístico tendría distribución normal estándar, sin importar el tamaño de
las muestras
La teoría estadística provee adicionalmente una prueba para verificar estas suposiciones acerca
de las varianzas, la misma que se estudiará posteriormente.
Se analizan dos situaciones acerca de las varianzas: 2 2
1 2
σ = σ y 2 2
1 2
σ ≠ σ .
a) Caso:
2
2
2
1 σ
=
σ
T =
1 2
1 2 1 2
X X
(X X ) ( )
S −
− − µ − µ
, distribución T con ν = n1 + n2 – 2 grados de libertad
1 2
X X
S −
= Sp
1 2
1 1
n n
+ ,
2 2
2 1 1 2 2
p
1 2
(n 1)S (n 1)S
S
n n 2
− + −
=
+ −

261
Con un planteamiento similar al realizado en casos anteriores:
Con probabilidad 1 – α, se tiene la desigualdad: -tα/2 ≤ T ≤ tα/2
Sustituyendo T y despejando el parámetro de interés µ1 - µ2 se obtiene:
Definición: Intervalo de confianza para µ1 - µ2 con nivel 1 - α, con
2
2
2
1
σ = σ
( 1
x - 2
x ) - tα/2 2
1 X
X
S −
≤ µ1 - µ2 ≤ ( 1
x - 2
x ) + tα/2 2
1 X
X
S −
b) Caso:
2
2
2
1 σ
≠
σ
T =
1 2
1 2 1 2
X X
(X X ) ( )
S −
− − µ − µ
, distribución T con ν =
2
2 2
1 2
1 2
2 2
2 2
1 2
1 2
1 2
S S
n n
S S
n n
n 1 n 1
 
+
 
 
 
   
   
   
   
+
− −
grados de libertad
1 2
X X
S −
=
2 2
1 2
1 2
S S
n n
+ ,
Definición: Intervalo de confianza para µ1 - µ2 con nivel 1 - α,
2
2
2
1
σ ≠ σ
( 1
x - 2
x ) - tα/2 2
1 X
X
S −
≤ µ1 - µ2 ≤ ( 1
x - 2
x ) + tα/2 2
1 X
X
S −
T =
1 2
1 2 1 2
X X
(X X ) ( )
S −
− − µ − µ

262
Muestras pequeñas (n<30)
a) Caso:
2
2
2
1 σ
=
σ
1) Ho: µ1 - µ2 = d0 (usualmente d0 = 0)
2) Ha: µ1 - µ2 < d0
µ1 - µ2 > d0
µ1 - µ2 ≠ d0
3) α: nivel de significancia
4) Estadístico de prueba y región de rechazo
t =
1 2
1 2 0
X X
(X X ) d
S −
− −
1 2
X X
S −
= Sp
1 2
1 1
n n
+ ,
2 2
2 1 1 2 2
p
1 2
(n 1)S (n 1)S
S
n n 2
− + −
=
+ −
Ha Región de rechazo de Ho
µ1 - µ2 < d0 t < -tα
µ1 - µ2 > d0 t > tα
µ1 - µ2 ≠ d0 t < -tα/2 ∨ t > tα/2
b) Caso:
2
2
2
1 σ
≠
σ
1) Ho: µ1 - µ2 = d0 (usualmente d0 = 0)
2) Ha: µ1 - µ2 < d0
µ1 - µ2 > d0
µ1 - µ2 ≠ d0
4) Estadístico de prueba y región de rechazo
T=
1 2
1 2 0
X X
(X X ) d
S −
− −
, distribución T con ν =
2
2 2
1 2
1 2
2 2
2 2
1 2
1 2
1 2
S S
n n
S S
n n
n 1 n 1
 
+
 
 
 
   
   
   
   
+
− −
grados de libertad
1 2
X X
S −
=
2 2
1 2
1 2
S S
n n
+
Ha Región de rechazo de Ho
µ1 - µ2 < d0 t < -tα
µ1 - µ2 > d0 t > tα
µ1 - µ2 ≠ d0 t < -tα/2 ∨ t > tα/2

263
Ejemplo.
(Caso: 2 2
1 2
σ =
σ )
Se realizó un experimento para comparar la resistencia de dos materiales, obteniéndose los
Material n X S
1 12 85 4
2 10 81 5
Suponga que son muestras aleatorias independientes y que provienen de poblaciones normales
con varianzas desconocidas pero que se pueden considerar iguales.
Pruebe con 5% de significancia que la resistencia del material uno excede a la resistencia del
material dos en dos unidades.
Solución
1) Ho: µ1 - µ2 = 2
2) Ha: µ1 - µ2 > 2
3) α = 0.05
T =
1 2
1 2 0
X X
(X X ) d
S −
− −
α = 0.05, ν = n1 + n2 – 2 = 12 + 10 – 2 = 20 ⇒ t0.05 = 1.725 (Tabla T)
t > 1.725
5) Cálculo del valor del estadístico de prueba
2 2
2 1 1 2 2
p
1 2
(n 1)S (n 1)S
S
n n 2
− + −
=
+ −
=
2 2
(12 1)4 (10 1)5
12 10 2
− + −
+ −
= 20.05
2
1 X
X
S −
= Sp
1 2
1 1
n n
+ =
1 1
20.05
12 10
+ = 1.917
t =
1 2
1 2 0
X X
(X X ) d
S −
− −
=
(85 81) 2
1.917
− −
= 1.043
6) t no cae en la región de rechazo de Ho por lo tanto, con 5% de significancia, no hay
evidencia suficiente para rechazar que el material 1 excede al material 2 en mas de
unidades.

264
Ejemplo.
(Caso: 2 2
1 2
σ ≠ σ )
Se realizó un experimento para comparar la resistencia de dos materiales, obteniéndose los
Material n X S2
1 15 3.84 3.07
2 12 1.49 0.80
Suponga que son muestras aleatorias independientes y que provienen de poblaciones normales
con varianzas desconocidas, suponer diferentes.
Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la diferencia de las medias poblacionales
µ1 - µ2.
Solución
ν =
2
2 2
1 2
1 2
2 2
2 2
1 2
1 2
1 2
S S
n n
S S
n n
n 1 n 1
 
+
 
 
 
   
   
   
   
+
− −
=
2
2 2
3.07 0.80
15 12
3.07 0.80
15 12
15 1 12 1
 
+
 
 
   
   
   
+
− −
≅ 21
1 - α = 0.95 ⇒ α/2 = 0.025, ν = 21, ⇒ tα/2 = t0.025 = 2.08 (Tabla T)
1 2
X X
S −
=
2 2
1 2
1 2
S S
n n
+ =
3.07 0.80
15 12
+ = 0.521
Sustituimos en la fórmula respectiva:
( 1
x – 2
x ) - tα/2 2
1 X
X
S −
≤ µ1 - µ2 ≤ ( 1
x – 2
x ) + tα/2 2
1 X
X
S −
(3.84 - 1.49) - 2.08(0.521) ≤ µ1 - µ2 ≤ (3.84 - 1.49) + 2.08(0.521)
1.266 ≤ µ1 - µ2 ≤ 3.434
Por lo tanto, se puede afirmar con una confianza de 95% que la diferencia de las
medias de la resistencia de los dos materiales está entre 1.266 y 3.434

265
10.8.5 EJERCICIOS
1) De dos poblaciones se tomaron muestras aleatorias independientes y se obtuvieron los
Muestra n x S2
1 36 1.24 0.056
2 45 1.31 0.054
a) Encuentre un intervalo de confianza para µ1 - µ2 con nivel 90%.
b) Con una significancia de 5% realice una prueba para determinar si la evidencia de las
muestras es suficiente para afirmar que las medias poblacionales son diferentes.
2) De dos procesos de producción 1 y 2, se tomaron dos muestras aleatorias independientes y
se obtuvieron los siguientes resultados del tiempo de producción de los artículos.
Muestra 1: 14, 10, 8, 12
Muestra 2: 12, 9, 7, 10, 6
Suponga que las poblaciones tienen distribución normal con varianzas aproximadamente iguales
a) Encuentre un intervalo de confianza de 95% para µ1 – µ2
b) Pruebe con 5% de significancia que µ1 > µ2
MATLAB
Inferencias relacionadas con dos medias. Muestras pequeñas. Varianzas iguales
>> x=normrnd(22,3,1,10) Muestra aleatoria X: una fila con 10 cols. X ~ N(22, 3)
x =
20.3213 23.3310 19.1503 24.3435 23.7069
19.5349 21.2032 18.4367 15.3930 24.9590
>> y=normrnd(20,3,1,15) Muestra aleatoria Y: una fila con 15 cols. Y ~ N(20, 3)
y =
18.4441 20.9821 20.7022 20.0644 16.9882
17.1586 18.8767 16.4423 16.8323 24.4174
20.1672 16.3480 19.8763 16.6150 15.9522
>> [h, p, ci, stats]=ttest2(x, y, 0.05, 1) Prueba Ho: µX = µY vs. Ha: µX > µY,
2 2
X Y
σ =
σ , α = 0.05. Prueba unilateral derecha
h = 1 h =1 ⇒ La evidencia es suficiente para rechazar Ho
ci = 0.5211 Inf Intervalo de confianza con nivel 1 – α
stats = tstat: 2.1943 Valor del estadístico de prueba T
df: 23 grados de libertad

266
10.9 INFERENCIAS PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS
PROPORCIONES
CASO: Muestras grandes
Esta inferencia se utiliza para relacionar las proporciones entre dos poblaciones.
Sean dos poblaciones con distribución binomial de las cuales se toman muestras aleatorias
independientes para usar su diferencia como una estimación de la diferencia entre las
proporciones poblacionales.
Parámetro: p1 - p2 Diferencia entre proporciones poblacionales
Poblaciones con distribución binomial y parámetros p1, p2 desconocidos
Muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n2 mayores o iguales a 30
Estimador: 1
p - 2
p Diferencia entre proporciones muestrales
en donde p 1=x1 /n1, p 2 =x2 /n2
Media y varianza del estimador
2
1 p
p −
µ = E(p 1 - p 2) = E(p 1) – E(p 2) = E(x1/n1) – E(x2/n2) =
= 1/n1E(x1) - 1/n2E(x2) = (1/n1)n1p1 - (1/n2)n2p2 = p1 - p2 (estimador insesgado)
2
p
p 2
1−
σ = V(p 1 - p 2) = V[(1) p 1 + (-1) p 2] = (1)2
V(p 1) + (-1)2
V(p 2)
= V(x1/n1) + V(x2/n2) = 2
1
1
n
V(x1) + 2
2
1
n
V(x2)
= 2
1
1
n
(n1p1q1) + 2
2
1
n
(n2p2q2) = 1 1 2 2
1 2
p q p q
n n
+
Estadístico de Prueba
Z = 1 2
1 2
1 2 p p
p p
(p p ) −
−
− − µ
σ
= 1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(p p ) (p p )
p q p q
n n
− − −
+
Por el Teorema del Límite Central tiene distribución normal estándar aproximadamente.
Con un criterio similar al usado anteriormente para muestras grandes, se puede aproximar la
varianza poblacional mediante la varianza muestral.
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2 1 2
p q p q
p q p q
n n n n
+ ≅ +

267
Con un planteamiento similar al realizado en casos anteriores para muestras grandes:
Con probabilidad 1 - α, se cumple la desigualdad: -zα/2 ≤ Z ≤ zα/2
Sustituyendo Z y despejando el parámetro de interés p1 - p2 se obtiene:
Definición: Intervalo de confianza para p1 - p2 con nivel 1 - α
1 1 2 2
/2
1 2
1 2
p q p q
(p p ) z
n n
α
− − + ≤ p1 - p2 ≤ 1 1 2 2
/2
1 2
1 2
p q p q
(p p ) z
n n
α
− + +
Ejemplo
132 de 200 electores de la región uno favorecen a un candidato, mientras que le son favorables
90 de 150 electores de la región dos. Suponiendo que las muestras son aleatorias e
independientes encuentre un intervalo de confianza de 99% para la diferencia entre las
proporciones de electores que le son favorables en estas dos regiones.
Solución
1 - α = 0.99 ⇒ zα/2 = z0.005 = 2.575
Sustituimos en la fórmula anterior: p 1= x1/n1 = 132/200 = 0.66, p 2= x2/n2 = 90/150 = 0.6
(0.66)(0.34) (0.6)(0.4)
(0.66 0.6) 2.575
200 150
− − + ≤ p1 - p2 ≤
(0.66)(0.34) (0.6)(0.4)
(0.66 0.6) 2.575
200 150
− + +
⇒ -0.074 ≤ p1 - p2 ≤ 0.194
Con una confianza de 99%, se puede afirmar que la proporción de votantes que favorecen al
candidato va de 7.74% con una proporción mayor en la región 2, hasta un valor de 19.4% en la
que la proporción es mayor en la región 1.
Z = 1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(p p ) (p p )
p q p q
n n
− − −
+

268
1) Formular la hipótesis nula: Ho: p1 - p2 = d0 (Algún valor especificado. Usualmente: d0=0)
2) Formular una hipótesis alterna. Elegir una entre:
Ha: p1 - p2 < d0
Ha: p1 - p2 > d0
Ha: p1 - p2 ≠ d0
3) Especificar el nivel de significancia α para la prueba
4) Seleccionar el estadístico de prueba y definir la región de rechazo de Ho
Z = 0
1 2
1 1 2 2
1 2
(p p ) d
p q p q
n n
− −
+
, con distribución normal estándar aproximadamente
En donde: 1 1 2 2 1 1 2 2
1 2 1 2
p q p q
p q p q
n n n n
+ ≅ +
p1 - p2 < d0 z < -zα
p1 - p2 > d0 z > zα
p1 - p2 ≠ d0 z < -zα/2 ∨ z > zα/2
5) Con los datos de la muestra calcular el valor del estadístico
6) Si el valor del estadístico de prueba cae en la región de rechazo, la decisión es rechazar Ho
en favor de Ha. Caso contrario, se dice que no hay evidencia suficiente para rechazar Ho.
10.9.3 EJERCICIOS
Un fabricante modificó el proceso de producción de sus artículos para reducir la proporción de
artículos defectuosos. Para determinar si la modificación fue efectiva el fabricante tomó una
muestra aleatoria de 200 artículos antes de la modificación y otra muestra aleatoria
independiente, de 300 artículos después de la modificación, obteniendo respectivamente 108 y
96 artículos defectuosos.
a) Encuentre un intervalo de confianza de 98% para la diferencia entre las proporciones de
artículos defectuosos en ambas poblaciones (antes y después de la modificación)
b) Realice una prueba de hipótesis de 1% de significancia para probar que la modificación
realizada en el proceso de producción reduce la proporción de artículos defectuosos.

269
10.10 INFERENCIAS PARA DOS VARIANZAS
Parámetros:
2
1
σ ,
2
2
σ (varianzas poblacionales)
Poblaciones con distribución normal
Estimadores: 2
1
S y 2
2
S (varianzas muestrales)
muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2
Estadístico de prueba: F =
2 2
1 1
2 2
2 2
S /
S /
σ
σ
tiene distribución F, con ν1 = n1 – 1, ν2 = n2 – 1 grados de libertad
Se especifica un valor de probabilidad 1- α en la distribución F como se muestra en el gráfico
Se tiene
1 2
1 /2, ,
F −α ν ν ≤ F ≤ 1 2
/2, ,
Fα ν ν con probabilidad 1- α
Si se sustituye F y se despeja el parámetro de interés se obtiene
1 2 1 2
2 2 2
1 1 1
2 2 2
/2, , 1 /2, ,
2 2 2
S S
1 1
F F
S S
α υ υ −α υ υ
σ
≤ ≤
σ
Con la definición 1 2
2 1
1 , ,
, ,
1
F
F
−α ν ν
α ν ν
= se puede escribir:
Definición: Intervalo de Confianza para
2
1
σ / 2
2
σ con nivel 1- α
2 1
1 2
2 2 2
1 1 1
/2, ,
2 2 2
/2, ,
2 2 2
S S
1
F
F
S S
α υ υ
α υ υ
σ
≤ ≤
σ
Con ν1 = n1 – 1, ν2 = n2 – 1 grados de libertad

270
Ejemplo
De dos poblaciones con distribuciones normales se han tomado dos muestras aleatorias
independientes y se obtuvieron:
Muestra n X S2
1 10 5.9 4
2 8 7.1 5
Encuentre un intervalo para
2
1
σ / 2
2
σ con un nivel de confianza de 90%
Solución
1- α = 0.9 ⇒ α/2 = 0.05, ν1 = 10 – 1 = 9, ν2 = 8 – 1 = 7
1 2
/ 2, ,
Fα ν ν = 0.05, 9, 7
F = 3.68 (Tabla F)
2 1
/ 2, ,
Fα ν ν = 0.05, 7, 9
F = 3.29
Sustituyendo
2
1
2
2
4 1 4
3.29
5 3.68 5
σ
≤ ≤
σ
⇒
2
1
2
2
0.2222 2.6320
σ
≤ ≤
σ
1) Definir la hipótesis nula Ho:
2
2
2
1 σ
=
σ
2) Elegir una Hipótesis alterna: Ha:
2
2
2
1 σ
<
σ
Ha:
2
2
2
1 σ
>
σ
Ha:
2
2
2
1 σ
≠
σ
3) Seleccionar el nivel de significancia α
4) Estadístico de prueba. Se obtiene simplificando
2
2
2
1 σ
=
σ
F =
2
1
2
2
S
S
, distribución F con ν1 = n1 – 1, ν2 = n2 – 1 grados de libertad
Región crítica
2
2
2
1 σ
<
σ F < F1– α
2
2
2
1 σ
>
σ F > Fα
2
2
2
1 σ
≠
σ F < F1-α/2 ∨ F > Fα/2
5) Calcular el valor del estadístico de prueba con los datos de la muestra
6) Decidir
Ejemplo
De dos poblaciones con distribuciones normales se han tomado dos muestras aleatorias
independientes y se obtuvieron:
Muestra n X S2
1 10 5.9 4
2 8 7.1 5
Pruebe con 10% de significancia que las poblaciones tienen varianzas diferentes

271
Solución
1) Ho:
2
2
2
1 σ
=
σ
2) Ha:
2
2
2
1 σ
≠
σ
3) α = 0.1
F =
2
1
2
2
S
S
, distribución F con ν1 = n1 – 1, ν2 = n2 – 1 grados de libertad
Región crítica
α = 0.1 ⇒ α/2 = 0.05, ν1 = 10 – 1 = 9, ν2 = 8 – 1 = 7
1 2
/ 2, ,
Fα ν ν = F0.05, 9, 7 = 3.68 (Tabla F)
1 2
2 1
1 /2, , 0.95, 9, 7
/2, , 0.05, 7, 9
1 1
F F
F F
−α ν ν
α ν ν
= = = =
1
3.29
= 0.304
Región de rechazo de Ho en favor de Ha
F < 0.304 ∨ F > 3.68
5) Cálculo del estadístico de prueba
F =
2
1
2
2
S
S
= 4/5 = 0.8
6) Decisión: No hay evidencia suficiente en la muestra para rechazar la hipótesis que las
varianzas poblacionales son iguales

272
10.10.3 EJERCICIOS
Las siguientes son las calificaciones obtenidas en el examen final de una materia por dos grupos
de 8 mujeres y 8 hombres:
Hombres 55 68 70 66 91 78 81
Mujeres 73 65 74 80 76 63 82
Suponiendo que los datos pueden considerarse como muestras aleatorias independientes
tomadas de poblaciones con distribución normal, pruebe con 5% de significancia que la varianza
de las calificaciones de los hombres es mayor a la de las mujeres.
MATLAB
>> alfa=0.1;
>> F1=finv(1-alfa/2,9,7) Valores de la distribución F
F1 =
3.6767
>> F2=finv(1-alfa/2,7,9)
F2 =
3.2927
>> IC = [4/5*1/F1, 4/5*F2] Intervalo de confianza
IC =
0.2176 2.6342

273
10.11 PRUEBA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON
MUESTRAS PAREADAS
Esta prueba permite comparar las medias de dos poblaciones usando dos muestras aleatorias
que no son independientes. Esto significa que las observaciones de una muestra influyen en
los resultados de la otra.
Suponga que se quiere conocer la opinión acerca de la calidad de dos marcas de cierto
producto. Si se eligiera una muestra aleatoria del producto de la una marca y se la probara con
un grupo de personas, y se eligiera una muestra aleatoria del producto de la otra marca y se las
probara con otro grupo de personas, entonces las muestras serían independientes.
Pero, si se las muestras aleatorias de las dos marcas del producto se las probase con el mismo
grupo de personas, entonces los resultados obtenidos ya no son independientes pues la opinión
de cada persona respecto a la una marca, afecta a su opinión acerca de la otra marca. Este es
un caso de muestras pareadas.
Supongamos dos poblaciones acerca de las cuales es de de interés estimar el valor de la
diferencia entre estas medias poblacionales. De estas poblaciones se toman muestras aleatorias
pareadas. Al no ser muestras independientes, no se puede usar como estimador la diferencia de
las medias muestrales, siendo necesario definir otro estadístico.
µ1 - µ2: Parámetro de interés
n: Tamaño de la muestra pareada
X1: Observaciones obtenidas en la muestra tomada de la población 1
X2: Observaciones obtenidas en la muestra tomada de la población 2
Di = X1,i – X2,i , i=1, 2, ..., n: Diferencias entre observaciones
Di son variables aleatorias independientes.
Estimador D : media de las diferencias entre las observaciones
D =
n n
i 1,i 2,i
i 1 i 1
1 1
D (X X )
n n
= =
= −
∑ ∑ con varianza
n
2 2
i
D
i 1
1
S (D D)
n 1 =
= −
−
∑
D es un estimador insesgado del parámetro µ1 - µ2:
1) Ho: µ1 - µ2 = d0 (algún valor especificado, por ejemplo 0)
2) Ha: µ1 - µ2 < d0
µ1 - µ2 > d0
µ1 - µ2 ≠ d0

274
Caso: n ≥ 30
0
D
D d
Z
S
n
−
=
Con distribución aproximadamente normal estándar por el Teorema del Límite Central
Caso: n < 30. Suponer poblaciones con distribución normal aproximadamente
0
D
D d
T
S
n
−
=
Con distribución T con ν = n –1 grados de libertad
Ejemplo
Los siguientes datos corresponden a un estudio de las horas perdidas mensualmente por
accidentes de trabajo en 6 fábricas antes y después de implantar un programa de seguridad
industrial.
Fábrica
Antes
(horas perdidas)
Después
(horas perdidas)
1 45 36
2 73 60
3 46 44
4 39 29
5 17 11
6 30 32
Suponiendo que la población es normal, probar con 5% de significancia que el programa
es eficaz.
Solución
Sean µ1 media de las horas perdidas antes del programa
µ2 media de las horas perdidas después del programa
Se desea probar que µ1 > µ2 ⇒ µ1 – µ2 > 0
1) Ho: µ1 – µ2 = 0
2) Ha: µ1 – µ2 > 0
3) α = 0.05
4) Estadístico de prueba, n < 30
0
D
D d
T
S
n
−
=
Distribución T con ν = n –1 grados de libertad
tα = t0.05 = 2.015, con ν = n – 1 = 5 grados de libertad
Región de rechazo para Ho: t > 2.015

275
5) d=
n
i
i 1
1 1
d
n 6
=
=
∑ [(45-36) + (73-60) + ... ] = 6.335
n
2 2
i
D
i 1
1
s (d d)
n 1 =
= −
−
∑ =
1
5
[(9-5.5)2
+ (13-5.5)2
+ ... ] =30.6666
D
s = 30.6666 = 5.5377
6.335 0
t
5.5377
6
−
= = 2.8022 > 2.015
6) Decisión:
Se rechaza Ho en favor de Ha, es decir, con una significancia de 5% se puede afirmar
que el programa si es eficaz
10.11.2 EJERCICIOS
1) Los siguientes datos corresponden a la frecuencia cardiaca de un grupo de 6 personas
medida antes y después de haberse sometido a un tratamiento:
Antes: 83, 78, 91, 87, 85, 84
Después: 76, 81, 88, 86, 83, 87
Pruebe con 5% de significancia que este tratamiento no varia la frecuencia cardiaca de las
personas que lo toman. Suponga que la población es normal
2) Se eligieron 6 trabajadores para realizar una tarea, antes y después de aplicar una nueva
técnica, obteniéndose los siguientes resultados en horas:
8 y 6, 10 y 7, 8 y 8, 10 y 8, 8 y 7, 9 y 7
Con un nivel de significancia de 5% pruebe si la nueva técnica es eficaz

276
MATLAB
Prueba de hipótesis relacionada con muestras pareadas, n < 30
>> antes = [45 73 46 39 17 30]; Datos “antes”
>> despues = [36 60 44 29 11 32]; Datos “después”
>> d=antes - despues Vector de diferencias
d =
9 13 2 10 6 -2
>> [h, p, ci, t] = ttest(d, 0, 0.05, 1) Prueba Ho: µ1 – µ2 = 0 vs. Ho: µ1 – µ2 > 0
α = 0.1. Prueba unilateral derecha
h =
1 h=0 ⇒ La evidencia no es suficiente para rechazar Ho
p =
ci =
1.7778 Inf Intervalo de confianza para d
t =
tstat: 2.8014 Valor del estadístico de prueba

277
10.12 TABLAS DE CONTINGENCIA
Esta prueba se puede usar para determinar la independencia entre dos métodos o factores
involucrados en la obtención de datos.
Para aplicar esta prueba se organiza una tabla, colocando en las filas y columnas los
resultados obtenidos con ambos factores.
Terminología
n: Cantidad de observaciones en la muestra
r: Cantidad de filas
c: Cantidad de columnas
ri: Total de resultados en la fila i
cj: Total de resultados en la columna j
ni, j: Total de resultados observados en la fila i, columna j (son los datos muestrales)
ei, j: Total de resultados esperados en la fila i, columna j (se obtienen con la hipótesis)
Obtención de la frecuencia esperada ei, j
Definiciones
pi: Probabilidad que un resultado pertenezca a la fila i
pi = ri / n
pj: Probabilidad que un resultado pertenezca a la columna j
pj = cj / n
pi, j: Probabilidad que un resultado pertenezca a la fila i, columna j
Hipótesis que se debe probar
Que los resultados son independientes de entre filas y columnas
Ho: pi, j = pi pj
Si esta hipótesis fuese cierta se tendría que la frecuencia esperada sería
ei, j = pi, j n = pi pj n =
j
i
c
r
( )( )n
n n
=
i j
r c
n
Definición: Estadístico de Prueba para Tablas de Contingencia
1
χ2
= ∑∑
= =
−
r
1
i
c
1
j j
i
2
j
i
j
i
e
e
n
,
,
, )
(
, tiene distribución Ji-cuadrado con ν = (r–1)(c–1) grados de libertad
Dado el nivel de significancia α para la prueba, si las diferencias entre la frecuencia observada
j
,
i
n y la frecuencia esperada j
,
i
e son significativas, entonces el estadístico de prueba caerá
en la región de rechazo de la hipótesis nula Ho la cual propone independencia entre resultados.
Si χ2
>
2
α
χ se rechaza Ho ⇒ Los resultados no son independientes entre filas y columnas
χ2
= ∑∑
= =
−
r
1
i
c
1
j j
i
2
j
i
j
i
e
e
n
,
,
, )
(

278
1) Ho: ∀i,j ( pi,j = pi pj ) (los resultados son independientes
entre filas y columnas)
2) Ha:  Ho (los resultados no son independientes)
3) α: Nivel de significancia de la prueba
4) Con los valores de α y ν = (r-1)(c-1) se define la región de rechazo de Ho
χ2
>
2
α
χ
5) Calcular el valor del estadístico de prueba
χ2
= ∑∑
= =
−
r
1
i
c
1
j j
i
2
j
i
j
i
e
e
n
,
,
, )
(
, distribución Ji-cuadrado con ν = (r-1)(c-1) grados de libertad
Ejemplo
Los siguientes datos corresponden a la cantidad de errores de producción de artículos en una
empresa, organizados por tipo de error (columnas 1, 2, 3, 4) y por el equipo de obreros que los
fabricó (filas 1, 2, 3)
1 2 3 4
1 15 21 45 13
2 26 31 34 5
3 33 17 49 20
Pruebe con 5% de significancia que la cantidad de errores en la producción de los artículos es
independiente del tipo de error y del equipo que los fabricó
Solución
Completamos el cuadro colocando en los bordes las sumas de filas ri y la suma de columnas
cj y en la parte inferior de cada celda la frecuencia esperada ei, j calculada con la fórmula:
i j
i,j
r c
e
n
=
e1,1 = r1 c1 / n = (94)(74)/309 = 22.51
e1,2 = r1 c2 / n = (94)(69)/309 = 20.99
e1,3 = r1 c3 / n = (94)(128)/309 = 38.94
e1,4 = r1 c4 / n = (94)(38)/309 = 11.56
e2,1 = r2 c1 / n = (96)(74)/309 = 22.99
... etc
Tabulación
1 2 3 4 ri
1
15
22.51
21
20.99
45
38.94
13
11.56
94
2
26
22.99
31
21.44
34
39.77
5
11.81
96
3
33
28.50
17
26.57
49
49.29
20
14.63
119
cj 74 69 128 38 n = 309

279
Definimos la región de rechazo
α = 0.05, ν = (r – 1)(c – 1) = (3)(2) = 6 ⇒
2
α
χ =
2
05
0.
χ = 12.54 (Tabla χ2
)
Rechazar Ho si χ2
> 12.54
Cálculo del estadístico de prueba
χ2
= ∑∑
= =
−
r
1
i
c
1
j j
i
2
j
i
j
i
e
e
n
,
,
, )
(
=
2 2 2
(15 22.51) (21 20.99) (45 38.94)
...
22.51 20.99 38.94
− − −
+ + + = 19.18
Decisión
El valor del estadístico de prueba cae en la región de rechazo de Ho, por lo tanto se
concluye que no hay independencia entre el tipo de error en los artículos producidos y
el equipo de obreros que los fabricó.
10.12.2 EJERCICIOS
1) Los siguientes datos corresponden a las calificaciones en tres materias (columnas 1, 2, 3)
obtenidas por cuatro estudiantes (filas 1, 2, 3, 4)
1 2 3
1 73 68 56
2 65 70 50
3 70 73 55
4 68 71 54
Pruebe con 5% de significancia que no hay dependencia entre las calificaciones obtenidas en
las materias y los estudiantes
2) En una muestra aleatoria de 100 ciudadanos de Guayaquil, se los clasificó por su ocupación:
obrero, estudiante, profesional, y se les consultó si están a favor o en contra de la integración
de un organismo de justicia, propuesto por el Congreso.
Se obtuvieron los siguientes datos:
Obrero Estudiante Profesional
A favor 10 16 14
En contra 12 26 22
Proponga y pruebe una hipótesis para demostrar, con 5% de significancia, que la opinión de los
ciudadanos es independiente de su ocupación.

280
MATLAB
Prueba con tablas de contingencia
>> n=[15 21 45 13; 26 31 34 5; 33 17 49 20] Frecuencias observadas
n =
15 21 45 13
26 31 34 5
33 17 49 20
>> r=sum(t) Suma de filas
r =
74 69 128 38
>> c=sum(t' ) Suma de columnas
c =
94 96 119
>> e=(c' *(r))/(sum(sum(t))) Frecuencias esperadas
e =
22.5113 20.9903 38.9385 11.5599
22.9903 21.4369 39.7670 11.8058
28.4984 26.5728 49.2945 14.6343
>> ji2=sum(sum((n-e).^2./e)) Valor del estadístico de prueba
ji2 =
19.1780
>> vc=chi2inv(0.95,6) Valor crítico de rechazo
vc =
12.5916
Conclusión: El valor del estadístico cae en la región de rechazo de Ho

281
10.13 PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE
Estas pruebas permiten verificar que la población de la cual proviene una muestra tiene una
distribución especificada o supuesta.
Sean X: Variable aleatoria poblacional
f0(x): Distribución (o densidad) de probabilidad especificada o supuesta para X
Se desea probar la hipótesis: Ho: f(x) = f0(x)
En contraste con la hipótesis alterna: Ha:  H0 (negación de Ho)
10.13.1 PRUEBA JI-CUADRADO
Esta prueba es aplicable para variables aleatorias discretas o continuas
Sea una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población con una distribución
especificada f0(x) que es de interés verificar.
Suponer que las observaciones de la muestra están agrupadas en k clases, siendo ni la
cantidad de observaciones en cada clase i = 1, 2, ..., k
Con el modelo especificado f0(x) se puede calcular la probabilidad pi que un dato cualquiera
pertenezca a una clase i.
Con este valor de probabilidad se puede encontrar la frecuencia esperada ei para la clase i, es
decir, la cantidad de datos que según el modelo propuesto deberían estar incluidos en la clase i:
ei = pi n, i = 1, 2, ..., k
Tenemos entonces dos valores de frecuencia para cada clase i
ni: frecuencia observada (corresponde a los datos de la muestra)
ei: frecuencia esperada (corresponde al modelo propuesto)
La teoría estadística demuestra que la siguiente variable es apropiada para realizar una prueba
de bondad de ajuste:
Definición: Estadístico para la Prueba de Bondad de Ajuste Ji-Cuadrado
χ2
= ∑
=
−
k
1
i i
2
i
i
e
)
e
n
(
, distribución Ji-cuadrado con ν = k–1 grados de libertad
Una condición necesaria para aplicar esta prueba es que: ∀i(ei ≥ 5)
Dado el nivel de significancia α se define el valor crítico
2
α
χ para el rechazo de la hipótesis
propuesta Ho: f(x) = f0(x).
Si las frecuencias observadas no difieren significativamente de las frecuencias esperadas
calculadas con el modelo propuesto, entonces el valor de estadístico de prueba χ2
será cercano
a cero. Pero si estas diferencias son significativas, entonces el valor del estadístico χ2
estará en
la región de rechazo de Ho:
χ2
>
2
α
χ

282
Ejemplo.
Se ha tomado una muestra aleatoria de 40 baterías y se ha registrado su duración en años.
Estos resultados se los ha agrupado en 7 clases, como se muestra en el siguiente cuadro
i Clase (duración) Frecuencia observada (ni)
1 1.45 – 1.95 2
2 1.95 – 2.45 1
3 2.45 – 2.95 4
4 2.95 – 3.45 15
5 3.45 – 3.95 10
6 3.95 – 4.45 5
7 4.45 – 4.95 3
Verificar con 5% de significancia que la duración en años de las baterías producidas por este
fabricante tiene duración distribuida normalmente con media 3.5 y desviación estándar 0.7
Solución
Sea X: duración en años (variable aleatoria contínua)
1) Ho: f(x) = N(3.5, 0.7) (Distribución normal, µ = 3.5, σ = 0.7)
2) Ha:  H0
3) α = 0.05
Cálculo de la probabilidad correspondiente a cada intervalo con el modelo propuesto
χ2
= ∑
=
−
k
1
i i
2
i
i
e
)
e
n
(
f(x)=N(3.5, 0.7)

283
p1 = P(X ≤ 1.95) =
1.95 3.5
P(Z )
0.7
−
≤ = 0.0136
p2 = P(1.95 ≤ X ≤ 2.45) =
1.95 3.5 2.45 3.5
P( Z )
0.7 0.7
− −
≤ ≤ = 0.0532
p3 = P(2.45 ≤ X ≤ 2.95) =
2.45 3.5 2.95 3.5
P( Z )
0.7 0.7
− −
≤ ≤ = 0.135
... (etc)
Cálculo de las frecuencias esperadas
e1 = p1 n = 0.0136 (40) ≈ 0.5
e2 = p2 n = 0.0532 (40) ≈ 2.1
e3 = p3 n = 0.135 (40) ≈ 5.4
... (etc)
Resumen de resultados
Duración (años) Frecuencia observada (ni) Frecuencia esperada (ei)
1.45 – 1.95 2 0.5
1.95 – 2.45 1 2.1
2.45 – 2.95 4 5.4
2.95 – 3.45 15 10.3
3.45 – 3.95 10 10.7
3.95 – 4.45 5 7
4.45 – 4.95 3 3.5
Es necesario que se cumpla la condición ∀i(ei ≥ 5) por lo que se deben agrupar clases
adyacentes. Como resultado se tienen cuatro clases: k = 4
Duración (años) Frecuencia observada (ni) Frecuencia esperada (ei)
1.45 – 2.95 7 8.5
2.95 – 3.45 15 10.3
3.45 – 3.95 10 10.7
3.95 – 4.95 8 10.5
Ahora se puede definir la región de rechazo de Ho
α = 0.05, ν = k – 1 = 3, ⇒ 2
0.05
χ = 7.815 (Tabla χ2
)
Rechazar Ho si 2
7.815
χ >
5) Cálculo del estadístico de prueba
χ2
= ∑
=
−
k
1
i i
2
i
i
e
)
e
n
(
=
2 2 2 2
(7 8.5) (15 10.3) (10 10.7) (8 10.5)
8.5 10.3 10.7 10.5
 
− − − −
+ + +
 
 
= 3.05
6) Decisión
Como 3.05 no es mayor a 7.815, se dice que no hay evidencia suficiente para rechazar
el modelo propuesto para la población.
NOTA IMPORTANTE: En general, si no se especifican los parámetros para el modelo
propuesto, pueden estimarse con los datos de la muestra.

284
10.13.2 EJERCICIOS
1) El siguiente cuadro muestra el registro del tiempo en horas que duran encendidos hasta que
fallan una muestra de 200 focos de cierta marca
Tiempo Cantidad
en horas de focos
0 – 250 82
250 – 500 45
500 – 750 34
750 – 1000 15
1000 – 1250 10
1250 – 1500 6
1500 – 1750 4
1750 – 2000 3
2000 – 2250 1
Con 10% de significancia verifique la hipótesis que el tiempo de duración de los focos tiene
distribución exponencial.
Debido a que no se especifica el parámetro del modelo propuesto, debe estimarlo a partir de los
datos de la muestra (calcule la media muestral con la fórmula para datos agrupados)

285
MATLAB
Colocar la densidad normal sobre el histograma de la muestra
Datos de la muestra
>> x = [ 5.73 5.01 6.89 8.28 5.43 5.01 5.85 7.12 5.00 4.51 6.03 6.10 6.87 ...
5.36 5.99 5.59 6.08 8.34 5.35 4.31 6.85 4.93 6.25 5.32 6.94 6.97 ...
5.91 3.32 6.38 8.43 7.62 3.98 6.08 5.24 4.76 4.47 6.60 5.59 6.27 5.68];
Tabulación de frecuencia en siete clases
>> f = hist(x,7)
f =
2 4 9 11 9 2 3
Graficar el histograma y la distribución normal
>> histfit(x, 7)

286
10.13.3 PRUEBA DE KOLMOGOROV - SMIRNOV (K-S)
Esta prueba se usa para probar modelos de probabilidad con variables aleatorias continuas. Es
de especial interés para muestras pequeñas. Si la prueba se usa con variables aleatorias
discretas, la decisión tiene confianza aceptable cuando se rechaza la hipótesis nula.
f0(x): Función de densidad de probabilidad especificada o supuesta para X
Se desea probar la hipótesis: Ho: f(x) = f0(x)
En contraste con la hipótesis alterna: Ha:  H0 (Negación de Ho)
Sea una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población con una distribución
especificada f0(x) que es de interés verificar:
x1, x2, ... ,xn
Las observaciones se las ordenadas en forma creciente:
x(1), x(2), ... ,x(n)
Con los valores de x se obtienen valores de la siguiente función
Definición: Función de Distribución Empírica de la Muestra





≥
<
≤
<
= +
(n)
)
1
i
(
(i)
(1)
n
x
x
,
1
x
x
x
,
n
/
i
x
x
,
0
)
x
(
S , i=1,2,..., n-1
Sea F0(x) la función de distribución acumulada correspondiente al modelo propuesto f0(x):
F0(x) = P(X ≤ x)
Con los valores de x se obtienen valores de la función F0(x).
Se tabulan los valores calculados de Sn(x) y F0(x). Entonces se utiliza el estadístico para esta
prueba definido de la siguiente forma:
Definición: Estadístico de prueba K-S (Kolmogorov-Smirnov)
Dn = max |Sn(xi) – F0(xi)| , i=1, 2, ..., n
Si se especifica el nivel de significancia α se puede construir la región de rechazo para la prueba
Sea: Dα valor crítico para la prueba K-S
Rechazar Ho si Dn > Dα
Algunos valores para el estadístico D están registrados en la Tabla K-S que se incluye al final de
este documento. Si no se especifica α se puede expresar la decisión mediante el valor de
significancia obtenido con los datos de la muestra.

287
Ejemplo
Suponga los siguientes datos obtenidos en una muestra aleatoria:
7.2, 7.5, 8.1 9.6, 9.1, 8.1, 7.6, 6.8
Pruebe con 5% de significancia que provienen de una población con distribución normal, con
media 8 y varianza 1: X ∼ N(8, 1)
Solución
Ho: f(x) = N(8, 1) (Hipótesis que interesa probar)
Ha:  H0
α = 0.05
α = 0.05, n = 8 ⇒ D0.05 = 0.457 (Tabla K-S)
Rechazar Ho si Dn > 0.457
Valores de la Distribución Empírica:
n
0, x 6.8
1/8, 6.8 x 7.2
2/8, 7.2 x 7.5
3/8, 7.5 x 7.6
S (x)
4 /8, 7.6 x 8.1
6/8, 8.1 x 9.1
7/8, 9.1 x 9.6
1, x 9.6
<
 
 
≤ <
 
 
≤ <
 
≤ <
 
=  
≤ <
 
 
≤ <
 
≤ <
 
 
≥
 
Cálculo de los valores de F0(x) según el modelo propuesto
F0(x) = P(X≤x) = P(Z≤
x 8
1
−
) (Distribución Normal Estándar acumulada)
F0(6,8) = P(X≤6.8) = P(Z≤
6.8 8
1
−
) = F(-1.2) = 0.1151 (Tabla Z)
F0(7.2) = P(X≤7.2) = P(Z≤
7.2 8
1
−
) = F(-0.8) = 0.2119
... etc.
Tabulación de los resultados y obtención de Dn
x Sn(x) F0(x) |Sn(x)- F0(x)|
6.8 1/8 0.1151 0.0099
7.2 2/8 0.2119 0.0381
7.5 3/8 0.3085 0.0665
7.6 4/8 0.3446 0.1554
8.1 6/8 0.5398 0.2102
9.1 7/8 0.8643 0.0107
9.6 1 0.9452 0.0548

288
Valor del estadístico de prueba
Dn = max |Sn(xi) – F0(xi)| , i=1, 2, ..., n
Dn = 0.2102
Decisión
Dn no cae en la región de rechazo, por lo tanto los datos de la muestra no
proporcionan evidencia suficiente para rechazar el modelo propuesto para la población
10.13.4 EJERCICIOS
1) El fabricante de un artículo afirma que la resistencia media de su producto tiene distribución
normal con media 4.5 y con desviación estándar de 0.7. Una muestra aleatoria 6 observaciones
produjo los siguientes resultados: 5.2 4.3 3.7 3.9 5.4 4.9
Realice la prueba de bondad de ajuste K-S, con 5% de significancia para determinar si los datos
obtenidos en la muestra provienen de la población especificada.
2) La siguiente es una muestra del tiempo en horas que funciona un dispositivo electrónico de
control hasta que se presenta una falla y recibe mantenimiento:
199.4 73.2 40.5 39.2 36.0 24.9 13.5 9.8 5.7 2.5
Realice la prueba de bondad de ajuste K-S, con 5% de significancia para determinar si los datos
obtenidos en la muestra provienen de una población con distribución exponencial.

289
MATLAB
Prueba de bondad de ajuste K - S
>> x=[7.2 7.5 8.1 9.6 9.1 8.1 7.6 6.8]; Vector con los datos de una muestra
>> cdfplot(x) Gráfico de la distribución empírica acumulada
>> z=5: 0.1: 10; Puntos para la distribución normal acumulada
>> f=normcdf(z, 8, 1); Valores de la distribución normal acumulada con
el modelo propuesto Ho: X ∼ N(8, 12
)
>> hold on, plot(z, f, 'k') Superponer el gráfico del modelo propuesto
>> x = sort(x) Ordenamiento de los datos de la muestra
x =
6.8000 7.2000 7.5000 7.6000 8.1000 8.1000 9.1000 9.6000
>> sn = 1/8: 1/8: 1 Distribución acumulada empírica
sn =
0.1250 0.2500 0.3750 0.5000 0.6250 0.7500 0.8750 1.0000
>> f = normcdf(x,8,1) Distribución acumulada normal Ho: X ∼ N(8, 12
)
f =
0.1151 0.2119 0.3085 0.3446 0.5398 0.5398 0.8643 0.9452
>> dn = max(sn - f) Valor del estadístico Dn: la mayor diferencia
dn =
0.2102
Prueba de bondad de ajuste usando directamente una función especializada de MATLAB
>> x=[7.2 7.5 8.1 9.6 9.1 8.1 7.6 6.8]; Vector con datos de la muestra
>> x=sort(x); Datos ordenados
>> f=normcdf(x,8,1); Valores con el modelo propuesto: Ho: X ∼ N(8, 12
)
>> [h,p,ksstat,vc]=kstest(x,[x' f' ], 0.05,0) Prueba de bondad de ajusta K-S
x’ f’ son dos columnas con el modelo
h = 0 h=0: No se rechaza el modelo
ksstat = 0.2102 Valor del estadístico de prueba
vc = 0.4543 Valor crítico para la región de rechazo

290
10.14 ANÁLISIS DE VARIANZA
Esta prueba se utiliza para determinar si las medias muestrales provienen de poblaciones con
medias iguales, cuando hay más de dos poblaciones en estudio.
El análisis de varianza (ANOVA) permite comparar simultáneamente todas las medias,
evitando tener que realizar pruebas en grupos de dos con las técnicas vistas anteriormente.
La comparación de las medias muestrales se basa en las varianzas muestrales
Suposiciones necesarias para el análisis de varianza
1) Las poblaciones tienen distribución normal
2) Las poblaciones tienen varianzas iguales
3) Las muestras son independientes
Definiciones:
Tratamiento: Es la fuente de datos cuya variación proporciona las observaciones.
Sean. k: Número de tratamientos
n: Número total de observaciones en todos los tratamientos combinados
nj: Número total de observaciones en cada tratamiento j = 1, 2, ..., k
xi,j: Es la i-esima observación del tratamiento j
j
X : Media muestral del tratamiento j (incluye las observaciones de cada
tratamiento)
X : Media muestral general (incluye a todas las observaciones de todos los
tratamientos)
Variación Total: Es la variación total combinada de las observaciones de todos los
tratamientos con respecto a la media general
Media muestral general:
j
n
k
i,j
j 1 i 1
1
X X
n= =
= ∑∑
Variación total:
j
n
k
2
i,j
j 1 i 1
SCT (X X)
= =
= −
∑∑ (Suma cuadrática total)
Variación de tratamientos: Es la variación atribuida a los efectos de los tratamientos
Media muestral del tratamiento j:
j
n
j i,j
j i 1
1
X X
n =
= ∑
Variación de tratamientos:
k
2
j
j
j 1
SCTr n (X X)
=
= −
∑ (Suma cuadrática de tratamientos)
Variación aleatoria o error: Es la variación dentro de cada tratamiento debido a errores en el
experimento.
Variación aleatoria o error: SCE = SCT – SCTr (Suma cuadrática del error)
La ecuación SCT = SCTr + SCE separa la variación total en dos componentes: el primero
corresponde a la variación atribuida a los tratamientos y el segundo es la variación atribuida a
la aleatoriedad o errores del experimento
SCTr tiene k – 1 grados de libertad (varianza ponderada con k tratamientos)
SCE tiene n – k grados de libertad (existen n datos y k tratamientos)
SCT tiene n – 1 grados de libertad (suma de grados de libertad de SCTr y SCE)
Si cada uno se divide por el número de grados de libertad se obtienen los cuadrados medios
Todos estos resultados se los ordena en un cuadro denominado tabla de análisis de varianza

291
10.14.1 TABLA ANOVA (ANÁLISIS DE VARIANZA)
Fuente de
variación
Grados de
libertad
Suma de
cuadrados
Cuadrados
medios
F0
Tratamiento k – 1 SCTr SCTr/(k – 1) (SCTr/(k – 1))/(SCE/( n–k))
Error n – k SCE SCE/( n – k)
Total n – 1 SCT
El último cociente es el valor de una variable que tiene distribución F. Este estadístico se usa
para la prueba de hipótesis
1) Hipotesis nula Ho: µ1 = µ2 = . . . = µk (las medias poblacionales son iguales)
2) Hipótesis alterna: Ha:  Ho (al menos dos medias son iguales)
3) Definir el nivel de significancia de la prueba α
4) Elegir el estadístico de prueba: Distribución F con ν1 = k – 1, ν2 = n – k g. l.
Definir la región de rechazo de Ho
5) Calcular Fo
6) Decidir
Ejemplo
Para comparar las calificaciones promedio que obtienen los estudiantes en cierta materia que
la imparten cuatro profesores, se eligieron 32 estudiantes que deben tomar esta materia y se
los distribuyó aleatoriamente en los cuatro paralelos asignados a los cuatro profesores.
Al finalizar el semestre los 32 estudiantes obtuvieron las siguientes calificaciones
Profesor A Profesor B Profesor C Profesor D
68 80 87 56
90 73 82 80
67 68 92 71
85 67 72 91
86 49 45 80
53 67 74 56
64 63 85 67
71 60 93 53
Con una significancia de 5% determine si existe evidencia de que hay diferencia en las
calificaciones promedio entre los cuatro paralelos.
1) Hipotesis nula Ho: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 (Las 4 medias de las notas son iguales)
2) Hipótesis alterna: Ha:  Ho (Al menos en dos paralelos son diferentes)
3) Nivel de significancia α = 0.05
F con ν1 = 4 – 1 = 3, ν2 = 32 – 4 = 28 g. l.
Región de rechazo
1 2
, ,
Fα ν ν = 0.05, 3, 28
F = 2.95 (tabla F)
Rechazar Ho si Fo > 2.95
5) Calcular Fo
j j
n n
k 4
i,j i,j
j 1 i 1 j 1 i 1
1 1 1
X X X (68 90 ... 67 53) 71.7188
n 32 32
= = = =
= = = + + + + =
∑∑ ∑∑
j
n
k
2 2 2
i,j
j 1 i 1
SCT (X X) (68 71.7188) (90 71.7188) ... 5494.5
= =
= − =
− + − + =
∑∑

292
1
n
1 i,1
1 i 1
1 1
X X (68 90 ... 64 71) 73
n 8
=
= = + + + + =
∑
2
n
2 i,2
2 i 1
1 1
X X (80 73 ... 63 60) 65.875
n 8
=
= = + + + + =
∑
3
n
3 i,3
3 i 1
1 1
X X (87 82 ... 85 93) 78.75
n 8
=
= = + + + + =
∑
4
n
4 i,4
4 i 1
1 1
X X (56 80 ... 67 53) 69.25
n 8
=
= = + + + + =
∑
k
2 2 2
j
j
j 1
SCTr n (X X) 8(73 71.7188) 8(65.875 71.7188) ... 730.6
=
= − =− + − + =
∑
SCE = SCT – SCTr = 5494.5 – 730.6 = 4763.9
730.6
SCTr
3
k 1
Fo 1.4314
SCE 4763.9
n k 28
−
= = =
−
6) Decisión: Fo no cae en la región de rechazo. Por lo tanto no se puede rechazar la
hipótesis de que las medias de las calificaciones de los cuatro paralelos son iguales
10.14.3 EJERCICIOS
Para comparar la efectividad de cuatro tipos de fertilizantes para cierto tipo de producto, se
dividió una zona de cultivo en veinte parcelas de igual tamaño y se administraron cada uno de
los fertilizantes en cinco parcelas elegidas aleatoriamente.
Al finalizar el periodo de cultivo se registraron las cantidades del producto obtenidas en las
parcelas asignadas a cada tipo de fertilizante con los siguientes resultados, en las unidades de
medida que corresponda:
Fertilizante A Fertilizante B Fertilizante C Fertilizante D
27 26 24 23
21 23 26 27
24 20 27 26
23 26 22 23
28 23 24 25
Con una significancia de 5% determine si existe evidencia de que hay diferencia en las
cantidades promedio del producto que se obtuvieron con los cuatro tipos de fertilizante.

293
MATLAB
Análisis de varianza
Definición de la matriz de datos. Cada columna es un tratamiento (compare con el ejemplo)
>> notas=[ 68 80 87 56; 90 73 82 80; 67 68 92 71;85 67 72 91; ...
86 49 45 80; 53 67 74 56; 64 63 85 67;71 60 93 53]
notas =
68 80 87 56
90 73 82 80
67 68 92 71
85 67 72 91
86 49 45 80
53 67 74 56
64 63 85 67
71 60 93 53
>> [p, tabla, stats] =anova1(notas, {'A','B','C','D'}) Análisis de varianza con rótulos
p =
0.2546 Valor p de la prueba con F
tabla =
'Source' 'SS' 'df' 'MS' 'F' 'Prob>F' Tabla ANOVA
'Columns' [ 730.5938] [ 3] [243.5313] [1.4314] [0.2546]
'Error' [4.7639e+003] [28] [170.1384] [] []
'Total' [5.4945e+003] [31] [] [] []
stats =
means: [73 65.8750 78.7500 69.2500] Medias de los tratamientos
s: 13.0437 Error estándar
Adicionalmente MATLAB muestra la tabla ANOVA en un formato estándar
MATLAB también proporciona los diagramas de caja de los tratamientos

294
11 REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
El propósito de este estudio es proporcionar los conceptos y técnicas para construir modelos
matemáticos que describan de manera apropiada a un conjunto de datos, cuando la relación es
de tipo lineal. Estos modelos son útiles para realizar pronósticos.
Este estudio se denomina análisis de regresión y el objetivo es estimar la ecuación de
regresión la cual es la recta teórica poblacional (desconocida) de la cual provienen los datos.
Suponer que se tiene un conjunto de n mediciones u observaciones (x1, y1), (x2, y2),...,(xn, yn)
Estas observaciones provienen de las variables X y Y. La variable X se denomina variable de
predicción mientras que la variable Y se denomina variable de respuesta.
Se supondrá que existe una correspondencia de X a Y y el objetivo es modelar esta relación.
Cada valor yi es una observación o el resultado de una medición, por lo tanto pudiesen haber
otros valores yi para el mismo valor de xi. Esto permite entender que yi es uno de los
posibles resultados de la variable aleatoria Yi. Una variable aleatoria debe tener una
distribución de probabilidad. El siguiente gráfico permite visualizar esta suposición:
Si la relación entre X y Y tiene “tendencia lineal”, lo cual puede reconocerse graficando los
puntos en una representación que se denomina gráfico de dispersión, entonces es razonable
proponer un modelo lineal para describir la relación y que tome en cuenta la aleatoriedad de Y
Definición: Modelo de regresión lineal probabilista (modelo poblacional desconocido)
Y = β0 + β1 x + ε
En donde β0 y β1 son los parámetros del modelo y ε es el componente aleatorio de Y
Se supondrá que para cada variable aleatoria Yi el componente aleatorio εi tiene la misma
distribución de probabilidad y que además estos componentes son variables independientes:
εi ∼ N(0, σ2
) (distribución normal con media 0 y varianza desconocida σ2
)
Con este planteamiento, el valor esperado de este modelo constituye la recta teórica que
describe al modelo poblacional desconocido.
E[Y] = β0 + β1 x
El modelo poblacional teórico tiene dos parámetros β0 (intercepción) y β1 (pendiente)
Distribución de probabilidad
de la variable aleatoria Yi
Un resultado de la
variable aleatoria Yi

295
Para comprensión de conceptos se desarrolla paralelamente un ejemplo
Ejemplo
Se desea construir un modelo de regresión para relacionar las calificaciones parcial y
final en cierta materia, utilizando una muestra aleatoria de 10 estudiantes que han
tomado esta materia:
Estudiante 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nota Parcial 39 43 21 64 57 43 38 75 34 52
Nota Final 65 75 52 82 92 80 73 98 56 75
Diagrama de dispersión
X: calificación parcial
Y: calificación final
Se observa que al incrementar x (variable de predicción) también se incrementa y (respuesta)
con una tendencia aproximadamente lineal
Modelo de regresión lineal poblacional propuesto
Y = β0 + β1 x + ε, εi ∼ N(0, σ2
), para cada Yi
Modelo Poblacional
β0 + β1 x

296
11.1 RECTA DE MÍNIMOS CUADRADOS
El siguiente procedimiento matemático permite usar los datos dados para construir una recta
de la cual se obtienen estimadores para los parámetros β0 y β1 de la recta de regresión
poblacional β0 + β1 x,
Se trata de colocar una recta entre los puntos dados, de la forma mejor balanceada con el
criterio de hacer que la suma de las distancias de la recta a los puntos sea la menor posible.
Esta recta se denomina recta de mínimos cuadrados.
Definición: Recta de mínimos cuadrados
x
y 1
0 β
+
β
=



En donde 1
0 , β
β


son los estimadores de β0 y β1 del modelo poblacional β0 + β1 x
Para cada valor i
x se tiene el dato observado i
y , mientras que al evaluar la recta de mínimos
cuadrados 1
+
0
y x
=
β β
 

con este mismo valor i
x se obtiene el valor i
1
0
i x
y β
+
β
=



Sea ei = i
y – i
y

, la diferencia entre estos dos valores. Esta diferencia se denomina el residual.
Entonces, el criterio de mínimos cuadrados consiste en minimizar
2
i
e para todos los puntos.
El cuadrado puede interpretarse como una manera de cuantificar las diferencias sin importar el
signo. La verdadera razón es formal y corresponde a la teoría de la estimación estadística.
Definición: Suma de los cuadrados del error
SCE = ∑
∑
∑ =
=
=
β
−
β
−
=
−
=
n
1
i
2
i
1
0
i
n
1
i
2
i
i
n
1
i
2
i x
y
y
y
e )
(
)
(



SCE es una función con dos variables: 1
0 , β
β


Con el procedimiento matemático usual para encontrar su mínimo:
,
0 1
SCE SCE
0 0
∂ ∂
= =
∂β ∂β
Después de derivar SCE, igualar a cero y simplificar se llega al sistema de ecuaciones lineales:
n n
0 1 i i
i 1 i 1
n n n
2
0 i 1 i i i
i 1 i 1 i 1
n x y
x x x y
= =
= = =
β + β =
β + β =
∑ ∑
∑ ∑ ∑
 
 
De donde se obtienen finalmente 1
0 , β
β


para el modelo de mínimos cuadrados:
1
+
0
y x
=
β β
 

. Este modelo puede usarse para realizar pronósticos
Recta de mínimos cuadrados
1
+
0
y x
=
β β
 


297
Obtener la recta de mínimos cuadrados para el ejemplo
x
y 1
0 β
+
β
=



i xi yi x2
i xiyi
1 39 65 1521 2535
2 43 75 1849 3225
3 21 52 441 1092
4 64 82 4096 5248
5 57 92 3249 5244
6 43 80 1849 3440
7 38 73 1444 2774
8 75 98 5625 7350
9 34 56 1156 1904
10 52 75 2704 3900
∑
=
10
1
i
466 748 23934 36712
n n
0 1 i i
i 1 i 1
n n n
2
0 i 1 i i i
i 1 i 1 i 1
n x y
x x x y
= =
= = =
β + β =
β + β =
∑ ∑
∑ ∑ ∑
 
 
⇒
0 1
0 1
10 466 748
466 23934 36712
β + β =
β + β =
 
 
De donde se obtienen 836
0
35.83, 1
0 .
=
β
=
β


Recta de mínimos cuadrados: y

= 35.83 + 0.836 x
Pronosticar la calificación final si la calificación parcial es 50
y

= 35.83 + 0.836 (50) = 77.63
11.2 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
Para determinar el tipo de relación lineal entre las variables x y y del modelo de regresión lineal
se usa el coeficiente de correlación lineal que se define a continuación:
Para simplificar la escritura se establecen las siguientes definiciones
∑
=
=
n
1
i
i
x
n
1
x ∑
=
=
n
1
i
i
y
n
1
y
Sxx =
2
n
1
i
i )
x
x
(
∑
=
− Syy =
2
n
1
i
i )
y
y
(
∑
=
−
Sxy = )
y
y
)(
x
x
( i
n
1
i
i −
−
∑
=
Definición: Coeficiente de correlación
Sxy
r
Sxx Syy
= , –1 ≤ r ≤ 1
El signo de r es igual al signo de la pendiente 1
β

de la recta de regresión lineal
Si el valor de r es cercano a 1 significa que hay una fuerte relación lineal positiva ente x y y
Si el valor de r es cercano a -1 significa que hay una fuerte relación lineal negativa ente x y y
Si el valor de r es cercano a 0 significa que hay poca relación lineal ente x y y

298
Ejemplos de correlación entre dos variables
Calcular el coeficiente de correlación para el ejemplo
∑
=
=
n
1
i
i
x
n
1
x =
1
10
(39 + 43 + . . . + 52) = 46.6
∑
=
=
n
1
i
i
y
n
1
y =
1
10
(65 + 75 + . . . + 75) = 74.8
Sxx =
2
n
1
i
i )
x
x
(
∑
=
− = [(39 – 46.6)2
+ (43 – 46.6)2
+ . . . + (52 – 46.6)2
] = 2218.4
yy
S =
2
n
1
i
i )
y
y
(
∑
=
− = [(65 – 74.8)2
+ (75 – 74.8)2
+ . . . + (75 – 74.8)2
] =1885.6
Sxy = )
y
y
)(
x
x
( i
n
1
i
i −
−
∑
=
= [(39 – 46.6)(65 – 74.8) + . . . ] = 1855.2
Sxy
r
Sxx Syy
= =
1855.6
(2218.4)(1885.6)
= 0.9071
El resultado indica una fuerte correlación lineal positiva
11.3 ANÁLISIS DEL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
Para simplificar la escritura de algunas expresiones de interés, se definen las siguientes
fórmulas equivalentes que pueden demostrarse algebraicamente desarrollando las sumatorias.
(1) Sxx =
2
n
1
i
i )
x
x
(
∑
=
− =
2
n
1
i
i
n
1
i
2
i x
n
1
x 







− ∑
∑
=
=
(2) Sxy = )
y
y
)(
x
x
( i
n
1
i
i −
−
∑
=
=
















− ∑
∑
∑
=
=
=
n
1
i
i
n
1
i
i
n
1
i
i
i y
x
n
1
y
x
r=0.9 r=-0.9
r=0.1 r=0.1

299
(3) SCT = Syy =
2
n
1
i
i )
y
y
(
∑
=
− =
2
n
1
i
i
n
1
i
2
i y
n
1
y 







− ∑
∑
=
=
(4) SCE =
Sxx
S
S
)
y
y
(
2
xy
yy
n
1
i
2
i
i −
=
−
∑
=

(5) SCR =
xx
2
xy
2
n
1
i
i
S
S
)
y
y
( =
−
∑
=

Demostración de (1)
Sxx =
2
n
1
i
i )
x
x
(
∑
=
− = )
x
x
x
2
x
(
2
n
1
i
i
2
i +
−
∑
=
=
2
n
1
i
i
n
1
i
2
i x
n
x
x
2
x +
− ∑
∑
=
=
=
2
n
1
i
i
n
1
i
2
i x
n
x
n
1
n
x
2
x +
− ∑
∑
=
=
=
2
n
1
i
2
i x
n
x
n
x
2
x +
−
∑
=
=
2
n
1
i
2
i x
n
x −
∑
=
=
n
2
i
i 1
x n
=
−
∑ (
n
i
i 1
x
n
=
∑
)2
=
2
n
1
i
i
n
1
i
2
i x
n
1
x 







− ∑
∑
=
=
esto completa la demostración
El análisis de varianza es un método estadístico para conocer si los valores de un grupo de
datos son significativamente diferentes de otro(s) grupo(s) de datos. Este método se puede
aplicar al modelo de regresión lineal.
Algunos supuestos son necesarios para su aplicación, entre estos, que las observaciones sean
independientes y que la distribución de la variable dependiente sea normal.
Consideremos la fórmula (4):
SCE =
Sxx
S
S
)
y
y
(
2
xy
yy
n
1
i
2
i
i −
=
−
∑
=

Se puede escribir
SCE
S
S
S
xx
2
xy
yy +
=
Sustituyendo la fórmula (5)
yy
S SCR SCE
= +
Sustituyendo la definición de la fórmula (3)
SCT SCR SCE
= +
Con la sustitución de las equivalencias de las fórmulas (3), (4) y (5) se obtiene
Definición: Descomposición de la variabilidad para el modelo de regresión lineal
∑
∑
∑
=
=
=
−
+
−
=
−
n
1
i
2
i
i
n
1
i
2
i
n
1
i
2
i )
y
y
(
)
y
y
(
)
y
y
(



300
Esta fórmula permite descomponer la variabilidad total SCT de la variable de respuesta (y) en
dos componentes: la variabilidad SCR correspondiente a la recta de regresión de mínimos
cuadrados, y la variación residual SCE que no se ha incluido en la recta de mínimos
cuadrados obtenida
SCT: Suma de cuadrados total
SCR: Suma de cuadrados de regresión
SCE: Suma de cuadrados del error
Mientras menor es el valor de SCE, mayor es la eficacia del modelo de mínimos cuadrados
obtenido, pues su variabilidad se ajusta o explica muy bien a la variabilidad de los datos y..
Encontrar los componentes de variación para el modelo del ejemplo
SCT SCR SCE
= +
SCT =
n
2
i
i 1
(y y)
=
−
∑ = (65 – 74.8)2
+ (75 – 74.8)2
+ . . . + (75 – 74.8)2
= 1885.6
y

= 35.83 + 0.836 x (Recta de mínimos cuadrados obtenida)
x=39: y

= 35.83 + 0.836 (39) = 68.434
x=43: y

= 35.83 + 0.836 (43) = 71.778
. . .
x=52: y

= 35.83 + 0.836 (52) = 79.302
SCR =
n
2
i
i 1
(y y)
=
−
∑

= (68.434 – 74.8)2
+ (71.778 – 74.8)2
+ . . . + (79.302 – 74.8)2
= 1550.4
SCE =
n
2
i i
i 1
(y y )
=
−
∑

= (65 – 68.434)2
+ (75 – 71.778)2
+ . . . + (75 – 79.302)2
= 334.138
También se puede usar la definición para obtener directamente uno de los tres componentes:
SCT SCR SCE
= +
11.5 COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN
El coeficiente de determinación es otra medida de la relación lineal entre las variables x y y
Es útil para interpretar la eficiencia de la recta de mínimos cuadrados para explicar la variación
de la variable de respuesta (y)
Definición: Coeficiente de determinación
2 SCR
r
SCT
= , 0 ≤ r2
≤ 1
El valor de r2
mide el poder de explicación del modelo de mínimos cuadrados. Si r2
es cercano
a 1 significa que la recta de mínimos cuadrados se ajusta muy bien a los datos.
Calcular el coeficiente de determinación para el ejemplo
r2
=
SCR
SCT
=
1550.4
1885.6
= 0.8222
El poder de explicación del modelo de mínimos cuadrados es 82.22%

301
11.6 TABLA DE ANÁLISIS DE VARIANZA
En la ecuación
SCT SCR SCE
= +
SCR tiene 1 grado de libertad (varianza ponderada con el modelo con dos parámetros)
SCE tiene n – 2 grados de libertad (existen n datos y dos parámetros en el modelo)
SCT tiene n – 1 grados de libertad (suma de grados de libertad de SCR y SCT)
Todos estos resultados se los ordena en un cuadro denominado Tabla de Análisis de
Varianza o Tabla ANOVA
Tabla ANOVA
Fuente de
variación
Grados de
libertad
Suma de
cuadrados
Cuadrados
medios
F0
Regresión 1 SCR SCR/1 (SCR/1)/(SCE/(n-2))
Error n – 2 SCE S2
= SCE/(n – 2)
Total n – 1 SCT
para una prueba del modelo propuesto
Escribir la tabla de análisis de varianza para el ejemplo
Fuente de
variación
Grados de
libertad
Suma de
cuadrados
Cuadrados
medios
F0
Regresión 1 1550.4 1550.4 37.00
Error 8 335.2 41.9
Total 9 1885.6
11.7 PRUEBA DE DEPENDENCIA LINEAL DEL MODELO
Puede demostrarse que el estadístico
F0 =
SCR
SCE/(n 2)
−
tiene distribución F con ν1 = 1, ν2 = n – 2 grados de libertad
Este estadístico se puede usar para realizar una prueba de hipótesis para la pendiente del
modelo de regresión lineal
H0: β1 = 0, Hipótesis nula para probar que no hay dependencia lineal entre x y y
Ha:  H0
Si se especifica el nivel de significancia α de la prueba, entonces la región crítica es
Rechazar H0 si f0 > fα con ν1 = 1, ν2 = n – 2 grados de libertad
Probar con 5% de significancia de dependencia lineal para el ejemplo anterior
H0: β1 = 0
Región de rechazo de H0:
f0 > f0.05 con ν1 = 1, ν2 = 8
f0.05, 1, 8 = 5.32 (Tabla F)
Conclusión
Debido a que f0 > 5.32, se rechaza H0, es decir x y y si están relacionadas
linealmente

302
11.8 ESTIMACIÓN DE LA VARIANZA
La varianza de los errores del modelo σ2
es desconocida. Para poder hacer inferencias acerca
de los parámetros β0 , β1 es necesario un estimador.
Definición: Varianza muestral
2 SCE
S
n 2
=
−
=

n
2
i i
I 1
(y y )
n 2
=
−
−
∑
Es un estimador insesgado de la varianza del modelo teórico: E[S2
] = σ2
.
La variable aleatoria
2
2
2
S
(n 2)
χ = −
σ
tiene distribución ji–cuadrado con n – 2 g. de libertad.
Estimación de la varianza para el ejemplo
s2
=
SCE
n 2
−
=
334.138
8
= 41.7673
11.9 INFERENCIAS CON EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL
En el modelo probabilista propuesto:
Y = β0 + β1 x + ε, εi ∼ N(0, σ2
) para cada variable aleatoria Yi
El valor esperado de este modelo, es una recta desconocida con parámetros β0 y β1
E[Y] = β0 + β1 x
El modelo obtenido con el método de mínimos cuadrados es
x
y 1
0 β
+
β
=



En donde 1
0 , β
β


son los estimadores de los parámetros β0 , β1
Los estimadores son variables aleatorias pues dependen de los valores y observados.
Si los componentes εi del error son independientes, puede demostrarse que 1
0 , β
β


son
estimadores insesgados, con distribución normal y con las siguientes varianzas:
0
E[ ] =
β

β0, 
0
2 2
0
V[ ] = =
β
β σ σ

[
n
2
i
i 1
xx
x
nS
=
∑
]
1
E[ ] =
β

β1, 
1
2
2
1
xx
V[ ] = =
S
β
σ
β σ

Para definir estadísticos con los estimadores 1
0 , β
β


se sustituye la varianza desconocida σ2
por el estimador S2
 
= =
0 1
n
2
i 2
2 2 2
i 1
xx xx
x
S
S S [ ] S
nS S
=
β β
∑
Definición: Estadísticos para Estimación de los Parámetros β0 y β1


0
0 0
2
t
Sβ
β − β
= ,


1
1 1
2
t
Sβ
β − β
=
Tienen distribución t con ν = n – 2 grados de libertad.

303
Varianza de los estimadores de mínimos cuadrados en el ejemplo
 = =
0
n
2
i
2 2 i 1
xx
x
S S [ ]
nS
=
β
∑
41.7673
2
2 2
39 43 ... 52
( )
10(2218.4)
+ + +
= 45.0575
 =
1
2
2
xx
S
S
S
β
=
41.7673
2218.4
= 0.0188
11.10 INFERENCIAS ACERCA DE LA PENDIENTE DE LA RECTA
Es importante determinar si existe una relación entre las variables x y y. Esta relación está
determinada por la pendiente β1 de la recta.
Parámetro: β1 (Pendiente de la recta de regresión lineal teórica)
Estimador: 1
β

(Pendiente de la recta de mínimos cuadrados)
El estadístico


1
1 1
2
t
Sβ
β − β
= , tiene distribución t con ν = n – 2 grados de libertad
Como es usual, la desigualdad –tα/2 ≤ t ≤ tα/2 tiene probabilidad 1 – α, de donde:
Definición: Intervalo de Confianza para la Pendiente β1 con nivel 1 – α
1
β

– tα/2 
1
2
Sβ
< β1 < 1
β

+ tα/2 
1
2
Sβ
Intervalo de confianza para β1 con nivel 95% para el ejemplo
1 – α = 0.95 ⇒ tα/2 = t0.025 = 2.306, ν = 8 grados de libertad
1
β

– tα/2 
1
2
Sβ
< β1 < 1
β

+ tα/2 
1
2
Sβ
0.836 – 2.306 0.0188 < β1 < 0.836 + 2.306 0.0188
0.5196 < β1 <1.1524
Es el intervalo para la pendiente de la recta de regresión lineal
Parámetro: β1 (Pendiente de la recta de regresión lineal teórica)
Estimador: 1
β

(Pendiente de la recta de mínimos cuadrados)
H0: β1 = b1 (b1 = 0, para probar que no hay relación lineal entre x y y)
Ha: β1 ≠ b1
β1 < b1
β1 > b1


1
1 1
2
b
t
Sβ
β −

304
Si se especifica el nivel de significancia α se puede definir la región crítica
β1 < b1: t < -tα
β1 > b1: t > tα
β1 ≠ b1 : t < -tα/2 ∨ t > tα/2
Prueba de hipótesis con 5% de significancia que β1 < 1 para el ejemplo
H0: β1 = 1
Ha: β1 < 1
α = 0.05
Región de rechazo de H0: t < -t0.05, ν = 8 ⇒ t < -1.86


1
1 1
2
b
t
Sβ
β −
=
0.836 1
1.196
0.0188
−
= = −
Conclusión
La evidencia no es suficiente para rechazar que la pendiente del modelo es 1
11.11 INFERENCIAS PARA LA INTERCEPCIÓN DE LA RECTA
También puede ser de interés probar si la intercepción de la recta de regresión es igual a algún
valor especificado
Parámetro: β0 (Intercepción de la recta de regresión lineal teórica)
Estimador: 0
β

(Intercepción de la recta de mínimos cuadrados)
El estadístico


0
0 0
2
t
Sβ
β − β
= tiene distribución t con ν = n – 2 grados de libertad
La desigualdad – tα/2 ≤ t ≤ tα/2 se satisface con probabilidad 1 – α, de donde se obtiene
Definición: Intervalo de Confianza para la Intercepción β0 con nivel 1 – α
0
β

– tα/2 
0
2
Sβ
< β0 < 0
β

+ tα/2 
0
2
Sβ
1 – α = 0.95 ⇒ tα/2 = t0.025 = 2.306, ν = 8 grados de libertad
0
β

– tα/2 
0
2
Sβ
< β0 < 0
β

+ tα/2 
0
2
Sβ
35.83 – 2.306 45.0575 < β0 < 35.83 + 2.306 45.0575
20.351 < β0 <51.309
Es el intervalo para la intercepción de la recta de regresión lineal

305
Parámetro: β0 (Intercepción de la recta de regresión lineal teórica)
Estimador: 0
β

(Intercepción de la recta de mínimos cuadrados)
H0: β0 = b0 (b0: algún valor especificado para la intercepción)
Ha: β0 ≠ b0
β0 < b0
β0 > b0


0
0 0
2
b
t
Sβ
β −
Si se especifica el nivel de significancia α se puede definir la región crítica
β0 < b0: t < -tα
β0 > b0: t > tα
β0 ≠ b0 : t < -tα/2 ∨ t > tα/2
Prueba de hipótesis con 5% de significancia que β0 > 30 para el ejemplo
H0: β0 = 30
Ha: β0 > 30
α = 0.05
Región de rechazo de H0: t > t0.05, ν = 8 ⇒ t > 1.86


0
0 0
2
b
t
Sβ
β −
=
35.83 30
0.8685
45.0575
−
= =
Conclusión
La evidencia no es suficiente para rechazar que la intercepción del modelo es 30
11.12 PRUEBA DE LA NORMALIDAD DEL ERROR
Se puede usar la prueba K-S para probar la suposición de normalidad de los errores
Prueba de Kolmogorov-Smirnov con 5% de significancia para la normalidad del error
con los datos del ejemplo
Ho: ε ∼ N(0, σ2
) (Distribución normal con media 0 y varianza σ2
)
Ha:  Ho
α = 0.05
Dn = max| Sn(xi) – F0(xi)| (Para este ejemplo xi son los valores ei)
α = 0.05, n = 10 ⇒ D0.05 = 0.410 (Tabla K-S)
Rechazar H0 si Dn > 0.410

306
εi ≅ ei = yi - i
y

, i =1, 2, ..,, 10
y

= 35.83 + 0.836 x (Recta de mínimos cuadrados obtenida)
x1 = 39 ⇒ 1
y

= 35.83 + 0.836 (39) = 68.434
e1 = y1 - 1
y

= 65 – 68.434 = –3.434, etc.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
e 3.434
e 3.222
e 1.386
e 7.334
e 8.518
e 8.222
e 5.4020
e 0.530
e 8.254
e 4.302
−
   
   
   
   
−
   
−
   
   
   
=
   
   
   
−
   
   
−
   
   
−
 
 
Modelo propuesto ei ∼ N(0, σ2
) (Aproximadamente)
F0(xi) = F0(ei) = P(Z< i
e 0
−
σ
) Distribución normal estándar acumulada
σ2
≅ S2
= 41.7673 ⇒ σ ≅ S = 6.4627
F0(x1) = F0(e1) = P(Z<
8.254 0
6.4627
− −
) = 0.1008, etc. (Datos e ordenados)
Tabulación de resultados. Se utiliza la notación xi = ei
i xi (ordenados) Sn(xi) F0(xi) |Sn(xi)- F0(xi)|
1 -8.254 0.1 0.1008 0.0008
2 -7.334 0.2 0.1282 0.0718
3 -4.302 0.3 0.2528 0.0472
4 -3.434 0.4 0.2976 0.1024
5 -1.386 0.5 0.4151 0.0849
6 -0.530 0.6 0.4673 0.1327
7 3.222 0.7 0.6910 0.0090
8 5.402 0.8 0.7984 0.0016
9 8.222 0.9 0.8984 0.0984
10 8.518 1.0 0.9063 0.0937
Dn = max| Sn(xi) – F0(xi)| = 0.1327
Conclusión: Dn no cae en la región de rechazo, por lo tanto no se puede rechazar Ho

307
11.13 EJERCICIOS
Los siguientes datos, en miles de dólares, representan los ingresos por ventas vs. los gastos
de promoción de un producto:
Gastos: 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Ingresos: 3.5 4.1 5.5 7.2 8.7 9.5
Suponga que la variable de predicción (X) corresponde a los gastos, y la variable de respuesta
(Y) se refiere a los ingresos.
a) Construya un diagrama de dispersión de los datos
b) Encuentre la recta de mínimos cuadrados
c) Calcule el coeficiente de correlación e interprete el resultado
d) Construya la tabla ANOVA
e) Calcule el coeficiente de determinación e interprete el resultado
f) Encuentre una estimación para la varianza de los errores del modelo
g) Encuentre la varianza de los estimadores del modelo de mínimos cuadrados
h) Construya un intervalo de confianza de 95% para la pendiente del modelo
i) Pruebe con 5% de significancia que la pendiente del modelo es mayor a 2
j) Pruebe la normalidad del error con la prueba K-S

308
MATLAB
Regresión lineal simple usando notación matricial
>> x=[1 39 ; 1 43 ; 1 21; 1 64; 1 57; 1 43; 1 38; 1 75;1 34;1 52] Matriz de diseño X
x =
1 39
1 43
1 21
1 64
1 57
1 43
1 38
1 75
1 34
1 52
>> y=[ 65; 75; 52; 82; 92; 80; 73; 98; 56; 75] Vector de observaciones
y =
65
75
52
82
92
80
73
98
56
75
>> [b, bint, e, eint, stats] = regress(y,x, 0.05) Regresión lineal simple α = 0.05
b =
35.8294 Coeficientes β0 , β1 del modelo
0.8363 de mínimos cuadrados
bint =
20.3497 51.3092 Intervalos de confianza para β0 , β1
0.5199 1.1527
e = Vector de residuales
-3.4443
3.2106
-1.3913
-7.3512
8.5027
8.2106
5.3920
-0.5503
-8.2629
-4.3159
stats = Coeficiente de determinación R
2
, valor
0.8228 37.1456 0.0003 del estadístico F, valor p de la prueba F
Uso del modelo de mínimos cuadrados
>> yp=b(1) + b(2)*50 Evaluar el modelo con x = 50
yp =
77.6433

309
Matriz de correlación de los datos de la muestra
>> mc = corrcoef(x(:,2),y) Vectores columnas X, Y
mc =
1.0000 0.9071 Coeficiente de correlación lineal
0.9071 1.0000 r = 0.9071
Gráfico de los puntos muestrales y la recta de regresión
>> clf
>> scatter(x(:,2),y,'filled'),grid on Gráfico de dispersión
>> hold on, ezplot('35.8294+0.8363*x',[20, 80]) Gráfico de la recta de regresión
>> legend('Recta de regresion','Datos muestrales',2) Rótulos
Prueba de la normalidad del error de los residuales
>> sce=sum(e.^2) Suma de los cuadrados de residuales
sce =
334.1363
>> s2=sce/8 Estimación de la varianza S2
s2 =
41.7670
>> t=sort(e); Residuales ordenados
>> f=normcdf(t, 0, sqrt(s2)); Modelo a probar ei ∼ N(0, σ2
)r
>> [h,p,ksstat,vc]=kstest(t, [t f ], 0.05,0) Prueba K-S, α = 0.05
h =
0 No se puede rechazar el modelo
p =
ksstat =
0.1339 Valor del estadístico de prueba
vc =
0.4093 Valor crítico de la región de rechazo
Matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores βi
>> mvc = inv(x' *x)*s2 Usando notación matricial
mvc =
45.0619 -0.8774 V(β0) = 45.0619, V(β1) = 0.0188
-0.8774 0.0188 Cov(β0 , β1) = -0.8774

310
12 REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE
Consideramos el caso de una variable Y que suponemos depende linealmente de otras k
variables x1, x2, ... , xk . Para describir esta relación se propone un modelo de regresión
lineal múltiple poblacional
Definición: Modelo de regresión lineal múltiple
Y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + ... + βk xk + ε
En donde β0, β2, . . . , βk son los parámetros que deben estimarse para el modelo, mientras
que ε es el componente aleatorio de Y.
Cuando k = 1, se obtiene el modelo de regresión lineal simple previamente estudiado.
Suponer que se tiene una muestra aleatoria (x1,i, x2,i, ..., xk,i, yi), i = 1, 2, ..., n
Para cada grupo de k valores x1,i, x2,i, ..., xk,i se tiene un resultado u observación yi. Este
es uno de los posibles valores de la variable aleatoria Yi. Una variable aleatoria debe tener una
distribución de probabilidad. La aleatoriedad de Yi está dada por εi. Se supondrá que para
cada variable aleatoria Yi el componente aleatorio εi es una variable con la misma distribución
de probabilidad, y que además son variables independientes.
Para comprensión de conceptos se desarrolla paralelamente un ejemplo
Ejemplo
Se desea definir un modelo de regresión relacionando la calificación final en cierta materia
con la calificación parcial y el porcentaje de asistencia a clases. Para el análisis se usará una
muestra aleatoria de 6 estudiantes que han tomado esta materia.
Diagramas de dispersión: y vs. x1, y vs. x2
Modelo teórico de regresión lineal múltiple propuesto
Y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + ε .
Estudiante 1 2 3 4 5 6
Nota Parcial X1 67 65 78 60 64 61
% Asistencia X2 75 78 79 83 65 76
Nota Final Y 80 77 94 70 51 70
y vs. X1
y vs. X2

311
12.1 MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
El siguiente procedimiento matemático permite usar los datos dados para construir un modelo
con el cual se obtienen ,
1
0 , β
β


..., k
β

que serán los estimadores de los parámetros
β0 , β1 , ..., βk del modelo teórico de regresión lineal múltiple propuesto.
Definición: Modelo de mínimos cuadrados
k
k
2
2
1
1
0 x
x
x
y β
+
+
β
+
β
+
β
=





...
En donde ,
1
0 , β
β


..., k
β

son los k+1 estimadores para los k+1 parámetros β0 , β1 , ..., βk
Para cada valor i
x se tiene el dato observado i
y , mientras que al evaluar el modelo de
mínimos cuadrados con este mismo valor i
x se obtiene el valor i
y

Sea ei = i
y – i
y

, la diferencia entre estos dos valores. Esta diferencia se denomina el residual.
Definición: Suma de los cuadrados del error
SCE = ∑
∑
∑ =
=
=
β
−
−
β
−
β
−
β
−
=
−
=
n
1
i
2
i
k
k
i
2
2
i
1
1
0
i
n
1
i
2
i
i
n
1
i
2
i x
x
x
y
y
y
e )
...
(
)
( ,
,
,





SCE es una función con k + 1 variables: ,
1
0 , β
β


..., k
β

Usando el conocido procedimiento matemático para minimizar SCE:

i
SCE
∂
=
∂β
0, i=0, 1, 2, ... , k
Resulta un sistema de k+1 ecuaciones lineales de donde se obtienen los k+1 estimadores
,
1
0 , β
β


..., k
β

12.2 MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS PARA k = 2
Supongamos que Y depende de dos variables x1, x2
Modelo teórico de regresión lineal múltiple propuesto:
Y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + ε .
Modelo de mínimos cuadrados;
2
2
1
1
0 x
x
y β
+
β
+
β
=




Para encontrar ,
1
0 , β
β


2
β

, derivar SCE e igualar a cero:

i
SCE
∂
=
∂β
0, i = 0, 1, 2 .
Luego de la aplicación y simplificación algebraica se obtiene
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
β
+
β
+
β
=
β
+
β
+
β
=
β
+
β
+
β
n
1
i
i
i
2
n
1
i
2
i
2
2
n
1
i
i
1
i
2
1
n
1
i
i
2
0
n
1
i
i
i
1
n
1
i
i
2
i
1
2
n
1
i
2
i
1
1
n
1
i
i
1
0
n
1
i
i
n
1
i
i
2
2
n
1
i
i
1
1
0
y
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
y
x
x
n
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,









Al resolver este sistema lineal se obtienen los estimadores ,
1
0 , β
β


2
β


312
El sistema de ecuaciones se puede expresar en notación matricial
A β

= C
Siendo
A =


















∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
=
=
n
1
i
2
i
2
1
i
i
1
i
2
n
1
i
i
2
1
i
i
2
i
1
n
1
i
2
i
1
n
1
i
i
1
n
1
i
i
2
n
1
i
i
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
n
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
, β

=
0
1
2
 
β
 
β
 
 
β
 
 



, C =


















∑
∑
∑
=
=
=
n
1
i
i
i
2
n
1
i
i
i
1
n
1
i
i
y
x
y
x
y
,
,
12.3 REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE EN NOTACIÓN MATRICIAL
En esta sección se describe la notación matricial para expresar el modelo de regresión lineal
múltiple. Esta notación es usada después para el modelo de regresión de mínimos cuadrados.
Consideramos el caso específico k = 2 en donde Y depende de dos variables x1, x2
Modelo de regresión lineal poblacional propuesto:
Y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + ε, εi ∼ N(0, σ2
)
Datos de la muestra:
(x1,i, x2,i, yi), i = 1, 2, ..., n
Cada observación yi es un valor de la variable aleatoria Yi, i = 1, 2, ..., n
Yi = β0 + β1 x1,i + β2 x2,i + εi ,i= 1, 2, ..., n
En forma desarrollada,
Y1 = β0 + β1 x1,1 + β2 x2,1 + ε1
Y2 = β0 + β1 x1,2 + β2 x2,2 + ε2
.
.
.
Yn = β0 + β1 x1,n + β2 x2,n + εn
El modelo teórico expresado en notación matricial es
1,1 2,1
1 1
1,2 2,2
2 2
0
1
2
1,n 2,n
n n
1 x x
Y
1 x x
Y
. . .
. .
. . .
. .
1 x x
Y
ε
 
   
 
   
ε
β
 
 
   
 
 
   
= β +
 
 
   
 
β
 
 
   
 
   
ε
   
 
En forma simbólica
Y = X β + ε

313
En donde
Y =
















n
2
1
Y
.
.
Y
Y
, X =
















n
,
2
n
,
1
2
,
2
2
,
1
1
,
2
1
,
1
x
x
1
.
.
.
.
.
.
x
x
1
x
x
1
, β =










β
β
β
2
1
0
, ε =
1
2
n
.
.
ε
 
 
ε
 
 
 
 
 
ε
 
La matriz X se denomina matriz de diseño
El sistema de ecuaciones del modelo de regresión lineal múltiple de mínimos cuadrados, k=2
A β

= C
puede entonces expresarse con la notación matricial desarrollada para el modelo teórico:
La matriz de coeficientes A se puede construir con la matriz de diseño X
A =


















∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
=
=
n
1
i
2
i
2
1
i
i
1
i
2
n
1
i
i
2
1
i
i
2
i
1
n
1
i
2
i
1
n
1
i
i
1
n
1
i
i
2
n
1
i
i
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
n
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
=


























n
2
n
1
2
2
2
1
1
2
1
1
n
2
2
2
1
2
n
1
2
1
1
1
x
x
1
x
x
1
x
x
1
x
x
x
x
x
x
1
1
1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
En forma simbólica: A = XT
X
El vector C puede expresarse también con la matriz de diseño X
C =


















∑
∑
∑
=
=
=
n
1
i
i
i
2
n
1
i
i
i
1
n
1
i
i
y
x
y
x
y
,
, =


























n
2
1
n
2
2
2
1
2
n
1
2
1
1
1
y
y
y
x
x
x
x
x
x
1
1
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
,
,
,
,
,
En forma simbólica: C = XT
y
Con esta notación el modelo de mínimos cuadrados se puede escribir
A β

= C ⇒ XT
X β

= XT
y
En donde β

=










β
β
β
3
2
1



, y =
















n
2
1
y
y
y
.
.
Finalmente, con la inversa de XT
X se pueden obtener los estimadores de mínimos cuadrados:
β

= (XT
X)-1
(XT
y)

314
Siendo β

: Vector con los estimadores de mínimos cuadrados
X: Matriz de diseño (construida con los datos de la muestra)
y: Vector de observaciones obtenidas en la muestra
La extensión de la notación matricial para k > 2 es directa
Modelo de regresión lineal en notación matricial para el ejemplo
Modelo de regresión lineal poblacional propuesto:
Y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + ε
En notación matricial
Y = X β + ε
En forma desarrollada, n = 6 Matriz de diseño con los datos
1,1 2,1
1 1
1,2 2,2
2 2
0
1,3 2,3
3 3
1
1,4 2,4
4 4
2
1,5 2,5
5 5
1,6 2,6
6 6
1 x x
Y
1 x x
Y
1 x x
Y
1 x x
Y
1 x x
Y
1 x x
Y
ε
 
   
 
   
ε
 
   
β
 
 
   
ε
 
= β +
 
   
  ε
 
   
 
β
 
 
   
ε
 
   
ε
   
 
   
 
, X =
1 67 75
1 65 78
1 78 79
1 60 83
1 64 65
1 61 76
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obtener el modelo de mínimos cuadrados para el ejemplo (usar la matriz de diseño)
2
2
1
1
0 x
x
y β
+
β
+
β
=




β

= (XT
X)-1
(XT
y)



1
0
1
2
1 67 75 80
1 65 78 77
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 78 79 94
67 65 78 60 64 61 67 65 78 60 64 61
1 60 83 70
75 78 79 83 65 76 75 78 79 83 65 76
1 64 65 51
1 61 76 70
−
 
   
 
   
   
   
β    
   
   
   
 
β =
 
   
   
   
   
   
   
β
   
  
 
 
  
 
  
   
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

 
=
1
6 395 456 442
395 26215 30033 29431
456 30033 34840 33877
−
   
   
   
   
   
= 3 4
4 3
48.974 02880 0.3927 442
0.2880 4.760x10 3.360x10 29431
33877
0.3927 3.366x10 5.458x10
− −
− −
− −
   
   
− −
   
   
− −  
 
=
134.07
1.4888
1.4437
−
 
 
 
 
 
Modelo de mínimos cuadrados para el ejemplo
1 1
x
0 2 2
y x
= β + β + β
  

= 1 2
134.07 1.4888 x 1.4437 x
− + +

315
Pronosticar la calificación final de un estudiante si la calificación parcial es 75 y el
porcentaje de asistencia a clases es 80
)
(
.
.
. 80
4437
1
(75)
4888
1
07
134
y +
+
−
=

= 93.08
Para este modelo también se aplica la misma interpretación de las fuentes de variación con las
siguientes definiciones, similares al modelo de regresión lineal simple:
∑
=
=
n
1
i
i
y
n
1
y
SCT =
n
2
i
i 1
(y y)
=
−
∑ SCE =
n
2
i i
i 1
(y y )
=
−
∑

SCR =
n
2
i
i 1
(y y)
=
−
∑

Se obtiene la relación entre las fuentes de error del modelo de regresión lineal múltiple
SCT = SCR + SCE .
∑
∑
∑
=
=
=
−
+
−
=
−
n
1
i
2
i
i
n
1
i
2
i
n
1
i
2
i )
y
y
(
)
y
y
(
)
y
y
(


Esta fórmula permite descomponer la variabilidad total SCT de la variable de respuesta (y) en
dos componentes: la variabilidad SCR correspondiente al modelo de regresión de mínimos
cuadrados, y la variación residual SCE que no se ha incluido en el modelo calculado
SCT: Suma de cuadrados total
SCR: Suma de cuadrados de regresión
SCE: Suma de cuadrados del error
Mientras menor es el valor de SCE, mejor es la eficacia del modelo de mínimos cuadrados
propuesto.
Análisis de varianza para el ejemplo
SCT SCR SCE
= +
∑
=
=
n
1
i
i
y
n
1
y =
1
6
(80 + 77 + 94 + 70 + 51 + 70) = 73.6666
2
1 x
4437
1
x
4888
1
07
134
y .
.
. +
+
−
=

(Modelo de mínimos cuadrados obtenido)
x1 = 67, x2 = 75: y

= -134.07 + 14888(67) + 1.4437(75) = 73.9571
x1 = 65, x2 = 78: y

= -134.07 + 14888(65) + 1.4437(78) = 75.3106
. . .
x1 = 61, x2 = 76: y

= -134.07 + 14888(61) + 1.4437(76) = 66.4680
SCT =
n
2
i
i 1
(y y)
=
−
∑ = (80 – 73.6666)2
+ (77 – 73.6666) + . . . + (70 – 73.6666)2
= 1005.3

316
SCR =
n
2
i
i 1
(y y)
=
−
∑

= (73.9571 – 73.6666)2
+ (75.3106 – 73.6666)2
+ . . . + (66.4680 – 73.6666)2
= 906.7070
SCE =
n
2
i i
i 1
(y y )
=
−
∑

= (80 – 73.9571)2
+ (77 – 75.3106)2
+ . . . + (70 – 66.4680)2
= 98.5831
También se puede usar la definición para obtener directamente uno de los tres componentes:
SCT SCR SCE
= +
12.5 COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN
El coeficiente de determinación es otra medida de la relación lineal entre las variables x y y
Es útil para interpretar la eficiencia del modelo de mínimos cuadrados para explicar la variación
de la variable de respuesta
Definición: Coeficiente de Determinación
2 SCR
r
SCT
= , 0 ≤ r2
≤ 1
El valor de r2
mide el poder de explicación del modelo de mínimos cuadrados. Si r2
es cercano
a 1 significa que el modelo de mínimos cuadrados se ajusta muy bien a los datos.
Coeficiente de determinación para el ejemplo
r2
=
SCR 906.707
SCT 1005.3
= = 0.9019 = 90.19%
El poder de explicación del modelo de mínimos cuadrados es 90.19%
12.6 TABLA DE ANÁLISIS DE VARIANZA
En la ecuación
SCT SCR SCE
= +
SCR tiene k grados de libertad (varianza ponderada con el modelo con k+1 parámetros)
SCE tiene n – k – 1 grados de libertad (existen n datos y k parámetros en el modelo)
SCT tiene n – 1 grados de libertad
Todos estos resultados se los ordena en un cuadro denominado Tabla de Análisis de
Varianza o Tabla ANOVA
Tabla ANOVA
Fuente de
variación
Grados de
libertad
Suma de
cuadrados
Cuadrados
medios
F0
Regresión k SCR SCR/k (SCR/k)/(SCE/( n–k–1))
Error n – k – 1 SCE SCE/( n – k – 1)
Total n – 1 SCT
para una prueba del modelo propuesto

317
Tabla de Análisis de Varianza para el ejemplo
Fuente de
variación
Grados de
libertad
Suma de
cuadrados
Cuadrados
medios
F0
Regresión 2 906.707 453.3535 13.7961
Error 3 98.5831 32.8610
Total 5 1005.3
12.7 PRUEBA DE DEPENDENCIA LINEAL DEL MODELO
Puede demostrarse que el estadístico
F0 =
SCR /k
SCE/(n k 1)
− −
tiene distribución F con ν1 = k, ν2 = n – k – 1 grados de libertad
Este estadístico se puede usar para realizar una prueba de hipótesis para determinar la
dependencia lineal del modelo de regresión lineal propuesto
H0: β1 =....= βk =0, No hay dependencia lineal de y con las Xi
Ha:  H0 La respuesta Y depende linealmente de al menos una
variable Xi
Si se especifica el nivel de significancia α de la prueba, entonces la región crítica es
Rechazar H0 si f0 > fα con ν1 = k, ν2 = n – k – 1 grados de libertad
Pruebe con 5% de significancia la dependencia lineal para el ejemplo anterior
H0: β1 = β2 =0
Región de rechazo de H0:
f0.05 con ν1 = 2, ν2 = 3 ⇒ f0.05, 2, 3 = 9.55 (Tabla F)
Rechazar H0 si f0 > 9.55
Conclusión: Debido a que f0 =13.7961 es mayor a 9.55, se rechaza H0, es decir que al
menos una de las variables independientes x1, x2 contribuyen significativamente al modelo
12.8 ESTIMACIÓN DE LA VARIANZA
La varianza de los errores del modelo σ2
es desconocida. Para poder hacer inferencias acerca
de los parámetros β0 , β1, . . ., βk es necesario un estimador.
Definición: Varianza Muestral
2 SCE
S
n k 1
=
− −
=

n
2
i i
I 1
(y y )
n k 1
=
−
− −
∑
Es un estimador insesgado de la varianza del modelo teórico: E[S2
] = σ2
Estimación de la varianza muestral para el ejemplo
S2
=
SCE 98.583
n k 1 6 2 1
=
− − − −
= 32.861

318
12.9 MATRIZ DE VARIANZAS Y COVARIANZAS
Es una forma ordenada de expresar las varianzas y covarianzas de los estimadores del modelo
de regresión lineal
La estadística matemática demuestra la siguiente expresión matricial denominada matriz de
varianzas y covarianzas, con la cual se pueden definir los estadísticos de prueba
Definición: Matriz de varianzas y covarianzas
[ ij
σ ] = (XT
X)-1
σ2
≅ (XT
X)-1
S2
=
00 01 0k
10 11 1k
k0 k1 kk
. .
. .
. . . . .
. . . . .
. .
σ σ σ
 
 
σ σ σ
 
 
 
 
 
σ σ σ
 
En donde X es la matriz de diseño del modelo de regresión lineal múltiple
Las varianzas y covarianzas de los estimadores se definen de la siguiente forma:
V[ i
β

] = 
i
2
β
σ = ii
σ , i = 0, 1, ..., k (Varianza de i
β

)
Cov[ i
β

, j
β

] =
i j
β β
σ  = ij
σ i = 0, 1, ..., k (Covarianza de i
β

, j
β

)
Matriz de varianzas y covarianzas para el ejemplo
T 1 2
i,j (X X)−
 
σ
= σ
  ≅ T 1 2
(X X) S
−
= 3 4
4 3
48.974 02880 0.3927
0.2880 4.760x10 3.360x10
0.3927 3.366x10 5.458x10
− −
− −
− −
 
 
− −
 
 
− −
 
(32.861)
=
1609.33 9.4653 12.904
9.4653 0.15654 0.01106
12.904 0.01106 0.17937
− −
 
 
− −
 
 
− −
 
Varianza de los estimadores de mínimos cuadrados para el ejemplo
V[ i
β

] =
i
2
β
σ = ii
σ , i = 0, 1, 2
V[ 0
β

] =
0
2
β
σ = σ00 = 1609.33
V[ 1
β

] =
1
2
β
σ = σ11 = 0.15654
V[ 2
β

] =
2
2
β
σ = σ22 = 0.17937

319
12.10 INFERENCIAS CON EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL
El modelo teórico probabilista propuesto es:
Y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + ... + βk xk + ε, ε ∼ N(0, σ2
)
El modelo obtenido con el método de mínimos cuadrados es:
k
k
2
2
1
1
0 x
x
x
y β
+
+
β
+
β
+
β
=





...
Del cual se obtienen los estimadores ,
1
0 , β
β


..., k
β

para los parámetros β0 , β1 , ..., βk
Los estimadores son variables aleatorias pues dependen de valores aleatorios observados y.
Si los componentes εi del error son independientes, puede demostrarse que los estimadores
son insesgados
i
E[ ] =
β

βi, i = 0, 1, ..., k
Cada estimador i
β

tiene distribución normal
i
β

∼ N(βi, 
i
2
β
σ ), i = 0, 1, ..., k
12.10.1 ESTADÍSTICOS PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS
Se establecen los estadísticos para realizar inferencias
Definición: Estadísticos para estimación de los parámetros β0 , β1 , ..., βk
t =

i
i i
2
β
β − β
σ

, tienen distribución t con ν = n – k – 1 grados de libertad
i = 0, 1, ..., k
Parámetro: βi , i = 0, 1, ..., k
Estimador: i
β

, i = 0, 1, ..., k
El estadístico
t =

i
i i
2
β
β − β
σ

, tiene distribución t con ν = n – k – 1 grados de libertad
i = 0, 1, ..., k
Como es usual, la desigualdad –tα/2 ≤ t ≤ tα/2 tiene probabilidad 1 – α. De donde se obtiene
Definición: Intervalo de confianza para βi con nivel 1 - α
i
β

- tα/2 
i
2
β
σ ≤ βi ≤ i
β

+ tα/2 
i
2
β
σ , i=0, 1, ..., k

320
1 - α = 0.95, ν = n–k–1 = 6–2–1 = 3 ⇒ tα/2 = t0.025 = 3.182 (Tabla T)
0
β

– tα/2 
0
2
β
σ ≤ β0 ≤ 0
β

+ tα/2 
0
2
β
σ
-134.071 – 3.188 1609.33 ≤ β0 ≤ -134.071 + 3.188 1609.33
–261.72 ≤ β0 ≤ –6.4204
Parámetro: βi , i = 0, 1, ..., k
Estimador: i
β

, i = 0, 1, ..., k
1) Ho: βi = b0 (Algún valor especificado para el parámetro βi)
2) Ha: βi < b0 ó βi > b0 ó βi ≠ b0
3) α nivel de significancia de la prueba
t =

i
i 0
2
b
β
β −
σ

, tiene distribución t con ν = n – k – 1 grados de libertad
i = 0, 1, ..., k
Si se especifica el nivel de significancia α se define la región de rechazo de H0
Ha: βi < b0 t < -tα
Ha: βi > b0 t > tα
Ha: βi ≠ b0 t<-tα/2 ∨ t > tα/2
Es importante probar la hipótesis Ho: βi = 0 individualmente con cada parámetro βi.
En caso de que se pueda rechazar Ho, se puede concluir que la variable contribuye
significativamente a la respuesta. Caso contrario, la variable es redundante y puede eliminarse
del modelo.
Prueba con 5% de significancia que β2 ≠ 0. (En el ejemplo se prueba si la variable X2,
porcentaje de asistencia, contribuye significativamente al modelo)
Ho: β2 = 0
Ha: β2 ≠ 0
α = 0.05
ν = n – k – 1 = 3, tα/2 = t0.025 = 3.182 (Tabla T)
Región de rechazo de Ho: t < –3.182 o t > 3.182
t =

2
2
2
0
β
β −
σ

=
1.4437 0
3.4088
0.17937
−
= , t cae en la región de rechazo
Decisión: Se rechaza Ho ⇒ el aporte de X2 al modelo si es significativo

321
12.11 PRUEBA DE LA NORMALIDAD DEL ERROR
Se puede usar la prueba K-S para probar la suposición de normalidad de los errores
Prueba de Kolmogorov-Smirnov con 5% de significancia para la normalidad del
error con los datos del ejemplo
Ho: ε ∼ N(0, σ2
) (Distribución normal con media 0 y varianza σ2
)
Ha:  Ho
α = 0.05
Dn = max| Sn(xi) – F0(xi)| (Para este ejemplo xi son los valores ei)
α = 0.05, n = 6 ⇒ D0.05 = 0.521 (Tabla K-S)
Rechazar H0 si Dn > 0.521
εi ≅ ei = yi - i
y

, i = 1, 2, .., 6
1 2
y 134.07 1.4888 x 1.4437x
=
− + +

(Modelo de mínimos cuadrados obtenido)
x1 = 67, x2 = 75 ⇒ 
1
y = -134.07 + 14888(67) + 1.4437(75) = 73.9571
e1 = y1 - 1
y

= 80 – 73.9571 = 6.0429, etc.
1
2
3
4
5
6
e
e
e
e
e
e
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=
6.0429
1.6866
2.1121
5.0878
4.0562
3.5294
 
 
 
 
−
 
−
 
 
−
 
 
 
Modelo propuesto e ∼ N(0, σ2
) (Aproximadamente)
F0(xi) = F0(ei) = P(Z< i
e 0
−
σ
) Distribución normal estándar acumulada
σ2
≅ S2
= 32.861 ⇒ S = 5.7325
F0(x1) = F0(-5.0878) = P(Z<
5.0878 0
5.7325
− −
) = 0.1874, etc (Datos e ordenados)
Tabulación de resultados con la notación xi = ei
i xi (ordenados) Sn(xi) F0(xi) |Sn(xi)- F0(xi)|
1 -5.0878 1/6 = 0.1666 0.1874 0.0207
2 -4.0562 2/6 = 0.3333 0.2396 0.0937
3 -2.1121 3/6 = 0.5 0.3563 0.1437
4 1.6866 4/6 = 0.6666 0.6157 0.0510
5 3.5294 5/6 = 0.8333 0.7310 0.1023
6 6.0401 6/6 = 1 0.8540 0.1460
Dn = max| Sn(xi) – F0(xi)| = 0.1460
Conclusión: Dn no cae en la región de rechazo, por lo tanto no se puede rechazar Ho

322
12.12 EJERCICIOS
Se realizó un estudio del desgaste de un rodamiento (Y), y su relación con la viscosidad del
aceite (X1) y la carga que soporta (X2), obteniéndose los siguientes datos, en las unidades que
correspondan:
X1 X2 Y
1.6 8.51 19.3
15.5 8.16 23.0
22.0 10.58 17.2
43.0 12.01 91.0
Analice el modelo de regresión lineal múltiple propuesto:
Y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + ε, εi ∼ N(0, σ2
)
a) Dibuje un diagrama de dispersión Y vs. X1 y Y vs. X2
b) Escriba la matriz de diseño y con ella escriba el modelo propuesto en notación matricial
c) Use el modelo de mínimos cuadrados para encontrar los estimadores del modelo propuesto.
Use la matriz de diseño en sus cálculos
d) Use el modelo para pronosticar el desgaste cuando la viscosidad sea 25 y la carga 10.0
e) Calcule SCT, SCR, SCE y escriba la Tabla ANOVA
f) Pruebe con 5% de significancia la dependencia lineal del modelo propuesto
g) Encuentre el coeficiente de determinación e interprete su significado.
h) Calcule una estimación de la variancia
i) Encuentre la matriz de variancia-covariancia
j) Calcule la varianza de los estimadores del modelo de mínimos cuadrados
k) Encuentre un intervalo de confianza de 95% para cada parámetro
l) Pruebe con 5% de significancia si el aporte de cada variable X1, X2 al modelo es significativo
m) Pruebe la normalidad del error con 5% de significancia mediante la prueba de
Kolmogorov-Smirnov

323
MATLAB
Regresión lineal múltiple usando notación matricial
>> x=[1 67 75; 1 65 78; 1 78 79; 1 60 83; 1 64 65; 1 61 76] Matriz de diseño X
x =
1 67 75
1 65 78
1 78 79
1 60 83
1 64 65
1 61 76
>> y=[ 80; 77; 94; 70; 51; 70] Vector de observaciones
y =
80
77
94
70
51
70
>> [b, bint, e, eint, stats] = regress(y, x, 0.05) Regresión lineal simple α = 0.05
b = Coeficientes β0 , β1 , β2 del modelo
-134.0719 de mínimos cuadrados
1.4888
1.4437
bint = Intervalos de confianza para β0 , β1 , β2
-261.7405 -6.4034
0.2297 2.7480
0.0959 2.7916
e = Vector de residuales
6.0401
1.6866
-2.1121
-5.0878
-4.0562
3.5294
stats = Coeficiente de determinación R
2
, valor
0.9019 13.7968 0.0307 del estadístico F, valor p de la prueba F
Uso del modelo de mínimos cuadrados
>> yp=b(1)+b(2)*75+b(3)*80 Evaluar el modelo con x1 = 75, x2 = 80
yp =
93.0893
Matriz de correlación lineal de los datos de la muestra
>> cx1y =corrcoef(x(:,2),y) Correlación lineal entre x1 y y
cx1y =
1.0000 0.7226 r = 0.7226 (correlación positiva débil)
0.7226 1.0000
>> cx2y=corrcoef(x(:,3),y) Correlación lineal entre x2 y y
cx2y =
1.0000 0.6626 r = 0.6626 (correlación positiva débil)
0.6626 1.0000

324
Gráficos de dispersión recta de regresión
>> clf
>> scatter(x(:,2),y,'b','filled'),grid on Gráfico de dispersión x1 y y
>> scatter(x(:,3),y,'k','filled'),grid on Gráfico de dispersión x1 y y
Prueba de la normalidad del error de los residuales
>> sce =sum(e.^2) Suma de los cuadrados de residuales
sce =
98.5830
>> s2 =sce/3 Estimación de la varianza S2
s2 =
32.8610
>> t=sort(e); Residuales ordenados
>> f=normcdf(t, 0, sqrt(s2)); Modelo a probar ei ∼ N(0, σ2
)r
>> [h,p,ksstat,vc]=kstest(t,[t f ], 0.05,0) Prueba K-S, α = 0.05
h =
0 No se puede rechazar el modelo
p =
ksstat =
0.1874 Valor del estadístico de prueba
vc =
0.5193 Valor crítico de la región de rechazo
Matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores βi
>> format long Para visualizar con mayor precisión
>> mvc = inv(x' *x)*s2 MVC Usando notación matricial
mvc = La diagonal contiene los valores V(βi)
1.0e+003 *
1.60933261666704 -0.00946526866468 -0.01290428413874 V(β0) = 1609.3
-0.00946526866468 0.00015654447216 -0.00001106020727 V(β1) = 0.1565
-0.01290428413874 -0.00001106020727 0.00017937387435 V(β2) = 0.1793

325
ALFABETO GRIEGO
En la primera columna está el símbolo griego en tipo de letra mayúscula
En la columna central está el símbolo griego en tipo de letra minúscula
En la tercera columna está el nombre en español del símbolo griego
Α α alfa
Β β beta
Γ γ gama
∆ δ delta
Ε ε épsilon
Ζ ζ zeta
Η η eta
Θ θ theta
Ι ι iota
Κ κ kappa
Λ λ lambda
Μ µ mu
Ν ν nu
Ξ ξ xi
Ο ο ómicron
Π π pi
Ρ ρ rho
Σ σ sigma
Τ τ tau
Ψ υ úpsilon
Φ φ fi
Χ χ ji
Ψ ψ psi
Ω ω omega

326
DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR
PROBABILIDAD ACUMULADA F(Z), Z ≤ 0
z 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00
-3.5 0.000165 0.000172 0.000179 0.000185 0.000193 0.000200 0.000208 0.000216 0.000224 0.000233
-3.4 0.000242 0.000251 0.000260 0.000270 0.000280 0.000291 0.000302 0.000313 0.000325 0.000337
-3.3 0.000350 0.000362 0.000376 0.000390 0.000404 0.000419 0.000434 0.000450 0.000467 0.000483
-3.2 0.000501 0.000519 0.000538 0.000557 0.000577 0.000598 0.000619 0.000641 0.000664 0.000687
-3.1 0.000711 0.000736 0.000762 0.000789 0.000816 0.000845 0.000874 0.000904 0.000935 0.000968
-3.0 0.001001 0.001035 0.001070 0.001107 0.001144 0.001183 0.001223 0.001264 0.001306 0.001350
-2.9 0.001395 0.001441 0.001489 0.001538 0.001589 0.001641 0.001695 0.001750 0.001807 0.001866
-2.8 0.001926 0.001988 0.002052 0.002118 0.002186 0.002256 0.002327 0.002401 0.002477 0.002555
-2.7 0.002635 0.002718 0.002803 0.002890 0.002980 0.003072 0.003167 0.003264 0.003364 0.003467
-2.6 0.003573 0.003681 0.003793 0.003907 0.004025 0.004145 0.004269 0.004396 0.004527 0.004661
-2.5 0.004799 0.004940 0.005085 0.005234 0.005386 0.005543 0.005703 0.005868 0.006037 0.006210
-2.4 0.006387 0.006569 0.006756 0.006947 0.007143 0.007344 0.007549 0.007760 0.007976 0.008198
-2.3 0.008424 0.008656 0.008894 0.009137 0.009387 0.009642 0.009903 0.010170 0.010444 0.010724
-2.2 0.011011 0.011304 0.011604 0.011911 0.012224 0.012545 0.012874 0.013209 0.013553 0.013903
-2.1 0.014262 0.014629 0.015003 0.015386 0.015778 0.016177 0.016586 0.017003 0.017429 0.017864
-2.0 0.018309 0.018763 0.019226 0.019699 0.020182 0.020675 0.021178 0.021692 0.022216 0.022750
-1.9 0.023295 0.023852 0.024419 0.024998 0.025588 0.026190 0.026803 0.027429 0.028067 0.028717
-1.8 0.029379 0.030054 0.030742 0.031443 0.032157 0.032884 0.033625 0.034379 0.035148 0.035930
-1.7 0.036727 0.037538 0.038364 0.039204 0.040059 0.040929 0.041815 0.042716 0.043633 0.044565
-1.6 0.045514 0.046479 0.047460 0.048457 0.049471 0.050503 0.051551 0.052616 0.053699 0.054799
-1.5 0.055917 0.057053 0.058208 0.059380 0.060571 0.061780 0.063008 0.064256 0.065522 0.066807
-1.4 0.068112 0.069437 0.070781 0.072145 0.073529 0.074934 0.076359 0.077804 0.079270 0.080757
-1.3 0.082264 0.083793 0.085343 0.086915 0.088508 0.090123 0.091759 0.093418 0.095098 0.096801
-1.2 0.098525 0.100273 0.102042 0.103835 0.105650 0.107488 0.109349 0.111233 0.113140 0.115070
-1.1 0.117023 0.119000 0.121001 0.123024 0.125072 0.127143 0.129238 0.131357 0.133500 0.135666
-1.0 0.137857 0.140071 0.142310 0.144572 0.146859 0.149170 0.151505 0.153864 0.156248 0.158655
-0.9 0.161087 0.163543 0.166023 0.168528 0.171056 0.173609 0.176185 0.178786 0.181411 0.184060
-0.8 0.186733 0.189430 0.192150 0.194894 0.197662 0.200454 0.203269 0.206108 0.208970 0.211855
-0.7 0.214764 0.217695 0.220650 0.223627 0.226627 0.229650 0.232695 0.235762 0.238852 0.241964
-0.6 0.245097 0.248252 0.251429 0.254627 0.257846 0.261086 0.264347 0.267629 0.270931 0.274253
-0.5 0.277595 0.280957 0.284339 0.287740 0.291160 0.294599 0.298056 0.301532 0.305026 0.308538
-0.4 0.312067 0.315614 0.319178 0.322758 0.326355 0.329969 0.333598 0.337243 0.340903 0.344578
-0.3 0.348268 0.351973 0.355691 0.359424 0.363169 0.366928 0.370700 0.374484 0.378281 0.382089
-0.2 0.385908 0.389739 0.393580 0.397432 0.401294 0.405165 0.409046 0.412936 0.416834 0.420740
-0.1 0.424655 0.428576 0.432505 0.436441 0.440382 0.444330 0.448283 0.452242 0.456205 0.460172
-0.0 0.464144 0.468119 0.472097 0.476078 0.480061 0.484047 0.488033 0.492022 0.496011 0.500000

327
DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR
PROBABILIDAD ACUMULADA F(Z), Z ≥ 0
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.500000 0.503989 0.507978 0.511967 0.515953 0.519939 0.532922 0.527903 0.531881 0.535856
0.1 0.539828 0.543795 0.547758 0.551717 0.555760 0.559618 0.563559 0.567495 0.571424 0.575345
0.2 0.579260 0.583166 0.587064 0.590954 0.594835 0.598706 0.602568 0.606420 0.610261 0.614092
0.3 0.617911 0.621719 0.625516 0.629300 0.633072 0.636831 0.640576 0.644309 0.648027 0.651732
0.4 0.655422 0.659097 0.662757 0.666402 0.670031 0.673645 0.677242 0.680822 0.684386 0.687933
0.5 0.691462 0.694974 0.698468 0.701944 0.705401 0.708840 0.712260 0.715661 0.719043 0.722405
0.6 0.725747 0.729069 0.732371 0.735653 0.738914 0.742154 0.745373 0.748571 0.751748 0.754903
0.7 0.758036 0.761148 0.764238 0.767305 0.770350 0.773373 0.776373 0.779350 0.782305 0.785236
0.8 0.788145 0.791030 0.793892 0.796731 0.799546 0.802338 0.805106 0.807850 0.810570 0.813267
0.9 0.815940 0.818589 0.821214 0.823815 0.826391 0.828944 0.831472 0.833977 0.836457 0.838913
1.0 0.841345 0.843752 0.846136 0.848495 0.850830 0.853141 0.855428 0.857690 0.859929 0.862143
1.1 0.864334 0.866500 0.868643 0.870762 0.872857 0.874928 0.876976 0.878999 0.881000 0.882977
1.2 0.884930 0.886860 0.888767 0.890651 0.892512 0.894350 0.896165 0.897958 0.899727 0.901475
1.3 0.903199 0.904902 0.906582 0.908241 0.909877 0.911492 0.913085 0.914657 0.916207 0.917736
1.4 0.919243 0.920730 0.922196 0.923641 0.925066 0.926471 0.927855 0.929219 0.930563 0.931888
1.5 0.933193 0.934478 0.935744 0.936992 0.938220 0.939429 0.940620 0.941792 0.942947 0.944083
1.6 0.945201 0.946301 0.947384 0.948449 0.949497 0.950529 0.951543 0.952540 0.953521 0.954486
1.7 0.955435 0.956367 0.957284 0.958185 0.959071 0.959941 0.960796 0.961636 0.962462 0.963273
1.8 0.964070 0.964852 0.965621 0.966375 0.967116 0.967843 0.968557 0.969258 0.969946 0.970621
1.9 0.971283 0.971933 0.972571 0.973197 0.973810 0.974412 0.975002 0.975581 0.976148 0.976705
2.0 0.977250 0.977784 0.978308 0.978822 0.979325 0.979818 0.980301 0.980774 0.981237 0.981691
2.1 0.982136 0.982571 0.982997 0.983414 0.983823 0.984222 0.984614 0.984997 0.985371 0.985738
2.2 0.986097 0.986447 0.986791 0.987126 0.987455 0.987776 0.988089 0.988396 0.988696 0.988989
2.3 0.989276 0.989556 0.989830 0.990097 0.990358 0.990613 0.990863 0.991106 0.991344 0.991576
2.4 0.991802 0.992024 0.992240 0.992451 0.992656 0.992857 0.993053 0.993244 0.993431 0.993613
2.5 0.993790 0.993963 0.994132 0.994297 0.994457 0.994614 0.994766 0.994915 0.995060 0.995201
2.6 0.995339 0.995473 0.995604 0.995731 0.995855 0.995975 0.996093 0.996207 0.996319 0.996427
2.7 0.996533 0.996636 0.996736 0.996833 0.996928 0.997020 0.997110 0.997197 0.997282 0.997365
2.8 0.997445 0.997523 0.997599 0.997673 0.997744 0.997814 0.997882 0.997948 0.998012 0.998074
2.9 0.998134 0.998193 0.998250 0.998305 0.998359 0.998411 0.998462 0.998511 0.998559 0.998605
3.0 0.998650 0.998694 0.998736 0.998777 0.998817 0.998856 0.998893 0.998930 0.998965 0.998999
3.1 0.999032 0.999065 0.999096 0.999126 0.999155 0.999184 0.999211 0.999238 0.999264 0.999289
3.2 0.999313 0.999336 0.999359 0.999381 0.999402 0.999423 0.999443 0.999462 0.999481 0.999499
3.3 0.999517 0.999533 0.999550 0.999566 0.999581 0.999596 0.999610 0.999624 0.999638 0.999650
3.4 0.999663 0.999675 0.999687 0.999698 0.999709 0.999720 0.999730 0.999740 0.999749 0.999758
3.5 0.999767 0.999776 0.999784 0.999792 0.999800 0.999807 0.999815 0.999821 0.999828 0.999835

328
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN T
tα ⇒ P(T ≥ tα) = α
α .40 .25 .10 .05 .025 .01 .005 .0025 .001 .0005
ν
1 .325 1.000 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 127.320 318.310 636.620
2 .289 .816 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 14.089 23.326 31.598
3 .277 .765 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 7.453 10.213 12.924
4 .271 .741 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5.598 7.173 8.610
5 .267 .727 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 4.773 5.893 6.869
6 .265 .718 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 4.317 5.208 5.959
7 .263 .711 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.029 4.785 5.408
8 .262 .706 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 3.833 4.501 5.041
9 .261 .703 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 3.690 4.297 4.781
10 .260 .700 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 3.581 4.144 4.587
11 .260 .697 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 3.497 4.025 4.437
12 .259 .695 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.428 3.930 4.318
13 .259 .694 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.372 3.852 4.221
14 .258 .692 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.326 3.787 4.140
15 .258 .691 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.286 3.733 4.073
16 .258 .690 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.252 3.686 4.015
17 .257 .689 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.222 3.646 3.965
18 .257 .688 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.197 3.610 3.922
19 .257 .688 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.174 3.579 3.883
20 .257 .687 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.153 3.552 3.850
21 .257 .686 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.135 3.527 3.819
22 .256 .686 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.119 3.505 3.792
23 .256 .685 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.104 3.485 3.767
24 .256 .685 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.091 3.467 3.745
25 .256 .684 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.078 3.450 3.725
26 .256 .684 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.067 3.435 3.707
27 .256 .684 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.057 3.421 3.690
28 .256 .683 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.047 3.408 3.674
29 .256 .683 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.038 3.396 3.659
30 .256 .683 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.030 3.385 3.646
∞ .253 .674 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 2.807 3.090 3.291

329
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO
α .995 .990 .975 .950 .900 .500 .100 .050 .025 .010 .005
ν
1 .00003 .0001 .0009 .0039 .02 .45 2.71 3.84 5.02 6.63 7.88
2 .01 .02 .05 .10 .21 1.39 4.61 5.99 7.38 9.21 10.60
3 .07 .11 .22 .35 .58 2.37 6.25 7.81 9.35 11.34 12.84
4 .21 .30 .48 .71 1.06 3.36 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86
5 .41 .55 .83 1.15 1.61 4.35 9.24 11.07 12.83 15.09 16.75
6 .68 .87 .24 1.64 2.20 5.35 10.65 12.59 14.45 16.81 18.55
7 .99 .24 .69 2.17 2.83 6.35 12.02 14.07 16.01 18.48 20.28
8 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 7.34 13.36 15.51 17.53 20.09 21.96
9 1.73 2.09 2.70 3.33 4.17 8.34 14.68 16.92 19.02 21.67 23.59
10 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 9.34 15.99 18.31 20.48 23.21 25.19
11 2.60 3.05 3.82 4.57 5.58 10.34 17.28 19.68 21.92 24.72 26.76
12 3.07 3.57 4.40 5.23 6.30 11.34 18.55 21.03 23.34 26.22 28.30
13 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 12.34 19.81 22.36 24.74 27.69 29.82
14 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 13.34 21.06 23.68 26.12 29.14 31.32
15 4.60 5.23 6.27 7.26 8.55 14.34 22.31 25.00 27.49 30.58 32.80
16 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 15.34 23.54 26.30 28.85 32.00 34.27
17 5.70 6.41 7.56 8.67 10.09 16.34 24.77 27.59 30.19 33.41 35.72
18 6.26 7.01 8.23 9.39 10.87 17.34 25.99 28.87 31.53 34.81 37.16
19 6.84 7.63 8.91 10.12 11.65 18.34 27.20 30.14 32.85 36.19 38.58
20 7.43 8.26 9.59 10.85 12.44 19.34 28.41 31.41 34.17 37.57 40.00
21 8.03 8.90 10.28 11.59 13.24 20.34 29.62 32.67 35.48 38.93 41.40
22 8.64 9.54 10.98 12.34 14.04 21.34 30.81 33.92 36.78 40.29 42.80
23 9.26 10.20 11.69 13.09 14.85 22.34 32.01 35.17 38.08 41.64 44.18
24 9.89 10.86 12.40 13.85 15.66 23.34 33.20 36.42 39.36 42.98 45.56
25 10.52 11.52 13.12 14.61 16.47 24.34 34.28 37.65 40.65 44.31 46.93
26 11.16 12.20 13.84 15.38 17.29 25.34 35.56 38.89 41.92 45.64 48.29
27 11.81 12.88 14.57 16.15 18.11 26.34 36.74 40.11 43.19 46.96 49.65
28 12.46 13.57 15.31 16.93 18.94 27.34 37.92 41.34 44.46 48.28 50.99
29 13.12 14.26 16.05 17.71 19.77 28.34 39.09 42.56 45.72 49.59 52.34
30 13.79 14.95 16.79 18.49 20.60 29.34 40.26 43.77 46.98 50.89 53.67
40 20.71 22.16 24.43 26.51 29.05 39.34 51.81 55.76 59.34 63.69 66.77
50 27.99 29.71 32.36 34.76 37.69 49.33 63.17 67.50 71.42 76.15 79.49
60 35.53 37.48 40.48 43.19 46.46 59.33 74.40 79.08 83.30 88.38 91.95
70 43.28 45.44 48.76 51.74 55.33 69.33 85.53 90.53 95.02 100.42 104.22
80 51.17 53.54 57.15 60.39 64.28 79.33 96.58 101.88 106.63 112.33 116.32
90 59.20 61.75 65.65 69.13 73.29 89.33 107.57 113.14 118.14 124.12 128.30
100 67.33 70.06 74.22 77.93 82.36 99.33 118.50 124.34 129.56 135.81 140.17
2
α
χ ⇒ P(χ2
≥ 2
α
χ ) = α

330
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN F
1 2
, ,
Fα ν ν ⇒ 1 2
, ,
P(F F )
α ν ν
> =
α 0.05
α =
ν1
ν2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞
1 161.4 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5 241.9 243.9 245.9 248.0 249.1 250.1 251.1 252.2 253.3 254.3
2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40 19.41 19.43 19.45 19.45 19.46 19.47 19.48 19.49 19.50
3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.74 8.70 8.66 8.64 8.62 8.59 8.57 8.55 8.53
4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 5.91 5.86 5.80 5.77 5.75 5.72 5.69 5.66 5.63
5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.68 4.62 4.56 4.53 4.50 4.46 4.43 4.40 4.36
6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 4.00 3.94 3.87 3.84 3.81 3.77 3.74 3.70 3.67
7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.57 3.51 3.44 3.41 3.38 3.34 3.30 3.27 3.23
8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 3.28 3.22 3.15 3.12 3.08 3.04 3.01 2.97 2.93
9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.07 3.01 2.94 2.90 2.86 2.83 2.79 2.75 2.71
10 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.91 2.85 2.77 2.74 2.70 2.66 2.62 2.58 2.54
11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 2.79 2.72 2.65 2.61 2.57 2.53 2.49 2.45 2.40
12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 2.69 2.62 2.54 2.51 2.47 2.43 2.38 2.34 2.30
13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 2.60 2.53 2.46 2.42 2.38 2.34 2.30 2.25 2.21
14 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 2.53 2.46 2.39 2.35 2.31 2.27 2.22 2.18 2.13
15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 2.48 2.40 2.33 2.29 2.25 2.20 2.16 2.11 2.07
16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 2.42 2.35 2.28 2.24 2.19 2.15 2.11 2.06 2.01
17 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45 2.38 2.31 2.23 2.19 2.15 2.10 2.06 2.01 1.96
18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 2.34 2.27 2.19 2.15 2.11 2.06 2.02 1.97 1.92
19 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 2.31 2.23 2.16 2.11 2.07 2.03 1.98 1.93 1.88
20 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35 2.28 2.20 2.12 2.08 2.04 1.99 1.95 1.90 1.84
21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32 2.25 2.18 2.10 2.05 2.01 1.96 1.92 1.87 1.81
22 4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.30 2.23 2.15 2.07 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.78
23 4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27 2.20 2.13 2.05 2.01 1.96 1.91 1.86 1.81 1.76
24 4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25 2.18 2.11 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.79 1.73
25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24 2.16 2.09 2.01 1.96 1.92 1.87 1.82 1.77 1.71
26 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22 2.15 2.07 1.99 1.95 1.90 1.85 1.80 1.75 1.69
27 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.20 2.13 2.06 1.97 1.93 1.88 1.84 1.79 1.73 1.67
28 4.20 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19 2.12 2.04 1.96 1.91 1.87 1.82 1.77 1.71 1.65
29 4.18 3.33 2.93 2.70 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18 2.10 2.03 1.94 1.90 1.85 1.81 1.75 1.70 1.64
30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 2.09 2.01 1.93 1.89 1.84 1.79 1.74 1.68 1.62
40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08 2.00 1.92 1.84 1.79 1.74 1.69 1.64 1.58 1.51
60 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99 1.92 1.84 1.75 1.70 1.65 1.59 1.53 1.47 1.39
120 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.17 2.09 2.02 1.96 1.91 1.83 1.75 1.66 1.61 1.55 1.55 1.43 1.35 1.25
∞ 3.84 3.00 2.60 2.37 2.21 2.10 2.01 1.94 1.88 1.83 1.75 1.67 1.57 1.52 1.46 1.39 1.32 1.22 1.00

331
TABLA PARA LA PRUEBA KOLMOGOROV - SMIRNOV (K-S)
α: Nivel de significancia
Valores críticos Dα, n
α
n
0.20 0.15 0.10 0.05 0.01
1 0.900 0.925 0.950 0.875 0.995
2 0.684 0.726 0.776 0.842 0.929
3 0.565 0.597 0.642 0.708 0.828
4 0.494 0.525 0.564 0.624 0.733
5 0.446 0.474 0.510 0.565 0.669
6 0.410 0.436 0.470 0.521 0.618
7 0.381 0.405 0.438 0.486 0.577
8 0.358 0.381 0.411 0.457 0.543
9 0.339 0.360 0.388 0.432 0.514
10 0.322 0.342 0.368 0.410 0.490
11 0.307 0.326 0.352 0.391 0.468
12 0.295 0.313 0.338 0.375 0.450
13 0.284 0.302 0.325 0.361 0.433
14 0.274 0.292 0.314 0.349 0.418
15 0.266 0.283 0.304 0.338 0.404
16 0.258 0.274 0.295 0.328 0.392
17 0.250 0.266 0.286 0.318 0.381
18 0.244 0.259 0.278 0.309 0.371
19 0.237 0.252 0.272 0.301 0.363
20 0.231 0.246 0.264 0.294 0.356
25 0.210 0.220 0.240 0.270 0.320
30 0.190 0.200 0.220 0.240 0.290
35 0.180 0.190 0.201 0.230 0.270
Mayor a 35
1.07
n
1.14
n
1.22
n
1.36
n
1.63
n

332
DISTTOOL
Instrumento computacional gráfico interactivo disponible en MATLAB para entender visualmente
algunas propiedades de las distribuciones de probabilidad más importantes.
DISTTOOL crea interactivamente el gráfico de la distribución de probabilidad, o densidad de
Probabilidad, y la distribución acumulada para los siguientes modelos:
Se pueden cambiar los parámetros escribiendo sus valores o moviendo un cursor sobre el
gráfico o barras de desplazamiento. Se pueden obtener valores de la distribución o de probabilidad
moviendo una línea de referencia sobre el gráfico
Para activar este utilitario digite disttool en la ventana de comandos de MATLAB

333
RANDTOOL
Instrumento computacional gráfico interactivo disponible en MATLAB para obtener muestras
aleatorias de las distribuciones de probabilidad más importantes.
RANDTOOL crea un histograma con los datos de las muestras aleatorias generadas para los
siguientes modelos.
Se pueden cambiar los parámetros escribiendo sus valores o moviendo barras de desplazamiento.
Se puede especificar el tamaño de la muestra y se puede almacenar la muestra escribiendo una
variable para ser usada desde la ventana de comandos de MATLAB.
Para activar este utilitario digite randtool en la ventana de comandos de MATLAB

334
BIBLIOGRAFÍA
ESTADÍSTICA
Canavos, G. C. Probabilidad y Estadística Aplicaciones y Métodos, México: McGraw-Hill
Interamericana de México, S. A.
Castro A. B. Probabilidades y Estadística Básicas, Quito: Escuela Politécnica Nacional
Freund, J. E. y Walpole R. E. Estadística Matemática con Aplicaciones, 4a. ed. México: Prentice-
Hall Hispanoamericana, S. A.
Hines, W. W. y Montgomery D. C. Probabilidad y Estadística para Ingeniería, 3a. ed. México:
Compañia Editorial Continental
Mendenhall W. Introduction to Probability and Statistics, 3d. ed. California: Duxbury Press
Miller, I. R., Freund J. E. y Johnson R. Probabilidad y Estadística para Ingenieros 4a. ed. México:
Prentice-Hall Hispanoamericana, S. A.
Montgomery D. C. y Runger G. C. Probabilidad y Estadística Aplicadas a la Ingeniería, 2a. ed.
México: Editorial Limusa S. A.
Walpole, R. E. y Myers, R. H. Probabilidad y Estadística para Ingenieros, 3a. ed. México:
McGraw-Hill Interamericana de México, S. A.
COMPUTACIÓN
The MathWorks, Inc. Statistics Toolbox for use with MATLAB User`s Guide
The MathWorks, Inc. Using MATLAB Computation, Visualization, Programming
Pérez López C. MATLAB y sus Aplicaciones en las Ciencias y la Ingeniería, Madrid: Pearson
Educación, S. A.
Rodríguez Ojeda L. MATLAB Conceptos Básicos y Programación, Tutorial, ICM ESPOL

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