Progresiones aritmeticas y geometricas
- 1. UNIVERSIDAD DE ORIENTE NUCLEO DE MONAGAS UNIDAD DE ESTUDIOS BÁSICOS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS SECCION DE MATEMATICAS MATEMATICA I BACHILLERES: Ángelica Velásquez Lisette Penagos Samuel Alfonzo MATURIN, NOVIEMBRE DE 2017 PROFESORA: Milagros Coraspe
- 2. Progresiones es una sucesión de números entre los cuales hay una ley de formación constante. Se distinguen dos tipos: Progresión aritmética: aquella en que la diferencia entre sus términos es constante. Progresión geométrica: aquella en que la razón o cociente entre sus términos es constante. Las progresiones muestra la forma de obtener los términos de una progresión, su término general y la suma de los términos.
- 3. Una sucesión se dice que es una progresión aritmética (PA) si la diferencia entre cualquier término y el anterior es la misma a lo largo de toda la sucesión. La diferencia entre cada término y el anterior se denomina diferencia común y se denota por “d”.
- 4. Si a es el primer término y d la diferencia común de una PA, los términos sucesivos son: a, a+d, a+2d, a+3d,… por lo tanto, el n-ésimo término, o término general está dado por: ◦an = a1 + (n - 1)d
- 5. Ejemplos: Los pagos mensuales que José realiza al banco por un préstamo, forma una PA. Si sus pagos sexto y décimo son de 3.450 Bs y 3.330 Bs, respectivamente ¿de cuánto será su décimo quinto pago pago al banco? Datos: a6= 3.450 Bs FORMULA a10= 3.330 Bs n= a+(n-1)d a15= ? n= 15 Sustituimos la formula: a6 = a+(6-1)d= 3.450 a10 = a+(10-1)=3.330
- 6. Despejamos d 4 d= 120 =-30 Calculamos a (sustituyendo el valor de d) 𝑎 + 5𝑑 = 3450 𝑎 + 5 −30 = 3450 𝑎 - 150 = 3450 𝑎 = 3450 + 150 = 3600
- 7. Tenemos: si n=15 a15 = 3600 + (15 − 1)(−30) a15 = 3600 + (14)(−30) a15 = 3600 − 420 a15 = 3180 Bs Entonces: la cuota décimo quinta será de Bs 3.180
- 8. Una persona comienza un trabajo en el cual el monto de su pago mensual está en PA. Sabiendo que el décimo mes recibió 36.443 Bs y el décimo quinto mes recibió 54.223 determine: a) El monto del pago correspondiente al décimo sexto mes. b) ¿En que número de mes recibe un pago de 82.671? Sean a y d el primer termino y la diferencia de la PA. Luego: a10 =36.443 ⇔ a + 9d=36.443 a15= 54.223 ⇔ a + 14d= 54.223
- 9. Del sistema de ecuaciones (-1) a + 9d=36.443 a + 14d= 54.223 5d= 17.780 d= 17.780 =3.556 5 Calculamos a: a+9d=36.443 a+9 (3.556)=36.443 a+32.004= 36.443 a=36.443 – 32004= 4.439 Se obtiene que a= 4.439, d= 3.556
- 10. a16 =4.439 + (16-1) (3.556) = 57.779 a) Entonces, el décimo sexto mes se pago Bs 57.779. Sea n el numero del mes an =82.671 ⇔ 4.439+ (n-1) . 3.556= 82.671 (n-1) .3.556=82671-4.439 (n-1) . 3.556 = 78.232 n-1= 78.232/3.556 n-1= 22 n=22+1= 23 b) Entonces el mes número 23 recibió 82.671 Bs
- 11. Sea P una cantidad de dinero invertida a una tasa de interes anual del R por ciento. En un año, la cantidad de interes ganada esta dada por: I = 𝑃 + 𝑅 100
- 12. Si la inversión es a interés simple, la sucesión de los valores anuales de la inversión son: P, P+I, P+2I, P+3I,… Forman una PA cuyo primer término es R y diferencia común I. Después de t años el valor está dado por: v𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑡 𝑎ñ𝑜𝑠 = 𝑃 + 𝐼. 𝑡
- 13. Ejemplo: Se invierte una suma de 2000 Bs con interés simple a una tasa de interés anual del 15%. a) Encontrar una expresión para el valor de la inversión t años después de que se realizó. b) Calcular el valor después de 5 años. Datos: P=2000 Bs FORMULAS R= 15% I = 𝑃 + 𝑅 100 a) Después de t años= ? 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑑𝑒 𝑡 𝑎ñ𝑜𝑠 = 𝑃 + 𝐼. 𝑡 b) Después de 5 años= ? t= 5
- 14. Solución: I = 𝑃 + 𝑅 100 = 2000 + 15 100 = 300 a) 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑑𝑒 𝑡 𝑎ñ𝑜𝑠 = 2000 + 300 . 𝑡 b) 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑑𝑒 5 𝑎ñ𝑜𝑠 = 2000 + 300 5 = 3500 Bs
- 15. Si a es el primer termino y r la razón común de una PG, los términos sucesivos son: 𝑎, 𝑎𝑟, 𝑎𝑟2, 𝑎𝑟3, 𝑎𝑟4, … Así que el n-ésimo término general esta dado por: n= 𝑎 . 𝑟 𝑛−1
- 16. Si a es el primer término y r la razón común e una PG, entonces la suma de n términos esta dada por: 𝑆𝑛 = 𝑎(1 − 𝑟 𝑛 ) 1 − 𝑟
- 17. Ejemplos: Una persona decide donar una cierta cantidad de dinero mensualmente a una fundación benéfica. Estos montos mensuales se encuentran en PG. Se sabe que el séptimo mes donó 768 millones de Bs y el décimo mes 6.144 millones. a) Determinar el monto donado en el vigésimo segundo mes. b) Determinar el monto total de dinero donado, después de transcurrido un año. Sean a y r el primer termino y la razón: a7 =768 ⇔ ar6 = 768 a10 = 6.144 ⇔ ar9 = 6.144
- 18. Dividiendo ambas ecuaciones, se tiene: ar9= 6.144 ar6 768 ⇔ r3 = 8 ⇔ r= 2 Reemplazando en ar6 = 768 se obtiene: a . 26 = 768 a. 64=768 a=768/64=12 ⇔ a= 12
- 19. a) El monto donado en el vigésimo segundo mes es: a22 = 12 . 221 a22 = 12 . 2.097.152=25.165.824 millones de Bs. b) El monto total de dinero donado, después de transcurrido un año es: S22 =12 (1-212)=49.140 1-2
- 20. Ricardo inicia guardando 20.000 bs y por cada día que pasa después del primero, guarda la mitad de lo que guardó el día anterior. ¿Cuánto tendrá guardado a los 10 días? Datos: a1 = 20.000 n= 10 FORMULA r= ½ = 0.5 Sn = a (1-rn) Sn= ? 1-r
- 21. Sn = 20.000 (0.0510 -1) 0.5 - 1 Sn = 20.000 (0.0009765 -1) 0.5 - 1 Sn = 20.000 (-0.999) = -19.980,47= 0.5 -0.5 Sn= 39.960,94 A los diez días Ricardo tendrá guardado 39.960,94 bs.
- 22. Las progresiones aritméticas y geométricas se puede decir que son de gran importancia al estar en nuestro camino de formación como profesionales, para una mejor formación académica, ya que en algún momento de nuestro día a día pondremos en practica dicho tema.