Progresiones geométricas
- 1. PROGRESIONES GEOMETRICAS Mg. ARACELLI SALDAÑA ARBAIZA
- 2. Definición Se denomina progresión geométrica a aquella sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón.
- 3. EJEMPLO: En l a progresión geométrica: se observa que: El segundo término que es 12, se obtuvo de multiplicar por 4 el primer término. El tercer término que es 48, se obtiene de multiplicar el segundo término por 4 y así sucesívamente.
- 4. TÉRMINO GENERAL Según la definición anterior y el ejemplo de progresión geométrica que se ha presentado, se verifica: a 2 = a 1 · r a 3 = a 2 · r = a 1 · r · r = a 1 · r 2 a 4 = a 3 · r = a 1 · r 2 · r = a 1 · r 3 Donde a 1 ; a 2 ; a 3 ;… son los términos de la progresión geométrica. Luego reemplazando se tiene: a 1 ; a 1 · r ; a 1 ·r 2 ; a 1 · r 3 ; … ; a 1 · r n - 1 Es decir que el término nésimo o término general se obtiene de la siguinet forma. a n = a 1 · r n - 1
- 5. Ejemplo: ¿Cuál es la razón de la progresión geométrica 5;15;45;135;405;…? Solución: La razón se obtiene dividiendo cualquiera de los términos por el anterior, por ejemplo: 15:3=5. Si dividimos otro par de números tenemos:135:45=5. Observamos que el cociente de cualquier término entre el anterior es siempre 5. Por lo que la razón es r= 5
- 6. Ejemplo 2. Cuál es el quinto término de una progresión geométrica en la que el primer término es 2 y la razón es 3? Solución. Una forma sería multiplicado el primer término por la razón, y seguir el mismo procedimiento con el siguiente término hasta obtener el quinto término: 2x3 = 6, 6x3 = 18 , 18x3 = 54, 54x3= 162 Luego el quinto término es 162.
- 7. Otra forma de obtener el quinto término sería utilizando la fórmula del n-ésimo término: a n = a 1 · r n – 1 donde: a n :es el quinto término, a 1 :es el primer término r :es la razón n :es la cantidad de términos que en esta caso son 5 términos. Luego se reemplaza en la fórmula: a 5 = 2 (3) 5 – 1 = 2 (3) 4 = 2 (81)= 162 Observando extremos: a 5 = 162.
- 8. Interpolación de términos: C onsiste en intercalar varios términos entre dos dados . Para poder realizar esta operación se necesita hallar la razón. Los términos interpolados se denominan medios geométricos. Ejemplo: Supongamos que queremos intercalar entre 3 y 96 cuatro números a , b , c y d de manera que 3, a , b , c , d , 14 estén en progresión geométrica. Tenemos que a 1 = 3, a 6 = 96 y el número de términos n = 6. Aplicando la expresión del término general de una progresión geométrica, se tiene que: a 6 = a 1 · r 5 entonces 96 = 3 · r 5 ; dividiendo 96 entre 3 se tiene que 32 = r 5 , 2 5 = r 5 de lo que se deduce que r = 2. Ahora podemos multiplicar cada término para obtener el siguiente y resulta la progresión geométrica : 3, 6, 12, 24, 48, 96.
- 9. El número de bacterias de un cultivo está aumentando un 25 % cada hora. Si al principio había 300000 ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 5 horas? Rpta: 915527,34 Un padre proyecta colocar en un baúl $ 1 el día que su hijo cumpla un año, e ir duplicando la cantidad sucesivamente en todos los cumpleaños. ¿Cuánto tendrá que colocar el día que su hijo cumpla 18 años? ¿Cuánto habrá en el baúl luego? Rpta: a) $131072 b) $262143
- 10. PRÁCTICA 1. Calcula el término que ocupa el lugar 100 de una progresión aritmética cuyo primer término es igual a 4 y la diferencia es 5. 2. El décimo término de una progresión aritmética es 45 y la diferencia es 4. Halla el primer término. 3. Sabiendo que el primer término de una progresión aritmética es 4, la diferencia 7 y el término n-ésimo 88, halla el número de términos. 4. Halla el primer término de una progresión aritmética y la diferencia, sabiendo que a3 = 24 y a10 = 66.
- 11. 5. El término sexto de una progresión aritmética es 4 y la diferencia 1/2. Halla el término 20. 6. Interpola cuatro medios aritméticos entre los números 7 y 27. 7. Calcula los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que sus medidas, expresadas en metros, están en progresión aritmética de diferencia 3. 8. Halla tres números que estén en progresión aritmética y tales que, aumentados en 5, 4 y 7 unidades respectivamente, sean proporcionales a 5, 6 y 9.