Propiedades de la Transformada de Laplace
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Este documento describe varias propiedades clave de la transformada de Laplace, incluyendo: 1) la linealidad de la transformada, 2) el teorema de traslación, 3) cómo calcular la transformada de Laplace de una derivada, y 4) cómo calcular la derivada de una transformada de Laplace. Proporciona ejemplos para ilustrar cada propiedad.
Propiedades de la Transformada de Laplace
- 2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Diego Sandoval Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica Universidad de La Sabana
- 3. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE LINEALIDAD DE LA TRANSFORMADA LINEALIDAD Para dos funciones f(t) y g(t) para las cuales existe la transformada de Laplace de cada una de la forma L{f} = F(s) y L{g} = G(s), entonces L {αf(t) + βg(t)} = αL {f(t)} + βL {g(t)} = αF(s) + βG(s) EJEMPLO Calculemos la transformada de Laplace de f(t) = 5t2 + 3e−2t, Usando la linealidad de la transformada de Laplace obtenemos: L 5t2 + 3e−2t = 5L t2 + 3L e−2t = 5 2 s3 + 3 1 s + 2 = 10 s3 + 3 s + 2
- 4. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE TEOREMA DE TRASLACI ´ON TEOREMA Si L{f(t)} = F(s) y a es cualquier n´umero real, entonces L eat f(t) = F(s − a) EJEMPLO Calculemos la transformada de Laplace de f(t) = e−2t cos(4t), Sabemos que la transformada de cos(4t) es: L{cos(4t)} = F(s) = s s2 + 16 Usando el teorema de traslaci´on obtenemos : L e−2t cos(4t) = F(s + 2) = (s + 2) (s + 2)2 + 16
- 5. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA TRANSFORMADA DE f(n)(t) Si L{f(t)} = F(s) y f (t) es continua para t ≥ 0, entonces L f (t) = sF(s) − f(0) Si f (t) es continua para t ≥ 0, entonces para la segunda derivada tenemos L f (t) = s2 F(s) − sf(0) − f (0) En general, si f(t) y sus derivadas hasta f(n−1)(t) son continuas, entonces para la n-esima derivada de f tenemos L f(n) (t) = sn F(s) − sn−1 f(0) − sn−2 f (0) · · · − f(n−1) (0)
- 6. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DERIVADA DE UNA TRANSFORMADA DERIVADA DE F(s) Si L{f(t)} = F(s); calculemos d ds F(s), usando la definici´on de F(s) d ds F(s) = d ds ∞ 0 e−st f(t)dt = ∞ 0 ∂ ∂s e−st f(t) dt = − ∞ 0 e−st tf(t)dt = −L{tf(t)} Es decir, L{tf(t)} = − d ds L{f(t)} CASO GENERAL En general, si L{f(t)} = F(s); para n = 1, 2, ..., entonces Es decir, L{tn f(t)} = (−1)n dn n F(s)
- 7. BIBLIOGRAF´IA ZILL, D., CULLEN, M., Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera, octava edici´on, Cengage Learning, Mexico, DF, 2014. BOYCE, W., DIPRIMA, R., Elementary Differential Equation and Boundary Value problems, Novena edici´on, JohnWiley and Sons, Inc. USA, 2009. NAGLE, R.K., SAFF, E.B., Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales, Addison- Wesley, Iberoamericana, 1992. POLKING, J., BOGGESS, A., ARNOLD, D., Differential equations with boun- dary value problems, Segunda edici´on, Pearson Prentice Hall, 2005.