Propiedades de los límites
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1) El documento presenta las propiedades y leyes de los límites, incluyendo la regla de suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces. 2) Se proveen ejemplos para ilustrar el cálculo de límites usando estas leyes y técnicas como factorización y racionalización para resolver formas indeterminadas. 3) Finalmente, se presenta el teorema de compresión para calcular límites cuando una función está comprendida entre dos funciones con el mismo límite.
![L´IMITES PROPIEDADES DE LOS L´IMITES
TEOREMA: LEYES DE LOS L´IMITES
5 Regla del cociente:
l´ım
x→a
f(x)
g(x)
=
l´ım
x→a
f(x)
l´ım
x→a
g(x)
=
L
M
, M = 0
6 Regla de la potencia:
l´ım
x→a
[f(x)]n
= l´ım
x→a
f(x)
n
= Ln
, n ∈ Z+
7 Regla de la ra´ız:
l´ım
x→a
n
f(x) = n l´ım
x→a
f(x) =
n
√
L, n ∈ Z+
. (Si n es par, se debe tener
que l´ım
x→a
f(x) > 0).](https://image.slidesharecdn.com/diapositivassemana5-180721173210/85/Propiedades-de-los-limites-4-320.jpg)
Propiedades de los límites
- 2. L´IMITES Cristian Camilo Penagos Torres Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica Universidad de La Sabana
- 3. L´IMITES PROPIEDADES DE LOS L´IMITES TEOREMA: LEYES DE LOS L´IMITES Si L y M, a y k son n´umeros reales y l´ım x→a f(x) = L(existe) y l´ım x→a g(x) = M(existe), entonces: 1 Regla de suma: l´ım x→a (f(x) + g(x)) = l´ım x→a f(x) + l´ım x→a g(x) = L + M 2 Regla de resta: l´ım x→a (f(x) − g(x)) = l´ım x→a f(x) − l´ım x→a g(x) = L − M 3 Regla del m´ultiplo constante: l´ım x→a (kf(x)) = k l´ım x→a f(x) = kL 4 Regla del producto: l´ım x→a (f(x)g(x)) = l´ım x→a f(x) l´ım x→a g(x) = LM
- 4. L´IMITES PROPIEDADES DE LOS L´IMITES TEOREMA: LEYES DE LOS L´IMITES 5 Regla del cociente: l´ım x→a f(x) g(x) = l´ım x→a f(x) l´ım x→a g(x) = L M , M = 0 6 Regla de la potencia: l´ım x→a [f(x)]n = l´ım x→a f(x) n = Ln , n ∈ Z+ 7 Regla de la ra´ız: l´ım x→a n f(x) = n l´ım x→a f(x) = n √ L, n ∈ Z+ . (Si n es par, se debe tener que l´ım x→a f(x) > 0).
- 5. L´IMITES PROPIEDADES DE LOS L´IMITES EJEMPLO Calcule: l´ım x→2 x3 + 2x + 3 x2 + 5 . Aplicando las leyes de los l´ımites se tiene: l´ım x→2 x3 + 2x + 3 x2 + 5 = l´ım x→2 x3 + 2x + 3 x2 + 5 = l´ım x→2 (x3 + 2x + 3) l´ım x→2 (x2 + 5) = l´ım x→2 x3 + l´ım x→2 2x + l´ım x→2 3 l´ım x→2 x2 + l´ım x→2 5
- 6. L´IMITES PROPIEDADES DE LOS L´IMITES l´ım x→2 x 3 + 2 l´ım x→2 x + l´ım x→2 3 l´ım x→2 x 2 + l´ım x→2 5 = 23 + 2 · 2 + 3 22 + 5 = 8 + 4 + 3 9 = 15 9 = 5 3
- 7. L´IMITES PROPIEDADES DE LOS L´IMITES EJEMPLO Calcule: l´ım x→7 x − 7 x2 − 49 . Aplicando las leyes de los l´ımites se tiene: l´ım x→7 x − 7 x2 − 49 = l´ım x→7 x − 7 (x − 7)(x + 7) = l´ım x→7 1 x + 7 = 1 14
- 8. L´IMITES PROPIEDADES DE LOS L´IMITES EJEMPLO: T´ECNICA DE CANCELACI ´ON Calcular l´ım x→−3 x2 + x − 6 x + 3 Utilizando la sustituci´on directa se obtiene la forma indeterminada 0 0. En este caso no podemos utilizar directamente el teorema anterior (pues el denominador en cero). Como el numerador tambi´en es 0, debemos factorizarlo, con la pretensi´on de eliminar la forma indeterminada. l´ım h→−3 x2 + x − 6 x + 3 = l´ım x→−3 (x + 3)(x − 2) x + 3 = l´ım x→−3 (x − 2) = −3 − 2 = −5
- 9. L´IMITES PROPIEDADES DE LOS L´IMITES EJEMPLO: T´ECNICA DE RACIONALIZACI ´ON Calcular l´ım x→0 √ x + 1 − 1 x Utilizando la sustituci´on directa se obtiene la forma indeterminada 0 0. En este caso, reescribiremos la fracci´on racionalizando en numerador, con la pretensi´on de eliminar la forma indeterminada. l´ım x→0 √ x + 1 − 1 x = l´ım x→0 √ x + 1 − 1 x · √ x + 1 + 1 √ x + 1 + 1 = l´ım x→0 x + 1 − 1 x( √ x + 1 + 1) = l´ım x→0 x x( √ x + 1 + 1) = l´ım x→0 1 √ x + 1 + 1 = 1 2
- 10. L´IMITES PROPIEDADES DE LOS L´IMITES EJEMPLO Calcule l´ım x→−3 4 − √ x2 + 7 x Aplicando las leyes de los l´ımites se tiene: l´ım x→−3 4 − √ x2 + 7 3x + 9 = l´ım x→−3 4 − √ x2 + 7 3x + 9 · 4 + √ x2 + 7 4 + √ x2 + 7 = l´ım x→−3 9 − x2 (3x + 9)(4 + √ x2 + 7) = l´ım x→−3 (3 − x)(3 + x) 3(x + 3)(4 + √ x2 + 7) = 1 3 l´ım x→−3 (3 − x)(3 + x) (3 + x)(4 + √ x2 + 7)
- 11. L´IMITES PROPIEDADES DE LOS L´IMITES 1 3 l´ım x→−3 (3 − x)(3 + x) (3 + x)(4 + √ x2 + 7) = 1 3 l´ım x→−3 3 − x 4 + √ x2 + 7 = 1 3 · 3 − (−3) 4 + (−3)2 + 7 = 1 3 · 6 4 + √ 16 = 3 8
- 12. L´IMITES TEOREMA DE COMPRESI ´ON TEOREMA DE COMPRESI ´ON Suponga que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todos los valores de x en alg´un intervalo abierto que contiene a a, excepto posiblemente en x = a. Tambi´en suponga que l´ım x→a f(x) = l´ım x→a h(x) = L Entonces l´ım x→a g(x) = L.
- 13. L´IMITES TEOREMA DE COMPRESI ´ON EJEMPLO Si 5 − 3x − x2 ≤ g(x) ≤ x + 9 para todo x cerca a -2 excepto tal vez para x = −2. ¿Cu´al es el valor de l´ım x→−2 g(x)? Como l´ım x→−2 (5 − 3x − x2 ) = 7 y l´ım x→−2 (x + 9) = 7 en virtud del teorema de compresi´on se debe tener que l´ım x→−2 g(x) = 7