Propuesta Solucionario 7 por David Hoyos y Andres Mella
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Este documento presenta 9 ejemplos de cálculo de áreas y volúmenes utilizando integrales definidas. En cada ejemplo, se describe gráficamente la región delimitada y se procede a igualar las ecuaciones para determinar los límites de integración y calcular el área o volumen mediante la integral correspondiente. El documento recomienda igualar las ecuaciones a mano para encontrar los límites sin depender de las gráficas.
![Propuesta Solucionario 7
Ing. Electrónica
David Steven Hoyos - Andrés Fermín Mella*
Aplicaciones de la Integral denida Pags 63, 64, 74 y 75
En este taller haremos uso de las integrales denidas para calcular áreas y volúmenes.
Por cuestiones de espacio, en las grácas, sólo mostraremos la parte de las funciones
que debemos calcular.
N ota : En todos los casos se debe igualar las ecuaciones para determinar los límites
de integración.
N ota2 : La u2 son únidades cuadradas.
N ota3 : En este taller mostramos como se hacen las operaciones, sin embargo, nos
basaremos mucho en las grácos. Por este motivo recomendamos que igualen las ecuaciones
a mano, así encontrarán los límites de integración sin las grácas.
1) La región S acotada por debajo por la gráca y = x3 y por arriba por la gráca
y = x en el intervalo [0, 1]
1 1
x2 x4
x − x3 dx 2
− 4
0 0
1 1 1
− = [u2 ]
2 4 4
* David Steven Hoyos Gil - Andrés Fermín Mella
1](https://image.slidesharecdn.com/solucionario7-110328135010-phpapp02/85/Propuesta-Solucionario-7-por-David-Hoyos-y-Andres-Mella-1-320.jpg)
![4) La región S acotada por arriba por la gráca y = x2 y por abajo por la recta
horizontal y = −1 en el intervalo [−1, 2]
2 2
x3
x2 − (−1) dx 3
+x
−1 −1
3 3
2 (−1)
( + 2) − ( − 1)
3 3
14 4
+ = 6[u2 ]
3 3
7) La región R acotada por la izquierda por la gráca x = y 2 y por la derecha por la
recta vertical x = 4
2 2
y3
4 − y 2 dy 4y − 3
−2 −2
O más bonito
2 2
y3
2 4 − y 2 dy 2 4y − 3
0 0
8 32
2 8− =
3 3](https://image.slidesharecdn.com/solucionario7-110328135010-phpapp02/85/Propuesta-Solucionario-7-por-David-Hoyos-y-Andres-Mella-2-320.jpg)
![8) La región R entre las grácas de y = x4 − 4 y y = 3x2
2
3x2 − (x4 − 4) dx
−2
O mejor
2 5 2
2 3x2 − (x4 − 4) dx 2 − x + x3 + 4x
5
0 0
32 80 32 48 96 2
2 − +8+8 =2 − 2 5
= 5
[u ]
5 5 5
Ahora continuremos con el segundo bloque de problemas
2) x = 0 x = 16 − y 2
4
16 − y 2 dy
−4
O más fácil
4 4
y3
2 16 − y 2 dy 2 16y − 3
0 0
64
2 64 −
3](https://image.slidesharecdn.com/solucionario7-110328135010-phpapp02/85/Propuesta-Solucionario-7-por-David-Hoyos-y-Andres-Mella-3-320.jpg)
![3 1 256 2
128 − = [u ]
3 3 3
3) x = y 2 x = 32 − y 2
4
(32 − y 2 ) − y 2 dy
−4
O mucho mejor
4 4
y3
4 16 − y 2 dy 4 16y − 3
0 0
64 3 1
4 64 − 4(64) 3
− 3
3
512 2
[u ]
3
5) y = 2x2 y = 5x − 3
3
2 3
(5x − 3) − (2x2 ) dx 1
2
(−2x2 + 5x − 3) dx
1
3
2 5 2
− x3 + x2 − 3x
3 2 1
3 2
3 3
2 2
5 2 3 2 5
− + −3 − − + −3
3 2 2 3 2
9
27 5 4 9 7
− 4
3 + 2 − +
1 1
2 6
27 45 9 7
− + − +
12 8 2 6](https://image.slidesharecdn.com/solucionario7-110328135010-phpapp02/85/Propuesta-Solucionario-7-por-David-Hoyos-y-Andres-Mella-4-320.jpg)
![1 2
[u ]
24
6) y = x2 y = 3 + 5x − x2
3
3
([3 + 5x − x2 ] − x2 ) dx −1 (−2x2 + 5x + 3) dx
−1
2
2
3
2 5
− (x3 ) + (x2 ) + 3x
3 2 1
−2
3 2
2 5 2 1 5 11
− (33 ) + (32 ) + 9 − − − + − +3 −
3 2 3 2 2 22
45 2 5 3
−18 + +9 − + −
2 24 8 2
27 19 343 2
+ 24
[u ]
2 24
9) y = x3 y = 2x − x2
1 0
(2x − x2 ) − (x3 ) dx + (x3 ) − (2x − x2 ) dx
0 −2
0 1
(x3 + x2 − 2x) dx + (−x3 − x2 + 2x) dx
−2 0
−2 1
− (x3 + x2 − 2x) dx + (−x3 − x2 + 2x) dx
0 0](https://image.slidesharecdn.com/solucionario7-110328135010-phpapp02/85/Propuesta-Solucionario-7-por-David-Hoyos-y-Andres-Mella-5-320.jpg)
![−2 1
x4 x3 2 x4 x3
− + −x + − − + x2
4 3 0
4 3 0
16 8 1 1
− − −4 + − − +1
4 3 4 3
37 2
[u ]
12
11) y = x3 x+y =0 y =x+6
0 2
(x + 6) − (−x) dx + (x + 6) − (x3 ) dx
−3 0
2 −3
(−x3 + x + 6) dx − (2x + 6) dx
0 0
2
x4 x2 −3
− + + 6x − x2 + 6x
4 2 0
0
−4 + 2 + 12 + 9 = 19[u2 ]
Bien, ahora empieza lo emocionante, los sólidos de revolución
1) y = x2 y=0 x = 1 Si giramos el eje x resulta un lindo cono:](https://image.slidesharecdn.com/solucionario7-110328135010-phpapp02/85/Propuesta-Solucionario-7-por-David-Hoyos-y-Andres-Mella-6-320.jpg)
![1
V = π(x2 )2 dx
0
1
1
4 x5
V =π x dx = π
0 5 0
π
V = [u3 ]
5
3) y = sen(x)[0, π] Si giramos el eje x no resulta algo parecido a un limón (puntiagudo):
π π
V = (π sen2 x) dx = π (sen2 x) dx
0 0
π 1 − cos (2x)
V =π dx
0 2
π π
V = 1 − cos (2x) dx
2 0
π sen 2x π
x− V =
2 2 0
2
π
V = [u3 ]
2
6) y = 1 − x 2
y = 0 Si giramos el eje x nos resulta algo que se parece más a un
limón en comparación al anterior:](https://image.slidesharecdn.com/solucionario7-110328135010-phpapp02/85/Propuesta-Solucionario-7-por-David-Hoyos-y-Andres-Mella-7-320.jpg)
![1 1
V = π(1 − x2 )2 dx = π (1 − 2x2 + x4 ) dx
−1 −1
1
2 x5
V = π x − (x3 ) +
3 5 −1
2 1 2 1
V =π 1− + − π −1 + −
3 5 3 5
16
V = (π)[u3 ]
15
Cualquier duda o comentario por favor mandarlo a los correos: davidhoyosgil2008@gmail.com
andresfmella@gmail.com](https://image.slidesharecdn.com/solucionario7-110328135010-phpapp02/85/Propuesta-Solucionario-7-por-David-Hoyos-y-Andres-Mella-8-320.jpg)
Propuesta Solucionario 7 por David Hoyos y Andres Mella
- 1. Propuesta Solucionario 7 Ing. Electrónica David Steven Hoyos - Andrés Fermín Mella* Aplicaciones de la Integral denida Pags 63, 64, 74 y 75 En este taller haremos uso de las integrales denidas para calcular áreas y volúmenes. Por cuestiones de espacio, en las grácas, sólo mostraremos la parte de las funciones que debemos calcular. N ota : En todos los casos se debe igualar las ecuaciones para determinar los límites de integración. N ota2 : La u2 son únidades cuadradas. N ota3 : En este taller mostramos como se hacen las operaciones, sin embargo, nos basaremos mucho en las grácos. Por este motivo recomendamos que igualen las ecuaciones a mano, así encontrarán los límites de integración sin las grácas. 1) La región S acotada por debajo por la gráca y = x3 y por arriba por la gráca y = x en el intervalo [0, 1] 1 1 x2 x4 x − x3 dx 2 − 4 0 0 1 1 1 − = [u2 ] 2 4 4 * David Steven Hoyos Gil - Andrés Fermín Mella 1
- 2. 4) La región S acotada por arriba por la gráca y = x2 y por abajo por la recta horizontal y = −1 en el intervalo [−1, 2] 2 2 x3 x2 − (−1) dx 3 +x −1 −1 3 3 2 (−1) ( + 2) − ( − 1) 3 3 14 4 + = 6[u2 ] 3 3 7) La región R acotada por la izquierda por la gráca x = y 2 y por la derecha por la recta vertical x = 4 2 2 y3 4 − y 2 dy 4y − 3 −2 −2 O más bonito 2 2 y3 2 4 − y 2 dy 2 4y − 3 0 0 8 32 2 8− = 3 3
- 3. 8) La región R entre las grácas de y = x4 − 4 y y = 3x2 2 3x2 − (x4 − 4) dx −2 O mejor 2 5 2 2 3x2 − (x4 − 4) dx 2 − x + x3 + 4x 5 0 0 32 80 32 48 96 2 2 − +8+8 =2 − 2 5 = 5 [u ] 5 5 5 Ahora continuremos con el segundo bloque de problemas 2) x = 0 x = 16 − y 2 4 16 − y 2 dy −4 O más fácil 4 4 y3 2 16 − y 2 dy 2 16y − 3 0 0 64 2 64 − 3
- 4. 3 1 256 2 128 − = [u ] 3 3 3 3) x = y 2 x = 32 − y 2 4 (32 − y 2 ) − y 2 dy −4 O mucho mejor 4 4 y3 4 16 − y 2 dy 4 16y − 3 0 0 64 3 1 4 64 − 4(64) 3 − 3 3 512 2 [u ] 3 5) y = 2x2 y = 5x − 3 3 2 3 (5x − 3) − (2x2 ) dx 1 2 (−2x2 + 5x − 3) dx 1 3 2 5 2 − x3 + x2 − 3x 3 2 1 3 2 3 3 2 2 5 2 3 2 5 − + −3 − − + −3 3 2 2 3 2 9 27 5 4 9 7 − 4 3 + 2 − + 1 1 2 6 27 45 9 7 − + − + 12 8 2 6
- 5. 1 2 [u ] 24 6) y = x2 y = 3 + 5x − x2 3 3 ([3 + 5x − x2 ] − x2 ) dx −1 (−2x2 + 5x + 3) dx −1 2 2 3 2 5 − (x3 ) + (x2 ) + 3x 3 2 1 −2 3 2 2 5 2 1 5 11 − (33 ) + (32 ) + 9 − − − + − +3 − 3 2 3 2 2 22 45 2 5 3 −18 + +9 − + − 2 24 8 2 27 19 343 2 + 24 [u ] 2 24 9) y = x3 y = 2x − x2 1 0 (2x − x2 ) − (x3 ) dx + (x3 ) − (2x − x2 ) dx 0 −2 0 1 (x3 + x2 − 2x) dx + (−x3 − x2 + 2x) dx −2 0 −2 1 − (x3 + x2 − 2x) dx + (−x3 − x2 + 2x) dx 0 0
- 6. −2 1 x4 x3 2 x4 x3 − + −x + − − + x2 4 3 0 4 3 0 16 8 1 1 − − −4 + − − +1 4 3 4 3 37 2 [u ] 12 11) y = x3 x+y =0 y =x+6 0 2 (x + 6) − (−x) dx + (x + 6) − (x3 ) dx −3 0 2 −3 (−x3 + x + 6) dx − (2x + 6) dx 0 0 2 x4 x2 −3 − + + 6x − x2 + 6x 4 2 0 0 −4 + 2 + 12 + 9 = 19[u2 ] Bien, ahora empieza lo emocionante, los sólidos de revolución 1) y = x2 y=0 x = 1 Si giramos el eje x resulta un lindo cono:
- 7. 1 V = π(x2 )2 dx 0 1 1 4 x5 V =π x dx = π 0 5 0 π V = [u3 ] 5 3) y = sen(x)[0, π] Si giramos el eje x no resulta algo parecido a un limón (puntiagudo): π π V = (π sen2 x) dx = π (sen2 x) dx 0 0 π 1 − cos (2x) V =π dx 0 2 π π V = 1 − cos (2x) dx 2 0 π sen 2x π x− V = 2 2 0 2 π V = [u3 ] 2 6) y = 1 − x 2 y = 0 Si giramos el eje x nos resulta algo que se parece más a un limón en comparación al anterior:
- 8. 1 1 V = π(1 − x2 )2 dx = π (1 − 2x2 + x4 ) dx −1 −1 1 2 x5 V = π x − (x3 ) + 3 5 −1 2 1 2 1 V =π 1− + − π −1 + − 3 5 3 5 16 V = (π)[u3 ] 15 Cualquier duda o comentario por favor mandarlo a los correos: [email protected] [email protected]