Proyecciones ortogonales
- 1. NTRODUCCION La Geometría es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio: puntos, rectas, planos, superficies , En el "mundo real" se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos como el : compás, teodolito, pantógrafo... es asi que dentro de la Historia surge la geometría descriptiva . La Geometría Descriptiva es un conjunto de técnicas de carácter geométrico que permite representar el espacio tridimensional sobre una superficie bidimensional, y por tanto, resolver en dos dimensiones los problemas espaciales garantizando la reversibilidad del proceso a través de la adecuada lectura. Es asi que adquirió el carácter de ciencia aplicada ya hace mucho tiempo, ha tenido un largo proceso de desarrollo; desde las representaciones alzadas en la edad de piedra y los Elementos de Euclides, pasando por los hallazgos de Descartes con la geometría analítica; hasta la aparición del científico francés Gaspard Monge a finales del siglo XVIII , quien desarrollo su teoría en forma completa que hace indispensable su estudio como una materia fundamental y forma parte de la formación del ingeniero , ya que ofrece principios que ayudaba a resolver problemas en el diseño de aparatos científicos , sistemas de ingeniería y estructuras arquitectónicos. Después llegaron Möbius, Steiner y Leroy, entre otros. Toda disciplina que requiera la representación de elementos en una hoja o superficie encontrará, en la Geometría Descriptiva, un gran aliado. Es por esto que la Geometría Descriptiva se encuentra en todos los planes de estudios de la Ingeniería Mecánica, Ingeniería Civil, Arquitectura, entre otras. Aunque no es exactamente lo mismo, su desarrollo ha estado asociado al de la Geometría proyectiva, haciendo uso importantes y primordial de las Proyecciones Ortogonales que constituyen un método que se utiliza para representar la forma exacta de un modelo por medio de dos o más vistas sobre planos que forman ángulos rectos entre sí. Haciendo uso de los puntos , los que a su vez se relacionan para constituir las rectas y estas en superficies del mundo que vivimos, donde los objetos tienen tres dimensiones y para describirlas por medio del dibujo hacemos uso de su ancho , altura y profundidad. También, los diversos tipos de proyecciones como la del punto en el espacio y sus diversas posiciones con sus respectivos ejercicios, la proyección de la recta y sus diversas posiciones con las actividades que ayudan a comprender mejor la proyección.
- 2. OBJETIVOS: • Familiarizar al estudiante con los conceptos y métodos de la Geometría para que los pueda utilizar de manera efectiva, y en diferentes etapas de su periodo de formación, en la solución de problemas de la vida real, y en la solución de problemas que son propios de las matemáticas, la física, la ingeniería o la economía. • Desarrollar en los alumnos habilidades tanto para la demostración de teoremas como para la obtención de conclusiones sólidas a partir de hipótesis dadas. Por tal razón se hará un especial énfasis en el método deductivo, en el que se pasa de las observaciones a las conjeturas y de éstas a las comprobaciones o a los contraejemplos. • Desarrollar en el estudiante un pensamiento matemático en el que vayan a la par la comprensión clara de los diferentes conceptos y una experiencia importante en la resolución de problemas de aplicación de la vida real o idealizados, que se pueden resolver con los métodos estudiados en el curso. • Involucrar al estudiante de manera activa en el proceso de aprendizaje mediante lectura . Al término del curso el estudiante dibujará sobre papel el espacio tridimensional, resolverá en dos y tres dimensiones los problemas espaciales a través de la adecuada lectura, facilitando la expresividad por medio de proyecciones intencionadas o teorías adecuadas. JUSTIFICACIÓN: El trabajo realizado en Geometría es bastante útil ya que le permite a los alumnos ser los protagonistas principales del proceso de “aprender a razonar”. Este un primer curso en el que el estudiante aprende a hacer deducciones y justificarlas de manera adecuada dentro de una teoría preestablecida. Desarrollar el pensamiento Geométrico es indispensable para cualquier ingeniero.
- 3. EL PUNTO Proyecciones Ortogonales: Se llama Proyección Ortogonal de un punto sobre un plano, el pie de la perpendicular trazada por el punto al plano. Quiere decir, que en nuestro caso aP es la Proyección Ortogonal del punto a del espacio, en el Plano P. Los elementos que intervienen en esto, son los siguientes: El Plano P que se llama Plano de Proyección. El punto aP que se llaman Proyección del punto a. El segmento aaP que le llamamos Proyectante. a pa Nomenclatura: Para todos los efectos sucesivos que estudiemos, nombraremos siempre a la proyección de un punto sobre un plano cualquiera, con el mismo nombre del punto y llevando como sub-índice la letra que representa el nombre del plano. Ejemplo: mR se leerá así: Proyección del punto m en el plano R. Existen tres posiciones claramente definidas que se conocen como los planos principales de proyección. Siendo éstos: 1) PLANO HORIZONTAL DE PROYECCIÓN 2) PLANO FRONTAL DE PROYECCIÓN 3) PLANO LATERAL DE PROYECCIÓN Plano Horizontal de Proyección: Es que se utilizará para determinar la proyección cuando el observador esté “encima” del objeto. La distancia que existe entre el punto del espacio y su proyección en el Plano Horizontal se llama Cota del punto. Si ahora trazamos un plano perpendicular al Plano Horizontal de Proyección y a ese plano le llamamos Plano Frontal de Proyección y designémoslo con la P P P P
- 4. letra F, podemos también en igual forma, encontrar la proyección del punto a sobre este plano y entonces le llamaremos Proyección Frontal del punto a. La distancia que existe entre el punto del espacio y su proyección en el plano Frontal se llamara Alejamiento del punto. Como los planos tienen un concepto de magnitud indefinida, el Plano Horizontal y el Plano Frontal de Proyección se interceptan según una recta que la llamaremos: Eje H-F. Propiedad Fundamental: En un sistema de planos ortogonales Horizontal y Frontal, si de las Proyecciones Horizontal y Frontal de un punto del espacio se trazan perpendiculares al eje H-F en sus respectivos planos, ellas concurren en un solo punto w. Depurado del Punto: Hagamos girar el plano de Proyección un ángulo de 90° en sentido anti- horario alrededor del eje H-F. En la posición final, el Plano Horizontal y Frontal van a coincidir, o sea que ambos van a quedar en un solo plano (dos dimensiones). En esta forma el sistema espacial (tres dimensiones) queda transformado en otro sistema plano (dos dimensiones) entonces ya se puede representar todo el conjunto en una hoja de papel. Al hacer esta operación, podemos observar lo siguiente: a) La proyección Frontal del punto a del espacio no ha variado. b) La Proyección Horizontal del punto a del espacio, también a girado al ángulo anti-horario de 90°. c) Como la recta aHw es perpendicular al eje H-F, al efectuar al giro de 90°, sigue manteniéndose perpendicular al mismo eje de manera que en la posición final, las proyecciones Horizontal y Frontal del punto a van a quedar ubicados en una misma recta perpendicular al eje H-F.
- 5. Alejamiento Cota A esta representación se llama: Depurado del punto, o sea la representación de un punto del espacio. En el depurado de un punto del espacio, la Cota viene representado por la distancia existente entre la proyección Frontal y el eje H-F. El alejamiento esta representado por la distancia existente entre la Proyección Horizontal y el eje H-F. Plano Lateral de Proyección: Este plano es perpendicular simultáneamente a los otros dos planos, ósea que es perpendicular el eje de intersección H-F. Para encontrar la Proyección Lateral o de Perfil de un punto, basta con trazar del punto a del espacio, una perpendicular a él. El pie de dicha perpendicular será la proyección buscada. Como los planos frontal y lateral son perpendiculares entre si, las rectas aFz y aPz perpendiculares a F- P concurren en el punto z. La distancia que existe entre el punto y su proyección lateral se llama: Apartamiento. En el depurado del punto, nosotros podemos observar que la distancia de la Proyección Lateral aP del punto al eje F-P es igual al alejamiento del punto, ya que aaF = aPz (ellas son paralelas comprendidas entre paralelas). Quiere decir, que dada la Proyección Horizontal y frontal de un punto en el espacio, podemos encontrar su Proyección Lateral aplicando esta sencilla regla: a)Por la Proyección Frontal del punto se traza una paralela al eje H-F. b)Sobre la paralela trazada y a la derecha del eje F-P se mide un segmento igual al alejamiento cuyo extremo definirá la Proyección Lateral buscada. aF aH H F
- 6. PF H Paralela al eje H.F Valores iguales PaaF Ha Representación simplificada de los Ejes de Proyección: Se entiende por propia definición que los planos de Proyección son ilimitados en todo sus sentidos, pero para efectos de su representación en le depurado, se considera limitado en los extremos de los ejes de Proyección. En el depurado se representara sencillamente por los ejes de intersección perpendiculares entre si. Limite para proyección horizontal PF H F
- 7. ZonaPlano Frontal ilimitado Zona Plano Lateral ilimitado Plano Horizontal ilimitado en Zona ilimitada. Condición de existencia del punto en el espacio: Considerando que existe una relación entre el sistema espacial y el depurado de un punto, se establece las siguientes condiciones de existencia para que el depurado de un punto represente a tal en el espacio: Primera Condición. La Proyección horizontal y la Proyección Frontal del punto, deben encontrase en una misma línea de referencia perpendicular al eje H-F. Segunda Condición. La Proyección Frontal y la Proyección Lateral o de Perfil del punto deben encontrarse en una misma línea paralela al eje H-F. El punto a existe El punto m no existe H F F P Hm mF wPFw wH PF F H mP
- 8. Apartamiento Alejamiento Fa aH Linea de referencia del punto "a" F P F H Ubicación de un punto del espacio en el Depurado: Con las consideraciones expuestas anteriormente., podemos entonces definir las condiciones mínimas necesarias para poder ubicar en el depurado un punto en el espacio. La situación de un punto queda perfectamente definida por el valor de sus coordenadas que son las siguientes: Cota: Distancia del punto al Plano Horizontal. Alejamiento: Distancia del punto al Plano Frontal. Apartamiento: Distancia del punto al Plano Lateral. Por lo tanto, la forma de enunciar la posición de un punto será en la siguiente forma: Punto (Cota, alejamiento, apartamiento) Por esta razón, cuando nos enuncien un punto de la siguiente manera: m (3, 7, 2); Significa: Representar el punto m del espacio que tiene una cota de 3 unidades; 1 alejamiento de 7 unidades y un apartamiento de 2 unidades. En el depurado, esto viene dado por: Cota: Distancia de la Proyección Frontal del eje H-F. Alejamiento: Distancia de la Proyección Horizontal al eje H-F. Apartamiento: Distancia de la línea de referencia del punto al eje F-P. Procedimiento para dibujar un punto: Se traza la referencia perpendicular al eje H-F a la distancia igual al apartamiento, del eje F-P. En la referencia trazada se miden los valores de la Cota y el Alejamiento y que determinaran las Proyecciones Frontal y Horizontal del punto pedido.
- 9. 3.5 cm debajo del punto a. 4.0 cm al Oeste del punto a. 2.5 cm al Sur del punto a. El punto "S" se encuentra: 4 cm Fs Hs 2.5 cm aF aH 3.5 cm PF H F Ubicación de puntos en comparación con otro punto fijo: Además de poder ubicar en el depurado un punto conociendo sus tres coordenadas, también es posible ubicarlo, dando magnitudes comparativas con las de otro punto que consideraremos como fijo. Según esto entonces un punto m podrá encontrarse en comparación de otro fijo en la siguiente forma: Al Norte o al Sur del punto a, si su Alejamiento es mayor o menor que el del punto fijo. Al Oeste o Este del punto a, si su Apartamiento es mayor o menor que el del punto fijo. Arriba o debajo del punto fijo a, si su Cota es menor o mayor que el del punto fijo. Ejemplo: Escribir la posición del punto s, en comparación del punto fijo a.