Prueba de hipotesis para dos poblaciones

Pruebas de hipótesis
MsC Edgar Madrid Cuello
Departamento de Matemática, UNISUCRE
Estadística II
ABRIL 2015
MsC Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IIPruebas de hipótesis

Pruebas de hipótesis para dos medias con muestras
independientes
Denición
Las pruebas con respecto a dos medias representan un conjunto de
herramientas analíticas muy importantes para el cientíco, el
economista o el ingeniero. El procedimiento experimental es muy
parecido al de la construcción del intervalo de conanza para la
diferencia de medias. Se extraen dos muestras aleatorias
independientes de tamaño n1 y n2, respectivamente, de dos
poblaciones con medias µ1 y µ2 y varianzas σ1 y σ2. Sabemos que
la variable aleatoria
Z =
( ¯X1 − ¯X2) − (µ1 − µ2)
σ2
1/n1 + σ2
2/n2
(1)
tiene una distribución normal estándar.

independientes
Denición
Si el tamaño de la muestra es grande y desconocemos la varianza
se puede trabajar (1)con s en vez de σ, y los resultados no dieren
Z =
( ¯X1− ¯X2)−(µ1−µ2)
s2
1/n1+s2
2/n2

Denición (Varianzas iguales)
Si podemos suponer que σ1 = σ2 = σ, entonces (1) se puede
reescribir como:
Z =
( ¯X1 − ¯X2) − (µ1 − µ2)
σ 1/n1 + 1/n2
(2)

independientes
Denición (Hipótesis nula y alternativa no direccional)
H0 : µ1 = µ2
vs
HA : µ1 = µ2
o
H0 : µ1 − µ2 = 0
vs
HA : µ1 − µ2 = 0

Ejemplo
La compañía Gibbs Baby desea comparar el aumento de peso de
bebés que consumen su producto en comparación con el producto
de su competidor. Una muestra de 40 bebés que consumieron los
productos Gibbs reveló un aumento de peso medio de 7.6 libras en
sus primeros tres meses de vidas, con una desviación estandar de la
población de la muestra de 2.3 libras. Una muestra de 55 bebés
que consumen la marca del competidor reveló un aumento medio
de 8.1 libras, con una desviación estándar de la población de 2.9
libras. Con un nivel de signicancia de 0.05, ¾es posible concluir
que los bebés que consumieron la marca Gibbs ganaron menos
peso? Calcule el valor p e interprételo.

Ejemplo
Paso 1 Formule las hipótesis nula y alternativa. La hipotesis nula
es que no hay diferencia en los pesos medios de los dos grupos
de bebés.
H0 : µG = µC
H0 : µG µC
(Hipótesis alternativa direccional)
Paso 2 Seleccione el nivel de signicancia Éste es la probabilidad
de que se rechace la hipótesis nula cuando en realidad es
verdadera. En este caso α = 0.05
Paso 3 Se determina el estadístico de prueba En este caso se
utiliza la distribución normal estándar (z) como el estadístico
de prueba ya que se conocen las desviaciones. Rechace H0 si
z −1.65
Paso 4 Formule una regla de decisión
Paso 5 Tomar la decisión respecto de H0 e interpretar

Ejemplo
Paso 4 Formule una regla de decisión Se basa en las hipótesis nula
y alternativa, en el nivel de signicancia y en el estadístico de
prueba empleado.

Ejemplo
Paso 4 Formule una regla de decisión
z =
7.6 − 8.1
2.32
40
+
2.92
55
=
−0.5
√
0.285
=
−0.5
0.534
= −0.94
Paso 5 Tomar la decisión respecto de H0 e interpretar Los datos
no proporcionan evidencia suciente para rechazar H0 con un
nivel de signicancia del 5%. Es decir: Los bebeés que usaron
la marca Gibbs no ganaron menos pesos.
El p-valor en este caso es: p(z −.94) = 0.1736 0.05 = α

Hipótesis alternativas direccionales
En algunos estudios es aparente desde el principio (antes de tomar
los datos) que solo hay una dirección razonable de desviación con
respecto a H0. En estas situaciones resulta apropiado formular una
hipótesis alternativa direccional. La siguiente es una alternativa
direccional:
HA : µ1 µ2
o
HA : µ1 µ2

Procedimiento del test de una cola
Cuando la hipótesis alternativa es direccional, el procedimiento del
test se debe modicar. El procedimiento modicado se denomina
test de una cola y se realiza en dos pasos como sigue:
Paso 1 Comprobar la direccionalidad. Ver si los datos se desvían con
respecto a H0 en la dirección especicada por HA:
Si no es así, el P valor es mayor que 0,50.
Si es así, seguir con el paso 2.
Paso 2 El P valor es el área en una cola más allá de Zc o ts.
Para concluir el test, se realiza una decisión con un nivel de
signicación preestablecido α: H0 se rechaza si el P valor ≤ α.

P valor de una cola para un test t
si la alternativa es HA : µ1 µ2
y ts es negativo
P valor de una cola para un test t
si la alternativa es HA : µ1 µ2
y ts es positivo

Ejemplo
Recientemente Johnson Manufacturing ha experimentado un
incremento en el número de unidades defectuosas. El supervisor de
producción considera que el tumo de la noche produce una
proporción más elevada de defectos que los del tumo de día:
p2 p1. Para comparar la proporción de defectos, se toma una
muestra de 500 unidades de la producción del tumo de día y revela
14 defectos. Una muestra de 700 unidades del turno de la noche
muestra 22 defectos. Si una proporción más grande de defectos se
origina en la producción nocturna, el supervisor pretende instituir
un programa de capacitación para que los trabajadores mejoren sus
destrezas laborales. ¾A un nivel del 5%, debería implementarse el
programa?

Ejemplo (Planteamiento de hipótesis)
H0 : p1 ≥ p2
vs
HA : p1 p2
Ejemplo
La proporción de defectos del turno de la noche es
p2 = 22/700 = 0.031 y la del turno diurno es
p1 = 14/500 = 0.028; entonces:
sp1−p2 = (0.031)(1−0.031)
700 + .028(1−.028)
500

Ejemplo
sp1−p2 =
0.03
700
+
0.027
500
=
√
0.000097 = 0.0098
z =
−0.003
0.0098
= −0.3061224

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