Prueba de la bondad del ajuste
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Este documento explica la prueba de Chi-cuadrado, una prueba estadística no paramétrica que mide la discrepancia entre una distribución observada en una muestra y una distribución teórica esperada. Describe la naturaleza y cálculo de la prueba de Chi-cuadrado, incluyendo la formulación de hipótesis nula e hipótesis alternativa. También proporciona un ejemplo numérico para ilustrar cómo aplicar la prueba y determinar si se acepta o rechaza la hipótesis n
Prueba de la bondad del ajuste
- 1. María Isabel Bautista [email protected] Prueba de la Bondad del Ajuste Cómo se distribuyen las variables de una población Comprender la utilidad de la Estadística No Objetivos : Paramétrica para corroborar la bondad de las diferentes distribuciones de variables poblacionales usadas en el ámbito educativo. Comprender el significado , la utilidad y la interpretación de la prueba Chi-cuadrado para validar los procedimientos de la Inferencia Estadística
- 2. María Isabel Bautista 2 Prueba de la Bondad del Ajuste [email protected] Introducción Cuando se realizan investigaciones, con frecuencia es importante obtener información a través de una muestra sobre la forma como se Ahora nos ocuparemos distribuyen los datos de una población. del problema de verificar si de un conjunto de datos Algunos estudios producen resultados sobre los se puede afirmar que que no podemos afirmar que se distribuyen proviene de una Normalmente, es decir con forma acampanada determinada distribución concentrados sobre la media. En estos casos debemos emplear técnicas no paramétricas que se utilizan ampliamente en las aplicaciones de las ciencias sociales, cuando no se puede asumir a priori que los datos de una muestra se ajusten a una distribución normal.
- 3. María Isabel Bautista 3 Prueba de la Bondad del Ajuste [email protected] Estadística No Paramétrica La estadística no paramétrica es una rama de la Las pruebas paramétricas estadística que estudia las pruebas y modelos asumen los parámetros de la de la variable (media y estadísticos cuya distribución subyacente no se ajusta a los llamados criterios paramétricos. varianza) y un tipo de distribución normal Algunos experimentos producen respuestas que no son cuantificables, es decir generan mediciones que pueden ordenarse, pero la posición de la respuesta en una escala de medición es arbitraria. Por ejemplo, suponga que desea evaluar y comparar las habilidades de cinco profesores de educación física, o las características de atención de los alumnos de una clase… Las pruebas no paramétricas no asumen ningún parámetro de Las pruebas no paramétricas no asumen ningún distribución de las parámetro de distribución de las variables variables muestrales. muestrales.
- 4. María Isabel Bautista 4 Prueba de la Bondad del Ajuste [email protected] Prueba de la Bondad del Ajuste Para resolver este problema utilizaremos unas pruebas estadísticas que reciben el nombre general de "Pruebas de Bondad de Ajuste" y específicamente estudiaremos la prueba Chi - Cuadrado (ji dos) aunque existen otras pruebas : PRUEBA DE FISHER binomial, Es la prueba estadística de Anderson-Darling, de elección cuando la de Fisher, etc. prueba de chi.cuadrado no puede ser empleada Estas no serán objeto de estudio por ahora. por tamaño muestral insuficiente. El cálculo de estas pruebas, es sencillo, desde el punto de vista manual y matemático, sin embargo y siguiendo con nuestra práctica, facilita el trabajo hacerlo con la hoja de calculo de Excel pues lo importante es descargarnos la tarea de cálculo matemático y dedicarnos a la interpretación de resultados y toma de decisiones. Profundiza esta información en la Web
- 5. María Isabel Bautista 5 Prueba de la Bondad del Ajuste [email protected] Prueba de Chi-cuadrado (X2) La prueba de Chi- Cuadrado es considerada como una prueba no paramétrica que mide la discrepancia (bondad de ajuste) entre una distribución observada a partir de la muestra y otra teórica que se supone debe seguir esa muestra, indicando en qué medida las diferencias existentes entre ambas, de haberlas, se deben al azar en el contraste de hipótesis. Esta prueba se basa en la hipótesis nula (H0) de que no hay diferencias significativas entre la distribución muestral y la teórica. Mientras que la hipótesis alternativa (H1) siempre se enuncia como que los datos no siguen la distribución supuesta. H0: La distribución de la H0 : f( x, θ) = F0 (x, θ) probabilidad es Normal H1: La distribución de la H1 : f( x, θ) ≠ F0 (x, θ) probabilidad NO es Normal
- 6. María Isabel Bautista 6 Prueba de la Bondad del Ajuste [email protected] Naturaleza de la prueba de Chi-cuadrado La estructura básica de la prueba para la bondad del ajuste se muestra en la siguiente tabla Clases Frecuencias Frecuencias (foi – fei) 2 observadas esperadas en ___________ base a H0 fei (foi) (fei) 1 fo1 fe1 (fo1 – fe1) 2 / fe1 2 fo2 fe2 (fo2 – fe2) 2 / fe2 3 fo3 fe3 (fo3 – fe3) 2 / fe3 : : : : K fok fek (fok – fek) 2 / fek Total n n X2 = Σ(foi – fei) 2 / fei
- 7. María Isabel Bautista 7 Prueba de la Bondad del Ajuste [email protected] Estadístico de Prueba El estadístico de prueba está definido como la sumatoria de los residuos expresados en términos de las frecuencias esperadas para cada una de las clases: X2 = Σi=1 hasta K (foi - fei)2 / fei donde: • foi = Total de valores que caen en el intervalo i. La prueba se basa en qué tan • fei = Número esperado de valores en el intervalo i. buen ajuste se tiene entre la • k = Número de intervalos de clase en que se distribuyen las frecuencia de ocurrencia de observaciones. las observaciones en una muestra observada y las Formulación de Hipótesis: frecuencias esperadas que se obtienen a partir de la • H0: f(x,q) = fo (x, q) distribución hipotética. • H1: f(x,q) ≠ fo (x,q) • Donde fo (x,q) es la distribución que se supone sigue la muestra aleatoria. La hipótesis alternativa siempre se enuncia como que los datos no siguen la distribución supuesta. • Aceptar H0 si no existe diferencia significativa entre la distribución de la frecuencia observada en la muestra y la distribución teórica de la población.
- 8. María Isabel Bautista 8 Prueba de la Bondad del Ajuste [email protected] Estadístico de Prueba Interpretación: cuanto mayor sea el valor de X2, menos verosímil es que la hipótesis H0 sea correcta. De la misma forma, cuanto más se aproxima a cero el valor de Chi- cuadrado, más ajustadas están ambas distribuciones. Si X2 =0 La frecuencia teórica y observada concuerdan exactamente. Si X2 >0 Mientras mayor es la diferencia mayor es la discrepancia. Debemos comparar el valor calculado, con el observado para determinar si dicha variación es aleatoria. En la práctica :Si Ho. = 0 no existe diferencia significativa entre la distribución de la frecuencia Observada y la distribución Teórica específicamente con los mismos parámetros.
- 9. María Isabel Bautista 9 Prueba de la Bondad del Ajuste [email protected] Consideraciones Muestra Naturaleza de los datos a analizar • Se hacen conteos con números reales. • La muestra es aleatoria simple de una población • El tamaño de la muestra es razonablemente • Por ejemplo, si tratamos de investigar la grande (n ≥ 20) distribución que siguen los errores de ortografía cometidos por los alumnos en un dictado, podríamos pensar en una distribución de Poisson, • Para esta prueba es necesario agrupar o distribuir así que en principio no consideraríamos una las observaciones de la muestra en intervalos de distribución normal. clase, preferiblemente del mismo tamaño. Para formular la hipótesis nula deberán tenerse en cuenta los siguientes aspectos La prueba se basa en la Ordenar las observaciones comparación de las frecuencias observadas • El número de intervalos de clase debe ser por lo • Por lo tanto la forma que tome el histograma de menos cinco. frecuencia es quizás la mejor indicación del tipo de distribución a considerar. • El número esperado de observaciones en cada intervalo debe ser mayor o igual a cinco; en • Es decir, se quiere determinar si las frecuencias caso contrario, deberían agruparse varios observadas en la muestra están lo suficientemente intervalos para lograr esto. cerca de las frecuencias esperadas bajo la hipótesis nula.
- 10. María Isabel Bautista 10 Prueba de la Bondad del Ajuste [email protected] Ejemplo Se realizo una encuesta en la universidad y se les pregunto a los estudiantes si estarían o no de acuerdo en sustituir por completo la modalidad presencial por la modalidad de estudio a distancia y se obtuvieron los siguientes datos: Hombres (Real) Mujeres (Real) Descripción 58 35 Están de acuerdo Se desea comprobar si la probabilidad de que las 11 25 Neutrales tendencias de la muestra sean 10 23 No están de acuerdo iguales a las tendencias esperadas en la población H0: fo – fe= 0 Hombres (Esperado) Mujeres (Esperado) Descripción H1: fo – fe≠ 0 45,35 47,65 Están de acuerdo PRUEBA.CHI 0,000308 Se aproxima a 0 17,56 18,44 Neutrales 16,09 16,91 No están de acuerdo Acepto H0, los datos de la muestra PRUEBA.CHI se calcula con Excel: se comportan muy parecido a los devuelve el valor de la distribución chi esperados cuadrado (χ2) para la estadística y los grados de libertad apropiados.
- 11. María Isabel Bautista 11 Prueba de la Bondad del Ajuste [email protected] Prueba de Chi Cuadrado con SPSS Revisa este video para entender cómo se aplica la prueba
- 12. María Isabel Bautista 12 Prueba de la Bondad del Ajuste [email protected] Lista de Referencias Sandoval, A. (s/f), Estadística II, Escuela de Ciencias Contable Económico Administrativas de la Universidad Panamericana. Grupo Editorial Iberoamérica. México. Mendenhall, Willian. (1978), Estadística para Administradores y Economía. Universidad Nacional Autónoma de México. Grupo Editorial Iberoamérica. México. Navarro, A. (2000), Estadística Aplicada al área económica y empresarial. Ediciones de la Universidad Ezequiel Zamora. Colección Docencia Universitaria. Barinas, Venezuela Tarjeta de referencia rápida: Funciones estadísticas de Excel http://support.microsoft.com/kb/828296/es