Relaciones

Universidad Católica del Norte
Departamento de Matemática
Cecilia Alejandra Cabello Bugueño
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2. RELACIONES
Las relaciones son un caso particular de producto cartesiano, más aún, son un subconjunto del
producto cartesiano de conjuntos. Las relaciones son condiciones que posee la variable 𝒴 con
respecto a la variable 𝒳 en los pares ordenados ( 𝒳, 𝒴).
Definición N°2: Relación de 𝑨 𝒆𝒏 𝑩
Dado los conjuntos 𝐴 𝑦 𝐵, se llama relación definida de 𝐴 𝑒𝑛 𝐵 a cualquier subconjunto del
producto cartesiano 𝐴 × 𝐵.
Por comprensión lo anterior:
𝑅, es la relación definida de 𝐴 𝑒𝑛 𝐵 si, y sólo si 𝑅 ⊆ 𝐴 × 𝐵 (relación).
( 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅, también se escribe 𝑎 𝑅 𝑏.
( 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 ⟺ 𝑎 𝑅 𝑏
Ejemplo Nº6:
a- Si 𝐴 es el conjunto de todos los países y 𝐵 es el conjunto de todos los ríos, podemos definir una
relación:
𝑅 = {( 𝒳, 𝒴): 𝒴 𝑒𝑠𝑡á 𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝒳/ 𝒳 ∈ 𝐴 , 𝒴 ∈ 𝐵 }
Algunos pares de 𝑅 son:
𝑅 = {( 𝐶ℎ𝑖𝑙𝑒, 𝐿𝑜𝑎),( 𝐸𝑔𝑖𝑝𝑡𝑜, 𝑁𝑖𝑙𝑜),(𝐶ℎ𝑖𝑙𝑒, 𝐵𝑖𝑜 − 𝐵𝑖𝑜)}
b- Sea 𝐴 = {0, 1,2 ,3} 𝑦 𝐵 = {0, −1,−2}
Entonces, 𝐴 × 𝐵 = {
(0,0), (0.−1), (0, −2),(1,0),(1, −1),(1,−2),
(2,0),(2, −1),(2,−2), (3,0), (3,−1), (3, −2)
}
𝑅1 = {(0,0),(0,−1), (2,−1)} ⊆ 𝐴 × 𝐵
𝑅2 = {(1,0), (1,−1),(3,0), (3, −1)} ⊆ 𝐴 × 𝐵

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c- Relaciones definidas en ℕ × ℕ
ℕ = {1, 2,3, …} ℝ = {1,2, 3,… }
Entonces, algunos casos particulares son
𝑅1 = {(1,1), (1,2)}
𝑅2 = {(1,3), (2,3), (4,5)}
Relación de 𝑨 en 𝑨
Se llama relación definida en 𝐴 a cualquier subconjunto de 𝐴 × 𝐴.
Ejemplo Nº7:
1. Sea 𝐴 = {0,1,2}, las siguientes son relaciones definidas en 𝐴
𝐴 × 𝐴 = {(0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)(1,2)(2,0)(2,1)(2,2)}
𝑅1 = {(0, 2),(0,0), (1,1),(2, 2)}
𝑅2 = {(0,0), (2,0),(1, 0)}
𝑅3 = {(𝑥, 𝑦)/𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑦 = 0} ⊆ 𝐴 𝑥 𝐴
Notemosque si 𝐴 esun conjuntofinitocon 𝑛 elementos,entoncesel número de subconjuntos de
𝐴 es 2 𝑛. Además,si 𝐴 × 𝐵 tiene 𝑚 · 𝑛 elementos,el númerode Relacionesque se puedendefinir
de 𝐴 en 𝐵 es 2 𝑚·𝑛.
Ejemplo Nº8:
a- Sea 𝐴 = {1,3, 5 ,7, 9}, luego ⋕ 𝑛 = 5
Número de subconjunto: 2 𝑛 = 25 = 32 subconjuntos.
b.- Sea ⋕ 𝐴 = 3 ∧ ⋕ 𝐵 = 4,
Entonces el número de Relaciones de 𝐴 × 𝐵
⋕ (𝐴 × 𝐵) 𝑒𝑠 ∶ 2 𝑚·𝑛 = 23·4 = 212

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2.1 REPRESENTACION GRÁFICA DE UNA RELACIÓN.
Si una relación está definida en conjuntos numéricos, se pueden representar de la siguiente
manera:
Figura 2.1. Circunferencia de centro
(0,0) y radio 1.
Figura 2.2. Primer cuadrante plano cartesiano
𝑅2 = {(𝑥, 𝑦 )/𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0} ⊆ ℝ 𝑥 ℝ
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
x
Y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
X
Y
2.2 DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA RELACIÓN.
Definición Nº3: Dominio
Se llama Dominio de una relación 𝑅 definida de 𝐴 𝑒𝑛 𝐵, al conjunto formado por todas las
primeras componentes de los pares ordenados que pertenecen a la relación.
Dicho por comprensión, esto es:
𝐷𝑜𝑚( 𝑅) = { 𝑥/(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅}
Ejemplo N°9:
a.-Sea 𝐴 = {1,2,3} 𝑦 𝐵 = {1,2}, 𝑦 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/𝑥 = 𝑦}

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Los pares ordenados de la relación son:
𝑅 = {(1,1)(2,2)}
Luego, el dominio de la relación es:
𝐷𝑜𝑚 𝑅 = {1,2} ⊆ 𝐴
b.- Sea 𝐴 = { 𝑎, 𝑏, 𝑐} 𝑦 𝐵 = { 𝑐, 𝑑, 𝑒}
𝑅 = {( 𝑎, 𝑐)( 𝑎, 𝑑)( 𝑏, 𝑐)( 𝑐, 𝑒)}
Luego, el dominio de la relación es:
𝐷𝑜𝑚 𝑅 = { 𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊆ 𝐴
Definición Nº4: Recorrido
Se llama Recorrido de una relación 𝑅 definida de 𝐴 𝑒𝑛 𝐵, al conjunto de los segundos
componentes de los pares ordenados que pertenecen a la relación.
Dicho por comprensión, esto es:
𝑅𝑒𝑐 𝑅 = { 𝑦: 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑥 ∈ ℝ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅}
Ejemplo Nº10:
a.-Sea 𝐴 = {1,2,3} 𝑦 𝐵 = {1,2}, 𝑦 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/𝑥 = 𝑦}
𝑅 = {(1,1)(2,2)}
Luego, el recorrido de la relación es:
𝑅𝑒𝑐 𝑅 = {1,2} ⊆ 𝐵
b.- Sea 𝐴 = { 𝑎, 𝑏, 𝑐} 𝑦 𝐵 = { 𝑐, 𝑑, 𝑒}
𝑅 = {( 𝑎, 𝑐)( 𝑎, 𝑑)( 𝑏, 𝑐)( 𝑐, 𝑒)}
Luego, el recorrido de la relación es:
𝐷𝑜𝑚 𝑅 = { 𝑐, 𝑑, 𝑒} ⊆ 𝐵

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2.3. RELACIÓN INVERSA ( 𝐑−𝟏)
“La relación inversa de la relación padre es la relación hijo, y la relación inversa de la relación
hermano es ella misma. La relación inversa de divide es ser múltiplo.”
Definición N°5: RELACIÓN INVERSA ( 𝐑−𝟏)
Dada una relacióndefinidade 𝐴 𝑒𝑛 𝐵, tiene una relación inversa ( 𝑅−1), cuyos elementos son los
pares conmutados de 𝑅.
Por comprensión, esto es:
𝑅−1 = {(𝒴, 𝒳)/(𝒳, 𝒴) ∈ 𝑅}
Si la relación viene dada por los pares de la forma (𝒳, 𝒴 ), los pares de la relación inversa se
invierten, es decir, (𝒴, 𝒳).
Si 𝑅 es una relación definida de 𝐴 𝑒𝑛 𝐵, entonces 𝑅−1 es una relación definida de 𝐵 𝑒𝑛 𝐴.
𝑅: 𝐴 → 𝐵 Entonces, 𝑅−1: 𝐵 → 𝐴
Además, si 𝑅−1 es una relación inversa de 𝑅, entonces:
𝐷𝑜𝑚 𝑅 = 𝑅𝑒𝑐 𝑅−1 𝑦 𝑅𝑒𝑐 𝑅 = 𝐷𝑜𝑚 𝑅−1
El diagrama sagital se tiene la relación 𝑇 de 𝐴 en 𝐵 y su relación inversa 𝑇−1 de 𝐵 en 𝐴.
𝑇−1 = {(1, 𝑎), (2, 𝑏),(3, 𝑏)}
Figura 2.3

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Ejemplo N°11:
a.- En un conjunto de personas consideramos la relación:
𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑢𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦}
La relación inversa es:
𝑅−1 = {(𝑦, 𝑥)/ 𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑢𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦}
b.- Si 𝑇 = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑥2} ⊆ ℝ 𝑥 ℝ
La relación inversa es:
𝑇−1 = {(𝑦, 𝑥)/ 𝑦 = 𝑥2} ⊆ ℝ 𝑥 ℝ
2.4 PROPIEDADES DE LAS RELACIONES DEFINIDAS EN 𝐀𝐱𝐀.
Una relación 𝑅definida en un conjunto 𝐴 puede cumplir las siguientes propiedades:
a) Propiedad Refleja:
Una relación 𝑅definidaenunconjunto 𝐴,satisface lapropiedadreflejasi,ysólosi, ( 𝑎, 𝑎) ∈ 𝑅 para
todo elemento de 𝑎 ∈ 𝐴.
Para que una relación sea refleja deben estar todos los pares ordenados de la forma (𝑥, 𝑥), para
todos los elementos del conjunto.
Ejemplo N°12:
Para 𝐴 = {0,1,2,3} y se definen las relaciones siguientes:
𝑅1 = {(0,0), (1,1),(2, 2),(1, 2), (3,1), (3, 3)}
𝑅 1Satisface la propiedad refleja: ∀ 𝑎 ∈ 𝐴 ∶ 𝑎 𝑅 𝑎
𝑅2 = {(0,0), (1,1), (2, 2)}
𝑅2 No satisface la propiedad refleja, pues el par (3, 3) ∉ 𝑅2

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b) Propiedad Simétrica
La relación 𝑅 definida en un conjunto 𝐴, satisface la propiedad simétrica si, y sólo si (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅,
entonces ( 𝑏, 𝑎) ∈ 𝑅.
Una relacióncumple lapropiedadsimétricasi ensuspares ordenados se encuentra el par ( 𝒳, 𝒴),
entonces necesariamente debe estar el par (𝒴, 𝒳), en el caso de estar en la relación esta el par
( 𝒳, 𝒴), y no esta el par (𝒴, 𝒳), entonces la relación ya no cumple la propiedad simétrica.
Una relación 𝑅 satisface la propiedad simétrica si, y sólo si, 𝑅 = 𝑅−1.
Ejemplo N°13:
En 𝐴 = {1,3, 5,7, 9}. Sean las relaciones.
𝑅1 = {(1,3), (1,5),(1, 1),(5, 1)}
𝑅1
−1
= {(3, 1),(5,1), (1,1),(1, 5)}
𝑅1 No satisface la propiedad simétrica pues (1,3) ∈ 𝑅, pero (3, 1) ∉ 𝑅1. Además, 𝑅 ≠ 𝑅−1
𝑅2 = {(1, 1),(1, 3), (3,1)}
𝑅2 Satisface la propiedad simétrica; además 𝑅2
−1
= 𝑅
c) Propiedad Transitiva
Una relación 𝑅 definida en un conjunto 𝐴, satisface la propiedad transitiva si, y sólo si, ( 𝑎, 𝑏) ∈
𝑅 ∧ ( 𝑏, 𝑐) ∈ 𝑅, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ( 𝑎, 𝑐) ∈ 𝑅.
La propiedadtransitivaindicaque si enlarelaciónse encuentranlospares ( 𝑎, 𝑏) 𝑦 ( 𝑏, 𝑐),entonces
también debe estar dentro de la relación el par( 𝑎, 𝑐). Debemos notar que deben estar ambos
pares (( 𝑎, 𝑏) ∧ ( 𝑏, 𝑐) ) para verificar la propiedad transitiva, en el caso de que estuviese sólo un
par no significa que la relación no sea transitiva.
Ejemplo N°14:
a.- Sea 𝐴 = {1,2} y la relación 𝑅 = {(1,2)(2,1)(2,2)(1,1)}, verifiquemos que 𝑅 es una relación
que cumple la propiedad transitiva
(1,2) ∈ 𝑅 𝑦 (2,1) ∈ 𝑅, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (1,1) ∈ 𝑅

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(2,1) ∈ 𝑅 𝑦 (1,1) ∈ 𝑅, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (2,1) ∈ 𝑅
(2,1) ∈ 𝑅 𝑦 (1,2) ∈ 𝑅, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (2,2) ∈ 𝑅
(2,2) ∈ 𝑅 𝑦 (2,1) ∈ 𝑅, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (2,1) ∈ 𝑅
(1,1) ∈ 𝑅 𝑦 (1,2) ∈ 𝑅, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (1,2) ∈ 𝑅
Luego, la relación 𝑅 es una relación que cumple la propiedad transitiva.
b.- Sea 𝐴 = {1,2} y la relación 𝑆 = {(1,2)(2,1)(2,2)}, verifiquemos si 𝑆 cumple la propiedad
transitiva
(1,2) ∈ 𝑆 𝑦 (2,1) ∈ 𝑆 , 𝑝𝑒𝑟𝑜 (1,1) ∉ 𝑆
Luego, la relación 𝑆, no cumple la propiedad transitiva.
d) Propiedad Antisimétrica
La relación 𝑅 definidaenunconjunto 𝐴,satisface lapropiedadantisimétricasi,ysólo si ∀ 𝑎, 𝑏 ∈
𝐴 ; ( 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 𝑦 ( 𝑏, 𝑎) ∈ 𝑅. Entonces, 𝑎 = 𝑏.
Para todos los elementos del conjunto A se forman los pares ordenados ( 𝑎, 𝑏) y los pares de la
forma( 𝑏, 𝑎) que estánenla relación 𝑅,entoncesnecesariamente los elementos son los mismos,
es decir, 𝑎 = 𝑏.
Ejemplo N°15:
Sea el conjunto 𝐴 = {1, 2,3}.
Se define 𝑅1 como la relación definida en 𝐴𝑥𝐴
𝑅1 = {(1,1), (1,2)}
𝑅1 Cumple con la propiedad antisimétrica.
Sea 𝑅2 una relación definida en 𝐴𝑥𝐴
𝑅2 = {(1,2),(1, 3),(3,1)}
𝑅2 No cumple la propiedad simétrica y tampoco cumple la propiedad antisimétrica.

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2.5 TIPOS DE RELACIONES
Las relaciones si satisfacen algunas propiedades vistas anteriormente, son denominadas por:
a) Relación Equivalencia
Una relación 𝑅 definida en un conjunto 𝐴, es una relación de equivalencia si, y sólo si 𝑅 cumple
con las propiedades refleja, simétrica y transitiva. Esto es, debe cumplir las tres propiedades de
manera simultánea. Si una de estas no se cumple, la relación no es de Equivalencia.
Ejemplo N°16:
Sea 𝐴 = {1,2,3} y se define una relación por 𝑅 = {( 𝑥, 𝑦)/ 𝑥 = 𝑦}
𝑅 = {(1,1), (2,2), (3,3)}
Luego, la relación es una Relación de equivalencia.
b) Relación de Orden
Una relación 𝑅 definida en un conjunto 𝐴 es una relación de orden si, y sólo si 𝑅 cumple las
propiedadesrefleja,antisimétricay transitiva.Estoes,tiene que cumplir con las tres propiedades
de manera simultánea(refleja,antisimétricaytransitiva),si unade estasno se cumple, la relación
no es una Relación de Orden.
Ejemplo N°17:
Sea 𝐴 = {1,2,3} y se define la relación 𝑅 = {( 𝑥, 𝑦): 𝑥 ≤ 𝑦}
Luego, la relación es una Relación de Orden

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