Relaciones Binarias

CLASE N° 9
RELACIONES
PROFESOR: URBANO CERVANTES MAURO
Chiclayo, 4 de noviembre de 2010

PAR ORDENADO
Definición.- Es un conjunto de dos elementos ordenados de acuerdo
a como aparecen
Se representan por (a, b) donde:
a : primer elemento
b : segundo elemento
Pares ordenados iguales
(a, b) = (c, d) si y solo si a = c y b = d
Ejemplo: Hallar el valor de x e y si (3x + 2y, -5) = (11, 3x – 2y)
Solución 3x + 2y = 11
3x - 2y = -5
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
Se obtiene x = 1
y = 4

3x + 2y = 11 (1)
3x - 2y = -5 (2)
6x = 6
x = 6/6 =  x =1
En (1) Reemplazando x=1
3(1) + 2y = 11
3 + 2y = 11
2y = 11 – 3
2y = 8
y = 8/2  y = 4

PRODUCTO CARTESIANO A x B
Definición.- El producto cartesiano de dos conjuntos no vacíos A y B se define como el
conjunto de todos los pares ordenados (a; b) donde a pertenece al conjunto A y b
pertenece al conjunto B
Se representa por:
Ejemplo Sean los conjuntos : A = { 1; 3; 5} y B = {r; s} entonces:
A x B = {(1, r),(1, s),(3, r),(3, s),(5, r),(5, s)}
Representación:
1) Con diagrama de árbol
A B A x B
1 r (1, r)
s (1, s)
3 r (3, r)
s (3, s)
5 r (5, r)
s (5, s)
}/);{( BbAabaAxB 

2) Utilizando tabla
3) Utilizando diagrama de flechas
1 r
2 s
3
A B r S
1 (1, r) (1, s)
3 (3, r) (3, s)
5 (5, r) (5, s)
A B

4) Utilizando el plano cartesiano
B
A
Número de elementos de un producto cartesiano
Si los conjuntos A y B son finitos y tienen m y n elementos
respectivamente entonces el producto cartesiano A x B tienen m x n
elementos
Ejemplo: sean
A = { 1; 3; 5} y B = {r; s}
Luego n(A x B) = 3 x 2 = 6

RELACIONES
Relación es un subconjunto de un producto cartesiano
Definición.- Es una correspondencia entre el primer conjunto
llamado DOMINIO y el segundo conjunto llamado RANGO, de
modo que a cada elemento del dominio le corresponde uno o más
elementos del rango. Simbólicamente se define como:
R = {(x,y) є AxB / xRy}
Dominio de una relación Dom(R) Es el subconjunto de A, formado
por todos los primeros componentes de los pares ordenados que
pertenecen a la relación. Dom(R) = { x є A / (x, y) є R}
Rango de una relación Ran((R).- Es el subconjunto de B, formado
por todos los segundos componentes de los pares ordenados que
pertenecen a la relación Ran(R) = { y є B / (x, y) є R}
AxBR 

CLASES DE RELACIONES
1. Relaciones Reflexivas.- Cuando un elemento está relacio-nado
consigo mismo . Si Ѵa є A, (a, a) є R,
2. Relaciones Simétricas.- Una relación es simétrica si Ѵ(a,b) єR se
cumple que el par ordenado (b, a) є R
3. Relaciones transitivas.- Una relación es transitiva si Ѵ(a,b) y (b,c)
є R, se cumple que el par ordenado (a,c) є R
4. Relación de equivalencia .- Una relación es de equivalencia cuando
es reflexiva, simétrica y transitiva
5. Relaciones antisimétricas.- Una relación es antisimétrica cuando si
Ѵ(a;b) y (b;a) є R, se cumple que a = b
6. Relaciones de orden.- Una relación es de orden si es reflexiva,
antisimétrica y transitiva
7. Relaciones inversas.- R-1 cuando se determina invirtiendo el orden
de las componentes de las parejas ordenadas en la R

• R-1 = { (b;a)/ (axb) є R
• Ejemplo: La relación R = { (a,a), (b,b), (c,c)} establecida en el
conjunto A = {a, b, c} es una relación reflexiva ya que todos
los elementos de A están relacionados consigo mismos.
1.Relaciones Reflexivas
a
b
c

2. Relaciones Simétricas
Ejemplo.- Dado el conjunto A = { 1, 2, 3 } con la relación
R = {(2, 3),(3, 2),(2, 1),(1, 1)(1, 2)}
Se observa que:
• El elemento (2, 3) tiene su elemento inverso (3, 2) y están en R

3. Relaciones transitivas
Ejemplo.- Sea el conjunto B = {1, 2, 3, 6} y la relación
R = {(x, y) є BxB / x divide a y}
• R en pares ordenados es :
R = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(1, 6),(2, 2),(2, 6),(3, 3)(3, 6)(6,6)}
• Se podrá verificar que:
Si x divide a y e y divide a z, entonces x divide a z

4. Relación de equivalencia
Ejemplo.- Sea el conjunto A = {a, b, c} y la relación
R = {(a, a),(b, b),(c, c),(b, a),(a, b)}
Se cumple:
1) Es reflexiva porque para todo elemento de A está
reacionado consigo mismo. Los pares (a, a), (b, b) y (c, c)
2) Es simétrica porque todo par (x, y) tiene su par inverso (y, x)
El par (b, a) tiene su par inverso (a, b)
El par (a, a) tiene su par inverso (a, a)
El par (b, b) tiene su par inverso (b, b)
El par (c, c) tiene su par inverso (c, c)

3. Es transitiva porque si los pares (x, y) y (y, z) están
en R, entonces el par (x, z) también está en R
Así tenemos los pares:
(b,b),(b,b) y (b,b) están en R
(b,b),(b,a) y (b,a) están en R
(b,a),(a,a) y (b,a) están en R
(a,a),(a,a) y (a,a) están en R
(c,c), (c,c) y (c,c) están en R
(a,b),(b,b) y (a,b) están en R
(b,a), (a,b) y (b,b) están en R
(a,a), (a,b) y (a,b) están en R

5. Relaciónes antisimétricas
Ejemplo.- Dado el conjunto A = {d, e, f} y la
relación
R = {(d, e),(e, f)(d, f)}
Esta relación es sntisimétrica porque:
Existe (d,e), pero no existe (e, d) en R
Existe (e,f), pero no existe (f, e) en R
Existe (d,f), pero no existe (f, d) en R

6. Relaciones de orden
Ejemplo sean el conjunto A = {a, b, c}
y la relación R = {(a, b), (a, a), (b, b), (c, c)}
Se cumple:
A) Es reflexiva.- prque todo elemento de A está relacionado consigo
mismo. Los pares (a, a), (b, b) y (c, c)
B) Es antisimétrica.- porque para elementos (x, y) de R con x ≠ y,
el par (y, x) no se halla en R. En nuestro ejempl el único elemento
que cumple con esta propiedad es el par (a, b), cuy inverso (b, a)
no se encuentra en R.
C) Es transitiva porque se encuentran los pares:
(a, b), (b,b) y (a,b)
(a,a), (a,b), (a,b)
(a,a), (a,a), (a,a)
(b,b), (b,b), (b,b)
(c,c), (c,c), (c,c)

7. Relación Inversa ( F-1)
EJEMPLO.-

EVALUACIÓN DE LA PRACTICA
1. Si el producto cartesiano BxB tiene 36 elementos, Cuántos elementos tiene el conjunto B?
2. Si n(AxB) = 72, n(A) + n(B) = 17. ? Cuántos Elementos tiene el conjunto A?
3. Escribe por comprensión la relación R = {(0, 0),(1, ½ ),(2, 2), (4, 8),(6, 18)} y = x2/2
4. Sean A = {2, 3, 8, 9} y B = {4, 6, 7} y R1 = {(x, y)/ є AxB/x2 – y = 2} y R2 = {(x, y) є BxA/ x < y }
5. Trazar la gráfica de la relación R = {(x, y) є R2 / 2x – y = 2}
6. Sean los conjuntos A = {x є Z / -2 ≤x < 3} y B = {x є N / 3 ≤x < 7} y la relación R = {(x, y) є AxB /
1<2x< 8}
7. Hallar el dominio y el rango de R
8. 4 DE NOVIEMBRE DE 2010

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