Relaciones y funciones

MATEMATICA BASICA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMATICA
BASICA
Temas:
RELACIONES Y FUNCIONES
- RELACIONES
- PAR ORDENADO
- DIAGONAL DE UN CONJUNTO
- PRODUCTO CARTESIANO
- FUNCIONES
- FUNCIONES: INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS,
BIYECTIVAS, INVERSAS
- COMPOSICION DE FUNCIONES
- OPERACIONES BINARIAS
- PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES
BINARIAS
-
Ing. Widmar Aguilar G., Msc
Octubre 2021

Conceptos básicos para la aplicación de los ejercicios son:

FUNCIONES:

1)
a) ( − 7 , 2 − 6 ) = (15, −10)
De:
− 7 = 15
2 − 6 = −10
→
−2 + 14 = −30
2 − 6 = −10
8 = −40 ; = −5
De: 2 − 6 = −10
2x = -10+6(-5)
= −20
= −20
= −5
( , ) = (−20, −5)
b) (3x-8y, 4x+3y)=(4-2x-10y, 2x+4y+7)
De:
3 − 8 = 4 − 2 − 10
4 + 3 = 2 + 4 + 7
→
5 + 2 = 4
2 − = 7

5 + 2 = 4
4 − 2 = 14
9x =18
= 2
De: 2 − = 7
= 2 − 7 = 4 − 7
= −3
( , ) = (2, −3)
c) (5 + 2 , −4) = (−1,2 − )
De:
5 + 2 = −1
2 − = −4
→
5 + 2 = −1
4 − 2 = −8
9 = −9 ; = −1
De: 2 − = −4
= 2 + 4 = −2 + 4
Y= 2
( , ) = (−1,2)
d) ( − 19, − 6) = ( , )
− 19 =
− 6 =
− 6 = → ( − ) = 6
− 19 = → ( − ) = 19
( − )( + + ) = 19

( + + ) = 19
6( + + ) = 19
6 − 13 + 6 = 0
=
± ! ""
=
±#
= ; =
Si: =
$ − % = 6
$− % = 6: = −27
= −3
= → = −2
( , ) = (−2, −3)
Si: =
$ − % = 6
$ % = 6: = 8
= 2
= → = 3
( , ) = (3,2)
{ (3,2), (2,-3)}
2)

' = { ∈ * / = (2+ − 1), + ∈ *}
' = { 1, 3, 5, 7, 9,11,13, − − − − − −}
- = { ∈ * / + 1 ≤ 12}
- = {1, 2,3}
' ∩ - = {1,3} ; 0(' ∩ -) = 2
- − ' = {2} ; 0(- − ') = 1
(' ∩ -) (- − ') = (2)(1)
(' ∩ -) (- − ') = 2
(' ∩ -) (- − ') = {(1,2), (3,2)}
3)
' = { ∈ * / =
"
(3+ + 1), + ∈ *}
' = {1, 4, 7, 10, 13, − − − − −}
- = { ∈ * / − 14 + 40 = 0}
− 14 + 40 = 0
( − 10)( − 4) = 0
- = {4,10}
C = { ∈ * / − 1 = 0} ; (x-1)(x+1)=0

1 = {1}
' ∩ - = {4.10} ; - − 1 = {4,10}
Entonces: P= [(A∩ -)31] (- − 1)
(A∩ -)31 ={1,4,10}
n( [(A∩ -)31] (- − 1)] = 3 2 = 6
n(P) = 6
4)
a) (' -) ⊂ (1 6) → 7- ∩ (13')] 7'3(- ∩ 6)] =
(- ∩ 1) ('3-)
De ; (' -) ⊂ (1 6) → ' ⊂ 1 → ∀ (9, :) ∈ ' → (9, :) ∈ -
- ⊂ 6 → ∀ (9, :) ∈ - → (9, :) ∈ 6
(9, :) ∈ 7- ∩ (13')] 7'3(- ∩ 6)]
7- ∩ (13')] 7'3(- ∩ 6)] =
= 7- ∩ (1)] 7' 3-]
(9, :) ∈ 7- ∩ (1)] 7' 3-]
(' -) ⊂ (1 6) → 7- ∩ (13')] 7'3(- ∩ 6)] =
(- ∩ 1) ('3-) -----------------------(V)
b) ' = - ∩ 1 → ' ' = (- -) ∩ (1 1)
Sea: (x,y) ∈ (- -) ∩ (1 1)
( , ) ∈ 7- ∩ 1) (- ∩ 1)]
( , ) ∈ (' ')

' = - ∩ 1 → ' ' = (- -) ∩ (1 1) --------------------(V)
5)
a) Si A ⊂ - y (- 1) ⊂ (' 1) → - = '
(- 1) ⊂ (' 1) → - ⊂ '
C ⊂ 1
A ⊂ - y B⊂ ' ↔ ' = -
Si A ⊂ - y (- 1) ⊂ (' 1) → - = ' --------(V)
b) ∀ ', - HI0JK0LIM 0I N9HíIM:
07('3-) 1] = 0(' 1) + 0(- 1)
('3-) 1 = (' 1)3(' -)
07('3-) 1] = 07 (' 1)3(- 1)]
≠ 07 (' 1)3(- 1)]
QRHKRQSR TKR: 0(U3V) = 0(W) + 0(V) − 0(U ∩ V)
∀ ', - HI0JK0LIM 0I N9HíIM:
07('3-) 1] = 0(' 1) + 0(- 1) − − − −(X)
6)
Y = {1,2,3} ; ' = {1,2} ; B={2,3}
Y Y = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}
' - = {(1,2),(1,3), (2,2),(2,3)}

X = { (1,1), (2,1), (3,1), (3,2), (3,3)}
1Z' = Y − ' = {3}
1Z- = Y − - = {1}
G= 1Z' 1Z- = {(3,1)}
X ∩ = {(3,1)}
7)
a) Ax(B-C) = (AxB)-)AxC)
Por demostrar:
i) Ax(B-C) ⊂ (AxB)-)AxC)
ii) (AxB)-)AxC) ⊂ Ax(B-C)
i) Sea (a,b) ∈ Ax(B-C)
→ 9 ∈ ' ∧ : ∈ (- − 1)
9 ∈ ' ∧ (: ∈ - ∧ : ∉ 1 )
QRHKRQSR ∶ X ∧ W = X ; X ∨ W = W
(9 ∈ ' ∧ 9 ∉ ' ∧ : ∈ -) ∨ 79 ∈ ' ∧ (: ∈ - ∧ : ∉ 1 ) ]
(9 ∈ ' ∧ : ∈ - ∧ 9 ∉ ') ∨ 7(9 ∈ ' ∧ : ∈ - ) ∧ : ∉ 1 ) ]
(9 ∈ ' ∧ : ∈ -) ∧ ( 9 ∉ ' ∨ : ∉ 1)
(9, :) ∈ (' -) ∧ (9, :) ∉ (' ∧ 1)
(9, :) ∈ 7(' -) − (' 1)]
ii) Sea: (a,b) ∈ (AxB)-)AxC)
→ (9, :) ∈ (' -) ∧ (9, :) ∉ (' 1)
(9 ∈ ' ∧ : ∈ -) ∧ ( 9 ∉ ' ∨ : ∉ 1)

(9 ∈ ' ∧ : ∈ - ∧ 9 ∉ ') ∨ 7(9 ∈ ' ∧ : ∈ - ) ∧ : ∉ 1 ) ]
(X ∧ : ∈ - ) ∨ 7(9 ∈ ' ∧ : ∈ - ) ∧ : ∉ 1 )
X ∨ 7(9 ∈ ' ∧ : ∈ - ) ∧ : ∉ 1 )
(9 ∈ ' ∧ : ∈ - ) ∧ : ∉ 1
9 ∈ ' ∧ ( : ∈ - ∧ : ∉ 1)
9 ∈ ' ∧ : ∈ (- − 1)
(9, :) ∈ 7' (- − 1)]
Ax(B-C) = (AxB)-)AxC) -------------(V)
b) Ax (BUC) = (AxB) U (AxC)
Por demostrar:
i) Ax (BUC) ⊂ (AxB) U (AxC)
ii.) (AxB) U (AxC) ⊂ Ax (BUC)
i) Ax (BUC) ⊂ (AxB) U (AxC)
Sea (a,b) ∈ ' (-31)
→ 9 ∈ ' ∧ : ∈ (-31)
→ 9 ∈ ' ∧ (: ∈ - ∨ : ∈ 1)
→ (9 ∈ ' ∧ : ∈ -) ∨ ( 9 ∈ ' ∧ : ∈ 1)
(9, :) ∈ (' -)3 (9, :) ∈ (' 1)
(9, :) ∈ 7(' -)3 (' 1)]
Ax (BUC) ⊂ (AxB) U (AxC)
ii) (AxB) U (AxC) ⊂ Ax (BUC)
Sea (a,b) ∈ (AxB) U (AxC)
→ (9, :) ∈ ' - ∨ (9, :) ∈ (' 1)
→ 79 ∈ ' ∧ : ∈ -] ∨ 7 9 ∈ ' ∧ : ∈ 1]
9 ∈ ' ∧ 7 : ∈ - ∨ : ∈ 1]
9 ∈ ' ∧ 7 : ∈ (-31)]

→ (9, :) ∈ 7' (-31)]
Por tanto: Ax (BUC) = (AxB) U (AxC) --------------(V)
c) (1k') (1k-) ⊂ 1k k(' -)
Considerar que:
Sea (a,b) ∈ (1k') (1k-)
→ (9, :) ∈ 7 (3 − ') x(3 − -)]
→ 9 ∈ (3 − ') ∧ : ∈ (3 − -)
→ (9 ∈ 3 ∧ 9 ∉ ') ∧ (: ∈ 3 ∧ : ∉ -)
(9 ∈ 3 ∧ : ∈ 3) ∧ ( 9 ∉ ' ∧ : ∉ -)
(9 ∈ 3 ∧ : ∈ 3) ∧ ( 9 ∈ 'n
∧ : ∈ -n
)
(a,b) ∈ (3 3) ∧ (9, :) ∈ ( 'n
-n
)
(a,b) ∈ (3 3) ∧ (9, :) ∈ ( 'n
-n
)
→ (a,b) ∈ (3 3) ∧ (9, :) ∈ ( ' -)′
Como: 1k k(' -)
→ 3 3 − (' -) = 73 3] ∩ (' -)′
Se tiene: → (a,b) ∈ (3 3) ∧ (9, :) ∈ ( ' -)′
→ (9, :) ∈ 7 (3 3) − (' -)]
→ (9, :) ∈ 1k k(' -)
→ (1k') (1k-) ⊂ 1k k(' -) − − − −(p)

8)
a) ' ∩ 1 = ∅ ∧ - ∩ 6 = ∅ → (- 1) ⊂ (6n
'n)
Sea: (a,b) ∈ - 1
→ 9 ∈ - ∧ : ∈ 1
' ∩ 1 = ∅ → 1 = '′
- ∩ 6 = ∅ → - = 6′
→ 9 ∈ - ∧ : ∈ 1
→ 9 ∈ 6′ ∧ : ∈ '′
→ (9, :) ∈ (6n
'n)
Por tanto:
' ∩ 1 = ∅ ∧ - ∩ 6 = ∅ → (- 1) ⊂ (6n
'n) − − − (p)
b) ' ∩ - = ∅ ∧ 1 ⊂ - → 7(' − -) 1] ∩ 7' (13-)] = ' 1
' ∩ - = ∅ → -n
= '
' − - = ' ∩ -n
= ' ∩ ' = '
1 ⊂ - → 1 ∩ - = 1
Sea: (a,b) ∈ 7(' − -) 1] ∩ 7' (13-)]
(a,b) ∈ 7 ' 1] ∩ 7' -]
(a,b) ∈ 7' (1 ∩ -)]
(a,b) ∈ 7' 1]

' ∩ - = ∅ ∧ 1 ⊂ - → 7(' − -) 1] ∩ 7' (13-)] = ' 1 − − − (p)
c) ' ∩ - = ∅ → (' -) ∩ (- ') = ∅
Sea: (a,b) ∈ 7 (' -) ∩ (- ')]
(a,b) ∈ (' -) ∧ (9, :) ∈ (- ')
79 ∈ ' ∧ : ∈ -] ∧ 79 ∈ - ∧ : ∈ ']
79 ∈ ' ∧ 9 ∈ -] ∧ 7: ∈ - ∧ : ∈ ']
9 ∈ (' ∧ -) ∧ : ∈ (- ∧ ')
9 ∈ (' ∩ -) ∧ : ∈ (- ∩ ')
(a,b) ∈ (' ∩ -) x (B∩ ')
(' ∩ -) x (B∩ ')
→ (' -) ∩ (- ')
→ (a, b) ∈ (' ∩ -) x (B ∩ ')
Como ' ∩ - = ∅
→ (a, b) ∈ ∅ x (B ∩ ')
→ (a, b) ∈ ∅
Por tanto: ' ∩ - = ∅ → (' -) ∩ (- ') = ∅ − − − −(p)
9)
PD) U7' (- ∩ 1)] = U(' -) ∩ U(' 1)
Se conoce que: U(' ∩ -) = U(') ∩ U(-)
Sea: (x,y) ∈ 7' (- ∩ 1)]
∈ ' ∧ ∈ (- ∩ 1)
∈ ' ∧ 7 ∈ - ∧ ∈ 1]
( ∈ ' ∧ ∈ ') ∧ 7 ∈ - ∧ ∈ 1]
( ∈ ' ∧ ∈ -) ∧ 7 ∈ ' ∧ ∈ 1]
(a,b) ∈ 7(' -) ∩ (' 1)]
Luego: P7' (- ∩ 1)] = P7(' -) ∩ (' 1)]
= U(' -) ∩ U(' 1)

P7' (- ∩ 1)] ⊂ U(' -) ∩ U(' 1)------(A)
Sea: (x,y) (a,b) ∈ 7(' -) ∩ (' 1)]
(x,y) ∈ (' -) ∧ ( , ) ∈ (' 1)
∈ ' ∧ ∈ - ∧ ∈ ' ∧ ∈ 1
∈ ' ∧ ∈ ' ∧ ∈ - ∧ ∈ 1
∈ ' ∧ 7 ∈ - ∧ ∈ 1]
∈ ' ∧ 7 ∈ (- ∩ 1)]
( , ) ∈ 7' (- ∩ 1)]
Luego: P7(' -) ∩ (' 1)] = U7' (- ∩ 1)]
U(' -) ∩ U(' 1) ⊂ U7' (- ∩ 1)]------(B)
De (A) y (B):
U7' (- ∩ 1)] = U(' -) ∩ U(' 1)
10)
0(') = 3: 0(-) = 8 ; 0(1) = 9 ; 0(- ∩ 1) = 2
Del ejercicio anterior:
U(' -) ∩ U(' 1) = U7' (- ∩ 1)]
0wU7' (- ∩ 1)]x = 07U(')] 07U(- ∩ 1)]
= 2 2 = 32
n7U(' -) ∩ U(' 1)] = 32
11)
' ⊂ -n
∧ 1 ⊂ - → 7(' − -) 1] ∩ 7' (13-)] = ' 1
1 ⊂ - → 13- = - ; 1 ∩ - = 1

∀ ∈ 1 → ∈ -
' ⊂ -n
→ A-B=A ; A∩ -′ = '
∀ ∈ ' → ∈ -′
1) 7(' − -) 1] ∩ 7' (13-)] ⊂ ' 1
Sea: (x,y) ∈ 7(' − -) 1] ∩ 7' (13-)]
→ ( , ) ∈ 7(' − -) 1] ∧ ( , ) ∈ 7' (13-)]
→ { ∈ (' − -) ∧ ∈ 1} ∧ { ∈ ' ∧ ∈ (13-)}
→ { ∈ ' ∧ ∉ - ∧ ∈ 1} ∧ { ∈ ' ∧ ( ∈ 1 ∨ ∈ -)}
→ { ∈ (' ∧ -n) ∧ ∈ 1} ∧ { ∈ ' ∧ ( ∈ - ∨ ∈ -)}
→ { ∈ ' ∧ ∈ 1} ∧ { ∈ ' ∧ ∈ -}
→ ∈ ' ∧ ( ∈ - ∧ ∈ 1)
→ ∈ ' ∧ ∈ ( - ∩ 1)
→ ∈ ' ∧ ∈ 1
→ ( , ) ∈ (' 1)
Se tiene que: 7(' − -) 1] ∩ 7' (13-)] ⊂ ' 1 --------(1)
ii.) ' 1 ⊂ 7(' − -) 1] ∩ 7' (13-)]
Sea (a,b) ∈ 7 (' − -) 1] ∩ 7' (13-)]
→ ( , ) ∈ 7(' − -) 1] ∧ ( , ) ∈ 7A (13-)]
{ ∈ (' − -) ∧ ∈ 1} ∧ { ∈ ' ∧ ∈ (13-)}
{ ∈ ' ∧ ∈ 1} ∧ { ∈ ' ∧ ∈ -}
→ ∈ ' ∧ ( ∈ 1 ∧ ∈ -)
→ ∈ ' ∧ ∈ (1 ∧ -)
→ ∈ ' ∧ ∈ (1 ∩ -)
→ ∈ ' ∧ ∈ 1
→ ( , ) ∈ (' 1)
Por tanto: 7(' − -) 1] ∩ 7' (13-)] ⊂ ' 1 − − − − − (2)
De (1( y (2) se concluye que:

' ⊂ -n
∧ 1 ⊂ - → 7(' − -) 1] ∩ 7' (13-)] = ' 1
12)
' ∩ 1n
= ∅ ∧ 6 ∩ -n
= ∅
PD) 7' (- − 6)3(' 6)37(1 − ') 6] ⊂ 1 -
' ∩ 1n
= ∅ ↔ ' − 1 = ∅ ↔ ' ⊂ 1
' ⊂ 1 → '31 = 1
6 ∩ -n
= ∅ ↔ 6 − - = ∅ ↔ 6 ⊂ -
6 ⊂ - → 63- = -
' 6 ⊂ 1 -
Sea (a,b) ∈ 7 ' (- − 6)]3(' 6)37(1 − ') 6]
→ ( , ) ∈ {7 ' (- − 6)]3(' 6)}37(1 − ') 6]
→ ( , ) ∈ {7 ' (- − 6)]3(' 6)} ∨ ( , ) ∈ 7(1 − ') 6]
→ {7( , ) ∈ 7' (- − 6)] ∨ ( , ) ∈ (' 6)} ∨ ( , ) ∈ 7(1 − ') 6]
→ ( , ) ∈ 7' (- − 6)] ∨ ( , ) ∈ (' 6) ∨ ( , ) ∈ 7(1 − ') 6]
→ ( , ) ∈ 7(' -) − (' 6)] ∨ ( , ) ∈ (' 6) ∨ ( , ) ∈ 7(1 − ') 6]
→ 7( , ) ∈ (' -) ∧ ( , ) ∉ (' 6)] ∨ ( , ) ∈ (' 6) ∨ ( , ) ∈
7(1 − ') 6]
→ {( , ) ∈ 7(' 6) ∨ (' -)} ∨ ( , ) ∈ 7(1 − ') 6]
→ {( , ) ∈ 7(' 6) ∨ (' -)} ∨ ( , ) ∈ 7(1 6) − (' 6)]
→ {( , ) ∈ 7(' 6) ∨ (' -)} ∨ 7( , ) ∈ (1 6) ∧ ( , ) ∉ (' 6)]
→ 7( , ) ∈ (' 6) ∨ 7( , ) ∈ (1 6) ∧ ( , ) ∉ (' 6)] ∨ ( , ) ∈
(' -)
→ {( , ) ∈ 7(' 6) ∨ (1 6)} ∨ ( , ) ∈ (' -)
( , ) ∈ (' 6) ∨ ( , ) ∈ (1 6) ∨ ( , ) ∈ (' -)
( ∈ ' ∧ ∈ 6) ∨ ( ∈ 1 ∧ ∈ 6) ∨ ( ∈ ' ∧ ∈ -)
( ∈ ' ∧ ∈ 6) ∨ ( ∈ ' ∧ ∈ -) ∨ ( ∈ 1 ∧ ∈ 6)
7 ∈ ' ∧ ∈ (6 ∨ -)] ∨ ( ∈ 1 ∧ ∈ 6)
7 ∈ ' ∧ ∈ -] ∨ ( ∈ 1 ∧ ∈ 6)

7 ∈ ' ∧ ∈ -] ∨ ( ∈ 1 ∧ ∈ -)
7 ∈ - ∧ ∈ (' ∨ 1)]
∈ (' ∨ 1) ∧ ∈ -
∈ 1 ∧ ∈ -
→ ( , ) ∈ 1 -
Por tanto:
7' (- − 6)3(' 6)37(1 − ') 6] ⊂ 1 -
13)
a) y 3 z =?
' ' = '
y = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4),
(3,1), (3,2), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)}
y = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}
z = {(1,3), (2,2), (3,1)}
y3z = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,4)})
:) T ∩ z =?
y ∩ z = { (1,3)}
H) y − z =?
y − z = {(1,2), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}
d) y ∆z =?
y∆z = (y − z)3(z − y)
z − y = { (2,2), (3,1)}
y∆ z = {(1,2), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,4)}

14)
' ' = {(0,0), (0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (0,6), (2,0), (2,2), (2,3),
(2,4),(2,5),(2,6), (3,0),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,0),(4,2),
(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,0),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5), (5,6), (6,0),
(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
Donde:
} = {(0,4), (0,6), (2,4), (2,6), (3,5), (4,0), (4,2), (4,6), (5,3), (6,0), (6,2),
(6,4)}
S= { (x+1,y) ∈ ' / ( + 1, ) ∈ }}
+ 1 = 0 → = −1 ; −1 ∉ '
+ 1 = 2 → = 1 ; 1 ∉ '
+ 1 = 3 → = 2 ; 2 ∈ '
(4,2) ∈ } → (3,3) ∈ z ( 3 + 1 = 4)
(6,2) ∈ } → (3,5) ∈ z
+ 1 = 4 → = 3 ; 3 ∈ '
(5,3) ∈ } → (4,4) ∈ z
+ 1 = 5 → = 4 ; 4 ∈ '
(2,4) ∈ } → (1,5) ∉ z
(6,4) ∈ } → (5,5) ∈ z
+ 1 = 6 → = 5 ; 5 ∈ '
(3,5) ∈ } → (6,2) ∈ z

S={ (3,3),(3,5), (4,4),(5,5),(6,2)}
Luego se obtiene: R-S=
} − z = { (0,4), (0,6), (2,4), (2,6), (4,0), (4,2), (4,6), (5,3), (6,0), (6,4)}
15)
Sea: Z={-1,0,1,2,3,4}
ZxZ= {(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(-1,3),(-1.4),
(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),
(1,-1),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),
(2,-1),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),
(3,-1),(3,0(,(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),
(4,-1),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}
Se buscar los pares que cumplan: 2x+1 < y
R= {(-1,0),(-1,1), (-1,2),(-1,3),(-1,4),(0, 2),(0,3),(0,4),(1,4)}
6(}) = {−1,0,1}
• = 0
Ran (R)= {0,1,2,3,4}
n = 0+1+2+3+4=10
• + 0 = 10
16)

} = { (1,4), (1,6), (2,4), (3,4), (4,2), (5,2)}
D (R)= { 1,2,3,4,5}
}( R) = {2,4,6}
17)
− 2 =
− 2 + 1 = +1 → ( − 1) = + 1
} = {(2,0), (3, 3), (4,8), (5, 15)}
D(R)= {2,3,4,5}
• = 14
D(}∗
) = {0,3,8,15}
0 = 26
•
‚
= 14
18)

z = {2,3,4}
SxS ={(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)}
} = {(2,3), (2,4), (3,2), (3,4), (4,2), (4,3)}
} = {(2,2), (3,3), (4,4)}
y = x+1; } = {(2,3), (3,4)}
Se calcula con lo obtenido: [0(} ) + 0(} )] ÷ 0(} )
0(} ) = 3 ; 0(} ) = 2 ; 0(} ) = 6
[0(} ) + 0(} )] ÷ 0(} ) =
„
[0(} ) + 0(} )] ÷ 0(} ) =
#
19)
' = {1,2,3,4,5,6} ; 0(') = 6
} = {( , ) ∈ ' / 3 = }
} = {( , ) ∈ ' / ≰ 2 } ; se tiene: y > 2x
} = {( , ) ∈ ' / = }
Los pares a encontrar; (x, x/3), ( x, > 2x))
} = {(3,1), (6,2)}
} = {(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,5),(2,6)}
} = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
0(} 3 } 3} ) = ?
0(} 3 } 3} ) = 0(} ) + 0(} ) + 0(} ) − 0(} ∩ } ) −
0(} ∩ } ) − 0(} ∩ } ) + 0(} ∩ } ∩ } )
0(} ) = 2 ; 0(} ) = 6 ; 0(} ) = 6

0(} ∩ } ) = 0 ; 0(} ∩ } ) = 0; 0(} ∩ } ) = 0
0(} ∩ } ∩ } ) = 0
0(} 3 } 3} ) = 14
20)
AxA = {(2,2),(2,3),(2,9),(3,2),(3,3),(3,9),(9,2),(9,3),(9,9)}
} = {( , ) / + 1 ≤ }
} = {(2,2), (2,3), (3,2), (3,3), (9,2), (9,3), (9,9)}
0(}) = 7
21)
' = {1,2,3,4}
} = {( , ) ∈ ' / = ó + = 3}
zR9:
' ' = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1(, (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2),
(3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)}
} = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (2,1)}
a)

1 ∈ ' → (1,1) ∈ } ; 2 ∈ ' → (2,2) ∈ }
3 ∈ ' → (3,3) ∈ } ; 4 ∈ ' → (4,4) ∈ }
6(') ⊂ } → YM QR‡ˆRHL‰N9 --------(V)
:) Es simétrica si:
} = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (2,1)}
(1,2) ∈ } (2,1) ∈ }
Además si x=y → ( , ) = ( , )
} = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (2,1)} − −M‰•éLQ‰H9 − −(p)
H) YM LQ90M‰L‰N9 M‰:
(1,1) ∈ } ∧ (1,2) ∈ } → (1,2) ∈ }
(2,2) ∈ } ∧ (2,1) ∈ } → (2,1) ∈ }
} = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (2,1)} − −LQ90M‰L‰N9 − −(p)
S) 6R RTK‰N9ˆR0H‰9 M‰:
De los literales (a), (b( y (c) se concluye que:
} = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (2,1)}— RTK‰N9ˆR0LR − − − −(p)

22)
a) (}3z)∗
= }∗
3z∗
Considere que:
b) PD) i) (}3z)∗
⊂ }∗
3z∗
ii.) }∗
3z∗
⊂ (}3z)∗
i) ∀ (( , ) ∈ (}3z)∗
→ ( , ) ∈ (}3z)
→ ( , ) ∈ } ∨ ( , ) ∈ z
→ ( , ) ∈ }∗
∨ ( , ) ∈ z∗
→ ( , ) ∈ (}∗
∨ z∗
)
→ (}3z)∗
⊂ }∗
3z∗
ii) ∀ (( , ) ∈ }∗
3z∗
→ ( , ) ∈ (}∗
∨ z∗
)
→ ( , ) ∈ }∗
∨ ( , ) ∈ z∗
→ ( , ) ∈ } ∨ ( , ) ∈ z
→ ( , ) ∈ (}3z)
( , ) ∈ (}3z)∗
→ }∗
3z∗
⊂ (}3z)∗
c) Por tanto se concluye que: (}3z)∗
= }∗
3z∗
2) (} − z)∗
= }∗
− z∗
PD) i) (} − z)∗
⊂ }∗
− z∗
ii.) (}∗
− z∗
) ⊂ (} − z)∗

i) ∀ ( , ) ∈ (} − z)∗
→ ( , ) ∈ (} − z)
→ ( , ) ∈ } ∧ ( , ) ∉ z
→ ( , ) ∈ }∗
∧ ( , ) ∉ z∗
→ ( , ) ∈ (}∗
− z∗
)
→ (} − z)∗
⊂ }∗
− z∗
ii) ∀ ( , ) ∈ (}∗
− z∗
)
→ ( , ) ∈ }∗
∧ ( , ) ∉ z∗
→ ( , ) ∈ } ∧ ( , ) ∉ z
→ ( , ) ∈ (} − z)
→ ( , ) ∈ (} − z)∗
→ (}∗
− z∗
) ⊂ (} − z)∗
Se concluye que: (} − z)∗
= }∗
− z∗
23)
' = {2,3,8,9) ; - = {4,6,7}
- ' = {(4,2), (4,3), (4,8), (4,9), (6,2), (6,3), (6,8), (6,9), (7,2),
(7,3),(7,8),(7,9)}
' - = {(2,4), (2,6), (2,7), (3,4), (3,6), (3,7), (8,4), (8,6), (8,7),
(9,4),(9,6),(9,7)}
Buscar R1: y R2
R1 ={(3,7)}
}( R1 ) = 7
R2 ={(4,8),(4,9),(6,8), (6,9), (7,8),(7,9)}

D( R2 )= {4,6,7}
R( R1 ) U D(R2)={4,6,7}
24)
} ⊂ ' '
} ⊂ ' '
6 = {( , ) / ∈ '}
6(') ⊂ } ; 6(') ⊂ } y”
6 = 6(')
a) 6 ⊂ } ∧ 6 ⊂ } → 6 ⊂ (} 3} ) ∧ 6 ⊂ (} ∩ } )
i) 6 ⊂ } ∧ 6 ⊂ } → 6 ⊂ (} 3} )
( , ) ∈ 6
→ ( , ) ∈ (6 ∨ 6)
→ ( , ) ∈ 6 ∨ ( , ) ∈ 6
→ ( , ) ∈ 6(') ∨ ( , ) ∈ 6(')
→ ( , ) ∈ } ∨ ( , ) ∈ }
→ ( , ) ∈ (} ∨ } )
→ ( , ) ∈ (} 3 } )
6 ⊂ } ∧ 6 ⊂ } → 6 ⊂ (} 3} )
ii) 6 ⊂ } ∧ 6 ⊂ } → 6 ⊂ (} ∩ } )
( , ) ∈ 6
→ ( , ) ∈ (6 ∧ 6)
→ ( , ) ∈ 6 ∧ ( , ) ∈ 6
→ ( , ) ∈ 6(') ∧ ( , ) ∈ 6(')

→ ( , ) ∈ } ∧ ( , ) ∈ }
→ ( , ) ∈ (} ∧ } )
→ ( , ) ∈ (} ∩ } )
6 ⊂ } ∧ 6 ⊂ } → 6 ⊂ (} ∩ } )
Por tanto:
6 ⊂ } ∧ 6 ⊂ } → 6 ⊂ (} 3} ) ∧ 6 ⊂ (} ∩ } )
2.) ( , ) ∈ ( } 3}∗) → ( , ) ∈ ( } 3}∗)
Sea ( , ) ∈ ( } 3}∗)
→ ( , ) ∈ } ∨ ( , ) ∈ }∗
→ ( , ) ∈ } ∨ ( , ) ∈ }
→ ( , ) ∈ }∗
∨ ( , ) ∈ }
→ ( , ) ∈ } ∨ ( , ) ∈ }∗
→ ( , ) ∈ ( } ∨ }∗)
→ ( , ) ∈ ( } 3 }∗)
( , ) ∈ ( } 3}∗) → ( , ) ∈ ( } 3}∗)
25)
' = {1,2,3}
} − − − −QR‡ˆR ‰N9 ; z − − − −M‰•éLQ‰H9
y − − − −LQ90M‰L‰N9
} = {(1,1), (2,3), (9. 2), (3, :)}
z = {(1,3), (H, S)}
y = {(3, R), (2,3)}
(: − 9) + (H − S) + R =?
Reflexiva:

' = {1,2,3}
} = {(1,1), (2,3), (9. 2), (3, :)}
MR SRSKHR TKR: 9 = 2 ; : = 3
Simétrica:
z = {(1,3), (H, S)}
Se deduce que: c=3 ; d=1
Transitiva:
' = {1,2,3}
AxA ={(1,1),(1,2),(1,3), (2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}
(2,2) ∧ (2,3) → (2,3) ∈ y
(3,1)) ∧ (1,3) → (3,3) ∈ y
y = {(3, R), (2,3)}
Se deduce que: e=3
Por tanto: (: − 9) + (H − S) + R =?
(: − 9) + (H − S) + R = (3 − 2) + (3 − 1) + 2
(: − 9) + (H − S) + R = 1 + 2 + 3
(: − 9) + (H − S) + R = 6
26)

' = {2,4,5,6}
AxA ={(2,2),(2,4),(2,5),(2,6),(4,2),(4,4),(4,5),(4,6),(5,2),(5,4),(5,5),
(5,6),(6,2),(6,4),(6,5),(6,6)}
} = {( , )/ + 1 = }
} = {( , )/ ≤ }
} = {( , )/ ≠ }
Se obtienen las relaciones } , } , } :
} = {(2,2), (2,4), (2,5), (2,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,5), (5,6), (6,6)}
} = {(4,5), (5,6) }
} ={(2,4),(2,5),(2,6),(4,2),(4,5),(4,6),(5,2),(5,4),(5,6),(6,2),(6,4),(6,5)}
a) ( } ∩ } ) ⊂ }
} ∩ } = {(5,6)}
(5,6) ∈ }
( } ∩ } ) ⊂ } − − − − − − − (p)
b) } 0I RM M‰•éLQ‰H9
Para todos los elementos de } :
( , ) ∈ } → ( , ) ∈ }
} 0I RM M‰•éLQ‰H9 − − − − − (X)
c) } 3} RM K09 QRˆ9H‰ó0 SR RTK‰N9ˆR0H‰9
Debe ser:
} = {(2,2), (2,4), (2,5), (2,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,5), (5,6), (6,6)}
} = { (2,4),(2,5),(2,6),(4,2),(4,5),(4,6),(5,2),(5,4),(5,6),(6,2),(6,4),(6,5)}
} 3} ={(2,2),(2,4),(2,5),(2,6),(4,2),(4,4),(4,5),(4,6),(5,2),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,2),(6,4),(6,5), (6,6)}
Reflexiva:
' = {2,4,5,6}
(2,2), (4,4), (5,5),(6,6) ∈ } → QR‡ˆR ‰N9 } 3}
Simétrica:
De } 3} , MR WKRSR 9WQRH‰9Q TKR:
( , ) ∈ } 3} → ( , ) ∈ } 3}
} 3} → M‰•éLQ‰H9
Transitiva:
(2,2) ∈ } 3} ∧ (2,4) ∈ } 3} → (2,4) ∈ } 3}
(2,4) ∈ } 3} ∧ (4,2) ∈ } 3} → (2,2) ∈ } 3}
(4,5) ∈ } 3} ∧ (5,2) ∈ } 3} → (4,2) ∈ } 3}
Se cumple lo realizado para los demás elementos
} 3} → LQ90M‰L‰N9
Por tanto:
} 3} − − − −RM SR RTK‰N9ˆR0H‰9

27)
' = {9, :, H, S}
} = {(9, 9), (9, :), (:, :), (:, H), (H, H), (9, H), (S, S)}
z = {(9, 9), (9, :), (:, 9), (:, H), (H, :), (H, H), (S, S)}
y = {(9, 9), (9, :), (:, :), (H, H), (H, S), (S, S)}
3 = {(9, 9), (9, :), (:, 9), (:, :), (H, H), (H, S), (S, H), (S, S)}
• = QR‡ˆR ‰N9M ; W = M‰•éLQ‰H9M; T = LQ90M‰L‰N9M
Se tiene en:
} − − − − − • = 1
T ------------- m=1
U -------------- m= 1
Por tanto: m= 3
Se tiene en:
S ------------------ p=1
U ----------------- p=1
Por tanto: p =2
Se tiene en:
R -------------------q=1
T ------------------- q= 1
U ------------------- q=1
q = 3
28)

y = {( , ) ∈ Œ Œ / ( ) RM W9Q}
a) T es reflexiva?
y = {− −
−−. (0,0), (1,2), (2,1), (1,4), (4,1), (1,6), (6,1), (2,2), (2,3), (3,2),
(3,4),(4,3),-----------}
Para que sea reflexiva se debe cumplir:
Z= { ------,-1,0,1,2,3,4,5,6, -------|
(1,1) ∉ y
(3,3) ∉ y
y − − − −RM QR‡ˆR ‰N9 − − − − − − − −(X)
b)
Para que sea simétrica debe cumplir:
De:
y = {(1,2), (2,1), (1,4), (4,1), (1,6), (6,1), (2,2), (2,3), (3,2),
(3,4),(4,3),-----------}
Se puede observar que se cumple:
( , ) ∈ y → ( , ) ∈ y
y − − − −RM M‰•éLQ‰H9 − − − − − −(p)
d) Para ser transitiva se cumple:

(2,1) ∈ y ∧ (1,4) ∈ y → (2,4) ∉ y
(2,1) ∈ y ∧ (1,6) ∈ y → (2,6) ∉ y
y − − − −RM LQ90M‰L‰N9 − − − − − (X)
29)
' = {W, T, Q}
• = { } ⊂ ' ' / R es simétrica en A}
p = { } ⊂ ' ' / R es reflexiva en A}
a) {(p,q), (q,p)} ⊂ •
AxA ={(p,p),(p,q),(p,r),(q,p),(q,q),)q,r),(r,p),(r,q),(r,r)}
• = { } ⊂ ' ' / R es simétrica en A} , se tiene que:
( , ) ∈ • → ( , ) ∈ •
Sea R={(p,p), (p,q),(q,p)} --------simétrica
} ⊂ ' ' = •
T= {(p,q), (q,p)} → ( , ) ∈ y → ( , ) ∈ y
T -----------simétrica
y ⊂ } ⊂ ' '
y ⊂ •

Por tanto: {(p,q), (q,p)} ⊂ • − − − − − (p)
B) {(p,r), (r,p)} ∈ •
Como • = } ⊂ ' '
Sea:
• = } ⊂ ' ' = {(p, r), (q, p), (q, q), )q, r), (r, p)}
{(p,r), (r,p)} ∈ •
{(p,r), (r,p)} ∈ • − − − − − −(p)
30)
' ≠ ∅
a) Si R es reflexiva, entonces D(R)= Ran (R )
Como R ----reflexiva:
∀ ∈ ' → ( , ) ∈ }
6(}) = ' }90(}) = '
→ 6(}) = }90(}) − − − − − (p)
b) Si R es simétrica y transitiva, entonces R es reflexiva
Si R ------simétrica------- (x,y) ∈ } → ( , ) ∈ }, ∀( , ) ∈ }
Si R es transitiva:

Sea A= {a,b,c}
AxA= {(a,a),)a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b).(c,c)}
Una relación R que sea transitiva y simétrica es:
} = {(9, 9), (9, H), (H, 9)}
(:, :) ∉ → } 0I RM QR‡ˆR ‰N9
Si R es simétrica y transitiva, entonces R es reflexiva --------(F)
c) R={(a,a),(a,c),(b,b),(c,c),(c,a),(d,d)} para A= {a,b,c,d} es de
equivalencia.
Para que sea de equivalencia debe cumplir: reflexiva,
simétrica y transitiva.
Se tiene que para: ∀ ∈ ' → ( , ) ∈ '
} − − − − − −QR‡ˆR ‰N9
Si: (9, H) ∈ } → (H, 9) ∈ } , } RM M‰•éLQ‰H9
Para que sea transitiva, debe cumplir:
R={(a,a),(a,c),(b,b),(c,c),(c,a),(d,d)}
(9, H) ∈ } ∧ (H, 9) ∈ } → (9, 9) ∈ } − − − p
} − − − − − LQ90M‰L‰N9
Por tanto:
R={(a,a),(a,c),(b,b),(c,c),(c,a),(d,d)} para A= {a,b,c,d} es de
equivalencia. -----------------------------(V)
31)

' → + RˆR•R0LIM
a) Si R es reflexiva en A
∀ ∈ ' → ( , ) ∈ }
6(}) = ' }90(}) = '
R es reflexiva en A → 6(}) = }90(}) − − − − − (p)
b) R reflexiva en A → 0(}) ≥ +
0(') = +
R reflexiva en A → 0(}) = 0(') = +
R reflexiva en A → 0(}) ≥ + -----------------(V)
c) R es simétrica en A → } = }∗
De cumplirse:
Como ∀ ( , ) ∈ }, ( , ) ∈ } → ( , ) ∈ }
R ={(x,y) ∈ ' - / ( , ) ∈ }}
}∗
= {(y, x) ∈ - ' / ( , ) ∈ }}
R es simétrica en A → } = }∗
----------------(V)
32)

Sea ;
A= {1,2,3,4,5,6,-------,n}
(1,1) ∉ z ; (3,3) ∉ z ; (5,5) ∉ z ; … ….
a) Se puede apreciar que S no es reflexiva en N
S es reflexiva en N---------(F)
b) S es simétrica en N
(x,y) ∈ } → RM W9Q
(y,x) ∈ } → RM W9Q
S es simétrica en N ----------------(V)
c) S es transitiva en N
Si se analizar dos pares:
(3,5) ∈ z ∧ (5,1) ∈ z → (3,1) ∉ z (impar)
S es transitiva en N -------------------------(F)
33)
} QRˆ9H‰ó0 R0 '; } ⊂ ' '
A) R es reflexiva → } RM LQ90M‰L‰N9
R es reflexiva

→ ∀ ∈ ' → ( , ) ∈ }
(9, 9)‘ } ∧ (:, :) ∈ } → ∄ (9, H) ∈ }
R es reflexiva → } RM LQ90M‰L‰N9 − − − − − (X)
b) R es reflexiva → } RM M‰•éLQ‰H9
--simétrica
R es reflexiva
→ ∀ ∈ ' → ( , ) ∈ }
Como ∀( , ) ∈ } → ( , ) ∈ }
R es reflexiva → } RM M‰•éLQ‰H9 ----------------------(V)
c) R reflexiva y simétrica → LQ90M‰L‰N9
Considerando a:
R= {(a,a),(b,b),(c,c) (a,c),(c,a)}
(9, H) ∈ } ∧ (H, 9) ∈ } → (9, 9) ∈ } − − − p
(9, 9) ∈ } ∧ (9, H) ∈ } → (9, H) ∈ } − − − p
R reflexiva y simétrica → LQ90M‰L‰N9 --------------------(V)
34)
' = {1,2,3,4}
} = {(2,2), (2,1), (1,1), (4,4), (3, “), ( , ), ( , “), (2,3), (“, ), (3,1)}
R es de equivalencia en A:

De la condición de reflexiva:
(3,3) = (3, “) ; “ = 3
} =
{(2,2), (2,1), (1,1), (4,4), (3,3), ( , ), ( , 3), (2,3), (3, ), (3,1)}
Como es simétrica:
(2,1) ∈ } → (1,2) = ( , ) ∈ }
= 1 ; = 2
} = {(2,2), (2,1), (1,1), (4,4), (3,3), (1,2), (1,3), (2,3), (3,2), (3,1)}
Se verifica que R sea transitiva:
(2,1) ∈ } ∧ (1,1) ∈ } → (2,1) ∈ } − − − p
(2,1) ∈ } ∧ (1,2) ∈ } → (2,2) ∈ } − − − p
(1,2) ∈ } ∧ (2,2) ∈ } → (1,2) ∈ } − − − p
(1,2) ∈ } ∧ (2,1) ∈ } → (1,1) ∈ } − − − p
(1,3) ∈ } ∧ (3,3) ∈ } → (1,3) ∈ } − − − p
(1,3) ∈ } ∧ (3,2) ∈ } → (1,2) ∈ } − − − p
(2,3) ∈ } ∧ (3,2) ∈ } → (2,2) ∈ } − − − p
(2,3) ∈ } ∧ (3,3) ∈ } → (2,3) ∈ } − − − p
(2,3) ∈ } ∧ (3,1) ∈ } → (2,1) ∈ } − − − p
(3,2) ∈ } ∧ (2,2) ∈ } → (3,2) ∈ } − − − p
(3,2) ∈ } ∧ (2,1) ∈ } → (3,1) ∈ } − − − p
(3,2) ∈ } ∧ (2,3) ∈ } → (3,3) ∈ } − − − p
(3,1) ∈ } ∧ (1,1) ∈ } → (3,1) ∈ } − − − p
(3,1) ∈ } ∧ (1,2) ∈ } → (3,2) ∈ } − − − p
(3,1) ∈ } ∧ (1,3) ∈ } → (3,3) ∈ } − − − p

De ; 3x+2y-z=
= 3(1)+2(2)-3
= 4
35)
' = {1,2,3,4,5}
i) ∀ ∈ ' , ( , ) ∈ }
ii) z‰ ( ( , ) ∈ } → ( , ) ∈ }
Si } = {(1,1), (3,2), (2,2), (5,5), (4,2), (4,4), (3,4), (3, ), ( , ), (“, ),
(z,y)}
Por hipótesis la relación R es reflexiva y simétrica, por
tanto:
} = {(1,1), (3,2), (2,2), (5,5), (4,2), (4,4), (3,4), (3, ), ( , ), (“, ),
(z,y)}
(3, ) = (3,3); = 3
} = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (3,2), (3,4), (4,2), ( , 3), (“, 3),
(z,y)}
Como es simétrica también, se tiene que:
(3,2) = ( , 3) ; = 2
} = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (3,2), (3,4), (4,2), (2,3), (“, 3),
(z,2)}
(3,4) = (“, 3) ; “ = 4
} = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (3,2), (2,3), (3,4), (4,3), (4,2),
(4,2)}

Se verifica si: ( , ) ∈ } ∧ ( , “) ∈ } → ( , “) ∈ }
Para x= 3 , y =2 , z= 4 ----no satisface
(2,3) ∈ } ∧ (3,4) ∈ } → (2,4) ∈ } − − − X
Consideremos ahora:
} = {(1,1), (3,2), (2,2), (5,5), (4,2), (4,4), (3,4), (3,3), ( , ), (“, ),
(z,y)}
= 3
} = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (3,2), (3,4), (4,2), ( , 3), (“, 3),
(z,y)}
Como es simétrica también, se tiene que:
(3,2) = (“, 3) ; “ = 2
} = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (3,2), (3,4), (4,2), ( , 3), (2,3),
(2,y)}
(3,4) = ( , 3) ; = 4
} = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (2,3), (2,4), (3,2), (3,4), (4,2), (4,3)}
(2,3) ∈ } ∧ (3,2) ∈ } → (2,3) ∈ }
(2,3) ∈ } ∧ (3,4) ∈ } → (2,4) ∈ }
(2,3) ∈ } ∧ (3,3) ∈ } → (2,3) ∈ }
(2,4) ∈ } ∧ (4,4) ∈ } → (2,4) ∈ }
(2,4) ∈ } ∧ (4,2) ∈ } → (2,2) ∈ }
(2,4) ∈ } ∧ (4,3) ∈ } → (2,3) ∈ }
(3,2) ∈ } ∧ (2,2) ∈ } → (3,2) ∈ }
(3,2) ∈ } ∧ (2,3) ∈ } → (3,3) ∈ }
(3,4) ∈ } ∧ (4,4) ∈ } → (3,4) ∈ }
(3,4) ∈ } ∧ (4,2) ∈ } → (3,2) ∈ }
(3,4) ∈ } ∧ (4,3) ∈ } → (3,3) ∈ }

(4,2) ∈ } ∧ (2,2) ∈ } → (4,2) ∈ }
(4,2) ∈ } ∧ (2,4) ∈ } → (4,4) ∈ }
(4,3) ∈ } ∧ (3,3) ∈ } → (4,3) ∈ }
(4,3) ∈ } ∧ (3,2) ∈ } → (4,2) ∈ }
(4,3) ∈ } ∧ (3,4) ∈ } → (4,4) ∈ }
Por tanto:
( , ) ∈ } ∧ ( , “) ∈ } → ( , “) ∈ } − − − HK•WˆR W9Q9
= 3, = 4 , “ = 2
36)
Sea
} =
(−1, −1), (1,1), (2,2), (3,3), (1,6), (6,1), (−1, −6),
(−6, −1)}
”
a) R es reflexiva:
Como: ∀ ∈ * → ( , ) ∈ } − − − MR HK•WˆR
R es reflexiva ---------------------(V)
b) R es simétrica
Se cumple que: ∀( , ) ∈ }, ( , ) ∈ } → ( , ) ∈ }
R es simétrica -------------------(V)
c) R es transitiva:
(1,6) ∈ } ∧ (6,1) ∈ } → (1,1) ∈ }
(6,1) ∈ } ∧ (1,1) ∈ } → (6,1) ∈ }
(−1, −6) ∈ } ∧ (−6, −1) ∈ } → (−1,1) ∈ }

R es transitiva -----------------------(V)
Como son verdaderas: (a), (b),(c):
d.) R es de equivalencia -----------(V)
37)
' = {1,2,3,4,5}
} = {(1,3), (2,4), (3,5), (1,1), (2,2), (4,2), (3,1)}
y = {( , )/ ( , ) ∈ }}
a) R es transitiva pero no simétrica
} = {(1,1), (1,3), (2,2), (2,4), (3,1), (3,5), (4,2)}
Se tiene que el elemento”
(3,5) ∈ } → (5,3) ∉ }
} − − − 0I RM M‰•éLQ‰H9
(1,3) ∈ } ∧ (3,1) ∈ } → (1,1) ∈ }
(1,3) ∈ } ∧ (3,5) ∈ } → (1,5) ∉ }
} − − − −0I LQ90M‰L‰N9
R es transitiva pero no simétrica ----------------(F)
b) } ∩ y = {(1,1), (2,3)}
y = {( , )/ ( , ) ∈ }}
y = {(3,1),(4,2),(5,3),(1,1),(2,2),(2,4),(1,2)}
} ∩ y {(1,1), (2,2)}
} ∩ y = {(1,1), (2,3)} − − − − − (X)
c) D(R) -D( T) ≠ ∅
6(}) = {1,2,3,4}
6(y) = {1,2,3,4,5}
6(}) − 6(y) = ∅

Por tanto:
D(R) -D( T) ≠ ∅ − − − − − −(X)
38)
R1 ={(x,y) / x-y = 3k , k ∈ Œ}
Si R1 es reflexiva:
∀ ∈ Œ → ( , ) ∈ }
→ ; − = 0 − − − −HI0S‰H‰ó0 SR WRQLR0R0H‰9 W9Q9 R1
x-x = 3(0) , 0 ∈ Œ
( , ) ∈ }
} − − − −QR‡ˆR ‰N9
Si Si R1 es simétrica:
∀( , ) ∈ }, ( , ) ∈ } → ( , ) ∈ }
Si: − = 3+
→ − = − 3(+)
→ − = 3(−+), −+ ∈ Œ
→ ( , ) ∈ }
( , ) ∈ } → ( , ) ∈ }
} − − − −M‰•éLQ‰H9

( , ) ∈ } ∧ ( , “) ∈ } → ( , “) ∈ }
→ − = 3+
− “ = 3+
→ − “ = 3 (+ + + ), (+ + + ) ∈ Œ
→ − “ = 3 (+ ), + ∈ Œ
→ ( , “) ∈ } -------cumple con la condición de R
} RM LQ90M‰L‰N9
} 0I RM LQ90M‰L‰N9 − − − − − − − − − (X)
b) } RM QR‡ˆR ‰N9 WRQI 0I M‰•éLQ‰H9
R2 ={(x,y) / x+y = 2h , h ∈ Œ}
Si R2 es reflexiva:
∀ ∈ Œ → ( , ) ∈ }
→ + = 2ℎ
→ + = 2ℎ , ℎ ∈ Œ
x = h
(ℎ, ℎ) ∈ }
} − − − −QR‡ˆR ‰N9
Si es que es simétrica? :
∀( , ) ∈ }, ( , ) ∈ } → ( , ) ∈ }
→ ( , ) ∈ }
→ + = 2ℎ
→ + = 2ℎ
→ ( , ) ∈ }

} − − − −M‰•éLQ‰H9
Es transitiva?
( , ) ∈ } ∧ ( , “) ∈ } → ( , “) ∈ }
→ + = 2ℎ
+ “ = 2ℎ
→ − “ = 2(ℎ − ℎ )
→ + (−“) = 2(ℎ )
→ ( , “) ∈ }
Se concluye que:
} RM QR‡ˆR ‰N9 WRQI 0I M‰•éLQ‰H9 − − − −(X)
c) } RM QR‡ˆR ‰N9 M‰•éLQ‰H9
R3 ={(x,y) / x ≤y , x,y ∈ Œ}
Es reflexiva?
∀ ∈ Œ → ( , ) ∈ }
→ ≤
≥ ; x=y
→ ( , ) ∈ }
} − − − − − QR‡ˆR ‰N9
Es simétrica?
∀( , ) ∈ }, ( , ) ∈ } → ( , ) ∈ }
→ ( , ) ∈ }
→ ≤

→ ≥
→ ≰
( , ) 0I RM ∈ }
} − − − − − 0I RM M‰•éLQ‰H9
ES TRANSITIVA?
( , ) ∈ } ∧ ( , “) ∈ } → ( , “) ∈ }
→ ≤ ∧ ≤ “
→ ≤ “
→ ( , “) ∈ }
} − − − − − RM LQ90M‰L‰N9
} RM QR‡ˆR ‰N9 M‰•éLQ‰H9----------------------------(F)
d) } } MI0 SR RTK‰N9ˆR0H‰9
W9Q9 TKR MR90 SR RTK‰N9ˆR0H‰9, SR:R0 MRQ: QR‡ˆR ‰N9, M‰•éLQ‰H9
LQ90M‰L‰N9.
} → –
QR‡ˆR ‰N9
M‰•éLQ‰H9
LQ90M‰L‰N9
→ SR RTK‰N9ˆR0H‰9
} → –
QR‡ˆR ‰N9
M‰•éLQ‰H9
LQ90M‰L‰N9
→ SR RTK‰N9ˆR0H‰9
} } MI0 SR RTK‰N9ˆR0H‰9 − − − − − − − − − −(p)

39)
Es una relación de equivalencia ?
a) Es reflexiva?
∀ ∈ }„
→ ( , ) ∈ }„
→ ( , ) ∈ }„
→ √ + √ = 1
→ 2 √ = 1
→ 4 = 1
→ =
"
-------- cumple para un solo elemento
→ } 0I RM QR‡ˆR ‰N9 WIQ L90LI:
} − − − − − 0I RM SR RTK‰N9ˆR0H‰9
40)
Es reflexiva, simétrica y transitiva ?
˜ = {1,2,3,4, − − − − − −}
R ={(x,y) / x S‰N‰SR 9 }
a) Reflexiva?

= + , + ∈ Œ„
∀ ∈ ˜ → ( , ) ∈ }
→ ( , ) ∈ }
→ = + = 1
→ ( , ) ∈ }
} − − − − − QR‡ˆR ‰N9
b) Simétrica?
∀( , ) ∈ }, ( , ) ∈ } → ( , ) ∈ }
( , ) ∈ }
→ = + − − − (R0LRQI)
→ ≠ +
→ ( , ) ∉ }
} − − − − − 0I RM M‰•éLQ‰H9
c) Transitiva?
( , ) ∈ } ∧ ( , “) ∈ } → ( , “) ∈ }
→ = +
→
™
= +
→ .
™
= + . +
→
™
= + ; + ∈ Œ„
→ ( , “) ∈ }
} − − − − − RM LQ90M‰L‰N9

41)
Encuentre los pares ordenados que cumplan con la siguiente relación:
( , ) ∈ - ' ; ∈ - ∧ ∈ '
De: 2 + ≤ 6
≤ 6 − 2
Con x= 1:
≤ 6 − 2
≤ 4
→ (1,2), (1,4)
x= 2:
≤ 6 − 2(2)
≤ 2
→ (2,2)
x= 3:
≤ 6 − 2(3)
≤ 0
→ 0I MR L‰R0R0 W9QRM
x= 5:
≤ 6 − 2(5)
≤ −4
→ 0I MR L‰R0R0 W9QRM
Por tanto:
} = {(1,2), (1,4), (2,2)}

42)
' = {1,2,3,4} ; - = {1,3,5}; } ⊂ ' -
( , ) ∈ } ↔ <
a) 6(}) ∩ 6(}∗) = ∅
AXB= {(1,1),(1,3),(1,5),(2,1),(2,2),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5)}
} = {(1,3), (1,5), (2,5), (3,5), (4,5)}
}∗
= {(3,1), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4)}
6(}) = {1,2,3,4}
6(}∗) = {3,5}
6(}) ∩ 6(}∗) = {3}
6(}) ∩ 6(}∗) = ∅ − − − − − −(X)
b) } ∪ }∗
L‰R0R 10 RˆR•R0LIM
} ∪ }∗
=
{(1,3), (3,1), (1,5), (5,1), (5,2)(2,5), (3,5), (5,3), (4,5), (5,3)}
0(} ∪ }∗) = 10
} ∪ }∗
L‰R0R 10 RˆR•R0LIM − − − −(p)
c) La relación T definida en B por:
( , ) ∈ y ↔ ∃ M ∈ ' / ( , M) ∈ }∗
∧ (M, ) ∈ }
- = {1,3,5}
' = {1,2,3,4}
} = {(1,3), (1,5), (2,5), (3,5), (4,5)}
}∗
= {(3,1), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4)}

y = - - = {(1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)}
De:
∃ M ∈ ' / ( , M) ∈ }∗
∧ (M, ) ∈ }
∃ M ∈ ' / (M, ) ∈ } ∧ (M, ) ∈ }
Se tiene que: ∃ 1 ∈ ' → (1,3) ∈ } ∧ (1,5) ∈ }
→ (3,5) ∈ y
Por tanto:
a) La relación T definida en B por:
( , ) ∈ y ↔ ∃ M ∈ ' ( , M) ∈ }∗
∧ (M, ) ∈ } − − − −(p)
43)
' = {2,3,5,8,10,12}
} = {( , ) ∈ ' ' / RM K0 0ú•RQI W9Q RM K0 •úˆL‰WˆI SR }
(2,2),(2,3),(2,5),(2,8), (2,10),(2,12)
(3,2),(3,3),(3,5),(3,8), (3,10),(3,12)
(5,2),(5,3),(5,5),(5,8), (5,10),(5,12)
(8,2),(8,3),(8,5),(8,8), (8,10),(8,12)
(10,2),(10,3),(10,5),(10,8), (10,10),(10,12)
(12,2),(12,3),(12,5),(12,8), (12,10),(12,12)
} = {(2,2), (8,2), (8,8), (10,10), (10,2), (10,5), (12,2), (12,3), (12,12)}
} = {( , ) ∈ ' ' / = 2 + 2}
} = {(8,3), (12,5)}

a) } L‰R0R 9 RˆR•R0LIM
0(} ) = 9
} L‰R0R 9 RˆR•R0LIM − − − − − (p)
b) } ∩ } = ∅
} ∩ } = ∅ ------no tienen elementos comunes
} ∩ } = ∅ − − − − − −(p)
c) } L‰R0R 5 RˆR•R0LIM
0(} ) = 2
} L‰R0R 5 RˆR•R0LIM − − − − − (X)
d) } 0I RM M‰•éLQ‰H9 } RM LQ90M‰L‰N9
Simétrica?
∀( , ) ∈ }, ( , ) ∈ } → ( , ) ∈ }
} = {(2,2), (8,2), (8,8), (10,10), (10,2), (10,5), (12,2), (12,3), (12,12)}
(8,2) ∈ } → (2,8) ∉ }
} 0I RM M‰•éLQ‰H9
Transitiva:
} = {(8,3), (12,5)}
( , ) ∈ } ∧ ( , “) ∈ } → ( , “) ∈ }
} 0I RM LQ90M‰L‰N9
} 0I RM M‰•éLQ‰H9 } RM LQ90M‰L‰N9 --------(F)
44)

De: + 3 = 12, MR SRMWRJ9 ,
= 12 − 3
Se intercambia x por y: y= 12-3x
}∗
= }!
= {( , ) ∈ } } / = 12 − 3 }
45)
R debe cumplir: reflexiva, simétrica y transitiva
a) Reflexiva:
A= {a,b,c,d}
D(A) ⊂ } }
Se obtiene D(A) = {(a,a),(b,b),(c,c),)d,d)}
→ D(A) ⊂ } }
→ } − − − − − RM QR‡ˆR ‰N9
b) Simétrica:
(9, H) ∈ } → (H, 9) ∈ }
(:, S) ∈ } → (S, :) ∈ }
→ } − − − − − RM M‰•éLQ‰H9
c) Transitiva:
(9, H) ∈ } ∧ (H, H) ∈ } → (9, H) ∈ }
(9, H) ∈ } ∧ (H, 9) ∈ } → (9, 9) ∈ }
(H, 9) ∈ } ∧ (H, H) ∈ } → (H, 9) ∈ }
(H, 9) ∈ } ∧ (9, H) ∈ } → (H, H) ∈ }

(:, S) ∈ } ∧ (S, S) ∈ } → (:, S) ∈ }
(:, S) ∈ } ∧ (S, :) ∈ } → (:, :) ∈ }
(S, :) ∈ } ∧ (:, :) ∈ } → (S, :) ∈ }
(S, :) ∈ } ∧ (:, S) ∈ } → (S, S) ∈ }
→ } − − − − − RM LQ90M‰L‰N9
Por (a), (b) y (c):
→ } − − − − − RM SR RTK‰N9ˆR0H‰9
46)
a) R ={(x,y) ∈ ' '/ x +y > 0}
' = {1,2,3,4,5,6}
Reflexiva?
∀ ∈ ' → ( , ) ∈ } , ∈ *
→ + > 0
→ } − − − −QR‡ˆR ‰N9
Simétrica?
∀ ( , ) ∈ }, ( , ) ∈ } → ( , ) ∈ }
→ + > 0
→ + > 0
→ ( , ) ∈ }
→ } − − − −M‰•éLQ‰H9
Transitiva?
R={ (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
( , ) ∈ } ∧ (y,z) ∈ } → ( , “) ∈ }
→ + > 0 ∧ + “ > 0
+ > 0 → > 0
→ > 0
+ “ > 0 → > 0
→ “ > 0
→ + “ > 0
( , “) ∈ }
→ } − − − RM SR RTK‰N9ˆR0H‰9
b) R ={(x,y) ∈ ' '/ x −y < 2}
' = {1,2,3,4,5,6}
Reflexiva?
∀ ∈ ' → ( , ) ∈ } , ∈ *
→ − < 2
→ 0 < 2
→ ( , ) ∈ }
→ } − − − −QR‡ˆR ‰N9
Simétrica?

∀ ( , ) ∈ }, ( , ) ∈ } → ( , ) ∈ }
→ − < 2
→ − > 2
→ ( , ) ∉ }
→ } − − − −0I M‰•éLQ‰H9
Como no es simétrica → } − − − −0I LQ90M‰L‰N9
Por tanto:
→ } − − − −RM QR‡ˆR ‰N9
c) R ={(x,y) ∈ ' '/ x ≤ }
' = {1,2,3,4,5,6}
Reflexiva?
∀ ∈ ' → ( , ) ∈ } , ∈ *
→ ≤
→ ( , ) ∈ }
→ } − − − −QR‡ˆR ‰N9
Simétrica?
∀ ( , ) ∈ }, ( , ) ∈ } → ( , ) ∈ }
→ ≤
→ ≥ es equivalente a ≤
→ ( , ) ∈ }
→ } − − − − M‰•éLQ‰H9
Transitiva?
( , ) ∈ } ∧ (y,z) ∈ } → ( , “) ∈ }
→ ≤ ∧ ≤ “
+ ≤ + “
→ ≤ “

→ ( , “) ∈ }
→ } − − − − LQ90M‰L‰N9
Luego:
→ } − − − −RM SR RTK‰N9ˆR0H‰9
47)
' = {1,2,3,4, − − −−}
R ={(x,y) ∈ * */ +x = + }
} = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), − − −}
Reflexiva?
∀ ∈ ' → ( , ) ∈ } , ∈ *
→ +x = +
→ ( , ) ∈ }
→ } − − − −QR‡ˆR ‰N9
Simétrica?
∀ ( , ) ∈ }, ( , ) ∈ } → ( , ) ∈ }
→ +x = +
→ + = +x
→ ( , ) ∈ }
→ } − − − − M‰•éLQ‰H9
Transitiva?
( , ) ∈ } ∧ (y,z) ∈ } → ( , “) ∈ }

→ +x= + ∧ + = “ + “
→ + x = “ + “
→ ( , “) ∈ }
→ } − − − − LQ90M‰L‰N9
Por tanto:
} − − − − RM SR RTK‰N9ˆR0H‰9
48)
A={1,2,3,4}
AxA={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),
(4,2),(4,3),(4,4)}
R ={(x,y) ∈ ' '/ x= ∨ + = 3}
} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3), (4,4)}
Reflexiva?
∀ ∈ ' → ( , ) ∈ }
→ = ∨ + = 3
→ ( , ) ∈ }
→ } − − − −QR‡ˆR ‰N9
Simétrica?
∀ ( , ) ∈ }, ( , ) ∈ } → ( , ) ∈ }
→ = ∨ + = 3
→ = ∨ + = 3
→ ( , ) ∈ }
→ } − − − − M‰•éLQ‰H9
Transitiva?

} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3), (4,4)}
( , ) ∈ } ∧ (y,z) ∈ } → ( , “) ∈ }
→ ( = ∨ + = 3 ) ∧ ( = “ ∨ + “ = 3 )
De: (A ∨ -) ∧ (' ∨ 6)
' ∨ ( - ∧ 6)
→ ( = “ ∨ ( 2 = 3 ∧ 2 = 3 ))
→ ( = “ ∨ 2 = 3 )
→ ( = “ ∨ + = 3 )
→ ( = “ ∨ + “ = 3)
→ ( , “) ∈ }
→ } − − − − LQ90M‰L‰N9
Luego: → } − − − − SR RTK‰N9ˆR0H‰9
49)
U ={(x,y) ∈ Œ„
/ x impar ∧ ≤ 8}
3 = {1,3,5,7}
UxU={(1,1),(1,3),(1,5),(1,7), (3,1),(3,3),(3,5),(3,7),(5,1),(5,3),(5,5),
(5,7),(7,1),(7,2),(7,5),(7,7)}
a) R ={(x,y) ∈ 3 3/ x=3 ∨ = 5}
} = {(3,1), (3,3), (3,5), (3,7), (1,5), (3,5), (5,5), (7,5)}
b) R ={(x,y) ∈ 3 3/ x+y=8}
} = {(1,7), (7,1), (3,5),(5,3)}
c) R ={(x,y) ∈ 3 3/ xy=21}

} = {(3,7), (7,3)}
d) R ={(x,y) ∈ 3 3/ x divide a 20}
Ÿ
= + − − − −R0LRQI
} = {(1,1), (1,3), (1,5), (1,7), ),(5,1),(5,3),(5,5),(5,7)}
50)
La intersección de: }90(}) ∩ 6(z) =?
}: ' → - ; z: - → 1
} ⊂ ' - ; z ⊂ - 1
a) (1,2) ∈ } ∧ (2,3) ∈ z → (1,3) ∈ (zI})
(1,4) ∈ } ∧ (4,7) ∈ z → (1,7) ∈ (zI})
(1,4) ∈ } ∧ (4,1) ∈ z → (1,1) ∈ (zI})
(3,4) ∈ } ∧ (4,1) ∈ z → (3,1) ∈ (zI})
(3,4) ∈ } ∧ (4,7) ∈ z → (3,7) ∈ (zI})
zI } = {(1,1), (1,3), (1,7), (3,1), (3,7)}

b) Ro S=?
La intersección de: }90(z) ∩ 6(}) =?
(1,3) ∈ z ∧ (3,4) ∈ z → (1,4) ∈ (} I z)
(2,3) ∈ z ∧ (3,4) ∈ z → (2,4) ∈ (} I z)
(4,1) ∈ z ∧ (1,2) ∈ z → (4,2) ∈ (} I z)
(4,1) ∈ z ∧ (1,4) ∈ z → (4,4) ∈ (} I z)
} I z = {(1,4), (2,4), (4,2), (4,4)}
51)
A= { ∈ Œ/ ≤ 50 }
‡: ' → Œ / ‡( ) = ( − 1) , ∈ '
Se obtiene que: A={1, 2,3,4,5,6,7}
‡( ) = ( − 1)
‡( ) = ( − 1) = 36
− 1 = ±6
= 7
= −5
→ L‰R0R SIM N9ˆIQRM
La afirmación a) es falsa
c) ‡( + 8) = ‡(− − 8)
( + 8 − 1) = (− − 8 − 1)
( + 7) = (− − 9) = (−( + 9))
+ 14 + 49 = + 18 + 81
−4 = 32
= −8 → ∉ '

La afirmación c) es falsa
b) ‡72 + ‡(0)] = 4
2 + ‡(0) = 2 + (0 − 1)
2 + ‡(0) = 3
‡72 + ‡(0)] = ‡(3)
‡72 + ‡(0)] = ( − 1)
‡72 + ‡(0)] = (3 − 1)
‡72 + ‡(0)] = 4
La afirmación b) es verdadera
52)
Los diagramas sagitales de R1 y R2 son:
‡: ' → *
a) Como 6(} ) = ' ∶ 9 H9S9 RˆR•R0LI SR SI•‰0‰I
Corresponde un elemento del rango
} RM ‡K0H‰ó0
b) No es función, porque a un elemento del dominio le
corresponde dos imágenes del conjunto de llegada

(2,3) (2,5) → 0I RM ‡K0H‰ó0
c.) R3 ={(x,y) / 7y-21x=0, D(} ) = ' = *}
De: 7y-21x=0
= 3
( , ) = ( , 3 )
} = {(1,3), (2,6), (3,9), (4,12), (5,15), − − − − − −}
6(} ) = {1,2,3,4,5,6, − − − −} = * = '
R3 -----------------es función
d.) R4 ={(x,y) / xy+2=35, D(}") = ' = *}
(x,y) = (x, )
}" = ¡(1,33), $2, % , (3,11), $4, "
% , − − −¢
D(}") = ' = *}
R4 -----------------es función
53)
‡: ' → -
a) ∀ 9 ∈ ' , ‡(9) = : ∧ ‡(9) = H → : = H
Para que sea función:

(9, ) ∧ (9, “) ∈ ‡ → = “
→ £9, ‡(9)¤ ∧ (9, ‡(9)) ∈ ‡
→ (9, :) ∧ (9, H) ∈ ‡
→ : = H
∀ 9 ∈ ' , ‡(9) = : ∧ ‡(9) = H → : = H ----------(V)
:) ∀ 9 ∈ ' , ∀ : ∈ ', ‡(9) = ‡(:) → 9 = :
z‰ ; ‡(9) = ‡(:) → 9 ≠ :
∀ 9 ∈ ' , ∀ : ∈ ', ‡(9) = ‡(:) → 9 = : − − − − − −(X)
d.) }90(‡) = {: ∈ - / ∃ 9 ∈ ' , ‡(9) = :}
la definición de rango es:
Se aprecia que .) }90(‡) = {: ∈ - / ∃ 9 ∈ ' , ‡(9) =
:} − − − −HK•WˆR HI0 ˆ9 SR‡‰0‰H‰ó0 SR Q90¥I SR ‡
}90(‡) = {: ∈ - / ∃ 9 ∈ ' , ‡(9) = :} − − − −(p)
e.) 6(‡) ∩ }90(‡) = ∅
Es posible que elementos del Dominio de una función, se
tengan también en el rango, esto dependerá del tipo de funciones que se
den, por lo que se puede concluir que:
6(‡) ∩ }90(‡) = ∅ ----------(F)
54)

‡: * → *
‡( ) = 3 + 2
a) ‡(59 + 7:) = 5 ‡(9) + 7‡(:)
‡(59 + 7:) = 3(59 + 7:) + 2
= 159 + 21: + 2
De:
‡(9) = 39 + 2
5‡(9) = 159 + 10
‡(:) = 3: + 2
7‡(:) = 21: + 14
5 ‡(9) + 7‡(:) = 159 + 21: + 24
‡(59 + 7:) ≠ 5 ‡(9) + 7‡(:)
‡(59 + 7:) = 5 ‡(9) + 7‡(:) − − − −(X)
b) ∀ : ∈ *, ∃9 ∈ * / ‡(9) = :
→ = ‡( )
→ = 3 + 2
→ =
!
→ ∀ : ∈ * , ∄ ∈ *
∀ : ∈ *, ∃9 ∈ * / ‡(9) = : − − − − − (X)
c) ‡7‡(2)] =
¦( §)!
‡( ) = 3 + 2
‡(2) = 3(2) + 2 = 8
‡7‡(2)] = ‡(8) = 3(8) + 2 = 26
‡(17) = 3(17) + 2 = 53
‡(17) − 10 = 53 − 1 = 52

¦( §)!
= 26
Por tanto:
‡7‡(2)] =
¦( §)!
= 26
‡7‡(2)] =
¦( §)!
-------------(V)
d)
¦(¨„©)!¦(¨)
©
= 3 ; : ≠ 0
¦(¨„©)!¦(¨)
©
=
7 (¨„©)„ ]!( ¨„ )
©
=
¨„ ©„ ! ¨!
©
=
©
©
= 3 ; : ≠ 0
¦(¨„©)!¦(¨)
©
= 3 ; : ≠ 0 − − − (p)
→ MI0 NRQS9SRQ9M MIˆ9•R0LR 2 9‡‰Q•9H‰I0RM
55)
‡: V → V
‡( ) = • + : ; f(1)=-2 ; f(3)=1
‡(1) = • + : = −2
‡(3) = 3• + : = 1
→ ¡
−3• − 3: = 6
3• + : = 1
→ −2: = 7 ; : = −7/2
De: • + : = −2
• −
§
= −2 ; • =
§
− 2 =
•. : = $− % $
§
%
•. : = $− "
%

56)
‡: * → *
‡( ) = 2 + 3
a) ∀ ∈ * , ∃ ∈ * /‡( ) =
=
!
Si: = 1 ∈ * → =
!
= −1 ∉ *
∀ ∈ * , ∃ ∈ * /‡( ) = − − − -------(F)
b) ‡(9) = ‡(:) → a=b
‡(9) = 29 + 3
‡(:) = 2: + 3
→ 29 + 3 = 2: + 3
→ 9 = :
‡(9) = ‡(:) → a=b ------------------(V)
c) Si f(ax) =a f(x) y f(b+x)= (b+2)+f(x), ∀ ∈ * → 9 + : = 3
‡(9 ) = 2(9 ) + 3
→ 2(9 ) + 3 = 9(2 + 3)
→ 29 + 3 = 29 + 39
→ 3 = 39
→ 9 = 1
‡(: + ) = 2(: + ) + 3
→ 2: + 2 + 3 = : + 2 + 2 + 3

→ 2: + 3 = : + 5
: = 2
a + b =3
→ ∀ ∈ * → 9 + : = 3 − − − − − −(p)
57)
‡: ' → '
' = {1,2,3,4,5}
a) } = {( , ) ∈ ' / = 4}
= 4 ; (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)
} = { (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)}
Es función si:
(4,1) ∧ (4,2) ∈ } →1 ≠ 2
} = {( , ) ∈ ' / = 4} − − − 0I RM ‡K0H‰ó0
b) } = {( , ) ∈ ' / = 4}
' = {1,2,3,4,5}

= 4 ; (1,4), (2,4), (3,4), (4,4)
} = { (1,4), (2,4), (3,4), (4,4)}
6( } ) = {1,2,3,4}
A cada elemento del conjunto de partida le corresponde un
único elemento del conjunto de llegada.
} = {( , ) ∈ ' / = 4} − − − −RM ‡K0H‰ó0
a) } = {( , ) ∈ ' / + = 6}
' = {1,2,3,4,5}
} = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}
A cada elemento del conjunto de partida le
corresponde un elemento en el conjunto de llegada.
} = {( , ) ∈ ' / + = 6} − − − RM ‡K0H‰ó0
d.) }" = {( , ) ∈ ' / < }

' = {1,2,3,4,5}
}" = {(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}
(1,2) ∧ (1,3) ∈ } →1 ≠ 3
}" = {( , ) ∈ ' / < } − − − 0I RM ‡K0H‰ó0
58)
‡ = {(L − 1, 2L − L )/ L < 0}
= L − 1
= 2L − L
; t=x+1
De ; L < 0
→ + 1 < 0 ; < −1
6(‡) = ] − ∞ , −1 7
Y= f(x) = 2L − L
= 2( + 1) − ( + 1)
= 2 + 2 − − 2 − 1
= 1-
De; < −1
→ > 1
→ − < −1
→ 1 − < 0

→ }(‡) = ] − ∞, 07
59)
‡ − − − −‡K0H‰ó0
(6, 29 + 1) ∧ ( 6,15) → 29 + 1 = 15
29 = 14
9 = 7 → ‡(9) = ‡(7) = 11
6R ˆIM S9LIM: ‡(4) = 9 ; ‡(8) = 20
‡(4) + ‡(9) + ‡(8) = ?
‡(4) + ‡(9) + ‡(8) = 9 +11+20
‡(4) + ‡(9) + ‡(8) = 40
60)
z‰ X RM K09 ‡K0H‰ó0, MR L‰R0R:
(2,3) ∧ ( 2, 9 + :) → 3 = 9 + :
(3, 9 − :) ∧ ( 3,1) → 1 = 9 − :
Resolviendo las ecuaciones:
¡
9 + : = 3
9 − : = 1
→ 29 = 4 ; 9 = 2
9 + : = 3 → : = 3 − 9
: = 1
Se tiene que: a.b=
9. : = (2)(1) = 2

61)
‡: Œ → Œ
‡( ) = • + :
Se tiene: 2f(2) + f(4) =21
‡(−3) − 3‡(1) = −16
De la información:
2(2• + :) + (4• + :) = 21
8• + 3: = 21 − − − − − (9)
(−3• + :) − 3(• + :) = −16
−6• − 2: = −16 → −3• − : = −8 − − − − − (:)
De (a) y (b):
¡
8• + 3: = 21
−9• − 3: = −24
→ −• = −3
• = 3
3• + : = 8 → 3(3) + : = 8
: = −1
Se calcula : $ % ‡(1) =?
‡( ) = • + :
‡( ) = 3 − 1
‡(1) = 3(1) − 1 = 2
$ % ‡(1) = $ % (2) =

62)
∀ W ∈ ˜ , ‡(W) =
1 M‰ W RM p
0 M‰ W RM X
a) ‡(W ∧ T) = ‡(W). ‡(T) ?
Recuerde que:
p q P ∧ T
V V V
V F F
F V F
F F F
A1.) p(W) = p ; p(T) = p
‡(W) = 1 ; ‡(T) = 1
→ ‡(W). ‡(T) = (1)(1) = 1
→ ‡(W ∧ T) = ‡(W). ‡(T) = 1 − − − −(p)
A2) p(W) = p ; p(T) = X
‡(W) = 1 ; ‡(T) = 0
→ ‡(W). ‡(T) = (1)(0) = 0
→ ‡(W ∧ T) = ‡(W). ‡(T) = 0 − − − −(p)
A3) p(W) = X ; p(T) = p
‡(W) = 0 ; ‡(T) = 1
→ ‡(W). ‡(T) = (0)(1) = 0
→ ‡(W ∧ T) = ‡(W). ‡(T) = 0 − − − −(p)

A4) p(W) = X ; p(T) = X
‡(W) = 0 ; ‡(T) = 0
→ ‡(W). ‡(T) = (0)(0) = 0
→ ‡(W ∧ T) = ‡(W). ‡(T) = 0 − − − −(p)
b) ‡(W ∨ T) = ‡(W) + ‡(T) − ‡(W ∧ T)
B1) p(W) = p ; p(T) = p
‡(W) = 1 ; ‡(T) = 1
‡(W ∧ T) = 1
→ ‡(W) + ‡(T) − ‡(W ∧ T) = 1 + 1 − 1 = 1
‡(W ∨ T) = 1
‡(W ∨ T) = ‡(W) + ‡(T) − ‡(W ∧ T) − − − −(p)
B2) p(W) = p ; p(T) = X
‡(W) = 1 ; ‡(T) = 0
‡(W ∧ T) = 0
→ ‡(W) + ‡(T) − ‡(W ∧ T) = 1 + 0 − 0 = 1
‡(W ∨ T) = 1
‡(W ∨ T) = ‡(W) + ‡(T) − ‡(W ∧ T) − − − −(p)
B3) p(W) = X ; p(T) = p
‡(W) = 0 ; ‡(T) = 1
‡(W ∧ T) = 0
→ ‡(W) + ‡(T) − ‡(W ∧ T) = 0 + 1 − 0 = 1
‡(W ∨ T) = 1
‡(W ∨ T) = ‡(W) + ‡(T) − ‡(W ∧ T) − − − −(p)
B4) p(W) = X ; p(T) = X
‡(W) = 0 ; ‡(T) = 0
‡(W ∧ T) = 0

→ ‡(W) + ‡(T) − ‡(W ∧ T) = 0 + 10 − 0 = 0
‡(W ∨ T) = 0
‡(W ∨ T) = ‡(W) + ‡(T) − ‡(W ∧ T) − − − −(p)
c) ‡(~W) = 1 − ‡(W)
C1) V(p)=V
‡(W) = 1 → ‡(~W) = 0
‡(~W) = 1 − ‡(W) = 1 − 1 = 0
‡(~W) = 1 − ‡(W) − − − − − −(p)
C1) V(p)=F
‡(W) = 0 → ‡(~W) = 1
‡(~W) = 1 − ‡(W) = 1 − 0 = 1
‡(~W) = 1 − ‡(W) − − − − − −(p)
63)
W → T = ~W ∨ T
‡(W → T) = ‡( ~W ∨ T)
‡(W → T) = ‡(~W) + ‡(T) − ‡(W ∧ T)
‡(W → T) = 1 − ‡(W) + ‡(T) − ‡(~W). ‡(T)
‡(W → T) = 1 − ‡(W) + ‡(T) − (1 − ‡(W))‡(T)
‡(W → T) = 1 − ‡(W) + ‡(T) − ‡(T) + ‡(W). ‡(T)
‡(W → T) = 1 − ‡(W) + ‡(W). ‡(T)--------rpta

63)
‡: * → *
‡( ) =
0, M‰ RM W9Q
1, M‰ RM ‰•W9Q
x y x+y
Par Par Par
par impar impar
impar par Impar
impar impar Par
a) ∀ , ∈ *, ‡( ) + ‡( ) = ‡( + )
V(x) =V ; V(y)=V
→ ‡( ) = 1 ; ‡( ) = 1
→ ‡( ) + ‡( ) = 2
‡( + ) =0
→ ‡( ) + ‡( ) = ‡( + ) − − − − − (X)
No hace falta verificar el resto
∀ , ∈ *, ‡( ) + ‡( ) = ‡( + )--------------(F)
:. ) ∀ , ∈ *, ‡( ). ‡( ) = ‡( )

x y x.y
Par Par Par
par impar par
impar par par
impar impar impar
B1) V(x) =V ; V(y)=V
→ ‡( ) = 1 ; ‡( ) = 1
→ ‡( ). ‡( ) = 1
‡( ) =1
→ ‡( )‡( ) = ‡( ) − − − −(p)
:2) V(x) =F ; V(y)=V
→ ‡( ) = 0 ; ‡( ) = 1
→ ‡( ). ‡( ) = 0
‡( ) = 0
→ ‡( )‡( ) = ‡( ) − − − −(p)
:3) V(x) =V ; V(y)= F
→ ‡( ) = 1 ; ‡( ) = 0
→ ‡( ). ‡( ) = 0
‡( ) = 0
→ ‡( )‡( ) = ‡( ) − − − −(p)
:4) V(x) =F ; V(y)= F
→ ‡( ) = 0 ; ‡( ) = 0
→ ‡( ). ‡( ) = 0
‡( ) = 0
→ ‡( )‡( ) = ‡( ) − − − −(p)
Se tiene que: ∀ , ∈ *, ‡( ). ‡( ) = ‡( ) − − − − − − − −(p)

c.) ∃ ∈ * / ‡( ) = ‡( + 2)
c1) V(x)= F
‡( ) = 0
X+2 = par → ‡( + 2) = 0
∃ ∈ * /‡( ) = ‡( + 2) − − − −(p)
C2) V(x)= V
‡( ) = 1
X+2 = impar → ‡( + 2) = 1
∃ ∈ */ ‡( ) = ‡( + 2) − − − −(p)
Por tanto:
→ ∃ ∈ * /‡( ) = ‡( + 2) − − − −(p)
d)
∃ ∈ * / ‡( + 1) = ‡( )
S1) V(x)= F
‡( ) = 0
X+1 = impar → ‡( + 1) = 1
∃ ∈ */ ‡( + 1) = ‡( ) − − − −(X)
D2) V(x)= V
‡( ) = 1
x+1 = par → ‡( +) = 0
∃ ∈ */ ‡( + 1) = ‡( ) − − − −(X)
Por tanto:
∃ ∈ */ ‡( + 1) = ‡( ) − − − −(X)

64)
‡: * → *
‡( + 2) = − 4
Se encuentra f(x)=?
Si: x+2= t → = L − 2
‡(L) = (L − 2) − 4 = L − 4L + 4 − 4
‡(L) = L − 4L → ‡( ) = − 4
Se calculo lo solicitado:
‡( + ℎ) = ( + ℎ) − 4( + ℎ)
→ ( + ℎ) − 4( + ℎ) + 4 + 4ℎ =
= ( + ℎ) − 4 − 4ℎ + 4 + 4ℎ
= ( + ℎ)
65)
‡: Œ → Œ
‡( ) = 4 − ( − 1)
a) ‡( − 1) = 4 −
Por el método directo:
‡( − 1) = 4 − → ‡(− − −1) = 4 − (… … . )
Se coloca en los puntos (x+1) para anular en -1
→ ‡( + 1 − 1) = 4 − ( + 1)

→ ‡( ) = 4 − ( + 1)
Se puede apreciar que:
4 − ( + 1) ≠ 4 − ( − 1)
‡( − 1) = 4 − -----------------(F)
a) ‡(1 − ) = ‡( − 1)
Sea: ‡( ) = 4 − ( − 1)
‡(1 − ) = 4 − 7(1 − ) − 1]
‡(1 − ) = 4 − 7(1 − ) − 1]
‡(1 − ) = 4 − (− ) = 4 −
------- ‡( − 1) = 4 − 7( − 1) − 1]
‡( − 1) = 4 − 7 − 2]
→ ‡(1 − ) ≠ ‡( − 1)
Por tanto:
‡(1 − ) = ‡( − 1) − − − − − −(X)
c.) ∃ ∈ Œ/ ‡( + 1) > 4
De: ‡( ) = 4 − ( − 1)
Se calcula f(x+1):
‡( + 1) = 4 − 7( + 1) − 1]
‡( + 1) = 4 −
‡( + 1) > 4
→ 4 − > 4
− > 0
→ < 0
----------------- no existe un número elemento de Z que elevado al
cuadrado sea menor que 0,
→ ∃ ∈ Œ /‡( + 1) > 4 − − − −(X)

→ 0‰0¥K09 RM NRQS9SRQ9
66)
‡: * → *
‡( ) = 2 + 3
a) ∀ ∈ *, ∃ ∈ */ ‡( ) =
= 2 + 3
2 ∈ * → = 2(2) + 3 = 7 ∈ *
∀ ∈ *, ∃ ∈ */ ‡( ) = − −(p)
b) Si ‡(9) = ‡(:) → 9 = :, ∀ 9, : ∈ *
Si: ‡(9) = ‡(:)
→ 29 + 3 = 2: + 3
→ 9 = : , ∀ 9, : ∈ *
Si ‡(9) = ‡(:) → 9 = :, ∀ 9, : ∈ * − − − − − (p)
c) Si ‡(9 ) = 9‡( ) ‡(: + ) = (: + 3) + ‡( ), ∀ ∈
*, R0LI0HRM
¨„©
=
"
Si: ‡(9 ) = 9‡( )
De: ‡( ) = 2 + 3
→ 29 + 3 = 9(2 + 3)
→ 29 + 3 = 29 + 39
9 = 1
De: ‡(: + ) = (: + 3) + ‡( )
→ 2(: + ) + 3 = (: + 3) + 2 + 3

→ 2: + 2 + 3 = : + 2 + 6
2: + 3 = : + 6
: = 3
Por tanto:
¨„©
=
„
=
"
Si ‡(9 ) = 9‡( ) ‡(: + ) = (: + 3) + ‡( ), ∀ ∈
*, R0LI0HRM
¨„©
=
"
--------(V)
67)
' = {2,3,4,5,8} ; - = * ; N= {1,2,3,4,5,………}
‡: ' → - ; ‡ ⊂ ' - → ‡ ⊂ ' *
‡( ) = ¬
, M‰ RM W9Q
‡ -‡ $
„
%® , M‰ RM ‰•W9Q
Y = ‡(5) + ‡(3) + ‡(8)
Y = ‡7(‡(8)] + ‡7‡(5)] + 4
Y = ‡7(‡(8)] + ‡7‡(‡(8))] + 4
Y = ‡7(‡(8)] + ‡(‡(4)) + 4
Y = ‡(4) + ‡(2) + 4
Y = 2 + 1 + 4
Y = 7
68)

' = {1,2,3,4}
¥( ) = • + : + H ; ‡(1) = ¥(1); ¥(2) = 4
‡ = {(1,1), (2,3), (4,2), (3,3), (4, •)}
Se debe recordar que:
(x,y) → ‡( ) =
De:
(4,2) ∧ (4, •) → • = 2
¥( ) = 2 + : + H
Como: ‡(1) = ¥(1) ; f(1) =1
1= 2+b+c
: + H = −1
4 = 8 + 2: + H
g (2)=4: 4 = 8 + : + (: + H)
4 = 8 + : − 1
: = −3
De: : + H = −1
H = 2
¥( ) = 2 − 3 + 2
= 1 → 1
= 2 → 4
= 3 → 11
= 4 → 4
La función g es:
¥ = {(1,1), (2,4), (3,11), (4,22)}
}(¥) = {1,4, 11,22}
69)
' = {0,1,2,3,4}
¥( ) = • + : ; ¥(1) = ‡(1)

‡ = {(0,4), (3,1), (1,3), (•, 4), (4,0)}
De: D(f) = {0,1,2,3,4}
→ • = 2
¥( ) = 2 + :
¥(1) = 2 + : ; ‡(1) = 3
2 + : = 3 ; : = 1
¥( ) = 2 + 1
= 0 → ¥(0) = 1
= 1 → ¥(1) = 3
= 2 → ¥(2) = 5
= 3 → ¥(3) = 7
= 4 → ¥(4) = 9
g= {(0,1),(1,3),(2,5),(3,7),(4,9)}
}90(¥) = {1,3,5,7,9}
z(}90(¥)} = 25
70)
De:
(5,7) ∧ (5, 9 + 4) → 9 + 4 = 7
9 = 3
X = {(6, :), (:, 3: + 1), (5,7), (13, : + 4)}
De: F[F[F(6)]]=b+4 ; F(6)=b
F[F[b]]=b+4 ; F(b)=3b+1
→ X(3: + 1) = : + 4
WRQI: (13, : + 4)
X(13) = : + 4
→ X(3: + 1) = X(13) → 3: + 1 = 13
3: = 12
: = 4

71)
Si: F={(1,1),(2,
¨
+
©
+
¯
), $1, ¨©¯
% , $2, ¨©
+
©¯
+
¯¨
% , (2,3)} QRWQRMR0L9 K09
función. Determine: a: H
De: (1,1) ∧ $1, ¨©¯
% → 1 =
¨©¯
9:H = 1
$2, ¨
+
©
+
¯
% ∧ $2, ¨©
+
©¯
+
¯¨
% →
→
¨
+
©
+
¯
=
¨©
+
©¯
+
¯¨
$2, ¨
+
©
+
¯
% ∧ (2,3) →
¨
+
©
+
¯
= 3
°
9:H = 1
¨
+
©
+
¯
=
¨©
+
©¯
+
¯¨
¨
+
©
+
¯
= 3
1
9
+
1
:
+
1
H
=
1
9:
+
1
:H
+
1
H9
→
:H + 9H + 9:
9:H
=
H + 9 + :
9:H
→ 9 + : + H = 9: + :H + 9H
1
9
+
1
:
+
1
H
= 3 → 9: + :H + 9H = 39:H = 3(1)
→ 9: + :H + 9H = 3
Se tiene: –
9:H = 1
9: + :H + 9H = 3
9 + : + H = 3
Se puede observar que se cumple para:
–
9 = 1
: = 1
H = 1
±KR¥I: a: H =?
= (1)(1)(1)
a: H = 1

72)
Si A={1,2,3,4}, se definen las funciones f y g con dominio en A, tales
que:
f ={(1,k),(2,5),(3,5),(1,3),(p,k)} ; g(x)= kx+2p
Hallar la suma de todo los elementos del rango de g.
Sea; A={1,2,3,4}
Para que f sea una función se debe cumplir:
(1, +) ∧ (1,3) → + = 3
f ={(1,3),(2,5),(3,5),(p,3)}
como D(f)= A → W = 4
La función g(x) es: g(x) = 3x+8
‡: ' → - ; ¥: ' → 1
∀ ∈ ' → ¥( ) = 3 + 8
= 1 → ¥(1) = 11
= 2 → ¥(2) = 14
= 3 → ¥(3) = 17
= 4 → ¥(4) = 20
¥ = {(1,11), (2,14), (3,17), (4,20)}
}90)¥) = {11,14,17,20}
z7}90(¥)] = 11 + 14 + 17 + 20
z7}90(¥)] = 62
73)
En ' = {1,2,3,4,5}MR SR‡‰0R0 ˆ9M ‡K0H‰I0RM ‡ ¥ •RS‰90LR:
‡ = {(2,4), (1,5), (3, Q), (2, M), (4,3), (5, L)}
¥ = {( , ) ∈ ' ' / = Q + L}
Si: f(2)= g(1) ; f(1)= g(2). Calcular: 3r+2s+t
‡(2) = 4 ; ‡(1) = 5
¥(1) = Q + L ; ¥(2) = 2Q + L

→ ¡
4 = Q + L
5 = 2Q + L
→ ¡
−4 = −Q − L
5 = 2Q + L
1 = Q
De: 4 = Q + L ; L = 3
g (x)= x+3
Se tiene que: ‡ = {(2,4), (1,5), (3,1), (2, M), (4,3), (5,3)}
De: (2,4) ∧ (2, M) → M = 4
Por tanto: 3r+2s+t=?
3r+2s+t= 3(1)+2(4)+3
3r+2s+t= 3+8+3
3r+2s+t=14
74)
Si ' = {1,2,4} ‡ K09 ‡K0H‰ó0 SR‡‰0‰S9 R0 ' WIQ:
‡ = {(1,3), (2, 9), (9 + 1,2), (1, : − 1)}
Hallar: f(1)-f(2)+f(4)
El D(f) = A
→ 9 + 1 = 4 → 9 = 3
Y:
(1,3) ∧ (1, : − 1) → : − 1 = 3 → : = 4
‡ = {(1,3), (2,3), (4,2), (1,3)}
‡ = {(1,3), (2,3), (4,2)}
Se calcula: f(1)-f(2)+f(4)=?
f(1)-f(2)+f(4)= 3-3+2
f(1)-f(2)+f(4)=2
75)
Sea la función f definida por: ‡: * → * / ‡( ) = 2 − 3
Cuantas de las afirmaciones son verdaderas?
a) f está definida para x=1
b) f(2a -3b)= 2f(a)-3 f(b)
c) f es una aplicación
d) f(2)-f(0)=4
e) f[f(f(3))]=f[f(3)]

9) = 1 ∈ * → ‡( ) = 2 − 3 = −1 ∉ *
f está definida para x=1 − − − − −(X)
b) ‡(29 − 3:) = 2(29 − 3:) − 3
= 49 − 6: − 3
2‡(9) = 2729 − 3] = 49 − 6
3‡(:) = 3[2b-3] = 6b-9
2‡(9) − 3‡(:) = 49 − 6 − (6: − 9) = 49 − 6: + 3
‡(29 − 3:) ≠ 2‡(9) − 3‡(:)
f(2a -3b)= 2f(a)-3 f(b) − − − − (X)
c) Como el D(f) ≠ * − −0I RM 9Wˆ‰H9H‰ó0: no existe el par
para 1
d) X=2 → ‡(2) = 1
= 0 → ‡(0) = −3 → −3 ∉ ²
f(2)-f(0)≠ 4
f(2)-f(0)=4 − − − − − − (X)
e) f[f(f(3))]=?
‡(3) = 2(3) − 3 = 3
‡w‡£‡(3)¤x = ‡7‡(3)]
= ‡(3)
= 3
‡7‡(3)] = ‡(3) = 3
f[f(f(3))]=f[f(3)] − − − − −(p)
afirmaciones verdaderas hay 1
76)
Se sabe que:
f = {(a,b),(3,c),(1,3),(2b,4)} y que : f(x) = x-2a

Entonces el producto de los elementos de: D(f) ∩ }90(‡) RM?
De:
f = {(a,b),(3,c),(1,3),(2b,4)} y que : f(x) = x-2a
( , ) → ‡( ) =
→ ‡(1) = 3
→ 3 = 1 − 29 ; 9 = −1
f = {(-1,b),(3,c),(1,3),(2b,4)} y que : f(x) = x+2
‡(3) = H → H = 3+2=5
‡(2:) = 4 → 4 = 2: + 2 ; : = 1
Se tiene que: f = {(-1,1),(3,5),(1,3),(2,4)}
6(‡) = {−1,1,2,3}
}90(‡) = {1,3,4,5}
D(f) ∩ }90(‡) = {1,3}
P= 3.1= 3
77)
‡ = {(1,3), (−5, −1), (7,2)}
¥ = {(1,0), (2, :), (−5, 9), (7, H)}
a) ¥ I ‡∗
= {(3, 9), (−1, :), (2, H)} ?
Se determina ‡∗
:
‡∗
= {(3,1), (−1, −5), (2,7)}

6(‡∗
∩ ¥) = {1,5,7}
Se tiene que:
¥ I ‡∗
= {−1, 9), (2, H), (3,0)}
→ ¥ I ‡∗
= {(3, 9), (−1, :), (2, H)} − − − −(X)
También se puede determinar así:
D (¥ I ‡∗
) = { / ∈ 6(‡∗) ∧ ‡∗( ) ∈ 6(¥)}
Consideremos: -1, 2, 3
(¥ I ‡∗)(−1) = ¥7‡∗(−1)]
= ¥(−5) = 9
→ (-1,a) ∈ ¥ I ‡∗
(¥ I ‡∗)(2) = ¥7‡∗(2)]
= ¥(7) = H
→ (2,c) ∈ ¥ I ‡∗
(¥ I ‡∗)(3) = ¥7‡∗(3)]
= ¥(1) = 0

→ (3,0) ∈ ¥ I ‡∗
¥ I ‡∗
= {(−1, 9), (2, H), (3,0)}
b) ¥ I ‡∗
RM MI:QR RHL‰N9
Para que sea sobreyectiva → }907 ¥ I ‡∗] = }90(¥)
}907 ¥ I ‡∗] = {0, 9, H}
}90(¥) = {0, 9, :, H}
}907 ¥ I ‡∗] ≠ }90(¥)
¥ I ‡∗
RM MI:QR RHL‰N9 ---------------(F)
c) (¥ I ‡∗)( ) = (¥ I ‡∗)( n) → = n
¥7‡∗( )] = ¥7‡∗( ′)]
zR9 , ′ ∈ 6(‡∗
)
→ ‡∗( ) = ‡∗( ′)
→ = ′
(¥ I ‡∗)( ) = (¥ I ‡∗)( n) → = n
-----(V)
78)
‡( ) = ; ¥( ) = 9 + 1
¥( ), ‡( ), , , , , , :‰ RHL‰N9M ; (‡ I¥)∗
= ¥∗
I ‡∗
(‡∗
I ¥∗)( ) = ‡∗
-¥∗
$ %® =
De: g(x)= y = ax+1
=
!
¨
→ ¥∗( ) =
!
¨

‡∗
³
´
!
¨
µ = → ‡∗
$ ¨
% =
f(x)= = → =
‡∗( ) = √
‡∗
$ ¨
% = → ¶
¨
=
"
=
¨
; 9 = 2
Se tiene que: g(x)= ax+1 → ¥( ) = 2 + 1
Se calcula: (¥I‡)(−2) =?
(¥I‡)(−2) = ¥7‡(−2)]
= ¥(4)
= 2(4) + 1
(¥I‡)(−2) = 9
79)
Se debe encontrar f(x) y g(x):
‡( − 1) = 3 + 2
‡(… . . −1) = 3 (… … . ) + 2
‡( + 1 − 1) = 3( + 1) + 2
‡( ) = 3 + 5
¥(2 + 3) = 4 + 4
Haciendo: 2x+3= t ; x=
·!
¥(L) = 4 (
·!
) + 4
¥(L) = 2L − 6 + 4

¥(L) = 2L − 2 g(x) = 2x-2
¥( ) = 2 − 2 → = 2 − 2
→ =
„
→ ¥∗( ) =
„
(¥∗
I ‡)( ) = ¥∗
7‡( )]
= ¥∗(3 + 5)
=
„#„
(¥∗
I ‡)( ) = (3 + 7)
80)
‡( ) = 9 + 1 ; ¥( ) = + 1
‡, ¥ − − − − − :‰ RHL‰N9M
(‡∗
I ¥∗
)(5) =
(‡∗
I ¥∗
)(5) = ‡∗7¥∗(5)] =
¥( ) = + 1 → = + 1
→ = − 1 ; ¥∗( ) = √ − 1
‡( ) = 9 + 1 ; = 9 + 1
→ =
!
¨
; ‡∗( ) =
!
¨
De: ‡∗7¥∗(5)] = → ‡∗72] =
→
!
¨
= ; a= 3
Se tiene: ‡( ) = 3 + 1 ; ¥( ) = + 1

¥∗(7) = √7 − 1 = √6
Calcular: (‡I ¥∗
)(7) … . . ?
(‡I ¥∗)(7) = ‡7 ¥∗
(7)] = ‡( √6)
(‡I ¥∗)(7) = 3( 6) + 1
81)
‡( + 3) = 3 + 2
→ ‡(… . . +3) = 3(… . ) + 2
→ ‡(x-3+3) = 3(x-3)+2
‡( ) = 3 − 7
Calcular: Y =
¦∗( „¸)!¦∗( )
¸
; ℎ ≠ 0
De: ‡( ) = 3 − 7 → = 3 − 7
→ =
„§
→ ‡∗( ) =
„§
Y =
¦∗( „¸)!¦∗( )
¸
=
¹º»º¼
´
!
¹º¼
´
¸
Y =
„¸„§! !§
¸
=
¸
¸
Y =
¸
82)
¥( + 3) = + 9 + 27
Si: x+3= t ; x= t-3
¥(L) = (L − 3) + 9(L − 3) + 27(L − 3)

Resolviendo: ¥(L) = L − 27
¥( ) = − 27 → = − 27
= + 27
´
¥∗( ) = √ + 27
´
Como: ‡( ) = ¥∗( ) + 33
‡( ) = √ + 27
´
+ 33
(‡I‡)(37) =?
‡7‡( )] = ‡7√ + 27
´
+ 33]
‡7‡( )] = √ + 27
´
+ 33 + 27
´
+ 33
(‡I‡)(37) = √37 + 27
´
+ 33 + 27
´
+ 33
(‡I‡)(37) = √64
´
+ 33
(‡I‡)(37) = 4 + 33
(‡I‡)(37) = 37
83)
‡( ) = • + 2 ; ¥( ) = 3 − 2
¥( ) = 3 − 2 → = 3 − 2
→ =
„
Intercambiando las variables: → ¥∗( ) =
„
‡( ) = • + 2 → = • + 2
→ =
!
•
; • ≠ 0
Intercambiando las variables: → ‡∗( ) =
!
•
De: ¥∗7‡∗(• )] =

¥∗
-
• !
•
® =
=
½¹¾
½
„
=
½¹¾ º ½
½
=
• ! „ •
•
→ • = • − 2 + 2•
2• = 2; • = 1
De: ‡( ) = • + 2
‡( ) = + 2
Calcular: 2‡(−1) − ¥(1) =?
= 2(−1 + 2) − (3 − 2)
2‡(−1) − ¥(1) = 2(1) − 1
2‡(−1) − ¥(1) = 2 − 1
2‡(−1) − ¥(1) = 1
84)
‡, ¥, ℎ − − − −:‰ RHL‰N9M
‡( ) = − 1 ; ¥( ) = 9 ; ℎ( ) = 2 + 9
(‡ I¥Iℎ)( + 1) = 2 + 3
Es sabido que: (‡I¥Iℎ)( ) = 7‡I(¥Iℎ)]( )
(‡I¥Iℎ)( ) = ‡w¥7ℎ( )]x = ‡7¥(2 + 9)]
= ‡79(2 + 9)] = ‡(29 + 9 ))
=
¨ „¨
− 1

→ (‡I¥Iℎ)( + 1) =
¨( „ )„¨
− 1
→
¨ „ ¨„¨
− 1 = 2 + 3
29 + 9 + 29 − 2 = 4 + 6
29 + 9 + 29 = 4 + 8
29 − 4 + 79 + 29 − 8] = 0
2 (9 − 2) + (9 + 4 )(9 − 2 ) = 0
(9 − 2)(2 + 9 + 4) = 0
¡
9 = 2
9 = −2 − 4
a = 2 ; ¥( ) = 9 ; ℎ( ) = 2 + 9
¥( ) = 2 ; ℎ( ) = 2 + 2
Calcular; (hog)(-1)=?
(ℎI¥)(−1) = ℎ7¥(−1)] = ℎ(−2)
= 2(−2) + 2 = −2
a = -2x-4 ; ¥( ) = 9 ; ℎ( ) = 2 + 9
¥( ) = (−2 − 4); ℎ( ) = 2 − 2 − 4
¥( ) = −2 − 4 ; ℎ( ) = −4
Calcular; (hog)(-1)=?
(ℎI¥)(−1) = ℎ7¥(−1)] = ℎ(−6)
= −4
85)

‡ = {(2,1), (3,5), (4,2), (5,8), (6,1), (7,4), (8,4)}
¥ = {(2,4), (3,3), (4,3), (5,1), (6,4), (7,6), (8,6)}
Sea h: 6(ℎ) = {1,2,4,5,9} ; ¥ = ℎI‡
ℎI‡ = ¥
ℎI‡ = {(2,4), (3,3), (4,3), (5,1), (6,4), (7,6), (8,6)}
utilizando la función g:
¥ = {(2,4), (3,3), (4,3), (5,1), (6,4), (7,6), (8,6)}
ℎ(1) = 4; ℎ(2) = 3; ℎ(4) = 6; ℎ(5) = 3; ℎ(8) = 1
Por tanto:
ℎ(1) + ℎ(2) + ℎ(4) + ℎ(5) + ℎ(8) = 4 + 3 + 6 + 3 + 1
ℎ(1) + ℎ(2) + ℎ(4) + ℎ(5) + ℎ(8) = 17
86)

' = {1,2,3}; - = {1,2,3,4}
¥ = {(3,1), ( , “), (1,3)} − − − ‰0 RHL‰N9 SR ' R0 '
‡ = {(3,1), ( , 3), (2,3)} − − − ‡: ' → -
ℎ = {(1,1), (2, ¿), (3,2), (4,2)} − − − MKQ RHL‰N9 SR - R0 '
De: ‡ = {(3,1), ( , 3), (2,3)} − − − ‡: ' → -
D(f) ={1,23} → = 1
‡ = {(3,1), (2,3)} ; ‡ ⊂ ' -
De: ¥ = {(3,1), ( , “), (1,3)} − − − ‰0 RHL‰N9 SR ' R0 '
6(¥) = '
→ = 2 ; z= 2
¥ = {(3,1), (2,2), (1,3)}
De: ℎ = {(1,1), (2, ¿), (3,2), (4,2)} − − − MKQ RHL‰N9 SR - R0 '
}90(ℎ) = '
= {1,2,3}
→ ¿ = 3
Se calcula: “ − ( + ¿) =?
“ − ( + ¿) = 2(2) − (1 + 3)
“ − ( + ¿) = 0
87)
‡(2 + 1) = 2 − 1 ; ¥( ) = 3 − 9
(‡I¥)(3) = (¥I‡)(9 − 1)
Se debe obtener f(x)=?
2 + 1 = L ; = (L − 1)

‡(L) = 2 - (L − 1)® − 1
‡(L) = L − 1 − 1 = L − 2
→ ‡( ) = − 2
Se obtiene: (fog)(x)=?
(‡I¥)( ) = ‡7¥( )] = ‡(3 − 9)
(‡I¥)( ) = 3x-a-2
(‡I¥)(3) = 7 − 9
Se obtiene: (go f)(x)=?
(¥I‡)( ) = ¥7‡( )] = ¥( − 2)
(¥I‡)( ) = 3( − 2) − 9
(¥I‡)( ) = 3 − 6 − 9
(¥I‡)(9 − 1) = 3(9 − 1) − 6 − 9
(¥I‡)(9 − 1) = 29 − 9
De: (‡I¥)(3) = (¥I‡)(9 − 1)
7 − 9 = 29 − 9
39 = 16
9 =
Se obtiene f(a) de: ‡( ) = − 2
‡(9) = 9 − 2
‡(9) = − 2
‡(9) =
Ÿ
88)

Se encuentra: 6(¥) ∩ }90(‡)
6(¥) = {0,1,2,4,5,6} ; }90(‡) = {1,2,3}
6(¥) ∩ }90(‡) = {1,2}
Se debe obtener los pares de f y g que tengan como segunda y primera
componentes a: 1,2
(0,1) ∈ ‡ ∧ (1,4) ∈ ¥ → (0,4) ∈ ¥I‡
(1,2) ∈ ‡ ∧ (2,4) ∈ ¥ → (1,4) ∈ ¥I‡
(5,2) ∈ ‡ ∧ (2,4) ∈ ¥ → (5,4) ∈ ¥I‡
Por tanto:
¥I‡ = {(0,4), (1,4), (5,4)}
89)
Se obtiene: i) 8 ∗ 5 = 8(5) + (8 + 5)
8 ∗ 5 = 40 + 13
8 ∗ 5 = 53 ∈ }
8#6 = 9 + 6 − 5

8#6 = 10 ∈ }
ii.)
∗ = 4
⋕ = −2
→
+ + = 4
+ − 5 = −2
→
+ + = 4
+ = 3
→ + 3 = 4 → = 1
→ = 3 −
(3 − ) + + 3 − = 4
3 − − 1 = 0 → − 3 + 1 = 0
=
±√ !"
=
±√#
→ ¬
=
„√#
=
!√#
Si: =
„√#
→ =
Â
=
„√#
.
!√#
!√#
= .
( ! #)
!#
=
!√#
Si: =
!√#
→ = =
!√#
.
„√#
„√#
= .
( „ #)
!#
=
„√#
90)
9 ∗ : = (9 − :)(: − 9)
a) * es conmutativa
Conmutativa: 9 ∗ : = : ∗ 9 , ∀9, : ∈ V
9 ∗ : = (9 − :)(: − 9) ------(1)

: ∗ 9 = (: − 9)(9 − :)
: ∗ 9 = (9 − :)(: − 9) ------(2)
De: (10 y (2), se tiene que:
∗ RM HI0•KL9L‰N9 − − − − − −(p)
b) 4 ∗ (3 ∗ 1) = 32 252
4 ∗ (3 ∗ 1) = 4 ∗ (3 ∗ 1)
= 4 ∗ (9 − 1)(1 − 3)
= 4 ∗ 78(−2)] = 4 ∗ (−16)
= (16-(16))[(-16) − 4]
32 252
4 ∗ (3 ∗ 1) = 32 252 − − − − − −(p)
c) ∃ + ∈ V / $Ã
% (9 ∗ :) = (+9) ∗ :
$Ã
% (9 ∗ :) = $Ã
% (9 − :)(: − 9)
(+9) ∗ : = 7+ 9 − :]7: − +9]
$Ã
% (9 − :)(: − 9) = 7+ 9 − :]7: − +9]
$Ã
% (9 − :)(: − 9) = + 9 : − + 9 − : + +9:
9 : − 9 − : + 9:
+
= + 9 : − + 9 − : + +9:
9 : − 9 − : + 9: = + 9 : − +"
9 − : + + + 9:
9 : (1 − +) + 9 ( +"
− 1) + : (+ − 1) + 9:(1 − +) = 0
para que se cumpla la igualdad se tiene que:
+ = 1 → 1 ∈ V
Por tanto:
∃ + ∈ V / $Ã
% (9 ∗ :) = (+9) ∗ : − − − − − −(p)

91)
9 ∗ : = 9: + 9 − :
a) ∀ 9, : ∈ V , 9 ∗ : ∈ V
*: QxQ → V
∀ 9, : ∈ V → 9 ∗ : = 9: + 9 − :
→ 9: + 9 − : ∈ }
→ ∀ 9, : ∈ V , 9 ∗ : ∈ V
∀ 9, : ∈ V , 9 ∗ : ∈ V − − − − − (p)
:) ∗ RM 9MIH‰9L‰N9
Asociativa : ∀ 9, :, H ∈ V , (9 ∗ :) ∗ H = 9 ∗ (: ∗ H)
(9 ∗ :) ∗ H = (9: + 9 − :) ∗ H
= (9: + 9 − :)H + 9: + 9 − : − H
= 9:H + 9H − :H + 9: + 9 − : − H --------(1)
9 ∗ (: ∗ H) = 9 ∗ (:H + : − H)
= 9(:H + : − H) + 9 − (:H + : − H)
= 9:H + 9: − 9H + 9 − :H − : + H -------(2)
ˆ9 R WQRM‰7I0 (1) (2) 0I MI0 ‰¥K9ˆRM
(9 ∗ :) ∗ H ≠ 9 ∗ (: ∗ H)
→ ∗ RM 9MIH‰9L‰N9 − − − − − (X)
H) ∃ ! R ∈ V, RˆR•R0LI 0RKLQI W9Q9 ∗
Se dice que Q tiene un elemento neutro respecto a *, si:
∃ R ∈ V / 9 ∗ R = R ∗ 9 = 9 , ∀ 9 ∈ V

9 ∗ R = 9R + 9 − R=a
9R − R = 0
R(9 − 1) = 0 → R = 0 ó 9 = 1
9 ∈ V − {1} → R = 0
→ ∃ ¡ R ∈ V − − − − − − − −(p)
S) H9S9 ∈V−{1} WIMRR ‰0NRQMI W9Q9 ∗
Si Q-{1} posee elemento neutro “e” respecto a *. Entonces:
∃ • ∈ V − {1} / 9 ∗ • = • ∗ 9 = R , ∀ 9 ∈ V-{1}
• = ‰0NRQMI = 9!
9 ∗ 9!
= R
→ 99!
+ 9 − 9!
= 0
→ 9! (9 − 1) + 9 = 0
→ 9!
= −
¨
¨!
=
¨
!¨
H9S9 ∈ V − {1} WIMRR ‰0NRQMI W9Q9 ∗ − − −(p)
92)
zR9: 9 ∗ : = 9 + : − 4
Se conoce que: 9 ∗ R = R ∗ 9 = 9
9 ∗ R = 9 + R − 4 → 9 + R − 4 = 9
→ R = 4 − − − RˆR•R0LI 0RKLQI
'SR•áM: 9 ∗ 9!
= 9!
∗ 9 = R
9 ∗ 9!
= 3 ∗ 9!
= R
→ 3 ∗ 3!
= 4 → 3 + 3!
− 4 = 4
3!
− 1 = 4 ; 3!
= 5

De la misma forma: 9 ∗ 9!
= 2 ∗ 9!
= R
→ 2 ∗ 2!
= 4 → 2 + 2!
− 4 = 4
2!
− 2 = 4 ; 2!
= 6
Y: 9 ∗ 9!
= 4 ∗ 9!
= R
→ 4 ∗ 4!
= 4 → 4 + 4!
− 4 = 4
3!
− 0 = 4 ; 3!
= 4
Con lo obtenido, se calcula: (3!
* 2!
) ∗ 4!
→ (5 ∗ 6) ∗ 4 =?
= (5 + 6 − 4) ∗ 4
= 7 ∗ 4 = 7 + 4 − 4
= 7
93)
a) ∀9, : ∈ V∗
, 9 ∗ : = : ∗ 9
V∗
= V − {−3} ; 9 ∗ : = 9 + : + 9:
Como: 9 ∗ : = 9 + : + 9:
→ : ∗ 9 = : + 9 + :9
: ∗ 9 = 9 + : + 9:
→ 9 ∗ : = : ∗ 9
∀9, : ∈ V∗
, 9 ∗ : = : ∗ 9 − − − − − −(p)
:) ∀9, :, H ∈ V∗
, (9 ∗ :) ∗ H = 9 ∗ (: ∗ H)

(9 ∗ :) ∗ H = $ 9 + : + 9:% ∗ H
= $ 9 + : + 9: + H + $9 + : + 9:% H%
(9 ∗ :) ∗ H = 9 + : + 9: + H + 9H + :H + 9:H
(9 ∗ :) ∗ H = 9 + : + H + 9: + 9H + :H + 9:H ---(1)
De: 9 ∗ (: ∗ H)
9 ∗ (: ∗ H) = 9 ∗ ( : + H + :H)
= 9 + : + H +
1
3
:H +
1
3
7(9 Ç : + H +
1
3
:HÈ]
= 9 + : + H + 9: + :H + 9H + 9:H-----(2)
De (1) y (2) se concluye que: (9 ∗ :) ∗ H = 9 ∗ (: ∗ H)
→ ∀9, :, H ∈ V∗
, (9 ∗ :) ∗ H = 9 ∗ (: ∗ H) − − − −(p)
c). ∃ ! R ∈ V∗
/ 9 ∗ R = 9, ∀9 ∈ V∗
De: 9 ∗ R = 9
→ 9 + R + 9R = 9
→ R $1 + 9% = 0
→ R = 0 ó 1 + 9 = 0
→ R = 0 ó 9 = −3
Se tiene que: 9 ∈ V − {−3} → R = 0
→ ∃ ! R ∈ V∗
/ 9 ∗ R = 9, ∀9 ∈ V∗
--------(V)
d) ∀ 9 ∈ V∗
, 9!
=
¨
„¨
De: 9 ∗ 9!
= R
9 + 9!
+ 9 9!
= R
9 + 9!
+ 9 9!
= 0

39 + 39!
+ 99!
= 0
9! (3 + 9) = −39
9!
= −
¨
„¨
→ ∀ 9 ∈ V∗
, 9!
=
¨
„¨
− − − − − (X)
94)
a) La ecuación x*2=1 tiene solución única ?
Se toma x=1 → 1 ∗ 1 = 1 − − − (SR L9:ˆ9)
= 2 → 2 ∗ 2 = 1
= 3 → 3 ∗ 2 = 1
→ La ecuación x*2=1 tiene solución única-----------(F)
b) ∀ , ∈ ' MR HK•WˆR: ∗ = ∗ ?
M‰ = 4, = 2 z‰: = 4, = 3
(4 ∗ 2) = 2 (4 ∗ 3) = 3
(2 ∗ 4) = 1 3*4 = 4
→ ∗ = ∗ − − − −(X)
c) (2 ∗ 3) ∗ 73 ∗ (4 ∗ 1)] = 4 ?

Utilizando la tabla adjunta, se tiene:
(2 ∗ 3) = 1
4*1 = 4
→ (2 ∗ 3) ∗ 73 ∗ (4 ∗ 1)] = 1 ∗ (3 ∗ 4)
3 ∗ 4 = 4
→ (2 ∗ 3) ∗ 73 ∗ (4 ∗ 1)] = 1 ∗ 4
= 4
(2 ∗ 3) ∗ 73 ∗ (4 ∗ 1)] = 4 − − − − − −(p)
95)
' = {0,1,2} ; e=2
9 ∗ R = 9
1 ∗ 2 = 1 ; 2 ∗ 1 = 1
2 ∗ 2 = 2 ; 0 ∗ 2 = 0 ; 2 ∗ 0 = 0
9 ∗ 9!
= R
9 ∗ 9!
= 2 → 1 ∗ 0 = 2
9 ∗ 9!
= 2 → 0 ∗ 1 =2
La tabla construida es:
S= (1*1)*(0*0)
z = (0) ∗ (1)
z = 2

96)
9 ∗ : = 9: + : − 9
a) 9 ∗ 5 =
9 ∗ 5 = 9(5) + 5 − 9
9 ∗ 5 = 9(5) + 5 − 9
a∗ 5 = 5 + 49=0
9 = −
#
"
∉ Œ
{9 ∈ Œ/ a*5 =0} ≠ ∅-------(F))
b)
6R: 9 ∗ : = 9: + : − 9
: ∗ 9 = :9 + 9 − :
9 ∗ : ≠ : ∗ 9
∗ RM HI0K•KL9L‰N9 − − − − − −(X)
c)
De; (a*a) +[a*(a+1)]+[a*(-1)]=2a2
(a ∗ a) + 7a ∗ (a + 1)] + 7a ∗ (−1)] =
= (99 + 9 − 9) + 7(9(9 + 1) + 9 + 1 − 9] +
[ a(-1)-1-a]
= (9 ) + (9 + 9 + 1) + (−9 − 9 − 1)
= 2 9 + 9 + 1 − 29 − 1
= 29 − 9
(a*a) +[a*(a+1)]+[a*(-1)]=2a2
---------(F)

97)
V∗
= V − {0} ; 9 ∗ : =
¨
+
©
a) De:
9 ∗ $ % =
¨
+ = 5
¨
=
§
; 9 =
§
: ∗ 3 =
©
+ =
#
©
=
#
− =
!#
#
= −
#
: = −
#
Por tanto: a.b= (2/7) (-15/2)
9. : = −
#
§
→ z‰ 9 ∗ $ % = 5 ∧ : ∗ 3 =
#
→ 9. : = −
#
§
− − − −(p)
b) ∀ 9, :, H ∈ V∗
, 9 ∗ (: ∗ H) = (9 ∗ :) ∗ H
De: 9 ∗ (: ∗ H) = 9 ∗ $©
+
¯
%
=
¨
+ Â
É
„
Â
Ê
=
¨
+ ÊºÉ
ÉÊ
=
¨
+
©¯
©„¯
− − − (1)
(9 ∗ :) ∗ H = $¨
+
©
% ∗ H
= Â
Ë
„
Â
É
+
¯
= ËºÉ
ËÉ
+
¯
=
¨©
¨„©
+
¯

9 ∗ (: ∗ H) ≠ (9 ∗ :) ∗ H------------(2)
→ ∀ 9, :, H ∈ V∗
, 9 ∗ (: ∗ H) = (9 ∗ :) ∗ H--------(F)
c) 9 ∗ 9 = 9 ↔ 9 = 2
i) 9 ∗ 9 = 9 → 9 = 2
9 ∗ 9 =
¨
+
¨
=
¨
= 9
→ 9 = 2
ii.) Si 9 = 2 → 9 ∗ 9 = 9
9 ∗ 9 =
¨
+
¨
9 ∗ 9 =
¨
=
¨
¨
= 9
Por i) y ii):
9 ∗ 9 = 9 ↔ 9 = 2 − − − − − (p)
98)
9 ∗ : = 9 + 2:; 9 ⋕ : = 29:
a) (a*b)*c = a*(b*c) ∀ 9, :, H ∈ V
(a*b)*c = (a+2b)*c
= (9 + 2:) + 2H = 9 + 2: + 2H
a*(b*c) = a*(b+2c)
= 9 + 2(: + 2H) = 9 + 2: + 4H
Se concluye que: (a*b)*c≠ a*(b*c)
→ (a*b)*c = a*(b*c) ∀ 9, :, H ∈ V − − − (X)
b) 9 ⋕ (: ∗ H) = (9 ⋕ :) ∗ (9 ⋕ H), ∀ 9, :, H ∈ V
Utilizando la propiedad distributiva por la izquierda respecto a *:

9 ⋕ (: ∗ H) = (9 ⋕ :) ∗ (9 ⋕ H)
→ 9 ⋕ (: ∗ H) = (9 ⋕ :) ∗ (9 ⋕ H), ∀ 9, :, H ∈ V— − − (p)
c) ∃ ! R ∈ V / 9 ∗ R = R ∗ 9 = 9 ∀9 ∈ V
De: a*e =e*a=a
→ 9 + 2R = 9
→ 2R = 0 ; R = 0 ∈ V
e*a=a
e+2a =a → R = 9 ∈ V
∃ ! R ∈ V / 9 ∗ R = R ∗ 9 = 9 ∀9 ∈ V − −(X)
d) $ ∗
#
% # $3 ∗ % =
#
$ ∗
#
% # $3 ∗ % = $ +
#
% #(3 + )
= $ Ÿ
% #( )
= 2 $ Ÿ
% $ %
=
Ì
Ÿ
=
#
=
#
$ ∗
#
% # $3 ∗ % =
#
− − − − − (p)
99)
9 ∗ : =
©!¨
; 9#: =
¨„©
Se resuelve: 2*(3#x)= (x#11)*6
→ 2 ∗ $
„
% = $
„
% ∗ 6
→
´º¹
!
=
!
¹ºÂÂ

„ !"
"
=
! !
x-1 = 2-2x
3 = 3 → = 1
100)
9 ∗ : = 9 + 3: ; 9#: = 39 + :
9 ∆: = 59 − 3: ; ∗ = 9 , # = 21
De: ∗ = 9
= + 3 = 9
→
§
= 9 → =
Ì
§
# = 21
= 3 + ( ) = 21
9
2
= 21 → =
14
3
Se calcula: ∆
∆ = 5 − 3
∆ = 5 $
Ì
§
% − 3(14/3)
∆ =
Ÿ
§
− 14 =
Ÿ! Ì
§
= −
Ì
§
∆ = −
Ì
§
∈ V
101)
9 ∗ : = 9 + : ; 9#: = 9 − : ; H ≠ 0
Obtener: 7 ∗ ( #H)]#H = 27(H ∗ 0)# ]

7 ∗ ( #H)]#H = 7 + ( #H)]#H
= 7 + ( − H )]#H
= ( + − H − H ) = + − 2H
27(H ∗ 0)# ] = 27(H ∗ 0) − ] = 27(H + 0) − ]
= 27H − ]
→ + − 2H = 2H − 2
3 + − 4H = 0
=
! ± √ „"Ì¯
¬
= − +
√ „"Ì¯
= − −
√ „"Ì¯
S= + = − −
S= + = − ∈ V
102)
9 ∗ : = 9 + : − 9:
a) El cero es el elemento neutro en * ?
De: 9 ∗ R = R ∗ 9 = 9
→ 9 + R − 9R = 9
→ R − 9R = 0
→ R(1 − 9) = 0
R = 0 ó 9 = 1
El cero es el elemento neutro en * ------------------------------(V)

b) (9 + :) ∗ (9 − :) = 9 + 29 − 2: ?
6R: 9 ∗ : = 9 + : − 9:
→ (9 + :) ∗ (9 − :) =
= 9 + : + 9 − : − (9 + :)(9 − :)
= 29 − (9 − : )
= −9 + 29 + :
(9 + :) ∗ (9 − :) = 9 + 29 − 2: − − − −(X)
c) Si x*3=6→ = − ?
x*3 = x+3-3x =6
→ 3 − 2 = 6 ; −3 = 2
= −
Si x*3=6→ = − − − − − − −(p)
d) * es conmutativa ?
Debe cumplir* es conmutativa se: a*b =b*a
→ 9 + : − 9: = : + 9 − :9
→ 9 + : − 9: = 9 + : − 9:
* es conmutativa --------------------(V)
103)
9 ∗ : = 9(1 − 2:) + :
9) ∀9, : ∈ V , 9 ∗ : = : ∗ 9 ?
De: a*b

9 ∗ : = 9(1 − 2:) + : = 9 + : − 29:
: ∗ 9 = :(1 − 29) + 9 = 9 + : − 29
→ 9 ∗ : = : ∗ 9
∀9, : ∈ V , 9 ∗ : = : ∗ 9 − − − − − −(p)
b) 0 es la identidad para * y todo a ∈ V ?
Elemento neutro o identidad-----
De: a*e= e*a =a
→ R(1 − 29) + 9 = 9
→ R − 29R + 9 = 9
→ R = 29R ; R(1 − 29) = 0
→ R = 0 ; 9 = ∈ V (0I W9Q9 LISI 9)
0 es la identidad para * y todo a ∈ V − − − −(X)
c) (1!
∗ 2)!
=
9 ∗ 9!
= R
Yˆ ‰0NRQMI SR 1: 1 ∗ 9!
= 0
9 ∗ : = 9(1 − 2:) + :
1(1-29!
) + 9!
= 0
→ 1 − 29!
+ 9!
= 0
→ 9!
= 1
De: (1 ∗ 2)!
= 71(1 − 2.2) + 2]!
= (1 − 4 + 2)!
= (−1)!
= −1
(1!
∗ 2)!
= − − − − − (X)
104)
9 ∗ : = : − 9 ; 9#: = 29 + 2

Calcular: [(x+3)*(x+2)]*(x+6) ≥ #( + 2)
[(x+3)*(x+2)]*(x+6) = 7 + 2 − ( + 3)] ∗ ( + 6)
= (-1)*(x+6)
= + 6 − (−1)
= + 7
6R: #( + 2) =
= 2 + 2
Se tiene que resolver: + 7 ≥ 2 + 2
5 ≥
≤ 5
S= {0, 1,2,3,4,5} ∈ Œ„
105)
*: a*b= a+b+
#
9:
a) La operación es conmutativa ?
De: 9 ∗ : = : ∗ 9
9 ∗ : = 9 + : +
#
9:
: ∗ 9 = : + 9 +
#
:9 = 9 + : +
#
9:
9 ∗ : = : ∗ 9
La operación es conmutativa -------------(V)
b) La operación es asociativa ?
De: (9 ∗ :) ∗ H = 9 ∗ (: ∗ H)

9 ∗ : = 9 + : +
#
9:
(9 ∗ :) ∗ H = -9 + : +
#
9:® ∗ H
= 9 + : +
#
9: + H +
#
$9 + : +
#
9:% H
= 9 + : + H +
#
9: +
#
9H +
#
:H +
#
9:H
= 9 + : + H +
#
-9: + 9H + :H +
#
9:H® ----(a)
9 ∗ (: ∗ H) = 9 ∗ $: + H +
#
:H%
= -9 + $: + H +
#
:H%® +
#
(9) $: + H +
#
:H%
= 9 + : + H +
#
:H +
#
9: +
#
9H +
#
9:H
= 9 + : + H +
#
$9: + :H + 9H +
#
9:H% − − − (:)
De (a) y (b): (9 ∗ :) ∗ H = 9 ∗ (: ∗ H)
La operación es asociativa------------(V)
c) 0 es el elemento identidad ?
De: a*e =a
→ 9 + R +
#
9R = 9
→ R $1 +
#
9% = 0
R = 0 ó 9 = −5 ∈ V
0 es el elemento identidad --------(V)
d) ∀ 9 ∈ V , ∃ 9!
∈ V ?
De: a*9!
= R
a*9!
= 9 + 9!
= 0
9!
= −9 ∈ V
9!
= 5
∀ 9 ∈ V , ∃ 9!
∈ V − − − − − −(F)

106)
9 ∗ : = 9(1 − 2:) + :
a) 2!
∗ 1!
= ?
De: 9 ∗ R = 9 ; 9 ∗ 9!
= R
9 ∗ R = 9(1 − 2R) + R = 9
9 − 29R + R = 9 ; R − 29R = 0
R(1 − 29) = 0
R = 0 ó 9 =
Inverso de 2: 2 ∗ 9!
= 0
2(1 − 29! ) + 9!
= 0
2 − 49!
+ 9!
= 0
9!
=
Inverso de 1: 1 ∗ 9!
= 0
1(1 − 29! ) + 9!
= 0
1 − 29!
+ 9!
= 0
9!
= 1
2!
∗ 1!
= ∗ 1
De: 9 ∗ : = 9(1 − 2:) + :
∗ 1 = (1 − 2) + 1

= −
"
+ 1
= 1 − = 1/3
2!
∗ 1!
= − − − − − (p)
:) (2 ) ∗ 3 = 3 ∗ (2 ) → = 1 ?
9 ∗ : = 9(1 − 2:) + :
2 (1 − 6) + 3 = 3(1 − 4 ) + 2
2 − 12 + 3 = 3 − 12 + 2
3 − 10 = 3 − 10 → (2 ) ∗ 3 = 3 ∗ (2 )
10 = 10 → = 1, 2, ----
(2 ) ∗ 3 = 3 ∗ (2 ) → = 1 − − − − − (p)
c.) ∀9, :, H ∈ V , (9 ∗ :) ∗ H = 9 ∗ (: ∗ H)
De: (9 ∗ :) ∗ H = 9 ∗ (: ∗ H)
9 ∗ : = 9(1 − 2:) + :
(9 ∗ :) ∗ H = 7 9(1 − 2:) + :] ∗ H
= (9 − 29: + :) ∗ H
= (9 − 29: + :)(1 − 2H) + H
= 9 − 29H − 29: + 49:H + : − 2:H + H
= 9 + : + H − 29H − 29: − 2:H + 49:H − − − (1)
9 ∗ (: ∗ H) = 9 ∗ 7 :(1 − 2H) + H]
= 9 ∗ (: − 2:H + H)
= 9(1 − 2: + 4:H − 2H) + : − 2:H + H
= 9 − 29: + 49:H − 29H + : − 2:H + H
= 9 + : + H − 29: − 2:H − 29H + 49:H − − − −(2)
De (1) y (2): (9 ∗ :) ∗ H = 9 ∗ (: ∗ H)
→ ∀9, :, H ∈ V , (9 ∗ :) ∗ H = 9 ∗ (: ∗ H) − − − −(p)

107)
' = {0,1,2} ; e=2
9 ∗ R = 9
1 ∗ 2 = 1 ; 2 ∗ 1 = 1
2 ∗ 2 = 2 ; 0 ∗ 2 = 0 ; 2 ∗ 0 = 0
9 ∗ 9!
= R
9 ∗ 9!
= 2 → 1 ∗ 0 = 2
9 ∗ 9!
= 2 → 0 ∗ 1 =2
La tabla construida es:
De la tabla se obtiene:
0 ∗ 1 = 2 ; 0 ∗ 0 = 1
1*1= 0 ; 1*0=2 ; 0*2= 0
7(0 ∗ 1) − (0 ∗ 0)] + 7(1 ∗ 1) − (1 ∗ 0)]+(0*2)
= (2 − 1) + (0 − 2) + 0
= 1 − 2 = −1
108)
Se define: a*b = a+b-ab
De: a*e=a y a* a-1
= e

a*e=a → 9 + R − 9R = 9
R − 9R = 0 → R(1 − 9) = 0
R = 0 ó 9 = 1
a* a-1
= e → ‰0NRQMI SR 2:
2 + a-1
- 2a-1
= 0 ; a-1
=2
‰0NRQMI SR 3:
3 + a-1
- 3a-1
= 0 ; a-1
=
De: 2!
∗ 3!
=
= $2 ∗ %
= 2 + − 3
=
§
− 3
=
109)
Se encuentra el inverso de: a y b
e= a
método de L volteada

9!
= 9 ; :!
= :
De: = 7(S ∗ 9!
)!
∗ :!
]!
= 7(S ∗ 9)!
∗ :]!
= 7(S)!
∗ :]!
; S!
= S
= 7S ∗ :]!
= (H)!
; H!
= H
= H
110)
Se debe recordar que en caso de tablas se debe tener una simetría
respecto a la diagonal trazada en la tabla.
Se verifica la simetría respecto a la diagonal:
a) * es conmutativa ---------------(V)
b) Existe un elemento identidad para * ?

Se busca la intersección de una fila y columna igual a las entradas:
e= p
Existe un elemento identidad para * ---------(V)
c) Todo elemento de A tiene un inverso respecto a * ?
Se usa el método de la L volteada para verificar la existencia de
los inversos:
Todo elemento de A tiene un inverso respecto a * -----------(V)
d) Si (p*q)*x= s → = Q
De la tabla: p*q= q
→ T ∗ = M
De la tabla se observa que: q*r =s
→ = Q
Si (p*q)*x= s → = Q − − − − − (p)
111)
Sea: 2a+1= t ; a=
·!
: − 2 = K ; : = K + 2
→ L ∗ K = 2 $
·!
% + K + 2 + 1
L ∗ K = L − 1 + K + 3

L ∗ K = L + K + 2
De: a*e=a
→ 9 + R + 2 = 9
R = −2
De: a*EI=e
-3*EI=-2 → −3 + YÎ + 2 = −2
YÎ = −1
(−3)!
∗ 4 =?
= −1 ∗ 4
= −1 + 4 + 2
(−3)!
∗ 4 = 5
112)
' = {1,2,3,4}
R = 4
Se considera que: a*e=e*a=a
9 ∗ YÎ = R
Como cada elemento es su propio inverso, se tiene:
Se observa que con respecto a la diagonal sus elementos son simétricos:

a) (2*3)*(2*4)=2
2*3 = 1 ; 2*4 = 2
(2*3)*(2*4)= (1)*(2)
= 3
(2*3)*(2*4)=2 --------------(F)
b) * es conmutativa ?
Se se toma: (2*4) = 2 ; 4*2= 2
(2*4) = 4*2= 2
(2 ∗ 3) = 1 ; (3 ∗ 2) = 1
(2*3) = 3*2= 1
* es conmutativa --------(V)
c) (3 ∗ 2! ) ∗ 3!
= 2 ?
El inverso de 2!
= 2
(3 ∗ 2! ) ∗ 3!
= (3 ∗ 2) ∗ 3
= (1) ∗ 3
= 2
(3 ∗ 2! ) ∗ 3!
= 2 − − − −(p)
113)

' = {1,2,3,4}
R = 3
Formando la tabla con la información:
( ∗ 3)!
= (2 ∗ 4! )!
zR HI0IHR TKR: 4!
= 4
(2 ∗ 4! )!
= (2 ∗ 4)!
HI•WˆRL90SI ˆ9 L9:ˆ9:
(2 ∗ 4)!
= 1!
= 1
( ∗ 3)!
= (2 ∗ 4! )!
= 1
( ∗ 3)!
= 1
→ ∗ 3 = 1
→ = 1 → 9 = 1
De: 7(9 ∗ 2)!
∗ (9!
∗ 3! )]!
=?
7(1 ∗ 2)!
∗ (1!
∗ 3! )]!
=?
7(4)!
∗ (1 ∗ 3)]!
=
= (4 ∗ 1)!
= (2)!
= 2

114)
' = {W, T, Q, M, L}
(W ∗ ! )!
∗ (L ∗ T! ) = L!
El elemento neutro es:
e= s
Los inversos de: t y q son:
L!
= Q ; T!
= W
De: (W ∗ ! )!
∗ (L ∗ T! ) = L!
→ (W ∗ ! )!
∗ (L ∗ W) = Q ; t*p = q
→ (W ∗ ! )!
∗ (T) = Q
→ (W ∗ ! )!
= L ; WIQTKR L ∗ T = Q
Buscar el elemento cuyo inverso sea igual a t:
Q!
= L
W ∗ !
= Q
De la tabla: !
= W → ∗ !
= M
→ ∗ W = M ; = T

Se obtiene: x*r
∗ Q = T ∗ Q
= W
115)
En la tabla:
Hallar “n”en:
(3 ∗ 0) ∗ (2 ∗ 0) = (3 ∗ 3) ∗ 0
De la tabla se obtiene: 2*0=2 ; (3*3)=0
→ (3 ∗ 0) ∗ 2 = 0 ∗ 0 ; 0*0= 0
→ (3 ∗ 0) ∗ 2 = 0
Como : 1*2=0 → 3 ∗ 0 = 1
→ 3 ∗ 2 = 1 → 0 = 2
116)
De la definición de %:
( + 2)% ( − 1) = ( + 2) − ( + 2)( − 1)
Desarrollando:
+ 4 + 4 − ( + − 2) = 5
4 + 4 − + 2 = 5
2 = 6

= 3
117)
' = {0,2,4,6,8}
[( !
∗ 2!
) ∗ (6 ∗ 8)!
]!
= 2
El elemento neutro de la operación es:
de la tabla e= 6
Se obtiene: 6*8 = 8
[( !
∗ 2!
) ∗ 8!
]!
= 2
Los inversos de 2 y 8 son:
2!
= 0 ; 8!
= 4
→ 7( !
∗ 0) ∗ 4]!
= 2
De la tabla se observa que el inverso de 0 es 2,
→ 0!
= 2
→ ( !
∗ 0) ∗ 4 = 0
Como: 2*4=0
→ !
∗ 0 = 2

Como: 8*0=2 → !
= 8
El inverso de 8 es 4
∗ !
= 6 → ∗ 8 = 6
= 4
118)
Como el neutro toma el máximo valor:
e = 4
Con la informacion del problema se tiene la siguiente tabla”
Se calcula A;
' = 7(3 ∗ 2)!
∗ (4 ∗ 1! )]!
3 ∗ 2 = 4
→ ' = 7(4)!
∗ (4 ∗ 1! )]!
→ ' = 7(4 ∗ (4 ∗ 1)]!
→ ' = 7(4 ∗ (1)]!
→ ' = (4 ∗ 1)!
= 1!
' = 1

119
R = RˆR•R0LI 0RKLQI
∀ 9, :, H, S, R ∃ ‰0NRQMI
9 ∗ R = R ∗ 9 = 9
Para que sea conmutativa, debe ser simétrica respecto a
su diagonal, para ellos los valores de x, y z son:
x= c ;
z=b=y
e= c

Se calcula: {7( ∗ “!
)!
∗ 9]!
∗ }!
De la tabla se observa que el inverso de z es: d
M= {7(: ∗ S)!
∗ 9]!
∗ H}!
M= {7H!
∗ 9]!
∗ H}!
; b*d =c
H!
= H
M= {7H ∗ 9]!
∗ H}!
= {79!
∗ H}!
; H ∗ 9 = 9
9!
= R
Ð = {7R ∗ H}!
= R!
; R!
= 9
Ð = 9
120)
Se debe obtener: (x*d, y*c)
El elemento neutro es : a
e=a
Los inversos de cada elemento se obtienen usando la: L volteada
9!
= 9 ; :!
= R ; H!
= S ; S!
= H ; R!
= :

De: ∗ = : ; ∗ !
= S
a* b=b a*d = d
b*a= b b*c =d
c*e =b c*b = d
d*d =b d*a =d
e*c =b e*e =d
Se tiene que:
= H ; = R
→ (x ∗ d, y ∗ c) = (H ∗ S, R ∗ H)
H ∗ S = 9 ; R ∗ H = :
→ (x ∗ d, y ∗ c) = (9, :)
121)
De la tabla: 3*5=1 ; 1*4 = 3 ; 3*2=3
De:
£( ∗ ) ∗ 1¤ ∗ (3 ∗ 5) = (1 ∗ 4) ∗ (3 ∗ 2)
£( ∗ ) ∗ 1¤ ∗ 1) = 3 ∗ 3
3 ∗ 3 = 5

£( ∗ ) ∗ 1¤ ∗ 1) = 5
Como: 5 ∗ 1 = 5 → ( ∗ ) ∗ 1 = 5
→ ( ∗ ) = 5
En la tabla: 3*3=5
→ = 3
122)
Se determina que regla sigue la tabla para poder determinar los valores de
2001 y 2003
Para la primera fila, se observa que las entradas están multiplicadas
por 3:
2∆2001 = 2001 3
2∆2001 = 6003
Para los elementos de la primer columna, se observa que las entradas
están multiplicadas por 2 y restado 1, asi:
2003 ∆1 = 2 2003 − 1
2003 ∆1 = 4006 − 1 = 4005
→ Y = (2003 ∆1) − (2 ∆2001)
→ Y = 4005 − 6003
→ Y = −1998

123)
La tabla coincidente de filas y columnas es:
De la tabla se obtiene:
3 ⊕ 4 = 3 ; 2 ⊕ 2 = 4
→ (3 ⊕ 4) ⊕ ( ⊕ 4) = 71 ⊕ (2 ⊕ 2)] ⊕ 3
→ 3 ⊕ ( ⊕ 4) = 71 ⊕ 4] ⊕ 3
1 ⊕ 4 = 1
→ 3 ⊕ ( ⊕ 4) = 1 ⊕ 3
1 ⊕ 3 = 4
→ 3 ⊕ ( ⊕ 4) = 4
De la tabla: 3 ⊕ 1 = 4 → ⊕ 4 = 1
De la tabla: 1 ⊕ 4 = 4 → = 1
= 1
124)

e= 3
Los inversos de 1,2,3 4 son:
1!
= 1 ; 2!
= 4 ; 3!
= 3 ; 4!
= 2
Además se conoce que: ⊗ !
= R
Por lo que:
0 = ∑ (
"
Ô ⊗ !
+ !
)
= 7( 1 ⊗ 1!
+ 1! ) + ( 2 ⊗ 2!
+ 2! ) + ( 3 ⊗ 3!
+
3! ) + ( 4 ⊗ 4!
+ 4! )]
= 7( R + 1! ) + ( R + 2! ) + ( R + 3! ) + ( R + 4! )]
= 7( 3 + 1) + ( 3 + 4) + ( 3 + 3) + ( 3 + 2)]
= 4 + 7 + 6 + 5
0 = 22
125)
r % s = Q + M
r # s =
(Õ„Ö)

→ = Q + M -
(Õ„Ö)
= ( )!
→ 2Q + 2M − (Q + M) = 2. 2
2Q + 2M − Q − 2QM − M = 16
Q − 2QM + M = 16
(Q − M) = 16
Q − M = 4

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