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Relaciones y funciones
- 1. RELACIONES Y FUNCIONES a) PAR ORDENADO.- Llamemos por ordenado de números reales a la expresión (a,b) donde a e llamada la primera componente y b es llamada la segunda componente. Ejemplo: son pares ordenados (3,5), (-2,7), (etc). b) IGUALDAD DE PARES ORDENADOS.- Los pares ordenados (a,b) y (c,d) diremos que son iguales si sus correspondientes componentes son iguales, esto es: ( , ) ( , )a b c d a c b d Ejemplo: Los pares ordenados (5,6) y (5,4) no son iguales sus segundas componentes son diferentes. c) PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS.- Consideremos dos conjuntos A y B arbitrarios; llamaremos producto cartesiano de A y B, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a,b) de tal manera que la primera componente a pertenece al conjunto A y la segunda componente b pertenece al conjunto B. La notación del producto cartesiano de A y B es: AxB. Simbólicamente el producto cartesiano se representa: AxB ( , )/ A Ba b a b Nota: ( , ) AxB A Ba b a b Ejemplo: Sean A 1,3,5 y B 2,4 entonces: AxB (1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4) OBSERVACION.- Cuando los conjuntos A y B son finitos entonces: n(AxB)=n(A).n(B) Donde: n(A): es el número de elementos del conjunto A. n(B): es el número de elementos del conjunto B. n(AxB): es el número de elementos del conjunto A x B Ejemplo: Si A={2,4} y B={1,3,5} entonces: AxB={(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5)} De donde : n(AxB)=n(A).n(B)=(2)(3)=6 d) REPRESENTACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO CARTESIANO En el producto cartesiano A x B, a cada uno de los conjuntos A y B lo representamos sobre dos rectas perpendiculares, en donde los elementos del conjunto A se representa en el eje horizontal y los elementos del conjunto B se representan sobre el eje vertical, de tal manera que las líneas verticales que pasan por los elementos de A y las líneas horizontales que pasan por los elementos de B al interceptarse se obtienen los pares ordenados AxB. Ejemplo: Si A 1,3,5 y B 2,4 entonces: AxB (1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)
- 2. A los elementos del conjunto A lo representaremos en el eje horizontal y a los elementos del conjunto B lo representaremos en el eje vertical. 1 3 4 5 2 4 x y A B 2 A x B OBSERVACIÓN: Como los conjuntos A y B son arbitrarios, entonces consideremos los siguientes casos: 1) Si A = B, el producto cartesiano denotaremos por AxB=AxA=A2 2) Si A=B=R entonces AxB=RxR=R2 este producto nos representa el plano cartesiano. e) DIAGONAL DE UN CONJUNTO Dado un conjunto A , a la diagonal del producto cartesiano A x A denotaremos por IA y es definido por: AI ( , ) AxA/x y y x RELACIONES BINARIAS a) DEFINICION.- Consideremos dos conjuntos A y B no vacíos; llamaremos relación binaria de a en B ó relación entre elementos de A y B a todo el subconjunto R del producto cartesiano A x B, esto es: R es una relacion de A en B R AxB OBSERVACION.- 1) Si A = B, entonces R es una relación en A ó, R es una relación entre elementos de A. 2) Si R es una relación entre elementos de A y B, el conjunto A le llamaremos conjunto de partida y al conjunto B le llamaremos conjunto de llegada. 3) Generalizando: una relación R, entre los elementos del conjunto de los números reales R, está determinado por una función proposicional P(x,y); esto es: E= ( , ) RxR / P( , )x y x y 4) Cuando el par ordenado (a,b) satisface a la función proposicional P(x,y) de la relación R, diremos que (a,b) R en caso contrario (a,b) R 5) Si A tiene p elementos y B tiene q elementos n 2 relaciones entre A y B donde n = pq. b) DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACION BINARIA Consideremos una relación R de A en B; es decir que R AxB El dominio de la relación R denotado por DR es el conjunto definido por: / ( , )RD a A b B a b R El rango de la relación R denotado por RR es el conjunto definido por:
- 3. / ( , )RR b B a A a b R Ejemplo.- Si (1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)R entonces: 1,2RD ; 3,4,5RR OBSERVACION.- Para determinar el dominio de una relación, primero se despeja “y” enseguida se analiza los valores que pueden tomar “x” para que la variable “y” sea real. Para determinar el rango de una relación se despeja “x”, enseguida se analiza los valores que puedan tomar “y” para que la variable “x” sea real. c) PROPIEDADES DE LA RELACIÓN BINARIA Las relaciones binarias gozan de las siguientes propiedades: 1) PROPIEDAD REFLEXIVA.- Una relación R en A diremos que es simétrica si ( , )a a R para todo a R , esto es: R es reflexiva en A A,( , )a a a R 2) PROPIEDAD SIMETRICA.- Una relación R en A diremos que es simétrica si ( , )a b R implica que ( , )b a R , esto es: R es simetrica ( , ) A ( , )a b b a R 3) PROPIEDAD TRANSITIVA.- Una relación R en A, diremos que es transitiva sí: ( , ) ( , )a b R b c R implica que ( , )a c R , esto es: R es simetrica , , , ( , ) A ( , ) R ( , )a b c A a b b c a c R 4) PROPIEDAD ANTISIMÉTICA.- Una relación R en A, diremos que es antisimétrica sí: , A, ( , ) R y ( , )a b a b b a R implica que: a=b, esto es: R es antisimetrica , , ( , ) ( , )a b A a b R b a R a b 5) PROPIEDAD DE EQUIVALENCIA.- Una relación R en A, diremos que es de equivalencia si es: reflexiva, simétrica y transitiva. DETERMINACION DE UNA RELACION BINARIA Como la relación es un de pares ordenados, entonces a una relación determinaremos por extensión o por comprensión. a) POR EXTENSION.- Queda determinada por extensión cuando se menciona cada uno de los pares ordenados de la relación. b) POR COMPRENSIÓN.- Queda deternimada por comprensión cunado se da una propiedad que caracteriza a todos los pares ordenados. RELACION DE ORDEN Una relación R :A A , es una relación de orden si: a) R es reflexiva b) R es antisimetrica c) R es transitiva RELACION INVERSA O RECIPROCA Si R A B es una relación de A en B; ie. R :A B Entonces a la relación inversa de R lo denotamos por 1 R y esta definido por: 1 * R R (y, x) B A/(x, y) R ,
- 4. ie. 1 R : B A