Relaciones y Grafos iupsm
- 2. Introducción • Una relación matemática puede ser descrita como un par de conjuntos ordenados que tienen un vínculo entre sí. • Un grafo es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto.
- 3. Relaciones • A continuación, definimos una relación como cualquier conjunto de pares ordenados. En el contexto de álgebra, las relaciones de interés son conjuntos de pares ordenados (x, y) en el plano de coordenadas rectangular. Típicamente, las coordenadas están relacionadas por una regla expresada usando una ecuación algebraica. Por ejemplo, ambas ecuaciones algebraicas y = | x | −2 y x = | y | +1 definen relaciones entre x e y. Los siguientes son algunos enteros que satisfacen ambas ecuaciones:
- 4. Grafos • Típicamente, un grafo se representa gráficamente como un conjunto de puntos (vértices o nodos) unidos por líneas (aristas). • Desde un punto de vista práctico, los grafos permiten estudiar las interrelaciones entre unidades que interactúan unas con otras. Por ejemplo, una red de computadoras puede representarse y estudiarse mediante un grafo, en el cual los vértices representan terminales y las aristas representan conexiones. • Prácticamente cualquier problema puede representarse mediante un grafo, y su estudio trasciende a las diversas áreas de las ciencias exactas y las ciencias sociales.
- 5. Ejemplo • La imagen es una representación del siguiente grafo: • V:={1,2,3,4,5,6} • E:={{1,2},{1,5},{2,3},{2,5},{3,4},{4,5},{4,6}} • El hecho que el vértice 1 sea adyacente con el vértice 2 puede ser denotado como 1 ~ 2. • En la teoría de las categorías una categoría puede ser considerada como un multigrafo dirigido, con los objetos como vértices y los morfismos como aristas dirigidas. • En ciencias de la computación los grafos dirigidos son usados para representar máquinas de estado finito y algunas otras estructuras discretas. • Una relación binaria R en un conjunto X es un grafo dirigido simple. Dos vértices a, b en X están conectados por una arista dirigida ab si aRb.
- 6. Propiedades de los Grafos • Adyacencia: dos aristas son adyacentes si tienen un vértice en común, y dos vértices son adyacentes si una arista los une. • Incidencia: una arista es incidente a un vértice si ésta lo une a otro. • Ponderación: corresponde a una función que a cada arista le asocia un valor (costo, peso, longitud, etc.), para aumentar la expresividad del modelo. Esto se usa mucho para problemas de optimización, como el del vendedor viajero o del camino más corto. • Etiquetado: distinción que se hace a los vértices y/o aristas mediante una marca que los hace unívocamente distinguibles del resto. Matriz de adyacencia Lista de adyacencia
- 7. Producto Cartesiano • Dados dos conjuntos A y B una relación es un subconjunto del producto cartesiano A x B. Un elemento a, que pertenece al conjunto A, está relacionado con un elemento b, que pertenece al conjunto B, si el par (a, b) pertenece a un subconjunto G (llamado grafo) del producto cartesiano A x B. • Ejemplo: Sean A = {a, b, c} y B = {1, 2} dos conjuntos. El producto cartesiano A x B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}. Una relación sería R = {(a,1),(c,2)}.
- 8. Producto Cartesiano • Considere dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b) en donde a ∈ A y b ∈B se llama producto o producto cartesiano de A y B. La definición de producto cartesiano puede extenderse fácilmente al caso de más de dos conjuntos. Se llama producto cartesiano de dos conjuntos A y B y se representa A x B, al conjunto de pares ordenados (a, b), tales que el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento al segundo conjunto. Es decir: • A x B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B} El producto cartesiano, en general, no es conmutativo. Es decir: A x B ≠ B x A. • Puede ocurrir que los conjuntos A y B sean coincidentes.
- 9. Ejemplo Si A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, el producto cartesiano es: • A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)} • Se puede representar gráficamente por medio de puntos en un plano, como se muestra a continuación. Aquí, cada punto P representa una pareja ordenada (a, b) de números reales y viceversa; la línea vertical a través de P encuentra al eje x en a, y la línea horizontal a través de P encuentra el eje y en b. • A esta representación se le conoce como diagrama cartesiano.
- 10. Relación Binaria • La relación binaria definida en un conjunto A es un subconjunto del producto cartesiano A x A. • EJEMPLO: • Sea el conjunto A = {x, y, z}. El grafo de la siguiente figura representa una relación binaria definida en A, puesto que los pares (x, z), (y, x) (y, y) constituyen un subconjunto de A x A. Se dice que dos elementos a y b están relacionados, y se escribe a R b, “a está relacionado con b mediante la relación binaria R”, cuando el par ordenado (a, b) pertenece al subconjunto del producto cartesiano que define la relación. Si dos elementos a y b no están relacionados mediante R en algún sentido, escribiremos a R b o b R a o ambas cosas.
- 11. Propiedades de las Relaciones • Las principales propiedades que puede presentar una relación binaria R definida en un conjunto A se indican en la siguiente tabla, junto con sus respectivas condiciones.
- 12. Diagrama de Flechas • El diagrama de flechas es el indicador de orden de cómo deben ser ejecutadas las actividades de un determinado proyecto, Se encuentra fundamentado por la aplicación metodológica del camino crítico. Su objetivo es darle facilidad a la planificación y programación de los proyectos que sean altamente complejos y de gran magnitud y comprende una simplificación del método PERT.
- 13. Diagrama de Flechas • Este tipo de diagrama brinda la posibilidad de poder planificar y controlar correctamente el desarrollo y progreso de cualquier proyecto que esté formado por una gran diversidad de actividades. Permite que las actividades vinculadas al proyecto, la secuencia y el tiempo de duración, se conozcan. • Además, proporciona el total control del proyecto, permitiendo afrontar las dificultades que se presenten en el transcurso de la ejecución del mismo, lo que se puede demostrar en un solo documento. Esta técnica la puede utilizar cualquier persona que sea parte de una organización como una favorable herramienta que se involucre en el trabajo diario. • Este método es una técnica de red de proyectos, se basa en actividades representadas por medio de flechas. Su uso ha permitido que gran parte de los sistemas de computación utilicen esta representación, por lo tanto, es un desarrollo favorable que ha ido en aumento hoy en día.
- 14. Relaciones de Equivalencia • En teoría de conjuntos y álgebra, la noción de relación de equivalencia sobre un conjunto permite establecer una relación entre los elementos del conjunto que comparten cierta característica o propiedad. Esto permite reagrupar dichos elementos en clases de equivalencia, es decir, «paquetes» de elementos similares. Esto posibilita la construcción de nuevos conjuntos «añadiendo» todos los elementos de una misma clase como un solo elemento que los representará y que define la noción de conjunto cociente.
- 15. Clase de equivalencia • En lógica de clases y análisis matemático, la relación de equivalencia R define subconjuntos disjuntos en K llamados clases de equivalencia: • Dado un elemento a K, el conjunto dado por todos los elementos relacionados con a definen la clase: • Se le llama la clase de equivalencia asociada al elemento a. • Al elemento a se le llama representante de la clase. • Se llama orden al número de clases que genera una relación de equivalencia; si éste es finito, se dice que la relación es de orden finito. • El concepto de clase de equivalencia tiene importancia en ciencia, dado un conjunto de objetos o entidades abstractas (potencialmente infinitas), pueden establecerse relaciones de equivalencia sobre la base de algún criterio, las clases resultantes son los "tipos" en los que se puede clasificar toda la gama de objetos.
- 16. Partición de equivalencia • Una relación de equivalencia sobre un conjunto induce una partición del mismo, es decir, un conjunto en el que se ha definido una relación de equivalencia puede ser dividido en varios subconjuntos de elementos equivalentes entre sí y tales que la reunión de esos subconjuntos coincide con el conjunto entero. El siguiente teorema expresa en términos más formales esa misma idea: • Proposición: Una relación de equivalencia en el conjunto no vacío K determina una partición de este, y toda partición de K determina una relación de equivalen La partición tiene como elementos las clases de equivalencia. Estas son disjuntas dos a dos y la unión de ellas es igual al conjunto K. • Para cualquiera dos no relacionados tenemos: • La unión de todos integra al total:
- 17. Cerradura • En muchas ocasiones una relación no cumple alguna de las propiedades de equivalencia, pero hay relaciones que la incluyen y que sí cumplen la propiedad. De todas las relaciones la menor posible se llama su cerradura. • Sea R una relación en un conjunto A • Una cerradura reflexiva ref( R ) de R en A es la “menor” relación que la incluye y que es reflexiva, con símbolos: (∀ R’ reflexiva) (A ⊆ R’ ⊆ ref( R )) ⇒ R’ = ref( R )) • Una cerradura simétrica sim( R ) de R en A es la “menor” relación que la incluye y que es simétrica, con símbolos: (∀ R’ reflexiva) (A ⊆ R’ ⊆ ref( R )) ⇒ R’ = ref( R )) • Una cerradura transitiva trans( R ) de R en A es la “menor” relación que la incluye y que es transitiva, con símbolos: (∀ R’ reflexiva) (A ⊆ R’ ⊆ ref( R )) ⇒ R’ = ref( R )
- 18. Función Inyectiva • Una función es inyectiva cuando no hay dos elementos del dominio que tengan la misma imagen. Formalmente:
- 19. Función sobreyectiva • Una función es sobreyectiva, también llamada suprayectiva o exhaustiva, cuando el codominio y el recorrido coinciden. Formalmente:
- 20. Función biyectiva • Una función es biyectiva, cuando es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo. Formalmente:
- 21. Bibliografía • Recuperado de: - Artículo web: https://es.wikipedia.org/wiki/Relación_binaria https://www.fisicalab.com/apartado/f-inyectiva-sobreyectiva-biyectiva https://trabajoenequipoitq.wixsite.com/matematicas-discreta/53-relaciones-de- equivalencia https://es.wikipedia.org/wiki/Relación_de_equivalencia https://www.webyempresas.com/diagrama-de-flechas/ https://trabajoenequipoitq.wixsite.com/mate-discretas-eq2/11-conceptos- bsicos#:~:text=Se%20llama%20producto%20cartesiano%20de,segundo%20ele mento%20al%20segundo%20conjunto. https://es.wikipedia.org/wiki/Grafo