Repaso para el examen final de actuaría

Repaso para el examen final de actuaría

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  REPASO PARA ELEXAMEN FINAL DE ACTUARÍA MAYO 2012 1) Repasen los problemas de interés simple y compuesto 1) Usted deposita $25, 000 al 4 % durante 6 años. ¿Cuál es el interés obtenido? I=P×r×n 25000*0.04*6 6000. I = $6, 000 2) Usted deposita $60, 000 a una tasa de interés r durante 5 años y obtiene un interés de $6, 500. ¿Cuál es el r? r = I / (P×n) 6500/(60000×5)//N 0.0216667 r = 2.17 % 3) Usted deposita un patrimonio P al 11 % de interés durante 7 años y obtiene un interés de $5, 000. ¿Cuál es P? P = I / (r×n) 5000/(0.11×7) 6493.51 P = $6,493.51 4) Usted deposita $100, 000 al 4.25 % y obtiene $18, 000. ¿Cuánto tiempo dejó invertido el dinero? n = I / (P×r) 18000/(100000×0.0425) 4.23529 n = 4.24 años 5) Cuando usted nació, un tío suyo depositó $100, 000 en una cuenta de banco que paga el 5 % de interés compuesto anualmente. Encuentre el patrimonio final si usted retira el dinero a: a) 18 años $240,662.00 b) 36 años $579,182.00 1
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  c) 65 años$2,383,990.00 d) 99 años $12,523,900 P = P0×(1+r)n P[d_,r_,n_] = d × (1+r)n d (1+r)n P[100000,0.05,18] 240662. P[100000,0.05,36] 579182. P[100000,0.05,65] 2.38399×106 P[100000,0.05,99] 1.25239×107 2) Sea a) Encuentre u’, u’’ b) Haga las gráficas de u’, u’’ 2
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  c) Compruebe queu’ > 0, u’’ < 0 4
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  3) Sea S(x)la distribución de vida de Weibull con parámetro de forma r > 0 parámetro de escala λ Con r = 5, λ = 2 Haga a) Gráfica de S(x) S(x) 1.2 1 0.8 0.6 S(x) 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 -0.2 b) Fórmula de μ(x) y la gráfica 5
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  u(x) 180 160 140 120 100 80 u(x) 60 40 20 0 -20 0 0.5 1 1.5 2 2.5 4) Sea y una perdida aleatoria con fdP. Suponga que la función de utilidad usada en la toma de decisiones es Suponga que w = 5. ¿Cuál es el máximo que se pagaría por un seguro contra y? Sea Y una pérdida aleatoria con f.d.p 6
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  o w>0 o f(w) = wr 0 < r < 1 o o o o o o o o o 5) Verifique que la función de utilidad cuadrática corresponde a un individuo adverso al riesgo. Nota: 7
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  x = 5, u 8
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  6) Consider a1 year term life insurance paying $75,000 if death is accidental, otherwise the benefit will be $30,000. Let suppose that the probability of an accidental death within a year is 0.0003 and the probability of non accidental death is 0.0031. Find out the distribution of B given I=1. o Pr(I = 1 and B = 75,000)= 0.0003 o Pr(I = 1 and B = 30,000)= 0.0031 o Pr( I=1) = 0.0003 + 0.0031 = 0.0034 o Pr(B = 30,000 | I=1)= o Pr(B = 75,000 | I=1)= 7) La tabla siguiente indica las ventas en ciertos días del año en miles de dólares Estime las ventas en los días 59, 225, 322, 365. Aplicaciones: Días Vol. Ventas (miles) 1 15 15 12.5 29 10 57 18.23 111 35 215 42.23 283 41 315 31.62 345 22 351 21.28 9
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  X = 59 Lalínea que pasa por (57,18.23) y (111,35) a) b) Usamos: y – y0 = m(x – x0) (x0,y0) = (57,18.23) Fórmula: En X = 59, se vendió 18.85 X = 225 La línea que pasa por (215,45.23) y (283,41) a) b) Usamos: y – y0 = m(x – x0) (x0,y0) = (215,45.23) Fórmula: En X = 225, se vendió 44.61 X = 322 La línea que pasa por (315,31.62) y (345,22) a) b) Usamos: y – y0 = m(x – x0) (x0,y0) = (315,31.62) 10
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  Fórmula: En x = 322, se vendió 29.38 X = 365 La línea que pasa por (345,22) y (351, 21.28) a) b) Usamos: y – y0 = m(x – x0) (x0,y0) = (345,22) En X = 365, se vendió 19.6 8) Para la tabla X Y 8 5 13 6 14 -5 19 2 23 22 Encuentre los polinomios de interpolación pedidos. Orden = 1, 2, 3, 4 11
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  25 20 15 y = 0.976x - 9.03 10 Series1 5 Linear (Series1) 0 0 5 10 15 20 25 -5 -10 25 20 y = 0.2478x2 - 6.7751x + 44.966 15 10 Series1 5 Poly. (Series1) 0 0 5 10 15 20 25 -5 -10 25 y = 0.0318x3 - 1.2096x2 + 13.91x - 44.88 20 15 10 Series1 5 Poly. (Series1) 0 0 5 10 15 20 25 -5 -10 12
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  40 30 y = -0.0349x4 + 2.2448x3 - 51.533x2 + 496.89x - 20 1678.2 Series1 10 Poly. (Series1) 0 0 5 10 15 20 25 -10 -20 Suponga que an está definido por la formula que aparece abajo. Escriba los primeros 100 términos y haga la grafica (a) usando Excel (b) usando R: (1) (2) Usando Excel n an (1) an (2) 1 0.5 2 2 0.4 1.106682 2.5 3 0.3 1.032481 4 0.235294 1.014044 2 5 0.192308 1.00732 6 0.162162 1.004291 1.5 7 0.14 1.002729 an (1) 8 0.123077 1.001842 1 an (2) 9 0.109756 1.001302 10 0.09901 1.000954 0.5 11 0.090164 1.000719 12 0.082759 1.000556 0 13 0.076471 1.000439 14 0.071066 1.000352 15 0.066372 1.000287 16 0.062257 1.000237 13
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  17 0.058621 1.000198 18 0.055385 1.000167 19 0.052486 1.000142 20 0.049875 1.000122 21 0.047511 1.000105 22 0.045361 1.000092 23 0.043396 1.00008 24 0.041594 1.000071 25 0.039936 1.000063 26 0.038405 1.000056 27 0.036986 1.00005 28 0.035669 1.000045 29 0.034442 1.00004 30 0.033296 1.000036 31 0.032225 1.000033 32 0.03122 1.00003 33 0.030275 1.000027 34 0.029386 1.000025 35 0.028548 1.000023 36 0.027756 1.000021 37 0.027007 1.000019 38 0.026298 1.000018 39 0.025624 1.000017 40 0.024984 1.000015 41 0.024376 1.000014 42 0.023796 1.000013 43 0.023243 1.000012 44 0.022716 1.000012 45 0.022211 1.000011 46 0.021729 1.00001 47 0.021267 1.00001 48 0.020824 1.000009 49 0.0204 1.000008 50 0.019992 1.000008 51 0.0196 1.000007 52 0.019224 1.000007 53 0.018861 1.000007 54 0.018512 1.000006 55 0.018176 1.000006 56 0.017851 1.000006 57 0.017538 1.000005 14
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  58 0.017236 1.000005 59 0.016944 1.000005 60 0.016662 1.000005 61 0.016389 1.000004 62 0.016125 1.000004 63 0.015869 1.000004 64 0.015621 1.000004 65 0.015381 1.000004 66 0.015148 1.000003 67 0.014922 1.000003 68 0.014703 1.000003 69 0.01449 1.000003 70 0.014283 1.000003 71 0.014082 1.000003 72 0.013886 1.000003 73 0.013696 1.000003 74 0.013511 1.000002 75 0.013331 1.000002 76 0.013156 1.000002 77 0.012985 1.000002 78 0.012818 1.000002 79 0.012656 1.000002 80 0.012498 1.000002 81 0.012344 1.000002 82 0.012193 1.000002 83 0.012046 1.000002 84 0.011903 1.000002 85 0.011763 1.000002 86 0.011626 1.000002 87 0.011493 1.000002 88 0.011362 1.000001 89 0.011235 1.000001 90 0.01111 1.000001 91 0.010988 1.000001 92 0.010868 1.000001 93 0.010751 1.000001 94 0.010637 1.000001 95 0.010525 1.000001 96 0.010416 1.000001 97 0.010308 1.000001 98 0.010203 1.000001 15
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  99 0.0101 1.000001 100 0.009999 1.000001 Usando R An(1) > for(i in 1:100){print(i/(1+i^2))} [1] 0.5 [1] 0.4 [1] 0.3 [1] 0.2352941 [1] 0.1923077 [1] 0.1621622 [1] 0.14 [1] 0.1230769 [1] 0.1097561 [1] 0.0990099 [1] 0.09016393 [1] 0.08275862 [1] 0.07647059 [1] 0.07106599 [1] 0.06637168 [1] 0.06225681 [1] 0.05862069 [1] 0.05538462 [1] 0.05248619 [1] 0.04987531 [1] 0.04751131 [1] 0.04536082 [1] 0.04339623 [1] 0.04159445 [1] 0.0399361 [1] 0.03840473 [1] 0.0369863 [1] 0.03566879 [1] 0.03444181 [1] 0.03329634 [1] 0.03222453 [1] 0.03121951 [1] 0.03027523 [1] 0.02938634 [1] 0.02854812 [1] 0.02775636 [1] 0.0270073 [1] 0.02629758 [1] 0.02562418 [1] 0.02498438 16
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  [1] 0.02437574 [1] 0.02379603 [1]0.02324324 [1] 0.02271554 [1] 0.02221125 [1] 0.02172886 [1] 0.02126697 [1] 0.0208243 [1] 0.02039967 [1] 0.019992 [1] 0.01960031 [1] 0.01922366 [1] 0.01886121 [1] 0.01851217 [1] 0.01817581 [1] 0.01785145 [1] 0.01753846 [1] 0.01723626 [1] 0.01694428 [1] 0.01666204 [1] 0.01638904 [1] 0.01612484 [1] 0.01586902 [1] 0.01562119 [1] 0.01538097 [1] 0.01514804 [1] 0.01492205 [1] 0.0147027 [1] 0.01448971 [1] 0.0142828 [1] 0.01408171 [1] 0.01388621 [1] 0.01369606 [1] 0.01351105 [1] 0.01333096 [1] 0.01315562 [1] 0.01298482 [1] 0.01281841 [1] 0.0126562 [1] 0.01249805 [1] 0.0123438 [1] 0.01219331 [1] 0.01204644 [1] 0.01190307 [1] 0.01176308 [1] 0.01162634 [1] 0.01149273 [1] 0.01136217 17
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  [1] 0.01123454 [1] 0.01110974 [1]0.01098768 [1] 0.01086828 [1] 0.01075145 [1] 0.01063709 [1] 0.01052515 [1] 0.01041554 [1] 0.01030818 [1] 0.01020302 [1] 0.01009998 [1] 0.009999 An(2) > for(a in 1:100){print((1+1/a)^(1/a^2))} [1] 2 [1] 1.106682 [1] 1.032481 [1] 1.014044 [1] 1.00732 [1] 1.004291 [1] 1.002729 [1] 1.001842 [1] 1.001302 [1] 1.000954 [1] 1.000719 [1] 1.000556 [1] 1.000439 [1] 1.000352 [1] 1.000287 [1] 1.000237 [1] 1.000198 [1] 1.000167 [1] 1.000142 [1] 1.000122 [1] 1.000105 [1] 1.000092 [1] 1.00008 [1] 1.000071 [1] 1.000063 [1] 1.000056 [1] 1.00005 [1] 1.000045 [1] 1.00004 [1] 1.000036 [1] 1.000033 18
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  [1] 1.00003 [1] 1.000027 [1]1.000025 [1] 1.000023 [1] 1.000021 [1] 1.000019 [1] 1.000018 [1] 1.000017 [1] 1.000015 [1] 1.000014 [1] 1.000013 [1] 1.000012 [1] 1.000012 [1] 1.000011 [1] 1.00001 [1] 1.00001 [1] 1.000009 [1] 1.000008 [1] 1.000008 [1] 1.000007 [1] 1.000007 [1] 1.000007 [1] 1.000006 [1] 1.000006 [1] 1.000006 [1] 1.000005 [1] 1.000005 [1] 1.000005 [1] 1.000005 [1] 1.000004 [1] 1.000004 [1] 1.000004 [1] 1.000004 [1] 1.000004 [1] 1.000003 [1] 1.000003 [1] 1.000003 [1] 1.000003 [1] 1.000003 [1] 1.000003 [1] 1.000003 [1] 1.000003 [1] 1.000002 [1] 1.000002 [1] 1.000002 [1] 1.000002 [1] 1.000002 19
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  [1] 1.000002 [1] 1.000002 [1]1.000002 [1] 1.000002 [1] 1.000002 [1] 1.000002 [1] 1.000002 [1] 1.000002 [1] 1.000002 [1] 1.000001 [1] 1.000001 [1] 1.000001 [1] 1.000001 [1] 1.000001 [1] 1.000001 [1] 1.000001 [1] 1.000001 [1] 1.000001 [1] 1.000001 [1] 1.000001 [1] 1.000001 [1] 1.000001 Gráficas de línea: plot(a1, type="l", col="blue",ylim=c(0,2)) lines(a2, type="l", lty=2, col="red") Gráficas de puntos: plot(a1, type="l", col="blue",ylim=c(0,2)) lines(a2, type="l", lty=2, col="red") x<-1:100 y<-(1+(1/x))^(1/(x)^2) plot(x,y) plot(x,y,type="l") plot(x,y,type="b") 20
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  9) Usando inducciónmatemática, compruebe que: a) b) c) Solución: a) 1. ¿Se cumple para n=1? 1(1+1) = 1(2) =2 sí!!! 2. Si se cumple para n, ¿se cumple para n+1? b) 1. ¿Se cumple para n=1? sí!!! 2. Si se cumple para n, ¿se cumple para n+1? 21
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  c) 1. ¿Se cumple para n=0? 2. Si se cumple para n, ¿se cumple para n+1? 10) Mencione 2 paquetes de R usados en actuaría. Explique sus características técnicas y sus aplicaciones (por lo menos media página para cada uno) Paquetes de contingencias de vida – paquete para llevar a cabo las matemáticas actuariales en las contingencias de la vida y los cálculos de matemáticas financieras. Este paquete y las funciones de este documento se proporcionan tal cual, sin ningún tipo de garantía respecto a la exactitud de los cálculos. El autor se exime de cualquier responsabilidad que surja por las eventuales pérdidas debido a la utilización directa o indirecta de este paquete. Ejemplos: ##financial mathematics example #calculates monthly installment of a loan of 100,000, #interest rate 0.05 i=0.05 monthlyInt=(1+i)^(1/12)-1 Capital=100000 22
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  #Montly installment R=1/12*Capital/annuity(i=i, n=10,k=12,type = "immediate") R balance=numeric(10*12+1) capitals=numeric(10*12+1) interests=numeric(10*12+1) balance[1]=Capital interests[1]=0 capitals[1]=0 for(i in (2:121)) { balance[i]=balance[i-1]*(1+monthlyInt)-R interests[i]=balance[i-1]*monthlyInt capitals[i]=R-interests[i] } loanSummary=data.frame(rate=c(0, rep(R,10*12)), balance, interests, capitals) head(loanSummary) tail(loanSummary) ##actuarial mathematics example #APV of an annuity data(soaLt) soa08Act=with(soaLt, new("actuarialtable",interest=0.06, x=x,lx=Ix,name="SOA2008")) #evaluate and life-long annuity for an aged 65 axn(soa08Act, x=65) Valor acumulativo – Esta función devuelve el valor en el instante n de una serie de pagos equidistante de 1. Uso: accumulatedValue(i, n,m=0, k,type = "immediate") Argumento: i Tasa de interés efectiva expresado en forma decimal. n Numero de termino de pagos. M Período diferido, donde el valor es cero. k Frecuencia de pago. tipo De inmediato o termino de cancelación. El valor acumulado es el valor futuro de los términos de una anualidad. Su expresión matemática es Sn = (1+i)n an 23
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  Valor: Un valornumérico que representa el valor calculado acumulado. Advertencias: La proporción tal cual, sin ninguna garantía con respecto a la exactitud del cálculo. Renunciamos a cualquier responsabilidad por las eventuales pérdidas derivadas del uso directo o indirecto del software. Ejemplo: #A man wants to save 100,000 to pay for his sons #education in 10 years time. An education fund requires the investors to #deposit equal installments annually at the end of each year. If interest of #0.075 is paid, how much does the man need to save each year in order to #meet his target? R=100000/accumulatedValue(i=0.075,n=10) 24
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  11) Mencione algunosde los modelos actuariales utilizados en seguridad social (por lo menos media página) Los Modelos son de dos tipos principales: estocásticos y deterministas. La aproximación clásica actuarial basada en valores esperados (aproximación determinista) es la usada al trabajar con el Seguro Social. Esto significa que, dados los parámetros de fondo, el resultado en términos de funciones actuariales es tomado como únicamente determinado. En un modelo determinista, las pruebas de sensitividad son las únicas medias de estimar un rango de resultados realistas. Pero la naturaleza estocástica subyacente de las funciones puede ser apreciada. Bajo la aproximación estocástica el valor resultante de una función actuarial es usado solo como el promedio o valor esperado del resultado. Un modelo estocástico es un modelo matemático en el cual la representación de un fenómeno dado es expresada en términos de probabilidades. El modelo estocástico es usado para derivar un estimado del valor esperado de una variable aleatoria y un intervalo de confianza para esta variable. La salida de un modelo estocástico de este modo incluye un rango amplio de posibles resultados, de los cuales es asociado con la probabilidad de ocurrencia. Los métodos estocásticos han sido ampliamente aplicados en seguros de vida y generales, pero han visto solo una aplicación limitada en el campo de pensiones, específicamente con el Seguro Social. El modelo determinista, por otro lado, es basado en un conjunto dado de datos y suposiciones y produce un conjunto de salidas. Un modelo determinista es una simplificación del modelo estocástico en el cual la proporción de ocurrencias de un evento dado estimado por el modelo estocástico es asumido de que ocurra con probabilidad de uno. a) métodos actuariales de primas de finanzas b) métodos actuariales de sistemas de retiro c) métodos actuariales de supervivencia y mortalidad d) métodos actuariales en sistemas de financiamiento e) métodos actuariales en seguro social de Estados Unidos f) métodos actuariales de Seguro temporal. g) métodos actuariales de Seguro por incapacidad. h) Métodos actuariales de seguros de vida i) métodos actuariales en accidentes laborales. j) Métodos actuariales en orfandad k) Métodos actuariales por enfermedad l) Métodos actuariales por desempleo m) Métodos actuariales por maternidad n) Métodos actuariales de paquetes de salud o) Métodos actuariales de beneficios de reemplazo de salario poen caso de enfermedad o accidente 25
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  A. lifecontingencies El análisisde los seguros de vida envuelve calcular estadísticas relacionadas al flujo de dinero. Por ejemplo, las primas de las pólizas de seguros es un análisis de un flujo de dinero cuya probabilidad está basada en la contingencia de vida del asegurado. Una tabla de vida o tabla de mortalidad es una tabla que muestra como la mortalidad afecta un sujeto de un cohorte a través de diferentes edades. Utilizando una perspectiva estadística una tabla de vida permite que la distribución de probabilidad del futuro de vida de un sujeto de edad x, se pueda deducir. La librería “lifecontingencies” permite realizar cálculos demográficos, financieros y actuariales para modelar seguros de vida de contingencias. Sus funciones son capaces de determinar el valor esperado y la distribución aleatoria de beneficios asegurados. Por lo tanto puede ser utilizado para determinar el precio de nuevas pólizas y para determinar el capital necesario basado en el riesgo. Una función de la librería es la habilidad de generar muestras de tablas de vida y de distribuciones aleatorias de seguros de vida. Dos limitaciones de la librería son que solamente puede manejar tablas de vida en decrementos sencillos y que no puede modelar contingencias de vida en tiempo continuo. La certeza de los cálculos realizados por la librería han sido verificados con ejemplos numéricos del texto "Actuarial Mathematics Schaumbrg" y se han encontrado exactos con la excepción del cálculo de las anualidades de pago fraccionadas. Hasta marzo de 2012, la librería lifecontingencies es la primera dentro de R para manejar la evaluación de seguros de vida. Esta librería es una alternativa a los programas comerciales Moses y Prophet que son hasta el momento los más utilizados en la construcción de modelos de seguros de vida. La librería lifecontingencies fue creada y es mantenida por Giorgio A. Spedicato, asesor financiero. B. 2 actuar La librería actuar es una que contiene funciones de Matemática Actuarial. La librería fue creada en 2005 por Vincent Goulet, profesor de ciencias actuariales de la Universidad de Laval de Canadá. La librería contiene funciones para utilizar en los campos de teoría de riesgo, distribución de pérdida y teoría de credibilidad. En el campo de distribuciones de pérdida la librería tiene capacidad para: momentos puros y limitados, data de grupos, estimados de distancia mínima, modificaciones de cobertura(deducibles, limites, inflación, coseguros). La librería provee funciones d, p, q, y r (densidad, distribución, cuantila y aleatoria respectivamente) para leyes de probabilidad útiles en la construcción de modelos de severidad de pérdida. 26
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  La versión actualde actuar 1.1-3 puede calcular solo un problema de teoría de riesgo: el cálculo de la distribución del conjunto de total de reclamaciones de un portafolio de seguros utilizando el modelo clásico colectivo de teoría de riesgo. La librería ofrece cinco distintos métodos de aproximación de la distribución y cuatro técnicas distintas para discretizar una variable de pérdida continua. La capacidad de actuar para teoría de credibilidad consiste de un conjunto de datos y tres funciones principales. El conjunto de datos es el de Hachemeister (1975). El conjunto de datos Hachemeister consiste del promedio de reclamaciones en seguros de automóviles en cinco estas de Estados Unidos entre Julio de 1970 y junio de 1973 con el número de reclamaciones correspondiente. Las funciones principales son: simpf para simular data de modelos jerárquicos compuestos, cm para ajustar modelos de credibilidad jerárquicos lineales, bstraub un versión más rápida y simple de la función cm para ajustar modelos Buhlmann y Buhlmann-Straub. En versiones futuras de actuar se tiene planeado mejorar la velocidad de ejecución de la librería, y añadir funciones mas avanzadas como capacidad para trabajar con modelos de dependencia en teoría de riesgo y regresión de modelos de credibilidad. 27