Representación gráfica de funciones (Bachillerato)
- 1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Prof. Carlos A. Blanco
- 2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Los pasos para representar gráficamente una función son los siguientes • Hallar el dominio de la función • Hallar los puntos de corte con los ejes de coordenadas • Determinar los signos de la función (regiones) • Determinar las simetrías de la función • Determinar si la función es periódica • Cálculo de las asíntotas de la función • Estudio analítico de la función (intervalos de crecimiento, decrecimiento, extremos, curvatura,…)
- 3. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN • Si 𝑓 𝑥 = 𝑝 𝑥 es una función polinómica, entonces su dominio es 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ • Si 𝑓 𝑥 = 𝑝 𝑥 𝑞 𝑥 es una función racional, (cociente de polinomios), entonces su dominio es 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ − 𝑥 𝑞 𝑥 = 0 • Si 𝑓 𝑥 = 𝑝 𝑥 es una función irracional, (raíz cuadrada de alguna expresión), entonces su dominio es 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑥 ∕ 𝑝 𝑥 ≥ 0 • Si 𝑓 𝑥 = log 𝑝 𝑥 es una función logarítmica, (logaritmo de alguna expresión), entonces su dominio es 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑥 𝑝 𝑥 > 0 El dominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. Es decir, es el conjunto de valores 𝑥 para los que la función tiene sentido. Se pueden tomar las siguientes consignas:
- 4. PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES DE COORDENADAS Para calcular los puntos de corte con el eje OX, en la expresión 𝑦 = 𝑓 𝑥 igualamos a 0 la variable 𝑦: Para calcular los puntos de corte con el eje OY, en la expresión 𝑦 = 𝑓 𝑥 igualamos a 0 la variable 𝑥: Halla los puntos de corte con el eje OX en la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1 Halla el punto de corte con el eje OY en la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1 Resolvemos la ecuación 0 = 𝑥2 − 1 ⇔ 𝑥2 = 1 ⇔ 𝑥 = ±1 Los puntos de corte con el eje OX son −1,0 y 1,0 En este caso, calculamos 𝑓 0 = 02 − 1 = 0 − 1 = −1 El punto de corte con el eje OY es 0, −1
- 5. SIGNOS DE LA FUNCIÓN A partir de los puntos de corte con el eje OX y los puntos de discontinuidad, calcularemos los signos de la función. Representaremos en el eje OX los puntos de corte como puntos rellenos, y los puntos de discontinuidad como puntos huecos (para indicar que la función no pasa por dichos puntos) El comportamiento de la función cerca de los puntos de corte puede ser uno de los cuatro siguientes: Alrededor de los puntos de discontinuidad, la función también puede cambiar de signo. Para conocer el comportamiento de la función, daremos valores en los intervalos resultantes entre los puntos de corte y discontinuidad y así sabremos que signos tomará.
- 6. SIGNOS DE LA FUNCIÓN Estudia los signos de la función 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 + 2 𝑥 − 1 𝑥 − 3 Se trata de una función polinómica, con lo que será siempre continua. Calculamos los puntos de corte con el eje OX 2 𝑥 + 2 𝑥 − 1 𝑥 − 3 = 0 ⇔ 𝑥 = −2 𝑥 = 1 𝑥 = 3 Representamos en los ejes de coordenadas los puntos de corte y los puntos de discontinuidad y damos valores. Marcaremos las regiones por las que no pase la función: Si 𝑥 = −3 ⇒ 𝑓 −3 = −48 < 0 Si 𝑥 = 0 ⇒ 𝑓 0 = 12 > 0 Si 𝑥 = 2 ⇒ 𝑓 2 = −8 < 0 Si 𝑥 = 4 ⇒ 𝑓 4 = 36 > 0
- 7. SIGNOS DE LA FUNCIÓN Estudia los signos de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥+2 𝑥−1 Se trata de una función racional, con lo que no está definida, (y será por tanto discontinua), en el punto que anule el denominador. 𝑥 − 1 = 0 ⇔ 𝑥 = 1 Calculamos los puntos de corte con el eje OX, (que anulan el numerador) 𝑥 + 2 = 0 ⇔ 𝑥 = −2 Representamos en los ejes de coordenadas los puntos de corte y los puntos de discontinuidad y damos valores. Marcaremos las regiones por las que no pase la función: Si 𝑥 = −3 ⇒ 𝑓 −3 = 1 4 > 0 Si 𝑥 = 0 ⇒ 𝑓 0 = −2 < 0 Si 𝑥 = 2 ⇒ 𝑓 2 = 4 > 0
- 8. SIMETRÍAS Y PERIODICIDAD Una función es simétrica respecto al eje de ordenadas (eje y) ó par, cuando para cada valor de su dominio se tiene: Una función es periódica cuando los valores que toma se van repitiendo cada cierto intervalo, llamado periodo. Una función es simétrica respecto al origen de coordenadas (O) o impar, cuando para cada valor de su dominio se tiene: 𝑓 −𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 + 𝑇 = 𝑓 𝑥
- 9. SIMETRÍAS Y PERIODICIDAD Estudia la simetría de 𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑥−4 , 𝑔 𝑥 = 1 𝑥2+1 y ℎ 𝑥 = 𝑥5 − 𝑥 𝑔 −𝑥 = 1 −𝑥 2 + 1 = 1 𝑥2 + 1 = g 𝑥 𝑓 −𝑥 = −𝑥 2 −𝑥 − 4 = 𝑥2 −𝑥 − 4 ≠ 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥 ℎ −𝑥 = −𝑥 5 − −𝑥 = −𝑥5 + 𝑥 = −ℎ 𝑥 De esta manera la función g 𝑥 es par, la función ℎ 𝑥 es impar y la función 𝑓 𝑥 no es ni par ni impar. Estudia la periodicidad de 𝑓 𝑥 = sin 2𝑥 y 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 1 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 1 no es una función trigonométrica, con lo que no será periódica 𝑓 𝑥 = sin 2𝑥 es una función trigonométrica, luego su periodo lo calculamos igualando el argumento a 2𝜋 2𝑥 = 2𝜋 ⇔ 𝑥 = 𝜋
- 10. ASÍNTOTAS Y RAMÁS INFINITAS Una rama infinita de una función es cualquier porción continua de su gráfica que tenga longitud infinita. Las ramas infinitas aparecen cuando las variables se hacen +∞ o −∞ Una asíntota es una recta hacia la que se aproxima una rama infinita de una función. • Si la recta es vertical hablamos de asíntotas verticales • Si la recta es horizontal hablamos de asíntotas horizontales • Si la recta es oblicua hablamos de asíntotas oblicuas.
- 11. ASÍNTOTAS (I) Asíntotas verticales: Las asíntotas verticales se encuentra en puntos que no se encuentran en el dominio de la función. Más concretamente, en la frontera de su dominio. Para que una función tenga una asíntota vertical en un punto 𝑥 = 𝑎, debe suceder que: Ejemplos: Busca las AV de 𝑓 𝑥 = 1 𝑥−1 y 𝑔 𝑥 = 𝑥2−1 𝑥−1 lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = ±∞ lim 𝑥→1+ 1 𝑥−1 = +∞ lim 𝑥→1− 1 𝑥−1 = −∞ lim 𝑥→1 𝑥2−1 𝑥−1 = 2
- 12. ASÍNTOTAS (II) Asíntotas horizontales: Para que una función tenga una asíntota horizontal, debe suceder que: Ejemplos: Busca las AH de 𝑓 𝑥 = 𝑥2+3 𝑥2+1 y 𝑔 𝑥 = 𝑥4+1 𝑥2+1 lim 𝑥→∞ 𝑓 𝑥 = 𝑎 ∈ ℝ lim 𝑥→∞ 𝑥2+3 𝑥2+1 = 1 lim 𝑥→∞ 𝑥4+1 𝑥2+1 = ∞
- 13. ASÍNTOTAS (y III) Asíntotas oblicuas: Las asíntotas oblicuas son rectas oblicuas que se aproximan a una de las ramas infinitas de la función. La ecuación de dichas rectas será de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛, con lo que basta calcular la pendiente y la ordenada de dicha recta. Para ello se usan las siguientes fórmulas: Obviamente, ambos límites deben existir y ser números reales. Ejemplo: Busca la AO de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2−1 𝑥 𝑚 = lim 𝑥→∞ 𝑓 𝑥 𝑥 𝑛 = lim 𝑥→∞ 𝑓 𝑥 − 𝑚𝑥 𝑚 = lim 𝑥→∞ 𝑥2−1 𝑥2 = 1 𝑛 = lim 𝑥→∞ 𝑥2−1 𝑥 − 𝑥 = lim 𝑥→∞ −1 𝑥 = 0 La asíntota oblicua es 𝑦 = 𝑥
- 14. ESTUDIO ANALÍTICO DE LA FUNCIÓN El estudio analítico de la función consiste en averiguar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento (y como consecuencia la posición de los máximos y los mínimos) a partir del cálculo de los signos de la derivada primera. Para ello se deriva la función y se calcula donde se anula. Se consideran los intervalos que tienen por extremos los ceros de la derivada primera además de los puntos de discontinuidad y se calcula el signo de la derivada primera en cada uno de los intervalos. Ejemplo: Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función 𝑓 𝑥 = 2𝑥3 + 3𝑥2 − 36𝑥 + 31 Como es una función polinómica, no tiene puntos de discontinuidad. 𝑓′ 𝑥 = 6𝑥2 + 6𝑥 − 36 = 0 ⇔ 𝑥 = −3 𝑥 = 2 • Si 𝑥 = −4 ⇒ 𝑓′ −4 = 36 > 0, 𝑓 es creciente en −∞, −3 • Si 𝑥 = 0 ⇒ 𝑓′ 0 = −36 < 0, 𝑓 es decreciente en −3,2 • Si 𝑥 = 3 ⇒ 𝑓′ 3 = 36 > 0, 𝑓 es creciente en 2, ∞ • Así, 𝑓 tiene un máximo en 𝑥 = −3 y un mínimo en 𝑥 = 2
- 15. ESTUDIO ANALÍTICO DE LA FUNCIÓN Del mismo modo, con el estudio analítico averiguaremos los intervalos de concavidad y convexidad (y como consecuencia, la posición de los puntos de inflexión) a partir de los signos de la derivada segunda. Para ello se deriva una segunda vez la función y se calcula donde se anula. Se consideran los intervalos que tienen por extremos los ceros de la derivada segunda además de los puntos de discontinuidad y se calcula el signo de la derivada segunda en cada uno de los intervalos. Ejemplo: Halla los intervalos de concavidad y de convexidad de la función 𝑓 𝑥 = 2𝑥3 + 3𝑥2 − 36𝑥 + 31 Como es una función polinómica, no tiene puntos de discontinuidad. 𝑓′ 𝑥 = 6𝑥2 + 6𝑥 − 36 = 0 ⇒ 𝑓′′ 𝑥 = 12𝑥 + 6 = 0 ⇔ 𝑥 = −1 2 • Si 𝑥 = −1 ⇒ 𝑓′′ −1 = −6 < 0, 𝑓 es cóncava en −∞, − 1 2 • Si 𝑥 = 0 ⇒ 𝑓′′ 0 = 6 > 0, 𝑓 es convexa en − 1 2 , ∞ • Así, 𝑓 tiene un punto de inflexión en 𝑥 = − 1 2
- 16. ESTUDIO ANALÍTICO DE LA FUNCIÓN Realiza el estudio analítico de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2+4 𝑥 . Es una función racional que no está definida en 𝑥 = 0 En primer lugar estudiamos el crecimiento: Calculamos su derivada. 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 · 𝑥 − 𝑥2 + 4 𝑥2 = 𝑥2 − 4 𝑥2 = 0 ⇔ 𝑥2 − 4 = 0 ⇔ 𝑥 = −2 𝑥 = 2 Representamos los ceros de la derivada primera además del punto de discontinuidad en la recta real para observar los intervalos resultantes: • Si 𝑥 = −3 ⇒ 𝑓′ −3 = 5/9 > 0, 𝑓 es creciente en −∞, −2 • Si 𝑥 = −1 ⇒ 𝑓′ −1 = −3 < 0, 𝑓 es decreciente en −2,0 • Si 𝑥 = 1 ⇒ 𝑓′ 1 = −3 < 0, 𝑓 es decreciente en 0,2 • Si 𝑥 = 3 ⇒ 𝑓′ 3 = 5/9 > 0, 𝑓 es creciente en 2, ∞ • Así, 𝑓 tiene un punto de máximo en 𝑥 = −2, y un mínimo en 𝑥 = 2
- 17. ESTUDIO ANALÍTICO DE LA FUNCIÓN En segundo lugar estudiamos la curvatura: Calculamos su derivada segunda. 𝑓′ 𝑥 = 𝑥2 − 4 𝑥2 ⇒ 𝑓′′ 𝑥 = 2𝑥 · 𝑥2 − 𝑥2 − 4 · 2𝑥 𝑥4 = 8 𝑥3 Esta derivada no se anula nunca puesto que el numerador es una constante, así que solo tendremos en cuenta el punto de discontinuidad para calcular los signos de la derivada segunda: • Si 𝑥 = −1 ⇒ 𝑓′′ −1 = −8 < 0, 𝑓 es cóncava en −∞, 0 • Si 𝑥 = 1 ⇒ 𝑓′′ 1 = 8 > 0, 𝑓 es convexa en 0, ∞ • Así, 𝑓 no tiene puntos de inflexión, puesto que en 𝑥 = 0 la función no está definida.
- 18. ESTUDIO ANALÍTICO DE LA FUNCIÓN Observemos que la gráfica de la función estudiada es: Esta función cumple las propiedades estudiadas anteriormente.