RESISTENCIA DE MATERIALES: Métodos de energía
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Este documento presenta varios métodos para calcular la energía de deformación en materiales sometidos a diferentes tipos de cargas, incluidas cargas normales, de flexión y de impacto. Explica cómo calcular la energía de deformación integrando la densidad de energía sobre el volumen del material, o determinando el trabajo realizado por las cargas aplicadas. También cubre el diseño para resistir cargas de impacto y proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los diferentes métodos.
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- 1. Libro guía: Beer F., et al., Mecánica de Materiales, Mc Graw Hill, 6ta Edición, 2012. Notas de clase realizadas por: J. Walt Oler Texas Tech University Traducidas y modificadas por: M. Ing. Jónatan Pozo Palacios Universidad Politécnica Salesiana Métodos de energía
- 2. Métodos de energía 11 - 2 - Energía de deformación. - Densidad de energía de deformación. - Energía elástica de deformación para esfuerzos normales. - Carga de impacto. - Diseño para carga de impacto. - Trabajo y energía bajo una carga única. - Deflexión bajo una carga única por el método de trabajo energía. - Trabajo y energía bajo varias cargas. - Teorema de Castigliano. - Deflexión por el teorema de Castigliano.
- 3. Ejemplos de aplicación de métodos de energía 11 - 3 Atenuador de impactos para un formula SAE
- 4. Ejemplos de aplicación de métodos de energía 11 - 4 Atenuador de impactos para un formula SAE
- 5. Ejemplos de aplicación de métodos de energía 11 - 5 Impacto frontal de un vehículo contra un poste
- 6. Energía de deformación 11 - 6 • Una barra uniforme es sometida a una carga que incrementa lentamente. • El trabajo elemental realizado por la carga P mientras la barra se estira una pequeña distancia dx es: el cual es igual al área de ancho dx bajo el diagrama esfuerzo deformación. elementaldxPdU trabajo== • El trabajo total hecho por una carga para una deformación x1, == ∫ 1 0 x dxPU 112 12 12 1 0 1 xPkxdxkxU x === ∫ • En el caso de una deformación elástica, trabajo total = energía de deformación
- 7. Densidad de energía de deformación 11 - 7 • Para eliminar los efectos del tamaño, evaluar la energía de deformación por unidad de volumen, ndeformaciódeenergíadedensidaddu L dx A P V U x x == = ∫ ∫ 1 1 0 0 ε εσ • Cuando se deja de aplicar la carga en el material el esfuerzo regresa a cero, pero existe una deformación permanente. Sólo se recupera la energía de deformación representada por el área triangular. • El resto de la energía se disipa en el material en forma de calor. • La densidad de la energía de deformación, es igual al área bajo la curva hasta el punto ε1.
- 8. Densidad de energía de deformación 11 - 8 • La energía de deformación resultado de seleccionar ε1 = εR es el módulo de tenacidad. • La energía por unidad de volumen requerida para causar la ruptura de un material es relacionada con su ductilidad y su resistencia última. • Si el esfuerzo se mantiene dentro del limite proporcional, E E dEu x 22 2 1 2 1 0 1 1 σε εε ε === ∫ • La densidad de la energía de deformación que resulta de hacer σ1 = σY es el módulo de resiliencia. aresiliencidemodulo E u Y Y == 2 2 σ
- 9. Ejercicios 11 - 9 Determine el módulo de resiliencia para cada uno de los siguientes metales:
- 10. Energía de deformación elástica para esfuerzos normales 11 - 10 • En un elemento con una distribución de esfuerzos no uniforme, ndeformaciodetotalenergialim 0 === ∆ ∆ = ∫→∆ dVuU dV dU V U u V • Para valores de u < uY , i.e., debajo del limite proporcional, ndeformaciódeelásticaenergía 2 2 ∫ == dV E U xσ • Bajo carga axial, dxAdVAPx ==σ ∫= L dx AE P U 0 2 2 AE LP U 2 2 = • Para una barra de sección transversal uniforme,
- 13. Ejercicio 11 - 13 En la armadura que se muestra en la figura, todos los elementos son del mismo material y tienen la sección transversal indicada. Determine la energía de deformación de la armadura cuando se aplica la carga P.
- 14. Energía de deformación elástica para esfuerzos normales 11 - 14 I yM x =σ • Para una viga sometida a una carga de flexión, ∫∫ == dV EI yM dV E U x 2 222 22 σ • Haciendo dV = dAdx, dx EI M dxdAy EI M dxdA EI yM U L L A L A ∫ ∫ ∫∫ ∫ = == 0 2 0 2 2 2 0 2 22 2 22 • Para una viga en voladizo con una carga en el extremo, EI LP dx EI xP U PxM L 62 32 0 22 == −= ∫
- 15. Problema de muestra 11.2 11 - 15 a) Tomando en cuenta únicamente esfuerzos normales debidos a flexión, determine la energía de deformación de la viga para la carga mostrada. b) Evalué la energía de deformación conociendo que la viga es de un perfil W10x45, P = 40 kips, L = 12 ft, a = 3 ft, b = 9 ft, y E = 29x106 psi. SOLUCIÓN: • Determine las reacciones en A y B del diagrama de cuerpo libre de la viga completa. • Integrar sobre el volumen de la viga para encontrar la energía de deformación. • Aplicar las condiciones particulares para evaluar la energía de deformación. • Desarrolle un diagrama de la distribución momento flector.
- 16. Problema de muestra 11.2 11 - 16 SOLUCIÓN: • Determine las reacciones en A y B del diagrama de cuerpo libre de la viga completa. L Pa R L Pb R BA == • Desarrollar un diagrama de distribución del momento flexionante. v L Pa Mx L Pb M == 21
- 17. Problema de muestra 11.2 11 - 17 v L Pa M x L Pb M = = 2 1 BD,Tramo AD,Tramo 43 in248ksi1029 in.108in.36a in.144kips45 =×= == == IE b LP • Integrar sobre el volumen de la viga para encontrar la energía de deformación. ( )ba EIL baPbaab L P EI dxx L Pa EI dxx L Pb EI dv EI M dx EI M U ba ba += += + = += ∫∫ ∫∫ 2 2223232 2 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 1 6332 1 2 1 2 1 22 EIL baP U 6 222 = ( ) ( ) ( ) ( )( )( )in144in248ksi10296 in108in36kips40 43 222 × =U kipsin89.3 ⋅=U
- 18. Carga de impacto 11 - 18 • Considerar una barra que es golpeada en su extremo con un cuerpo de masa m que se mueve con una velocidad v0. • La barra se deforma por la carga de impacto. Los esfuerzos llegan a un valor máximo σm y luego desaparecen. • Para determinar el esfuerzo máximo σm - Asumir que la energía cinética se transfiere completamente a la estructura, 2 02 1 mvUm = - Asumir que el diagrama esfuerzo deformación obtenido de un ensayo quasi - estático también es válido para una carga de impacto. ∫= dV E U m m 2 2 σ • El valor máximo de la energía de deformación, • Para el caso de una barra uniforme, V Emv V EUm m 2 02 ==σ
- 19. Ejemplo 11.06 11 - 19 Un cuerpo de masa m y velocidad v0 golpea el extremo de la barra no uniforme BCD. Sabiendo que el diámetro de la porción BC es dos veces el diámetro de la porción CD, Determine el valor máximo del esfuerzo normal en la barra. SOLUCIÓN: • Debido al cambio en diámetro, la distribución de esfuerzos normales no es uniforme. • Encontrar la carga estática Pm que produce la misma energía de deformación que el impacto. • Evaluar el máximo esfuerzo resultante de la carga estática Pm.
- 20. Ejemplo 11.06 11 - 20 SOLUCIÓN: • Debido al cambio de diámetro, la distribución de esfuerzos normales no es uniforme. E V dV E mvU mm m 22 22 2 02 1 σσ ≠= = ∫ • Encontrar la carga estática Pm que produce la misma energía de deformación que el impacto. ( ) ( ) L AEU P AE LP AE LP AE LP U m m mmm m 5 16 16 5 8 2 2 2 222 = =+= • Evaluar el esfuerzo máximo resultante de la carga estática Pm AL Emv AL EU A P m m m 2 0 5 8 5 16 = = =σ
- 21. Ejemplo 11.07 11 - 21 Un bloque de peso W se deja caer de una altura h en el extremo libre de una viga en voladizo. Determinar el valor máximo del esfuerzo en la viga. SOLUCIÓN: • El esfuerzo normal varía linealmente a lo largo de la viga, también varía linealmente a lo largo de la sección transversal. • Encontrar la carga estática Pm que produce la misma energía de deformación que el impacto. • Evaluar el esfuerzo máximo resultante de la carga estática Pm
- 22. Ejemplo 11.07 11 - 22 SOLUCIÓN: • Los esfuerzos normales varían linealmente a lo largo de la viga, también varían a lo largo de la sección transversal. E V dV E WhU mm m 22 22 σσ ≠= = ∫ • Encontrar la carga estática Pm que produce la misma enegía de deformación que la carga de impacto. Para una viga en voladizo, 3 32 6 6 L EIU P EI LP U m m m m = = • Evaluar el esfuerzo máximo resultante de la carga estática Pm ( ) ( )22 66 cIL WhE cIL EU I LcP I cM m mm m == ==σ
- 24. Diseño para cargas de impacto 11 - 24 • Para el caso de una barra uniforme, V EUm m 2 =σ ( ) ( ) ( ) ( ) V EU VLcccLcIL cIL EU m m m m 24 // 6 4 12 4 124 4 12 2 = === = σ ππ σ • Para el caso de una viga en voladizo, El esfuerzo máximo se reduce por: • uniformidad de esfuerzos • bajo módulo de elasticidad con alta resistencia a la cedencia. • gran volumen • Para el caso de una barra no uniforme, ( ) ( ) V EU ALLALAV AL EU m m m m 8 2/52/2/4 5 16 = =+= = σ σ
- 25. Trabajo y energía para una carga única 11 - 25 • Previamente se encontró la energía de deformación al integrar la densidad de energía sobre el volumen. Para una barra uniforme, ( ) AE LP dxA E AP dV E dVuU L 22 2 2 1 0 2 1 2 == == ∫ ∫ ∫ σ • La energía de deformación puede ser determinada por el trabajo de una carga P1, ∫= 1 0 x dxPU • Para una deformación elástica, 112 12 12 1 00 11 xPxkdxkxdxPU xx ==== ∫∫ • Conociendo la relación entre fuerza y desplazamiento, AE LP AE LP PU AE LP x 2 2 11 12 1 1 1 = = =
- 26. Trabajo y energía para una carga única 11 - 26 • La energía de deformación puede ser encontrada del trabajo de otro tipo de cargas individuales, EI LP EI LP P yPdyPU y 63 32 1 3 1 12 1 112 1 0 1 = = == ∫ • Carga transversal en una viga EI LM EI LM M MdMU 2 2 11 12 1 112 1 0 1 = = == ∫ θθ θ • Momento flexionante
- 27. Ejercicio 11 - 27 El collar D es liberado de la posición de reposo con la ubicación mostrada en la figura y es detenido por una pequeña placa colocada en la barra ABC en el extremo C. Determine la masa del collar para el cual los esfuerzos máximos en la porción BC son de 125MPa.
- 28. Trabajo y energía bajo varias cargas 11 - 28 • La deflexión de una viga elástica sometida a dos cargas concentradas, 22212122212 21211112111 PPxxx PPxxx αα αα +=+= +=+= • Aplicando las cargas en diferente orden se tiene ( )2 1111221 2 2222 1 2 PPPPU ααα ++= • Las expresiones de la energía de deformación deben ser equivalentes. Se tiene que α12=α21 (Teorema reciproco de Maxwell). ( )2 2222112 2 1112 1 2 PPPPU ααα ++= • Calcular la energía de deformación en la viga al evaluar el trabajo realizado al aplicar lentamente la carga P1 y a continuación la carga P2,
- 29. Teorema de Castigliano 11 - 29 ( )2 2222112 2 1112 1 2 PPPPU ααα ++= • La energía de deformación para una estructura elástica sometida a dos cargas concentradas, • Derivando con respecto a las cargas, 2222112 2 1212111 1 xPP P U xPP P U =+= ∂ ∂ =+= ∂ ∂ αα αα • Teorema de Castigliano: Para una estructura elástica sometida a n cargas, la deflexión xj del punto de aplicación de Pj puede ser expresado como and j j j j M U P U x ∂ ∂ = ∂ ∂ = θ
- 30. Deflexión por el teorema de Castigliano 11 - 30 • La aplicación del teorema de Castigliano se simplifica si la diferenciación con respecto a la carga Pj se realiza antes de la integración para obtener la energía de deformación U. • En el caso de una viga, ∫∫ ∂ ∂ = ∂ ∂ == L jj j L dx P M EI M P U xdx EI M U 00 2 2