Distribucion espacial de coeficientes de un polinomio elevado a la m :Resumen

DISTRIBUCION ESPACIAL DE COEFICIENTES DE
UN POLINOMIO ELEVADO A LA m : RESUMEN
𝑩𝑰𝑵𝑶𝑴𝑰𝑨𝑳𝑬𝑺: 𝑭 𝒏
𝟎
= {(
𝒏
𝒊
)} = {(
𝒏
𝟎
) , (
𝒏
𝟏
) , (
𝒏
𝟐
) , … , (
𝒏
𝒏 − 𝟏
) , (
𝒏
𝒏
)}
𝑻𝑹𝑰𝑵𝑶𝑴𝑰𝑨𝑳𝑬𝑺: 𝑭 𝒏
𝒎−𝒏
= (
𝒎
𝒏
) {(
𝒏
𝒊
)} = {(
𝒎
𝒏
𝒊
)}
𝑻𝑬𝑻𝑹𝑨𝑵𝑶𝑴𝑰𝑨𝑳𝑬𝑺: 𝑻 𝒏
𝒎
= (
𝒎
𝒏
) {(
𝒏
𝒊
𝒋
)} = {(
𝒎
𝒏
𝒊
𝒋
)}
Y ………… MAS

Resumen de resultados sobre la distribución espacial de coeficientes Binomiales, Trinomiales,
Tetranomiales, Pentanomiales y Polinomiales
Coeficientes Binomiales:
Se corresponden con la distribución de números o coeficientes que resultan de la expansión de las
potencias sucesivas de un binomio elevado a una potencia k, como (𝑥1 + 𝑥2) 𝑘
, cuando k varia de
cero a n. Se despliegan en líneas paralelas, que normalmente agrupamos en un plano triangular
isósceles rectángulo (∆ 𝟎), que podemos ubicar en el plano coordenado cartesiano, con un vértice en
el origen de coordenadas 0, y los dos lados iguales, apoyados sobre los ejes 0X+, y
0Y+respectivamente .Este agrupamiento es conocido como triángulo de Pascal.
Las filas del triángulo se numeran de arriba abajo, tal como sea el valor de k, y los términos de la
fila n, son los coeficientes que corresponden al desarrollo del binomio (𝑥1 + 𝑥2) 𝑛
o binomio de
Newton.
Estos coeficientes se denominan coeficientes binomiales y se denotan usualmente como:
(
𝑛
𝑚
) =
𝑛!
(𝑛 − 𝑚)! 𝑚!
=
𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … (𝑛 − 𝑚 + 1)
1.2.3 … 𝑚
Como es conocido, la expresión (
𝑛
𝑚
), se denomina número combinatorio, y representa el n⁰ de
combinaciones que se pueden formar con los n elementos de un conjunto, tomados de m en m, de
tal manera que todos los grupos resultantes se diferencien entre sí, al menos en un elemento
(combinaciones simples, sin repetición, y por ende , el orden de los elementos en el grupo no hace
diferenciación alguna).Por conveniencia ,en lo que respecta a la nomenclatura a utilizar, para
nuestros fines, hemos incluido el valor 1 en el vértice superior del triángulo, de manera de incluir el
caso trivial (𝑥1 + 𝑥2)0
=1, correspondiente a k=0, y al combinatorio (
0
0
) = 1. Así aparece en la fila
cero (0), el coeficiente 1, como único elemento. Una identidad fundamental e inmediata de estos
números es (
𝑛
𝑚
)=(
𝑛
𝑛 − 𝑚
), implícita en su propia definición.
La expresión analítica, en términos combinatorios para una fila genérica n, está dada por:
𝑭 𝒏
𝟎
= {(
𝒏
𝒊
)} = {(
𝒏
𝟎
) , (
𝒏
𝟏
) , … , (
𝒏
𝒏 − 𝟏
) (
𝒏
𝒏
)}, con 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛
Aquí 𝑚 − 𝑛 = 0, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, 𝑚 = 𝑛
Donde m es la potencia a la que se eleva el binomio
n, es la fila considerada
𝑚 − 𝑛, representa el nivel o altura sobre el eje zeta

0 Filas
1 0
1 1 1
1 2 1 2
1 3 3 1 3
1 4 6 4 1 4
1 5 10 10 5 1 5
1 6 15 20 15 6 1 6
𝒙+
𝒚+
Representación de ∆ 𝟎, para m=0,1,2,3,4,5 y 6, sobre el plano 0XY+
Coeficientes Trinomiales:
Si sobre cada uno de los tres semiplanos coordenados positivos, construimos el triangulo de Pascal
(∆ 𝟎), correspondiente a los coeficientes del desarrollo de potencias del binomio hasta un
determinado valor de m (cada uno con m+1 filas paralelas), queda determinado un sólido regular
interior, conocido como tetraedro o pirámide de Pascal, cuyo vértice coincidirá con el origen de
coordenadas, y cuyos caras serán los tres triángulos isósceles rectángulos correspondientes a los
triángulos de Pascal previamente construidos, mientras que su base está constituida por un
triángulo equilátero cuyos lados iguales corresponden a las filas m+1 de los ∆ 𝟎 , base que resulta
sesgada un ángulo aproximado de 54,74° (arctg √2), con respecto a los planos coordenados. En
dicha área triangular se ubica la distribución de coeficientes trinomiales para el mismo caso de m
considerado .Ver figuras 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑
Los coeficientes trinomiales como un todo, se despliegan en el área triangular, que hemos
denominado ∆ 𝑻, (triángulo de coeficientes trinomiales).Estos coeficientes también se organizan
por filas dentro de dicho triángulo, y la expresión analítica para obtener los coeficientes de una fila
genérica n está dada por:
𝑭 𝒏
𝒎−𝒏
= (
𝒎
𝒏
) 𝒏! {
𝟏
(𝒏−𝒊)!𝒊!
} = (
𝒎
𝒏
) {
𝒏!
(𝒏−𝒊)!𝒊!
} = (
𝒎
𝒏
) {(
𝒏
𝒊
)} = {(
𝒎
𝒏
𝒊
)}
Con: 𝑛 = 0,1,2, … , 𝑚 , e 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛
Donde m es la potencia a la que se eleva el trinomio
𝑚 − 𝑛, representa el nivel o altura sobre el eje zeta
Nótese, que para m=n, resulta: 𝑭 𝒏
𝟎
= (
𝒏
𝒏
) {(
𝒏
𝒊
)} = 𝟏. {(
𝒏
𝒊
)} = {(
𝒏
𝒊
)} (coeficientes Binomiales)
A continuación algunos ejemplos de construcción de ∆ 𝑻 en los planos coordenados:

Representación de ∆ 𝑻, para los casos de m=1,2,3 y 4
También hemos desarrollado un método gráfico directo y sencillo para la determinación de la
distribución de coeficientes en ∆ 𝑻, para el caso m+1, a partir del caso previo m, Este método lo
hemos denominado “Diagramas de Colmena”, por su semejanza con la habilidosa arquitectura
constructiva de las abejas y avispas. A continuación se muestra la aplicación del método para los
casos 𝑚 = 1,2,3 𝑦 4

DIAGRAMAS DE COLMENAS
Caso de partida Operaciones (+) (+) Caso de llegada

Coeficientes Tetranomiales:
Para el caso de un tetranomio elevado a la potencia m, entero positivo, hemos encontrado que los
coeficientes del desarrollo de (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4) 𝑚
, se distribuyen espacialmente en las caras,
aristas, y vértices de un tetraedro principal (T.P), y un tetraedro secundario (T.S.), y que para los
casos en que m es múltiplo de 4, aparece también un tetraedro punto, o singularidad adicional.
Características de esta distribución tetraédrica:
 El tetraedro principal (T.P.), tiene como base justamente, el triángulo equilátero de
coeficientes trinomiales ∆ 𝑇, para el mismo caso de m considerado, y cada una de sus caras
también se corresponde con dicho ∆ 𝑇.
 Como consecuencia, los coeficientes de una fila n genérica de cualquiera de sus caras
(incluyendo su base), responden a la expresión ya determinada para obtener los coeficientes
trinomiales de una fila cualquiera de ∆ 𝑇
𝑭 𝒏
𝒎−𝒏
= (
𝒎
𝒏
) {(
𝒏
𝒊
)} = {(
𝒎
𝒏
𝒊
)}, Con: 𝑛 = 0,1,2, … , 𝑚 , e 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛
Donde m es la potencia a la que se eleva el tetranomio
𝑚 − 𝑛, representa el nivel o altura sobre el plano base ∆ 𝑇
 El tetraedro secundario (T.S.), y las singularidades (si las hay), sólo aparecen a partir de
𝑚 = 4, y sus coeficientes, que podríamos denominar como los “coeficientes
verdaderamente Tetranomiales”, que estén distribuidos en la fila n de una cualquiera de sus
caras, responden a la expresión:
𝑭 𝒏
𝒎−𝒏
= (
𝒎
𝒏 + 𝟑
) (𝒏 + 𝟑)! {
𝟏
(𝒊+𝟏)!(𝒏−𝒊+𝟏)!
} con i=0,1,2,…,n
𝑚 ≥ 𝑛 + 3 ,luego la expresión es válida sí 𝑚 − 𝑛 ≥ 3
 Dichos tetraedros, principal (T.P.), y tetraedro secundario (T.S.), más la singularidad cuando
se presenta, deben combinarse en un solo tetraedro que podemos denominar Tetraedro Suma
(T.Suma), o prisma tetraédrico con las particularidades siguientes:
1.) Los tetraedros secundarios (TS), deben ubicarse en el interior del tetraedro principal (TP),
del caso correspondiente, manteniendo la misma orientación y el paralelismo de sus caras,
para ello deberemos colocar siempre su vértice en el nivel 3 de dicho TP, extendiéndose
hasta ubicar su nivel de base, siempre en el nivel 𝒏 − 𝟏 , del tetraedro principal del caso. Al
tetraedro resultante le podemos denominar como tetraedro suma ( T.Suma).
2.) Las singularidades se dan para las m, múltiplos de 4 y responden a la sucesión: {
(4𝑛)!
(𝑛!)4} =
4!
14 ,
8!
24 ,
12!
64 ,
16!
244 ,
20!
1204 , …

Si denominamos los casos de singularidad para múltiplos de 4, como CS, y al nivel de
alojamiento de dicha singularidad en el prisma principal, como NA, tendremos la siguiente
relación: CS: m=4j NA: 3j , con j=1,2,3,...
Así para j=1 y m=4 la singularidad, que tiene un valor igual a 24, se alojará en el nivel 3 del T.Suma
Para j=2 y m=8 la singularidad que tiene un valor igual a 2520, se alojara en el nivel 6 del T.Suma
Y así sucesivamente.
Los niveles en cada caso los contabilizamos, desde un valor cero (0), en el vértice, hasta un valor
n correspondiente al nivel de base del tetraedro principal, como se muestra en la figura:
Nivel Tetraedro principal
0
1
2 Nivel 0 Tetraedro secundario
3…... Singularidad ...........................
.
.
.
n-1..
n
Así por ejemplo, sí para los coeficientes del tetraedro secundario correspondiente al caso de
m=8, consideramos el valor de n para cada fila, como el valor del nivel correspondiente del
TS, para determinar su nivel de ubicación en el tetraedro principal, para conformar el tetraedro
suma, bastará aumentar cada valor de n en tres unidades. Ello es válido para cualquier otro
caso considerado
m=8 Filas TS Niveles TS Nivel T.Suma
0 0 3
1 1 4
2 2 5
3 3 6
4 4 7
Para la obtención de los coeficientes Tetranomiales podemos utilizar la expresión general:
𝑻 𝒏
𝒎
= (
𝒎
𝒏
) {(
𝒏
𝒊
𝒋
)} = {(
𝒎
𝒏
𝒊
𝒋
)}, con 𝒊 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 y para cada 𝒊 , será 𝒋 = 𝟎, 𝟏, … , 𝒊
que equivale a una expansión al siguiente nivel, de la ya utilizada para obtener los coeficientes
trinomiales. Donde m representa la potencia del tetranomio, y n representa el nivel
correspondiente del tetraedro suma que agrupa los coeficientes, desde n= cero en el vértice, hasta
n=m en la base igual a ∆ 𝐓 para dicho caso de m
En la gráfica siguiente se representa esquemáticamente la distribución de coeficientes
Tetranomiales para el caso 𝒎 = 𝟔.

Representación esquemática y sin escala del tetraedro suma (T. Suma) o prisma tetraédrico
correspondiente a la distribución de coeficientes Tetranomiales para 𝒎 = 𝟔 .
La base de este tetraedro exterior coincide con el ∆ 𝑻 para 𝑚 = 6, el cual a su vez constituye la
base del tetraedro interior, o pirámide de Pascal del mismo caso, que tiene como vértice, el origen
de coordenadas, y como caras, los triángulos de Pascal (∆0), construidos c/u sobre uno de los tres
semiplanos coordenados, que contienen las 6 primeras filas del mismo (𝑚 = 6).
En la figura, se ha abierto una ventana triangular “ad-hoc” en el tetraedro principal (T.P.) para
poder observar la ubicación y el contenido del tetraedro secundario (T.S.)
Como ejemplo de utilidad, podemos mostrar como quedarían las secciones nivel por nivel para el caso
del tetraedro suma para m=8
Nivel 0 . 1 (Vértice del T.Suma)
Nivel 1 8 Nivel 2 28
8 8 56 56
28 56 28
∆ 𝑇
∆0
T.S.
T.P.

Nivel 3 56 Nivel 4 70
168 168 280 280
168 336 168 420 840 420
56 168 168 56 280 840 840 280
70 280 420 280 70
Nótese como en el nivel 3 del T.Suma ya aparece el valor 336, correspondiente al vértice (nivel 0)
del tetraedro secundario del caso, y en el nivel 4, aparecen los tres valores 840 correspondientes a la
sección del nivel 1 del TS del caso.
Nivel 5 56
280 280
560 1120 560
560 1680 1 680 560
280 1120 1680 1120 280
56 280 560 560 280 56
Nivel 6 28
168 168
420 840 420
560 1680 1680 560
420 1680 2520 1680 420
168 840 1680 1680 840 168
28 168 420 560 420 168 28
Notamos que en este nivel se aloja la singularidad del caso m=8, correspondiente al valor 2520

Nivel 7 8
56 56
168 336 168
280 840 840 280
280 1120 1680 1120 280
168 840 1680 1680 840 168
56 336 840 1120 840 336 56
8 56 168 280 280 168 56 8
Como podemos notar, en este nivel se aloja la base del tetraedro secundario del caso m=8
Nivel 8 1
8 8
28 56 28
56 168 168 56
70 280 420 280 70
56 280 560 560 280 56
28 168 420 560 420 168 28
8 56 168 280 280 168 56 8
1 8 28 56 70 56 28 8 1
Esta sección o base del T.Suma, se corresponde con el triángulo de coeficientes trinomiales ∆ 𝑇,
para m=8
Diagramas de Colmena para coeficientes Tetranomiales
Hemos observado que los diagramas de colmena, que ya utilizamos en el estudio “Prisma
Combinatorio” como método gráfico para obtener la distribución de los coeficientes Trinomiales
∆ 𝑻, correspondientes a un caso m+1 , partiendo de los conocidos para un caso anterior m, son
aplicables a la determinación de los coeficientes Tetranomiales para cada nivel n de un caso
m+1,partiendo de los coeficientes Tetranomiales de los niveles n-1, y n del caso anterior m.
A continuación un ejemplo clarificador para obtener los coeficientes del caso m=4 a partir de los
del caso m=3 (obviando el paso de nivel 0 en m=3, a nivel 0 en m=4, siempre unitario, sea cual sea
el caso)

DIAGRAMAS DE COLMENA PARA LA OBTENCIÓN LAS SECCIONES DEL TETRAEDRO SUMA (CASO m=3 a m=4)
Casos de m=3 Diagrama de colmena + Caso de m=4
N:0 N:1 N:1
3 3 3 4
1 1 1
3 3 3 3 3 3 4 4
N:1 N:2 N:2
3 3 3 6
3 3 3
6 6 6 6 6 6 12 12
3 3 3 3 3 3
3 6 3 3 6 3 3 6 3 6 12 6

Caso de m= 3 Diagrama de colmena Caso de m=4
N: 2 N:3 N:3
1 1 1 4
3
3 3
6 6 3 3
3 6 3 3 3 3 3 12 12
3 6 3
1 3 3 1 6 6 6 6
3 6 3 3 6 3 12 24 12
3 6 3 3 6 3
1 3 3 1 1 3 3 1 4 12 12 4
Los niveles de base se corresponden con los ∆ 𝑇 de ambos casos: N:4
1
N:3 Diagrama de colmena
1 1
4 4
3 3 3 3
6 12 6
3 6 3 3 6 3
4 12 12 4
1 3 3 1 1 3 3 1
1 4 6 4 1

Coeficientes Pentanomiales:
Es “evidente” que los resultados obtenidos hasta ahora en estos trabajos, pueden ser extendidos
para cualquier potencia entera, y para cualquier polinomio de r términos. Las fórmulas y
secuencias a utilizar deberían resultar muy semejantes. El único inconveniente parece ser, el
determinar cómo se agrupan espacialmente dichos coeficientes, ya que para combinatorios
pentanomiales en adelante, estaríamos hablando de cuerpos de 4 o más dimensiones, de los
cuales, solo en algunos casos, podemos conocer sus proyecciones tridimensionales.
Por analogía, si para los coeficientes Tetranomiales la base del tetraedro que los contiene,
corresponde al ∆ 𝑇 del mismo caso de m, y todas las secciones de dichos tetraedros son triángulos
análogos a ∆ 𝑇, podríamos suponer que si la base del cuerpo 4D que contiene los coeficientes
pentanomiales es el tetraedro suma correspondiente al mismo caso de m, todos los niveles o
secciones de dicho cuerpo 4D, deberían ser también tetraedros sumas análogos a dicha base.
Evidentemente sería muy interesante hacer un estudio detallado de estos coeficientes y su
distribución espacial, basados en la hipótesis ya expuesta en el párrafo anterior.
Por el momento hemos encontrado que la expresión general ya utilizada para el cálculo de los
coeficientes trinomiales y Tetranomiales, puede expandirse también al caso de los coeficientes
pentanomiales:
𝑸 𝒏
𝒎
= (
𝒎
𝒏
) {(
𝒏
𝒊
𝒋
𝒌
)} =
{(
𝒎
𝒏
𝒊
𝒋
𝒌 )}
, donde m representa la potencia del pentanomio o fila del
triángulo de coeficientes, y n representa el nivel correspondiente del cuerpo 4D que los
contiene, desde n=0 en el “vértice”, hasta n=m en la base o tetraedro suma de coeficientes
Tetranomiales para dicho caso de m. La secuencia de los elementos de los tetranomios , y de los
pentanomios involucrados, vendrá dada por:
𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛
Para i=0
j=0 una sola vez, y k=0 una sola vez
Para i=1
j= 1vez 0 y k=0
j= 2 veces 1 k=0,1
Para i=2
j= 1vez 0 k=0
j= 2veces 1 k=0,1
j= 3veces 2 k=0,1,2

Para i= 3
j= 1vez 0 k=0
j= 2veces 1 k=0,1
j= 3veces 2 k=0,1,2
j= 4veces 3 k=0,1,2,3 Así sucesivamente.
Coeficientes Polinomiales:
Podemos inferir que la expresión, ya utilizada para el cálculo de los coeficientes trinomiales,
Tetranomiales y pentanomiales, puede expandirse y generalizarse para coeficientes polinomiales
de r elementos elevado a cualquier potencia m entera positiva, mediante:
𝑷 𝒏
𝒎
= (
𝒎
𝒏
)
{(
𝒏
𝒊
𝒋
𝒌
⋮
𝒑
𝒒)}
=
{(
𝒎
𝒏
𝒊
𝒋
𝒌
⋮
𝒑
𝒒 )}
, siendo m la potencia del polinomio y n el nivel considerado.
con 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛 y una secuencia para cada uno de los demás términos involucrados j,k...p,q
muy similar a la ya utilizada en el caso de los coeficientes pentanomiales. El desarrollo de estas
secuencias para el caso general, son relativamente fáciles de deducir a partir de los casos
anteriores ya explicados.
Observaciones finales:
 En el caso del tetraedro (tetraedro o pirámide de Pascal) cuyas secciones se corresponden
con los planos ∆ 𝑇 , que contienen los coeficientes trinomiales, los niveles se contabilizan
en forma ascendente desde n=0 en su vértice, en el origen de coordenadas, hasta n=m en
el plano considerado.
 En el caso del tetraedro suma cuyas secciones se corresponden con los planos ∆ 𝑇 , que
contienen los coeficientes Tetranomiales, los niveles se contabilizan de forma inversa,
desde su nivel más elevado situado a una altura m-n sobre el plano ∆ 𝑇 de base (para el
mismo caso de m), donde se ubica su vértice ( n=0 ), y descendiendo hasta dicho plano de
base (n=m ).
 Cada sección del T.Suma, es un ∆ 𝑇, y puede tratarse como tal para determinar los
coeficientes que contiene por filas.
Bibliografía:
Prisma Combinatorio 1997-2016
Distribución Tetraédrica de coeficientes Tetranomiales 2016
Coeficientes Multinomiales y generalización del triángulo de Pascal 2016
Enrique R. Acosta R. Dic 2016

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