Semana 3 cs numeracion i
- 1. SEMANA 3: NUMERACIÓN I 1. Calcule “a” si: ( ) ( ) ( )7 . 9 p a n 2c 1 aa 3 = + ÷ Además ( ) ( ) n p c 5p7 4c3 2 = ÷ A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 RESOLUCIÓN ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n p 9 7 c p 5p7 4c3 ; a n 2c 1 aa 2 3 = = + ÷ ÷ n 7> p 4> n 9< c 3< C= par p 3ó6= → n = 8 ; p 6= ; c 2= Luego: ( ) ( )9 7a28 5aa= 81a 2 9 8 245 7a a+ × + = + + 81a 26 245 8a+ = + 73.a 219 a 3= → = RPTA.: B 2. ¿Cuántos valores puede tomar “k” en ( ) n n k 0,125 kk = ? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 RESOLUCIÓN ( ) ( ) = = n n k 1 0,125 8kk Descomponiendo k 1 k kn k 8 = = ⇒ + k (1 n)+ 1 8 = 1 1 n 1 8 n 1 8 = = ⇒ + = + n 7= Pero k n 7< = k 1;2;3;4;5;6= K puede tomar 6 valores RPTA.: C 3. Si: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )7 n 5 n n 1 n 2 n 3 n 4 abcd+ + + + + = Halle: ( )a b c d+ + + A) 10 B) 12 C) 13 D) 11 E) 14 RESOLUCIÓN (7)(n 5)n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4) abcd++ + + + = ( )n 5 7+ < n 1= ( )(6) 712345 abcd= 1 2 3 4 5 6 6 48 306 1860 1 8 51 310 1865 a=5 ( ) ( )77 1865 5303 abcd∴ = = b=3 C=0 D=3 a + b + c + d = 11 RPTA.: B
- 2. 4. Halle ( )m n p+ + , si ( ) ( )n n 1 110 ,81 + y (n 1)1mp − son números consecutivos. A) 15 B) 14 C) 13 D) 12 E) 11 RESOLUCIÓN ( ) ( ) ( )n 1n n 1 110 ;81 ;1mp −+ Por dato: ( ) ( )n n 1 110 1 81 + + = ( )2 n n 1 8 n 1 1+ + = + + ( ) ( )2 n 7n 8 0 n 8 n 1 0− − = ⇒ − + = n - 8 n=8 n 1 ( ) ( ) ( )78 9 110 ;81 ;1mp 72 ; 73 ; 74 74 7 4 10 7 3 1 ( ) ( )7 7 1mp 134 m 3;p 4;n 8= ⇒ = = = m n p 15+ + = RPTA.: A 5. Sabiendo que : ( ) ( )n 9a7b aoc ;= además ( ) ( )n 5 .6d6 mbmb= Halle el valor de (m + b + d). A) 2 B) 4 C) 3 D) 6 E) 8 RESOLUCIÓN ( ) ( )n 9a7b aoc + − = 7 n 9 n 8< < → = También por dato: ( ) ( )8 56d6 mbmb= ( ) 2 2 56 8 d 8 6 mb .5× + × + = ( )5mb+ 390 8d+ 26= mb ( )5 ( )5195 4d 13.mb+ = 0 15 ( ) ( )5 5 d 0 mb 15 30= → = = → m = 3; b = 0 3dbm =++∴ RPTA.: C 6. Calcule el valor de “n” si “m” es máximo en: ( ) ...1818 n 18.18 123= “m” veces A) 8 B) 9 C) 11 D) 14 E) 10 RESOLUCIÓN Propiedad tenemos: ( ) ...1818 n 18.18 n 8 m 123= + × = Pensando: m 14= (mayor valor) n 8 14 123+ × = n 123 112= − n 11= RPTA.: C 7. Si: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )9 3 a b 1 c 2 c b 1 10 xy 12+ + = − Calcule: ( )a b c x y+ + + + “m” es máximo n > 8 “m” veces
- 3. A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 RESOLUCIÓN Caso Especial: 2 b b→ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )9 3 a b 1 c 2 c b 1 /10 / xy /12+ + = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )9 9 a b 1 c 2 c b 1 3 3x y 5+ + = − + Igualando: * c = 5 * b 1 3;b 2+ = = * a b 1;a 1= − = *c 2 3x y+ = + 5 2 3x y+ = + 7 3x y= + ; x = 2 y = 1 Pide: a b c x y 11+ + + + = RPTA.: C 8. En la siguiente expresión: ( ) ( ) ( )m 8n M 4n6 54 3mn= + − Halle M. A) 42 B) 532 C) 24 D) 220 E) 44 RESOLUCIÓN Analizando: ( )n54 5>n ( )mn64 6>m nm > ( )83mn 85 <<< mn ∴ 7=m y 6=n ( ) ( ) ( )7 6 8 M 466 54 376= + − M 244 34 254= + − ∴ M = 24 RPTA.: C 9. Si se cumple que: ( )ab n aa 29abca 17a= Calcule el valor de “n” A)3 B)4 C)6 D)9 E)5 RESOLUCIÓN ( ) ( )ab naa 29abca 17a= x 29< → cambio de variable ( ) ( ) ( ) ( )x 29 x 29 abca 17a abc .x a 17 .29 a= → + = + ( )xabc .x 36.29= Si ( ) ( )9138116abc9x 9 ==→= a=1 ; b=3; c=8 Luego: ( )13 n x 11 9= = n 1 3 9 n 5+ + = → = RPTA.: E 10. Halle ( )a b c m n ,+ + − − sabiendo que: ( ) ( )n maba bcn= Sabiendo que: m < 9 y b > 4 A) 27 B)3 C)-5 D) -3 E)5 RESOLUCIÓN mnab4 <<<< (Ordenando) 87654 <<<< Luego: ( ) ( )87 517656 = a b c m n 6 5 1 7 3∴ + + − − = + + − = − 3−∴ RPTA.: D x
- 4. 11. Calcule la suma de las dos últimas cifras del numeral: ( ) ( ) ( )n 16 12 13 8 , al expresarlo en el sistema de base ( )1n + . A) 6 B) 7 C) 5 D) 4 E) 3 RESOLUCIÓN ( )( )( )( ) ⇒= n8131216N Base ( )1n + ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nn n n n n nn nn nn n n n n n 16 12 13 8 n 1 11 11 1576 11 5 12 11 143 11 5 5 47 7 13 44 7 7 36 68 33 66 3 2 + = (n 1)N ...32 +→ = ∑ de las 2 últimas cifras = 5 RPTA.: C 12. Si se cumple: ( ) ( )x 2m 1 9 6 12 abcd m m m − = ÷ ÷ ÷ Calcule a b c d m x+ + + + + A) 8 B) 10 C) 12 D) 13 E) 15 RESOLUCIÓN ( ) ( )x 1m2 abcd m 12 m 6 m 9 = − “m” divide a 9; 6 y 12 por tanto m = 3 Reemplazando. x5 abcd324 = a mayor valor aparente menor base x 5∴ < Se verifica para: x = 4 Por descomposición: 8945253324 5 5 =+×+×= Por división a base 4: 89 4 1 22 4 2 5 4 1 1 ( ) ( ) x45 abcd1121324 == 4x;1d;2c;1b;1a ===== 3m = 12mxdcba =+++++ RPTA.: C 13. Calcule : a n m+ + Si: ( ) ( )n m 120a 64a 2553= = A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 19 RESOLUCIÓN ( ) ( )mn 2553a64a120 == ( ) 6401200 n = n³ + 2n² = n² (n+2) = 8²(8+2) Números equivalentes
- 5. )28(8)2n(n2n 223 +=++ n 8= ( ) ( )8 m 64a 120a 2553 ;m 5 m 8 = = > < 6m = ( ) 3 6 2553 2 6 5 6² 5 6 3 645 64a= × + × + × + = = a 5= a m n 5 6 8 19+ + = + + = RPTA.: E 14. Halle “x” en: ( ) ( )n 7abx ccn ,= si: 2>c y ab > A)0 B) 2 C) 3 D)5 E) 6 RESOLUCIÓN ( ) ( )n 7abx ccn ...(I)= ; C 2> ; b a> 7n < 2 c a b n 7 c 3→ < < < < < → = a 4= b 5= n 6= Luego en I ( ) ( )6 7 45x 336 174= = ( ) ( )6 6 45x 450 x 0⇒ = → = RPTA.:A 15. Si se cumple que: (2n) numerales ( )n 14 10 1 15 11 14 12 15 13 1 n 1 = + − O O O O ¿Cuántas cifras tendrá el menor numeral de la base “n”, cuya suma de cifras sea 210, cuando se exprese en la base 2 n ? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5 RESOLUCIÓN Aplicando propiedad. 1)1n(...3210n5).1n()4(n15 +−++++++=−++ 2 )1( 99 + =+ nn n ( ) 18n 2 )1n(n n19 =⇒ + =+ En base 3241822 ==n Número ( )( ) 18324 210 02 01 00= Número de cifras =5 RPTA.:E 16. Halle ( )knba +++ en la siguiente expresión: ( ) ( )k n 9ab 213312= ; donde 2 nk = A) 18 B) 24 C) 28 D) 41 E) 37 RESOLUCIÓN Luego: knkn 2 =⇒= ( ) ( )nn 213312ab9 2 =
- 6. Transformando de base (n) a base ( )2 n ( )n 21 33 12 ( )2 n 9 a b ( ) ( ) ( ) n 4 4 21 9 n 4 ; k 16 33 a a 15 12 b b 6 = ⇒ = = = ⇒ = = ⇒ = 41knba =+++ RPTA.: D 17. El mayor número de 3 cifras diferentes de la base n, se escribe en base 8 como 4205. Halle n. A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 RESOLUCIÓN Sea: ( )nabc el mayor ( )cba ≠≠ ( ) ( ) ( ) ( )( ) n 8 n abc n 1 n 2 n 3 4205= − − − = pasando a base 10. ( ) 218158082843nn).2n(n.1n 232 =+×+×+×=−+−+− 2184nn3 =− 2184)1n(n 2 =− 2184)1n)(1n(n =−+ ( )( )( ) 1413121nn1n ××=+− 13n = RPTA.: D 18. Se desea repartir S/. 1000000 entre un cierto número de personas, de tal modo que lo que les corresponda sea: S/. 1 ; S/. 7 ; S/. 49 ; S/. 343;… y que no más de 6 personas reciban la misma suma. ¿Cuántas personas se beneficiaron? A) 16 B) 15 C) 14 D) 13 E) 12 RESOLUCIÓN Transformando a base 7: ( )7311333110000001 = Número de personas: 1611333311 =+++++++ 16N =∴ RPTA.: A 19. Si se cumple: ( ) ( )2 8a10b11b 15c= Halle: ( )cba ++ A)6 B) 7 C)5 D)9 E) 10 RESOLUCIÓN ( )2 a 10b 11b = ( )8c15 ( )8)b6)(b4(a ++ = ( )8c15 1a* = 1b;5b4* ==+
- 7. 7c;cb6* ==+ 9cba* =++ 20. Si se cumple: ( ) ( )n 7ab ba= Halle la suma de cifras de n ; si es el máximo valor posible. RESOLUCIÓN Descomponiendo: ab7ban +=+ 1 a b6 n += 7by7a << 6b;1a == 37n = ⇒ 1073 =+