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CONGRUENCIAS Y SEMEJANZAS
DE FIGURAS PLANAS

¿CÓMO SON LAS FIGURAS
MOSTRADAS?
2
Son idénticas

• .
Ejemplos de Congruencia
Ejemplos de Congruencia
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS
ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES
SON FIGURAS CONGRUNTES

CONGRUENCIA
CONGRUENCIA
• .
 Dos figuras son congruentes cuando
tienen la misma forma y tamaño, es
decir, si al colocarlas una sobre otra son
coincidentes en toda su extensión.

TRIÁNGULOS CONGRUENTES
• DOS TRIÁNGULOS SON CONGRUENTES SI Y SÓLO SI SUS PARTES
CORRESPONDIENTES SON CONGRUENTES.
A
B C
D
E F
ABC  DEF

DEFINICIÓN: DOS TRIÁNGULOS ABC Y DEF SON
CORRESPONDIENTES SI:
• SUS LADOS CORRESPONDIENTES SON IGUALES
• SUS ÁNGULOS CORRESPONDIENTE SON IGUALES.
• EN LA FIGURA
A
EF
AC
DF
BC
ED
AB 

 ;
;
B
C
E
F D
 





POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• CRITERIO LLL: SI EN DOS TRIÁNGULOS LOS TRES LADOS DE
UNO SON RESPECTIVAMENTE CONGRUENTES CON LOS DE
OTRO, ENTONCES LOS TRIÁNGULOS SON CONGRUENTES.
• CRITERIO LAL: SI LOS LADOS QUE FORMAN A UN ÁNGULO, Y
ÉSTE, SON CONGRUENTES CON DOS LADOS Y EL ÁNGULO
COMPRENDIDO POR ESTOS DE OTRO TRIÁNGULO, ENTONCES
LOS TRIÁNGULOS SON CONGRUENTES.
• CRITERIO ALA: SI DOS ÁNGULOS Y EL LADO ENTRE ELLOS SON
RESPECTIVAMENTE CONGRUENTES CON DOS ÁNGULOS Y EL
LADO ENTRE ELLOS DE OTRO TRIÁNGULO, ENTONCES LOS
TRIÁNGULOS SON CONGRUENTES.
• CRITERIO LLA: SI EL LADO MÁS LARGO DEL TRIANGULO,
JUNTO CON OTRO LADO DE ÉSTE, Y EL ÁNGULO SUPERIOR DEL
LADO MÁS LARGO DEL TRIÁNGULO SON CONGRUENTES CON
LOS DEL OTRO TRIANGULO, ENTONCES LOS TRIÁNGULOS SON
CONGRUENTES.

POSTULADO LLL
•SI LOS LADOS DE UN TRIÁNGULO SON CONGRUENTES CON
LOS LADOS DE UN SEGUNDO TRIÁNGULO, ENTONCES LOS
TRIÁNGULOS SON CONGRUENTES.
A
B C
D
E F
ABC  DEF

POSTULADO ALA
•SI DOS ÁNGULOS Y EL LADO INCLUIDO DE UN TRIÁNGULO SON
CONGRUENTES CON DOS ÁNGULOS Y EL LADO INCLUIDO DE OTRO
TRIÁNGULO, LOS TRIÁNGULOS SON CONGRUENTES.
A B
C
D
E
ABC  CDE

POSTULADO AAL
•SI DOS ÁNGULOS Y EL LADO NO INCLUIDO DE UN TRIÁNGULO SON
CONGRUENTES CON DOS ÁNGULOS Y EL LADO NO INCLUIDO DE
OTRO TRIÁNGULO, LOS TRIÁNGULOS SON CONGRUENTES.
A
B C
D
E
ABC  EFD
F

POSTULADO LAL
•SI DOS LADOS Y EL ÁNGULO INCLUIDO DE UN TRIÁNGULO SON
CONGRUENTES A DOS LADOS Y EL ÁNGULO INCLUIDO DE OTRO
TRIÁNGULO, ENTONCES LOS DOS TRIÁNGULOS SON
CONGRUENTES.
A
B
C D
E
ABC  DEF
F

• EJEMPLOS:
• 1) EN LA FIGURA, SE TIENE UN TRIÁNGULO ABC ISÓSCELES ( AC = BC) Y SE HA
DIVIDIDO SU BASE AB EN 4 PARTES IGUALES. ¿CUÁLES TRIÁNGULOS SON
CONGRUENTES?

•2) DADO EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO DE LADOS A,B Y C, SE HAN
CONSTRUIDO LAS FIGURAS QUE ESTÁN A SUS LADOS
COPIÁNDOLO VARIAS VECES Y COLOCÁNDOLO EN DIFERENTES
POSICIONES.
•ANALIZA LOS ÁNGULOS QUE SON CONGRUENTES EN LAS
DISTINTAS POSICIONES. ¿PODRÍAS DEDUCIR QUE EL CUADRADO
QUE SE FORMA ES CONGRUENTE EN AMBAS FIGURAS?

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22
A
B
C
BASE MEDIA
PROPIEDAD
M N 2
AC
MN 
AC
MN //

24
¿CÓMO SON LAS FIGURAS MOSTRADAS?
Son proporcionales
Son semejantes

SEMEJANZA
SEMEJANZA
• Dos figuras que tienen la misma forma, aun
con diferentes dimensiones, se llaman
semejantes.
• Dos figuras son semejantes si sus ángulos
correspondientes son iguales y sus lados
correspondientes proporcionales.
• Los elementos que se corresponden (puntos,
segmentos, ángulos …) se llaman homólogos.

• DOS FIGURAS DEL
PLANO SON
SEMEJANTES SI LOS
COCIENTES DE DE LOS
SEGMENTOS
DETERMINADOS POR
PARES CUALESQUIERA
DE PUNTOS
CORRESPONDIENTES
SON IGUALES.
ML
M'L'
es la razón de semejanza

Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y
los ángulos iguales.
El cociente
a b c
k
a' b' c'
  
se llama razón de semejanza.

32
DADO UN TRIÁNGULO DE LADOS 4M, 5M Y 6M.
Multiplica cada uno de los lados por 3.
x 3
Los lados del triángulo se han triplicado.
4m
5m
6m
A
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R

33
IDENTIFICAMOS ALGUNOS ELEMENTOS :
RAZÓN DE SEMEJANZA : 3
LADOS HOMÓLOGOS : AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a, podemos
afirmar que la altura relativa a su lado homólogo PR mide
3a.
Además:
Cualquier longitud (lados y líneas notables) en el triángulo
ABC se triplica en el triángulo PQR.


¿Cuál es el símbolo que se utiliza para
representar la semejanza de dos triángulos?

ES NECESARIO UBICARSE A UNA DISTANCIA TAL QUE MIRANDO CON UN SOLO OJO QUEDEN ALINEADOS EL
EXTREMO SUPERIOR DEL ÁRBOL Y EL DE LA VARA DE LONGITUD CONOCIDA.

DISTANCIAS O ALTURAS APLICANDO SEMEJANZA
• LOS DIBUJOS SIGUIENTES ILUSTRAN DIVERSAS MANERAS, UTILIZADAS HABITUALMENTE POR LAS GUÍAS Y
SCOUTS, PARA ESTIMAR ALTURAS Y DISTANCIAS, RECURRIENDO A LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
• EN ESTE CASO, ES NECESARIO QUE LA PERSONA PUEDA OBSERVAR EL EXTREMO SUPERIOR DEL ÁRBOL
REFLEJADO EN EL ESPEJO.

37
CASOS DE SEMEJANZA DE
TRIÁNGULOS

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
• EXISTEN ALGUNOS PRINCIPIOS QUE NOS PERMITEN DETERMINAR SI DOS
TRIÁNGULOS SON SEMEJANTES SIN NECESIDAD DE MEDIR Y COMPARAR
TODOS SUS LADOS Y TODOS SUS ÁNGULOS. ESTOS PRINCIPIOS SE CONOCEN
CON EL NOMBRE DE CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

EXISTEN TRES CRITERIOS DE
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
1. AA ( ÁNGULO-ÁNGULO)
2. LLL (LADO-LADO-LADO)
3. LAL (LADO-ÁNGULO-LADO)

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
POSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza.
Teorema: “ Si dos triángulos tienen sus dos ángulos
correspondientes congruentes, entonces el tercero también será
congruente y los triángulos son semejantes”.
Criterio LAL de semejanza.
Teorema: “ Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo
congruente comprendido entre lados proporcionales”.
Criterio LLL de semejanza.
Teorema: "Si los lados correspondientes de dos triángulos son
proporcionales, entonces los triángulos son semejantes".

A´
B´
C’
A
B
C
I. PRIMER CRITERIO AA
• DOS TRIÁNGULOS QUE TIENEN LOS DOS ÁNGULOS CONGRUENTES SON
SEMEJANTES ENTRE SÍ.
´

´

´

Es decir: Si 
´ ,

´
de lo anterior se deduce que
´
Entonces, ABC semejante con A´B´C´

EJEMPLO
¿Son los siguientes triángulos semejantes?
25
65 25
65
¡SI!
Por que al tener dos de
sus ángulos
congruentes, cumplen
con el criterio AA

II. SEGUNDO CRITERIO LLL
•DOS TRIÁNGULOS QUE TIENEN LOS TRES LADOS
PROPORCIONALES SON SEMEJANTES ENTRE SÍ.
A´
B´
C’
A
B
C
a
a´
El cociente obtenido de
comparar los lados homólogos
entre sí recibe el nombre de
razón de semejanza.
Es decir:
a
a´ =
b
b´ =
c
c´ =K
b b´
c
c´
Entonces, ABC semejante con A´B´C´

EJEMPLO
Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes
A
B
C
P
Q
R
1,5
3,5
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
1,5
3 = =
3,5
7
5
10
Efectivamente , así es, ya que los
productos “cruzados” son iguales
1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5
3,5 • 10 = 7 • 5 = 35
Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por
criterio LLL

III. TERCER CRITERIO LAL
•DOS TRIÁNGULOS QUE TIENEN DOS LADOS PROPORCIONALES Y EL
ÁNGULO COMPRENDIDO ENTRE ELLOS ES IGUAL, SON SEMEJANTES
ENTRE SÍ.
A´
B´
C’
A
B
C
Es decir:
a
a´
a
a´
= c
c´
c
c´
y  = ´

´
Entonces ABC semejante aA´B
´C´

EJEMPLO
¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes?
A
B
C
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9
= 4
12
Efectivamente así es,
ya que los productos
“cruzados” son iguales
3 • 12 = 4 • 9
¿Los ángulos formados por
estos dos lados son
congruentes?
Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente, porque,
tal como se señala en el
dibujo, ambos son rectos

ALGUNAS
APLICACIONES DE
ESTOS CONCEPTOS

EJERCICIO
• CONOCEMOS LAS DIMENSIONES DE LOS LADOS DE DOS TRIÁNGULOS. COMPRUEBA QUE SON SEMEJANTES Y HALLA LA RAZÓN DE
SEMEJANZA.
• A) 8 CM, 10 CM, 12 CM
B) 52 CM, 65 CM, 78 CM
Comprobemos que las medidas de los
lados homólogos son proporcionales
Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razón de
semejanza se calcula una
de las razones
65 : 10 = 6,5
52
8
= 65
10
= 78
12
= 6,5
Efectivamente, al calcular
los productos “cruzados”,
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 •10 = 8 • 65 = 520
65 • 12 = 10 •78 = 780

EJERCICIO
• TENEMOS UN TRIÁNGULO CUYOS LADOS MIDEN 3 CM, 4 CM Y 5 CM RESPECTIVAMENTE
Y DESEAMOS HACER UNA AMPLIACIÓN A ESCALA 3:1. ¿CUÁNTO MEDIRÁ CADA LADO?.
¿CUÁL ES LA RAZÓN DE SEMEJANZA?.
Luego, debe ocurrir:
3
4
5
x
y
z
Entonces: X= 3· 3 = 9
= 9
Y = 4 · 3 =12
12 =
Z = 5 · 3 = 15
=15
La razón de
semejanza es 3
Representamos la situación
=
X
3
=
Y
4
Z
5 =
3
1
=3
Escala de
ampliación
X
3
= 3
Y
4 =3
Z
5
=3

LOS LADOS DE UN TRIÁNGULO MIDEN 30, 40 Y 50 CENTÍMETROS RESPECTIVAMENTE. LOS LADOS DE UN
SEGUNDO TRIÁNGULO MIDEN 12, 16 Y 20 CENTÍMETROS. ¿SON SEMEJANTES?. EN CASO AFIRMATIVO, ¿CUAL
ES LA RAZÓN DE SEMEJANZA?.
50
30
40
12
16
20
30
12
= 40
16
50
20
=
Para calcular la razón de
semejanza se calcula una
de las razones
50 : 20 = 2,5
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
“cruzados”
30x16=480 y 40x12=480
además
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homólogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué
altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5
metros?(Haz un dibujo del problema).
4,5m
x
3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triángulos definidos por el poste y su sombra y el árbol y su sombra
son semejantes, por lo tanto
De donde = 6,75m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA, tienen
iguales el ángulo
recto y el ángulo
de elevación que
forman los rayos
solares con el
suelo
=
3
x
2
4,5
X = 3 • 4,5
2
Formamos la proporción

PARA TERMINAR UNA
PEQUEÑA
DEMOSTRACIÓN

Demuestre: Si L1// L2 , , entonces ΔABC ~ΔDEC
C
A
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostración
Por ser ángulos alternos internos entre //
CDE
ABC 


CDE
BAC 

 Por ser Ángulos alternos internos entre //
Por lo tanto al tener dos ángulos congruentes, se cumple al
criterio AA, luego, los triángulos ABC y DEC son
semejantes

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