Series Infinitas, series de potencias y criterios de convergencia.

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
Series Infinitas, series de potencias y criterios de
convergencia.
Facultad de Ciencias Químicas
Carrera de Química de Alimentos
Cálculo II
Ing. Patricio Escobar.
CII-P4-QA
- Aguirre Alejandro 02
- Caiza Katherine 11
- Rodriguez Pamela 39
- Pardo Jéssica 31

INTEGRANTES GRUPO N° 2
• Aguirre Alejandro. 02
• Caiza Kathy. 11
• Pardo Jessica. 31
• Rodriguez Pamela.

FUNDAMENTO TEÓRICO
• Una parte importante del estudio de Calculo trata sobre la
representación de funciones como “suma infinitas”.
• Esto requiere extender la operación de adición de un conjunto finito
de número números a la adición de una infinidad de números es
decir:
Suponga que asociada a la sucesión
u1, u2, u3,… uπ,…………
Se tiene una “suma infinita “denotada
por
u1+ u2+, u3+,………+ uπ+,………

Para tener una idea intuitiva del concepto de tal suma suponga lo siguiente:
-Tenemos una cuerda de 2 pies de longitud y al partirla a la mitad se obtendrá dos
segmentos de cuerda de un pie cada uno equivalente al ½ de cuerda.
2 pies
1 pie=1/2 1 pie=1/2

1 pie=1/2 1 pie=1/2
¼ ¼ ¼ ¼
- Al repetir la acción tendremos cuatro segmentos de cuerda equivalentes al ¼
y al repetir la acción sucesivas veces se obtendrán porciones menores
totalmente idénticas entre si, entonces:

Si se continúa este procedimiento en forma indefinida, el número de
pies de la suma de las longitudes de los trozos apartados puede
considerarse como la suma infinita.
1+
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+…+
1
2 𝑛−1 +……
Se formó una nueva sucesión [sn] sumando sucesivamente elementos de [Un]
S1= U1
S2= U1+ U2
S3= U1+ U2 + U3
S4= U1+ U2 + U3 +U4
Sn= 1+ U2 + U3 +U4+…………… Un

Entonces podemos comprender el ejemplo de la cuerda de la siguiente manera:
EJEMPLO ILUSTRATIVO
1
𝑛=1
+∞
1
2 𝒏−1
= 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ ⋯ …
1
2 𝒏−1
+ ⋯ (2)
Donde:
Sn = 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+ ⋯ +
1
2n−1 (3)
[Sn] es la
sucesión de
sumas
Para determinar si la serie (2) tiene una suma, debe calcularse lim
𝑛→∞
𝑆𝑛, a fin de determinar
una fórmula para 𝑆𝑛 se utiliza la identidad algebraica
𝑎 𝑛
− 𝑏 𝑛
= (𝑎 − 𝑏)(𝑎 𝑛−1
+ 𝑎 𝑛−2
𝑏 + 𝑎 𝑛−3
𝑏2
+ ⋯ + 𝑎𝑏 𝑛−2
+ 𝑏 𝑛−1
)

Si se aplica esta identidad con a=1 y b = ½ se tiene:
1 −
1
2 𝑛 = (1 −
1
2
)(1 +
1
2
+
1
22 +
1
23 + ⋯ +
1
2n−1 )
1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+…
1
2n−1 =
1−
1
2 𝑛
1
2
Al comparar esta ecuación y (3) se obtiene:
Sn = 2(1 −
1
2 𝑛 )
Como lim
𝑛→∞
1
2 𝑛 = 0, se obtiene:
lim
𝑛→∞
𝑆𝑛,=2
Por tanto, la serie infinita (2) tiene la suma 2

CRITERIOS DE CONVERGENCIA
• Los términos de una serie puede ser negativos, positivos o números
complejos y las series pueden converger (decrecer o crecer hacia un
valor finito) divergen (incrementar o decrecer infinitamente) u
oscilar. Existen una serie de criterios y teoremas de aplicación
general que expondremos a continuación.

Criterio Serie Converge Diverge Comentario
Término n-
ésimo
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 ≠ 0 Este criterio
sirve para
demostrar la
convergencia
Series
geométricas
𝑛=0
∞
𝑎𝑟 𝑛
𝑟 < 1 𝑟 ≥ 1 Suma: 𝑠 =
𝑎
1−𝑟
Series
telescópicas
𝑛=1
∞
(𝑏 𝑛 − 𝑏 𝑛+1)
lim
𝑛→∞
𝑏 𝑛 = 𝐿 Suma: 𝑠 = 𝑏1 −
𝐿
p-series
𝑛=1
∞
1
𝑛 𝑝
𝑝 > 1 𝑝 ≤ 1
Series
alternadas
𝑛=1
∞
(−1) 𝑛−1 𝑎 𝑛
0< 𝑎 𝑛+1 ≤ 𝑎 𝑛 y
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 0
Resto: 𝑅 𝑁 =
𝑎 𝑁+1

1.-CONVERGENCIA ABSOLUTA O CONDICIONAL
Teorema: Si Σ ΙαnΙ converge, entonces también converge Σαn y se tiene que
∞ ∞
Σ αn ≤ Σ ΙαnΙ
n-1 n-1
Para una serie de términos positivos el criterio de convergencia más intuitivo
(necesario pero no suficiente) es que en el límite cuando n ∞ el termino n-ésimo
tienda a cero. Con lo cual tenemos que si esta condición no se satisface, la serie
diverge.
Teorema: si la serie Σ αn converge, el término n-ésimo tiende a cero, esto significa
que:
lím αn = 0
n  ∞

• Una serie que es convergente pero que no es absolutamente convergente
es la siguiente.
∞
Σ (-1)n+1 1/n = 1- ½ + 1/3 – ¼ +…. = ln(2)
• Porque ya vimos que la serie de los valores absolutos asociada a la serie
anterior es:
∞
Σ 1/n
n-1
la cual diverge.

2.- CRITERIO DE COMPARACIÓN
• En segundo lugar de simplicidad está el criterio de comparación
entre un par de series de términos positivos. Si no conocemos el
comportamiento de una de ellas comparamos el de la otra.
∞
Tenemos Σ αn, entonces
n--α
∞ ∞ ∞ ∞
Si Σ αn converge y ∨ n se tiene que αn ≥ αn  Σ αn ≥ Σ αn  Σ αn converge
n--α n—α n—α n—α
por otro lado
∞ ∞ ∞ ∞
Si Σ αn diverge y V n se tiene que 0 ≤ αn ≤ αn Σ αn ≤ Σ αn  Σ αn diverge
n--α n—α n—α n—α

EJEMPLO:
Para ilustrar esta estrategia consideramos las siguientes series
∞
½ + 1/3 + 1/7 + 1/25 +…. = Σ 1/n! + 1
n—1
En ese caso comparamos con una serie conocida
∞
Σ 1/n! = 1/0! + 1/1! + ½! + 1/3! +… = 1+1+1/2! + 1/3! +… 1+ e
n—1
y es claro que la serie no es otra cosa que e, con lo cual la serie claramente
converge y su suma es 1+ e.

3. CRITERIO DE LA RAÍZ
∞
Dada una serie de términos positivos Σ αn , el criterio de la raíz (o también
n—α
De la raíz de Cauchy) puede resumirse en el siguiente par de afirmaciones. Si:
(αn)1/n ≤ β < 1 para un n suficiente grande y β independiente de n  converge
(αn)1/n > 1 para un n suficiente grande y β independiente de n  diverge
(αn)1/n = 1 para un n suficiente grande y β independiente de n  (?)

otra forma más compacta sería
β < 1  converge
si β = lim (αn)1/n entonces: β > 1  diverge
β = 1  (?)
es fácil ver que si utilizamos el criterio de comparación, entonces
cuando β < 1 la serie converge
(αn)1/n ≤ β  αn ≤ βn 
cuando β ≥ 1 la serie diverge

EJEMPLO:
Dada la siguiente serie
∞
Σ (n/n+1)n2
n—1
por lo tanto:
(αn)1/n = (n/n+1)n = 1/(1+1/α)n  β = lim 1/(1+1/α)n = 1/e < 1
n--∞

4. CRITERIO DE D´ALEMBERT
∞
Dada una serie de términos positivos Σαn , el criterio de d´Alembert o también
n—α
Llamado criterio del cociente, compara el valor relativo de un término de la serie con
el que le precede. Este criterio se resume también fácilmente:
β < 1  converge
si β = lím αn+1/αn entonces: β > 1  diverge
β = 1  indeterminado
Nótese que se
Β < 1  β < x < 1  αn+1/αn < x  αn+1 = αnx

Entonces para un N < n, pero también suficientemente grande, tendremos que
los términos de la serie a partir de ese N serán:
αN + αN+1 + αN+2 + αN+3… = αN (1+x+x2+x3+x4…)
y que no es otra cosa que una serie geométrica con razón x < 1 y por
consiguiente converge.
Es claro que un argumento similar se puede utilizar para probar la divergencia.

EJEMPLO.-
Un ejemplo inmediato lo sustituye la serie
∞ n+1/2n+1
½ + ½ + 3/8 + ¼ + 5/32 + … = Σ n/2n  = ½ n+1/n = ½ (1+1/n) ,
β = lím (1/2 (1+1/n)) = ½ < 1,
n∞
Con lo cual tiene que converger.

5. CRITERIO DE LA INTEGRAL DE MACLAURIN
El criterio de la integral de Maclaurin es
otro criterio de comparación, pero esta
vez se compara la serie con una
integral. Así supondremos que existe
una función f(x) continua y
monótonamente decreciente para un
valor de x ≥ xα y que, adicionalmente,
se cumple que para algún valor entero
x=n en el valor de la función es igual a
un término de la serie.

Esto es f(n) = αn. Entonces se tendrá que
∞
Si el limite límN∞ ∫N dx f(x) existe y es finito, entonces Σ αn converge. Por el contra-
n—1
rio si el límite no existe o es infinito, entonces diverge.
La idea de este criterio es comparar la integral de f(x) (es
decir, el área bajo la curva) con la curva de rectángulos que
representa la serie. Entonces, la suma parcial
Si = Σαn Ξ Σ f(n)
n—1 n—1

Pero:
i+1
Si > ∫ dx f(x)
1
i+1 i
i  ∫ dx f(x) ≤ Si ≤ ∫ dx f(x) + α1
Si – α1 < ∫ dx f(x) 1 1
1
Donde α1 = f (1), con lo cual, al hacer i  ∞ tendremos que si el límite de la integral
∞
Existe, entonces la serie Σ αn converge.
n—1
∞ ∞ ∞
∫ dx f(x) ≤ Σ αn ≤ ∫ dx f(x) + α1
1 n—1 1

EJEMPLO
1. Un ejemplo inmediato podría ser determinar si la siguiente serie
converge
∞
Σ 1/(n-3/2)2  f(x) = 1/(x-3/2)2  lím (-1/N-3/2) = 0
n—1 N∞
con lo cual claramente converge.

6. SERIES ALTERNANTES Y CONVERGENCIA CONDICIONAL
Hasta ahora todos los criterios que analizamos era para una serie de términos
positivos por el cual todos esos criterios nos llevaban al concepto de series
absolutamente convergentes esto es s 𝑛=1
+∞
𝑎 𝑛 convergente, entonces
𝑛=1
+∞
𝑎 𝑛 también converge. Sim embargo muchas veces no tendremos que
sea absolutamente convergente .Este es el caso de las series alternantes. Series
en las cuales se alteran términos
a1− a2 + a3 − a4 + a5− a6+ …+ a2n−1 − a2n+⋯
n=1
+∞
−1 n−1
(a )n

Entonces si la serie es monótona decreciente para un n suficiente grande
tenemos lo que se denomina el criterio de Leibniz
Convergente ha
𝑛=1
+∞
−1 𝑛−1 (𝑎 𝑛){𝑎 𝑛> 𝑎 𝑛−1 ∀ 𝑛 > 𝑁
𝑎 𝑛> → 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 → ∞
De otro modo la serie oscilara
Estas condiciones son fáciles de ver si reorganizamos la serie de los primeros
2n términos a partir de un determinado N par y N > n entonces
𝑠2𝑛=( 𝑎 𝑁− 𝑎𝑁−1)+( 𝑎 𝑁−2 − 𝑎𝑁−3)+⋯(𝑎 𝑁+2 𝑛−2 − 𝑎𝑁+2𝑚−1)

Donde todos los paréntesis son positivos, con lo cual 2n> 0 𝑦 𝑠𝑒 incrementa
al incrementar m Ahora bien, si re arreglamos la serie tendremos que
𝑠2𝑛=𝑎 𝑁− 𝑎𝑁−1 −𝑎𝑁−2 − 𝑎𝑁−3 −𝑎𝑁−4 − 𝑎𝑁+2𝑚−2 −𝑎𝑁+2𝑚−1
Donde otra vez los paréntesis son positivos y es inmediato comprobar que
entonces
Como n→ 0 cuando n → ∞, la serie alternante necesarimanete convergente
La serie alternante ya eran conocidas desde hace mucho tiempo, como por
ejemplo la serie
𝑛=1
+∞
𝑎 𝑛= X -
𝑋2
2
+
𝑋3
3
+
𝑋4
4
… … + −1 𝑛−1 𝑥 𝑛
𝑛
+ ⋯

Esta serie converge y suma
ln(𝑥 + 1) Para-1<x≤ 1 para x positivo es una seria alternante y en el resto
particular de x=1 se tiene.
1 −
1
2
+
1
3
-
1
4
+…..+ −1 𝑛−1 1
𝑛
+ ⋯ ln(2)
Otra relación interesante es:
1 −
1
3
+
1
5
-
1
7
+…..+ −1 𝑛−1 1
2𝑛−1
+ ⋯
𝜋
4

Teorema: Si (n) es una sucesión monótona decreciente como límite igual
a cero, la serie alternante Convergente.
Si S es una suma y Sn su suma parcial – estima, se tiene que
0 < −1 n(s − sn ) < an+1 para n ≥1
Ejemplo estudiemos la serie
−1 𝑛−1 1
𝑛
1 −
1
2
+
1
3
-
1
4
+…..
Sabemos que 1/n es una sucesión monótona decreciente y que:
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛=0

Por lo tanto de acuerdo al teorema anterior la serie converge como ya hemos
visto
𝑎2𝑛−1=
1
2
y 𝑎2𝑛= 𝑛
𝑛+1𝑑𝑥
𝑥
para n= 1,2,3……
Por otro lado se tiene también que:
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛=0
Y que
−1 𝑛−1 𝑎 𝑛
Converge
La suma parcial (2𝑛 − 1)se puede escribir de la siguiente manera:
𝑠
2𝑛−1=1 1
2 𝑑𝑥
𝑥 +
1
2 − 2
1 𝑑𝑥
𝑥 +⋯+
1
𝑛−1− 𝑛−1
𝑛 𝑑𝑥
𝑥 +
1
𝑛=
𝑠
2𝑛−1=1+
1
2
+⋯
1
𝑛
− 1
𝑛 𝑑𝑥
𝑥
=1+
1
2
+
1
𝑛
−ln(𝑛)

Y obtenemos
lim
𝑛→∞
(1 +
1
2
+ ⋯ +
1
𝑛
− ln 𝑛 ) = 7
Donde 7es la constante de Euler 7 ≈
0,5772156649

SERIES DE POTENCIAS DE TAYLOR
Las series infinitas que se han estudiado hasta este momento han consistido
solo de términos constantes. Ahora se trata de un tipo importante de series
de términos variables denominadas series de potencias, las cuales pueden
considerarse como una generación de una función polinomial. En las
secciones restantes de este capítulo se estudiara como pueden emplearse las
series de potencias para calcular valores de función tales como
sen 𝑥, e 𝑥 𝐼𝑛 𝑥 𝑦 𝑥, las cuales no se pueden evaluar mediante valores de
funciones racionales.

Una serie de potencias en 𝒙 − 𝒂 es una serie de la forma
𝐜 𝟎 + 𝐜 𝟏 𝒙 − 𝒂 + 𝐜 𝟐(𝒙 − 𝒂) 𝟐 + … + 𝐜 𝒏(𝒙 − 𝒂) 𝒏 + … (𝟏)
Se utiliza la notación
𝑛=0
+∞
c 𝑛(𝑥 − 𝑎) 𝑛
Observe que por conveniencia (𝒙 − 𝒂) 𝟎
= 𝟏,
aun cuando 𝑥 = 𝑎. Si 𝑥 es un numero particular,
la serie de potencias (1) se convierte en una
serie infinita de términos constantes.

Un caso especial de (1) se obtiene cuando 𝑎 = 0, de modo que la serie se transforma en una
serie de potencias en 𝑥, la cual es
𝑛=0
+∞
c 𝑛x 𝑛 = 𝐜 𝟎 + 𝐜 𝟏 𝒙 + c2 𝑥2 + … + c 𝑛 𝑥 𝑛 + …
(2)
Además de la serie de potencias en 𝑥 − 𝑎 y 𝑥, se tienen series de ponencias de la forma
𝑛=0
+∞
c 𝑛 [∅ 𝑥 ] 𝑛 = 𝐜 𝟎 + 𝐜 𝟏∅ 𝑥 + c2[∅ 𝑥 ]2 + … + c 𝑛[∅ 𝑥 ] 𝑛 + …

ACLARACIÓN:
Donde ∅ es una función de 𝑥. Tales series se denominan series de potencias en ∅ 𝑥 . En este
libro se trataran exclusivamente series de potencias de la forma (1) y (2), y cuando se emplee
el término “serie de potencias” se entenderá alguna de estas dos formas. El estudio de la
teoría de series de potencias se limitara a las series de tipo (2). La serie de potencias más
general (1) puede obtenerse de (2) mediante la traslación 𝑥 = 𝑥 − 𝑎; por lo tanto, los
resultados pueden aplicarse a la serie (1).
Se utiliza la notación P𝑛 𝑥 a fin de representar
la suma parcial de la serie de potencias cuya
potencia mayor es 𝑛 . Esta notación es
consistente con el uso de P𝑛 𝑥 en la sección
8.1 para representar el polinomio de Taylor de
grado 𝑛.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Considere la serie geométrica en la que 𝑎 = 1 y 𝑟 = 𝑥, la
cual es
𝑛=0
+∞
𝑥 𝑛
Por el teorema 8.3.5 esta serie converge a la suma 1/(1 − 𝑥) si 𝑥 < 1. Por tanto, la serie de
potencias
𝑛=0
+∞
𝑥 𝑛
Define la función para la cual 𝑓 𝑥 = 1/(1 − 𝑥) y cuyo dominio es el intervalo abierto (-1,
1). De esta manera se escribe
𝟏 + 𝒙 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 + … + 𝒙 𝒏 + … =
𝟏
𝟏 − 𝒙
Si 𝒙 < 1. (3)

La figura 1 muestra las gráficas de
𝑓 𝑥 =
𝟏
𝟏 − 𝒙
𝐲 P10 𝑥 =
𝑛=0
10
𝒙 𝒏
Trazadas en el rectángulo de inspección de [-2,
2] por [-1, 10]. Observe que la gráfica de P10 𝑥
aproxima la gráfica de 𝑓 cuando 𝑥 < 1, lo cual
apoya el hecho de que la serie de potencias
converge a 1/(1 − 𝑥) si 𝑥 < 1.
La serie de potencias (3) pude emplearse para
formar otra serie de potencias cuyas sumas
pueden determinarse.

Teorema
Si la serie de potencias
𝑛=0
+∞
c 𝑛x 𝑛
es convergente para 𝑥 = x1 (x1 ≠ 0), entonces es absolutamente
convergente para todos los valores de 𝑥 para los cuales 𝑥 < x1 .

Demostración Si
𝑛=0
+∞
c 𝑛x1
𝑛
es convergente, entonces lim
𝑛→+∞
c 𝑛x1
𝑛
= 0.
Por tanto, si se toma € = 1 en la definición 3.7.1, entonces
existe un numero entero 𝑁 > 0 tal que
Si 𝑛 ≥ 𝑁 Entonces c 𝑛x1
𝑛 < 1
Ahora, si 𝑥 es cualquier número tal que 𝑥 < x1 , y si
𝑛 ≥ 𝑁, entonces
𝐜 𝒏 𝒙 𝒏 = 𝐜 𝒏 𝐱 𝟏
𝒏 𝐱 𝒏
𝐱 𝟏
𝒏
𝐜 𝒏 𝒙 𝒏 = 𝐜 𝒏 𝐱 𝟏
𝒏
𝒙
𝐱 𝟏
𝒏
𝐜 𝒏 𝒙 𝒏 =
𝒙
𝐱 𝟏
𝒏
(9)

La serie
𝒏=𝑵
+∞ 𝒙
𝐱 𝟏
𝒏
(10)
Es convergente porque es una serie geométrica con 𝑟 =
𝑥/x1 < 1 (ya que 𝑥 < x1 ). Comparte la serie
𝒏=𝑵
+∞
𝐜 𝒏 𝒙 𝒏

donde 𝑥 < x1 , con la serie (10). De (9) y en el criterio de
comparación
𝒏=𝑵
+∞
𝐜 𝒏 𝒙 𝒏
es convergente para 𝑥 < x1 . Por tanto, la serie de potencias dada
es absolutamente convergente para todos los valores de 𝑥 para los
que 𝑥 < x1 .

Teorema
Sea
𝑛=0
+∞
c 𝑛x 𝑛 una serie de potencias. Entonces solo una de las siguientes condiciones se
cumple:
(i) La serie converge solo cuando 𝑥 = 0;
(ii)La serie es absolutamente convergente para todos los valores de 𝑥;
(iii)Existe un número 𝑅 > 0 tal que la serie es absolutamente convergente para todos los
valores de 𝑥 tales que 𝑥 < 𝑅 y es divergente para todos los valores de 𝑥 tales que 𝑥 >
𝑅.

Demostración Si 𝑥 se sustituye por cero en la serie de potencias dada, se tiene
c0 + 0 + 0+. . . , la cual obviamente es convergente. Por tanto,
Toda la serie de potencias de la forma
𝑛=0
+∞
c 𝑛x 𝑛
Es convergente cuando 𝑥 = 0.
Si este es el único valor 𝑥 para el cual la serie converge, entonces se cumple la
condición (i).

Para la serie de potencias del ejemplo 1, 𝑅 =
3
2
, y el intervalo de convergencia es (−
3
2
,
3
2
].
En el ejemplo 2, 𝑅 = +∞, y el intervalo de convergencia se escribe como −∞, +∞ .
Si el radio de convergencia de una serie de potencias en 𝑥 es 𝑅, donde 𝑅 > 0, el
intervalo de convergencia es – 𝑅, 𝑅 , −𝑅, 𝑅 , −𝑅, 𝑅 o [−𝑅, 𝑅) mientras que para una
serie de potencias en 𝑥 − 𝑎, el intervalo de convergencia es 𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅 , [ 𝑎 − 𝑅, 𝑎 +
EJERCICIOS

Procedimiento para determinar el intervalo de convergencia de una serie de
potencias en x a
1. Aplique el criterio de la razón (o en ocasiones el criterio de la raíz) para determinar el
radio de convergencia 𝑅 de la serie. Algunas series convergen absolutamente para todos
los valores de 𝑥, como en el ejemplo 2, donde 𝑅 = +∞, y algunas otras convergen solo
en número, como en el ejemplo 3, donde 𝑅 = 0.
2. Si 𝑅 > 0, la serie converge absolutamente para toda 𝑥 en el intervalo (𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅) y
diverge para 𝑥 − 𝑎 > 𝑅. Verifique la convergencia en los extremos del intervalo (𝑎 −
𝑅, 𝑎 + 𝑅) mediante los métodos resumidos en la sección 8.6; por supuesto, ninguna
conclusión acerca de la convergencia en los extremos puede inferirse del criterio de la
razón o del criterio de la raíz.

EJEMPLOS DE APLICACIÓN:
1) Determine el intervalo de convergencia de la serie:
𝑛=1
+∞
𝑛 (𝒙 − 𝟐) 𝒏
Solución La serie de potencias dada es
𝒙 − 𝟐 + 𝟐(𝒙 − 𝟐) 𝟐+ . . . +𝒏(𝒙 − 𝟐) 𝒏 + (𝒏 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐) 𝒏+𝟏 + . . .

Al aplicar el criterio de la razón se tiene
lim
𝑛→+∞
u 𝑛+1
u 𝑛
= lim
𝑛→+∞
(𝑛 + 1)(𝒙 − 𝟐) 𝒏+𝟏
𝒏(𝒙 − 𝟐) 𝒏
= 𝑥 − 2 lim
𝑛→+∞
𝑛+1
𝑛
= 𝑥 − 2
La serie dada será absolutamente converge si 𝑥 − 2 < 1 o, equivalente −1 < 𝑥 − 2 < 1 , o
bien, 1 < 𝑥 < 3.

Cuando 𝑥 = 1, la serie es
𝑛=1
+∞
(−𝟏) 𝒏
𝒏
La cual es divergente debido a que lim
𝑛→+∞
u 𝑛 ≠ 0. Cuando 𝑋 = 3, la serie es
𝑛=1
+∞
𝒏
La cual es también divergente ya que lim
𝑛→+∞
u 𝑛 ≠ 0. Por tanto, el intervalo de convergencia
es (1, 3).
Así, la serie de potencias dada define una función que tiene intervalo (1, 3) como su dominio.

2) Determine si la siguiente serie es convergente o divergente aplicando el criterio de
la integral.
𝑛=0
+∞
𝐧. 𝒆−𝒏
𝑛=0
+∞
𝑥. 𝑒−𝑥
𝑑𝑥 = lim
𝑏→∞ 1
𝑏
𝑥. 𝑒−𝑥
𝑑𝑥 = lim
𝑏→∞
−𝑥. 𝑒 𝑥
− 𝑒−𝑥
𝑏
1
= lim
𝑏→∞
−
𝑏
𝑒 𝑏 −
1
𝑒 𝑏 − −
1
𝑒1 −
1
𝑒1
= lim
𝑏→∞
−
𝑏
𝑒 𝑏 −
2
𝑒
= lim
𝑏→∞
−
1
𝑒 𝑏 −
2
𝑒
=
2
𝑒

Bibliografía
DEMIDOVICH. (2002). Analisis Matematico. priale.
Leithold. (1998). El calculo con geometria analitica.

Series Infinitas, series de potencias y criterios de convergencia.

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (20)

Similar a Series Infinitas, series de potencias y criterios de convergencia. (20)

Más de Alejandro Aguirre (8)

Último (20)

Series Infinitas, series de potencias y criterios de convergencia.