Series numéricas

Cap´ıtulo 8
Series numéricas
8.1. Definición y primeras propiedades
Informalmente, una serie es “una suma de infinitos sumandos” (ver antecedentes históricos
y comentarios en [Apostol, cap. 10] y en [Durán, pág. 184 y siguientes]). Tales sumas se usan
impl´ıcitamente, por ejemplo, al considerar desarrollos decimales “ilimitados” de los números reales:
as´ı, la igualdad
7
3
= 2, 333 . . . significa
7
3
= 2 +
3
10
+
3
100
+
3
1000
+ . . . ,
suma con “infinitos sumandos” de la forma
3
10n
, n ∈ N. En general, consideraremos una sucesión
cualquiera (an) y “su suma” ∞
n=1 an. ¿Qué sentido habrá que darle a tal suma? La respuesta se
impone de modo natural: ∞
n=1 an “tiene que ser” l´ım
m→∞
m
n=1
an.
Analizando el proceso anterior, se trata, pues, de formar mediante la “sucesión de sumandos”
(an) una nueva sucesión “de sumas” (sm) dada por sm = a1 + a2 + · · · + am, m ∈ N, y determinar
el l´ımite (si existe) de esta última sucesión. Esquemáticamente:
lugar 1 2 3 4 . . . n . . .
término a1 a2 a3 a4 . . . an . . .
suma a1 a1 + a2 a1 + a2 + a3 a1 + a2 + a3 + a4 . . . a1 + · · · + an . . . → ?
Ahora bien: si, en definitiva, vamos a parar al estudio de la convergencia de una sucesión,
¿qué novedad vamos a encontrar respecto a lo que ya sabemos de sucesiones? El cambio radica en
el punto de partida: tomando como “dato” la sucesión de sumandos (an), nos planteamos determinar
propiedades de la sucesión de sumas (sn) basándonos en propiedades de los términos an. Pasemos
a formalizar estas ideas.
8.1.1. Series: términos y sumas parciales. Series convergentes, divergentes y
oscilantes
Definición 8.1.1. Una serie ∞
n=1 an es un par ordenado de sucesiones ((an), (sn)) relacionadas
por la condición de que para cada n ∈ N es
sn = a1 + a2 + · · · + an.
El término n-ésimo de la primera sucesión, an, recibe el nombre de término n-ésimo de la serie;
el término n-ésimo de la segunda sucesión, sn, recibe el nombre de suma parcial n-ésima de la
serie.
143

144 CAPÍTULO 8. SERIES NUMÉRICAS
Se dice que la serie ∞
n=1 an es convergente si la sucesión (sn) de sus sumas parciales es
convergente, es decir, si
∃ l´ım
m
sm = l´ım
m
m
n=1
an ∈ R.
Diremos que la serie ∞
n=1 an es divergente a +∞, divergente a −∞ u oscilante si la sucesión
de sus sumas parciales es divergente a +∞, divergente a −∞ u oscilante, respectivamente.
Si una serie ∞
n=1 an es convergente, se llama suma de dicha serie al l´ımite de la sucesión
de sus sumas parciales; si la serie diverge a +∞ o a −∞, se dice que su suma es +∞ o −∞,
respectivamente. Con un abuso de notación que no suele conducir a error, se denota la suma con
el mismo s´ımbolo que la serie. Es decir, se escribe
∞
n=1
an = l´ım
m
m
n=1
an,
cuando este l´ımite existe.
Nota. A veces es cómodo considerar series de la forma ∞
n=m an, donde m es un número entero:
las sumas parciales serán entonces s1 = am, s2 = am + am+1,. . . , sn = am + · · · + am+n−1, . . .
Se utiliza también la notación am + am+1 + · · · + an + · · · en vez de ∞
n=m an y, cuando no da
lugar a confusión, se abrevia en an.
Ejemplo (series geométricas). Una serie ∞
n=1 an es una serie geométrica si existe un r ∈ R
tal que para todo n ∈ N es an+1 = r · an (o an+1/an = r si a1 = 0); de otro modo, si es de la forma
∞
n=0 a rn. Si sn es su suma parcial n-ésima, se tendrá
sn = a + a r + · · · + a rn−1
=
a1−rn
1−r si r = 1
an si r = 1
.
Excluyendo el caso trivial a = 0, se sigue:
a) si |r| < 1, la serie
∞
n=0
arn
es convergente y la suma es
a
1 − r
;
b) si r ≥ 1, la serie es divergente a +∞ (si a > 0) o a −∞ (si a < 0);
c) si r = −1, la serie es oscilante, aunque las sumas parciales están acotadas;
d) si r < −1, la serie es oscilante y las sumas parciales tienden, en valor absoluto, a +∞.
Ejemplo (serie armónica). Se denomina as´ı la serie
∞
n=1
1
n
.
Se comprueba que, para cada n, su suma parcial n-ésima, denotada habitualmente por Hn, cumple
Hn =
n
k=1
1
k
≥
n
k=1
k+1
k
dx
x
=
n+1
1
dx
x
= log(n + 1),
luego la serie armónica diverge a +∞ a pesar de que l´ım
n
1
n
= 0.
El “carácter” de una serie no cambia si se prescinde de un número finito de sumandos (aunque
s´ı puede cambiar el valor de la suma). Dicho de forma más precisa,

8.1. DEFINICI ÓN Y PRIMERAS PROPIEDADES 145
Proposición 8.1.2. Dada una serie ∞
n=1 an y un entero m > 1, se tiene:
a) ∞
n=1 an converge si y solo si converge ∞
n=m an. Si convergen, entonces
∞
n=1
an =
m−1
n=1
an +
∞
n=m
an.
b) ∞
n=1 an diverge a +∞ si y solo si ∞
n=m an diverge a +∞.
c) ∞
n=1 an diverge a −∞ si y solo si ∞
n=m an diverge a −∞.
d) ∞
n=1 an es oscilante si y solo si ∞
n=m an es oscilante.
Demostración. Basta observar que para todo p > m es
p
n=1
an =
m−1
n=1
an +
p
n=m
an,
donde m−1
n=1 an es fijo (independiente de p), y aplicar las definiciones previas y los resultados
conocidos para sucesiones.
8.1.2. Linealidad de la convergencia de series
Proposición 8.1.3. Sean ∞
n=1 an, ∞
n=1 bn series convergentes. Para cualesquiera α, β ∈ R, la
serie ∞
n=1(αan + βbn) es convergente y se tiene
∞
n=1
(αan + βbn) = α
∞
n=1
an + β
∞
n=1
bn.
Demostración. Basta tener en cuenta que
N
n=1
(αan + βbn) = α
N
n=1
an + β
N
n=1
an.
Corolario 8.1.4. Si ∞
n=1 an converge y ∞
n=1 bn no es convergente, entonces ∞
n=1(an + bn) no
es convergente.
Demostración. Si la serie ∞
n=1(an + bn) convergiera, entonces la serie
∞
n=1
bn =
∞
n=1
(an + bn) + (−1)an
también converger´ıa, según la proposición anterior.
Ejemplos. La serie (1/n + 1/2n) no converge, pues 1/n no es convergente y 1/2n s´ı.
Sin embargo, al sumar dos series no convergentes, la suma puede ser tanto convergente como
no convergente: exam´ınense los casos an = bn = 1 y an = 1, bn = −1.

8.1.3. Series telescópicas
Proposición 8.1.5. Sean (an) y (bn) dos sucesiones de números reales tales que para todo n ∈ N
se cumple
an = bn − bn+1.
Entonces la serie ∞
n=1 an (denominada serie telescópica) es convergente si y solo si la sucesión
(bn) tiene l´ımite real, en cuyo caso tenemos
∞
n=1
an = b1 − l´ım
n
bn.
Demostración. Basta tener en cuenta que las sumas parciales de la serie ∞
n=1 an son
sN =
N
n=1
an = (b1 − b2) + (b2 − b3) + · · · + (bN−1 − bN ) + (bN − bN+1) = b1 − bN+1.
Ejemplo. Si an =
1
n(n + 1)
=
1
n
−
1
n + 1
, entonces la suma parcial N-ésima es simplemente
SN =
N
n=1
1
n(n + 1)
=
N
n=1
1
n
−
1
n + 1
= 1 −
1
N + 1
,
con lo que l´ım
N
SN = 1. Es decir, la serie ∞
n=1 an converge y su suma es 1:
∞
n=1
1
n(n + 1)
= 1 .
Ejemplo. Sea ahora an = log 1 +
1
n
. La suma parcial de orden N es
N
n=1
an =
N
n=1
log 1 +
1
n
=
N
n=1
log(n + 1) − log n = log(N + 1) − log 1 = log(N + 1)
y tiende a +∞. Es decir, la serie
∞
n=1
log 1 +
1
n
diverge a +∞.
Nota. Toda serie ∞
n=1 an se puede ver trivialmente como una serie telescópica: basta poner
b1 = 0, bn+1 = −(a1 + a2 + · · · + an) (n ∈ N),
lo que no añade nada interesante al estudio de la serie. Como es obvio, el resultado que hemos ob-
tenido sólo es útil cuando la sucesión (bn) es una sucesión conocida, cuyo comportamiento sabemos
de antemano.
Ejercicio. Escribiéndolas como series telescópicas, estudiar las siguientes series:
a)
∞
n=1
1
2n
n + 2
n(n + 1)
(descomponer
n + 2
n(n + 1)
en fracciones simples).
b)
∞
n=1
3n
sen3 a
3n
(obsérvese que sen x = 3 sen
x
3
− 4 sen3 x
3
).
c)
∞
n=1
2n−1
tg2 a
2n
tg
a
2n−1
(utilizar que tg x =
2 tg
x
2
1 − tg2 x
2
).
d)
∞
n=1
sen
1
2n
cos
3
2n
(tener en cuenta que cos x sen y =
1
2
[sen(x + y) − sen(x − y)]).

8.2. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS 147
8.1.4. Condición necesaria para la convergencia de una serie. Condición general
de convergencia de Cauchy
Proposición 8.1.6 (condición necesaria para la convergencia de una serie). Si la serie
∞
n=1 an converge, necesariamente
l´ım
n
an = 0.
Demostración. Si (sN ) es la sucesión de las sumas parciales, es decir,
sN =
N
n=1
an,
entonces
∃ l´ım
N
sN ∈ R.
Como aN = sN − sN−1, se deduce que
l´ım
N
aN = l´ım
N
sN − l´ım
N
sN−1 = 0.
Esta condición no es suficiente para la convergencia de una serie: veremos numerosos ejemplos
de series no convergentes cuya sucesión de términos tiende a 0; el más sencillo es quizá la serie
armónica
∞
n=1
1
n
= 1 +
1
2
+
1
3
+ · · · +
1
n
+ · · · ,
ya estudiada.
Teorema 8.1.7 (condición de Cauchy para la convergencia de una serie). Una serie
∞
n=1 an es convergente si y solo si para cada ε > 0 existe un N = N(ε) tal que para cualesquiera
m,n ∈ N con m ≥ n > N se cumple
m
k=n
ak < ε.
Demostración. La serie es convergente si y solo si lo es la sucesión (sn) de sus sumas parciales, lo
que equivale a que (sn) sea de Cauchy, y esto a su vez es es equivalente a que para cada ε > 0
exista un N = N(ε) tal que para cualesquiera m, n ∈ N con m ≥ n > N sea |sm − sn−1| < ε; pero
sm − sn−1 =
m
k=1
ak −
n−1
k=1
ak =
m
k=n
ak.
8.2. Series de términos no negativos
8.2.1. Convergencia de una serie de términos no negativos. Criterios de com-
paración
El estudio del carácter de una serie se simplifica cuando ésta es de términos no negativos.
Proposición 8.2.1. Sea ∞
n=1 an una serie tal que an ≥ 0 para cada n ∈ N. Entonces ∞
n=1 an
converge si y solo si la sucesión (sn) de sus sumas parciales está acotada superiormente. En caso
contrario, la serie diverge a +∞.
Demostración. Puesto que para cada n ∈ N es
sn+1 − sn = an+1 ≥ 0,
la sucesión (sn) es monótona no decreciente. Luego o bien está acotada superiormente y converge,
o bien no está acotada superiormente y diverge a +∞.

Este resultado permite deducir en algunos casos la convergencia (o divergencia) de una serie a
partir del carácter de otra serie conocida.
Teorema 8.2.2 (criterio de comparación por mayoración). Sean ∞
n=1 an y ∞
n=1 bn dos
series y n0 ∈ N de modo que para n ≥ n0 es 0 ≤ an ≤ bn. Si ∞
n=1 bn converge, también converge
∞
n=1 an. En consecuencia, si ∞
n=1 an diverge, ∞
n=1 bn es asimismo divergente.
Demostración. Sabemos que ∞
n=1 an tiene el mismo carácter que ∞
n=n0
an, y que ∞
n=1 bn tiene
el mismo carácter que ∞
n=n0
bn. Denotando por (sn) la sucesión de sumas parciales de ∞
n=n0
an
y por (tn) la de ∞
n=n0
bn, se sigue que para cada n ∈ N es sn ≤ tn, luego si (tn) está acotada
superiormente, (sn) estará acotada superiormente. Y si (sn) no está acotada superiormente, (tn)
tampoco puede estar acotada superiormente. Basta aplicar ahora la proposición anterior.
Otra forma de comparar dos series es estudiar el cociente de sus términos:
Teorema 8.2.3 (criterio de comparación por paso al l´ımite). Sean ∞
n=1 an, ∞
n=1 bn series
de términos no negativos. Supongamos que existe
l´ım
n
an
bn
= ∈ [0, +∞) ∪ {+∞}.
a) Si < +∞ y la serie ∞
n=1 bn converge, entonces la serie ∞
n=1 an también converge.
b) Si 0 < y la serie ∞
n=1 bn diverge, entonces la serie ∞
n=1 an también diverge.
c) Si 0 < < +∞, entonces las dos series ∞
n=1 an y ∞
n=1 bn tienen el mismo carácter.
Demostración. a) Sea C ∈ ( , +∞) (por ejemplo C = + 1). Entonces existe algún n0 ∈ N tal
que an/bn ≤ C para todo n ≥ n0, es decir, 0 ≤ an ≤ Cbn para todo n ≥ n0. Si la serie ∞
n=1 bn
converge, entonces también la serie ∞
n=1 Cbn converge y, por el criterio anterior, la serie ∞
n=1 an
converge.
b) Sea C ∈ (0, ). Existe algún n0 ∈ N tal que an/bn ≥ C para todo n ≥ n0, es decir, an ≥ Cbn ≥ 0
para todo n ≥ n0. Si la serie ∞
n=1 bn diverge, entonces también la serie ∞
n=1 Cbn diverge y, por
el criterio anterior, la serie ∞
n=1 an diverge.
c) Basta aplicar a) y b).
Corolario 8.2.4 (series de términos equivalentes). Sean ∞
n=1 an, ∞
n=1 bn dos series de
términos no negativos. Supongamos que (an) ∼ (bn). Entonces ∞
n=1 an y ∞
n=1 bn tienen el mismo
carácter.
Por supuesto, en el resultado anterior las dos series pueden tener distinta suma.
La comparación con las series geométricas proporciona dos criterios muy útiles en la práctica:
el criterio de la ra´ız y el criterio del cociente. Posteriormente veremos versiones más generales de
los mismos para series de términos cualesquiera, as´ı que dejamos la demostración para entonces.
Proposición 8.2.5 (criterio de Cauchy o de la ra´ız). Sea ∞
n=1 an una serie de términos no
negativos tal que existe R = l´ım
n→∞
n
√
an.
a) Si R < 1, la serie ∞
n=1 an es convergente.
b) Si R > 1, entonces an → 0 y la serie ∞
n=1 an es divergente.
Proposición 8.2.6 (criterio de D’Alembert o del cociente). Sea ∞
n=1 an una serie de
términos no negativos tal que existe R = l´ım
n→∞
an+1
an
.

8.2. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS 149
n=1 an es divergente.
Un complemento interesante del criterio del cociente es el criterio de Raabe.
Proposición 8.2.7 (criterio de Raabe). Sea ∞
n=1 an una serie de términos no negativos tal
que existe R = l´ım
n→∞
n (1 −
an+1
an
). Entonces:
a) Si R > 1, la serie ∞
b) Si R < 1, la serie ∞
n=1 an diverge a +∞.
Demostración. Ver [Garay-Cuadra-Alfaro, teorema 5.28, págs. 101–102].
8.2.2. Otros criterios. Convergencia de algunas series de términos no negativos
Proposición 8.2.8 (criterio integral). Sea f : [1, +∞) → [0, +∞) no creciente. Entonces:
a) La integral impropia
+∞
1
f es convergente si y solo si la serie
∞
n=1
f(n) converge.
b) Existe C = l´ım
n
n
k=1
f(k) −
n
1
f ∈ [0, +∞).
c) Para cada n ∈ N se tiene
n
k=1
f(k) =
n
1
f + C + εn, con 0 ≤ εn ≤ f(n) − l´ım
x→+∞
f(x).
Demostración. Para cada n ∈ N, pongamos
sn =
n
k=1
f(k), tn =
n
1
f, dn = sn − tn.
Entonces
dn =
n
k=1
f(k) −
n−1
k=1
k+1
k
f = f(n) +
n−1
k=1
f(k) −
k+1
k
f(x) dx
= f(n) +
n−1
k=1
k+1
k
[f(k) − f(x)] dx ≥ 0.
Como
dn − dn+1 = sn − tn − sn+1 + tn+1 =
n+1
n
f(x) dx − f(n + 1)
=
n+1
n
[f(x) − f(n + 1)] dx ≥ 0,
se sigue que (dn) es monótona no creciente y acotada inferiormente por 0, con lo que existe C =
l´ım
n
dn ∈ [0, +∞) y, en consecuencia, (sn) y (tn) serán simultáneamente convergentes o divergentes.
Puesto que f ≥ 0, la convergencia de (tn) equivale asimismo a la de la integral
+∞
1 f, luego esta
integral converge si y solo si converge la serie ∞
n=1 f(n). Con esto hemos demostrado a) y b).
En cuanto a c), la igualdad se cumple trivialmente si definimos εn = sn − tn − C = dn − C; lo
que hay que probar es que
0 ≤ εn ≤ f(n) − l´ım
x→+∞
f(x).

Observemos que
0 ≤ dn − dn+1 =
n+1
n
f(x) dx − f(n + 1) ≤
n+1
n
f(n) dx − f(n + 1) = f(n) − f(n + 1).
Reiterando, para cualquier número natural m > n resulta:
0 ≤ dn − dn+1 ≤ f(n) − f(n + 1),
0 ≤ dn+1 − dn+2 ≤ f(n + 1) − f(n + 2),
. . .
0 ≤ dm−1 − dm ≤ f(m − 1) − f(m).
Al sumar las desigualdades resulta que
0 ≤ dn − dm ≤ f(n) − f(m).
Pasando al l´ımite en m, y teniendo en cuenta que l´ım
x→+∞
f(x) existe por ser f monótona no creciente,
obtenemos
0 ≤ dn − C ≤ f(n) − l´ım
x→+∞
f(x).
Como εn = dn − C, hemos terminado la demostración.
Aplicaciones. 1.- La constante γ de Euler. Aplicando los resultados que acabamos de obtener
a la función f dada por f(x) = 1/x y teniendo en cuenta que
n
1
1
x
dx = log n,
podemos escribir la suma parcial n-ésima de la serie armónica como
Hn =
n
k=1
1
k
= log n + γ + εn,
donde 0 ≤ εn ≤ 1/n y
γ = l´ım
n
n
k=1
1
k
− log n = 0, 5772156649 . . .
es un número introducido por Euler en 1734 en el estudio de la función Γ, definida también por él.
Euler obtuvo sus dieciséis primeras cifras decimales en 1781; en 1963, Sweeney calculó 3.566 cifras.
No se sabe todav´ıa si es un número racional o irracional (ver [Le Lionnais, pág. 28]).
2.- La función ζ de Riemann. El criterio integral permite comprobar fácilmente que la serie
∞
n=1
1
ns
converge si y solo si s > 1. La función
ζ(s) =
∞
n=1
1
ns
, s > 1,
se denomina función zeta de Riemann y tiene importantes aplicaciones (especialmente en teor´ıa
de números). Hay expresiones más o menos sencillas para ζ(2n), n ∈ N, pero no para otros valores.
Se sabe por ejemplo que ζ(2) =
π2
6
, ζ(4) =
π4
90
. Hasta fechas recientes (R. Apéry, 1978) no se hab´ıa
podido probar siquiera que ζ(3) es irracional: ver [Le Lionnais, pág. 36].

8.3. SERIES DE TÉRMINOS CUALESQUIERA 151
3.- Series logar´ıtmicas. También mediante el criterio integral se prueba que la serie
∞
n=2
1
n(log n)s
converge si y solo si s > 1 (ver [Apostol, pág. 486]).
Por comparación con las series anteriores se deducen inmediatamente los siguientes criterios de
convergencia.
Proposición 8.2.9 (criterio de Pringsheim). Sea ∞
n=1 an una serie de términos no negativos
tal que para algún α ∈ R existe el l´ımite
l´ım
n→∞
nα
an = ∈ [0, +∞].
Entonces:
a) Si α > 1 y < +∞, la serie ∞
n=1 an converge.
b) Si α ≤ 1 y > 0, la serie ∞
n=1 an diverge (a +∞).
Proposición 8.2.10 (criterios logar´ıtmicos). Sea ∞
n=1 an una serie de términos no negativos
tal que existe alguno de los dos l´ımites A = l´ım
n→∞
− log an
log n
, B = l´ım
n→∞
− log(n an)
log(log n)
. Entonces:
a) Si A > 1, la serie ∞
n=1 an es convergente; si A < 1, diverge a +∞.
b) Si B > 1, la serie ∞
n=1 an es convergente; si B < 1, diverge a +∞.
8.3. Series de términos cualesquiera
8.3.1. Series alternadas: criterio de Leibniz
Proposición 8.3.1 (criterio de Leibniz). Sea ∞
n=1 xn una serie alternada, es decir, una serie
tal que para cada n ∈ N es xn = (−1)n+1an con an ≥ 0. Si (an) es una sucesión no creciente con
l´ımite 0, entonces la serie ∞
n=1 xn = ∞
n=1 (−1)n+1an es convergente. Además, denotando con sn
la suma parcial n-ésima de la serie y con s su suma, se verifican para todo n ∈ N las desigualdades
0 ≤ (−1)n
(sn+2 − sn) ≤ an+1, (8.1)
0 ≤ (−1)n
(s − sn) ≤ an+1. (8.2)
Nota. De (8.1) se sigue que las sumas de orden par forman una sucesión no decreciente y las sumas
de orden impar una sucesión no creciente. Las desigualdades (8.2) pueden interpretarse del siguiente
modo: si tomamos sn como valor aproximado de s, el error que cometemos es menor o igual que
an+1, de modo que si (an) converge “rápidamente” a 0 obtenemos una buena aproximación de la
suma mediante una suma parcial de “pocos” términos.
Demostración. Obsérvese que dado k ∈ N, la diferencia
−(s2k+1 − s2k−1) = a2k − a2k+1
es mayor o igual que 0 por ser (an) decreciente, y menor o igual que a2k por ser a2k+1 ≥ 0, lo que
da (8.1) en el caso n = 2k − 1. Para n = 2k es
s2k+2 − s2k = a2k+1 − a2k+2,

que análogamente es mayor o igual que 0 y menor o igual que a2k+1, lo que completa la prueba
de (8.1) para todos los casos. Además, hemos obtenido que (s2k) es una sucesión no decreciente.
Como
s2k = a1 − [(a2 − a3) + · · · + (a2k−2 − a2k−1) + a2k] ≤ a1,
(s2k) está acotada superiormente, luego es convergente. Sea s su l´ımite. Puesto que
s2k−1 = s2k + a2k
y a2k → 0, resulta que
l´ım
k
s2k−1 = l´ım
k
(s2k + a2k) = l´ım
k
s2k + l´ım
k
a2k = s + 0 = s.
Es decir: tanto la subsucesión de términos pares como la de términos impares de (sn) son con-
vergentes con l´ımite s. Esto permite afirmar que (sn) es convergente con l´ımite s, es decir, que
+∞
n=1 xn = s.
Finalmente, puesto que para cada n ∈ N es
s = x1 + · · · + xn +
+∞
k=n+1
xk = sn +
+∞
k=n+1
(−1)k+1
ak,
se sigue que
(−1)n
(s − sn) =
+∞
k=n+1
(−1)n+k+1
ak
= an+1 − an+2 + l´ım
m
[(an+3 − an+4) + · · · + (an+2m+1 − an+2m+2)]
≥ an+1 − an+2 ≥ 0
y que
(−1)n
(s − sn) =
+∞
k=n+1
(−1)n+k+1
ak
= an+1 − l´ım
m
[(an+2 − an+3) + · · · + (an+2m − an+2m+1)]
≤ an+1,
lo que prueba (8.2).
Ejemplo. La serie armónica alternada
∞
n=1
(−1)n−1
n
es convergente. Además, su suma se calcula fácilmente utilizando la constante de Euler. En efecto:
para cada n ∈ N, sumando y restando términos, se tiene
2n
k=1
(−1)k+1
k
= 1 −
1
2
+
1
3
−
1
4
+ · · · +
1
2n − 1
−
1
2n
= 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ · · · +
1
2n − 1
+
1
2n
− 2
1
2
+
1
4
+ · · · +
1
2n
= H2n − Hn = log 2n + γ + ε2n − log n − γ − εn = log 2 + ε2n − εn.
Como sabemos ya que la serie armónica alternada es convergente, podemos escribir:
+∞
k=1
(−1)k+1
k
= l´ım
m
m
k=1
(−1)k+1
k
= l´ım
n
2n
k=1
(−1)k+1
k
= log 2.

8.3. SERIES DE TÉRMINOS CUALESQUIERA 153
Ejemplo. La serie
∞
n=2
(−1)n log n
n
es convergente. En efecto, es fácil comprobar que la función f(x) =
log x
x
es decreciente en [3, +∞)
(por ejemplo, calculando f ). Además,
log n
n
≥ 0 y
log n
n
→ 0. De aqu´ı se deduce que la serie
∞
n=3
(−1)n log n
n
converge.
8.3.2. Series absolutamente convergentes
Definición 8.3.2. Una serie ∞
n=1 an se dice absolutamente convergente si la serie ∞
n=1 |an|
es convergente.
El ejemplo más sencillo de serie convergente que no converge absolutamente es la serie armónica
alternada.
Observación. Si ∞
n=1 an y ∞
n=1 bn son dos series absolutamente convergentes y r, s ∈ R, enton-
ces la serie ∞
n=1(ran+sbn) también es absolutamente convergente. Esto se deduce de la desigualdad
|ran + sbn| ≤ |r||an| + |s||bn| y el criterio de mayoración.
Definición 8.3.3. Para un número real cualquiera x, escribamos
x+
= máx{x, 0}, x−
= máx{−x, 0}.
Es fácil comprobar que |x| = x+ + x−, x = x+ − x−, x+ ≥ 0, x− ≥ 0.
Proposición 8.3.4. Toda serie absolutamente convergente es convergente: dicho de otro modo, si
∞
n=1 |an| converge, entonces la serie ∞
n=1 an también converge. Y en ese caso,
∞
n=1
an ≤
∞
n=1
|an|.
Demostración. Con la notación anterior,
0 ≤ a+
n ≤ |an|, 0 ≤ a−
n ≤ |an|,
luego las dos series ∞
n=1 a+
n y ∞
n=1 a−
n convergen. Como an = a+
n − a−
n , la serie ∞
n=1 an también
converge. Además, para cada n ∈ N
n
k=1
ak ≤
n
k=1
|ak|,
por la desigualdad triangular. Pasando al l´ımite (una vez que ya sabemos que las dos series con-
vergen),
∞
k=1
ak ≤
∞
k=1
|ak|.

8.3.3. Criterios generales de Cauchy (de la ra´ız) y de D’Alembert (del cociente)
Los criterios ya vistos sobre convergencia de series de términos no negativos se traducen de
manera obvia en criterios de convergencia absoluta para series de términos cualesquiera. As´ı:
Proposición 8.3.5 (criterio de la ra´ız o de Cauchy). Sea ∞
n=1 an una serie tal que existe
R = l´ım
n→∞
n
|an|.
n=1 an converge absolutamente.
n=1 an no es convergente.
Demostración. a) Supongamos que R < 1. Sea R < c < 1. Entonces existirá algún n0 tal que
n
|an| ≤ c para todo n ≥ n0. Por lo tanto,
0 ≤ |an| ≤ cn
, n ≥ n0.
Como 0 < c < 1, la serie geométrica ∞
n=n0
cn converge y por lo tanto la serie ∞
n=n0
|an| converge,
y la serie ∞
n=1 |an| también converge.
b) Supongamos que R > 1. Entonces existirá algún n0 tal que n
|an| ≥ 1 para todo n ≥ n0. Por lo
tanto,
|an| ≥ 1, n ≥ n0.
Entonces, an → 0 y la serie ∞
Proposición 8.3.6 (criterio del cociente o de D’Alembert). Sea ∞
n=1 an una serie tal que
existe R = l´ım
n→∞
|an+1|
|an|
.
n=1 an converge absolutamente.
Demostración. a) Supongamos que R < 1. Sea R < c < 1. Entonces existirá algún n0 tal que
|an+1|
|an| ≤ c para todo n ≥ n0. Por lo tanto,
|an+1| ≤ c|an|, n ≥ n0.
De aqu´ı es fácil deducir por inducción que
0 ≤ |an| ≤
|an0 |
cn0
cn
, n ≥ n0.
Como 0 < c < 1, la serie geométrica ∞
n=n0
cn converge y por lo tanto la serie ∞
n=n0
|an| converge,
y la serie ∞
n=1 |an| también converge.
b) Supongamos que R > 1. Entonces existirá algún n0 tal que |an+1|
|an| ≥ 1 para todo n ≥ n0. Por lo
tanto,
|an+1| ≥ |an|, n ≥ n0.
Entonces, la sucesión |an| no tiende a 0 (es no decreciente), luego an → 0 y la serie ∞
n=1 an no es
convergente.

8.4. PROPIEDAD CONMUTATIVA PARA SERIES 155
8.3.4. Criterios de convergencia de Abel y Dirichlet
El criterio de Leibniz nos ha permitido encontrar series que convergen pero no absolutamente.
Para ampliar la lista de criterios que no se refieren a la convergencia absoluta añadimos los más
conocidos, de Abel y Dirichlet, que se obtienen de una interesante “fórmula de sumación por partes”.
Lema 8.3.7 (fórmula de sumación parcial de Abel). Sean (an)∞
n=1, (bn)∞
n=1 dos sucesiones
arbitrarias, y llamemos, para cada n,
An =
n
k=1
ak
(suma parcial n-ésima de la serie ∞
n=1 an) Entonces
n
k=1
ak bk = An bn+1 +
n
k=1
Ak(bk − bk+1)
cualquiera que sea n ∈ N.
Demostración. Ver [Apostol, pág. 497].
Proposición 8.3.8 (criterio de Abel). Si (an)∞
n=1 es una sucesión monótona y acotada, y
∞
n=1 bn es una serie convergente, la serie ∞
n=1 an bn es convergente.
Demostración. Ver [Apostol, pág. 498].
Proposición 8.3.9 (criterio de Dirichlet). Si (an)∞
n=1 es una sucesión monótona que converge
a 0, y ∞
n=1 bn es una serie cuya sucesión de sumas parciales está acotada, la serie ∞
n=1 an bn es
convergente.
Demostración. Ver [Apostol, págs. 497–498].
8.4. Propiedad conmutativa para series
¿Qué sucede cuando en una serie “se cambia el orden de los sumandos”? Veremos que las
únicas series “inalterables” por tales cambios son las absolutamente convergentes; en general, pues,
las series no mantienen la propiedad conmutativa de las sumas finitas. Precisemos estos conceptos.
Definición 8.4.1. Dada una serie ∞
n=1 an, se dice que otra serie ∞
n=1 bn es una reordenación
suya si existe una aplicación biyectiva r : N → N tal que, para cada n ∈ N,
bn = ar(n).
Nótese que, rec´ıprocamente, ∞
n=1 an es una reordenación de ∞
n=1 bn, pues la inversa r−1 es
igualmente una biyección.
Informalmente, una serie es una reordenación de otra si tiene exactamente los mismos términos,
pero en otro orden. Que una serie tenga la propiedad conmutativa significará, as´ı, que tenga suma
y que cualquier reordenación suya tenga la misma suma. Vamos a dar un nombre especial a las
series convergentes con la propiedad conmutativa.
Definición 8.4.2. Una serie se denomina incondicionalmente convergente si es convergente
y si toda reordenación suya es asimismo convergente, y con la misma suma.
Diremos que una serie es condicionalmente convergente si es convergente pero no incondi-
cionalmente convergente, de modo que alguna reordenación suya o bien no es convergente o converge
a una suma distinta.

Lema 8.4.3. Dada una serie ∞
n=1 an de términos no negativos y una reordenación suya ∞
n=1 bn,
se tiene:
a) si ∞
n=1 an es convergente con suma s, también ∞
n=1 bn es convergente con suma s.
b) si ∞
n=1 an es divergente a +∞, también ∞
n=1 bn es divergente a +∞.
Demostración. a) Sea r : N → N tal que bn = ar(n) para cada n ∈ N. Para cada n ∈ N definamos
m(n) = máx{r(1), r(2), . . . , r(n)}.
Denotando con tn la suma parcial n-ésima de ∞
n=1 bn será entonces
tn = ar(1) + ar(2) + · · · + ar(n) ≤ a1 + a2 + · · · + am(n) ≤ s,
lo que prueba que ∞
n=1 bn es convergente con suma menor o igual que s. Como a su vez ∞
n=1 an
es una reordenación de ∞
n=1 bn, por el mismo motivo su suma será menor o igual que la suma de
∞
n=1 bn, lo que implica la igualdad entre ambas sumas.
b) En caso contrario, ∞
n=1 bn ser´ıa convergente y entonces ∞
n=1 an, reordenación suya, también
converger´ıa.
Proposición 8.4.4. Toda serie absolutamente convergente es incondicionalmente convergente.
Demostración. Si la serie ∞
n=1 |an| converge, aplicamos el lema anterior a las series ∞
n=1 a+
n y
∞
n=1 a−
n (que también convergen) y por último recordamos que an = a+
n − a−
n .
El rec´ıproco también es cierto: más aún, una serie convergente que no converja absolutamente
posee reordenaciones “que van a parar donde se desee”: convergentes con suma arbitrariamente
prefijada, divergentes a +∞, divergentes a −∞, oscilantes a capricho. Este es el contenido de un
célebre teorema de Riemann.
Teorema 8.4.5 (de Riemann). Si una serie es convergente pero no absolutamente convergente,
para cada ∈ [−∞, +∞] existe una reordenación suya con suma ; en general, dados 1, 2, . . . ,
k, existe una reordenación cuya sucesión de sumas parciales contiene subsucesiones que convergen
a 1, 2, . . . , k.
Demostración. [Garay-Cuadra-Alfaro, teorema 5.33, pág. 105], [Ortega, teorema 9.20, pág. 303].
Corolario 8.4.6 (teorema de Dirichlet). Una serie es incondicionalmente convergente si y solo
si es absolutamente convergente.
8.5. Apéndice: sumación de series
Resumimos las ideas fundamentales sobre el cálculo de las sumas de algunos tipos particulares
de series.
Series telescópicas
Si para cada n puede ponerse an = bn − bn+1, la serie
∞
n=1
an converge si y solo si es convergente
la sucesión (bn), y si este es el caso,
∞
n=1
an = b1 − l´ım
n
bn.

8.5. APÉNDICE: SUMACI ÓN DE SERIES 157
Series geométricas
Si a = 0, entonces la serie
∞
n=1
a rn−1
converge si y solo si |r| < 1; si converge,
∞
n=1
a rn−1
=
a
1 − r
.
Series aritmético-geométricas
Si P es un polinomio no constante, la serie
∞
n=0
P(n) rn
converge si y solo si |r| < 1. Llamando
S a su suma, (1 − r)S = P(0) +
∞
n=1
[P(n) − P(n − 1)]rn
= P(0) +
∞
n=1
Q(n)rn
, donde Q es un
polinomio de grado menor que P; reiterando, se llega a una serie geométrica.
Series hipergeométricas
Son de la forma
∞
n=1
an con
an+1
an
=
αn + β
αn + γ
, α > 0. La serie converge si y solo si γ > α + β, con
suma γa1
γ−α−β
Series ‘racionales’ o ‘de cocientes de polinomios’
Series del tipo
P(n)
Q(n)
, donde P y Q son polinomios (el nombre no es estándar). Cuando
convergen, puede hallarse a veces su suma descomponiendo P/Q en fracciones simples y calculando
la suma parcial n-ésima, relacionándola con sumas de series conocidas. Pueden ser de ayuda las
siguientes:
• Serie armónica
Hn := 1 +
1
2
+
1
3
+ · · · +
1
n
= log n + γ + εn, donde γ es la constante de Euler y l´ımn εn = 0
• Función ζ de Riemann
ζ(s) :=
∞
n=1
1
ns
, s > 1 (función zeta de Riemann). En particular
ζ(2) =
∞
n=1
1
n2
=
π2
6
, ζ(4) =
∞
n=1
1
n4
=
π4
90
.
Reordenadas de la serie armónica alternada
En algunos casos pueden hallarse expresiones simplificadas de ciertas sumas parciales en térmi-
nos de Hn, y deducir as´ı el comportamiento de la serie.
Series que se reducen a la exponencial
Partiendo de que para todo x ∈ R es
∞
n=0
xn
n!
= ex
, se pueden sumar series de la forma
P(n)
n!
xn
, donde P es un polinomio de grado m, sin más que reescribir
P(n) = a0n(n − 1) · · · (n − m + 1) + a1n(n − 1) · · · (n − m + 2) + · · · + am−1n + am

para coeﬁcientes a0, . . . , am adecuados, y observar que
n(n − 1) · · · (n − k)
n!
=
1
(n − k − 1)!
,
si n > k.

Bibliograf´ıa
[Apostol] Apostol, T. M.: Calculus, vol. I (segunda edición). Reverté, Barcelona,
1989. Citado en la(s) página(s) 143, 151, 155
[Durán] Durán, A. J.: Historia, con personajes, de los conceptos del cálculo. Alian-
za, Madrid, 1996. Citado en la(s) página(s) 143
[Garay-Cuadra-Alfaro] Garay, J. - Cuadra, J. L. - Alfaro, M.: Una introducción al cálculo infi-
nitesimal. Edición de los autores, Zaragoza, 1974. Citado en la(s) página(s)
149, 156
[Le Lionnais] Le Lionnais, F.: Les nombres remarquables. Hermann, Paris, 1983. Citado
en la(s) página(s) 150
[Ortega] Ortega, J. M.: Introducción al Análisis Matemático. Labor, Barcelona,
1995. Citado en la(s) página(s) 156
159

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