Sesión 01: Congruencia y Semejanza
- 2. 1. Figuras congruentes ( ) Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión. Ejemplos:
- 3. A C B D F E Para determinar si dos triángulos son congruentes, existen algunos criterios. Los más utilizados son: 1° Postulado N° 1 (L.L.L.) Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes. Ejemplo: 88 1010 66 Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF
- 4. 2° Postulado N° 2 (L.A.L.) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente. A B C E F D αα 5 3 5 3 Ejemplo: Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF
- 5. 3° Postulado N° 3 (A.L.A) Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente. A B C E F D αα 1212 Ejemplo: β β Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF
- 6. 2. Figuras Equivalentes Son aquellas que tienen la misma área. Ejemplo: El cuadrado de lado 2√π , es “equivalente” al círculo de radio 2 de la figura: Área = 4π Área = 4π
- 7. 3. Figuras semejantes (~) Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones: Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes. G F J I H α β γ δ ε A E D C B α β γ δ ε 1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y 2° que sus lados homólogos sean proporcionales. Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área.
- 8. A E D C B α β γ δ ε G F J I H α β γ δ ε 6 5 4 3 12 10 8 6 42 Además, están en razón 1:2. Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.
- 9. Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos proporcionales. Ejemplo: A B C α β γ E F D α β γ Los Lados homólogos están en razón: 1:3 = k 5 3 15 9 4 12 Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar. AB es homólogo a DE BC es homólogo a EF AC es homólogo a DF AB DE BC EF AC DF 1 3 = = = = k
- 10. P Q R A B C Los lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden a aquellos lados que son respectivamente proporcionales. Ejemplo: 34 5 6 8 10 AB PQ = BC QR = CA RP = k 5 10 = 3 6 = 4 8 = 1 2 ⇒ Además, también los elementos que cumplen la misma función en cada uno de los triángulos como: alturas, transversales, bisectrices y simetrales, (son homólogos y proporcionales). = k
- 11. PR 6 8 10 Q A B C 34 5 hC hR Además, = hC hR 2,4 4,8 = 1 2 = k Recuerda: Teorema de Euclides hC = a · b c
- 12. 3.5 Postulados de semejanza 1° Postulado AA. • Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes. Ejemplo: A B C 34ο 55ο E F D 34ο 55ο AB DF BC FE AC DE = = = kAdemás Δ ABC ~ Δ DFE por AA
- 13. 2° Postulado LLL. • Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales. Ejemplo: Δ ABC ~ Δ FDE por LLL A B C 4 E F D 5 6 12 8 10 AB FD BC DE AC FE 1 2 = = = = k Además ∠BAC=∠DFE, ∠CBA=∠EDF y ∠ACB=∠FED
- 14. 3° Postulado LAL. • Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente. Ejemplo: A B C 4 E F D 5 12 15 57° 57° Δ ABC ~ Δ FED por LAL Además ∠BAC=∠DFE y ∠CBA=∠FED BC ED 4 12 5 15 1 3 = = = kAC FD = ⇒
- 15. Ejemplo: Determinar la medida del segmento QR de la figura: A B C α β γ 4 10 Q R P α γ β 6 Solución: 10 QR 4 6 = 60 = 4∙QR 15 = QR Es decir: AB PR 10 QR 4 6 = = ⇒ ⇒ ⇒ Los triángulos de la figura son semejantes por AA y se tiene que Δ ABC ~ Δ PRQ , entonces: AB PR CB QR AC PQ = = = k Con k razón de semejanza
- 16. 4º POSTULADO: LLA> DOS TRIÁNGULOS SON SEMEJANTES SI TIENEN DOS LADOS RESPECTIVAMENTE PROPORCIONALES, Y EL ÁNGULO OPUESTO AL MAYOR DE ESOS LADOS, CONGRUENTE. 16 8 14 28 Δ ABC ~ Δ DEF por LLA> B C D E FEjemplo: A Razón de semejanza: 1 : 2