Simulación de Sistemas - Maestria Ingeniería

Simulación de Sistemas
LUIS ZULOAGA ROTTA
Maestría en Ingeniería de Sistemas – Mención en Gestión TI
Universidad Nacional Federico Villarreal

Sistema
• Conjunto de entidades u objetos relacionados entre si (conforman
una estructura) que buscan una misma finalidad, alcanzar sus
objetivos.
• Ejemplos:
• Sistema de los números reales
• Sistema digestivo
• Sistema de video
• Sistema de transporte
• Sistema de iluminación
• Sistema educativo

Propiedades de los sistemas
• Sinergia:
• la asociación de los elementos genera propiedades distintas a las de cada elemento.
• Entropía
• grado de desorden que tienen un sistema.
• Variedad:
• distintos elementos del sistema determinando el nivel de complejidad del mismo.
• Equifinalidad:
• existen sistemas con la misma finalidad pero con estructuras internas diferentes.
• Retroalimentación o feedback:
• un sistema se retroalimenta de sus propias salidas con la finalidad de mejorar sus procesos internos.
Alude a todo flujo recíproco de influencia. En el pensamiento sistémico es un axioma que toda
influencia es causa y efecto.
• Homeostasis
• define su nivel de respuesta y de adaptación al contexto.

Enfoques para el análisis de Sistemas
• Enfoque de la “caja negra”.
• Estudiamos el comportamiento en función de los inputs y outputs.
• Enfoque de la transición de estado.
• Definimos un vector de estado para el sistema y estudiamos el
comportamiento en función de cambios en las variables de estado del
vector.
• Enfoque de las partes componentes.
• Estudiamos al sistema en función de sus partes componentes y de la
estructura del todo.
• Enfoque soft system (análisis CADTWE)
• Analizamos el sistema en base a los weltanshaung de clientes, dueños
y actores

Sistema de Referencia
• Sistema que sirve como base para plantear las mejoras al
sistema en estudio o análisis.
• Es un sistema con la misma finalidad que el sistema en estudio
o análisis (equifinalidad).

SupraSistema
Sistema de
referencia
Sistemas con
equifinalidad
Analista Sistema
en estudio
AS-IS
SHOULD-BE
TO-BE ?

Sistema
x1
x2
f(x1,x2)
V(t1) V(t2) V(t3)
SS1
SS2
SS3
SS1
SS2
SS3
=
Caja Negra
Cambio de Estado
Partes
Componentes
h1
h2
h3

Modelo
• Es toda representación de un sistema real o abstracto, con la
finalidad de comprender sus características y/o funcionalidad.
• Un modelo puede ser simbólico, icónico u análogo.
• Ej: un mapa, un sistema de ecuaciones, un diagrama de flujo, un avión a escala, una
formula, diagrama de procesos, etc.

Finalidad de los modelos
• Una ayuda para el pensamiento
• Una ayuda para la comunicación
• Para entrenamiento e instrucción
• Una herramienta de predicción
• Una ayuda para la experimentación.

Simulación de sistemas
• Es el estudio de un sistema a través de un modelo ayudado de un
computador, con la finalidad de comprender su comportamiento en
un conjunto de escenarios y plantear propuestas alternativas de
mejora.
• El curso se limitará al estudio de modelos de simulación para
sistemas discretos.

Para que utilizar la Simulación
• Para experimentar con escenarios “what-if”.
• Para comprender el impacto de la introducción de nuevas tecnologías.
• Para visualizar una representación dinámica del sistema.
• Para probar/analizar un diseño previo a la implementación.
• Para analizar la performance del sistema a los cambios que se presenten en el
tiempo.

UNI-FIIS<Simulación de Sistemas>
FORMULACIÓN
DEL
PROBLEMA
DEFINICIÓN
DEL SISTEMA
ES ÚTIL LA
SIMULACIÓN ?
FORMULACIÓN
DEL MODELO
PREPARACIÓN
DE DATOS
TRASLACIÓN
DEL MODELO
No
FIN
Sí
A B
Sí
EL MODELO
ES VÁLIDO ?
PLANEACIÓN
ESTRATÉGICA
PLANEACIÓN
TÁCTICA
EXPERIMENTACIÓN
INTERPRETACIÓN
ES ÚTIL ?
IMPLANTACIÓN
DOCUMENTO
PROPUESTAS
No
Sí
A B
EL PROCESO DE SIMULACIÓN

Validación del modelo a simular
• Es el proceso de llevar a un nivel aceptable la
confianza del usuario referente a que acepte
cualquier inferencia acerca de un sistema que
se derive de la simulación.
• No existe la “prueba de validación”. En lugar
de esto, el experimentador debe realizar
pruebas a lo largo del proceso de desarrollo
del modelo, a fin de crear confianza.

Experimentacion y Análisis de Sensibilidad
• La experimentación con el modelo (corrida) nos permite obtener la
información deseada.
• El análisis de sensibilidad consiste en la variación sistemática de los
valores de los parámetros sobre algún intervalo de interés y en la
observación del efecto en la respuesta del modelo.

¿Que sigue?
• Una vez identificados y comprendidos
los procesos u actividades, se analiza a
detalle la situación problema.
• A continuación se identifican las
variables del vector de estado (var.
aleatorias), para luego observar y
registrar su comportamiento (muestra).
• Se organiza la data recogida y se plotea,
procediendo a plantear una hipotesis
nula H0.
x1
x2 x3
x4 x5
x6
xn
x
H0:
xi frec
[a1,a2] 8
<a2,a3] 12
<a3,a4] 16
<a4,a5] 6
...

Números RANDOM
• Son números reales (#R) distribuidos continua y
uniformemente en el intervalo [0,1].
Med(#R) = 1/2
Var(#R) = 1/12

Algoritmos para generar números Random
• CUADRADO CENTRAL
• Se elige un número cualquiera bc
• Se obtiene su cuadrado (bc)2= manc
• Se elige el número an
• #R1= an/(100-1)
• Se continúa obteniendo el cuadrado de (an)2= bdam
• Se elige el número da
• #R2=da/(100-1)
• Se continua así sucesivamente …
Nº bc manc an #R
1 12 144 14 14/99
2 14 196 19 19/99
3 19 361 36 36/99
4 36 1296 29 29/99

… otro algoritmo
• PRODUCTO CENTRAL
• Se elijen dos números cualesquiera abcd y mnpq
• Se obtiene su producto (abcd).(mnpq)= mancrsta
• Se selecciona el número ncrs
• #R1= ncrs/(10000-1)
• Se continúa retirando un número e incluyendo el nuevo
• Se obtiene el nuevo producto (mnpq).(ncrs)=bpdramca
• Se selecciona el número dram
• #R2=dram/(10000-1)
• Se continua así sucesivamente …

Algoritmos Congruenciales
• Mixto : #Ri+1 = ( a + b #Ri)Mod(m)
• Multiplicativo : #Ri+1 = ( b #Ri)Mod(m)
EJEMPLO: Generar 2 números aleatorios de módulo 8 con
constantes a= 7 y b= 5 y una semilla R0 = 4.
Ri+1= (5Ri + 7)MODULO(8)
R1= 27 MODULO (8) = 3 entonces #R1= 3/(8-1) = 0.428
R2= 22 MODULO (8) = 6 entonces #R2= 6/(8-1) = 0.857

Parámetros para los algoritmos congruenciales
• a, b, m y r0 deben ser mayores que cero (0).
• r0 no debe ser múltiplo de 2 ni de 5.
• a debe ser impar.
• a y m deben ser primos entre si.
• b = 200t ± z tal que :
• z = 3,11,13,19,21,27,29,37,53,59,61,67,69,77,83,o 91.
• t = 1,2,3,4,5, ...
• m = 10d y d 4 (d # de bits de una palabra del computador)
• Periodo máximo m/20

Usos de estos algoritmos
• Para crear juegos de azar
• Para enmascarar datos
• Como claves de verificación de acceso Bancario
• Para reproducir comportamientos de ciertas variables en la simulación de
sistemas.

Proceso Estocástico y variable aleatoria
• PROCESO ESTOCASTICO: experimento
donde no es posible conocer de
antemano los resultados obtenidos para
cada valor de una variable. Se cumplen las
propiedades de la teoría de probabilidad
para las variables asociadas.
• VARIABLE ALEATORIA: variable en un
proceso estocástico. Una función que
asocia un número real, perfectamente
definido, a cada posible resultado del
experimento.

Probabilidad a priori
• Probabilidad de la que se parte antes de efectuar un experimento que pueda
arrojar nueva información sobre dicha probabilidad
• Se controlan 210 productos de un proceso de fabricación y se identifican tres
tipos de fallas: A, B y C.

Tipos de Distribución de Probabilidad
• CONTINUAS: los valores de las v.a. están en algún rango de los
números reales y cubren entre todos ellos todo el rango.
• DISCRETAS: los valores de las v.a. pertenecen a algún rango de
los enteros o reales. Entre dos valores de la v.a. hay por lo
general una infinidad de valores que no se asocian a la variable
aleatoria.

Funciones Generadoras de Valores Aleatorios
• Para reproducir el comportamiento de los sistemas a través de los
modelos, es necesario reproducir el comportamiento de los objetos del
sistema, a través de la reproducción de las actividades en las que
intervienen, especialmente las relacionadas con variables aleatorias.
• Recogemos una muestra de datos para cada variable identificada, y
realizamos el ajuste correspondiente a alguna función de probabilidad
conocida o no.

Métodos para generar valores aleatorios
• Método de la transformación inversa
• Método de la aceptación – rechazo
• Método de la composición

Método de la Transformación Inversa
• Muchas de las Funciones de
Distribución de probabilidad
acumuladas (F) son univalentes
de allí que tienen inversa.
• Si una función tiene inversa es
porque es siempre creciente o
decreciente en su dominio
(monótona).
• Estas F se caracterizan por estar
distribuidas uniformemente en
[0,1].
F(x) = p(X  x) ~ UNIF(0,1)
también #r ~ UNIF(0,1)
entonces #r = F(x)
por lo tanto x = F-1(#r)
#r
x0
1
F(x)
0 X

Funciones de Distribución de
Probabilidad Continua

Distribucion Uniforme continua (U)
a b
x0
x
1
b-a
F(x) = (x0-a)/(b-a)
a b
F(x)
1
0
#r
x0
f(x)= 1/(b-a) la función de probabilidad
Dado que F tiene inversa, entonces #R = F(x),
luego #R = (x-a)/(b-a) por lo tanto x = a + #R(b-a)
es la función generadora de valores uniformes y continuos en el intervalo
[a,b]

Aplicación
• El tiempo que demora un docente en calificar una prueba
de matemática se distribuye uniformemente y continua en
el intervalo cerrado : [5,12] minutos.
• Determine el tiempo que se demoraría en calificar 5
pruebas utilizando el siguiente generador congruencial
mixto para los números Random:
Ri+1 = (40.Ri + 13) Mod (33)
utilizar como semilla R0 a número 74

Solución
• El Tiempo calificación se comporta Unif [5,12]
• Luego Tpo i = a + (b-a)#R
• Entonces Tpoi = 5 + 7#R
• #Ri+1 = [(40#Ri + 13) MOD(33)] ÷ 32
• Se determinan 5 números Random y se remplazan en la función
generadora de valores uniformes y continuos

Distribución Exponencial Negativa (Exp)
• Función continua con dominio [0,+ ˃
f(x) = μe-μx ; x0
F(x) = o
x0
f(x)dx = 1-e-μx
x
f(x)
μ
0 x0
0
F(x)
1
x
#r
x0
Media (x) = 1/μ
Var (x) = 1/μ2
Dado que F tiene inversa, entonces #R = F(x), luego
#R = 1 - e-μx por lo tanto x = - (1/μ)ln(1- #R)

Aplicación
• Los tiempos entre arribos a una agencia bancaria se
ajustan a una distribución exponencial negativa con
media 3.24 minutos entre cliente y cliente.
• Determine a través de la generación de estos valores
aleatorios cuantos clientes llegaran en 15 minutos.
• Genere números Random a partir del siguiente
algoritmo congruencial mixto:
Ri+1 = (32.Ri + 14) Mod (24)
utilizar como semilla R0 el número 64.

Solución
• El tiempo entre arribos se ajusta a una Exp(1/µ)
• Por dato (1/µ) =3.24 minutos
• Conocemos que Tpo i = - (1/µ) Ln(1 - #R)
• Además :
• Se generan tiempos entre arribos y se van sumando hasta que el total sea mayor a 15.
• El número de clientes que arribaron en 15 minutos es el índice correspondiente al
tiempo anterior con el que se superan los 15 minutos.
Ri+1 = [(32.Ri + 14) Mod (24)] ÷ 23

Distribución Lineal y continua
a b
2
b-a
f F
1
0
x
x
#r
x
F(x) = (x-a)2
(b-a)2
a b
f(x) = 2(x-a) dado que F tiene inversa, entonces #r = F(x)
(b-a)2 entonces x = a + (b-a) #r

Distribución Triangular
Función generadora de valores aleatorios que se ajustan a una distribución triangular:

Función Weibull
• Se trata de un modelo continuo asociado a variables del tipo tiempo de
vida, tiempo hasta que un mecanismo falla, etc. La función de densidad
de este modelo viene dada por:
• que, como vemos, depende de dos parámetros: a > 0 y b > 0, donde a
es un parámetro de escala y b es un parámetro de forma (lo que
proporciona una gran flexibilidad a este modelo).
• La función de distribución acumulada se obtiene por la integración de
la función de densidad y vale:
• Aplicando el método de la transformación inversa obtenemos la
función generadora de valores aleatorios Weibull:
1 - 𝑒−
𝑥
𝑎
𝑏
= #R entonces -
𝑥
𝑎
𝑏
= Ln(1 - #R) luego x = b (Ln(
1
1−#𝑅
))1/a
𝑓 𝑥 =
𝑏
𝑎
𝑥
𝑎
𝑏 −1
𝑒
−
𝑥
𝑎
𝑏
𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
.
0 𝑠𝑖 𝑥 ˂ 0
F(x) = 1 - 𝑒−
𝑥
𝑎
𝑏

Teorema del Limite Central
• Toda variable aleatoria con media y varianza conocidas, que se
expresa como la suma de n variables aleatorias independientes,
también con media y varianza conocidas, para un n
suficientemente grande, se puede aproximar a través de una
distribución normal.

Función de distribución Normal (N)
μ
f(x) = 1 e -(1/2)[(x- μ)/σ]2
2π σ
x
• Si una variable aleatoria t = s1 + s2 + s3 + s4 + s5 + s6 +......+sn / med (si) y var(si) son
conocidas, entonces para un “ n suficientemente grande” t ~ Normal (med, var) también
conocidas.
• Si t = # R1+# R2+# R3+# R4+# R5+...+# Rn = Σ # Ri / # Ri ~ RANDOM
normalizando t y x tenemos : t – (n/2) = x – μ
n/12 σ 12
Tomando n = 12 encontramos que : X = μ + σ[(Σ #Ri) - 6]
Estandarización de la normal
z = (x - μ)/ σ

Funciones de Distribución de
Probabilidad Discreta

Función Bernoulli (Bern)
• Es una distribución discreta en la que los resultados del
experimento aleatorio sólo arrojan dos valores posibles 0 o 1
(fracaso o éxito).
X =
0 si #r > p (no éxito)
1 si #r ≤ p (éxito )
f(x) = px(1-p)1-x / p = éxito
amarillo
Ej: Trompo f(x) = (1/3)x(2/3)1-x
0(R) si #r > 1/3
1(A) si #r ≤ 1/3

Función Binomial (Bin)
• Una distribución Binomial involucra varios procesos de Bernoulli, digamos
n procesos y, se desea el número de éxitos x que se tendrá en todos los
procesos tomados en conjunto. La Binomial mide la probabilidad de que
x=i éxitos en n pruebas:
p(x=i) =(n
i)pi(1-p)n-i / med(x)=np y var(x)=np(1-p)
• Como reproducir comportamientos Binomiales:
Si x= b1+b2+b3+..bn = ∑bi / bi ~ Bern(p)
entonces tenemos que x ~ Bin (n,p)
0 1 2 3 4
x
0.40
0.20
0.10
f(x)
Bin (4,0.5)

Aplicación
• La probabilidad de que un foco de luz sea
defectuoso es del 5%. Se desea determinar en
forma simulada cuantos focos serán
defectuosos en una muestra de 6.
• Genere números Random a partir del siguiente
algoritmo congruencial mixto:
Ri+1 = (23.Ri + 34) Mod (54)
utilizar como semilla R0 a número 82

Solución
• Generar 6 valores Bernoulli que se ajusten a la función:
f(x)= (5/100)x(95/100)1-x
• El generador Bernoulli a utilizar :
0 si #R > 0.05
x =
1 si #R ≤ 0.05
6
• Nro. focos defectuosos = ∑ xi se comporta BIN(6,0.05)

Distribucion de Poisson
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ....
x
f(x) =
λx e- λ / med(x) = λ
x!
f(x)
e-λ
T T T T T
X=4 X=2 X=1 X=5 X=0
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
x ~ Poiss(λ)
t ~ Exp(1/λ)
Si ti ~ Exp(1/λ) entonces t = - (1/λ)Ln(1-#r)
Luego x = max {i : ∑ti  T < ∑ ti } ~ Poiss(λ)

Distribución Uniforme Discreta
X =
a1 si 0  #r  1/n
a2 si 1/n < #r  2/n
a3 si 2/n < #r  3/n
...
an si (n-1)/n < #r 1
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 ... an
1/n
x
f(x)
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 ... an
1/n x
F(x)
2/n
3/n
4/n
5/n
1
• Si conocemos que los
resultados de un evento
aleatorio son equiprobables,
en base a ello construimos la
función de distribución
acumulada con la que se
construye la función
generadora de valores
aleatorios.

Distribución Discreta no uniforme
• Es común conocer la
frecuencia relativa de los
resultados de un evento
aleatorio y en base a ello
construir la función de
distribución acumulada con
la que se construye la
función generadora de
valores aleatorios.
a1 a2 a3 a4
x
f(x)
40%
30%
20%
10%
F(x)
30%
70%
90%
100%
a1 a2 a3 a4
x
x =
𝑎1 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑅 ≤ 0.3
𝑎2 𝑠𝑖 0.3 < 𝑅 ≤ 0.7
𝑎3 𝑠𝑖 0.7 < 𝑅 ≤ 0.9
𝑎4 𝑠𝑖 0.9 < 𝑅 ≤ 1.0

Método de Aceptación - Rechazo
• Es un método sencillo y general, aunque en
ocasiones no muy eficiente.
• Sea f(x) una función de probabilidades definida en
un intervalo finito, [a,b] y M una cota superior de
f(x) .
• Es decir M= max f(x) para a ≤ x ≤ b
• Sea g(x)= [f(x) / M] luego 0 ≤ g(x) ≤ 1
• El método consiste en:
a. Generar R1 y R2, dos números Random ~U(0,1).
b. Se define x1 ~U(a,b) entonces x1 = a + (b-a)R1
c. Si R2 ≤ g(x1) entonces x1 es observación para f(x).
En otro caso, volver al paso a.
a b
M
f(x)
1 g(x)
R2
R1
x1
g(x1)

Método de Aceptación - Rechazo
• Ejemplo: Sea f(x)= 3x2/7, una fdp para 1 ≤ x ≤ 2
Entonces si M = 12/7 y g(x)=(3x2/7)/12/7 = g(x)= x2/4
a. Generar r1 y r2 distribuidos uniformemente en [0,1]
b. Sea x1 = a + (b – a) r1 = 1 + (2 - 1) r1 = 1+r1
c. Si r2 ≤ g(x1)=g(1+r1)=(1+r1)2/4 entonces x1 es observación de f(x), de lo
contrario volver a generar r1 y r2.

Método de la Composición
• Mediante este método la distribución de probabilidad f(x) se expresa como una
mezcla de varias distribuciones de probabilidad seleccionadas adecuadamente.
• Dividir la distribución de probabilidad original en sub-áreas, tal como se muestra en la
figura:
• Definir una distribución de probabilidad para cada sub-área asignándole una fracción
(Ai) del área total.
1
A
x
f(x)
2
A n
A
3
A n
A

Procedimiento
• Expresar la distribución de probabilidad original en la siguiente forma:
• Obtener la distribución acumulada de las áreas vs las funciones fi(x):
)
(
1 x
f )
(
2 x
f )
(
3 x
f )
(
4 x
f
1
A
2
1 A
A 
3
2
1 A
A
A 

4
3
2
1 A
A
A
A 


#R1
1
)
(
.....
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
1 



 

n
i
i
n
n A
x
f
A
x
f
A
x
f
A
x
f

Procedimiento
• Generar dos números Random #r1 y #r2
• Seleccionar la distribución de probabilidad fi(x) con la cual se va a
simular el valor de x. La selección de esta distribución se obtiene
utilizando el #r1 al aplicar el método de la transformada inversa a la
distribución acumulada de las áreas.
• Utilizar el #r2 para simular por el método de la transformada inversa o
algún otro procedimiento especial, números al azar que sigan la
distribución de probabilidad fi(x) seleccionada en el paso anterior.

Ejemplo
• Utilizando el método de la composición construir un algoritmo que
permita generar números aleatorios que se ajustan a la distribución :
1 2 6
f(x)

Solución
• Dividimos f(x) en sub áreas:
• Determinamos f1(x) y f2(x) como fdp.
1 2 6
f(x)
A1 = 1/5
A2 = 4/5
1 2
2
f(x)
x
f1(x)= 2(x-1)
F1(x)= (x-1)2

Continua …
2 6
x
f(x)
1/2
f2(x)= (-1/8)(x-6)
F2(x)= 1 – [(x-6)2/16]
• Expresamos la distribución original como:
f(x) = A1f1(x) + A2f2(x) = (1/5) 2(x-1) + (4/5) (-1/8)(x-6)
f1(x) f2(x)
1/5
1
f2(x)
f1(x)

Finalmente
• Generar dos números Random #r1 y #r2
• Es #r1 < 1/5 ?
• Si es afirmativo se simulan valores de f1(x) utilizando el método de la transformada
inversa:
F1(x)=(x-1)2 = #r2 entonces x = 1+ #r2
• Si no es afirmativo se simulan los valores de f2(x)
F2(x)=1 – [(x-6)2/16] = #r2 entonces x = 6 - 4 1- #r2
• Repetir los pasos anteriores tantas veces como sea necesario para
reproducir el comportamiento deseado.

Pruebas de Bondad de Ajuste
• Estas pruebas nos permiten determinar si la muestra de
los datos recogida, respecto a una variable aleatoria de
interés para el estudio, se puede aproximar a partir de una
función de distribución de probabilidad teórica (H0).
H0 : “No existe diferencia significativa entre los datos observados y los que se
obtendrían a partir de una distribución ............ (distribución de probabilidad
teórica)”.

Prueba del Ji-Cuadrado
• Es recomendable para muestras cuyo tamaño es mayor que 100.
• Calcular :
χc
2
=∑ (foi – fei)
2
fei
Donde : k # intervalos de clase
fo frecuencia observada
fe frecuencia esperada, tal que fe = np(xi)5
n tamaño de la muestra
p(xi) probabilidad teórica para xi
k
i=1

Ji-Cuadrado
• Luego obtener de tablas el estadístico de Ji-Cuadrado para : χt
2
(1-α, #gl)
Donde : (1 – α ) es el nivel de significancia, y
#gl : es el número de grados de libertad
tal que #gl = K - #parámetros estimados – 1
• Comparamos, y aceptamos H0 si :
χc
2
<<χt
2
(1-α, #gl) Ji-Cuadrado calculado es menor que el teórico

Prueba de Kolmogorov/Smirnov
• Es recomendable para muestras cuyo tamaño
esta comprendido entre 10 y 100.
• Se determinan las frecuencias relativa y
acumulada de los valores observados, y la
probabilidad teórica y acumulada para la
distribución teórica.
• El estadístico K/S calculado se determina a
partir de la máxima de las diferencias absolutas
entre la frecuencia y probabilidad acumuladas.
• El estadístico K/S teórico se obtiene de tablas
dado un  (nivel significancia) y n (tamaño
muestra).
• Se acepta H0 si se cumple que : Dc << Dt (,n)
PA(x) – FA(x)

Tabla de Kolmogorov/Smirnov para una(1) muestra

Ejemplo 01
• Suponga que se han
generado 100 #s aleatorios
y deseamos comprobar su
uniformidad sobre 10
intervalos equidistantes
utilizando la prueba de
Kolmogorov/Smirnov. Usar
un  = 5%.
• H0 : Los datos se pueden
aproximar a través de una
distribución Uniforme.
Int Frec FrecRel
1 8 0.08
2 17 0.17
3 5 0.05
4 5 0.05
5 12 0.12
6 18 0.18
7 5 0.05
8 14 0.14
9 13 0.13
10 3 0.03
100
0.1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
UNIF

Int Frec FrecRel FrecAbs ProbTeor ProbAcum D k/s
1 8 0.08 0.08 0.1 0.1 0.02
2 17 0.17 0.25 0.1 0.2 0.05
3 5 0.05 0.3 0.1 0.3 0.0
4 5 0.05 0.35 0.1 0.4 0.05
5 12 0.12 0.47 0.1 0.5 0.03
6 18 0.18 0.65 0.1 0.6 0.05
7 5 0.05 0.7 0.1 0.7 0
8 14 0.14 0.84 0.1 0.8 0.04
9 13 0.13 0.97 0.1 0.9 0.07 Max D k/s
10 3 0.03 1 0.1 1 0.0
100
Tabla de Cálculos Ejemplo 1
Dc = 0.07
Dt (5%,100) = 1.36/ 100 = 0.136
Como Dc << Dt (5%,100) aceptamos H0:

Ejemplo 02
• La siguiente tabla muestra la
distribución de frecuencias para la
variable aleatoria tiempo entre dos
arribos consecutivos a un
SuperMercado.
• Formule la hipótesis adecuada y
haga el ajuste correspondiente a
una función de distribución de
probabilidad teórica conocida. Use
un  = 5%.
Tiempo Frec
0  t < 2 50
2  t < 4 33
4  t < 6 22
6  t < 8 15
8  t < 10 11
10  t <12 8
12  t < 14 5
14  t < 16 3
16  t < 18 2
18  t < 20 1

t frec frecRelat
1 50 0.33
3 33 0.22
5 22 0.15
7 15 0.10
9 11 0.07
11 8 0.05
13 5 0.03
15 3 0.02
17 2 0.01
19 1 0.01
+21 0 0.00
150
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0.33
0.22
0.15
0.10
0.07
0.05
0.03
t
(1/) = (∑ti.fo)/ ∑fo = 714/150 = 4.76 entonces  = 0.21
H0: Los datos del tiempo entre
Arribos se pueden aproximar a
través de una Distribución
Exponencial Negativa.
f(t) = 0.21e- 0.21t

t ProbTeor (fo - Ei)2
/Ei
1 50 0.3440 51.60 0.050
3 33 0.2252 33.78 0.018
5 22 0.1481 22.22 0.002
7 15 0.0973 14.60 0.011
9 11 0.0618 9.27 0.323
11 8 0.0419 6.29 0.468
13 5 0.0275 4.13
15 3 8 0.0181 2.72 6.84 0.197
17 2 0.0119 1.79
19 1 0.0078 1.17
+21 0 3 0.0164 2.46 5.42 1.077
150 1.0000 150.00 2.146
Ei=npi
Frec
P(0  ti < 2) = 0
2
0.21e- 0.21t
dt = - e- 0.21t
|0
2
=0.3440
P(2  ti < 4) = 2
4
0.21e- 0.21t
dt = - e- 0.21t
|2
4
=0.2252
...
P( ti  21) = 1 - 0
20
0.21e- 0.21t
dt = 1 – (e- 0.21t
)|0
20
=0.0164

Respuesta a Ejepmo 2
• Determinamos #gl = 8 – 1 – 1 = 6
• De Tablas determinamos :
χt
2
(95%,6) = 12.6
• Como :
χc
2
<< χt
2
aceptamos H0:

Recomendaciones
• Dada una muestra de tamaño n para una variable
aleatoria, se puede utilizar la Fórmula de Sturges para
aproximar el número de intervalos en los que se les puede
agrupar :
• K = 1 + 3.3 log n
• Dado que se tienen que aproximar los parámetros de la distribución
de probabilidad teórica, se pueden utilizar las siguientes relaciones :
• Med(x) = (∑ xi.Foi) / n y
• Var(x) = [∑ xi
2.Foi – n.Med2(x)] / (n – 1)

Simulación de Montecarlo
• El método de Montecarlo es un método de
simulación que permite calcular estadísticamente
el valor final de una secuencia de sucesos no
deterministas (sujetos a variabilidad), como es el
caso del plazo o el coste de un proyecto.
• Montecarlo y su casino están relacionados con la
simulación. La ruleta, juego estrella de los casinos,
es uno de los aparatos mecánicos más sencillos
que nos permiten obtener números aleatorios
para simular variables aleatorias.
• Se simula múltiples veces un evento y se observa
su resultado.
• Sirve cuando hay dos o más variables que se
comportan de manera independiente.
• Utiliza los números aleatorios para hacer la
simulación.

Ejemplo de Simulación
• Una Compañía de carga recepciona sus camiones que llegan en
forma aleatoria en una terminal para descarga. Después de
analizar los datos históricos se ha concluido que el número de
llegadas diarias de camiones se comporta de acuerdo a una
distribución de Poisson con tasa media de 3 camiones por día. El
peso de la carga de cada camión es un factor importante en lo
referente al tiempo de descarga. Se ha comprobado con los
registros pasados que los pesos de la carga están distribuidos
normalmente con media 30 mil lbs. Y una desviación estándar de
5 mil lbs. Para la descarga se cuenta con cuadrillas cuya capacidad
de descarga en lbs por hora es variable y función del tipo de
carga.
• La frecuencia de cada tipo de carga y la velocidad de descarga de
las cuadrillas se muestran en la tabla siguiente :

• Una cuadrilla consta de 3 personas: 1operador de
elevador de carga a quien se le paga 4$/Hrs. y dos
obreros a quienes se les paga 2.50 $/Hrs. La política de
la Cía. es descargar en el día todos los camiones que
arribaron el día anterior sin importar los costos de
tiempo extra implícitos. El contrato del sindicato
demanda una bonificación del 50% por horas extras
fuera de la jornada de trabajo de 8 Hrs. diarias.
• Con base a una simulación de 10 días determine cuantas
cuadrillas se requieren para reducir al mínimo los costos
totales de descarga.
• Si aplicáramos la política de que los camiones deben
descargarse el mismo día de su llegada en lugar del día
siguiente, y que la tasa media de llegadas sube a 4 Cam/Día
Cuántas cuadrillas se requerirán para reducir al mínimo los
costos totales de descarga.
0 5
1 15
2 22
3 22
4 17
5 11
6 5
7 3
100
Nro
Camiones
Frec
A 40 8000
B 35 7000
C 25 5000
Veloc.Descarga
Lb/hr x Cuadrilla
Tipo
Carga
Frec

Modelo Simulación
Generar Nro
Camiones (NCM)
Arriban x Día
Generar Tipo
Carga x Camión
Generar Peso
Carga x Camión
Calcular Costo
Descarga (CD)
Asignar Nro
Cuadrillas (NCD)
NDias=NDias + 1
Ndias=10 ?
NO
TotCD=TotCD+CD
Imprimir x Día
Valores Generados
y Costo Descarga
Imprimir Ndias,
Nro Cuadrillas
y Costo Total
Descarga
SI
Definir Plan Trabajo
TotCD
NCD
1 2 3 4 5 6
C1
C2
C3
C5
C6

Ejemplo simulación Montecarlo
• Suponga que se hace una muestra 6,400 viviendas de un país. La muestra indica
que en las viviendas el número de habitaciones es de 1, 2, 3, 4, 5 ó 6.

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