Solucionario demidovich tomo III

Eduardo Espinoza Ramos
Graduadoy Titulado en Matemática Pura,
Catedrático de las principales
Universidades de la Capital
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Transformada
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Numeras Complejos f
Ecuaciones PoJlMmlcatSucesiones y
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ANALISIS MATEMATICO III
SOLUCIONARIO DEMIDOVICH
TOMO III
CO
EDUARDO ESPINOZA RAMOS

IMPRESO EN EL PERÚ
11- 10- 2010
5ta EDICIÓN
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ESTE LIBRO NO PUEDE REPRODUCIRSE TOTAL 0 PARCIALMENTE POR
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RUC
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N° 20520372122
N °13714
N °10716
N° 4484
Hecho el deposito legal en la
Bilblioteca Nacional del Perú
con el número N° 2007 - 12592
PRÓLOGO
Se sabe que la humanidad ha avanzado lentamente hacia la conquista de los
conocimientos y la mayor de estas es la escritura, con ella la humanidad alcanzó el más
alto sitial en la creación; pero tan antiguo como ella, es el concepto de cantidad. Esto
nace aun antes de la escritura por eso la ciencia de los números están importante como
la vida misma.
El avance tecnológico funda sus bases en los conceptos primarios, lo que
estudiados, desarrollados y perfeccionados han llevado al hombre hacia grandes
conquistas.
La aventura del pensamiento nos ha llevado de la mano con la tecnología a
descubrir grandes realidades. Por ello mi deseo es plasmar en las paginas de este tercer
tomo, en su cuarta edición del solucionario del libro problemas y ejercicios de análisis
matemático por B. Demidovich, el planteo fácil a los diversos ejercicios que se
presentan, además se incluye una colección de gráficos los que ayudarán eficazmente a
la captación de los diferentes problemas.
Mi agradecimiento al lector por la preferencia que brindan a cada una de mis
publicaciones, las que emanan del deseo de que encuentren en ellos una ayuda para su
avance y desarrollo intelectual.
EDUARDO ESPINOZA RAMOS

1<S' n i ,v.„ ¿ 1' , V >, . V. ;, ^ /üguilfi 1 " OU>q ;iíO;../
oí;..^>fv;íi'V'vi 4'4qu>nío £í.v :'.i;?:.-:ui , i;:,,,-:í?o.r.
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í ■(r>,i^nuitn:or .<-iJ;p Si ;i»r?'-fníi dij;
DEDICATORIA
Este libro lo dedico a mis hijos:
RONALD, JORGE y DIANA
que Dios ilumine sus caminos para que
puedan ser guías de su prójimo

6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
6.11.
6.12.
6.13.
6.14.
6.15.
6.16.
INDICE
CAPITULO VI
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Pag.
Conceptos Fundamentales. 1
Continuidad. 22
Derivadas Parciales. 28
Diferencial Total de una Función. 41
Derivación de Funciones Compuestas. 53
Derivada de una Función dada y Gradiente de una Función. 66
Derivadas y Diferenciales de Ordenes Superiores. 76
Integración de Diferenciales Exactas. 104
Derivaciones de Funciones Implícitas. 117
Cambio de Variables. 141
Plano Tangente y Normal a una Superficie. 154
Formula de Taylor para las Funciones de Varias Variables. 167
Extremo de una Función de Varias Variables. 177
Problemas de Determinación de los Máximos y Mínimos
Absolutos de las Funciones. 203
Puntos Singulares de las Curvas Planas. 226
Envolvente. 234

6.17.
6.18.
6.19.
6.20.
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.
7.10.
7.11.
Longitud de un Arco de una Curva en el Espacio.
Función Vectorial de un Argumento Escalar.
Triedro Intrínseco de una Curva en el Espacio.
Curvatura de Flexión y de Torsión de una Curva en el Espacio.
CAPÍTULO VII
INTEGRALES MULTIPLES Y CURVILINEAS
Integrales Dobles en Coordenadas Rectangulares.
Cambios de Variables en la Integral Doble.
Calculo de Áreas de Figuras Planas.
Calculo de Volúmenes.
Calculo de Áreas de Superficies.
Aplicaciones de la Integral Doble a la Mecánica.
Integrales Triples.
Integrales Impropias, Dependientes de un Parámetro. Integrales
Impropias Múltiples.
Integrales Curvilíneas.
Integrales de Superficie.
Formula de Ostrogradski - Gauss.
242
246
257
277
290
323
335
345
362
373
384
420
435
479
493
Funciones de Varias Variables 1
CAPÍTULO VI
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
6.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES.-
(T) DEFINICIÓN.- A una función de dos variables x e y se designa por
z = f(x,y) donde las variables x e y se llaman
argumentos o variables independientes, en forma similar para el caso de
tres variables.
(¿ ) CONCEPTOS DE EXISTENCIA DE LA FUNCIÓN.-
Se entiende por campo de existencia de la función z = f(x,y) al conjunto de
puntos (x,y) del plano XY que determinan la función dada.
(5 ) LINEAS Y SUPERFICIES DE NIVEL DE LAS FUNCIONES.-
La línea de nivel de la función z = f(x,y) es la línea f(x,y) = c del plano
XY, en cuyos puntos de la función toma un mismo valor z = c.
Se entiende por superficie de nivel de una función de tres variables
u = f(x,y,z) a la superficie f(x,y,z) = c, en cuyos puntos la función toma un
valor constante u = c.
1782 Expresar el volumen V de una pirámide cuadrangular regular en función-de Su
altura x y de su arista y.
Desarrollo

2 Eduardo Espinoza Ramos
c
Por Pitágoras se tiene: 4b2 = 2a1 => a2 = 2¿>2
En el triángulo ABC, se tiene: y 2 = b2 + x2 => b2 - y 2 - x 2
Como F = —(area base)x(altura) , en donde
Área base = a2 = 2(y2 - x 2) y la altura es x
Luego V = X- 2 :(y2 - x 2) x = ^ ( y 2 - x 2) V = ^ - ( y 2- x 2)
1783 Expresar el área S de la superficie lateral de un tronco de pirámide regular, en
función de los lados x e y de las bases y de la altura z.
Desarrollo
Haremos la representación gráfica de acuerdo a los datos^del problema.
En el AABC se tiene: a2 = ( x - y)2 + z2 ... (1)
1784
2 2 x - y i
por Pitágoras se tiene: h - a - (—~ ) (2)
ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:
h2 = ( x - y)2 + z 2 - => h2 = 4g2+3(x 7)2 de donde
2 4
* - Æ ü î E Z , además de lasuperflde laterales:
X + V
S = 6Al donde Ax= —— .h , que al reemplazar h se tiene:
6(x + y) z2 +3( x - y ) 2
s = - ( x + y)y¡4z2 + 3(x - y)2
Hallar /(^ ,3 ) y f(l,-l)si f(x,y) = xy + —
2 y

1785
1786
Desarrollo
1
Como f(x,y) = xy + ~ => / ¿ , 3 ) = ¿)(3 ) + ^- = ^ + ^ = |
y 2 2. 3 2 6 3
/ ( I 3) = | y f(l,-l) = -2
2 2
Hallar f(x,y), f(-x,-y), 1 si f ( x , y ) = X y
x y /(x ,y )
Desarrollo
. ^2 - / _ „ x (-^)2 -(->')2 ^2 - /
f ( x , y ) = — ----- => f ( - x , - y ) = — — - — — = — r-----
2xy 2(-x)(-y) 2xy
f(i i ¿ ¿ >'2~ x2
x ^2 ->;2 1 2xy
f ( x , y ) = — ----- => — ---- 7= — ---- 2
2xy f(x,y) x2- y 2
Hallar los valores que toma la función f(x,y) = 1 + x - y en los puntos de la
parábola y - x2 y construir la gráfica de la función F(x) = f ( x ,x2).
Desarrollo
Se tiene que f(x,y) = 1 + x - y entonces
1787
1788
F(x) = f(x,x2) = 1+ x - x2 => y - + x - x 2
5 1 2
ahora completamos cuadrados se tiene y - —= —(jc- —)
que nos representa una parábola de vértice cuya gráfica es:
circunferencia x2+ y 2 - R2
Desarrollo
„ , x4 + 2x2y 2 + y 4 (x2 + y 2)2
Como z = f(x,y) = ------5-----5— = m -----27
1- x - y l - ( * + y )
Como x2 + y 2 = Ä2 entonces z = f(x,y)-
R4
- R ¿
í~ 2 2
Determinar f(x) si / ( —) = -------- — , (xy > 0)
x y

1789
1790
Desarrollo
y y
-+i
- y . ,1 , VI + X*
f(x) = J - T + 1 =-
Hallar f(x,y) si f(x + y , x - y ) = xy + y
Desarrollo
Haciendo
x = -
y =-
u + v
~ 2 ~
u - v
^ X y v X W + V U ~ V / W “ v ^ 2
Como /( x + ^,X-.y) = /(w,v) = - ^ —. - y - + ( - y )
u2- v 2 u2 2uv v2 w2 wv u2 -uv
4 + 4 4 + 4 2 2 2
.*• /(* ,* ) =
x2 -x>?
Sea z = y[y + / (Vx - 1). Determinar las funciones f y z si z = x para y = 1
Desarrollo
Como z = yfy + / (Vx - 1) y z = x para y = 1
Entonces x = 1+ / ( Vx -1) => / ( Vx -1) = x -1
1791
1792
Sea w= V x - 1 => Vx=w + 1 => x = (m+ 1)2
/( V I - 1) = /(m) = (u + 1)2 -1 = u2 + 2u /(x ) = x2 + 2x
como /(V x - 1) = x -1 entonces z = x - + y[y
Sea z = xf (—). Determinar las funciones f y z, si z = >/l + >>2 , para x = 1.
x
Desarrollo
Como z = xf(—) => yjl + y 2 = f ( y ), donde z = yj + y 2 , para x = l
x
Como z = jc/'(—) y f( y ) = >Jl + y 2 entonces
x V x
/ ( —) = / l + (—) = ----------- de donde z = xf(—) =
y _ x-Vx2
X X X
, í v
Hallar y representar los campos de existencia de las siguientes funciones:
a) z = <y/l-x2 -.y2
Desarrollo
Para que z = y jl-x 2 - y 2 esté bien definida debe cumplirse que
1- x2 - >>2 > 0 de donde x2+ >>2 < 1
Luego su campo de existencia es el disco de radio 1.

b) z - 1+ y]-(x - y)2
Desarrollo
Para que z = 1+ yj-(x- y)2 esté bien definida debe cumplirse que
- ( x - y ) 2 >0 de donde (x - y )2 <0 como (x - y )2 <0 => y = x
Luego y = x es el campo de existencia de la función z = 1+ y¡-(x - yY
c) z = ln (x + y)
Desarrollo
Para que z = ln (x + y) esté bien definida debe cumplirse x + y > 0, que
nos representa un semi - plano que se encuentra sobre la recta x + y > 0
d) z = x + arccos y
Desarrollo
Sea w = arccos y => eos w = y, pero como coseno varia entre -1 y 1 es
decir para este caso -1 < y < 1 y la x toma todos los valores reales.
Luego el campo de existencia nos representa una faja comprendida entre
- l y l
Y ‘
1
0 X
- 1
e) z = VT-jc2 + y j - y 2
Desarrollo
z = ¡ - x 2 + y j - y 2 está bien definida si l - x 2 >0 a - y 2 >0

donde x2 < 1 a y 2 < 1 => -1 < x < 1 a -1 < y < 1, que nos representa
un cuadrado
Y 1 i
-1 0 1 X
-1
f) ■z-=-yj(x2 + y 2 - a 2)(2a2 ~x2 - y 1) , (a> 0)
Desarrollo
z = f(x,y) está bien definida si se cumple que:
(x2 + y 2 - a2)(2a2 - x 2 - y 2) > 0 de donde se tiene:
(x2+y2- a 2 > 0 A 2a2- x 2- y 2 > 0) v (x2+y2- a 2 < 0 a 2a2- x 2- y 2 < 0)
(x2 + y 2 > a 2 a x2 + y 2 < 2a2) v (x2 + y 2 < a2 a 2a2 < x" +y~)
{a2 < x2 + y 2 < 2a2) v (2a 2 < x2 + y 2 < a2)
a2 < x2 + y 2 < 2a1 v ^ => a2 < x2 + y 2 < 2a1 _
Luego a2 < x 2 + y 2 < 2a1 nos representa su anillo.
Desarrollo
z = ^Jysenxestá definida siy sen x > 0
comoy sen x >0 <=> (y >0 a sen x > 0) v (y < 0 a sen x < 0)
<=> (y > 0 a 2mi < x < (2n + 1)tc) v
(y < 0 a (2n + 1)ti< x < (2n + 2)n

j) z = ln(x2 + y)
Desarrollo
La función z = ln(x" + y) está definida si x2 + y > 0 que nos representa
2
la parte del plano por encima de la parábola y = -x
/ x - y
k) z = arctg(----- t- j )
1+ x y
Desarrollo
x —y x —y
Como z = arctg{-5- 7 ) => tg z = - j T
1+ x2y 2 1+ 0
Como tgz varia entre - 7 se tiene:
& 2 2
_ _ < •x~-y - < — y como 1+ JC2J 2 >0 entonces
2 1+ x V 2
(1+ x2v2) < x - y < —-(1 + *2.y2) dedonde
2 2
x - y + l ( l + x2y 2) > 0 A^-( + x2y 2) + y - x > 0
2 2
^ r
ambas desigualdades son validas para tos x, y e R
Luego el campo de existencia es todo el plano XY
Desarrollo
La función z =—j está definida para todo x,y e R que cumple
X" + y 2 * O es decir que el campo de existencia es R2 menos el origen
ra)
Desarrollo
La función z = está definida si y - Vx > O a x > 0 de donde
yJy-Jx
y>4~x a X > O que nos representa la parte del plano sobre la rama de
la parábola y = Vx y a la derecha del eje Y sin incluirlo.
x - 1 y

Desarrollo
La función z = — + — está definida para x - l * 0 a y * 0, es decir
jc-1 y
que el campo de existencia es todos los puntos del plano menos los puntos
de las rectas x = 1 a y = 0
Y '
i
0
X
o) z = yjsen(x2 + y 2)
Desarrollo
La función z = Jsen(x2 + y 2) está definida para sen(x2 + y 2) > 0
de donde 2nn < x2 + y 2 < (2n + 1)^", n e Z +
1793 Hallar los campos de existencia de las siguientes funciones de tres argumentos.
a) u = Vx + sj~y + yfz
Desarrollo
La función u = fx +y[y + Vz está definida s i x > 0 A y > 0 A Z > 0
que nos representa el primer octante incluyendo la frontera.
b) u = ln (xyz)
Desarrollo
La función u = ln (xyz) está definida si xyz > 0
De donde (x > 0 a y > 0 a z >0) v (x < 0 a y < 0 a z >0) v
( x < 0 a y >0 a z < 0) v ( x > 0 a y <0 a z <0)
Que nos representa el 1er, 3er, 6to y 8vo octante sin incluir la frontera.
c) u = arcsec x + arcsen y + arcsen z
Desarrollo
Como la función seno varia entre -1 y 1 se tiene:
-1 < x <1 a -1 < y < 1 a -1 < x < 1,que nos representa un cubo.
d) u = y ¡ l- x2 - y 2 - z 2,.2 „2
Desarrollo
La función u = y j-x 2 - y 2 - z 2 está definida si:
l - x2 - y 2 - z2 > 0 => x2 + y 2 + z 2 < 1 que nos representa el interior
de una esfera incluido el borde.

1794 Construir las líneas de nivel de las funciones que se dan a continuación y
averiguar el carácter de las superficies representadas por dichas funciones:
a) z = x + y
Desarrollo
Hacemos z = c donde c = 0, ±1, ±2,...
Luego x + y = c nos representa rectas, que vienen hacer líneas de nivel.
b) z = x2 + y 2
Desarrollo
En forma similar que la parte a) se tiene x2 + y 2 =c , donde c = 0,1,2,...
y las líneas de nivel son circunferencias concéntricas con centro en (0,0)
donde c > 0
c) z = x2 - y 2
Desarrollo
Haciendo z = c, c e R se tiene x2 - y 2 =c que son hipérbolas que nos
representa a las líneas de nivel.
Desarrollo
Hacemos z = c luego c = yjxy => xy = c2 que son hipérbolas
equiláteras y nos representan a las líneas de nivel.

e) z = ( + x + y)2
Desarrollo
Hacemos z = c de donde (1+ x + yY - c => x + y + c1
=> x + y = k que son rectas paralelas y nos representa a las líneas de
nivel.
f) z = 1 - 1x | - | y |
Desarrollo
Hacemos z = c => c = 1 - 1x | - 1y | de donde
| x | + | y | = k donde k = 1 - c que nos representa las líneas de nivel que
son cuadrados
Desarrollo
Sea z - c, c e R es decir: y = cx^ que son parábolas y que nos
representa las curvas de nivel.

1795
h) z = -j=
¡X
Desarrollo
Hacemos z = -~= = c , c g R => y = cVx que nos representa ramas de
yjx
la parábola y que son las líneas de nivel.
i) z = 2 2
x + y
Desarrollo
Hacemos z = c, c g R es decir:
2x 2 2 2
—-----—= c => x +y = - x que
x + y c
son circunferencias que nos representa las líneas de nivel.
Hallar las líneas de nivel de las siguientes funciones:
a) z = ln(x2 +>>)
Desarrollo
Hacemos z = c, c e R entonces:
ln(x2 + y) = c entonces x2 + y = ec - k
Luego x2 + y = k que son parábolas que nos representan las líneas de
nivel.
b) z = arcsen (xy)
Desarrollo
Hacemos z = c => sen c = xy = k que son hipérbolas equiláteras
En forma similar para las demás
c) z ~ f(Jx2+ y 2) d) z = f(y-ax) e) z =./(--)
1796 Hallar las superficies de nivel de las funciones de tres variables independientes.
a) u = x + y + z
Desarrollo
Hacemos u = c, c e R, entonces x + y + z = c que son planos paralelos
que nos representan las superficies de nivel.
• x ? 2 2b) u = x + y~ + z
Desarrollo
Hacemos u =?c, donde c > 0 entonces x2 + y 2+ z2 = c que son esferas
concéntricas de centro (0,0,0) y nos representan las superficies de nivel.
. i 2 i
c) u - x ^ + y —z
Desarrollo
Hacemos u = c donde c e R, luego x2+ y 2 - z 2 = c a que
consideremos dos casos.
Cuando c > 0, x2 + y 2 - z 2 =c nos representan hipérbolas de
revolución de una hoja alrededor del eje Z.

cuando c < 0, v +,y2 - z2 =c nos representan hiperboloides de
revolución de dos hojas, alrededor del mismo eje, ambas superficies están
2 9 ?
divididas por el cono x + y* - z~ =c .
6.2. CONTINUIPAD,-
( ? ) LIMITE DE UNA FUNCIÓN.-
Sea z = f(x,y) una función de dos variables, entonces:
lim / (x, v) —L <=> V 8 > 0, 3 5 > 0 tal que si
(.v,r)->(<*,6)
0 < ¡(x,y) - (0,0) I< 6 entonces | f(x,y) - L |< 8
(? ) CONTINUIDAD Y PUNTO DE DISCONTINUIDAD.-
La función z = f(x,y) es continua en el punto P(a,b) si:
lim /(.v, v) ?r.‘
(x,y)-*(aM)
Si la función es continua en todos los puntos de un campo determinado,
se llama continuidad en ese campo.
Las condiciones de continuidad de una función f(x,y) puede no cumplirse
en puntos aislados o en puntos que formen una o varias líneas y a veces
figuras geométricas más complicadas.
1797 Hallar los siguientes limites de las funciones,
a) lim (x2 + y 2)sen{— )
(.y,v)->(0,0) XV
Desarrollo
Se conoce que: -1 < sen(— ) < 1
xy
-(x2 + y 2) < (x2 + y 2)sen(— ) < x2 + y 2
xy
lim - ( x 2 +>>2)< lim (x2 + y 2)sen(— ) < lim (x2 --y2)
(jy,^)->(0,0) (*,.y)-K0,0) xy (x,.y)-K0,0)
0 < lim (x2 + y 2)sen(— ) < 0 lim (x2+ y 2)sen{— ) = 0
(x,y)—>(0,0) xy (*,_>>)->(0,0) xy
x + y
Desarrollo
b) lim
(*,>0-K°o,oo) x + y
Tomemos el camino y = x que para por e origen
tin.(x ,y)-+ (00,00) X “ _|_ y 1 x ^oo X “ + X x-*°° x
tomamos otro camino que pase por el origen y - x2
x + y x + x2 1+ x
lim —------ = lim —-----r = l i m ------ r = 0
(x,^)->(oo,oo) x ¿ + y 1 *-»*> x ¿ + JC x-+cc x + x
lim 4 ^ V = 0
(x,y)-+(cotac) x + y
ahora se aplica la definición de limite y se demuestra que si existe
lim - = 0
(jr,^)->(oo,oo) x + y “

senxy
c) lim ----- —
(*,y)->( 0,2) X
Desarrollo
Sea y = 2 una recta que pasa por (0,2)
senxy senlx .. _ senlx
lim ------- = lim--------= lim 2---------= 2
(jc,^)->(0,2) X x->0 X xr+0 2x
tomemos otro camino y = 2 + x que pasa por (0,2)
senxy .. sen(2x + x2) sen 2x.cosx"
lirn ------ = lim---- 1---------- = lim(------------------- +
>(0,2) X *->0 X x->0 X
.. ^sen 2x 2 r -> senx
= lim 2--------.cosx + limxcos2x.-
x->o 2x *->o x2
d) lim (1+ —)x
(x,y)->(<*>,k) X
Desarrollo
Sea y =k entonces se tiene:
x
lim (1+ = lim (1+ - y = lim [(1+ -)* f = e*
{x,y)-*(ao,k) X x-^cc x x->cc X
X
e) lim
>(0,0)x + y
Desarrollo
Tomemos dos caminos que pasen por el origen
y = 2x, y = 5x entonces se tiene:
x x 1
lim ------ = lim -
(*,>>)—>(0,0)x + y x->ox + 2x 3
eos 2x.sen x2
x
)
- = 2 + 0 = 2
...(1)
1798
r x x 1
lim ------ = lim-------- = - ... (2)
(x,^)->(o,o) x + y *->ojt + 5x 6
como (1) ^ ( 2) entonces /S lim
(*o0->(0,0)x + y
f) lim 4 4
(*,^->(0,0) je2 + y 2
Desarrollo
Tomemos dos rectas que pasan por el origen de coordenadas tal
como y = 2x, y = 3x
x2 —v2 x2 —4x2 —^r2 ^
Si y = 2x, lim ——^ r-= iim —----- — = lim— — = — ...(1)
(x,y)->(0,0) x 2 + y 2 X^ 0 x 2 + 4 x 5 x 2 5
(*,>>->(0,0) x + y x-+o x + 9 x *-*o i 0 x
_8___4
10~ 5
... (2)
x2-v 2como (1) ^ ( 2) entonces /Î lim ------—
(x,^)—>(0,0) x2+ y 2
Averiguar si es continua la función / (x, y)
Desarrollo
_ ÍV l- x 2 - y 2 si x2 + y 2 < 1
[ 0 si x2 + y 2 > 1
Consideremos z = x2 + y 2, luego se tiene: F(z) = /(x , y) =
yj-z si z < 1
0 si z < 1

ahora calculamos el limite de F(z) cuando z —> 1
3 limF(z) <=> lim F(z) = lim F(z)
z—>i z->i z-»r
lim F(z) = lim Vi - z = Vi -1 = 0
z —>r z -» r
lim F(z) = lim 0 = 0
z—>r z—>r
como lim F(z) = lim F(z) = 0 => 3 1imF(z) = 0
z->r z->i --»i
además limF(z) = F(l) = 0 se concluye que F(z) es continua
Z —>1
1798 Hallar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:
a) z = ln yjx2 + y 2
Desarrollo
Como V (x,y) * (0,0), jc2 4-^y2 > 0 entonces la función z - ln>/*~ +>’“
es continua en todo R2 menos en el origen
1
b) z = T------ 3
( x - y )
Desarrollo
La función z —---------- es discontinuidad en todos los puntos y x.
1
c) z = r -----2-----2
- x - y
Desarrollo
1800
La función z = ----- 1---- — es discontinua en todos los puntos de la
l - x - y
circunferencia x2 + y 2 =1
Demostrar que la función z =
2xy . 2 2
si X + y * 0
x2 + y 2 es continua con
0 si x = y = 0
relación a cada una de las variables x e y por separado, pero no es continua en
el punto (0,0) respecto al conjunto de estas variables.
Desarrollo
Veremos la continuidad de x e y por separado:
2kx
Sea y = k entonces f x(x) = —------ es continua en todas partes puesto que
x +k
x2 + k 2 * 0 y para el caso k = 0, j (jc) = 0
En forma similar para x = m se tiene: /> (y) = - ~ n- 1 es continua en todas
y +m
partes puesto que .y2 +w 2 * 0 ,m * 0 y para el caso m = 0, f 2(y) = 0
Ahora veremos que en (0,0) la función no es continua
Tomemos y = x que pasa por (0,0)

2xv
como (1) y (2) son diferentes => ^ lim ——'—r por lo tanto la función
(*,>>)-»(0,0)x + y
es discontinua en (0,0).
6.3. DERIVADAS PARCIALES.-
(7 ) DEFINICIÓN DE LAS DERIVADAS PARCIALES.-
Sea z = f(x,y) una función de dos variables si consideramos a la variable y
como constante entonces: la derivada parcial de z con respecto a x es:
í . t a =
dx Ax—>o Ax
si consideremos a la variable x como constante entonces la derivada
parcial de z con respecto a y es:
(T ) TEOREMA DE EULER.-
La función f(x,y) se denomina función homogénea de grado n, si para
cada factor real k se cumple que:
f(kx,ky)'*z knf (x, y)
una función racional entera será homogénea si todos los puntos de la
misma son del mismo grado para toda función homogénea diferenciable
de grado n, se verifica siempre la igualdad (Teorema de Euler).
x/i (X, y) + yf'y (X, y) = nf(x, y)
Hallar las derivadas parciales de las funciones
1801
1802
z = x3- y 3- 3axy
Desarrollo
Como z = x3 - y 3-3axy
dz , 2 ,— = 3x -3 ay
dx
dz „ 9
— = -3y - 3ax
dy
z = ^ l
x + y
Desarrollo
ß ^
dz (x + y ^ ( x ~ y ) - ( x - y ) — (x+y)
_ ______Sx_______ dx _ (x + j) - ( x - .y ) _ 2y
dx (v +.v)2 “ (x + y)2 (x + y)2
dz _ 2y
dx (x + y)2
, (x + y ) ~ ( x - y ) - ( x - y ) ~ ) ( x + y)
_ - & ______________& ' _ (* + .y )(-l)-(x -> 0 —2x
dy (x + y)2 (x + y)2 (x + y }
dz _ -2x
dy (x + y)2
1803 z = ^
X
Desarrollo

1804 z = y¡x2- y
Desarrollo
dz 2x
dx V*2 - y 2
dz - y
1805 z
Desarrollo
dz
dz
dy
v* +>> - [ 2 2
¡x + y
x2 + y 2
(x2 + y 2)2
J J 7 7 ( 0 y - - r 2 L
-xy
x2 + y 2
(*2 + y 2)2
1806 z :ln(x + yjx2 + J 2 )
Desarrollo
1+ -
8z _ V*2 + y 2 x +yfx2 + y 2
S x X + - J x 2 + y 2 y j x 2 + y 2 ( x + 7 ^ 2 + 7 2 )
dz 1
8x
1
V x^+ÿ2
Funciones de Varias Variables
1*807
1808
1809
v
0+ - ------------
dz _ yjx2+ y 2
dy x + y¡x2 + y2 yjx2 + y 2(x + X2 + y 2)
dz
d> yjx2 +y 2(x +4 x 2 + y 2)
z - arctg(-)
x
Desarrollo
dz o
X “
óx 1+ (Z )2 *2 V
X
% , +(Z )2 *2 + r
X
-y
dx x2 + y 2
dz X
dy x2 + v2
Desarrollo
z = x =>
dz v_,
— = VX
dx
dy
— = x-vinx
dy
Desarrollo

1810
1811
CZ sen{~)y ] 1 sen(-) y
— - e v cos(” )(—) ——e v cos(—)
dy X X X X
z = arcsenM
i i
X - V“
Ix" + y-
Desarrollo
X - v
CZ_ CÌX
ex
i!2y¡2x2 -2y2:2 + y~ -Jlx y1
i I>■!<-v4- / >
l . r + r
CZ Aliy2y jlx 2 - 2 v"
il
1'<
1
y
-> i
ô X - r
1 1
cz oy x~ +y~
dy i 9
£_ -__

y lx A- y 4)
X+ Ü
z = In(sen(—j=-))
V-v
Desarrollo
cz
dx
r x+ a < 1 COS( I-- )( r— )
■B J L ' clg^
Sfn(i ± 5 ) f y -¡y
yjy
c o s ( ^ )
&_ VL(_*Í^) =_f±iicíg(£^)3
2 ^
V
1812
1813
1814
« = (*y)‘
Desarrollo
u = (xy)“"
/ xr-1
— = zx(xy)
ex
Su 2_i
— = zy(xy)
dy
cu
ÔZ
= (xy)- ln(xv)
Desarrollo
dw
dx
C7W
¥
dw
dz
= yzxy lnz
= xz vvIn :
xyzAV-I
Hallar f x(2,1) y / l (2,l) si f(x,y) = Jxy + -
Desarrollo
f(x,y) = .xy +
j + -
2J,ry + ±
y
y
2Jxy + Ï

1815
1816
1817
1+ ] _1
2V2T 2 ” 2
2 -2 0
/ (2,1) = — p = = - = 0
2-J2 + 2 4
Hallar /; (1.2.0). / (1.2.0) y f ‘(1,2,0) si f(x,y,z) = ln (xy + z)
Desarrollo
f(x,y,z) = ln (xy + z)
f-(x,y,z) =
f v(x,y,z)=.
f;{x,y,z) =
XV+ z
X
xy + z
1
xy + z
/; a 2 ,o )=
/v (1,2,0) =
./: (1,2,0) =
2+0
2+0 2
Comprobar el Teorema de Euler sobre las funciones homogéneas del 1816
1819
/ (x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2
Desarrollo
/ (Ax, Ay) = Ak2x2 + 2Bk~xy + Ck2y 2 = k2{Ax~ + 2Bxy + Cy“ - k~j (x, y)
Luego f(x,y) es homogénea de grado k = 2
2 2
x + y
f(kx,ky)-
kx
k2x2 +k2y2
Desarroljo
= k -f(x ,y )-k~x X2 2
x + y
por lo tanto f(kx,ky) = k 1/ (x, y)
1818
1819
1820
1821
/(x ,y ) = ln(—)
x
Desarrollo
f(kx,ky) = l n Ä = ln(^) = k°f(x, y)
kx x
Luego f(x,y) es homogénea de grado cero
/ ( « I - t S
x2 + y2
Desarrollo
f(kx,ky) = - 7 = A' 3(-¡4 ^ = ) = k^f(x,y)
V * V + it V
por lo tanto / (Ax, ky) = V f ( <x, y)
Hallar — (—) , donde r = a /x 2 + j>2 + z 2
dx r
Desarrollo
+ z 2 => - = (x2 + y 2+Z2) 2
r
5 1 1 -> ? i -~
— ( - ) = - - ( x 2 + j ‘ + z 2) 22x = -
ex r 2
(x2+ j2+z2)2
Calcular
dx dx
ó¡9
dr 06»
, si x = r eos 0, y = r sen 0

1822
1823
Desarrollo
x = r eos 0 =>
— = cos<9
dr
dx Q
— = —r sen 6
de
y = r sen 0 =>
dy
dr
dy_
de
= sen 0
dy Q
— = r cos C7
dx dx
~dr ~dë cosO - r sene
d± dy_ sene rcose
dr de
= r eos e + r sen e = r
dz dz 2 2 2
Demostrar que x— + y — = 2 , si z = ln(x + y + z )
dx dy
Desarrollo
dz 2x + y
z = ln(x2 + y 2 + z 2) =>
dx x2+yx + y 2
dz 2y + x
dy x2 + yx 4-y 2
dz dz 2x + xy 2y + xy 2(x +xy + y ) _ 0
x ---- hy — = —------------T+ 2 ~ 2 2
dx dy x +xy + y x +xy + y x + xy + y
dz dz
x— + v — = 2
dx dy
dz dy ~
Demostrar que: x---- hy — - xy + z si z = xy + xex
dx dy , ,
1824
1825
Desarrollo
dz y— = y - - (
dx x
y
ôz
ôy
= x + ex
y y
z = xy + xex
cz dz - -- í i -
x— + y — = xy —yex + xe x + yex + xv = xy + (xy + xex) = xy + z
ex dy
dz dz
x ---- v— = xy + z
dx ' dy
rA du du du
Demostrar que — + — + — = 0, si u = (x - y)(y - z)(z - x)
dx dy dz
Desarrollo
u = (x - y)(y - z)(z - x) =>
du
= (y - z)(z - x) ~(x - y)(y - z)
OX
du
— = (x - y)(z - x) - ( v-Z)(z - x)
dy
du
— = (x - y)(y - z) - (x - y)(z - x)
dz
du du du
+ — = ( y - z) ( z - x ) - ( x - y ) ( y - z ) + (x - y )(z - x )-
ox ov dz
~(y - z)(z ~x) + (x - y)(y - z ) - ( x - y ) ( z
du du ou
— + — + — = 0
dx dy dz
_ x du du du , x —y
Demostrar que: — + — + — = 1, si u = x + ----
dx dy dz ; y - z

1826
1827
Desarrollo
x - y
u = x h--------=>
y - z
du , 1
— = 1+—
ex
cu
y-*
z - x
dy ( y - z ) 2
du x - y
ÔZ ( y - z ) 2
du du du 1 z - x x - y
---+----+----= 1+-------+---------7+------r
dx dy dz y - z ( y - z ) (y-z)~
= 1+ -
1 ^ = i +- i _____L _ „
y - z ( y - z Y y ~ z y - z
du du cu
— +— +— = 1ex dy dz
Hallar z = z(x,y) si
. cz
dy x2 + y 2
Desarrollo
dz __£
dy ;(2 + y
, integrando se tiene:
c~ x2+ '2
Hallar z = z(x,y), sabiendo que: — = - ---- — y z(x,y) = sen y -cuando x =
dx x
Desarrollo
1828
- « 2 2 ^CZ X ~1~V x~
_íl = -------— integrando se tiene: z = — + >>2lnx + g(y)
dx x 2
cuando x = 1, z = sen y entonces sen y = ^ + g ( j) => g(.v) = sen y - —■
x2 2, 1z = -— Yy ln x + sen y ----
2 2
Por el punto M(l,2,6) de la superficie z = 2x2 + y 2 se han hecho pasar planos
paralelos a las coordenadas XOZ e YOZ. Determinar, que ángulos forman con
los ejes coordenados las tangentes a las secciones así obtenidos en su punto
común M.
Desarrollo
a) Si se considera el plano paralelo al plano XOZ, este plano es
perpendicular al eje Y y por lo tanto p = 90° y tg p = oo y la pendiente
i l • dz
de la tangente seria: tga = —
dx
= 4(1) = 4 => tg a = 4 y el ángulo
x=l
formado por la tangente y el eje Z será a + y = 90° => y = 90° - a
de donde tgy = tg(90- a) = ctga = — => t g / = —
4 4
b) Si se considera el plano paralelo al plano YOZ entonces dicho plano es
perpendicular al eje X y su ángulo a = 90° de donde tg a = oo y la
i- r dz
pendiente de la tangente sera —
dy r=2
Luego tgß = ~
dy
= 4 => tg p = 4
y=2
Y el ángulo formado por la tangente y el eje X será:

1829
1830
p + y = 90° => y = 90o - p
tgy = tg(90°-p) =ctg/}= | => t g y = -
4 4
El área de un trapecio de bases a, b y de altura h es igual a S = - y - h , hallar
dS dS dS .
? ? — y mediante su dibujo, establecer su sentido geometrico.
da cb dh
Desarrollo
as h_
da 2
dS__h
db ~ 2
dS a + 6
~dh~~~~2~
Demostrar que la función /(x , v) =
2XV . 7 2n
— - -r-y M X + y * 0
X“ + _y tiene derivadas
0 si X= y = 0
parciales f x(x, y) y f v(x,y) en el punto (0,0) a pesar de ser discontinua en
este punto.
Desarrollo
Calculando las derivadas parciales en el punto (0,0)
¿ ¡ 0,0) i / ( 0 ^ * .0> - / ( M )' = ,¡m /( * .0) - / ( 0.0) = lim = 0
/?—>0 h /?->o h h-*o h
f l (0,0) . Ita / ( 0.0 + » > - /( 0.<» = lim / ( 0- * ) - / ( 0.0) = l i m = o
//->o h //->0 h //-»o h
ahora veremos la discontinuidad, para esto tomamos dos caminos que pasen
por (0,0), tales como y = x. y - 4x
lim
2x>>
lim
2xz
(*,>’)->(0,0) - I - y 2 X—>0 2x2
(1)
lim
2xy
lim
8xz
(.v,>)->((),0) x 2 + y 2 .v—»0 1 7 * 2 1 7
... (2)
como (1) ^ ( 2) entonces jí lim f{x,y)
(x,y)~.>(0,0)
por lo tanto f(x,y) es discontinua en (0,0)
6.4. DIFERENCIAL TOTAL DE UNA FUNCIÓN.-
(7 ) INCREMENTO TOTAL DE UNA FUNCIÓN.-
Si z - f(x,y) es una función de x e y entonces el incremento total de una
función definiremos por:
Az = Áf(x,y) = f(x + Ax, y + Ay) - f(x,y)
(¿ ) DIFERENCIAL TOTAL DE UNA FUNCIÓN.-
Si z = f(x,y) es una función de x e y entonces a la diferencial total de la
función z = f(x,y) es definida por:
dz dz
az = — .axH----- .ay
dx dy
(? ) APLICACIÓN DE LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN A LOS
CÁLCULOS APROXIMADOS.-
Si z = f(x,y) se verifica la igualdad aproximada: Az = dz

1831
dz dz
f ( x + Ax,y + A y )z f (x ,y ) + ±-dx + — dy
dx dy
Para la función f{x,y) = x2y , hallar el incremento total y la diferencial total
en el punto (1,2) compararlo entre sí.
a) Ax = 1; Ay = 2
Desarrollo
Af(x,y) = f(x + Ax, y + Ay) - f(x,y)
Af( 1,2) = f( 1 + 1, 2 + 2) - f(l,2)
= /(2 ,4 )-/(1 ,2 ) = f(2)24 -(l)22] = 16-2 = 14 Af(l,2)=14
df(x, y) df(.r, y)
df{x,y) = - - - - -dx + - - dy
dx dy
a/ í 1;.2) Ay+ AV = 2(1)2 + (1)22 = 4 + 2 = 6
dx dy
df (12) =
Luego Af( 1,2) - df( 1,2) = 14 —6 = 8
b) Ax - 0.1 , Ay = 0.2
Desarrollo
.-. Af( 1,2) - df(l,2)
Af(x,y) = f(x + Ax, y + Ay) - f(x,y)
Af(1,2) = f( 1 + 0.1, 2 + 0.2) - f(1,2) = f(1.1,2.2) - f( 1,2)
= (1.1)2(2.2)-(1)22 = 2.662-2 = 0.662 Af(l,2) = 0.662
dx dy
= 2(2)(0.1) + 1(0.2) = 0.4 + 0.2 - 0.6 /. df(l,2) = 0.6
1832
1833
1834
Luego Af(l,2) - df( 1,2) = 0.662 - 0.6 = 0.062
Af( 1,2) - df( 1,2) = 0.062
Demostrar, que para las funciones u y v de varias variables (por ejemplo de
dos) se verifican las reglas ordinarias de derivación.
a) d(u + v) = du + dv b) d(uv) = u dv + v du
.ti vdu —udv
C) d(-) = ------r-----
V v
Desarrollo
d(// + v) d(u + v) , du dv du , dv
a) d(u + v) = —-------dx 4----------- dv = — dx H----- dx + — dy + — dy
dx dy " dx dx dy dy
.du . du . . dv . dv , .
= (— dx------dv) + {— dxA------dy) = du + dv
dx dy • dx dy '
En forma similar las anteriores
Hallar las diferenciales totales de las siguientes funciones:
z = x3+ y 3- 3xy
dz dz
dz ~ —-dx -f— dy
dx dy
Desarrollo
dz = (3a*2 - 3y)dx + (3y 2 - 3x)dy
2 3
z - x y
Desarrollo

1835
1836
1837
i °z dz
dz - — dx H------dy
ex öy
dz = 2xy3dx 4-3x 2y 2dy
2 2
* ".V
? •>
Desarrollo
& cz
¿/z = — dx H---- dy
cx Oy
x2 - /
x2 + y 2
dz 4xy‘
dx (x2 + y 2)2
dz -4 x2y
Sy (x2 + y 2)2
... (2)
4xy‘
ahora reemplazamos (2) en (1): dz - dx -
4.v2v
(x2 + ÿÂY (x1 +y 2)2
dy
-sen x 4-cos" y
dz dz
dz =?— dx 4 ----dy
dx dy
Desarrollo
dz = 2 sen x cos x dx - 2 cos y sen y dy
dz = sen (2x) dx - sen (2y) dy
' = yx
Desarrollo
1838
1839
1840
dz dz
dz = — dx H------dy
dx dy
dz = y 2xy~{dx 4-xy(14-y ln x)dy
z = ln(x2 4-y 2)
Desarrollo
dz dz
dz =— dx 4-— dy
dx dy
2x
dz =—-------d x + —---- -d y
x +y x +y
f(x,y) = ln(l + —)
y
Desarrollo
,,, . df(x,y) df(x,y)
df(x,y) = ---V ’- 7dx+ - dy
dx dy
df(x,y) =—^— dy----—-— -dy
x +y y(x +y)
V x
z = arctg —4-arctg —
x y
Desarrollo

1841
1842
1843
ahora reemplazando (2) en (1) se tiene: dz = - * dx— A ^ r d y2 2 2 2
jr+ jT jr+ y *
z = lníg(—)
X
dz dz
ax = — ax + — dy
dx dy
Desarrollo
dz - — (d y - - d x )
2> xxsen(— )
x
Hallar df(l,l)si f(x ,y ) =—
y
Desarrollo
ex dy
(1)
f ( x , y ) z
y
ó/(i, i)
dx
5/(1,1)
dy
= 1
= -2
... (2)
reemplazando (2) en (1) se tiene: df( 1,1) = dx - 2 dy
u = xyz
Desarrollo
du , dw . du .
d u - — ax 4-— dy H------az
dx dy dz
du = yz dx + xz dy + xy dz
1844
1845
1846
1847
u = yj x2 +y 2+ z 2
Desarrollo
, cu 1 du . dw ,
du = — dx + — dy 4---- az
dx dy dz
, x á y ¿/y z í /z
du = - = = = = = +- T= á = á = = +
yj x2 + y 2 + z 2 y j x 2 +y 2 + z2 ^ x 2 +y 2 + z2
u = (xy + —)2
7
, dw , dw , dw ,
du = — c/x+ — dy -f-----dz
dx dy dz
Desarrollo
du = (xy 4-—Y 1((y + —)z dx + (1- - ) x z dy 4-(xy 4-—) ln(xv 4-—)dz)
y y y y y
x y
u = arctg{— )
Z
Desarrollo
du , du , du .
du=— ax 4-— ay H------------------- az
dx dy dz
du = --— —(ydx +x d y - dz)
(xy) 4-z ‘ " z
Hallar df(3,4,5) si f(x,y,z)
Desarrollo

1848
dx dy dz
df(x,y,z)--
xzdx yzdy _+ ' [ _ = dz
(x2 + y 2)2 (x¿+ y z)
1 4 ? ^
df(3,4,5) = —^— d x - —-dy + —dz
125 125 5
df(3,4,5) = — (-3 dx-4dy + 5dz)
Uno de los lados de un rectángulo es a = 10 cm, el otro b = 24 cm ¿Cómo
variara la diagonal L de este rectángulo si el lado a se alarga 4 mm y el lado b
se acorta 1 mm? Hallar la magnitud aproximada de la variación y compararla
con la exacta.
Desarrollo
Por Pitágoras se tiene: L = v a 2 +b2
dL = — da + ——db donde a =10 cm
da db
b = 24 cm, da = 0.4 cm, db - -0.1 cm
dL rda + rdb =
10 (0.4) + -
24
J T ^ b 2 y f ü ^ b 2 ~ Vi00+ 576 ' VlOO+ 576
dL = A _ H = 1 ^ s o.062 cm
26 26 26
AL = yj(a + Aa)2 +(b +Ab)2 - Ja^+b2 =0.065 cm
1849
i .
1850
Una caja cernida, cuyas dimensiones exteriores son de 10 cm, 8 cm y 6 cm;
esta hecha de madera contrachapada de 2 mm de espesor. Determinar el
volumen aproximado del material que se gasto en hacer la caja.
Desarrollo
Sean x,y,z las dimensiones de la caja, luego el volumen de la caja es:
V = xyz, además x = 10 cm, y = 8 cm, z = 6 cm y dx = dy = dz = 0.4 cm
dv = yz dx + xz dy + xy dz = (8)(6)(0.4) + (10)(6)(0.4) + (10)(8)(0.4)
= (48 + 60 + 80)(0.4) = 188(0.4) = 75.2 cmi3
dV = 75.2 cm3 con relación a las dimensiones anteriores.
El ángulo central de un sector circular es igual a 80° y se desea disminuirlo en
Io ¿En cuánto hay que alargar el radio del sector, para que su área no varié, si
su longitud inicial era igual a 20cm?
Desarrollo
área del sector circular =f A = — - , donde
360°
r = 20 cm, es el radio yx = ángulo central - 80°, dx = -1°
. . dA 1 dA Kr2 Ircxr
dA = — dx H-----dr => dA ----- dx h---- — dr
dx dr 360 360
dA = r2dx + xr dr reemplazando se tiene:
0 = --(L í d l + 20(80)Jr => 1600 dr = 200

1851
cjr = - i dr = - es lo que debe alargar el radio p*ra que el área no
1600 8 8
varié.
Calcular aproximadamente:
a) (1.02)(0.97)2 b) 4.05)2 +(2.93)2
c) sen 32° eos 59° (al convertir los grados en radianes y cuando se calcule el
sen 60°, tomar solamente tres cifras decimales; la ultima cifra debe
redondearse)
Desarrollo
a) Sea f(x ,y ) =x3y 2 donde x =1, y - 1, Ax - 0.02 , Ay = -0.03
/ ( , + Av ,, + A ,)S /(« ,,» + ^ M + 2^ A v
ex oy
/(1.02,0.97) s /(1,1)+ (0.2) +(-0.03)
dx cy
(l.02)3(0.97)2 s 1+ 3(T)(0.02)-2(l)(0.ft.3)
= l t 0.06 - 0.06 = 1
b) f(x,y) = -yjx2 +>’2 donde x = 4, y = 3, Ax = 0.05, Ay = -0.0 7
f(x + Ax,y + Ay) = f(x, y) + Ar + Ay
/(4.05,2.93) = /(4,3) + (0.05) + ^ (4-—(-0.07)
ex cy
Ví(4.05)2 +(2.93)2 s 5 +-^(0.05) + 1 (-0.07) = 4.998
V(4-05)2+(2.93)2 £ 4.998
1852 Demostrar, que el error relativo de un producto es aproximadamente igual a la
suma de los errores relativos de los factores.
Desarrollo
Consideremos z = x, .x2.x3...x„ producto de números positivos, entonces
lnz = ln(x1.x2.x3...xAi) = lnx, + lnx2+ lnx3+... + lnx„
dz dxi dxn dx-, dx„ ,,
— = —L+ —- + —¿ + ... + —2- dedonde
Z X! X2 X3 X„
Az Axj Ax2 Ax3 Ax„ Az
— ------1--------1--------+ ...H-, donde — es el error relativo de un
z x, x2 x3 xn z
Ax, Ax2 Ax3 Ax„
producto y ---- ,----- ,----- ---------- son los errores relativos de los factores, por
Xj x2 x3 xn
lo tanto el error relativo de un producto es aproximadamente igual a la suma de
los errores relativos de los factores.
1853 Al medir en un lugar el triangulo ABC, se obtuvieron los datos siguientes: el
lado a = lOOm ± 2m el lado b = 200m ± 3m y el ángulo c = 60° ± Io ¿Con
que grado de exactitud puede calcularse el lado c?
Desarrollo
Por la ley de los cosenos se tiene que:
c = J a 2 +b2 - lab eos C , la exactitud que puede calcularse el lado c es de

1854
1855
de donde dc = - A a + — Ab + ^ - A C
da db dC
, a-bcosC b-acosC AJ absenC
de = —=....... ..... Aa + ........ +~1— — AC
ya2+b2-la b eosC¡a2+b2-la b eos C 'Ja2+b2-labeosC
reemplazando los valores para a = lOOm, b = 200m, C = 60°, Aa = 2, Ab = 3,
AC = 1° = — , de = 4.25 m
180°
El periodo T de oscilación del péndulo se calcula por la fórmula T = 2n ,
V£
donde L es la longitud del péndulo y g, la aceleración de la gravedad. Hallar el
error que se comete al determinar T, como resultado de los pequeños errores
AL = a, Ag = (3cometidos al medir L y g.
Desarrollo
El error que se comete al determinar T es:
jrfi dT j cT Jrr k > n 4 í Tt(ga-Lp)
dT = — AL + — Ag ==> di - —F= a -------¡=p --------j= —
dL eg g j g gyfgL
. d T = n ( g a - L 0 )
gyfgL
La distancia entre los puntos / q(xq,j 0) y P(x,y) es igual a p, y 1 ángulo
formado por el vector P0P con el eje OX, es igual a a ¿En cuánto variará el
ángulo a, si el punto P toma la posición P{(x + dx,y + dy) , mientras que el
punto P0 sigue invariable?
Desarrollo
COSÖT = -
sena ■
* —*o
P
y - y *
ípeosa = x - x 0
p se n a = y - y 0
y —yo
tga = -------- diferenciando
X-JCn
sec :a d a = (x-xo)dy-(y-yo)<ty
( x - x 0f
pero del gráfico se tiene sena = ——
x - x n
p_ da _ (* ~ *o)dy zíI z I q.^
(x-x0)2 (x-x0)2
d a = — ~ X° ~ — ~ => d — c o sa d y ~ sen a dx
6.5. DERIVACIÓN DE FUNCIONES COMPUESTAS.-
(7 ) CASO DE UNA SOLA VARIABLE INDEPENDIENTE.-
Si z = f(x,y) es una función diferenciable en x e y, y a la vez funciones
diferenciables de una variable independiente t: x = cp(t), y = j/(t), la
diferenciación de la función compuesta z = f((p(t), j/(t)) se puede calcular
por la fórmula:
dz dz dx dzi___ dy
dt dx dt dy dt

1856
1857
t
( 2) CASO DE VARIAS VARIABLES INDEPENDIENTES.-
Si z es una función compuesta de varias variables independientes tal
como z = f(x,y), donde x = cp(u,v), y = vj/(u,v), las derivadas parciales de
z con respecto a u y v se expresa así:
dz dz dx dz dy_
da dx dv dy du
dz dz dx dz dy_
d v ’ dv dy dv
U
V
u
V
Hallar — si z = —, donde x = e , y - ln t
dt y
Desarrollo
dz dz dx dz dy , . A dz è
— = — .— + — de donde — - —
dt dx dt dy dt
x 1
dt y y 2 tlnt ¿ln21
dz
dt ¿ln21
Hallar
du
dt
X 2 / 2
, si u = ln sen(-j=r) , donde x = 31 , y = y¡t +1
y¡y
1858
1859
Desarrollo
dudu dx du dy
— - + — de donde se tiene:
dtdx dt dy dt
Hallar ~ ~ , s x = xyz, donde x = t2 +1, y = ln t, z = tg t
Desarrollo
du du dx du dy du dz _ , t duxz9
— = de donde — = yz2t +— + xvsec~¿
dt dx dt dy dt dz dt dt t
du _ ; t2 +1 ? 9
— ^ 2 ttg tn t +— — .tgt +( r + l)ln¿.sec ¿
T T t i du . z
Hallar — , si u = —.. -, donde x = R eos t, y = R sen t, z = H
d t ........ f x 2 + y 2
Desarrollo
du _ dt/ dx du dy du dz
dt dx dt dy dt dz dt
du xz , „ x yz 1_ = --------------(-Rsent} ----------¿ cos^ + ... (0)
dt _ 3 2 t .
( x 2 + / ) 2 ( x 2 + y 2 )2 < X + y
du _ HR2cost sent HR2sent cost ^
dt 2 2 I 2 2 ~ dt
( x 2 + y 2) 2 ( x 2 + / ) 2

1860
1861
1862
Hallar — si z = uv , donde u = sen x, v = eos x
dx
Desarrollo
dz dz du dz dv v i v i /
— = — .-----1---- .— = vu cos x +u ln u(-senx)
dx du dx dv dx
= eos2(sen x)C0SX 1- (sen x)C0SXsen x.ln(sen x)
dz
— = (senx)C0SX[cos x.ctg x - sen x. ln sen x]
dx
TT dz dz . y 2
Hallar — y — , si z = arctg(—) e y = x
dx dx x
Desarrollo
J L (l) -J L
dz = dx x x2 _ - y . 02 = ~y
áx 1+ (Z )2 1+ / x2 + y2 " dx x2 + y2
X X 2
X
dz dz dz dy , t , dz y 2x~ 2x2 - y
— = — + — de donde — = — ------t + -----1
dx dx dy dx dx x +y x +y x +y
dz 2x2 - y
~ 2 . 2dx x + y
Hallar — y — si z = xy donde y = cp(x)
dx dx
1863
1864
Desarrollo
dz v_i
dzdz dz dy dz y
— = ---- 1---- de donde — - yx +x- ln x.<p (x)
dx dx dy dx dx
dz v
— = x [—+ ^ x) ln x]
dx x
Hallar — y — , si z = f(u,v), donde u = x2 - y 2, v = exy
dx dy
Desarrollo
* U
dzdz cu dz dv dz ¡' ^ ¡
— = de donde — = 2xfu(u,v) + yexyf v (u,v)
excu ex dv ex ex
dzdz du dz dv . . . dz _ r¡, x xv rf,
— = _ . -----t— .— de donde — = -2yfn(u,v) +xe f, (u.v)^ ^ ~ ~ y j il v y / j v v 5 J-
dy du dy dv dy dy
TT ,. dz dz x .
Hallar — y — si z = arctg—, donde x = u sen v, y = u eos v
du dv y
Desarrollo

1865
U
V
u
V
dz _ dz dx ^ oz dy
du dx du dy du
dz y
du X1 + y 2
jeusen v eos v usen veos v
sen v — —— - eos v = ---- ----- ---------- ----- — = U2
x + y
2 ? 2 2
x + y x + y
dz
du
- 0
dzdz dx dz dy
dvdx dv dy dv
dz y x y “ x
- ueos vH— ----- usen v = —------h------
x2 + y 2
^ 2 2
ev x + y x2 + y 2
dv
= 1
dz dr y
Hallar — y — si z = f(u) donde u - x y + —
dx dy x
Desarrollo
U
dz cz cu
ex cu ex
cz
ex
1866
- r = ~ r ~ = f u ) ( x + - ) dedonde ~ = f'(xy + —)(x + - )
dy du dy x dy x x
Demostrar que si u = <f>(x + y~ + z ) donde x = R eos (p eos y
0ti Óli
y = R eos <psen i, z = R sen (p entonces — = 0 y ——= 0
o u = <j>(w)
^ (p
z --------- ► cp
y
ou _ du dw dx du dw dy du dw dz
d(w)2x(-Rsen¡(w)2y(-Rsen<pseny/) + <j>w)2zR eos (p
dep
du ¡
— = (p (w)2R(-x sencp eos y/ - y sencpsen y/ + z eos (p)
dip
- 2R(/) (w)[-R sen cpeos (peos2y/ - Rsen cpeos (psen2y/ + Rsencpeos cp]
= 2R~(¡)!(w)[-sencp eos cp(eos2y/ + sen2y/) + sencpeos cp]
= 2R1c/)1(w)[-sencp eos cp+sencp eos cp] = 2R2</)!(w)(Q¡) - 0 — = 0
dep

1867
1868
cu _ du dw dx du dw dy
dy/ dw dx dy/ dw dy dy/
du
dy/
= </>(w)2x(~R cos cpseny/) + (j) (w)2y R cos (pcos y/
= 2R(¡) (w)(-x cos cpsen y/+ y cos (pcos y/)
= 2R<f> (w)[-7? cos2(pcos y/ sen y/ + Rcos2(psen y/ cos y/]
= 2R(¡) (w)(0) = 0
du
dy/
Hallar — si u = f(x,y,z) donde y = cp(x), z = vj/(x,y)
dx
Desarrollo
X
X
X
du _ dudu dy du dz
dx dxdy dx dz dx
dz dz dz dy A dz ¡ , ¡
— + — dedonde — = y/x(x,y) + y/v(x,y).z )-<p'(x) + fz (x ,y,z)Wx(x >y ) + Wy(x ,y). — = 1, — - a
dx dy
z = f(u) donde u = x + ay
U
- f 1(
dx du dx
dz _ dz du
dy du dy
■af (u)
dz / dz
a T = af (U) = Tdx dy
dz _ dz
dy ~ dx
1869 Demostrar que la función w = f(u,v) donde u = x + at, v = y + bt, satisfacen a
dw dw v dw
la ecuación — = a — + b—
dt dx dy
Desarrollo

d w d w , d w
— =a— +b—
d t d u d v
...(1)
d w _ d w d u _ d w
d x d u d x d u
d w d w d v _ d w
d y d v d y d v
(2)
reemplazando (2) en (1) se tiene:
d w d w . d w
— = a — + ¿>—
d t d x d y
1870 Demostrar que la función z = y c p ( x 2 - y 2 ) satisface a la ecuación
1 d z 1 d z _ Z
x d x y d y y 2
z = y <p(u) donde u — x 2 —y 2
Desarrollo
y
u
d z d z d u . /Y,
_ = — — = 2 xy<p ( u )
d x d u d x
d z d z d z d u , *2i/
— = — = ( p ( u ) - - 2 y cp ( ii )
d y d y d u d y
X
y
1 d z 1 d z 1 1— (2 x ycp ' ( u ) ) + — ( ç ( u ) - 2 y 2cp' ( u ) )
x d x y d y x y
= 2V w + — - W w = — = 4 donde
y y y y
1 d z ^ 1 d z _ z
yx d x y d y " 2
1871 Demostrar, que la función z = x y - - x ( p ( — ) satisface a la ecuación
JC
d z d z
x -------j_y -----= x y + Z
d x d y
Desarrollo
z = x y + x ç ) ( — )
x
OX X X X
à2 i,y— = X + (p ( - )
d y x
x - - + y ' j - = x { y + < p ( ~ ) - ^ - ( p j ( - ) ) + y ( x + <p' ( - ) )
c x d y x x x x
- xy +x<p(—) - y<p' (—) +xy +y<p' (—) = xy +(xy +xcp(-)) = xy +z
X X X X
d z d z
x — + v — = x y + z
d x d y
1872 Demostrar, que la función z = e y ( p ( y e 2y ) satisface a la ecuación
d z d z
)— +xy—
d x d y
Desarrollo
2 2 ^ d z d z
( x - y ) ------- - x y — = x y z

Aplicando la regla de la cadena se tiene:
x~
d(/>(u) dó(u) du , , du x 7^
- nde — - —e y
dx y
-e2y (p1(u)
dx du dx
d(/)(u) d(/)(u) du
dx du dx
d(j)(u) d<f>(u) du
dy du dy
d(/)(u) d</>(u) du
x 2
donde — = e2y - e 2y
dy y 2
2
:(e ^ ----- e y )4> (u), como z
dy cu dy y A
= ey(/){u), entonces
1873
1874
o 9 CZ Óz
sumando (1) y (2) se tiene: (x - y )— + xy— = xyey(¡>{ii) - xyz
dx dy
/ 2 2^dz dz
(x ~ y )— + xy— = xyz
dx dy
Un lado de un rectángulo de x = 20 m, aumenta con una velocidad de 5m/s, el
otro lado de y = 30m, disminuye con una velocidad de 4m/s ¿Con qué
velocidad variarían el perímetro y el área de dicho rectángulo?
Desarrollo
El perímetro del rectángulo es:
P = 2x + 2y además se tiene:
dy dx
— = - 4 miseg , — = 5miseg
dt dt
dP dP dx dP dy
la velocidad con que varía el perímetro es:
2(5) + 2(—4) = 2m / seg
dt dx dt dy dt
por otra parte el área = A = xy; la velocidad de variación del área es:
dA dA dx oA dy .
— = — .------------------------------------------------------------------------1------ ^ = >^(5) —4(^c
dt dx dt dy dt
dA
dt
= 30(5)-4(20) = 150-80 = 70
dA __ o
-— = 10m l seg
dt
2 ^
Las ecuaciones del movimiento de un punto material son x = t, y ~t , z = t
¿Con qué velocidad aumentara la distancia desde el punto al origen de
coordenadas?
Desarrollo

La distancia del punto (0,0,0) al punto P(x,y,z) es:
r = yjx1 + y 2 + z 2 = ^Jt2 + t4 +t6 , ahora calculamos la velocidad con que
aumenta la distancia del origen al punto P
dr 1+ 2t2 + 31
dt ¡ + t2 + t 3
1875 Dos barcos, que salieron al mismo tiempo del punto A, va uno hacia el norte y
el otro hacia el ñor - este. Las velocidades de dichos barcos son 20km/hr,
40km/hr, respectivamente. Con que velocidad aumenta la distancia entre ellos.
Desarrollo
Por la ley de los cosenos tenemos que:
z = yfx2 + y 2 —2xy eos 45°
reemplazando valores se tiene:
z = J 2O2 + 402 - 2(2í))(40)^2-
z = 20V5-2V2
6.6. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DADA Y GRADIENTE DE
UNA FUNCIÓN.-_______________________________________
(? ) DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UNA DIRECCIÓN DADA.-
La derivada de una función z = f(x,y) en una dirección dada í - P xP se
define por:
í . lim
P.P-*0 PyP
donde f(p) y f(P) son los valores de la función en los puntos P y Px.
Si la función z es difereneiable, se verifica la fórmula
cz dz dz
— = — cosa + — sena
di dx dy
donde a es el ángulo formado por el vector l - P{P con el eje X
En forma similar para función u = f(x,y,z) se verifica la relación
du du du n du
— = — cosa + — cos ß 4-----cos y
di dx dy dz
donde a, P y y son los ángulos entre i - PP] y los ejes coordenados.
( I ) GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN.-
Se da el nombre de gradiente de una función z = f(x,y) a un vector, cuyas
proyecciones sobre los ejes coordenados son sus derivadas parciales de
dicha función:

1876
CZ dz '~*
grad(z) = — i + — /
5 ax
La derivada de la función en la dirección A esta relacionada con el
gradiente de la misma función mediante la fórmula
1l roy^ u »
OÍ
La dirección del gradiente de la función en un punto dado, es la dirección
de la velocidad máxima de crecimiento de la función en este punto, es
decir: cuando
/ “ grad(z), la derivada — toma su valor máximo igual a: /(— )2 + (— )2
di dx dy
En forma similar para una función u = f(x,y,z) se tiene:
du ¥ du du 7
grad(u) = — i + — j + — k
ex oy dz
EL gradiente de una función de tres variables, en cada punto lleva la
dirección de la normal a la superficie de nivel que pasa por dicho punto.
Hallar la derivada de la función z. =jr2 ~xy - 2 y‘ en el punto P(l,2) y en la
dirección que forma con el eje X un ángulo de 60°.
Desarrollo
«877
1878
w a » ( 2 - 2 ) i +(- i + 8 ) ^ +o +^ =,
di , 2 2 2 di 2
Hallar la derivada de la función z = x3- 2x2y + xy2+1 en el punto M( 1,2) en
la dirección que va desde este al punto N(4,6).
Desarrollo
„ • 3 4
Se tiene eos a - —,sen a = —
5 5
dz dz dz . o „ 2 2 o ^
....= — eos a + -—sen a = (3x~ - 4xy + y )eos a + (- 2x + 2xy)sen a
di dx dy
calculando en el punto M(l,2)
& 3 4 3 8 5 dz
— = (3 - 8 + 4)—+ (-2 + 4)—^ - -- 4-—■=—= l => — = 1
di 5 5 5 5 5 di
¡ **) 2
Hallar iaderivada de la función z-hiyjx" + y~ en el punto P (l,l) en la
dirección de la bisectriz del primer ángulo coordenado.
Desarrollo
dz oz dz x y 4-Q
— = — eos 4:>°+ — sen 45° = —-----7 eos 45° + — — - sen 45°
di dx dy x“ + y V' + y
calculando en el punto P( 1,1) se tiene:
Ü ü_ 1 - 2^
<vé ’ 2' 2 2 ’2 .... 4 ' 4 ~ 2 “ “ 2
1879 Hallar la derivada de la función u —3x2 -3.yz + 5 en el punto M(l,2.-1) en, la
dirección que forma ángulos iguales con los ejes coordenados.
Desarrollo

1880
Se conoce que eos2a + eos2/? + eos2y = 1
V3
Pero como a = B= y => cosa = ± —
3
du du du 0 du 'i o o
— = — cosa 4-— eos B + — eos 7 = 2x eos a - 3z eos p - 3y eos a
ex dx dy dz
calculando en el punto M( 1,2,-1)
du 2>/3 W 3_6n/3 _ 5 V ^ _ 6 ^ _ V3 . du_= S
di ~ 3 3 3 _ 3 3 ~ 3 " di ~ 3
Hallar la derivada de la función u = xy + yz + xz en el punto M(2,l,3) en la
dirección que va desde el punto N(5,5,15)
Desarrollo
3 * 4 12Como eos a = — , eos B = — , eos / = —
13 13 13
du du du _
— - — cosa 4-— eos B + — eos/
<3/ ¿be dy dz
du
— = (j; + z) eos a 4-(x 4-z) eos/? + (>>+ x)cosy
calculando en el punto M(2,l,3) se tiene:
du 3 4 12 68 . * 6 8
= 13 + 13 1^ _ TT ' " « 1 3
1881 Hallar la derivada de la función u - n(ex +ey +ez) en el origen de
coordenadas, en la dirección que forma con los ejes de coordenadas x, y, z los
ángulos a, p y y, respectivamente.
1882
Desarrollo
du du du „ du
— = — c o sa + -—eos B h-----eos r
dx dx di di
ex ey ez
---------------eos a 4------------- — eos B h-----------------eos y
ex +ey +ez ex +ey +ez ex +ey +ez
calculando en el punto (0,0,0) se tiene:
du eos a eos 8 eos yeos a 4-eos 6 +eos y---= ------- + ----- £L_j------í_ = _------------ £1------- L.
di 3 3 3 3
El punto en que la derivada de una función, en cualquier dirección, es igual a
cero, se llama punto estacionario de esta función. Hallar los puntos
estacionarios de las siguientes funciones.
a) z = x2+ xy 4-y 2- 4x - 2y
Desarrollo
- = 2 x + y - 4 = 0 , ,
dx x = 2
, => ==> P(2,0)
^ . , + 2y - 2 = 0 b ’- 0
dy
b) z - x3+ >’3- 3xy
Desarrollo
f = ^ = 0 f|(0,0)
* = 3 , ’ - 3 , - 0 *
dy
c) u = 2y 2 + z2 - xy - y z + 2x

1883
Desarrollo
du
— = - y + 2 = 0
dx
cu
dy
- 4 y - z - x ~ 0 => p(7,2,l)
ou
— = 2x - y = 0
..dz
y2Demostrar que la derivada de la función z = -, tomada en cualquier punto de
la elipse 2x + j r = c~ a lo largo de la normal de la misma, es igual a cero.
Desarrollo
_ ? 2 2 dy 2x „
2x +y ~-c => = ------ = tgO
dx y
dy 2jc 1
mLt = — =
-
í= ¿g<9 => mi. = de donde = ---------~
dx y tgO
2x
2x
-, sen a
y¡4x2 + y 2 V4x2+>’2
dz dz dz
— = — eos a h---- serca
di dx dy
dz y ( ~x _) i 2> ( y _ )
se X2 ^4;x2 + y 2
1884
1885
1886
2^ 2 . ^ .= 0 , ^ = 0
Xj 4x2 + y 2 x-^4x2 + y2 j. ,,2 se
Hallar el grad(z) en el punto (2,1) si z = x3+ y 3 - 3xy
Desarrollo
dz dz
grad(z) = — i + — j , calculando se tiene:
dx dy
grac/(z) = (3x2- 3>’) i + (3j 2- 3x) j en (2,1 )
grad(z) = 9 i +(-3) j = 9 i - 3 j
Hallar el grad(z) en el punto (5,3) si z = yjx
Desarrollo
f/ x dz~t dz
grad(z) =— i +— J
dx dy
grad(z) = ——L = _ ì — j=Á==r j en (5,3)
2
5 3 _ > t
grad(z) = - i--~ j = -(5 i - 3 j )
4 4 4
Hallar el grad(u) en el punto (1,2,3), si u = xyz
Desarrollo
„ x du~! du ~t dw7
grad(u) =— i+ — j + — k
dx dy dz

1887
1888
grad(u) = yz i + xz j + xy k en (1,2,3)
—> —> —>
grad(u) = 6 i + 3 j + 2 k
Hallar la magnitud y la dirección del grad(u) en el punto (2,-2,1) si
2 2 2
u = x + j'’*”+ z
Desarrollo
,, , du~t du di/ 7
g/W (« )= — / H---- / + — A
ex dy ‘ cz
grad(u) =2x i + 2y / + 2z A en(2,-2,1)
----------------
gra¿/(?/) =4 i - 4 y+ 2 /<,sumagnitudes:]gra¿/(i/) ¡= v 16+ 16 + 4 = 6
ahora encontraremos los cosenos directores
4 Ñ 4 2
cos a = —, eos p = — , eos y = —
6 6 3
2 2 2
es decir:eos a = — ,eos /? = — ,eos y = —
3 3 3
y
Hallar el ángulo entre los gradientes de la función z = ln— en los puntos
x
y B(l,l).
2 4
Desarrollo
f/ 5z"? 3z "t 1 1 "t
grad(z) = — i + — 7 = ----z+ —7
dx qy x v
calculando en los puntos A y B se tiene:
1889
1890
grad(z) = - 2 1 + 4 7 , grad(z) = - z+ 7
(—2,4).(—1,1) 2 + 463
cosa =
V4 7 Í6.VT+T V2ÔV2 >/4Ô Vio
„ 3eos 6/ = - 7=
Vio
Hallar la magnitud de la elevación máxima de la superficie z = x2 + 4>’2 en el
punto (2,1,8).
Desarrollo
cz dz -+
grad(z) = — / + — / => grod(z) = 2x i + 8y 7 en (2,1,8)
dx dy ‘
grad(z) = 4 1+87
La magnitud de la elevación máxima es:
¿g# = l(— )2 + (- -)2 = VÍ6 + 64 = 8.944 es decir:
]¡ dx dy
0 = arctg (8.944) = 83°37’
Construir el campo vectorial del gradiente de las siguientes funciones,
a) z = x + y
Desarrollo
N dz~t dz“t
grad(z) = — i+— 7 = i + J
dx dy
Luego el campo vectorial es el vector normal a la superficie z = x + y

b) z = xy
Desarrollo
dz~t dz “T
grad(z) = — / + — y = >■/ +xy
<7JC
Luego el campo vectorial es una familia de vectores normales a la
superficie z = xy en el punto P(x,y).
c) Z - X + y
Desarrollo
—^ ^
grad(z) = 2x i + 2y j , luego el campo vectorial es una familia de
vectores normales a la superficie z = x2+ v1 en el punto P(x,y)
6.7. DERIVADAS Y DIFERENCIALES DE ORDENES
SUPERIORES.-
(7) DERIVADAS PARCIALES DE ORDENES SLPERIORES.-
Se llaman derivadas parciales de segundo orden de una función z = f(x,y)
a las derivadas parciales de sus derivadas parciales de primer orden.
Para designar las derivadas de segundo orden se emplean las siguientes
notaciones.
análogamente se determinan y se designan las derivadas parciales de
orden superior al segundo.
Si las derivadas parciales que hay que calcular son continuas, el resultado
de la derivación no depende del orden de dicha derivación.
(? ) DIFERENCIALES DE ORDENES SUPERIORES.-
Recibe el nombre de diferenciables de segundo orden de una función
z = f(x,y), la diferencial de la diferencial de primer orden de dicha
función:
d 2z = d(dz)
y en general ________ __
d n2 = d ( d ^ z )
Si z = f(x,y), donde x e y son variables independientes y la función f
tiene derivadas parciales continuas de segundo grado, la diferencial de
2do orden de la función z = f(x,y) se calcula por la fórmula:
d 2z =
d2z d2z
dx2 +2
dx dxdy
dxdy +
ó2z
áy
..(i)
En general, cuando existen las correspondientes derivadas se verifica la
fórmula simbólica
d nz ~ (dx— + d y ~ ) nz
dx dy
Que formalmente se desarrolla según la ley binomial.
Si z = f(x,y), donde los argumentos x e y son a su vez funciones de una o
varias variables independientes, tendremos:
d 2z =
52z
dx2
d2z d2z
dx2 + 2 dx dy + dy'
dxdy dy
dz 2 dz 2
•4——d x -)-----d y
dx dy
... (2)

Si x e y son variables independientes, ci2x = 0 , ¿
se hace equivalente a la fórmula (1)
o2 ^2 ^2 2 2,
10ftl Tí V1 d z o z o z . x y
1891 H allar—- , —— , — - , s i : z = c — +—
8x2 dxdy dy Va 2 b2
Desarrollo
I ?2 _____________
X V c r ~ 2 2
ôz cbx _ ô2z abcy2
CX a J h 2x2 + a 2v2 Sx2 2 2 2 2 |
V 7 (b2x 2 + a2y 2)2
dz bcx c 2z -abcxv
dx a ^ 72+a2y 2 ' dxdV /u2Ji , „2 ..2
3
( ¿ V + f lV ) 2
c/cv _ d2z abcxL
0y bJb2x2 + a 2y 2 & ^ + ^ 2)f
r r 1 1 ^ ?' Z ^ Z ^ 2 z * t / 2 x
1892 Hallar —T , ------, —r- si z = in(x + v)
dx2 dxdv 8y2
Desarrollo
2y —0 y la fórmula (2)
1893
1894
1895
1896
Hallar
d 2z
dxdy
si : = y[lxy
Desarrollo
■yf^xy +y =>
dz
yj2xy + y 2
d2z xy
dxdy _ 3
(2xy + y 2)2
M „ d 2z . , x + y .
Hallar —— si z = arctg{-----—)
dxdy 1—xy
Desarrollo
, x + y v
z = arctg(-~—- )
1- xy
1dz _
dx 1+ x2
= 0
a2z
dxdy
d2r
Hallar — , si r - yfx2 + j 2 + z2
dx
Desarrollo
r = -y/x2+ y 2 + z2 =>
dr
dx
i x 2 + y 2 + z 2
g2r (x2 + r + z 2) - x 2 r 2 - * 2
dx2 2 2 2 I
(x +_y + z^)2
dx2 r 3
Hallar todas las derivadas parciales de segundo orden de la función
u = xy + yz + zx

1897
1898
Desarrollo
du d2u d2u
— = v + z => ------= 1 => -------= 1
dx ' dxdy dxdz
du d 2ti _ d 1u d2u
— = x + z => — - = 0 => -------= 1 = > --------= 1
dy dy dydx dydz
du c2u _ d2u t d2u
— = v+ x => —- = 0 => ------= 1 = > -------
óz dz dzdx , dzdy
H allar—------, si u = x ypz
dxdydz
Desarrollo
u =xa vpzy => y v
dx
d2«
~- = a/3xa~ly^~lzr
dxdy
— = af3yxa~xy^~xzy~x
dxdydz
d*z ■H allar------—, si z = sen xy
dxdy
Desarrollo
cz
z = sen xy => — = vcosxj
dx
d“z
■eos A3; - xysewx>5
dxdy
1899
1900
d3z 2
dxdy
—= -xsen xy -xsen x - x y eos xy
0 2
= - 2x se/7jçy—x y eos xy
dxdy2
Hallar /" (0 ,0 ), /" (0 ,0 ), /¿ (0 ,0 ) si /(x,^y) = (l + x)wü + y)"
Desarrollo
/;( x ,j )= m (i+ x r -l( i- j) " => /^ ( x ,y ) = W( m -i)( i+ x r-2( i+ v r
f!y(x,y) = mn{ +x)m '(l + j)" 1 => f^,(0,0) = mn
f ' ( x , y ) = n(l + x)m(l + y r l => (x,v) = «(«-!)(!+ x)”(l + 2
/ " (0,0) = n (» -l)
_ d2z ó2z . /* _ J'
Demostrar q u e ------= -------, si z = aresen, 1
dxdy dydx
Desarrollo
cz y y
eos z — = ---- y—- y------ pero eos z = J —
dx 2x>Jx.^x-y V*

1901
dz y 1 y
dx 2xy fx -y jx-y cosz 2x x - y
d2z _ ______1_____
dxdy _ 3
4^fÿ(x-y)2
M y cz
senz = J 1—— cosz— = —
x' % 2lx^f.i-Jx -y
ÜZ
dy 2Vx^/x^ÿ cos y 'six-y
ô2z 1
dydx __
4J y ( x - y ) 2
comparando (1) y (2) se tiene:
ôl z
dxdy dydx
Demostrar que
ô2z d2z
dxdy dydx
Desarrollo
z = xy — = yxvA => - —X‘V1+•y.xy 1ln x
dx ' dxdy
z - x'v => — = X'Vlu x => —— = x} 1+ yx} 1ln j
dy dydx
(1 )
(2)
= X'V (l + jln x ) ... (1)
= x3’ 1(1+ y ln x) .. (2)
/ unciones de Varias Variables 83
1902
1903
comparando (1) y (2) se tiene:
d2z d2z
dxdy dydx
2 2
x —y
Demostrar que para la función f(x ,y ) = xy(—------) con al condición
x 4- y
complementaria de f(0,0) = 0, tenemos 0,0) = - 1, / ^ ( 0,0) = +l
Desarrollo
„ Si y<0 a
dx *->o x x->o x + y
d 2f ( 0 , y ) t ^ 8 2f(0 ,0 ) ,
dxdy dxdy
U) S i x í 0 , I¡ m , ,i m , x
dy .y—>o j;^->ox“+^y
a2/(x ,o ) _ 1 ^ e2/(o,o) _ 1
dydx dydx
TT „ d2z d2z d2z . 2 2
Hallar —- , ------, —- si z = f(u,v) donde u = x + y , v = xy
dx2dxdy dy
Desarrollo
___ _ X
U ______ y
dz dz di/ dz dv
dxdz/ dx dv dx

d2z d .dz du. d .dz dv.
T T -
dx dx ou dx dx ov dx
dz d du du d dz dz d dv, dv d ^dz^
du dx dx dx dx du dV dx dx dx dx dv
dz d2u ^ du d ^dzdz d2v dv d dz
du dx2 dx dx du dy dx2 dx dx dv
8 z öz
Sju 5v
dx^di? du^ du ^ dx dv ^du ^dx du2 dx dudv dx
(2)
d dz d dz du d dz dvd"z du d z dv
dx dvdu dv dx dv dv dxdudv dx dv2. dx
reemplazando (2), (3) en (1)
(3)
1904
—r =füu(«>v)-4*2+f t («>v)y2+4x>/v»(»>v)+2f l («>y)dx“ s/ m.. 1
T T = 4x2fuu(«.v)+y 2C (w, V) +4xv/^, («, v) +Ifl(u, v)
cx
En forma similar para el caso
cfz
a 2dy
d2z _ d2z /^wx2 ^2z ,dv 2 + 2 òu + d2ì^ ^ dz d2
dy2 du2 dy dv2 dy dvdu dy dy du dy2 dv dy
2 2
u = X' +y
v = xy
cw
dy
dv
d.y
= 2 j
d2w
d2v
dy2
— 0
È li
dy2
=^y2fuu(«.»')+x¿.C <«>v)+4x)f¿Uu>v)+2fù («.v)
2 ri!.
eri forma similar para el caso
dxdy
d2z
dxdv
- 4xyfuu («»v) + xyf£ (w, v) + 2(x2 + y 2)/„" («,v) + /„' (u, v)
d2u
Hallar —— si u = f(x,y,z) donde z = cp(x,y)
dx2
Desarrollo

1905
~ = f l (x,y,z) + ^ - .^ = f l (x, y, z) + <p'x(x, y)fl (x, y, z)
CJX dz ex
d2u - I I . du ô2u dz d du
— = f x x ( * . y >-z ) + T - ■ T T ' + T - 1( ^ 1( 7 ~ } )
dx Ôz dx dx dx dz
,//, . du d2z dz .d2u dz // .
= /" (*, y, z )+ — . - y + — ( - y . — + / „ (X,y, z))
dz dx dx dz dx
d2u n ,//, _^dz _ d2z i dz (d2u dz
dx' ~ f
// rii, xdz d u .ÔZ’2 du d z
./„(w )+2/„(w ) - +pr(-) +&'57
••• ^ ^ 2/"(.v, .', =KA(A, K (+ /i(i. v.=K^J(v, |.,r; + /¡ ( a-,.1.-)*<,
dx2
Hallar , si z = f(u,v) donde u = <p(x,y), v = v|/(x,y)
dx2 dxdy dy2
Desarrollo
dz _ dz du dz dv
dx du dx dv dx
d z _ d dz dudz dv _ d dz du d dz dv
dx2 dx du dx dv dx dx du dx dx dv dx
dz d du du d dz dz d dv dv d dz
du dx dx dx dx du dv dx dx dx dx dv
dz d2u du d dzdz d2v dv d dz
du dx2 dx dx dudv dx2 dx dx dv
(D
d dz d dz du d dz dv _ d2z du d2z dv
dx dudu du dx dv du dx du2 dx dudv dx
(2)
d /dz d dz dud dz dv _ d2z du d2z dv
dx dvdu dv dx dv dv dxdudv dx dv2 dx
(3)
reemplazando (2), (3) en (1)

1906
1907
en forma similar se obtiene:
d2z d2z du dii ^ d 2z du dv ^ dv d u ^ d 2z dv dv ^ d z d2u + dz_ d2v
dxdy du2 dx dy dv2 dx dy dx dy dv2 dx dy du dxdy dv dxdy
d2z _ d2z du 2 d2z dv 2 + 2 ^ z + +— È-L
dy2 du2 dy dv2 dy dudv dy dy du dy2 dv dy2
Demostrar que la función u = arctg{—) satisface a la ecuación de Laplace
d2u d2u
dx2 dy2
+ — 1 = o
Desarrollo
,y x du - y v d2u 2xy
u = arctg{—) => — = —-----2 T T = + 7 1 -----2T2
X dx X“ + y dx (x + y )
du _ x d2u _ - 2xy
dy x2 + y 2 dy2 (x2+ y2)2
d2u d2u 2xy 2xy _ ^ . d“u { d u
dxr + ^ ~ ( x 2 + y 2)2 (.V2 + V2)2 ~ " a*2 dy2 '
Demostrar que la función u = ln(—) donde r = sj(x~a)~ + [y —b)~ , satisface a
r
1 a2w d2u
la ecuación de Laplace — - H---- 7 = U
dx2 a /
Desarrollo
1908
dr _ , x - a _ x ~ a
r------ ...............- j l& 7 ( x - a ) 2 + ( ^ - é )2 '
: ( x ~ a) + (y -b ) =>
dr _ y - o _ y - b
dy V (*-«)2 + C v-6)2 r
du du dr _ x - a _ x - a
dx dr dx r r r2
du du dr 1^ y - b ^ _ y - b
dy dr dy r r r
d2u ( y - b ) 2 - ( x - a ) 2
dx2 [(x-a)2 +( y - b ) 2]2
g2a (>’-¿>)2 - ( x - a )2
dy2 ~ [(x-a)2 +( y - b ) 2}2
(1)
(2)
, . 8 2u 8 2u .
sumando (1) y (2) se tiene: —- + —- = 0
dx dy
Demostrar que la función u(x,t) = A sen (aÁ,t + cp) sen satisface a la
ecuación de las vibraciones de la ecuación - a2 ^
dt2 dx2
Desarrollo
u(x,t) = A sen (aXt + (p) sen Xx => — = AaÁ eos(aXt + ç)senÀx
dt
d2u 2 2
— - = -Aa À sen(aÀt + <p)senÀx
dt2
= AÀsen(aÀt + (p)cos Àx

ÍL?£ - - A À sen(aÀt + cp)sen/Ix
dx
^2 C U
a2— 7 - a2(-AA2sen(aÀt -f (p)senÀx) = -A a 2À"sen(aÀt + (p)senÀx =——
ax"
a2w _ 2 ô2u
dt2 ~ dx2
1909 Demostrar que ia función u(x,y,z,t) = -
(*-vñŸ+(.>;Óo)+( )*
4a2/
(2a4~ñt)'
( x0,^0,z0 son constantes) satisface a la ecuación de la conductividad calorífica
du,d2u d2u d^u
---= ¿T(----~+---- +----)
. dt dx dy dz~
Desarrollo
« ’ ■ (-V--.0Ÿ +(>’- v0)2+(z-r0)
du __ X—x0 — -— -
dx 2a2t(2 a [x tf
_(x~xn)2+{y~ypy+('z-zo)~,
d = e 4V r ~ (x -x 0)2 1
dx2 ( l a j ñ t f ' 4a2t2 l a 2t
{x - x 0Ÿ + ( .v - .v ’o )2 H zrzp y
a2« = e ((>’-.v0)2 ___ L_)
dy2 ~ (2aJntŸ 4a2t2 la 2t
(X-X0Ÿ + ( y - y 0Ÿ + ( z - z 0)2
c2u _ e________4a3f ' ,(z -z 0)2 ___ 1_
dz2 ~ (2aJâtŸ 4a2t2 2a2/
1910
(a -—x 0 ) 2 + ( > ’- ^ 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2
d2u d?u e_ ^ (x-x,)2+ (>->-0)2+ (z -z 0)2 3
^ o ’ 9 I .^ V
dx2 dy2 dz2 (2aV^t)3 4a2/2 2a2í
( x - A q ) 2+ ( v - > ’()) 2 + ( z - Z 0 ) 2
2, ^ tfu d2u^_e 4fl3' /x -^ ,)2+ (y -70)2+(z-z0)2 3^
f lV V y (W ^ )3 4í22/
( x - x 0)2f(>;->>0)2- f( z -z ())2
<3w= <[________^ _______ (x -x 0)2+(>>-Vo)2 +(z-Zo)2 3
dt (2ayfñt)3 412 21
, . Sw 2,d 2u d2u 82u
comparando (1) y (2) se tiene:— = a (—- + — 7 h------------ 7)
dt dx dy dz
Demostrar que la función u = cp(x - at) + |/ (x + at), donde cp y f son unas
funciones cualquiera, diferenciables dos veces, satisface a la ecuación de las
vibraciones de la cuerda = a2
dt2 ox2
Desarrollo
3u
u = (p(x - at) + |/(x + at) => — = -acp1(x - at) + ay/1(x + at)
dt
- a2cp“(x - at) + a2y/h(x + at)
d r
d2
= a2((p!‘(x -a t) + y/ (x + at)) ... (1)
d t2
u = <p(x - at) + |/(x + at) => - = <px- at) + y 1(x + at)
dx

ô2u ;¡ h /
— j —(p (x - a t) +i(7 (x +at)
ôx
2 Ô~U 2 ,/!, x ¡I/ w
a — r = a (<p ( x - at) + y/ (x + at))
ôx
o u iS w
ahora comparamos (1) y (2) se tiene: ——=
ô tz
1911 Demostrar que la función z = x(p(—) + y/(—) satisface a
x x
ô 2z ô
Ôxz
+2xy— — +y
0¿2
ôxôy ôy
= 0
Desarrollo
X X OX X X X x *
ôx2 x'- X X2 X X3 X x3 .r x4 x
dx x 3 x x x x4 .v
2 d2z y 2 // y ■2j> . , j / //.y.
cbr
& (Z ) - > y (Z )_ 4 / ( Z ,
C7X X X X X A
dxdy X X X X x“ x x A X A
(2)
la ecuación
(1)
1912
2xv-
ôxôy X X X X X X
(2)
z = x<p(-) + y /(-) =>
x x oy x x x x
oy" x x x x*
r ^ = ¿ / (z )+ 4 ^ (z )
dy x x x x
(3)
Ö Z" ô z G Z
sumando (1) + (2)+ (3) se tiene: x2—- + 2xy — —+ v 2
dxz ôxôy ôy
Demostrar que la función u = (p(xy) + sjxÿy/(—) satisface a la ecuación
? Ô2U 2 d2U
x — ~ y T T
ex” qy
Desarrollo
Sea w = xy, v = — ; u - <p(w) + Vw ^(v)
x
ü
Se ha deducido que:
ô2u ô2u ôw 2 o2u ôv 2 ~ d2u ôv ôw ôu d 2w du ô2v
ôx ÔW Ôx Ôv Ôx ÔWÔV ÔX ÔX ÔW ÔX2 Ôv Ôx2

w = xy
v = Z
cw
ex
dv
Idx2
-=y
dx~
B^v = 2y
óx2 x3
Óll
w= ^(w) + V w ^(v) => — = cp¡(w) -I------==y/(v)
CW 2yjw
d2u
(p/f(w)------ jy/[y)
4 H’2
1/ = <p(w) + ^ y / ( v )
cu r /, X d2u y/ (v)
--- - ]wii/ (v) , ------ = ----7=-
dv dvdw 2vw
av2
■yfwi//11(v)
—y = (</(w)-----v)) +
ax
^Y y/(v)) + ^lw'y///(v) + 2^ -|= ^ (-Jy ) +0 + —"'J~ü'V/ (v)
4w2
l y f w JC" A"
H, X >’T
^ V (w)---^(v) + ^ ........y/ (v) - A- V” +
dx¿ " ' ' - Y V A4 Vvvx2
4w2
(v) 2y-Jwy/ (v)
*2^ = * W ( H')-
ax"
*V ) > W ' ( y) ^ (v) t 2yy[wy/ (y)
3
4w2
Vw
(1 )
82u d2u dw 2 a2z/ /^vx2 + 2 av aw ^ du d~w cu c v
dy2 dw2 'ay + av2 3y avaw 5y a>> aw ay2 3v ay2
1913
w = xy
OH’
= X
dy
av _ i
a^ x
a2>
P
a2v
ay2
= 0
= 0
a U _ 2 d U1 Ô2U^ 21//1(v)
dy2dw2 x2 dv2 l4 w
2 d u 2 d2u
X — z y — 7
dx *"2
(2)
áyÁ
2y 2y/ (v) ¡ 2Jmyy/ (v) 2y 2y/’(y) 2wyy/ (v)
J w X >/h> J w x
2y y/ (v) + 2y y/v) = Q
[w [w
2 a 2U 2 d2U
¡V
=o
Demostrar que la función z = f(x + (p(y)) satisface a la ecuación
az a2z _ dz a 2z
ax a*ay a>* ax2
Desarrollo
z = f(u) donde u = x + cp(y)
Z -------► U
dz __ az du _ dz _ /
dx du dx du
X
y
a^z a az a az a« „,
~ ^ = — (— ) = — (— )— = f (u).<p (y)
cxcy cy cu cu cu cy

dx dxdy__________________
(1)
dz dz du i /
— = — ■— = / (u).ç (y)
dy du oy
dz
dx dx2 ÖX dw
du dx __________________
(2)
dz d~z cz d z
comparando (1) y (2) se tiene: — = T '7 7
ox dxdy oy dx
v . dr u ( x , y ) .
1914 Hallar U = u(x,y) si ------——= 0
dxdy
Desarrollo
d - = 0 integrando con respecto a y
dxdy
— — = /Yx) integrando con respecto a x
dxdy
u(x,y) = F(x) + G(y)
1915 Determinar a la ecuación u = u(x,y) que satisface a la ecuación — - 0
Desarrollo
- 0 , integrando respecto a x
dx2
1916
1917
ou
- (p(y), integrando respecto a x
dx
u = x cp(y) + y(y) u(x,y) = x cp(y) + v|/(y)
Hallar d zz , si z = exy
Desarrollo
_ , dz dz
Como dz = — dx-Y— dy , entonces se tiene:
dx dy
z = É?' =>
dz
dx
dz
■= ye-
reemplazando
dz - ye™dx + xe^dy = e^ (ydx + xdy) => dz = exy(ydx + xdy)
d2z
d 2z = ^ d 2x + 2j-^-dxdy + ^ - d ¿y
dx- dxdy dy
dz „
— .= ye
dx
dz
dy
■= xe
d2z
dx2 ~ y e
~ = x2exy
dy2
d2i
reemplazando
dxdy
= e^ + xÿe**
d 2z = y 2eX}d 2x + 2(xyexy + exy)dxdy + x2exyd 2y
d 2z = exy[y2d 2x + 2(xy +1)dx dy + xzd zy] = exy[(y dx + x dy)z +2dx dy].2^2,
Hallar d u si u = xyz
Desarrollo

du _ ^ d2u _ ^ d2u _ ^
dz ' oz2 ’ dxdy
d 2u = O4-O+ O4-2(xdy dz 4-y dx dz + zdxdy)
d 2u = 2(x dy dz 4-y dx dz 4-z dx dy)
1918 Hallar d 2z , si z = (p(t) donde t = x2 + y 2
Desarrollo
2 d 2Z _ 2 ~ d 2Z . . d 2Z , o
<r/“z = —-¿/x 4-2------dxdy + —x-rfy"
dx“ dxdy ' dy
& dz di / /
— = — •— = P (02x =i2x^9 (O
dx d¿ dx
d2-
—^ = 2q>!(t) 4-2x#>'/(¿).2x = 4x2<p"(t) 4-2<py(¿)
dx2
dz dz dt /, x _ /, ,
— = — = ^7 (0 -2j = 2 y#? (O
d>’ ct dy
p2
—- = 2<p‘(t) + 2y<p!!(t).2y = 4y2<pu(t) + 2<p‘(/)
dy^
1919
d2z ó ,dz, ô
= — (-1) = — (2x' (t)(xdx 4- y dy)2 4- 2(p (t)(dx2 4- dy2)
Hallar dz y d 2z si z = u , donde u = —, v = xy
Desarrollo
dz , dz , dz dz du dz dv v_i 1 Vl
dz = — dx 4-— dy , donde — = — .— 4-— .— = vu—+ u ln u.y
dx dy * dx du dx dv dx y
= xv(—)M 1- + ln(-).v = y i - r (1+ ln—) = y(~ F (ne +n~)
dx y y y y y y y y
* = >(í r i n í£
dx y y
dz dz du dz dv v_t . x . v
— = — .— 4-— .— —vu (-—) 4-u lnz/.x
dy du dy dv dy y
= x y ( - r ~ - 4 ) + ( - r in(-).x
^ = x(-)^(ln(— )) => dz = y £ r n { ^ ) d x + { x £ y . n^ ) ) d y
dy y ye y y y ye
dz = ( - r v[vln— ¿r + xln(— ).dy]
y ' y ye

1920
1921
En forma similar para:
d 2z = ( - ) " [>>2ln2(— ) +-]dx2 + 2[ln —+ xy ln(— ).n(— )]dxdy
y y x y y ye
+(x2 n2( - ) - - ) d y 2
y v
Hallar d 2z , si z = f(u,v), donde u = ax, v = by
Desarrollo
3z dz /
dz — dx + — dy = afu(u,v)dx + bfv (u>v)dy
dx ^ dy
d 2z - a2f im(w,v)dx~ + 2a¡rfllv(u,’)dx dy + b2 (u:v)dy2
Hallar d lz si z = f(u,v) donde u = , v = y¿A
Desarrollo
7 ~ a2Z, 0¿Z ;2
ax“ + 2 ------dxdy + ——dy
dxdy L. ¿y“
Ólt 2 C^2Z(3k.2,|_7 £_ 4 ^ ^ ^ 4^v
cbc2 ou2 dx dv1 dx dudv dx dx Su éx2 :dv'dy2 1
—y = e2yC {u,v)+ y 2e2xf w («, v) + 2¿(h ,'* )> e V ,+ («, >0(0) + /! («, v)(0)
dx
,7 ô2z
c/^z = T T ‘
ex
^7
CTZ
- É l
á 7 dit2
^ 4 = - e 2 -1’/ ; ; ! ( m . v ) + > 2 ¿ 2 f («, v) + 2ye*ervf£(u, v)
dx2
1922
7-7 = xL(¡Lyfuu(«, v) + 2yexeyf;l («, v) + e¿x (u, v) + xey (u, v) + 0
~ T = xle2yfm (».y) + 2yexeyfuv(«• >')+ ^V v, («>v) + xe:’f ’(u,v)
dy
d2z d ,dz
= — (4 ) = f fu (w>v) + -V<-21 (h, v) + exf ‘(iM,v) +
dxdy qy ex
+ e jr+v (1 + xy)f¡v(u,v) + ví'2'./;,. (m, v)
= ^ fu (M>v) + xe2yf l («> v)+ ^ (».v) +<?X+‘0 + * v )/« v ("■'’)+j e 2jr/ ^ (w, V)
dxdy
d 2z = [e2yf¿'u(u,v) + y 2e2xf t (u, v) + 2yexeyf ”v(w, v)]dx2 +
+ W fu (“>v)+xe2yf ^ (u, v)+exf (u, v)+ ( 1+xy)/^ («,v)+je 2x/^ («,v)]drrfy
(. ,
+[-*2e2'v/«« (m, v) + 2yexeyf ‘uv(u, v) + e2v/w (w.v) + xeyf (u, v)]dy2
Hallar d^z si z = exeos jy
Desarrollo
d~z = (dx— + dy— Ÿ z , desarrollando
dx " dy
,3 a3Z 3 a3Z j 2 i d*1 j j 2 j 3
d z - —- dx + 3—-— dx ¿/y+ 3 ------ dx dy -¡---- - ¿/ir
ax3 dx dy ' dxdy2 ' a>-3

1923
1924
d 3z = exeos y dx3- 3exsen y dx^dy - 3exeos y dx dy + exeos y dy'
d3z = ex(eos y dx3- 3sen y dx1dy - 3eos y dx dy2 + eos y dy3)
Hallar la diferencial de 3er orden de la función z = x eos y + y sen x
Desarrollo
j2 d 2Z , 2 , 3 2Z , . d 2 z , 2
d z - — -dx + 2 ------- dxdy + — r-dy
dx‘ ê:ro>’ ' óv
c*z
z = x eos y + y sen x => — = eos y + yeos x
dx
d2z
— - = - ysenx
dx2
a2z
dxdy
= COS X - SÉ72 y
dz
— = sen x - x sen y
dy
c~z
—- = -xcos y
dy2
d 2z = -ysenxdx2 + 2(cos x --sen y)dx dy - x eos y dy
Hallardf( 1,2)y d 2f ( 1 , 2 ) si: f ( x , y ) = x 2 + x y + y 2 - 4 n x - 0 n y
Desarrollo--------------
m , 2)j i m dx + d^ d y
dx dy
df(x,y) ~ 4 df(, 2)
-= 2x + y — => = 2 + 2 - 4 = 0
dx dx
V Í M l = x + 2 y J l =, £ í U ) =1 + 4 -1 5 = 5 -5 = »
dy y dy 2
dz = df( 1,2) = 0 dx + 0 dy = 0 df( 1,2) = 0
d>f i l 2 ) = ^ d x 2 + 2 C- J ^ d x d y + ^ m d y 2
dx dxdy dy
df(x,y) 4
..— = 2x + y — =>
dx x
f f l M ) = , + 2, - i »
0 ' y
s f ( ^ y) = 2+±
dx¿
o2f(x,y)
dxdy
a2/(.v,,y) ,, ío
- 2 2
a 2/ ( 1.2)
dx2
g2/ ( l , 2)
axa>’
g2/ ( U ) 9
ay2 2
= 6
= 1
d 2/(l, 2) = 6c/x2 + Idxdy + 4.5c //
1925 Hallar d 2f (0,0,0), si /(x,j?,z) = x2+ 2 / + 3z2 - 2xy + 4xz + 2yz
Desarrollo
d 2f(x, y, z) = ( d x ~ + dy-ï- + d z ~ ) 2f
ex dy dz
j2 r/ v s2f J 2 d2f , 2 a2/ ^, a2/ , , ó2/ j j a2/d /(x, y,z) = ——dfr +— -¿/y +—^-¿/z~+2(----- dxdy+------dxdz+——
dx2 dv2 dz2 dxdy dxdz dydzcv
dydz)

ÔX
8f(x, y,z)
ày ■
df(x, y,z)
= 2x - 2y + 4z
= 4 y - 2jc+ 2z
= 6z + 4jc+ 2^’
d2f(x,y,z)
ox
ô f(x, y, z)
dv2
= 2
= 4 =>
d*f(x,y,z)
dz1
= 6
à~f{x, y, z)
dxôy
d2f(x,y,z)
= 0
dxdz
ô2f(x,y,z)
= 4
dydz
d 2f (0,0,0) = 2dx2 +4 dy2 +6dz2 + 2(0 + 4dxdz + 2dy dz)
d 2f ( 0 ,0,0) = 2dx2+ 4dy2 + 6Jz2 + 8dx dz + 4dy dz
6.8. INTEGRACIÓN DE DIFERENCIALES EXACTAS.-
Ira. CONDICIÓN DE DIFERNCIAL EXACTA.-
Para que la expresión P(x,y)dx + Q(x,y)dy, en que las funciones P(x,y) y
Q(x,y) son continuas conjuntamente con sus derivadas parciales de primer
orden en un recinto simplemente con D, represente de por si, en el recinto D, la
diferencial exacta de una función determinada u(x,y), es necesario y suficiente
que se cumpla la condición.
d Q _ d P
dx dy
2da. CASO: DE TRES VARIABLES.-
La expresión P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz, en que P(x,y,z), Q(x,y,z) y
R(x,y,z) junto con sus derivadas parciales de 1er orden, son funciones
continuas de las variables x, y, z representa la diferencial exacta de una función
determinada u(x,y,z), en un recinto simplemente conexo D del espacio, y solo
cuando en D se cumpla la condición:
1926
1927
iOj
1^0
i
dP dR _dQ dP _ dR
dx dy ’ ¥ dz dz ~ dx
Después de comprobar que las expresiones que se dan más abajo son
diferenciales exactas de ciertas funciones, hallar estas funciones.
y dx + x dy
P(x,y) = y
Q(x,y) = x
Desarrollo
^ = i
dy
^ = 1
dx
8Q 8P ' ,
como -— = — es exacta entonces 3 u(x,y) tal que:
dx dy
du(x9y)
dx
-y , integrando respecto a x
u(x,y) = xy + g(y), derivando respecto a y
du(x,y)
Sy
-—x + g (y) = Q = x
g O ) = 0 => g(y) = c
(eos x + 3x2y)dx + (x3- y 3)dy
u(x,y) = xy + c
IP(x,y) = eos x + 3x2y
1Q(x,y) = xi - y 2
Desarrollo
8P
8y
ÔQ
-= lx 2
[dy
= 3x2

1928
cP dQ _ . -
como — = es exacta => 3 u(x,y) tal que:
dy dx
du(x,y)
dx
= cos X+ 3x2y , integrando u(x,y) = sen x + x3v + g ( y ) , derivando
du(x',y) i !î re 3 2
— -------= X + g (y) = Q(x,y) = x - y
dy
g (y) =- y 3 => g(j;)=-^r
(x + 2>>)¿/x+ >>£/y
(*+>o2
Desarrollo
P(x,y) =
Q(x,y) =
x + 2>>
(x + y)2
■V
(x + y)2
ôP(x,y) _ 2y
dy
ôQ(x,y)
(x+y)
2y
dx (x + y)
dP ÔQ - t v ,
como — = —~ es exacta ==> 3 u(x,y) tal que:
dy dx
du(x,y) _ p _ * + ^-L. 5 integrando respecto a x
dx (x + yY
u(x,y) = -
J i
A+ ■■+ gOO = ln(x +y ) ----- — + g(y)
(x + y) dx x + y
1929
u(x, y) = ln(x + y )---- — + g(y)
x + y
du(x,y) 1
ôy x + y (x + y)
X + g y ) = Q(x,y) = - y
(x + y)
x + y x / y
— :L- t + s y ) = — -
( x + y ) 2 (x + y) (* + y) (x + y)-
g (y) = 0 => g(y) = c u(x,y) = ln(x+ >>)--
x + y
x + 2v . 2x - v .
• dx-----— dy
x2 + y 2 “ x2 + y 2
p x + 2y
x 2 + y 2
x + y
Desarrollo
cP _ 2x2 - 2xy - 2y 2
(x2+y2)2 "
dQ _ 2x2 - 2xy - 2y 2
dx (x2 4-y 2)2
dP dQ _ , v, ,
como — = — es exacta => 3 u(x,y) tal que
dy dx
du(x,y)
dx
= P =
x + 2y
x2 + y 2
, integrando respecto a x
w(x, 7) = f * + 2yi dx + g(y ) = ^ ln(x2 + y 2) + 2arctg(-) + g(y)
J x~ + y 2 y
X
u(x,y) = —ln(x2 + y 2) + 2arctg —+ g(y), derivando
2 y i
+ c

du{x,y) y
dy X2 +y 2 X2+ y 2
2x / 2x - y
------ + g (y) = Q(x,y) = — 5------?
x + y
2x - y ,¡ 2 x - y
' + S (v) = — - g (y) = 0 => g(y) = c
1930
1 7 ? X
z/(x, y) = —ln(x~ + y ) + 2arctg(-) + c
2 " .V
—dx—^-dy
y r
Desarrollo
e ~ 7
dP _ 1
dy ~ ' 7
dQ _ i
dx V
dP dQ _ , .
como — = —=• es exacta => 3 u(x,y) tal que:
c¡y dx
= - i. integrando se tiene: w(x, y) = —+ g(.y), derivando
dx y y
du(x,y) X /. x x X
..-V— =—T+g (y) =Q(x,y) =— j
dy y ¿ y
g 00 = 0 => g(y) = c u(x,y) = —+c
y
1932
P =
Q =
■ Í? W
V ? + 7
dP
dy
Desarrollo
-xy
3
(x2 + y 2)2
dQ _ -xy
dx -
(X-+ y 2)2
dP dQ t t ,
como — = -=■ es exacta => 3 u(x,y) tal que
dy dx
= P =
du(x,y)
dx
du(x,y) _ y
, integrando u(x,y) = ,Jx2 + y 2 +g(y), derivando
dy Jx2 + y 2
+gl(y) =Q(x,y) =
K + y 2
g'(y) = 0 => g(y)= c u(x,y) = yjx2 + y 2 +<
Determinar las constantes a y b de tal forma, que la expresión
(ax +2xy + y )dx—(x 4-^xy + by_)dy^ sea ja diferencial exacta de una
(x2+ / ) 2
función z, y hallar esta ultima.
Desarrollo
P =
ax2 + 2x>>+ y 2
(x2 + y 2)2
x2 +2xy + by2
e = _
dP 2x3- 6xy2+ (2 - 4a)x2y - 2y3
ÖV (*2 + / ) 3
dQ _ 2jc3+ (4¿>- 2)xy2+ 6jr2>>- 2y3
dx (x2+y2Ÿ
para que sea exacta debe cumplirse que:

1933
Ô P Ô Q 2jc3 - 6xy2 + ( 2 - 4à)x2y - 2 y 3 2 x 3 + (4b - 2 )jry 2 + 6jc2 j - 2 y 3
âr (x2 + y 2)3 (x2 +.v2)3
J4¿>—2 = —6 ía = - l
de donde < => <
{2-4 a = 6 b = - 1
ahora calculamos la función z = u(x,y) de acuerdo a los criterios establecidos
*~yse tiene: z = u(x,y) = 2 2
x + y
Después de comprobar que las expresiones que se dan más abajo son las
diferenciales exactas de ciertas funciones, hallar estas funciones.
(2x + y + z)dx + (x + 2y + z)dy + (x + y + 2z)dz
Desarrollo
P = 2x + y + z , Q = x + 2y + z , R = x + y + 2z
, ^ = ^ = 1 , — = — = 2 es exacta entonces B u(x,y,z)
dx dy dy cz 8x 8z
tal que: ( = P(x,y,z) = 2x + y + z integrando
dx
u(x, y,z)= J( 2x + y + z)dx + g(y, z)
u(x, y,z) = x2 +xy + xz + g(y, z ) , derivando se tiene:
<ll{X- - - —= x + g[ (y,z) = Q = x + 2y + z => g' (y,z) = 2y + z
8y
y.iú . = x + gí(y,z) = R = x + y + 2z => g /.(y,z) = y + 2z
CZ
gy(y,z) = 2y +z => g(y, z) = y 2 + yz + <p(z)
gUy,z) = y + (p'(z)
y + <p' (z) = y + 2z => <p(z) = 2z => (p{z) = z 2 +c
g(y,z) = y 2 +yz + z2 +c
u(x, y, z) = x + xy + xz + y~ + yz + z~ + c
1934 (3x2 + 2y 2 + 3z)dx + (4xy + 2y - z)dy + (3x - y - 2)dz
Desarrollo
P = 3x2 + 2y 2 + 3z , Q = 4xy+ 2y - z , R = 3x - y - 2
d P _ d Q _ 4 . dP_ _ dR_ _ ^
dy dx ^ ’ dz dy ’ dz dx
✓ x i du(x,y,z)
es exacta => 3 u(x,y,z) tal que -------1-----= P
dx
cu~X- —-~~ - 3x2 + 2y 2 + 3z , integrando respecto a x
dx
u(x9y ,z) = x3+ 2xy2 + 3xz + g( v, z ), derivando
— = 4xy + g' (y ,z) = Q = 4xy + 2y - z => g'y(y,z) = 2 y - z
dy
dz
g' (y^z) = - y - 2 => g(y,z) = -yz - 2z + cp(y), derivando respecto a y

1935
g (y,z) = - z + (y) = 2y - z - gy(y, z)
y ^ 2
(p (-y) = 2y => <p(y) = + c de donde g( v, z) = - vz - 2z 4- v" + c
*/(x, >>,z) = xJ + 2xy2 4-3xz - yz - 2z 4-y 2 4-c
(2xyz - 3 y 2z 4-8x>?24-2)dx 4-(x2z - 6xvz + 8x2v +1)dy 4-(x2y - 3xy2 4-3)dz
Desarrollo
p - 2xyz - 3y2z 4-8xy2+ 2
Q = x~z -- 6xyz 4- 8 A'“y 4-1
=> <!
(P = 2xyz - 3v2z 4-8*y2,+ 2
IÖ = a2v- 3xy2 4-3
ÔP
— = 2xz - 6yz 4-1ôxy
ôy ' _ cP cQ
Co qy dx
— ■~ 2xz~ 6vz 4-16xy
ex
dP 2
S i - v v ^ 2 . «
£ ? = 2 „ - 3 v ! ' * >
dx
Luego es exacta => 3 u(x,y,z) tal que:
=',^p = 2xyzt~ 3j 2z 4-8xy2 4 2 , integrando
dx
m(x, y, z) =. X2>’Z- 3xy2z + 4x2v2 4-2x + g(> z ), derivando
Ôu(x,)^z) =X2Z_ 6xy: + Sx2y + g : (>%z) = o = x2z - bxyz + 8x2y +1
ôy
g' (y, z) = 1 => g(y,z) = y + <p(z) de donde gi {y, z) = (z)
dz
x2y - 3xy2 + g, (> z) = Ä = - 3xv" + 3
1936
g'.(y,z) = 3 de donde g f.(y,z) = ç'(z) = 3 => <p(z) = 3z + c
g(y,z) = y + 3z + c
u(x, y, z) = x2yz - 3xy2z + 4x2y 2+ 2x + y + 3z + c
.1 z .1 x A y
(-------j)dx + (-------j)dy + (------—)dz
y x z y X Z
Desarrollo
p = - ~ 4
y x2
S - - - 4
« . i - i
X Z
c - i - 4
x Z1
p = - ~ 4
^ JC
ÔP _ 1
Ôy~ V
ÔQ = i
ôx “ y2
ÔR _ i
. Ôy z2
' ÔQ = 1
kdz z2
dR _ 1
dx X2
ÔP _ 1
. dz x2
ÔP ÔQ
ôy ôx
ÔR ÔQ
ôy dz
ÔR ÔP
Ôx ôz
es exacta => 3 u(x,y,z) tal que - - --- - - - - = />= - ---- --, integrando
ôx y x
x z
ii(x,y,z) = —+ —+ g(y,z), derivando
y x
ôu(x,y,z) x / . 1 x
— H r L-L= — r+ g ;(> ’.z ) = ô = — 2
Ôy y z y

1937
g 'v iy ,* )-- => g(y,z) = —+<p(z)
Z Z
gí(y,z) = -^-+<pf(z)
du(x,y,z) 1 , . _ 1 y /, y
a " = - + 8 z ( y > * ) = R = — 2 = > 8 z ( y ^ ) = — Y
C Z X x Z z
Luego - - ^r + (p‘(z) = —Y => (p(z) = c g(y,z) = —+c
Z~ Z Z
xdx + y dy + zdz
J 7 7 /7 7 2
Desarroiio
Pz=
Q =
V 7 7 /7 7
sjx2 + y 2 + z2
dP
dy
-xy
(x~ + y + z~)2 dP _ dQ
dQ _ -xy dy dx
ex
(x2 + y 2 + z 2)2
dR -yz
Funciones de Varias ariables 115
1938
R =
P =
4-
2 "> 2
x + y ' + z
J J 7 7 -
3
dR
dx
(x~+ >’“ +Z~)2
dP _ -xz
dz
cR dP
ex dz
(x2 + y 2 + z 2)2
entonces es exacta => 3 u(x,y,z) tal que
du(x,y,z) = dyjx2 + y 2 + z2 , integrando u(x,.y,z) = y[x2+ y 2 + z 2 + c
Se dan las proyecciones de una fuerza sobre los ejes de coordenadas
y
X = -1— —, Y =
-
1—- , donde X es una magnitud constante ¿Cuál debe
(x + y)2 (x + y)2
ser el coeficiente X; para que la fuerza tenga potencial?
Desarrollo
Consideremos dF(x,y) -
v , %x ,dx h----------- dy
Donde
(x + yT
Q = -
Ax
(x + y r
(x+y)2 (A+v)2
dP _ x - y
dy (x + y)3
dQ.,_ —A.(x- y)
dx (x + y )3
dP dQ , .
Para que sea exacta debe cumplirse que — =*---- es decir:
dy dx
-> i(x -y )_ x - y
(x + y )3 (x + y )3
=> X =4-l X= ~l
1939 ¿A qué condición debe satisface la función f(x,y), para que la expresión f(x,y)
(dx + dy) sea una diferencial exacta?

1940
Desarrollo
f(x,y) (dx + dy) = f(x,y)dx + f(x,y)dy, donde
dP
P(x,y) = f(x,y)
Q(x,y) = f(x,y)
dy
= fv(x,y)
y - = fUx,y)
dx
dP dQ
para que sea exacta debe cumplirse que: — = —-
dy dx
Luego la condición que debe cumplirse es f x(x,y) = f ([x, y)
Hallar la función u, si du = f(xy) (y dx + x dy)
Desarrollo
du = y f(xy) dx + x f(xy) dy, de donde
P = yf(x,y)
Q = xf(x,y)
~~ - f(xy) + xyf'x(xy)
dy
4^ = f(xy) + xyf{ (xy)
dx
Luego — = es exacta entonces como du = f(xy)(ydx +xdy) - f(x,y)d(xy)
dy dx
Integrando el 1er miembro con respecto a y, y el segundo miembro con
respecto a xy.
f(xy)d(xy) + cJ’du = j*/(x)
- rya
f (t)dt + c , donde t = xy, a constante
6.9. DERIVACIONES DE FUNCIONES IMPLÍCITAS.-
ler. CASO DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE.-
Sea f(x,y) = 0 una función diferenciable de las variables x e y, la derivada de
esta función f!,{x,y) * 0 , se puede hallar por la fórmula — = - • ]as
dx fy(x,y)
derivadas de orden superior se hallar por derivación sucesiva de la fórmula
dada.
2do. CASO DE VARIAS VARIABLES INDEPENDIENTES.-
En formasimilar si la ecuación F(x,y,z) = 0 donde F(x,y,z) es unafunción
diferenciable de lasvariables x, y, z, determina a z como función de las
variables independientes x, y, y: Fz(x,y,z) * 0; las derivadas parciales de esta
función dada de forma implícita puede hallarse por la fórmula:
dz _ Fx(x,yyz) dz _ Fy(x,y>z)
dx F¿(x,y,z)’ dy F^(x,y,z)
otro procedimiento para hallar las derivadas de la función Z es el siguiente:
diferenciando la ecuación F(x,y,z) = 0, obtenemos
ÔFdF , dF
dx H-------------------- dy H---------- dz = 0
dX dY dZ
de donde puede determinarse dz, y por consiguiente:

3er. SISTEMA DE FUNCIONES IMPLÍCITAS.-
F(x,y,u,v) = 0
Si el sistema de dos ecuaciones determinar y y v funciones
[G(x, y,u,v) = 0
diferenciables de las variables e y y el jacobiano.
D(F,G)
D(u,v)
ÓF_ cF_
du dv
cG_ dF_
du du
las diferenciales de estas funciones se pueden hallar de las siguientes
ecuaciones:
dF ^ dF J dF dF dF J n
----dx H------dy H-------1-----du H------dv = 0
dx dy " dz du dv
dG _ ÔG _ dG J dG , dG __
----dx -------dy H------dz h------du + ---- dv = 0
dxdy dz dw dv
4to. FUNCIONES DADAS EN FORMA PARAMETRICA.-
Si la función diferenciable Z de las variables x e y se da en ecuaciones
paramétricas X = x(u,v), Y = y(u,v), Z = z(u,v) y
diferencial se puede hallar el sistema de ecuaciones:
dx dx
D{x,y) du dv
D(u,v) dy_ dy
du dv
^ 0 la
conociendo la diferencial dz = p dx + q dy hallamos las derivadas parciales
dx dy
194! Sea Y una función de X, determinada por la ecuación + ^~ = 1. Hallar — ,
a b~ dx
d 2y d 3y
dx2 ^ dx3
Desarrollo
x2 v2
Sea / (x, 1
a b
f.Ux,y) = ~ , f'(x,y) = -j-
a~ o
2x
dy f'(x,y) b
dx f'{x,y) 2y a2y
b1
_ dv
d 2y = j L (4y) = í ( b2jc) = / ~ d x
dx2 dx dx dx a2y a2 y 2
b2x
d 2y b2 / + m , b2 ,a2y 2 + b2x< d 2y b2 ta2b2; b4
-TT = - — (----- r 2 -) = - — ( - ^ - 1 ------) => ~¡2 = 7^ ~ ^ = 2~J
dx a" y a y dx a y a y
d3y d ¿ y d ¿4 3¿4 dy d^y 3¿4 ¿>2x 3¿>6x
¿/x3 dx í/x2 dx a2y 3* a2y 4 dx dx3 a2/ 4a2/ a4j
1942 Sea Y una función determinada por la ecuación x2 + y 2+2axy = 0 (a > 1).
d 2
Demostrar, que —y = 0 y explicar el resultado obtenido.
dx

1943
Desarrollo
Sea / (x, y) = x2 4- y2.+2axy
f'x(x,y) = 2x + 2ay , f v(x.v) = 2 j 4- 2ax
dy _ 2x + 2ay _ x + ay dy x + ay
dx 2y + 2ax y 4- ax dx y 4~ax
j > j (y +ax)( l + a — ) ~ (x 4-ay )(a 4- )
d~y = d x 4-ay) = ,/A- ___ _____¿/x_
Í¿C2 > + aX (v4-OX)
AX4-Ö y x+ay
2 (y 4-ax)(l - - -------- ) - (x 4-ay)(a---------- )
d~y y + ax y 4-ax
dx2 (y + ax)2
2 (x 4 a y )(a ~ x-x)
2 (y ~a y ) ------------ - - ----------
d y y 4- ax
dx2 (y + ax)2
d 2y _ (a2 -1 )[(>’4- ax) v 4- x(x 4- ay)]
dx1 (y 4- ax)3
£ y = _ («2 - Oí v2 + v2 t W ] =■_ j g l z i > (0) = Q, Luego ^ = 0
dx2 (y + ax)2 (y + ax) dx~
Hallar — si >’= 1+ y x
dx
Desarrollo
1944
1945
ífy_ f x(x,y) _ y x nx _ y x ln x
fí(x,y) xyx 1-1 1- x y x
T, „ í/y d 2y
Hallar — y — — si y = x + ln y
dx dx2
Desarrollo
f(x,y) = y —x - ln y => f'{x,y) = - 1
fy(x,y) = - - = y 1
y y
dy _ f '(x,y)_ -1 y
dx fy(x,y) Z z l J - l
y
dy dy >)~ 1
¿ V ¿ ^ ) V 'V^ => d2y 1
í/x2 .y-1 ( j - l ) 2 (j'-l)2 dx2 y ( y - 1)
dy
Hallar
dx
d 2y
x= d x 2
si x -2xy + y + x + y - 2 = 0 utilizando los
JC=1
resultados obtenidos, representar aproximadamente la gráfica de esta curva en
el entorno del punto x = 1.
Desarrollo
f(x,y) = x2 - 2 xy + y 2 +x + y - 2
fJ(x,y) = 2 x - 2 y + ¡ , f'y (jc. vj = 2 y - 2 x +1

1946
dv f x(x,y) 2 x -2 y + .2
-T = - —i----- - = - - ---- — - para x= 1. y - y = O, y = 0, y= 1
dx fy(x,y) 2 y - 2 x +
= 36-1
dy
para -—
dx x=
d 2y __ d 2 x - 2 y + ^ _ -8 d 2y
dx2 dx 2 y - 2 x + (2 y -2 x + )3 dx2
= 86-8
x=
La función Y está determinada por la ecuación lnyfx2^}!2 = arctg — (a ^ 0).
dy d*y
dx dx2
Desarrollo
Hallar — y 2
Sea /(x , y) = ^~ln(x2+ y 2) - a.arctg —
2 x
« ( - 4 )
/ , w > - ' *• - ’ +<v
V):
x2 + /
i
<N
+
<N
X
1
y
1
x
1
1
2 2 2 2 2
* ■ + /,, y * -+ >
2X
X+ ßy
¿V = f x(x,y) _X + y _ x + ay
dx f'(x ,y) }’-«* a x - y
2 2
x + y
d 2y _ d ^x + ay ^ _ (a2 + l)(x2 + y 2)
dx2 dx a x - y (a x - y )3
1947 Hallar — y — ^ si l + xy-ln(<?vv+e vv) = 0
dx dx
Desarrollo
Sea / (x, y) = 1+ xy - ln(eA:y+ e~xy)
iv" - y e ^ _ yexy + vv AT- yev + y<'~" _ 2xe~x
f x( x , y ) - y e*y+e-xy ~ en'+e-xy exy+e
dy = fx(x,y) _ y
dx fy(x,y) x
d 2y _ d y 2y
1 i ?
dx~ dx x X
1948 La función Z de las variables x e y se da por z
x3 + 2y 3 +. z3 - 3xyz - 2 y + 3 = 0 . Hallar — y —
$x ' dv
Desarrollo
3x2 + 3z2 — -3 > x -3 x y — = 0 "=> (z 2 - x y ) ^ - = y z - x ^
dx ' dx dx
2 2
CZ JZ - X _ x - yz
dx z 2 - x y x y - z 2 , , r ,
6 v2 + 3z2 — - 3xz - 3 xy— - 2 = 0 => (3z~ - 3xy)— = 3xz - 6y 2
dy dy , dy
dz _ 3xy - 6y 2 + 2 6 y 2 - 3xy - 2
dy 3z2 - 3xy 3(xy - z 2)
■xy
ecuación:
+ 2

1949 Hallar — y — si x eos y + y cos z + z cos x = 1
dx dy
Desarroilo
x eos y + y eos z + z eos x = 1
dz dz
eos y - y sen z ---- heos x----- z sen x = u
ex ex
(eos x - y sen z) — = - eos y - z sen x
dx
dz - eos y + z sen x _ z sen x - eos y
ex eos x —y sen z eos x - y sen z
dz dz
-x sen z + eos z - y sen z -----f-eosx— = U
dy dy
dz dz x sen y - eos z
(cosx - y s e n z ) — = x sen y - e o s z => — = ------------------
dy dy eos x - y sen z
i 9 ? ez
1950 La función Z viene dada por la ecuación x + y - z - x y = 0. Hallar — y
— para el sistema de valores: x = -1, y = 0, z - 1.
dy
Desarrollo
1951
_ _ dz dz x - 2v
2y - 2z ----- x = 0 => — = ------—
dy dy -2 z
1 A 1 d Z 1
para x = 1, y = 0, z = 1, — = —
dy 2
dz dz d2z d2z . x2 y 2 z 1
H allar— , — , ——, ------ si — + ^r- + —
dx dy dx dxdy a b2 c
Desarrollo

1952
1953
x(-ÒL)
d 2z = c 2 , b 2z x = CV
dxdy a2 z 2 a2b2z3
f(x,y,z) = 0 demostrar que
dy dz dx
Desarrollo
3* fy(x,y) ^ & f¿(x,y)
dy fí(x,y) ’ dz f ' ( x , y ) ’ dx f'(x,y)
dx dy dz _ f'y (x,y) fí(x,y) (v-.v))= _j
a /a z 'a * y*(x,.v) ./;.(v..r)11 /;'(*,>-
(p(x,y) donde y es función de y,. determinada por la ecuación y(x,y) = 0.
dz
a r -----------
z =
Hallar
dx
Pesai olio
cJ>z * ^'T ¡c)z
— calcularemos por la formula siguiente: — =
d x dx exdx dy dx
dz /, /, u ¥ Á x,y),
— = <px(x, y) + (pv(x, >>)(------------ r -----------)
dx Wy(x,y)
dz /, x -, , , v S x>y)
— =<px(*•y) - <py(*.y — — -dx y/J.x,y)
d z (p!x(X, y).y/y (X, y) - <p'y( v,y W ^ x , y)
Wy(x,y)
1954
<Px(x,y) <Py(x,y)
VÁx,y) y/'v{x,y)d z
dx Vv(x,y)
Hallar dz y d 2z , si x 2 + y 2 + z 2 = a 2
Desarroil
j dz . dz dz F dz K
d z —~ —d x + ——d y donde ———— ■ — —■—
dx dy ”dx F dy F
Sea F(x, y, z) = x1+ y 2 + z 2- a1 entonces: F' = 2x , F'v - 2y , Fz - 2 z
. dz x dz y x , y ,
Luego — = — , — = — - . Entonces: dz = — d x ------ d y
dx z dy z . z z f
j2 d2z , 2 o d2z d2z 2 , ,
d z - ——d x + 2------d x d y -h—- d y donde
dx dxdy ' dy
,i az. ,x2
<52z (zI Xüc> T *2 + z2 y2 - a 2
a r2 z2 z2 z3 z3
, dz 3,,2
vz 'V ) Z + — 2 2 2 2
d z dy ~ v + z x - a
d2z d / xx xy , .
.= ? luego se tiene:
dxcy dy z z
9 9 2 2
, y - a , 2 . . x - a . 2
dz = -— -— d x “ ------y d x d y + ------ — dy
z z z

1955 Sea Z una función de las variables x i y determinadas por la ecuación
2x2 + 2y 2 + z2 - 8x z -z + 8 = 0 . Hallar dz y d 2z para el sistema de valores:
x = 2, y = 0, z = 1
Desarrollo
Sea F(x, y ,z) = 2x2+ 2y 2 + z2 - 8xz - z + 8
Fx = 4 x -8 z , Fv = 4y , Fz = 2 z - 8x - 1
dz 4x - 8z dz 4 y
ex Fj 2z - 8x -1 ’ dy Fí 2z - 8x -1
dz . dz .4x-8z f 4>y
dz = — ux H--------------------------------------------dv = ---dx------- :---------- dy
Óx dy ' 2z - 8x - l 2z - 8x - l
para x = 2, y = 0, z = 1 se tiene dz = 0
7 d2z 2 0 a 2z d2z 2
¿/“z = —-<¿ + 2 ------- dxdy + —-¿/y
dx dxdy d>>
.2 , , , á o ( 2 z -8 x - l)(4 -8 ~ -)-( 4 x -8 z )(2 ~ -8 )
o z _ d dz d 4x-8z ___ _____________ dx__________ dx
Í ? “ & & äc 2z - 8jc -1' " (2z - 8x - l )2
5z „ a2z 4
para x = 2,y = 0, z = 1, — = 0 ,—j = —
C7X dx‘ 15
(2 z -8 x -l)4 -4 > ’( 2 ^ - 0 )
g2z a f e a 4 y __________________ aj
av2 _ a>- av a>> 2z - 8* - i (2z - 8x - i )2
d2z 4
para x = 2, y = 0, z = 1 y —- = —
dv
1956
. (2z - 8.v-1)(-8 f )- (4.v- 8z)(2 f )
d z _ d /^z _ ^ 4 x-8z ^ _ dy dy
dxd>> dy dx dy 2z - 8x - l (2z - 8x - l )2
para x = 2, y = 0, z = 1, — = 0 , — — = 0 , d 2z = — (í/x 2 + ¿/y2)
dy dxdjy 15
Hallar dz y d 2z , si ln z = x + y + z - 1 ¿A qué son iguales las derivadas
primera y segunda de la función Z?
Desarrollo
Sea F(x,y,z) = l n z - x - y - z + l d donde Fx = -1, F1- -1 , F!z = —-1
dz , dz , dz F' -1
dz —— ¿/x-f---- ¿/y donde
dx dy dx f 'z 1 _ j
z
d z _ z _ z _> ^z _ z
dx 1- z z -1 dx z -1
dz F ' -1
dj f! i _ i z - i
z z z
dz = ------- Jx -----—-dy = ------(dx + dy)
z —1 z —1 1—z
-2 d 2Z , 2 ^ ^ 2z 7 7 ^ Z 2
1 ^- —-dx + 2-------- dxdy + — -dy
dx2 dxdy’ dy2
d 2z = — 1—r(dx2+2 dxdy + dv2)
(1-z )

1957
1958
Sea la función Z dada por la ecuación x2+ y 2 + z2 = cp(ax+ by + cz) donde cp
es una función cualquiera diferenciable y a, b, c constantes. Demostrar que:
(cy - bz)—-f (az - ex)~~ = bx - ay
x dy
Desarrollo
x2 + y 2 + z2 = cp(ax-i-by + cz)
^ dz d z dz 2x - a(p’
2x + 2z — = ®’[a + c— ] =>— = ----------—
dx ex dx exp - 2z
. _ dz dz_ dz' 2y —bcp'
2v + 2z— = c>T6 + c — 1 => — = —-----~
dx d>' dv ccp}- 2 z
(cy -b z )— + (az - ex) — = bx - ay
dx dy
, w2x-a• - fev) _ ^
ccp'—2z c c p 2z
Demostrar que la función Z, determinada por la ecuación F(x - az, y - bz) = 0
donde F es una función diferenciable cualquiera de dos argumentos
dz d z _
a—— b— —1
ex dy
Desarrollo
Sean u = x - az , V = y - bz
SF = 8 F d u = , ,
dx cu dx
funciones de Varias Variables 131
1959
8F = d F d v = F i l = F,
dy dv'dy v'
8F dF du dF dv , dF ,
— == F¿.(-a) + F¿(-b) => ——= —aF" - bFv
dz du dz dv cz cz
dz _ f; Fv > _ F'
dy F; -(aF'+bF') aF„ +bFv
a — -b— üK i tF:: < +hFv - i
dx dy aFu +bF' aFu +bFv aFu +bFv
dz dz
a ---- vb— = 1
ex dy
x yx _ _ dz dz
F(—,—) = 0. Demostrar que x — + y — = z
z z dx dy
Desarrollo
Sean u = — y v = — como F(—,—) = F(u,v) = 0
z z z z
SF__3F_ du / dF__Fi_
dx cu dx u z dx z
dF _ c F dv _ p/ 1 dF F¿
dy dv dy z dy
dF dF cu ^ dF dv
dz du dz dv dz
dF / x / y dF 1
= K ( - — ) + f; (- -y ) => f - = - — ( < + yFl)
dz z z ez z

& K < dz Fy zFj_ , .
ex /•' a'/-’, + y/-v ’ du FL xF' +
fe & xzF¡ yzFv
Luego x— + y — = — :--------r + — ;------- j
dx oy XF„ +yFv xFu + yFv
dz dz xFu +yFv
X — + y — = Z( -----------------_ ) = Z
ex oy xFu + yFv
1960 Demostrar, que la función Z, determinada por la ecuación y = x ip(z) + i|/(z)
. _ , d2z .dz.-, „ dz dz d2z d2z dz 2 A
satisface a la ecuación — - ( — )~- 2 — .— .-------1
-
r (— ) =0
dx2 cy dx dy dxdy dy2 dx
Desarrollo
_____ ñ ñ ____=>' * = _______ 1 ..... ...d )
dx x<pz) + y/z) cy x<p'(z) + y/z)
d2z _ 2<p(z)<p'(s)[x^'(z) + ^ '(z)] - (pr_(z)[.*y"(z) + y/"(z)] ^
dx2 [x(p'{z) + ysz)f
d2z = xtp"(z) + y/"(z) ___
5 / [aT 1(z)+ V/ ,(z)]’
g2Z = ff(z)(.Tff’'(~) + ^"(Z)-^'(Z))(AY/)'(Z) + I/'(Z)) _ (4)
dxdy [x(pz) + y/z)f
de (1), (2), (3) y (4) se tiene que:
1961 Las funcionesY y Z de lavariable independiente x sedan por el sistema de
9 9 9 9 9 9 dy dz d~y
ecuaciones x + y - z = 0 , x + 2y~ + 3z~ = 4 .Hallar — , — , — — y
dx dx dx2
f para x = 1, y = 0, z = 1.
dx^
Desarrollo
Diferenciando las dos ecuaciones se tiene que:
2x dx + 2y dy - 2z dz = 0, 2x dx + 4y dy + 6z dz = 0
despejando z dz y reemplazando en la otra ecuación
8 dz = x dx + y dy => x dx + 2y dy + 3(x dx + y dy) = 0
4x dx + 5y dy = 0 => — = -----
dx 5y
para x = 1, y = 0, z = 1 => — = oo
dx
dy v + z í l
l L * y ~ X* 4 . > + 5v4 5y2 + 4a 2
dx2 5 y 2 5 v / '25 /
d 2y
para x = 1, y = 0, z = 1 => — y = 00
dx
despejando y dy y reemplazando en la otra se tiene:
y dy = z dz —x dx => x dx + 2z dz —2x dx + 3z dz —0
dz x
5z dz = x dx => —■= —
dx 5z
para x = 1, y ==0, z = 1 => — = —
dx 5

1962 Las funciones Y y Z de la variable independiente x se dan por el sistema de
ecuaciones: xyz = a, x + y + z = b. Hallar dy, dz, d~y , d z
Desarrollo
Diferenciando a la ecuación xyz = a se tiene:
xy dz + xz dy + yz dx = 0 ... (1)
Diferenciando a la ecuación x + y + z = b se tiene:
dx + dy + dz = 0 => dz = - dx —dy ••• (2)
reemplazando (2) en (1) se tiene:
y(z t—x)
xy(-dx - dy) + xz dy + yz dx = 0 de donde dy = —------ -dx ... (a)
xy —- /
de dx + dy + dz = 0 se tiene dy = -dx - dz ... (3)
reemplazando en (1) se tiene: xy dz + xz (-dx - dz) + yz dx = 0
de donde se tiene: dz = —— dx ••• (P)
x ( y - z )
i , , /n, r dy v(z-x) m oz z (x - y )
de (a) y (p) se tiene:
2 (z 6:v + j | | | _ x - j>)(xv>-xz)-(yz-xv)(x^ + y - x — r-z)
o y _ dx av dx ______________________ik______ fk-----
dx2 x2( y - z ) 2
d2y [(x-.v)2+(.v- - ) 2 + (z -x )2]
- = - a
1963
dz dz dy cy dz
(z + x ~ ~ ~ y ~ - -z r ~ ) ( x y - x z ) - ( x z - - y z ) ( x ~ + y - x —- - z )
ü y _ _____dx ex dx___________________ ex______ ex
dx2 x2( y - z ) 2
e2z a[(x-y)2 + ( y - z ) 2 + (z -x )2] .
—- = ----------------------------------------------------------------------------------------1-----—----
dx~ x ( y - z )
dy d~y
— = 0 , ——= 0 luego tenemos:
dz dz2
ps2
d 1y ——y dx2 = - -, “ .....-3[(x - yY + ( y - zY + (z - xY ]dx¿
ex x (y - z)
d 2z = ~ d x 2 = -----------^-[(x- ^ ) 2 + ( y - z ) 2 + ( z - x ) 2]dx2
ex x ( y - z )
Las funciones u y v de las variables independientes x e y, se dan por el sistema
. du du d2u d2u d2u dv dv d2v d2v
de ecuaciones implícitas: -— , -— ,
dx ’ dy ’ dx2 ’ dxdy ’ dy2 ’ dx ’ dy ’ dx2 ’ dxdy
d2y n 1
—- , para x = 0, y = 1.
dy-
Desarrollo
Diferenciando la ecuación u = x + y se tiene: du = dx + dy ... (1)
diferenciando la ecuación uv = y es decir: u dv + v du = dy ... (2)
reemplazando (2) en (1) se tiene: (x + y)dv + — — (dx + dy) = dy de donde
x + y
x y
dv = ---- — - dy----------- dx de aquí se tiene:
(x + ^)2 (x + y Y

1964
dx (x + y)2 ’ dy (x + y)2
d2v 2y d2v2x
dx2 (x + y)3 dy2 (x + y)3
82v y - x , , du , du , _
----------------- ademas — = 1, — = 1. Luego:
dxdy (jc+ y) dx dy
'■>2 ~*2O u ^ o u ^ d u
—- = 0 , —- = 0 , ------= 0 para x = 0, y = 1 tenemos que:
dx" dy dxdy
* „ 1, í ” 0 , í ? = 0 , = = ^ = 0 , ^ - 2 ,
dx dy dx“ dy“ dxdy dx dy dx"
dy dx.dy
Las funciones u y v de las variables independientes x e y se dan por el sistema
2 ^
de ecuaciones implícitas: u + v = x, u -y v = 0. Hallar du, dv, d w, d~v .
Desarrollo
Diferenciando u + v = x => du = dx - dv •••(!)
Diferenciando u - yv = 0 => du - y dv - v dy = 0 ... (2)
Reemplazando (1) en (2) se tiene:
1 , v , , , dv 1 dv v
dv = ----- dx---------------------------dv de aquí se tiene: — = -, — = -
y + 1 y + 1 dx y + 1 dy i y + 1
1 d2v d2v 2v d2v l
luego: —y = 0 ,
ox2 dy2 (y+ í)2 cxdy (y + l)2
1965
reemplazando en (l) se tiene:
y v , du y cu v
du = - ¿—dx + ------dy , de aquí se tiene: — = — 7 , — = ----- :
y + l y + l dx y + l dy y + l
d2u „ d2u - 2v d2u l
LUeg° ’ dx2 ° ’ dy2 (y + l)2 ’ dxdy (y + l)2
Reemplazando estos valores en:
i2 °~u j 2 ^ d u o u 2
d~u=—-dx + 2 ------dx dy + — -dy
ox1 dxdy dy2
d 2u = — - —r-dxdy----- ^— dy2 y en c/2v es decir:
(y + 1)2 0 + 1) '
1 o 2v 2 ^ ^ 2y j j ^ 2v j 2
d v ———dx + 2 - — dxdy + — 7ay
dx dxdy ' dy2
d 2v = ------—7dx dy + — — -^-dy2
Cv+ 1)2 (y+ l)
Las funciones u y v de las variables x e y se dan por el sistema de ecuaciones
tt 11 du du dv dv
implícitas: x = <p(u,v), y = i/(u,v). Hallar — , — , — , — .
Desarrollo
Diferenciando las ecuaciones es decir:
dx = <pudu + <pvdv ...(1) d y = y ud u + yvdv ...(2)
dx-(pudu
de (1) despejamos dv = -------------

138 Eduardo Espinoza Rumos
reemplazando en (2) se tiene: dy = i¡/udu + y/[dv = {¡/[du +y/ !v )
<Pv
i , / / / / / s , / , , i/4c/x <p„dv
<Pudy = - wM, )du+ = > du = — ... (3)
V v K - V 'v V » <Pv¥u -¥ v ~ = —t—--- ----- r
d x V v ¥ „¥ v ¥ u dy ¥v¥u -¥ v< P „
reemplazando (3) en dv se tiene: dv = --------—----- dx + —— dy
¥ „ ¥ v -< P ’V¥ Í <Pu¥‘v - ‘<P,¥u
de donde — = — -—— ----- ,,, — = —-— —-—-
8 x <Pu¥v-<Pv¥u By <P¡„ ¥ [ - - Vv¥u
d- d”
1966 a) Hallar -— y — si x = u eos v , y = u sen v y Z - cv
dx dy
Desarrollo
Diferenciando las 3 ecuaciones se tiene:
dx = eos v du - u sen v dv —(1)
dy = u eos v dv + sen v du - (2)
dz = c dv - (3)
dx *¡pnv
de (1) despejando du= +u dv
eos v eos v
dx sen v
reemplazando en (2) se tiene: dy = y eos v.dv + sen v(—-—+ u—— dv)
eos v eos v
eos v.dv = // eos2v.dv + se/? v.dx + usen2v.dv
I unciones de Varias Variables 139
1967
eos v dy = u dv + sen v dx
¿/v = _?^I12-cix + —— dx reemplazando en (3)
u u
esenv . c.cosv , ,
dz = ---------- dx -f----- — dy de aquí
u u
dz senv dz c. cosv _ . ..
— = -c.------, — = --------- , en lorma similar para:
dx u dy a
d"? d*7
b) Hallar — , — si x = u + v , y = u - v , z = uv
dx dy
c) Hallar dz, si x = ell+v , y = eu v, z = uv
Z = F(r,(p) donde r y cp son funciones de las variables X e Y determinadas por
dz dz
el sistema de ecuaciones X = r eos cp, Y = r sen (p. Hallar — a —
dx dy
Desarrollo
Diferenciando: dz = Fr dr + F^díp •••(!)
dx = eos cpdr - r sen cpdep ... (2y
dy = sen cpdr + r eos cpdep ... (3)
dx + r sencpdcp
despejando de (2) dr - -
eos (p
. ,dx + rsen(pd(p . ,
reemplazando en (3) se tiene: dy = sen<p(-------------------)+ r eos cpdcp
eos cp
eos cpdy = sen cpdx + r dep

1968
j cos dy —sen x dx
ay = ------:-------------- reemplazando en dr se tiene:
dr - í^~sen (P)dx + sen(PCOS(Pdy
eos (p
reemplazando los valores de dr y d(p en (1) se tiene:
¿ ir?' rt senep. i n/ cose), ,
dz = (Fr eos (p-Fy-------)dx + (Frsen cp+ FQ-----—)dy
, i , cz ¡ sencp dz / / eos cp
de donde: — = Fr eos (p- F -------, — = Frsen (p- F ----- —
ex r dy r
Considerando z como función de x e y, hallar — y si: x = a eos cp eos |/,
dx dy
y = b sen cpeos vj/, z = c sen y.
Desarrollo
Diferenciando dx = -a sen cpeos r dep - a eos cpsen y dvj/ ... (1)
dy = b eos cpeos |/ dep - b sen cpsen i d{/ ... (2)
dz = c eos y dy ... (3)
, . dx
de (1) se tiene: ----= -a eos (psen y/
dy/
de (2) se tiene: = -b sen y/ sen y/
dy/
de (3) se tiene: = c eos y/
dy/
dz
dz dw ccosy/ c
— - —i—- ------------ ----- = — see (p.ctgy/
dx dx a cos (psen y/ a
dy/
dz_
dz dy/ ccosy/ c . .,.
— = = -------------------- — = - -C S C (y/)ctg(y/)
dy vy vsencpsenxp b
dy/
6.10. CAMBIO DE VARIABLES.-
ler. CAMBIO DE VARIABLS EN LAS EXPRESIONES QUE
CONTIENEN DERIVADAS ORDINARIAS.-
2do. CAMBIO DE VARIABLES EN LAS EXPRESIONES QUE
CONTIENEN DERIVADAS PARCIALES.-
1969 Transformar la ecuación: x2—-j- + 2x— + v = 0 haciendo x = e'
dx dx
Desarrollo
dy
^ = i = ^ dy_= e-t^y_
dx dx di dx dt
dt
dy'
£ 2
dx2 dx dx dt dt
dt
d 2y-i,,d 2y dy. 2 d 2y dy
— - = e (— - — —) como x — y + 2x— + y = 0
dx2 dt2 dt dx2 dx

1970
1971
.. ->t -2t, d 2y dy , -t dy „ d 2y dy
se tiene: e .e (— ----- - ) + 2e'.e — + y - 0 => — f + - + v = 0
dt2 dt dt dt2 dt
Transformar la ecuación (1- x2)— ^ - x — = 0 poniendo x = eos t.
dx2 dx
Desarrollo
dx
x = cos t => — - - se n t
dt
dy
± = d L = L c1l
dx dx sent dt
dt
d~y _dy' _ 1 dy' _ 1 d 2y eost dy
dx2 dx sent dt sen2t dt2 sen3t dt
/i 2 d 2y dy _
como (1- x )——- x — = 0 se tiene que:
dx dx
n 2 .r 1 d 2y cost dv. , 1 dy. _
(1- eos" 0 [----r - T T --------r . - f ]-cosf(---. - f ) = 0
sen t dt sen t dt sent dt
^ - clgm ± + a m ± . 0 =. 4 = 0
dt dt dt d r
Transfomiar las siguientes ecuaciones tomando y como argumento.
,) ^ + 2 y Á > = 0
dx dx
Desarrollo
1972
dv 1 d 2y dy2
dx dx dx~ /dx 3
~dy dy
reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:
d 2x
- 4 - * 2 * - j- ,’ = 0 => g - 2 3 - 0
dx 3 dx dy- dy
dv dy
b) ^ (^ Z ) _ 3 ( ^ ) 2 =0
dx dx dx~
Desarrollo
, d 2x
_ . ) d 2y dy2
Se tiene due — —= ----- — entonces:
dx2 A 3
dy
, 3
d y _ dy* tfv ¿/y3 dy
¿r* ~ (</aY
dy
d~*x
reemplazando en la ecuación se tiene: — - = 0
dy
La tangente del ángulo u, formado por la tangente MT y el radio vector OM del
y,~ xpunto de tangencia (fíg 69) se expresa de la forma siguiente: tgn= ------ —
1+ —y '
transformar esta expresión, pasando a las coordenadas polares x = r eos cp,
y - r sen (p

Desarrollo
Diferenciando las ecuaciones x = r eos cp , y = r sen (p
dx = eos cpdr - r sen cpdep ...(1) dy = sen <pdr + r eos cpdep ...(2)
dy _ sen (pdr + r eos cpdtp
dividiendo (2) entre (1) se tiene:
dx eos (pdr - r sen cpd (p
de donde y ' =
dr
sencp— + rcoscp
d(p
dr
eos (p------r sen cp
dep
(1)
además tgu ■
, y
i + y ?
(2)
reemplazando (1) en (2) se tiene: tg u =
dr
sen cp——+ r eos (p
dtp r sencp
dr r eos cp
eos cp------ r sen cp
dep
dr
sen cp— + r eos cp
, r sen cp, dtp
l + ------(---------- - f —---------- )
reosep dr
^ eos cp------r sen cp
dep
dr 2 2dr
reosep sencp.— + r eos cp-r sencpyzoscp--------r sencp)
dep d(p
tg u = ------------------ y-----------------------------------7---------------
dr . dr
r eos #?(coscp-------r sen cp)+ r sen cpysencp------hr eos cp)
dep dep
r2(sen2cp+ eos2cp) r r r
tg u = — -— --------^ r = ~ r = - =>
2 , 2 x dr dr r ' r'
r(eos cp+ sen cp)— —
dep dep
y"
1973 Expresar la fórmula de la curvatura de una línea: k= ------------- y en
[i + O 'f P
coordenadas polares x = r eos cp, y = r sen cp.
Desarrollo
Diferenciando las ecuaciones se tiene:
dx = eos cp d r-r sencp dep ... (1)
dy = sen cpdr + r eos cpdep ... (2)
eos cp.dr - dx
de ( 1) despejamos dep es decir: dep = -
r sen cp
1 coscpdr -dx
reemplazando en (2) se tiene: dy = sen cp.dr + reos cp(---------------- )
r sen cp
/ sen cpdy + r eos cpdx = r sen2cp.dr 4-r eos2cpdr
r sen cp dy + r eos cpdx = r dr => dr ==sen cpdy + eos cpdx
de donde — = eos cp, — = sen cp además:
dx dy

1974
dr
sen o -— + r eos (p
dy dtp .
- p0r otra parte reemplazando dr en d(p es decir en:
dx d
eos cp.------ r sen (p
dep
^ __ eos (p.dr - dx eos ep(sen(pdy + eos epdx - dx)
r sen (p r sen (p
,eos(p , senep , , d<p sen<p dep cosep (
dep = -----—dy-------—dx de donde: — = -------— ; — = ---- —
r r dx r dy r
además - - = + — .— aquí hacemos los reemplazos respectivos se tiene:
dx dx dy dx
dep _ senep ^ eos(p dy
dx r r dx
d(p 2(—- ) 2 - r —-^~+ r2r __Z_ + s e n (p 2 2 , ) 2
dy , i , d v . ¿ / v dep d(p
— - —s¿±
-
calculando— se tiene: — —= --------------------------------------
dx COS(P dx dx (eos tp— - r sen <p)3
d(p
^,dr. 2 d 2r 2
2(— y - r — ~ + rz
y" dep d o ”
reemplazando en k = ------------- - se tiene que: a:= ----- ---------------^-----
[ ( l + ( y f ] 2 [ ( j ~ ) 2 + r 2p
dep
Transformar a las nuevas variables independientes u y v la ecuación
dz dz „ . 2 2—— x — = 0 si u = x, v = x + y .
dx dy
Desarrollo
dz dz dw dz dv
Conocemos que: — = —
dx di/ dx dv dx
<?w , ez cz ez ev , , ev
Pero como — =1 entono nene: — ------- 1
-
ademas —
dx dx dz/ dv dx dx
d z __ d z d z .
dx d// r
, ., dz dz dy dz dv di/ dv
también se conoce que: — — -f— .— donde — = 0 , — =
dv du dy dv dy ■dy dy
es decir: — ~ 2 y —
dy ' dv
dz dz
reemplazando en la ecuación:y — - x — = 0 se tiene:
dx dy
y(— + 2x— ) - x ( 2 y — ) = 0 => = 0 de donde — = 0
du dv dv du du
1975 Transformar a las nuevas variables independientes u y v la
dz dz . y
x ---- t-y ----- z = 0 si u = x, v ——
dx dy x
Desarrollo
dz dz du dz dv , , dz/ , dv y
Se conoce que — = — + — .— donde — = 1, — = — -
dx du dx dv dx dx dx x
dz dz v ez
luego se tiene: — = —-----
dx du x‘ dv
dz dz du ez dv t , . du . dv 1
ademas — = — .---------------- 1---- .— de donde se tiene: — = 0 , — = —
dy du dy dv dy dy dy x
. dz 1 dz
Luego se tiene: — = —
dy x dv
= 2x
...(1)
2y
... (2)
ecuación
...(1)
... (2)

1976
Reemplazando (1) y (2) en la ecuación .y— + y-^—- z = 0
5x " dv
fcz y dzx A dz^
T
Se tiene que: x(------- ~ — ) + >•(—.— ) - z = 0
du x dv x dv
dz y dz y dz cz ^ dz
y — — .------z = 0 => x------ z = 0 o u------ z = 0
du x cv x dv du du
d2u c2u
Transformar la ecuación de Laplace ——+ ——= 0 a las coordenadas polares r
dx2 dy
y (p, poniendo x = r eos (p, y = r sen cp.
Desarrollo
Como x = rc o s0 , y = r sen 0, r = yjx2 + y 2 y 6 - arctg —
dr x *2~ - 2c r x
* Í V * - 1
dr _ y o2r y 2
* (xr+J4
d9 _ - y _ d20 2xy
dx x2 + y2 dx2 (x2 + y 2)2
dO x d20 -2 xy
— = —---- => — - = —*
-
■——, ademas se conoce que:
dy x + y dy2 (x + y )
reemplazando en esta ecuación se tiene:
a2« x 2 s 2« _ -x>- a2í< y 2 a«
y2 d2u 2xy du
V + / ) 2 ' a ^ V V )2
también se conoce que:
d2u dr 2 d20 d2u dr dO ^ c 2r du ^ dO 2 d2» , a 2ff a»
ay2 ^ay ar2 ar.a# ay ay ay2 ar o ay a# 2 ay2 a#
haciendo los reemplazamos en esta ecuación:
d2u y 2 d2u 2xy d2u
* T+¡7 v ) i * '8''
2
. ( 1)
x‘ du f x c2h 2xy a« ^
+T T I > ' +(7 T 7 ' W ~(x2 + y 2)2 'do - (2)
(x + y )2
sumando (1) y (2) se tiene que:
a 2« 82u d2u 1 Su 1 d2u
— - + — r + ■ = = = -—+ —-----7 —3 - ...(a)
a x 2 a y a r " J x ^ + y 2 8 r x + y o e
pero r 2 = x2 + >’2 entonces reemplazando en (a)

1977
1978
d2z dzz
1ransformar la ecuación: x2———y 2——= 0. Haciendo u = xy, v = —
ex dv v
Desarrollo
, . dz dz du dz dv
Mediante la formula se tiene que: — = — .— + — .—
dx du dx dv dx
du dv 1 . dz dz 1 dz
donde — = y 9— = — luego se tiene: — - y — + ------
dx dx y dx du y dv
d2u 7 d2z d2z 1 d2z 1
—T = y ~— t + ------+ — —- de acuerdo al ejercicio 1976.
dx2 dll2 dll.CV, y 2 dv2
d2u 2 d2z ~ x2 d2z x2d2z 2x dz , ...
— - = x — - - 1— .-------- h———- h— - — de acuerdo al ejercicio antenor
dy~ diC y " du.dv y 4dv y dv
2d2z 7 d2z
reemplazando enla ecuación x~ —- - y~ — - = 0
ax2 ^ dy2
2 , 2 d2z d2z (1d2u 2 / 2 c2z 2x2 d2z x2 d2z 2xdz
du2 du.dv y 2 dv2 * du2 y 2 dudv y 4 dv2 y3 dv
7 d2z 2x dz d2z 1 dz d2z 1 dz
4x~----------------- = 0 => 2------------------= 0 ^ 2-
du.dv y dv du.dv xy dv du.dv u dv
Transformar la ecuación v— - x — = ( y - x ) z introduciendo las nuevas
dx dy
2 9 1 1
variables independientes u = x + y , v = —+ — y la nueva función
x .y
w = ln z - (x + y).
Desarrollo
1979
du _ 2 du ^ dv _ 1 dv _ 1
dx ’ dy ’ dx x2 ' dy y 2
w = ln z -(x + y) => lnz = w + x + y de donde: z = ew+x+y luego se tiene:
dz dw du dw dv dz _ ^ dw 1 cw
dx du dx dv dx dx du x2 dv
dz cw du ^ dwdv dz __ ^ dw 1 dw
dy du dy dv dy dy ' du y 2 dv
reemplazando en la ecuación: y - - x — = ( y - x ) z y después simplificando
dx dy
dw ^
se tiene que — = 0
di'
d2z d2z d2z
Transformar la ecuación —- - 2 ------------------------------------------------------h-r- = 0
ex dx.dy dy2
y z
variables independientes u = x + y, v = — tomando una nueva función w = —.
x x
Desarrollo
du _ jdu ^ dv _ y dv _ 1
dx dy 9 dx x2 dy x ’
z
además como w = — => z = xw de donde:
dz dw ,cw du dw cv,
— = w + x — = w+x(—
dx ex du dx dv dx
czdw y dw
dxdu x2 dv

c 2z _ dw du ^ dw dv ^ ôw ^ ^d2w du ^ d2w dv
dx2 du dx dv dx du du2 dx du.dv dx
y d2w ^ d2w dv ^ dw dv
x du.dv dv2 dx dv dx
ahora reemplazando se tiene:
d z _ dw y dw ^ dw d~w y d~w y 2d2w y d2w y dw
dx" du x2 dv du du2 x du.dv x3dv2 x du.dv x dv
- x dw dw
dy du cy dv dy cu dv
c 2z _ ^d2w du ^ c 2w dv d2w dv d2w du
dy2 du2 dy du.dv dy dv2 dy du.dv dy
d2z _ d2w ^ c2w ^ 1 d2w d2w
dy2 du2 du.dv x dv2 duj.dv
c2z dw du ^ dw dv d2w dv d2w du
dx.dy du dy dv dy " du.dv dy du2 dy
y d2w dv ^ d2w du 1 dw
x dv2 dy du.dv dy x dv
d"w dw ^ 1 ¿Hv ^ c2w d2w y d2w y d2w 1 dw
.dy du x dv du.dv du2 x3 dv2 x du.dv x dvex.
reemplazando en la ecuación —j - 2 ---------------------------------------------------- h- = 0 y simplificando se tiene
dx dx.dy dy
1980 Transformar la ecuación: ^—^ + 2—------1---- t = 0 poniendo u - x + y,
a r cx.dy dy
v = x - y, w = xy - z, donde w = w(u,v).
Desarrollo
du _ J du ^ dv _ ^ dv _ ^
dx ’ dy ’ dx dy
de la ecuación w = xy - z se tiene: z = xy - w derivando se tiene:
dz dw du dw dv _ dw dw
dx ^ cu dx dv dx du dv
c2z d2w du d2w dv d2w dw d2w cu
dx2 cu2dx du.dv dx dv2 dx du.dv dx
d2z d2w ^ d2w c 2w
dx2 du2 du.dv dv2
en forma similar para — es decir:
dy
d2z + 2 ^ W
cy2 du2 du.dv dv2
d2w. d2w d2w a ---------1----------1-----— reemplazando en la ecuación
dx.dy du2 dv2

6A ì . PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE.
lei. ECUACIONES DEI PLANO TANGENTE Y DE LA NORMAL
PARA EL CASO EN QUE LA SUPERFICIE ESTÉ DADA EN FORMA
EXPLICITA.-
Se llama plano tangente de una superfìcie en el punto M al plano en donde
están situados todas las tangentes en el punto M, a las curvas trazadas en dicha
superficie que pasan por el punto M.
Si la superficie está dada en forma explicita en un sistema de coordenadas
cartesianas z - f(x,y) donde: f(x,y) es una función diferenciable, la ecuación
del plano tangente en el punto M (x0,y0,z0) a lasuperficie es
z ~ zo = f x (xí>>>'o)(x - xo)+ fy (xo y o X.V- y0) dondez0 = f( x 0,y0) a x,y, z,
son las coordenadas variables de los puntos del plano tangente.
La ecuación de la normal tiene la forma:
* - * o y - y p = r z " z o
f¿(*o,yo) /v ( W o ) _1
2do. ECUACIÓN DEL PLANO TANGENTE Y DE LA NORMAL PARA
EL CASO EN QUE LA SUPERFICIE ESTE DADA EN FORMA
IMPLÍCITA.-
En este caso la ecuación dada en forma implícita es: F(x,y,z) = 0 y
F(x0, y0,z0) = 0 y la ecuación del piano tangente es:
K ( x o ’>’o-z o X* - *o) + Fy (%. yo’zo)(y~ y o) + H (*o.yo >zo)(z ~ zq) = o y ia
ecuación normal es:
x ~~ x o _ y ~ .v o 2 ~ ~ z o
F;:(x0,y0,z0) F‘(x0, v0,z0) F'(x0,y¿,20)
1981 Escribir las ecuaciones de los planos tangentes ylas de lasnormales a las
siguientes superficies en los puntos que se indican:
a) Al paraboloide de revolución z = x2 + y 2 en el punto (1,-2,5).
2 2 2
X y z
b) Al cono — + ----------= 0 en el punto (4,3,4)
16 9 8
c) A la esfera x2 + y 2 + z2 = 2Rz , en el punto: (R eos a, R sen a, R)
Desarrollo
9 9 dz dz
a) Como z = x + y => — = 2x, — = 2y en el puntox = 1 e y = -2 se
dx dy
3z dz
tiene que: — = 2 , — = -4 y la ecuación delplanoen el punto (1,-2,5)
dx ' dy
es: z - 5= 2(x - 1) - 4(y + z) que simplificando es: z - 2x + 4y+ 5 = 0.
x —1 v+ 2 z —5
La ecuación de la normal en el punto (1,-2,5) es: ----- = ------- = -------
2 -4 -1
x2 v2 z2
b) Sea f(x,y,z) ~ ~ + “ ------- que esta en forma implícita: de donde
^ , f l = en el punto (4,3,4) se tiene que:
1 2
f ‘x - -- , f !y - —, f'z = -1 . Luego la ecuación del plano tangente es:
1 2
_ _ 4) + _ (y - 3) - l(z ~ 4) = 0 y la ecuación de la normal es:
2(x - 4) 3(y-3) z - 4 . '
— = —^ ---- = ------ que escrito de otra forma es:
1 2 - 1
x - 4 y - 3 z - 4

c) Sea /( x ,y ,z) = r+ _ y 2 + z2 - 2Rz de donde se tiene: f'x - 2x,
fy = 2 y , f z = 2 z - 2 R en el punto: (R eos a, R sen a, R) se tiene
f !x - 2 R eos a , f y = 2 R se n a , f! = 0. Luego la ecuación del plano
tangente es: 2R eos a (x - R eos a) + 2R sen a (y - R sen a) = 0 de
donde al simplificar se tiene: x eos a + y sen a - R.= 0 y la ecuación de
, . x - Reos a y - R s e n a z~R
la nonnal es: ---------------- --------------= -------
2R eos a 2Rsena 0
" > 2 2y z
1982 ¿En qué punto del elipsoide —~+ :~r + :-y = 1 la normal forma ángulos iguales
a" b c~
con los ejes coordenados?
Desarrollo
Para que la normal forme ángulos iguales con los ejes coordenados los cosenos
directores deben de ser iguales es decir:
fx = fy = fz donde /(*> yiz ) = + TV + - 1
a b" c
2X / ^ y ^ 7"
de donde fi = — , 1. = , fí = — y de acuerdo a la condición se tiene
a y b2 ' c2
2 X ^ 2z b‘“ c*2
que: — de esta igualdad despejamos: y = — x , z - — x
a2 b2 c2 ' a¿ a~
2 2 2
esto reemplazando en la ecuación — + = 1 se tiene que
a" b“ c
4 a2
x2 ----------------- => x = í _ = y esto reemplazando en
a2 +b2 +c + ¿2 + c2
1983 Por el punto M(3,4,12) de la esfera x2 + y 2 + z2 = 169 pasan planos
perpendiculares a los ejes OX, OY. Escribir la ecuación del plano que pasa por
las tangentes a las secciones que originan aquello, en el punto común M.
Desarrollo
Como x2 + v2 + z2 =169 => z = yj69-x2 - y 2
^ , , cz x cz y ..
De donde — = — , — = en la cual:
dx z dy z
CZ X
— = — es perpendicular al eje OY.
dx z
— = es perpendicular al eje OX y para el punto M(3,4,12) se tiene:
dy z
dz _ 1 dz _ 1
~8x~~ 4 ’ dy ~3
De acuerdo al gráfico se tiene BMP es paralela al plano XOZ, y la curva BMP
es paralela al plano YOZ, el plano que pasa por la curva BMP es perpendicular
al eje OY, el plano que pasa por la curva AMC es perpendicular al eje OX y la
dz
pendiente a la curva BMP en el punto M es — y al pendiente a la curva AMC
dx
en el punto M es — y el plano que comprende estas dos tangentes es:
dy

1984 Demostrar, que la ecuación del plano tangente a la superficie central de 2do
orden ax~ + by~ + cz2 - k en su punto A/(x0,y0,z0) tiene la forma
ax0x 4- by0z 4- cz0z = k .
Desarrollo
Sea f(x,y,z) = ax2 +byA4-cz2 - k de donde: f x = 2ax , f'y- 2by , f z= 2ca
En el punto M es f x - 2ax0, f[. = 2by0, /_ = 2cz0 y laecuacióndelplano
es: 2¿zx0(x - x0) 4- 2by0(y - y 0)+ 2cz0(z - z0) = 0
de donde ax0x + by0y 4- cz0z - (oxq + byfj + czq ) = 0
ax0x 4-bv0y + cz0z = k
1985 Dada la superficie x2 + 2y 2 + 3z2 = 21, trazar a ella planos tangentes que sean
paralelos al plano x + 4y + 6z = 0.
Desarrollo
Sea / (x, y, z) = x2 + 2y 2 + 3z2 - 21 de donde: f z = 2x, f v = 4y , /_; = 6z
¡ unciones de Varias Variables 159
1986
Calculando en el punto (x0,j?0,z0) se tiene: f x =2x0 , f v = 4 y0, f z - 6z0
además los planos tangentes son paralelos al plano x + 4y + 6z = 0 entonces:
2x0 = 1, 4y0= 4 , 6z0 = 6 de donde se tiene:x0 = “ , y0 = 1, z0 = 1
por lo tanto el planoparalelo a: x + 4y + 6z es (x --—) + 4(y - 1)4- 6(z -1) = 0
de donde 2x 4 8y 4- 12z - 21 =0
2 2 J .
Dado elelipsoide 4 + ':V + “T = l ^ trazar a los Planos tangentes que
a b~ c
interceptan en los ejes coordenados segmentos de igual longitud.
Desarrollo
2 2 2
X V 7
Sea f ( x ) = —r + '¿T + -T ~ l de donde se tiene:
a¿ b~ c¿
w 2x / = ly_ ./ _ 2z
a 2 ’ A - /r - c2
Calculando en el punto (x0.j'(),z0) esta en el elipsoide, entonces se tiene:
v:2 v2 -2
ÍL + 4 + 4 = l ...(1)
a2 b2 c2
la ecuación del plano tangente es: (x- x0)—f + (y - y0)—p + ( z - z (j)—~ = 0
a' b~ c~

1987
a + a u í i = 4 + ¿ 4 dedonde 3 , + S . + : 5 l =1 . . . ( 2 )
« b- c a~ b' c2 a- b2 c2
ahora encontramos los puntos de intercepción con los ejes coordenadas:
«2para y = z = 0 => x = —
a h =z = 0 => y - —
yo
c~x = y = 0 => z = —
zo
cT h~ 2
es decir que los puntos de intercepción son: (— ,0,0), (0,— ,0), (0,0,— )
x 0 >0 20
además los segmentos que se interceptan son iguales, o sea;
2 / 2 2 2 2 ?
a b c x0 v0 z(]
x - y ~ z => — = —- = — c o m o = 1 se tiene:
xo .Vo zo a* b" c
>-2 U2 _2Aq O -> C 2 O 9 9 O 4
_ + — x¿" 4 — x0 = 1 x0(a~ + b ~+ c") = a , de donde
a" a a
l ¡2 ?
a b c~ ^
xQ- , y Q-- ~=...., z0 - ... (3)
+ W 4-b~ 4 c~ ±y¡a 4 b~ + c" ± V ír 4-6 4 cv
reemplazando (3) en (2) se tiene: x-hy + z = ±V¿z2 4-¿r + c2
Hallar en la superficie x2 4-j2 ~ z 2-2 x = 0 los puntos en que los planos
tangentes a ella sean paralelos a los planos coordenados.
Desarrollo
Proyectamos sobre el plano XOY la superficie x2 + y 2 4-z2 - 2x = 0 haciendo
z = 0. Luego tenemos x2 + y 2 -2 x = 0 lo que es lo mismo (x -1 )2 4- v2 =1
que nos representan una circunferencia cuyo gráfico es:
Por los puntos A y B pasan planos tangentes paralelos al plano XC)Z donde:
A( 1,1,0) a B( 1,-1,0) y por los puntos 0(0,0,0) y C(2,0,0) pasan planos
tangentes paralelos al plano YOZ.
1988 Demostrar, que los planos tangentes a la superficie xyz = m3 forman con los
planos coordenados tetraedros de volumen constante.
Desarrollo
Consideremos el punto p(x0,yQ,z0) en la superficie /( x ,y,z) = xyz-n? en
donde / ; = y0z0 , f'y = x0z0, f, = x0y0 .
Luego la ecuación del plano tangente es:
(x - x0)yüz0 + (y - y0)x0z0 + (z - z0)x0y0 = 0
de donde xy0z0 + yx0z0 + zx0y0 = 3m3

1989
Luego para y = z = 0 se tiene x =
3m3
>ozo
D
Para x = z = 0 se tiene y = ------
xnz,
Para x = y = 0 se tiene z =
o^o
3 m3
Ao>’o
Además el volumen de un tetraedro es: V = 0.1178 út* =0.1178 xyz
v n i . iv, 3'”3 V 3w3 V 3w3 , „ (0.1178X27) = 0.1178(------)(------ )(------ ) => V = ---------------- es constante
}’ozo xo)’o xoyo m
Demostrar, que los planos tangentes a la superficie Vx 4-yfy 4-Vz = 4a
interceptan en los ejes coordenados segmentos cuya suma es constante.
Desarrollo
Tornemos un punto P(x0,y0,z0) de la superficie /(x,y,z) = yfxf yfy 4-Vz -yjq.
de donde f x = —- j = , f ' = —] = , f ’ = - 1
2-y/xö" 2.y/ÿô" 2 ^
La ecuación del plano tangente a la superficie es: 4- 4-—— = 0
?V*o 2y¡y0 2y¡z0
de donde: - ^ + - ^ 4 - - ^ = = ^ + V ^ + V*ó" = Vä
V > ’o v z o
Ahora interceptamos con los ejes coordenados para:
i unciones de Varias Variables 163
1990
y = z = 0 se tiene x =
x = z = 0 se tiene y = ■sJay0
x = y = 0 se tiene z = yjaz0
sumando los segmentos se tiene:
x + y + z = y]ax0 +yjay0 + yfaz^ = yfa(yfx^ + yfyo^yf^o) = fa.yfa = a
Luego x4-y4-z = a es una constante
x2 v2 z2
Demostrar, que el cono - 4 - — = — y la estera
a“ b c~
x2 4- y 2 4-(—— —)2 =-~(hr f e 2) son tangentes entre si en los puntos
c c"
(0,±b,c)
Desarrollo
x2 y2 z2
Consideremos /(x ,y ,z ) = — + —----- y
a Zr c
, 2 2 12
g(x,y,z) = x2+ y 2+ (-— -~-- ) 2 — T(b2 +c2) en el punto (0,±b,c)
c
? 2 / / / 2b2
se tiene: f x = 0 , =± 7 , f t = — y g v = 0 , g r = ±26, g, =
b e c
Luego para que sean tangentes ambas superficies es necesario que sean
2b2
proporcionales las derivadas parciales como: (0,±2¿,-------) es proporcional a
2 2
V
primera,
2 ? o
(0, ±— ) puesto que al multiplicar por ¿r se obtiene los términos de la
b c

1991
1992
Se llama ángulo entre dos superficies en el punto de su intersección, al ángulo
que forman los planos tangentes a dichas superficies en el punto que se
considera ¿Qué ángulo forman su punto de intersección el cilindro
x2 -f y2 = R2 y la esfera ( x - R ) 2 +y 2 +z 2 = R2 en el punto M (™ ,^ ~ ,0 )
Desarrollo
Consideremos /(x , y) = x2 + y 2 - R 2
g(x,y,z) = (x - R)2+ y 2+ z2 - R2 en el punto: M 0)
se tiene que f'x = R , f[ = 3R , gx = - R , g'v = S R , g !z = 0
f í - g x + f l - g ' v + f l - g z
se conoce que eos 6 -
(./, )2 + (./, )2 + (./, )2+ (g'x)2 + (*, )2 + (g :f
9 D- |
e o s # - — — =z> 0 = 60°
4R 2
Se llaman las superficies que se cortan entre si formando un ángulo recto en
cada uno de los puntos de la línea de su intercepción. Demostrar que las
superficies x2 + y 2 + z2 - r 1 (esfera), y=x tg (plano) y z2 - (x2 + y 2)tg2cono
que son superficies coordenadas del sistema de coordenadas esféricas r, cp, vj/,
son ortogonales entre si.
Desarroíto
Como las coordenadas esféricas son r, (p, V|/, se tiene que:
x = r eos cpeos |/
y = r eos cp sen i|/
z = r sen cp y consideremos f(x, y, z) = x2 + y 2 + z2 - r2, g(x,y) = y - x tg cp,
h(x, y, z) = z2 - (x2 + y 2)tg de donde f x = 2x, f y =2 y , f i = 2 z , g'x = -tg ,
gy = 1, K = ~2xtg , hy = -2 jíg , = 2z
si (x0, ,z0) es un punto de la superficie entre dos
Xo + y l+ Zo = r1 > . zo = (xo + yo )lS ¥
para que las superficies sean perpendiculares deben cumplirse que:
ti-g x + fy -g y + fl-g '^ °> f ' K + f l - g y + f : ^ = °
tix.g‘x + hy,gy + h:.g'2 = 0 es decir: -2x0tg<p+ 2y0 = 0 = -2 j 0 + 2 j0 = 0
-4x0tg2<p- 4ytg2+ 4zq = -4z0 + 4z0 = 0
2x0tg(p.tg2y - 2y0tg2<p= 2y0tg2(p- 2y0tg2(p = 0
y
1993 Demostrar, que todos los planos tangentes a la superficie cónica z = xf(—) en
x
su punto M(x0,y0,z0) donde x0 ^ 0 pasan por el origen de coordenadas.
Desarrollo
y
Como z - x f (—) entonces en el punto M
x
ex x x0 x0
— = f '(— ) luego la ecuación del plano es:
8y xQ

1994
1995
simplificando se tiene: x (/(— ) - — f + f - yQ) - z - o
Xq *0 xo *o
que es la ecuación del plano que pasa por el origen
Hallar las proyecciones del elipsoide x2+ y 2 + z 2 - xy - 1 = 0 sobre los planos >
coordenados.
Desarrollo
Para hallar la proyección sobre el plano XOY se hace z = 0 obteniéndose
x2 + y 2- xy- 1= 0 en forma similar para el planoXOZ se hace y = 0 de 1
donde x2 + z 2 =1 y por ultimo para el plano YOZ se hacex = 0 de donde
y 2 + z 2 -1 = 0.
Demostrar que la normal, en cualquier punto de la superficie de revolución
* = /( > /? + y 2) ( / ’* 0) corta a su eje de rotación.
Desarrollo
Como z —f(y¡x2 + y 2) entonces se tiene:
dz _ / W * 2 + y 2)x 8z _ f J ? + y 2)y
yjx2 + J>2 & sjx2 + ^ 2
La ecuación de la normal es:
xf'(xjx2 + y 2) rf'(sjx2 + y 2) 1
j J J „ ( x - x h l T + 7 7 ( Y - y ) i
de donde Z - z -----------• - - - - - y Z - z ----------------
x2+ /
/ '(■S¡x2 + y 2) Xf '(sjx2 + y 2)
donde x,y,z son las variables de la recta normal.
Si x = 0 se tiene z = / (yjx2 + y 2) + -j2., , . 2 X , + y^
/x V ^ + 7 " )
Corta al eje de rotación para cualquier valor de x e y.
Si y = 0 se tiene z = f (y]x2 + y 2) + -
x2 + y 2
f'(¡x2 + y 2)
Corta al eje de rotación para cualquier valor de x e y.
6.12. FÓRMULA DE TAYLOR PARA LAS FUNCIONES DE
VARIAS VARIABLES.-
Suponiendo que la función f(x,y) alrededor del punto (a,b) tiene derivadas
parciales continuas hasta el orden (m —1) inclusive. Entonces se verifica la
fórmula de Taylor.
/ (x, y) = f(a,b) + Y![f'x(a, b)(x - a ) + fy(a, b y - 6)]
+~ [/» (a>b)(x ~a)2 + fyy(a, b){y - b)2 + 2 /" (a, b)(x - a)(y - b)]
+... + - [ ( x - a ) ^ - + ( y - b ) - ^ f f ( a , b ) +Rn(x,y) ... (l)donde
n ex oy
R(x, y) = — ’— [(*- a)— + (y - b ) ^ ] n+lxf(a + 9 (x - a b + 6(y - b)), (0<9< 1)
(« + !)! ex ay

1996
en otras anotaciones:
f ( x + h,y + k) = f(x, y) + I [hf' (x, y) + kf (x, y)]
(x, y) + 2hkf¡^(x, y) + k2f ”y(x, y)]
+ - ( h j - + k -^)nf (X,y ) + — L - ( hJ L + k J L y + ' f ^ + e ^ y + e k ) ... (2)
ni dx ay (« + 1)! ox dy
o bien: A/(x,y) = df (x,y) + ^ a2f(x,y) +... + — d nf(x,y)
2! n
+-—~rr,dn+if (x + 0h,y + Qk) ...(3)
(a + 1)!
para el caso particular cuando a = b = 0 la formula (1) recibe el nombre de
Maclourin.
Desarrollar f(x + h, y + k) en potencias enteras y positivas de h y k, si
/ (x, y) = ax2 + 2bxy + cy2
Desarrollo
f i = 2xa+ 2hy => f!L= 2a
f * y = 2b
fy = 2bx + ley => / " = 2c
f ( x + h,y + k) = f(x, y) + h f'+ k r ;+ ^(h2f ^ + 2 h k f ^ + k 2f ^ )
= ax2 + 2bxy + cy2 + 2hax + 2hby + 2kbx + 2kcy + ^ (h22a + 2h k 2b + k 22c)
/( x + h,y + k) = ax2 + 2&ry + cy2 + 2/i(ax + 6y) + 2k(bx + cy) + ah2 + bhk + ck2
1977 Desarrollar la función / (x, j>) = -x 2 + 2xy + 3y 2 - 6x - 2v - 4 para la fórmula
de Taylor en un entero del punto (-2,1).
Desarrollo
Calculamos sus derivadas en el punto (-2,1)
¿ = 0 , / ¿ = - 2 , / ; = 0 , / " = 6 , / " = 2
/(* , y) = f(a, b) + [f'x(a,b)(x - a ) + f ' (a,b)(y ~b)] +
+ («, b)(x - a ) 2 + 2 /" (a, ¿>)(x-a )(x -b ) + / " (a, b)(y - b ) 2]
/(x , y) = 1- (x - 2)2 + 2(x + 2)(y -1) + 3(y - 1)2
1978 Hallar el incremento que recibe la función f(x,y) = x2y al pasar de los
valores x = 1, y = 1 a los valores Xj = l + /z, yx= 1+ k
Desarrollo
f(x, y) = /( I + h, 1+ *) - /(1,1) = hf' (x, y) + kf' (x, y) +
+ i[/i2/ " (x, y) + 2*/>/" (x,y) + k2f £ (x, y)] +
+ 7 [*3/™ (x, y) + 3h2kf^ (x, y) + 3M 2/ " (x, y) + *3/ ^ (*, y)]
6
Luego /;(1,1) = 2, /" ( U ) = 2, 4(1 ,1 ) = 2, /^(1,1) = 1, / " = 0 ,
/¿{1.1) = 0, < (1 ,1 ) = 2, /"(1 ,1 ) = 0, ¿ ( 1 ,1 ) = 0

Reemplazando Af (x,y) = 2h + k + h2+ 2hk + kh2
1999 Desarrollar la función / (x,y, z) = x2 +y 2 + z 2 + 2xy - yz - 4x - 3y - z + 4 por
la fórmula de Taylor en el entorno del punto (1,1,1).
Desarrollo
Se conoce que:
f(x ,y,z)= f (a,b,c) + f x(a,b,c)(x -a ) + f'y (a,b,c)(y - b) + f, (a,b,c)(z - c) +
+ -^UÜx(.a>hc) t y - a)2 + f^ (a ,b ,f)iy -b )2 + f~l (a, b, c)(z-c)2 +
+2/,..(a, b,c)(y - b)(z - c) + 2f [!,(a,b, c)(x - a)(z - c)]
como f(x, y, z) = x2+ y 2 + z2 + 2xy - y z - 4 x - 3 y - z + 4 en elpunto (1,1,1)
' se tiene: f'x = 0, / f = 0 , f j = 2 ,
fy, = -1 , f '1. = 0, reemplazando se tiene:
f(x, y , Z) = (X- l ) 2 + ( y - ] ) 2 + ( z - 1)2 + 2(x - l X y - l ) - ( y - l X z - l )
2000 Desarrollar f(x + h, y + k, z + 1) en potenciasenterasy positivas de h, k y 1si
f(x, y ,z) = x2 + y 2+ z2 - 2xy - 2xz - 2yz
Desarrollo
Se conoce que: / (x + h,y + k,z + 1) - f (x,y, z) + hf$ + kfv + If¿ f
+ [ h 2f ¿ + + /2/ i + + ?hl4 + lk K - 1 - o )
como /(x ,y ,z) = x2 + y 2 + z2 - 2 x y - 2 x z - 2 y z entonces
f x = 2 x - 2 y - 2 z => / " = 2
f y = 2 y - 2 x - 2 z => f ‘¡y = 2
f ‘z = 2 z - 2 x - 2 y => / i = 2
4 = - 2 , / " = - 2 , / " = - 2
reemplazando en la ecuación (1) se tiene:
f ( x + h , y + k , z + l) = f ( x , y , z ) + 2h(x - y - z ) + 2h(y - x - z + 2 l ( z - x - y ) +
+h2 + k 2 + l 2 - 2 h k - 2 h l - 2 k l
2001 Desarrollar por la fórmula de Moclaurin hasta los términos de 2° orden
inclusive, la función / (x, y) = exsen y
Desarrollo
Se conoce que:
f ( x , y) = m 0) + x f í (0,0) + yf'y ( 0 , 0 ) +
+ ^ ( x 2 / " ( 0 , 0 ) + 2xyfÜy ( 0 , 0 ) + j>2/ " ( 0 , 0 ) ) ... ( 1 )
como / (x, y) = exsen y => f(0,0) = 0
f x ( x ,y) = exsen y => f'(0,0) = 0
füx(x ,y) = exs m y => /« ( 0 ,0 ) = 0

2003
f%(x,y) = excos v => /" (0 ,0 ) = 1
fy(x,y) = ex cosy => /^(0,0) = 1
/^ (x , v) = ~eJc.se«>> => 4 ( 0 ,0 ) = 0
/(* . J') = / (0,0) + xf' (0,0) + 7/ / (0,0) +
+ ~ (*24 (0,0) + 2xyf¿{0, OH y 2& (0,0)) +
+Jj(xV ^(0,0) + 2x24 (0,0) +3*2¿® (0,0) + y3/ ^ (0,0))
+ ¿ ( xV ^ ( 0 ,0 )+ 4 x V 4 (0 ;0 )+ 6 x V 4 y(0,0)+V / 4 ( 0 , 0 ) + / / J^(0,0))
como f(x,y) = eos x eos y en el punto (0,0) se tiene:
f(0,0)=0, 4 = 0 , 4 = 1, 4 = 0 , / ^ = 1, / ; = 0 , 4 = - i , ¿ = 0 ,
4 ^ = 1, 4 = 0 , 4 = 0 , 4 = o , / ^ = o , / ^ = i , 4 ^ = 0
reemplazando y simplificando se tiene:
f, ■, , *2 + / xA+6x2y 2 + y 4
f(x,y) = 1------^ + -
Desarrollar por la fórmula de Taylor, en un entorno del punto (1,1) hasta los
términos de 2o orden inclusive, la función / (x, y) - y x
Desarrollo
Se conoce que:
/(x , y ) = / o , i)+ i [/ ; a, ix * •-1) + / ' a, do* ■-1)■+4 o. ix * - o 2+
+4(i>ix*-])2+24 (i>Jx*-ixy -D]
como f(x,y) = y x en el punto (1,1) se tiene: f(l,l) = 1,¡ f ‘x = 0, f'y =1',
4 = 0 , 4 = 0 , 4 =1, ahora reemplazando se tiene:
f(x,y) = 1 + (y - 1) + (x - l)(y - 1)
2004 Desarrollar por la formular de Taylor, en un entorno del punto (1,-1) hasta los
términos de 3er. orden inclusive, la función f(x,y) = ex+y
Desarrollo
Se conoce que:
f(x,y) = / ( l , - l ) + (l.-ix* -1 )+ /v 0 - 0 0 '+ 1)]+
+ ^ [ 4 0. ~0(* - :i)2+ 4 (í-D C v.+ D2+ C1’ - 1X^ - 0 0 + 1)]
+ ^ [ 4 0 , - 0 ( * - 0 3 + 3 4 ( 1 ,- i) ( * - i) 20 + i )
+34 (i,-IX*-ixy +D2+4-(1*"00+D3]
como f(x,y) = en el punto (1,-1) se tiene: f(l,-l) = 1, f x = 1, 4 = 1 »
rW j W _ jfU _ j fU! _ i fUi _ | eiii _ j reemplazando se tiene:
f(x,y) = l + (x -l) + 0 >+ l) + -^ ((x -l)2 + (7 + 1)2 + 2(x-!)(>> + 1)

174
2005
+- [(* ■-O3+ Xx - 1)2(y + 1)+ 3 0 -l)(y + l)2 +(y + l)3]
f(x, v) = l + [(jr-1) + (v-t-i)]4.Kf... 1) + 0 ' + 1)]~ , [Q -Q + O + l)]3
2! 3!
Deducir las fórmulas aproximadas, con exactitud hasta los términos de 2do
orden, con relación a las magnitudes ce y p para las expresiones:
a) a r c t g b) k + a f + ( + P)n
Si | a | y | p | son pequeños en comparación con 1.
Desarrollo
1-f"ex
a) Sea f ( a ,p ) = arctg -——, de donde se tiene:
f ' = 1 rh _ 2(1-/?)(! + a-)
(1+a)2 + ( - p ) 2aa [(i + a )2 +(i_^)2]2
: / - 1+« f n _ 2(1 - /?)(! + a)
P (1+ a )2 + (1-/?)2PP [( + a)2
u _ (1- ß ) 2 - ( - a ) 2
j aß - —-----, haciendo a = ß = 0
t d + « ) 2 + ( l - / ? ) 2 ] 2 H
setiene: f ' = 1 , = 1 , f'ß = 1 , i
f(0,0) = arctg 1 = 45° reemplazando en la formular de Taylor se tiene:
“re' ^ = 45°+T i(f+| ) +^ Y ' l - )=45°+íT ?+2^
, ^ (l + a)m+( + ß )n ^ ^ ^
b) Consideremos f ( a ,ß ) = J ------------------- de donde
/ = _ m(l + a )m 1
/a
( í + a r + o + w "
, 1 = £ i| í ¡ í ¡ r 5 Í ± Z (m- 1XH 0 r 2 - (i +, ) - '
n(i + / ? r '
h
(l + a )m+(! + /?)"
fH _ _
4V
( « - i K i - « r - a + ^ ) (~¡=
J c T ^ f + o + Æ "
A = < f a + A )-' 1
para a = ß = 0 se tiene: f(0,0) - 1, / j - — , / a6r - ^ (3/w 4), f ß ^ ,
/ " = — (3n - 4), /** =-7 7 , reemplazando se tiene:
^ 1 6 ^ 1 6
|(l+a ) " + (l + fl" = mQr+ Wjg +_l_ m 2+^ (3w_ 4)2_ ^ ]
2 4 2! 16 16 16

m rÀ À Æ 4w ré£ïm vw < R m pf
2006 Aplicando la fórmula de Taylor, hasta los términos de 2do orden, calcular
aproxim ateétiík — ..'^TTOi/ 95p i
Desarrollo
1m(^+í)rn
a) Sea f(x,y) = Jx<¡y en el punto (|^ tic‘íi<%+ [) (
r¡ _ ^ S'il 1 r¡ 1 rll ^ ríl ^ .
J x ~ >J x x = - > J y = - > Jyy = - ~ f ry = ~ entonces^ wxx . » — cr2- ^ — 2^-
- - - +I)W-----M> + I ) - £- > + lX l-m )-^ ± ° t m(:ft+1)l ^ ^ Ba
(t + [)+ TO( ^ x ’-HJi, y + k) = f(1 + 0.03, 1- 0.02) £ ” *
/( I + 0.03,1 - 0.02) = /(1,1) + - (0.03) - 0.2(—) +
2 ' ‘^X 3-!)» _ a
~w(^ + i)+ "'(^ + Ulj v i vT ‘3U-
+—[(0.03)2(——)2 -2(0.03)(Ôç02)———i^-0.02)2] = 1.0081
b) Considérenlos f ( x íy) = xy en el p¡ü)jto^t,2)f'serti^ieque f(1,2) = 1.
(===========q¡-) (í +T)— ím-I)U -tv)---- ---------------- - = w,
" (^ + [)-m(»+[) £ u m
£ z T = ? , / » = 2 , / ; = o , 4 = o , 4 = 1
Luego f(x + h. y + k) - f( 1 0.Q5, 2 + 0.01)
■........ ;l-<— ----- -------- - y x f - K '- 'T C + H ^ « ^
/O - 0.05,2 + 0.1) = I - 0.05(2) + - (0.05)2(2) - 2(0.05X0.01X0.95)zo1
w „ m. w
- ~ ~ sY «• ‘ • •; M •- • •• ,,. .*1 (0.0)1 :‘jnob ‘s¿ 0 ■- í = .so Bisq
" = 1-0.1 + (0.05)2 -(0.05)(0.01) = 0.902
2007 Sea Z una función implícita de' X e y, determinada por la ecuación
3 di ^ * di ^
z - 2xz + y = 0 que toma el valor de z = 1 cuando x = 1 e y = 1. Escribir j
varios términos del desarrollo de la función Z.eñ potencias Creci
, sw,1 ■* * — i):
diferencias x - I é y 1.
ecientes de las»
Iunciones de Varias Variables 177
Desarrollo
Calcularemos su diferencial: 3z2d z - 2(x dz + z dx) + dy = 0
^ j j , 2zd x -d y dz 2z dz 1
De donde dz = ------------ entonces — = —------- y -
~,2 * ~ 73z - 2xdx 3z - 2x dy 3z - 2x
,2 2— (3z2- 2x) - 2z(6z — - 2)
d * dx 7 V gx
dx2 (3z2 - 2x)2
£ 5z 0Z
A2' ;T a2 *>Z---_ 25 z dy 8 z fa
dy2 (3z2 - 2x)2 ’ ô*ôy (3z2 -2 x )2
para x= y = 1= z se tiene:
8z 8 2z 8 2z 8z 8 2z
— = 2, ——= —16 , -------= 10, — = —1, — —= —6 . Luego
dx dx dxdy dy dy
2 = f(x, y) = 1+ 2(X-1) - (y -1) + i (-16(x - 1)2 -6 (v -1 )2 + 20(x -1 ) ( y - 1))
/(x , >•)=.! + 2(x - l ) - ( v - 1) - 8(x - 1)2 - 3(y - 1)2 + 10(x - ){y - 1)
6.13. EXTREMO DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES.-
lra. DEFINICION DE EXTREMO DE UNA FUNCION.
Una función f(x,y) tiene un máximo y un mínimo f(a,b) en el punto p(a,b), si
para todos los puntos Px(x,y) diferentes de p(x,y), de un entorno
suficientemente pequeño del punto P, se cumple la desigualdad f(a,b) > f(x,y) o
f(a,b) < f(x,y), el máximo o mínimo de una función se denomina extremo, en
forma similar se termina los extremos para una función de tres variables.

Ido. CONDICIÓN NECESARIA PARA LA EXISTENCIA DE
EXTREMOS.
Los puntos, en que la función diferenciable f(x,y) pueda alcanzar un extremo
(es decir, los llamados puntos estacionarios) se hallan resolviendo el sistema de
ecuaciones f !x(x,y) = 0 , fj¡(x, y) = 0 ... (1)
(Que es la condición necesaria para la existencia de extremo)
El sistema (1) es equivalente a la ecuación df (x,y) = 0, en el caso general, en el
punto extremo P(a,b) de la función f(x,y) o no existe df(a,b) o df(a,b) = 0.
3ro. CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE
EXTREMO.
Si P(a,b) es un punto estacionario de la función f(x,y) es decir df(a,b) = 0;
entonces
i) Si d~f(a,b)< 0, siendo dx2 +dy2 > 0, f(a,b) es un máximo de la
función f(x,y).
ií) Si d 2f(a,b)> 0, siendo dx2+dy2 > 0 , f(a,b) es un mínimo de la
función f(x,y).
iii) Si d 2f (a,b) cambia de signo, f(a,b) no es punto extremo de la función
f(x,y)
Las condiciones mencionadas equivalen a:
f'(a,b) = f'(a,b) = 0 y A = f"(a,b) , B = f “(a,b) , C = ,
formamos el discriminante A = A C - B 2, entonces:
i) Si A > 0, la función tiene un extremo en el punto P(a,b) y es un máximo si
A < 0 (o C < 0) y un mínimo si A > 0 (o C > 0).
ii) Si A < 0, en el punto P(a,b) no existe extremo.
iii) Si A = 0 en el punto P(a,b) no existe extremo (si A = 0 la existencia del
extremo de la función eri el punto P(a,b) queda indeterminada es
necesario continuar la investigación).
4to. CASO DE FUNCIONES DE MUCHAS VARIABLES.-
Para las funciones de tres o más variables las condiciones necesarias para la
existencia de extremos son análogas que los casos anteriores.
Sto. EXTREMO CONDICIONADO.-
Se llama extremo condicionado de una función f(x,y) en el caso más simple, al
máximo o mínimo de esta función, alcanzando con la condición de que sus
argumentos estén ligados entre si por la ecuación <p(x,y) = 0 (ecuación de
enlace) para hallar el extremo condicionado de la función f(x,y) con la
ecuación q>(x,y) = 0 se forma la llamada función de Lagrange.
F(x,y) = f(x,y) + X <p(x,y) donde X es un multiplicador constante
indeterminado, y se busca el extremo ordinario de esta función auxiliar. Las
condiciones necesarias para que haya un extremo se reduce el sistema de tres
ecuaciones.
ÊL = ^ +ÀÊ ^ ^ o
dx dx dx
... (2)
ay oy cy
con tres incógnitas, x, y, X de las que, en general, se pueden deducir estas.
El problema de la existencia y el carácter del extremo condicionado se resuelve
sobre la base di estudio del signo que tiene la segunda diferencial de la función
de Lagrange.

d 2F(x,y) = ‘^ d x 1 + 2 ^ - d x d y + - - - d 2 '
8x dxdy dy
Para el sistema de valores x, y, A, que investigamos, obtenido de (2), con la
condición de que dx y dy estén relacionados entre si por la ecuación
dx + dy = 0 , (dx2 +dy2 * 0).
dx dy / •*. n - v •i f.* • • ■
La función ftx,y) téhdrá un máximo condicionado, si d^F < 0 y un mínimo
condicionado, si d 2F > Ó; en particular, si el discriminante A para la función
F(x,y) en el punto estacionario es positivo, ert este punto habrá un máximo
condicionado de la función f(x,y)si A < 0 (o C < 0) y un mínimo
: . ■; *¡S<., ' / ^ •' f, - ; , ■:: > ' ¡ ' ' 1 '■%>/,' -
condicionado, siÁ > 0 (o C > 0).
rlUirt J « , iK.-U f f *>,!' ^ « ** ‘ 1 ' '
En forma similar para el caso de las funciones de tres variables.
iú fíOÜ {'{■y ‘lOÍCMUÍ iJ ‘)h (ítiiA h * ¡‘ í i t
Investigar si tiene extremos las siguientes funciones de dos variables.
J:JI í 4bl Ü J ¡ 1 r ' i .'i •í*: V * </ . • Jb '
2008 z = (x - l) 2+2 y2
Desarrollo
8fiJ /ifiifixáfi i )bíií/> 3b onfuríb?) «f n ro k md y ■b&niiyH9jí>bni
Sea 2 = f(x,y) - ( x « l)2 h- 2:v2 hallaremos los puntos estacionarios, para esto
encontramos las derivadas parciales:
— = 2(jc -1) = 0 => x =
(i) .dx
dz
-r = 4y = 0 => y = 0
dy
; x6 xS tó
=> p( 1,0) punto estacionario
ahora encontramos las derivadas parciales de 2do. orden en el punto p(l,0).
2009
2010
Formando el discriminante se tiene: A - AC - B 2 = 2(4) - 0 = 8 > 0 a A > 0
Luego en el punto P( 1,0) la función tiene un mínimo es decir: para x = 1,
y = 0 se tiene: z min = 0
z = ( x - l) 2- 2 y 2
Desarrollo
z = (x-1)2- 2 y 2 => — = 2 (x -l) =>
dx dx
dz d2z
— = -Ay => —^ = -4
dy dy
i ! £ = A (^ ) = A (2x- l) = 0
dxdy dy dx dy
para encontrar los puntos estacionarios se tiene:
dz
— = 0 de donde x = 1
dx
dz
— = 0 de donde y = 0
dy
d2z d2z d2z 2
dx dy dxdy
= 2 (-4 )-0 < 0
(1,0)
como A < 0, la función no tiene extremos.
z = x2 + xy + y 2 - 2x - y
Desarrollo

2011
z ± x ¿+xy + y ¿- 2 x - y => ^ = 2jc+ j - 2 = > — = 2
& ca
ce
öj>
o , .= x + 2y -1 => —- = 2
d z d
= ~ ( 2 x + y - 2) = l
dxdy dy
dz 0
para encontrar los puntos estacionarios se tiene: — = 0 v — = 0
ck Sy
de donde se tiene:
2x + y —2 = 0
x + 2y -1 = 0
resolviendo
x = 1
y = 0
dx2 dy2 xdxdy'
= (2)(2) —1 = 3 > 0
(1,0)
como
a2z
dx2
> 0 => existe un mínimo en el punto p( 1,0).
(1,0)
Es decir zmin = l2+l(0) + 0 -2 ( l) -0 => zmin = -l
z = x3y 2( 6 - x - y ) , (x > 0, y > 0)
Desarrollo
z = x3y 2( 6 - x - y ) => = x2y 2(18 - 4x - 3y)
dx ■• . . ' -■ ..'■■.
i.
~ = 12x3y - 2x4y - 3x3y 2
dy
2012
dz dz
encontraremos los puntos estacionarios para esto hacemos — = 0 y — = 0
dx dv
x V (1 8 -4 .v -3 v ) = 0 , , .
es decir: ' " > resolviendo el sistema se tiene:
12x3y - 2 x 4y - 3 x 3y 2 = 0J
x = 0, y = 0, p(0,0), x = 3, y = 2, p2(3,2)
— ~= 36x2y 2 - l x 2y 2 - 6 xy3, ^-^ = 12x3-2 x 4 -6 x 3y
dx2 dy2
cr ~ o ov2,,2
dxdy
■36x~y-8x y - 9 x y
^2^ ^2„ (j z
para el punto px(0,0) se tiene: A = —- . —- - (■■— - )2 = 0 => $ extremo
dx¿ dy dxcy
ahora veremos para el punto P2(3,2)
d2z d2zd2z 2 n ceLA d2z n
A = -— ------) =11664 y como — - < 0
dx2 ay2 dxdy dx2
=> se tiene un máximo en el punto P2(3,2) donde z max = 106.
z = x4 + y 4 - 2x2 + 4xy - 2y 2
Desarrollo
z = x4 + y 4 - 2x2 + 4x>’- 2y2 => — = 4x3- 4x + 4y
dx
dz" 3
— = 4y + 4 x -4 y
dy

2013
encontraremos los puntos estacionarios para esto hacemos: — = 0 a — = 0
dx dy
. 4x —4x + 4y —01
es decir: v resolviendo el sistema se tiene:
4y + 4x - 4 y = Oj
x = 0, y = 0 => P¡(0,0), x —y¡2
y = S => P2{ 4 l - 4 l )
x = -y¡2, y = y}2 => Pjí-V 2,72)
o2z í 2- a 2- d2z
Para los puntos /?,y P3setiene que: A= (— -)(—=-)- (— —) > 0 a —- = 0
dx dy cxdy dx~
entonces la funcióntiene unmínimo en z min = -8 ypara el punto/j(0,0) se
tiene A = 0 no tiene extremo.
*2 /z = xy,l¡- — - —
a b
Desarrollo
z = X } ¡ l - ^ y ~ ^ T = ~ - y / a 2b 2 - X 2 - V2
a b~ ab
cz = J L , j a 2b 2 _ x 2 _ y 2 __________ - O ’ _ ^ - 2 0 - /
a b j a ^ - x2 - j 2 ab^Ja2b2 - x 2 - y 2dx cib
CZ X
.Ja2b2 - x 2 - y 2 -------^ ^ a ^ x - 2 x ¿ - ¿
^ a^ abyfcYlY - x 2 —y 2 abJa^Y - x 2-_y2
& o!z
haciendo —- = 0 y — = 0 para obtener los puntos estacionarios se tiene:
dx dy
t unciones de Varias Variables 185
2014
a2b2y - l x 2y - y 3 = oj
a2b2x - 2xy2 - x3 = 0 |
resolviendo el sistema se tiene:
x = 0 ,y -0
Luego para los puntos /}(-J=-,-J=) y P2(--^j=,-—j=) se tiene:
d2z d 2z d2z 2 n d2z
(T T )(T T )~ (J i r ) >0 Ycomo T Tdx dy dxdy dx
A = (-rrX r-f) - ( t -ir ) 2 > 0 y como < 0
_ ab
entonces la función tiene un máximo en z max = —j=
3V3
y para los puntos y P4(--j=-,-y=r) se tiene:
A = ( J y X ^ 4 ) - ( ^ ) 2 >0 y como T T >0
dx ^y dxdy dx
entonces la función tiene un mínimo en Z min = -----j= para el punto P5(0,0)
3V3
se tiene A = 0 no tiene extremo.
2
z = 1—(x2 + y 2)3
Desarrollo
2 2xï 4X
z = 1—(x + >> ) => — = “
3 ^
4>>
x2 + /
3^x2 + /

2015
dz d
Haciendo — = 0 y ~ = 0 para obtener los puntos estacionarios es decir:
dx dy
^2z d2Z d2Z
x = 0 ; y = 0 y para este punto se tiene: —- = 0, — - = 0 y ------= 0
dx2 8y2 dxdy
y como para cualquier valor de x e y se resta de 1 de la grafica
2
z = 1- (x2 + y 2)3 se tiene z max = 1 esto ocurre en el punto (0,0).
z = (x2 + y 2)e~
Desarrollo
z = (x2 + y 2)e~(x2+y2) => - = (2x-2xy2 - 2 x 3)e-(^ 2)
dx
^- = ( 2 y - 2 x 2y - 2 x 3)e-{xi+y2)
dy
Óz cz
haciendo — = 0 y — = 0 para obtener los puntos estacionarios es decir:
d x d y
2x-2xy - 2 x = 0 |
2y - 2x2y - 2x3 = 0J
x = 0, y = 0, x2 + y 2 - 1 luego para el punto p(0,0) se tiçne:
d2z d 2z d2z 2 A d2z
A = (7 Í ^ T T ) - ( f ^ ) ¿ > 0 A T J <0dx dy dxdy dx
La función tiene un mínimo en z min = 0 para el caso en que x2 + y 2 = 1 se
d2z 1
tiene A > 0 y como ——< 0 , la función tiene un máximo en z max = —
dx e
2016
2016
l + x - y
z —- '
z =
+ x2 + y 2
Desarrollo
1+ x - y dz _ y 2 - x + xy + 1
1 2
+ x + y^ + x2 + y 2 dx yjl
dz x2 + xy + y +1
Qy >/i + -c2 + /
Haciendo — = 0 y — = 0 para obtener los puntos estacionarios es decir:
dx dy
y 2 - x + xy +1 = 0 I
-(x 2 + xy + y + 1) = 0j
^27 g2y ß22
x = 1, y = -1 de donde en este punto: A = (—~)(—ir) - (— f-)2 > 0
dx1 dy1 dxdy
d2z r
como: —- <0 => la función tiene un máximo en Z max = v 3
dx2
Desarrollo
- X + 1
dy y 2

O
Hacemos — = 0 y — = 0 es decir:
fir ay - 4 + 1=0
y
Resolviendo el sistema se tiene: x = 4, y - 2
c/ * ^ ^ ~ z Z
en donde para este punto se tiene: A ==(—-)(— -) - (------ ) > 0 y —- > 0
" " * dx“
(£ £ X^ ) _ (^ L
ÔX2 dv2 8x8/
entonces la función tiene un mínimo en: z min = 6
2016 z = ex~y(.x2 —2y 2)
Desarrollo
z - e x y(x2 ~2y2) => — = (x2 + 2 x - 2 y 2)ex y
dx
^ = (2y 2 - x 2 -4y)e*--v
8y
haciendo — = 0 a — = 0 es decir:
8x oy
x + 2x - 2y = 0
2y 2 - x 2 —4y = 0
resolviendo el sistema se tiene que:
x = y = 0, x = 4, y = -2 . Luegopara el punto/J(0,0) se tiene:
o2„ ^2z d2Z
A = (——■)(——) ~ (— :~ )2<0 no tieneextremo y para el punto P?(-4,2)
dx2 dy2 dxdy
2017
entonces la función tiene un máximo en z max = 8e 2
Hallar los extremos de las funciones de tres variables:
il = x2+ y 2 + z2 - xy + x - 2z
Desarrollo
u = x2 + y 2 + z2 -x y + x -2 z derivando se tiene:
du du du
— = 2 x -y + l, — = 2 y - x , — = 2z -2
dx dy dz
, . t du du du t t .
haciendo — = — = — = 0 para obtener los puntos estacionarios es decir:
dx dy dz
2 x - y + 1= 0
2y - x = 0
2z - 2 = 0
resolviendo el sistema se tiene: x = —, y =
3 3
, d u d“u d“u . d z
ademas —- = —- = — - = 2 a ------
dx dy dz" dxdy
= 2
8 2u 8 2u ,
------= 0 ; -------= 0 ademas se conoce que:
dxdz dydz
d2u2d2u j 2 d2u - 2 d2u i d“u „
a u = —-dx“ + — -dv + —-d z + 2 ------dxdy + 2---------------------dxdx + 2---dydz
dx dy * dz dxdy dxdz
d2u
dydz
2 1 d2u
en el punto (— ,— ) se tiene d 2u> 0 y como —-y > 0
3 3 dx
entonces la función tiene un mínimo en Z min = —
3

2018
2 z2 2
u = x + — + — + - , (x > 0, y > 0, z > 0)
4x y z
Desarrollo
r y' z2 2
Como u = x h----- 1-1— , se tiene:
4x y z
du _ y 2 du _ y z 2 du _ 2z 2
dx 4x2 ’ dy 2x y 2 9 dz y z 2
. du du du
naciendo — - — - — = 0 para obtener los puntos estacionarios es decir:
dx dy dz
1 - ^ = 0
4x
= 0
2x y 2
3 í - 4 = o
y z
resolviendo el sistema se tiene: x = ± —, y = ± 1, z = ± l
2
d_u= y _ 2f_ d _ _ 24_
dx2 2x3dy2 2x j;3 ’ dz2 y z3
g u _ d2u d2u _ 2z
dxdy 2x2 ’ dxdy ’ ôyôz j 2
1 d2u
para el punto (—,1,1), d 2u > 0 y como ——> 0 la función tiene un mínimo
2 dx2
en z min - 4 y para el punto: ( - —,-1,-1) no se tiene en cuenta de acuerdo a
las condiciones del problema.
2019
2020
Hallar los extremos de las funciones Z, dadas de forma implícita:
x2 + y 2+ z2—2x + 4y —6z —11 = 0
Desarrollo
Consideremos / ( x,y, z) = x2+ y 2 + z2 - 2x + 4y - 6z -11 = 0 de donde
f ' - 2 x - 2 , f ' = 2 y + 4, f ' = 2 z - 6 haciendo f'x = f :y = f l =0
para obtener los puntos estacionarios es decir:
2 x - 2 = 0
2y + 4 = 0
2z - 6 = 0
resolviendo el sistema se tiene que: x = 1, y - -2, z - 3
como x1 + y 2 + z2 - 2x + 4y - 6z -11 = 0 determina dos funciones es decir:
z = 3±y¡25-(x-)2 - ( y + 2)2 para una función en el punto x = 1, y = -2 se
tiene un máximo en zmax = 8 y para la otra función en el punto x = 1, y = -2,
se tiene un mínimo en zmin = -2 .
x3- y 2 - 3x + 4y + z2 + z - 8 = 0
Desarrollo
Sea f(x ,y, z) = x3- y 2 - 3x + 4y + z 2 + z - 8 = 0 de donde se tiene:
f ' = 3x2 - 3, fy = —2y + 4 , f ' =2z + l dedonde f !x = f ' =0
para obtener los puntos estacionarios es decir x = ± 1, y = 2. Luego para el
punto /}(1,2) se tiene:

2021
2022
d2z d 2z d2z 2 d2z
A = (—-)(— -) - (-----) > 0 y como ——> 0 la función tiene un mínimo en
dx2 8y2 8x8y dx2
zmin = 1’ Para punto /J(-l,2) se tiene > 0 y A < 0 =^> la función tiene un
máximo en zmax = -2 .
Determinar los extremos condicionados de las funciones:
Z = xy si x +„y = 1
Desarrollo
Sea F(x,y) = xy + a (x + y - 1) de donde se tiene:
F;.=y + A, F ; = x + A, F " = 0 , F " = l , F " = 0
formamos el sistema siguiente
F '= 0
F'y =0
x + y = 1
y + A = 0
x + A = 0
x + y = 1
x = y = - , /i
2
diferenciando x + y = 1 se tiene dx + dy = 0 además d ¿F = -2dx2 <0
1 1)
2 2
entonces la función tiene un máximo en: Z max = — para el punto (—,—)
4 ^ ^
z = x + 2y , si x2 + y 2 = 5
Desarrollo
Sea F(x,y) = x + 2 + y + A(x2 + y 2 - 5) de donde
Fx =l + 2Ax, F ; = 2 + 2Ay, F ''=2A, F “ = Q , F £ = 2 A
ahora formamos el sistema siguiente:
2023
í1+ 2A.r = 0
> =z> ¡2-r 2Ay = 0 resolviendo el sistema se tiene:
(x2+ y 2 -5 = 0
x= 1, y = 2 , Á= , x = -1, v’= - 2 , i = -
2 2
como d 2F •=2A»(dx2 -rdy¿) para x p 1, y *=2, i =
Se tiene d 2F < 0 la función tiene un máximo en zmax = 5
l, y - -2, A = "• se tiene: d 'F >0 => la función tiene un mínimo
2
-5
para x =
e n z min =
f; = g
K = o
<p(x,y) = 0
Desarrollo
Sea F(x, v) = x2+ v2 + i(~ -f -- -1) de donde:
2 3
K - 2v + . F; = 2y + ~ . F« = 2, F¿ = 0, F ^ = 2
Fv =0
f , ; = o
<p(x,y) = 0
2x + —= 0
2
2y + “ ==0 resolviendo el sistema se tiene:
■* 3
. í + Z - i ^ o
2 3

2024
x = ÌS _ 12 __^72
A~ 3 ’ ’ ~ 13 ’ / í ~ 13
para este punto se tiene d AF = 2{dx2 + dy2) > 0
la función tiene un máximo en Z max
36
13
2 ? 71
z —eos x + eos y~ , si y —x ——
4
Desarrollo
Sea F(x,>’) = eos2x + cos2 v + A( y:—x - —) de donde: F!x = - 2 eosx.senx-A
4
F}' = -2 eos y sen y , F". =¿-2 eos 2x, Frv = -2 eos 2 j , = 0
Formamos el sistema siguiente:
F¡c ~ 0
f; = o
<p(x,j;) = 0
-2 eos x sen x - À = 0
-2 eos .ve« y + A = 0
7Z
y - * ~ 4
=> .se«2x - 2>’
yT /T
como V= x H— ==> sen 2x = -sen(2x H— )
4 2
2x = -serc 2x eos —- 5^/7—eos 2x => sen 2x = - eos 2x
2 2
sen 2x = - eos2x + sen2x => 2s<?tfx eos x = 2sen2x - K de donde
sen x - 8sen~x + 1= 0 , de donde sen x = ±
2±2 sen x = ± 0.9238 y,
2025
sen x = ± 0.3856 de estas soluciones tomamos las siguientes:
para x = 67.5°, y =157.5°
3 7 1
senx = 0.9238 => x = arcsen(0.9238) = -----vkn donde k = 0,1,2,3.
8
Sen x = -0.3826 => x = aresen (-0.3826)
x = - n + kn para k = 0,1,2, en este punto d 2F > 0 la función tiene un
8
3 3
mínimo en el punto (—n + k7i ,—k + k7r)
^ ■ 2- V 2 , , J k , 9n . .
Z min = -------- y para el punto (— + kn,— + kn)
2 8 8
de donde d 2F < 0 => la función tiene un máximo en: Z max =
2 + y¡2
u = x - 2y + 2z , si x2 +.y2 + z2 =9
Desarrollo
2 , 2 . 2
Sea F(x,y,z) = x - 2 y + 2z + Á(x +y~ +z - 9 ) , de donde se tiene:
Fi = 1+ 2Á x, F = -2 + 2Ay , F /= 2 + 2Az, F " = 2A , F" = 2 ¿ , Fz" = 2A
F /V= 0 , F" = 0 , FÍÍ = 0. Formamos el sistema siguiente:
K =o
F'y =0
íK*,.y) = o
1+ 2x = 0
-2 + 2j/ = 0
x2 + .y2 + z2 =9

2026
x = ± 1, y = ±2, z = ±2, Â =+-^ además d 2F = 2A(dx2 + dy2 + dz2)
para los valores x = 1, y = 2, z = 2, A ■
1
se tiene d 2F < 0 => la función tiene un máximo en z max = 9
1 2
para los valores x = -1, y = -2, z = -2, A = — se tiene d F > 0
entonces la función tiene un máximo z min = -9.
2 2 2
u = x2 +jy2 + z2, si ^y + ^ + ^j- = l ( a > b > c > 0)
a f r e
Desarrollo
2 2 z2
Sea F(x, y, z) = x2 + y 2 + z2 + + “ ó"-1) de donde se tiene:
a b e
_/ _ 2/lx
F'x = 2x + — ,
a
_ / _2/1y
= 2 v + — - ,
^ z,2
F =2 +
2A
F11 =2 + — F " - 2 + — f " = F " = F " = 0^2 ’ zz 2 ’ J'2 xz
Ahora formamos el sistema siguiente:
^ = 0
^ =0
f 'z=0
iz’(-ï,>’,z) = 0
_ 2x _
2x + — = 0
* 4 f - .
2z + ^ - = 0
c
2 2 2
x y z ,— + — + - y - 1
fl2 b2 c
2027
para x = ± a, y = z = 0, A = -a
y = ± b, x = z = 0, A = - b 2
z = ±c, x = y = 0, A = -c 2
para x = ± a, d 2F < 0 tiene máximo en Umax = a
para z = ± c, d 2F > 0 ti ne mínimo en Umin = c
u = xy2z3, si x + y + z=12, (x,y,z>0)
Desarrollo
Sea F(x,y,z) = x 5 +A(x + y + z - 12) de donde: F ^ = y 2z3 +A,
F'=2xyzi +Á, F'z ixy2z2 +À, F" = 0 , F ^ = 2 x z F'Jz = 6xy1z,
F" = 2yzi , F" = 6x , /'v. = 3>,2r 2, formamos el sistema siguiente:xy
K =o
F'y =0
F[ =0
p(x,y,z) = 0
z + A —0
cyz3+ A = 0 resolviendo el sistema se tiene:
3xy2z2 +A = 0
x = 2, y = 4, z = 6, X = -3456
donde este punto d F < 0 => la función tiene un mínimo en Umin = 2.4 .6
¿028 u = xyz con las condiciones x + y + z = 5, xy + yz + zx = 8
Desarrollo
Sea F(x,y,z) = xyz + X(x + y + z - 5) + P(xy + yz + xz - 8) de donde:

198 Eduardo Espinoza Ramosi
Fx = yz + À + ß y + ß z ,
además se tiene:
Fy = XZ + À+ ßx + ß z , Fz = xy + A.+ß y + ßx
F11 = F11XX Myy
Fxí = y + ß ahora formamos el sistema siguiente:
F± X = 0
F 1y = 0
K = 0
ç>(x9y,z) = 0
y/(x9y,z) = 0
yz + A+ ß y + ß z = 0
xz + Â+ ßx + ßz = 0
xy + A + ß y -f ßx = 0 resolviendo el sistema se tiene que:!
x + y + z =5
xy + yz + xz = 8
3 16 « 4 *• D, 4 4 7x o / 4 7 4 x n , 1 4 4^
para X = - , f . ~ s e t,e„e: W j í j . j ) , « ( 3 . 3 . 3). ^ < 3 . 3 .7 )
para A, = 4, (3= -2, se tiene: P4(2,2,l), P5(2,l,2), P6(l,2,2)
como las condiciones son:
x + y + z 5 , xy + yz + xz = 8 diferenciando se tiene dx + dy + dz = 0
(y + z)dx + (x + z)dy + (y + x)dz = 0
resolviendo en términos del diferencial dy se tiene:
, z - y , , x - y ,
dx = -------- dy , dz = -----—dy
z - x z - x
d 2F■.=(z + A)dxdy +.(x +.J3)dy dz + (y + (3)dxdz para A = ~ - , ¡3 = en
112
estos puntos d 2F < 0 entonces la función tiene un máximo en Umax = — y
para los valores A, = 4, [3 = -2 en estos puntos d 2F > 0 la función tiene uflj
mínimo en Umin = 4
2029 Demostrar la desigualdad X f —> %Jxyz , si x > 0, y > 0, z > 0
INDICACIÓN: Buscar el máximo de la función u = xyz con la condición de
que x + y + z = s
Desarrollo
Sea F(x,y,z) = xyz + A(x + y + z - s) de donde: Fx = yz +A, Fy =xz + A ,
f ' = xy + A además: Fxx = F^ = F" = 0 , F^ = z , F" = x , Fxz = y
Fx =0
O
II
+
F Í = 0 xz + A = 0
ahora formamos el sistema siguiente: > => -
i
II
O
xy + A = 0
<p(x,y,z) = 0 x + y + z =
resolviendo el sistema se tiene que para A = —— ; x = y = z = -
s s s
como d 2F < 0 la función tiene un máximo para el punto en
53
umax = —
27
Luego la desigualdad X+ ^ --- > tfxyz es verdadera con lo cual queda
demostrada.
2030 Determinar el máximo absoluto de la función: z = 1 + x + 2y en las regiones:_
a) x > 0 , y > 0 , x + y < l
b) x > 0 , y < 0 , x - y < 1

200 Eduardo Espinoza Ramos j
Desarrollo
Examinando en la frontera de la región.
Cuando x = 0 se tiene z = 1 + 2y como x + y < 1 entonces zmax = 311
en el punto (0,1) y además en el punto (0,0) se tiene Z min abs = 1
Ahora cuando y = 0 se tiene z = 1 + x como x + y < 1 entonces z max I
abs = 2 para el punto (1,0) y para el punto (0,0) se tiene Z min abs = 1,1
luego el valor máximo absoluto es z = 3 para el punto (0,1).
Cuando x = 0 se tiene z = 1 + 2y, -1 < y < 0 como x - y < 1 (veri
gráfico) => Z max abs =1 en el punto (0,0) y en el punto (0,-1) se tiene I
z ——1min 1 •
Ahora cuando y = 0 se tiene z = 1 + x, 0 < x < 1 = > z max - 2 en el j
punto (1,0) y en el punto (0,0) se tiene: Z min abs = 1.
Luego el valor máximo absoluto es z = 2 para valores de x = 1, y = 0.
2031 Determinar el máximo y mínimo absoluto de las funciones:
a) z - x y b) z = x2 - y 2 en la región x2 + y 2 <1
Desarrollo
a) Suponiendo que x2 + y 2 = 1 => x2 = 1- y 2
o ^ ^ clz o
como z = x y = y ( l - y ) = y - y z de donde — = 1 -3y = 0
dy
1 / 2 2 1
y - ± — r, x = ±^j— luego se tiene para el punto (±y~,-^=r)
Z max abs = y para el punto (.
! 4 >-
Z min abs = -
3y/3
b) Sea f(x,y) = x2 - y 2 +Á(x2 + y 2 -1) de donde:
f ' = 2x + 2Ax, f ‘ = 2l y - 2y , / " =2 + 2 1 , f ^ = 2 A - 2 , / " = 0
ahora formamos el sistema

202
2032
Eduardo Espinoza Ramos I
4 = o
4 = 0
<p(x,y) = 0
2x + 2Áx = 0
2Ày - 2y = 0 resolviendo el sistema se tiene:
x2 + y 2 = 1
para X = -1, x = 0, y = ± 1
X = 1, x =' ± 1, y = 0
Luego se tiene que para el punto (±1,0) se tiene z max abs = 1 y para el
punto (0,±1) se tiene z min abs = -1
Para la región dentro del circulo el valor de la función es menor que 1 y 1
v
menos - 1.
Determinar el máximo y mínimo absoluto de las funciones z = sen x + sen y
71 K
sen (x + y) en la región 0 < x < —, 0 < y < —
Desarrollo
Como z = sen x + sen y + sen (x + y) entonces
dz dz
— = eos x + cos(x + y ) , — = eos y + cos(x + y) y para encontrar los puntos 1
dx dy
. 'i dz . dz _ , . cosx + cos(x + y) = 0l
estacionarios hacemos — = 0 , — = 0 es decir: >
dx dy eos y + cos(x + y) = 0J
de donde eos x + eos y = 0 => x = y , x = -y
reemplazando en la ecuación eos x + eos (x + y) = 0
eos x + eos 2x = 0 => 2eos2x + eos x —1= 0 .
- i + v r +8 - i± 3 i
eos X= --------------= -------- => eos x = —
4 4 2
del ejercicio. Luego para el punto (—,—) se tiene un máximo interno
x = — como x = y => y = — como ~ < — está dentro de las condiciones
3 3 3 2
y para el caso de que eos x = -1 => x - ti que no está dentro las condiciones
io. L
3V3
Zmaxabs = y para el punto (0,0) se tiene un mínimo en la frontera
Z mina6v = 0.
2033 Determinar el máximo y mínimo absoluto de la función 2 = x3 + y3- 3xy en la
región 0 < x < 2 , -1 < y < 2
Desarrollo
Como z = x3+ v3~ 3xyentonces se tiene: — = 3x2 -3 y , — ■= 3y2 - 3x y
dx ' dy y
para encontrar los puntos estacionarios hacemos — = 0 , — = 0 es decir:
dx dy
3x2 - 3 y = 0
3y2 - 3x = o]
resolviendo el sistema se tiene: (0,0) y (1,1)
ahora de acuerdo a las condiciones del problema se tiene cuando x = 2, y = -1
se tiene un máximo absoluto (máximo de frontera) en z = 13 y cuando
x = y = i se tiene un mínimo absoluto (mínimo interno) en z = -1 y cuando
x = 0, y = -i se tiene mínimo de frontera en z = -1.
6.14, PROBLEMAS DE DETERMINACION DE LOS MAXIMOS
Y MÍNIMOS ABSOLUTOS DE LAS FUNCIONES.-
2034 Entre todos los paralelepípedos rectangulares de volumen V dado, hallar aquel
cuya superficie total sea menor.
Desarrollo

Por condición del problema se tiene:
V = xyz de donde 2 = — además la superficie es:
XV
2 XV 2 yV 2v 2v
A.= 2xy + 2xz + 2yz d donde: A = 2xv + ——+ :----=> A = 2xy + — + —
xy xy y x
Derivando se tiene: — = 2y
dx ' x
v cA 2v
2 ’ a v y 2
? r —■= ZX
dA cA
Haciendo — = 0, — = 0 para obtener los puntos estacionarios se tiene:
dx dy
2V
2 y _ = 0
2 V
2x ---- —= 0
resolviendo el sistema se tiene que: x = y = %¡V
d A 4V d~A 41 d2A
^ 2 3 ’ 2
CX X dy2 y* ' dxdy
~,2 a > i a 2 a.C~A..C‘AX ,c! A 2 ^r- O A
(— --)(— —) - (-) > 0 en el punto x = y = v V y como — —> 0
~ ~ dxdyox ov ox
Iunciones de Varias Variables 205
la superficie total seria menor cuando x = y = z = 2jv donde At = 6V3
2035 Que dimensiones deberá tener un baño abierto, de volumen V dado, para que
su superficie sea la menor posible?
Desarrollo
V
Consideremos las dimensiones del baño x,y,z donde: V = xyz => z = —
xy
resolviendo el sistema se tiene: x = y = yflV
> 0 .
d2Ad2A o2A d2A 2 A
como dx2 dy2 dxdy
Luego la superficie es mínima para x = y = [ZV , z = ~

206
2036
Eduardo Espinoza Ramon
Entre todos los triángulos de perímetro igual a 2p, hallar el que tiene mayo«
area.
Desarrollo
condición del problema:
x + y + z = 2p ... (a)
además el área de un triángulo conociendo sus lados es:
A = yjP(P - x)(P - y)(P - z) , como z = 2p - x - y, reemplazando se tiene:
A = y¡2p3(x + y ) - p 2(x2 + y 2 + 3xy) + pxy(x + y ) - p 4
dA _ 2p 3 - 2 p 2x - 3 p 2V + 2pxy + py2
°x 2y¡2 p 3(x + y)~ p 2(x2 + y 2 +3xy) + pxy(x + y) - p 4
dA _ 2p 3 - 2 p 2y-2px-- px2 +2pxy
dy 2^¡2p3(x, y) —p 2(x2 + y 2 + 3xy) + pxy(x + y) - p A
formando el sistema siguiente:
^ = 0
dx
dA
dy
= 0
[2p 3 —2p 2x - 3 p 2y + 2pxy + py2 = 0
[:2p3 - 2 p 2y - 3 p x + px2 +2pxy = 0
... (1)
... (2)
x - y = 0
x + y - p =0
simplificando y sumando (1) y (2) se tiene: (x - y)(x + y - p) - 0 de donde:
x = y
x + y = p
como 2p3 - 2 p 2x - 3 p 2y + 2pxy + py = 0 j
2p 2 - 2 px - 3py + 2xy + y = 0 como x = y tenemos:
¡'unciones de Varias Variables 207
2037
2p 2 —2px —3px + 2x2 + x2 = 0
2 2 2P
3x - 5px + 2p = 0 de donde al resolver se tiene: x = — = y = z
Luego se trata de un triángulo equilátero.
Hallar el paralelepípedo rectangular de área s dada, que tenga el mayor
volumen posible.
Desarrollo
Se conoce que: V = xyz
S = 2xy + 2xz + 2yz => z =
S -2xy
2 (x + y)
Luego V = ——LI— derivando se tiene:
2(x + y)
ÔV 1,Sy2 - 2 x 2y 2 - 4 x y 8 V _ 1 Sx2 - 2 x 2y 2 - 4 x3y
(x + y)¿ dy 2 ' (x + y )2
formando el siguiente sistema se tiene:
dV
dx
dV_
dy
= 0
0
S - 2 x 2 -4xy = 0
s - 2y2 - 4xy = 0
x = y
S —2x
como S = 2xy + 2xz + 2yz => S = 2x2 + 4xz => z = ---------
4x
como s - 2x2 - 4xy = 0 => s - 2x2 = 4xy

2038
2039
S - 2x 4xy
Luego z = ----------= ------= y ; x = y = z. Luego se trata de un cubo
4x 4x
Representar el número positivo A en forma de producto de cuatro factores
positivos, cuya suma sea la menor posible.
Desarrollo
De acuerdo a las condiciones del problema se tiene: a = xyzt, s = x + y + z + t
Sea f(x,y,z,t) = x + y + z + t +X(xyzt) de donde se tiene:
f !x = 1+ Xyzt, fy = 14-Axzt, / / = 1+ Axyt, / / = 14- Axyz
formando el sistema se tiene:
/ ; =o
f y = °
fz = °
/ / = o
(p(x,y,z,t) = 0
1+ yzt = 0
14-xzt = 0
1+ yyt = Q
14- xjyz = 0
xyzt = «
resolviendo el sistema se tiene: x = y = z = t = a4 .
l i l i
Luego a = a4.a4.a4.a4
En el plano XOY hay que hallar un punto M(x,y) tal, que la suma de los
cuadrados de sus distancias hasta las tres rectas x = 0, y = 0, x - y + 1 = 0 sea J
la menor posible.
Desarrollo
condición del problema es: F = [d(A,M)f +[d(B,M)]2 +[d(M,C)]2
De donde: d(A,M) = y , d(B,M) = x , d(M,C) = ——
-V 2
Luego / (x, y) = x2 + y 2 4-—— derivando se tiene:
f ' x = 2x + ( x - y + ), f y = 2y - ( x - y + l)
es decir: / x7= 3x - y +1, f y = 3j - x - 1, formando el sistema se tiene:
f x ~ o| í3x - +1 = 0 1
> => < => x = 7 = —
f ' y = 0J [ 3 ^ - x - l = 0 ^ 4
Luego el punto M (x, j ) = M ( i ,
2040 Hallar el triángulo de perímetro 2p dado, que al girar alrededor de uno de sus
lados engendra el cuerpo de mayor volumen.

Desarrollo
Aplicando la ley de cosenos se tiene:
y 2 = X2 + z2-2xzcos# =>cos# =
^ 2 2
x ' + z ^ - y
2xz
además eos2(9= 1- sen16 reemplazando se tiene:
1-sen20 = (2z>_/*2+z2 y l f => sen26 = 1 ---- Z__)2
2xz 2xz
además se tiene sen6 = — => h2 = z 2sen26
z
por condiciones del problema se tiene:
h 2x
x + y + z = 2p y V = ——, reemplazando se tiene:
7Th2X TtX 2 2/) >TXZ3 ^ t
F = -------= — z sen &= ----- --------- ))
3 3 3 2xz
y = V *2z2 -( * 2 +*2 - J '2)2)
3 4x
....
¡■'unciones de Varias Variables 211
por el multiplicador de Lagrange se tiene:
^ 4x2z2- ( x2+ z2- ^ 2)2
f(x,y,z) = —(------------- ----------------+ Á(x + y + z - 2p))
3 4x
' i _ n 2x2y2+ 2x2z2- 2y 1z 1- 3x4+ y 4 + z4
J _ ---/------------------------- ------------------------ ) + A
12 *2
y 12 X
/ * 4x2z+ 4 / z- 4 z3
A = — (-----------------------)+ ^
12 X
formado el sistema siguiente se tiene:
/,' = o
f y = 0
/ / = 0
^ 2x2j 2 +2x2z2—2y2z2 —3x4 + jy4 + z4
— (----- ------------------^ ------------- ------) + /l = 0 .
12 X2
12 X
jr 4x2z+ 4 / z- 4 z3
12 X
- O)
•• (2)
•• (3)
(x,y,z) = x + y + z = 2p
resolviendo el sistema se tiene: de (2) y (3) tenemos:
(4)
( z - y ) ( z 2 + 2 yz + y 2 - x 2) = 0 luegoy = z, z2 + 2yz + y 2 - x 2 = 0
de (2) y (1) se tiene que:
2x2_y2 + 2x2z2 - 2^2z2 - 4x3- 3x4 + y 4 + z4 + 4xz3- 4xy2z = 0 (5)
reemplazando y = z en las ecuaciones (4) y (5):

2041
-3x2 - 4xy + 4y2 - 0 ...(6)
x + 2y = 2p ... (7)
3
de (7) despejamos x = 2p - 2y reemplazando en (6) se tiene que y - —p
como x + 2y = 2p => x = —
2
luego los lados del triangulo es: x = ~ > y ~~^P9 z =
En un plano se dan tres puntos materiales: Px(xx,y¡) , P2(x2,y2) y P3(*3,y3)
cuyas masas respectivas son mx, m2 y m3 , que posición deberá ocupar el
punto P(x,y) para que al momento cuadrático (momento de inercia) de este
sistema de puntos, con relación a dicho punto P (es decir, la suma
mxPXP2 + m2P2P2 +m3P3P2) sea el menor posible.
Desarrollo
De acuerdo a las condiciones del problema se tiene:
/ = ml( x - jtj)2+m2( x - x 2)2 + m3(x- x3)2 de donde
diy
——= 2mx( x - x{) + 2m2( x - x 2) + 2m3(x- x3) = 0 , entonces
dx
(2m{ + 2m2 + 2m3)x = 2mxxx+ 2m2x2 + 2m3x3 de donde se tiene:
mxxx+ m2x2 + m3x3
x - -
mx+m2 + m3
h =™l( y - y 1)2 +m2( y - y 2)2 +m3( y - y 3)2
~ = 2mx( y - y x) + 2m2( y - y 2) + 2m3( y - y 3) = 0
(2mx+ 2m2 + 2m3)y = 2^ ^ ! + 2m2y2 + 2w3 de donde se tiene:
mlyl +m2y2 +m3y3
mx+m2 + m3
2042 Hacer pasar un plano por el punto M(a,b,c) que fonne con los planos
coordenados un tetraedro que tenga el menor volumen posible.
Desarrollo
X V z
La ecuación del plano que intercepta a los ejes es: — h— h— = 1
a ' b' c'
además el plano pasa por el punto: M(a,b,c) => — + — + — = 1
a ’ b ' c f
ahora formemos la función de acuerdo a las condiciones del problema:

2043
donde k es un factor de proporcionalidad.
Ueg° ~fa'~^2k ~ a '2 8b'~ 2kÁb '2 ’ dc'~ 2k c '2
Formando el sistema se tiene:
^ = 0
de'
a b e
— + — + — = 1
a' b' c'
^ = 0
da'
dv_
db'
= 0
b'e' Aa
2k
a'c' Àb
. 2k b'2
= 0
= 0
2k ~'2
Á — = 0
c'
a b e
_ + — + — = 1
a' b' c ’
resolviendo el sistema se tiene que: — = — = — y reemplazando en la ultima
z' b' c }
ecuación se tiene: a' = 3a , b ' = 3b , c' = 3c
como jP = — +
a' b' c'
* ■* ■ z = i => p = * + Z + £ =3
a b e
Inscribir en un elipsoide un paralelepípedo rectangular que tenga el mayor
volumen posible.
Desarrollo
2 2 2
x y z
La ecuación del elipsoide es: — + -r- + — = 1
a2 b2 c2
Y el volumen del paralelepípedo es xyz.
2 2 2
X v z
Luego formamos la función: V = xyz + A(—- + — + — -1) de donde:
a b c
2044
8 V 2Áx GV 2Ay dV 2Az
— = y z + — , — = XZ+ — - , — = xy + —
ex a ey Ir ez c
ev
- = u yz +
2Av
ex
d v
ey
dV_
dz
■0
2Ax A
yz + —— = 0
a
xz + - =0
<p(x9y,z) = 0
2Az
xy + — = 0
x2 >>2 z2 ,
— + - J + - -1
a b e
resolviendo el sistema se tiene: de (1), (2) y (3)
^ = z2
az b2 c
x y
— = — = — reemplazando en la ecuación (4) se tiene:
a b e
x = ^ = ± ^ß ’ 2 = est0 es en *os semiejes.
... (2)
... (3)
- (4)
Luego las dimensiones del paralelepípedo es:
2a 2b_ 2c_
V 3’ S ' V3
Calcular las dimensiones exteriores que deberá tener un cajón rectangular
abierto, del que se dan el espesor de las paredes 8 y la capacidad (interior) V,
para que al hacerlo se gaste la menor cantidad posible de material.
Desarrollo
Si las dimensiones del cajón rectangular son x, y, z su volumen interior es:

2045
V = (x - 25)(y - 25)(z - 25) y la superficie es: A = 2xy + 2xz + 2yz
Luego formemos la función siguiente:
V = 2xy + 2xz + 2yz + X(x - 25)(y - 25)(z - 28)
dV
dx
oV_
dy
dV
dz
= 2y + 2z + Á(y - 28)(z - 25)
2x + 2z + A(x-28)(z-28)
■-2x + 2y + Á(x - 28)(y - 28)
2y + 2z + A (y- 26) = 0ox
dV_
dy
dV
= 0
= 0
oz
(p(x,y,z) = 0
2y + 2.v+ /?(.v- 2íJ)(z - 25) = 0
2x + 2y + A(x - 2S)(y - 28) = 0
(x -2 S )( y -2 S )( z -2 S ) = V
...(1)
...(2)
... (3)
... (4)
resolviendo el sistema se tiene: de (1), (2) y (3) se tiene x - y - 2z
de donde en (4) se tiene:
= V W + 2 0 , y = 1Í2 VV 18 v i = + ('•
En que punto de la elipse :- - + 4 r = l la tangente a esta forma con los ejes
a h~
coordenados él triangulo de menor área.
Desarrollo
La recta tangente a la elipse que intercepta a los ejes es: L: — + — = 1
a y b '
Formamos la función siguiente:
a'b' x y ■ a'b'
A = -------------------------- (-A(— h-— 1) donde ------- es el area
2 a' b' 2
T ,. dA b' Ax 8A a ’ Ay
Luego se tiene: ----= --------- - , — = --------—
da’ 2 a db} 2b '1
8A b' Ax _
— = ° ; — — j = o ...(i)
8a 2 a '
8A a' Ay
— = 0 ; ----- V = 0 ... (2)
8b' 2 b '2
<p(ab') = 0 ; 4 + 77 = 1 ... (3)
a b
resolviendo el sistema se tiene: de (1) y (2) se tiene que: — = —
a' x

2046
b 1
por otro lado la pendiente de L es tga = —— y la pendiente de la tangente a
a }
l r x2 y 2 b2xla elipse: — + +—= 1 es tga = — — .
a b a y
T b' b2x b ’ b2x y x2 y 2
Luego se tiene: tga = ----- = — — => — = —r - = - => —- =
a 1 a y a ’ a¿y x a¿ b¿
Reemplazando en la elipse se tiene: - ^ - = 1 => x - ± - ^ = , y - ± - ^ =
a yj2 y¡2
Hallar los ejes de la elipse sx2 + 8xy + 5y 2 = 9
Desarrollo
La ecuación general de 2do grado es: Ax2 + By2 + Cxy + Ex + Dy + F = 0
Para eliminar el término xy, consideremos a el ángulo que se va a girar,
T C 8 TC K
Donde tg 2a = -------= ------- entonces 2 a => a - —
A - B 5 -5 2 4
x - x'eos45° —y'sen45° = - -
V2
y = x'se/i450+ >y ’cos450= -X
ahora reemplazamos en la ecuación 5x2 + 8j^ + 5y 2 =9
2047
simplificando se tiene: 9x,2+ y '2 = 9 lo que es lo mismo
a2 =9 a b2 = 1
1 9
Luego el eje mayor es 2a = 6 y el eje menor 2b = 2
Es una esfera dada, inscribir el cilindro cuya superficie total sea máxima.
Desarrollo
Altura del cilindro = H = 2h ; Radio de la esfera = R ; Radio del cilindro = r
área total del cilindro = 2;crh + 27ir
De acuerdo a las condiciones del problema formamos la función siguiente:
A = 27rrh + 27rr2 + A(r2 + h2 - R2) donde (h,r) pertenece a
ax2 + y 2 = R2 entonces: h2 + r2 = R2
cA dA
— = 27rh+ 47rr + 2Ar ,— = 27rr + 2Ah , ahora formamos el sistema siguiente:
dr dh

220 Eduardo Espinoza Ramosi
2048
^ = 0
dr
^ = 0
dh
(p(rji) =0
2h + 2nr + 2Àr = 0 ...(1)
27rr + 2Àh = 0 ... (2)
r2 + /z2 =/?2 ...(3)
resolviendo el sistema se tiene que: de (1), (2) y (3) se tiene que:
8r4 - 8 r 2/?2 + R4 = 0 de donde r = —¡2 + Í2 , r = —y]2 - ¡2
2 2
para r : —V2 +V2 => /¡= —V2 -V 2
r = - V 2 -V 2 => /í = —^ 2 - V2
2 2
, . d2A .... o2/í . . a2¿t
ademas — —= 4;r + 2A , — 7-= 2/t, ------= 2;r
dr dh2 ar3A
d2A d2A d2A 2 r í.' ' • ^ r r r i f i u R íi / T i(— -)(— - ) - ( ------- ) <0 tiene máximo en r = —V2 +V2 , h = -y J 2 - y /2 1
ar dh dr.dh 2 2
como H = 2h = Ryj2 - V2 , r = ^ ^ 2 + ^2
luego el radio de la base del cilindro es:
r = | y¡2 + y¡2 y la altura es R ¡2 - J 2 donde R es el radio de la esfera.
Los cursos de dos ríos (dentro de los limites de una región determinad»
representan aproximadamente una parábola y = x2 y una recta, x - y - 2 = ()fl
Hay que unir estos ríos por medio de un canal rectilíneo que tenga la menof
longitud posible. Porque puntos habrá que trazarlo?
Desarrollo
Grafícando la parábola y = x2 y la recta x - y - 2 = 0
Sea Px(xj,yx) de la parábola => y { = x2 y la distancia del punto Px(xj,yx)
x _v? _ 2
a la recta x - y - 2 = 0 es D = —--- j=— pero Vj = x2
- v 2
x —x2 —2
Entonces reemplazando se tiene: D = ——-7=—
-7 2
dD - 2 x x 1
Derivando se tiene: — = ---- ^ = 0 => Xi = —
dxx -V 2
como y x= Xj
1 2 7^/2^
2 = — luego la distancia es D = —— —
1
4
-2
la pendiente de la recta x - y - 2 = 0 es mx= 1 y la pendiente de la
perpendicular a esta recta es m2 = - 1.

2049
2050
La ecuación que pasa por Y m2 =~ es y-~^ = - l ( x - ^ ) es decir
4x + 4y - 3 = 0 ahora resolviendo el sistema siguiente: 1 se
[4x + 4 ^ -3 = 0 |
tiene x = ~ ’ >"= ~~ de donde el punto de la parábola: ;y = x2j|
debe unirse con el punto P2(— , - - ) de la recta x - y - 2 = 0 con una
8 8
longitud
7V2
Hallar la distancia más corta del punto M( 1,2,3) a la recta —= — = —
1 - 3 2
Desarrollo
La ecuación de un plano que pasa por el punto M(l,2,3) y que sea
perpendicular a la recta: j = = ^ es: l(x - 1) - 3(y - 2) + 2(z - 3) = 0
es decir x - 3y + 2z - 1 = 0 ahora hacemos la intersección del plano con la
x - 3 y + 2z = 1
x _ y _ z
J ~ ^ 3 ~ 2
recta es decir: de donde x =
1 _ _ 3 _ V
"V~ 4 ’ " ~ 7
1 3 1 -
ahora hallaremos la distancia d entre los puntos: M( 1,2,3) y P(— ,-----,—) es
v1 4 1 4 7 '
decir: ¿ . j o _ ± )!+(2+A)’+(3-v : í ™
xl 14 14 7 14
Los puntos A y B están situados en diferentes medios ópticos, separados el uno
al otro por una línea recta (fíg 72) la velocidad de propagación de la luz en el
primer medio es igual a V¡, en el segundo a V2 . Aplicando el “principio de
Fermat”, según el cual el rayo luminoso se propaga a lo largo de la línea AMB, j
para cuyo recorrido necesita el mínimo de tiempo, deducir la ley de la ]
refracción del rayo de la luz.
2051
Desarrollo
Sea u = — ^~— + — ----- + Â(atga + btgß - c )
F|COStf V2 cos ß
du a , 2 du b n i n
— - — tgasQca + Áasec a ; — = — tgß sec ß + Absec ß
da dß V2
formando el sistema siguiente se tiene:
du
- 0
da
^ = 0
dß
atga + btgß - c
a 'i 2 ítga seca + Aa sec a - 0
tgßsQC ß + Ab sec2 ß - 0
atga + btgß - c
sena _ V¡
senß~~V~2
Aplicando el “Principio de Fermat” deducir la ley de la reflexión del rayo de
luz de un plano en un medio homogéneo, (fíg 73)

Desarrollo
Por tratarse de un plano en un medio homogéneo se tiene V¡ = V2
Luego sea u = -----— + ----------+ Â(atga + btg ß - c )
V}cos a V¡ cos ß
ou a 2 du b 9 0
— - — tea sec a + Aa sec a ; — = — teßsQQp + AbsQ^p
da Vx dß Vx H
formando el sistema se tiene que: = 0 =í> — tga sec a + Xa sec2*a = 0
da F,
— = 0 => — ¿g/?sec/? + /l6 sec2 = 0
dJ3 Vx ,
a tg a + b tg p - c = 0 = > a tg a + b tg P = c
resolviendo el sistema se tiene: sen a = sen p de donde a = p
2052 Si por un circuito eléctrico de resistencia R pasa por una corriente I, la cantidad
de calor que se desprende en una unidad de tiempo es proporcional a I2R
¿Determinar, como habrá que distribuir la corriente I en I}, /2 e /3
valiéndose de tres conductores de resistencia R{, R2 y R3, respectivamente
para conseguir que el desprendimiento de calor sea mínimo?
Desarrollo
De acuerdo a las condiciones del problema se tiene:
/ (/j,/ 2,/ 3) = IXRX+ Í22R2 + I2R3 y / = / 1+/ 2 + / 3
ahora definiremos la función: F (/,,/ 2,/3) - / ( / t,/ 2,/3) + AI de donde:
F(I,,I2,/ 3) = / f ^ + 7 ^2 + I¡R3 + ^ + / 2 + /3)
ahora hallaremos sus derivadas parciales:
a/7 a/7 aF2 / , Ä j + A , “ - = 2 I 2R 2 + à , — = 2 I 3R i + à
dL dU dL
formaremos el sistema siguiente:
dF_
di
ap
a/2
aF
= 0
= 0
a/3
/ = /, + /2 + /;
+ ¿ = 0
27",-+* A= 0
2/ 3Ä3+ /I = 0
Il + I2 +I3 - I
IlRl = /2/?9 = /3/?3 esto reemplazando en al ecuación Ix+ 12 + / 3 = 1 se tiene:
a =
7ä2ä3 /ä,ä3I _______ __________ ¡ _ _
7?|Ä2 +Ä1Ä3+ J,?2/?3 ’ 2 /?,/?2 +Æ1Â3 +Æ2/?3 ’ 3 ^ |Ä2 +/?1Ä3 +/?2/?3

6.15. PUNTOS SINGULARES DE LAS CURVAS PLANAS.-
lra. DEFINICIÓN DE UN PUNTO SIGULAR.-
Un punto M(x0,y0) de una curva plana f(x,y) = 0, se llama punto singular, si
sus coordenadas satisfacen simultáneamente a las tres ecuaciones.
f ( xo, >’0) - o , / i (*o »yo) = ° . /y (*0*yo) = 0
2do. TIPOS PRINCIPALES DE PUNTOS SINGULARES.-
Supongamos que en el punto singular M(x0,y0) las derivadas de 2do orden.
A=zf í ( x^ y o)
^ = / at('V'» >'o)
C= f",(x0 ,y0)
A= AC —B"no son todos iguales a cero y que:
en este caso tendremos:
a) Si A > 0, M será un punto aislado (fig 74)
a
b) Si A < 0, M será un punto crunadal (punto doble) (fig 75)
c) Si A = 0,M puede ser un punto de retroceso de Ira especie (fig 76) o de
2da especie (fig 77) o un punto aislado, o punto doblecotangentes
coincidentes o tecnodo (fig 78).
Al resolver los problemas de este apartado, se considera obligatoriamente laj
construcción de las curvas.
! unciones de Varias Variables 227
1053
M«
FIG. 74 FIG. 75
M
FIG. 77
Determinar el carácter de los puntos singulares de las curvas siguientes:
2 2 4
y =-X +jt
Desarrollo
Sea f(x,y) = x2 + y 2 - x 4 de donde fj(x, y) = 2x - 4x3, f[, (x,y) = 2y
f(x,y) = x2 + y 2 -X 4 =0
1fx(x,y) = 2x - 4x3 =0
fy(x,y) = 2y = 0
resolviendo el sistema se tiene: x = y = 0 => p(0,0)
Cf XX(x, y) = 2-12x2
fyy(x,y) = 2
f.nÁx,y) =0
fx x ( 0 , 0 ) = 2
f y y ( 0 , 0 ) = 2
4 (0,0) = 0
A = fx x (0,0) - /", (0,0) - (füy (0,0))2 = 4 > 0, luego el punto p(0,0) es punto
aislado.

228 Eduardo Espinoza Ramos / unciones de Varias Variables 229
2054
2055
(y ~ x 2)2 = x 5
Desarrollo
Sea /(x , y) = (>>~ x2)5- x5 de donde se tiene:
fx ('■'y) = ~4x(y - X2 )- 5x*, f'v(x, y) = 2( V- X2)
resolviendo el sistema se tiene x = y = 0 es decir p(0,0)
f^(x, y) = - l i a 2x2 + 3 Ö X 4
fyy(x,y) = 2a4
K ( x , y ) = 0
/ " ( 0,0) = 0
/ " ( 0,0) = 2a4
L/ " ( 0,0) = 0
/(x , >•) = ( y - X2 )2 - X5 = 0
ahora formamos el sistema siguiente: -jf x(x, y) = ~4x(v - x2) - 5x4 = 0
/ 1W ) = 2 C k ' - x * ) = 0
/«■(x>y) = -4> +12x - 20x
J%(x,y) = 2
f"(x,y) = -4x
=>
/ " ( 0,0) = 0
4 '.(0,0) = 2
4 (0,0) = 0
A = / “ (0,0)./^, (0,0) - ( /^ (0,0))2 = 0, luego el punto p(0,0) es un punto de
retroceso de 2da especie.
4 2 2 4 6
a V = ¿z x - x
Desarrollo
Sea / (x, y) = ö4y2 - ¿Tx4 + x6 de donde se tiene:
fx (x,y) = -4a2x3 + 6x5, f'y (x, y) = 2a4y
ahora formamos el sistema se tiene:
f (x, y) - a4y 2 - q2x4 f x 6 =0
/ v(x, >’) = -4¿Tx3+ 6x5 = 0
f í (x, y) = 2a4y = 0
¿056
11157
A = /„ (0 ,0 )./w (0 ,0 )-(/v (0,0)) = 0, luego el punto p(0,0) es un punto
tacnodo.
x2y 2 - x 2 - y 2 = 0
Desarrollo
Sea / (x, y) = x2y 2 - x2 - y 2 de donde se tiene:
fx (x, y) = 2xy2- 2x , f ' (x,y) = 2x2y - 2 y
Ahora formamos el siguiente sistema
f(x,y) = x2y 2 - x 2 - y 2 =0
fx (x, y) = 2xy2 - 2x = 0
f í (x, y) = 2x2y - 2y = 0
fxx(x,y) =2y -2
f ÿ y ( x , y ) = 2 x 2 - 2 = >
fxy (x, y) = 4xy
/ " ( 0,0) = -2
4 (0,0) = -2
4 (0,0) = 0
A = / " (0,0)./;; (0,0) - ( /" (0,0))2 = 4 > 0, entonces el punto p(0,0) es un
punto aislado.
*3+ y 3- 3flxy = 0 (Folium de Descartes)

230
Desarrollo
--------------- ----------------m
2058
Sea f(x,y) = x3 + y 3 - 3axy de donde se tiene:
f i (-*,y) = 3x2 - 3ay , (x, y) = 3y2 -3ax
ahora formando el sistema se tiene:
/ (x, y) = x3+ y 3 - 3axy = 0
f i (x, y) = 3x2 - 3ay = 0
fí(x,y) = 3y2 -3ax = 0
t resolviendo el sistema se tiene x = y = 0, es decir: p(0,0)
fxx(x>y) = 6x
f£(x,y) = 6y
[fly(x,y) = -3a
4 (0,0) = 0
4 (0,0) = 0
4 (0 ,0 ) = -3«
A = 4 ( 0 ,0 ) 4 ( 0 ,0 ) - ( 4 ( 0 ,0))2 = -3a < 0, entonces el punto p(0,0) es uní
punto crunadal.
y 2(a -x ) = x3 (cisoide)
Desarrollo
Sea /(x , y) = y 2(a - x) - x3, de donde se tiene:
f i (*, y) = - y 2- 3*2, f i (X , y) = 2y ( a - x)
ahora formamos el sistema:
f(x,y) = y 2( a - x ) - x =0
/v (X. v) = -V2 - 3x2 = 0
fí(x,y) = 2y ( a -x ) = 0
resolviendo el sistema se tiene: x = y = 0, es decir: p(0,0)
m {)
1060
f^(x,y) = - 6x
4 (x,7 ) = 2(« -x )
f U x , y ) = - 2y
4(o,o) =0
4 (0,0) = 2a
4 ( ° ’°) = 0
A = 4 (0,0)-4 (0,0) - ( 4 (0,0))2 = 0 , luego el punto p(0,0) es un punto de
retroceso.
(x2 + .y2)2 = a2(x2 - y 2) (Lemniscata)
Desarrollo
Sea / (x, j) = (x2 + y 2)2 - a 2(x2 - y 2) , de donde
f i (x,y) = 4x(x2 + y 2) - 2a2x , fL(x,y) = 4y(x2 + y 2) + 2a2y
ahora formamos el sistema
f(x,y) = (x2 + y 2)2 - a 2(x2 - y 2) = 0
f i (x, y) = 4x(x2 + 2) - 2a2x = 0
f'y (*, y) = 4y(x2 + y 2) + 2a 2y = 0
resolviendo el sistema se tiene: x = y = 0 es decir p(0,0)
fií(x,y) = 12x2 +4y - 2a
4 ( x ,v ) = 4x2 +12v2 + 2a2
füy{x,y) = 8xy
4 (0,0) = - 2a2
4 (0,0) = 2a2
4 (0,0) =0
A = 4 (0 ,0 )_ 4 (0 ,0 )-( 4 (0 ,0 ) )2 = -4 a4 < 0 entonces el punto p(0,0) es un
punto crunadal.
(a + x)jy2 = ( a - x)x3 (Estrofoide)
Desarrollo

232 Eduardo Espinoza Ram09
Sea / (x, y) = (a + x)y2 - (a - x)x3 de donde se tiene:
f i (*, y) = y 2 - lax2 + 4x3, f i (x, y) = 2y (a + x)
ahora formando el sistema se tiene:
/ (x,y) = (a + x)y2 - (a -x )x 2 = 0
f i (*, y) = y 2 - 3ax2 + 4x3 = 0
fl(x,y) = 2y{a + x) = 0
2061
füxi.x,y) = - 6ax + 2x2
fÿy(x,y) = 2(a + x)
f"'xyf í ( x , y ) = 2y
4 (0,0) = 0
A = Æ ( 0 ,0 ) 4 ( 0,0)-(4 (0 ,0 ))^ entonces el punto p(0,0) es un puntornXX
crunadal
2 , 2
4 (0,0) = 2a
l4 (0,0) =0
2
(xz + y L)(x - a)¿ = b2x2 (a < 0, b < 0) (concoide) examinar tres casos:
1) a > b 2) a = b 3 ) a < b
Desarrollo
Sea / (x, y) = (x2 + y 2)(x - a)2 - b2x2 de donde:
(x, y) = 2x(x - a)2 + 2(x2 + y 2)(x - a) - 2b2x , f ' (x, y) = 2y(x - a )2
ahora formando el sistema de ecuaciones:
f(x, y) = (X 2 + y 2)(x - a)2 - b2x2 = 0
f i (x, y) = 2x(x - a )2 + 2(x2 + y 2)(x - a) - 2b2x = 0
fí(x,y) = 2y ( x - a )2 =0
resolviendo el sistema se tiene x = y = 0
füx(X y) = 2(x - a)2 + 4x(x - a) + 4x(x -a ) + 2(x2 + y 2) - 2b2
4 (x, y) = 2(x - a)2 + 8x(x - a) + 2(x2 + y 2) - 2b2 => 4 (0 ,0 ) = 2a2 -2Z>2
4 (x,^) = 2( x - a )2 => 4 (0,0) = 2a 2
f x y ( x , y ) = 4 y ( x - a ) = > 4 ( 0 , 0 ) = 0
A = 4 (0,0 ) .4 (0,0) - ( 4 (0,0))2 = (2a2 - 2¿2)2a2 - 0
A = 4a2(a2 -¿>2)
1) Si a > b se tiene A > 0 entonces p(0,0) es un punto aislado.
2) para a = b se tiene A= 0 entonces p(0,0) es un punto de retroceso de
Ira especie.
3) Para a < b se tiene A < 0 entonces p(0,0) es un punto crumadol.
2062 Determinar como varía el carácter del punto singular de la curva
y = (x - a)(x - b)(x - c) en dependencia de los valores de a, b y c (a < b < c
son reales).
Desarrollo
Sea f (x, y) = y 2 - (x - a)(x - b)(x-c) de donde
f x(x,y) = -3x2 +2(a + b + c)x + a + b - a b , fy(x,y) = 2y
ahora formando el sistema de ecuaciones se tiene:

f ( x ,y) = y 2 - (x - a)(x - b)(x - c) = O
fi(x,y) = -hx2 + 2(a + b + c)x + a + b - a b = O
fí(x,y) = 2y = 0
resolviendo el sistema se tiene: x = a, x = b, x = c, y = 0
fxx(x,y) = -6x + 2(a+ b + c)
K ( x , y ) = 2
f£(x,y) = 0
A = füx(x, y)-f'w(X,y) - (/" (x, y ))2
si a, b y c no son iguales entre sí, entonces no haypunto singular
Si a = b < c, el punto p(a,0) es un punto aislado
Si a < b = c, el punto p(b,0) es un punto crunodal
Si a = b = c, el punto p(c,0) es un punto de retrocesode Iraespecie.
6.16. ENVOLVENTE.-
Ira. DEFINICIÓN DE LA ENVOLVENTE.-
Envolvente de una familia de curvas se llama a la curva (o el conjunto de j
curvas) tangentes a todas las líneas de dicha familia, además cada uno de sus
puntos tiene contacto con alguna de las líneas de la familia que se examinara, i
,
2do. ECUACION DE LA ENVOLVENTE.-
Si una familia de curvas dependientes de un parámetro variable a.
f(x,y,a) = 0
„
2(163
2064
tiene envolvente, las ecuaciones paramétricas de esta se determinan por medio
del sistema de ecuaciones:
f(x,y,a) = 0
fá(x,y,a) = 0
. . . (1)
Eliminando el parámetro a del sistema (1), obtendremos una ecuación de la
forma:
D(x,y) = 0 (2)
Debe advertirse, que la curva (2), obtenida formalmente llamada curva
discriminante, además de la envolvente, si esta existe, puede contener lugares
geométricos de puntos singulares de la familia dada, que no forme parte de la
envolvente de la misma al resolver los problemas de este párrafo se recomienda
hacer el gráfico.
y o d
Hallar la envolvente de la familia de circunferencias (x - a) + y - —
Desarrollo
Sea f(x,y,a) = ( x - a ) 2 + y 2 - ^ - . . . (1)
De donde f^(x,y,a) = - 2 ( x - a ) - a = 0 => x = ~
Reemplazando en (1) se tiene y = ± x
Hallar la envolvente de la familia de rectas y = kx + -— (k es un parámetro,
2k
p = constante)
Desarrollo

Sea
f(x, y,k) = y - k x - — = O
¿LK
fk(x,y,k) = - x + ~ - = O
2k2
... O)
... (2)
De (2) se tiene k = ±J — reemplazando en (1)
12x
y = ±(2/?x)2 -=^> y 2 = 2px
2065 Hallar la envolvente de la familia de circunferencias de radios iguales a R,
cuyos centros se encuentra en el eje OX.
Desarrollo
La ecuación de la circunferencia de centro en el eje OX es:
(x - h)2 4-y 2 = R2 de donde:
Sea
¡f(x,y,h) = (x -h )2 + y 2 - R 2 = 0
f'ix,y,h) = - 2(x-h) = 0 ...(2)
De la ecuación (2) se tiene x = h y que al reemplazar en la ecuación (2) se
tiene y = ± R.
2066 Hallar la curva que envuelve a un segmento de longitud 1, cuando sus extremos
resbalan por los ejes de coordenadas.
Desarrollo
1 1 2 1
de donde a = x + x3y 2 además b = y + x 3y 3
como a2 +b2 = l2
2 2
X3 + y 3 =1
2067 Hallar la envolvente de la familia de rectas que forman con los ejes
coordenados triángulos de área constante s.
Desarrollo
x y
La ecuación de la recta es —+ —= 1,
a b
como datos del problema se tiene:
S = ^ rea ^ trránSul°) de donde
2S
b = — , reemplazando en la ecuación
a

238
2068
* + ^ = 1 ... (1)a b a 2S
que es lo mimo 2Sx + a2y - 2aS = 0
sea f(x,y,z) = a2y + 2Sx-2aS de donde
fa (•*>y >a) = 2ay - 2S , ahora formando el sistema de ecuaciones se tiene:
/(x , y,o) = a2y + 2Sx - 2aS = 0 S
=> a = —
[fa (x,y,a) = 2ay-2S = 0
que al reemplazar en (1) se tiene: — + — = 1 de donde xy = —
5 2S 2
Hallar la envolvente de las elipses de áreas constante s, cuyos ejes de simetría
coinciden.
Desarrollo
x2 y2
La ecuación de la elipse es: — + = 1
a2 b2
además el área de la elipse es: S = 7tab => b2 =
... (a)
7t a
2C2 , 2__4 2C2reemplazando en la ecuación (a) se tiene: x S + y na - a S ... (1)
ahora consideramos la función
(f(x,y,a) = x2S2 + y 2xa4 - a2S2 = 0
1fa (x’y>a) = 4a3Try2 - 2aS2 = 0
de donde a2 - ^ reemplazando en la ecuación (1) se tiene: xy = ± —
2k y 2n
2069 Averiguar el carácter de las curvas discriminantes de la familia de curvas
siguientes (c es el parámetro)
a) y = (x - c)3 (parábola cúbica)
Desarrollo
Sea f(x,y,c) = y - ( x - c ) 3, de donde
f'c (x, y, c) = 3(x - c)2 ahora formando el sistema
f(x,y,c) = j - ( x - c ) 3 =0
{./,'■(x, y, c) = 3(x - c)2 = 0
de la ecuación (2) se tiene: x = c
O)
... (2)
al reemplazar en la ecuación (1) se tiene y = 0 por lo tanto la curva
discriminante y = 0 es el lugar geométrico de los puntos de inflexión y la
envolvente de la familia dada.
b) y 2 = (x - c)3 (parábolas semi cúbicas)
Desarrollo
Sea / (x, y, c) = y 2 - (x - c )3 de donde fc '(x9y,c) = 3 (x -c )2
Ahora formamos el sistema siguiente
f(x,y,c) = y 2 - ( x - c ) =0
fc(x,y>c) = 3 (x -c )2 =0 ... (2)
de la ecuación (2) se tiene x = c que al reemplazar en (1) se tiene y = 0,
luego la curva discriminante y = 0 es el lugar geométrico de los puntos
cuspidolas y la envolvente de la familia.

c) >’3fe (x - c)2 (parábola de Naíl)
(oitemfnsq b 83 o) eainsiugh.
Desarrollo
(BoidiVj fííodíhfíq) (o - x) = (e
Sea f(x,y,c) = y 3 - ( x - c )2 de donde fj. (x, y, c) = 2(x - c)
ollonaasO
Ahora formando el sistema se tiene:
obnob s»b <"(o ~ x) - = (? e%<x)
í/( x ,> ',c ) = >’3 - ( x - c ) 2 = 0 ...(1)
1 / amátete b obnBírrtol fnodB '(•:>.-x)f. - Ío/í ,x ) .A
[/cW , c ) = 2(x -c) = 0 ...(2)
(I) ... 0 = '(•)--x ) - 7 = ( i . 7 , v.) j
de la ecuación (2) se tiene x = c qué al reemplazar en (1) se tiene y = 0
por lo tanto la curva discriminante y = 0 es el lugar geométrico de los
puntos cuspidales pero que no es de la envolvente.
d) (a + x)(y-c) =x (a - x ) (estrofoide)
Desarrollo
Sea f(x,y,c) = (a + x X y - c )1 - x2( a - x) de donde
fe (x, y, c) = - 2(a + x)(y-.c) , ahora formamos el sistema
f(x,y,c) = (a + x)(y-c) - x (a -x ) = 0 ... (1)
f c/(x,y,c) = - 2(a + x ) ( y - c ) * 0 ...(2)
•(£);../' Ó= ~ (:> x)í ~ "(rS ,x) A j
de la ecuación (2) se tiene y = c, que al reemplazar en la ecuación (1) se
tiene x = 0, x - a, luego la curva discriminante se descompone en las
rectas x = 0 (que es él lugar geométrico de los puntos crondales) y x = a
(que es la envolvente). • • 3/ío 7 r f ' ’
2070 La ecuación de la trayectoria que sigue un proyectil lanzado desde el punto O,
con la velocidad inicial V0 y formando un ángulo a con la horizontal
gJC2
(prescindiendo de la resistencia del aire), es y = x t g a
-
—— -— tomando
2V0 eos a
el ángulo a como parámetro, hallar la envolvente de todas las trayectorias del
proyectil situados en un mismo plano vertical (parábola de seguridad) ver
figura.
Sea f(x,y,a) = y - x t g a + — f X - -, de donde
2V0 cos a
f a(x,y,a) = -xsec2a + at$— 9ahora formando el sistema se tiene:
Vq

V2
de la ecuación (1) se tiene: tga = — que al reemplazar en (1)
gx
y = X,S a — S ¿ ^ y , Y L - ß *2
2 F 02 c o s 2a '2g 2 Vq
6.17. LONGITUD DE UN ARCO DE UNA CURVA EN EL
ESPACIO.-
La diferencial del arco de una curva en el espacio en coordenadas cartesianas
rectangulares es: dS = *J(dx)2 +(dy)2 +{dz)2 desde x,y,z son las
coordenadas variables del punto de la curva.
Si X = x(t), Y = y(t), Z = z(t) son las ecuaciones paramétricas de la curva en
el espacio, la longitud en el intervalo comprendido entre t = y t = t2 será:
Hallar la longitud de los arcos de las curvas que se dan en los problemas 2071
-2076
2t3
2071 x = t, y - t 2 , z —-— desde t = 0 hasta t = 2.
3
Desarrollo
2072
2073
í + 4í2 +4f4 dt
= j / ( l + 2r )2í/;= I (1+ 2t2)dt =(/ + ^ - ) / ^ = 2 + y = y
x = 2 eos t, y = 2 sen t, z = —t desde t = 0 hasta t = tc
K
Desarrollo
A* = 2eos t
y - 2sen t
31
7 1
dx
— = -2 sen t
dt
dy
— = 2 cost
dt
dz 3
dt ti
+ 9
x = et eos / , y = e*sent , z = e desde t = 0 hasta el valor arbitrario de t.
Desarrollo
x - e eos/
y - ¿sent
z - e
dx t , .
— = e (cost - sent)
dt
dy t
— = e (sen t + cos t)
dt
dz _ t
~dt~e

2074
2075
5 = I
dt dt
=yje2t (eos t - sen t) +~e2t (sen t + eos t)2 + e2t dt = e v 3 dt = V3(e* ~ 1)
x 2 X3
y = — , z = — desde x = 0 hasta x = 6
2 6
Desarrollo
y =-
dy
dx
= x
dz _ x
- f
f V (1+ T )2£/A = J / 1+ T )<£c = (x + y )/ o = 6+36 = 42
x2 = 3 y , 2xy = 9z desde el punto 0(0,0,0) hasta el punto M(3,3,2).
Desarrollo
Parametrizando la curva se tiene:
v2 f
p =3^ = > .
[2xy = 9z
n
íHcnI^
II1!
Psti
dy __ 2x
dx 3
<fc 2x2
¿fcc 9
Funcionesde Varías Variables 245
2076
2077
, 4a2 4x4 ,
1+ -----+ ----- dx
9 81
= ÍJ(1+T1)3¿¥=f°+^f)<¿¥= ( ^ + ^ ) / ]= (3 + 2) - 0 = 5
7 = areseni- ) , z = —ln(-^-^) desde 0 (0,0,0) hasta el punto M (^ ,y 0>^)
# 4 a - x
Desarrollo
dy _ a
y —aresen-
a ,a + x
^ = 7 ,n(------ )
4 a —x
d*yja2 - a2
dx 2(a2 - a 2 )
'■n ■r 0 + — f ~ T ? dx
I 2(a2 - * 2)
= P (i+ r D <fe=[*+f o — )í/* =*+X 2(<?2 - a 2) 4 a - x / 0
3,
ln(——2L) = Aq+ ^
4
La posición de un punto en cualquier instante t (t > 0) se determina para las
ecuaciones x = 2t, y = ln t, z= r . Hallar la velocidad media del movimiento
entre los instantes t = 1 y t = 10.
Desarrollo
— = 2
dt
dy_
x= 2 1
y = ln t ==>
dt t
dz
dt
= 21
it
Jfr]

246 EduardoEspinozaRamos
5 = Í ]¡4 + J +4¿2dt= f )j(2 t+ J }2dr = { Q t+ - ) d t= ( tl + nf)j
10
= (100+lnl0)-(l + 0) = 99 + lnl0
6.18. FUNCIÓN VECTORIAL DE UN ARGUMENTO ESCALAR.-
Im. 0ER1VADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL DETTfTXRüUMENTÜ
ESCALAR.
La función vectorial a = a(t) puede determinarse dando las tres funciones
escalares ax(t), ay(t) y az(t) de sus proyecciones sobre los ejes de
coordenadas:
a = ajj) i +ay{t) j+ az(t) k
La derivada de la función vectorial a - a(t) con respecto al argumento escalar
t es una nueva función vectorial determinada por la igualdad.
—1 = lim Ú(l+Af)~ a (f) ¿kjfC*) 7 , , d3zU) 2-
df aí->o At d i ‘ ' d t J d t
Él modulo de la derivada de la función vectorial es igual a:
d a
~dt
^ ( 0 ,2 , (A W 2 +
dt dt dt
El extremo del radio variable r = r (t) describe en el espacio una curva.
r = Át) i+ X0 j+ K0 k
Funcionesde Varias Variables
247
—»
Que recibe el nombre de hadografo del vector r .
—»
La derivada representa de por si un vector, tangente al hodografo en el
dt
punto correspondiente.
—>
i djL |= — donde s es la longitud del arco del hodografo, tomada desde cierto
dt dt'
—>
punto inicial. En particular | |= 1
—>
Si el parámetro y es el tiempo, = V es el vector de la velocidad del
—> —>
extremo del vector 7 , y = es el vector de la aceleración de
dicho extremo.
2do. REGLAS PRINCIPALES PARA LA DERIVACIÓN DE FUNCIONES
VECTORIALES DE UN ARGUMENTO ESCALAR-
da d b d ed ~7 v da iQ _ ( 3 + í , _ c ) = _ + - _ - _

248
2078
EduardoEspinoza Ramos
© < /,- d a
— (a xb) = xb+ a x-
dt *dt dt
® d d a dçd_
dt '' ' " dt dt
Demostrar que la función vectorial r - r x= (r2- r x)t donde t¡ , r2 son los
radios vectores de dos puntos dados, es la ecuación de una recta.
Desarrollo
Consideremos r = x i+ y j+ z k
/¡ = / + Jí y + ^ ¿
r2 = X2 i+ 72 y+ Z2 k
como r - i¡ = (r2- /¡) ¿ , se tiene:
(* - Aj) /+ (7 - ^ ) j+ ( z - 3 ) k = ((^ - ) i + (y2 - X ) j + (z> - 3 ) k)t
x-x¡ = (x2 - x i)t
y - y = i y i - y ) t
z - 2¡ = (z1 -z¡)t
x - X,
t = -------—
x2 - A¡
y>-Jí
t = J Z ±
de donde se tiene: ——— = - — = ——— que es la ecuación de una recta
x2 -x¡ y2 - y { z2 -z ,
2079 Determinar, que líneas son los hodrografos de las siguientes funciones
vectoriales.
a) r = at + c b) r = a eos / + b sen t
c) r - a t2 + b t d) r = a cosh t + b senh t
—> —> —>
donde a , b yc son vectores constantes, al mismo tiempo los vectores a y
-►
b son perpendiculares entre si.
Desarrollo
a) Se tiene r = a t + c donde r = x i + y j + z k

de donde se tiene: ——— = ----- —= —— que es la ecuación de una
ax av a,
recta.
—► —> —>
b) r - a eost+ b sent •••(!)
multiplicando por a a la ecuación (1)
—>—> —> ^ —» —> —> —>
r .a =a~ co sí, a .b = 0 porque a ±
, ,2 r ar . a = a | eos/ => eos t = ------
a I2
multiplicando por b a la ecuación ( 1)
,2r . b =| b I sen t => se« t —-
2 2 / r -b .2 , f .2 *
se« t + eos / = (— — ) + (— —) = 1, que representa a una elipse
b 2 la I2
2 ^
c) r - a t + bt multiplicando por a y b
2080
r.a , r , b .2 ^ i------= (-------) representa a una parabola
d) r - a cosh/ + b senkt, multiplicando por a y b
r .a *= a 2 cosh/
. r .a
cosh/ = ------
a í2
senh t =
(_Liíí_)2 ~ 2 i . qUe es la ecuación de una hipérbola.
a l2 ¡ b I2
Hallar la derivada de la función vectorial a(t) = a(t)M°(t) ,’donde a(/) es una
—^
función escalar, mientras que tf°(/) es un vector unidad, en los casos en que el
vector a(t) varía.
1) Solamente en longitud 2) Solamente en dirección
3) En longitud y dirección (caso general)
Esclarecer el sentido geométrico de los resultados obtenidos
Desarrollo
Como a(t) = a(t).a°(t) se tiene:

2081
2082
2) - a lL a (varia la dirección y sentido).
dt dt
d d a(t) o/ x x da (t)3) — <2(0 = — ±-±.a°(t) + a(í)—
dt dt dt
Aplicando las reglas para la derivación de funciones vectoriales de un
argumento escalar, deducir la formula para la derivación del producto mixto de
tres funciones vectoriales a , b , c
Desarrollo
El producto mixto de a , b y c es a .(b x c )
d -> -> -> ¿7
— ( a .( ix c ) ) = —
Ä ■ dt
f (dt
-? d a
(b x c )) = —
dt
ü zy
byb2
cy cz
-» —»
Xc )+
desarrollando se obtiene:
,db
' dt
d c
dt '
Hallar la derivada, con respecto al parámetro t, del volumen del paralelepípedo
-> -> -> -»
construido sobre los tres vectores: a(t) = i + t j + t k
-» -> -* -*
b(t) = 2t i - j + t k
c(t) = —t i + t j + k
Desarrollo
El volumen del paralelepípedo = a .(b x c)
2083
2084
d J
— ( a . ( b x c ) = —
dt dt
1
2/
7
- r
-i rj
3 i
= — (/4 + 2t2 +1) = 4í3+ 4/ = 4 í(r +1)
dt
La ecuación de un movimiento es r = 3cosí i + 4 sent j , donde t es el tiempo.
Determinar la proyección de este movimiento, la velocidad y aceleración del
mismo. Construir la trayectoria del movimiento y los vectores de la velocidad y
n tc
de la aceleración para los instantes t = 0, t = ~ Y
Desarrollo
d r
r = 3cosí i + 4 sent j
dt
= -3sen t i + 4cos í j
d 2 r
— r—= —3cosí i —4sent i
dt2
t = 0,
->
—»
d r _
V =
í/ í
->
K
->
~~4
y V
dt
->
K
—* d r
|(N
1!
•K»
r V
dt
d 2 r
dt2
= -3 i
m -*• d~r 3y¡2 4-JÍ^ d 2~r 3^2 4^2 "t
i +-
2 2 dt2
= -3 i , a = ■
¿ 2 r
<*2
= -4 j
La ecuación de un movimiento es: r = 2 cosí i + 2sení j+ 3 t k . Determinar la
trayectoria, velocidad y aceleración de este movimiento ¿A qué son iguales la
magnitud de la velocidad y aceleración y cuales son sus direcciones en los

2085
Desarrollo
—> —> —» —»
Como r = 2cosí i + 2sent j+ 3t k
d y —►
-----= - 2se>7t i + 2eos t j + 3 k = v
dt
d 2 r
. = -2 eos t i - 2sen t i - w
dt2
para t = 0, se tiene v = 2 j + 3 k , w = - 2 i
71 . _>
/ = —, se tiene v = -2 / + 3 A: , w = -2 i
2
además V t, |^ - ^ |= V b , |-^-^-|= 2
dt dt
La ecuación de un movimiento es: r - eosor eos wti + sen t eos wt j + senwt
donde a y w son constantes y t es el tiempo. Determinar la trayectoria, la
magnitud y la dirección de la velocidad y la aceleración del movimiento.
Desarrollo
—> —> —> —>
r = eos a eos wt i + sen a eos wt j + sen wt k
d r -> d r
-----= -wcos a sen wt i - wsen a sen wt i + wcos wt k => I----- 1= w
dt dt '
,2
d~ r 2 . 2 "t 2 ? .d r . 2— — = —w eos « eos wt i - w sena eos wt j - w senwt k => — — =w
dt2 ' dt2
2086 La ecuación del movimiento de un proyectil (prescindiendo de la resistencia
—> —> rw2 —> —»
del aire) es: r = r0t ~ ^ ~ k > donde r0 = (Kox + + Foz) es la velocidad
inicial. Hallar la velocidad y la aceleración en cualquier instante.
Desarrollo
gt , d r 7
r = r 0/ ----— ¿ => — = r0- g t k
2 dt
Luego v = j v ¿ + v * + ( v m - g t )2
JC
2087 Demostrar, que si un punto se mueve por la parábola y - — , z = 0 de tal
a
forma, que la proyección de la velocidad sobre el eje OX se mantiene constante
dx
( — = constante), la aceleración también se mantiene constante.
dt
Desarrollo
y 2 dX■ AA
Como y = — , z ~ 0 además — = VX ; VX-VX= constante
a dy
d,2X A A i
-----L = Wx, | w* |= wY= 0 en este caso la aceleración se mantiene constante
dt2
sobre la proyección OX, ahora consideremos r un vector de posición
—» —> —>
r = x i + y j
-►x ^ d r -? 2*"Î Tr
r = x i + — j => —— = i + — J = Vx
a dt a

2088
2089
d 1 r 2
— T = - J =w
dt a
Luego se mantiene constante para cualquier valor de t.
Un punto situado en la rosca del tomillo, que se enrosca en una viga, describe
una hélice circular x = a eos 0, y = a sen 0, z = h0 donde 0 es el ángulo de
giro ddl tornillo, a, el radio del tomillo y h la elevación correspondiente al giro
de un radiante. Determinar la velocidad del movimiento del punto.
Desarrollo
—► —► —y —>
Consideremos el vector de posición r = x i + y j + z k y como x =a eos 0,
—^ —► —> —>
y = a sen 0, z = h0 entonces r = a eos 0 i + a sen 6 j + h6 k de donde
d r d r dO dO
— = {-asen6 i +aco$0 j + h k)w donde — = w (velocidad
dt d 6 dt dt
de rotación del tomillo)
—>
d r —> —»
Luego se tiene: ---- = ( - a sen 0 i + a eos 0 j + hk )w
dt
| |= w y j a 2 + h 2
dt
Hallar la velocidad de un punto de la circunferencia de una rueda, de radio a,
que gira con una velocidad angular constante w, de tal forma, que su centro, al
ocurrir esto, se desplaza en línea recta con una velocidad constante V0.
Desarrollo
Consideremos el vector de posición de la trayectoria
—> —> —> —► —^ ^
r = x i + y j => r = a eos wt i + a sen wt j
—»
d r —> ->
V = -------- = -awsen wt i + aweos wt j , donde Fv = awsen wt , Vv = awcos w
dt
como la circunferencia se desplaza con una velocidad horizontal i V0
la velocidad final es V : V = (V0 - awsenwt) i + awcoswt j de donde
F=|F|"==yJ(V0- awsen wt)2 + (awcoswt)2
V = | V | - ^JVq f a2w2 -2awV0senwt
6.19. TRIEDRO INTRÍNSECO DE UNA CURVA EN EL
ESPACIO.- _____ __________ ______________ __
En todo punto M(x,y,z) que no sea singular, de una curva en el espacio
—^ —►
r = r ( 0 , se puede construir un triedro intrínseco formado por tres planos
perpendiculares entre si. Ver figura.

d r
1) El plano osculador Mí¡ M2 , en el que están situados los vectores — - y
d 27
dt2
d r
2) El plano normal MM2M3, perpendicular al vector---- y
dt
3) El plano rectificante MMXM3, perpendicular a los dos planos primeros.
Las intersecciones de estos tres planos forman tres rectas:
i) la tangente MMX ii) La normal principal MM2
iii) labinormal A/M3
que se determinan respectivamente por los vectores
(vector de la tangente)
d 27
c— — (vector de la binormal)
d r
>
3) N = BxT (Vector de la normal principal)
á
—>
Los correspondientes vectores unitarios T
d rA —» A *-*' A A A
—> s] r —> jo —> —>
Se pueden calcular por las formulas T = -----, N - , B = T xN
dS j
i— i
¿5
->
—»
d r
T =
dt
-»
-> d r
B -
dt
-> -
->
T
A ->
B ->
—>
N
T
, B =
w
, N =
I7VI
2090
Si X, Y, Z, son las coordenadas variables del punto de la tangente, las
ecuaciones de dichas tangentes en el punto M(x,y,z) tendrán la forma.
X - x _ Y - y Z - z
T T T■x ______ __________ z
(i)
dx dv dz
donde Tx = — , T = - + , Tz = —
x dt y dt z dt
partiendo de la condición de perpendicularidad de la recta y el plano,
obtenemos la ecuación del plano normal.
Tx( X - x ) + T ( Y - y ) + Tz( Z - z ) = 0 ... (2)
sustituyendo en las ecuaciones (1) y (2)
Tx , Ty, Tz por Bx ,By ,Bz y Nx, Ny , Nz obtenemos las ecuaciones de las
rectas binormal y normal principal y respectivamente, de los planos osculador
y rectificante.
Si la curva en el espacio se da como la intersección de dos superficies
d r d r
F(x,y,z) = 0, G(x,y,z) = 0 en lugar de los vectores ----- y — ~ se puede
dt d r
tomar los vectores d r = (dx,dy,dz) y d 2 r - ( d 2x,d2y ,d ”z ) , pudiéndose
considerar una de las variables x,y,z como independiente y suponer su segunda
diferencial es iguala cero.
A A A
Hallar los vectores unitarios principales T ,B ,N de la curva x = 1 - eos t, y =

Desarrollo
Sea r(t) = (l-cost,sent,t) entonces
d r d 2 r
T = —- = {sen t,eos /, 1), — — = (eos t,-sen t,0)
dt dt
para Í = T ’ ^ r =(1,0,1)’2 dt dt1
dedonde ? = (1,0,1) => f =- L = (_J_ o,-J=)
i y i V2
—> - > ->
ry”> / j k
~1 dr d~ r
B = -----x — — = 1 0 1
dt dt
0 -1 0
= (1,0 - 1)
5 = — = (- L ,o, — L ) = i z * .
| 2 | V2 n/2 V2
N = B x T =
<■ J k
1 0 -
1 0 1
= (0,- 2,0)
2091 Hallar los vectores unitarios de la tangente y normal principal de la espiral
—> —> —> —>
cónica r(t) = e*(cost i + sent j + k) en un punto arbitrario. Determinar los
ángulos que forman estas rectas con el eje OZ.
Desarrollo
d r
~dt
= et(cost - sent) i + e*(cost + sent) j + e k
d 2 r
dt2
= - 2e‘sen t i + le1 cos t j + e* k
dt dt2
i j k
e*(cost-sent) e*(cost + sent) e
—2elsent 2^ cost e*
B = e2t(sen t - cos t) i - elt (sen t + cos t) j + 2en k21
N = BxT e2t(sent -cost) - e 2t(sent + cost) le 2t
e*(cost - sent) e (cost + sent) el
N = -3e (sen t + cos t) i - 3e 1(sen t - cos t) j
T =
d r
dt
T = e‘j 3
T cost-sent^ cost + sent^. 1 ?
T = — = -------—-----i + --------7=-----J + ~ r k

2092
N = -7 2 7 - V2(
,sent-cost
) j
eos <(T,OZ)=~~
cos <(N,OZ) = 0
<(T,OZ) =
<(N,OZ) =
n
~6
7 1
~2
A A A
Hallar los vectores unitarios principales T ,B ,N de la curva y = x , z = 2x
en el punto x = 2,
Desarrollo
d r d 2 r
Sea r = (x, x ,2x) de donde -----= (1,2x, 2), — —= (0,2,0) para x = 2
dx dxz
T = — = (1,4,2) => |7’ |=Vl + 16+ 4 = V 2 l
dx
A T 14 2 d r d 2 r
T = - = ( - = , - = , - = ) como — = (1,4,2), — — = (0,2,0)
•^ , V21 V21 V21 ¿fe dx2
¿/x dx
i j k
1 4 2
0 2 0
= (-4,0,2)
B-
B
B
:( 20 ’°’^ )
N = B xT =
i j k
-4 0 2
1 4 2
= (-8,10,-16)
2093
a #
7V= — = (-
IAM
10
1 6 4 5
2n/T()5 ' 2n/T()5 ’ 2VÎ05 VTÖ5 ’VÏÔ5 ’ VÏ05
Dada la hélice circular x = a eos t, y = a sen t, z = bt escribir las ecuaciones
de las rectas que forman las aristas del tetraedro intrínseco en un punto
arbitrario de dicha línea. Determinar los cosenos directores de la tangente y de
la normal principal.
Desarrollo
—>
Sea r (t) = (a eos t,a sen t,bt) , derivando
d r
T = ---- = (-asent,acost,b)
dt
T = 4 a 2 +b2
, , , A T , a sent a cost b
de donde T = ---- - ( — ,—¡= ^ = = ,
4 a2 +b2 'Ja +b2 J a 2 +b2
d 2 r
dt
(-a eos t,-0 sen t,0), ahora calculamos
d r d r
B = ---- x-
dt d r
i j k
-a sen t a eos t b
-a cost -a sent 0
= (ab sen t,-ab cos t, a”)
B = (ab sen t,-ab cos t,a2) => | Æ|= +b2
2^ B ab sen t ab cos í a ^
|^ | a-Ja2 +b2a4 a2 +b2 a4 a2 +b2

B ~ ( ^Sent ~bcost b ^
¡a2 + b2 yja2 +b2 Ja2 + b2
—^ ^ ^
N = BxT =
—» -»
j k
absent -ab cost a2
-a sent a cos t b
= {-(ab2 + ö3)cos t, ~(ab¿+ aJ)se« i, 0)
N = (ab2 + a3)jcos2 t + serCt = <z(¿r + b2)
A TV
A/-= —p = (- cos /, -se« t, 0)
IAM
Luego la ecuación de la recta tangente que pasa por el punto
, i x _ ^ cos ¿ ~ « se« í z - bt
(a cos t, a sen t, bt) es: ------------ = -------------= --------
-a sent a cos t b
La recta binomial es:
x - a cost _ y - a s e n t z - b t
b sen t -b cos t a
T , , . . , x - a cosí y - a s e n t z - b t
La recta normal principal se tiene: - -
cos t senta
Los coseno directores son:
-a sent _ a cosí b
cos a = - 7—••• . , cos p = ■.........., cos / =
2 +b2 [a 2 +b2
Y los cosenos directores de normal principal son: cos ax—cos í ,
cos ß x= sen t , cos yx= 0
2094
2095
Escribir las ecuaciones de los planos que forman el tetraedro intrínseco de la
curva x = t, y = í2, z = V en el punto M(2,4,8).
Desarrollo
Sea r (t) = (í, i2,í3), de donde se tiene:
¿/í
d 2 r
dt
•(1,2í53í )
(0,2,6/)
para t := 2
d r
di
- (1,4,12)
^ = (0,2.12)
d t
-» -> —>
i J k
■t d r d 2 r
12B = ----- x — — = 1 4
dt d r
0 2 12
:(24,-12,2)
La ecuación de la tangente en el punto M(2,4,8) se tiene:
v - 4
La ecuación del piano osculador es:
24(x - 2) - 12(y - 4) + 2(z - 8) = 0 de donde 12x - 6y + z - 8 = 0
La ecuación del plano normal es: l(x - 2) + 4(y - 4) + 12(z - 8) = 0
x + 4y+ 12z -114 = 0
Escribir las ecuaciones de los planos que forman el tetraedro intrínseco de la
curva x2 + y 2 + z2 = 6 , x2 - y“ + z2 = 4 en el punto M( 1,1,2)
Desarrollo

f . r + y + z 2 = 6
C : < paramétrizando la curva se tiene:
[x —y -f z —4
sumando las dos ecuaciones se tiene:
2x” -f2r 2 =10 => x2 + z2 =5 => z = 4 s --x2 además y 2 - 1 => y = l
Sea r(t) = para t = 1 se tiene:
=(i,o,-==) => 7xi)=(i,o,-i)
V5 - 1 2
la ecuación del plano normal es:
l(x —1) —0(>’- 1) - ~ (z - 2) = 0 de donde 2x - z = 0
7(0=(1,0,--== ) => 7"(0=(o,o,---- -—) => 7"(i)=(0,0,-
B = rl)x r l) :
i j k
1 0 - -
2
0 0 - -
= (0,-,0)
La ecuación del plano osculador es: 0(x -1) + —(y - 1)'+ 0(z - 2) = 0
8
de donde se tiene: y - 1 = 0
!OO
2096
N - B x T =
i j k
1 0
= ( - — ,0, - - ) = - — (1,0,2)
16 8 16
La ecuación del plano rectificante es: 1(x - 1) + 0(y - 1) + 2(z - 2) = 0
2x + z - 5 = 0
Hallar las ecuaciones de la tangente, de la normal principal y de la binormal en
t4 t3 t2
un punto arbitrario de la curva: y ~ ~ > z = ~^ ' ^ a^ar ^os Puntos en
que la tangente a esta curva es paralela al plano x + 3y + 2 z-1 0 = 0
Desarrollo
-» /4 /3 /- -> ->
Sea r(0 = ( - , y , y ) => rt) = { t t 2,t) = T
r"(0 = (3r,2/,l)
B = rt)x r"(t ) -
N = BxT =
—>
i
—>
j
(0 = t3 t2
312 2i
—> —»
i j k
- t 2 213 - t 4
t3 t 2 t
= (-t2,2 t3, - t4) = í2( - 1,2í,- í2)
= (/6 + 2í4,/3- t 7, - t4 - 2th)
= t3(t3 + 2t , - t 4, - t - 2t3)

2097
t4 t3 t2
La ecuación de la tangente que pasa por el punto M (--,™ ,—) es:
í4 í3 t2
x - — y ----- z - '—
4 _ 3 _ 2
/2 í 1
/4 r3 /2
x ----- y ---- z -----
La ecuación de la binormal e s : -----— - 3
1 2t i2
t4 ¿3 ¿2x ----- v ----- z -----
4 3 2
La ecuación de la normal principal es: ----- — j=-----f - = ------ ~
F h 2t + t4 1- t 4
Si P: x + 3y + 2 z-1 0 = 0 entonces
rt)/!P <=> ~rt) J_ iV= (1,3,2) => r'(t).N = 0
(l,3,2).(¿3, r ,¿) = 0 => ¿3+3¿2 +2í = 0
t ( t “ + 3/ + 2) —0 t —0, t — 1, t — 2
para t = 0, x = 0, y = 0, z = 0
' { 1
- , J t - 4> - 3 * z - 2
t = -2, x = 4, v = ——, z —2
Hallar las ecuaciones de la tangente, del plano osculador, de la normal
t2
principal y de la binomial de la curva x = t, y = -t, z = — en el punto t = 2.
Calcular los cosenos directores de la binomial en este punto.
Desarrollo
Sea r(t) = (/,-/,—) => r ’(0 = (l,-l,0
~r"(t) = ( 0 , 0 , 1)
para t = 2, r = (l,-l,2), 72) = (0,0,1)
-> —» —»
—» —> —» i j k
£ = r'(l)x r"it) = 1 -1 2 = ( - 1 - 1,0)
0 0 1
—> —»
—» —> —>
i j k
N = BxT = -1 -1 0 = (--2,2,2) = 2(-
1 -1 2
para t = 2 se tiene x = z = 2, y = -2, P(2,-2,2)
x - 2 __y + 2 z - 2
La recta tangente:
Recta normal es:
1 -1 2
x - 2 y + 2 z - 2
1 -1 -1
B =
B - i - j
IB I
el plano osculador es: 1(x - 2) + l(y + 2) + 0(z - 2) = 0 . x + y = 0
Los cosenos directores de la binomial es: eos« = —¡=, eos fi = —¡=, eos y = 0
V 2 v2

2098 Escribir las ecuaciones de la tangente y del plano osculador a las curvas
siguientes.
1 7T
x = R~ cost, y = R sen t cos t, z = R sen t, cuando / -----—
4
b) z = x2 + y 2 , x = y en el punto (1,1,2)
c) x1 + y 2 + z2 = 25 , x + z = 5 en el punto (2,2a/3,3)
Desarrollo
a) Sea r (t) = (R eos2/, Rsen t eos t,Rsen t)
r ’(r) = (-R sen 2t,Rcos2t,R cost)
rt) = (-2/? eos 21,-2R sen 2t, se« ¿)
7T R R R
para t = —, x = — , y = —, z = —
4 2 2 V2
La recta tangente es:
^ä _ _ A
2 y ~ 2 72
0 -^ 2
^ R l_ /l
La ecuación del plano normal es: 2(x----) + 0 ( v V 2 ( z - -y=r) =f0
es decir: y¡2x - z = 0
2099
b) z = x2 + y 2, y = x => z = 2x2. Sea r(t) = (t,t,2t2)
Calculando t = ? se tiene (t, t, 2t2) = (1,1,2) => t = 1
r'(0 = (U 4 í)
para t = 1
r"(t) = (0,0,4)
la recta tangente es:
r 1) = (1,1,4)
>1(1) = (0,0,4)
x —1 y - 1 z - 2
1 1 4
La ecuación del plano normal es: 1(x - 1) + 1(y - 1) + 4(z - 2) = 0
. x + y + 4z - 10 = 0
c) x2 + y 2 + z 2 = 2 5 ,x + z = 5 =^> z = 5 - x
x2 + y 2 + (5 - x)z = 25 => 2x¿ + y ¿ =0x
’= V l0x-2x2 de donde r (í) = (t,Vi Oí - 2t2 ,5 - t) para t = 2
— — ,-1) => 7(2) = (1, - L , - 1) =_* (273,1,-273)
Vi 0t - 2tz
La recta de la tangente es:
’2V3 ’ 2V3
x - 2 y-2¡3 z - 3
2V3 1 -2V3
La ecuación del plano normal: 2>/3(x - 2) +1(y - 2y¡3) - 2¡3(z -3) = 0
Es decir: 2y¡3x + y - 2y¡3z = 0
Hallar la ecuación del plano normal a la curva z = x2+ y 2., y = x en el origen
de coordenadas.

2100
Desarrollo
Iz = x2 - y 2
C :i parametnzando la curva se tiene:
y = x
y = x, z = x2 - x2 = 0 de donde a(t) = (t,t,0), para t = ¿0 se tiene:
a(t0) = (t0,t0,0) = (0,0,0) => ¿0 =0
rf(0 = (1,1,0) => «'(0) = (i,i,o)
la ecuación del plano normal es: 1(x - 0) + l(y - 0) + 0(z ~ 0) = 0
X + y = 0
Hallar la ecuación del plano osculador a la curva x = el , y = e- /, z = 4 lt en
el punto t = 0.
Desarrollo
Sea r(t) = (e‘,e-',y¡2t)
7t) = (e‘ -e~lJ 2)
7"(0 = («',«"', 0)
r ’(0) = (l,-l,V 2)
7^0) = (1,1,0)
ß = r ’(Q)x r"(0) =
í J k
1 -1 V2
1 1 0
= (-7 2 ,7 2 ,2 )
La ecuación del plano normal es: -V 2(x-1) + V2(_y-l) + 2(z-0) = 0
yflx - s¡2y - 2z = 0
2101 Hallar las ecuaciones de los planos osculador a las curvas:
a) x2 + y 2 + z2 = 9 , x2 + y 2 =3 en el punto (2,1,2)
Desarrollo
C:
Jx2+ y 2 + z} = 9 y = yjx2 -3
[x2 - y 2 = 3 ■ (z = V12- 2x2
Sea 7(í) = (í,7 /2 -3 ,V lT -2 í2), t = 2
rK0 = (l,
-2í
)
r"(/) = (0,
Vi2 -3 ’V l2 -2 /2
3 24
3 ’ 3
(í2 - 3 )2 (12 —2í2)2
)
r '(2) = (1,2, - 2)
7*(2) = (0,-3,-3)
Ö = r'(2)x r"(2) :
’ J
1 2
0 -3
(-12,3, -3)
La ecuación del plano osculador es: -12(x - 2) + 3(y - 1) - 3(z - 2) = 0
4x - y + z = 9
b) x2 = 4 y , x3 = 24z en el punto (6,9,9)
Desarrollo
2
C:
jx = 4y
x3 = 24z
Z = -
24

t2 í2
Sea r(t) = (t,— ,— ) donde t = 6
4 24
?'(/) = (1,1, j ) P (6) = (l,3 ,|) = i(2,6,9)
r ( t) = (0 I i) >(6) = (0 i , | ) = 1(0,1,3)
2 4 2 2 2
B = r'(6)x r"(6) =
i j k
2 6 9
0 1 3
= (9,--6,2)
La ecuación del plano osculador es: 9(x - 6) - 6(y - 9) + 2(z - 9) = 0
.*. 9x - 6y + 2z = 18
c) x2 + z2 = a2 , y 2 + z2 = b2 en cualquier punto de la curva (x0,y0,z0)
Desarrollo
2 . 2 2
Ijc" +z" =¿T Jx= v a 2 - z 2
| / + z 2 =¿>2 L = V ó 2 - z 2
Sea r(t) = (Va2 ~ 2,[t>2 - í 2,/) , í = z0
Va2 - í 2
,1)
(a2 - / 2)2 (b2 - t 2)2
,0)
f
= -------------------- |-[¿2(a2 - t 2)2 ,a2(b2 - t 2) - t 3b2 + Pa2)
( b -z 2)(a2 - t 2)2
= -r L = { b 2xl,a2y l,z l{-b 2 + a 2 ))
V4>ó
La ecuación del plano osculador es:
Z>2x¿(x-x0) + a2>^O >-j0) + z ¿ H >2 + a 2)(z -z 0) = 0
62X oJC -a2Voy + ( - ¿ 2 + a 2)zgz = ¿ 2Xq + a 2^g + Z q (-¿)2 + a 2)
= ¿>2(*o —Zq) + a2(y£ + z%) = a 2b2(a2 +b2 - 4 z 0) + 2ü4Zq
2102 Hallar las ecuaciones del plano osculador, de la normal principal y de la
binormal a la curva y 2 = x , x2 = z en el punto (1,1,1).
Desarrollo
—»
k
2 t2
V(*2 - ' 2)3

rt) = (2 í,l,4 r) r ’(l) - (2,1,4) = T()
rt) = (2,0;12r ) r"(l) = (2,0,12)
/ j k
2 1 4
2 0 12
= (12,-16,-2) = 2(6, - 8, - 1)
La ecuación del plano osculador es: 6(x - 1) - 8(y - l ) - l ( z - l ) = 0
6x - 8y - z + 3 = 0
N = BxT = (-31, -26,22) = -(31,26, - 22)
La ecuación de la recta binormal que pasa por el punto (1,1,1) es:
x - l _ y - _ z -1
~~6~ ~ ~^8~ ~ ~-l~
La ecuación de la normal principal ——- = ——- = ——-
31 2 6 - 2 2
2103 Hallar la ecuación del plano osculador, de la normal principal y de la binormal
a la hélice cónica x = t eos t, y = t sen t, z = bt en el origen de coordenadas.
Hallar los vectores unitarios de la tangente, de la normal principal y de la
binormal en el origen de coordenadas.
Desarrollo
Sea r(t) = (t cost, t sent, bt) en t = 0
rt) = (eos t - 1 sen t,sen 14-i eos t,h)
r t) = (-2 sen t - 1eos t,2 eos i - i sen 0)
r m = ( W ) = T()
r"(0) = (0,2,0)
B = r0)x r ”(0) ==
i j k
1 0 h
0 2 0
= (~2b, 0,2) = 2(-b, 0,1)
La ecuación del plano osculador es: -b(x - 0) + 0(y - 0) + l(z - 0) = 0
/. -bx + z = 0
((),<)’ + 1.0)
La ecuación del plano rectificante que pasa por el punto (0,0,0) es:
—>
i j k
N = B xT = -b 0 1
1 0 b
0(x - 0) + (b¿ + l)(v - 0) -f 0(z - 0) - 0
y la ecuación de lá binormal (recta) es la intersección de los planos normal y
x + bz = 0
recti ficante es decir: LB :
ly = 0
6.20. CURVATURA DE FLEXIÓN Y DE TORSIÓN DE UNA
CURVA EN EL ESPACIO.-
ler. CURVATURA DE FLEXION.-
La curvatura de flexión de una curva es un punto M, es el número
k - -- = lim — , donde (p es el ángulo de giro de la tangente (ángulo de
R As-+0As '
contingencia) en el segmento de curva MN y As, la longitud del arco de este
segmento de curva R se llama radio de curvatura de flexión.

—> —>
Si la curva se da por la ecuación r = r(s) donde s es la longitud de arco,
tendremos:
R ds
para el caso en que la curva se da en forma parámétrica general, tenemos:
, d r d ri —— x — -
J L • d t d t
R~~
2do. CURVATURA DE TORSION.-
Se entiende por curvatura de torsión de una cura en el punto M, él número
t 1 y 0T = — = lim —
p As~*GAs
donde 0 es el ángulo de giro de la binormal (ángulo de contingencia de la curva
M N . La magnitud p se llama radio de curvatura de la torsión.
Si r = r (s) se tiene:
d r d ~r d' r
1 = + , ds ds1 ds3
ds
^ L ) 2
ds
donde el signo menos se toma cuando los vectores y v tienen la misma
ds
dirección, y el signo más en el caso contrario.
2104
Si r = r(t) donde t es un parámetro arbitrario se tendrá:
d r d 2 r d 3 r
p
dt dt2
3ra. FORMULA DE FRENET.-
É i - L l L d>6 - v
dt R dS R p ds p
Demostrar, que si la curvatura de flexión es igual a cero en todos los puntos de
una línea, esta es una recta.
Desarrollo
Del triangulo BkL^ se tiene:
BK = BL + Lxk donde L^k = t
—k
como la longitud del vector t es el mismo
entonces
| t |=| t + At | por lo tanto él ABkL^ es isósceles y el ángulo 0 es el vértice de
la tangente a la curva cuando pasa del punto A al punto B, como
0
k = lim |— | como 0 = 0, puesto que el ángulo de rotación se confunde con
As-»0 As
o
la recta. Luego se concluye: k = lim |— 1= 0
As—»0 As

2105
2106
2107
Demostrar, que si la curvatura de torsión es igual a cero en todo los puntos de
una curva, esta es una curva plana.
Desarrollo
La demostración es similar al ejercicio 2104, por lo tanto se deja como un
entrenamiento.
Demostrar, que la curva x = + ?>t+ 2t2, y = 2 - 2 t + 5t2, z = - t 2 es plana,
hallar el plano en que se encuentra.
Desarrollo
,2
Como
x—1+ 3í + 2t
y = 2 - 2t + 5t1
z = l - t 2
... (1)
... (2)
... (3)
Eliminamos el parámetro t, se tiene:
2x —2 + ót + 4t
3y = 6 - 6t + l5t2
19z = 19 —19í2
sumando las tres ecuaciones tenemos 2x + 3y + 19z = 27, que es la ecuación
del plano en donde se encuentra la curva.
Calcular la curvatura de las líneas
a) x = eos t, y = sen t, z = cosh t, cuando t = 0
Desarrollo
Sea r (t) = (eos t,sen t, cosh t) , de donde
—^ —y
rt) = (-sen t,eos t,senh t) r '(0) = (0,1,0)
—> —>
r "(0 = (“ cos t, -sen t, cosh t) r"(0) = ( - 1,0,1)
r'(0)x r"(0) =
i j k
0 1 0
-1 0 1
= (1,0,1)
k _ r'(0)xrX0)_ 1(1,0,1) 1
!P(0)p ~~I(o,i,o)|3~~
b) x2 - y 2 + z 2 = l , y 2 - 2x + z = 0 en el punto (1,1,1)
Desarrollo
fx2 —y 2 + z2 = 1
Sea C : < paramétrizando la curva se tiene:
[y2 - 2x + z = 0
Al suma las dos ecuaciones se tiene: x2 + z 2 -2 x + z = 1, completando
2 2 1 1
cuadrados se tiene: ( x - 1) + (z + z + —) = 2 + —
4 4
/ n 2 , ^2 9 3 1 3
( x - 1) + (z + —) = — entonces x = l + —eost, z = — + —sent
2 4 2 2 2
i., ^ 1 3 5 , 3v = J2 + 3cosM--------sent => y = J —+ 3cosí— sent
2 2 V2 2
O x 3 1 3 P o 3Sea r(í) = (1+ —cosí,-----h—sent,J —+ 3cosí — se«í)
2 2 2 V2 2
3
^ 0 ósent + —cos/
3 3 9
r '(0 = (— sent, —cost,----- ......... - -)
2 2 r' ~5 3
2, -4 -3 cosí - —sent
V2 2

2108
sent , cost, i
, 3 - cost— — ,(sent+-— )
rt) = (—-cost,--sent, , 2 ..... - + - ------------------------r))
2 2 2 |5 ~ 3 2 5 3 2
J —+3cost - —sent (_ + 3COs /— sent)2
V2 2 2 2
71 3 3 7t 3 3
7 1 7 1
rX~)xr(- ) =
1 J k
- 1 0 - 2
2 2
3 3
0 - - - -
2 2
t i7 x fix 7 -x f)i i S U i
k '< f)P 4
Calcular las curvatura de flexión y de torsión de las siguientes curvas en
cualquier punto
a)jc= e* eos ¿, y = e'serc t , z = e*
Desarrollo
—>
Sea r (í) = (el eos t,e'sew t, el)
—►
r '(0 = (éfeos t - e*sent, t + e* eos t,e*)
r"(t) = (-2 sen t.e*,2eos ¿.e*, )
r ’(0* r "(0 =
/ j k
e (cost - sent) el(sent + cost) e
e*( -2 sent) el(Icost) e*
= e2r(sew¿- cos -(cos i + sen t), 2)
r "'(0 = (-2^ (sen t + cos /), 2e (cos t - sen t),el)
rt). rt)x r'"(t) ■-
el(cost - sent) el(sen t + cos /) e*
-2 sen t .el 2cos t.e1 el
-2el(sent + cost) 2el(cost - sent) el
= e
cos t - sen t sen t + cos t 1
-2 sent 2 cos t 1
-2(sent + cost) cost-sent 1
r'(t) |= ße*, I rt)x r"(t) |= Vóe
it
, | rt)x r"(t) | _ 42e~l . _ r t rt)x r"'(t) _ e~‘
? T—
|7 '(0 |3 3 |r V )x rV ) |2
b) x = a cosh t , y = a senh t, z = at (helice hiperbólica)
Desarrollo
—> —>
r(¿) = (a cosh t, a senh t,at) => r (t) = (a senh t, a cosh t, a)
r"(t) = (a cosh t, a senh t,0) , r "'(/) - (# senh t,a cosh í, 0)

2109
-> -» —»
i j k
rt)x r"(t) = asenht a cosh/ a = (-a2senh t,a2cosh t,- a 2
¿jcosh/ a senht 0
1r'(t) |= 'Jïa cosh t , 1r'(0x7"(0 Ï:= Í2a2 cosh/1
rt). rt)x r'"(t) =
a senh t a cosh t a
a cosh t asenht 0
asenht a cosh t 0
k -
rt)x r t) _ y¡2a2 cosht _ 1
I p 2yj2a3 cosh31 la cosh2
^'(t)^"(t)x7'"(t) a3 1
2 2a4 cosh2t 2a cosh2t
r t) x r t )
Hallar los radios vectores de curvatura de flexión y de torsión de las siguientes
líneas en un punto arbitrario (x,y,z)
a) x2 = 2ay , x3 = 6a2z
Desarrollo
x = 2ay
C: 7 =>
Ix3 = 6a2z
x2
y = Ya
z = -
6a1
t2 ¿3
Sea r (t) = (t,— ,— - ) , derivando
2a 6a
rt)x r t ) =
i j k
1 “ — 2a 2a2
o I 4
a a
= (-
2a
._L i.)
a 2 ’a
r'(OI=Jl +-r +
í2 í4 t2 + 2a2
a2 4a2 2a2
-> t2 + 2a2
rt)x r t) |= ------j—
2a
R
r t)3 (í2 + 2a2)2 (r'(í)x^"(í))2 (í2 + 2a2)2
; P = Zi— =r------ n —
rt)x r"(t) I
4a 4a
b) x3 = 3/j2^ , 2xz = p 2
Desarrollo
C:
K = 3 ^
[2xz = p 2
x
y ~ ï ?
2x
t3 P2
Sea r (0 = (t,— - , — ), derivando
3p 2 21

2110
“Va i i ‘4 P 4 p 4 +2t
r ( ) l= i T + “7T = - ÏT2 p V
i7 ’(/)x7"(o [2= i^ .- .t 26?4)2
p t
rt). rt)xr"t) = -
R = -
r'(t) I3 4x2
r'(0.'‘"(O*'‘"(O
(/? + 2t )
Sp4t3
4x2(.rt)x rt)Ÿ _ (p + 2t y
rt)x r"(t)x r"t) Sp4t3
Demostrar, que los componentes tangencial y normal del vector de aceleración
dV V
w se expresan por las formular ^ =.^—t , vv = — v, donde V es la
dt R
velocidad, R radio de curvatura de flexión de la trayectoria, i, v los vectores
unitarios de la tangente y la normal principal a la curva.
Desarrollo
Consideremos el gráfico siguiente:
r ' (t)
Si en un instante t, un punto móvil se encuentra en A, determinado por el
vector OA = r(t) de acuerdo a la figura y en otro instante t + At se
encuentra en el punto B determinado por el vector OB = r(t + At) .
Luego el vector AB se denomina vector desplazamiento del punto A, la razón
del vector desplazamiento AB con respecto al incremento correspondiente al
tiempo t se denomina velocidad media durante un tiempo.
Vrned =- = —— = AC
At At
La velocidad del punto en un instante dado se determina por:
V = lim Vmed = lim = ----- es decir: V = ~—
a/->o A;-»o At dt dt
ahora tomemos la longitud s del arco, al cual a s consideremos como función
-» -> ->
, , . _ rt d r d r ds , , d r
del tiempo t. Luego tenemos V = ---- = ----- .— -- rv donde r = ----- es un
dt ds st ds
ds
vector unitario de la tangente y v = — es el vector velocidad.
dt
dv
La aceleración w de un punto es w = —
dt
ds d s d r
Como v = — => w = —— como V = ---- = rv además
dt dt ds
dV d , , dV dr dr dr ds
>v= — = — (zv) = r ----+ V ------ pero — = — .— entonces se tiene:
dt dt dt dt dt ds dt

21 1 1
dV Trdr dsdV xri d r
W=T----+ V----.--- = T -----+ F ----
dt ds dt dt ds
dV vV¿
w = t— + ----- pero w = hl + wv
dt R r v
dV V2 dv V2
Luego w_ + wv = t----+ — v entonces wr = t— , wv = — v
r v dt R dt v R
Por la hélice circular R(t) = (a eos t, asen t,bt) se mueve uniformemente un
punto con velocidad v. Calcular su aceleración w.
Desarrollo
-> d R
Como R(t) = {a cos t, a sent,bt), derivando---- = (-a sent, a cost, b)
dt
d 1 R d 3 R
= (-acost,~asent,0) ; — —= (asent,-acost,Q)
dt dt
dR d 2 R
---- *---- 7~
dt dt
i j k
-a sen t a eos t b
-a cost -a sent 0
(absent,-a b cost,a )
21 12 La ecuación de un movimiento es r (t) ~ (t,t2,F ) determinar en los instantes
t = 0, t= 1.
1) La curvatura de flexión y de la trayectoria.
2) Los componentes tangenciales y normal del vector de aceleración del
movimiento.
Desarrollo
Como r (t) - (t,t2,t} ) , derivando se tiene:
r'(t) = (],2t,3r), r"(t) = (0,2,6t), r"'(t) = (0,0,6)
para t = 0, r 0) = (1,0,0), r"(0) = (0,2,0), r m(0) = (0,0,6)
rf(0)x r 0) :
i j k
1 0 0
0 2 0
:(0,0,2) => I r ’(0).vr"(0)|=2 => |r'(0 )|= l
k _ 1 ... 1'"(O)* r 0)] 2 .
R
r'(0)|
componente tangencial wT= ? y la normal wv
V = — = (l,2t,3t2) pero V =| V 1= Vl + 4 r +9t*
dt
entonces w
- = v =VT
dV _ 4¿ +18¿3
dt Vl + 4 r,+ 9í4

CAPITULO VII
INTEGRALES MÚLTIPLES Y CURVILÍNEAS
7.1. INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS
RECTANGULARES.-
lro. CALCULO INMEDIATO DE INTEGRALES DOBLES.-
Se llama integral doble de una función continua f(x,y) sobre un recinto cerrado
y acotado S del plano XOY al limite de la suma integral doble correspondiente.
ífx,y)dxdy = lim V V f(x¡,yk)Ax;Ayk
JJ max Ar, ->0 jLm J ¿mmA
S max Ayk ~>0 i k
... (1)
donde Ax¡ = xj+l - x ¿, Auk =Ayk+l - y k y la suma se extiende a aquello
valores de i y k, para los que los puntos (x¡,yk) pertenecen al recinto S.
2do. COLOCACIÓN DE LOS LIMITES DE INTEGRACIÓN DE LA
INTEGRAL DOBLE.-
Se consideran dos formas principales de recinto de integración.
7 ) El recinto de integración S, está limitado a izquierda y derecha por las
rectas x = x} y x = x2 (x2 > x{), mientras que por abajo y por arriba lo
está por las curvas continuas y = (p](x) e y = (p2(x) ((p2(x) - <P(x))
integrales Múltiples y Curvilíneas 291
Luego la integral doble se puede realizar reduciéndola a una integral
reiterada de la forma.
çç f*2 m (x
f(x,y)dxdy= dx
J J J.Tj J<pl (X)
(x) *x2 #p2(x)
f(x,y)dy = I ( I f{x,y)(iy)dx
JX] Jçyix)
© El recinto de integración S, está limitado por abajo y por arriba por las
rectas yx= y e y2 - y (y2 > yx) mientras que por la izquierda y por la
derecha lo está por las curvas continuas x = q>x(y) , x = y/ 2(y)
(y/2{y)>y/x(y))
x = Hf-iíy) x = |/2(y)
0 X

2113
2114
Luego la integral doble se puede realizar reduciéndola a una integral
reiterada de la forma.
r r p>2 miy) m mí*)
I fíx,y)dxdy= I dy I f(x,y)dx = I ( I f{x,y)dx)dy
JJ Jy¡ «Vi(y) rv¡ M(x)
Calcular las siguientes integrales reiteradas.
W(x2 + 2y)dx
Desarrollo
14
y
dy _
)2
Desarrollo
(x+>>)2
r< r - _ ! _ / * *
¿ J (x + y)2 i J (x + >>) Jb x + >>/ i
= - f (— ---- —~:)dx = —[ln |x + 2 |- l n |x + l |] /
J3 x + 2 x + 1 /
= —ln| — | / 4= —(ln——ln—) = ln—
x + 1 / 3 5 4 24
Integrales Múltiples y Curvilíneas 293
2115
2116
Hx2dy
í + 7
Desarrollo
Í A Í 0 - Í ' Í tt/ ^ '
X 4 12 / o 12
dx
*2 x dy
TH
Desarrollo
x3)¿/x
6 4 / 1 3 6 4 3 12 12
£ * £ .
2117 l dy I (x + 2y)dx
Desarrollo
í* í/y f5 (x + 2y)dx = f ( f (x + 2y)dx)dy = f (— +2xy)/
JL3 Jv:-4 JU Jy24 J-3 ^
dy
= J [ ^ + 1 0 , - ^ . - 2^(v2 -4)Kv

4y3 +Sy2 +26y + 9)dy
- ( ~ Y ~ y 4 + l y i + l *y2+9y)/ -i
1 243 243
= - [ ( — -— 81 + 72 +162 -f 27) - (—— 81-72 + 162-27)] = 50.4
f d(p rJo Jase
2 1 1 8 I d (p I r d r
Jasen(p
Desarrollo
f * r rl7T r r2 ¡a
d (p I r d r - I ( I r d r ) d ( p = I — / d (p
Jasernp •*) Jasencp J) ^ aserup
1 P ^ a2 r2x
= — I ( a 2 - a 2s e n 2( p ) d ( p = — I eos2 (p d ( p
a 2 a 2 s e n 2 ( p ¡ 2n
= — I (1 + eos 2 ( p ) d (p = — [
Jasen(p
2 2
a _ ^ ^ a 7i
— (2;r + 0 -0 ) = -----
4 2
a 1n
r d r -
2
*3eos(p
2 1 1 9 r r 2s e n 2( p d r
Desarrollo
M
2 2
r sen (pdr -
t j p r2sen2(pdr)d(p
- n
Í 2 r 3 9 /3costp 27 1*232
— sen (p d(p- — I eos (p.sen (pd(p
H 3 / o 3
2
n
2
(1 -sen2(p)sen2(peos(pd(p = - —^— ) 2^.
27 1 1 1 1 27 2 2 5 -3 12
= — [(-------) - ( — + -)] = — (—- —) = !8(— -) = — = 2.4
3 3 5 3 5 3 3 5 15 5
2120 f ¿/x | ] l - x 2 - y 2dy
Desarrollo
dx P y j - x 2 - y 2d y - f ( j y]l~x2 - y 2dy)dx
’ { {l2'í ' - , 2 - / + '-z r “'csen^ = ; )l i l *
= [(0 + ■———aresen 1)—Ojafx = -.—dx
2 2
n t n 2 u K t i í v . y ' v * / . K
4 J) 4 3 / o 4 3 6

2121
x + y
2122
Escribir las ecuaciones de las líneas que limitan los recintos a que se extienden
las integrales dobles que se indican más abajo y dibujar estos recintos.
£*£4
f{x,y)dx
Desarrollo
í d y k i , A x -y)dx‘ I ( £ f(x,y)dy)dx = n * ,y)dxdy
donde D :
-6 < y < 2
y 2
— 1< x < 2 ->>
4
grafícando la región D se tiene:
Los limites de integración es de
y
4
f*rf{x,y)dy
Desarrollo
*3 *x+9 ax+9 * /•
I dx I f(x, y)dy = I ( f{x,y)dy)dx = /(x ,j) J x í^
Jx2 Jl Jjv2+9
D
donde D :
1< x < 3
,2
[x < jy < x + 9
grafícando la región
2123
j > rf{x,y)dx
Desarrollo
f
M - y *4 MO-y
dy j f(x,y)dx= j^ ( J
donde D :
f(x,y)dx =
0< y <4
y < x < 10- y
f(x,y)dx)dy = j '^f(x,y)dxdy
D
, grafícando la región se tiene:
2124
f - f
f(x,y)dy

2125
Desarrollo
í dx f y)dy f (x, y)dy)dx —íí/(<,y)dx dy
3 3 D
donde D :
1< x < 3
x , grafíeando la región se tiene:
—< y < 2x
3
Los limites de integración de x = 1 a x = 3 de y = — a y = 2x
*3 J 2 5 - x 2
M f(x, y)dy
Desarrollo
/<3 p / 2 5 -x 2
M
2 5 -x 2 A J 2 5 - x 2
f(x,y)dy = I ( I f(x,y)dy)dx = | f(x,y)dxdy
ÍP
í0 < x < 3
donde D : <{ ,---------, grafíeando se tiene:
[o < y < 4 l 5 ^ x
2126 Jp dx f(x,y)dy
Desarrollo
AX+2 mi mx-f-2 *m
dx I f(x,y)dy = J ( I f(x,y)dy)dx = J f{x,y)dxdy
D
í - l < x < 2
donde D : < , grafíeando se tiene:
[x" < y <x + 2
Los limites de integración es de x = -1 a x = 2 de y = x2 a y = x + 2

Colocar los limites de integración, en uno y otro orden, la integral doble
Jj7(„ y)dxdy para los recintos S qua continuación se indican
2127 S es un rectángulo cuyos vértices son: 0(0,0), A(2,0), 13(2,1) y C(0,1).
Desarrollo
y)dxdy
M ■
y)dy
A(2,0) X
2128 S es un triángulo cuyos vértices son 0(0,0), A(1,0) y B( 1,1).
Desarrollo
Q f( x ,y )d x d y = f ( f f(x,y)dx)dx
í‘í"(.v, y)dx)dy
2129 S es un trapecio cuyos vértices son 0(0,0), A(2,0), B( 1,1) y C(0,1)
Desarrollo
2130
0
*í(f ’ñx-y)dx)dy
S es el paralelogramo cuyos vértices son A(l,2), B(2,4)
Desarrollo
^ f ( x ,y ) d x d y =
*2 /«2.V+3
f(x,y)dxdy = I ( I f(x,y)dy)dx
2 X
2131 S es un rector circular OAB con centro en el punto 0(0,0) cuyo arco tiene sus
extremos en A( 1,1) y B( 1,-1).

2132
Í
m> m/2 J l - y 2
dy J /(x , y )dx -f J dy J /(x , v)¿/x
X) p/2-*2 ¿
= I dx I f(x,y)dy +
J-i J-x A
2-jc2
dx | f(x,y)dy
S es un segmento parabólico recto AOB, limitado por la parábola BOA y por el
segmento de recta BA, que une entre sí los puntos B(-l,2) y A(l,2)
f dx Í f(x,y)dy = f
•L l J2x2 Jo
dy I y)dx
l fí
2133 S es un anillo circular limitado por las circunferencias cuyos radios son r = 1
y R = 2 y cuyo centro común está situado en el punto 0(0,0).
Desarrollo
Las ecuaciones de las circunferencias son: x2 + y 2 = 1, x2 + y 2 = 4
Y ' i
x2+ y2= 4
/ R
r
^ i
> 1
X ) )
' 2 ' 1 h x
x2 + y2= 1
2134 S está limitado por la hipérbola y 2 - x2 = 1 y por la circunferencia
2 2
x + y = 9 (se considera el recinto que comprende el origen de coordenadas).

2135
Desarrollo
y2- x2=1
Calculando los puntos de
intersección se tiene:
f x 2 + y 2 = 9
[y2 - x 2 =
x = ±2
j>= ±V5
r 9 -x 2
dx I ___f(x,y)dy- Í2 p/l+x2p3p/9-x2
dx ___f(x,y)dy+ dx ___ /(* ,
-2 J-Vl+x2 J2 J-J9-X2
y)dy =
Í-i r~'[y2~l r~] rl9~y¿
dy I ■_ f ( x , y ) d x + I í/v | ___ f (x, y)dx +
r/5 J-J9-V2 J-vT
Í,
+ | dy | ___/(x,y)í/x+
-1 J-^/9-y
r5 r~y¡y2-i
n ^ -
f(x,y)dx
s/9-/
+ I dy | ___ f(x,y)dx
JZ-i
Colocar los limites de integración en la integral doble íf/(*,y)dxdy si el
recinto S está determinado por las desigualdades siguientes:
a) x > 0 , y > 0 , x + y < 1
Desarrollo
jj/(*'y)dxdy=í(fs
f(x,y)dy)dx
f ' í
y)dx)dy
Desarrollo
r =a. { ;( I _f(x,y)dydx
f ( f _ _ / ( - v .
l a
y)dx)dy
Desarrollo
x2+ y 2 - x => (x )2 + y 2 = — circunferencia de centro (—.0)

IF y)dxdy = I ( ___f(x,y)dyybc
1 i+Vi-4r2
= J 2, ( J ír;~J f(x,y)dx)dy
d) y > x , x > 1 , y < 1
Desarrollo
Y‘
1 /
S
I
/ I
/ I
/ ! i
-1 0 / 1
-1 Y= X
X
J j ’.f(x,y)dxdy= J ( jVc** y)dy)dx
y)dx)dy
e) y < x < y < 2a
Desarrollo
*a *y+2a
f{x,y)dx =
W
: '»
Í
i axÁ2a*a¿dapa
dx f(x,y)dy+ i dx f(x,y)dy+ I dx I
•J) Ja JO Jla Jx
x,y)dy+ j dx j f{x,y)dy
2a
f(x, y)dy +
Investigar el orden de integración en las siguientes integrales dobles.
2136
f
M2x
f(x,y)dy
Desarrollo
Í0 < x < 4
Sea D : < _ graficando la región
[3x2 < y < l 2 x
( V j f / u .
y ) d y
y)dx
12
Desarrollo
Í0 < x < 1 t t
Sea D : < graneando la region
I2x < y < 3x

2138 | dx 2 j f(x,y)dy
2a
Desarrollo
Sea D :
0 < x < a
a2 - x 2 n -----7 > grafícando
■<y<yja - x
2a
2139
Sea D :
2a x -x 2
f(x,y)dy
■<x< a
JJ
0 < y < V2ax - x2
it
Desarrollo
grafícando
2a x-x
,y)dx dy = f(x,y)dy)dx
V3
■ r r f(x,y)dx)dy + j ^ g( £ _f(x,y)dx)dy
2140
*j4ax
d x ____ f(x,y)dy
J sjla x-x 2
Desarrollo
Í0 < x < 2a
Sea D : < ,— ----- ---- , grafícando
[V2ax - x2 < y < ^j4ax
Jj'f(x,y)dxdy=
2a 4ax
| f(x,y)dxdy= | (I ____ _f(x,y)dy)dx
J la x -x 2
i pa-]a"-y
f (x, y)dx)dy
+ I ( f _f{x,y)dx)dy +
a+Ja~-•V
mlyjla mía
+ I ( I f(x> y)dx)dy
4a

310
Desarrollo
Sea D :
í0 < y < 1
y < x < —y
, graficando
2142
i h ,y)dx dy = í < í ; f(x,y)dx)dy
( I f(x,y)dy)dx
Í ' J > y)dy)dx
Sea D :
Desarrollo
0 < y < 1
y2 i-------r , grafícando
^ - < x < V 3 - y 2
2143
2144
f ( xry)dy
Desarrollo
y¡2R
ÍM
jR-y2
f(x,y)dx
* í
f(x,y)dy
Desarrollo
[0 < X < 7 Z
Sea D A , gralicando
0 < x < sen x

2145
2146
_
r r çn çsenx M m -arsen y
/(-'.v)íM v= I dx f(x,y)dy = dy f(x,y)dx
•fV J) J) varcsen y
Calcular las siguientes integrales dobles.
Q x d x d y , donde S es un triángulo cuyos vértices son 0(0,0), A (l,l) y B(0,1)
Desarrollo
xdxdy x dx)dy
ÎHvríí
*Ít/>-ií
= ¿ / ' = 1
6 / 0 6
y 1dy
ííxdxdy, donde el recinto de integración S está limitado por la recta que
pasa por los puntos A(2,0) y B(0,2) y por el arco de circunferencia de radio 1
que tiene su centro en el punto (0,1).
Integrales J^ ^ tipl^ ^Cjt^vilíneas
Desarrollo
vV» ■ ttVl )“) =. 'AvA'
I ;t------ i
La ecuación de la circunferencia es pe + (y -1)“"*=1 de donde jc - ¡2y - j
La ecuación de la recta es x + y;= 2 :=> x = 2 - y
f,b(Ürm-yu**-1 ira/aru») | ~ xY* A —£vj?/:nv> i
r r f < ^ -1*2 f2 -2 Jsy-.v2
ír**‘flJL ^ ‘ÍtA,
'V - Vi
f= [2.V-V2 - ( 2 - ^ ) 2Mv i j V 4 - 2y )dy
' q "»I .. írol riÓ’J oh i ' ?. bfíot Ai ' ' ¡/jj
—[ 5 - —] = —
2 3 6
— - 8 ) - ( 3 - — „
i 2 3 : 3 ■'
ofio n £39(1
8M£
= | ( 3 / - ~ — 4 y ) f * = X- [(12 - ^ - 8) - ( 3 - - 4)]
2147
íí:
dxdy
I 2 2”
y j a - x
r, donde S es la parte del círculo de radio a, con centro en el
♦ Y
punto 0 (0.0) situado en el primer cuadrante.
• ' v. í i J
Desarrollo
V i
x +=V
' A
2
x r
..„La.ecuación de (a..circunferencia es
0

2148
r r _ ^ L = = f (
J [a2 - x1 - y 2 A A Ja
dy
i 2 2 2
yja - x - y
í ^ f y^ r= I arcsen~-¡========r / dx - X (arcsen 1-
i) V¡ ^ ¡ 2 ' 0 JL
= ~ f dx = ~ z 4' = —
2 J) 2 / o 2
arcsen Q)dx
P -v~ dxd y , donde S es un triángulo con los vértices en los pumos
5
0(0,0),A (lr j)y B (U ).
Desarrollo
JJV-v2 - y 1dxdy = ( J V'r? - y 2dy)dx
*í[<0tT
y / A
arcsen —]/ dx
x / -x
arcsen 1) -(0 +— arcsen(~1)]<i*
arcsen 1+ —arcsen l)dx
2
2149
2150
j j j x y - y 2dxdy, donde S es un triángulo con los vértices en los puntos
s
0(0,0), A(10,l) y B(l,l).
Desarrollo
JJ-y/^y - y 1dxdy = -Jxy - y21dx)dy = - y 2)2f dy
= 1 8 |v 2í/v = 6.y3/ ' = 6
^ S es un triángulo mixtilíneo OAB, limitado por la parábola
y = x y por las rectas x = 0, y = 1
dy

= í (yey -y)dy = (yev ~.ey - — ) / = ( e - e - - ) - ( O - l - 0) = -
Jb 2 / 0 2 2
2151
Jí:
xdxdy
-------, donde S es un segmento parabólico limitado por la parábola
y = — y por la recta y = x
Desarrollo
-arctg —)dx
JF
[— - x arctg —+ ln(4 + x )]j %
,4 02IS
:(f _T +ln8)_(0+ln4) =ln2
2152 Calcular las siguientes integrales y dibujar los recintos a que se extiende.
A+cosx
a)
H y senxdx
Desarrollo
Í0 < X < K
Sea D A , graficando
[0 < y < 1+ cosx
íf H +cosx
y 2sen %dy)dx r y 3senx /
3 /
dx
U
3 1 (1+cosx) !n 1(l +cosjt) sen-pcax=-—f. -3 4
/ = -----[0 - 24] =
/ o 12
b)
jN•O »eos
y 4dy
Desarrollo
Sea D : 2 , graficando
eos* < y < 1
f ( f
JJ 4) «tos
D
■lí/:
-Ti
v dy)dx
dx
^ C0SSx)dx = ^

c)
K -3
Í
- ^3c
>f x2sen2y dx
Sea D :
7T
— < y < —
2 2
O< x < 3eos y
71 A
^ x 2sen2y dx dy = ^ ( jT
Í2 x3sen2y / 3cosyr í*2 32»
-------- / ífy = I 9cos y sen ydy
^ 3 / 0 JLz
2 2
3 5 _
2x 2 I ^,sen y sen /2sen y)sen y.eos ydy =9(------------------ )
■■9[(- -)] = 9[— —
3 5 3 5 3 5 5
Antes de resolver los problemas del 2153 - 2157 se recomienda hacer los
dibujos correspondientes.
2153 Calcular la integral doble Q x y 2dxdy, si S es un recinto limitado por la
parábola y 2 = 2px y por la recta x - p.
Desarrollo
Jj*xy2dxdy = J (J'P^ x y 2dx)dy
S Ip
-c&r*
■í
2p
p~y~ y"
'fe - 2,,2 6
)dy
= (
p j 2 ' 2 8 p 2
y ) / ' ’'r~ _ 2P' V2 8p"V2 5 r~ I 1 4¡2p
/ -Dy¡2 6 ^3 7-*~ 2156/? " ' -p y l2 6
2154 Calcular la integral doble que se extiende el recinto S, limitado
por el eje OX y la semi circunferencia superior (x - 2 )2+ y 2 = 1
Desarrollo
y=v/i-(x-2)2 r r ^ J i - ( x - 2 ) 2
xydxdy~ I ( I xydy)dx
2 3 X - í
' V 7 Y1/'
(1- ( * - 2)2)<£c
:0 8 - * í 3 A ^ i : i ) = í
8 4 V3 8 4 3

2155 Calcular la integral doble í í—— —, donde S es un circulo de radio a, tangente
J J 2 a - x
s
a los ejes coordenadas y que se encuentra en el primer cuadrante.
Desarrollo
La ecuación de la circunferencia es:
(x-a)2+(y-a)2=a2
y = a±y]a2 ~ ( x - a ) 2
r r
JJ2a - x J, X-y]a2-(x-af 2a - x
— -— [(a + -Ja2 - ( x - a )2) - (a - -Ja2- ( x - a )2)]dx
2a - x
Jb 2a - x Jb V2a - x 3
2156 Calcular la integral doble Jj'y dxdy, donde S está limitado por el eje de
abscisa y el arco de la cicloide x = R(t - sen t), y = R(1 - eos t), 0 < t < 2tc
Desarrollo
2157
2158
Calcular la integral Qxydxdy en la que el recinto de integración S está
limitado por los ejes de coordenados y por el arco de astroide x = Rcos31 ,
y = Rsen3t , 0 < t < —
2
Desarrollo
C r [R Ma 3- x 3)2 - W? 4 5 2 7 4
J Jjcy ¿/y = I xdx I ydy = — I (R2x - 3 R 3x3 +3/?3x3 - x 3)dx = ~
Hallar el valor medio de la función f(x,y) = xy2 en el recinto
S = {0 < x < 1, 0 < y < 1}.
INDICACIONES.- Se dá el nombre de valor medio de una función
f(x,y) en el recinto S al número / = — ,y) dx dy , donde S en el
denominador señala el área del recinto S.
Calculando el área del recinto S
Desarrollo

2159
S = dy = dy)dx = dx = 1
s
f = ^ y) dxdy = J j 'xy2dxdy
s s
f = |< Í f * - T / 1 - Í
Hallar el valor medio del cuadrado de la distancia del punto M(x,y) del circulo
(x - a)2 + y 2 < R2 al origen de coordenadas.
Desarrollo
A la distancia del punto M(x,y) al origen elevado al cuadrado denotaremos por:
/ (x, y) = X 2 + y 2 , luego tenemos:
2
+R R2- ( x - a ) ‘
(f
_ a>
f = -j | ( | (•x2 + y 2)dy)dx
(x2y]R2 - (x-- a )2 + i (tf2 - (x - a)2)■2)dx = a1 +
7 2
/ = « + ----
2
7,2. CAMBIOS DE VARIABLES EN LA INTEGRAL DOBLE -
lro. INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES.**
Cuando en la integral doble se pasa de las coordenadas rectangulares x e y a las
polares r, 0, relacionados con las primeras por las expresiones.
x = r eos 0 ; y = r sen 0
Se verifica la fórmula
... (i)
Si el recinto de integración S está limitado por los rayos 0 =a, 0 = P, (a < (3)
y por las curvas r ~ r x{ 0 ) y r - r2 ( 0 ) donde rx( 0 ) < r 2 ( O ) y además son
funciones uniformes en el segmento a < 0 < f3, la integral doble se puede
calcular por la fórmula.
f { 0 ,r)r dr
(e)
donde F(r,0) = f(r eos 0, r sen 0)
Í 2Í&)
F(0Jr)dr se considera constante la magnitud 0.
Si el recinto de integración no pertenece a la forma examinada, se divide en
partes, de manera que cada una de ellas represente de por sí un recinto déla
forma dada.

c
2160
2do. INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS CURVILÍNEAS.-
En el caso más general, si en la integral doble I u ,y)dxdy se quiere pasar j
s
de las variables x, y a las variables u y v relacionadas con aquellos por medio |
de las expresiones continuas y diferenciabas.
x-cp(u,v), y = y(u,v)
que se establecen una correspondencia biunívoca y continua en ambos
sentidos, entre los puntos del recinto S del plano XOY y los puntos de un
recinto determinado S' del plano uo'v, al mismo tiempo que el Jacobiano.
/ =
D(x,y)
dx dy
du du
dx dy
dv dv
D(u,v)
conserva invariable su signo en el recinto S, será valida la fórmula.
Los limites de integración se determinan de acuerdo con las reglas generales
sobre la base de la forma que tenga el recinto S ’.
Pasar a las coordenadas polares r y 0 y colocar los limites de integración para
las nuevas variables en las siguientes integrales.
fárí f(x,y)dy
Desarrollo
2161
Sea *S :
0 < * < 1
0 < y < l
x = r eos 0 , y = r sen 0
J j 'f(x,y)dxdy = ^dx j V ( x>y)dy »
f (r eos <9,r sen 0)r dr +
t d ° Ú ~ e
f (r eos 0,r sen 9)r dr
Y
x2 + y 2)dy
2 X
Desarrollo
Grafic^ndo la región sobre el cual se integra
Pasando a coordenadas polares
x = r co§ 0, y = r sen 0
£ / ([x2~+~y2)dy = ^ d 6
JP
COS0
f(r)rdr
2162 J J 7 “ ,y)dxdy donde S es un triángulo limitado por las rectas y = x, y = -x,
s
e y = 1
Desarrollo
Graficando la región S se tiene:

2163
JJ/(*,y) dxdy = dy + J
5
f(x,y)dx
f (r eos 6,r sen 0)r dr
f d X i f ( L )d y
J-l Jx2 X
Y-
y!
/ 1
__ / i .
-i i X
Desarrollo
Sea S :
-1 < jc< 1
(xz < y < 1
graficando la región S se tiene:
, Pasando a coordenadas polares
Í
n sen 9
dx I f { - ) d y = p d6 fcob eJ(tgO)rdr +
1 J x 2 X Jb Jb
3/r 1 sen 9
+ de J""®f(tg e y d r + ^ d e jp * f{tge y dr
NOTA.- Como y = xz => r send = r 2eos20 => r{ = 0, r2
sen 6
2164
2 eos26
jj/c*,y) dx d y , donde el recinto S está limitado por la lemniscata
(.x2 + y 2)2 = a 2(x2 - y 2)
x =r eos 0 , y - ,r sen 0
r 4 = a2r2eos 2#
r = 0, r = «Veos 20
r r p - «/V eos 29
^ y ( x ,y )d x d y = f(rcos0,r sen0)rdr +
5/r
M
^ Veos 29
+ L ^ # 1 f (reos 0,r sen 0)r dr
2165 Calcular la siguiente integral doble, pasando previamente a coordenadas
polares dx dy donde S es un semicírculo de diámetro a con centro en el
punto C(—,0)
La ecuación del gráfico es: (x - —)2f+ y2 —
2 , 4

2166
x2 + y 2 -ax = O => y - J a x - x 2
como x = r eos 0 , y = r sen 0 entonces
r2—ar eos0 = 0 => r = 0, r = a eos 0
acosO
r sen 6 rdr
71
fT . acosO
I — senOj dO
f
2 a3eos30 a3 eos40
sen 0 dO - — (-
3 3 4 ■>/
1 3 3
2 = _ «_ [0_ 1]=i L
o 12 12
Pasando a coordenadas polares, calcular la siguiente integral doble
íf‘
(X2 + y 2)dxdy que se extiende al recinto limitado por la circunferencia
x2+ y 2 = 2ax
Desarrollo
x2 + y 2 =2ax => ( x - a )2 + y 2 = a2
pasando a coordenadas polares
r2 -2areos6 => r==2a cos0
r .rdr)dO
7T 71 71
. (*2 r4 /2«COS0 1 4 4 í*2 .1+ COS 20. 2 j „
= 2 I — j d0 = — 6 a eos 6 d6 =8a I (------------) dO
2167
2168
= 2a4: i " (1 +2 eos 20 + eos229)d0 =
Calcular la siguiente integral doble, pasando a coordenadas polares
JJ>/cr - x 2 - y 2 dxdy donde el recinto de integración S es un semicírculo de
radio a con centro en el origen de coordenadas, situado sobre el eje X.
Desarrollo
y = f a2- x2
2 ■> 2
x + v“ = a y = ía2
dx dy
2
X
x2 - y 2 ,/,
s
=J (j V a ~x ~ - y d]dy)dx
= 2 jp ( j* Vö2 —r 2rdr)d0 = J 2(a2 -/•')- j'd O = -^-(9 j 2 = —
,T
Calcular la integral doble de la función f(r,0) = r sobre el recinto limitado por
la cardiode r = a(l + eos 0) y la circunferencia r = a (se considera el recinto
que no contiene al polo)
Desarrollo
JJf(x,y)dxdy = j ] > + v2 dxdy = 2 r2' dr)d6

2a5 12
f [(1 + cosjí?) —X d O
2c? n i ■>
—— j (cos' #4-3 cos" #4-3 cos 0)d0
t* 22^ 3:(—-i---- )a
2 9
2169 Calcular la siguiente integral pasando a coordenadas
Desarrollo
Sea D :
r * r > + y l dy
0 < x < a
[0 < y < yja2- x2
x - r eos 0
y ~ r sen 9
=> dx dy = r dr d0
rdr)d0
r T ~
^ 7 + 7 dx dy = J yjx1 + y zdy)dx = J( Jr.,
D
Jb 3 / o 3 X 6
2170 Calcular la integral siguiente, pasando a coordenadas polares
JíK2 ~~x2 - y 2 dxdy , donde el recinto S está limitado por la hoja de
lemniscata (x2 + y 2Y = a2(x2 - y 2), x > 0
2171
Desarrollo
íx = r eos 9
V-r sen 9
4 "> 2 /■ ^ xí 2 ^vx
=> r —a r (eos“9 —sen 9)
i i
a1eos 29 => r = ájeos 20 , Graficando
JF
/•T Veos 20
x“ -> '2 dx d
.. ____
f 'í ^
a3 .«■ 1 6 ^ - 20
r rdr)dO
= T < 3
Calcular la integral doble j j y dxdy , que se extiende al recinto S,
5
2 2
T V
limitado por la elipse — + — = 1, pasando a las coordenadas polares
a~ b
x y
generalizadas r y 0 según las fórmulas —= reos9 , —= rsenO
a b
Desarrollo

2172
= r cos 0
= r sen 6
x = ar cos 0
v = hr sen 0
J(r,6)
ex ex
d(x,y) dr JÔ a eos 0 -arsen 0
v(rJJ) dy dy b sen 0 br eos 0
dr dO
= abr, Graticando
íír7~¥‘bdy=f -ff M-~rS
Transformar la integral dx j* f(x ,y)d y, (0 < a < p, c > 0) introduciendo
las nuevas variables u = x + y , uv = y
Desarrollo
Como
J(u,v)
y - uv
d(x,y)
d(u,v)
l * = uv
, de donde
ex ex
du dv
dy dy
du dv
1- v
v
-a
u
2173
calculando los limites de la integral
x = 0 , u = 0
para
x - c , u - -
y - a x - uv , v’=
v = u -
a
+ a
p
a
M' m^ í 'í1+a
Ì+J3
f(u - uv,uv)u du)dv
Efectuar el cambio de variable u = x + y, v = x - y en la integral
,y)dy
Desarrollo
í “ x Í ñ x '
X+ V - u
x - y - v
J (u,v)
u + v
—
u - V
dx dx { 1
d(x,y) cu dv 2 2
d(u,v) dy dy 1 1
du dv 2 2
Sea D :
0 < x < 1
0 < ^ < l
Calculando para
x = 0 , v = -u [y = 0 , v = u
x = 1 , ti + v = 2 Iy = 1 , u - i’= 2
xi

u
2 - u
Q f(x ,y ) d x d y = dx jf f(x , y)dy = j J / ( ~
4 [í ‘"'f/ (- f :'!T ;,‘,,,+f d" L /(if •í£r )‘'vl
2174 Calcular la integral doble ¡ i ‘ixdy , donde S es un recinto limitado por la
5
2 ? o 2
curva (— + — ) = — ----r-.
a b2 h2 k2
INDICACIÓN.- Efectuar el cambio de variables x = ar eos 0 , y = br sen 0
Desarrollo
2 2 2 2
Como la ecuación es: (— + ~ r )2 = —- - —7 , entonces
a b2 h k
) de donde el limite inferior es r = 0, y el limite
Ia“ , 2 n ^ 2/i
superior es r = cós 0 -----sen O
h k~
a2 - ¿r
como r debe ser real entonces — eos“^--sen¿0 > 0 , de donde para el
ir
primer ángulo coordenado, tenemos que ¿g# :
ak
bh
Luego por simetría del campo de integración con respecto a los ejes, se puede
calcular basándose en el 1er cuadrante multiplicado por 4.
, ak a" 1 „ /r T~
arctg (— ) a - eos“0 — --sen“0
IJx í/v = 4 1 /A dO | v/í
í f - ’' * [
abr dr
lr/a2 b2.Mk ab..
- «¿[(-T - - T )arctg(— + — ■)]
h~ k~ bh hk
7 3 . CALCULO DE AREAS DE FIGURAS PLANAS,-
1ro. EL AREA EN COORDENADAS RECTANGULA RES.»
E1 área S del recinto plano (S) es igual a:
Si el recinto (S) está determinado por las desigualdades a: a < x < b,
cp(x) < y <i¡/(x) de donde se tiene:
ev'(x)
s= i,ix I dy
Ja J(p{x)

2do. EL AREA EN COORDENADAS POLARES.-
Si ei recinto (S) está determinado en coordenadas polares r y 0, por las
desigualdades a < 0 < p, f(0) < r < g(0), se tiene:
s - i
s
J r drdO - j
h
fgitn
rdr
bm
2i75 Constmir ios recintos cuyas áreas se expresan por las siguientes integrales:
a) J dx j* dy b)
r * r dx
Calcular estas áreas y cambiar el orden de integración.
Desarrollo
í-1 < x < 2
a) Sea S : < , grafícando
lx~ < y < x + 2
Í2 &X+2Ál
d x dy~ (x + 2 -
i ix2 J-i
x )dx
,x2 ~ x3 / 2 1
S = (— + 2x----------------) / = 4 —
2 3 / -i 2
«r+2 t pfc’ r4
= dx J dy = j dy J dx+ J dy J dx
b) Sea S :
ÍO< y < a
a - y < x < y[ci2~ y 2
, grafícando
2176
r J72-y2 fia _
úfv I (yjü
Ja-v
S = I dy I dx — I (Ja2 - y 2 -a + y )d y
¡Z Va2- y 2 + Z - arcsen(Z) - ay + - —]j ^
Construir los recintos cuyas áreas se expresan por las integrales.
£
« íg 2 ,¿sec<?p | |w(l+cos<?)
¿0 1 rdr b) L ^ J rdr
4 2
Calcular estas áreas.
Desarrollo
J
v rc tg l /«3sec# «irctgl 2 3sec 6 Q 0
í rdr=í t /. ‘"'“i i sec'" <'4 4 4
Q . arctg 2 9 9
4
Íí «(l+cosf?) 2 „(1+COS0) a1 ñ
<^6^ | r d r - — j d0 = — |^ [(l + cos#) -X]dQ

2177 Calcular el área limitada por las rectas x = y, x = 2y, x + y = a,
x + 2y = a, a > 0.
Desarrollo
2a a 2a_
C~5 2x - a . |*2 x , f l 2a-3x la
A= I --------dx+ I ~dx+ I ----------dx = -----
¿ 3 &l 2 k 2 120
4 5 2
2178 Calcular el área de la figura situada sobre el eje OX y limitada por este eje, la
parábola y 2 = 4ax y la recta x + y = 3a.
2179
2180
Calcular el área limitada por la elipse (y - x)~ + x~ - 1
Desarrollo
( d x r - dy = f [ ( , +v r ^ ) - ( , - v r r 7
V ' Jv-Vl--A'' J- l
.r2)dx
Í2Vi- x1dx = 2[—Vi--V2 +—arcsen x] /
, 2 2 / i
= 2[(0 t-—•)- (0 - —)] = /T
4 4
Hallar el área limitada por las parábolas y = 10x + 25 , = - 6x + 9
Desarrollo
3 ,VÍ5
VÍ5
= -—[(15>/l5 V r 5 ) - ( - 1 5 V r 5 + — V í^ ) = — (2oV Í 5) = — (VTs)
15 3 3 15 3
16

2181 Hallar el área limitada por las siguientes líneas, pasando a coordenadas polares
-v2 + v2 = 2x, x2 + y 2 = 4x, y = x, y = 0
Desarrollo
x —r eos 0 r2 = 2r eos 0 r = 2eos é?
=> < => ^
v = r sen 6 r 2 =4rcos# [r = 4cos#
r4 c*cos0 á r 2 / 4cos^ i fs 2 2
A = I dO I rdr = I — j dO = — I (lóeos # -4 c o s 0)d0
Jo ¿>cos0 JO ^ / 2cos6> 2 J)
/T /T
[= 6 eos20dd = 3 J 4(1 + eos 20)d0 = 0
sen 20
+ — — )
TC
sen — -
4 2 4 2
^ = 3(5 + 1 )
4 2
2182 Hallar el área limitada por la recta r eos 0 = 1 y la circunferencia r = 2 (se
considera la superficie que no contiene el polo).
Desarrollo
2183 Hallar el área limitada por las curvas r = a(l+ eos 0), r = a eos 0
Desarrollo
«(l+cos<9) pT pr/(l+cosé>) S¿/2/r
rdr - ------Í frtíl+cosfl) fin fia{
2dO I rdr + 2 I dO i
Jareos 6 J)
2 2 .2 2
2184 Hallar el área limitada por la línea (— + — )2 = —— —
4 9 4 9
Desarrollo
fct¡

r4 = r2(eos29 - sen29) => r = 0, r = Veos 29
á á r 2
^ = 4 j d9 | 6r</r = 24 I
Veos 20
d9
f12 I eos 2/9c/# - 6sen 20
/ 4='/ o
2185 Hallar el área limitada por la elipse (x-2>’+ 3)2 + (3x + 4v-lV
Desarrollo
2u + v - 5
fu - x - 2y + 3
[v = 3x + 4 y -l
.v == -
y - -
v- 3u + Ì0
10
Calculando el Jacobiano se tiene:
J(u, v) = c(x,y)
8(u,v)
ex dx 2 1
dü dv 5 5
dy dy 3 1
du dv 10 10
_2_ _3__J_
~ 50 + 50 ~ 10
!= J*|¿/xdy ~ | | J(u,v) | dii dv — f f " *
donde : w2 + v2 = 100
r¿/r]
= 100
A = 1071
2186 Hallar el área del cuadrilátero curvilíneo limitado por los arcos de las parábolas
x2 = a y , x2 = by , y 2 = a x , v2 = J3x (0 < a < b, 0 < a < P)
Desarrollo
:a
y
2
=> u - — , a xy = uv v - —
y 2 X
■--- = v
2 2 "> 1
irv U~v~ 2
r-—T-=-- =>r=wv-X tty
1 2
y = //3v3
2 1
X =* ÍÍ3V3
Calculando el Jacobiano se tiene:

2187
J(u,v)-
£(x,y)
d(u,v)
ex ex
du dv
dy dy
cu dv
9
2 2 ?
2 - 2
z.
—u”3v3 —u3v 3
3 3
2 2 ?1 “ 2
1
—u"3V3 —u3v 3
3 3
A = dy = Jj] J(u, v) |du dv = ^ dv
v j
P
R
a
0 a b u
A= Jjdxdy = ~ ^ ^ dv - ^ (P ~ a ){b -a )
D R
Hallar el área del cuadrilátero curvilíneo limitado por los arcos de las curvas
y 2 - a x , y 2 - b x , xy = a, xy = P (0 < a < b, 0 < a < P)
Desarrollo
?/ = -— , a < u < b
x
xy - a
v = xy, a < v < p
xy = /?
R = {(u,v) / a < u < b, a < v < P)
y ■- u
X
XV = V
y - uv
j_ i
y =. w3v3
Li 2
r = u 3 i; ^
J(u,v) = -
ax dx
d(x,.y) dv
S(w,v) qy dy_
du dv
2 4 1 2 4--------- / / ^ v 3U JVJ — U JV
2 1
3v 3
1 2
— U 3-y 3 — j , 3V 3
= í | „ V - a ) = M ^ £ > lnA
9 a 9 0
7.4. CÁLCULO DE VOLÚMENES.-
El volumen V de un cilindroide, limitado por arriba por la superficie continua
z = f(x,y), por abajo por el plano z = 0 y lateralmente por la superficie
cilindrica recta que corta en el plano XOY el recinto S es igual a:
é

2188 Expresar, por medio de la integral doble, el volumen de una pirámide cuyos
vértices son 0(0,0,0), A( 1,0,0), B( 1,1,0) y C(0,0,1), colocar los limites de
integración.
Desarrollo
2189
2190
2191
V = JJV(x, y)dx dy - | dy | (1- x)dx = | dx |
s
(1- x)dy
En los problemas 2189 - 2192, hay que dibujar los cuerpos, cuyos volúmenes
se expresan por las integrales dobles que se dan.
Desarrollo

2192
2193 Dibujar el cuerpo, cuyo volumen expresa la integral
r pja2-x2 ----
dx I -x2 - y 2dy , y basándose en razonamiento geométricos,
hallar el valor de esta integral.
Desarrollo
0 < x < a
Sea D :
Sea D :
ro<je<2
[o < y < V l-jc2
r
dx I (4 - x - y)dy
Jl-X
Sea D :
0 < x < 2
2 - x < y <2
(0,0,1)
(2,0,0)
Desarrollo
Z
2194 Hallar el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide elíptico
z. = 2x2 + y 2 + 1, el plano x + y = 1 y los planos coordenados.
Desarrollo
íx = 0, v = 0, z = 0
Sea D : < ' planos coordenados
[x + ^ = l
proyectado al plano XY se tiene:
(2x2 + y 1 +1)dy = f [~2x3 +2x2 - x + l+ (]- ~ -]dx

2195
2196
2197
x4 2x3 x2 (1—x)4 3 3
----+ _-----------+•x --------- = - u
2 3 2 12 4
Un cuerpo está limitado por el paraboloide hiperbólico z = x2 - y 2 y los
pianos y = 0, z = 0, x ==1 calcular su volumen.
Desarrollo
V = dx £ (x2 - y 2)dy = (x2y - - - ) j t
V ~ —u
Un cuerpo está limitado por el cilindro x2 + z2 - a¿ y los planos y = 0, z = 0,
y = x calcular su volumen:
Desarrollo
V =
H -
f " :
x2dv
2 2 i a 3
x dx = — w
Hallar los volúmenes de los cuerpos limitados por las superficies siguientes:
az - y 2, x2 + y 2 = r2 , z = 0
Desarrollo
^ F = 4 f — (r2 - x 2)4r2 - x 2dx
X A 3«
2198 y = 4x , y - 2 [ x , x + z = 6, z = 0
Desarrollo
*6 /*2V'x
= c/x (
y¡x
(6 - x)dy
Desarrollo
V = 4
í h * ~ í ,1í
(x~ +y~)dy)dx
v = | [ ( ^ 2 + ^ - ( x 4 + y )]á x

. . ( X X X X. / ' i 1 1 i- 1 1 I K
V = (------------ + — + - ) / = (----- — + - + - ) - ( — + ------------)
21 5 3 3 / -i 21 5 3 3 21 5 3 3
1 1 1 1 1 1 I
_2___2 4 _ 88
” 2 1 5 3 ” 105
3x
2200 x + y + z = a, 3x + y = a, — + y = a , y = 0, z = 0
Desarrollo
2(a - y)
-r( a - ^ r
2(a -y )
V= I ( I (a - x - y)dx)dy
~T
dy = -
( a - y ? , a
18 / o/ a
= - ( 0 - — )
o 1818 18
3
F = -
18
x2 z2 6
2201 — + — = 1, j>= - x , y = 0, z = 0
a" c a
Desarrollo
2202
V = f ( F 'z é y f r * f (
Jb Jb Jb Jb a
Ji <1 /O íl‘ Ji
x2 + j;2 = 2ox , z = ax, z = Px (a >p)
Desarrollo
r = 2a eos 0 Proyectando al plano XY se tiene:
x2 + y 2 = 2ax => ( x - a )2 + y 2 = a2
x = rcos&
=> dx dy = r dr d0
y = r sen 0
. ¿lacosQ
V - | 2 ( I ( a - J3)rcos6rdr)d0
2tírcos¿? 3 COS/9 ,2acosO
V - ( a —p) r co$6dr)d6 - (a~j3) I~ ---------- / dO
JL
~2 ~ 2
Í 2 8¿/3eos468a (a ~J3) [2 4
(a-B ) | ----------- -dO = -----------— I eos OdO
JL^ 3 3 JL*
2 2
j 2 (1+ cos2<9)2de = 2a (« "/?) £ (1+ 2eos2(9+ eos22<9)¿6>

2203
2a (a - ß ) f 2 3 cos4<9
^ 1 ' -+ 2cos 2# + — -— )dd
2 a a - ß )
Í (”JL- 2
2
K
u ^ cos4#
+ 2cos 20 + ------—)*/0
2 a a - ß ) xW sen40 /7
----------------------- --------- f st?/? 2 # + ------------- 1/
3 2 8 / --
Í £ í p ? ) [(3£ + 0)_ (_ 3 £ + 0,]
3 4 4
F = ö 7r(a- ß)
En los problemas 2203 - 2211 empléense coordenadas polares y generalizados.
Hallar el volumen total del espacio comprendido entre el cilindro x2-+J¿ W
y el hiperboloide x2 + y 2 - z 2 - a2
Desarrollo
Mediante coordenadas polares se tiene:
x = reos#
y = r sen 0
dx dy = r dr d0
V - 2
filli fi¡ ------ ------ — fi~x -i a
j ( I Ja2 + r 2rdr)dß= 2 | - ( a2 + r 2)2/ dd
9 C _ 9
-~ I (2a2j 2 a - a i )d0 = — (2^ 2 -
- fil/r a 3
^ » — - 4a t i
)ai6 = í^— - ( 2 4 l -
3
2204 Hallar el volumen total del espacio comprendido entre
2(x2 + y 2) - z2 = 0 y el hiperboloide x2 + y 2r z 2 = - a 2
Desarrollo
Proyectando al plano XY
f2(x2+ v 2 ) = z 2 /
Ì 2 2 ^ 2
x + y~ = z - a
2(z2- a 2) : z = V2a
Y 2 ? 2
Luego x + y" = a
Í2K m --------- i 2
( I Vr2 + a 2 - Í2r)rdr)dd =2 j [ - ( r 2 + a )2 ---- ]y
? r2^
= I I [(2a2V2a - V2a3)- (a3- 0)]«fc
= | r ( a s7 2 - « ! ) ^ - í ¿ i ( 7 2 - l )F
el cono
a
de

2205 Hallar el volumen limitado por la superficie 2ax = x + y , x“ + y - z = a~ ,
z = 0.
Desarrollo
Proyectando la intercepción al plano XY
fx2 + y 2 = z2 +a2
| x2 + v2 = 2az
z2+ a2 = 2az => ( z - a ) 2 = 0 => z = a
Luego se tiene x2 + y 2 = 2a2
fÜK (*Jla 2
• - f (f £
r 4 V2a ^ 4¿/4 3 2k
(— ) / ¿<9 = — d0 = — 0 =
J) 8úf / o J) 8a 2 / 0
)rdr)d0
Y;
r
— r ='J2 a
V !
J s / 2 a X
xa'
x1y2 z2
2206 Determinar el volumen del elipsoide —~+ — + — = 1
a"Ir c~
Desarrollo
2 l ?
Jt y“ z
+ ——= 1- — proyectando al plano XY, z = 0
a" c
2 -v2 | J(u,v) 4udv
V = 2<róc
F p 2 j*jzdxdy - 2 j*jcV1- u
D R
JP *R
jf ( Í ^ ~ r2rdr)cifJ" 2abc^ /';
*2 -v1 dudv
(0-1 )d0
_r 4a
i7 = ---------- 71
3
2207 Hallar el volumen del sólido limitado por la hiperboloide 2a x - x 2 +>>2 y la
esfera x2 +jy2 + z2 = 3¿r (se sobre entiende el volumen situado dentro del
paraboloide).

V
«2k m jía mC-~ J l a ______
= 1 (J (z2 - z ])dr)dO = 4 12( J (V3a
* J la 2 3
= 4 j " ( J [(3a2- r 2) 2r~Y-]dr)dd
2 r 2 )rdr)de
2a
V
Í2 1 ■> •> - r4 i ^ a(_ (3a 2 _ r - )2 _ ) / dg
3 8a / o
’ ■ ' í '
V = 4 Í 2[ ( - y - y ) - ( - V 3 a 3) ] ^
F = 4 j f (7 3 - |
, 3 6 V 3 - 5 3
)¿r d9 ----------- a k
2208 Calcular el volumen del sólido limitado por el plano XOY, el cilindro
x2 + y 2 ~ 2az y el cono x2 + y 2 = z2
2209
2210
Í2n
:
Calcular el volumen del sólido limitado por el plano XY, la superficie
z = ae x ~v y el circulo x2 + y 2 = R2
Desarrollo
Yii
r=R
° J R X
2 1 n2
x 4*y = R
í h * - f (Í “ ,J
rdr)dO
V = ü7í( - e.A )
Calcular el volumen del sólido limitado por el plano XY el paraboloide
■> 2 2 2 o
x- >>“ ] .r , , x y 2x
-+ ~ y el cilindro — + —-
a2 b2 a2 b2 a
Desarrollo
fx = ar(l + cos#) _
Sean => dxdy = abr dr dB
V = br sen 0

360
2211
V = 2Í ÁlcosO 4
2( Iabr2.rdr)dO = 2 I '2ab ~ j de
V = ^ J J a¿( 16)eos46»dd = 8 a¿>(1+ C° s2<9)2dd
íF = 2 1“ a^(l + 2cos2(9 + cos2 2/9)í/<? =2 1~ab( + 2eos 26 + 1-— - - )¿6>
_ |*2 .,3 . eos 40. ,„ ^ „ senAO. ¡
l = 2 j ab(—+ 2 eos 20 -i------------------------)d0 =2ab[—0 + sen20---- ] /
2 2 2 8 / c
—-- _ Jr3;r _ 3¿/6;r
V = 2ab[— + 01 = -------
4 2
¿En qué razón divide el hiperboloide x2 + y 2 - z2 = a2 al volumen de la esfera
x2 + y 2+ z 2 < 3a2 ?
Desarrollo
2212
(S.7T ÁLy¡a -----
- ’ H ^
-a" rdr)dO -
4iza
= 4 p ^ t " ^ 7 r d r W =
•LrccosJ —
V3 sen 9
(6 ^ 3 -8);ra3
Luego V] +V2 = - j - ( 6 S - 4 ) por lo tanto la razón que divide al volumen de
la esfera entre el hiperboloide es:
V,+V, 3V3 -2
Hallar el volumen d el sólido limitado por las superficies z = x + y, xy = 1,
xy = 2, y =: x, y = 2x, x = 0 (x > 0 , y > 0)
Desarrollo
XV:
xy = 2
=> u = xy de donde l < u < 2
v = — de donde 1 < v < 2
x

además
xy - ii
v = ^
y el jacobiano es: J(u, v) = —
r ~ 2vy = v«v
V - I ( I (¡ +>/wv)J{u,v)dv)du = -i +s¡ñv)dv)dii
1)
7.5. CALCULO DE AREAS DE SUPERFICIES,
El área A de una superficie regular z = f(x,y), que tenga como proyección en el
plano XY un recinto S es igual a:
A = m + ( ï )2 + {% Ÿ d x d y
s
2213 Hallar el área de la parte del plano —+ —+ —= 1, comprendida entre los planos
a b e
coordenados.
Desarrollo
X V JC
Proyectando al plano XY se tiene: z = 0, —+—-= 1 y = b(1— )
a b a
dz_
ex
ÔZ
Ty
c
a
c
~b
A = [L1+ é - ) 2 + ( t- ) 2dxdy
J J ex oy
S
i-rA= i ( ° °hJ l +^ + ^ dy)dx
a2 +b2 +{a2+b2)c2
a2b2 J>"
A =
J(a2 +b)2(¡+c2) b 2 x / “ J(a2 + b2)( + c2) , , ab,
---------------------(bxr — x ) / = - ---------- ----------- (ab— —)
2a / oab ab
A = -yJ(a2+b2)(l + c2)
2214 Hallar el área de la parte de superficie del cilindro x2 + y 2 - R2 ,
comprendida entre los planos z = mx y z = nx (m > n > 0)
Desarrollo
Proyectando al plano XZ se tiene:
x2 + y 2 = R2 de donde y = ^[r 2
'dy-) = — r X
dx ¡R2 - x2
ce
)dx
(z > 0)

2215
iff#A = | |./l + (— )2+ (— )2dxdy
dx dy
s
A = 4 f ( f
J) Jnx
A = 4R(m - n)(-//f2- x 2)j R
dz)dx = 4R(m—n) | -7= J L = d z
■r
Calcular el área de la parte de la superficie del cono x2 - y 2 = z 2 , situada en el
primer ociante y limitada por el plano y + z = a.
Desarrollo
y = a - z
9 2 2 r~2 2x~ —y = z => X = y j y + z
dx
Jf
dx z
ex dy
s 5
- j p < / v dz
A - yjl dy)dz = ¡2 (a-z)dz = y¡2(a z-~ -) j
a 4 l a 2
o 2
2216 Calcular el área de la parte de superficie del cilindro x2 + v2 = ax , cortada del
mismo por la esfera x2 + y 2 + z2 - a2
Desarrollo
a a2
Proyectando al plano XY, (x + —)2 + y 2 = —
dy _ a - 2 x dy _ ^
8x i j a x - x 2 ’ &
La intersección entre el cilindro y la esfera es:
x2 + = ax 2 *>
=^> ax + z = ¿T
2 2 2x~ + y + z = a
2217
1+ (— )2 + (^-)2dxdz
ex cz'■•í'f
Í
i H a 2-a x , &
( I —=J==)dx = 2a I X 2dx = 4a
J) yjax-x2 J)
1
2
Calcular el área de la parte de superficie de la esfera x2 + y 2 + z“ - a2, cortada
x2 v2 .
por la superficie — + = i
a" b

2218
Desarrollo
2 2 2
i - x - y
Sí p ~ 2 _ y 2
8y ^¡a2 - x 2
b [~2 2ftci p - a - x
ady w 0 2
)dx = üa arcsen(—)
-x~~y~ af a 2 -2 - 2
Calcular el área de la parte dé superficie del paraboloide y 2 +z~=2ax,
comprendida entre el cilindro y 2,= ax y el plano x = a.
2219
r ¡2ax + a2' w r ' / r -----7 >> />/
4f=4 I ( I --------- -dy)dx - 4 I y 2ax -a" arcsen - - = = /
Jb Jb ]¡ 2ax-y~ j, v2ax r 0
A = 4 | (2ax + a2)2áresen{~=)dx = n (2ax + a2):
Jax
dx
A = —-(2ax + a2)2 / “ = ^ —(3^¡3-)
3 a / o 3
Calcular el área de la parte de superficie del cilindro x2 + y 2 ~ 2ax
comprendido en el plano XY y el cono x2 + v2 = z2
Desarrollo
2 2 -n , ÍZ 2 i t i Oy a - x dy
x + y - 2ax => y - ±V2ax - x de donde — = - = = = = , — = 0
V2ax - x2 &
calculando la intercepción se tiene:
| x2 4-y 2 = 2¿zx 0 i----
< " => =2ax => z = ±v2ax
2 2
'í r i +ii>! + 2 r*r
aZ<7 (+]2ax *2a fZ
,4 = 2 T ( [ . a %dz)dx - 2 a T
J) l2ax-x2 Jo1) y¡2.ax - x2
r dX
A = 2 -J ly J a f ¿==r - - 4 - s f l a 4 a ( 4 2 a - x) /
X -¡2a-x ‘ 0
A = -4l2ay¡a(0-4la) = r v
1

2220 Calcular el área de la parte de superficie del cono x2 - y 2 - z¿
del cilindro x2 + y 2 = 2ax
Desarrollo
La proyección de x2- y 2 = z2 sobre el plano XY es
x2 - y 2 = 0 => y = x, y = -x
2 2 / a ? 2 a ~
x + y = ax => (x----) + v = —
2 4
r 2 2z = yjx - y
=4ÍÍ: ^ 2x dxdy = W 2
M
S
*2.acosO
r eos 0 r dr
yfr2eos20 - r 2sen
A = 4V2
aeos6
.
eos 0
Veos20 -sen20
rdr)dO
situado dentro
dxdy
—)d0
0
2221
í
4 COS 0
Veos" 0 -se n z0
JT
A = 8V2a1 p
- *
r~ / 2tfeos# / - 9 r 4
/ dO = SÍ2a
2a 2 / o l ) Veos20 -sen20
de
eos30d6 3^2 2
Vi ~2sen20 VT 2sen20
dO
n¡
z = sen 0 => dz = eos 0 d0 para 0 = 0, z = 0, # = —, z = — ■
4 2
^ 8 ^
J> V i- 2 z2
:8ú?2(— ) = 3;rr/2
Demostrar que las áreas de las partes de las superficies de los paraboloides
iguales.
2 1 1 9 , 2 ? ?
x +>> = 2az y x~ -y~ = 2az cortados por el cilindro x + y~ = R“ son
Y*
r
- - v X 2+ y2= R2
J R X
Desarrollo
x2+ y 2 = 2az de donde
dz _ X dz y
dx a dy a
'-S íf¥s
'-;jf
dz ?
+ (— fdxdy
dy “ÍÍiK H ■dxdy
2 +x2 + y 2dxdy (1)
%

2222
para la superficie x2 - y 2 —2az de donde — = —, — =
dx a dy a
x2 yl ì i—r + — dxdy
a a
2 +x2 + y 2dxdy ...(2)
Comparando (1) y (2) se tiene que (1) = (2) con lo cual queda demostrado.
Una esfera de radio a esta cortada por dos cilindros circulares cuyas bases
tienen los diámetros iguales al radio de aquella y que son tangentes entre sí a lo
largo de uno de los diámetros de la misma. Hallar el volumen y el área de la
parte de superficie de la esfera que queda.
Desarrollo
La ecuación de la esfera de radio a es:
2223
ííf # 2+<f)!^=8“M5
A = i IJ1+ ( ~ ) " + ( — )'< M v = * 8 a | ‘ ( I — -------- - )dt) = 8a~(— - 1 )
Superficie de la esfera cortada y la superficie de la esfera no cortada es:
i i 7Z 9
A = 4na“ - 8¿r (—-1) = 8" , ahora calculamos el volumen que queda.
V = M COS0 pía2-r2
( I r dz)dr)dO
orcos# _______ 1s-
2 2 » x »6
N
íCOStf
a - r dr)dO - — a
9
En una esfera de radio a se ha cortado un orificio, con salida de base cuadrada,
cuyo lado es igual también a a. El eje de este orificio coincide con el diámetro
de la esfera. Hallar el área de la superficie de esta cortada por el orificio.
Desarrollo
La ecuación de la esfera de radio a es: x2 + y 2+ z2 = a2
dz
de donde z = ^Ja2- x2 - y 2 => — =•-
a* V¡"2 - * 2 - / ’ V«2 - * 2 - /
2 2
+ -, —2-----—dx)dy2 2 2 2 2
a - x +y a~ - x - y
= 8[ p ( f” -— = ---- =)dx] = Sa f arcsen—=..= — / 2dx
J, 17 7 17 17 i, V7^7 /o

372
2224
A = 8a i 2arcsen(—-=-.~ - ~ - )dx = 9a2arctg-^~
--r ' 5
JC
Calcular el área de la parte de superficie helicoidal z = carctg —, situada en el
y
primer octante y que está comprendido entre los cilindros
x2 + y 2 = b 2
Desarrollo
x dz cy dz ex
z = c.arctg — => — = ——-—- , — = — r----- -
y dx x + y fy x~+y
a - í í f W W ^ í í b i ^ ^ J 7 7 f d xd y
s s
/‘ = í ¡ l ¿ ^ 7 L d x d y '
s
n , n
= ( J yfr2 +c2dr)dO = [—lr2 +c2 + ~ l n Ir + J r 2 -he2 |j dO
= - [ b J b 2 +c2 + c2ln ¡b + y jb 2 +c2 | - a j a 2 +c2 - c2In | a + 4a 2 + c2 |]~
A = - b 4 b 2 7 c 1 - a j a 2 + c2 + c2ln 'b + ^ + C
a + yja2 + c2
7.6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE A LA
MECANICA.-
ler. MASA Y MOMENTOS ESTATICOS DE LA LAMINAS.-
Si S es un recinto del plano XY, ocupado por una lamina, y p(x,y), es ia
densidad superficial de dicha lamina en el punto (x,y), 1a masa M de esta y sus
momentos estáticos M x y M v con respecto a los ejes OX y OY se expresan
por las integrales dobles.
M .=- j*j"p(x, y)dx dy , Mx =? ÍP-x, v)dx dy , M v =fJJ‘xp(x,y)dxdy... (1)
S . - S , S
Si la lamina es homogénea, p(x,y)= constante.
2'do. COORDENADAS DEL CENTRO DE GRAVEDAD DE LAS
LAMINAS.-
Si C(x, y) es el centro de gravedad de una lamina se tiene:
- M y - M x
M ! y ~ M
donde M es la masa de lamina y Mx, ;,A/V susmomentos estáticos con
respecto a los ejes de coordenadas.
Si la lamina es homogénea, en la fórmula (1) se puede poner p = 1.
3er. MOMENTOS DE INERCIA DE LAS LAMINAS.-
Los momentos de inercia de una lamina, con respecto a los ejes X, Y son
iguales respectivamente a

2225
Ix = j j y 2p(x,y)dxdy
S
Iy = ^ y ) d Xdy
... (2)
El momento de inercia de la lamina con respecto al origen de coordenadas.
¡o = jj( v2+ y 2)p(x,y)dxdy = I x + I y ... (3)
s
poniendo p(x,y) = 1 en las formulas (2) y (3) obtenemos los momentos
geométricos de inercia de las figuras planas.
Hallar la masa de una lamina circular de radio R, si su densidad es
proporcional a la distancia desde el punto al centro e igual a 8 en el borde de la
lamina.
Desarrollo
Como la lamina es circular
entonces x2 + v2 = R2
De acuerdo a las condiciones del
problema se tiene: p(x, y) = —yjx2 + y 2
R
2226 Una lamina tiene forma de triángulo rectángulo con catetos OB = a y OA =
b; su densidad en cualquier punto es igual a la distancia desde este al cateto
OA. Hallar los momentos estáticos de la lamina con respecto a los catetos OA
y OB.
Desarrollo
(p(x,y) = x)
Mx - j j y p ( x , y)dx dy
Y ¡
A
b x y - 1
a + b ~
0
iX
/
CD
ah~hx ab-bx
ab-bx 2 ,
x(---------y dx
a
b2 f ib2r
= —T X(a2 -2ax + x2)dx = — - (a2x - 2ax2 + x3)dx
2a Jb 2a~ Jb
. ¿2 a2x2 2ax3 j 4b2 a4 2a4 a4^ _ a 2b2
2a1 2 34 / o 2a2 2 3 + 4 ~ 24
My = xp^x,y^dxdy= j j x2dxdy = J ( [ x2dy)dx
s s
Jb a a Jb a 3 4 / o
,a ^ _ a 4 a3b
a T ’T ¥

2227 Calcular las coordenadas del centro de gravedad de la figura OmAnO limitada
por las curvas y = sen x y por las rectas OA que pasa por el origen de
coordenadas y por el vértice de la sinusoide.
La ecuación de la recta es y = mx donde m = — y p(x,y) =
7C
entonces:
y dy)dx -
K
24
My = JJxdxdy =' P ( J xdy)dx = - - - - - -
M dy)dx =
4~7T
M v 12-7T2
M 3(4 ~7T) M 6(4 - t i )
2228 Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por la
cardioide r = a (1 + eos cp)
2229
Desarrollo
M = 2
My = 2
í ' í
f < í
IP
(l+cos^) m 'Kjra2'
rdr)d(p = I a2([ + eos (p)2d(p- — —
(l+ C O S # >)
r 2eos cpdv)d(p
3/1 x3 J 5/ra
(l + cos£>) eos cpd(p = ------
- M y 5a - . , ---- 5a ■
x = ——= — para y = 0 por simetría. Luego (x, y) = (— ,0)
M 6 6
Hallar las coordenadas del centro de gravedad de un sector circular de radio a,
cuyo ángulo central es igual a 2a.

2230
y
Desarrollo
Usando coordenados polares se tiene:
Í 'i m
( I rár^dO-a2 i dO = a2a
M y = 2 í (í rcos9 rdr)dd=~f~J*
,3
M v = ~ - s e n 0 j
a 2a3sen a
o
— M ... 9/7 vpvi r/ —
como x = — —-------- , 7 = 0 por simetría.
M 3a
Calcular las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por las
parábolas y 2 = 4x + 4 e y 2 = -2x + 4
dx)dy ~ 8
- M y 2
Luego x = —- = — y y = 0 por simetría
M 5
2231 Calcular el momento de inercia del triángulo limitado por las rectas x + y - 2,
x = 2 e y = 2 con respecto al eje OX
2232
Desarrollo
Ix = J J .V2p(x, y)dx d y , comop(x,y)= 1
por ser segmentos geométricos de inercia de figuras planas
Luego Ix = ^^y2dxdy ~ ^£ y 2dx)dy = 4
Hallar el momento de inercia de un anillo circular de diámetros d y D (d < D).
a) Con respecto a su propio centro. b) Con respecto a su diámetro
Desarrollo
a> 7o = 11(*2 + y 1)p(x,y)dxdy
íí5
íf= II (x2 + y 2)dxdy
Por ser momentos de inercia de figuras planas.

2233
2234
Ahora usando coordenadas polares se tiene:
D
/0=Jjx 2 + y 2)dxdy = J"(^r2.rdr)d0 = ^ ( D 4 - d 4)
b) Ix= j j r Jsen20d0dr = ~r*sen20dr)dO = — (D4 -¿/4)
64
Calcular el momento de inercia de un cuadrado de lado a, con respecto al eje
que, pasando por uno de sus vértices, es perpendicular al plano del cuadrado.
Desarrollo
¡o= II (x2 + y 2)dxdy
íí<5
•f‘f*
, 2 2 » »(x~+y )dy)dx = ——
Calcular el momento de inercia del segmento interceptado de la parábola
y 2 = ax por la recta x = a, con respecto a la recta y = -a.
Desarrollo
-r ,rJo J-Jm
/ r 1(y + a) dy)dx - ——
2235 Calcular el momento de inercia de la superficie limitada por la hipérbola xy :
4y la recta x + y = 5, con respecto a la recta y = x.
Desarrollo
7 v3 / 5~x 3
~v-xy + — ) /., rfx = 161n2-9—
2 .1 3 / 1 8
2236 En una lamina cuadrada de lado a, la densidad es proporcional a la distancia
hasta uno de sus vértices, calcular el momento de inercia de dicha lamina con
respecto a los lados que pasan por este vértice.
Desarrollo
De acuerdo a las condiciones del problema se tiene p(x,y) = Jx 2 + r , el
momento de inercia se determina con respecto al eje X, luego pasamos a
coordenadas polares.

2237
2238
< f . f
•b Jflcs
7T
see <p p- jw ese^
kr(r sencp)2r dr)d(p + 1 ( 1 kr(r sen (p)~r dr)d(p
CSC(p " 4)
n n
k |*4 5 ^ , k Fi
= — I sen~cp.a sec~ (pd(p + — | .~5see5(pd(p + — sen2(p.a5ese* (pdcp
Ix = ^ -[7 V 2 + 31n(V2 + l)]
Hallar el momento de inercia de la superficie de la lemniscata r2 = 2a" eos 2cp,
con respecto al eje perpendicular al plano de la misma que pasa por el polo.
Desarrollo
m» A /*/si2COS2<p
I0 = I (x2 + y 2)dxdy = 4 I ( I r3dr)d(p
= r4j S d(p= a4(4cos22(p)dcp
, 4a<
l 2 4 / 0 4
tf4/T
Hallar el momento de inercia de la cardioide r —a(l + eos (p) con respecto al
polo.
Desarrollo
i.
A/* A7(l+COS^) r 4 ,Cl(+COS<p)
/„ - I (x2 + y 2)dxdy = 2 I ( j Pdr)d(p =2 y — j ^ d(p
2239
%
i-
4 1 «
;jí
(1+cos (p)Ad(p (l + 2cos#> + cos2(p)2dcp
.19 _ . ^ cos4<z> o x ,
(— + 5cos#> + 4cos2#h---- ~----- se/i (pcos(p)d(p =
9 a
Calcular el momento de inercia de una lamina homogénea limitada por un arco
de la cicloide x = a (1 - sen t), y = a (1 —eos t) y el eje OX, con respecto al
eje OX.
Desarrollo
y = a (1 - eos t)
o (l-e o s/)p2/r I-eos/)
|! v 2í/x¿fy= I ( I y 2a(l-cos t)dy)dt/, = J y dxdy
s
f
n . a ( l- c o s /)
(1 -cosO1—¡ dt
fQ.n
3(l-c o s t f d t
4 fi-n 4 &n
. T [ « - c o s „ V , = T |-cost)Adt = —- | (cos4¿-4cos3/ + 6cos2/-4 c o s/ + l)¿/¿

a4 r35t 7 _ . senAt ser?t ¡ 2n 35;r
= — í----- -—sen2t-4sent + ----------------- ) / = ------
3 6 4 16 3 / 012
7.7. INTEGRALES TRIPLES.-
Ira. LA INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS
RECTANGULARES.-
Se llama integral triple una función f(x,y,z) sobre un recinto V, al limite de la
correspondiente suma triple.
¡ l A x y -
z)dxdydz = lim V V V f{x ¡,y¡,zl)Ax,áyiAz¡
max Axt ->0 JL—J i A
max Av, —>0 i j k
max Àz, —>0
el cálculo de la integral triple se reduce a calcular sucesivamente tres integrales
ordinarias (simples) o a calcular una doble y una simple.
2do. CAMBIO DE VARIABLE EN LA INTEGRAL TRIPLE.-
Sien la integral triple ^^f(x,y,z)dxdydz hay que pasar de las variables
V
x, y, z a las variables u, v, w relacionados con las primeras por las igualdades
x = (p(u,v,w), y = v|/(u,v,w), z = <Ku,v,w) donde las funciones (p, y, 4».
Q Son continuas, junto con sus derivadas parciales de primer orden.
(jT) Establecen una correspondencia biunívoca continua en ambos sentidos
entre los puntos del recinto de integración V del espacio OXYZ y los
puntos de un recinto determinado V del espacio O'UVW y
© El determinante funcional (jacobiano) de estas funciones es:
J(u,v,w) = -
ÔX dx dx
du !h> dw
S(x,y,z) ey dy dz
d(u,v,w) du dv dw
dz dz dz
!hi dv dw
Conserva invariable su signo en el recinto V, entonces, será válida la fórmula.
x,y, z)dxdydz - JJJ-,v, w), y/(u,V, w), (¡)(u, V, w) IJ(u,v, w) | dudvdw
V v
En particular:
© Para las coordenadas cilindricas r, (p, h
x = r eos cp, y = r sen cp, z = h obtenemos que J(r,(p,h) = r
© Para las coordenadas esféricas (p, y, r (cp es la longitud, y la latitud y r el
radio vector) donde x = r eos r eos cp , y = r eos y sen cp , z = r sen vj/
tenemos J(cp, y/, r) - r2eos2y/

3er. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES.-
El volumen de un recinto del espacio tridimensional OXYZ es igual a:
jjpV - I I Idxdydz
v
La masa de un cuerpo que ocupa el recinto V
M z)dxdydz
donde y(x,y,z) es la densidad del cuerpo en el punto (x,y,z).
Los momentos estáticos de un cuerpo, con respecto a los planos coordenados
son:
Af«, = I I I ,y ,z)z dx dy dz
M,
í í í '
v
,y ,z)x dx dy dz
v
- J í b ,y, z)y dxdydz
Las coordenadas del centro de gravedad
- M y z ~ M - M
X= v = — z ----------------
M ' M_______ M _
Si el cuerpo es homogéneo, en las fórmulas para determinar las coordenadas
del centro de gravedad se puede poner y(x,y,z) = 1.
Los momentos de inercia, con respecto a los ejes coordenados son:
f f f
l x - 11 (y2+ z 2)y(x,y,z)dxdydz
J J J
f f f
Iy = I (x2 + z 2)y(x,y,z)dxdydz
J J J
f f f
/- = 11 (x2 + y 2)y(x,y,z)dxdydz
J J J
________V_______________________________
poniendo en estas fórmulas y(x,y,z) = 1, obtenemos los momentos geométricos
de inercia del cuerpo.
A) CÁLCULO DE LAS INTEGRALES TRIPLES.
Calcular los limites de integración de la integral triple
,y,z)dxdydz para los recintos V que se indican a continuación.
v
2240 V es un tetraedro limitado por las superficies x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0
Desarrollo

V = J J j / (x, y,z)dxdy dz
v
W -.v M-x-y
dy I /(x , y,z)dz
2241 V es un cilindro limitado por las superficies x2 + y 2 = R2, z = 0, z = H.
Desarrollo
Y-

__-a x
JJj'f(x,y,z)dxdydz = J dx j"' _ dy Jf f(x, y,:)dz
2243 V es un volumen limitado por las superficies z = 1- x2 - y 2, z
2244 dx dy
Desarrollo
c/x j ~ 2 j x T y + )dy
f 4 1 4 -
= J [“ (x + ^ + 2)2 - - ( x + j + l)2y dy
-U[(x + 3)2- (jr + 2)2 - ( x + 2)2 + (x + y-]dx
= 0
f(x,y,z)dz

4 2 - 2 - 2 - /° 16 - 5 31
= | [ j ( x + 3)2 - | ( . v + 2)2 +£(.v + l ) 2 ] / i = - ( 3 2 - 2 2 —)
9 9 r V4-V-V2
2245 f dx f dy 1 xdz
Desarrollo
í*r* r - r*r n/4a- j 2
jf—-------1— dy
Í ' [— J 4 x - y 2 + 2x arcsen K=] / í¿v
, 2 2Vjc ' o
f [xV xV ív^ív + 2x arcsen]dx
72 J,
= —j=r f X7Té/x = / = V2,
V2 J) 2V2 / 0
í/z
* f
/ 2 2 2 2
- x - z
Desarrollo
dz
Ja2 - ¿ - f - z 2
2247
. yja2- x 2- y 2r z ,$
I ¿/x I arcseni—= = = = = = = ) / ¿/y
J, J> £ 2 _ x2 _ y 2 / o
dx
r „ r
- I dx I arcsen 1dy - — J yj c
k f r i 7 . ;rrx i 1 2 tf2 Ia
= — I Ja~ - x d x - —F— a - x H-----arcsen— /
2i 2 2 2 a ! o
2 2
= ~[(0 + a1arcsen 1)- 0]'= ~ ~
W -X W-Jf-J
¿/y I xyz í/z
Desarrollo
A > '(l-X -V )2
1 * 1
" í í * í
dy
i-x
(x3y + xy3-f 2x2_y2 - 2x2y + xy - 2xyz)<afy

2248 Calcular
dx dy dz
(x+j>+z+l)
, donde V es el recinto de integración que está
limitado por los planos coordenados y por el plano x + y + z = 1.
Desarrollo
íífeSirí-M
-x-y
dz
(x + y + z + 1)~
4 x + y + 1
1 f r .l - v I, , A 1 1 f / 3 - x 1
- I [(------- + -)-(() + ---- )]dx = — (---------------
2 Jh 4 2 x + 1 2 Jk 4 x + 1
)dx
1 ,3x x2 y1 1 3 1
— (------------In x + 1 )/ = — (---------ln 2) - 0
2 4 8 / o 2 4 8
1 5 _in ln2_ 5^
2 8 n ~ 2 16
2249 Calcular JJJ(X+y + zfcixdy d z , donde V es la parte común del paraboloide j
2ax > x2 + y 2 y de la esfera x~ + y ¿ + zz = 3a.2 , ,,2 , _2
Integrales Múltiples y Curvilíneas
Desarrollo
Zi
L x2 + y2
7 "
2a

/-----
/ y-v*. z =/:3a2-
~ Z J Y
-------------- r /
1
1 /
Proyectando la intersección al plano XY
Jx2 + y 2 = 2az
j x 2 l v 2 + z2 = 3tf2
3a2 - z 2 ~2az
z" +2az - 3ce - 0 z = a
por lo tanto x 2 + y 2 = 2o 2 es la intersección proyectada
V = 4
2a t*j2a2- x 2 * j3 a 2- x 2- y 2
1 ( 1 ( I (x + y + z)2dz)dy)dx

2250
•Ha Jla’- r z5 J¡
= 4 I ( I K*+ ;0 z + {x + y)z + y ] / (|
3
dy)dx
K = — [18V3-— ]
Calcular J*J*J'z2clxdydz, donde V es la parte común de las esferas
x2 + y 2 + z2 < R 2 y x2 + y 2+ z2 < 2Rz
Desarrollo
Proyectando la intercepción al plano XY se tiene:
Ix2 + y 2 + z2 = R2
[x2 + y 2 + z2 = 2Rz
=> 2Rz = R~ => z = -
R
2 2 3R-
X + V = ------
4
z = s j R2- x2- y2
= R - 7 R 2 - X 2 -
v/3/? S r 2- x2
59k R*
480
jjf2251 Calcular j j | z dxdy dz , donde V es el volumen limitado por el plano z = 0 y
x2 2 ~2
por la mitad superior del elipsoide — + + — = #
ct b c
Desarrollo

2 2 2
x y z
— +^-T +- r = a
a2 b2 c2
2 2
22=c2(l~ 7 ~ V }a b
11 *2 y2
z = c 'n - V ~ V
. 4 - 4
£*f
b X 2 V2
c2(1— -~ -j)d y )d x
a b
X 2 y 2
=C2 ¡ v 4 > - 4 / - ^ r o - x- - ^ ) y / i
Xa a1 3b2 / o J_a a2 3/r / o
= c 2 f n 4 - J L 4 ( « 2 , x 1 ) i i V ? 3 7 ^
J_a a 3¿> a a
= — f [ 1 - 4 ---- L ^ - j r 2) ] ^ 2 - * 2*
a y a a2 3a2
= — f —(1 -^-r-)[a2 --X2dx =
a i a 3 a
abe2n
2252 Calcular + -y )<&dy d z , donde V es la parte interna del elipsoide
2 2 2
x y z
— + ^T + — = 1
a b c2
Desarrollo
x = psencpcosO
y = psencpsen6 => J(p,6,cp) = p sencp
z = p eos cp
para el caso del elipsoide se tiene:
x = apsencpcosO
y - bcpsencpsenO => J{p,6,cp) - abep2sencp
z = cp eos (p
n ti
V
Sflòc ( J^” sencpj dcp)dO j^2( sencp dcp)d6
n
8abe 1*2 / ? , „ %Ctbc t i jrk Aabcn
— I -e o scp ~ d v - ------ I dO --------
5 X V/ o 5 J, 5
iff
2253 Calcular | | zdxdydz , donde V es el recinto limitado por z2 = -~ -(x2 + .y2)
v "
y por el elipse z = h.
Desarrollo
Mediante coordenadas cilindricas se tiene:
x = rcosO
y = rsen6 => J(r,0,z) = r
z = z
71 *R hr K W? ^
JJJzí/xt/yrfz = 4 p ( ( J p rzdz)dr)dd = 2 ( J* rz2j *dr)dO

2254
2225
Calcular la siguiente integral, pasando a coordenadas cilindricas JJJdxdy ¿/z ,
v
donde V es el recinto limitado por las superficies x2 + y 2 + z 2 = 2R z,
2 2 2
x 4-y = z y que contiene al punto (0,0,R).
Desarrollo
x = r eos 0
y = r sen 0 => J(r,0,z) = r , proyectando al plano XY
z - z
(x2 + y 2 = z 2
i „ „ => z = 0, z = R
{x2 + y 2 + ( z - R ) 2 = R 2
Luego se tiene x2 + y 2 = R2 es la proyección sobre el plano XY
/• /• T ?R *R+yJR2- r 2
I I ¡dxdydz = I ( I ( I rdz)dr)dd
v
= i ( f + ~r'2] d r ) d d
d 3 n 3 n 3
= I (— + - - - — )d 0 ~ R 3x
J) 2 2 3
Í
2 (* j2 x -x 2 pa ___ ___________
dx I dy I z j x 2+ y 2dz , transformando previamente a las
coordenadas cilindricas.
2256
Desarrollo
Sea D :
0 < x < 2
0 < j < V 2 x - x 2
0 < z < a
a 2 * ¡ 2 x - x 2 m ____________ ^ ÁüeosO *a
I dx I dy I z j x 2 + y 2dz - | ( I ( I z.r.r dz)dr)dO
Jo Jo Jo Jo J) J
r> r 2 00^ v 2 .a a 2 r 3 .2cos6>
-f‘í "l/ r-t/ , "
eos3OdO | 2([-sen20)cos0d0
3 3 / o 3 3 9
0fj2rx-x2 pjA r2- x 2- y 2
Calcular I dx i ____ dy | dz
«*) S-yj2rx-x2 J)
Desarrollo
Sea D :
0 < x < 2r
“ V2rx- x2 < y <y¡2rx -
0 < z < yj4r2 - x2 - >,z
X = p C Q S &
y - p s e n 6 => J(p,0,z) = p
!x

2257
/•2r p j l r x - x 2 a /4 r 2 - 2- y 2 ■ *2co$0 /•s/4r2-/> 2
I dy I dz = 2 12( I ( I pdz)d p)dO
•*) J-y¡2rx-x2 «J3 Jj J í Jj
= 2 j f ( jj W 4'-2- p 2d p y w = " f j^(4rl]- p 2y - / 2^ OhSd0
, 16r 12
sen O- 8r 3)dO = ---- — | ~(serf6 - )dO
r<
16rJ cosJ (9 <T 8r3 4
------ [-costf + -----------<91/ = -----(;r— )
3 3 / o 3 3
Wí J r*
dx _____dyi
J-K J ¡K2-.- J)
Calcular I dx | dy | (x2 + y 2)dz transformándola
previamente a las coordenadas esféricas.
MR J r 2 - x 2 J~R
I dx I ____dy I
J-R J -ylR2- x 2 J )
(x2 + y 2)dz
f ' f ' f
p 1sen2(p.p1sen<pd p)d(p)d9
r , [2 sen3cp 5 i R R- T'Tcos'V./■
= J, (^ — V o '
r)5 p2/r | 2/?5
j [(0-0)-(-1+—)]</#=——0j2R5 i. / 2;r 4 « V
2258 Calcular la integral, pasando a las coordenadas esféricas
j j p T ? + z 2dxdydz, donde V es la parte interna de la esfera
2 2 2 -
x + y + z~ < x
Desarrollo
Proyectando al plano XY se tiene z = 0
21 i
x + y = x
x = p sen (peos 6
y = p sen (psen 6
z = p eos cp
J(pJK(p) = p 2sencp
JJJVx2+ / + z2dx dy dz =
V 2
«*Se?/7<£>COS#
( I ( I p.p¿senxpdp)dcp)d0
2
= ( J "eAsen(f)/ ^ d(p)d6 J ^ ( sen5(pcos4Od(p)dO

2259
i t '
2cos (p cos3<p 4 n ¡“Jr.
(-cos$? + --------------------—)cos 6 dO
3 5 / o
K 71
1 f*2 r/, 2 L , ,2 L 41(*2 164 _
- — I [(1------1—) —(—1h-------- )]cos OdO = — I — cos OdO
4 X- 3 5 3 5 4 X-15
2 2
;r /r
4 (*2 ,l + COS2#v2 1 i*2 ^ 2
= — I (------------) dO - —- I (1+ 2cos 2(9+ cos 20)d0
15 L e 2 15 X^
2 2
1 Í2 .3 , _ cos 40 , „1_3# 2sen26 sen 40 ¡ñ
=— [—+ 2 cos2# + --------] ¿ 0 = — [— + ’-----------------------------+ ---- /
15 X 2 2 15 2 2 8 / 4
2
= — [(— + 0) - ( - — )] = —
15 4 4 10
B) CALCULO DE VOLUMENES DE INTEGRALES TRIPLES.-
Calcular, por medio de una integral triple, el volumen del cuerpo limitado por
las superficies y 2 = 4a2—3ax , y 2 - ax , z = ±h
Desarrollo
2260
Proyectando al plano XY se tiene:
fy 2 - 4a2 - 3ax 2
=> 4¿r - 3ax - ax => x =a , y = ±a
[ = a„Y
V
4a —y “ 4a~-y-
dxdydz=J^ 3a(J_dz^dy=2/?J( udx)dy
fV--U
,2 h
1 3a 3a ' 3 9aY / --<2
3 9 3 9
V =
32a h
Calcular el volumen de la parte de cilindro x2 + .y2 ~ 2a.v, comprendido entre
el paraboloide x2+ y 2 = 2az y al plano XY.
Desarrollo
. ; a,
Pasando a coordenadas cilindricas se tiene:

x = r cos 0
y = r sen 6 => J(r,0,z) = r
z = z
t*~- ¿¿acosO *>— ¿¿acosO 3
11 dxdydz = 2 | 2( I ( V ardz)dr)dO = 2 12( I j-dr)dO
n n
1 r4 /2acos<9 1(*9 ,
- r — / dO = — ~6a eos OdO
« i i 4 / o 4a J,
^ 7Z
:a3(1+cos 2Q)2dO = a3 j ^ ( | + 2cos2<9 + ^ ^ ) ¿ 6>
2
3r3# _„ ££^4*9 / 2 3/3/r
= ¿T[— + sen20 + ------- ] / = 0 (— + 0) = -
2 8 / 0 4
2261 Calcular el volumen del cuerpo limitado por la esfera x2 + y 2+ z2 = a2 y el
arco z 2 = x2 + y 2 la parte posterior con respecto al cono.
Desarrollo
Proyectando al plano XY se tiene:
2 2 a2x + y = —
2
0 < p < a
x ~ p sen (peos 0
y = psencp*
z = pcos(p 0<@ <2tt
y = psencp sen 0 , ^< cp< —
2262
K
V = dydz = 2 £ ( ( J p 2sen<pdp)d(p)dO
V
0 n
í'f °Z r m 2al V í f2—sencp d(p)dd~----- I ( I
3 / o 3 l t
4 4
sencpdip)dO
2a-
V =
2[2aiTi
Calcular el volumen del cuerpo limitado por la esfera x2 + y 2 + z~ =4 y el
paraboloide x2 + y 2 = 3z (la parte interior con respecto al paraboloide).
Desarrollo
Proyectando al plano XY la intersección de superficies
[x2 + y 2 + z2 =4
Ix2+ y2 = 3z
z2 + 3 z -4 = 0 => z= 1
YJ
r =/J
•. x2 + y 2 = 3
x = r eos 6
” 1 T y v 3 x y = r sen 0
z - z
F . J J j W - j[
£ * p /3 W 4 -r 2
( I ( 12 rdz)dr)dO
y

2263
2264
1* f 4 ^ ~
12 Jh 6
Calcular el volumen del cuerpo limitado por el plano XY, el cilindro
x?
Desarrollo
~2 + y2 =ax y la esfera x2 + y 2+ z2 = a2 (interno respecto al cilindro).
x = r eos <9
y - r sen 0 => J(r,0,z) = r
z - z
F=í í r * * =2f (J, «í
rdz)dr)dO
M
cos0 --------------- j fh¡ _ acosO
r j a 2 - r dr)dO = I ~( a - r )2/ q dO
[(a2- a 2eos26)2 - a 2]dO (ser^O -X)d0
2a1
[ - eos6 + C0S— - 6 ] / 2 )- (-1 + t--0)] (3;r-4)
3 / o 3 2 3 y
2a" a-.
2 2
z x
Calcular el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide _ + — 1=2— y al
plano x = a.
Desarrollo
Proyectando la intercepción
2264
Xi
^ x = a
/
IV
N
1!
H“
b2 c2
, x = a
y = rb eos 0
z = re sen 0 de donde J(r,0,x) = bcr
x = x
( J^- ( j ” 2rdz)dr)d0
1 Hallar el volumen del cuerpo limitado por las superficies
^ 2 = f_2_ ¿ z2
a2 + é2 + c2 ~~a 2 + b2 c2
Desarrollo
Mediante coordenadas esféricas
x = apsenpcosO
y-bpsencpsenO => J(p,(p,0) = p 2sencp
z - ep eos (p
reemplazando las coordenadas esféricas en la ecuación
2 2 2 2 2 2
(L _ + y _ + L - ) 2 = — +Z__ —
„2 i 2 2'2 ,2 /2
p A= p 2(sen2(p- eos2(p)
p^ = sen~(p - eos" (p => p = Jsen~(p - eos“ cp

V =
/•/* /* *Jsen"<¡p—eos“
I I I ( I ( I abe sencp dp)dcp)dO
v
abe f 3 /^V-COS'^
= — i ( I p sencpj dcpyiO
abe F , .1 2 j h / 7/J
■= -— j ( J (sen <p-Cas cpY sencpdcpyíO
y = j ^ ( yjsen2cp-eos2cp(sen2(p~eos2 cpdcp)dG
abcK2
4V2
2 Hallar el volumen del cuerpo limitado por las superficies
2 2 2 2 2 2x y z . x y z ...
— + Z - + — = 2 , — + ^—- — = 0 , (z > 0)
a 2 b2 c2 a b2 c2
Desarrollo
Proyectando al plano XY la intercepción.
2 2 2
V W 2 2 2
* b « => z - c => í . ; v - ' í2 2 2 ^.2 t 2
— — £1 = 0 0 6
„2 *! c2
x - a p sen (peos 0
?
<y - bpsencpsenO => J(p,cp,6)~ abcp~sencp
z = CyOCOS^?
2265
2 2 2
^ + 2—+ = 2 z=> p 2 =2 => p = V2
¿r b c
x2 2 z2
—~2 + ■“ — ~~~—0 ==> p 2sen2cp= p 2eos2cp => tg (p= 1 => (p =
a b e
abep 2sencpd p)dcp)d0
abe
~
| (Sff?sai<pl^i<M$ | _ c0sipjUe
2V226£(_ V 2 + 1)2/ = ^ (V 5 _ ,„ ¡
F =
3 2 3
4«¿c(V 2-lK
C) APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES A LA
MECANICA Y A LA FÍSICA.
Hallar la masa M del paralelepípedo rectangular 0 ^ x < a , 0 < y < b , 0 < z < c
si la densidad en el punto (x,y,z) es p(x,y,z) = x + y + z.
Desarrollo
M = Í S b ,y,z)dxdydz - I ' W (x + y + z)dz)dy)dx
v
= J ( jf [(x+ y)z +~ ] / dy)dx = ||[{x+y)c +^-]dy)dx

2266
/x2bc b2ex be2xx ¡a abe ,
= (------+ ------ + -------) / = ----- (a + b + c)
2 2 2 / o2
Del ociante de la esfera x2 + y 2 + z2 < c2, x > 0, y > 0, z > 0, se ha cortado el
x v
cuerpo OABC, limitado por los planos coordenadas y por el plano —+ —= 1,
a b
(a < c, b < c).
x2 + y 2 + z2 < c2, x > 0, y >0, z > 0
X V
La ecuación del plano —+ —= 1, a < c, b< c por definición
a b
M JJjdw= =zdvôndep(x^’z)=z?
2267
- i f f
M = dy dz =>
0 < x < a
0< y < b ( l - —)
a
0 < r < Te - .r 2 - y
/W W,(1- ;X-) a/? -A'2- V2
- H "(f
z dz)dy)dx
(c2 - * 2 - y 2)dy)dx
r 2/1 2Ir-J ;
[c (i— ) - x (l— ) - — (l— )
a 7) a
b r a3 a} ac ab2M - _ r-----+ — + --------------
2 3 4 2 i2 '
üb , ? , 2 i 2 , 2 2 i^
M = — (-a" +6c -£ r) = — (6c - a - b )
24 24
En el cuerpo de forma semiesférica x2 + y 2 + z 2 < a2, z > 0, la densidad varia
proporcionalmente a la distancia desde el punto al centro. Hallar el centro de
gravedad de este cuerpo.
Desarrollo
.x2+ y 2 + z2 < a2, z > 0 por dato p ( r ) - k r
por definición rM ” ^ J^J r cim ôncê ^
rr rr

1
rM =— JJJ r P dV = — II « '' krdV
dV 6V
iip- ¿ í í p -dV
donde dV es el volumen que encierra la masa M, en coordenadas polares
r = r(senO eos (¡),sen 0 sen (f>,eos0 ) , donde 0 < < 9 < ~ , 0 < (|) < 2rc, 0 < r < a
rCM
M x r
M zcm
i f f í
■ f - W
■Ifí
kr2(sen 0 eos <¡),sen 6 sen fi, cos 0).r2sen OdrdOdfi
kr4dr)sen20 d6) eos fidfi = 0
kr4dr)sen26 d0)senfidfi- 0
kr eos#senOdOd(j>dr
2268
Insen^O /9 kr ¡a kxa5
M
j 7 Kr I K7TQ
/ o’ 5 / O" ~ T
= jj"j dm = j j j p d V = k j j j r isen0drd0d0
sv cV sv
kxa5
. a4 kna4 5 2a
M = k . — ,2x = ------- ; zcx, = • = —
4 2 CM kxa4 5
2
- n - 2aX CM - y'C M - U ’ Z C M - —
Hallar el centro de gravedad del cuerpo limitado por el paraboloide
y 2 + 2z2 = 4x y por el plano x = 2.
Desarrollo
Sea dV : " de donde v2 +-r—= 4x
x - 2 ' 1
En el problema no da la función de densidad se asume que esta es constante, es
decir p(x,y,z) = p por definición:
dV dV
donde también por definición M - P d
i f fdV

JP ‘■dV
rcti -( f « >j j r p d y “ ~JJ 7 7
ísh * ífí
J I M
dV
dV dV
=2
A(x)dx donde A(x) es el área de la
dV
correspondiente a la intersección del plano x = x con dW
,,2 2
y~ z~ Ia = 2y¡x r—
:— + — - i donde __, A(x) = 2/rv2x
4x 2x b = J 2^
A(x) = 2ttJ2x => i j f ' - r 2/rV lxdx = 4;rV2
6V
r f f 2x p /4 x - 2 z 2
d V = V= ( ( dy)dz)dx
J J J Jb S-Sx J-l4x-2z2
dV
V = 2 P ( I ¡4 x -2z 2dz)dx = 2y¡2n P xdx
i) i-j2x J)
por lo tanto xCM = —^=—JJJAdV
4
4>/2/r JJJ 4^J2tt 3
dV
4 „
=“ >yCM = ZCM = 0 P°r simetría
de la elipse
V = 4y[27T
2269 Hallar el momento de inercia del cilindro circular, que tiene por altura h y por
radio de la base a, con respecto al eje que sirve de diámetro de la base del
propio cilindro.
2270
Desarrollo
= ,= J J J ( r1sen2cp--z2)r d(pdr dz
tta h
12
(3a2 + 4 /r)
8V
El eje del cilindro se toma como eje OZ, al plano de la base del cilindro como
plano XOY. El momento de inercia se calcula con respecto al eje OX. Después
de pasar a las coordenadas cilindricas, el cuadrado de la distancia del elemento
r dcp dr dz al eje OX es igual a r 2sen2cp+ z2 .
Hallar el momento de inercia del cono circular que tiene por altura h, por radio
de la base a y de densidad p, con respecto al diámetro de su base.
Desarrollo
ífíbV
í f íV
ífí
d 2dm
Iyy = IIV L<PdV
i y y - P ] ] d d V
ev*
2 2
r - (r eos<ft,rsen0,z) r = r + z
r i 2
d(p,eje y)= opxg |=V* +z

2271
o p x j =
i j k
x y z
O 1 O
= - z i +x k
(r2eos2(p--z 2)r dr dfidz
dV dv
= p r ( f w *t 2°os2 <t>+z2 )r
- r r * r(—- + z 2)dr)dz
a4H a2H3w npHa1_ 2= 2/r/?(------+ --------J = —-------(3a2 + 2H2)
40 60 60
Hallar la atracción que ejerce el cono homogéneo, de altura h y ángulo en el
vértice a (en la sección axial), sobre un punto material, que tenga una unidad
de masa y que este situado en su vértice.
Desarrollo
M = masa del cono (se asume que la densidad por la ley de gravitación
universal del cono es constante)
—>
“ T* -km}m2 un , . .
rj2 = ----- ---------donde m} y m2 son masas puntuales y r12 es la distancia
rñ
i , * - km, nu u12
entre ellos, k = constante universal de gravitación Fn = -----— =----- ... (1)
r2
—> _ >
Fn = fuerza de atracción de la masa sobre la masa m2, M.12 = vector
unitario cuyo sentido va de a m2
—> —>
mx= dm , w2 = 1, r 12 = (0,0,//) - r
en coordenadas cilindricas r = (r eos <j),r sen <f>,z )
—^
r 12 = (0,0,h) - (r eos (f),r sen <¡>9z) , 0 < cj>< 2tx
0< z < h
0 < r < a ( l- ~ )
h
^ c/w(r eos fíKr se/? z - //)
d Fn = ------------------------ 3-------
para encontrar la fuerza total gravitacional del cono sobre la partícula de masa
m debemos de integrar.
■III" F a ‘ k III
IIP
dm{r eos (/>,r sen <j),z - h)
Ftotal — k p
3
rdv~ [r2 + ( h - z )2]2
r eos <ft,r sen (¡),z-h )r dr d(¡)dz
3
dTr [r2 + (z - h)2]2

2272
es evidente que Fx - F = O porque | sen<j)d(¡) = | eos (j)d(j) = 0
¿Ltc f0.7t
I sen <¡)d(¡>- I
T J %
dv [r¿ + ( z - h ) 2]2
í-2knp j (z-h)dz
dr
[r2 + (h —z)2]2
■r*- I j i k p j (z - h). —S—¿fe
h - z
= - 2^-A:/?(! - cosa)z j = - lx k r p h ( - cosa)
Frotó/ = -l7zkph( - cosa) w2
Demostrar, que la atracción que ejerce una esfera homogénea sobre un punto
material exterior a ella no varia, si toda la masa de la esfera se concentra en su
centro.
Desarrollo
j - ^ T * k m xm 2 ~>
d FX2 = ------— ui2
*12
, k dm m~*
d Fn = ------ M2
'i 2
d F2 - — r ~ -------- ri2
r Fr12 V
_
krnM dV
— -----— r 12
F rV r2
r i2 = r2- /) = (0,0,z0) - (r sen 6 eos (¡),r sen 0 sen (j),r eos 0)
2 2 2 1
j r i2 |= r]2 = [r sen @+ (z0 + r eos#)"]2 , entonces se tiene
'~l~* krnM rlsen0 drdOdé , ... . » . - .
d F]2 = —— -.-------------------------------- —(r sen6 eos<p,sen0 sen<¡>,reos6 - z0)
V , ,
[r sen"6 + (reos0 - z oy ] 2
Ftotal = J J J í/ F,
cV
ííld v
'kmM r1sen OdrdO dO(r sen 0 eos (f),sen 0 sen (p,r eos 0 - z0)
F * 1
[r2sen20 + (r eos 0 - z0y ]2
.r p2/r
sen<f>d<j>= cos<¡)d</>= 0)
fff
kmM j i J r sen 0(r eos 0 - z0)dr d0 d<¡)
b- totai=~ v ~ I. I. t "r
[r2sen20 + (r eos 6 - z0)2]2
2kkmM C* . f r1sen 6( r eos <9- z0)¿/#f* r r2senO(reosO - z 0)dO^
J) 4) 2 2 ^(r +z0 - 2rz0cos#)~
F
2nkmM f* ^_r2c¡r - ^izkmM f*r 2^j, r _ i ,

ArckMm R
Vzl
3
AnkMm R
T
kMm
además la fuerza entre dos masas puntuales
kMm
r, = -----t -
... (a)
... (P)
por lo tanto (a) y (p) son exactamente iguales las expresiones.
7.8. INTEGRALES IMPROPRIAS, DEPENDIENTES DE UN
PARAMETRO. INTEGRALES IMPROPIAS MULTIPLES
Ira. DERIVADA RESPECTO DEL PARÁMETRO.-
Cumpliendo ciertas restricciones que se impone a las funciones f(x,a) y
f a (x,a) y a las correspondientes integrales impropias, se verifica la regla de
Leibnis.
da I
f ( x ya)dx - f'a(x,a)dx
2do. INTEGRALES DOBLES IMPROPIAS.-
a) CASO EN QUE EL RECINTO DE INTEGRACIÓN ES INFINITO.-
Si la función f(x,y) es continua en un recinto infinito S, se supone.
í h ,y)dx dy = Hm |J / ( x , y)dx dy ... O)
donde C es un recinto finito, situado totalmente en S, entendiéndose por
C —» S, que ampliamos el recinto C según una ley arbitraria, de manera
que en este entre y permanezca en el cualquier punto del recinto S.
Si el segundo miembro tiene limite y éste no depende de la elección que
se haga de C, la correspondiente integral impropia recibe el nombre de
convergente; en el caso contrario se llama divergente.
Si la función subintegral f(x,y) no es negativa (f(x,y) > 0), para que la
integral impropia sea convergente es necesario y suficiente que exista él
limite del segundo miembro de la igualdad (1), aunque sea para un
sistema de recintos C que completen el recinto S.
b) CASO DE UNA FUNCIÓN DISCONTINUA »
Si la función f(x,y) es continua en todo recinto cerrado y acotado S, a
excepción del punto P(a,b), se supone.
f ( x 9y)dxdy = lim ^ f (x ,y )d x d y ... (2)
(S) ____ , ____ ^
donde Se es el recinto que resulta de excluir del S un recinto interior
pequeño de diámetro f, que contiene al punto P. En el caso de que exista él
limite (2) y de que no dependa de la forma de los recintos interiores
pequeños que se excluyan del recinto S, la integral considerada se llama
convergente, mientras que en el caso contrario, es divergente.
Si f(x,y) > 0, él limite del segundo miembro de la igualdad (2) no depende
de la forma de los recintos internos que se excluyen de S; en particular, en
£
calidad de tales recintos pueden tomarse círculos de radio con centro
en el punto P.

El concepto de integrales impropias dobles es fácil pasarlo al caso de integrales
triples.
2273 Hallar f x ) , sí /(.v) - e ^ dy , x > 0
Desarrollo
/ (x) = i e ^ dy = - I e xy dy + I e xv d y , calculando la derivada
J Ja Ja
f x ) = ~e
- f
y e 'y dy
2274 Demostrar, que la función n - I ~
JL x
xf(z)dz
+ (y-z)~
satisface a la ecuación de
d2u d2u
laplace ——+ — - = 0 .
o!x2 dy2
Desarrollo
xf(z)dz ^ du r
oox2 + ( y - z ) 2 dx
8u f ' (( y -z )2 - x ' ) f ( z )
[x2 + ( y - z ) 2]2
8X2 I r
' [3(,y-z)2 - x 2)x /(z )
[x2 + ( ^ - z )2]3
ífe ...(1)
du _2 f (y - z)x f (z) dz
dy l x [ x2 + ( y - z ) 2]2
dy JLx
[ 3 ( j- z )2 - x 2]x/(z)tfe
[.v 2 + ( 7 - z ) 2 ]3
... (2)
2275
ahora sumando ( 1) y (2) se tiene:
+ ^ = _? r X[3(.V’- e )2- x 2]x/(z)Jz , r ^ [3(>-z)2- x 2]x /(z )úfz
5x2 CT2 L [x2 +(>--z)2]3 “ JL [x2+{y~z)2f
d2u 52w _
ex2 <3y2
La transformada de Laplace F(p) para la función f(t) se determina por la
fórmula F(p)= f e~p'f(t) d t. Hallar F(p) sí
a) f(t) = 1 b) f(t ) - eal c) f(t) = sen pt d) f(t) = eos pt
Desarrollo
a) F(p) = £ e~p‘f(t)dt = J e~p‘dt = - - y / ” = ~ (0 - 1) = -
P
F(p)=-
P
b) F(p) = J e~p,f{t)dt = £ e~p'ea,dt = J e(a fj)ldt
e { a -p )t re |
:------- / =0 —
a - 6 / o ap / o OL-p p - a
c) F(p)= e ptf(t)dt = j^° e ptsen fit di
- p sen fit - P eos pt / 30 p
F { p ) ^ c p s m p r pi ~ ^ l7 o p 2 + p 2

í
í
2276 Aplicando la fórmula I xn 1wxdx = ~ , n > 0, calcular la integral
xn 1Inxdx
Desarrollo
ii - Inx
dv = xn~[dx
==>
du -
v = ■
dx
f x"-]In,v á = — / ' --- f xn~'dx = 0 — V = “
J) « ’ o n J, nz n-
v k ln x dx ~ - ----
2277 Aplicando la fórmula e ptdt = , p > 0, calcular la integral fr e - pldt
Desarrollo
í ?JH= r
dv = e~ptdt
du ~ 21dt
<rP*
v - -
te~'ptdt
u~ t
da = dt
dv = e~p,dt
„-Pl
2278
2279
r e-pit2d t = —[ - ¥ — r + — í
J) P P t o P J}
Utilizando la derivación respecto al parámetro, calcular las siguientes
integrales.
í
r/: _ -/5a*
dx , (a > 0, p > 0)
Desarrollo
r o~ax r o~Pxr _ ¿ - a r° r e-p*
- -- — dx= ---------- d x- -----dx ...(1)
•I) * % J} .x _^
T(a) Fm
F(a) = r ---- dx => F a ) = - í e~a*dx = - — => F(a) = - ln a ...(2)
Jb * Jj a
F(fi) = dx => Ffi) = - 1 ^e~pxdx = ~ => F(P) - - ln (3 ... (3)
Reemplazando (2), (3) en (1)
e~ak - e"fix fí
f
f
-¿¿x= - ln a + ln /? = ln -
x oc
-ocx _ - ~ p x
-------------- senmxdx (a > 0, P > 0)
Desarrollo
L {senm x}=-~— => = f - T ^ - Tdy
s +m x Js i r + n t

2280
71 S
L{sen mx) = -----arctg —
2 ' ni
-OCX - f i x , , o
T,e - e ' , .k s + a v .s+ /?x
¿ j-------------- mv*- (--------- arc/g-------)- (-----arctg----—)
x 2 m 2 m
e ax- e ^ x s + P s + a
1 1 —sen(mx)dx) = arctg---------arctg -
í
x m m
-sx e ax - e s + p s + a
e ---------------sen(rnx)ax = arctg----------arctg------
x m m
v f w r , s + p s + a
lirn I e -------------- sen(mx)dx = hm(arctg--------- arctg-------)
s-»o x s-+o mm
P a
- arctg-----arctg —
m m
f
arctg ax ,
-------- —-dx
x ( l + x )
Desarrollo
Sea F(a) = ar- t? ax dx, derivando
A 4 1 -
F a )
-f
l+ x2)
dx
(l + x2) ( l+ a V )
x f00.Ax + B Cx + D . , 1 r , /°
F ’(a) = I (------ —+ ------= ----------------- 7 [arctgx-aarctg ax] /
Jb 1+ x 1+ a x i - a 2 1 c
1 /T .TZ"x 7T
-(-----a —) = --------- .*•F(a) = —ln(1+ a)
- a 2 2 2 2(1 + a) 2
2281
... r dx = - ln(1+ a)
Jb x(l + x2) 2
t W + c ¿ ¿ ) dx
w X2V l-X 2
Desarrollo
f1ln(l + « 2x2)
Sea F(a)= I —'■—= = ~ dx, derivando se tiene:
I
F a ) = -2 a
í
VT
dx
( l - a 2x2)yj-x2
Í dx f
------ = + a -
(«jc + lW l-x 2 J) I
dx
reemplazando (2) y (3) en (1)
F a ) = -aíJci2 -1 in(a2 + « -1) - 4 a 2- 1ln(a2 - a -!)]
= -a-v/a2-1 ln(-
,a 2+ a - l
a 2- a - l
Í
2 2 r— ____
— C¡L^==J-dx = x ( 4 - a “ - 1)
x2X ^ 7
... o )
. (2)
(ax + l) V l- x 2 i) ( a x - l)Vl “ X2
f -------- = yf^r2 - 1 ln (a2 + a -1 )
i) (a x + l ) v l - x 2
f
-
- X— ■.= = Va2 -1 ln(a2 - a -1) ... (3)
J) (ax - l)v 1- x2

2287
Sea
x = reos#
dx dy = r dr d0
dy n
(x2+ y 2 + a 2)2 4a2
y - r sen 0
Pasando a coordenadas polares se tiene: I dx I -
J) Jo I
La integral de Euler - Poisson, determinada por la fórmula / = e~x dx, se
= é~y dy multiplicando entre sí estaspuede escribir también en la forma I
fórmulas y pasando después a las coordenadas polares, calcular I.
Desarrollo
dy
y sea I - lim / el valor de la integral
p —>OG
Luego / ;
RP
Donde Rp es el cuadrado OABC de lado P
Sea la región del primer cuadrante comprendida por la circunferencia de
radio P, es decir: e
JF
r ( x +y )dxdy
Y R2 la región del primer cuadrante correspondiente por la circunferencia de
radio yflp , es decir: JP(x +>; ]dxdy , luego
2288
J Je +y )dxdy < l 2 < | | e (A ^dxdy
x = rco$6
por medio de coordenadas polares se tiene: => dx dy = r dr d0
y = r sen 0
e r rdr)dO < I2 < e ' rdr)dO
—(1- e pl) < I2 < —(1- e lp í), tomando limite cuando p -» co se tiene:
4 p 4
lim —(1-e p )< lim I 2 < lim —(1-e 2p
p-+004 p—><X) p—>004
r
/r _2 ^ ^ 1 1 1 r2 71 rr ^— T = ----
4 4 4 2
-X 2 T
e dx = ----
2
Calcular
F M
¿fe
(x2 + y 2 + z 2+ 1)2
Desarrollo

2289
Pasando a coordenadas esféricas se tiene:
x = p eos 0 sen (j) , y = p sen 0 sen (f) , z = p eos <|)
H *f
dz r r r dz
(x2 + y 2 + z 2 + 1)2 1 ( 1 J, (x2 + y 2 + z 2 +l)2^ dX
■r-r-r
p 2sen(¡> n
— d m v e , -
Averiguar si convergen las integrales dobles impropias.
Jf
ln(x + y )dxdy, donde S es él circulo x + y <1
5
Desarrollo
Excluimos de S el origen de coordenadas con su entorno de amplitud e, es
decir examinamos I£ = J*J*lnyjx2 + y 2dx dy, donde el recinto que se excluye
js*
es un circulo de radio £ con centro en el origen de coordenadas, pasando a las
coordenadas polares tenemos:
Jj*lny¡x2 + y 2dxdy= rnrdr)dO = ^— Xnrj J*rdr]d6
-■2jr[—— — ln¿*- —] de donde I - lim/ = - —
4 2 4 *->o * 2
Í N
x2+y 2dx dy ~~~~~
2290
2291
íf;
5
— , donde S es un recinto que se determina por la desigualdad
( r + r f
x2 + y 2 > 1 (parte exterior del circulo).
Desarrollo
S
f2* i ir«** C2,r l
= I --------------- —- dO = I (0 + -------- )d0 cuando 2a - 2 > 0
I (2a-2)r ' i j, 2a - 2
71
si a > 1
<2 - 1
ff dxdy k .
Luego I I—-— ^ —r ------ es convergente si a >
JJ(x- + V") ex—1
5
íf;
^ , donde S es un cuadrado | x | < 1, ,| y | <
yj(x-y)
Desarrollo
Ponemos a la recta y = x con una franja estrecha y supongamos
f f = f ( +lim f( f
^ y j ( x - y ) s~*° •*> J) h+e%[(x-y)~
. . dxdy
Los dos limites existe por lo tanto I I r . es convergente.
ÍJV (.v-y)2

2292
f ff dxdydz , ,
M I—9-----9-----7— , donde V es un recinto, que se determina por la
JJJ(x2+ y 2+z 2f M F
V
desigualdad x2+ y 2 + z2 > 1 (parte exterior de la esfera)
Desarrollo
Pasando a coordenadas esféricas se tiene:
x = p eos 0 sen <> , y = p sen 0 sen <|> , z = p eos (j)
= r ( r
i) i, 2a-
= t e r de
J) 2ar-3 / o
{ 2 a - 2> )p / 1
10
-d(f))d6 si 2a - 3 > 0
3 2 . 3
si a > —= ----------.2/r si a > —
2 2 a - 3 2
r f ff dxdydz An
Luego H — -----f — = ----------si « >
J J J O r + y + z^)a 2 a - 3 2
3
Por lo tanto es convergente si a > —
7.9. INTEGRALES CURVILINEAS.
Ira. INTEGRALES CURVILINEAS DE PRIMER TIPO.-
Sea f(x,y) una función continua e y = cp(x), a < x < b, la ecuación de una
curva plana determinada C. Marcamos un sistema de puntos M^x^y^ (i =
0,l,2,3...,n), que dividen a la curva C en arcos elementales = AS¿ y
formamos la suma integral.
n
Sn ~ ^ ^jñ(xf;y¡)AS¡ . El limite de esta suma, cuando n -» 00 y AS¡ —>0
ífr1
recibe el nombre de integral curvilínea de primer tipo.
(dS es la diferencial del arco) y se calcula por la fórmula
[ f(x,y)dS = ^ f(x,(p(x))4 + <p'x)dx
En el caso de que la curva C esté dada en forma paramétrica x = cp(t), y = v|/(t),
(a < t < p) tenemos
Se considera también las integrales curvilíneas de primer tipo de funciones de
tres variables f(x,y,z), tomadas sobre una curva en el espacio, que se calculan
análogamente.

La integral curvilínea de primer tipo no depende del sentido del camino
de integración. Si la función sub integral f se interpreta como la
densidad lineal de la curva de integración C esta integral representará de
por si la masa de curva C.
2do. INTEGRALES CURVILÍNEAS DE SEGUNDO TIPO.-
Si P(x,y) y Q(x,y) son funciones continuas e y = cp(x) es una curva plana C, que
se recorre al variar x desde a hasta b, la correspondiente integral curvilínea de
segundo tipo se expresa de la forma siguiente:
fJa
y)dx + Q(xyy)dy = [P(x, (p(x)) + Q(x,(p(x)).(p'(x)]¿/x
En el caso más general, cuando la curva C se da en la forma paramétrica
x = cp(t), y = j/(t), donde t varia de a hasta [3, tenemos:
í '
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = I [P{(p(t),y(t))<pt) + Q ( < p ( t ) , V ) d t
Fórmulas análogas son validas para la integral curvilínea de segundo tipo
tomada sobre una curva en el espacio.
3er. CASO DE INTEGRAL EXACTA.-
Si la expresión subintegral de la integral curvilínea de segundo tipo es la
diferencial exacta de una función uniforme determinada U = u(x,y), es decir:
P(x,y) dx + Q(x,y) dy - du(x,y) esta integral curvilínea no depende del camino
de integración y se cumple la fórmula de Newton - Leibniz.
KW 2)
J >Jn*i>yi)
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = u(x2,y2)-u(xl,yl) (1)
donde (x ^j,) es le punto inicial y (x2,y2), el punto final del camino. En
particular, si el contorno de integración C es cerrado se tiene:
•
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 ... (2)
«
Si, 1) el contorno de integración C está comprendido totalmente en un
determinado recinto simplemente conexo S y 2) las funciones P(x,y) y Q(x,y)
junto con sus derivadas parciales de 1er orden, son continuas en el recinto S, la
condición necesaria y suficiente para la existencia de la función u es que se
verifique idénticamente en todo el recinto S la igualdad .
~ ¥ - ¥ <3>dx dy
Si no se cumple la condición (1) y (2), la subsistencia de la condición (3) no
garantiza a la existencia de la función uniforme u y las fórmulas (1) y (2)
pueden resultar ser erróneas.
Señalemos un procedimiento para hallar la función u(x,y) por medio de su
diferencial exacta, basado en el empleo de las integrales curvilíneas.
4to. FÓRMULAS DE GREEN PARA EL PLANO.-
(7) Si C es la frontera del recinto S y las funciones P(x,y) y Q(x,y) son
continuas, junto con sus derivadas parciales de 1er orden, en el recinto
cerrado S + C. Se verifica la fórmula de Green.
C^ Pdx + Qdy =
________________ 5______________
donde el sentido del recorrido del contomo C se eligen de forma que el
recinto S queda a la izquierda.

5to. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES CURVILÍNEAS.-
E1 área limitada por un contorno cerrado C, es igual a:
S = - ( ^ ydx = (^ xdy
(el sentido del recorrido del contorno debe elegirse contrario al movimiento de
las agujas del reloj).
Mas útil para las aplicaciones en la siguiente fórmula.
f (xdy-ydy) = ^-C
'c 2 J
f 1 A
) x d y - y d x = -~Q
c ¿ %
» x2d &
c x
© El trabajo de una fuerza, cuyas proyecciones sean X = x(x,y,z),
Y - y(x,y,z), Z = z(x,y,z) (o correspondientemente, el trabajo de un
campo de fuerzas) a lo largo del camino de C, se expresa por la integral.
í
A =■ I xdx + y dy + zdz
Si la fuerza tiene potencial, es decir, si existe una función U = u(x,y,z)
(función potencial o de fuerza) tal que: — = x , — = y , — = z
dx dy - 8 z '
El trabajo independientemente de la forma del camino C, es igual a:
f»z2>
A
Mx2,y2,z2-
4>i,yÁ)
xdx--y dy + zdz
Mx2,y2,z2)
nA',,Vi,Z,)
du = u(x2,y2,z2)-u(xx,yx,zx)
donde (xx,yx,zx) es el punto inicial y (x2,y2,z2) el punto final del
camino.
A)
2293
INTEGRALES CURVILINEAS DE PRIMER TIPO.-
Calcular las siguientes integrales curvilíneas.
1
xydS , donde C es el contorno del cuadrado | x | + | y | = a, a > 0
ax(t) = ( a - at,at) , 0 < t < 1
a 2(0 = ( - at,a - a t ) , 0 < t < 1
a3(t) = (-a + at,-at), 0 < t < l
a4(t) = (at,-a + at) , 0 < t < 1
a 2t) =(-a,-a) => a2'(t)='j2a
ccy(t) = (a,-a) a-it)=y[2a
a 4t) = (a,a) => a4t)=yÍ2a
j xydS= i xydS+ j xydS+ j xydS+ I xydS
JC Jc¡ JC2 *^3 *"£4
= (a - at)at Jla dt + -at(a - at)Jla dt +

2294
+ -at(-a + at)y¡2a dt + at(-a + at)-Jla dt
f xydS = a ^ [ ^ A / ^ a - ^ + t- ) /
Je 2 3 / o 2 3 / o
w 1
2 3 / o 2 3 / o
Í
. t 2 , 3 , 2 , 3 , 2 ,3 ,2 ,3 i
;ty¿.S = V2a3[-— -— — + - + -— í— £_ + £_]/
3 3 2 3 2 2 2 3 / 0
= V2a V - í 2 + f - í 3) / ‘ =0
í '
, donde C es un segmento de recta que une entre si los puntos
'y jx ^ y * +4
0(0,0) y A( 1,2).
Desarrollo
Sea a(t) = (t,2t) => a'(/) = (l,2) => |a'(/)|= V 5
a(a) = (a,2a) = (0,0) => a = 0
a(b) = (b,2b) = (1,2) => b = 1
•t Jx +4 j) yjt2 +4/2 +4 i)Vsr + 4 ' 0
= ln | V? + 3 1- ln 10 + 2 1= I n | ^ ^ |
2295
i
2296
rx>>¿/S, donde C es el cuadrante de la elipse — + — = 1, situado en el
Je a1 b
primer cuadrante.
Desarrollo
Sea a(t) = (a eos t, b sen t) => a t) = (-a sen t, b eos t)
a t) |= v a2sen2t + b2eos2/
n
xv dS = f 2a eos t.bsen t j a 2sen2t + b2eos2t dt
ab ñ
2(a2 - b 2) J)
2(a2 - b2) cosí sen t(a2sen21+ b2eos2t)2dt
' 3 71
ab 2
2(a2
———.—(a2sen~t +b2eos2t)2 / 2
- b2) 3 / o
ab ab(a"-b3) ab(a2 +ab + b2)
y 2d S , donde C es el primer arco de la cicloide x - a(t - sen t),
y = a(l - eos t).
Desarrollo
í
Sea a(t) = (a(t - sen t), a( 1 - eos t)), Q < t < ~
a t) = (a( - eos /), a sen t) => | a t) |= V2aVT^cosT
71 71
J* y 2dS — a2(1- eos t)242a Vi - eos t dt =y¡2a3 4sen4^.yflsen —dt

2297
2298
y d S = 8a | (1-cos -~Ysen~dt
71
:8a3 | (1- 2eos2—+ eos4—)sen—dt
•b 2 2 2
o 3 / ^ ^ 4 3 ^ ^ 5 t / 2 256 3
= 8¿z (-2cos—+ —e o s ------ eos —) / 2 = ----- a
2 3 2 5 2 / 0 15
x2 + y 2d S , donde C es el arco de la envolvente de la circunferencia
yx = a(cos t + t sen t), y = a(sen t, at sent) (0 < t < 2n)
Desarrollo
a(t) = (a(cos t + t sen t), a(sen t - 1eos t)) => a t) - (at eos t,at sen t)
dS =a'(t) | dt = yja2t2eos2t + a2t2sen2t = atdt
yjx2 4-y2dS = yJa2(cos t + t sen t)2 + a2(sen t - t eos t)2at dt
= a2 | Vl + r /í// = y ( l + r ) 2 / 2* = y [ ( l + 4 ;r ) 2 -1]
í '
(x2 + y 2)2d S , donde C es el arco de la espiral logarítmica r - aemq>
(m > 0) desde el punto A(0,a) hasta el punto 0(-oo,0).
Desarrollo
2299
x = r eos cp, y = r sen (p
x = aem(peos <p
y = aem<psen cp
Sea oc((p) = (aem(peos cp,aem(psen cp), oo < <p< co
a (p) = aem<p(meos (p -sen <p,msen cp+ eos (p)
acp) |= aem(pT n 2 + 1
| (x2 + y 2)2dS = £ a4e4m<paem<pJm2 +d 2x2 jex~+ v ) dò ~ -----
í - r ,ir,„T O .
(x + y)dS , donde C es el lazo derecho de la lemniscata r2 = a" eos 2^
Desarrollo
!
/
/
-<
Tí
✓ ' 4
v
C ^
...... v *
----------/ -----*
/ K
X= r eos cp
y = r sen (p
X Ix - a-Jeos 2^>eos (p
I>>= aJcos2(p sen(p
Sea a((p) = (a->Jcos2(p cos(p,a^[cos2^sencp)

2230
, sen3(p eos 3cp x
a<p) = a(— = ^ = , - = ^ = )
^/cos2(p y¡cos2(p
a'(9)=a
^/cos2#? yjcos2(p
71
Í
(x + y )dS = i4 (a J c o s 2(peos + a J eos 2(psencp)- j = ^ = r
JL* yJcos2< p
d(p
í
= a2 I (eos cp+ sen <p)d<p = a2(sen <p-eos <p)j 4^
2u s¡2 7 2 . 72 V2 .. 2 nr
= a [(--------- )-(----------- )] =a y/2
2 2 2 2
312
(x + z)¿/£ , donde C es un arco de la curva x = t, y = ——, z = ¿3, 0 < t < 1
y/2
Desarrollo
í
dS
2301 I —---------- donde C es la primera espira de la hélice circular x =
: x + y + z
z = a sen t, z = bt
Desarrollo
Sea a(t) = (a cos t, a sen t, bt), 0 < t < 2k
cct) = (~asent,acost,b) => a t) = J a 2 + b2
f dS r* Ja2 +b2dt Ja1+b2 bt /
¡c77/77‘ 1 ~Tw F— ^ r a'ag-al
J a 2 +b2 27ib
-----------------------------arctg--------------
ab a
2302 J2y + z dS , donde C es el circulo x + y + z - a , y = x
Desarrollo
íx2+ y 2+ z 2 = a 2 ..
C : < ' parametnzando la curva se tiene:
[y =*
a cost a cost
x =r— pr—, z = asent, y.=—
V2 V2
, x sa cost a cost .
Sea «(/)^=(— pr—,— —-,asent)
V2 V2
„ x asent . , x, r ~2 2. , 2 ^<2 ’(7 ) = (---- — -------^ iClC0st) => |or?(7) = Va sen t + a eos
V2 V2
J 2y 2+ z2 Ja2eos2t +a2sen2t adt = a 2 dt = 2na~
a eos t,
t = a

2303
2304
3 2Hallar el área de la superficie lateral del cilindro parabólico y = - x , limitado
8
por los planos z = 0, x = 0, z = x, y = 6.
Desarrollo
El área de la superficie lateral del cilindro que tiene la generatriz paralela al eje
OZ, cuya base es el cilindro de integración y las alturas iguales a los valores de
la función subintegral, por esto S = Jxé/S donde C es el arco OA de la
3x2
parábola y = ----- que une los puntos (0,0), (4,6).
3i2
Sea a(t) = (t,— ), 0 < t < 4
3 912
a'(t) = (,-t) => a t)= ^ l+ —
s ‘ í x d s ' í p T ' d' * 1
Hallar la longitud del arco de hélice cónica x = aet cost, y = aelsent,
z - a e l , desde el punto 0(0,0,0) hasta el punto A(a,0,a).
Desarrollo
Sea a(t) = (ae eost, aesen t,ae()
a(tx) = (aexeos tx,aet}sen tx,aet[) = (0,0,0) => t{ —»oo
a(t2) = (ae12eos t2,ae*2sent2,ae12) = (a,0,a) => t2= 0
2305
2306
a t) = ae1(eos t-sent, sent + cos/,l) => | a t) |= ae*
L = ^ a t ) d t = j "0 ayfie*dt = ajle* j = a j 3 .y L = aJ 3
x2 y2
Determinar la masa del contorno de la elipse — + — = 1, si su densidad lineal
a b
en cada punto M(x,y) es igual | y |
Desarrollo
M y)dS donde p(x,y) = |y |
2 2
a b2
paramétrizando la curva x = a cost, y = b sen t
Sea a(t) = (a eos t, b sen t)
—^ ^
a' = (-asent,beost) => | a t) |= yja2sen2t + b2eos2t
M - J^ |<y|rf5= b eos t]a2sen~t + b2eos2t dt
/l2 a2b yfT-lb2
= (b + ..aresen---------------------- )
Ja 2- b 2 a
Hallar la masa de la primera espira de la hélice circular x = a eos t, y = a sen t,
z = bt, si la densidad en cada punto es igual al radio vector del mismo.
Desarrollo

2307
M = ^p(x,y,z)dS donde p(x,y,z) = -y/*2 + y 2 + z2
M = f >/x2 + y '+z2dS y C: a(t) = (a cos t, a sen t, bt)
a'(t) = (-a sent, a eos t,b) => a'(t)-y¡a2 + b2
M = Va2 + Z>2í2-y/a2 ~+b2dt^yfa2 ~+b2 Ja2 + (¿>í)2dt
4~a
^ —[— 4a2 +~b2t2 + — ln | bt + ^a2 + ¿>2í2 |]/
? 2 2 / o
I 2 2~
= — ^ ^ [271bJ a 2 + 4b27r2 + a2ln | 2;r6 + J a 2 + 4b27r2 | - a 2ln a]
n TTr n „,2 2 1 , 2b7T+ Ja z + 4b¿7TZ
= yja +b [W a + 4b 7i + — ln -------- ---------------
2b a
Determinar las coordenadas del centro de gravedad del semi arco de la cicloide
x = a(t - sen t), y = a(l - eos t), 0 < t< 2 n
Desarrollo
Sea a(t) = (a(t - sen t), a(l - eos t)) de donde
a t) - (a( - eos t), a sen t) => | a t) |= a42] - eos/ - 2a sen—
2
M = | a t) dt = 2a sen^dt = -4a cos-^-j - 4 a
2308
2309
I a(t - sent )2a sen —dt I
Jb 2 __4a
a( 1- eos t)2a sen —dt
2 4a
M 3 ’ ' M 3
4a 4a
Luego las coordenadas son )
Hallar el momento de inercia con respecto al eje ÓZ, de la primera espira de la
hélice circular x = a eos t, y = a sen t, z = bt.
Desarrollo
Sea a(t) = (a eos t, a sen t, bt)
a t) = (-a sent, a cost,b) => a'(t)=Ja2 +b2
/ T= J (.v2 + y 2)p(x,y,z)dS = (a2eos2t + a2sen2t)la2 + ¿>2dt
2 +b2dt = 27Ta2y[a2 + /T
¿Con qué fuerza influye la masa M, distribuida con densidad constante por la
circunferencia x2 + y 2 —a", z ^ 0, sobre la masa m, situada en el punto
A(0,0,b)?
Desarrollo
Sea U(x,y,z) = u función potencial de la fuerza además

Luego F = [x d x +ydy + zdz=- **“ ’
donde X = x(x,y,z), Y = y(x,y,z), Z = z(x,y,z) son las proyecciones
correspondientes al trabajo de campo de fuerza.
B) INTEGRALES CURVILÍNEAS DE SEGUNDO TIPO.-
Calcular las siguientes integrales curvilíneas.
2310 I (x2 - 2xy)dx + (2xy + y 2)dy , donde AB es el arco de la parábola y = x2 ]
Jab
que van desde el punto A( 1,1) hasta respecto B(2,4).
Desarrollo
Sea a(x) = (x, x2), 1 < x < 2
J (x2 - 2xy)dx + (2xy + y 2)dy = J [(x2 - 2xJ) + (2x3 + x4)2x]dx |
f / 2 ^ 3 A 4 A ¡x^ X4 4x~ X6 / 2
= I (x - 2x +4x +2x )dx = (------------+ ------h— ) /
Jl 3 2 2 3 /1
,8 0 128 64 A 1 4 1
- ( - - 8 + ------+ — ) - ( -------+ - + -)
3 5 3 3 2 5 3
70 0 124 1 1219 19
----- 8+ -----+ - = -------- = 40—
3 5 2 30 30
2311 j*(2a - y)dx + x d y , donde C es el primer arco de la cicloide x = a(t - sen t),
y = a(l - eos t) recorrido en el sentido del crecimiento del parámetro t.
2312
Desarrollo
Y'
a
a
0 are 2a;r X
J (2a - y )dx + xdy= [2a - a(1- eos t)]a( - eos t) 4-a(t - sen t)a Sent]dt
Í 2K ^
[(a + a eos t)a( - eos t) + a2( t - sen t)sen t]dt
- a 2 [(1-c o s2t) + t sent -sen2t]dt = a2 tsentdt
= a2(sen t - 1eos t) / = a2(0 - 2n - 0) = -2a1n
¡ o
Í 2xydx-xrdy, tomándola a lo largo de las diferentes caminos, que parten
)A
del origen del coordenadas 0(0,0) y que finaliza en el punto A(2, l ).
a) Sobre la recta OmA.
b) Sobre la parábola OnA, cuyo eje de simetría es eleje OY.
c) Sobre la parábola OpA, cuyo eje de simetría es eleje OX.
d) Sobre línea quebrada OBA.
e) Sobre la línea quebrada OCA.

2313
Y 1
C(0,1)
i
A(2,1)
0 B(2,0) X
Desarrollo
a) Sea a(t) = (2t,t), O< t <
í 2xydx- x1dy = j [ 4 r .2-4r]¿// = f ( 8 r - 4 / 2)rf/ = f 4 r dt
Joa Jo Jb Jo
_ 4/3 /> _ 4
3 / o ~ 3
b) «(/) = (/,—), O< t < 2
4
2xy dx - x2dy = (—■- 12 )A = 0
f 2xy d x -x 2dy= | (¿3i )dt = —= — r / = —
JL J) 4 4 20 / o 20
«L,
2xydx--x2dy en las mismas condiciones del problema 2312
Desarrollo
Desarrollo
2312
Y ‘
a
a
0 3K 2an X
[(a + a cos t)a(1- eos t) + a (t - sen t)sen t]dt
tsent dt
(2a - y)dx +xdy = [2a - a ( - eos t)]a(] - cosí) +a(t - sen t)a sen t]dt
t i t t
- a1 [(1- eos2t) +t sen t - sen2t]dt = a2
2 / 2 2
= a" (sen t - t eos t)J -a~( 0 - 2;r - 0) = -2a" n
i 2xy dx - x2dy , tomándola a lo largo de las diferentes caminos, que parten
Jo a
del origen del coordenadas 0(0,0) y que finaliza en el punto A(2,l).
a) Sobre la recta OmA.
b) Sobre la parábola OnA, cuyo eje de simetría es el eje OY.
c) Sobre la parábola OpA, cuyo eje de simetría es el eje OX.
d) Sobre línea quebrada OBA.
e) Sobre la línea quebrada OCA.

2313
a) Sea a(t) = (2t,t), O< t < 1
2xy dx - xí 2xy dx - x1dy = j [4¿2.2- 4 t 2]dt = [ {%t2 - 4 t 2)dt = | 4 t2dt
J o a Jb Jt) Jb
413 , 1 4
/ = -
/ o 3
b)a(í) = (í,—), O< t < 2
4
f 2 í* í3
2xv d x -x dy = I (— - í2-)í* = O
2
¡ J v d r - J d y . j V ¿ ,
J __3_
o ” 20
i
Ixydx + x dy en las mismas condiciones del problema 2312
Desarrollo
2314
2315
t
b) Sea a(t) = (t,—), 0 < t < 2
4
2xy dx + x2dy = + t-~-)dt = V*dt ~ 4
en todas las demás caso también da 4
J x2 + y~
yWy 2 2 2
-— —, tomando a lo largo de la circunferencia x + y - a
-y
en sentido contrario de las agujas del reloj.
Desarrollo
Sea a(t) = (a eos t, a sen t), 0 < t < 2ti
*(x + y)dx - (x - y)dy _ | a(sen t + eos t)(-a sen t) - a(eos t - sen t)a eos tJ (x + y)dx - (-V- y)dy _ f2
J x2+ y 2 J)
-r
? 2 2 2
a~ cos~ t + a~sen t
di
‘ a1í-sen2t - sen t eos t + sen t eos t - eos2t) .
------------------------ :— — dt
a2
f 1' J :y ’ , 2*
I (—sen~t —eos" t)dt ——t i = —2/r
Jb ' 0
í
j 2¿/x+ x2c/y, donde C es la mitad superior de la elipse x=a eos t, y=b sen t,
que sigue en el sentido de las agujas del reloj.
Desarrollo
Sea a(t) = (a eos t, b sen t) de donde

-í
■r
(-ab2ser?t + a2b eos3t)dt
[-ab" (1- eos t)sen t + a~b(1- sen^t) eos t]dt
r 7 2/ cos3¿. 21 / ser?tx #°
= [-a¿) (-cos¿ + ------- ) +a~b(sent--
= [-a62(-1 + i ) + «26(0 - 0)] - [-a/,2(1- 1 )]
2316 j eos ydx-senxdy , tomándola a lo largo de segmento AB de la
Jab
del segundo ángulo coordenado, sí la abscisa del punto A es igual
ordenada del punto B igual a 2.
Desarrollo
9 2 lab2 lab2 lab2 4 2
= - a b - ( - - ) - ( - —— ) = - — + —— = - a b 2
3 3 3 3 3
Sea a(t) = (-t,t), -2 < t < 2
eos y d x - sen x dy =
Jab
(-eos t-sen(-t))dt
ú -
eos t + sen t)dt
directriz
a 2 y la
2317
/ 2
-(-sen t - cost) / = (-sen 1 - eos 2) - (-sen(-l) - cos(-2))
i
= (- sen 2 - eos 2) - (sen 2 - eos 2) = -2 sen 2
xy(ydx-xdy)
c x2+ y 2
, donde C es el lazo derecho de la lemniscata
r2 = a2eoslcp, que sigue en el sentido contrario al de las agujas del reloj.
Desarrollo
>-
/
/
(
71
/ 4
c -
x---- / —w
/ 31
‘ 4
r2 - a2eoslcp
lyjcoslcp
x - r eos cp- a eos <py]eos lep
[ v = r sen (p- a sen cp^jeoslcp
i
xy(ydx-xdy) _ j*4 a2sencpeoscpeoslcp(-asencpsen3cp-aeoscpeoslcp)
2 2
c xA-+ y*. f a2eosltpeos2<p+ a2eosl(psen2(p
d(p
■ 4 ‘
sen cpeos cp(sencpsen 3cp+ eos cpeos 3cp)
dep
71
a |*4
" 5 h
sen l<peos 4(pdcp,= 0
4 impar
2318 Calcular las integrales curvilíneas de las expresiones diferenciales exactas
siguientes.

*2,3)
a) I x dy + vdx
4-1,2)
Desarrollo
r - 3) (<2-3> ,(2,3)
xdy + y d x - I d(x,y) = xy / = 6 - ( - 2) = <
4~U) 4-1,2) ' H*2)
f4o.i
<3,4)
b) | x dy + y¿/x
U)
Desarrollo
r ' *2 + / / <3’4> 25I xdy + ydx = --------/ = —------ = 12
•tan 2 '
í
2 / (0,1) 2 2
<i,D
c) I (x + » (d r + Jy)
*0,0)
Desarrollo
*U) *1,1) . v2
(x + v)(¿/x + dy) = (x + y)d(x + y) - /
4o,0) 4 o,0) 2/
(x + v)2 / (1,1)
[XZ A L / = 2 - 0 = 2
2 / (0,0)
^(2,1) •(lx_ xclv
d) i -—1— - (por un camino que no corte al eje OX)
4i.2 ) y
Desarrollo
r ^ y . = f " d(f ) = £ / ft!,= 2 - í = l
J(i,2) - y~ 41,2) y y ' f ’2) 2 2
x Cx’y)dx+dy
e) I— —— (por un camino que no corte a la recta x + y = 0)
41,1) x + y
2 2
2319
Desarrollo
x,y)
Í *,y)
L,I) * + .y
2 2
dx + dy
= ln(x + y)
¿x2>y2)
f) <p(x)dx+ i//(y)dy
4 -V,, V, )
Desarrollo
¿x2>y2) 2 rv2
<p(x)dx +t//(y)dy = I cp(x)dx+ I <//(y)dy
A w ) 4>’i
Hallar las funciones primitivas de las expresiones subintegrales y calcular las
siguientes integrales.
Í
'3,0)
(x4 + 4xy2>)dx + (6x2y 2 - 5 y4)dy
-2,-1)
Desarrollo
dP _ i ? 2
[P(x, y) = x4 4xj3 dy ^
1£?(*,J) = 6x2y 2 - 5y 4£^? = 12Xv2
dx
dP dQ _ u .
como — = — es exacta => d í(x,y)
dy dx
talqoe y
dx qy
dx
y) - x4+ 4xv3 integrando

/(x , y) = J(x4 4-4xy3)dx + g(y) “ + 2x2;/34-g(y) derivando
. 6 ,V + S w = e t a r t =6^ V - 5 /
dy
gy) =-5y => g(y) =- y 5
r5
X - 2,3 „5f(x ,y ) =— +2x y - y
<3,0) 1 ^3,0)
df(x,y)
■i)Í
3,0) ¿ 3 ,0
(x4 4-4xy3)¿/x+ (6x2v2 - 5>>4)dy = I
-2 , - 1) ~ ^ 4 - 2 ,-
/ (3’0) 243 32
fix, y ) / = /( 3 ,0) - / (-2,-1) = (— > - ( - - - 8 + 1) = 62
' (-2,-1) 5 5
b) I ( i ^ 7 + j0<fr + ( r = = r + x)dy
*o,o) ^ x - + y ¿ 4 X + y
Desarrollo
í
(— L = + y)dx + ( :
y x + y ¡x-+ y¿
xdx ydy , , xdx +ydy
+ _ ^ =;^ = r _l_ ydx +xdv = — = = = = ^ - 4 - ydx +xdy
x2 + y 2 'J 7 7 7 Í V v '~ 4
= d(-Jx2+ y 2) + d(xy) = d(y]x2 + y 2 + xy)
Í ( - ? = = ^ + v)í/x + ( ■; -1' ■+ x)</y = f
40,0) yJX- + y ¿ yjx¿ + y¿ 4o,0)
4-j2 H^xy)
2320
2321
— (J~jC ~+ ~y2 + XV) / — V 2 4-1
/ (0,0)
Calcular la integral
Í x dx 4- ydy
1>/l + X2 4- V2
tomándola en el sentido de las agujas del
x2 v2
reloj; a lo largo del cuarto de la elipse — 4--— = 1, que se encuentra en el
¿r Zr
primer cuadrante.
Desarrollo
Y1
(0,b)
M a '°) .
X
rx£ ^ L = fV^1 + X 2 + y 1 4 a.O)
= ¡ +x2 + y 2 / '
/ (
2 2
4-X 4-y )
T ~ J / (° f
(«,0)
= VTT/?2"- vT~ <72
Demostrar, que si f(u) es una función continua y C es un contorno cerrado
2 , ,.2n
“regular a trozos'’ la f ( x ¿ +y ¿)(xdx +y dy) = 0
Desarrollo
Sea w= x“ +>’ => — = xdx +ydy
/( * 2 + y2)(xdx +ydy) = 1 J/(m )<*/ = 0
cjl /( x 2 + y 2)(x í¿r + y ¿/y) = 0

2322 Hallar la función primitiva u, sí:
a) du = (2x + 3y)dx + (3x - 4y)dy
Desarrollo
[dP
Sea
j P = 2x + 3y
[Q = 3 x -4 y
oy
áQ
dx
= 3
= 3
dP SO _ ,
Como — = — - es exacta :=> d u tal que
dy dx
du
&
= P = 2x + 3y , integrando u = (2x +3y)dx + g(y)
*
u = X“ + 3xy + g(y ), derivando respecto a y
cu
— = 3x + g y) - Q = 3x - 4 v
5y
g '(y) = —4y => g(y ) = ~2y 2 u =x~
b) du = (3x2 - 2xy + y 2)dx - (x2 - 2xy + 3y2)dy
Desarrollo
„ . du , , cw . o *
Como du = — ax + — ¿/y entonces — = 3x“ - 2xy +- y‘
dx dy dx
w= I(3x~ - 2xy + y )dx + g(y)
u = x3- x2y + .xy2 + g (y ), derivando respecto a y
+ 3xy-2y2
, integrando
2323
-x + 2xy + g '( }) - -(x~ -- 2xy + 3v“)
cy
gy)=*~-3y2 => g(y) = - y ' w- *3-x~y + xy2 - y 3
, dx dy
c) du = ------ + -
X+ )’ X+ >’
Desarrollo
Jx ¿/v dx + í/v d(X+ y)
dll = --------h —- = ----— ----------- :—
x + y x+*y x + y x + y
>)fc/(x + y
J x + y
In | x + y I u —ln | x + y
Calcular las siguientes integrales curvilíneas, tomadas a lo largo de curvas en el
espacio.
J (y —z)dx + (z —x)dy + (x .v)dz , dónde C es una espira de la hélice circular
x = a eos t, y a sen t, z = bt, correspondiente a la variación del parámetro t
desde 0 hasta 2ti.
Desarrollo
J (y - z)dx + [z - x)dy + (x - y)dz ~ [(a sen t - bt)(-a sen t) +
-r
+(bt - a eos t)a eos t + (a eos t - a sen t)b]dt
( - asen2í + bt sen t + bt eos t - a eos2t + beos t - bsen t]dt

2324
2325
~ r [-a 4-b(t - t + b(t 4-1)eos t]dt
.27T
= a[-at + b(-t eos 14-2sen t + t sent + 2eos t)]J
= a[(-2atu - 2b7i 4-2b) - (2b)] = -2a7u(a + b)
ydx + zdy + x d z , donde C es la circunferencia x = R eos a eos t,
í
y = R eos a sen t, z = R sen a (a = constante) recorriendo en el sentido del
crecimiento del parámetro.
Desarrollo
c ju ’dx 4- r dy 4- x dz - [/? eos a sen t(-R eos a sen t) 4-
= [ - ^ 2cos2a
- f
4-RsenaR cos a cos t + Reos a eos t.0]dt
sen2t 4-R2sen a eos a eos t]dt
r eos2¿z(l-cos2í)
[--------------------------hsen a eos a eos t]dt
ni r eos2a eos2a sen 2t/
= R I---------- 14-------------------f sena cosa sen t] / = -R~ eos' a.n
2 4 / o
xydx +yzdy +zxdz, donde OA es el arco de la circunferencia
.271
i
x24-y2 + z2 = 2Rx, z = x, situado por el lado del plano XOZ, donde y > 0.
Desarrollo
2326
z = x => 2x2 4-y2 - 2Rx , paramétrizando
X2 _ ^ + Z =0 =>
2 2 2 4
R R ¡2R
donde jc = — I-—eos?, y —------ sent
2 2 2
será a(t) = (—+ —cost,^ - R s e n t,—+ —cost), 0 <t<^~
2 2 2 2 2 2
xydx + yzdy + zxdz = [(—+ —cost)—^-R sen t{——sent) +
+— Rsen í(—+ —eos t)— £ eos / + (—+ —eos t)2( - —sen t)]dt
2 2 2 2 2 2 2
r~ ¡ 2 /?3 R}
= r r ---- -7?3(1+ c o s í ) s c t 7 2/ + — (1+ eos/).sew/cosf------(1+ eosí) sent]dt
i, 8 4 8
24 32
Calcular las integrales curvilíneas de las diferenciales exactas siguientes:
* 6 ,4 ,8 )
a) I xdx + y d y - z d z
•*1,0-3)
Desarrollo
* 6 ,4 ,8 )
•*1,0,-3)
xdx + y d y - z d z
1,0,
6A8) x2 + y2 - z 2d{— — )
-3) Z

x2+ y 2 - z 2 /<6-4-8) 1
----------------/ = “ [(36 + 16-64)-(1 + 0-9)] = -2
2 / (i,o,~3) 2
b) í
c)
a,b,c)
yz dx + zxdy + xy dz
i,i,D
Desarrollo
Ma,b,c)
yzdx + zxdy + xydz = I d(xyz) = xyz /
ni,1,1) 4i,U) '
I
(a,b,c)
( 1,1,1)
3,4,5) , ,
xdx + ydy + zdz
x2 + y 2 + z2
Desarrollo
r * di¿
•*0,0,0) yjx2 + y 2 + z 2 Jo.o.o)
jc2 +.y2 + z 2)
: ^ 2 + y + Z 2 / ( " = 5V2
' (0,0,0)
I xy
*,M)
1.
yz dx + zxdy + xy dz
d)
xyz
Desarrollo
^^'xy1yzdx + zxdy + xydz
* ------------------------- -- I d(nxyz)
4i,U) xyz J:i,1,1)
= ln(jtyz) *y = In 1- In 1= 0
1 d , U )
C)
2327
2328
FORMULA DE GREEN.-
Valiéndose de la fórmula de Green, transformar la integral curvilínea
/ = (j^ yjx2 + y 2dx + y[xy + ln(x + y]x2+ y 2)]dy , donde el contorno C limita
un recinto S.
Desarrollo
Ip = i
IQ ••y[xy +ln(x+V*2+j2)
dP
i
dQ 2
d x ~ y +
x2 + y 2
í x2 + y 2
= ( ^ ^ x 2 + y 2dx + y[xy + ln(x + J x 2~+y2)]dy = J J ( ~ - ¿y
. = = )dx dy= i y 2dx dy
J T T v 2 ' J Jíf< X + y Vx +y~
Aplicando el teorema de Green, calcular I = (^ 2(x~ + y 2)dx + (x + y )2d y ,
donde C es el contorno de un triángulo, cuyos vértices están en los puntos
A(1,1), B(2,2) y C(l,3) y que recorre en sentido positivo. Comprobar el
resultado obtenido, calculando la integral directamente.
¡P = 2(x2 + y 2)
[Q = (x + y)2
dP_
dy
dQ
dx
Desarrollo
= 4y
= 2(x +y)

2329
/ = ( ^ 2(x2+ y 2)dx + (x + y)2dy=
2(x - y)dx dy
■ í ' f
2{x-y)dy)dx
■r
4-.V
(2x y - y 2) j dx
= 4 j (Ax-x2 -A)dx = 4(2x2 - ? j - A x ) / * = 4 ( - y + 2) = —40
i
Aplicando la fórmula de Green, calcular la integral - X 2y d x + xy2d y ,
donde C es la circunferencia x2 + y 2 = R1, que se recorre en sentido contrario
al de las agujas del reloj.
Desarrollo
| P = - x 2y
1Q =xy2
dp
dy
dQ
dx
- = - x
aplicando la fórmula de Green
í-x y dx + xy dy = | |(---------- )dxdy
dx dy
s
= JJ(.v2 + y 2)dxdy = j[ r rdr)d6
í
}?4 R47T
/ d d = — .2jt
A l o A 2
2330 Por los puntos A(1,0) y B(2,3) se ha trazado una parábola AmB, cuyo eje
coincide con el eje OY, y su cuerda es AnB. Hallar la integral
Q (x + y)dx - (x - y)dy directamente, aplicando la fórmula de Green.
JAmBnA
Desarrollo
y - k = 4px
para A( 1,0) se tiene: - k = 4p
para B(2,3) se tiene: 3 - k = 16p
1 1 1 ientonces p = —, k = 1
4
2
Luego y = x -1
(x + y )d x -(x -y )d y
AmBnA

2331
2332
= _2[-1 - 2 + 4] = - 2[ ~ — + 4] = - -
3 2 6 J 3
Hallar la integral I (y2dx + (i + xy)dy) si los puntos A y B están
JAmB
situados en el eje OX y el área limitada por el camino de integración AmB y
por el segmento AB, es igual a S.
Desarrollo
Por diferencial exacta se tiene:
,0)
Jr f^’o) (b| exy[y2dx + ( + xy)]dy = diye^) = ye3* /
AmB J L O ) (a
= em (0 )-eai0)(0) = 0 - 0 = 0
Calcular la ( í — j — examinar dos casos:
Je x2 + y
a) Cuando el origen de coordenadas esta fuera del contorno C.
b) Cuando el contorno rodea n veces el origen de coordenadas.
Desarrollo
2333
2334
- i
Je * +y
¡
x dy - y dx
Je * + /
Demostrar que si C es una curva cerrada, entonces: cos(x,n)dS = 0 donde
S es la longitud del arco y n la normal exterior.
Desarrollo
Si se supone que la dirección de la tangente coincide con la dirección del
dy
recorrido positivo del contorno, tendremos que cos(x,n) = cos(y,0 = — , por
Cto
consiguiente:
(jl cos(x,k)J5 = ( |' ~ d S = ( j dy = 0 (j> cos(x,n)dS = 0
Valiéndose de la fórmula de Green, hallar la integral
/ = ( ^ [xcos(x, n) + y sen (x,n)]dS donde dS es la diferencial del arco y n, la
normal exterior del contorno C.
Desarrollo

2335
Q [xcos(x,w) + ysen{x,n)]dS = Q (x - - y — )dS = Q x d y - y d x
Jc Je dS dS j c
í [x cos(x, n) + y sen (x,n)]dS = Q x d y - v d x
c Je
P = - y
Q = x
^ = -1
dy
dQ
dx
= 1
í íf<
[xcos(x,n) +ysen(x,n)]dS = |- ^-)dx dy = ^ I d x d y = 2S
[xcos(x,n) + y sen(x9n)]dS - 2 S
Calcular la integral
i
dx - dy
tomada a lo largo del contorno del cuadrado
Jc * +y
que tiene sus vértices en los puntos A(1,0), B(0,1), C(-1,0) y D(0,-1), con la
condición de que el recorrido del contorno se haga en sentido contrario al de
las agujas del reloj.
Desarrollo
-
Integrates Màitiples y Curvilíneas 471
S dx - dy f dt —dt C' --dt —dt ^ ? —dt —(—dt) f dt +dt
Jc x ^ y i) 2t -1 X] 1 J) -2t 4-1 J j -i
f° 7°
= 0 - J 2di + 0 - 2dt = -4 I dt = -At j ^= -4(0..+1) = -4
■■ í
dx - dy __
D) APLICACIONES DE LA INTEGRAL CURVILINEA.
Calcular el área de las figuras limitadas por las siguientes curvas.
2336 Por la elipse x = a eos t, y - b sen t
Desarrollo
A - I ('§) xdy - vdx = -- í (a eos i beost + b sent a sent )dt
2 l e ' ' 2 i)
= — J (eos t + sen“t)dt = — J dt-- j Q~
2337 Por el astroide x = a eos3/, y = a sent
Desarrollo
X
A x d y - y d x = A [ ^ (aeos3t.3aserrtcost -(ciseiPt)(-3aeos21sent))dl
- 2 (Sa2eos4tisen21+3a' setf i eos“ t)dt

2338
2339
= 6¿r p sen11eos2tdt = - - f 2sen22i,dt f 2(1-
J) 4 | 8 1/
eos 4t)dt
3a2 sen At ¡~ 3a2nsen ¡
4 -1' — r 1/ . «
Por la Cardioide x = a(2 eos t - eos 2t), y = a(2 sen t - sen 2t)
Desarrollo
^ = x d y - y d x ~ 2[~ (t72(2cos¿- cos2/)(2cosí-2cos2/)-
I"2
f
2(2 sen t - sen 21)(-2 sen t + 2séti 2¿)]¿/¿
[(2eos/ - eos2¿)(2eos t - 2eos 2/)+ (2se/7/ - sen21)(2sent - 2s^/72/)]dt
2a2 I [(2 eos t - eos 2¿)(cos t - eos 21) + (2 sen t - sen 2t)(sen t - sen 2t)]dt
r
= 2a~ I ( 2 eos21+2sen21- 3 eost eos2 t- 3 sent sen2t +eos22t +sen22t)dt
- 2 a 1 (3 -3 eos 3t)dt = 2a2(3t - sen3t)J =6a2x
Por el lazo de Folium de Descartes x3+ y3- 3 axy = 0 , a > 0
Desarrollo
0 3at 3at2
Sea y = tx => x = ------ , y --------
1 + r 1+ r
2340
U
A = —0 xdy - y dx, donde la curva es:
c
. . 3at 3at2
a(t) = (-----— j ) , 0 <t<co
1+ r 1+ r
, , 3aí
, «(— 7)
3 1+ /3
„ 1 r 3at ,,3a/2 x 3aí'
.4 = - I ------d (-----T) -------
2 Jb i + r i + r i+t
A = 9a2 f - ^ r j d t =9a2[------
J, (1+ í3)2 3(1+ í ) ¡
A = 3a2(0 + 1) = 3a2«2 A = 3a2u2
Por la curva (x + y )3 = axy
Desarrollo
at at2
Sea y = xt => (x + xí) =ax í de donde x = -------r-, y = - ,
* (1+ í)3 (1+0
i N / G í2
Sea a (0 = (-------r , ------- t)
(1+ 0 (1+ 0
" ì i
A-'Ú
A - i f ? -*» ZLd t = JL A = —
2 1 (1+ 0 7 60 60
ai ^ a/2 % at2 at ,
--------- í/( --------- ) ---------- - d ( ---------)
(1+ 0 0 + 0 (1+ 0 (1+ 0
4 - 2 í 3- 2 t2- t , a . , a

2341 Una circunferencia de radio rueda sin resbalar sobre otra circunferencia fija,
de radio R, conservándose siempre fuera de ella, suponiendo que — sea un
r
número entero, hallar el área limitada por la curva (epicicloide) que describe
cualquiera de los puntos de la circunferencia móvil. Analizar el caso particular
en que r = R (cardioide)
Desarrollo
La ecuación de la epicicloide tiene la forma:
/n R + r . R + r
x = (R + r)cost - r e o s ------ 1 ; y = (R + r)sent - r sen-------1
r r
%
donde t es el ángulo de giro del radio del circulo fijo, trazado en el punto de
contacto.
4 f
4 Í
x d y - y dx
R + r R+r
([(R + r)cost-rcos------- /][(/?+ r) eos ¿-(/? + r)cos------- t]-
r r
R+r R+r
-[(R + r)sen t - r sen-------¿][-(/? + r)sen t + (R + r)sen------- t])dt
r r
R + r C~ ? R + r •
A = ____— I [(R + r)(sen ¿+ cos t)-[(R + 2r) cost eos-------1-
R + r . + r 2 R + r n 7
~(R + 2r)(sent + sen------ ¿) + rcos -------t + rsen -------tdt
2342
A = (R + 2r)[t - —sen - - 1]/ A = (R + r)(R + 2r)n
2 R r i o
Una circunferencia de radio r rueda sin resbalar por otra circunferencia fija, de
radio R, permaneciendo siempre dentro de ella, suponiendo que — sea un
número entero, hallar el área limitada por la curva hipocicloide descrita por
cualquiera de los puntos de la circunferencia móvil, analizar el caso particular
en que r = ~ (astroide).
Desarrollo
La ecuación de la hipocicloide se obtiene de la ecuación de la epicicloide
correspondiente (ver problema 2341) sustituyendo r por —r es decir:
U_ y - y
x = (R-r)cost + rcos -----/ ; y = (R- r)sen t - r sen-------- 1
r ' r
donde t es el ángulo de giro del radio del circulo fijo, trazado en el punto de
contacto.
■-irx d y - y d x
^ ——y*
A = - I ([(/?- r)eost + reos —— í][(7? - r )eost - ( R - r )eos------ í]-
; f
_y. R —y
-UR - r)sen t - r sen------ /][-(^ - r)sen t - ( R - r)sen-------t])dt
r r
/? * i n R
I [(/? —2r) —(R —2r) eos—t]dt

2343
R - r P" R R - r r R i 2n
Á = ------ (R-2r) (1-cos- t ) d t = ^ — ( R - 2 r ) ( t - - - s e n ~ t) /
2 Jh r 2 R r ! o■ f
A = ~ ~ (R - 2r)(2x - 0) de donde A = (R - r)(R - 2t)k
R 3R¿
Para el caso en que r = — se tiene A = -----n
4 8
Un campo está engendrado por una fuerza de magnitud constante F, que tiene
la dirección del semi eje positivo OX. Hallar el trabajo de dicho campo, cuando
un punto material describe, en el sentido de las agujas del reloj, el cuarto del
círculo x1 + y 2 - R2 que se encuentra en el primer cuadrante.
Desarrollo
F - f . i => F = F , por definición se tiene:
—> —> —► —> —>
de donde d i - d x i + dy j => F - F iAB
wAB
- V f j 1
f B H*
F dx = F I dx = F.R
"0
■■■ Wab =F.R
2344 Hallar el trabajo que realiza la fuerza de gravedad al trasladar un punto
material de masa m, desde la posición A(x],yi,z]) hasta la posición
B(x2,y2,Z2) Xel eJe OZ está dirigido verticalmente hacia arriba).
Desarrollo
Fuerza de gravedad: x = 0, y = 0, z = -mg
z¡ < z < z2, z > 0
como x = y = 0 => dx = dy = 0
w = -mg dz = -mgz j = -mg{z2 - z, ) . w = ~mg{z2 - zx)
2345 Hallar el trabajo de una fuerza elástica, dirigida hasta el origen de coordenadas,
cuya magnitud es proporcional al alejamiento del punto respecto al origen de
coordenadas, si el punto de aplicación de dicha fuerza describe, en sentido
x2 y 2
contrario al de las agujas del reloj, el cuanto de la elipse — + — = 1 situado
a
en el primer cuadrante.
Desarrollo
Fuerza elástica x = kx, y = ky
6,0)
w Í (b,0)
a,0 )
-kxdx -kydy
k o o /(°¿> k 1 o
w = - 4 (x2 + y 2) = - U b 2 - a 2)
2 f (a,0) 2

2346 Hallar la función potencial de la fuerza R(x,y,z) y determinar el trabajo de
dicha fuerza en el trozo de camino que se da, sí:
a) x = 0, y = 0, z = -mg (fuerza de gravedad) y el punto material se desplaza
desde la posición A(xl9yx; í ) a la posición B(x2,y2,z2) •
i ux uy 7TZ
b ) x = — - , y = — - , z = — — , donde u = constante y
r r r
V2 2 2 •r
x + y + z (fuerza de atracción de Newton) y el punto material se
desplaza desde la posición A(a,bc) hasta el infinito.
c ) X = - k 2x , Y = - k 1y , Z = - k 2z , donde k = constante (fuerza elástica),
estando el punto inicialdel caminoen la esfera x2+ y 2 + z2 =R2 y el
final de la esfera x2 + y 2 + z2 = r2(R> r)
Desarrollo
Fuerza potencial = diferencial exacta x = y = 0, dx = dy = dz, z = -mg
w = |* -mgdz = -mg(z{ —z2)
-uxd x -u yd y -u dz u
- f -
b) w= x dx+ y dy + z dz = -
2 2 2x1 4~a2+b2 +c2
(x + y + z ) 2
c) X = - k 2x , Y = - k 2y , Z = —k z
Í X
w = - k 2 Ixdx + ydy + zdz es exacto
w = - k 2( f ( R 2) - f ( r 2))
7.10. INTEGRALES DE SUPERFICIE.-
ler. INTEGRALES DE SUPERFICIE DE PRIMER TIPO.-
Sea f(x,y,z) una función continua y z = <p(x,y) una superficie regular S.
La integral de superficie de primer tipo representa de por sí él limite de la suma
integral.
íí/(*,y,z)dS = lim
_ s __________________________________
donde AS, es el área de un elemento i de la superficie S, al que pertenece el
punto (x-,yi9z¿); el diámetro máximo de estos elementos en que se divide la
superficie tiende a cero.
El valor de está integral no depende del lado de la superficie S que se elija para
la integración si la proyección C de la superficie S sobre el plano XOY es
uniforme, es decir que cualquier recta paralela al eje OZ corta a la superficie S
en un sólo punto, la correspondiente integral de superficie de primer tipo se
puede calcular por la fórmula:
Sh ,y, z)dS = JJ/(x, y, <p(x,y))Jl + <p';(x, y) + <p';,(x, y)dx dy
s______________ c__________________________ _
2do. INTEGRAL DE SUPERFICIE DE SEGUNDO TIPO.-
Si P = P(x,y,z), Q = Q(x,y,z) y R = R(x,y,z) son funciones continuas y S+ es
la cara de una superficie regular S que se caracteriza por la dirección de la
normal n(cos a, eos p, eos y) la correspondiente integral de superficie de
segundo tipo se expresan de la forma siguiente:

j j r j y d z + Qdzdx + Rdxdy = JJ*(Pcosa + £)cos ß + Reosy)dS
s+ s+
Al pasar a la otra cara S de la superficie, está integral cambia su signo por el
contrario.
Si la superficie S está dado de forma implícita F(x,y,z) = 0, los cosenos
directores de la normal a esta superficie se determinan por las fórmulas
1 dF _ 8F 1 dF
eos a - — .— , eos p ——.— , eos / = —.—
dF 2dF 2 dF 2
— Y + (— ) + (— ) y el signo que ponga delante del
ex ay dz
radical debe elegirse de acuerdo con la cara de la superficie S que se tome.
3er. FÓRMULA DE STOCKES.-
Si las funciones P = P(x,y,z), Q = Q(x,y,z) y R = R(x,y,z) tienen derivadas
continuas y C es un contorno cerrado, que limita una superficie bilateral S, se
verifica la fórmula de STOCKES:
donde D = ± (
cf P dx + Qdy+ Rdz = fj[(—-~)cósa+ cós/?+(--—)eos^]dS
Je J j d y d z 8z dx dx dy
donde cos a, cos ß y eos y, son los cósenos directores de la normal a la
superficie S, debiendo determinarse la dirección de la normal de tal forma que,
desde esta, el recorrido del contorno C se efectúa en sentido contrario al que
siguen las agujas del reloj (en un sistema de coordenadas de man¿ derecha).
Calcular las siguientes integrales de superficie de primer tipo.
2347
2348
Jf
(x2 + y 2)dS , donde S es la esfera x2 + y 2 + z 2 = a2
Desarrollo
2+ y 2 + z 2 = a2 => z = -y/«2 - * 2 - J 2
x 8z y8z _
8x JO2 -x2 - y 2 ’ Qy J a 2 - x 2 - y 2
| | ( x 2 + y 2)dS = ¡¡(x- +j,2)Jl + ($í)2 +(^-)2dxdy
Jf
(x2 + y 2)Jl + T r tr t-------------------------- J + ----------4 j dxdy
V a - x - y a - x - y
2 ' /
yja2 - xa -x~ - y
■ • r i
-dxdy
:dr)dd
3 i, 3
I yjx2 + y 2d S , donde S es la superficie lateral del cono ~T + ~J~~T ~ 0
J J a a“ b~
(0 < z < b)
Desarrollo

2349
x y z b ¡~~2 2
+ ----= O => z = - J x + y 2
a2 a2 b2 a
oz _ ¿>x 0z ¿y
& a j x 2 + y 2 ’ aj.x2 + y 2
j p x 2 + y 2dS = j j / x¡ S + y zdS = JJV x2 + y 2 ll + ( ^ ) 2 + ( ^ f d x d y
S D
- J P
x2 + y 2 l1+
, 2 2
b x b2y 2
4-——~-----—dx dy
a2(x2 + y 2) a2(x2 + y 2)
2 , 2 Va2 +¿>2 j j
x + y .------------íürí/y
■ J FD
~ Í F
x2 + y 2¿/xdy
4 a 2
— r(ra Jb J)
r = * w =i £ w i E
Calcular las siguientes integrales de superficies de segundo tipo.
JJ*yz dy ^z + xz dx dz + xy dx dy , donde S es la cara exterior de la superficie
del tetraedro limitado por los planos x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = a.
Según el teorema de Gauss.
Desarrollo
2350
Jíf
(— + + — )dx dy dz = | Pdy dz + Q dzdx + Rdxdy
dx dy dz
como
P = yz
Q = xz
R=xy
dP_
dx
oQ
Sy
dR
. dz
= 0
= 0 luego se tiene:
= 0
ff
yz dy dz + xz dz dx + xy dxdy ■
W p 6- § + di )d xd yd ~‘
JÍF(0 + 0 + 0)dx dydz = 0
2 2 2
I Izdxdy , donde S es la cara exterior del elipsoide ^ + —- + — = 1
JJ a2 b2 c¿
Desarrollo
x2 y 2 z2 x2 y 2 z2
— + 2t + - t = 1 => ~ 2 + 7T = l ~ —
a2 b2 c2 a b c
el eje mayor es: aJ 1— j. ; el eje menor es: b j 1-
Área de la elipse es: A = 7i(base mayor)(base menor)

2351
JJ*dx dy = 2n iz dxdy = 2n I a b ( - ^ ) d z = 2 x a b (z-^— )j = 27rab(c-^—^)
Jíz dxdy =
Anabc
JJx dydz + y dzdx + z dxdy , donde S es la cara exterior de la superficie de
la semi esfera x2 + y 2 + z 2 = a2, (z > 0).
Desarrollo
Según el teorema de Gauss.
dP
P = xz
Q = y 2
R - z 2
■- 2x
dx
dQ .— = 2y
dy
dR
dz
■2z
JJx dydx +y dzdx +z dxdy — (2x + 2y +2z)dx dy dz
í f
r(r eos 6)dz)dr)d0 = aAarcsen 1=
r.r sen 0 dz)dr)dO
352
4 £ 4
Cl 71 _ / 2 Cl 71
-----(-cos<9)/ z = --------
2 / o 2
'H 'f
4
r.zdz)dr)dO =
por lo tanto se tiene:
JJ
4 4 4 4
a ;r a ;r a ; r ¿z ;r
x dydz + y dzdx + z dxdy = — ------ — + ^ ^
Hallar la masa de la superficie del cubo 0 < x < l , 0 < y < l , 0 < z < l , s i l a
densidad superficial en el punto M(x,y,z) es igual a xyz.
Desarrollo
Sobre el plano XY, 0 < z < 1
Mx
Sobre el plano XZ, 0 < y < 1
- -
Sobre el plano YZ, 0 < x < 1

2353
x = l => Jl + (0 ) 2 + ( ^ ) 2 =1
M3
* if//* ■
3
por lo tanto Masa = M = M X+ M 2 + M3 = -
Determinar las coordenadas del centro de gravedad de la cápsula parabólica
homogénea az = x2 + y 2, (0 < z < a)
Desarrollo
p(x,y,z) = 1, 0 < z < a
1 /2 2 dz 2x dz 2yZ = - ( * Z + / ) ZZ> — = — , — =
« ex a dy a
z = a =>az = x2 + y 2 => x2 + y 2 =¿*2
M = ( ____ P(x,y,z) l + (— ) + (— )
V dyI'C
r<£
2 /dz 2
= I ( I ,____J l + ^ - + l ¿ d y ) d x
Jb JL,/?I7V a a 2
= f ( I ,____-y ]a 2 +4(x2 + y 2)dy)dx
x = rco$6
=> dx dy = r dr d0
y = r sen 0
2354
A/ = — ( I " rfa2 ~+Ar2dr)d9 = £-£(5>/5-1)
M xy= ^ z p(x,y,z)da = ( J ^— Va2 +4r 2dr)dd =-^-(25y¡5 +1)
R
- a(25V5+l)
M 10(575-1)
x = y = 0, pues la cápsula es simétrica respecto al eje Z.
Hallar el momento de inercia de la parte de superficie lateral del cono
z = yjx2 + y 2 (0 < z < h) con respecto al eje OZ.
Desarrollo
r ~2 2 dz x dz y
Z = yj x + y — - ------------
dx y¡x2 + y 2 dy ^ x 2 + y 2
R
z = h=> z = y¡x2 + y 2 => x2 + y 2 =h2
/, = j*j*(x2+ y 2) l 1+ Y - p y dy dx = J l jj(x2+ y 2)dydx
x = r eos 6
=> dx dy = r dr d0
y - r sen 0

2355
Iz =y¡2 + y 2)dxdy = y¡2 JJr2.rdrd& = 42 J r3dr)dO
V2
4 fw o 4 / 0 2
Valiéndose de la fórmula de STOCKES, transformar las integrales:
a) (x - yz)dx + (y2 - zx)dy + (z2- xy)dz
Desarrollo
b)
í ydx + zdy + xdz
P = x - y z
Q = y 2
R - z 2 - xy
a)
¿W dQ d P_ 8 R 8Q__8P_
dy dz 8z dx dx 8y
8 R _ 8 Q _ 0 M _ ^ - 0
dy dz dz dx ’ dx dy
í (x -yz)dx + (y -zx)dy + (z -xy)dz
J>
. . r,dR 8Q 8P 8R 0 8Q 8P.
= [(------—)cosa + (—— — )cos/? + ( - — — )cos y]dS
dy dz dz dx dx dy
íf<= (0 cos« + 0cos/? + 0cos/)£/.S' = 0
b)
P = y
Q = z
R = x
dy dz
^ = 0 , M = 1
dz dx
^ = 0 , ^ = 1
dx dy
M _ d Q = _ i
dy _dz
d P _ d R _ _
dz dx
dQ_dP
dx dy
= -1
2356
( J ydx + zdy +xdz =
,dP dR n dQ d P ■
)cosa + (----------------------------)eosp + (— -)eosy]dS
dz dx dx dy
íf<(cos a + cos p + eos y)dS
Aplicando la fórmula de STOCKES, hallar las integrales que se dan a
continuación y comprobar los resultados, calculándolas directamente.
í (y + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz, donde C es la circunferencia
x2 + y 2 + z 2 = a2, x + y + z = 0
Desarrollo
P = y + z
Q = z + x
R = x + y
dy dz
^ - ^ = 1-1 = 0
dz dx
^ = 1-1 = 0
dx dy
i (y -l-z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz
r.8R 8Q. ,8P 8R. _ ,8Q 8P,
[(— - — )cosa + (—— — )eos ¡5+ ( - — — )eos y]dS
dy dz dz dx dx dy
Jf(0cosa + Ocosytf + O cos/)^ = JJ0.¿/*S, = 0
5 5
J>

2357 (y - z)dx 4-(z - x)dy + (x - y)dz , donde C es la elipse x2 + y 2 = 1, x + z = 1
Desarrollo
Según el teorema de Stockes: J>.rdt(f)dS = ( j f.dr...(*)
D
como ndS = dS = ruxrv du dv expresamos (*) como JJ/;,xrv.ro/f du dv
D
tomada sobre la región D sobre el plano uv
f(y - x, z - x, x - y) expresado como vector, tomado sobre el plano x + z= 1 y
la circunferencia x2 + y 2 = que es D.
Si las ecuaciones del plano se toman como
x = u
y = v la normal positiva n tiene
z = 1- u
la dirección de ruxrv = [1,0,-l]x[0,1,1] = [1,0,1]
dx dy dz. dx dy dzx t ,
Donde ru = rv = (— ,— ,— ) y el elemento de area vectonal
cu cu cu dv dv dv
es: n.dS = ruxrvdudv = [l,0,l]¿/x dy
ahora él ™ ,(/> = « S J ,
dy dz dz dx dx By
= (-1 - 1, -1 - 1, -1 - 1) - (-2y-2^2)
Luego *nrot(f)dS —j*j*[l,0,l].[—2,—2,—2]dxdy = —4 I H
pero D es el área de la circunferencia de radio 1 entonces
2358
2359
(y - z)dx + (z - x)dy + (x - y)dz = -4 JJ<ix¿/y = -4 (nr2) = | -4ti | = Atí
D
x dx ■+■(x + y)dy 4-(x 4-y 4-z)dz , donde C es la curva x = a sen t, y= a eos t,
z = a(sen t + eos t) (0 < t < 2n)
Desarrollo
—>
a(t) = (a sen t,a eos t,a(sen 14-eos t)) , 0 < t < 2n
x dx 4-(x 4-y)dy 4-(x 4-y 4-z)dz =
i
t [asen t(a eost) 4-a(sen 14-eost)(-a sen t) 4-2a(sen 14-eost)a(eos t - sen t)]dt
¿2k
= a2 I [sent cost -se n 21-sen t cost 4-2(cos2t-s e n 2t)]dt
■a2 I (-?)sen21+ 2cos2t)dt = a2 I [ - — —CQS— 4-l4-cos2/]^f n
(~3sen2t+ 2cos2t)dt = a2 I [
" ' í 1 H *
-eos 2t)dt = -n a 2
Q y 2dx +z2dy +x 2d z , donde ABCA es el contorno del A ABC con los
J a b c a
vértices en los puntos A(a,0,0), B(0,a,0) y C(0,0,a)
Desarrollo

AB = {A + ( B - A ) t / 0 < t < l } = {(a - at, at, 0) / O< t < 1}
Q y 2dx + z2dy + x2dz
J a b
■ í
[a2t2(-adt + 0) = - —
5C = {5 + (C -f i) í/0 </ <l }
= {(O, a - at, at) / O< t < 1j
4 - 'Joc
(0 + a2t2(-adt) + 0 = - —
CA = {C + (A - C ) t/ O< í < 1}= {(at, 0 , a - a t ) / 0 < t < 1}
(Í - :JC A
y dx +zjfly + x dz = -a
h ' - T
í 2 i 2 i 2 i a3 a? ci3 t.
y~dx + z dy +x dz --------- ---------- = -a
ABCA 3 3 3
2360 ¿En qué caso la integral curvilínea / = ( J Pdx + Qdy + Rdz será igual a cero,
para cualquier contorno C?
Desarrollo
V curva cerrada C se tiene I = 0 entonces
P dx + Q dy + R dz es una diferencial exacta
8 R _ d Q dP dR dQ_dP_
dy dz dz dx ’ dx dy
- i
7 = 0 Pdx + Qdy + Rdz = I l[(— )cosor +
&dy d z '
d P d R d Q d P
+ (-— — )eos P + i - — — )eos y]dS
dz dx dx oy
íí-= (0.cos a + 0.eos/? + 0.cos/)¿/S = o.dS = 0
íí»
■ i
7 = CJ> Pdx + Qdy + Rdz^ 0
7.11. FÓRMULA DE OSTROGRADSKI - GAUSS.-
Si S es una superficie regular cerrada, que limita un volumen V¡ y P = P(x,y,z),
Q = Q(x,y,z) y R = R(x,y,z) son funciones continuas, junto con sus derivadas
parciales de 1er orden en el recinto cerrado V, se verifica la fórmula de
Ostrogradski - Gauss.
JJ(P eosa + Q eos p + R eosy)dS = J í í (f +f ■ 1,dxiyd!
S v____________ v ___________________________________
donde eos a, eos p, eos y, son los cósenos directores de la normal exterior a la
superficie S valiéndose de la fórmula de Ostrogradski - Gauss, transformar las
siguientes integrales de superficie, sobre la superficie cerrada S, que limitan el
volumen V (donde eos a, eos p, eos y son los cósenos directores de la normal
exterior a la superficie S).

2361
2362
2363
ifxy dx dy + yz dy dz + zxdz dx
Desarrollo
^ x y dx dy + yz dy dz + zx dz dx = J j y z c/ydz + zxdzdx + xydxdy
Jff[7 -(yz) + -7 -(zx) + (.xy)]dxdy dz
dx dy dz
ííí(0 + 0 + 0)¿/xdydz = 0
íí
íí
xydxdy+ yzdydz + zxdzdx = 0
x2dy dz + y 2dz dx + z 2dx dy
Desarrollo
j*Jx2(/ydz + y 2dz dx + z 2dx dy - | | | [Ixzdydz + y zdzdx + z ¿dxdy = I I x2+ — y 2 + — z 2]dxdy dz
dx dy dz
= 2 ( x + y + z)dx dy dz
ííí
íí
x cos a + y cos J3+ z eos y
- Clíj
Vx2 + / + z 2
Desarrollo
2364
P =
Q =
R =
J x 2 +_y2 + z2
i/x2 + y2 + z2
•y/x2 + y 2+ z2
dx '
dy
dz ’
2 2
y +Z
(x2 +_y2 + z2)2
x2 + /
3
(x2 + y 2 +z 2)2
x2 + /
3
(x2 + y 2 + z 2)2
íí
xcosa + y eos p + z cosy
,2 , 2 , „2
JJF= t i l ( ^ + ^ -+ ™ )d x d y d z
dx dy dz
ííí
2dx dy dz
V~~2 22x1 + y Á+ zz
f f du ou du
J J ( ~ cos« + — eos/? + — cosy)dS
dx dy dz
Desarrollo
P =
du
e - $ = >dy
R = d- 1
dz
dP cTu
dx dx2
dQ d2u
dy dy2
dR d2u
dz dz2
íí
.du du du
(— cosor + — cosp h------ eosy)dS
dx dy dz JJJ dx dy dz
s V
Jff

2365
2366
iffV
Valiéndose de la formula de Ostrogradski - Gauss, calcular las siguientes
integrales de superficies.
x dydz + y dzdx + z dxdy , donde S es la cara exterior de la superficie del
ff
cubo 0 < x < a, 0 < y < a, 0 < z < a
Desarrollo
J*^x2dy dz + y 2dz dx + z2dx dy = ííf - +2y +2z)dx dy dz
s v
= 2 J / J / . f (x + y + z)dz)dy)dx =2 j^ ( [(x + y)z + ~ ^ / dy)dx
= 2j”( [(x + y)a +^]dy)dx = 2 J ”(axy + +~ j y ) / dx
■2 J ( a 2x + a3)¿x = 2 a2( y + o x )/“ = 2 a 2( ^ - ) = 3a4
ÍP5
| xd y d z + y d z d x + z d x d y , donde S es la cara exterior de la pirámide
limitada por la superficie x + y + z = a, x = 0, y = 0, z = 0
Desarrollo
2367
2368
| | ( i dydz + y dzdx + z dx dy) = + 1+1)dx dy dz
s v
H
- x m a-x-y *1 ma-x
( I dz)dy)dx = 3 I ( I (a - x - y ) d y ) d x
= 3 ^ [ { a - x ) y - ^ - ] / a Xdx =3 J' dx = -3(a- x)3j “
= _ I [0- ^ ] = ^
3 3
j j x 3dydz + y 3dzdx + z 3d x d y , donde S es la cara exterior de la esfera
2 2 2 2
x + y + z = a
Desarrollo
j j x 3Jy dz + y 3dz dx + z 3dx dy = 3 | | J ( x 2 + y 2 + z 2)dx dy dz
s v
=3F (f (i PAsen<j>dp)d<¡>)d9 =| J * f d M 9
| { ^ s e n j d W e £ - c o s t/ ^ d d
3a5
dO = — a ti
5
“ - , 2 j
JJ(x2cosa + y 2eos/? + z2 eosy ) d S , donde S es la superficie exterior total

498
2369
Desarrollo
JJo2eosa + y 2eosj8 + z2eosy)dS = j j j ( 2x + 2y + 2z)dxdydz
S v
pasando a coordenadas cilindricas
x2+ y 2 =a2 => x = rc o s0, y = rse n 0, z 2 = -¿ '
a2
br
JJ(x2eosa +y2eosp + z 2eosy)dS = 2 J ( J ( r2(eos6 +sen9+-)dz dr dd
f n ma 2 br
( I [r(cos 0 + sen 6) + rj adr)dO
_ 2b r2* r
- r a Jo Jo
= 2b f2
i)
((eos 6 + sen 0)r3+ ^— )dr)dO
2a
[(eos 6 + sen 0)— + -----]d0
4 8a
2bu n ^ a3bO , lK= — [(sen6 - eos 0) — + ----------- 1
a 4 8 /o
J J (*2cosa + y 2eos p + z 2eosy)dS =
o
a2b2K
Demostrar, que si es una superficie cerrada y í cualquier dirección constante
J*J*c°s(w? £)dS = 0 donde n es la normal exterior a la superficie S.
Desarrollo
IntegralesMúltiplesy Curvilíneas 499
2370
Como P, Q, R son constantes i ~ dirección constante
Jjcos(z7,¿)¿/5= ^ ^ ~ +^ - + ~ i)dxdydz = JJJ(0 + 0+ 0)úfr</KíZz’
s v v
- JJJo- dxdydz= 0
v
Demostrar, que el volumen V, limitado por la superficie S, es igual a
K=~ £j(xcos ex+ yeos P + zcos y)dS, donde eos a, eos p y eos y son los
cósenos directores de la normal exterior a la superficie S.
Desarrollo
3
h
R ~ í
3
'-iff
dx 3
dQ_ J_
dy 3
dz 3
I (xcos a + ycos p + zcos y)dS
= 1 x) +-^(y) + z))dxdydz = i JJJ(l +l +l)dr</K<fc
= i j j } ‘■ /« * * •
~ JJ(xcosa + ycos p+ zcosy) dS

Solucionario demidovich tomo III

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