Solucionario Tomo II - Demidovich

Solucionarlo de Análisis Matemático por Deminovich tomo I, lli
Solucionarlo de Análisis Matemático por G.Berman, tomo I, II, III
Solucionarlo de Matemática Aplicada a la Administración y Economía por
E.WEBER.
Solucionarlo de Leithold 2da. Parte.
Geometría Vectorial en R2
Geometría Vectorial en R3
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ANALISIS MATEMATICO II
S O L U C IO N A R IO D E M ID O V IC H
T O M O I I
CO
W n
n -
♦ IN T E G R A L IN D E F IN ID A
♦ IN T E G R A L D E F IN ID A
♦ IN T E G R A L IM P R O P IA
♦ A P L IC A C IO N E S
E D U A R D O E S P IN O Z A R A M O S

INDICE
C A P Í T U L O IV
INTEGRAL INDEFINIDA
Pag.
1.1. Reglas Principales para la Integración. 1
1.2. Integración mediante la Introducción bajo el Signo de la Diferencial. 8
1.3. Métodos de Sustitución. 45
1.4. Integración por Partes. 57
1.5. Integrales Elementales que contienen un Trinomio Cuadrado. 79
1.6. Integración de Funciones Racionales. 88
1.7. Integrales de algunas Funciones Irracionales. 116
1.8. Integrales de las Diferenciales Binómicas. 129
1.9. Integrales de Funciones Trigonométricas. 134
1.10. Integración de Funciones Hiperbólicas. 157
1.11. Empleo de Sustitución Trigonométricas e Hiperbólicas para el
Cálculo de Integrales de la forma JR(x, Vax1 +bx +c)dx. 161
’ 1.12. Integración de diversas Funciones Trascendentes. 167
1.13. Empleo de las Fórmulas de Reducción. 176
1.14. Integración de distintas Funciones. 180

C A P ÍT U L O V
LA INTEGRAL DEFINIDA
2.1. La Integral Definida como Limite de una Suma. 218
2.2. Cálculo de las Integrales Definidas por Medio de Indefinidas. 223
2.3. Integrales Impropias.
234
2.4. Cambio de Variable en la Integral Definida.
248
2.5. Integración por Partes.
261
2.6. Teorema del Valor Medio.
268
C A P Í T U L O V I
.3 1 ,.
[A PLIC A C IO N ES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
3.1. Areas de las Figuras Planas.
276
3.2. Longitud de Arco de una Curva.
310
3.3. Volumen de Revolución.
325
3.4. Area de una Superficie de Revolución.
347
3.5. Momentos, Centros de Gravedad, Teorema de Guldin. 357
3.6. Aplicaciones de la Integral Definida a la Resolución de problemas
de Física.
377
Integral Indefinida
1
C A P Í T U L O I V
4 . I N T E G R A L I N D E F I N ID A .
4.1. REGLAS PRINCIPALES PARA LA INTEG RACION.
0 F '(je) = / ( x) entonces j"f(x)dx = F(x) +c , c constante.
( 2 ) J kf(x)dx = k j / ( x)dx, * es una constante.
@ J(/(jc)±g(x)<¿x = jf(x )d x ± ^ g (x )d x .
© Si J /( x > k = F ( x ) + c y u = y W . se tiene: ^ f ( u ) d u - F ( u )
TABLA DE INTEGRACION INMEDIATA.
Sea u una función de x.
© J ^ = 1 „ | „ | +C © J ^ T = r rc ,8 ,7 )+ c

2
Eduardo Espinoza Ramos
1031
J u 2 +a
du
y[a2- u 2
audu = -
■=are. senf u '
+c = -are. eos
-+c , a > 0
+ c, ;a > 0
10) e udu= eu +c
J
12) Ieosu du = senu+c
J = ln(w+ y¡u2+a)+ c ,a ? í0
J
J ln(fl)
^szn(u)du =-cos(m)+c (l2) j"
jtg u d u = —ln|cosw|+c =lnjsecMj+C! ^4) tgu.du = ln|senm|+c
Jsec u.du = tgu +c Jcsc2u.du = -ctg u +c
Jcscu.du =lnjsec¿¿+tgu +c (l^ jcscu.du = Lncscu-clgu +c
Jsenh(M)rf«=cosh(«)+c @ Jcosh(M)¿K =senh(«)
jc s c 2h(u).du = ctgh(u)+c @ Jsec2h(u)du = tgh(n)
Hallar las siguientes integrales, empleando las siguientes reglas de integración:
J
)+c
)+c
I5a2x2dx
Desarrollo
Integral Indefinida 3
1032
1033
1034
1035
1036
(i6x2 +8jc+ 3)dx.
Desarrollo
(6x2 + 8* + 3)dx = 6J x2dx + 8J xdx + 3J dx +c = 2x* + 4x2 + 3x
x(x +a)(x +b)dx
Desarrollo
+c
í<
C i ? x a +b 3 ab 2 í
x(x +a) (x +b)dx= (x 3+(a+b)x2+abx)dx = — +- — x +y * +c
(a +bx^)2dx.
Desarrollo
=I<
(a +bx3)2dx = I (a2 +2abx3+b2x6)dx = a2x +Y x* + ^ - j- +c
J2px dx.
Desarrollo
¡2 7 xd x = V 2^ JxU2dx = ^ 3/2 y¡2p +c = x j l f x +c
<fx
Desarrollo

4 Eduardo Espinoza Ramos
1037
1038
1039
1040
I
- n
(nx) n dx.
Desarrollo
P P j p l l í i
I(nx) n d x = u n — = —I m" du = (nx)n +c
í
(a2,3- x 2/3)3dx.
J ( a 2/3 —x2/3)3dx = j (a2—
Desarrollo
3a4/3x2/3+3a2/3x4/3- x 2)dx
2 9 4/3 5/3 9 2/3 7/3 X 3
= a x — a x +—a x ----- +c
5 7
J (yfx + 1) (x - [ x +)dx.
Desarrollo
J"(%/3c-H1)( x - f x +)dx = j í * 3' 2 +i)dx = ^ x 5/2 +X +C= —^ - J x +x +i
J
(x2 + )( x2 - 2 ) j
---------------- dx
3^7
Desarrollo
J U+l)^ _ 2)dx = ~ l ^ 2 dx =J (*10/3- X 4'3- 2 x-2,3)dx
Integral Indefinida
= — X4y¡X-----x2fx~6yjx +c
13 7
1041 i
T x
Desarrollo
.m „n2 2« r íü d 2m+2n~1 £2=*
(x 2 - 2 a: 2 + jc 2f U m- xn)2 ,f jc2"1- 2jtm+n + *2n f
J— ----7i-- dxi
2x2m4~x Axm+n4~x 2xln4~x
4m +1 2m +2n +1 4« +1
1042 4 x f_ dx
yjax
Desarrollo
+ c
f-
f(V a-V jc)4 d _ f fl2-4ayfax +6ax-4x[ax +x2 ^
J [ax J 4ax
= J [a2(axyin - 4 a +6-Jax - 4 x +x2(ax)“1/2] dx
2x3
= 2aJax - Aax + Ax^fax - 2x2 +— = +c
5yfax
1043
J í ! +7
Desarrollo

1044
1045
1046
1047
Í dx
jr2—10
Desarrollo
¡ T T o ' Í T - -
í
dx 1
(Vio)2 2V10
ln
x +Vio
C-VÍO
+ c
¡4 +x2
Desarrollo
Por la fórmula 7 se tiene: | = In Ix +lx2 +4 I+c
J (x +4)
I V8-JC2
t e - /
Desarrollo
X
•---------------= ore.sen (— =■)+ c , resulta de la fórmula 8.
7(272)2-* 2 2V2
J
í
■s/2 +x 2 - J 2 - X 2
•Ja-x*
dx
Desarrollo
yj2 +x2 - y ¡ 2 - x 2 JC /J2+X2 y /2 -x 2
dx = f ( ^ 2 V 2 -* 2
» V^4-X4 V 4 - r4
dx
= f~ 7 = = = ~ Í * - = are. sen Ln x +y¡2+x2
J y í ^ x 2 J J 2 Í X 2 V2
+ c
por fórmulas 7 y 8.
1048 a) 1tg2
J
Desarrollo
r r
J ,8! A»fe = J<Sec! í - Í ) * . l g í - « + c .
b) I tgh2
Desarrollo
Jtgh2 xdx = J(l-sec!Ax)iír = x-tgh+c.
1049 a) 1c tg" xdx.
*
Desarrollo tV v *
[ctg2x d x - J(csc2x -)d x C t g X - j : + C.
b) 1c tgh xdx.
w
Desarrollo
J,,g
1050 ¡3xexdx
Desarrollo
Í3xejrdx= f(3e)*¿c = - ^ -
J J ln(3e)

4.2. INTEGRACION M EDIANTE LA INTRODUCCIÓN BAJO
EL SIGNO DE LA DIFERENCIAL.
Ampliaremos la tabla de integración transformando, la integral dada a la forma:
J*f(y/(x)).y/'(x)dx = J f(u)du , donde u = y/(x)
a este tipo de transformaciones se llama introducción bajo el sigilo de la
diferencial.
, , adx
1051 ------
1054
J -J a- x
Desarrollo
sea u = a - x —>du = -dx —>dx = -du
f adx f dx f du , , c
I------ = a I -------= -a I— = —aLn + aLn - aLn ------
J a - x J a - x J u a - .
f 2x + 3
J 2x+l
1052 Idx
Desarrollo
------------
[ l—^ d x f ( - —+ — (— í— ))dx ——x + — Ln | 2x + 3|
J 3+ 2* J 2 2 2x + 3 2 4
f xdx
J a +bx
Desarrollo
f xdx f 1 a , 1 , x a , . , .
I--------= I [------- (--------)]dx —------ —Lna +bx+c
J a +bx J b b a +bx b b
+c
11055 I— + b dx
ax+ ¡5
1056
1057
1058
1059
Desarrollo
J ax + l3 J a a a +¡i a a
^ d x
J x - l
Desarrollo
2
f X + 1dx = f(x + l + —1— )dx =— + x + 21n |x - l|+ c
J x - l J x - l X
f x2 + 5x + 7 ,
I--------------dx
J x + 3
Desarrollo
f x +^X+'! dx= j*(x+ 2 h—-—)dx = — + 2x + In|x + 3 1
J x+3 J x+3 2
J x - l
Desarrollo
[ x U x 2 + 1 dx= f(x3 + x2 +2x + 2+ - Í -
J x - l J x + l
+c
)dx
í
r 4 r 3
= — + — + x2 +2x + 3 1 n |x -l|+ c
4 3
(a + -~ -)2dx
X - f l
Desarrollo
r b i f 2 2ab b~ . , 2 o / 1 1 i ^
I (a +------ Y dx = (a- + ----------------------------+ -----T)dx - a x + 2aMn | x - a |
-
+ c
J x - a J x - a (x -fl)“ x ~ a

1060
1061
1062
J X dx
(jt + 1)2
Desarrollo
sea u = x + 1 => du = d x , x = u - l
~ T du= f(~— =ln|w|+—+c =ln|* +l|+ ——+c
i (JC+ 1)2 J u2 J U u2 u x +l
f bdy
JVw
Desarrollo
Sea u = 1 - y => dy = - du
J =b ~y^ll2(iy=~bju~ll2(lu = ~2bu1'2 +c = -2by]l-y +c
JVa-bxdx.
Desarrollo
Sea u - a - bx => dx = ~ —
b
f s¡a-bxdx= fwl/2(-^ -) = - - u m du = - — u>fü+c =- — (a-bx)Ja-bx
J J b b j 3b 3b
+c
1063 dx
Desarrollo
1064
1065
1066
1067
f - ¡ J L = d x = í(x 2 + i r 1/2^ = u~U2 — = yfu+C = J x 2 +l+c
J V 7 7 T J J 2
fy/x + lnx
J X
-dx
Desarrollo
Cyfx+lnx, f. 1 ln * , 0 r , ln x
- ----------dx= l(-pr + ----- )dx = 2 ^ x + —— +c
J X J yjx X 2
Í —
J 3x2 + 5
Desarrollo
í —t — = í r f X— = —J —¡=arctgC ^-) +c =-^=arctg(x í^) +c
J 3x +5 J (J3x)2 +(J5)2 S S ¡5 %/I5 V5
f dx
J7*2 +8
Desarrollo
dx j*______dx______- ^ * in i V7jf —2>/2
1x2 -8 J (V7x)2-(2>/2)2 y¡l 4V2 J lx + 2 ^ 2
dx _ ,
--------------------- - ; 0 < b < a
(a +b )- (a -b )x
+c
Desarrollo
dx 1 f yfa—bdxf dx = r dx 1 f __________________
J (a +b)-(a~b)x2 J (Ja +b)2- ( J a - b x ) 2 J (Ja +bj2-(-J a - b x )2
1 . yja+b + sja—bx .
~ln ,----- ---- f = = - +c
2yja-b.¡a +b la +b - y/a-bx

1068
1069
1070
1071
1 . . yfa + b + y ja -b x .
In |-----------— | +c
2yja2 - b 2 Ja + b -->J a - b x
r
x2dx
x 2+2
Desarrollo
I
x3dx
~2 Fa - x
Desarrollo
f x3dx f
J
Jt2- 5 x + 6
2 2 2
/ x v f x a t o .
(* + ~ -----= -(— + — In | jc - a |) + c
x~ - a 2 2
i x2 +4
dx
Desarrollo
Cx2 - 5 x + 6 j f 5 x - 2 f 5x 2
I — 1 ~ 7 ~ ( 1 — r ~ ; ) d x = I * 1 — 2 — + ~ i — ) d x
J x + 4 J x + 4 J * +4 x + 4
f dx
JyJl +Zx2
= In | *2 + 4 1+arc.tg(—)+ c
2 2
Desarrollo
2yfldxr dx f - 1 f
j yll + Sx2 j yjl + (2y¡2x)2 2¡2 Jy¡7 + (2^/2x)2
1072
1073
1074
= 1 Ln 12- 2x+ 7 +8jc2 | +c , por la fórmula 7
2v2
Í
dx
yjl - 5 x 2
Desarrollo
r dx _ j*______dx _ 1 |* '¡5dx-------=-^=arcsen(^í) + c
J 3* -2
Desarrollo
yftdx
1 , , . 5 . .y¡3x-y¡2 ,
= -ln 3jc2 - 2 ----- r - r ' n H r ----- /x l+c
3 2>/3.V2 ¡3x + yj2
oHonr,a»q
1 , I , 2 T I ^ i„ | ' f i x
=—In - 2l-2^ lnl ^ +V2
+c
Í
3 - 2x ,
dx
5x +7
Desarrollo
f = 2 f f Ü Ü L = - i l n 15^ + 71+c
J5jc2+7 SJ 5Jí!+7 5V7 ^7 5.X _
5 5
3 arctg(^ x) - ^ In 15x2 + 7 | +c
>/35

1075
1076
1077
1078
J
3.x:+ 1
dx
lsx2 +1
Desarrollo
( - * 2 L d x . 3 [ ' t b + ( * = 1 f i f Vm.
Jyj5x2 +l J s]5x2+l J yj5x2+l 10 J y¡5x2 +1 S J ^(y¡5x)2 +1
- j l 5 x 2 +1 + ~ L n yÍ5x+y¡5x2 + 1 1+c
5 5
I
x +3
-dx
s ¡ J ^ 4
Desarrollo
i r ? ' dx +3 í ------- = V-*2 - 4 + 31n | x +yjx2 - 4 |+c , por la fórmula
j x - 4 J y jx 2 - 4
í x2 - 5
Desarrollo
f ^ - = i f — —ln |x 2—5|+ c
J a:2 - 5 2 J x —5 2'
J2jc2 +3
Desarrollo
J a x +b
1079
Desarrollo
Integral Indefinida
1080
1081
1082
1083
) a 2x2 +b2 ) a"x +b" J a2x2 +b2
1 , 9 o » ? i 1
= — ln |a 'jr + ¿ r |+ —arc.tg(— ) + c
2a a b
f jcdx
J 4 7 ^ 7
Desarrollo
(* xdx _ 1 f 2xdx _ J_
JVa4-*4_2j^4_;c4"2
2
= -^arc. sen(— ) + c
úT
J i « 6
Desarrollo
„2 ,
fiL * L = f A </Y- = l f J £ ^ = IarctgU 3) + c
J l + x6 J l + U 3)2 3 j l + (x ) 3
j" x2dx
JVTm
Desarrollo
f x 1 f 3a = -ln | x3+ ¡xb - l | + c , por la fórmula 7
j V*6- l 3J V(;t3)2-1 3
f jares'
J vT :
arcsen* ,
dx
x2
J S p * =| <arcsenJ.
Desarrollo
dx

donde u = arcsen x => du =
2
í
¡ —X
- 2 - 2
u2du = —u 2 +c =—(arcsen x)2 +c
3 3
f arctg(~)
1084 --------é~dx
4 +x2
Desarrollo
f arctg(^) j f 2arctg(^) j f x 2dx arctg2(
” t C
1085
l+ 4x2
Desarrollo
f Jr-7arctg2Jr d,j = 1 f j £ * i f (arclg 2 f) 3 - i *
J 1+ 4x2 8 J 1+ 4* 2 Jl + 4x2
3
= -ln |l + 4jt2 I--(arctg 2 x )2 +c
8 3
1086
h
dx
yj(l +x2) ln(x + Vi + x2)
Desarrollo
f ■ ^ ,____ - ¡IM x + J u x 1)] ------
J y/(l +x2)ln(x+Jl +x 2) J v l + x
1087
1088
1089
1090
donde u = ln(x + vi-+x2) => du
dx
ll +x 2
+ x2 ) + c2du = 2fü + c = 2jn(x + yfl
J ae~mxdx
Desarrollo
du
Sea u = -mx => dx = -----
m
ae-mxdx = a fe“(-—)=- - e udu = - - e u
J J m m J m

+c = - - e~mx+c
m
42~3xdx
Desarrollo
du
J 42 3^<íjc= 16J"4 3xdx, sea u = -3x => dx = -'-
16 4“ -4 2.4~3* 42~3*
J (e ' ~e~')dt- j e ' d t - je~'dt - e ’ +e~'
3 ln(4) 31n4 31n4
-+c
)dt
Desarrollo
+ c
m *
I (ea +e a)2dx
Desarrollo

1091
1092
1093
1094
m x x m 2 x 2 x 2 x 2 x
i (ea +e a)2d x - I (e a +2 +e a )dx = ^ e a +2 x - ^ e a +c
2 2
-x ,_^2
-dx
f (ax ~bx)2
J axbx
Desarrollo
2 (■ 2* ^„x<x..2x
^ x - b± d x = dx= f((a- y - 2 + £ Y ) d x
J axbx J a'bx J b a
¿ Y i - ) x j fl b
- b _ +^ — - 2 x +c = ± r - ( £ ) x + (-)x) - 2 x +c
ln(—) ln(—) 'n a ~ hlb b a
b a
[ alX~ XA
J - J T *
Desarrollo
3 x x
i x X „ y 2 o y
— + ------- +c
In a In a
f a -1 f , a 1, f . y -§ w 2a
_ _ r f * = ( - = — -j=)dx= ( a 2 - a i ) d x = - .~
j ¿ Y J y f c 7 7 J 3 lr
Je + ^ x d x
Desarrollo
Sea u = -(a'2 +1) => du = -2x dx => xdx = ~ —
2
Je~^+l)xdx = Je ~ ) = — fe^du = ~ eU+ c = _ ^ " (Jrí+1>+c
I*.7* <£t
Desarrollo
Sea u —x~ => du = 2xdx => xdx = —
2
í x.lx dx = [ 7 ^ ^ = Í7“— = - Í 7 " d « = - —
J J J 2 2 J 21n('
1-+c = ----------7 +c
2 ln(7) 21n(7)
l
1095 I 7dx
1
Desarrollo
1 dx dx
Sea u = — => du= — ■? => — = -du
X X X
1096 I 5 ^ —
J e— dx = j e u(-du) = - J eudu = —
dx
T x
_
+ c = - e 1 + c
1
Desarrollo
r dx dx
Sea u = yjx => d u - —=• => 2d u = —j=
2¡x s¡x
{ 5J~xdx = 5“.2du = 2 ( 5“du= —
J V i J J ln(5;
1097 f —— dx
J ex -
Desarrollo
Sea « = £ * -1 => du = exdx
í C>— -= f — = In | m| +c = In | e* - 1 1+c
J ex- l J «
+ c = — 5 ^ + 0
ln(5) ln(5)

1098
1099
1100
bexdx
Desarrollo
, . r . X . dU
Sea u = a -b e => du = -be dx => e dx —-----
b
[(a -b e x)^exd x - [u^ [u^du = ——u^ +c =-^--J(a-bex)3 +c
J J b b J 3b 3b
I
X 1 X
(ea +1y>eadx
Desarrollo
¿ - dx
Sea u = e a + 1 => du = ea — => adu =eadx
a
f - - — f - f - 3a - 3a —
I (ea +l)3eadx = I u3adu = a u3du =-^-ui +c = — (ea -1)
J
* *
3 +c
dx
2X+3
Desarrollo
f — —f(l— - ) d x = - ( x — — ln12X+ 31)
J 2* +3 3 J 2* +3 3 ln2
+ c
110. l - a ™
J + a
Desarrollo
1102
1103
1104
f axdx 1 f du 1 1 ,
------— = -— ----- ? = -— arctgM+ c =-— arctg(a )+ c
J l + a m a j + u lna lna
f-J 1-
e~fa¿jc
I+ e~2hx
Desarrollo
Sea u = e hx => du=-be~hxdx => e~bxdx = - —
f <rto<¿r l f á 1 , x 1 , -
h — h — 2’= _ 7:arcts (M)+t: = - T arctg(^ )+c
J 1+e ¿ J 1+ w b b
f-J 1-«
dt
Desarrollo
-e2'
Sea w= e' => du = e‘dt
f e!í/í C du 1, , 1+ u . 1, . 1+ e‘ .
I —= I ----- í- = -ln ----- +c = —l n -------1+c
J l —e J l - u 2 2 1-M 2' l - e''
J sen(a + bx)dx
Desarrollo
Sea u = a + bx => du = b dx => d x - —
b
f r du 1 f
J sen(a + bx)dx = J sen(w)— = —I sen(u)du
= - —cos(«)+c =-icos(« +kO+c
6 fe

1105
1106
1107
1108
J
Jt
COS(~7=)dx
v5
Desarrollo
Sea u - -—= =>
¡5
J"cos(-JL)í£t'= J*cos(m)^5í/m = V5j"cos(w)ài/ = 5 sen(«) + c = .5 sen( * ) + c
J (cos(oa) + sen(ax))2dx
Desarrollo
J"(cos(a.v) + sen(ax))2dx - J*(cos(a.v) + sen(<u))~ dx = I (eos (ax) + 2sen(ax).cos(ax) + sen (ax))dx
i
= I (1+ 2sen(ax).cos(ox))cfcc = x — —cos(2<ru)+c
2a
Jcos(Vx). dx
4~x
Desarrollo
r dx dx _ ,
Sea u = y/x => d u = — -¡= => —¡== 2du
2Jx y X
j*cos(Vx).-^- = J*cos(u).2du = 2J eos(u)du = 2sen(w) +c = 2sen(fx)
í
+ c
sen(log x).—
x
Desarrollo
Sea u = logx => d u - ——— => — = ln(10)í/w
ln(10)x a-
1109
1110
1111
1112
J senflog x)——= J sen(«).ln(10).dM = ln(10)J*sen(u)du
isen2xdx
= - ln(10) eos (u) + c = - ln(10) eos (log x) + c
Desarrollo
., , ? 1-cos2jc
Usar la identidad: sen x = -----------
Jsen2.xí¿t=j i
je o s 2 xdx
- cos(2jc) , x sen(2x)
------------d x - --------------- + c
2 2 4
Desarrollo
2 1+ cos(2jc)
Usar la identidad eos x = --------------
2
J*cos2jc</x=J-
í
2 2 4
secz(ax+b)dx
Desarrollo
du
Sea u = ax + b => dx = —
a
[ see2(ax +b)dx = fsec2u — = - | see2udu = - tg n + c = -tg(ox + fc)+ c
J J a a J a a
j c t g 2(ax)dx

Desarrollo
Usar la identidad: 1+ c tg 2 x = ese2 x
je tg2(ax).dx = J (csc2(ax) -1 )dx = _ * + c
1113
f dx
sen(-)
Desarrollo
_ x _ , x „ , x ,
Se conoce que sen—= 2sen(— ).cos(— )
a 2a 2a
i — -
' sen(-) J
dx
2sen(— ).cos(—
2a 2a
> 2 ¡
se c (^ )
2a
sen(— )
2a
dx
- l i
2, X
see (— )
2a
sen(— ).sec(—
2a 2a
-dx = - f
) 2 j
j f sec2( ^ )
1 ‘ 2a dx
Sea u = tg(— )
2a
du = see (— ).—
2a 2a
? JC
De donde se tiene: see (— )dx = 2a dx
2a
Integral Indefinida
25
1114
1115
1116
dx
K
3cos(5x-—)
4
Desarrollo
dx 1 i 5x JT. i
" ------ = — ln|tg[— + - ] |+ c
o /« * * 1 5 2 8
3cos(5x---- )
4
dx
sen(ax + b)
Desarrollo
ax +b ax +b
Se conoce sen(ax + b) = 2 sen( — ).cos( ^ )
f ■ - f
J sen(ox +b) J
dx
,ax +b s ax +b
2sen(—-—).cos(—- )
, r s e c = ( í^ >, . sec(—- — ) , [>sec - > , ,ax+b..
=1f- - - 2— dx= - i- - - -h r dx = - lnltg(— )!+c
2 J sn,(£ £ ± * ) .g ( H ± í, “ 2
J
xdx
~)
Desarrollo
cos2(x2)

26
1117
1118
1119
1120
J*sen(l-jr)í£c
Desarrollo
Sea u = l - x 2 => du = -2x dx => x d x - ~ —
f »J*.ísen(l - x~)dx = Jsen(l - x2)xdx = Jsen
1 f j 1 1 2
J $enud u = —cosu+c = —cos(l-X ) +c
I sen(;t
r - ) 2dx
sen(xv2)
Desarrollo
J (¡enxv^ ~ 1)2^dX = J (CSC^ ~ 1)2^dX = J (CS°2^(Xs^ )" 2csc(;cV2)+ IWjc
= J (l + c s c « ( ^ ) - _ ^ I A „ _ ^ ctg(^ ) _ _ | ln |,g(^ )|+ c
/ tgxdx
Desarrollo
eos * +cf * * * = f — dx = -ln
J J eos Jf
tg xdx
Desarrollo
c ig x d x = = ln | sen jc| +c
J J senjr
1121
1122
1123
1124
1‘W^r )dx
b
Desarrollo
Sea u = — =* dx = (a-b)du
a - b
Jc tg(—^-j-)dx = Jetg a.(a - b)du = (a - ¿?)Jcigudu
X
= ( a - b ) In Isenu | +c = (a- b)ln | sen(------) | +c
a - b
I
dx
,x.
W j)
Desarrollo
r , r f cos(|)
I — — = I ctg(—)dx = I -------- dx = 51n | sen(—) | +c
J t g í í) J 5 J se n A 5tgCj)
J tg(fx). dX
VI
Desarrollo
i— i dx dx ~ ,
Sea z = x => dz- — => —¡= -2 d z
2yjx yjx
J tg(VÍ).-^ = Jtg z.2dz = 2j tgzdz = -21n | eos z | +c = -21n | eos Vz | +c
JxCtg(A'2v" +1)dx
Desarrollo

1125
1126
1127
1128
Sea u = x 2 +1 => x dx ———
2
Jxc tg(x2 + 1)dx = Jrtg(x2 +l)xdx = j c l g u .
du
~2
= i ln | sen u | +c = ^ ln | sen(jr2 +1) |+c
í
dx
sen x.eos x
Desarrollo
f dx f secx , f see x , , , ,
I-------------= I-------dx = I--------dx = ln tgx +c
J sen xcos.r J senx J tgjc
ícos(—).sen(—)
J a a
-)dx
Desarrollo
fcos(—).sen(—)dx = —sen2(—
J a a 2 a
I sen3(6x).cos(6x)í¿v
Desarrollo
Sea u = sen 6x => du = 6 eos 6x dx
J*sen3(6x).cos(6A)¿x - Ju
J
i du u4 sen4(6jc)
— = — + c - --------- — - + C
6 24 24
cos(ax) ,
dx
sen5(ax)
Desarrollo
1129
1130
1131
p o s t a d L a * « ,) ) - * .* * « ) * . = — J-+C = --------!¡
J sen (ax) J J a u a a sen
, +c
(ax)
du
donde u = sen (ax) => cos(ax)dx - —
a
I
sen(3x)djc
3 + cos(3jc)
Desarrollo
dz
Sea u = 3 + eos (3x) => dz = - 3 sen (3x) dx => sen(3x)dx = ——
f i E 2 f ^ L = - l f ^ = _ I ln lz l+ c = - i l n |3 + COS(3x) |+c
J 3 + cos(3jc) 3J z 3 3
I
sen*,eos jc .
rdx
Veos2Jt-sen2x
Desarrollo
Se conoce que: sen x.cos x = — ^— y eos x —sen x —cos(2.r)
f senxcosx = ¿ f sen(2*) ^ = 1 f ( c o s { 2 x ) ) ~ 2 sen(2x)dx
J Veos2Jt.sen2x ~ >/cos(2x) 2 J
yJcos(2x)
2 ~
V
1+ 3eos2x sen(2*)dx
Desarrollo
Sea u = l + 3cos2 x => du = - 6 eos x . sen x dx

1132
1133
1134
1135
du = - 3 sen (2x)dx ; — y = sen(2x)dx
J*(l + 3cos2x)2,sen(2x)dx = —i j u 2du = ~ u 2 +c = - ^ y j(l +3cos2jc)3 +<
,sec2(—)dx
3
Desarrollo
Sea u ~ tg(~) => 3du = scc2(^)dx
J tg 3(-Í).sec2(^)í¿c = j u 33du = ^u
4 3 a .X.
+ c = -t g (-) + c
4 3
dx
x
Desarrollo
eos2X
f ^ ^ = f(tgx)2.sec2xdx = —tg2(x) + c
J eos" x J 3
í
2
sen (x)
Desarrollo
c c t s 3(x) r - ~ ^ ~
I r---- |c tg 3(x).csc (x)dx = — ctg3(x) + c
J sen (x) J 5
J1+sen(3x) ,
dx
cos2(3.y)
Desarrollo
Integral Indefinida
1136
1137
1138
1139
f l + sen(3.t)¿jr_ f(sec2(3jt)+tg(3.x).sec(3jr))dx =
J cos2(3x) J
tg(3x) | sec(3x) | c
í
(cos(üx) + sen(ax))2
sen(ax)
Desarrollo
r(cos(ojc)+sen(ax)) _ fl+ 2sen(ax).cos(flx) ^
J sen(cijc) J sen(ox)
J (csc(ax) + 2cos(ax))dx = —(ln | csc(ax) - c tg(ax) | +2 sen(ax) + c
f csc3(3x) _ ^
J b - a c tg(3x)
Desarrollo
dU 2 V 1
Sea u = b - a ctg (3x) => du = 3acsc“(3x)í/x ~^¡~csc
f_ £ !£ !2 íL .^ = _L f = ._Lln |u | +c = J-ln |b-- aCtg(3x) |
J /?-actg(3x) 3a J u 3a 3a
J (2senh(5x) - 3cosh(5x))t/x
+c
Desarrollo
f 2 3
(2 sen(5x) - 3cosh(5x))dx = - cosh(5x) - - senh(5x) + c
1senh2 xdx
Desarrollo

1140
1141
1142
1143
Jsenh2xdx = J (—i
í
cosh(2*)N,x senh(2x)
H-------------)dx —----- 1--------------1-c
2 2 4
senh(jc)
Desarrollo
d'X = ln | tghí^) | +<~
senh(x) 2
dx
cosh(jt)
Desarrollo
f— —— = f ------- dx - 2 f e— -dx - 2arctg(g*)+c
JcoshU) J +e2x J l +e2*
i senh(jc).cosh(jc)
Desarrollo
f dx f seeh(x) J Csech2( x ) , , . ,, .
I -------------------- = -------— dx = --------— dx - ln | tgh(x) | + c
J senh(x).cosh(*) J senh(x) J tgh(x)
J
tgh(A‘)¿V
Desarrollo
J"tgh(x)dx = J*Senj^*| dx = ln | cosh(x) | +c
1144 ctgh(x)dx
Desarrollo
1145
1146
1147
í c tgh(x)dx = f C° Sh(A)^ = ln | senh(jc) | +c
J J senh(x)
Hallar las siguientes integrales indefinidas:
í ' ^
■x2dx
Desarrollo
J x¡5 - x 2dx = J*(5 - X 2 )5xdx = —^ j*(5 - x2)5(-2 x)dx =
J x - 4* +1
a2)6 +C
Desarrollo
Sea u = x 4 - 4 x +l =$ - = (x3 -l)dx
4
f — - — í— dx = — f — = —ln |m|+c = —ln | a 4 - 4 x +
J x4 —4jc+ 1 4 J u 4 4
1
+c
A + 5
Desarrollo
f x3dx _ f
J ^ 5 _ J
x3dx 1 ,x A
tg(.-!=)+C
(a4)2 +(y¡5)2 4^5 J s
1148 í xe x dx
Desarrollo

1149
1150
j xe x dx =j e x xdx = —i j e u 1 « 1du =—e +c = — e +c
2 2
J 3 -> /2 + 3.í 2
dx
2 + 3*2
Desarrollo
dx
72 + 3*‘J 2+ 3* J 2+ 3* J
Usando las formulas 4 y 7, se tiene:
f 3 - 7 i 7 p ^ _ f dx f Jx
J 2+ 3* J 2 + 3* J V2 + 3*2
= arctg(*^-) - ln | ¡3x + y¡2+3x2 +c
f ¡ L ± d x
J * + 1
Desarrollo
(* - * + 1--- — )dx = -(-*—21n * + 1 +c
* + 1 3 2
Desarrollo
1152
1153
1154
1155
f 1-sen*
J * + cos*
dx
Desarrollo
Seaz = x +cosx =» dz= (1 - senx)dx
fj—sen.x_¿x = í — = ln|z | +c = ln|*+eos*|+c
J * +cos* J z
f tg(3*)-ctg(3*)^
J sen(3*)
Desarrollo
fjg(3*)—ctg(3*) _ f(Sec(3^ _ ctg(3x)csc(3*))d*
J sen(3*) J
= - [ln | sec(3*) + tg(3*) | + ---- ——]+ c
3 sen(3*)
J
dx
*ln2*
Desarrollo
f d - = f(lnx) = f«
J * ln ' * J x J
- 2 . 1 1du = — + c ----------1-c
u ln(*)
dx
donde u = ln x => d u - —
*
J
see2xdx
y¡ig2 x - 2
Desarrollo
Sea u = tg x => du= see2 xdx
f see2xdx f du , , r
I — - I —InIu +lu
J s]tg2x - 2 J yju2- 2
2 - 2 | +c = ln | lgx +jtg2x - 2 l+c

1156
1157
1158
1159
J(2h----- — )- *
2x +1 2x +1
Desarrollo
f x dx C dx f xdx
J *"+2x2 +1 2x2+1 ~ J2x2+1+ J(2x2 +1)2
= Í2 arctg(W2)--------—— + c
4(2x“ +1)
íasenx eos xdx
Desarrollo
Sea u - a senx => du - a scnx cos x. In a dx => = asenx eos xdx
Ina
f sen* f du 1 asenx
la cos xdx = I -----= ------u + c - -------
J J na lna lna
J* x2dx
J W T
+ c
Desarrollo
„ 3 , dU ■y
Sea u = x +1 => — = x~dx
3
f X dx f 3 -r 2 . f du 1
I —...-.....- I (x +1) 3x~dx= I u 3 — = —u
J J 3 2
x4
Desarrollo
1160
1161
1162
1163
f xdx 1 f 2xdx 1 2
I ,____ = —I —= = = = = = —aresen(x ) + c
J V Í I 7 2 2
íXg2(ax)dx
Desarrollo
tg¿(ax)dx= I (sec~ (a*) -1 )dx = í^ ax'>- x +cJ"tg2(ax)dx = J*(
J sen2('(^r)dx
2
Desarrollo
« , , i 1-cos(2jc)
Por la identidad sen' x ---------------- se tiene:
J sen2(-^)ífa = J -
J
—eosx . x sen*
--------- dx = ---------------hc
2 2
see2xdx
¡ 4 - tg 2x
f see*
Desarrollo
2
xdx
= aresen(-----)+ c
f dx
^ eos(—)
Desarrollo

1164
1165
1166
1167
1
y¡ +In x
---------- dx
Desarrollo
Sea u = 1 + ln x => du = l~
x
J Vi + ln x — - J*“
J y fx -l
l 3 - 3 -
3d u - —u 3’ +c= —(1+ lnx)3 +c
4 4
x-1).-
J x - l
Desarrollo
dx „ , dx
Sea z - y j x - l => dz=Jí— => 2dz =-
2yjx~l y jx - l
J*tg(V*-T).-^==== = 2J*tgzdz = -21n(cosz) + c = —2 ln | eos V x-1 | +c
i
xdx
)
Desarrollo
sen(x2)
f xdx1, , , r %l 1 ,,
I-------j - = -In Itg(— ) |+c = - ln(csc(x )- c tg(x2)) +c
J sen (x ) 2 2 2
J
sen(x ) 2
e ^ '+ x ln ü + x V l
1+ x2
dx
Desarrollo
Ce ^ + x W + x ^ + l ^ = f
J 1+x2 X ~ J
. , . e aMgv x ln(l + x2) 1 w
dx = | (------- + --------- - + --------)dx
1+ X 1+ x~ 1+ X
arctot ln (1+ X ~)
= e ° + ------------- + arctg * + c
1168
1169
1170
1171
1
sen x -eo s x ,
--------------- dx
sen x + eos x
Desarrollo
Sea u = sen x + eos x => du = (eos x - sen x) dx => -du = (sen x - eos x)dx
f sen x - eos x , f du , , . ,
--------------- dx = I ------= -lnw + c = -ln |se n x + cosx|+c
J senx + cosx J u
í
(1- sen(-~))2
---------
se„< -|)
Desarrollo
,(l-sen (™ ))2
f -----------— — = í( ---- -------- 2 + sen{-^=))dx
sen(-^=) sen(^=)
"72
= V2 ln | fg (~ = ) | -2x - yjl eos(-j=) +c
I
2
x dx
x2 - 2
Desarrollo
f (1+ A-)2
J x(l + x2
dx - 1(1+—^— )dx = x +-^= ln j—— | +c
x —2 V2 x+V2
-dx
x(l + x¿)
Desarrollo

1172 j"esen*senlxdx
Desarrollo
Sea u = sen2 x => du = 2 sen x . eos x dx = sen 2x dx
5
Vi"-3^
f 5 -3 * f d* f xdx 5 V3* I------- 7
I ~~r ' ti* = 5 I ..... - 3 I = -=arcsen(——) + V 4-3*
J V4 - 3*2 J V 4 - 3 7 V3 2
f ¿*
Je*+1
1173 f - .5 3A dx
J J 4 -3 r 2
1174
1175
Desarrollo
+c
Desarrollo
f dx f ,
I—----= I------- -í/* = -ln 1+ e ■* +c = -{n(} + e x) - l n e x] + c
J e +1 J l + e
= -[ln |l + eJC|-* ] + c = * - l n |l + e* |+c
h (a +b) +(a-b)x~
Desarrollo
f_____ * ____ _ = _ L f _
J (a +b) +(a-b)x~ a - b j a-
dx 1 1 t
= arctg(~ t )+c
(a +b) +( a - b ) x 1 a - b j a +b |a - b ¡a +b " ¡a+b
1 a ~b.
-arctg(* /------) + c
■Ja2 - b 2 Vfl + ¿
Integral Indefinida
1176 í , e — -dx
1177
£
s¡e2x- 2
Desarrollo
f e ' d x - f - 7=¿ £ = = m |^ + V ¡2^ 2 |+ c
J 4el x - 2 J J(eA)2 - 2
¡
dx
sen(fl.v).cosía*)
Desarrollo
f dx = f sec(^2</* = f Scc2(a- ^ = —ln |tg(ax) | +c
J sen(a*).cos(fl*) J sen(ax) J tg(a*) «
1 2tt? ,
1178 sen(— +yf0)dt
i '
Desarrollo
2Kt 2n ., rj. du
Sea u —-----+ i//n => d u = — dt => dt = T — ~
T T ¿n
j s e n (-^ + 1/ 0)dt = J sen u.T— = ~ J sen u du
eos 11 T , 2tt/
= - r ------ +c = ------ cos(-— +v^0)+ c
27T 2n 1
1179
r rf*
J *(4-ln2.*(4-ln~ *)
Desarrollo
dx
Sea u = !n x => du =—

1180
1181
1182
1183
f . f _ * l | „ |i ± ü
J x (4 -ln 'x ) J 4-u~ 4 2 - u
1, , 2 + ln x ,
+ c - —l n --------- +c
4 2 -ln x
. arccos(—)
Desarrollo
dx
Sea u = arccos(—) => du = — — d u = -
2 /l_ ( |) 2 V ^ X 2
-arccos(-) f «2 1 -
I —-j— 2 dx = - udu = - — +c - — (arccos(—))2+c
J V 4 -r 2 J 2 2 2
í
V4
e~lg1see2xdx
Desarrollo
Sea u = - tg x =» du= —sec2 xdx
J*e~tg'.sec2xdx =-J*eV « = —e" + c = - e _tgA + c
f senx.
J V2- sen4 x
eos .v ,
dx
Desarrollo
,------ ------dx = —arcsen(— =—)+c
V2-sen4* 2V2
dx
sen2.v.cos2*
Desarrollo
1184
1185
1186
sen 2*
sen x.cos * = --------
f -------—-------= 4 f — ^
-
= 4 f csc2(2x)dx = -2c tg(2x) + c
J sen2x.cos2x J sen“(2x) J
í
aresen x + x ,
dx
Desarrollo
•x2
¡ ^ x + x d x = ^ l f _ ^ + c
f secx.tgx ,
J i 2.......
J vsec x + 1
Desarrollo
f secx.tgx , f secx.tgx ./2„.,1,„I —</r= I 0 — d x - In jser r+ vsec x + l|+C
J Vsee2x + 1 J y(secx)2+1
I
cos(2x)
dx
4 + cos2(2x)
Desarrollo
f cos(2x)</x f cos(2x) f cos(2x)rfx 1 ^ i ^+ sendx)
J 4 + cos2(2x) J 4 + 1—sen2(2x) J 5-sen2(2x1 4^5 V5-sen(2x)
+c
1187 f — í i
J 1+ cos
Desarrollo

1188
1189
1190
f
¡n(x + -Jx2 +1)
Sea a = ln(x + yfx2
Desarrollo
na;- l
+1) => du =
dx
x2
f ln(.v+ n/a" + 1 ) (* /“’J 7 ^ dx f ^ ,
i ------d x - I (n(x +¡x + 1))2 —p------ = I u du —
j v i + x 2 j 7 , ^ 7 J
—■](ln(x + y¡x2 +l))^ + c
3
í jc2cosh(;t3+ 3)<£c
Desarrollo
o 3 -> d u 2 ,
Sea u —x +3 => — = x dx
f 2 , , 3 f , , . du senh(n) senh(x3 +3)
I x cosh(x + 3)d x - I cosh(«)~— = ------— + c = ------ --------
J J 3 3 3
^tgh(A)
+ C
í , dx
cosh“(jc)
Desarrollo
Sea u = tgh x => du = see lr(x)dx
j* -jtglUjr) /• » ~u itghx
I- 1— ,-dx= I 3'gb*.see hx2dx = 13“du = --------- + c --------+ c
J cosh“(.v) J J ln3 ln3
{NIIr*-i
4.3. M ETODO DE SUSTITUCION.-
PRIMERO.- SUSTITUCION O CAMBIO DE VARIABLE EN LA
INTEGRACION INDEFINIDA.
Se hace poniendo x = y(t), donde t es una variable y f es una función
continua diferenciable,
f(x)dx = J f(f/(t))xift)dt ... (1)
La función i se procura elegir de tal manera que el segundo miembro de (1)
tome una forma más adecuada para la integración.
SEGUNDO.- SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
1 Si la integral contiene el radical [a2 -
x
dx = a eos 0 d0 => 9 = arcsen(—)
a
x se toma: sen 0 = ; x = a sen 0
a
2 Si la integral contiene el radical x 2 —a2 se toma: sec0 = —, x= a see 0
dx = a see 0. tg 0 d0 : 0 = aresec(-)
a
/x2 - a2
a

1191
3 Si la integral contiene el radical 4 a2+x2 se toma: tgd = —
x = a tg 0 ; dx = a see26 d6 ; 9 ~ arctg(—)
a
Hallar las siguientes integrales, utilizando para ello las sustituciones indicadas.
a)
i* dx 1
J x J T ^ . ' x ~~>
Desarrollo
1 A d t A -1
x —- => dx = — —ademas t = —
t r x
dt
-dt 1
xyjx2- 2 J2r2 J V l-2 r2 V2
(V2í)-arccos(v2?) + c
b)
1 V2 /-
-7=arccos(— )+ c, x>J2
V2 x
f dx
Jex +1
x = - ln t
Desarrollo
dt
L+ / l+c = -ln +e~x I+c
J e '+ l J e " ln,+1 J l + í
c) I x(5x2 - 3)7dx , 5x2 - 3 = t
i ‘
Desarrollo
? , dt
5x - 3 = t => jcí/x = —
10
x(5x2 -3 )1dx= f /7- = 4
J J 10 80
(5x -3 )
+ c = ----------— +c
80
f xdx i---- r
d) I , t = J x +
J Vx + 1
Desarrollo
t = yjx+1 => dt= ----7 = = i t = y ¡ X + 1 => X = f2 -1
2y¡X+
f eos xdx
e) / ’ 1= sen x
J VI + sen a
Desarrollo
t = sen x => dt = eos x dx
f eos xdx f dt _
J Vi + sen2x J ¡+t~
= InI?+ Vl + r I+c = ln | sen x + + sen2x | +c

1192
1193
Hallar las integrales siguientes, empleando para ello las sustituciones mas
adecuadas.
I
x(2x +5)wdx
Desarrollo
t = 2x + 5 => — = dx , x = -- ^
2 2
f x(2x +5)}0dx= f — = - f(/n - 5 t w)dt = - [ - ----- — í“ ]+ c
J J 2 2 4 j 4 12 11
; i ía * ± s F _ ± (2x+ n
4 12 11
I
1 + X
dx
l + yfx
Desarrollo
Sea t - y í x =$ t 2 = x => dx = 2t dt
J 1+ yJX ' J 1+ t J í + 1
T 2 /3 t2
2J ( r - t + 2 - — )df = 2 [ - — + 2 /-2 1 n |f + l|] + <?
= 2[— -----—+ 2[x -2 n | + [x |] + c
1194 f dx
J xJ2x +l
Desarrollo
1195
1196
1197
2 .
i------- i t —1
Sea t = yj2.V + 1 => r = 2 a + 1 ; x = ------ => dx = tdt
f dX - f -y —— = 2 f -y— - In 1 [+c = ln | i * + 1
J x j 2 x + 1 J r - 1 í - 1 V2 a + 1 - 1
yj2x + 1+ 1 .
+c
- i
2
í
dx
•je* -1
Desarrollo
Sea t = Je' -1 t ~ —e x —1 e x —t +1
2tdt
t2 + 1
e cdx = 2id/ => dx = -
2tdt
f —I— = f ? ± 1 = 2 f f ' = 2 arctg t +c = 2arctg(V?7
J V ^ -l J f J r + l
fln(2x) dx
J ln(4x) a
Desarrollo
ln(2x) = ln x + ln 2 ; ln(4x) = ln x + ln 4 = ln x + 2 ln 2
fln(2x) dx _ j* lnA + ln2 ^ dx _ f ^ ln2 ^dx
J ln(4x) x J l n x + 2ln2 a J l n A + 21n2 x
= ln x - (ln 2) ln |ln x + 2 ln 2¡ + c
f(arcsenx)2 ,
J
Desarrollo
■l) + c

Sea t = arcsen x => d t -
dx
v r
1198
1199
f (arcsenr f f 2 /
J J T 7 - 1 ■
í
Vl- x
e2xdx
(arcsen*)3
+c = ---------------í-c
Vex +]
Desarrollo
Sea t 2 = ex + 1 => ex = t2 -1 => exdx = 2rdt
r e2xdx Cf_-
JV77I J r
I
1 ltdt = 2(t- - t ) +c =^-í(r2 -3 ) +c - ~ ^ l e x +(ex
sen xdx
Desarrollo
Sea t 2 = eos * => 2t dt = - sen x dx ; como t 2 = eos *
=> í 4 = eos2 * - 1-sen* *; sen~* = l - í 4
j W « f a = f l z í l . (_2„ d, = - 2 f (1- ,< v , = - 2 ( ,- 4 ) + <' = 7'(>4
J v cosx J t J
= y Veos *(cos2* - 5) + c
- 2 ) + c
5) + c
1200 f y -
J *Vi+*~
Desarrollo
Integral indefinida 51
dt
t.-z-
f - 7 ^ = = í -?==== = - f “7=== = “ In Ir + Ví^+T| +c
j *vtt7 j r r
. i Vi+*2 1, , ,i + Vi+ *2 , . , * .
= —ln |—h----------1-t-c = —ln ¡-------------- ¡+c = ln |------ = = ¡ + c
* * * 1+V1+*2
Hallar las siguientes integrales, empleando sustituciones trigonométricas.
1201
I" x2dx
JVHv
Desarrollo
cos0 = V i-* 2 ; sen 9 = x => dx = cos0d0
fW O .c o s I )^ ¡ 2 e d e ^ f i r ” * * ’)
J V i-* 2 j cose J J 2
de
0 sen 9 eos 9 arcsen* Vi
:-------------------hC= ------------*-------
2 2 2 2
1202
í
x'dx
&

Desarrollo
Í2 eos8 - 7 2 - x 2 ; x = ¡2sen9 => dx = Í2cos9d9
í
x dx
y¡2-
2>/2J sen30 d6 = 2V2J (1-
= 2¡2(-
scn} OdO = 2V2 I (l-c o s¿ 9)sen9d9 = 2a/2(-cos0 + ~"-) + c
7 ^ 7 . 2 - x 2 7 T 7 )+ c
V2 2 ' 3V2
1203
I
Desarrollo
x2 - a2
a.tg# = 7x2 - a 2 ; x = a see 0 => dx = a see 0 . tg 0 d0
7 2 -X 2
f 2V2sen30.V2 eos6d0
J V2cos0
f jx2 - a2 _ j>aíg0.íisec0.tg0í/0 _ f ^ 2
J x J asec0 J
6 d 6
= « | (see20 - 1)d9 = a tg 9 - u9 + c - jx2 - a 2 - a.are see(—) + c
J a
1204
f dx
J x T T T Í
= 7 ^2 - «2 -a.arecos(—) + c
x
Desarrollo
ctg0 = -¡= L = ; cos0= — 9 = árceos—
7 7 7 1 x a
x = see 0 => dx = sec 0 . tg 0 d0
1205
f — — = fcos0rtg9.scc0.tg0dO - f d 9 - 0 + l -aiccos(—)+ t
J x T ^ T J ~ ~ J
7 x2 +1 ,
— dx
Desarrollo
tg 0 = x => dv = sec2 0rf0. ; sec0 = 7 x 2 +1
1

f í £ i . sec= í)< » = r
J X J tg 0 J
J (see0.ctg 0 + see0. tg 0)d6 - J (ese 0 + see0. tg0 )dd
sec0(l + tg~0)úí0
t20
] _eos f)
= ln ¡c sc0 -ctg 0 | +sec0+c = ln| —------ -|+sec0 + c
sen0
- _in | - St'n^-1 + sec0 + c = V*2 + 1 - ln |
1 + C OS0
1206 f -----p------
x2y¡4-x2
Desarrollo
x = 2sen0 => dx = 2cos0d 0 ; j 4 - x 2 = 2eos0
l +Vx^+ l
+c
f— = f — 1
J x2y¡4-x2 J 4sen2
2c°s0 1 f 2 ctg0 J 4-X 2
------------- do = - ese 6 dO = ----- — +c = ------------
0 -2 co s0 4 J 4 4x
+c
1207 x 1dx
Desarrollo
x = sen 0 => dx = eos 0 d0 ; cos0 = V i-* 2
1208
1209
J ¡ l - x 2dx = J
0 sen 0.eos 0 aresen x x ¡ l - x2
2 +*
Calcular la integra! I
-+c = - +c
J V IV T I
Desarrollo
Sea x = sen2 1 => dx = 2 sen t. eos t dt,
2 2
valiéndose de la sustitución x - sen ‘ t .
como x - sen / => sen t ■ Jx t = aresen VI
f — * L _ = f - 2sen '-i— - 1 = 2 f - 2 t + c - 2 aresenVI
J VIVICI J senrVi-sen2/ J sen/.cosí
+ c
jV ? +x2dx
Desarrollo
Empleando la sustitución hiperbólica x = a senh t tenemos:
Va2 + a'2 = V«2 + «2sen2ht = acoshf ; dx = a cosh t. dt
2 f 1+ cosh 2í , a2 , senh2f
J Va2+x2dx = a2J cosh2fdt = «2J -rfí = — (/+-
2 2
)+ r

1210
= — (t + senhí.coshO + í' = — ln(x +yja2 +x2) +—4 a 2 + a2 + c
2 2 2
t
, , x v « “+ X“
donde, senh t - —, cosh t = ------------
a a
e' = cosh t +senh t
x +yfa2+x2
í ;
2
x~dx
Hallar I r-------- ; haciendo x = a cosh t
J T ^ a 2
Desarrollo
x = a cosh t => dx = a senh t. dt
f x'dx f a2cosh2í.senhí dt 7 f ,
= I ------------------------= a I cosh t dt
Jyj x2 - a 2 J senhí J
= ° f
+ cosh2í , a2 . senh2í, a2
dt = ——[t +~--------] +c = — [t + senhr.coshí] + c
2 2 2 2
como x = a cosh t => cosh t = —, además
a
^ L , x x"> +x"senhf = „ l + (~ y
V V
V 2 I í 2a + x“ , . x + vx~ +a
e = senn i + cosn i = ---------------- =» t = l n ----------------
a
f x~dx _ a
i J x 2 - a 2
a2 , x +4 x 2 +a2 . xyja2 +x2
[ln i---------------- 1+--------r----- ]+c
I o 7 o L 1 1 „2
ix - a
i2
a
= — ln | .v+ [x~ + a 2 | +—yja2+ x~ +k
4.4. INTEG RACION PO R PARTES.-
Fórmula para la integración por partes: si u = vj/(x) y v = <p(x); son funciones
diferenciables, tendremos que:
» »
u dv = uv~ vdu
•
Hallar las siguientes integrales, utilizando la fórmula para la integración por
partes.
1211
J-xdx
Haciendo
u = ln x =» d u - —
x
Desarrollo
dx
dv —dx => v = x
nxdx = A lnx- | x —- = jc.ln* —Jt+ cJ*ln xdx - A‘ln x —J x — - .
1212 Iarctg xdx
Desarrollo
Haciendo
u - arctg x => du =
dv = dx => v = a-
dx
(1+ JC2)
J
r x ¿x i . ,, ?,
arctg a*dx = x. arctg x - I ----- = Xarctg x - —ln 11+ x~ | +c
14"X~
J
1213 aresen a dx
Desarrollo

1214
1216
1217
Haciendo
u = arcsen x =$ du =
dx
dv = dx => v - x
arcsen xdx - x. arcsen x -
í
xdx r. 2
= x arcsen x + v i - x +c
xsen xdx
Desarrollo
Haciendo
u - x => d u - d x
dv = eos 3x dx v =
sen3x
í
I;
xcos 3xdx =-
xsen3x fsen3x , xsen3x cos3x
í
-dx -+c
-dx
Desarrollo
Haciendo
u = x => du = dx
II
dx
— =>
i
ex
- - I
dx x 1
J “ 7 ~ ex ex+ C ~
x + 1
-+c
í
x.2 ' dx
Haciendo
Desarrollo
u = x => du= dx
dv = 2 xdx => v = —-
ln 2
1218
1219
L 2- ^ = -x .2I - f - 2I ^ = - x . ^ . -
J ln2 J in 2 ln2
P
2~* xln2 + l
+ c = ---------r— +c
In-2 2jrln22
Desarrollo
Haciendo
u = x_ => <ím= 2xáx
c/v = e3xc/x
,3*
V= ■
xe’xdx
Haciendo -
u = x => du= dx
j 3r . edv - e ' dx => v = —
3x
1
r2 0 <*-.3*2„3* > X „3j
x W x = — eJJC- - [
3 3 3 -P
- d x = - e 3x~ e3* + -------+ c
3 3 9 27
2x 2e3x
e3x 2
- — (9x‘ - 6x + 2) + c
27
2x + 5)e Xdx
Desarrollo
Haciendo
ju = x -2 x + 5 du = 2(x-X)dx
dv = e~xdx => v = -e~x

1220
Haciendo
« = * -1 => du = dx
dv = e~xdx => v = -e~
J
(x¿-2 x + 5)e Xdx = -e X(x2 -2 x + 5) + 2 (x -l)(-e x) - 2 e x +c
X
x3e 3dx
Haciendo
= -e~x(x2 +5) + c
Desarrollo
u = x3 => du - 3x2dx
X X
dv = e 3dx => v = —3e 3
e 3dx = -3x3e 3 - J*(3x2)(-3e 3)dx = ~3x3e 3 + 9 | x2e 3dx
Haciendo
u = x" => du = 2xdx
X X
d v - e 3dx => v = -3e 3
J' J’
Haciendo
u = x => d u - d x
X
dv = e 3dx => v = -3e 3
m _ X X X
x 3e 3dx = -3 x 2e 3(x + 3) + 54(-3x<? 3 -9 e 3) + c
-- X
= -3 x 2e 3(x + 3 )-54e 3(3x + 9) + c = -e~3(3x3+ 9x2 + 162x + 486) + c
X
= —3e 3(x3+3x2 + 54x + 162) + c
1221
1222
Jxsen x. cosxdx
Desarrollo
Usar la identidad sen 2x = 2 sen x. eos x
í
x sen x.eos x d x ~ — í x sen 2x dx
2 J
Haciendo
u = x du = dx
dv = sen2xdx => v -
eos 2x
f 1 f N, 1 , x . sen2xN
j xsenx.cosxdlx = —J xsen(2x)dx = —(——cos2xh----- — ) + c
2 2
x . sen2x
= — cos(2x) + ----------ve
4 8
í
(x2 + 5x + 6)cos2xdx
Desarrollo
Haciendo
u = x2 + 5x + 6 => du = (2x + 5)dx
dv —eos 2xdx => v =
sen 2x
i(x‘ + 5x + 6)eos 2x dx =
x + 5x + 6
sen(2x)— | (2x + 5)sen2xdx
2 2 a
Haciendo
u = 2x +5 => du = 2í/x
dv = sen2xdx => v =
eos 2x

i
i
i (x2+5X+6)co&2xdx = ^ 5 ± l sen2xA {. ^ l l cos2x + ^ l ) +c
2 2 2 2
2x2 +lOx + l „ 2x + 5
= — --------------sen 2x + ---------- cos2x + c
4 4
1223 j x 2lnxdx
Desarrollo
Haciendo
u = ln x => du ——
dv = x2dx => v = —
1224
f 1.. > / ** i f ** dx x3 , jr3i lu u/< In r - I-------* — ln jc------
J ’ J 3 x 3 9
J ln1x dx
+ c
Desarrollo
Haciendo
M= ln*x => du = 2lnx.
d v - d x => v = x
dx
j l n 2x.dx = xla2 x - jx.2ln x.— = xn2 x - 2J*ln xdx
Haciendo
m= ln x => du= —
x
d v - d x => v —x
ln2x.dx = xln2x-2xlnx+2x+c
1225
1226
1227
flnj
J x3
dx
Desarrollo
Haciendo
u = lnx => du
_¿x
X
1-
ll
^18-
=> v =
1
2x2
lnx dx _
2x2 . ! 2x2 X
-+ c
4 x
dx
Haciendo
u = ln x => du= —
x
dv = => v = 2VI
lx
Desarrollo
dx
dx = 2V i ln x - 1 2V i ^ = 2V I ln x - 2J V i y = ^+‘
í
xarctgx</x
Haciendo
Desarrollo
. dx
u = arctgx => du ------- -
1+ x2
dv - x d x => v —
2
Jxarctgx<it =^-arctgx-2 J ——- d x arctgx ^J(1 ^_ x^ dx

x2 1 * * + 1 , x
- — arctg*H— atctg*— +c = --------arctg* - —+ c
2 2 2 2 2
1
1228 * arcsen* dx
Haciendo
u - arcsen x => du =
dv = xdx => v = —
Desarrollo
dx
síi^ x 2
dxf ¿ X 1 l C X 2c
I x arcsen xdx =— arcsen*— —¡=
J 2 2J ^ Z x2
Sea x = sen 0 => dx = eos 0 d0
V i-sen29
= f« n ’ #«,»= í í ^ í " , »
-2 ““sen2O.cosOdd
= j sen"t) dt) = j ----—
9 sen20 9 sen9 eos9 arcsen* * v l- * 2
2 4 2
2
Luego: * arcsen xdx = — arcsen * - —(
J 2 2 2
1 arcsen* *Vl - * 2
) + c
arcsen* * r , T
+ -V 1 -* +c
1229 J ln(* + Vi + *2W*
Desarrollo
Haciendo
u = ln(*+Vl + *2 => =
dv = dx => v = *
dx
V1+*2
1230
1231
1232
f ln(* + Vi + *2)d* = *ln(* + Vi + *2) - í - /==== zzx]n(x+'h+x2)-'J +x~ +c
J J Vi+*2
í
xdx
en2*
Desarrollo
*cos ec2xdx
Haciendo
íw = * =i> du = dx
líiv = cosec2xdx =£ v = -c tg *
J- A = -c tg * + j c tg * dx = xc tg * + ln | sen * | +c
j sen * J
f xcosxdx
J sen2*
Desarrollo
f * c o s * ^ _ f xcosecxcXgxdx
J sen"* J
Haciendo
u = x => du =dx
dv =cosecx.ctgxdx => v = -cosecx
f.vcosx , f ,
I —dx = -eosecx- I -eosecxdx
J sen * J
X x
= -xcosecx + ln Ieos ecx - c tg * | +c = --------- + ln ¡tg—| +c
sen* 2
íex sen xdx
Desarrollo

66
1233
Haciendo
u = sen x => du = eos x dx
I
dv = e dx => v = e
exsenx d x - e x sen x - j e * cosxdx
u = eos x => du = - sen xdx
Haciendo
I
d v -e * d x => v = e*
e*sen xdx = e* sen x -(e * eos x — e * ( - sen x)dx)
J‘
J‘
= e* sen x - e* cos x - I ex sen xdx = — (senx -eos x) + c
2
1
3* eos xdx
Desarrollo
Haciendo
u —eosx => du = -sen x dx
3*
1
3Xeos xdx =
dv = 3xdx => v
3* eos x
ln3 I-
ln3
3X , 3Xeos
——sen xdx = --------
ln 3 ln 3
í + — f
ln 3 j
3Xsen xdx
Haciendo
w=senx => du = eos xdx
3X
dv = 3xdx v = -
ln3
, 3*cosx 3* sen x
3 cos x d x - --------- -H---------—
ln3 ln3 - ¡ y
3Xeos xdx
, 3*(sen x + ln3cosx)
3 cosxdx = ----------- ----------------- -c
ln 3 +1
1234
1235
í
eax sen(bx)dx
Desarrollo
m= sen(¿x) ==> du = b cos(bx)dx
Haciendo
dv = emdx =* v = ----
a
feax sen(bx)dx =sen bx - b e— cosbxdx = e- ^ ^ - b f•* a J a a a J
Haciendo
u = eos bx => du = -b sen bxdx
e“*
dv = eaxdx => v = -
a
Jeax sen bx dx =
e™senbx b . e ^ cosbx b
--- (■
a a a
+— fe sen bxdx)
e“*sen bx b m b2 f „
-----—e eos bx— - l e senbxdx
a~ J
7>J(1+ —r) I e“*sen bxdx =
a a
aeax sen bx - beaxeos bx
l ax , , ax.asenbx-bcosbx,
J e sen bx dx = e°*(--------- — —------ ) + c
a2 +b2
Jsen(ln x)dx
Desarrollo
eos bxdx
Sea z = ln x => x - e z => dx = e zdz

f f ez sen ^—e" eos 7
J sen(ln x)dx = I ez sen zdz = -------- — ----------+ c , por el ejercicio 1234.
í
e njrsen(lnx)-e cos(lnx) x sen(ln a) - xcos(ln x)
sen(ln x)dx = ---------- ------------------------- - + c = ----------------------- ------- + c
2 2
Hallar las siguientes integrales, empleando diferentes procedimientos:
J a - ' ,1236 I x e~x dx
'
Haciendo •
Desarrollo
h = x2 => du = 2xdx
e-*
dv = xe~* dx => v = ■
j x 3e x dx = -~^-e x ~ j ~ xe * dx = - ~ -
- X 1 e x e x ■>
e ----------i-c = --------(x~ + 1) + c
2 2
1237 I e ^ d x
Desarrollo
Sea z2 = x => dx = 2zdz
J"e ^ d x = 2 f zezdz
Haciendo
u = z => du —dz
dv = ezdz => v = ez
^ e ^ d x = 2J zezdz = 2(zez - e z) + c = 2(yfxe'^x - e ^ ) + c = 2e'^x([x - l) + t
1238
1239
J
(x -2x+ 3)lnxdx
Desarrollo
Haciendo
u = ln x => du= —
x
dv = (x2- 2x + 3)dx => v = —— x2 +3xi .
3
J*(jc2 -2 x + 3)lnxdx = ( ^ - - x 2 + 3x)I n —J * — jc+ 3)dx
fxln (|—:-)dx
J 1+ x
r 3 3 2
= (------x2 + 3x)lnx------- ¡-------3x + c
3 9 2
Desarrollo
J x ln(|—-)dx = J"jcln(l —x)dx - J x ln(l + x)dx
integrando Jxln(l-x)dx
(1)
Haciendo
u = ln(l - x ) => du = -
dv - xdx => v = —
2
dx
- x
Ixln(l - x)dx = — ln(l - x) + ^
2 J 1-
2 x2
dx = — ln (l-x )+ [
x 2
1 f(_x_l+J-2 J 1-;
)dx]
(2)

iintegrando I xln(l + x)í/x
Haciendo
u = ln(l + x) du =
dv = xdx => v = —
2
dx
í+ x
I
x ln(l + x)dx - — ln(l + x) _ I f .
2J 1
x2 x2
— dx =— ln(l + x)-
+ x 2
- f ( x - l + —
2 J 1+ ;
■)dx
X X X 1
= — ln(l + x ) - — + -------ln(l + x)
2 4 2 2
... (3)
reemplazando: (2), (3) en (1) se tiene:
fxln(-—-)<£t= — ln(l-x)-—— — ln(l—x)—— ln(l+x)H---------H—ln(l+x)
J 1+x 2 ' " " "4 2 2 4 2 2
x2 , 1 -x 1, ,1-x. x2 - l . ,1 - * .
= — ln---------x — ln(--) + c = ---------- ln |-------1- x +c
2 1+ x 2 +x 1+ x
1240
I
n¿x
dx
Haciendo
Desarrollo
dx
u = ln x => d u - 2lnx.
dv
dx 1
1241
1242
Haciendo
u = ln x => du= —
x
. dx 1
d v - — =* V —----
x¿ X
ñ
ln2x lnx f dx . ln2x 2 lnx 2
-dx = — — + 2(—
x- x
f ln(ln x)
í
y
-dx
Desarrollo
Haciendo
u = ln(ln x) => du =
i dx idv —— => v = ln x
x
dx
xln x
ln(in jc)
dx = ln x.ln(ln x) - I ln x.-
J
dx
xlnx
= (ln(ln x) - 1) ln x + c
= ln x. ln(ln x) - ln x + c
x arctg(3x)í£c
Desarrollo
Haciendo
u = arctg(3x) => du =
j 2 , x
dv = x dx => v = -—-
3dx
l +9x2
J
, x3
x arctg(3x)dx = — arctg(3x) -
f x dx _ x'
J l+9x
- f ( - — — -
J 9 162 1
18x
+ 9x2
-)dx
J x 1
- — arctg(3x)-------1----- ln 11+ 9x2 | +c
3 18 162

1243
i ■
1244
I
x(arctg x)2dx
Desarrollo
Sea z = arctg x =* x = tgz => dx = sec2 z dz
JA(arctg x)2dx = Jz2 tg z.sec2 z dz
u - z 2 => du = 2zdz
Haciendo
7 t g 2 Z
dv = tgz.sec zdz => v =——
2
7 2 - 2
= — tg2 z +~ - I zsecz zdz
j*x(arctgx)2í¿x = ^ -tg 2z - J z t g 2 zdz =~~tg2 z - j"(zsec2 z~z)dz
- I '
integrando J z sec2 z dz = z tg z + In | cos z | es por partes
Jx(arctg x)2dx = -y (tg2 z +1)- z tg z - In | cos z | +c
Í
(arcsen x)2dx
z2
= — (tg2 z + 1)- z tg z + In | sec z | +c
= i arct§ AL ( Ar2 +l)-jcarctgA + 2ln(l + x 2) +c
Desarrollo
1245
Sea z = arcsen x => x = sen z, dx = cos z dz
J (arcsen x)2dx = J z2cos z dz
Haciendo
u = z2 =* du = 2z<iz
dv = cos zdz => v = senz
J (arcsen x)2dx = z2sen z - 2J zsen z dz
I'm= z => du=dz
dv = sen z*/z => v = -cos z
J (arcsen x)2dx = z2sen z - 2(-z cos z - J - cos zdz)
Haciendo
z 1 sen z + 2z cos z - 2sen z +c = jc(arcsen x)2 +2V1- x2 arcsen x -2 x + c
f arcsen x
IX
Desarrollo
J „ -dx
x2
Sea z = arcsen x => x = sen z, dx = cos z dz
farcsenx^_ f /- Coszdz= f zctgz.coseczcfz
J x J sen z J
Haciendo
U - z => du =dz
dv = c tgz.coseczdz => v = -cosecz
f arcsenx . f , z , f dz
»-------- dx = -zcosecz — I-coseczdz =------- + >----I---------- dx = -zcos ecz - I -cos ecz az = ---------+ i -------
J x2 J sen z J sen z
+ ln |tg (-)|+ c
senz 2

1246
1247
farcsenx , z , ,.,arcsen*,,*L ,I---------- dx = ---------+ ln|cosé,c z -c tg z | = -------------+ ln¡------- |+c
J * sene * 1+ V 1-*
f arcsen
J jr r x dx
Desarrollo
Sea
[z = arcsenV* => V* = sen z
* = sen2 z => í/* = 2senzcoszdz
f arcsen V* , f z-2senz.cosz ,„f,
I — -------dx - I— -dz = 2 I zsenzaz
J v i - * J V i-sen2 z J
Haciendo
u = z => d u = d z
dv = senzdz => v = -cosz
f arC^en -* dx = 2(-z eos z - f -eos zdz) = -2z eos z + 2 sen z + c
J Vl~ * J
= -2arcsen V*Vl~* +2fx +c
Jx tg 2*rf*
Desarrollo
(*sec22x -x )d x
Haciendo
u = x => du =dx
dv = sec2 2xdx => v = ^
1248
1249
I
sen2 x ,
--------dx
Desarrollo
i 2x , f l-co s2 *f sen" x f 1- cos 2x 1 f 1 f ,
I--------dx= I------------ dx =— e dx---- le eos 2xdx
J ex J 2ex 2 J 2 j
41-
e
~2
e JCcos2xdx ... (1)
1
integrando le *cos2xdx, por partes se tiene:
Haciendo
u = eos 2x => du = -2 sen 2x dx
dv = e~xdx v ——e x
j e ~ xcos2xdx = e'' co&2x+2je~xsealxdx
integrando por partes se tiene: j*e~x eos 2x dx = -------------- -------------- ... (2)
f sen2x , e~x /co s2 * -2 se n 2 * -l
reemplazando (2) en (1) se tiene: | ------— dx = —r- (---------------------------- ;--) + <■
y
r
J
eos2(ln x)dx
Desarrollo
, J 2 1+ eos 2*
Usar la identidad eos x = ------------
J eos2(ln x)dx = J 1+ COS^2ln X- dx = ^ ^ J cos(2 ln x)dx ... (1)

Sea z = ln x => x —e l => dx —e'dz
J cos(2 ln x)dx = J e zeos 2z dz
«=ez =>du =ezdz
Haciendo
dv = cos2xdx => v = -
sen2z
J cos(2 lnjc)í/jc = y sen 2z - —J e~ sen 2zdz
Haciendo
u - e z =$ du = ezdz.
d v - s t n l z d z =* v = -
cos2z
Icos(2 ln x)dx = — sen 2z - - f ( - — cos2z + - (Vcos22<fe)
2J 2 2J
= - sen 2(ln x) + - cos(2ln x) - - f eos 2(ln *)cfx
2 4 4 J
1
cos(2 ln x)dx -
2x sen(2 ln x) + x cos(ln x)
... (2)
reemplazando (2) en (1) se tiene:
‘l + cos(21nx)x x cos(2 ln x) + 2x sen(2 ln x)
1250
j*eos2(ln x)dx = J -
I
x dx
(1+ *2)2
-dx = —+-
2
Desarrollo
10
+ c
Haciendo
u = x => du =dx
dv =
xdx
(1+ Jr2)2
=> v = —
1
2(x +1)
1251
— f - + (
J (l + x2)2 2(x +1) J
í
dx
2(x +1) J 2(x +1) 2(x +1) 2
x 1
^----- + —arctgx + c
dx
(x2 + a 2)2
Desarrollo
Sea x = a tg 0 => dx = a see2 9 dd
f dx _ f a sec~ 9 d9 fa s
J ( x 2 + a 2)2 J(a2tg: 0 + a 2)2 J a
see2Odd
4 sec49
=4r [cos2Odd =-2- f(l +cos26)dd = -— ■+
a3 J 2a3 J 2a3
9 sen 9 cos 9
---------+ c
2a3,
arctg(-) arctg(-)
/7 CL 1 /i X
--------- r — + -------r -------------- + C = ----------------------------h —-------- ^ ) + C
2a' 2(«‘ + x ) a 2a2 a a + x
1252 JJ a 2 - x 2dx
Desarrollo
Sea x = a sen 0 => dx = a cos 0 d0
X X
sen9 = — => 9 = arcsen(—)
a a
J*'Ja2~—x2dx = jy fa 2 - a 7sen29.acos9d9 - a2jc o s 29 d9

¡
7g Eduardo Espinoza Ramos
2 f l + cos20 a" a" a
= a2 I ------------¿Q = — 0H-----sen0cos0+í
J 2 2 2
« * 1 2 2 ,= — arcsen(—) + —va -•* +c
2 a 2
1253 |V a + ;c2</;c
Desarrollo
Sea x = VÁtg 9 => dx = VÂ see29 d9
tg 9 = -4= => 0 = arctg(-^=)
Va Va
JyjA +x2dx = Js¡A + Aig29.yfÁ sec2dO = J Asee39 dO
se integra por partes:
JA see30 d9 = AJ(1+ tg29 )see 9 d9 = AJ(sec0 + tg29 see 9)d9
= A ln|sec0 + tg0 |+ A tg 0 se c 0 -A jse c 30¿0
= y [ln |see0 + tg0 | + tg0sec0] + c
JV Â 7 7 d x -= |[ l n I I + ^ V Á ^ 7 ] + c
—1n Ia:+ yfÂ+x2 +—VÁ+~? + k
2 2
1254
1
x2dx
y¡9-x2
Desarrollo
x = 3 sen 0 => dx = 3 eos 0 d9
X x
sen0 = — => 0 = arcsen(—)
3 3
f x2dx (*9sen20 f ,
I -y- — = I ----------.3cos0 dO = 9 I sen' 0 ¿0
J V 9-.Ï2 J 3eos0 J
= 1 1 -
90 9
2eos 9)d9 = —-— sen0eos0 + c
2 2
9 -v 9 x y¡9-x2 9i jc r 7
= —aresen(—)— ( - ) -----+ c --a rc se n (-) — yJ9-x~ +c
2 3 2 3 3 2 3 2
4.5. INTEG RALES ELEM ENTALES QUE CONTIENEN UN
TRINOM IO CUADRADO.-
0 INTEGRALES DEL TIPO.
171X + Yl .
dx, el procedimiento es el siguiente: El trinomio der ,
J ax +bx +c
segundo grado ax2 + bx+ c, se reduce a la forma
2 "y
ax +bx +c = a(x+k) + L , donde k, L; son constantes y esto se
consigue completando cuadrados.
© INTEGRALES DEL TIPO.-
í
mx +n
d x , los caiculos son analogos del 1) y después son
fax2+bx +c
integrales inmediatos.

© INTEGRALES DEL TIPO.
(mx + n)
, se usa la sustitución inversa-------- = t
(mx + n)¡ax2 +bx +c ,nx + n
© INTEGRALES DEL TIPO.-
1255
I
ax1 +bx +c d x , se completan cuadrados y la integral se reduce a una
de las integrales principales.
dx
x2 + 2.x+ 5
1256
Desarrollo
x +2x +5 J (x + 1) + 4 2
dx
Ix
Desarrollo
x 2+2x
f dx _ f dx _ f dx _ 1 1 | x +1 —1
J x 2+2x J x 2+2x + 1-1 J(x+1)2-1 2 x+ 1+ 1 2 x+2
1257
1258
J
3x2 —x + 1
dx
3x2 —x + 1
xdx
x 2- 7 x + 13
Desarrollo
dx 1 f dx 3 6 x -l.
U n
3 3 6 36
Desarrollo
Integral Indefinida
81
1259
1260
1261
f xdx _ 1 2 x ~ l 7
J x 2 -7 x + 13 2 ] x2- l x + 3 + ~x2- 7 x + l3)dX
j* 3x
J x 2 -
2' 4
3x —2
-dx
4x + 5
Desarrollo
- i f - î ï = i _ * + 4 f *
J x -4 x +5 J x~ - 4 x +5 2 j x 2 - 4 x +5 J x 2- 4 x +5
= - ¡ n l x 2 - 4 x +5 j+ 4 j— = |ln |x 2-4x +5|+4arctg(x-2) +c
f (x -1 )2dx
Jx2 + 3x+4
Desarrollo
9
f (x -1 Ÿ dx _ f 5x + 3 5 f 2x + 3Ô
J ^ +í«+4 - J <1" ? T 5 7 rï>& =I- [l J <ï w ï - 7 7 f c 7 ^ 1
f ^ - 3 a + í f — ± —
^ +3^+4 2 J u + 3 )¡ + 7
2 4
- x - - ln | x2 + 3x + 4 1+ ~ a rc tg (-^ Íl) + c
2 V7 V7
f x2dx
Jx2 - 6 x + 10
Desarrollo

f x2dx f 6x-10 w f f 6x-10 J
I í— ------- = (l + -r------------------------- )dx = dx+ - T-~--------- dx
J x -6x + 10 J x -6x + 10 J J x~ - 6x +10
f 2 x -6 f dx
= x + 3 —----------- dx +8 --------
J x -6 x + 10 J (x -3 ) +1
1262
J
(x -3 )¿
= x + 31n | x 2 -6 x + 10|+8arctg(x-3) + c
dx
y¡2+3 x - 2 x 2
Desarrollo
1263
f dx (* dx 1 f dx
¡2 + 3 x - 2 x 2 J j 2(l + 3 x _ x2} 4 2 J J 1 + 3 x _ x2
72 í
í
x 1 ,4 x - 3 ,
r I i ~ -------= —¡=arcsen(--------- )+ c
y jx - x 2
Desarrollo
dx
1264
¡ f s
dx
= arcsen(2x -1) + c
+ px +q
Desarrollo
' ~=f~j--------~ X = n x + £ + 4 x 2 + px + ql +c
J X + DX + a J l r> ^ n
f 3 x -6
J [x2- 4 x +‘.
1265 I ------ dx
h5
Desarrollo
~ 2 w— dxJ ’ í i S — s L f
J y¡x - 4 x +5 * lx - 4x + 5
/------------- x —2
Sea u = x 2 - 4x + 5 => du = —= = = = ■ dx
Vx2 -4 x + 5
f —-j2~^L=Jt=dx = 3 f - — L=^===rdx = 3 Idu = 3u +c = 3-v/*2 -4 x + 5 + <
J ¡x2 - 4 x +5 * v x 2 - 4 x + 5 J
1266 J 2X 6...-dx
2 x -8
Vi - x —x”
Desarrollo
f = f e * +1)- y = f-7J £ Ü_*=9f
J y j l - x - x 2 J >jl—x -x ? * j - x - x 2 J
« f ) 2 - U + 2-), )5
= -2 -v /l-x -x 2 - 9 arcsen(— Í - ) + c
yf5
í
1267 I -= ==J====dx
V5x2 - 2 x + l
Desarrollo
f , - dx = l [ ^ - 1)+ 1 dx
» v5x2 -2 x + l 5 J v5x2 - 2 x + 1
^ ..... * + l f .
^ J v 5 x 2 - 2 x + l V5x2 - 2 x+ 1

= -->/5jc2—2x+l h— í= f - . =
4 ^ 7 ^ + J _ to U _ i t ^ T | 7 J | +c
- ) 2 + ( -)2
5 5
1268
J
dx
x J l- x 2
Desarrollo
Sea x = - => dx = —~
t t2
J-
dt
= - l n | i + ——— | +c = ln | ----- vX | +c
. * * Í + V i^ ^
- 1 1+c
1269
1
d;c
x¡x2 + JC+1
i
Sea x =- => dx = ~ —
t t2
Desarrollo
J
dt_
dx = f 12 = _ f dt _ _ r dt
4 2
/ 2í- ^ ,2 - j r= - arcsen(—= -) +c - ~ arcsen( )+ c
v5 V5x
1270
1271
1272
f ___ dx
J (x —(x-l)y¡x2 - 2
Desarrollo
1 1 i j dt
Sea t - ----- => - = x - l => dx = — -
x - l t t2
_dt
í ____ * ____ , r y , . = j
J í r _ n J J I 2 J i [ i .„2 „ J
= -arcsen( — ) + c
1
(jc-I)Vjc2 - 2 J l ^ l + 1)2_2 J Vl + 2 í- í2 J 2 ( x - D
dx
(x +l)4x2 +2x
Desarrollo
i
1 di '
Sea x +1 = - => dx - — —
í í2
dt
1
-arcsen t +c = ~ arcsen(------ ) + c
x +l
r _ _ _ ¿ __________ r * — .
' - J (~ -l)2+ 2 (--l) ^
í V t t
yx2 +2x +5dx
Desarrollo
* J V 7 7 2 ^ 5 d x = JV Ü ^ Í)2 +4dx
yj(x + l)2 + 4 + -ln | jc+ I+ Ví-í + I)2 + 4 l+c
X + l
2 v 2
= £ ± IV x 2 +2x + 5 + 21n|x + l + >/x2 +2x + 5| +c
2

1273
1274
1275
1276
S ' / * - * 2
dx
Desarrollo
1
j f x x~dx - j ( x - —)2dx = ——í - J x - x 2 +-^.iarcsen(2*-l) + c
2 x -l I 2 1
- — -— x - x + -arcsen(2A-l) + c
4 8
-ji1dx
Desarrollo
l
{ ' f a - x - x dx= í j —-(*+—)-dx =—- 2 .y j2 - x - x2 +—arcsen(-^-í-í-)+c
J J V4 z 2 2 4 3
_ 2x +l £ 7 92*+ l
-------— 2 - x - x +-arcsen(------- ) + c
4 8 3
; xdx
Jx4 - 4x24x2+3
Desarrollo
f _ xdx _ f xdx 1 1 x2 - 2 - 1 . _
J -4^+3-JÍ7TÍ7TT=i -2lnITTiTI1+" i ln17T71+c
I
(a2 - 2 ) 2-1 2 2 ' x2- 2 + 1' !~ 4 ' x2—1
eos xdx
í+ 12 •
Desarrollo
sen2x-6sen jc+ 12
1277
1278
1279
T exdx
J y¡Vve*~+e2x
Desarrollo
- + yjl +ex +e2* I+c
í
senjedx
Veos2x + 4cos.x + l
Desarrollo
f sen a¿y _ f sen .ydx
J Veos2x + 4cos.x + l J y[(cosx + 2 y - 3
= - l n |cosx + 2 + Vcos2 * + 4cosx + l |+c
f lnjcrtx
J * V l-4 1 n x -ln 2 x
Desarrollo
lnxdxf ln xdx f ____J|
Jx ¡ l- 4 n x - ln 2 x J Xy¡5- (ln x + 2)2
dx , t
Sea u = ln x + 2 => du - — , ln x - u - 2
x
f lnAdt j" lnxdx _ |‘(m-2)¿m _ |* udu ^ j* du
J vVl-4ln;c-ln2a Jxy¡5-(nx+2)2 J yj5-u2 Jy¡5-u^ Jy¡5-u2
,lnA+ 2x
- -y¡5 - ii' -2 arcsen(-^=r)+c = -V 1- 4 ln a - ln"a - 2arcscn( j - ) + c

4.6. INTEG RACION DE FUNCIONES RACIO NALES.
® METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS.-
Consideremos dos funciones polinómicas:
P(x)=bnx" +bn_]x n~i +...+blx+b0 y Q(x)=amxm+amAxm~{+...+alx+a0
Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas, es
P(x)
decir
Q(x)
Cuando el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x) a la función
racional se denomina función racional propia, en caso contrario se
denomina impropia.
Si la función racional es impropia al dividir el numerador por el
denominador se puede representar la función dada como la suma de un
polinomio y de una función racional.
P(x) R(x)
Es decir: ------ = C(x) + ---- ^, donde el grado de R(x) es menor que el
Q(x)
grado de Q(x).
Q(x)
Nuestro interés es la integración de las funciones racionales propias:
P(x)
í Q(x)
d x , para esto consideremos los siguientes casos:
PRIMER CASO: Cuando los factores de Q(x) son todos lineales y
distintos.
Es decir: Q(x) = ( x - a y) ( x - a 2)...(x-an) , para este caso escribiremos:
donde Al ,A2,...,An , son constantes]
P(x)
Q(x) x-a¡ x - a 2 x - a n
que se van a determinar.
SEGUNDO CASO: Cuando los factores de Q(x) son todos lineales y
algunos se repiten, suponiendo que (jc -a ,) es el factor que se repite P
veces, para este caso existe la suma de P fracciones parciales.
A A, AP
— — + -----3 _ + ... + ------c—
x-a¡ (x - a ¡ f ( x - a i)p
donde A,, A2, A3,..., Ap , son constantes que se van a determinar.
TERCER CASO: Los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos
irreducibles y ninguna de los factores cuadráticos se repiten. Para el factor
cuadrático x2 +bx + c la función racional es de la forma:
Ax +B
x2 +bx + c
CUARTO CASO: Cuando los factores de Q(x) son lineales y
cuadráticos y algunos de los factores cuadráticos se repiten.
Si x 2 +bx +c es un factor cuadrático que se repite m veces, entonces las
fracciones parciales correspondientes a este factor son de la forma:
A|X+P| A2x + B2 ^ j
ax2 + bx + c (ax2 +bx + c)2 (ax2 + bx + c)m
(2 ) METODO DE OSTROGRADSKI.-
Si Q(x) tiene raíces múltiples, se tiene:
P^ d x = X M + ... (a)
• Q(x) Qx(x) J Q2(x )
donde Qt(x) es el máximo común divisor del polinomio Q(x) y de su
derivada Q'(x).

1280
1281
& (*) = -“ :* 0i W . X(x) e Y(x)
Qi(x)
son polinomios con coeficientes indeterminados, cuyos grados son
menores en una unidad que los Q¡ (x) y Q2(x), respectivamente, los
coeficientes indeterminados de X(x), Y(x) se calcula derivando la
identidad (a).
Hallar las integrales:
dx
J(x +a)(x +b)
Desarrollo
^ , efectuando y agrupando:
Cx +a)(x +b) x +a x +b
A +B = 0 } i i
1 A = -------- , B = -
Ab+ Ba = l! a —b a —b
f, * - M — i-*---L . fJ Ü - + - L . fjJ (x + a)(x + b) J x + a x + ba - b J x + a a - b j a
dx
Tb
1 > i i l . i ,i x + b ,
-ln | jc+ « | h------- n x +b+c = -------ln | -------¡+c, a ^ b
a - b a - b a - b x+a
I
x 2- 5 jc+ 9
x2- 5 jc+ 6
dx
Desarrollo
1282
1283
1
dx
(jc—1)(jc+ 2)(jc+ 3)
1
Desarrollo
A h— — + — — , efectuando y agrupando:
(jc-1 ) (jc+ 2)(.x+ 3) jc—1 x +2 x + 3
1= (A +B +C)x2 +(5A +2B +C)x +(6A - 3B - 2C)
A +B + C —0
5 A + 2B + C =0
6 A -3 B - 2 C = 0
A = — ; B = - ~ ; C = -
12 3 4
J
dx
(jc-l)(;t+2)(x + 3)
B C u+ ------- 1------- )dx
x+2 x+3
_L f dx 1 f dx +J_ f
12 Jjc-l 3 J x +2 4 J
dx
„t+ 3
1 ln !jc—11---In ! x +2 |+ —ln | x + 3| +ci i 3 i 4
12
= -|-[ln |x -l¡-4 1 n |x + 2 |+ 3 1 n |x + 3|] + c ln|-
12 12 (x+3)
1 , . (jc-IXjc+3)3
|+c
r 2x2
J ( x - i )
+ 4 U - 9 1
1)(jc+ 3)(jc- 4 )
2jc + 41jc—91
-dx
Desarrollo
A B C
h------- +.-------, efectuando y agrupando se obtiene:
( x - 1 ) ( j í + 3 )(x -4 ) x - l x +3 x - 4
2x2 +41jc-91 = (A +B +C)x2 + (-A -5 B +2 C )x -l2 (A -4 B +3C)

1284
A + B + C = 2
de donde se obtiene: - A - 5 B +2 C -41
-(12A -4B + 2C) = -91
resolviendo se tiene: A = 4, B = -7, C = 5
2x2 + 41x-91
(x -l)(x + 3)(x + 4)
-dx
■ M r-J JC—1 X +
+ 3 ,n |íit^ - 4)5|+c
x + 3 x - 4 (x + 3)
5x +2
x3+ 5x2+ 4x
dx
Desarrollo
5x3 +2 . 25.x2 -2 0 * + 2 , 25x2 -20* + 2
— ------- -------- = 5 + — -------- ----------= 5 + ------------------------
x - 5 x +4x x - 5x“+ 4x x(x 4)(. I)
25x2- 20x + 2 A B C
x (x -l)(x -4 ) x x-1 c - 4
de donde
25.v" —20x +2 —{A +B +C)x~ +(5A —4B~ ( )x ■+4A
A +B +C = 25
- 5 A - 3 B - C = -20
4A = 2
1 „7 ^ 161
, resolviendo el sistema: A .11 . C = —
2 3 6
1285
1286
í
dx
x(x + l)
1
Desarrollo
= —h—— + — —— , efectuando la operación
x(x+ l)2 A' X + l (x + l)‘
l = A(x + l) 2 + B x(x + l) + Cx => 1=(A +B)x2 +(2A +B +C)x +A , de donde:
resolviendo el sistema: A = 1, B = -1, C = -1
A+B = 0
2A + B+ C = 0
A = 1
dx
JJ x(x + l)2 J * X+l (x + l)
,A B C(_ + -------+ . ~ ) d x = [ ( i — 4 - — -^
J X x 1 (x + l)"
)dx
= ln x-ln Ix + l I+—— +c = ln | ----- ¡+-------+ c
1 1 x + l x + l x+ l
f —J 4x3- A
dx
Desarrollo
* _ i
x3—1 1 4-= - +- ^
x - 4
4x3 x 4 4x' x x(x + 2 )(x _ ^)
A B C
1. ~ x + 1 + 1x + — x —
2 2
B C A
de donde x - 4 = (A+B + C)x2 + ( - —+ —)x ——
2 2 A
A +B +C = 0
_ B C =1
2 + 2
resolviendo el sistema: A =16, B =-9, C =-7

1287
- ^ T ^ d x = IVJ 4 x - x J 4
A B C w . t i
H-----1------ —-i------ 7~)dx ——i— | 1 .
4 x , 1 „ 14 16J , l v 1,
í-
x - 4
í/x
x + — x —
2 2
x(x + - ) ( x - - )
2 2
x 1 f 16 -9 7 x 1 ri¿, , L ti ,
—h— I (— +-— -------- r)dx = —h— [16lnx-9ln(x+ —)-7 ln (x -~ )]
4 16J x 1 1 4 16 2 2xH— x—
2 2
x 1 .
=—+—ln4 16
„16
(x + i ) 9( x - i ) 7
2 2
| +c = —+ — ln |
4 16 (2x + l) (2 x -l)
y + c
f x4- 6x3
J x3- 6x2
+ 12x‘ + 6
+ 12x -8
dx
Desarrollo
x4- 6x3+ 12x2+ 6
x3- 6x2+ 12x -8
:x + -
8x + 6
x - 6x‘ + 12x - 8
= x + -
8x + 6
(x~ 2)3
í
x4- 6x3+ 12x2+6
x3- 6x2+ 12x -8 í ‘
dx = I (x +
8x + 6
( x - 2)3
)dx
__x1 +
2
B
( x - 2)2 ( x - 2)3
)dx
8x + 6A + — ! L _ +_ C _ =>sx +6 = Ax2 + (B -4 A )X+2 A - 2 B +C
( x - 2)3 x -2 ( x - 2)2 ( x - 2)3
A = 0
.B-4A = 8
2 A - 2 B +C = 6
, resolviendo el sistema se tiene: A = 0, B = 8, C = 22
x4- 6x3+ 12x2+ 6 , x2 f 8 22 w
—------ --------------dx =— + (-------- - + ------— )dx
1288
1289
___8 11
2 x -2 ( x - 2)2 C
f (5x2+ 6x + 9)dx
J (x -3 )2(x + 1)2
Desarrollo
5x2+6x + 9 _ A B C D
(x -3 )2(x + 1)2 ~ x - 3 + (x -3 )2+ x + 1+ (x + 1)2
5x2+ 6x + 9 = (A + C)x3+ (-A + B - 5 C +D)x2 +
+(-5 A+2B +3 C - 6D)x + (-3 A+B +9C +9D)
A +C = 0
-A + 5 -5 C + D = 5
-5 A+ 2Z?+ 3C - 6D = 6
-3 A+ B +9C +9D = 9
9 l
resolviendo el sistema se tiene: A = 0, C = 0, B = —, D =—
2 2
f 5x2+ 6x + 9 J 9 C dx 1 f dx 9 1 1 , 1 ,
------------ ------------r - d x = - ------------T + - I ----------------------------------------------------------— =
-
( ----------)
-
(------
j (x -3 )2(x + 1)2 2J (x -3 ) 2J (x + 1) 2 x -3 2 x + 1
f + 7
J(x2-3 x -1 0 )2 X
Desarrollo
f x2- 8x + 7 J f x2-8 x + 7 ,
I —i-------------^rdx— I ---------- --------- dx
J (x -3 x -1 0 ) J (x -5 )2(x+ 2)2

1290
1291
, A B t C | D
x - 5 + (x -5 )2+ x+2 (x +2)2
x 2- 8jc+ 7 = A(x +5){x +2)2 + B(x + 2)2+ C(.x + 2)(x - 5)2 + D(x - 5)2
i ! « = _ A C = - — __
343 ’ 49 ’ 343 ’ 49
f x2 - S x +1 , 3 0 , , c , , 8 1 30 , ,
J *=5 4 3 ln1' - 5 1 - - 3 « ln1A+21"
= _ » ________ - — +ü L i „ |— j *
49(jc—5) 49U + 2) ~ ~
J(aT
30 8 30 n - 27agrupando y resolviendo se tiene: A = ——, B - - — , C - - ——, U - -
49(jc-5 ) 49U + 2) 343 a:+ 2
2jc—3
—rdx
2)
Desarrollo
— dx
(x~ —3a:+ 2)
Sea u = x 2 - 3 a: + 2 => du = (2 x -3 )d x
J (ac —3ac+ 2) J w3 2/r
Como
1
1(x2 - 3jc+ 2)3~' J «3 2m2 +C 2 U 2 - 3 at+ 2 ) 2
I
X3+ AT+1
a:(a:2+ 1)
dx
Desarrollo
fAT3+JC+l (" 1 w f d.V
-----r------dx = I (H—=---)dx = x + ------- -----
J x(x~ + 1) J x3 +x J x(x~ +1)
___ !___ = A + Bx +C = (A + B)x-+Cx+A ^ l = x 2(A+C) +Cx +A
JC(.V2+1) * X2 +l Af(A-2+1)
1292
A+ B = 0]
de donde: C = 0
A = 1
resolviendo el sistema: A = 1, B = -1, C = 0
fAT3+JC+l f 1 x
| ---- r-----dx =x+ |( ------ —
J x(x2+1) J X X2H
)dx =x+lnx — ln(jc +l) +c
+1 2
= x +ln |
Va:2+1
+c
f x4dx
J x 4-1
Desarrollo
s d x = L ' ) dx=x+
J * 4 - l J JC4 —1 J a4 -1
1 A B Cx+D
-+ ----- + -
(ac-1)(a. + 1)(at + 1) *-1 JC-1 x2 +1
1= (A+ B +C)x3+(A—B+D)x2+(A+ B + C)x + A—B—D
A +B+C =0
A - B + D = 0
A+B -C = 0
A - B - D = 1
, resolviendo el sistema: A= —, B =— , C = 0, D
4 4
f ac4 f A B Cx +D 1 f dx 1 f dx 1 f dx
—— dx =x+ |(-----+ ------+ —------)dx = x + - -----------------------I - —
J x —1 J x 1 x +1 x +1 4 J x -1 4 j x + 2 J x - + l
1 , . JT-1 . 1
= x +-ln |-----1--arctgx +c
4 AC+ 1 2

f_______ * _______
J (x2—4x + 3)(x2+ 4x + 5)
Desarrollo
1 _ A + B + Cx+D
(jc2 - 4 x +3)(x2+ 4x + 5) x - 3 x - x2+4x + 5
efectuando operaciones y simplificando se tiene:
A(x3 + 4x + 5x) - A(x2+ 4x + 5) + fí(x3+ 4 + 5x) - 3fi(x2+4x +5) +
+ C(x3- 4x2+ 3x) + D(x2- 4x + 3) = 1
(A + B +C)x3 +(3A+B +4C +D)x2 + (A -7 B +3 C - 4 D ) x - 5 A - l 5 B +3D = l
A + B + C = 0
3A +B - 4 C +D = 0
A - 7 B +3C - 4 D = 0
-5A-15B +3D = 1
1 1 2 3
resolviendo el sistema se tiene'. A = — , B = ----- , C = — , D =—
52 20 65 36
f dx f , A B Cx+D
—-----------------------------= (------+ ------ + —----------- )dx
J (x -4 x + 3)(x +4x + 5) J x - 3 x - x + 4x + 5
=_L f_*L+f 65I j L d x
5 2 j x -3 20j x - 1 J x 2+4x + 5
1 1 1 f 2x + 4 7 f dx
= — ln (x -3 )----- ln(x-l)H-----I —------------ dx +~— I —------------
52 20 65 J x + 4x + 5 1 3 0 jx 2 +4x + 5
= — ln (x -3 )——ln(x —1) + — ln(x2+ 4x + 5) + — arctg(x +2)
52 20 65 130
1294
1295
f dx
J77T
i i
Desarrollo
A Bx +C
x3 + l (x + l)(x2 - x + l) * + l X2 - X + l
1—(A + B)x~ + (“ A+ B +C)x + A+ C
A +B = 0
-A + ¿f + C = 0
A +C = 1
1 „ 1 „ 2
, resolviendo el sistema se tiene: A = —, B =— , C = —
3 3 3
x 2
^ - = f ( - ^ - + B2X+C )dx = ] -[ — + f 3 3 dx
J X +1 J x + 1 x ~ -x + l 3 j x +1 J x - x +1
= —ln(x + l)~ —ln(x2- x + 1) + —^ arctg(-:~ -)+ c
3 6 V3 V3
1 , , (x + 1)2 1
= —l n .- - , ,
6 x“ - x +1 v3
2x - l
f dx
J x 4+1
Desarrollo
Ax +B Cx+D
-+ -
x4 +l (x2+Jlx +l)(x2 - V2x + 1) X 2 +y[lx + x2 -y¡lx + 1
l = (A +C)x3 +(B + D +y¡2C-y¡2A)x2 +(A +C +y¡2A-yÍ2B)x+B+D
A+ C = 0
B +D +¡2C - Í2A = 0
A +C +y¡2D-y¡2B = 0
B + D = 1

1296
resolviendo el sistema se tiene: A = —^=r, B = D = —, C - —
2V2 ’ 2 ’ 272
1 1 1 1
X + — -----T = X + -
f dx i* Ax +B Cx+DC2V2 2 2¡22,
Jx4+l“J x2+V2x+l+x2-V2x+lJV+>/2x+l x2-V2x+l
1 f X + SÍ2 _ 1 f X - y ¡ 2 .
' í T í j I?— T *+ yflx + 1 2/2 J .Y“—yflx + 1
2 ■ + y fl,X + 1 * V2 X y fí.
In I— -------= --------I + — « r c r g ( --------- - ) + c
J
4V2 X2- y íl x + 4 1 -x 2
dx
! +1
Desarrollo
x4+ x2+1
x4+x2+l=x4+2x2+l-x2=(x2+1)2-x2
x4+x2+1=(x2+x+l)(x2—x+1)
Ax+B Cx+D
-+ -
X4 + X2 +1 X~ + X + 1 X — X + 1
1—(Ax + fí)(x —x + 1)+ (Cx + D)(x~ +x +1)
1= (í4 + C)x3+ ( B - A +C +D)x2 + ( A - B +C + D)x+B + D
A +C = 0
B - A + C + D = 0
A - B + C + D = 0
B +D = l
integral Indefinida 101
1297
1298
resolviendo el sistema se tiene: A = —, B = —, C = ——, D =
2 2 2 2
f dx f . Ax+B Cx+D N, 1 f x+1 ,1f x—1
—------5— = (—---------------------------------------------------- + -3---------)dx = - ,d x - -
J x +x +1 J x ' + x + l x -x+1 2J x‘+ x+1 2J x'- x+1
I
1 , . x +x + l . 1 x - l
= - ln |—---------1+—j=arctgí— -=-) +c
x x —x+1 2V3 x%/3
dx
7
Desarrollo
(l + .v2)2
Sea x = tg 0 => dx = see2 9 dO
í — ^ r T = f - ec2y - ~ = f - ^ _ = fcos20dOJ (l + x“)~ J (l + tg‘ 0)" J sec“0 J
f l + cos209 sen0 eos9 arctgx x= ------------d G = - + ---------------+ c = -— — + --------r -
J 2 2 2 2 2(1+x)
r 3 x +5
I —r----------r—^dx
J (x“ +2x + 2)
Desarrollo
(x2+ 2x + 2)2 = (x + 1)2+ 12 => z = x + l => dz = dx
f — — 2 = 3í —T ~ ~ — ~ t^x+ f
J (x2 + 2x + 2) J (x2 + 2x + 2)‘ J (x2 + 2x + 2)~
= _______2_____+ 2 f _____ * _____
2(x2 + 2 x + 2 ) J (x2 + 2 x + 2 ) 2

1299
3 + f dx ________ 3_____ +2 f dx
2(x 2 + 2 x + 2) J((x+1)2+1)2 2(x2 + 2 x +2) J(z2+1)2
= ------ 2 3 ..... +2Í(2(a~ + 2a+ 2) J2( x '+ 2x + 2) J (z + 1) (z + 1)
■J;:+2arctgz—21—---- ...(1)2(x2 + 2x + 2) ” ~J ( z 2+ 1)2
1
, „ , z 2d z Z arctg;integrandoporpartes; —-----=------- h--—' (z2+l)2 2(z +1) 2
Luego reemplazando en (1) se tiene:
J
í
3 a + 5 3 „ 2x+2
— ----------- dx =------ ----- — + 2arctg(a +1) +— -------------- arctgU + 1)+c
(x~ +2x+2) 2(x +2x+2) 2 ( a 2 + 2 a + 2 )
2x +
= ---- ,------------ + arctg(.v + 1)+ c
2(x~ + 2x + 2)
dx
Ha + 1)2
Desarrollo
A Bx +C Dx + B
-+ -
( a + 1 ) 2 ( a 2 + x + i ) 2
( a + 1)(a 2 + A + l)2 A + l X 2 + A' + 1 (x2+ x + l)2
efectuando operaciones y eliminando denominadores se tiene:
1 = A(x2 + a + 1) + ( B x + C ) ( a + 1 ) ( a 2 +x +l) +(x +l)(Dx+E)
A + B = 0
2A+ 2B+ C= 0
agrupando y por entidad de polinomios tenemos: 3A + 2B + 2C' + D = 0
2A+ B +2C +D + E = 0
A + C + E = 1
resolviendo el sistema se tiene: A = 1, B = -1, C = 0, D = -1, E = 0
f - _____
J ( A + 1 ) ( x 2 +A + l ) 2 J A + l
Bx +C Dx + E
-+ —---------+ — ---------- -]dx
(A + 1 ) ( a ” + A + 1)“ J A + l A + A + 1 (A^ + A + 1)
í
t 1 * * W(---- ---------------------------------_)£/x
A + l X~+X+l (x~ + X+1)
, . i r 2a + i i w i r
;ln | x + 1 I (—- ----------)d x -~
2 J X + A + 1 X + A + 1 2 J
, 2 a + 1 1
( --------- ------ ---------- -)dx
(A + X + 1) ( a + A + 1 ) “
i i . i l . i 2 i i 5 2 a + 1 a + 2
:In a + i j— ln x + A + l + —=rarctg(— ?=^-)+ -------------------;--------+ c
2 3V3 v3 3(a + a + 1)
l
x3+11 3 0 0 ! -----------------dx
Desarrollo
( a 2 —4 a + 5 ) 2
a 3 + 1 Ax +B Cx+D
( a 2 - 4 a + 5 ) 2 a 2 - 4 a + 5 ( a 2 - 4 a + 5 ) 2
efectuando operaciones y eliminado denominadores:
a 3 + l = (A x+i?)(x2 + x + 1) + Cx +Z>
a 3 + 1= A*3+ (-4A+ B)x 2 +(5A-4B +C)x +5B + D

por identidad se obtiene:
A = 1
-4 A + fí= 0
5 A -4 B +C = 0
5B +D = l
A = 1
B = 4A => B = 4
C = 11
D = - 49
J (x~ -4x + 5)- J
. Ax+i? Cx+D ,
( - -----------+ —5------------ 7)dx
x2-4 x + 5 (x —4x + 5)
, x +4 llx -1 9 ,
= H — ------ + - T — ------r)d *
1«x2- 4x + 5 (x2- 4x +5)2
1 f, 2x —4 12 J 11 f 2 x - 4 J r dx
= - (-5-----------+ — -------------¿ v + 3 I —--------------
2J x -4 x + 5 x~ -4x + 5 2 J (x~-4 x + 5)" J ( x " - 4 x + 5)
= —Inlx2-4x+5|+ óarctg(x-2)-—(—-——------ )+ —arctg(x-2)H-----~ — -----
2 1 5 2 ;c2_ 4jc+ 5 2 6V 2(x - 4x + 5)
1 1 1 2 a c 1 15 , .. 3x-17
= —ln x -4 x + 5 h— arctgíx- 2 )-1------ --------------he
2 ' 2 2(x -4 x + 5)
Hallar las integrales siguientes, utilizando el método de Ostrogradski:
f dx
J(x + l)2(x2+ l)2
Desarrollo
f dx _ Ax2+Bx +C ^ f Dx2 +Ex + F
J(x +1)2(x2 +1)2 (x +l)(x2 +1) J (x +l)(x2 + 1)
derivando y agrupando se tiene:
Dx5 +(E +D - A ) x 4 +(E + D+ F - 2 B ) x 3+
(x + l)2(x2+ l)2 (x + l)2(x2+ l)2
+(A + E + F - B +D -3 C )x‘-+(2A +E + F - 2 C ) x + B + F - C
(x + l)2(x2+ l)2
de donde se tiene:
1= Dx +(E + D - A ) x 4+(E + D +F - 2B)x +(A +E + F —B +D —3C)x~ +
D = 0
E + D - A = 0
E + D + F - 2 B = 0
A + E +F + D - B - 2 C =0
2A +E + F - 2C = 0
B + F - C = 1
+(2A + E + F - 2 C ) x +B + F - C
1 1 1 3
resolviendo el sistema se tiene: D~0, A = — . B - —, C = 0 , E = — , F = —
4 4 4 4
Como:
dx__________________ A x 2 + Bx +C |*Dx2 +Ex+F
i (x + l)2(x2+ l)2 (x + l)(x2+l) J (x + l)(x2+ l /
- X 2 + X__________ r x —3
4(x + l)(x2+l) 4 J(x + l)(x~ + 1)
dx
- X +x 1 f -2
-I i ------dx +
4(x + l)(x2+1) 4 'J x + l 1 7 h * - ¡
------^-+ —In Ix + l |~ —ln |x 2+ 1| +—arctgx + c
4(x + l)(x +1) 2 ' ' 4 ' 4 6

1302
f dx
í
dx
Desarrollo
Ax’ + Bx2 +Cx+D f Ex’+ Fx2 +Gx+H
(x4 - l ) 2 x4 - l +J x4 +l
derivando, simplificando y agrupando se tiene:
1_ 3A(x6- x2)+2B(x5~ x) +C(x4 -l)-4 A x 6+4Bx5 - 4 Cx4 - 4 /lr 3
(x4- l )2 (x4 - ) 2
Ex3+ Fx2 +Gx +H
x4 —l
1= Ex7+ (F - A)x6 + (G - 2B)x5 +( H - 3C)x4 +(-3D - E)x3+
+(—3A —F)x2 +(—2 B - G ) x - C —H
E = 0
F - A = 0
G - 2 B = 0
H -3C = 0
-3 A - E = 0
- 3 A - F = 0
- 2 B - G = 0
- C - H = 1
, resolviendo el sistema se tiene:
A = 0, B = 0, C = - 2 , d = 0, C = 0, F = 0, G = 0, H = - -
4 4
Ax3+Bx2+Cx + D f Ex3+ Fx2+Gx+H
x4 - l
I 1 _ I
, ------1 — + Í - 4 - * = -------í -------2 f , _ ^ _ + _ 4 _ + l í - )Jx
4(x —1) J x 4 -1 4(x - 1) 4 J x +l x - x + 1
X 3 f 1 1 w 3 f dx
----- ----- +— I (-------- — )dx +~ I —-----
4(x '- 1) 16 J x+ l x - 1 8J jc +1
x 3 , i x + l , 3
-+ — ln | ----- |+ -arctg x + c
4(x4- 1) 16 x -1
3 x 3 , x - l
-a rctg x ------------------- ln ------
8 4(x - 1) 16 x + l
1303
í (x2+ l)4
dx
)4
Desarrollo
2,Sea x = tg0 => dx = sec Odd
f dx f sec"d dd _ f sec~9d9 _ f d0
J(x2+1)4 J(tg20+1)4 J see89 Jsee60
JcOS60í/0 = J(cos20)3d0 =
■¿J
■¿J
(1+ 3cos229 + 3cos29 + eos329)d9
(1+ -(1 +cos40) + 3cos20 +cos229 eos 29)d9
2
= 1 f ( l+ 2 c o s
8j 2 2
cos4# + 3cos20 + (l-se n 20)cos201<i0

1304
1r59 3 3sen 26» sen326.
:_[—-+ —sen 40+—sen 29 h— ------------------ ]+c
8 2 8 2 2 6
= —[— + —sen9 eos9 (2eos29 - 1)+ 4sen9 eos9 ——sen39 eos39] +c
8 2 2 3
1.5 3 x 2 4x 4x3
= - [ - arctg x + ----- (—-------1) + —------------------------- ---] + c
8 2 2(x"+l) x +1 x~ +1 3(x~ + l)
15 15x5 +40x3 +33x
=— arctg * + ----------- ----------- +c
48 48(x +1)
í
x - 2x + 2 ,
—r--------------dx
(x - 2 x +2)
Desarrollo
r 4x3-10x2+ 8 x -2
f —2 2X +22 dx= f(l +-
J ( x - 2 x + 2 ) J
)dx
(x~ - 2 x +2) J (x - 2x + 2)
f 4x3—1Ox2+ 8x - 2 ,
=x+ -------------------— dx ...(1)
J (x - 2x + 2)
f4x -lO x + 8x + 2 , Ax+B f Cx+D
------r------------ ~z— dx =—--------- + —--------- — dx
J (x - 2x +2) x - 2 x +2 J x - 2 x +2
derivando, simplificando y agrupando se tiene:
4x3-10x2+ 8x —2 -A x 2-2B x +2A +2B Cx + D
(x2- 2x + 2)2 (x2- 2x + 2)3 x2- 2x + 2
Cx3+ ( D - 2 C - A)x2 +(2C - 2 D - 2 B ) x +2A +2B + 2D
(x2- 2x + 2)2
1305
4x -lO x +8x--2 - Cx3+ ( D - 2 C - A ) x ¿ +(2 C -2 D -2 B )x + 2 A +2B +2D
C —4
D - 2 C - A = -10
2C - 2D - 2 B = 8
2A +2B +2D = -2
resolviendo el sistema se tiene: A=-l, B=3, C = 4, D = -3
1
4x3—10x2+ 8 x -2
(x2-2 x + 3)2
x -3
dx = — -------------1-
I -
4 x -3
x2~ 2x + 2 J x z - 2x + 2
-dx
x - 3
x" - 2x +2
‘4x3- 10x" + 8x -2
-+ 21n |x 2- 2x + 2 |+arctg(x-l) (2)
í
x4- 2x2+ 2
(x2- 2x + 2)2
dx = * + J ‘
: X —-
(x - 2x + 2)
x -3 , 2
dx
+ 21n ¡x - 2x + 2 |+ arctg(x-l) +c
x - 2x + 2
Hallar las integrales siguientes empleando diversos procedimientos.
x5dx
I (x + l)(x + 8)
Desarrollo
Sea z = x3 dz = 3x2dx — = x2dx
3
f x5dx x3.x2dx 1 f zdz _ 1 f
I (x3+ l)(x3+ 8) j (x3+ l)(x3+ 8) 3,¡ (z + l)(z + 8) 3 J
/ A B(-------1------- )dz
z + 1 z +8
A B (A+B)z +8A +B
(z + l)(- + 8) z + 1 z + 8 (z + l)(z + 8)

110
•v
1306
z = (A + B)z + 8a + B por igualdad se tiene:
A+B = l ) 1 n 8
>entonces A = — ,B = —
8A+ £ = 0 7 7
f x5dx 1 f A B 1 . . , .
—3— -------------------- i-----= o I (-T+ ----------ñ ^ z ~
-
t81n U + 8 -ln z + 1 ]+ c
J (x3+l)(.r3+ 8) 3 J z + l z + 8 21
= ~[81n | -v3+ 81-ln | x3+ 11]+ c
í
x7+*3 J
dx
xI2- 2x4 +l
Desarrollo
yP _L v-3 r „ 3 , „4
J x -2 x +1 J x -2 x +1
Sea z = x 4 =* dz = 4x3dx
f xl+x¡ J x = l f z +lj . = 1 f (z + l)<fe
Jx12- 2x4+1 4 Jz3_ 2z+ l " 4J(z -l)(z 2+ z —1)
_ 1 f A Bz + C
z2 + z - 1
)dz
z + l A Bz + C
- + -
(z -l)(z 2+ z - l) z -1 z2+ z - l
efectuando operaciones y agrupando se tiene:
A+ £ = 0
z + l = (A + B)z2+ (A -B + C )z - A -C , de donde A ~ B +C = 1-
—A—C = 1
1307
2z + 3
-)dz
z ‘ + Z -1
resolviendo el sistema se tiene: A = 2, B = -2, C = -3
f .x7+x3 . 1 f A Bz +C _ 1 f 2
4 j <r i + ?T 7^ T
- ¿ t a u - i i - i r ^ - * —
2 4 J z + z - l 2 J z " + z - l
1 , 1 .i 1 - i 2 i i 1 i i 2z + 1—y¡5 .
= - ln z - 1 — ln z ' + z - l -t=-l n --------------------------■==
2 1 ' 4 ' 2>/5 2z + l+V5
1 . ¿i , 1 i k 4 t l , i 2x4+1 —*J5 ,
= —ln x -1 — ln x + x - 1 ------------------------p in — --------------j= +c
2 4 2^5 2x + + ¡5
í;
x2—x +14
-dx
( x - 4 ) ( x —2)
Desarrollo
jr2 - x + 14 A B C D
-H----------—H--------- + -
( x - 4 ) 3 ( x - 2 ) ( x - 4 ) 3 ( x - 4 ) 2 ( x - 4 ) x - 2
x2 - x +l4 = (C +D)x3+ ( B - 0 C - 2 D ) x 2 + (A -6 B +32C +48D)x-
-2 A -8 B -3 2 C -6 4 D
C + D = 0
B-10C —12D = 1
A - 6 B +32C + 48D = -1
-2A+ 8B -32C -64D = 14
resolviendo el sistema se tiene: A = 13, B = -3, C = 2, D = -2

r
1308
f ' r " ,,, f,J (x -4 ) ( x - 2) J (x -
A B C D
H---------1------- )dx
(x -4 ) ( x - 2) J (x - 4 )3 (x -4 )- x - 4 x -2
= 13 j*— - —— - 3 f ———^+ 2 — 2
J (x - 4 )3 J (x - 4 )2 J x - 4 J x - 2
I
1:
2(x-4)~ x - 4
dx
13 3 , x - 4 ,
+ -------+ 2In I------- 1+c
x4(x3+ l)2
Desarrollo
dx
■ Í 7 " I
f x3+l i !
J x4(x3+ l)2 x4(x3+ 1)2<
r dx f dx
J x 4(x3+ 1) ,J x(x3+ 1)2
A B
- i , *J+I
X3
)dx
)dx
(x‘ + 1) J x (x + 1) x (x + 1)
(------------------------- )dx ———- - ln x + -ln (x + 1)
x(x +1) x(x +1) 3x 3
A = I —- = — —r + —ln(x3+1) —In x
I:
f
x4(x3+l) 3x3 3
dx 1, , 3 ,, 1 , 1
B= I ----—— 7 = — In | x + l |+ - ( —-----) + lnx
x(x +1) 3 ' 3 x3+l
Luego:
(1)
1309
1310
I = - ( l n x - - l n ( x 2 +1) + — ^ — —) - l n x + ^ l n ( x 3 +1) 1
x4(x2+ l)2 3(x +1) 3x
1 , ,x 3+ l, 1 1, ,x 3+ l. 1
= ” ln I —5—I■ -+ -ln I
3 ' x3 ' 3(x3+1) 3 **' x3 3x2
) + c - - [ 21n |
1„ . ,a + 1 , 1 1
3 x3 ' 3 x3+ l x3 3* x" x —1 xJ
- - d +c
dx
4x2+ 5 x -2
Desarrollo
1 1 A B C
-H-------- f*-
i3-4 x 2+ 5 x -2 (x —l)2( x - 2) ( x - 1)2 x -1 x -2
1= A (x-2) +B(x2 -3 x + 2 ) + C(x2-2 x + l), de donde se tiene:
B +C = 0
A - 3 B - 2 C = 0
-2 A +2B +C =
■ resolviendo el sistema: A = -l, B = -l, C =1
í____ * ____ , f(
J x3—4x2+5x —2 J (x -1 )2 X - 1 x - 2
f dx i* dx j* dx _ 1
j (x-1)2 J x - 1 J x - 2 x -
- + lnj — j f c
1 x -1
f_ dx
J x(x7■
d X
x(x7+ 1)
Desarrollo

1]4 Eduardo Espinoza Ramos
1311
í
dx
l)2
Desarrollo
*(x5+ l)2
r dx f x5 + i f x* d x _ r dx r x4 ±x
Jx(x5 +1)2 Jx(xs +1) J(at5+1)2 J x(x5+1) J(x5 +1)2
= f - ^ * - í /+1) J U '+ i r
dx +----- ;--------------- + c = ln x — ln | x + 1|+ 7-+c
x5 + l 5(x5+1) 5 5(x +1)
1312
J
dx
(x2+ 1x + 2)(x2+ 2x + 5)
Desarrollo
1 Ax+B ^ Cx + D
(x2+2x + 2)(xz +2x + 5) xl +2x +2 x¿ +2x +5
1= A(x3+ 2x2 +5x) + B(x2+ 2x + 5) + C(x3+ 2x2+ 2x) + D(x2 +2x +2)
A +C = 0
2A + B +2C + D = 0
de donde se tiene: _____
5A+2B+2C+2D =0
5A + 2 D -1
KchiiIvIpihIo pI ilvtriiim k" (tone A •*0. II ^ , C' O , /) ^
f _________________ = f( M+J - + ^ x +D - )dx
J (x2 + 2x + 2)(x2 + 2 x + 5) J x2 +2x +2 x2 +2x + 5
1 f dx 1 f dx 1 1 ,* + l ,
= - I ---------------------I -----------------= -arctg (x + l ) — arctg(---------)+ c
3 Jx2+ 2x + 2 3 Jx + 2x + 5 3662
f x2dx
1313 ---------
J (* -l)10
Desarrollo
Sea z = x --1 = > x = z+ l= > dx = dz
_1________ 1
4 (x -l)8 9(x-l)'
1314
Desarrollo
f. dx .. = f __ * __ = í ( - í l ± i ------------% -----)dx
Jx8+x6 Jx6(x2+1) J x6(x2+l) x6(x-+l)
___ L— f f . p - d x + - 4 — dx
5x's Jx (x_+ 1) Jx (x +1)
1 1 f x 2 +,_fX2dx
“Í7 +Í7 +Jx2(x2+1)íiA Jx2(x2+l)
1 1 1= ---- r + — ------- arctg x + c
5x 3x *
i “J U - l)
2dx _ f(z + l)~
!ü J 10
f 1 2
' J z8+z9 .10
)dz
1
I z 1 4z 9z9+C 7 (x -l)7
+ c

I ihuiiilii ! spinoza Ramos
4.7. INTEGRALES DE ALGUNAS FUNCIONES
IRRACIONAL ES.-
( 7 ) INTEGRALES DEL TIPO.-
J cx +d cx +d
donde R es una función racional y p¡. q l p 1. q 2... son números
enteros, estas integrales se hallan valiéndose de la sustitución.
ax +b „
ex + d
donde n es el mínimo común múltiplo de los números q {, q2
Desarrollo
Sea z2 = x -1 => dx = 2z dz
Como z2 = x —1 => z = Vx—1
= 2
í
(z +3: + 3z" + )dz ■■2(— + - z 5+ z3+ z) + c
7 5
= 2z(— + - z4+ z2+l) + c = 2V x -l(————+ —(x —l)2+x) + c
7 5 7 5
1316
1317
1318
J xdx
yjax+b
Desarrollo
, 3 2
Sea z =ax +b => dx = —z d z
a
Como z3=ax +b => z = sax +b además x =
z3- b
a
i
z3- b
xdx
yjax +b
í a
3z2
i z a
z)dz
= JL ( i i - - z2) + c = - 1 - (2^(ox + b f - 5bl](ax+b)2) +c
a 5 2 10o
f
dx
* Vx +1 + (.x+ 1)3
Desarrollo
Sea z2 =x + l => z = Vx + 1 => zi =yj(x+Ÿ
Como z2 = x + l => x = z2 - l dx = 2zdz
f dx —-—= = f ^ ^ - = 2 [ ^ Z = 2arctg(z) + c = 2arctg(Vx + l)
J Vx+I + ^ x + l)3 J z + z‘ J z "+1
I -
+ c
Vx + Vx
Desarrollo

z3 z2
= 6(—---- —+ z-ln(z + l)) + c
1319 J f r r “
Desarrollo
Sea x = z 6 => sfx = z? => Hx = z2 aaemás dx = 6z5dz
[ ^ j h ± d x = í-y -^ -6z5dz = 6 —y — dz
J # t + l J z +1 J z +1
*6 | (z6- z 4- z 3- z 2 - z - 1— -)dz
z +1
7 7 75 74 73 72 1
= 6(---------------- +— +—— z — ln(z2+l) + arctgz)
7 5 4 3 2 2
- “ VI-^V?- V?+ 2VI+3fx - 6¡x - 3ln(VI+ 1) + 6arctg yfx +c
h
1320 | — ±jL= dx
(a + 1) —yjX+ 1
Desarrollo
Sea z 2 = jc+1 => dx = 2z dz
f Vx+T + 2 f z + 2 o f z -*-2 ,„ f , A Bz +C ,
I— t---- j= = d x = I— 2zdz = 2 I—— dz = 2 (------ +- T— )dz
J(x + 1)2-V IÍT J z 4- z J z3- 1 J z - 1 z + z+1
Z - 1 Z-1 Z2 + Z+ l
z + 2 = A(z2 + z + l)+(z-V)(Bz + C)=>z + 2 = A(z2 +z + )+B(z2 - z ) + C ( z - l )
1321
A +fí = 0
de donde: A - B +C =
A - C - 2
resolviendo el Sistema se tiene: A.= 1, B = -1, C= -1
f— # i ^ =<a=2 fi f í ¿i=2 f +- ^ - c
J (x+l)2-VITl J z —1 J z-1 Z +z-
=2j*(—-----2Z+1- ~)dz =21n(z-D- f -2c+1- dz- f-
J Z -1 z + z +1 J z + z +1 J z +Z + 1
-)dz
: + l
dz
= 21n (z -l)-ln (z 2+ z + l ) - J
V 1sT 3l z + - y + - ,
2 4
■? 2 2z + l
= 2ln(z - 1) - ln(z‘ + z + 1) - arctgí—-j~~) +c
, ( z - 1)2 2 -2z+ 1
= ln—-------------7=-arctg(— -r -) +x
Z +Z + 1 y¡3 V3
(fx + —Y)~ 2■2Jx+1 +1
= ln - ----- -¡= ?— -f=arctg( — — ■).+ c
X+ 2 + v x +1 V3 a/3. . .
fVIdx ' .
J x+2
Desarrollo
Sea z 2 = x =$ dx = 2zdz
^ - d x = f - ^ - d z = 2 ( - ^ - d z = 2 Í ( l — 2
J x +2 J z +2 J z +2 J z‘ +2
= 2(z - -JL arctg(-^=)) +c = 2VI - 272 a rc tg (^ ) + c
2
■)dz

1322
1323
f e
dx
(2~x)yjl-x
Desarrollo
Sea l - x = z 2 => 2 - x = z 2 +1 => dx = -2z dz
dx f -2zdz
2arctg(z) + c = —2arctg(Vl —x ) + c
Desarrollo
7 X2 - 1
J V*+i J V T ^ I
see 0 = x dx, = see 9. tg 0 d0
eosec9 = ....... ,=> f x. ——-dx = f ,. X ,{x-l)dx
4 J T X J v*+ i J
=Jcos<?c0(sec0-l)sec0tg0í/0=J(sec0-l)seeddd
=Jsec39 dQ - Jsec29 d9
ix-1
:= J see36 dO - Jsx^j— —dx = | sec- 9d9 - | see“9 d6 (a)
1324
integrando por partes I see30 dO se tiene:
Jsec39d9 =^[ln| sec0 -rtg0 ¡+ sec0 tg0]
!x. ——~í£t = —[In Isee# tg0 |+sec0 tg 0 ]-tg # + c
jc+ 1 2
= —[In Ix + yfx2 -1 I+Wx2 - ] - ¡ x2 - +c
2
= i l n |x + V 7 ^ l | + £ ^ -(x —2) +c
2
-dx
Desarrollo
3 x+ z3+ l , -6z2dz
Sea z ------- => x = —5— => dx = —-------
x - l z3 - l (Z3-1 )2
dz
l)2
f ______M ______ r , A | B 1 Cz +D | Ez +F
J(z -l)2(z2 + z + l)2 J z - í (z l)2 z2+ z + l (z2 + z+ l)
z3 A B Cz+D Ez + F
-+ --------------------- + -T---+
(z i) z - i (z-ir z +z+i (z¿+z+ir

1325
z3=(A+C)z5+ (A + B -C +D)z4+(A+2B-D+E)zi + ( B - A - C - 2 E +F)z2
+(2B-A +C —D +E - 2F)z + B - A + D + F
por identidad de polinomios se tiene:
A +C = 0
A + B - C + D = 0
A +2 B - D + E =l
B - A - C - 2 E + F = 0
2 B - A +C - + E - 2 F = 0
B - A +D + F =0
a ^ , b = ^ c = - ^ , d = - ^ , E = J - , f = ^
81 9 81 81 27 27
resolviendo el sistema se tiene:
j é ? * - 6!
. A B Cz + D Ez + F ,
(_--- h---------H----- ---- — H----------------)dz
z - 1 (z —1) z +z + l (z +z + y
11 1 11 31 7 11
— Z + — ZH-----
, 9 81 81 . 27 27 w .
+ --------7 — ........ + — -----------7)dz
( z - 1)z~+z + l (z" + z + l)~- 4 *
integrando cada termino y simplificando se tiene:
J é ?
x + 1 , 1 , z2 +z + l 2 2z + l 2z , , J-í + 1
J
-3/:-----dx = - ln--------— + —¡=arctg(— =-) + —------1-c donde z = h
1 3 (z —1) yfc * J3 z3 - l V x-1
x + 3
~dx
x2J2x + 3
Desarrollo
2 z2- 3
Sea z = 2x + 3 z dz = dx => x = -------
z2 - | + 3
f 2 X+ l ^ dx= f------^ ---- zdz = 2 Í
v2x + 3 J ^22 ——-)2^ *
z2+3
(z2^ 3)2
dz
. Áz + S Cz +D
dz = (—7----- 7 + --7— -)dz
(z2 - 3)2 z2-3
derivando, simplificando v agrupando:
z +3 Az —2Bz —3A + Cz +D Cz3+(D-A) z +(-2B-3C)z-3A-3D
(z2- 3)2 (z2- 3 )2 z2-3 (z2-3 )2
z + 3 = Cz + (£>- A)z + (-2S - 3C)z - 3 A - 3 D
C = 0
-2 8 - 3C = 0
D - A = l
-3 A - 3 D = 3
resolviendo se tiene: A = -1, B = 0, C = 0, D = 0
Az +B Cz+D
z2- 3 (z2- 3 )2
)dz = -
z2-3
(2)
x + 3
L i t L = * = 2 f -
J x~V2x + 3 J (z
z + 3 . 2z V2x + 3
dz = -----,----- + C= ---------------he
(z2 -3 ) 2 z - 3
© INTEGRALES DEL TÌPO.-
donde p n(x) es un polinomio de grado n, se supone que
1
pn(x)dx
yjax2 +bx +c

f _ Pn^x ~ = d x = Qr '_x( x)'Jax2 +bx +c + A f -?=
» yax2+bx +c J ¡a
dx
ax‘ + bx +1
... (3)
1326
donde Qn_,(x) es un polinomio de grado (n - 1) con coeficientes
indeterminados y X es un numero. Los coeficientes del polinomio
Qn-1(•*) Y numero A, se hallan derivando la identidad (3).
® INTEGRALES DEL TIPO.-
, se reduce al 2° tipo de integrales valiéndose de
I
dx
( x - a ) nfax2 +bx +i
la sustitución: ------ = t
x - a
í;
x 2dx
4 x ^ - x +l
í
x 2dx
X - x +l
Desarrollo
= (Ax+ B)sjx2 - x +l + A í —j=~--L=
•* Vx2 - x +1
, derivando se tiene:
2A(x2 - x +1) + A(2x2- x) + B(2x- 1)+ 2
x +l 2yfx2^ x +l
2x2 = 4Ax2+(2B-3A)x +2 A - B +2Á, dedonde: A = - , B = - , A = —
2 4 8
J 4 x 2 - x + l 2 48j
dx
1 x - x + l
1327
1328
— — Vx2- x +l - - l n | 2x - l + 2Vx2- x + l|+c
r x^dx
j ^ / w 2
Desarrollo
f x dx - = (Ax4+Bx3+ Cx2 +Dx+ E)yjl-x2 + A f — derivando se tiene
J J i - x 2
sfl-
x5 i ? ^ /T 2 x(Ax4+Bx*+Cx2+Dx+E) A
= =(4Ax3+3Bx +2Cx+D)y¡l-x2 — ------------ = = ----------- -+ ~ r=
sfl-x
X5= (4Ax3+3Bx2 +2Cx + D)(1- x 2)-(A x 5+Bx4 + Cx3+Dx2 +£x) + A
x5= -5Ax5-4 flx 4+(4A -3C )x3+ (3B -2D )x2+ (2 C -£ )x + D + A
-5A = 1
-4B = 0
4A -3C = 0
3B - 2D = 0
2 C - E = 0
D + A = 0
1 4 8
• resolviendo se tiene: A = - - , C = _ ^ > D = 0, E = , A. = 0
dx
VÍ^X2
= (_ £ _ _ ± ^ _ A ) V í r 7 = - 8+4* + 3 x .^ 7 + c
5 15 15 15
x.’dx

1329
Desarrollo
dx
i-,—*- dx = (Ax4+ Bx3+Cx2 +Dx +E)ll +x2 + A f —p
JJlTx2 J Vi+ x2
x6 _ 6Ax6 + 5Bx5+ (5A+ 4C)x4 + (4B + 3D)x3+
ii+x2 v r+ x 2"
2+(3C + 2 £ V + (2D + F)x +E + A
Ví+ X*
x6= 6Ax +5Bx5+(5A+ 4C)x4+ (4fí + 3D)x3+ (3C + 2E)x2+(2D+ F)x +E +X
de donde: A = - , B = 0, C = ~ — , D = 0, £ = — , A = - —
6 24 16 16
f_ í= ^ = = (Ax5+ Bx4 +Cx3+ Dx2+ £x+F)Vl + *2+ A f , ¿X
J V iT 7 J V iT ?
/7~ 7 5 f dx
6 24 16 16 J
= ^ Y ~ ^ d +T ¿ ^ l+x2 ~ y 7 lnx + ^ ]+xl l+c6 24 16 16
l+ x2
J *x5
Desarrollo
dt
4
dt
tf t 2 1
= (At3+Bt2+Ct + D)Jl-t2 -A f ^
J V I - ? .
-,4= —4f4- 3Sí3+ (3A- 2C)t2 +(2B-D)t +C +X
1 3 3
de donde: A = —, B = 0, C = —, D = 0 , A = —
4 8 8
f p = = - [ - ^ L , = (At3+ Bt2 +Cí +D)Vl-í2+a[-7¿L
J x’ V ^ M j V T ? j V w
* = (4 4 )V ^4 8 S j J Z S 4 8
T 3f — arcsení + c
= (—i—+ — -)V*2- 1 - - arcsen(—) + c
4x 8x 8 x
1330
í (x+1)3V*2+ 2x
Desarrollo
1 , 1 jHacemos ------= / => x+1 = - => dx = — -
x +1 / r

1331
j , / i 2 i f t~dt r - í 2+ l - l
donde x + 2x = (x + 1) - ] = - 1- = I —
J J V ÍZ 7 2 2
í//
-arcsen í - arcsen í + c
t rr~2 i i I. i i , i
= —V l-í — are.*arcsent +c = --------- 1------------ — arcsen(------ ) + c
2(x + l)V (A+ l)2 2 x + l
------——Vx2+2x - —arcseni— —)+ c
2(x + l) 2 x +
x2 + X + 1
-(lx
:Vx2- x + +l
Desarrollo
f x2 +x + l f x(x + l) 1
— 1 = = = d x = (— ?=•: ■ ^ + - -7=.= ■ = ) < &
j xVx - x + l J xvx2 - x + l xvx2 - x + l
=i~r===i£ï+f -r fr•W x " -x + l J xy¡x‘' - x +1
_ 1 f 2jc—1+ 1 f i* dx f
2J yjx2 - X + l J X ¡ X 2 - X + l J
fifx
W ^ -JC + l J yjx2 - x + l
1 f 2 x -l 3 f </x f dx
x + 2 ¡ 4 7 ^ ¡ +I W ? : x + l
integrando y de acuerdo a las integrales anteriores se tiene:
= -/x2—x + l+ ln | x|+-^ln | x --^ + Vx2- x + l | -In 11—-^+ Vx2- x + l |+c
4.8. INTEG RALES DE LAS DIFERENCIALES BINO M ICAS.-
xm(a+bxn)pdx ... (1)
donde m, n y p son números racionales.
CONDICIÓN DE CHEBICHEC.-
La integral (1), puede expresarse por medio de una combinación finita de
funciones elementales, únicamente en los tres casos:
Cuando p es entero.
© Cuando es número entero, aquí se emplea la sustitución
n
m +1
n
a +bxn = z s , donde “s” es el divisor de la fracción p.
© Cuando + p , es número entero, en este caso se emplea la
m +1
n
sustitución ax~n +b = z
3
1332 J x 3 (1 + 2 x 2 ) 2dx
Desarrollo
m + 1 3 + 1 4
------ = ------=—- 2 es un entero
n 2 2
2 2 2 Z2 - l j Zdz
entonces: l + 2 x “ - z ‘ => x = ------- => xdx =——
2 2
3
Jx3(1+2 x2) 2dx = Jx2(l+2x2) 2xdx = J 2^ *.(z2) 2 = ^ J ( 1 -z ’ )tiz

1333
I
K K 1 z +1 1 2 +2x N 11+ x .
= - ( z + - ) + c = - ( ------- ) + c = —(—== = ) +c = —(—===?) +c
4 z 4 z 4 J 1+2x2 2 V!+ 2.v2
dx
7
Desarrollo
Sea x 4 + l = z4 => .v4= — jc= 1. => dx = - z 3(z4-1) 4¿z
? - i Vz4^ !
J Z -1 J Z+ 1 Z~1 Z + 1
z2 A B Cz +D _
-H---------i-—r---- , efectuando operaciones y agrupando
5
z4 - l Z + 1 Z - l z2 + l
z~ = (A +B +C)zi + ( B - A +D)z2+(A +B -C )z +B - A - D de donde se tiene:
A + B + C = 0
B - A + D = 1
A + B - C = 0
B - A - D =0
resolviendo el sistema se tiene: A = —- , fí = —,C = 0, D = —
4 4 2
f z2 , f, A B Cz +D 1, .1, .. 1
—— dz= (— + ----- + ■)dz = —-ln |z + l|+ - ln |z - l|+ - a r c tg z + c
J z -1 J z+ 1 z - l z +1 4 4 2
i , I z - l I 1
= - - l n — -|+ -a rc tg z + c
4 z + 1 2
Luego:
í — —— = - i - —“ = ~ (~ ln | ——- | + —arctgz)+ c = —l n | | — arctgz+c
J4 / n V Jz —1 4 z + 1 24Z - l 2
a , „ | ^ S ± I | - I a re,g ^ + c
4 ' V ^ T l - l 2
1334
I - Xí
dx
x2
Desarrollo
X 'Jl +X'
1 dt
Sea x = - => dx =— -
t r
dt
í -----$ = = f -----p = = - [ - 4 ^ = = - [ / (1+ í )
J x4^ / i í 7 J i C Z J J
,4 V t2
i
2dt
Sea z2 = l + /2 => z dz = t dt
.3
f -----^ ==r = - j ' - i = d f = - f ( z 2-l)z .zdz
= - J ( z 2-l)dz = - ( y - z ) + c = - | ( z 2-3 ) + c = i l i - ( l + , 2-3 ) + C
. } 0 ± L (ti - 2 ) +c = - ' '
1
1+^ - V T -2
3 V 3x3
x'-(-Ar-2)+c =^— ^-(2x2 - l ) + c
1335
J:
dx
f l + x

Desarrollo
i 3 _í
Sea l + ;t5 = z 3 =* x5= z3 - l => x = (z3- l ) 5 , dx = - - ( z 3- l ) 5z2dz
f — = fjc_,(l + jc5) 3dx = f(z3- l) 5(z3) 3 - ( z3 -1 ) 5z2dz
J r/l + r5 J J5XJl +X'
= - í(z3-ir 'zd z = - [ - 5^ - * = - f -----
5 J 5 J z - l 5 J ( z -
zdz
l)(z2+ z + l)
= - f(—
5 J z -1
Bz +C w+ —------- : )dz
z +z + l
A Bz +C
-+—-------- de donde se tiene:
z3 - l Z - l Z2 + Z+ l
z = (A +B)z2+( A - B +C)z + A - C
A+ fl = 0
A - B + C =1
A -C = 0
resolviendo el sistema se tiene: A = —, B = , C = —
3 3 3
- r - ~ f l - £ - - < ^ - ) l * = - [ f — * -
J jc^/i + x5 5 J z - l 3 z +z + l 5 J z - l J z +z + l
= ^ [ln(z-1 )--^ n(lz2+ z + l) + /3 arctg(2^ -)]
1ln (z-l)2-ln (z2 + z + l) V3 /2z + l.-------------- ---------------+ _ are,g(_ ? r ) +c
= — ln-^f——— l-^-arctg(2~ ^ -) + c donde z = yjl +x5
10 z2+ z + l 5 V3
1336
f dx
5
x2(2+ x3)3
Desarrollo
- 1 3 3 2 l/l
Sea 2x +1 = z => x =—— => x = --------- - => dx = -
* (z3- l )3
a-2= (^ 2)2(z3- l) 3 => x 2 = (Z y } ] - =>2 + a 3- 2j
5
j ------—— - = Jjc_2(2+ jc3) 3é/jc
jc2(2+ a 3)3
2
= J í i i j l i ( 2z3(z2- i r ') 3(-^/2)(z3-1) 3z2dz
2 3^2. j (z3_ z-5(z3_ {)i z2 dz = - I J (z 3
f t
1337
I
dx
Desarrollo
-lf2(z3- l i 3z2dz
:3(z3- l )-1
-l)z~3</z
1+ c

Hacemos 1+ —L= = /3 , t = J 1+ 1
-7.V3
- V = ^ i - = » í / í = 31 . 1 1
r3-1 3- l
4/U * 4/77 1V.v = -------- - , v* = —----- —
, t (r -D "
(f3- l )3
-At dt
de 1+ .— = r ’ => — = 3t~dt => dx = ----, Luego:
f f - 4 r g 3- i ) 2 d{ f r V - u V
'lxi l + i [ 7 (P _ 1)3 J j L . (i3- 1)3 t
Vi -1
- l )3
2/ + C = - 2(3/1+ —r = ) 2 +c — —2(]l(l + x 4 )2) +c
V
4.9. INTEG RALES DE FUNCIO NES TRIGO NO M ETRICAS.-
( I ) INTEGRALES DE LA FORMA.-
donde m y n son números enteros.Jsen”jtí/jt,yJcos"xdx
PRIMER CASO.- Cuando n es un entero positivo par se usan las
identidades siguientes:
•> 1- eos 2x o 1+ eos 2.v
sen- x = ——----- , eos" x --------------
SEGUNDO CASO.- Cuando n es un entero positivo impar dentro del
integrando se saca el factor común sen x dx o eos
x dx, respectivamente, luego se usa la identidad:
sen2x + cos” x = l
0 PARA LOS INTEGRALES DE LA FORMA.-
f
tg” xdx y c tg" xdx
J J
si n es par o impar se usan las identidades:
1 + tg2 x = se£2 x , 1+ ctg 2 x = csc2 x
@ PARA LAS INTEGRALES DE LA FORMA.-
»
sen"1x.cos" x dx
PRIMER CASO.- Si m o n es un entero positivo impar y el otro
cualquier numero.
Se procede de la siguiente manera:
Si m es impar se saca factor sen x dx y se usa la identidad:
sen2 x + eos2x = 1
SEGUNDO CASO.- Si m y n son enteros positivos pares se usa la
fórmula:
•> l-c o s2x 2 i +cos2x
sen“x = ----------- , eos x = ------ ------
__________ 2________________2
@ PARA LAS INTEGRALES DE LA FORMA.-
f ígmx.sec" x d x ,
•
rtg"' x.csc" xdx
J J

1338
1339
PRIMER CASO.- Cuando n es un entero positivo par y m es cualquier
número, se saca el factor.
see2xdx o ese2xdx
y se usan las identidades: l + tg2 x = see2 x , 1+ c tg 2x = csc2x
SEGUNDO CASO.- Cuando m es un entero positivo impar, n es
cualquier número, se saca como factor.
sec x. tg x dx o ese x. ctg x dx
y se usa la identidad: 1+ tg2x = sec2x , 1+ e tg 2x = csc2x ’
Hallar las integrales
/ eos3xdx
Desarrollo
J*cos xdx —J eos* x.cos xdx = f (1—sen" x) eos xdx
= J cos xdx - J sen“ x.cos xdx = senx
I
sen3x
--------- I-C
sen5xdx
Desarrollo
| sen xdx = | sen4x.sen x dx = j (1-eo s2x)2sen xdxJ*sen5xdx = J*sen4x.sen xdx = J (
J( l - 2cos~ x + cos4x)senxdx
1340
1341
J*sen xdx- 2J= I senxdx- 2 I cos2x.senxdx + Ieos4 x.senxdx
i
2eos3x eos5x
= - C O S X + ---------------------------------l-C
sen2x.cos3xdx
Desarrollo
J sen2x.cos3xdx = J sen2x.cos2x.cos xdx
J*sen2x(l - sen2x) cos x dx = Jsen2Xcos x dx - J sen4x.eos x dx
sen5x sen5x
-----------he
Jsen3(—).eos5(-)dx
2 2
Desarrollo
j*sen3(^).cos5(~~)dx = J cos5(^).sen2(^).sen(^)dx
= Jeos5(^).(l - eos2(-)) sen¿ ) d x
= J eos5(^) sen(^)dx - J eos7(—)sen(—)dx - -
eos (—) eos (
-------2_ + ---------- -rt,
3 4
f eos5X ,
1342 ---- r- d x
J sen x
Desarrollo

1343
1344
feos3* , f( l- s e n “ *)
I — t— dx = I ------ --------eos xdx
J sen' x J sen *
f l - 2sen2* + sen4x , f,
I -------------t----------eosxdx= ((ctgxcsc * - 2ctg* + senxcos*)d*
J sen x J
sen2x 1
2 2 sen“ *
--21n Isen I+c
1
sen4 xdx
Desarrollo
2 1- eos 2*
sen“x = -------------
J*sen4 *dx = J*(- -~^s - x )2C¡X=i J*(l—2eos 2x +eos2 2x)dx
l r . x sen(4*) 3* sen(2*) sen(4*)
= —[ x - sen(2*) + —+ ----- — -] + c = --------— — - + ---- — - +c
4 2 8 8 4 32
Isen2x co s2 xdx
sen*, eos* =
Desarrollo
sen(2*)
J sen2*cos2xdx = J (sen *cos x f d x = J (—■-l^ X)dx = i j s e n 22xdx
4J1
-e o s 4* , 1 sen4*,* sen4*
----------- dx = - [ * ----------- ]+ c = ------------- +c
2 8 4 8 32
1345
1346
J
sen2 xcos4 xdx
Desarrollo
2 1- eos 2* 2 1+ eos 2*
sen * = -------------, eos * = ---------------
2 2
f 2 4 . f l- c o s 2 * 1+ c o s 2 x 2 ,
I sen xcos xdx = -------------.(------------- y d x
j J 2 2
= - J(1 - eos22*)(1 + eos 2x)dx = ~ J sen2 2*(1 + eos 2x)dx
■ &
I
-e o s 4* 2 o t u l rA' sen4* sen32*,
---------- +sen 2x cos2*]J* = - [ --------------+ ---------- l + c
2 8 2 8 6
* sen 4* sen32*-----------------------1------------------j_Q
16 64 48
eos0 3xdx
Desarrollo
t „ 1+ eos 6*
eos“3* = -------------
2
Jco s63xdx =J(cos23x)3dx
f ,1+ cos6jcx* , 1 f /4 , , 3
= J ( ----- -----) dx = —J (l + 3cos6x-f3eos ójc+ cos 6x)dx

140 Eduardo Espinoza Ramo'.
1347
1348
1349
_ 1 ,5x sen 6a sen 12a sen 6.v sen36v
= 8(T + ~ + ~ T - + ^ --------Ì8~ , + C
_ 5a | senÓA sen 12a sen36a
16 12 64 144
I
dx
x
Desarrollo
sen4 x
/ s è n ^ I= J CS° 4XdX = | CS° 2JCCSC2xdx = | (1+ <****)cscZ xdx
2
- J
3
(csc2x +ctg2x.csc2x)dx = - c t e x - - ~ — +c
3
J
dx
x
Desarrollo
cos6X
í ---- — = f sec6xdx = f sec4a.sec2xdx
J COS° X J J
= J*(l + tg2a)2sec2xdx = J(1+ tg x) sec xdx= I (1+ 2 tg2x + tg4 a)see2xdx
-J
J
cos2A ,
---- r— dx
sen x
(sec- x +2 tg2a sec“ x+ tg4 a.see2x)dx = tg x +—tg3 x+ ^ ' A+ c
3 5 i
Desarrollo
1350
1351
■J
o 7 4 2 Ctg3X C tg5X
(ctg A.CSC*A+ Ctg A.CSC x)dx = ----- ---------------+C
sen2 a cos4 xI
Desarrollo
f__*__=f” = f(-L-+ , 1 y )dX
J sen2 a.eos4 a J sen2 a eos4 a J eos a sen a.eos a
= J(sec4 a + 4 csc2 2x)dx = J*[(1+ tg2a) sec2a + 4 csc2 2x)]dx
= tgx +—^ - 2 c t g 2 x + c
J
dx
sen5a eos3x
Desarrollo
«6 v r
f__ ÉL__= í___ csc6/ = f CSCV ^
J sen5acos3a J csc6A.sen5 acos a J csca.cos a
í í-l+ctg f i- dx = [tg a sec2a(1 + 3c tg2a + 3c tg4x +c tg6x)dx
J Ctg A.COS A J
= J(tgA.sec2A+ 3 ) ^ - ^ + 3tg 3xsec2 A+ tg 5x.sec2 x)dx
tgA
1352
I
t2^ x 3 1
= + 3ln(tg A)- — — ■-— — -+c
2 2tg a 4tg a
dx
X 3 X
sen-.eos -
2 2

Desarrollo
2y*
ax , ü + c t2‘ í ,
2
f dx f csc2(2 )dx |.(l + ctg2(|))d*
s e n c o s 3^ J csc2A .sen (|).co s3(J) J ctg(-).cos2(*)
¿ ¿ 2 2 2 2 2
2•*
f x x y r see —
= tg (-)sec2(-)(l + ctg2-)í/* = (tg-.sec2- + ------ ^)dx
J ¿ 2 2 J 2 2 *
tg2
2 X
see —
, , x x x o
= I (sec--.tg -.sec- + ------±-)dx
2 2 2 . a
2
■/<
= sec2J + 21n |tg ^ -|+ c = — — + 21n | tg - |+ c
2 2 2x 2eos —
2
,.sen(* + —)
1353 ---------- 1-dx
J sen*.eos*
Desarrollo
.sen(* + —) »sen*, eos —+ sen —.eos*»SCIHX1- - ; »sen *.eos — f-sen —.eos * pr .
f ----------4_rfi= r-----------4— 4— dx = V2
J sen*.cos* J sen*.cos* 2 J
_ V2 f , l l w V2 f
- “r - I v--------1-------)dx = —— I (sec* + csc*)J*
2 J eos* .ve/!* 2 J
jen* + eos *
---------------dx
senx. eos*
* l-c o s* = l - ^ os*_ _ lj-eos* _ —l------ £2£jL = CSc ^ - c tg *
2 Vl + cos* V i-eos2* senjc s¿r‘A‘ sen*
A 7T
análogamente In | see * + tg * |= ln | tg(—+ —) |
1354
I
dx
x
Desarrollo
sen5 *
f dx —~ íese5xdx= f (l + c tg2*) ese3* dx
J sen * J J
= fcsc3*dx + J c tg 2*.cse3*d* —(l)
integrando se tiene:
J*ese3* dx = [In | esc * - c tg * | -c tg *.esc *]
f i 1 , 1 eos * , 1 r, . 1—eos * . ,
ese3xdx = —[ l n ----------------1-c tg *csc *J = —[ln | ------------1-c tg *csc*]
J 2 sen * sen * 2 sen *
= —[ln || -c tg*.csc*] = ^-fln | tg ^ | -c tg*.csc*] ...(2)
2 Vl + cos* 2 2
integrando por partes J e tg2*.csc3* dx
du = -esc“ xdx
u = c tg*
—■> i
. 3 . , CSC X
dv = csc x.c tg xdx v = ----------
f , , , Ctgxcsc3* 1 f 5 ,
j c tg" *.csc xdx = -----SL-^---------3j CSC X

1355
reemplazando (3), (2) en (1)
f dx f 5 I . , x . 1 ctgxcsc3* 1 f s ,
I , - I CSC dx =- ln jtg —I— ctg x cscx ----- --------------- csc' xdx
J sen x J 2 2 2 3 3J
i
5 3 . jc 3 eos x 1 eos x
= I csc xdx = —ln | tg ———---- ------ ----- —he
‘ sen4x8 2 8sen2x 4 r™ 4
1
sec54xdx
Desarrollo
Jsec54xdx = J*(l + tg24x)sec34xdx = Jsec34xdx +J tg 24xsec34xdx ... (1)
integrando por partes: Jsec34xdx = ^[sec4x. tg 4x +ln | sec4x +tg 4x |]
integrando por partes: J tg2x. sec34x dx = — —'^ C - i Jsec54xdx
reemplazando en (1) se tiene:
J sec54xdx = J sec34xdx + J tg24xsec34xdx
sec4xtg4jc 1 tg4x.sec34x 1 f , ,
= ---------------+ in sec4jc + tg4x +—------------------- sec54xdx
8 8 12 3 j
—fsec54x<¿t = -ln|sec4jc+tg4jc|H—sen4x + _ sen4x
3 J 8 8eos 4x 12eos 4*
fsec54 x ^ = -lln |sec4 A + ^ 4 x |+ ^ + ^ + e
J 32 12 16
1356
1357
1358
1359
J
tg25xdx
Desarrollo
tg¿ 5jcdx = | (secz 5x -1 )dx = —- x +c
I
Desarrollo
j c i g 3xdx = j (csc2x - l)ctgxdx = J (ctgxese2x - c tgx)dx
ctg3xdx
ctg2x , . .
----------- ln sen x +c
í ctg4xdx
Desarrollo
J e tg4xdx = J(csc2x - l)c tg2xdx - Jícsc2x ctg 2j e -c sc2x +Y)dx
ctg ’ x
---------+ ctgjc + jc+ c
í (tg - + tg -)dx
Desarrollo
Jtg3^dx=J(sec2^-l)tgjdx =-jtg2^+31n|cos^| ... (1)
J tg4^ = J(sec2^ - 1) tg2~~dx ~ J(sec2~ tg2^ - sec2~ +1)dx ... (2)
3 3

1360
1361
1362
- tg3——3tg —+X + C
3 3
remplazando de (1) y (2) en la integral:
C, 3x 4 x . 3 2 x 3 x . x , , , X.
J (tg 3 +tg - ) dx =- t g - + tg —-3 tg —+ 31n ¡eos—|+x + c
J
x sen2x 2dx
Desarrollo
f 2 2 , f 1- cos 2x2 1 f,2x2sen2x2
I xsen x dx= x ------------- dx = —| (x -x c o s 2 x )dx = -----
J J 2 2 J 4
1
-+c
eos2x ,
---- T~“x
sen x
Desarrollo
f eos2x f 2 2 , c tg3*
I ----:—dx= Ictg x.csc xdx = ------ — + c
J sen x J 3
Jsen 5x.lj eos xeos x dx
Desarrollo
j*sen5x.yjcosxdx = j sen4x.cos3x senxdx = j*(1-eos2x)2eos3x.senxdx
=J*(l-2eos2x+eos4x)eos3x.senxdx
I
1 7 13
(eos3xsen x - 2eos3 x.sen x + eos3 x.sen x)dx
1363
í
16
3 t 3 t 3eosx3x
:— eos3x + —eos3 x -----------------1-c
4 5 16
= - —Veos4x + --veos'% ——Veos16x + <
4 5 16
dx
Vsen x.cos3x
Desarrollo
j* dx _ f ______ dx______ _ j*
J V ^ , c o s 3x J cosxVsenZcosx J -
secxdx
1364
Vsen x.eos3x “ J eos x/sen x.eos x j Vsenx.cosx
= f sef x d x . . . . ~ f sec2x^ fsec^dx ^2^ +c
J seexVsenx.cosx J Vsen x.see2x.cosx ■» VlSx
f dx
•» V tgi
Desarrollo
« 9 2 j 2zdz
Sea z - tg x => x = arctg z , dx = ----- ^
1+ z
J v/ígl J z l + Z J z +1
de acuerdo al ejercicio 1294 se tiene:

1365
1366
f —o f di 1 . i Z~ + y¡2z +1 | y¡2 z-Jl i----
J V é í " J ? 7 I : W ? ' T - V S T T ^ T “ '“ 8 ? ^ d“ “^ = ^
© INTEGRALES DE LAS FORMAS.-
j*sen mx. cosnx d x , J sen mx. sen nxdx , J eos mx.eos nxdx
en estos casos es emplean las fórmulas siguientes:
© sen(rax).cos(nx) = ^-[sen(w + rt)x + sen(/w-n)x]
© sen(mx). sen(nx) = i[cos(w - n)x - eos(m + n)x]
© c o s ( w x ) . c o s ( h x ) = —[cos(m - n)x + eos(m +n)x]
J sen 3x.eos 5xdx
Desarrollo
Jsen3x.cos5xdx - J*- [sen8x + sen(-2x)]dx = ^ J (sen8x - sen 2x)dx
i
cos8x eos2x
— —— + --------- +c
16 4
senl0x.senl5xdx
Desarrollo
sen5x sen25xJ sen 1Ox. sen 15xdx = ~ j*(eos 5*- eos 25x)dx =
10 50 ~+C
1367
1368
1369
1370
1371
feos—.eos—
J 2 3
dx
Desarrollo
f x x j l f / x 5 1 x 6 5
I eos—eos—dx = — I (eos—+ cos—x)dx = —(6sen —+ —sen—x)
J 2 3 2 J 6 6 2 6 5 6
+c
x 3 5x
= 3sen —+ -sen — +c
6 5 6
i
x 2.x
sen—.eos—- dx
3 3
Desarrollo
f x 2x , 1 r, , .
I sen —.cos — dx = — I [sen x +sen(— )jdx
J 3 3 2 J 3
1 x, cosx 3 x
= —(-cosx + 3cos—) + c -----------v—eos—+c
2 3 2 2 3
í
eos(ax + b).cos(ax - b)dx
Desarrollo
* . ,xcos2b sen2ox
cos(ax +b).cos(ax- b)dx = — I (eos2b + eos2ax)dx = ■— - — + — ------+c
~ 2 4a
J cos(ax +b).cos(ax-b)dx “ ^ J
sen w/.senívvr + ¡f)dt
í
Desarrollo
f 1 f s , tcosw sen(2wt +i¡/)
I sen wt.sen(wt+¡f)dt = - I (cos(- i//)- cos(2w/ +y/)dt = — ------------- — ------+ c
4 w
í
cosx.eos" 3xdx
Desarrollo

1372
2 1+ cos 6x
COS Jt = -------------------
f,™ „ 2-, , f 1+ COSÓJC , 1 f
J eosx.cos ixdx - J eosx.----- -----dx = —I(eos x + eosx.eos6x)dx
4 / (eos* +- (eos5a+eos lx))dx = + ----5a + _ n7_ + c
2 2 20 28
í sen x.sen 2x. sen 3x dx
Desarrolio
sen2x. sen3*=—(eos x —eos5a)
2
j*senx. sen2x.sen 3*dx =—J*(senx. eosx - senx.eos5x)dx
= i f(sen2*-eos4* + eos6*)í¿c ++c
4J 8 16 24
sen6x sen4x eos2a-+c
24 16 8
© INTEGRALES DE LA FORMA.-
/ /?(senx,cosx)<ÍA donde R es una función racional.
© Valiéndose de la sustitución.-
tg ^ = f, donde s e n x ^ - ^ - , cosa = ^—t— , dx = -2dt
1+ t2 ' 1+t2 ' 1+ t2
La integral se reduce a integrales de funciones racionales de la nueva
variable.
1373
© Si se verifica la identidad para reducir la integral a la forma racional
se puede emplear la sustitución tg x = t.
dx
13+5eos x
Desarrollo
2dt 1- r
dx = ------ r . eosX -
1+ r 1+t2
2dt 2 + tg x
í_ —— = f_l±£Í__, f * = iin |lílJ 3 + 5cosa J 5(1- í ) J 4 - / ' 4 2 - t
3 + -------- z—
+c = —In I- - -— l+c
4 2- H i
1+ í2
xdonde t = tg —
2
1374 í ----- —-----
J sen a + eos a
Desarrollo

1375
132
1376
1377
1378
J 1 + COS X
Desarrollo
2dt
f a - — !—wx=x- fJ 1+ eosx J 1+ eos X J 1+ eos X J 1- t 2 J
1+ - —
1+ r
= x - j d t = x -
f se
J1-s
-t +c = x-tg—+c2
senx
-sen x
Desarrollo
*sen x(l+ senx) fsenx + sen2x
2 -dx= -
-senx J eos2x
f_ s e n jc _ ^ = Tsen
J 1-senx J i
=J*(tgxseex+tg2x)dx = seex+tgx—x+c
J8 - 4 sen x+ 7 eos x
f----- -------- =íJ 8 -4 se n x + 7eosx J
Desarrollo
2dt
1+t2
8í_+ 7 _ It- = 2 Í
dt
t - 8 í + 15
1+í2 1+í2
_o f dt , 11—4 —1 , , , / - 5 , , , tg ? 5
■ 2J ¡ T l i T T I = ln 17 ^ 7 1+c = ln 1 1+ í = ln 14 -
182 ~
+c
I
dx
cosx + 2senx + 3
Desarrollo
2dt
dtf dx f 1+ r ... 2 f dtf ______dt_
J cosx + 2senx+3 J t2 4tj 2 í 2+4í + 4 Jr + 2,
I
1------- j + -----7+ 3
1+ r 1+r
————=arctg(í+1)+c =arctg(tg-f+1)+c
(í + 1) +1 2
+2í+2
f3senx + 2cosx ,
?79 I ------------------- dx
J 2senx + 3cosx
Desarrollo
3 sen x + 2 eos x = a(2 sen x + 3 eos x) + B(2 sen x + 3 eos x)
3 sen x + 2 eos x = (2a - 3Bx)sen x + (3a + 2B)cos x
2a-3.fi = 3] 12 _ 5
> =£ a = ----- , fi = ------
3a + 2fi = 2j 13 13
j*3senx + 2cosx ^ 12 f ^ 5 f(2senx + 3cosx)í/x
J 2senx + 3cosx 13 J 13 J 2senx + 3cosx
= — x ——ln !2senx + 3cosx I+c
13 13
380 f 1+ tg.-.dx
J 1 -tg x
Desarrollo
j dt
Sea tg x = t => dx =
i+ r
f i t a ñ * . f-±.% fj ±
J 1-tgx J 1-í 1+/2 J 1-/ J 1+í2
IÉL =_in(í_i)+Iin(í2+l)+c
1+í" 2
=-ln|tgx-11+—ln|tg2x+1¡+c=-In|see2x|-In|tgx-11+c2 2

154
1381
/
dx
1+ 3cos2x
Desarrollo
1382
f dx f see' xdx f sec2xdx 1 tgx
J1+3cos2x Jsee2x + 3 J tg2x +4 ~ 2 drag(~^T)+(
¡
1383
3sen2x + 5cos2x
Desarrollo
Dividiendo el numerador y denominador por eos2 a .
f dx f sec2xdx 1V3tgx
J3cos2x + 5cos2a J3tg2a + 5 ar°tg he
/
dx
sen* x + 3senxcosx-cos2x
Desarrollo
Al igual que el ejercicio anterior dividir por eos2 a
f ___________dx____________ f sec2xdx
J sen' x -3 sen x co sx -co s2x J tg2x + 3 tg A -l
r 2 * „ 3 VÍ3
f sec' x d x T sec2xdxl lSx+~——
> * v f ■ « * + !-” tg I+ ^ + ^ p l+c
_ 1 2tgx + 3-V Í3 ,
- ~ 7= ln I— ------------------ 7= +C
v 13 2tgx + 3+ Vl3

1384
í
dx
sen2 x - 5sen xcos x
Desarrollo
Al igual que los casos anteriores.
dx f sec2xdx f sec2 xdxI* dx f sec xdx f
J sen2x —5senx cosx J tg2x -5 tg x J ,sen2j t - 5senxcosji- Jtg2A-5tgA J - ( - ) 2
_ 5 _ 5
1 tg ^ t j i 1 . tg x —5 ,
= —In|------- i r I+c = —ín| ------!+c
5 5 5 5 tg x
tg a — + - a
5 2 2
. sen a
1385 | ---------------dx
(1-cos a )J;
Desarrollo
Sea u = 1 - eos x => du = sen x dx
f sen a dx _ f du ____ 1_ _______
J(1-c o sa )3 ~J m3 ~ 2u2 * C~ 2(1- c<
j +c
eos a)
ir
i sen 2a ,
1386 | --------- «—dx
l + sen x
f sen 2xdx _ f 2senx.
J 1+ sen2a J 1+si
Desarrollo
COSA dx
sen2a
Sea u = l + sen2 a => du = 2 sen x. eos x dx
f sen2A<¿* f du , , . , ,, 2 i ,
I — = I — = In Iu j+c = ln 11+ sen a | +c
J l + sen a J u

1s,) Eduardo Espinoza Ramos
1388
1389
J;
1387 f — C° S2* dx
J cos x + sen x
I
Desarrollo
eos 2xdx
cos4x + sen4x + 2x sen2x cos2x - 2sen2x cos2x
cos 2xdx ^ f cos 2xdx 1 , ,V2+sen2A |
sen2x
f__________cos 2xdx__________ f cos 2xdx 1 ^2 +
J (cos2x+sen2x)2-2sen2xcos2x J 2-sen22x 2^2 V2-
f —
J sen x -
+c
cos xdx
-6sen x + 5
Desarrollo
I*_______cos xdx______ f cos xdx 1
J sen2x - 6senx + 9 - 4 J (senx-3)2 - 4 ~ 4 n 'senjc-3 + 2
1, i senx - 3 - 2 ,
+c
_ 1 , sen-v- 5 , 1 , , 5-se n x ,
7 ln I--------- -1+c = —In ----------- +c
4 sen x -1 4 1-senx
l a - -
dx
J (2- sen x)(3 - sen x)
Desarrollo
Sea z = sen x de donde se tiene: ------------ í________ = A B
(2 - sen x)(3 - sen x) 2 - z 3 - z
1 — - z) + B(2 - z) => 1 = -(A + B) + 3A + 2B, de donde se tiene:
A - B = 0
3A +2B = 1
=> A = 1, B = -1
2 dz 2dz
í ----------- —-----------= f(------í------------- - f 1+ z2 f 1+ z2
J (2-senx)(3-senx) j 2-senx 3-senx J 2z J 2z
1+ z2 1+ z2
2 , « f " 1 1 3rarctg"(— =¡=—)— j=arctg(------=—) + c
3z2 - 2 z +3 - £ ' S V2 2V l
r i = ¡
J l + s
1390 , ij^senx + c o s x ^
sen x —eos x
Desarrollo
Efectuando la división de: 1- sen x + eos x entre 1 + sen x - eos x
1- sen x + eos X
-= - l + -
1+ sen x - eos x 1+ senx-cosx
2dz
1+ z2f 1-senx+cosx f , 2 i0 f
------------------ dx= (-1 + -------------------)dx = -x + 2 I
J 1+ senx-cosx J 1+senx-cosxJ
1+ Z’ 1+ Z"
= —x+4 f■-----j -~—------- 7 = -x + 4 í -----^—------------- = -x+ 2 í - ^ 1
J 1+z + 2z -l+ z " J 1+z"+ 2z - l + z" Jz " +
= -x + 2 í ( - ---- — )dz = -x + 21n | —— |+c = -x + 21n |
J z z +1 z+
+ z
X
tg 2 ,
----±— +c
x ,
lg2
4.10. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES HIPERBOLICAS.-
La integración de las funciones hiperbólicas es completamente análoga a la
integración de las funciones trigonométricas. Se debe tener presente las
fórmulas siguientes:
(T ) cosh2x -sen h 2x = 1 cosh" x = —(cosh(2x) + l)
( 3) senh2 x= * (cosh(2x )-l) (T ) senhx.coshx = -^senh(2x)

1391
1392
1393
1394
Hallar las integrales.
í
senh3xdx
Desarrollo
Jsenh3xdx ~ Jsenh2x.senh xdx = J(cosh' x-l)senh xdx
= í (cosh2x.senh x - senh x)dx = C0-- - cosh x +c
J
cosh4 xdx
Desarrollo
J cosh4xdx = J [-^(cosh(2x) + l)]2dx = ^ J (cosh2(2x) + 2cosh(2x) + Y)dx
-(cosh(4x) +1)dx + senh(2x) +x] +c
senh(4x) 3x senh(2x)
-------------i------1------- hC32 8 4
senh3x.cosh xdx
Desarrollo
senh3x.cosh xdx = SCn^ X + c
senh2x.cosh2xdx
Desarrollo
1395
1396
1397
| senh2x.cosh2x,dx = (cosh(2x) - 1)^ (cosh(2x) +)dx = (cosh2(2x) - 1)dx
= i[J(^(cosh(4x) + l)-l]dx
I
cosh(4x) 1, , senh 4x x
—— ¿— )dx = -------------- +c
2 2 32 8
dx
sh2x
Desarrollo
senh x.cosh2x
f _____—------- = f sec h dx = í 1+ tgh...- dx = í (ese hx + tgh x.sec hx)dx
J senh x.cosh2x J senhx J senhx J
x x
= In Itgh(-) I+ sec hx +c = ln | tgh(—) | + ----— + c
2 2 coshx
1
dx
>sh2x
Desarrollo
senh2x.cosh2x
í ____------------- = f — — = 4 íese h22xdx = —2c tgh 2x + c
J senh2x.cosh2x J senh22x J
1tgh3xdx
Desarrollo
J tgh3xdx = J tgh2x. tgh xdx = J(sec /)2x +1) tgh x dx
r , , i , * tgh2x
= J (sec h-. tgh x + tgh x)dx = ln |cosh x | +—- — + c
1398 le tgh-*xdx
Desarrollo

Jetgh4xdx = J(csc/z2x + l)ctgh2xdx = J(ese/i2x.c tgh2x +ese/z2x + l)dx
ctgh’ x
-c tgh x + x + c
1399
I
3
dx
senh2x + cosh2x
Desarrollo
1400
f ¡ 4J senh x + cosh x J
I
see h2xdx
senh" x + cosh“ x J tgh x + 1
dx
2senhx + 3coshx
Desarrollo
= arctg(tgh x) + c
f dx _ j* dx _ f 2 dx _ 2 f
J2senhx + 3coshx J 2ex -2e~x 3ex +3e~x J5ex +e~x J 5e2x+
-+ ------------
1401
J
2 f S e x 2 , r- Xs
= - p —r— —dx = —¡=arctg(V5e )+c
V5 J 5e +1 75
dx
tghx-1
f— =íJ tghx-1 J
Desarrollo
coshx
senh x - cosh x
-dx
(senh x +cosh x ), entonces:
senh x -co sh x
f — —— = f ---------------------------------------------------- C X-dx = - fcosh(senh x + cosh x)dx
j tghx-1 J senhx-coshx J
= - |rsenhx.coshx + i(cosh2x + l)]í/x =
J 2 2
senh2x senh2x x
----------------- hC
1402
í
senh xdx
jcosh 2x
Desarrollo
senh xdx _ j* senh xdx _ 1 j* 2senh xdx
''/cosh 2x J y]2cosh2x +1 ^2J yj(y¡2coshx)2+ 1
:—=ln | ¡2 cosh x + V2cosh ' x + 1
v 2
+e
ln | Í2 cosh x + Vcosh 2x | +c
4.11. EM PLEO DE SUSTITUCIO N TRIG O NO M ETR ICAS E
HIPERBOLICAS PARA EL CALCULO DE INTEQ RALES
DE LA FORM A.-
R(x, lax2 +bx +c)dx - (1)
Donde R es una función racional, transformando el trinomio de segundo grado
ax~ +bx +c , en una suma o resta de cuadrados, reducimos la integral (1) o
uno de los integrales de las formas siguientes:
© J*(z,V
© )R (z,l
m —z )dz © J/?(z,Vm +; )dz
z2 - m2)dz
Estas integrales se resuelven valiéndose de las sustituciones:
(T ) z = m sen t o /. = m tgh t (2^ z = m tg t o z = m senh t
( 3) z = m sec t o z = m cosh t

1403
1404
1405
Hallar las integrales
3 - 2 x - x 2dx
Desarrollo
3 - 2 x - x 2 = 4 - ( x +l)2
|V 3 - 2 x - x 2dx = J ^ 2 2~(x+)2dx = ^(x+ ) ^ 3 - 2 x - x 2 +4 arctg
x+1
---------- hC
2 +x2dx
Desarrollo
J y¡2+x2dx = y¡2+x2 + 2 ln | x +^ 2 +x2 +c
I
x2 ,dx
Desarrollo
Sea x = 3 tg t =» dx = 3sec2 tdt
f x2dx f9 tg 2r.3sec2íí/r f o , .
I = — . =— = 91 tg" t.sectdt, integrando por partes:
JV 9 + X2 J V9+ 9tg 2t J
9
= —[tg/.secr-ln |secf+ tgr |]+ c
f x'dx f tg" f.sec" tdt 9 r . .
I —■■■ = 9 I ----= —[tgr.secí-ln | sec/ + tg? ||
J a/9 + x2 J secí 2
1406IVx2 -2 x + 2dx
Desarrollo
J^ /x 2- 2 x +2dx = J*>/(x—1) “ + 1 í/x
—— - a / a 2 - 2 x + 2 + —ln |( x - l) W * 2 -2 x + 2 | + c
2 2
1407 |V x -4 d x
Desarrollo
jV x 2-4 d x =-^[xy¡x2- 4 -41n |x + Vx2- 4 1] =-^Vx2- 4 -21n | x + 7x2- 4 |+c
1408 | V x2 + x dx
Desarrollo
JV x 2+xdx = j Jx2+x+^7-^dx = fJ(x + i ) 2 -i-d x
4 4 JV 2 4
= —((x + —)%/x2+ x - - ln [ x + - + Vx2+ x])
2 2 4 2
_ 2x+ 2^x2+ x - —ln 12x +1 + 2-/*2 + * I+c
4 8
1409| Vx - 6x - 7 dx
Desarrollo

1410
= X^ 'Jx2 —6x —l -81n | x - 3 +j x 2 -6.x —7 | +c
J<
3
„2(x +x +)2dx
Desarrollo
j ( x 2 + x +)2dx = J V 2+x+l)jx2+x+ldx = J*KX+ "^ + —]^(x + ~)2+~^dx
Sea x +—= ^ - t g G => dx = ^ - s e c 2OdO
2 2 2
J*(x2 +x +l)2dx - J[(jc + —)“ + —]^(x + —)2+~ d x
= |[T tg 20+ | ] J | t g 20+ ^ s e c 20d0
—fsee20.— secO.— see2OdO
4 ) 2 2
9_
16.
- fsee50d0 = — | (see30 + see30.tg20)d0 ... (1)
>J 16 J
integrando por partes I see30 dO , es decir:
J
1 1
see OdO = —[tg0.see0 +ln | see# + tg0 |] —(2)
integrando por partes I see30. tg29 dO
JS
Integral Indefinida
165
1411
u = tg 0
dv = see3O.lgO dO
du = see2OdO
see30
í
,3aa ¿a - te,o sec - —Jsee50 dOsee30 .tg20 dO = tg 0.-
reemplazando (3), (2) en (1):
tgfl.see30
]+ c
16 4 2
27
= — [tg 9 .seeg (-+ SeC ^~)+ ~ln Isee0 + tg0 |] + c
64 2 3 2
(3)
= -L (2x +l)(8x2+ 8* + 17 )V ?+ x + l + In 12x +1+ 2íx2 + x -f 11+c
64 1"°
1
dx
( x - l ) J x 2 - 3 x +2
Desarrollo
x2 -3 x + 2 = ( x - - ) 2 ; see 0 = 2x - 3
2 4
—sec0.tg0=dx', x - 1
2 2
sec0 + 3 see 0
2 2

166
f d x f ___________ d x _____________ i*
(x —l)jx2 —3x +2 » , I ~ 3 2 T J(x _
dx
(x l)y[x 3x+2 - L J (x-l)yjx2- 3 x +2
V 2 4
de
_ f 2sec0tg O CsecOdO 1-cosfl _ x - 2
* sec0+ l Isee20 - 1 J l +sec0 l + cos0^ ^ y/x-1 +<?
1412
h
2
dx
2see2OdO
J 3
(x2 - 2 x +5)i
Desarrollo
x 2 ~2x +5 = (x -1 )2 +4
j ~ ~ F = J ~ — J =j
(x - 2 x +5)2 {{x -1)2 +A)2 (4tg‘ 0 +4)2
donde x - l = 2 t g 0 ; dx = 2sec20d6
_ f 2s ec2OdO Ç2sec20 . „ l f i
J Q =7Icos0 d 0 = -s e n 0 + c
(2sec20)2 U s e C G 4 J 4
x - 1
= +c
1413
f dx
(l +X2)y /l-x 2
2x +5
Desarrollo
í dd - I
r see26 dd 1 1 rV2sec2OdO
J 2sen20+ cos20 J*2tg20+ l V2 J1(y¡2tg0)2 +1
1 i------ 1 V2x
=-j=arctg(yj2tg0) +c = -j= a rc tg (-j= = ) + c
-x2
1414
dx
l - x 2)y¡l +x2I . , , , -
Desarrollo
tg 0 = x => dx = sec26 d0
j" dx j* sec20 dO _ j* sec20d0
J( l - x 2)yjl +x2 J( l - t g 20)y¡ + tg20 JC l-tg2ejseç0
fsec0d0 f cos0dO _ j* cosOdO
J l - t g 20 Jeos20-sen 20 J 1—2s-tg 0 J cos 0 -se n 0 J l-2 se n 0
=± [ J
V2J1-
1 f yfícOsO d0 1 , I yj +x2 +y[2x‘,
In , -------- +c
-(V2sen0)2 2V2 sj +x 2 - j l x
4.12. INTEG RACION DE DIVERSAS FUNCIO NES
TRASCENDETES.-
Hallar las integrales.-
1415 j"( je2 + l)2e2xdx
Des:; rrollo
it = (x2 +1)2 => du = 4x(x2+1 )dx
Integrando por partes y haciendo 2.v
, 2xj edv = e dx => v = ----
2

J( a 2 - l ) 2 e2xdx = (x2 +1)2 - 2 Jx(x +)e2xdx
integrando j x(x2 +l)e2xdx por partes
haciendo:
u = x(x2+1) => du = (3x~ +1)dx
e 2x
dv = e2xdx => v = ----
J *(*2+ )e2xdx = x(x2 j~ ~ Y ~ ~ e2X(ÍX
integrando
haciendo
!
3a +1 2x
2
3 a-2 + 1
dv = e2xdx
e dx por partes
du = 3a dx
J2x
(1)
(2)
J 2 3 2 J
xe2xdx
integrando I xelxdx =
xe2x e2x
2 4
reemplazando (4) en (3):
F r 1e2xdx = ? ^ e 2x- - x e 2x+- e 2x
(3)
(4)
1416
reemplazando en (2)
r p^x p^x p^x
I a ( a 2 +)e2xdx = a ( a 2 + 1 )~ ------_ 6x + 5) = - ^ - ( 2 a 3 - 3 a 2 + 4 a -
reemplazando en (1) se tiene:
f(x2+)2e2xdx = - — ( a 2 + 1)2 ——— ( 2 a 3 - 3 a 2 + 4 a - —) + c
J 2 2 2
2x -j
= -------- ( a 4 - 2 a 3 + 5 a 2 - 4 a + —) + c
2 2
I
2 c o s 2 ( 3 a )c?a
Desarrollo
f 2 2 ^ » f 0 , 1 + COS 6 A 1 f , 2 2 s j
J a cos 3xdx = I x (-----------)dx = —J ( a + a cosox)ax
eos 6xdx)
l ,x 3 f
= - ( — + A
2 3 J
integrando Ja2eos6 a í /a se tiene: ■
f 2 - , a2sen6a Ta
I a eos 6a dx = --------------I —
J 6 J 3
(1)
U = A
dv = c o s ( 6 a ) ¿ a = > v =
= 2 a í/a
s e n 6 x
sen 6a J a =
a 2 6 sen6 a a
6
sen6x
-H------COSÓA
6 18 2 1 6
.( 2)
reemplazando (2) en (1)
í
o 2 „ , a 3 a 2 sen 6 a a . sen 6 a
a ‘ c o s 3 x d x = -------1------------------H--------COSÓA----------------+ c
6 1 2 3 6 4 3 2
1 , 3 a , a . s e n 6 A N
( a + — sen 6 a + —eos 6 a ----- — -) +c
6 2 6 7 2
>/->Iin

1417
1418
1419
i
x sen x.eos 2xdx
Desarrollo
sen x eos 2x = ^ [sen 3a +sen(-x)] = i (sen 3* - sen x)
J x sen x.eos 2xdx ~ x(sen 3a - sen x)dx
u = x => du =dx
eos 3a
dv = (sen3A-senx)dx => v = c o s a - -
J
1
a sen a . eos xdx = - [ a c o s a - — eos 3 a ] - s e n x + ££ÜÍL?. + C
2 3 2 18
e2x sen2xdx
Desarrollo
-dx =- | (elx - e2x eos 2x)dx
= i [ I V ' * - fe 2' eos 2*1*
2 J J 4 8 8
e2x
= —— (2 -sen 2a -e o s 2x) +c
O
j e x sen a . sen 3xdx
Desarrollo
sen a .sen 3a = (eos 2a - eos 4a )
Integral Indefinida
171
1420
J ex sen a .sen 3a dx = —Jex s e n a . s e n 3xdx = — I e x ( e o s 2 x - c o s 4 A ) d A - ( 1 )
Sea
u —ex => du = exdx
sen 2 a
dv = eos 2 a dx => v = -
ex sen 2 a C ex sen 2 a dxf , . , ex sen 2 a f
I e eos 2xdx —----- -------I
£ ^ £ + £ l COs 2A - - |^ C O S 2AdA
2 4
j 4
| e*eos2xdx = — ^2sen2a + eos2a) —= — (2sen2a + eos2a) ...(2)
4 5 5
en forma análoga para: l e x eos 4 a dx = — ( 4 sen 4 a + eos 4x) ... ( 3 )
reemplazando (3), (2) en (1):
ex 2 sen 2 a + eos a 4 sen 4 a + eos 4 a
ex sen a . sen 3 a dx = — (------------------------------- 7Z >+ c
2 5 17
Ae* eos xdx
Desarrollo

r £X
integrando J ex sen xdx = ~ ( sen x-cosx) ... (1)
. f * , u= xex => du = (xex +ex )dx
integrando i x e s e n xdx, se tiene: <
J [dv = senxdx => v= -cosx
j x e x senxdx = -xex cos x + J*e* eos x dx + j x e x eosxdx
ex r
= -xex eos x + — (cos x + sen x + I xex eos x dx) ... (2)
reemplazando (2), (1) en (a)
I
x &
xexeos xdx = xexsenx - — (senx - eos x) + xex eos x -
——(eos x + senx) - | xex eos x dx
i
2 I xexeos x dx = xex(sen x + eos x) - ex sen x
J
6
xex eos xdx = — [x(sen x + eos x) - sen x] +c
J
1421 1 dx
e2x+ex - 2
Desarrollo
f dx j* dx 1 f
J e 2x+ex - 2 J (ex +2)(ex - l ) ~ 3 J (eLX+ ef —2 J ( e x + 2)(ex -1) 3 J (ex + 2 ex -l***
■4J(-------------- ----- )dx ——-ln(l + 2ex) H——ln(1—e x) + c
1+ 2e ~é~x 6 3
1422
1423
= - —+-n(ex + 2) + -ln (ejr- l) + c
2 6 3
I
dx
yje2x +ex +1
Desarrollo
I* dx i* e~xdx f e 'dx _ j*
J y¡e2x +ex +1 J e~x¡e2x +ex +1 J Je~2x +e~x + 1 J
e~xdx
x¡e2x+ex+{ J yf, J / 1 , 3
2 4
■J
-e xdx
= - ln | e ^ + —+ ]e 2x +e x + 1 1+c
1 .7 3 2
(e-<+ - )2+ r
=—ln|
fx 2l n ^
J 1—x
e* +2 + 2[e^x + ex +1
2ex
2x
|+c = x - ln | ex + 2+ 2¡e2x +ex + 1 1+c
dx
Desarrollo
Haciendo
. 1+ x , 2 dx
u = ln------ => du = -------
1- x
dv = x 2dx
1—x
l 1' 1—x 3
1+ x 2 f x3 x3 ,1 + x , 2 f , x
---------- ----- -d x =— ln ----- — I (-x + ----
1-* 3 J l - x 3 1- x 3 J l —j
-)dx
=£ _ i,i|i± £ | + ^_ + i i n ¡ i - x2l+c = i[ x 3ln| |+ ln11- x2 |]+<
3 l - x J J 3 - x

1424
1425
J ln2(x + Vi
Desarrollo
Haciendo
u = ln2(x + Vl + x2) => du =
dv = dx => v = x
2ln(x + Vl + x2)t¿x
V i+*2
J ln 2(x + Vl + x2)dx = x ln2(x + V l ^ 5" ) - 2j
xln(x +V1+ *“ )
V T ^
dx ... (1)
l+ x
integrando
J
:ln(x + Vl + x2 )x dx
Vl + JC2
haciendo
u = ln(jc+Vi+x2) dn=
xdx
dx
Vl + x2
dv = -
Vi+ x 2
VT' -2v = Vl + x
[ x n ( x + J ^ ) d x = J — í in{x +J — í ) _ :
J V1+ JC2
reemplazando (2) en (1):
... (2)
J ln 2(x +Vl + x2)dx = xln2(x + Vl + *2)-2'J +x2 ln(x + yj +x2) - 2 x +c
í
x arccos(5x - 2)dx
Desarrollo
1426
Haciendo
u = arccos(5x - 2) => du = -
5dx
V l-(5 x -2 )2
dv = xdx => v = —
2
I
x-2 5
x arccos(5x - 2)dx = — arccos(5x - 2) + ^
5 j" x2dx
2 J V l-(5 x -2 )2
... (1)
integrando
í
x'dx
Vl- ( 5 x - 2 )2
tomando sen 0 = 5x - 2 => dx = cos^ d0
cos0 = y[-(5x-2)2 como sen9 = 5 x -2
sen 0+ 2
J y ¡ l- ( 5 x - 2 r J
= — [( -
125 J
(sen0+ - ) 2^ d 0
5 5
V1-se n 20
-eos 20
* — f125 J
(sen 0 + 4 sen 0 + 4)d0
/i a 1 ,90 sen 20+ 4sen0+4)d0 = — -(— ------------ 4cos0) + c
2 125 2 4
=
-
(—arccos(5x-2 ) — X+ J l - ( 5 x - 2)2)
125 2 2
(2)
reemplazando (2) en (1).
í
í
, x~ ,, „ 1 9arcsen(5x - 2)
x arccos(5x - 2)dx = — arccos(5x - 2) + — (---------------------
2 50 2
5x + 6
V20jx-25x" —3) + c
sen x.senh xdx
Desarrollo

176
C f —6~X 1 f v
Fsen x. senh x dx = I sen*.---- ----- dx = —J (ex se n x -e %e.nx)dx
_ 1 sen .v—eos x ( sen x-cos ^
~ 2 2 g 2
1 ex +e~x ex - e * .
- —(---------- sen x ------------- eos x) +c
2 2 2
= —(sen x. cosh x - eos x. senh x) +c
2
4.13. EMPLEO DE LAS FÓRMULAS DE REDUCCION.
Deducir las fórmulas de reducción de las integrales
f dx 1 ________x_______ 2 « -3 f dx
1427 " " J(x2 +a2)n ~ a2 (2n - 2)(*2+ o2T 1 (2« - 2)a2 J (x2+ a2T 1
n * 1 Hallar / 2 e /3
Desarrollo
f dx _ 1 fjc2^ 2 -^ 2 . 1 , f *2+«2 ■ f
/n “ J(X 2 +a2r a2 J (x2 + a2)" a2 JU 2+ fl2)" J («2+ **)"
/ =_L f ___^ ____
" a2 J ( x 2 +a2r l a2 )
* 2 (lx ... (1)
calcular la integral
x2dx
1(*2+ a 2)"
por partes
(x2 +a2)"
it —x => du = dx
xdx
dv =
(x2+a2)" 2(n-l)(jc2+a2)'1-1
1428
f x2í¿c _ x f dx
J(x2 +a2)n 2(n-l)(x2 +a2)"~l + J 2(n- )(x2 +a2)n~l
dx_ 1 f dx + x 1 f
” a2 J(x2 +a2 + 2a(n - l)(;t2+ a2 a2 J2(n - l)(x2 + a2
— >í> i-l) J(a 2 2a2( n - ) J (x2 +a2)n~' + 2a2(n -l)(x2 +a2)n~l
L =
f dx _ x 2 n -3 f
J(x2 + a2)" 2a2(n-l)(x2 + a 2)"-1 + 2a2(n-1) J
I* dx _ x + 1 C dx
J(x2 +a2)2 2a2(x2 +a2) 2a2 J (x2 +a2)
dx
, 2— r + v a g i - ) +c
2a (x +a ) 2a a
_ f dx x 3 f
3 ~ J (x2 +a2Ÿ ~ 4a2(x2 +a2)2 + 4 ¿ ) ]
■ 1
dx
dx x 3 . x 1 x
(x2 +a2Ÿ 4a2(x2 +a2)3 4a2 2a2(x2 +a2) 2a¡
„ - f sen" xdx = _ sen” x.cosx + n_J_ f sen„_2^ ^
J n n J
Desarrollo

« = sen'! l x du = ( n - 1) sen" 2xcosxdx
dv = senxdx v = -co sx
xdx = -sen" xeosx + (n -l) | sen" x.eos xdx— i» JS
= , coS, + , „ - WJ s , n - , 0 - s e » = ^ ]
J*sen"xdx=-sen"_lx.eosx+(n-l)Jsen"-2xdx- (n-1)Jsen"xdx
njsen" xdx = -se n "-1 x.eosx + (n -l)J se n "~2xdx
f „ , sen"~‘ xcosx n -1 f n_2,
/„ = I sen xdx = --------------------H--------I sen xdx
J n n J
f 4 , sen3x.eosx 3 f 2
7d = I sen xdx = ------------------- I sen xdx
J 4 4 J
sen3 xcosx 3 , senxcosx 1------------------+ _ ( --------------------+ _ x )+ c
4 4 2 2
sen3xeosx 3 3x
------------------- sen xeos x + — + c
4 8 8
f í , sen4xcos x 4 f ,
= I sen xdx = ------------------ h—I sen xdx
5 J 5 5 J
i
sen4x.eos x 4 / sen2x.eos x 2 .
-------------------- (------------------+ —I senxdx)
5 5 3 ~ 1
sen4x.eos x 4 28
---------------------- sen x.cosx------eosx + c
5 15 15
1429
f dx sen* n - 2 . „ ,
»=I—7T~=- -7T-- +- - - - -7 n-2 »Hallar. /3, /4J eos x (n-l)cos x n -1(n-1)eos x
Desarrollo
xdx
dx
t
( n - 1)eos x
d x
~
(2)
I„= f——-= fsen" xdx = í(1+tg2x) see" 2xdx
J eos" x J J
=f— +ftg2xsec"-2xdx ... (1)J eos" x J
integrando porpartes Jtg2xsec"~2 xdx
{
du =sec2 xd x
K = t g X
=> .^ n -2 v
dv = see x.lgxdx v=—--n-2
f. 2 n-2 ,tgx.secn_lx fsee"JI tg x.secxdx = —--------------- I --------
J n - 2 J n -
reemplazando (2)en (1) setiene:
í | = f s e c " ,* » f — ä x + t£x.secr~l x _
J eos" x J Jeos"x n-2n-
f see" xdx +—-— i see"xdx = -----—— —+ Í
J n - 2 J ( n - 2)cos x J eos x
n -1 f . . senx— — see" xdx = ----------------— + — —
n-2J (n-2)eos" x Jeos
f „ , senx n-2f d.
I see xdx = -------------- —+ ------ — -
J (n-Dcos"- x n-1 j eos

sen x n —2j r dx íjvha ^ " —i
" J eos" x (n -l)co s" 1x « - I
1430 ln = | xne~xdx = - x ne~x + nJ xn~'e~xdx . Hallar I
In = J x"e Xdx , integrando por partes:
ln = j xne-xdx = - x ne-x + n j xn
Desarrollo
u = xn => du —nx"~]dx
dv = e~xdx => v= —e x
'e~xdx
7io = J xi0e~xdx = - x we~x +loJx9e~xdx =- x ,0e x +10(-x9e x + 9 jx 9e Xdx)
= - x i0e~x - I 0 x 9e~x +90 + j x 9e~xdx = -x'° -1 0 *9-90x8 -720*7 + ... + C
4.14. INTEG RACIÓ N DE DISTINTAS FUNCIO NES.
1431
í
dx
2x2 - 4 x +9
Desarrollo
f - 1 fdx - I f — í — = _Larc.8( ^ i ^ ) + í
J 2.x2- 4x + 9 2J v2_ 2jc+9 2 J u _ 1)2+7 VÍ4 >/7
11432 I—r ~— dx
x2 - 2.X+ 2
Desarrollo
1433
1434
= -^ln | x2 - 2.x+ 2 1-4arctg(x-l) + c
J
Xsdx
2 1X + X + -
Desarrollo
„3,
j[(* -l) + V X+l { ))dx
X* + X H— * x } + X H—
2 2
U - l ) 2 . i r _ 2x + l _ ^ + , r *
4 J jc2 + jc + I 4 J-+
2 1JC +JC+ -
2
(* -!) 1 . , ■» 1 , 1 „
= ---------- 1— In h r + jc+ — h— arctg(2jr+ l)... + c
2 4 2 2
J
dx
5)
Desarrollo
f dx f A Bx +C ^. 1
I -----^------= (—+ —5--------------)dx ; ----—
J x(x +5) J x x +5 jc(jc +5) x x +5
efectuando operaciones y simplificando

1435
1436
I
1 In x2 - n(x2 +5) 1 x2
= - ( ----------- ------------------) + c = —In. —-+c
5 2 5 x 2 + 5
dx
( x + 2 ) 2 ( x + 3 ) 2
Desarrollo
Sea u = x + 2 ; u + 1 = x + 3 => du = dx
f----r — j = f 2 du 2 = Mr+—[— — r — Wu
J (x +2) (x +3)2 J u^(u + 1) J («+1) u + u
1 1 iui -, i m+ 1i 1 1-—2In I----- l+c = 21n I-------1-------------- +c
Í
U U+ 1 W+l U U U+ 1
, x + 3 , 1 1
= 21n ------ --------------------+ r
x+2 x+2 x+3
dx
(x + l)2(x2+l)
Desarrollo
f dx _ f A B Cx +D
Ju+i)2u2+i)~J ^T+u+d2+x2 +
I A B Cx + D
-+ --------r + -
(x+ l)2(x2+l) X + (x + l)2 x 2 + l
efectuando operaciones y simplificando
1= (A + C)x3+(A +B +2C +D)x2 +(A +C+ 2D)x+ A +B +D
resolviendo el sistema
A +C = 0
A+B + 2C + D =0
A +C +2D = 0
A + B + D = 1
se tiene: A = —, B = ~ —, C = ——, D = 0
2 2 2
f dx f A B Cx+£)
--------^ 7-----= (------ + -------- t + —ó-----)dx
J ( x + l)(x~ + l) J x + (x + l)~ x + l
= 4 f (—
2 J x4
+ - j _ - - £ _ ) í£c = ± (ln (x + l)-----’- - ^ l n U 2+l)) + c
x +l (x+l) x2+ 2 x + l 2
1437
1 . , x + l , 1
= —(ln l-7=r— I— - r ) +c
2 sjx2 + 1 X+l
í
dx
(x2+2)2
Desarrollo
SÍ2
x = Í2tg0 => dx = y¡2 see2OdO
f dx i*a/2 sec2ddd yfl f 2 n j n V2 |*l+cos20
I — ------ = I ------
-
—= -— cos Odd = — I --------------------dO
J (x +2) J 4(tg20 + l)2 4 J 4 J 2
y ¡ 2 sen 0cosí) ¡2 x xy¡2
= -7r^e + ------ ;------) +c = -¿ -(arctg ( - r ) + —— ) +c
8 4 8 V2 x + 2

1438
í
dx
x4 - 2x2 +1
Desarrollo
I* dx _ j* dx
J(x4- 2x2+l) "J(x2- l )2
Vx2- 1
see0=x => dx=see0.tg0d0
f dx _ f dx _ Csec8tg8d8
J x3- 2 x 2 + J(x2-1)2 J(sec20-1)2
Csec8tg8d8 _ fsecOdO _ j"eos20^ _ fl
J tg40 J tg30 Jsen38 J
-sen28
sen38
dd =J (ese38 -ese 8 )dd
=—[ln | ese8 —c tg8 -ctgé>csc0]-ln | csc0- c tg d | +c
1
[ln | ese8 —ctg8 | +ctg0.csc0]+ r
Desarrollo
f xdx _ 1 r
J(JC2—JC+1)3 2 J
n/ £
2
„ 2 x - 1
(— ----------- +
(x2 - x + l)3 x2 - x + l)3
)dx
1 dx
integrando i f — f
2 J(x2 -
4(x2—x + 1)2 2J (jc2—jc+1)3
dx
(x~ -X + 1)
2 1 2 3
completando cuadrados se tiene: x - x +1 = (x - —)“ + —
1
x —
tg# = — ^ ; dx =^ - s e c 28 d8
V3 73 2
2
dx
V3
(1)
r dx 1 r dx f 2 sec~6de _ 73 I*see28 dd
J(x2-x+l)3 2 j [u_l)2+3]3 2J(3^20+3)3 4j22sec60
2 4 4 4 64
2J (x - x + 1)
27 J 27 J 2
, 1673 f
27
_ 473 f
27 J
2 4
1673 f l + cos20
473,
(l + 2cos20+cos‘ 28)dd = ——[0+ sen20+ —+
27
8 sen 48
]+c

1440
4>/3r30 sen20cos20 4y¡3 36 ™ /4+c°s20
- — +sen2 0+--------------- ]+c = ------ [— + sen20(------------ )]+ c
27 2 4 27 2 4
4
■— -[30 + sen0cos0(3+2cos20)] + c
27
2V3 2Í3 Q Q 4>/3 . _ 2
= ----- 0 h-------sen0 cos0 + -------sen0 cos0 cos 6
9 9 27
2 ,2x - l . 2jc—1 2 x - l ...
= — -=arctg(—= -) + — T------------------------------------------------+ -----T----------r r •••(2)
23^3 73 6(x -x + 1 ) 12(x - x + 1)
remplazando (2 ) en (1) se tiene:
f á 1 2 2x - l 2x- 2x-
i t f - x+l? - ~ 4 ( x 2- x + l)2 + 3 S 6(x2 -x + l) I2(x2-x + 1)2
f xdx x —2 2 x - 2 2 x - l
—5-------- — = — ;-------— + — -------— + z r ¡ z aicXB(.— ¡r-)+ c
J (x~-J
í
(x2 - x + l)3 6(jc2—jc -Hl)2 6(x2 - x + l)23^3¡3
(3-4x) J
(1- 2yfx)2
Desarrollo
Sea z 2 = x => dx = 2z dz
,2
f 3~4* 2= f (3 4 z,) 2z<fe=- f 8--— — & = -[(2 - +2- - -— -)¿zJ (1-2VI)2 J (l-2z)2 J 4z —4z + l J (1—2z)~
, 2 o 1 ^ (~3x-2xy[x +2y[x-) , _
= -(Z - 2 z ----— ) = ------------------------------------------------------ 7=-rC
l-2 z -2s[x
3x +2xy[x 1-2 Vx x(3 +2[x)
= ------------- --------1-------------p=- + C = ---------------j=— 1-1 + c
l-2 [x —2¡x 1 -2 Vx
1442
- Ja!
J
3 - 4 x , x(3 + 2Vx) ,
rfx= ---------- 7=—+ k
(1-2 Vx)2 l-2 v 'j
(n/I + 1)2
-ax
Desarrollo
f(V I+ i)2 . fx + 2 7 7 + i r 1 2 1 1 4 1------r— í/x= ------- — dx= (-T +- r +-r)dx = --------------------* --------- —
J X3 J x3 J x2 5 x3 x 3xVx 2.v
1441 | - - T — dx
J
¿A
V x 2 + X + 1
Desarrollo
[ - = £ = = f = ln | x + —+ V?+~v-M
J I, 1,2 3 2
+c
( x + - r + -
2 4
1443 I — = ^ d x
JJv'2x
Desarrollo
j*^ dx =j*l(2x) 2 -(2 x )6]dx = Í2x ~ ^y[(2 xf +í
1 i
1444
f Jx
J ( V 7 + 7 I ) 2
Desarrollo
Sea
|x = z6 => dz = 3z2dz
Ix = zJ => V ? = z2 :

1445
r dz, f 3z2dz _ 3 r
j (7?+7x)2 J(z2+z)2 J
í dx - ^ + c
j ( s f x 2 + y f x ) 2 7 x + l
( 2 x + ) d x
s ¡ ( 4 x 2 - 2 x + f
dz
(z+1)2 Z+ 1 yfx +1
+ C
í
Desarrollo
4 x 2 - 2 x + = 4(x- —)2+ — ; tgO =
4 4
2< * 4 > 4 ,-1
V5 "
2
d x = -^-sec29 d 6 ; 2x + l = -^-(tg0+ 73)
f ( 2 x + l ) d x _ f
j yj(4x2 - 2 x +l)3 J 3V3 3- 73 J sec0
----- ser 9
= -4= I senQ+ ¡3cosQd6 =-^¡= Í(sen0 +y¡3cos6)d9
73 J 7 3 J
COS0
" 7 T
+ sen 9 +c , efectuando la función trigonoméetrica tenemos:
1446
4 x - l
+— ,................. = +c
2 y ¡ 4 x 2 - 2 x + 2 s¡ 4 x 2 - 2 x +
4 x - 2 2x —1
= + C= -T = +c
2 y ¡ 4 x 2 - 2x + l xz - 2x + l
í
d x
ií ^ X + y f ^ -
Desarrollo
Sea 5 - x = z4 => dx = -4 z idz
¡5 -x = z y 7 5 -x = z2
f dx f z3dz . f z2dz . f , , * . ,
=====---- = = = -4 —-----= -4 -------= -4 ( z - l + ------ )dz
J 7 5 -x + 7 5 -x J z +z J z+1 J z+1
1
= - z + ln | z + 1|) + c = -2z ~ + 4z-41n | z + 11+ c
1447
= -2 7 5 -x + 4 /5 -x -4 1 n 1 7 5 -x + 11+c
= ^ ( T ^ x - 1)2- 4 ln | T ^ x + 11+/t
I
x 2d x
V(»2 - o 3
Desarrollo
7x2-1
1

1448
Sea x = sec 0 dx = see 0. tg 0 d0
sec20.sec0.tg0 dO _ f see Q.tgO
-de
J V(sec20 -1 )3 J
= C sj¿ecw = r , t f e d B m j « f d e
J tg 9 J Jsen 0
= Jsec0.csc20í/0 = Jsec0(l + ctg‘ 0)¿0
= J(sec0 + sec0.ctg29)d6 = J (sec0+ C0Sy -)d9
sen 0
= In Ix +J x - l I— , f=—+ c
í
xdx
(l + x2) s j l - x 4
Desarrollo
2 C°s0
Sea a: =sen0 ; xdx ---------dO
f xdx _ f
Jíl + X 1 — JC4 J
COS0
d9
(l + x2)¡ l-x 4 J (l + sen0)V l-sen20 2 J l+ sen0■iji
d9
1449
1450
1 f l-se n 0 1 fl-s e n 0 1 f 2
= —I --------— d0 =— ----- t— d9 = — I (see 0-íg0.sec0)cí0
2 J 1-sen 0 2 J cos20 2 j V
2
= —(fg0-sec0) + c - — (sec0 -tg 0 ) + c = — (■■■;.....—— ¡X )+c
2 2 2 yjl-x* y]-x4
1 1-JC2 1
r + C = ------<
1-jc2 1 1- x 2
= ~ 2 ' J Z 7 + C = ~ 2 ^ I T 7 7 +C = ~ 2 7 7 7 +c
xdx
1V í- 2jc2 - x4
Desarrollo
l - 2 x 2 - x 4 = 2 - ( x 2 +1)2
2xdx 1 .x‘ + l.
= —arcsen(— = -) + c
j* xdx _ j* xdx _ 1 |* í_______
j y j - 2 x 2 - x 4 j j 2 - ( x 2 +l)2 2 J^ 2 - U 2 + l)2 2 vy¡2
J—
U 2 + l)2
Desarrollo
Sea x = tg 0 => dx = sec' 0 rf0
f (jr + 1)¿/jc _ f (tg0 + l)sec20 ¿0 _ 1*(tg0 + l)sec20 ^
J 2 J 2 J sec30
(x +1)2 (tg"0 + l)2
_ ! tg0 + l _ f (c()S0+Sen0)í/0=Sen0_ COS0+C
J sec0 J
x 1 jc—1
: + C = —I + C
y j x 2 +1 y j x 2 +1 l x 2 +

.451 J
„2
dx
(.x2 + 4x)J4 —x2
Desarrollo
' -±<±--U+4x 4 x x +4
f dx _ 1 f dx 1 f dx
J (x2 +4x)l4 - x24J xy¡4-x2 4J (x +4)]4-x2
í -
integrando I — ,^ ... ... Sea x = - => dx = — l-
x j ^ x 2 1 t2
dt
f dx [* t 2 f dt
JWH?”J MTjl ~~' ~ 2
7V ~ ,2 ,
J;
integrando I --------dx. Sea x + 4 = - => dx = - ^ r
(x + 4)y¡4-x2 11
_dt_
f dx f _______ r _ f dt
J(x + 4)y¡4-x2 Jij.1 (1 l - 4^2 J V-12í3+ 8r-l
-JlT 2^3
2>/3 X + 4 2>/3 X + 4
(1)
= - l n | ^4 *2— | ...(2)
1 arcsen( (2* + 2)) = J L a r c s e n ( ^ ^ ) ...(3)
1454
f dx 1 f dx 1 f dx
J (x2+4x)V 4-x2 4 J x ^ 4 -x 2 4 J (x +4)y¡4-x2
1 , , ¡ 4 -x 2 + 2 . 1 2(x + l)
= — ln -------------- ------- = arcsen(--------- )
8 x 8^3 x + 4
1452 I Vx - 9 dx
Desarrollo
JV x2 - 9 dx = i(x /x 2 - 9 - 91n|x + >/x2 - 9 |+c
=^ ^ 9 - U n | x + Vx2- 9 l+c
1453 JVx -4 x 2dx
Desarrollo
= ((2x- ~ )¡ x -x 2 +~ arcsen(8x-1))]
2 2 4 16
= i ( ——-V x -x 2 +— arcsen(8x - 1)) + c
4 4 16
= ——-V x -x 2 +— arcsen(8x - 1) +c
16 64
1
dx
xVx2 +X + 1

1455
Desarrollo
1 —dt
X = - => d x = - r -
t t 2
*
f dx = r f2 = _ r <& = _ r dt
j xjx2+x +l Jl J, 2+t +l J Ví2+r +1 J J (í +i)2 +|
I 1 í~2 7I 1 I1 +JC+1 I= -ln |í+- +Ví‘ +f+1|= —ln|—+—+-------------|+c
2 i 2 , x
.2
, , x + 2 + 2 y J x 2 + x+1. . i x .
= -!„ I--------- ------------|+c= ln|----------l+c
x +2 + 2Vx" + Jc+ 1
J x ' J x 2 + 2 x + 2 d x
Desarrollo
J W 7 + 2jc + 2 í/jc = j* x y j ( x + ] ) 2 + 1 d x
Sea
z = X+1 => dx = dz
z = x + 1 ==> j r - z - 1
J*x y j x 2 +2 x + 2 d x = J x y j ( x +1)2+1 í/jc= j*(z- l)Vz2-1 dz
3
f zVz2+1 ¿z- ÍV z2+1 í/z = — -— —Vz2+1 ln | z + a/z2+1 l+c
J J 2 3 2 2
3
.2
= (z +1): -~ V z2+ l--ln | z +Vz2+l I+C
3 2 2
(je2+2x+2)>Jx +2x+2 x +1
...3..
U N 2.v+íW .V +2.(+ 2 -+2JC+ 2-^-ln Ijc+1 +Va:2+ 2jc+ 2 |+c
1456
h
dx
1 w dtSea x = - => d x = — —
/ r
dt
Desarrollo
í ■- f A~ = f ----- = - f ] dt ; sea t = sen 0 ; dt = eos 0d0
J x44 x ^ J i J V í ^
í4 í
v/1 - t 2
seetí =
f * f r3dr _ T
J JVw7 J
■J
sen30.eostíí/tí
eos0 -i- 1sen30d6
eos30
=- (1-cos 0)sentí¿0 = -(-costí +-------,)+c
=cos0
eos
+ C
yl(x2- l f
:------------- 1-----------+ C
3*3

1457
1 -
dx
:Vlxv i- x
Sea
1- x3 = z2 =$ dx -
dx 2z dz
Desarrollo
2zdz
3x2
x 3 -3 z
f dx _ T dx _ j* -2 z dz 2 f dz
Jx j l - x 3 Jy¡(l-x3)x Jz(3-3z2) Í J z 2- l
2 . z - . 2 . V l-x 3-1
= —ln | ----- 1+c = —In I—..... — | +c
3 z +1 3 xJ +1
1458
í
dx
f l + Jt
Desarrollo
y¡l + X
m + 1
(1+ x3) 3rfx; m = 0, n = 3, /? = —
-+ p = es un entero, entonces
n
- 3 , i _ 3 __. v 3 1 n/ i + X' ’
X +1 = 2 => X = —---- => Z=
z3- 1
_i 4
además * = (z3- l) 3 => dx = - z 2(z3- 1) 3dz
Ít? <~~~t = f I-----1 =r(-z2(z3-l) 3)¿Z
j ^/l+ x3 J i . A Z
i '
1459
4
4 1
= - J * * * — flfe= - J z (z 3- 1)~3(z3- l ) 3dz
r
(z3- l )3
~ f X * ~ r — — - f t - i j . 2
Jz3-1J (z-l)(z2+ z + l) J z-1 r +Z+1
z _ A(z2+ z +1) + B(z2 -z ) + C (z-l)
z3 - l (z -l)(z 2+ z + l)
z = (A + B)z2 + ( A - B +C)z +A - C
A + B =0
A - B + C =0
A -C = 0
resolviendo se tiene: A = ■-, B = - —, C = —
3 3 3
f dx f z , f, A ^ Bz +C l f ¿ x l f z-1
J 1¡Í+X3 J z3+l ' J : - l z2+z+l' 3J Z-1 3 j ; :+z+l
=——lnIZ—1|+— f ^ — { f~2~~
3 6J z “ + z + l6J z “ + z + l 3 J z +z + l
= ——ln| z —11+ —ln| z2+ z + l | — ^ a rc tg —■i ~ +c donde z =
3 6 V3 %/3
V í+ 7
J
5xdx
Desarrollo
[ 5xdx _ 5 j* 2xdx _ 5 2 ^
J ^ 7 2- W )2 2

198
1461
146« Jco s4x¿x
Desarrollo
I cos4xdx = I (cos2X fd x = J(~ C°s2a)2</t= Ì J(1+ 2cos 2x + eos22x)dx
= j ( x + sen2x + f — os 4x ¿x) = - ( x + sen2x + - + -^ -^ -) + c
4 J 2 4 2 8
3x sen 2x sen 4.v:---- 1-----------1---------- (.(•
8 4 32
f- - £ _J eos x sen x
Desarrollo
í - jsec x.csc5xdx = f (1+ c tg2x)2see x.ese xdx
J eos x.sen x J J
= J*(l + 2c tg2x + c tg4x) see x.csc xdx
= J*(see x.csc x + 2c tg" x.see x.csc x + c tg4x.see x.csc x)dx
f secx cosx cos3x ,
= (-------------------------------------------------- + 2------- — + ---- — )dx
J senx sen' x sen x
J's e c 2x 9 , , .„4
(-+ 2ctg x.csc* x + c tg X.CSC" x)dx = In Itgx I-c H: c - ~ — +c
tgx 4
/<
f! Æ a
J sen"x
Desarrollo
1463
1464
|*1+ -y/c,tg x dx _ f(csc2x +y]ctgx esc2x)dx
J sen x J
2 ~ 2 /-----------
= -C tg X --C tg 2X + C =-C tgX ---y/ctg3X+C
j*sesen3xdx
Veos3x
Desarrollo
f sen^Sfáx _ f sen x(l - eos2x)dx = [{senx(cosx)Í _ sm x.cJ x)dx
j Veos3X J Veos3X J
= - —eos5x + — eos5 x + c = — (eos2x - 6)Vcos2x + c
2 12 12
I
csc55x¿x
Desarrollo
JCSC55xí£c= J(1+ ctg25x)csc35xdx = Jesc35xáx + Jetg25x.cos35xdx... (1)
J*integrando I csc35xdx por partes

1465
f ‘
integrando I c tg25x.esc35xdx por partes
u= ctg5x du = —5esc25xdx
dv = ese35x.ctg5xdx => v = - CSC—
15
„3 ,
f 2c 3r , Ctg5x.CSC 5 l 1 f < ,
I c tg 5x.csc 5xdx = ----- ------------------ I ese 5xdx ... (3)
J 15 3 J
reemplazando (2), (3) en (1) se tiene:
J esc55xdx = J*ese35xdx + J*c tg25x.csc25xdx
1 .. 5 x , ctg5x.csc5x ctg5x.csc35x 1 f <„ ,
= — ln tg— 2------------------e--------- --------I ese 5xdx
10 2 10 15 3 J
f 5 c t 3 , 5 x . 3 , , 1 , 3
I ese 5xdx = — ln tg— ----- ctg5x.csc5x------ctg5x.csc 5x + c
J 40 2 40 20
cos5x 3cos5x 3 , , 5 x .
+ — ln | tg—- l+c
20sen45x 40 sen25x 40 2
I
sen2x ,
—— dx
eos x
Desarrollo
f S e n " X , f 2 4 , ¡ * 2 / . 2 , 2 ,
I -— dx = Itg'x.sec xdx ~ I tg x(l+tg“ x)sec xdx
J eos X J J
f 2 1 f 5 2 tg3X tg5X
= J tg“ xsec“ xdx = I tg x.sec" xdx = —+ ■-—- + c
1466
1467
|“"(T
K
-x) sen(— hx)dx
4
Desarrollo
n nn V2
sen(---- x) = sen —.eos x —sen x.cos—= — (eos x -sen x)
4 44 2
71 71 7t y ¡ 2 . ,,
sen(—+ x) = sen—.eos x + eos—.sen x = — (eos x + sen x)
4 4 4 2
. .n . y¡2 , 1/2
sen(----- x).sen(—+ x) = — (eos x - sen x)— (eos x + sen x)
4 4 2 2
1 2 2 ^ eos 2x
= —(eos x -sen x) = --------
2 2
fsen(—-x).sen(—+ x)dx = fcos 2x dx = i-sen2x + c
J 4 4 J 2 4
f i,X 7t.
Jtg(r T }
J tg ( | + ^)dx = j tg2( | + tg (| + ^)dx = J(sec2( f + ^ ) - 1) tg (f+j ñ d x
= f (sec2(^ + ^ ) tg ( í + ^ )d x - ítg (^ + ^)dx
J 2 4 2 4 J 2 4
-)dx
Desarrollo
- tg2(—+ —) + 21n Icos(—H— )|+ c
5 2 4 2 4
r dx
1468 ------------------------
J 2senx + 3cosx-5
Desarrollo

2 0 2 Eduardo Espinoza Ramos
2t 1- í 2
Se conoce que: sen a = -----— ; eos x =
1+t2 ' ’ 1+ í2
x 2dt
l~ = t => dx =
2 1+í2
2dt
f_______^ f 1+ í2 f dt _ f ____ dí_
J 2senx + 3cosx-5 J 413-312 „ J4r2—2r+ 1 J Aít l->2i J ~ Jl J 4(f- —)2+ —
1+ í2 1+ í2 4 4
1469
1
1 4 /-1 1= _ _ arctg(_ _ ) + c
dx
>2x
Desarrollo
2 + 3cos2x
2+ 3 eos2x ~ 2 sen2x + 5cos2x
f dx _ f dx _ f
j 2 + 3 c o s 2 x J 2sen2x + 5cos2x j 2tg¿ x + 5
sec° xdx
1 f Í2 sec" xdx 1 1 ¡2tgx 1 ,2tgxN
:vfJ(V5 tgx)2+5 v ^ )+c
i
dx
1470
eos2x + 2senxcosx + 2sen2x
Desarrollo
Dividiendo entre eos x se tiene:
f dx j* see2xdx _ 1 f
J eos2x + 2senxeosx + 2sen2x J 2tg2x + 2tgx +l 2J
sec2xdx
-2senxeosx + 2sen2x J 2tg2x + 2tgx +l 2J 2x +tgx +_
1_
_ 1 f — sec *dx = I.i-arctg (-----— - ) + c = arctg(2tgx + l) + c
2 j (tgx+-I)2 + i 2 i 1(tg x + '-r
6 2 4 2 2
1471
1
dx
senxsen2x
Desarrollo
, 2 „ . „ „ „ 2
1472
f dx f sen x + cos x , f, 1 cosx _ ,
I -------------= I ------------------- dx = I (---------+ ---------- )dx
J senxcosx J 2sen2xcosx J 2cosx 2sen2x
1 f , 1 1 1= —I (secx + ctgx.cscx)dx = ~ ln Isecx + tg x | cscx + c
r _______ dx_______
J (2+ cosx)(3 + cosx)
Desarrollo
1 1 A B
Sea z = eos x ; entonces ------------------------ = ---------------- = --------1--
(2+cosx)(3 + cosx) (2+z)(3+z) 2 +z 3+ z
A + B = 0 ,
1 = (A + B)z + 3A + 2B de donde se tiene: [ A = l, B = -l
3A + 2B = 1|
1 1 1
(2 + cosx)(3 + cosx) 2 + cosx 3 -cosx
f ------------ ----------- = f — — f ...a )
J (2+cosx)(3 + cosx) J 2+cosx J 3 + cosx

1473
1474
, Ç dx 2 2
integrando: -----------= - = arctg(—-£-) ... (2)
J 2+ cosx V3 V3
, f dx 1 tg 2
8 •" ,3>
f dx 2 tg2 1tg2
J (2+ c^ -w o_____ , = “/?arctg (-7r ) - — a r c tg ( ^ ) +c
-cosx)(3 + cos.*) 73 y¡3 y¡2 Í2
J
sec2xdx
7 tg2x + 4 tg x +1
Desarrollo
f sec2xrfx f sec2xdx
J 7 tg2x + 4 + tg x + l J y](tgx + 2)2- 3
Sea u = tgx + 2 => du = sec2 xdx
|* sec2A j* sec2xdx _ f dw
j g2 4tg JC-J-1 j yf(tgx +2 f ^ 3 J Vm2 - 3
= ln |m+V«2- 3 I+c = ln | tgx + 2 + -y/tg2x + 4tgx + l |+c
Jæ
cosar
dx
2+sen2ax
Desarrollo
f eos axdx _ j* eos axdx
* V«2+sen2ax J y¡a2 + (senax)2
1475
1476
Sea u = sen ax => du = a eos ax dx
= —In Isenax + Vfl2+sen2ax I+c
f cosaxdx 1 f acosaxdx 1 , [~
----------= _ _ ^ _ _ _ = = . = —In Isenax + a
J sja2 + sen2ax a J Ja2 +(senax)2 a
í
xdx
eos23x
Desarrollo
f xdx _ f
J eos23x J
xsec23xdx , integrando por partes y haciendo:
u = x du = dx
2 o j t ë 3*
dv = sec 3xdx => v = ------
f xdx _ r
J cos23x J
j x sen1xdx
xsec23xdx =- t g 3 x - —— dx +c = - t g 3x + -ln |c o s3 x |+ c
3 J 3 3 9
Desarrollo
Jx se n 2xdx = J x .1 C°^~Xdx = Ì J(x -x c o s 2x)dx
= - [ f x d x - xcoslxdx = — - —íx co s2x££x ... (1)
2 J J 4 2J
integrando Jx eos 2xdx por partes
u = x => du = dx
haciendo: „ , sen 2x
dv = coslxdx => v = --------

1477
1478
1479
1
* . •* - cos2x
jceos 2x dx = —sen 2x+ -------- ... (2)
2 4
reemplazando(2)en(1)
J
2 , x2 xsen2je eos2je
JEsen xdx = -------------------------------he
í
2 x*
x e dx
Desarrollo
r *
Sea « = x3 du = 3x2dx => x2dx =—
3
f 2 i1 . f udu eu e
I x e dx = e — = — +c = -
J J 3 3
J
V
+c
xe2xdx
Sea
Desarrollo
u = je => d u - d x
e^x
dv = e2xdx => v —-----
í xe2xdx = - e 2x- ~ í e2xdx = - e 2x- —
J 2 2j 2 4
J x2 ln yfí —
2x
•fe
x d x
Desarrollo
J x2lnV i-je <±e = iJje2ln(l - x)dx
»
1480
1481
Sea
dx
u =ln(l- je) => du =
2 , X'
dv = x dx => v = —
3
JE—1
.3
f je2 ln J -x d x = —(— ln ( l- x ) - —í ------dx)
J 2 3 3 J jc—1
3 ______ i p i
= — ln V l-J t I (x2 + X+ 1H-------
3 6J jc—1
í
)dx
= — In V i-jE --— —— ———ln | jc—11+c
3 18 12 6 6
xarctgx ,dx
Desarrollo
dx
J ü x 2
u=arctgx => du =
l1+ x2
fx a rc t|x ^ f ^ ^ d x = arctgx - f - *
J VÍT7 J 1+* J V1+ x2
= ll +x2 arctg x - ln | x + V1+ x2 | +c
ísen2(—).cos(— )dx
2 2
Desarrollo

1482
1483
Jsen2( )cos(~)dx = i J(1- eos x) cos(^f)dx
1 f, ,3x ,3x 1 3x 1 f 5x ,x.. ,
= — (cos(— )—eosxcosí— ))dx = -se n -------- I (cosí— ) + cos(—))ax
2 J 2 2 3 2 4J 4 2
1
1 3x 1 5x 1 x.
= - sen(— ) ------sen(— ) — sen(-) + c
3 2 10 2 2 2
dx
)Sx)2
Desarrollo
(sen x + cos x)2
f___*___=í-
J (senx + cosx)2 J s
dx
(sen x + eosx) J sen2x+ 2sen xcos x + cos2x
see2xdx f sec2xdx 1
tg x + 2tg x + l J (tgx + 1) tgx + 1
_ j* see xdx _ I*
J t g 2x + 2tg x + l J
1
dx
en2 x
Desarrollo
(tgx + 1)sen2x
f _____ dx_____ _ fcsc2x d * _ fese2x.ctgx^
J (tgx + l)sen2x J 1+ tgx J 1+ ctgx
f ese2xdx f(l + ctgx)esc2x ,f-c s c 2xdx f 2
= —-----------+ -------- — --------dx = ------------- + ese'xdx
J 1 + ctgx J 1+ ctgx J l + ctgx J
|- e s c x + csc x + csc xctgx
- i ------------------------------------- dx
1+ Ctg X
2 . r __ 2
= ln | 1 + ctg x | - ctg x + c
1484
1485
1486
Isenh x.cosh xdx
Desarrollo
Sea u = senh x du = cosh x dx
Jsenh x.cosh xdx = j u d u = —
f senh Vi - *
(senh x)
+ c = ---------— + c
2 2
-dx
J VT^ Desarrollo
,----- -dx 0 , _ dx
Sea u = V1 —x => du - -—-, => 2du —
2 Vi - x V i- *
| !el^ V ^ .dx =j senh u.(-2dw) =- 2 Jsenh u du
= - 2 cosh u + c = - 2 cosh V i- * + c
í* senh x.cosh x ^
J senh2 x + cosh2 x
Desarrollo
Sea u = senh2 x + cosh2 x , derivando se tiene:
du = (2 senh x cosh x + 2 cosh x senh x)dx => du = 4 senh x cosh x dx
f senhxeoshxdx _ 1 f * = I ln|H|+c = i ln |senh2 x + cosh2 x |+c
J senh2 x + cosh2 x 4J u 4 4
= iln |cosh 2x|+c
4

2 1 0
1487
1488
f xdx
J senh2x
Desarrollo
f xdx _ f
J senh2x J
sea
xcsch'xdx
u = x ídu=dx
dv = ese h2xdx [v = -ctghjc
J s e n h 2 a- = J ACSChxdx =~ x c tg h x +J ctghxdx=‘xctghx+lnlsenh
j* dx
Je2x -
x + c
Sea
-2ex
Desarrollo
e* - l = z => ex = z +l
dz = exdx => = dx
Z+ l
f— * = ¡ -
J e 2x- 2ex J (
dx
e¿x - 2 e x J(<?*-I)2- l
dzr dx r dx r
J e 2x- 2 e x J(z2-i)(z + l) J (z + l)2(z -l)
I l J_
= í = --jln | z + l| + — }— + —ln | z - 11
J z +l (z + l)2 Z—1 4 2(z + l) 4 ' 1
= - j l n | ^ - l + l |+ - L + i l n | ^ - l | + c = - - + — +-]nex -2+c
4 2e 4 4 2ex 4
1489
1490
1491
1492
I e2x - 6ex +13
exdx _
i-13
Desarrollo
ex - 3f exdx f exdx 1 e * -3
----------------- = I ---------- ------= —arctg-------- + c
J e 2x- 6 e x +l3 J (e * -3 )2 +4 2 2
i
e2xdx
_
(ex + 1)4
Desarrollo
Sea
fex +l = z4 ^ p = z 4 - l
exdx = 4t'dz i e2xdx = (z4-1)4z3dz
(<?*+l)4
= —■z4— z4+ c = —J(ex + 1)7 - - $ l ( e x + 1)3+c
7 3 1 3
f 2Xdx
J 1-4*—4X
Desarrollo
f 2Xdx f 2 Xdx x ,
I -------= I ---------- - ; sea u = 2 du = 2 ln 2dx
J 1-4* J i - r-(2*)2
r 2 ^ = p ^ _ =_L f * =_!_bi|l±21|+c
J1- 4* Jl - ( 2*)2 ln2j 1-M 21n 2 1- u 21n 2 1- 2*
J t f -1).10~2*í¿c
Desarrollo

1493
Sea ■
u = x 2 ~ 1 => du = 2xdx
. , n -2 x j K T 2*
dv = 10 dx => i
21n l0
í (x2 —1). 10 2xdx = - ~ — Ll0' 2jt+ - i - fjc.10~2xdx ...(1)
J 21nl0 InlOj
u = x => du =dx
, , n -2 x , 1 0 " 2*
dv = 10 dx =>
¡ x . 10~2xdx = - f - 10-2* + J r : ... (2)
21n l0
r 2jt
21n l0" ' 22ln210
reemplazando (2) en (1), se tiene:
.2
“ I
21n l0 21n210 22ln310
J V - 1)10-2xdx = 1 + - 4 — + — )10-2jr + c
21nl0 lnlO 21n210
ex +1 dx
Desarrollo
Sea
z 2 =ex +l
Iexdx = 2zdz
z2- l = ex
, 2zdz
dx = —----
; 2 - l
j*Ve‘ +1 dx - J —~ ^dz = 2J*(1+ — .. )dz
= 2(z+-^-ln |- —í-|) + c = 2yjex+ 1+ Ih | -^==¿2—- 1+c
2 Z+ 1 yjex +1 +1
1494
1495
1
dx
Sea
u = arctg x
dx
dv = —
x2
du =
Desarrollo
dx
l + x 1
f arctg x , arctg x i* dx arctg x | f i_
J x( +x2) x J x +x
-)dx
arctg x , I , , , 21 arctg x , , r 7
= ------------t-lnx — ln |l + A | +c = -------h ln x -ln v l + A +<
2 x
í
x
arctg x
x
, 1
x arcsen(—)dx
+ ln I
y jl- x 2
+c
Sea
u = arcsen(—)
x
dv = x'dx
Desarrollo
dx
du = -
vVx2—1
v = -
I
X3arcsení—)dx = — arcsen( ... (1)
integrando I --------- dx por sustitución
J x —1
/x2 - 1
1

1496
sec 0= x => dx = sec 0tg 0d0
„4
j* x dx _ j*see 6.seed.tgOd6 _ fsee40.tg0 _ f
J yjx2- 1 J '/see29 - 1 J tg0 J
= J ( l + íg20)see20dé? = j*
de = Isee e de
3
{+tg-0)sec¿6 de = (sec¿0 + tgz Osee29)d9 = lg9+ ^ ^ ~
(x¿ + 2) ...(2)
J*
3 *4 , 1 , 1 Va2- 1 2aresen(—)dx = — arcsen(—) H— .---------- (x + 2) + c
x 4 x 4 3
1 .4 1 Va - 1 , 2= —(x aresen —H----------- (x + 2)) + c
4 x 3
= —(jc aresen —+
4 jc
1
cos(ln x)dx
DesarroHo
Sea z = ln x => x = e z => dx = e zdz
Icos(ln x)dx = I ez eos z dzJ*eos(ln x)dx = j e
du = ezdz
dv = cos z dz Iv = sen z
Jcos(ln x)dx = j e z eos zdz = ez sen z - j e z sen zdz
1497
1498
J cos(ln x)dx = Jcos(ln x)dx = e z eos z dz = ez sen z + ez eos z - e z eos z d:
J*
1= e z eos z dz = — (sen z +eos z) + c = —(sen(ln x) + eos(ln x)) + c
J(x —3x)sen5xáx
Desarrollo
u = x* - 3x
dv = sen 5x dx
du = (2x - 3)dx
cos5x
I'"2-
x2—3x
3x) sen 5xdx = - :------- —eos 5x +
5 I
2 x -3
eos 5x dx
x“ -3 x
eos 5x +
5 5
3) eos 5x dx
íu = 2x - 3
Jv = eos5x£?x
du = 2dx
sen5x
í
, 2 o s J , x -3 x 2 x -3 2 f
(x -3x)sen5xax = ----------------- c o s 5 x h --------------sen 5 x -— I sen5xdx
25 2 5 J
x -3 x 2 x -3
eos 5x + — — sen 5x + ----- eos 5x + c
5 25 125
I
2 2 3
= —(-x 2eos 5x + —sen 5x + 3x eos 5x + — eos 5x — sen 5x) + c
5 5 25 5
x arctg(2x + 3)dx
Desarrollo

1499
u = arctg(2x + 3)
=>
dv = a dx
dx
du =■
2 a2+ 6a + 5
O
x~
v = -
2
J a a r c tg ( 2 A + 3)d* = ~ a r c tg ( 2 A +3) - J*
4 a 2 + 1 2 a + 1 0
5
2 1 (* » 3a H—
= — arctg(2A + 3) — ( I dx+ I— ------- ------ dx)
2 4 J J 4a + 12a + 10
a2 , i 1 f 6a + 5
= —-arctg(2A + 3 ) - - + - — ---- -— — dx
2 4 2 J 4a + 12a+10
a2 . i ! f bxdx 5 f dx
■««gO x+ S - J + - j — — T + i j -
a2+ 3 a + — a2+ 3 a +
2
a2 x 4 f 2 a + 3 1 f dx
= — arctg(2A+ 3 )- —+ — — ----------— dx— I
2 4 8 J 2 ' , 5 2 JA 2 + 3 a + — ^ J A 2 + 3 a + —
2
jc A* 3 5
= :— arctg(2A+ 3 ) - —+ —ln (a 2 + 3 a + —| - arctg(2A + 3 )
2 4 8 2
=Í[(a2-2)arctg(2A+3 ) +^-ln|2 a 2 +6a+5|~^]+c
J arcsenV*dx
> Desarrollo
Sea a = z 2 => dx = 2z dz
j*arcsen 7a dx = 2j*z arcsen z dz
</1|<N
Sea
u = arcsen z
dv=zdz
du =
dz
Ví^ 2
í* 7^ | p 72
I arcsen fx dx = 2(—arcsen z— I . dz)
J 2 2 J -y/i-Z2
z = sen 0 => dz = eos 0d0
-2 sen29. eos 9 dO
t í ü - fsen f 0 d8 =-~ f (1—
J Vi—72 ^V1- sen29 J•*
Luego:
eos 29)d9
1 1 /--T
= - (0 - sen 9 eos 6 ) = —(arcsen z-zv1-z") + c
2 2
í
arcsen Va dx= 2(— arcsen z— -(arcsen z-zV1-z )2 4
1
= z‘ arcsen z-—arcsenz-^Vi-z2 - arcsen(z2- —) - ^ y J l - z ~ +c
= arcsen Vx(x — ) --------(V i-*) + c2 2
1500 JW
Desarrollo

C A P I T U L O V
5 . L A I N T E G R A L D E F I N I D A
5.1. LA INTEGRAL DEFINIDA COMO LIMITE DE UNA
SUMA
DEFINICIÓN.-Si f es una función definida en el intervalo cerrado [a,b].
Entonces la integral definida de f de a a b, denotada por:
f b f h'ST'
f(x ) d x , está dada por: I f (x)dx = lim > / (£i)Ax- , si 3 el límite
J a J a '
1=0
donde x¡ < < xM , Ax, = xM - x ¡, i = 0,1,..., n - 1
Calcular las integrales siguientes, considerándolos como límites de las
correspondientes suma integrales:
•b
1501 I dx
sy a
Desarrollo
r/ . . b - a „ , . . b - a .
i(x) = 1, Ax¡ = ------ , g. tomamos de las siguiente manera: g¡ = a + i ;
£i =a +iAx¡, como f(x )= l => f (^¡) = 1
I dx= lim f(L¡)Ax¡ = lim———= lim n ———= b - a
J a Ax,->0 ¿ 1. 1/ Ar( —*0 Z u /i Ax,->0 n
i=0 i=0
Integral Definida 219
1502
1503
I (V0+ gf , donde V0 y g son constantes
Jo
Desarrollo
Sean f(t) = V0 + g t , Ar, = ^ = —
n n
& = l + i, A* = - ¿ ; /( í) = / ( 6 )»V 0 + — «'
- 7- n-1w-1
I (V0+ g O * = lim V /(£, )Ax,. = lim V (V + g - i ) -
Jo Ax^oÁ—t Ax, ^ oJLj n n
(=0 i=0
T f' K T gT2 gT2
= lun > (-2- + ÍE— i) = lim(V0r + ^ — > i)
Ax( —>0 A m m i t i f t n —>°° ^2
1;_ g72 (B-lXn) . r 2
- lim —---------------= V^y + p —-
&x¡—>o n2 2 0 * 2
j :
x l dx

Desarrollo
Sean f(x) = x 2, Ax¡ = — = -2 + — = a + í'Ax,
n n n
f( x ) = x ¿ => / ( £ ) = (-2 + - ) 2/ ( £ ) = 4 ------ «+-
n 72
[ *2<¿x= lim y /( I , )Ax¡ = lim V (4 - — + ^ - ) . -
J _2 n->°°¿mj n n n
i=0 i=0

2 2 0
lim(12- — + — (W 1)n(2n — ) =12 - 18 + 9 = -6+ 9 = 3
n2 2 «3 6
f 10
1504 2*dx
J o
Desarrollo
10 , 10/
Sea / (x) = 2 y A x,=— ; £• = —
n n
10
Como f( x ) = 2x =* / ( £ ) = 2»
10 n-1 w-1 10
f 2"dx = lim Y /(£ •)Ar, = lim Y 2 " / —
I „ Ax—>°°£¡mmí n—*°°'■■■ W
J0 ' i'= 0 <=o
10 2.10 3.10 , ,,1 0
i « _ ------ ------ (n-1).—
= lim —(1+ 2" +2 " + 2 " +... + 2
n—>°° n
10
~ „ 1010 1—(2n 1 —
= lim — ( 1 donde r = 2"
n-»°= n _
1- 2"
10 10
= lim ( l-210)— 1'l— = 0 - 210)lim
12 '* ' n'->~ 12
1- 2” 1- 2"
10
2 210 — 1
por L’HOSPITAL = (1- 210) lim ——*■------- = — —
^ „_>» 12 ir> m 2
2" ,-^ ln 2
n
1505
1506
I
x3dx
Desarrollo
Sea /(x ) = x3 , Ax(- = ——- = —, £, = a + /Ax, = 1+ —
n n n
Como f(x) = x 3 => /(!,-) = 0 + —)3
n
[ % 3dx= lim Y / ( ^ = l i m V (1+ ^ + 1 ^ - + ^ - ) -
J , Ax—>0ia J rt nz n n
i=0 1=0
„ 48(w-l)w 192 (n- l)n(2n-1) 256 w2 ( n - l )
“ i! f .(4+ - 7 T - + T ' -------- i -------- -----------------2
= lim(4+24 — +32.(" ~ 1)l,2,'~ 1>+ 62(” r 1)i) = 4<.24t64+64=156
n-*~ « n<- n-
Hallar el área del trapecio mixtilíneo, limitada por la hipérbola y = —, el eje X,
x
y las dos ordenadas x = a, x = b, (0< a < b)
Desarrollo
J?, s 1 * b ~ a £ b ~ a/(x ) = - => Ax,. = ------; q¡ = a - i -------
x n n
como f ( x ) = - =* /(£•) = - ----- -------
a + í(------)
n
n-1
A = lim V /(£ ,)Ax¡
A l,-» 0 Á mJ
1=0

n-1
V " 1 . b - a
A — lim > (------ ----- ) -----
. b - a n
i=o a + 1-
n
n-1
A= lim y — — -— ,en forma análoga el ejercicio 1505; se tiene: A= ln—
Ax,->oÁ^an+i(Jb-a) a
i=0
1507 f(x ) = I sent dt
' oJ. Desarrollo
f(x ) = I sent d t , donde f(t) = sen t
J o
At¡ = —, L = — como f(t) = sen t => /(£ ,) = sen —
n n n
x n-1 «-1^
/ (x) = | sent dt = lim y /(£)A í- = lim y ^ sen(—).—
I n A l-> 0.¿^ Ai —>0jLmM n n
0 1=0 1=0
x x x x n —1
= lim —(sen(0.—) + sen 1.—+ sen 2.—+...+ sen-------x)
ai, —>0 n n n n n
= lim —(----- ------ (eos — -eos (/i- —)—))
Ar(->o n ~ x 2n 2 n
2 sen —
2 n
x
x 1 x
= lim ----- ----- . lim (eos------- cos(n — ) —)
n— X . n— 2 n 2 n
2sen(— )
2 n
= 1 - eos x, aplicando L’HOSPITAL
1 , « 1 , .
NOTA.- sen a + sen 2a + ... + sen na = -----------(eos —-cos(n + —)a)
„ a 2 22 sen —
2
5.2. CÁLCULO DE LAS INTEG RALES DEFINIDAS PO R
M EDIO DE INDEFINIDAS.-
I o INTEGRAL DEFINIDA CON EL LÍMITE SUPERIOR
VARIABLE.-
Consideremos la función f(t) continua en el segmento [a,b], la función
^ ( x)~ f(t)dt es una función primitiva de f(x), es decir:
Ja
F'(x) = f( x ) p a ra a < x a > 1). Hallar: a) — b) —
Ja InAr da db
a) /=
J a lnx J b ln.
Desarrollo
dx di _ 1
x da In a
b) I
- J a
h dx di 1
ln x db ln b
Hallar las derivadas de las siguientes funciones:
1509 F(x)= I ntdt, x > 0
Desarrollo
F(x) = I lntdt => F'(x) = lnx

224
1510 F(x) = f yjl +t4dt
J X
Desarrollo
F(x) = J sj +t4dt = - j VT^
v X
tAdt => F'(x) =
1511 F(x)= I e~' dt
Desarrollo
.oc x~ r 2 r x 2
F(x)= I e~' dt = I e~1 dt+ I e~‘ di
J x J x J o
F(jc) = —I e~r dt+ I e~r dt entonces: F'(x)
Jo Jo
Ji.
1512 1= I eos(t2)dt
X
Desarrollo
r> -Jx í» a (• fx
7 = 1 eos(t2)dt= i eos t2dt+ eos(t2)dt
X
- 1 x cost2dt + I
Ja Ja
sTx
/ = - I *eos t¿dt+ I eos t2dt entonces:
dI , 1 X/ 1 X / 1 X— = - COS(——).(----) + COSx(-----— )
dx x~ X" 2y[x
- V i + X4
y'1 _ r 4
= —é +2xe
di 1 1 , 1 .
— = — -=eos x + — cos( —)
dx 2vx x* x“
1513
1514
1515
1516
f x SCYlt
Hallar los puntos extremos de la función: y = I ----- dt en el campo x > 0 .
Jo {
f x set
=J „ "
Desarrollo
sent , , sen x , „
dt => y = ------ => y = 0
para los puntos críticos =» sen x = 0 => x = njt donde n = 1,2,3... ti los
juntos extremos de la función es x = mr, n = 1,2,3...
Utilizando la fórmula de Newton - Leibniz.-
Hallar las siguientes integrales:
í
1 dx
) 1 + X
Desarrollo
1 I 1T n I
— = ln(l + ;c) = ln 2- In 1= ln 2
J01+* lo
1
1dx
-2 x3
Desarrollo
-i i i -i
E í - i l
J>
= -(—- —) = -
_2 8 2 8
dt
Desarrollo
f e'dt =e‘I =£>*-<TX=
J - X I - X
2senhx

1517
1518
1519
í
cos t dt
o
Desarrollo
I eos t dt = sent = senx => I eos t dt - senx
Jo lo Jo
Valiéndose de las integrales definidas, hallar los límites de las sumas.
.. . 1 n -1
lim ——)
n->°° n¿ n*
Desarrollo
1 2 n -1 1,1 2 n -1
Sea S„ = — + — ----- )
n~ n n~ n n n n
Consideremos: Ax, = ^ y f(x) = x
n
Luego el límite es igual a la integral I / (x)dx
J o
- 1 "-I j
: / (x)dx = lim V f(£¡)áXi donde £ = - como f(x) = x => /(£,■) = -
J n M «
u i=0
f 1 ■i-4 -r-i 1 (n -l)n 1
/(x)d* = lim /(£ , )Ax,. = lim > — = lim — — = -
J n n— Z-W n->~ n n->~ 2« ¿
^ U ,=0 <=0
,• , 1 1 1 1 ^lim (------- h--------1--------- K..H-------- )
»->“ n + 1 n + 2 n +3 « + n
Desarrollo
1520
1521
Sea S„ = —— H— !— r... + —!— => j = i ( _ i _ + _ i _ + _L_)n +1 n +2 « + n « 1 2 «
1+ - 1+ - 1+ —
n n n
Luego Ax,- = — es la “n” participación en [0.1 ] y f(x ) =—— ; <¡? = —
n 1+ x n
m i I
i f(x)dx= lim y / )Ax, = lim y - ( -----—
J n n—>°° aí—>oo /ii
1=0 í=0 1 + -
= u m y _ l = f ‘j L = to a
» - * - n + i J o 1 + X
1=0
lp +2p +... +np
lim ---------------------
n— np
n
n-l . I . !
+ x)| = ln 2
I o
Desarrollo
_ _ lp +2p +... +np 1 ,lp +2P+...+np s
Sea S„ = --------------------- = —(----------------------)
np+1 n nP
s n =
n n n n
Luego: Ax, = —, que es las “n” particiones en [0,1] y f(x) = x p
n
í f(x)dx= [ ;
Jo Jo
p+i ■ i , p +1 -
Luego: lim Sn = I /(x)dx= I x pdx = ------1 = ---------0 = -------
/? + llo p +1 p + 1
Calcular las integrales:
i 2
J (x2 - 2 x + 3)dx
Desarrollo

1524
1525
1
2 3 i 2
(x2 - 2x + 3)dx = (—— x2 + 3x) = (—- 4 + 6) - ( —-1 +3) = — - —= —
i 3 h 32333
1522
f 8
I (V2x + ¡x)dx
J o
Desarrollo
f (yf^+ fx)dx = (— -j2x+ — y[x)
Jo 3 4
J,
1523 | U- ^ - d y
y
Desarrollo
f 41+ J y f 4 1 l 1 2 14 1 -5 7
— ^ d y ^ + —y-)dy ---------j=) = -(-j +l)+(l+2) =— +3=—
J i y Ji / - y ^ y 11 4 4 4
y 2
r 6
J l x - 2 dx
Desarrollo
2 2 _ „ i „ 16
f yfx—2dx = —( x - 2 ) 2 = - ( 6- 2)2 - 0
J 2 3 | 2 3' 3
I
3 dx
V25 + 3x
Desarrollo
f " ^ = = i v s í 3 j r 3= í - í “ = _ i
Jo ¡25 + 3x 3 lo 3 3 3
1526
1527
1528
j:
3 dx
-2 X2 - l
Desarrollo
1
3— = —ln |——- 11 3= —ln|-^—Í-I-—ln|-^—
.2 *2 - 1 2 1x + 1'I _2 2 -3 + 1 2 -2 + 1
= —ln2~ —ln3 = —ln —
2 2 2 3
I '
J o
xdx
x2 + 3x+ 2
Desarrollo
f 1 * dx _ 1 f 1 2x + 3 ^ 3 f 1
Jo x2 + 3x+ 2 2Jo x~ + 3x+ 2 2 Jo x2 + 3x+ 2
dx
.2
3 1
1 3 X+9~ 9 '*
=[—ln(x2 + 3x + 2) — ln |------— -
2 2 31
¿ x + - + -
2 2
o
= [—ln(x2+3x + 2 ) - —ln | -
2 2 x + o
I
= (—ln 6- —ln—)- (—ln 2- —ln—) = 2ln 3- 2ln 2 = 2 ln-^= ^(7 )
2 2 3 2 2 2 2 4
1 y2dy
-1 y +2
Desarrollo
V - f — d y = í 1 ( y - 2 + ^ - - ) d y = [ ( ^ — 2y + 4n(y + 2)Í
J _i y + 2 J-i ' y + 2 2 l-i

1529
1530
í
= (—- 2 + 41n3)-(—+ 2 + 41nl) = 41n3-4
2 2
dx
+5
Desarrollo
o x2 + 4jc+ 5
f dx f dx | 1
—;----------- = I --------- ----= arctg(x +2)1 = arctg 3- arctg 2 = arctg —
J o * + 4*+ 5 J o (jf+ 2) +1 lo 7
NOTA: Sea z = arctg 3 tg z = 3
y = arctg 2 => tg y = 2
tg z -tg y 3 -2 1
tg (z-y ) =
1+ tg z.tg y 1+ 6 7
tg (z-y ) = y =* z - y = arctg(-~)
arctg 3- arctg 2 = arctg y
dx
J3x2-3 x3x +2
Desarrollo
3 1
x ~ z — z I 4
(x----Y ---- X----+ -
2 4 2 2
x - 2 ! 4 2 1
= In | ------Il = In— ln —= ln 2 - ln3+ ln2 = ln4 - ln3 = ln
x —l 13 3 2
1531
1533
1534
Jo z
1 z3dz
oz8+1
Desarrollo
f ' _ 4 z ^ = l 4 |'
Joz8+l Jo(z4)2+l 4 Jo (z ) +1 4 lo
1 , 1 n n
■—arctg 1— arctg O= —
4 4 16
K
1 1 '
1532 I 1see2a da
6
Desarrollo
K K
4 2 í I 4 f t f t i 1
sec" a da = tga = tg — tg —= 1— ■=
1 IZI 4 6 V3
6 6
7 5
2 dx
0 J l - x 2
V2
2 dx
0 l l - x 2
>3.5
dx
2 ¡5 +4x
Desarrollo
sfi. r -
I 2 v 2 7T
= arcienxl = arcsen------ arcsenU = —
Desarrollo
f ^ = f- ----- - = arcseni— J = arcsen- - arcsen 0= -
J 2 j5 +4 x -x 2 J2 ^ 9 -(x -2 )2 3 >2 26

1535
1536
1537
1538
J.
1 2jy ay
y6 +4
Desarrollo
r 1 y2dy _ i f
0V>’6+ 4 3 *'í
1 3v2dv 1
V(y
3)2+ 4 3
-ln | y3 +>/y6 + 4
= - l n |l + V5 | - i l n 2 = - l n | Ü ^ -
3 ' ' 3 3 2
í,
4 2 i
eos a J a
Desarrollo
í 4 2 . f í l eos a d a = —
Jo Jo
■eos2a , « senla
----------d a = (—+ ----------)
2 2 4
4 _ n 1
o ~ ”8 + 4
í
sen ¡ídi¡t
Desarrollo
I 2 setv'xj/ dì// = !
Jo J i
3 . 1 2 , , i , COS ' W I 2
sen y/di//- I (1-cos- f/)seni/dj/ = (-cosi/m ---------—)r
í;
í;
dx
xln x
dx
xlnx
= (0- 0) - ( - l +I) = |
3 3
Desarrollo
= InOn x) = ln(ln e2) - ln(ln 3) = ln(-----)
e ln 3
Integral Definida
233
1539
1540
1541
1542
í;
sen(ln x) ,
— -------- dx
Desarrollo
f "í ew(lnX1 dx = - cos(ln x)| = -(cos(lne)—cos(lnl)) = -(cosl-cosO) = 1- cosí
J i x 11
I 4 tgxdx
J -*
Desarrollo
n_ £
| %gx dx = - ln(cos x)| 4n = -(ln(cos - ln(cos(- -)))
= - ln(cos —) - ln(cos —)) = 0
4 4
f 3ctg4f/ d¡/
6
Desarrollo
- - 3 I" I“ 8 K
f 3ctg4y/dj/= í 4 (eos2y/-l)ctg2 i / d y f = - ^ ^ y K+(ctgii/+y/) ^ =
6 6 « 6
r 1 exdx
j o l +e2*
Desarrollo
f 1 , 1’ , *
------— = arcíge^ = arcfge - —
J o l+ e lo 4

234
1543 I cosh x dx
1544
Jo
Desarrollo
r I e * - e " ' e - e - ' 1 1f cosh dx — ' e— +e ' dx = _
Jo J o 2
J„
-------= - ( e — )
2 2 e
■In3 ,
dx
' In 2 CO Sh2 X
Desarrollo
f '"3 dx f in3 |l"3
Jin2 ^ BJ„, “Cb d X ' H „3=Win3)- .ghdn2),
[ senh2j
J 0
1545 I senh xdx
Desarrollo
f senh2xdx = ^ f (g2t - 2+ e~2*)dx = - (-2.y+ — ■ e )| *
J« 4Jo 4 2 |o
Jt 1 1 ^ 1
:(- —+ —senh2x) = —cosh 2k - —
2 4 l o 4 ‘ 2
INTEG RALES IM PROPIAS .
(T ) DEFINICIÓN.- Sea “f ’ es continua en [a,+°°>, ijm f
b—>+ooJ
existe, entonces definimos:
• •
» <2
f (x)d.x = lim I f(x)dx
b—¥+oo I
b
f(x)dx ,
a
(T ) DEFINICIÓN.- Si “f” es continua en <-°°,b] y si lim í f(x)dx
existe, entonces definimos:
í
b rb
f{x)dx = lim I f(x)dx
a->-°°Ja
(T ) DEFINICIÓN.- Si “f ’es continua en < - ° o ,+ o o > entonces:
/•+00 mO
J f(x)dx= lim J f(x)dx+ lim í f(x)dx
/>->+“ J Q
NOTA.- Estas integrales son convergentes. Cuando existen estos límites
en caso contrario se dice que es divergente.
( ? ) DEFINICIÓN.- Si “f” es continua en [a,b> definimos
/.ft (•&-£
/ (x)dx = lim f(x)dx siempre que este
J u °Ja
límite exista.
( ? ) DEFINICIÓN.-Si “f ’ es continua en <a,b] definimos
f(x)dx = lim / ( x)dx, siempre que este
J a e ~ * ° j a+e
límite exista.
( ó ) DEFINICIÓN.- Si “f” es una funciónen [a,b] exce>i.) en x = c
donde a < c < b, entonces:
*b i»c-£ rb
f(x)dx = lim I f(x)dx+Ym I f(x)dx, siempre que existan
Ja £_>0Ja £_>0Jc+£
estos límites.

1546
1547
1548
1549
Calcular las siguientes integrales impropias (o determinar su convergencia).
f
Jo
dx
o v*
Desarrollo
í —f= = üm f = lim 2Vx| = lim(2- 2Ve) = 2
Jo vx £ ~ * ° J e Vx £~>0 le f_>0
f 2dx
J-i x
Desarrollo
c 2 d x _ r ° d x [ 2dx r e dx f 2dx , r £i:
- h I — - lim i — + lim — = lim In x| + lim ln jcj
J -1 x J X J () X e—»0J _J x E - + Ü X £->0 |_J £->0 ¡¿
= lim [ln(-e)-ln(-l)] + lim (ln2-lne) => 3
£->0 £-*0
por tanto la integral es divergente.
dx
i
Desarrollo
f * , f dx 1 I1 ¿~P I1 i £i-p j
— = hm — = lim------------ = lim------ = lim(— ---- - — ) = —
J o x p £->0JeXp £-*0(l-p)xp~l e * -> °l-p |£ £->0 1-/7 1- p 1- j
si p < 1 es divergente, y si p > 1 es convergente.
Jo(x - l Ÿ
Desarrollo
3 /iv /jv j . . a i—e j »3
J r ^ = - lim f 1 6— — y + lim f
Jo ( * - 1) Jo (x -l) Jl (X -l)2 Jo (X -l)2 e->oJ,+e (X -l)2
dx
1550
1551
1 l,£ 1 I3 . . . 1 1 A 1= lim--------¡ + lim-------- 1 = - lim(------- ---------- ) - lim(---------------)
£->o x-l|o £—>o x—1li+£ £-*o 1—e —1 0-1 £—>o 21+e -l
1 ^ dx
= -(-oo) -1 — + +oo = °°. Luego: j ---------—, es divergente
2 Jo (x -l)2
dx
r *Jo Vi-*2
Desarrollo
f ‘ dX.... = lim f E—jÉ?L = = limarcsen xj ' *
joVl-x2 £^°Jo yfl-7 £^° lo
r
n
= lim (arcsen(l - e) - arcsen(O)) = arcsen 1= —
£-»o 2
dx
x
Desarrollo
f — = lim í — = lim ln x | = lim (In b - ln 1) = lim ln b = ln(°°) =
J ] X />-»“ J i X 11 6-*“1 í>-»~
r d x
Luego la integral I — es divergente.
Ji x
1552
r
dx
~~2
Desarrollo

r
Desarrollo
dx ¿~p | fc ,bl~p 1 ^ i i
f •—=limf — =lim—— I = lim(—— —) =0- - - - - - - - - -—s¡r»lJi xp xp 1—/?Ii 1-/7 1- p 1- p p - 1
1554
1555
r dx
Luego: I —
J¡ x p
í
es convergente si p > 1 divergente si p < 1
i x y
dx
>
Desarrollo
0 J- dx
>1+x2
f - ^ = f A t f A , Ita f - V » f
J -oo1+ ^ J-ool + X Jo l + X 1 + X J(
L x2 +
1+ X Jo 1+ x
= limarctg x| + limarctg x|
| a |0
= lira (arctg 0- arcíg a) + lim (arctg b - arete 0)
71 K
= arctg(~) + arctg(oo) = —+ —= n . Luego la integral es convergente.
dx
4x+9
Desarrollo
r dx r dx r 2 dx___ + r ~ ____ dx_
J-«,x 2 + 4x + 9 J-~(x + 2)2+ 5 J—(x+2)2+5+J-( x + 2 r + 5 J-2 (x+2) +5
1556
1557
1 x + 2 1 x + 2 I
; lim —¡=arctg(— + lim —= arctg(—=^)
a 5 V 5 a h~>°° V 5 V 5 I 2
: lim (~s arctg(O)— -r- arctg (^¿) + lim( ~ arctg(-^=~ )— =arctg(O))
- S S S b-~ s s s
1 x 1-=■ arctg(-oo) + —= arctg(oo)
S S
2 K
- 7=rarctg(oo) = —j= . Luego la integral es convergente.
S n/5
L
sen x dx
o
Desarrollo
.b ibMOO /»P IO
senxdx=lim j senxdx= lim -cosx = lim (eos b -eos 0). 2
Jo b^°°Ja b~,°° 10 b^°°
por lo tanto la integral es divergente
i
’2 dx
xlnx
Desarrollo
í 2 dx = lim f 2— = limln(lnx)|"
Jo xlnx c->oJ£ xlnx e->o | £
ln -
= lim[ln(ln —) - ln(ln e)] = lim ln(— —) = +°°
e-> 0 2 £-»0 ln£
Luego la integral es divergente.

1558
i
2 dx
o x ln2xL
Desarrollo
i i í Ine —ln —
p dx f 2 dx ,. 1 ~2 , 1 1 , 2----- — = lim ---- — = lim --— = -hm (— -— -— ) = hm--------- —
Jo xln~ x £-*°Je xn x £_>0 ln jc|£ £_>0 £->0
2 ' 2
]_
ln e + ln 2 e 1 1 1 1
= lim------------ = - lim — ----- = - lim -
£->o 1 £-»o 1 1 £->o 1 1lnl —ln2 ln2
ln e.ln - l n - .— ln - ln -
2 l e 2 2
Luego la integral es convergente
íJo
1559 | - É L ., a > 1
jcln x
Desarrollo
pi>
f = lim f -ÉL— - ijm ]n(lnjc)I = limfln(lnb) - ln(lna)] = lim ln(——)
Jo jcln* xlnx b-**> a b->°° b->°° lna
= ln(—) = ln °° = oo . Luego la integral es divergente
a
f " dx
Ja Jtln2*
1560 i -----, a > 1
Desarrollo
r dx .. r dx i f ... i i , ..I — -—= hm [ ---- —- = hm----------- = -lim (------------) = - lim -----
Ja Jtln * h-^°°Ja xn~ x h~*°° lnxla b->~ nb lna f>->~lna.
• b 1ln - - j
= lim ----- — = lim ~ -— = ------ . La integral es convergente.
lna.lnb ¿>->~ 1 lna
—lna
b
i aln —
b
lnfc
1561
1562
1563
1564
I 2c tg xdx
Jo
Desarrollo
n
I 2 r 2 |2 7Ü
I cgxdx=m I c tg x dx = lim !n(senx)| = lim(ln(sen—)-ln(sene))
Jo £_>0Je £—>0
= lim (lnl-lnO ) = 0 -ln 0 3 . Luego la integral es divergente
£->0
fJo
e ^ d x
Desarrollo
í e kxdx = lim í e kxdx= lim-^—— I = ——lim(e bx- 1) = —
Jo ¿j—>°°Jo b-*~ k lo k
La integral es divergente
’arctg x
IX
Desarrollo
r-Jo 1
2 dx
+ X
(•“ arctg* = ,.m f ” arctg* = üm arctg_£| = ^
Jo 1+* 6~*°°Jo 1+ JC. b~*°° 2 lo b->°°
? " ,b arctg2b arctg2(0)^
b—>°° 2
I
arctg2(°o) arctg2(0) _ n 2
dx
)2
Desarrollo
2 U 2- l )2
f°° dx Cb dx f dx
— -----7 = llm “ i ----- t integrando — —
J2 ( X 2 - 1 )2 J2 (X 2 - 1)2 J (X 2 - l ) 2

242
1565
n/x2 - 1
Es decir: sec0 = x ; dx = sec0 tg 0 d 0
f dx fsecfl. tgOdd fsec0.tg6>¿0 f „ , f ,
integrando por partes: = - - [c s c 0.c tg0+ ¡n | csc0- c tg 01|
í =- f e +ta|^ é ;
Luego
: L
= - - lim (——-+ -
2 (x2 - l ) 2 b->~J2 (x2 - l ) 22*— V - l V T I í l
10 JT+1
= lim [ ( - ^ — + ln -/L _L ) - ( - + 1„_L )j
2*-*“ ¿>2- l V3 V5
- - - r ( 0 - —+ ln>/3) = --i-ln > /3 = - - —ln 3
2 3 3 2 3 4
1 1 1 1
Desarrollo
f " dx Cb dx . f
I ~5—- = Iwn I —-— integrando I
Jo *3 +l Jo x +1 J
dx
x3+1
de acuerdo al ejercicio 1294 se tiene:
1566
í
dx 1 , (*+ l)2 1 2;t-l „ ,
•= —ln------------—j=arctg —■==-, por tanto se tiene:
*3+ 1 6 6 r x
r dx j*fc dx rl, U + l)2 1 t 2jc-1
—— = lim —— = lim [-ln —---------+ -= arctg— ■=-
Jo x +1 *-»“ Jo x +1 *->“ 6 x - x + 1 V3 V3
1, (*+D 1 2b~K A 1 W= lim (—ln—r--------- +-¡=arctg— p - ) - 0— parctg(— r )
i->~ 6 (fo2 -¿> + l 73 V3 V3 V3
1 1 1 7T n 2k
» O ^ a r c t g W ^ a r e t g ^ ^ ^ ^
f ' Í¿C
Jo 5jc2
Desarrollo
1 1 1
i
f - 3^ - 2 = lim f ~ J ~ ~ 2 = lim f ( - 2 5 - 4 + - ^ ) d x
Jox3- 5;t2 e^oJe e^oJf x JC-5
= lim(— —ln x + — + — ln |x - 5 1)
e-*o 25 5x 25 £
= 0+ I+ — in(-4) + — lnO + — - + — ln(0-5)
5 25 25 5(0) 25
.100
1567
í
f
»Je -
dx
3 lim I —------ - por lo tanto la integral impropia es divergente.
e->oJ£ jc3- 5x2
dx
0 y[x +2fx +X3
Desarrollo

Sea /(* ) = _ --- 1—— 1— V x > O
Vx + 2^ + x3 x2 +l
f '00___ dx i”00 dx
Jo yfx + 2fx + x3 ~J 0 x2+l
f 100 dx I100 f 100 dx
— = arctgx| = arctg100 => —---- , es convergente, por lo l
Jo * +1 lo Jo x2+ l
1568
100 ,dx
tt=---- -t=---- t , es convergente
o <]x + 2yx + xs
dx
i 2x + yjx2 +] +5
Desarrollo
1 1
Sea / (x) = ------- r = = -------------- •puesto que
2x + fx2 + 1+5 4* +5 F
yjx2 + 1<2x => 2x + >/x2 +l +5<4 x + 5
1 1 f°° dx f ” dx
------ r ---- -- ----- r => I -------¡ = ------^ I ---------, Pero:
2x + vx +1+5 4* +5 Ji 2jc+ V +1 + 5 Ji4x +5
f — = -í-ln|4* + 5||°° = o=-—ln3 = <»
Ji 4x +5 4 ' 'I, 4
f~ dx f~ dx
Luego I -------- es divergente, por lo tanto I --------=====---- es divergente
j> 4 jc+5 J. 2 * + ^ n + 5
1569 f -----
J-i x2 + Vx4 + 1
Desarrollo
1570
1571
Sea /(x) = --------L===<—L -, V x > -1
x2 +í[7 7 x +i
Luego f ------< í - ~x— , de donde
J - .x 2+ ^ /7 7 i J - 1A-+ 1
r dx 1“ n . , k n
— - = arctgxl = --arctg(-l) = - + - = —
J-i x"+1 l-i 2 2 4 4
r~ dx r dx
entonces I —----es convergente por lo tanto I --------—....- es convergente
J - ,a 2+ V 7 T I
fJo
xdx
i
Desarrollo
'o 4 x 5+
Sea /(x) = -=■■*....— , Vx > 0
V T T í *2 +i
f ” xdx ^ (*“ dx , J dx r n n n
I ,....— < I —r---- de donde se tiene: I —----= arctg.vi = -----0 = —
Jo Vx5+1 Jo x2+l Jo x2+l lo 2 2
f dx , f°° xdx
Luego I —---- es convergente, por lo tanto: I ------, es convergente.
Jo x~ +1 Jo yjx5 +1
f 1 dx
Jo
Desarrollo
x4
Sea f ( x) = - j J = r = 1 < J------ luego:
V l-x 4 i¡(l - x 2)(l + x2) y¡ +x2

1572
1573
de donde
JoÿT T ? J .ÿ ï T ?
f 1 xí/x 3 - I 1 3 2 f 1 • /
",/ ■ ~ - ( l + .V)3=— (23- 1) entonces | ^ A es convergente,
J'Wl+JC2 4 lo 4 Jo¿A+v2
. r ¿A-
por lo tanto I .. es convergente.
Jo V i-* 4
í
dx
x ln x
Desarrollo
lnx xIr,a
í fj] In.r J, .
Entonces j -------> | ~ d x de donde se tiene:
xlnx
r
dx f " dx I■
—-— = lim I -------= lim ln(ln x)|
xlnx e->oJ l+exln x £->o
= lim(ln(ln 2) - ln(ln(l - e)) = ln(ln 2) - ln(ln 1) = ln(ln 2) - ln 0= -=o
Il+£
i r dx i*2 dx
Luego I —-— es divergente, por lo tanto I ----- es divergente.
Ji *lnx Ji lnx
/:
senx ,
-dx
Desarrollo
S e a / ( x ) = ~ < - L d e ¿ o n d e f ^ ^ d x < f ~ e n to n c e s
* X2 J?- XT J l X 2
1574
1575
r dx i r 2
h x 1
2
xE
2
n n
r d x , . .
I — es convergente, de donde
J - x"
l
sen.x ,
— — dx es convergente.
- X
2
Demostrar que la integral de Euler de primer especie (función Beta).
B(p,q)= xp~l( - x ) q~ld x , es convergente cuando p > 0 y q > 0 .
JoJo
Desarrollo
Sea f(x) = x p - x ) q 1 luego: Z?(¿>,g) = J f(x)dx = j 2f(x)dx+ f(x)dx
2
- d
B(p,q) = í ; f(x)dx+ j* f{x)dx, por el criterio de comparación se tiene:
2
lim f(x)x'~p = 1 y lim(1- x)l~qf( x ) = 1
x—^0 x—»0
esto cuando 1 —p < 1 y 1 —q < 1, de donde p >0 y q >0 en este caso las
- i
integrales J 2/ (x)dx y f(x)dx son convergentes, por tanto:
2
B(p,q)= I x p~](1- x)q~xdx es convergente cuando p > 0 y q > 0 .
Jo
Demostrar que la integral de Euler, de segunda especie (función Gamma).
V(p)= I x p le Xdx es convergente cuando p > 0.
Jo
Desarrollo

En T(p)= I xp le Xdx, el factor e 1 —>0 cuando t —> Luego:
Je
í
xp le Xdx converge en el límite superior para cualquier valor de P, en el
o
límite inferior el factor e~‘ —»1, cuando t —» 0 y el factor /p'1 °° cuando
p < 1 y, para que sea convergente en el límite superior P debe ser positivo.
(El límite se obtiene por el Teorema deL’HOSPITAL)
NOTA.- r(p ) = f x p~le~xdx = lim í xp~le~xdx
Jo '-»“ Jo
5.4. CAM BIO DE VARIABLE EN LA INTEGRAL DEFINIDA.-
Consideremos f(x) una función continua en [a,b] y x = j/(t) continua y i (t)
continua en a < t < (3 donde a = y(a) y b = |/([i) y además la función
f(j/(t)) continua en [a,(3], Entonces:
rh rP
f (x)dx = f[y/{t)].i/’(t)dt
Ja Ja
1576 Se puede calcular la integral i ¡- x2dx valiéndose de las sustitución
Jo
x = eos t?
Desarrollo
Sea f( x ) = l1 - x 2 => = yj —cos21 = (sent)
donde |/(t) = eos t y ij/'(t) = -sen t
/ (y/(t ))y / t ) d t , donde x = eos t
1577
1578
1579
»2 ___ /»arccos2 2 »arccos2 5
J -x 2dx= i (senf)3(-sen(Wí = - l sen3tdt no se puede calcular
Jo h k
2 2
Transformar las siguientes integrales definidas valiéndose de las sustituciones
que se indican.
J* /x + d x , x = 2t - l
Desarrollo
.3
£ -Jx +Ídx = 2J y]2t -1 + 1dt = 2J V2sit dt = 2V2^ V? dt
j*1 dx
Ji
1
i
Vi
Desarrollo
Sea x = sen t => dx = eos t dt
i - -
f dx _ 1*2 eos tdt (*2 eostdt
V i-* 4 Vi -sen4í J* V(l-sen2r)(l +sen2r)2 6 o y
7T * 7£
_ costdt ^ r 2 dt
yjeos2í(l + sen2/) ’J^. Vi + sen2f
L
4
3 , x = senh t
3 V 7 7 I >.
Desarrollo
H f In3 coshrdí f ln3 .
I - = ... .. ■■„=■=1 d t , donde
J—V*2+1 J'n2 Vsenh21+ 1 Jin2

e' -e~‘
x = senil t => dx = cosh t dt jc= senh t = ---------
3 4
para x =—, t = ln2, x = —, t = ln3
4 3
K
1580 i 2f( x ) d x , x = arctg t
Jo
x = arctg t => dx =
Desarrollo
dt
1+t2
71 Tí
para x = Ü => 0= arctg t => t = 0 x ~~2 ^ —= arctSí t = °°
f / (x)dx = f /(arctg t) dt
Jo Jo 1+t2
1581 Para la integral i / (x)dx, (b > a) indicar una sustitución lineal entero
Ja
x = at + p que de por resultado que los límites de integración se hagan
respectivamente iguales a: 0y 1.
Desarrollo
í
b
f (x)dx, como x = at + (3, la sustitución lineal entera entonces buscaremos
a y P para que los límites de integración sean 0y 1.
Luego: a = at + P ==> t = ———
a
b = at + p => t = - ——
a
1582
o , a = b - P
para t = 0 => a = B ; t = 1 =» ------------
a = b~a
por tanto: x = at + p ; x = (b - a)t + a
Utilizando las sustituciones que se indican, calcular las siguientes integrales:
í
4 dx
0 + s í x
Desarrollo
Como x = t 2 =$ x = t 2
además para x = 0 => t = 0 ; x = 4 => t = 2
f 4 dx f22t dt 0f 2 1 , ,
Luego: ----- ■== ---- = 2 (1- - — )dy
Jo 1+ Vx Jo 1+ f Jo l + t
12
= 2(2 - ln 3) - 2(0 - ln 1) = 4 - 2 ln 3
o'
= 4-21n3I t
I
4 dx
yfx
1583 x - 2 = z3
U - 2)3+3
Desarrollo
Como x —2 = z3 => dx = d>z2dz
Para x = 3 => z = l ; x = 29 => z = 3
f 29(x —2)^dx f 3z23 z 2dz z4dz
Luego; J -------- = =
( x - 2 ) 3 +3

1584
1585
= 3 f (z2 - 3+ - ^ — )dz = 3(—— 3 z + -ia rc tg -^ )|
Ji z +3 3 V3 V3 I
= 3(9-9 + ^ a r c t g - | ) - ( I - 3 + ^ a r c t g ( ^ ) )
2
^ + 8 = A - 8 , J * J í z ^ , 8 + _ U
2 2j3 "J3
Cx-2)3+3
f ln2 -------
ylex - d x , ex - l = z 2
Jo
Desarrollo
Como e x - l = z 2 => e*dx = 2zdz. ; dx = ^
z +1
Para x = 0. z = 0 ; z = ln 2 , z = l
pln2 y-- 9 H i il
Luego: I lex —ldx = I —^—- = 2 I (1— -— )dz = 2(z-arctg z) = 2 - —
«o Jo z '+ l Jo z +1 lo 2
,
Jo
i
•In2 ____
Jex - l d x = 2 - ?
* dt t
o 3+ 2cosí ®2
Desarrollo
Como tg —= z => dt = ■y eos t = -——
2 1+ z ' 1+ z2
Para t = 0, z = 0; t = rc, z = °o
2dz
ib
r ~ ± — r ~ » ± ¿ T -
Jo 3+2cosf Jo 2- 2z Jo z +5 *-*-Jo z +5 fc->~V5 V5
+ 1+z2
o
= 2 lim (4= a r c t g — j=arctgO) = arctgc*-Q = Z L
V5 V5 V5 5 V5
í
K dt n
o
1586
1
3+ 2cosí ^¡5
dx
ai2x
Desarrollo
o 1+a2 +sen2x
, dt , t
Como tgx = t => dx = ------ ademas senx =
1+ t2 Vl+í2
K
Para x= 0, t = 0 ; x =—, t = °°
2
<ir —
r f r 1 + 7 _ r _ _ * _ = _ J L _ iim f
Jol+a2sen2x Jo a2f2 Jo(l+a2)í2+l [ + a2 Jo(l+a“)r+1
1+ f2
=■limarctg(Vl+a2í)| = ■1-lim(arctgl + a2b - arctg0)2 |o Vl + a2yfl +a
1 7T
r[arctg(oo) - arctg(O)] =—7==Ltuvv5vvv/ r-
Vl + a2 2vl
n
- f
2 dx K
0 1+ a2 sen2a 2]l + a2

Valiéndose de sustituciones adecuadas, calcular las integrales:
1587
2
£2
Desarrollo
Sea x = sen 0 => dx = eos 0 d0
Para x = — =* B =— x = 1 => 0 = —
2 4 2
Luego:
J:fl x2 J I sen 0 J l sen 0
k n
=J^2ctg2e de =J 2(ese20 - 1)¿0 =(-£■tg0 - e )|2
4 4 T
= ( - c t g 0 - e ) 2= ( - o - * ) - ( - i - - ) = i - - + - = i - -
l í 2 4 2 4 4
4
- Ji
1
dx = 1----
X2 4
2
,2V ?1588 ^
Ji x
Desarrollo
Sea x = see 0 => dx = see 0 tg 0 d0
Para x = 1 => 0 = 0 ; x = 2 => 0 = j . Luego:
, 2V*2-1 , f l Vsec20 - 1
1589
f2.^ - U = f 3Vsec20 1secg tggdg = f 3tg20J0
Ji * Jo sec0 Jo
= f 3(sec20-l)í/0 = (tg0- 0)|3 = ( - j 3 ~ ) - ( 0 - 0 ) = > ¡ 3 ~
Jo lo 3 3
/. í 2^ ± d x = J Í - -
Ji X 3
1
ln5exy[e*—Í
ex +3
Desarrollo
, . 2 . 2zdz
e - l = z => í/x = ----- -
1+ z
para x = 0 = » z = 0 ; x = ln5 => z = 2. Luego:
F ' d E l « .
Jo ex +3 Jo z~+4 1+ z Joz"+4 Jo z +4
= 2(z - larctg- ) | = 2(2 -2 arctg (1) ) - 2(0 -2 arctg (0)) = 4 - n
2' o
1590 r ------% =
Jo 2x +y]?>x+
Desarrollo

1591
Para x = O => z = 1 ; x = 5 => z = 4. Luego:
i»5 j *4 —zdz *
f ___ ÉL___= f _ _ J_______ 2 I
Jo 2x + ¡3x + l Ji 2 /_2_ n , Ji(z2—1)+ z 1 + ~’z 2
1 2
- 2 f ------— -----= 2 j* (— + - ^ - ) d z = [-ln(2z-l)+ -ln (z+ 2)J
J, (2z-l)(z +2)J, 2z -l z+ 2 55|
1 4 1 4 1 4 4 4
= (—ln7 +—ln6) - ( —lnl +—ln3) = -ln 7 +-ln 3 +- l n 2 - - l n 3
1 4 1
= - ln 7 + —ln2 = —lnll2
5 5 5
Calcular las integrales:
dx
i xlx¿ + 5x +1
Desarrollo
Sea x = - => dx = -É -
t t2
Para x = 1 => t = 1 ; x = 3 => t = -
3
i . É
f ____ él____ = fa / 2 _ n dt____ = r '_
Ji xsIx2 +5x + Ji l O “ Vr2+5í + l
1 di
- U 5,2 21
3'I 2 —~4
- l n |( - + í) + Ví2+5í + l |jj = l n |- + >/7 |- l n |^ - + ^y-1
1592
1593
1594
j;
, 7+ 2V7 . 9 , , 7+ 2^
= ln------------ln—= l n ----------
2 2 9
dx
!)2
Desarrollo
- 1 (1+ *2)2
í — ÉL— = ¿e acUerdo al ejercicio 1297
J (1+x2)2 2(1+x ) 2
dx x arctgx l1 1 arctg(l) 1 arctg(-l)
- -)| = (—+ — -— ; - ( —-+ -— -— ;
f dx x arctgx I
J-i(l +jc2)2 2(1 + jc2) + 2 Ii(1 + jc2)2 2(1+ x ) 2 4 2 4 2
Jo
1 1 n
= —+ arctg(l) = —+—
2 2 4
x"dx
Desarrollo
f ']ax-x2dx= f j - — ( x - ~ ) 2dx = - [ ( x - —) la x -x 2 +— arcsen(—
Jo Jo V4 2 2 2 4 a
-;j
lo
2
, 2 x - a I 2 ° 2 2* - a Ia
= (------------ v a x - x + — arcsen---)
4 8 a lo
2 2 2 2
= (0+— arcsen(l))-(0 +— arcsen(-l)) = — arcsen(l) = ——-
í
ln
o 5-3cosx
dx
sx
Desarrollo
|n>Ia

1595
c . x 2dz 1- z 2
sean tg —= z, dx = ----- cosx =
1+z 1+ .
2
2 dz
r2n ¿ir c2* 2 i r2K i * i i2® i „ i2tcf dx r 1+ 72 i f-* 2dz 1„¡2”1x j
o
l+z2
v In Jt
= —arctg(2tg(-))| = arctg2tg(-)-arctg(2tg{0))
. 7T _ 7T
- arctg oo- arctg(O) = —- 0 = —
/•a /•a
Demostrar que si f(x) es una función par ! f(x)dx = 2 j / (x)dx . Si por el
J a J O
contrario f(x) es una función impar L f(x)dx = 0
Desarrollo
rr> 1*0 j»a
f( x ) d x = /(x)dx + f(x)dx ...(1)
J -a J - a JO
como f(x) es par => f(x) = f(-x)
Sea x = -y => dx = -dy
I / (x)dx = - I / (x)dx, para x = 0 => y = 0; x = -a => y = a. Luego:
J-a Jo
f f (x ) d x = - f f (x)dx= - f/(-yX -y) =- f f ( y ) - ( d y )
j - a Jo Jo Jo -
= Í f(y)dy = í /(x)dx
Jo Jo
1596
1597
<•0 0O
por lo tanto I f{x)dx = I f(x)dx ... (2)
J-a Jo
*a *a
reemplazando (2) en (1): / (x)dx = 2 j f(x)dx en forma análoga para
J-a Jo
f(x) impar.
f “ -*2J „ f" f “Demostrar que: I e dx = 2 e dx = I —p —
J-o= Jo Jo V*
Desarrollo
_ 2
/(x) = e x es simétrica respecto al eje “Y”.
•0
e~x dx = I é~x dx + I e~x dx = I e~x dx + I e x dx
e x dx ; por la simetría ahora demostraremos que:
1 e x dx = I e x dx + I e x dx = I e x dx + I
J-oo J-eo Jo Jo Jo
■i
2 i e~x dx = i e~x . Sea z 2 = x => dx = 2z dz
Jo Jo V*
Como z 2 = x => fx = z
r e ~ xdx r 2 z . n r -z2 , o f ”= I —= - = 1 e—-dz = 2 I e ~ ífe = 2 I e dx
Jo Vx Jo 2 Jo Jo
1 J.-
_ C dx C2 sen x ,
Demostrar que: | ---------- = I -------dx
J()arccosx J() x
Desarrollo
Sea arccos x = z => x = eos z ; dx = sen z dz
K
Para x= 0 => z = — ; x = 1 z = 0
2

1598
re k
1 o o
f dx [ -sen zdz _ f senz ^ _ j*2 sen z^ _ f 2Sen;c¿t
Jo árceosx J* z J í z J0 z Jo x
2 2
1 -
C dx f 2 sen x ,
Luego: I -------------= -----dx
Jo árceos x J0 x
£ £
Demostrar que: I 2/(senx)rfx = j ~f (eos x)dx
Jo Jo
Desarrollo
Sea z = senx =$ Vl- z 2 = eosx
dz = eos x dx => — = dx
Vl- z
para x = 0 => z = 0 ; x = -~ =s> z = 1
2
<•- 1
í 2/ (senx)dx = í f ( z ) - r ^ = ... (1 )
Jo Jo J 1~72vi - z
sea y = eos x => dy = - sen x dx
como J l - y 2 =senx =? — r¿ L = = dx
71
para x = 0 => y = 1 ; ■*= — =^y = 0
Tí
f2/(C0Sx)dx= f f ( y ) ( - ! É = ) ) = Ílf ( y ) - Í L = = f'/(z )-^ = ...(2)
Jo Ji yjl—y' *'° y ¡ l - y 2 *'° v i-z 2
í. *
de (1) y (2) se obtiene: | 2/(senx)dx = i 2 f(cosx)dx
Jo Jo
5.5. INTEG RACION POR PARTES,-
1599
Calcular las siguientes integrales, empleando ía fórmula de integración
por partes:
i,
x eos x dx
Haciendo
Desarrollo
u = x => du = dx
dv = cosxdx => v = senx
í
xcosxdx = x sen jd
n k
p - f
lo Jo
sen xdx = xsenxi 2 + eos xl
le !c
1601
. l 2 ( 7Z TZ TT. . 7t _ . 7t
■(jesen a' + cosjc)| = (—sen— i-eos —) - (0+ 1) = - + 0-1 = ---- 1
lo 2 2 2 2 2
1600
í
ln xdx
Haciendo
Desarrollo
K= lnx => d u= —
x
dv = dx => v = x
J* lnxdx = xinx| - J* dx = (xlnx-x)J = ( e - e )-(O -l) = 1
f x3e2xdx
Jo
Desarrollo
Haciendo
u = x
dv = e2xdx => v = -
du =3x2dx

1602
f x3e2xdx = ~ - e 2x x2e2xdx
Jo ¿ lo 2 J 0
Haciendo
u.= x =$ du = 2xdx
„2x
dv = e2xdx => v = -
í x3e2xdx = ( ~ e 2x- ~ x 2e2x)¡ + - f xe2xdx
Jo 2 4 ¡o 2 Jo
(— e2* A 2*)!
o 4
e2x 3 3 2 3 3 1' e2 3 ¿>2 +3
------ ( X -------X + — X -------) | = -----+ - = ------------
2 2 2 4 lo 8 8 8
fJo
sen xdx
Desarrollo
u = e x => du = exdx
dv = senxdx =» v = —cosx
Je* sen xdx = -e* eos x + | ex eos xdx
í ‘
| u = ex => du = exdx
[dv = eos xdx => v = sen x
Iex sen xdx - ~ex cos+ ex sen x - ex sen xdx = — (sen x - eos x)
_ n
r* ex ¡- e2 i
Luego: J ex sen xdx = — (senx-cosx)l = — (1) — (0-1) =
Jo 2 lo 2 2
e x
ts>¡
1603
1604
I
xe~xdx
o
Desarrollo
u = x => du = dx
dv = e~xdx => v = -e~x
xe~xdx = -xe~r + i e 'xdx = -e _Jt(x +1), Luego:
í xe~xdx + lim f xé~xdx = lim- ex(x + 1)1 = - lim (—-— 1) = —(0- 1) = 1
Jo i-»00Jo h~>°° ‘
i >+1
í,
e_flJtcosbxdx, (a > 0)
o
Desarrollo
k = e_<u; => du = ~ae axdx
sen ¿x
dv = cosbxdx => v = -
f “ , . e~“ seniw a f “ _ai , ,
I e cos bxdx = ---------------- 1— j <? senoxdx
Jo ¿> ¿Jo
u = e-“ => du = -a e -axdx
eos¿x
dv = sen bxdx => v = -
f°° -a* , j e “ senfcx a - e ^ c o s b x a f ”
| e cosbxdx = --------------+ —(-----------— I e cosbxdx)
Jo b b b ^Jo
3 2 /•00
r ' ^ J o
sen bx-ae cosbx
= £e “ ------------------------- 1 — —| e cosbxdx

1605
f e - eosbxdx = senbx-ae~axcosbxl~
b2 Jo ¿2lo
fVa*eosbxdx = L lib se a b x -a c m b x ) |°°_ 0 - ( 0 - fl)=; a
Jo b2+a~ lo a2 +b2 a2+
l
b2
e ‘“ senbxdx, a >0■ax ,
e
0
Desarrollo
u = e ai => du = -ae ‘“dx
eos bx
dv = senbxdx ==> v = —
b
f -a x I . e “ c o s ííjr fl f° °
| e senfaxdr = ---------------------I e “ cosbxdx
Jo b b Jo
u = e ax => du = - a é axdx
j , , senbx
dv = eos bxdx => v = ----------
f senfrxdr = - f _ T cos^ ü r ^ s e n f o + £ f*
Jo ¿Jo¿>Jo
H— I eac senbxdx
.6cos fox+ asento a2 f~ '
= - e " ( ---------- -----------) — - e sen fotdx
Jofo2
_ ax/beosbx +asenbx^ _ax/beosbx +a sen bx
2 72 ' ~ ~ e *--------i ---- 9------ t
a +b2 a +b |0
b b
= - 0 +
a2 +b 2 a2 + b 2
1606 Demostrar que para la función Gamma es válida la fórmula de
reducción: T(p + 1) = PIp), p > 0, se deduce que F(n + 1) = n! Si n es un
número natural.
Desarrollo
La función Gamma por definición es: T(p)= I e 14up ldu para u > 0
Jo
sustituyendo p por p + 1 T(p + 1)= e~uupdu , integrando por partes:
Jo
j w = u p => d w = p u p~'du
dv = e~udu => v = -e~“
r(p +) = -e~u.up + p [ e~uup~ldu
lo Jo
como p > 0 => e~" - * 0, cuando u -> «> puesto que p es fija, e~“u p -> 0,
cuando u L u e g o : + e "up ldu
Jo
T(p + l) = pHP) de esto se obtiene:
T(n + 1) = nl(n - 1) + 1) = n(n - D Rn - 1)
r(n + 1) =,n(n - l)(n - 2)... 2.1 ... (1)
T(n + 1) = n!.
K 7T_
1607 Demostrar que para la integral /„ = I 2sen" xdx = I eos" xdx es válido la
Jo Jo
fórmula de reducción: /„ = ----- /„_2• Hallar In , si n es número natural,
n
utilizando la fórmula obtenida. Calcular / 9 e /,0

266
Desarrollo
K
,#1-1
Se conoce: J 2sen" dx = " ' x'cosx , f X(¡X
J n n J
K
Luego: /, , P W xdx - f f ^ ' ^
Jo n lo n J 0
f? -
'■ = J . 2” n" xdx ‘ t 1/ , 2sra"'2* « - « i
n lo n J0
*
'• ‘ r c° s" x d x = t 1 j ? ' “ 8""1 x ix = » = p e » ' ■>*=— v 2... (2)
u Jo n
de (1) y (2) se obtiene:
f § £
/„ = " sen" xdx = i 2cosnxdx= f 2cosn ;r¿r
*'° J o Jo
n ^
I - f 2«Pn" yiffr - 1-3--(« -3 )(/l-l) Jt
Jo 2A ..(w -2)« - 2 "P“ y ” >>
2.4...(n-3)(n-l)
Í X ^ - 2)n ’nimpar y n>1
1608 Calcular la integral siguiente empleando reiteradamente la integra! por partes:
#(<?)= í */’_1(1- a)9-1d x , donde p y q son enteros y positivos.
Jo
Desarrollo
u = xp~] => du = ( p - l ) x p~2dx
dv = ( - x ) q 1dx => v=—
( l - x ) q
B(p ,q)= í xp~l( l-x )q~ldx = - - — (1 A) I + ^ —!- f vp 2(1- x f d x
Jo <7 lo <? Jo
B(p,q) =——- f x p l { - x ) qdx
<7 Jo
u = xp 2 => d u = ( p - 2)xp 3dx
Haciendo •! ñ - x f ^
dv = (1 - x)qdx => v = -------------
<7 +1
B(p,q ) = p - L [ ( - x p-2 {l )| + ^ -4 f
q<7+ 1 lo <7+1 Jo
B(p,q) = P - l . P —^ f xp- - x ) q+xdx
q +1 a + 1 Jo
Haciendo
u = xp 3 du = ( p - 3 ) x p 4dx
a - x ) q+2
dv = (l - x)q+ldx => v= —
c¡+ 2

268
B(P,q ) = J L 2 ' P z 2 ' P z l | V 4a - * r 2d*
q q +1 í +2Jo
continuando con este procedimiento se llega B(p,q) =
(P + q - l ) '
1609 Expresar^ por medio de B (func.ón Beta) la integral
/"'"1=J0sení” XC0S” xdx ’ Si m y n son números enteros no negativos.
Desarrollo
Sea / = sen2 x => l - t = cos2 x
dt = 2 sen x. eos x dx => dx = ~ ___ —
para x = 0, t = 0 ; x = - t = 1
2
tt m n
In,m= i 2senmx.cos" xdx = f — ^ ~ tÍ í dL
Jo Jo - -2/ 2(1 _ 0 2
1f * m~* «-1
= 4 1 t 2 .(1
2Jo 2 2 2
5.6. TEOREM A DEL VALO R M ED IO -
(T ) ACOTACIÓN DE LAS INTEGRALES.-
Si f(x) < F(x) para a < * < b, se tiene f f(x)dx< f F(x)dx ; Si f(x)
Ja Ja
y vj/(x) son continuas para a < x 0, se tiene:
w j y/(x)dx< j f(x)y/(x)dx<M j y(x)dx ...(1)
1610
donde m es el valor mínimo absoluto y M es el valor máximo absoluto de
la función f(x) en el segmento [a.b]. El particular cuando y(x) = 1. se
tiene:
m(b-a) < I / (x)dx < M (b - a) ... (2)
De (1) y (2) se puede sustituir por sus respectivas igualdades
equivalentes.
fJa
f(x)y/(x)dx = f(c) í iff(x)dx y j* f(x)dx = f{$)(b-a) donde
Ja *a
¡;, son números que se encuentran entre a y b.
© VALOR MEDIO DE LA FUNCION.-
cy
1 Ch
u =------ I
b - a Ja
El número u = — — | f(x)dx se llama valor medio de la función f(x)
en el segmento a < x < b.
Determinar el signo de las integrales siguientes sin calcular las:
a) í X3dx
r
c)
f 2n sen x
b) x eos xdx ------ dx
J-i Jo Jo x
Desarrollo
a) Graficando f(x ) = x
rLuego I x d x , tiene signo más (+).

270
NOTA: Para determinar el signo de la integral sin calcular, se hace el
gráfico en el segmento indicado.
La región de la parte superior del eje X es positiva, y la parte inferior del
eje X es negativa.
b) Haciendo la grafica de f(x) = x eos x
para c) tiene el signo mas (+).
161! Determinar (sin cálculos), cual de las siguientes integrales es mayor.
a) í yj1+ x" o j" xdx
Jo Jo
Desarrollo
V x e R , + x 2 > x 2 ; yjl +x2 > x
tomando integrales I j +x~dx > f x d x . Luego el primero es mayor
Jo Jo
b) x~ sen2xdx o x sen2xdx
Jo Jo
1612
Desarrollo
V x e [0,1] => x 2 < x, luego x 2 sen2x < Jrsen'2x
tomando integrales I x1sen ~xdx x 2 >x, de donde ex~ >ex , integrando de 1 a 2
J ex dx > J exd x , luego el primero es mayor.
Hallar los valores medios de las siguientes funciones en el segmento que se
indican.
f(x ) = x 2, 0< x < 1
Desarrollo
1 f*
El valor medio de la función es: u = ------ I / (x)dx, luego:
b —a Ja
1 f ‘u = ----- I
1 -0 Jo
xldx =
X3 !1 i i
u = —
3 lo 3 3
i r
u = ----- f(x)dx
b - a j a
1 f* 1 Iff
u = -----------I (a + ¿eos x)dx = — (ax + bsenx)I
7C-(-7t)J-„ 2k -n

272
1613
1614
1615
H= -í-[(OT + 0) - (-flTT+ 0)] = —
2n 2k
f(x) = a + b eos x, -7t < x < n
Desarrollo
El valor medio de la función es:
L f ‘
»-<i J .
/ (x)dx, luego u rn - ( - n ) J_„
(a +bcosx)dx
1 I* 1 9
u = - - ( a x +b senx) = — {(a +0 ) - (-an + 0)] = — . Luego u =
l-jt ¿Tt 2n
f (x) —sen í x , 0< x < n
Desarrollo
E! valor medio de la función es:
1 f
b -a Ja
n Jn
1 Iu = -------i s,
7 1 - 0 J 0
sen xdx
eos 2* I r sen 2*.!*' 1 7r
-dx = ~ ( ~ -
« 2 4 '|0 7r'"2
/ (a) - sen 4x
Desarrollo
El valor medio 1 r
iio de la función es: u = ------ f( x ) d x . Luego s
b - a j a
se tiene:
i r * l CT
ii = ------ | sen4xdx = — I
* - O j 0 ffJ 0
f I ^ ¡ 2 x j , dx
1616
. . i r
“ Jo
1 f ’r l-co s2 x + 2cos22x , 1 . 0 x sen4x
1 dx = — (x-sen 2x +—+—-— )
4 4k 2 8
„ = j _ w , 0+í + o ) = ^ 4
4n 2 8?r 8
Demostrar que la integral í ^ <ÍX está comprendida entre
Jo j 2 + x - x 2
~ = 0.70
s[2
Desarrollo
2 +x - x2 = — (x— ) , para x e [0,1] => 0< x < l
4 2
1 1 ^ 1 i 1 i 1
=* - 2 Í X ~ l - 2 =*
- =* 4 s - (t4 ,2so
„ - I +£ < £ - (¡t- I ) i < 2 =, 2 S í - ( x - i , » S i
4 4 4 2 4 . 4 2 4
=> 2<2 +x - x 2 < — => V2 < yjl +x - x 1 < ^
4 2
¿ i i [ 2 J r dx
—< < -p r => —¿X< | , ........= < | —7=
x —x2 V2 Jo 3 Jo -/2+ x —x2 Jo x/2
1 r ' dx < x ■'2 I f
3 loJo y¡2+X - X 2 V2 I0
- < f dx < _ L luego la integral [ , ^ ■ esta comprendida
3 Jo v2 +x—x^ V2 Jo v2 + x -x 2
2 1entre —= 0.67 y —= = 0.70 ahora el valor exacto es:
3 V2

1617
1618
1619
r - r f i ^ . r" 0 2 +x - x Jo
x - -
= arcsen(—— = arcsen(— —-)|
I
1 1 1
= arcsen(-) - arcsenf— ) = 2arcsen.-
3 3 3
Acotar las integrales:
•i
i ,
¡4 +x 2dx
Desarrollo
V x e [0,1] => 0 < x < 1 => 0 < x 2 < 1 4 < 4 + x2 <5 => 2 < V4 + x2 < Vs
=> í 2dx< í ¡4 + x2 < f ¡5 d x . Luego 2< 1 < fs
Jo Jo Jo
í ,
dx
r
Desarrollo
8+ x3
Si X G [-1,1] => -1 < X < 1
9 A-3 + 8 7
- l < x 3 <l => 7 < x 2+8 <9 => < -
f 1 dx f ‘ dx f 1 dj
Luego:
I* s f _ * . < £ [ * 2 < f
i -i J-i x3+8 7|_, 9 j
dx x j12 f 1 dx 2 „ , 2 , 2
, , ;----- < —I => —< J —------- < —. Por lo tanto: —< /< —
91 i J-!xj +8 7 1., 9 J_i xJ +8 7 97
2re
Jt
dx
10+ 3eosx
Desarrollo
Se oonoce que: -1 < cos x < 1 ; -3 < 3 eos x < 3
7 < 10 + 3 eos x < 13 ; — < ------ ------- < -
13 10+ 3eosx 7
r 2Kdx r n dx „ r K
Luego tomando integrales se tiene: I — < ------------- S
J0 13 Jo 10+ 3cosx Jo
2n dx 2n 2n ^ ^ 2n
— < I ------------- < — , por tanto: — < / < -—
13 Jo 10+ 3cosx 7 13 7
K
1620 j 4 xyjtgx dx
Jo
Desarrollo
Como la función crece monótamente 0 < ^/tgx < 1 para x e [0,^:
0< x^tgx < x tomando integral
n_ Jt_ n_ 1 £
0< í 4x^tgxdx< í 4xdx ; 0< | 4x^tgxdx< — |4
Jo Jo Jo 2 lo
»- _______ _______ 2_2
0<I 4Xyjtg xdx< — ;luego: 0< I< —
Jo 32 32
n
11
1621 i 4
.1 X
Desarrollo
1 V2
En forma análoga a los demas —<1< —
• 200n
r eos x
1622 Integrando por partes, demostrar que: 0< j ------ dx<
Jilooít x 100;r
ejercicio 1609, por tanto dejamos para el lector.
dx
y
análoga al

C A P I T U L O V I
6 . _____A P L I C A C I O N E S D E L A I N T E G R A L D E F I N I D A
6.1.__ AREAS DE LAS FIGURAS PLANAS.-
0 EL AREA EN COORDENADAS CARTESIANAS.-
Se determina por la fórmula S= í f(x)dx, donde y = f(x)> 0, que es
Ja
el área del trapecio mixtilíneo, limitado por dicha curva, dos verticales
en los puntos x = a y x = b y el segmento a < x < b.
En un caso más general, cuando el área S de la figura limitada por dos
curvas continuas y = f¡(x) e y = f 2(x) y por dos verticales x = a y
x = b, donde /, (x) < f 2(x)
Aplicaciones de la Integral Definida 277
▲y
Y= f2(x)
Y=f1(x)
Para a < x < b tenemos: 5 = [f2( x ) - f t(x)dx. Si las curvas se dan
Ja
en forma paramétrica: x = <p(t), y = |/(t), el área del trapecio mixtilíneo
limitado por esta curva y dos verticales, x = a e y = b, respectivamente
y por el segmento del eje X, se obtiene:
S= f i¡/(t)(pt)dt, donde tx y t2
J'i
se determinan de las ecuaciones: a = tp(ti ) y b = (p(t2) (tp > 0) en el
segmento [tx,t2]
( 2 ) AREA EN COORDENADAS POLARES.-
Si la curva continua, se da en coordenadas polares por una ecuación
r = f(|/), el área del sector AOB, limitado por el arco de la curva y los
radios polares OA y OB, correspondientes a los valores <//,=a,
y/2 = ¡i , se expresa por la integral:
B_ r -

278
1623
1624
[f(V)]2dy/
Calcular el área de la figura limitada por la parábola y = 4 x - x 2 y el eje de
abcisas.
Desarrollo
y = 4 x - x 2 la intersección con el eje X es:
para y = 0 => 4 x - x 2 = 0 ; x = 0 ; x = 4
como y = 4 x - x 2 => y —4 = —(x —2)2, es una parábola
y = 4x - x2
= f ydy= f
Jo Jo
( 4 x - x 2)dx = (2x2 = ( 3 2 - — ) - 0 = —
3 lo 33
i c 32 2Luego: 5 = — u~
3
Calcular el área de la figura limitada por la curva y = ln x, el eje OX y la recta
x = e.
Desarrollo
Hallaremos la intersección con el eje X de y = ln x.
Luego: para y = 0 ; l n x = 0 => x=l
S = J ydx = ^ nxdx = ( x l n - jc)|
S = (e ln e - e) - (1 ln 1 - 1) = (e - e) - (0 - 1); luego S = 1 u 2
1625 Hallar el área de la figura limitada por la curva y= x(x - l)(x - 2) y el eje OX.
Desarrollo
4 11 v 4 12
5 = (------x ' + x H + (------+ x3- x 2)
4 lo 4 li

280
S = ( I - l + l)-(0)+ ( J £ + 8 _ 4 ) - ( - I + i - i ) .•.5 = i +I = I = I ¡<2
4 4 4 4 4 2 2
1626 Hallar el área de la figura limitada por la curva y 3 = x , la recta y = 1, la
vertical x = 8.
Desarrollo
y 3 = -V => y = 2fx
(y -l)¿x = J (</I-lW x = |jc 3 |X- x j8
S = 2 (1 6 -1 ) -(8 -l) = — - i l ; lueeo: S u2
4 4 4 4
1627 Calcular el área de la figura comprendida entre una semionda de la
sinusoide y = sen x y el eje OX.
Desarrollo
= c o sJ = - (eos 71- eos 0) = -(-1 - 1) = 2
lo
'= í ydx = rJo Jo
sen x dx
Por lo tanto: S = 2 u 2
1628
1629
Calcular el área de la figura comprendida entre la curva y = tg x, el eje OX,
nlas rectas x = —
3
Desarrollo
Y J ,i y = tg x
A
/ t í l S
i
i
i r
/
X
li
cj|s
1 K X
2
= JJo
- —
3tg xdx = ln(cos x)| ’ = -(ln(cos^) - ln(cosO))
lo 3
S = -(ln —-lnl) = - ( - l n 2 ) . Porlotanto: 5 = ln2M2
2
Hallar el área de la figura comprendida entre la hipérbola xy = m 2 , los
verticales x = a, x = 3a (a > 0) y el eje OX.
Desarrollo
El grafico de xy = m es:

282
1630
S - m" (n?>a- n a) = m 2 ln 3 porlolanto: S = w 2ln3 « 2
Hallar el área de la figura comprendida entre la curva de Agnesi. y =
y el eje de abcisas.
Desarrollo
x 2+a2
El gráfico de y = —------ es:
x2 +a2
f f ” _ f L . A +
J — J-~ a +íz J ^ x +a Jo x~+a
S = lim i — a 2 dx+ lim f - - ^ É L = lim
a~’~™Ja x~ + a o X +13“ a-»-«
arctg—I + lim a arctg-
^ aV™ (a atcíi= a~arctg(G))+ lim (a2a r c tg - - a 2arctg(O))
¿7 /]
S = 0 - a 2arctg(-°°) + a 2arctg(°°)-0 = 2 a 2arctg(°°) = a 2n
O O
por lo tanto: S =a~K u~
1631 Calcular el área de la figura limitada por la curva y = x 3, la recta y = 8 y el
eje OY.
Desarrollo
El gráfico de y = a es:
3 es:
y
/ y =
<
II
00
/
y
/
0 X
Como y = x => x = ^Jy
.8 ~ 4■f 8 í*8 r- 3 -I 8 3
5 = Aífv= l [ y d y = - y 3 = - ( 1 6 - 0 ) . Por
Jo Jo ' 4 ’ lo 4
lo tanto: S = 12 u ‘
1632 Hallar el área de la figura limitada por las parábolas y “ = 2px y x~ = 2py
Desarrollo
Y -
, y-, = 72px
L _ ( 2p,2p)
x f / X2
^ 2p X
y2= 2px

284
1633
Buscaremos la intersección entre las curvas y 2 = 2px, x 2 = 2py
como x - 2 py => - Reemplazando en y2 - 2 p x
X4 3 •>
' ~ ‘-Px => x' =8p~ => x = 2p y x = 0
V
parax = 2p=> y 2 =2px = 4 p 2 =*. y = 2 p ? x = 0 =>y = 0
f 2? r 2p 2
( : V i = I (y¡2px-— )dx
J o Jo 2n
* 0)6p
„ _ 8 / r 4 /> 2 4 , 4
3 3 ~ ~ 3 P ' Porlotanto: S = ~ P u2
Calcular el área de la figura limitada por ia parábola y = 2 x - x 2 y la
recta y = -x
Desarrollo
Buscaremos la intersección de: y = 2x —x 2, y = -x
Luego: - x = 2 x - x 2 => 3-t-jc2 = 0 => x = 0, x = 3
Como y = 2 x - x 2 => y - l = - ( x 2 - 2 x +l) => y - i = _( ^_i )2
Es un parábola de vértices V(l,l). Su gráfico es:
Aplicaciones de ¡a Integral Definida 285
y = 2x - x2
3jc2 r | 3 27 27 „ 81-54 27 9 n „ 1 2
= (----------- ) = (----- — ) - 0 = --------- = — = - . Por tanto: S = A - u ¿
2 3 ¡o 3 3 6 6 2 2
1634 Calcular el área del segmento de la parábola y = x 2que corta la recta y = 3-2x
Desarrollo
Los puntos de intersección son:
y = x 2 ; y = 3 - 2 x => x 2 = 3 - 2 x => x 2 + 2 x -3 =0 x = -3 => x = l
para x = -3, y = 9 ; x = 1, y = 1. Su gráfico es:

286
1635
S - J [(3-2x)~ x2]dx = ( 3 x - x 2 )J
$ - O 1 —) - ( - 9 - 9 + — ) = —-(-9 ) = —+ 9 . Por tanto S =—~u2 = 10
J 3 3 3 3
Calcular e! área de la figura comprendida entre las parábolas y = x 2, y = —
2
y la recta y = 2x.
Desarrollo
Las intersecciones de las rectas y = 2x
Con la parábola y = x 2 s o n *2 = 2* =* x = 0 o x = 2
Luego los puntos de intersección son (0,0), (2,4), las intersecciones de la recta
*2
y = 2x con y = — son (0,2) y (4,8). Luego: S = S, + S2
.3 |4
2
~ ^ 3 - 6^_ 0 + (1 6 -^ “ ^_ 4 _ ^ = T + T ‘ Portanto: S = — =4 u 23 6 6 6 3 3 3
U>|K>
1636
1637
x2
Calcular el área de la figura comprendida entre las parábolas y = — -
y = 4 - - x 2
3
Desarrollo
Las intersecciones entre las parábolas son:
— = 4 - - x 2 => x 2 =4 => x = - 2 o x = 2
3 3
Luego los puntos
x 2
X
5 = [ ' ( 4 - - x 2 - — )dx= f ‘ (4- x 2)dx
J-2 ^ ^ J-2
Calcular el área de la figura comprendida entre las curva de Agnesi:
y = ——- y la parábola y =— .
l +x 2
Desarrollo
4 4
de intersección (- 2,—), (2,—). Su gráfico es:
4 - ^ x 2

1 x ■
Las intersecciones entre la curva y =----- - y la parábola y = :— , son:
1+ *2 2
Luego los puntos de intersección son: (—1,—) , (1,—)
2 2
f* 1 x 2 Io x3!1 1 1
S = (—r
-
i — ~)dx = arctg J — ~ = arctg(l) —arctg(—!) —[—+ —]
j-i l +x¿ 2 |_i 6 !_[ 6 6
5 =2arctgQ)-- = 2~ - . Portanto: S = ( - - - ) u 2
3 4 3 2 3
1638 Calcular el área de la figura limitada por las curvas y = ex , y = e~x y la
recta x = 1.
Desarrollo
La región comprendida por las curvas y la recta es:
'= Í (ex ~<
Jo
ii
-e~x)dx = (ex +e~x)f
lo
S = (e +e 1) - 2 = portanto: S = ——— m2
2 2
x y
1639 Hallar el área de la figura limitada por la hipérbola — +~
a~ b
Desarrollo
Como: + -^- = 1 ; b 2x 2 - a 2y 2 = a 2b 2
a2 b2
2-y , 2 2 2, 2 , Vb2x2- a2b2a y =b x - a b ; y = ± ------------------
„ C2alb2x2 - a 2b2 J , b C 2a r ^
5 = 2 ----------------- d x = 2- V* -
J a a a j n
S - — (—jx2~-a~ln x +y[x2 a2 |)j
a 2 2 |
S = —[(xjx2 - a2 - a 2ln | x +x2- a2 |)]|
a la
a2dx
2a
S = — [ ( 2 a ] 4 a 2 - a 2 - a 2 [ n ( 2 a + y ¡ 4 a 2 - a 2 )) + In a 1
5 = —[2a2V3- a 2ln(2a + a^ )] = ab[2sj3 - ln(2 + 73)]u2
a a
2 2 2
1640 Hallar el área limitada por la astroide: x 3 + y3 = a3
Desarrollo
= 1y la recta x= 2a

Como las cuatro regiones son simétricas se tiene:
2 2 3pa ña _ _ _
5 = 4 >>ÉÍr= 4 | (a3 - x 3)2dx. Sea x = az3 => dx = 3az2dz
Jo Jo
r* 2 2 2 *»> 3
5=4I (a3-a 3z2)23az2dz=12a2j (l-z2)2z2dzJo Jo
z = sen 0 => dz = eos 0 d0
K
para z = 0 =* 0 = 0 ; z = l => 9 =■
2 ^
S = 12a2 I (1- z 2)2z2dz = 12a2 I " (1-sen2z)2(sen z.cos zdz)
r 1 3 f - 3
5I ( l - z 2)2z2dz = 12a 2 i "(1-se n 2z)2(
Jo Jo
K 1X
2í “eos4z.sen2zdz = 12a 2 f ^ (—
Jo Jo
* 2
O 1 0 Z I ¿ 4 Z _r i o Z 1 0 . . 1 " ^ C O S 2 0 , .
5 -1 2 « I cos z.sen“ z d z - 12a I (------------)(------------ )d6
' = — a 2 í '
2 Jo
2(sen229 +sen229.cos29)d0
1641
3 2 f ^ r1
=2 J„ [-
- eos 49
+ sen" 20.eos 29]d9
r _ 3 2^6 sen 29 eos 29 sen3291 2 _ 3 ^2^ 3a~n ^2
Hallar el área de la figura comprendida entre la catenaria y = a cosh(—), el eje
a
ü 9
OY y la recta y = — (e~ +1).
2e
Desarrollo
El gráfico de y = acosh(—) es:
a
- r *
2 i * 1 it 2 . 1
_ a re +1 ~ J a £ +1 _i ,
S =■—í—-----x - a e a +ae a ] = —[-a -a e +ae + a - a J
2 e lo 2 2
a re2 + l 1 a2 e2+l 1 a" 1 1 2a~ 2 -i
S = - [ -------~e + -] = — [-----------e +-] = — [e+— e +-] = —- = a~e
2 e e 2 e e 2 e e 2e
Por tanto: S = 2a2e 1 u

292
1642
1643
Hallareláreadelafiguralimitadapor!acurva a2y2=x2(a2-x2)
Desarrollo
de
Como la figura es simétrica y = ± —yja2 - x 2
a
4l y dx ~ ~ Va~~ x d x . Sea x = a sen 0 dx = a eos 0
K
S = 4J ' senQyfa2- a 2sen29 a eos 9 <19 = 4a2 f 2eos29 sen 0dO
Jo
= - | a 2cos30| 2= - l a 2(O-l) => S = i aV
J lo 3 3
Calcular el area de la figura comprendida dentro de la curva (~)2+ (2 ,3
5 4
Desarrollo
Como la curva es simétrica, se tiene: y = ---- (25- x 2)2 luego:
' 125
Sea x = 5 sen 0 => dx = 5 eos 0 d0
Para x = 0 => 0 = 0 ; x = 5 => 9 = —
2
i6 r5 — i6 r l —
S = — (25-A:2)2dx = - — (25 - 25 sen29 )25cosí» d9
125 Jo 125 Jo
= 80 f 2eos49 d9)6x5 = 80 í 2( ^ ^ - ) 2d9
Jo Jo -
— a
= 20 í 2(1+ 2cos 29 + eos229)d9 = 20(9 + sen 29 + - + 2
Jo 2 8 lo
n
= 20(— + sen 29 + 2= 20(— —0) = 15tt por lo tanto: S = 15* u2
2 8 lo 4
1644 Hallar el área de la figura comprendida entre la hipérbola equilátero
a 2- y 2 = 9, el eje OX y el diámetro que pasa por le punto (5,4).
Desarrollo
Y

1645
m = — => y = - jc ; la intersección es: x2 - — x2 =9 => 9x2 =225 =¡>x=± 5
5 5 25
como la curva es simétrica se tiene:
-9)dx]-52) = 2 lJ ~a.ííx: + J j x - y jx 2 - í
5 = 2(— |3+ — 15- [ - j x 2 - 9 - - n [ x + J x 2 -9 ]]|5)
5 lo 5 |3 2 2 |3
1 O 1 O Q O ~
5 = 2f(— + 10---- )~(10 — ln9) — ln3]. Por tanto: S = 9 1 n 3 «
5 5 2 2
Hallar el área de la figura comprendida entre la curva y = —, el eje OX y la
recta x = 1, (x > 1)
Desarrollo
5 = i " ydx= = lim p ^ = lim - - r = lim ¿ -l)
Ji Ji x*-x”Ji x b-*°° -xli í’~>“ b
S = -(0 - 1) = 1 por tanto 5 = 1
Aplicaciones de la Integral Definida
295
1646 Hallar el área de la figura limitada por la cisoide y y su asíntota
2a - x
x =2a, ( a > 0).
Desarrollo
Por la simetría se tiene:
/»2a
f
— - — dx = 2lim j x J - ^ - d x
2 a - x 2 a x
Hallamos la integral I xJ 2a ~ d x ' Se3 * Z ^ dx 2záz
f ~~X~ - [ z 2-z-2zdz ? f Z*dZ
} X 2a - x J >/2a - z 2 J ^ 2a - :
Sea z 7¡2asend => dz = l2aeos9 d9
r ~ f 74di f 4a2sen49.y¡2a cos9 dO
f e r 2J— ^

1647
=2a2f(1-2 eos20+eos226)d6 =2a2(---sen20+—— )
J 2 8
*2 a 2- £
1
•*Jo
como 5 —2 lim I x.j--------dx cambiando los limites se tiene:
£-»°Jo 2a - x
S = 2.2a2( ^ - sen20 + 2 = 4a2( ^ - 0) = 3a2*
2 8 lo
por tanto: S = 3a2n u 2
Hallar el área de la figura comprendida entre la estrofoide y2 = — —— , y
2a - x
su asíntota a > 0.
Desarrollo
La grafica de la estrofoide y 2 = ————
2a —x
2
es:
X
.v=
sea
[ 2a
2 (va
( x -a )
■J2a
x = z 2 => dx = 2zdz, para x = a, z = 4a ; x = 2a=> z = y¡2a
(.x - á ) - ¡ J L = ;
V2a - x
1648
f 2 fl í«V2 a
= 2 1 ( x - a ) —¡ = = d x = 2 |
Jfl y ¡ 2 a - X ' JyfZ
(z2 - a) - ¡ = L = 2z dz
¡2a - z 2
A = 4
J.■Ja v2a -
... (1)
sen0 =
¡2a
tg0 =
-¡2a - z 2
:= V ía sen 0 derivando se tiene: dz = -Jla cosOdO
I— 1Tí
z = ¡a, sen0 =—¡=, u = —
V 2 4
t-— tt
z = V2a, sen0 =l, 0 = —
= 4 f (72- a) z — =4 | 2(2asen20-a>'/2asen0.tg0./2acos0d0
A = 8a I (2sen~0-a)sen 0 d 0 = 8 a
71
'J¿
« 4 - eos 20(1- eos 29)d9 = 4a
4
n
„„ „ l- c o s 20
eos 20 -1 )------------dO
-eos 40
-eos 20)d9
A = 4«*<® _ ü í i i _ J í = V [ ( í -- 0) - ( | - 1)]
2 2 2 I* 4 8 2
A = a (—+ 2)m
2
Calcular el área de las dos partes en que la parábola y = 2x divide el circulo
Desarrollo
X2 + y 2 = 8 .

298
Buscaremos los puntos de intersección x 2 + y 2 =8
x 2 + 2 x - 8 = 0 => (x + 4 )(x -2 ) = 0 => x = 4 o x = 2
Luego x = -4 no se toma en cuenta, por tanto los puntos de intersección es:
(2,2), (2,-2), por la simetría se tiene:
- v>
r 2 r 2'/2 -2 .y¡2 _____
B= Jo +j ydx] = 2[J s¡2xdx +j y js-x 2dx
i-
b = 2 í ^ | í i | ! + ( £ V ¡ r 7 + 4 arcsen^ =)| 2V' ]
3 lo 2 2V2 I2
! .
B = 2[—+4arcsen(l) - (2+ 4arcsén 4= )] = 2[ - + 2n - n] = (2* + - ) u 2
J V2 3 3
para la parte A se tiene: A = n r 2 - B = %n- (2n +- ) = (8n - 2 n - - ) u 2
3 3
Por tanto: A = (6n - - ) u 2
3
1649
1650
Calcular el área de la superficie comprendida entre la circunferencia
x 2 + y 2 = 16 y la parábola x 2 = 12( y - l ) .
Desarrollo
Buscaremos los puntos de intersección:
jt2+ y 2 = 16 => .v2 = 16- y 2 => *2 = 12(y - l)
=> 1 6 -y 2 = 12_y—12 => y2 + 12y-28 = 0
de donde y = 2 => x = ± 2y¡3 ; por la simetría se tiene:
r 2>/3 .------------- 2 -------------- 3 |2>/3
5 = 2 [V1 6 -x 2 ------------------------]dx = 2[—V16—jc2 +8arcsen--a]|
Jo 12 9 4 36 lo
S = 2 l 2 j 3 + - - - S ] = — - - S = ( - ^ - - V 3 )u2
3 3 3 3 3 3
. 2 16 4 /— 32 4 rr 2
para la parte A se tiene: A = x r - s = lb7t - ( — n — V3) = (— n +—l3)u
3 3 3 3
Hallar el área contenida en el interior de la astroide x = a eos31 , y = b sen31 .
Desarrollo

)0 Eduardo Espinoza Ramos
y/(f) = a cos3 1 => para x = 0 =* i, = —
=> x = a => t2 = 0 => ¡t(t) = b sen3r
como y/(t) = acosi t y/'(t) = -3acos2 t.stntdt
C2 <*° .
5 = 4 i//(/).v/'(Od/‘= 4 | ¿>scn f(-3a cos t.sen t)dt
«Q * ^0
5 = - 12afc f sen4/cos2iJi = — y - I sen22r(l - cos 2i)df
2 2
2 J"
1 i-c o s4 í o , 3ab,t senAt sen32/!°
(i—12_ _ _ Sen 2t.cos 2t)dt = — — [ - ----- ----------— I
2 2 2 8 6 7T
2 * " "2
3abr„ n , 3o/?* c 3abn 2
5 = -------[0-----] = ------- por tanto: 5 = —-— u
2 4 8 8
651 Hallar el área de la superficie comprendida entre el eje OX y el arco de la
cicloide: x = a(t - sen t ) ; y = a(l - eos t).
Desarrollo
Para x = 0 => /, = 0 ; x =2na => t2 =2n
Como: |í(t) = a(l - eos t)
V|f(t) = a(t - sen t) =* y/'(t) = (a-aeost)dt
C2rc l C2” 2
5 = J o(l - eos t)(a -a eost)dt = a2j (1 -cos t) dt
1652
2 f a , , 2 x . 2/ o * sen2í I2*
S = a I (l-2 e o sí + eos t)dt = a (t-2 se n t +—+-------- )|
Jo 2 4 lo
2 3í „ sen2r | 2,r „ 2 _ „ „ 2 2
5 = íj“(------2sení + -—-— )| = a (37T—0) = 3 a n . Por tanto: S =3a~n u"
Hallar el área de la figura limitada por una de la trocoide x = at - b sen t;
y = a - b eos t, (0 0= a/, -b sen f,
2aK = <p(t2) = at2 - b s e n t2 => 2an = at2 -b s e n t2
como la tangente en los puntos inferiores es paralela al eje X => y '= 0 , es
decir:

302
1653
y'z=fi'(t) = -bsent = 0 => /, =0 enx = 0
y'= y/ '(?) = - b sení = 0 => t2 =2n en x = 2na. Luego:
S = { f(t)(p t)d t-A =
J'i
i»2jt
5 = I (a2- 2abeost +b2 eos2t) d t- 2a2n +2abn
Jo
_ . 2 „ , ¿>2sen2f.|2,c - 2 .
S =(a t-2absent +— + ---------- ) -2 a +2abn
2 4 lo
S = 2a2n + b 2K - 2 a 2n +2abn portanto: S = n(b2 +2ab)u2
Hallar el área de la figura limitada por la cardiode x = a(2 eos t - eos 2t);
y = a (2 sen t - sen 2t)
Desarrollo
S = f y/(í)i// t)dt donde j/(t) = a (2 sen t - sen 2t)
J»,
j/(t) = a (2 cost - cos 2t) ; y/' (t) = a(2 sen 2t - 2 sen t)
f 2*
I (a - b eos t)(a -b eos t)d t-(a - b )2K
Jo
1654
- i
r°
= 2a2 i
a(2sen í - sen 2í)a( 2sen 2t - 2 sen t)dt
(2 sen t - 2 sen t eos t)(4sen t eos t - 2 sen t)dt
S = 8a | (sen t - eos t sen /)(2sen t eos t - sen t)dt
í
í
5 = 8¿r I sen /(l-cosf)(2cos/-l)df
f°
= - 8a 2 j
Jjl
sen /(l-3 co sf+ 2cos“t)dt
„ 2,3r senícosf 3 sen2feos2r /° „ 2/ft 3?r. , 2 2
5 = - 8a 2(-------------------------------------------------------------------------------sen í -- ) / =
4 2 8 / * 4
Hallar el área de la figura limitada por el lazo del folium de descartes
3a/ 3at2
Desarrollo
S = y/(t)(p'(t)dt, donde y = y(t), x = <p(t)
3at 3at
siendo ¡/(t) = ------— y <p(t) =
(1+ /3) (1+ í3)

1655
3a? 3a(l-2í )Como: 9(0 = -— j => V (0 = n <3"
i + r (l + r )
Jo (1 + í3) Jo (1+ f )
S = 9a2[ f ” —^ y y ¿ / - 2 f 4 ± ÍT íÍí1
Jo (1+ f3)2 Jo (r3+l)3
S = 9 a ¿[-
l+ r3) / o
9a2f 0 - [ - - + -]]
2(1+ r3)2 3(1+ r ) 7 0 2 3
S = 9a2(—) = ^ — por lo tanto: S = ^ —u~
6 2 2
Hallar el área de la figura limitada por la cardioide r = 0 (1 + eos |/)
Desarrollo
•P
Se conoce que: 5 = 1 f
2Ja
r d y , donde r = f(|/)
El gráfico de r = 0 (1 + eos vj/) es:
S = 2.—f r2dy/ = f [a(l + cosi^)]2í/i/^
2 Jo Jo
5 = a2J (l + 2cosy/ + cos2¡/)d¡/ = a 2( ^ + 2sen0+ sei^~^) j
_ 3a2* 1
por tanto: S = -------
2
1656 Hallar el área comprendida entre la primera y segunda espiral de
Arquímedes: r = avy
Desarrollo
De acuerdo al gráfico se tiene:
1 f 2*
S = — (r22- rf )dff , donde r, = a y/ ; r2 = (y/ + 2*)
2 Jo
1 f 2,1
S = —I ([a(i//+ 2*)]2- a 2¡/2]df/ por lo tanto: 5 = 8 a 2* 3M2
2 Jo
1656 Hallar el área comprendida entre la primera y segunda espiral de
Arquímedes: r = ay
Desarrollo

306
1657
S = - f (r2- r2)di¡/ , donde r, = a y ; r2 - (y +2n)
2Jo
s = I (2a2y/n + 2a2Jt2)dy = {a2y 2K +2a2n y ) j ^
Jo
2 3 2
por tanto: S = 8a K u
Hallar el área de las hojas de la curva.
Desarrollo
1658
1659
2 a K 2
a , sen4w / t ¿r/t 2
= — (v^+
2 4 / o 8
Hallar el área limitada por la curva r 2 = a 2 sen 4i^
Desarrollo
= 4.—f
2 Jo
= - 2a2(— ) = a2 por tanto: S = a 2u 2
4 4
Hallar el área limitada por la curva r = a sen 3|/
Desarrollo

5 = —.3 f 3r2dy/ = —f 3a 2sen23t//dy/ = - a 2 f 3(1 L° S^ -)df/
2 Jo 2 Jo 2 Jo 2
3a1 , sen6yr 3a2 t n _ „ a2n 2
= -----(w ----—) / 3= ---------- (-----0). Por tanto: 5= ------u
4 6 / 0 4 3 4
1660 Hallar el área limitada por le caracol de Pascal r = 2 + eos |/
Desarrollo
El área es el doble del área desde 0 a tc, luego
5 = 2.—I r2d)f= I (2 +cosif/)2df/ =I (4 + 4cosy/ + cos?
2 Jo Jo Jo
w sen 2u/ i n _ 9 ?
= (4w + 4senu/ + —+ ------ —) / . Por tanto: S = —ttm~
r r 2 4 / o 2
*
1661 Hallar el área limitada por la parábola r = a sec* y las sennrectas W ~ ~
n
71 _ 1 |*2 2 .
y * '= 2 ;S = 2j í
4
Desarrollo
1662
1663
Hallar el área e la figura limitada por la elipse r =
1 + ecosi^
, (0< e < 1)
5 = 4 .- f2r2d¡/ = 2 f2------ --------- d y
2Jo Jo (1+ecosyO
Desarrollo
2
5 = 2/?
1
dljf , Ttp 2
—-— ■— integrando se tiene: 5 = --------- - u
o(1+ecosr)
(1+e2)2
Hallar el área de la figura limitada por la curva r = 2a eos 3|/ que esta fuera
del circulo r = a
Desarrollo

Sean r, = 2a eos 3i¡/ y r2 = a
n £
5 = 6. - f 6(r2- r2 )d¡f = 3 j*^ (4a2eos23y - a 2)d¡/
2 Jo ' Jo
2
Ü TC 2
por lo tanto S = -----u
2
1664 Hallar el área limitada por la curva x 4 + y 4 = x~ + y " . Sugerencia: pasar a
coordenadas polares; por tanto 5 = K¡2u~
6^2. LO NG ITUD DE ARCO DE UNA CURVA.-
© LONGITUD DEL ARCO EN COORDENADAS
RECTANGULARES
Consideremos y = f(x) una curva, la longitud L del arco de la curva
comprendida entre dos puntos x = a; x = b es:
L= í x/l + y'2dx
____Ja__________
© LONGITUD DEL ARCO DE UNA CURVA DADA EN FORMA
l'ARAMETRICA.-
Sea x = |/(t), y = vj/(t) ecuaciones de la curva en forma paramétrica, la
longitud L del arco de la curva:
L= ( yjx12+ y ,2dt
____¿í,____________
donde r, y i, son los valores del parámetro correspondiente a los
extremos del arco.
© LONGITUD DE LA CURVA DADA EN FORMA POLAR.-
Si r = V|/(9) es la ecuación de la curva en coordenadas polares r y vj/, la
longitud L del arco es:
L - I Jr2 + r ,2d y
J a ________________
donde a y P son los valores del ángulo polar en los puntos extremos del
arco.
1665 Calcular la longitud del arco de la parábola semicubica y 2 = x 3, desde el
origen de coordenadas hasta el punto, cuyas coordenadas son x = 4; y = 8.
Desarrollo
L = fV Í T y ¡ d x = = / 4 = ± ( i o S ó - i )
Jo Jo V 4 27 4 / o 27
X
1666 Hallar la longitud de la catenaria y = acosh(—) desde el vértice A(0,a) hasta
a
el punto B(b,h).
Desarrollo

312
1667
£ ) = a(£ l± f _ l) de donde e ' + 1 = 0, despejando
2y. 4y2 - 4
y ± ¡y 2 -<■
* , ,y+- = ln(—
a a
dx a
dy ^ y 2 - ó 2
E Z .) x = aln(
y+
t dxs2 a
^ W 2 2dy y - a
í f W dy ‘ 1 f ^ 5 d y = 1 dy v
= V^2- a 2 “ O longitud L = h ~ - a 2
Calcular la longitud del arco de la parábola y = 2 ^ desde x = 0 hasta x = 1.
Desarrollo
y'2 =■
2 I I l ^ X d x
fx
f ‘V IT Í
Jo V i '
dz = 2zdz ; * = z 2 - l y z = VT+T
calculando | ——j=—d x , se tiene z x +1
Jo V*
f V* + l , f z l z d z f z2dz
) ^ r d x- ) w r r 2) ^
z = see 0 => dz = see 0 tg 0 d0
C z dz f see d.secB.tgOdG f 3 Q ,a
I ------- = ........ . -----= I see 0 du , integrando por partes
J Vz~ —1 J Vsec20 - 1 J
J & - J 1
f- 5-^.... = l[ln |z + Vz2 -l|+zVz2 -l]
J V ¡ M 2
■= | OdO = —[ln |see# + tg0 | + tg0.sec0]
(2)
'V-jf + 1 r *2
J dx ~ 2J = ln | z + Vz2- 1 1+zVz2- 1
j* ~ j= J -d x = ln |V * + l+ V x | +Va.V* + 1j
L = f - dx = (In | yjx + +l~x | +¡x.yjx+ 1)/
Jo V* ’ o
Por lo tanto L = V2 + ln(l + V2)
1668 Calcular la longitud del arcó de la curva y = e*, comprendido entré los
puntos (0,1) y (l,e).
Desarrollo
y = e x =* y'-e* => y'2= e 2jr

1669
+ e2xdx calculamos J f +e2xdx
para esto z2 = +e2x => zdz = e2xdx
pero l +e2x= z 2 => e2x = z 2 -1
z dz
Luego zdz = e2xdx = (z2 -l)d x de donde dx =
z2- 1
I -- 1 . y]e2x +1-1 í, 57 1. + 1-1)“
= Vl + e2* + -ln ■= = = — =Vl + e2x + —ln-------^ --------
2 V ¡ ^ + 1 2
ex
L = J yl+e2xdx = [y¡l +e2x + ln ^ e ^ ~ ~ ]/Q
L = ^ + 7 + y¡2 - ln(V2 - 1)
e
L = ^ - J ~ 2 +taÍ ^ M ± 2
e
NOTA: in ^ - ^ ^ ^ i n - J — = -ln(x/2 + l)
>/2+1 v 2 +1
Hallar la longitud del arco de al cuya y = ln x desde x = ¡3 hasta x = -s/8
Desarrollo
, 1 ,2 1y = ln x => y = - => >' = —
x x
para esto x = tg 9 => dx = sec29 dO
N x ~ + l . f yjtg2e +l 2 f 3 C°S0
--------- dx= -
-
sec 6 dd= I sec d.— dd
J x J tg6 J sen 9
_ f sec 0 ^ _ f (cosccq +tg£ sccd)d9 = ln | cosec 0- ctg 9 |+sec 9
J sen# J
, . y] +x2 1 . r j ,n/i + jc2-1 í. 2
= ln |— ---- -— I+VI + a: = ln --------------+ Vl + x
x x x
L = í JÍJ M dx =lln
X X i £
0 1 1
L = (ln-yr + 3 )-(ln -r +2) = ln-7= + l + ln>/3
v 8 V3 v 2
= l n ^ + lnv/3 + l = l n ( ^ ) + l = l + - l n -
V2 2 2
1670 Hallar la longitud del arco y= arcsen e”* desdex = 0 hasta x = l .
Desarrollo

1671
1672
_ ,2 ***y = arcsen e => y = — f=> y =-— 757
I - * '
= f ' eX<bc - 1 -1 [ / ’ = ln(é’+ V ¡ M ) - ln ( l+ 0) = ln(e + V ¡ M )
'o
Calcular la longitud del arco de la curva x = ln sec y, comprendido entre
n
y= 0 a y = —
3
Desarrollo
dx sec y tg y
x = ln sec y => — = ------------= tg v
dy sec y
n_ ________ it
L = J l + ( ~ ) 2dy= f3 n/i + tg2ydy = í sec y dy
Jo V dy Jo Jo
a
= ln(sec y + tg y ) j 3= ln(2+ ¡3)- ln 1= ln(2+ >/3)
1 2 1
Hallar la longitud del arco de la curva x = —y* - —ln y desde y= 1 hasta y= e
Desarrollo
_ 1 2 1 dx y _1_ dx _ y2-1
J‘ _ 4 'V ~ 2 n y ^ d y _ 2: 2y d y ~ 2y
1673
•e-2 . 1 -2 1 r« e2 1 1 e2+l
L = f 2_ t l ^ = (2L + I i n y ) r = -
Ji 2y 4 2 / 12y 4 2 / 1 4 2 4 4
Hallar la longitud del arco de la curva derecha de tractriz
^ ^ r 2 2"
x = -^ a2 - y2 + o ln |———----— | desde y = a hasta y = b (0 < b < c.)
y
Desarrollo

1674
1675
Hallar la longitud de la parte cerrada de la curva 9ay 2 = x(x-'ia )2 .
Desarrollo
9ay2 = x (x -3 a )2 =» — = (x -3 a )2 +2x(x~3a)
dx
10 ¿y o/ o w a dy (x -3 a )(x -a )18ay— = 3(x-3a)(x-a) ; — = ------------------
dx dx 6ay
Como 9ay2 = x(x~3a)2 y=-
(x -3 a)J~x
3[a
Luego ¿ U Í fZ f W? (* )2 = <ÍZ2>!
dx 2alx dx 4ax
Como la curva es simétrica respecto al eje y, se tiene:
Í
L - 2 J 1+(^ y d x = 2 r j l +^ d x
dx Jo V 4ax Jn V 4<3A“to
L = [ a ±±¿dx = -^=(—x2 +2ax2) l “ = 4y¡3a
Jo 'V^ 3 7 o
=2JJo
3a 'u + 2)2
dx
Hallar la longitud del arco de la curva y = ln(ctgh—) desde x = a
a
hasta x = b, (0< a < b)
Desarrollo
1676
, x, v , x ea +e a
y = ln(ctgh—) => e^ = ctg h —= -----------
a a í -~
ea —e “
e a + e a e X + 1
y = ln-----------= ln--------
£ _£ ex - 1
ea —e a
dy _ e x - 1 d (ex +l ex - l (-2ex)
dx ex +1 dx ex —1 ex +1 (ex - 1)2
- f
dx e2x- dx (e2x -Y )2
(*) esta expresión sigue del asterisco.
-e-2x
)dx
= [x + ln(l - e~2x) ¡ h= b - a +ln(l - e~b) - ln(l - e~2b)
/ a
1- e~2b e2b -1 e2a e2b e2a
= b - a +ln------ - = b - a +l n - ----- .— = b - a +l n - ------ + ln^—
l- e - 2fl e2fl- l e2¿ e2a- l e2b
2h _ , 2b _ |
= b - a +ln—----- + lne2a - n e 2b = a - b +ln———
e -1 e -1
Hallar la longitud del arco de la evolvente del circulo x = a(cos t + 1
sen t); y = a (sen t - 1eos t) desde, t = 0 hasta t = T.
Desarrollo

1677
dx
x = a (eos t + 1sen t) => — = at cost
dt
d
y = a (sen t - 1 eos t) =» — = at sen/
dt
L = J(~—)2+(— )2dt = f Va2/2eos2/ + a2t2sen2t dt
J, V dt dt Jo
f T. at2 ,T aT2
= I at dt = ---- / = ------
Jo 2 / o 2
2 2
Hallar la longitud de la evolvente de la elipse x = — eos /; y = — sen /,
a b
í „2 _ 2 . 2-.(c = a —b )
Desarrollo
c 3
y = sen t
b
dy 3c 2
— = -----sen icos/
d/ b
Jo V d t d t
1678
4 2 9 c 2 4 -> , . f 2 » 2 ICOS2 / « T I 2/
tsen t + ——sen tcos'tdt = 41 3c sentcosí.¡^=~~— i-----—a/
¿>2 Jo V a
1-se n 2t sen2t ,
2— +^ ~ dt
2 b2 ,
b~ +(a~-b")sen"t , 6c f 2. /Ti 2~ j
= 41 3c sentcost.----------—;—------------------------------------------------ dt = ----- j I
Jo a2b2 ah Jo
= _ L . Í £ ^ 2 Í ¿ / L J _ , » 2 ^ 2 ,5 _ J _ „ 3
aZ?c 3 / 0 aZ?c
2
:_ í_ (a2)f _ J _ fc3= 4 a l_ 4 ^ = ^ - ¿ » c = ^ (a3-Z>3)
a¿>c abe be ac abe ab
Hallar la longitud de la curva x = a (2 eos t - eos 2t); y = a (2 sen t - sen 2t).
Desarrollo
x = a (2eos t - eos 2t) => x'= a(2sen2t - 2 eos/) => x' = 2a(sen2t —sent)
y = a (2 sen t - sen 2t) => y'= 2a(co sr-co s2/)
Z-= 2 f J (—)2+ (— )2d/ = 2 f J4a2(senlt - sent)2 + 4 a 2(eos / - eos 2t)2dt
Jo V dz dt J 0
= 4a J sen22t-2sent.sen2t+eos2/-2 co s/co s2 / + cos22/ dt
Jo
= 4 a f ^ :
Jo
4sent cos / - 2cos / + 2costsen t dt
o

= 4a í V2 - 2 eost(sen2t + eos2t)dt = 4a f V 2-2costdt
Jü Jo
r_ ñ>¡ _____ _t K - t C” t
= 4a¡2 j l - eos t dt = 4 s ¡2 a I y¡2sen—dt =%a sen—dt
Jo Jo 2 Jo 2
= 8a(-2cos—)/ = -16a(cos7T -cosO) = -16a(0-l) = 16a
2 / o
1679 Hallar la longitud de la primera espiral de la espiral de Arquimides r = a j/.
Desarrollo
dr
Si r = au = > ---- = a
dy/
»0 .--------- f 2n .—---------- *2re .—---------
L= I s r 2 + r ,2dyf = i ¡a2y/ 2 +a2dy/ = a y¡y/2 +ldy/
Ja Jo Jo
=l ~ 1ln!¥ +y¡¥2+1il/
=^(2*V4*2+l +ln|2* +>/4*2+11) •••(*)
= aK¡4n'’ +1 + ^!n ¡2k +[4k2 +1 ¡
1680 Hallar la longitud total de la cardioide r = a (1 + eos |0
Desarrollo
1681
/i a dr
r = a (1 + eos y) => — = -asemif
dy/
como la curva es simétrica con respecto al eje X, la longitud total de la
cardioide es:
¿ - 2 f ¡r2+r '2dr = 2 ^ yja2(l+cosy)2 +a2sen2y/dy/ =2a ¡ y¡2 +2cosy/dy/
Jo Jo Jo
ñK _______
L = 2V2a yfl+cosy/dy/ = 2Í2a %/2cos(—)dyr
Jo Jo 2
r y/ w / 71 tc
= 4a cos— dy/ =4a.2sen(—)/ = 8a.ve/?------SasenO = 8a
Jo 2 2 / 0 2
Hallar la longitud dei arco de la parte de la parábola r = a sec2(—), cortada de
2
la misma por la recta vertical que pasa por el polo.
Desarrollo
2 dr a 2
r = asee (—) => ---- = —sec (—)tg(—)
2 dy/ 2 22
L = 2 ¡ r2 + Á 2dy,
Jo V dy/
= 2j* ‘ ^J a 2 sec4y + a 2see4 Xj . t g 2 ~ d y / = 2 a J 2sec3% ¡d y /
2a[ln tg~- +scc~- +tg•—sec—] / 2 = 2afln |íg —+ see—+tg —.sec —]
2 2 2 2 / 0 4 4 4 4
—2¿z(ln(l + V2)+ V2)

1682
1683
1684
Hallar la longitud del arco de la espiral hiperbólica ri = 1 , desde el punto
(2,i ) hasta el punto ( ^ ,2).
Desarrollo
1 „ 1 1 „
rvj/ = 1 => yr = - para r,= 2 => ¡/= — ;r, = —=* fi =2
r 2 2
1 dr 1
r y = l => r = — => ---- = ----- -
W dyt y/-
l ’ C d v ' / i " I i t "
r, i r,--------2 I ^ , 2 , , 3 + v 5 , yÍ5
= [ln | -y/l+ i/A + -------- ] / , =ln(— — ) + —
y/ / - 2 2
Hallar la longitud del arco de la espiral logarítmica / </<'" mi •0>, que se
encuentra dentro del circulo r = a. -y-
Desarrollo
r = aem - ame”'v
dy/
L= f aemsja +m2dy/ =— en"t>l +ni2 / ' 71 • *
m * »'<
Hallar la longitud del arco de la ciu vn i/' • * i ■ ■ I Ih i m u i = 3 .
f
Dr&lUI ollu
De y/ = —(r + -—) despejamos i • >il«m
2 r
r =y/± -Jy/ 2 -1 como r > 1 se tiene:
=yi+Jy/2-1 de donde ——=1h— — además
d V yjy/2 - 1
l^ = Z (r + - ) para r ,= l , |/, = 1, r2 = 3 , y/, = ^
2 r ’ 3
como
L = [ ¡r2 + ( ^ - ) 2dy/= í 3 ¡(y/ + -Jy/2 - l) 2+(1 + - j ^ = ) 2dy/
Ji¡/, V dyt J¡ y - i
= Í </>+ /y/T^ 7 )2+ ^ l É I l L d y r = f ’ L + dyr
J i y/' -1 Ji y/~ -1
5 5
= pO/'+Vv'2-!) -r~r—dy/ =f3(V'+—X=)dy/
VV7'2-1 1 w 2-1
= i V t V v '2_1+ ~ln IV +'Jy2 “ 1 ll/ 3 porlotanto Z. =
6.3. VOLUM ENES DE CUERPOS SOLIDOS.
© VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN.-
Los volúmenes de los cuerpos engendrados por la revolución de un
trapecio mixtilíneo, limitado por una curva y = f(x), el eje X y dos
verticales x = a, x = b, alrededor de los ejes OX y OY, se expresan
respectivamente por las fórmulas.
Ja
© Vv = [ xy dx
Ja

1685
en el caso mas general, los volúmenes de los cuerpos engendrados por la
rotación de una figura, limitada por las curvas.
>’i - / ] W e y2 = f 2W (siendo /, (x) < f 2(x )).
Y por las rectas x = a, x = b, alrededor de los ejes de coordenadas OX,
OY; serán respectivamente:
r b *b
(>2 - >f >dx y K = 2k I x(y'2 - >'¡)dx
Ja Ja
Hallar el volumen del cuerpo engendrado por la rotación, alrededor del eje OX,
de la superficie limitada por el eje OX y la parábola y = a x - x 2 (a > 0).
Desarrollo
f a o r a , - r
V = n y~dx = n {ax~ x Ydx = n J
Jo Jo Jo
(iax —x ¿Ydx = n I (a2x2 -2 a xi + x*)dx. 3 ^ v.4 ,
^ 3 4 5
a x ax x
:Tí(-------------- -f----
3 2 5 /a
= 7T(-
0
a5 a5 a5 nas_ _
1686
1687
Hallar el volumen del elipsoide, engendrado por la rotación de la elipse
2 2
x y
— + alrededor del eje OX.
a~ b
Desarrollo
2 2 2
~ Z + ~ T ~ 1 ; y 2 = V - ~ ) b 2
a b a~
V
Ca Ca x2 x3h2 I a
= 2n I y2dx = 2n I (1— -)b2dx = 2n(b2x -------- ) /
Jo' Jo a2 3a~ * °
,2 ob x 2=2n ( a b -------) - 0= ----- b
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX la
X
superficie limitada por la catenaria y = a cosh(—), el eje OX, y las rectas x =±a
a
Desarrollo
X X
ea +e a
y = acoshí—) = a.
a 2
2 2x_ _2x
y2 = — (e a +e a +2)
4

1688
1689
» a r a ^ 2 2* _ 2 x
V = 2n I y^dx = 2 n — (e a +e 0 +2 ) d x = ^ —(—e a ——e a +2x) /
Jo Jo 4 2 2 2 /
na a 2 a -2 * a a
— ( - < r — e ¿ + 2a — + - + 0)
2 2 2 2 2
tffl2 fl 2 a -2 - ■ na* , i -2:----- ( _ e — e~ + 2a) = ----- -(e —e +4)
2 2 2 4
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX, la
curva y = sen2x , en el intervalo x = 0 hasta x = jt
Desarrollo
Y <
^
( ^ rivV " .
0 A n X
r 2 r 2 2 r
V = n I y"dx = n (sen x) dx = n I sen x dx
Jo Jo Jo
r (iz c o s i x 2 d x = 1 r
Jo 2 4 Jolo 2
,3x sercx senAx„ ¡ n 3
=n(--------------+ -------- ) / =n(— 0) =
8 4 32 / o8
(1—2cos2x + cos 2x)dx
3n~
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la superficie limitada por la
parábola semicúbica y 2 = x 3, el eje OX y la recta x = 1, alrededor del eje OX.
1690
Desarrollo
</ f' 2 . f ' 3. n xA / ' n n
V = n y dx = n I x~dx = -— - / = ---- 0 = —
Jo ' Jo 4 / o 4 4
Hallar el volumen de! cuerpo engendrado al girar la misma superficie del
problema (1689), alrededor del eje OY.
Desarrollo

1691
1692
Haiíar los volúmenes de los cuerpos engendrados al girar las superficies
limitadas por las líneas y = ex , = 0 ey = 0 alrededor.
a) Del eje OX
Desarrollo
b) Del eje OY
Hallar el volumen del cuerpo engendrado a! girar alrededor del eje OY la parte
de la parábola y 2 = 4ax que intercepta la recta x = a.
Desarrollo
1693
Y
1 2a
¡ C n
......i .......................... :
i / 0 a X
/
✓¡ ✓
i ^
j - - "
i -2a
=2n f V - ( f ) 2» =2*(* =2*2«’ -Jo 4 n SICin / 080/2
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor de la recta x = a, la
parte de la parábola y 2 = 4a x , que se intercepta por la misma recta.
Desarrollo
El volumen de la región cortada al girar alrededor de x = a, es:

1694
V = 2n f (a - x:)( y, - v-,)dx
Ja
Luego para nuestro caso se tiene:
V = 4tt f [a-x)(Í4ax —0)dx = 4n f (a —x)2-Jaxdx
Jo Jo
3 1 5 3 3 1 5
= 8 ^ - ) / " = Sk(2^ ~ - 2 —— )/ “
/ o 3 5 / o3 5
2 2
,to ( 3 ¿ _ í l „ 8T(1 0 ? !z 6 fÍl = S £ V
3 5 15 15
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar, alrededor de la recia y = -p,
la figura limitada por la parábola v2= 2px y por la recta x =
Desarrollo
1695
1696
V = 7T 2[(p +y¡2px)2 -(p -y [2 p x )2]dx = n ' 4p^2px
Jo Jo
dx
3 P
= j t j 2 J 2p x 2pdx = 2n [^(2px)2] j 2 = _°1 =
47T/r
Hallar el volumen del cuerpo engendrado ai girar alrededor del eje OX, la
superficie comprendida entre las parábolas y = .v2 e y = ¡x
Desarrollo
= 7rlJo 2 5 / 0 2 5 10
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girara alrededor del eje OX, el lazo
de la curva (x -4 a )y 2 = a x(x-3 a ).
Desarrollo
(x —4a)y = ax(x-3a)
2 ax(x-3a)
y = -----. Luego:
f 3“ 2j f 3ü= n I y dx = n I
Jo Jo
ax(x-3a)
x —4a
dx
x - 4 a
•3a
10Jo
J 4a*
(ax + a~ H----------)dx
x - 4 a

1697
1698
2 -x
,ÜX 9 i i 1 /j
= ^ (- z - + a * +4« ln(jc-4a))/ = *(— + 4o3ln(-— ))
• o 2 4a
= n ( ~ — 4a3In4) = ^ -(1 5 -1 6 1 n 2 )
2
Hallar el volumen del cuerpo que se engendra al girar la cisoide y2= — —
2a - x
alrededor de su asíntota x = 2a.
Desarrollo
V - 2n (2 a - x)y d x; para nuestro caso por simetría se tiene:
Ja
r 2a IT. /»2a
V = 4n (2 a - x) x - = = d x = 4n j( 2 a - x ) .x jx d x
Jo '2a - x Jo
calculando la integral, completando cuadrados se tiene: V = 2n V 3
Hallar el volumen del paraboloide de revolución, si el radio de su base es R y
su altura es H.
Desarrollo
La ecuación de la parábola es x~ =ky de donde x = yjky cuando x = R,
R2 eb
y = H, luego k = — como: V = n [f(x)]2dx
Ja
1699
Entonces para nuestro caso se tiene:
V = n (^fxy)2dy = K [ ky dy = nk — I -=nk
Jo Jo 2 • o
H t R~como k = —
2 H
H 2 R2 HR
V = n — (— ) = n
2 H 2
Un segmento parabólico recto de base igual a 2a y de altura h gira alrededor de
su base. Determinar el volumen del cuerpo de revolución que se engendra
(“Limón” de Cavalieri).
Desarrollo
4 2
Cuando y =h, x = 2a; Luego k = -^ — como: x" = ky => x = yfky = g (y );
h
por el método de la corteza cilindrica al hacer rotar alrededor de la recta x = h,
• b
se tiene: V = 2t t Í ( k -
Ja
y)g(y)dy, por lo tanto:

f i— - 7- 2-i h16i 4a2
V = 2tc I ( / i - y)y¡ky dy = 2nk2(—hy2 — v2) / = — ^ a /r donde k = ——
Jo 3 5 / o 15 h
1700 Demostrar que el volumen de la parte del cuerpo de revolución, engendrado al
girar la hipérbola equilátera x~ - y 2 = a 2 alrededor del eje OX que
intercepta al plano x = 2a, es igual al volumen de una esfera de radio a.
ñ2a p2a 2
V = ;r i y2dx = n I (x2- a 2)dx = n (xi - a 2x) /
Ja Ja 'a
r,8fl3 3 V 3 2fl3 2fl3 4^03
~3 T ~ " n = « — +~ r ,= —
que es el volumen de una esfera de radio a.
1701 Hallar los volúmenes de los cuerpos engendrados al girar la figura limitada por
un arco de la cicloide x = a (t - sen t), y = a (1 - eos t) y por el eje OX
alrededor de:
a) Del eje OX.
c)Del eje de simetría de la figura.
Desarrollo
b) Del eje OY.
b) Al hacer girar el tubo cilindrico alrededor del eje Y se tiene:
V = 2irjxydx; de donde para x = 0, t = 0 ; x = 2rta, t = 2n
Luego: ^ = 1 Inxy dx = 2/r a(t-sent)a{ 1-
Jo Jo
í
eostY a dt
• 2n
V = 2ira3 I (1-e o sí)2(/ - sent)dt = 6n iai
’o
c) El eje de simetría es x = Tra, y el volumen de este rectángulo rotado
alrededor de la figura es dV = 27i(7ta - x) y dx, de donde:
n
V = f " dV = 2ain f ( n - t +sent)(1
Jo Jo
V = 2<x'n í ( n -
Jo
-eos t)~dt
.3 _ eos 21^ ,
t + sent)(----2cos t H--------- )dt
2 2
V =
na 3(9n2 -16) 2 1+ cos 21; sugerencia: cos" t = -----------
1702 Hallar el volumen dei cuerpo engendrado al girar la astroide x = a eos ’ t ,
_y= asen^t, alrededor del eje OX.
Desarrollo

1703
X
3 3 x 3 3 y
x —a eos t , eos t = —; y = asen t , sen t = —
a a
- - 1 1
eos21 = (—)3, sen2t = (—)3 entonces sen2í + eos2/ = (—)3+ (—)3 = 1
a a
2 2 2 2 2 3
de donde jc3+>,3 = a 3 ; y = (a3-jc3)2
(27rfJo
2 2 3
ÍV) =
105
V = 2(2tc x(a3 - x 3)2dy) =— na2
Hallar el volumen del cuerpo que resulta de la rotación de cardioide
r = a (1 + eos y) alrededor del eje polar.
Desarrollo
27r ^
Como V = — | r send d6 . entonces
V
3Jo
2n r 3 3 27raJ (1+ cosi//)4 / “
= — I «’ (1+ cosi//) íe/¡y/ dy/ = —---------- -■■■■/
3 Jo 3 4 / o
Jo
4
1704 Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la curva r = acos‘ |/
alrededor del eje polar.
Desarrollo
Í tt
La variación de la integral desde y = 0 hasta y/ =
K
luego V
2?r f í 3 , . 47T f:
= 2(— ) (r}seny/ dy/) = —
3 Jo 3 Jo
2a3eos6y/ senyr dy/
V = W cos7y/ p = W = W
3 7 / 0 21 21
1705 Hallar el volumen del obelisco, cuyas bases paralelas son rectángulos de lados
A, B y a, b y la altura es igual a h.
Desarrollo
A

1706
a 9 9
La ecuación de !a recta L: y —- = —— —(x - 0)
A a
~ 2 ~
2 h
A - a a
y = --------- x -i—
2h 2
A
2
La ecuación de la recta L ':
b B - b
a 2h
B - b b
z = ----------x + —
2h 2
-(.v-0)
Área del rectángulo, MNOP es: A = (2y).(2z)
V
= f A dx= f
Jo Jc
* 41 ‘Jo
(2y)(2 z)dx
yzdx = 4 [
( A - a ) ( B - b ) x ( A -a )b x~ ( B -b )a x ab
Ah
+ -
2 Ah 2 A
■at> i I
4 / c
i/ h Ab Ba h , An Ab + aB
V = — (AB H------- + — - + ab) = —(AB + --------------- i- ab)
3 2 2 3 2
Hallar el volumen del cono elíptico recto, cuya base es una elipse de semi -
ejes a y b, y cuya altura es igual h.
Desarrollo
El i - esimo disco elíptico de la figura tiene por volumen dV = rcAB dx,
donde A y B son los semi - ejes.
Luego por semejanza de triángulos se tiene:
A x B X ax bx
—= —, — = — de donde A = — , B = —
a h b h h h
1707
f ha x b x , abn Ch 2 , abn .x3 ¡ h abnh3
V= 7 t — .— dx =— T- x-dx = —^-(— ) / =
J0 h h h~ Jo h 3 / 0 3h¿
V =
abnh
3
1 2
Sobre las cuerdas de la astroide x 3 + y3 = a 3 paralelas al eje OX, se han
construido unos cuadrados, cuyos lados son iguales a las longitudes de las
cuerdas y los planos en que se encuentren son perpendiculares al plano XOY.
Hallar el volumen del cupero que forman estos cuadrados.
Desarrollo
Para el volumen del i - esimo sólido se tiene dV = área base x altura
pero área base = (2a)2 y la altura es dy, luego:

1708
V = 2 f
Jo
p q 2 2 ma 4 2 2 4
V = 8j (a3 —_y3)dy = 8I (a2 —3a3y 3 + 3a3;y3—y 2)dy
Jo Jo
4 2
v 2 9a3 | 9«3 I # " 128 3V =8( a y -----------------------— yJ + ----------y 3) / = ----------
5 7/ o 105
Un círculo deformable se desplaza de tal forma que, uno de los puntos de su
circunferencia descansa sobre el eje OY, el centro describe la elipse
2 2x y .
~¿2 +^ 2 =1, mientras que el plano del círculo es perpendicular al plano XOY,
hallar el volumen del cuerpo engendrado por dicho círculo.
Desarrollo
1709
El volumen de i - esimo disco circular de la figura es dV = n y 2d x ; donde
2 2
iL + Z _ = i
«2 b2
Luego el volumen será cuatro veces el volumen de la región comprendida por
le arco de AB es:
f a r rab ■> ->
V = 4 I dV = 41 n y 2dx = 4 n — (a2- x 2)dx
Jo Jo Jo a"
,b 2 , 2 I . I a 4b2n , 3 8/?V ;r 8Jtab2
= 4 - ( a 2x - x 2)J = — — ( a ^ - a 2) ^ - — — = — — -
a~ • o a" 3a“ 3
El plano de un triangulo móvil permanece perpendicular al diámetro fijo de un
círculo de radio a. La base del triángulo es la cuerda de dicho círculo mientras
que su vértice resbala por una recta paralela al diámetro fijo que se encuentra a
una distancia h del plano del círculo. Hallar el volumen del cuerpo (llamado
conoide) engendrado por el movimiento de este triángulo desde un extremo del
diámetro hasta el otro.
Desarrollo
A = = y.h A(x) = j a 2 - x 2h
2

344
1710
V = J A(x)dx = J la2- x 2hdx = 2 h j ¡a2- x 2dx
i - n — 7
JL + ] / a = 2a 2h(—)
2a a l o 4
aresen
= 2a h[- V =
na'h
-> 2 _ 2
Hallar el volumen de! cuerpo limitado por los cilindros x~ + z - a e
2 2 2
y +z = a ¿.
Desarrollo
2 2 2
Las ecuaciones de los cilindros es: x + z ■—a~
2 2 2
y +Z = a
... (1)
... (2)
de ( 1) se tiene: x = y¡a2 - z 2 ; de (2) se tiene: y = Va2- r
además el área de la sección es: xy, es decir el área = xy = a —z Luego.
a3. 16a3
V = s f (a2 —z2)dz =8(a2z - 4 —) ^ = 8(a3——) -
Jo
plicaciones de la Integral Definida 345
1711
1712
2 2
y zHallar el volumen dei segmento parabólico elíptico----- f-— <x , interceptado
2p 2q
por el plano x = a.
Desarrollo
La sección del sólido determinado por un plano paralelo al plano >'z a una
distancia x del origen, es una elipse cuya área es:
A = n zy como y = yj2px , z = y¡2qx
luego: A = n^2px.^¡2qx = 2nx*Jpq . Por lo tanto:
mo r— a
V = I 2n x jp q dx = 2yfp q 1—■/ = na2Jp q
Jo 2 / 0
Hallar el volumen del cuerpo limitado por el hiperboloide de una hoja
2 2 2
X V z
—------ = 1 ; y losplanos z =0 y z = k.
a b c~
Desarrollo
Para cada valor z en [0,h] se tiene una sección plana elíptica al plano XY
2 2 ,2 2
anotada por la elipse — ■+ el área de la sección plano es = n.
a" b c

1713
x2 y2 c1 +z2
(producto de semi - ejes), como — + = —
a 12 2X = - l c ¿+ Z
y = —yfc2 +Z2
C
r h
luego: V = nxydz
Jo
V = n —>Jc2 + z2 —Ve2+ z2dz = - j - í (c2 + z2)dz
Jo c C c Jo
abn i zJ i h abn , 2, h3, n
= — (c2z + — ) / = — (c A+ — ) = a¿tor(l + —y)
r 2 3 I o c¿ 3 3c
*> 2 7x“ y z
Hallar el volumen del elipsoide — + — + — = 1
a b2 c2
Desarrollo
"> 2 2 2
, x~ y c - z
Una sección plana elíptica al plano xy anotada por la elipse — +— - ,
a b c
se obtiene para cada valor de z en [-c,c] donde el área de dichasección es:
a = n por el producto de sus semi - ejes de la elipse, donde se tiene:
x b
c c
= -yJc2 - z 2 y y = -y jc2 - z 2 luego:
V = J Adz = j —z2■'Je2 - z 2dz = —y - J* (c2 - z 2)dz
nab ^ - nabc
/ - c C 3 Ó D2 ' 3
6.4. AREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCION.-
E1 área de una superficie engendrada por la rotación alrededor del OX, del arco
de una curva regular y = f(x) entre los puntos x = a y x = b, se expresa por la
formula:
Sx = 2j" y ^ - d x = 2;rj* yyjl +y ,2dx ... (1)
donde ds es la diferencial del arco de la curva.
Cuando la ecuación de la curva se da de otra forma, el área de la superficie S x,
se obtiene la formula (1), efectuando los correspondientes cambios de
variables, es decir:
V dy
1714 En la figura se dan las dimensiones de un espejo parabólico AOB. Hallar la
superficie de este espejo.
Desarrollo
sea y 2 = 4px el punto a(a,4a), de donde 16a2 = 4ap entonces p = 4a
por lo tanto y 2 =16ax => y' = 2.
£
i = 2nJ*^ yyJl + y ’2dx = 2n J 4[ax.
4a
1+ — dx = 8na I yfx +4a dx
X Jo

1715
1716
3
= 8ttV^ -X-+*a y ¡ aQ= ~ - ^ [ ( 5 a )2-(4 a)2]= ^ j - a 2(5^5 - 8)
2
Hallar el área de la superficie del “huso” que resulta al girar una semi - onda
de la sinusoide y = sen x, alrededor del eje OX.
Desarrollo
Un arco completo de la curva y = sen x se obtiene haciendo varias x
desde x = 0 hasta x = n como:
A = 2n í ysj + y '2dx = 2n j senx¡ +eos2x dx = 2/r í senxj1+ cos2x dx
Jo Jo Jo
consideremos u = eos x => du = - sen x dx
cuando x = 0, u =1; x = n, u = -l. luego:
A = 2nj* senxJl +cos2x dx = ~Kj >/l + w2(-du) = 2 n j yj +u2du
= 2Jt[—-ju2 +1 + —ln(u +yju2 + 1) ] / = 7t[(uju2 + 1+ln(u +lu2 + 1))]/
2 2 / -i / -i
= 7t[(J2 +ln(l+V2) + y¡2- ln(—1+ V2)] = k( 2^2 + ln^ 1 ) =2 k ( S +In(>/2 + 1))
V2-1
Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación de la parte de
tangentoide y = tg x, comprendida entre x = 0 y x = — alrededor del eje OX.
4
Desarrollo
1717
2 . du ,
sea u = tg x => du —see x dx => —---- = dx
u~ +1
1 ' du
i= 2n j 4tgx-J1+ sec4xdx = 2n I u-J(u
Jo Jo
2 , dz ,
sea z —u +1 => — = u du
2
2+ l)2 +l
u2 +1
. _ f 1 f. 2 7 du . f '/ z " +1 ,
A = 2n I u J (u ~ + lY + l——- = 2 | ---------- dz
Jo u + Ji z
2 . .2
A = 2 n — —— dz efectuando la integral, se tiene:
Ji z
A = n ( S - S - ) +n n ^ ^ -
V5+1
Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación alrededor del eje OX,
del arco de la curva y = e~x comprendido entre x = 0 y x = +°°.
Desarrollo
y = e~x =* y'=-e~x => y'2= e~2x
A = 2J y j l +^ f d x = 2J e~xVi +e~2xdx
sea u= e x => du=e Xd x , para x = 0, u = 1; x = +°°, u = 0
A =2 í e~x¡l + e~2xdx = e f yj +u2du = 2 j* sj +u2da
Jo Ji Jo
=2n(—y¡ +u2 + —ln(M+1 +a2) / = 7T(V2 + ln(l + V2))
2 2 / o

1718 Hallar el área de la superficie (denominada catenoide), engendrada por la
X
rotación e la catenaria y = a cosh — alrededor del eje OX, entre los
a
limites x = 0 y x = a.
Desarrollo
, x dv , x
y = a cosh — => — = senh —
a dxa
A —2*1" y. II +( ~ ) 2dx = 2 n acosh —.1+ senh2—dx
Jo V dx J0 a a
r a x x r a x Ca 2x
A = 2* I a cosh—.cosh—dx = 2an I cosh2—= na (cosh — +1)dx
Jo a a Jo « Jo a
r a , 2x , Ia 2, senh2x na2 , 2-2
= n [a-senh-— +x ]/ =na (--------- + 1) = ------(e~-e +4)
2 a / o 2 4
2 2 2
1719 Hallar el área de la superficie de revolución de la astroide x3 + y 3 = a3
alrededor del eje OY.
Desarrollo
1720
1721
i
12na3 , 12*a2
»2 i
Hallar el área de la superficie de revolución de la curva x = ^ - - —ny y
alrededor del eje OX, comprendida entre y = 1 e y = e.
Desarrollo
-)2dy
a =- K * r)f ¥ ¥ d y =l í , (yí ■2,n^ 2+y!+7*
= —I (------------Xy'+lVfy =— I (y - 2 y ln y - 2 — )dy
4Ji y 4J, y
2, 7 , ? , #£ * .e 4 -2 9 n(e4- 29)
= —(y4- y lny + y - h r y ) / = - ( — ) = ----- -----
4 / i 4 4 16
Hallar el área de la superficie del tuvo engendrado por la rotación del círculo
x 2 +(y - b )2= a2 alrededor del eje OX (b > a).
Desarrollo
Como x 2+ (y -b )2 = a 2 => y= b ± ¡a 2 - x 2
Primero calcula el área ,4, de la superficie engendrado por la rotación del arco
CB, como el arco CB esta definido por la ecuación: y = b +yja2 - x 2 , 0< x < a
de donde

dy - x
d* ¡a2 —X2
A, = 27T j* ( b + a 2 -
Jo
= 2k (b + J a 2 „ , -----
Jo
x2¡1+—T-—-dx2 2a —x
x 2)- dx = 2/r j (
Je 'Ja2
-2a¿arcsen—/ + 2jcclx/ =2abn(arcsen(X)-arcsenQi) + 2na2 = abn2 +2k ü 2
a>o l o
ahora calcularemos el área A2 de la superficie engendrada por la rotación del
arco AB donde el arco AB es definido por la ecuación y =b —yja2 —x2 ;
0< x < a de donde
dy
— -------------
a2- * 2
Ai ~ y^l + (~^-)2dx = 2J (¿-V a2-
= 2 í (b —yja2 - x2) = 2nabaresen—/ - 2 a x l = n 2a b - 2n a 2
Jo yja2 - x 2 0 0 ’ 0
x2)Jl +- ^ j d x
a~ - x
1722
Luego por simetría calcularemos el área A de la superficie del tubo, es decir:
A = 2(A, + A2) = 2[7T2a¿7+ 27T¿r + 7T2ab-27ra2] = 4a¿OT2
-> 0jT y“
Hallar el área de la superficie engendrada al girar la elipse: — + — = 1
a~ b"
alrededor:
1) Del eje OX 2) Del eje OY (a > b)
Desarrollo
X + 2_ = i ^ >’= —Va2- x 2 , parametrizando la ecuación se tiene
a2 b2
x = a eos t, y = b sen t para x = 0, t = —: x = a, t = 0
además: A = 27T í y(t)yj[x'(t)]2 + [y '(/)]'di
Ja
/•O *--------------------------- ^0 i--------------------------
A = 2 tt| bsent^a2sen2i +b2eos21 dt = 2n I bcostyjb2 +{a2 - b 2)sen-t dt
2
•o
= 2nb f eost¡b2 + V(«2- b 2sent)2dt
-> 2uab
haciendo el calculo de la integral se tiene: A = 2^¿" + ———aresenE
I 2 _fo2
donde E =------------en forma similar para la otra parte se obtiene:
x o 2 n b 2 , 1+ E ¿ A V
A = 2na +-----ln------- donde E =
E 1- E a

1723 Hallar el área de !a superficie engendrada al girar uno de los arcos de la
cicloide x = a (t - sent t); y = a (1 - eos t), alrededor:
a) Del eje OX b)
c) De la tangente a la cicloide en su punto superior.
Desarrollo
Y iL
A
2a
s 1 X
( 1 V
1 *
0 na 2na X
= 2-t í y(t)yJ[xX,
Jo
'(.t)f+ [ y W d t
x = a ( t- sen t) =* x'(r) = a(l-cosr)
y = a ( l - c o s t ) => y'(t) = asent
A = 2 x ¡ a(l - eost)>Ja2( Ì - eost)2 +a2sen2tdt =2Jta2 f (l-c o sí^ V l-c o s? dt
Jo Jo
2 t 1-COSÍ . . o 2 f
sen" —= --------- 1- eos t = 2sen —
i "> 2
f 2* . t r 2* t
A = 2na2 2sen2- M M s e n ( - ) d t = 8*«" rc«3
J 0 2 2 Jo 2
= 8*a2( -2 eos- + -e o s3- ) / ^ = 8*o2(2 + = 64^ —
2 3 2 / 0 3 3
1724
2„2b) En forma similar cuando es alrededor del eje Y, de donde A = 16n~a
c) Un arco completo de la cicloide se obtiene haciendo variar t en el
intervalo [0,2ti] y además el punto mas alto es en t = ti puesto que:
dy _ y '(0 _ asent
dx x '(0 a(l-co sí)
dy
Luego la pendiente en t = n es:
dx
tangente es y = 2a.
, por lo tanto la ecuación de la
t=n=0
Luego la distancia del punto p(x,y) déla cicloide a la recta tangente es
(2jta - y) de donde el área pedida es:
A = 2. t Í (2a-y)yJ[xt)]2 +[yXt)]2dt
Jo
de donde al simplificar se tiene:
, o 2 f 2* 2 t t 6na2 3 / r * 7>2na2
A =Una I eos' —sen —di = — ------- e o s —/ = --------
Jo 2 2 3 2/ o 3
Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación alrededor del eje OX
de la Cardioide x = a (2 eos t - eos 2t); y = a (2 sen t - sen 2t).
Desarrollo
x = a (2 eos t - eos 2t) => x - a(-2sent + 2sen2t)
y = a (2 sen t-s e n 2t) => y'= a(2c o s í-2cos2r)
A = 2 ¡ y(t)y¡[x'(t)]2 +[yt)]2dt
Jo

l*Æ
i= AKyfla2 I
Jo
lisent ~ sent eos t)¡ -eos.' dt = 8nÍ2a2
Jo
(1-c o st)2sent dt
. 16 R -1/, sí /" 1/5A = — v 2wa“(l-co sí)2 / = — na
5 / o 5
« 128 2
1725 Hallar el área de la superficie engendrada al girar la Lemiscata r2= a ° cos2|/
alrededor del eje polar.
Desarrollo
7T
>= 47M 4
Jo
, , a"sen~2y ,
eos lysen y ^a " eos 2i/a+ — — ----- d y
f 4 t y¡2
A = 47r«J 4aseny d y = -Ana2cosy J 4 = -4;ra2[-^ --l] = 2(l--V2);ra
1726 Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación de la
cardioide r = 2a (1 + eos y) alrededor del eje polar.
Desarrollo
Se tiene: A = 2n I rseny Ir2 +( - ^ ) 2d y- 2, 1 ' ,
Jo
A = 2;r | 2a(l +eos y )senyy¡4a2(1+ eos i//)2+4a2sen2y d y
Jo
A = 8;rfl2 [ (l +cosy)senyyJl +2cosy +COS2 y +sen2y d y
Jo
= 8^rt2 l seny( 1+ eos y )Í2 + cosy d y
Jo
5
K ^ ~
=Sna2Í2 j (1+ + COSI//)2seny d y = -%Jta2¡2 ■/
Jo / o
5
16 /t 2.. a I n . 1287ra
A = -----[2n a 2(l +co sy)1 1 A = -
6.5. M OM ENTO S, CENTROS DE G RAVEDAD, TEO REM AS
DE GULDIN.
0 MOMENTO ESTÁTICO.-
Se llama momento estático de un punto material A, de masas m, situado a una
distancia d, del eje 1, con respecto a este mismo eje 1, a la magnitud
M, = md .
Se denomina momento estático de un sistema de n - puntos materiales, de
masas m], m2 ,..., mn situados en el mismo plano que el eje 1, con respecto al
cual se toman y separados de el por la distancias dx, d2,..., dn la suma es:
M x = 2 ^ m idi ...(a)
i=i

debiendo tomarse la distancia de los puntos que se encuentran a un lado del eje
1, con signo mas (+), y los que están al otro lado con signo menos (-), en forma
similar se determina el momento estático de un sistema de puntos con respecto
a un plano. Si la masa ocupa continuamente toda una línea o una figura del
plano XOY, los momentos estáticos M x y M y , respecto a los ejes de
coordenadas OX y OY en lugar de la suma (oc), se expresa por las
correspondientes integrales.
Cuando se trata e figuras geométricas, la densidad se considera igual a la
unidad en particular:
© Para la curva x = x(s); y = y(s), donde el parámetro s es la longitud del
arco, tenemos:
donde ds = ](dx)2 + (dy)2 es la diferencial del arco.
© Para una figura plana, limitada por la curva y = y(x), el eje OX y dos
verticales x = a e y = b, obtenemos:
M x My =
© MOMENTO DE INERCIA.-
Se llama momento de inercia, respecto a un eje 1, de punto material de masa m,
situado a una distancia d, de dicho eje 1, a un número I¡ = >nd2 . Se denomina
momento de inercia a un eje 1 de un sistema de n puntos materiales, de masa
m ¡, m2, •••, mn a la suma:
donde d{, d2, ..., dn son las distancias desde los puntos al eje 1, cuando la
masa es continua en lugar de la suma, obtendremos la integral correspondiente.
© CENTRO DE GRAVEDAD.-
Las coordenadas del centro de gravedad de una figura plana (ya sea arco o
superficie) de masa M, se calcular por la formula:
- M y - M x
M ' y M
donde M x, M y son los momentos estáticos de las masas, cuando se trata de
figuras geométricas, la masa M es numéricamente igual al correspondiente arco
o al área. Para las coordenadas del centro de gravedad (X,Y) de un arco
de curva plana y = f(x), (a < x < b), que une los puntos A(a), f(a) y B(b),
f(b) tenemos:
í -*■ds f xyjl +(y')~dx { y d s f }’J+(y')2dx
_ *A____ J a __________ y —Ja J a _________
s " ' " 5 ‘ J T
Ja Ja
n + ( y T d x
Las coordenadas del centro de gravedad (X ,7) del trapecio mixtilíneo
a < x < b , 0< y < f(x) se puede calcular por las fórmulas:
J y * y Í
Tb
y 2dx
a
s S

4
1727
donde ds = I y dx es el área de la figura.
Ja
En forma similar se emplea para hallar las coordenadas del centro de gravedad
de los cuerpos sólidos.
TEOREMA DE GULDIN.-
TEOREMA 1.- El área de la superficie engendrada por la rotación del arco de
una curva plana alrededor de un eje situado en el mismo
plano que la curva, pero que no se corta con ella, es igual al producto de la
longitud de dichos arcos por la longitud de la circunferencia que describe el
centro de gravedad del mismo.
TEOREMA 2.- El volumen del cuerpo engendrado por la rotación de una
figura plana alrededor de un eje, situado en el mismo plano
que la figura, pero que no se corte con ella, es igual al producto del área de
dicha figura por la longitud de la circunferencia que describe el centro de
gravedad de la misma.
Hallar los momentos estáticos, respecto a los ejes de coordenados, del
segmento de la línea recta.
Desarrollo
x y
—+ —= 1 , comprendidos entre dichos ejes de coordenados
a b
Los momentos estáticos respecto a los ejes coordenados es:
u - ‘ 1 yí * W dx • "•=i xf ^ W dy
X y b / „ dy b
como —+ —= 1 =» y = - ( a - x ) , — = -----
a b a dx a
1728
Ai,
Jo a V a2 a 2 2 / o
byja2 + u2
M. = - " t - - [0 - a 2]
b'Ja2 + b 2
2a
M
M
)2dy, donde x = - ( b - y ) =>
b
=I t a U b 1 <b ~ y)
dy b
Í/ c2 / o
a-ja2 + b 2
Ib2
Hallar los momentos estáticos del rectángulo de lados a y b, respecto a estos
mismos lados.
Desarrollo
Y
x = a
b
0 a X
y = a
fJo
a2b
Para el eje y = b, se tiene: Mb =1 bxdx =
rb ab2
Para el eje x = a se tiene: M a = I ay dy = -----
Jo 2
Luego los momentos estáticos respecto a los ejes x e y respectivamente son:

1729
1730
M a b M ab
Hallar los momentos estáticos respecto a los ejes OX y OY y las coordenadas
del centro de gravedad x + y = a, x = 0, y = 0.
Desarrollo
r
Area = A = I (a
Jo
Af _ f°
J Jo
x(a-x)dx = a6 y — = I y(a-y)dy = a
x Jo
Para encontrar x = , y = —1 donde M es la masa y para este caso, M
M M
- Ai, M v — — a
es el área; es decir: M = A luego x = ——, y = —— de donde x = y =— y
A A 3
los momentos estáticos
M M a
x y 6
Hallar los momentos estáticos respecto a los ejes OX y OY y las coordenadas
2 2 2
del centro de gravedad del arco de la astroide: x 3+ y 3 =-a3 situado en el
primer cuadrante.
Desarrollo
I I I l 1 1 dy ( J
x 3+ y 3 = a 3; v = (a3 - J r3)3 derivando — = --------- ------- se sabe que
dx i
*3
íJo
1 1 1
M x = (a3 —,*3)2
/o
2 2
1+ - -dx
■I
. 2 2 3 1
(a3- a 3)2(—)3dx = —a2
x 5
realizando el mismo procedimiento se obtiene:
M , las coordenadas del centro de gmvedad son:
- M - M
x = — - , y = —- , donde M es la masa total para nuestro caso, para el arco
M ' M
2 2 2
vade (0,a) y (a,0) de la curva: x3+ y3 = a 3 nos piden hallar (x, y) , como
i _I
dx = a '.V :'d x .
i i
3a
l—I a3x 3dx = ~ a Luego: x = -~ —= ^ a en forma similar y = ^ a
Jo A 5
2a

1731 Hallar el momento estático de la circunferencia r = 2a sen 0, respecto al eje
polar.
Desarrollo
M =A =
fiJT a/j jr
= 2a2 (l-cos20)dfl = 2a2( Q ) / = 2a2(n -0) = 2a2n
Jo 2 / o
Hallar las coordenadas del centro de gravedad del arco de la catenaria
y = acosh— comprendido entre x = -a y x = a.
a
Desarrollo
1732
1733
r a x ¡a
Sea L = longitud del arco indicado = I ds = asenh — /
J-a a! -a
L = a senh (1) - a senh (-1) = 2a senh (1)
M x = í yds= í acosh2 *dx = a (cosh — +)dx
J ~a j ~a d J —q a
M x = a(—senh — +x) / =[(—senh2 +a ) - ( —senh(-2)-a)]
2 a • -a 2 2
M x = a(asenh(2)+ 2a) = a2(2 +senh(2))
pa
M = I xds = I xcosh--dx= (axsenh — a 2cosh—) /
J-a J-a « a a / -a
M y = (a2senh() - a2 co sh (l)-(-a2ien /j(-l)-o 2cosh(-l))
M y = a2(senh() - cosh(l) + senh(-1) + cosh(-l)) = 0
. ~ M y 0 - Ma2(2 +senh(2))
luego: x = —- = — ——— = 0 ;y = —- = — --- ----------------
L 2asenh(l) ' L 2asenh(X)
- _ a(2 +senh(2)) - - _ a(2 +senh(2))
2senh(l) ’ 2senh()
Hallar el centro de gravedad del arco de circunferencia de radio a, que subtiene
el ángulo 2a.
Desarrollo
Si x coincide con al abscisa del centro de gravedad de la mitad superior e
— . dx y dx 2 a2
y = 0 , tenemos: Si — = — , y, l + (— )= —
dy x dy x

1734
Puesto que x 2 + y 2 = a2 para la mitad superior del arco se tiene: S = T - a.
íJo
dr {aserta
aax | x</l + (— )2dy = a j dy
dy
a a x - a sena
- aseria
x =-----—
a
Por lo tanto el centro de gravedad esta sobre la bisectriz a una distancia
sena
a.------ del centro de la circunferencia. Entonces el centro de gravedad del
a
arco de circunferencia esta:
Hallar las coordenadas del centro de gravedad del primer cado de la
cicloide: x = a (t - sen tj, y = a (1 - eos t).
Desarrollo
Se conoce que ds = j(dx)2 +(dy)2 = asen Xdt puesto que
(dx)2 - a2(l-eos t)2(dt)2 => (dy)2 = a2sen2t(dt)2
yj(dx)2 + (dy)2 = íj^/(1-cosí)2 +sen2t dt = aÍ2yfl-cost dt = lasen —dt
[ 2iz [ 2k
= J d s = :
Jo Jo
t t ! 2k
lasen—dt = —4a eos —/ =8a
2 / o
1735
*2n j *2x i
M x = I yds= I a(-cost)lasen—dt= 4a2 sen3(—)dt
Jo Jo 2 J0
32
M x = — a2 en forma similar para M y = 8a zJt.
Luego el centro de gravedad es:
31a2
- M 8a2n - M 3 4 ---- 4
x = - + =— — = a n ; y = - ± =—2— = - a => (x,y) = (a n ,-a )
L Sa L Sa 3 3
Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por la
2 2
x y
elipse — + — = 1 y por lo ejes de coordenadas OX y OY: (x > 0, y > 0 )
a~ b'
(0 < t < 2k).
Desarrollo

1736
M X = f y f ( y ) d y = f ^-yyjb2 - y 2dy = ^ ~
J a J O & 3
Las coordenadas del centro de gravedad son: x = ——= — ; y = = —
M 3n M 3n
Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por las
curvas y = x 2, y = [jt .
Desarrollo
A- =
y
1
' fx +x2 f~ 2 3
---------(y¡x-x-)dx = —
o 2 20
— M — M — g
y = ~ rr i x - —— '■luego: y = - ~ =—
M M
para x se tiene
: A~x~J X<^~X~x2)dx
A 3 - 9 I - - 9A- = — => x = — ; Luego: x = y =—
1 20 20 20
1737 Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por el
primer arco de la cicloide x = a (t - sen t), y = a (1 - eos t) y por el eje OX.
Desarrollo
x = a (t - sen t), y = a (1 - eos t)
r»¿> pina
M
f f
= J ydx = J ydx, (0,0) si t = 0, (2rca,0) si t = 2ji
Ahora encontrando el área se tiene:
.2n
M = f ydx = f
Jo Je
1k pin
a(1- cos t)a(1- eos t)dt = a2 I (1- eos t)2dt
o Jo
M = 3a n, ahora calcularemos M x, M y
M.
M
4 i :
=f x f (x)dx = f
J a Je
r 2
=a3fJo
a2(1- eos í)2fl(l~ eos t)dt
3 p2n c _3_,, . 3 . 5a tí
(1-co s/) dt = ------
b fin
x f(x)dx = I a(t-sent)a(-eos t)a(l-eos t)dt
o
(t - sent)( —cost)2dt =3Jt2a3

1738
5ain
- _ M v 3a'n- - M 2 ' 5 - - 5
x - - ¡ r r ~ - — Y ~ n a ' y ~~Tr~~TT~ = 7 a ( x ,y ) -(n a ,-a )
M 3na M 3a n 6 6
Hallar el centro de gravedad del hemisferio de radio a con el centro en el
origen de coordenadas sobre el plano XOY.
Desarrollo
Se conoce que ds = 2nr dz, donde r = a por hipótesis y dz es la altura de la
2k f azdz
zona esférica. z = — —--------= — I z d z - —
l ú a 1 a Jo 2
como x = y = 0 => el centro de gravedad es (0,0,—)
2
1739 Hallar el centro de gravedad de un cono circular recto homogéneo, si el radio
de la base es r y la altura es h.
Desarrollo
1740
Por simetría se tiene que el centro de gravedad se encuentra en el eje Y; luego:
jc=z = 0
Calcularemos M xz = momento estático del cono, respecto del plano XZ. El
disco de la figura de base paralelo al plano XZ., tiene volumen dv = na~dy,
r
■donde el radio a, por semejanza de triangulo se tiene: a = —(h-y)-, Luego
h
ñ h 2 p h _ 2 » 2
. _ f . 7ir f . 2 j h
tenemos que: M xz = ydv = —— I y ( n - y ) ay =-
' J o h' Jo
- h ,, n r2h
12
Luego y =—— = — puesto que V =
y 4 3
3
Luego el centro de gravedad esta a la distancia de a partir de la base del
cono.
Hallar el centro de gravedad del hemisferio de una bola homogénea de radio a,
con el centro en el origen de coordenadas situado sobre el plano XOY.
Desarrollo
Determinaremos z para esto se tiene lo siguiente: la masa de una de las caras
elementales (dividido el hemisferio) por medio de planos paralelos se tiene:
dm = Pnr2dz , donde P es la densidad, z la distancia entre el plano secante y
la base del hemisferio, r = s]a2 - z2 , el radio de la sección, tenemos:
n f («2-
Jo
z2)dz 3
z = ----------------= —a ; Luego por simetría se tiene: x = y = 0
2-„3 8—na
3
3
El centro de gravedad es: C.G. = (0,0, - a)

1741
1742
Hallar el momento de inercia de una circunferencia de radio a, respecto a su
propio diámetro.
Desarrollo
r 2 I 7 v7
Se conoce que: 7 = 41 y .11+ (— y dx
Jo V dx
Donde la ecuación de la circunferencia de radio a, es:
2 2 2 2 2 2 dy X
X +y =a => y = a —x y — = —
dx y
, ‘ 4l (a2~ x2)i + 7 dx
=4 f CJo
2 je2dx
n
fJo
, ^ 3 I 2 2 /1 .« . 3 , 0 send.cosd ¡ K , . 3 .* . 3
/ = 4a I eos 0¿0= 4a (—+ ------------- ) / =» I = 2a (—) = Ka
2 2 / 0 2
Hallar el momento de inercia de un rectángulo de lados a y b, respecto a estos
lados: Ia , l h .
Desarrollo
Se conoce que / = I r dm
I '
/a = T y2dm = a f y2dy / ' = -
Jo Jo 3 ' o
rJo
dm dy
I, = I x“í/m, donde dm = b dx
fJo
4 = 1 xAbdx = b^ l o =* 4 =
¿o 1
1743 Hallar el momento de inercia de un segmento parabólico recto, respecto a su
eje de simetría si la base es 2b y la altura es h.
Desarrollo
_ 4hb3
15
1744 Hallar el momento de inercia de la superficie de la elipse —- + — = 1,
a b
respecto a sus ejes principales.
Desarrollo
De acuerdo a la figura, el momento de inercia del tubo cilindrico generado por
rotación alrededor del eje X, del rectángulo R de la figura que tiene por base
dy, y altura 2x.
Es decir: dla = y 2dv = y 1(2ny)(2x)dy
dla =4ny3xdx Luego Ia = I dla = 4n I y'xdy
Jo Jo
para esto paramétrizamos haciendo:
»ft
x = a eos t, y = b sen t; Ia =4 n b3sen3t.aeos íi>eos t dt
Jo

1745
1746
n n
Ia = 4 rtab4 I “sen?t eos2/ dt = 4nab4 I "(1- eos21)eos2t.sent dt
Jo Jo
, 4. cos3í cos5r / r 8nab4 . .
- 4nab (--------- + --------)/ = --------- en forma similar para el otro caso.
3 5 / o 15
Hallar el momento polar de inercia de un anillo circular de radios /?, y R2
(Rl < R2), es decir el momento de inercia respecto al eje que pasa por el
centro del anillo y es perpendicular el plano del mismo.
Desarrollo
Dividimos el anillo, en anillos elementales concéntricos, donde la masa de cada
uno de estos anillos será dm = r 2r k dr y el momento de inercia es:
C 4 R jr
I = 2n r'd r , donde r = l entonces I = 2n.— / 2= —(R%-R ?)
Jr, 4 / r, 2 21
Hallar el momento de inercia de un cono circular recto homogéneo, respecto a
su eje, si el radio de la base es R, y la altura es H.
Desarrollo
Dividimos en una serie de tubos cilindricos elementales paralelos al eje del
cono.
El volumen de uno de estos tubos elementales será dv = 2rtrhr dr, donde r es el
radio del tubo; es decir la distancia hasta el eje del cono.
r
h = H( 1----- ) es la altura del tubo, en este caso el momento de inercia es:
R
r R
/ = r I 2 n H ( - - ) r 'd r
Jo ^
calculando la integral se tiene: I = — —— donde r es la densidad del cono.
1747 Hallar el momento de inercia de una bola homogénea de radio a y masa M,
respecto a su diámetro.
Desarrollo
Escogemos un disco delgado paralelo al plano XZ y suponiendo que la
densidad es P, el momento de inercia de un disco delgado de radio x, respecto
al eje Y es ~ x 2 para hallar el momento de inercia I y de toda la esfera se
suman los momentos individuales que acabamos de hallar en donde:
dM = Pdv = Pnx2dy entonces í v = -(P n x 2dy)x2 =—Px4dy
y 2 2
La ecuación de la sección de la esfera en el plano XY (circulo) es
x 2 + y 2 = R2, donde R = a.
Luego: /„ = — f (o2- y2)dy = — nPR5 como la masa es m = —n a 3P ;
* Z J-a 15 3
4 - 2a2 2 7 2 ■>
se tiene: I„ = (-tta P -----) = -M a Respuesta: I = - M a ~
y 3 5 5 -v 5

1748
1749
1750
Hallar el área y el volumen de un tubo engendrado por la revolución de un
círculo de radio a, alrededor de un eje situado en el mismo plano que el círculo
y que se encuentra a una distancia b (b > a) del centro de este.
Desarrollo
V = 2it2a 2b; S = 4 n 2ab
a) Determinar la posición del centro de gravedad del arco de la astroide
2 2 2
x3+ y 3 = a 3 situado en el primer cuadrante.
b) Hallar el centro de gravedad de la figura limitada por la curvas:
y 2 = 2px y x 2= 2py .
Desarrollo
„ - - 2a - - 9p
a) x =
j* xdx J x,]+ y '1dx j" xJl +(—)3dx
f + y'2dx f y¡l + y'2dx
J a JO
3 f / ‘
- 5* / o2a . , - — 2a
x = ——-—- = — ; luego por simetría se tiene: x = y = —
3 - . a 5 5
72 / o
b) En forma similar el caso desarrollado de a)
a) Hallar el centro de gravedad del semicírculo, aplicando el teorema de
guldin.
b) Demostrar aplicando el teorema de guldin que es el centro de gravedad de
un triangulo dista de su base a un tercio de la altura.
Desarrollo
a) Al girar la figura genera un cono cuyo
4n 3
volumen es: V = — R según el
teorema de guldin el producto del área de
dicha figura por la longitud de la
circunferencia que describe el centro de
gravedad, es igual al volumen entonces:
Área de la circunferencia =
rcR¿
; longitud de la circunferencia = 2n y
comparando y efectuando se tiene: ^ (2n y) = —JtR3
, . , - 4R , írs4R
de donde y = — por lo tanto (0,-—)
3tt 3/r
b) Al girar el triangulo alrededor de su base genera un cono cuyo volumen
Jtbh2
es: V = ------- donde b es la base y h es la altura del triangulo, según el
teorema de guldin este mismo volumen seria: V = 2 donde x es
la distancia del centro de gravedad a la base, luego comprobando se tiene:
„ bhx„ nbh" - h
2 t t ( ———) = — - — => x - —
2 3 3
6.6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA A LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS DE FISICA.
(T ) TRAYECTORIA RECORRIDA POR UN PUNTO.-
Si un punto se mueve sobre una curva y el valor absoluto de su velocidad
v = f(t) es una función conocida del tiempo t, el espacio recorrido por dicho
punto en un intervalo de tiempo [tl,t2 ser igual a:

- f
© TRABAJO DE UNA FUERZA.-
Si una fuerza variable x = f(x) actúa en la dirección del eje OX, el trabajo de
esta fuerza es el segmento [x¡,x2] será igual a:
A =
© ENERGIA CINETICA.-
Se da el nombre de energía cinética de un punto material, de masa m y
velocidad v, a la siguiente expresión:
r
f(x)dx
La energía cinética de un sistema de n puntos materiales de masas m¡ , m2,...,
mn , cuyas velocidades respectivas sean v¡, v2,..., v„ es igual a:
Para calcular la energía cinética de un cuerpo, hay que dividirlos
convenientemente en partes elementales (que juegan el papel de puntos
materiales) y después, sumando la energía cinética de estas partes, y pasando a
limites, en lugar de la suma (1) se obtendrá la correspondiente integral.
© PRESION DE LOS LIQUIDOS.-
Para calcular la fuerza con que presionan los líquidos se emplea la ley de
pascal, según la cual, la presión que ejercen los líquidos sobre una área s
sumergía a una profundidad h es igual a: p = yhs, donde y es el peso especifico
del liquido.
1751
1752
La velocidad de un cuerpo, lanzado hacia arriba verticalmente con una
velocidad inicial v0 , despreciando la resistencia del aire, se expresa por la
formula: v = v0 - g t , donde t es el tiempo transcurrido y g es la aceleración de
la gravedad, a que distancia de la posición inicial se encontrara este cuerpo a
los t seg. de haberlo lanzado?
Desarrollo
datos:
v = v0 - g t
t = tiempo
g = aceleración de la gravedad
cálculo de la distancia recorrida a los t seg.
ds
v « - = v0 - s , => f'(v0 -
Jo Jo
gt)dt
s = v0t - g -
La velocidad de un cuerpo, lanzado verticalmente hacia arriba con una
velocidad inicial v0, contando la resistencia del aire, se expresa por la fórmula
v = cJg(~—y +arctg —) donde t es la tiempo transcurrido, g es la aceleración
c c
de la gravedad y c es una constante, hallar la altura a que se eleva el cuerpo.
Desarrollo
datos:
v = c/g(-g - + arctg(— ))
t = tiempo
c = constante
g = gravedad

dh , t v0
v = — = clg (-g - + arctg — )
dt c c
f dh= f [c.tg(-g- +arctg — ))dt
Jo Jo c c
h = ~ — ln|sec(-g —+arctg— )| /
g c c > o
2 2 2
h = ln | see(-g —+ arctg — | + — ln(l + -y )
g C c g C¿
2 2 2 2 2 2
h = -h +— ln(l+ ^-) => 2h = — ln(l + ^ -) de donde h = — ln(l + ^ -)
g e 2 g e - 2g e
1753 Un punto del eje OX vibra armónicamente alrededor del origen de coordenadas
con una velocidad que viene dada por la fórmula v = v0 cosco?, donde t es el
tiempo y v0 y co son unas constantes, hallar la ley de la vibración del punto, si
para t = 0, tenia una abscisa x = 0. a que será igual el valor medio de la
magnitud absoluta de la velocidad del punto durante el periodo de la vibración.
Desarrollo
v = v0coscor, t = 0, x = 0
a) calculo de la ley de vibración del punto.
v = — = v0cos©í => dx = v0cos(ütdt
vncos cotd t , de donde x = — sencot / =— sencüt
(0 1 0 0)
Vq
x = — sencot
(O
1754
1755
La velocidad del movimiento de un punto es: v = te~°mu . hallar el
seg
camino recorrido por dicho punto desde que comenzó a moverse hasta que paro
por completo.
Desarrollo
dato: v = te~°'ou
calculo del camino recorrido por un punto desde que comenzó hasta que paro.
ds -oon • . r , f ' -ooir e“° ol'(0.01f - l ) / '
v = — = te , integrando I ds = I te dt = ----------------------/
dt Jo Jo (0.01)2 / o
_ g-0-01' (1- 0.0ir)
0.0001
el punto para que se pare por completo es cuando v = 0 => t = 0.
para t = 0, s = — -m = 04m s = 104m
(íor4
Un proyectil cohete se levanta verticalmente, suponiendo que, siendo constante
la fuerza de arrastre, la aceleración del cohete aumenta a causa e la
disminución de su pero según la ley: j =------- , (a - bt > 0). hallar la longitud
a - b t
del cohete en cualquier instante t, si su velocidad inicial es igual a cero, hallar
también la altura que alcanza el cohete en el instante t = tx.
Desarrollo
a) Calculo de la velocidad del cohete:
Datos: v0 =0 ; j = ------- » a - b t > 0
a -b t
dv A , A dt
j= — = ------- => dv = -
dt a - b t a -b t

1756
f v f' Adt A , x /'
I dv = I ------- => v = ------ln(a-bt) I
Jo Jo a - b t b / o
A A A a A , a
v = ----n(a-bt) +—lna = —ln(-------------------------------------------------- )v= —ln(---- —)
b b b a - b t b a -b t
b) Calculo de la altura en el instante t.
— = v = —ln(—-—) = —ln a - —n(a-bt) => ds = -(n a -n (a -b t))d t
dt b a -b t b b b
f ds = — f (ln a - ln(a - bt))dt
Jo b Jo
s = —[/ ln a - 1ln(a-b t) + 1 +—ln(a - bt)]/
b b I o
= Ar [bt ln a - bt ln(a - bt) +bt +a ln(a-b t)] l
h2 l o
s
b
s = — (bt ln a - bt ln(a - bt) + bt + a ln(a - bt) - a ln a)
b2
s = -4-(bt - (a - bt) ln a + (a - bt) ln(a - bt))
b2
s = Ar(bt +(a - b t) ln(a ■- -)) s = A r ( b t- ( a - b t) ln( ■))
fe2 a a - ¿ í
Calcular el trabajo necesario para sacar agua que hay en una cuba cilindrica
vertical, que tiene un radio de base R y una altura H.
Desarrollo
1757
T c o - F d s = E „
H
E p - mgh , y =
yv
mg
m = — donde y = peso especifico
g
V = itR~H , derivando se tiene:
dV = nR dh
dEp = d (mgh)
calculando dm:
yv , dv
m ~ — => dm - y —
8 8
(1)
... (2)
ahora (1) en (2) se tiene: dm = yrcR — y dE = (ynR-— )gh
Jo Jo
ghdh - ynR2 I hdh
ch
i 1Jo
yrrR2H 2 JtyR2H 2
t =----------- pero E = a) por lo tanto co = —---------
Calcular el trabajo necesario para sacar el agua que hay en un recipiente
cónico, con el vértice hacia abajo, cuyo radio de la base es R y la altura H.
Desarrollo

Ep = F d s =m
donde to = trabajo
mg yv
Y = — => m = ——
v 8
(1)
y = peso especifico
1 o
V =—n r H
3
dV = —Jtr2dh
3
dm = y
dv
yjcr
reemplazando (2) en (3) se tiene: dm =------dh
3g
E„ = mgh => dE = d(mgh)
f M "Jo Jo
jKr
~3g
Rh
(gh)dh , ahora cambio de r a R
h R
—= — => r =
r H H
Ep = g ~ h A 2h2dh Ep =-
Ó Jo /2 3// Jo 12
■(2)
.(3)
. _ ^ / /
p 12
1758
1759
Calcular el trabajo necesario para sacar el agua de una caldera semiesférica,
que tiene un radio R = 10 m.
Desarrollo
0 R
dm<T_ x
X
X'
/ dx
r
El disco comprendido entre x y x + dx
tiene un volumen.
dV = tiy2dx = n(R2 - x 2)dx
La fuerza F requerida para bombear
el agua de este dV es igual a su peso.
pdV = pn(R2 - x 2)dx
La distancia en el cual actúa esta fuerza es:
—> —>
[x, x+dx] => dW = F .d r = pn(R2 - x2)xd x, integrando en ambos miembros:
f “ f * R 2x 2 x 4
I dco = I pn(R 2 - x 2)xdx = Pn (—1------------) /
Jo Jo 2 4 * o
jzR
(ú = p
-
= (0.79)103xl O4 , siendo p el peso de 1 dmi de agua
4
/. (0= 0.79JtlO7k g - f Im
Calcular el trabajo necesario para sacar, por el orificio superior, el aceite
contenido en una cisterna de forma cilindrica con el eje horizontal, si el peso
especifico del aceite es y, la longitud de la cisterna H, y el radio de la base R.
Desarrollo

386 Eduardo Espinola Ramos
m 8 Y v / i
y = — => m = — ... (1)
H
..(2)
.. (3)
... (4)
Ep = co= mgh dcü = d(gmh)
Jo Jo. ÍJo
dh (ù= ynR H
1760 Que trabajo hay que realizar para levantar un cuerpo de masa m, de la
superficie de la tierra, cuyo radio es R, a una altura h?. A que será igual este
trabajo si hay que expulsar el cuerpo al infinito.
■
Desarrollo
Según la ley de gravitación universal, la fuerza F que ejerce la tierra un cuerpo
, , „ mM
de masa m esta dado por: F = y — —
R2
donde y = constante de gravitación
M = masa de la tierra, m = masa de un cuerpo cualquiera
R = radio de la tierra
w
CR^h mM mM / R+h
-J. ^ dR- y^ L
w - y m M ( - ------ -—)
' R R +h
i
... (1)
como la fuerza atracción es igual peso (mg)
1761
1762
mM gR2
=* m8 = y — r =>v = - r r - (2)R- M
de (2) en (1) se tiene: W = gm~- si hay que expulsar el cuerpo al infinito h->°°
1+ -
R
mM
w= y-----
R
Dos cargas eléctricas e0 = 100 CGSE y e¡ = 200 CGSE, se encuentran en el
eje OX en los puntos xQ= 0 , xi = 1 cm , respectivamente. ¿Que trabajo se
realizara si la segunda carga se traslada al punto x2 = 10 cm ?
Desarrollo
£ c
La fuerza de acción mutua de las cargas será F = dinas, por consiguiente,
x
el trabajo necesario para trasladar la carga e, desde el punto xx al punto x2
C*2dx .1 1 . . o ,ft4, -T = e0e¡(---------) = l.8.d 0 ergios
Jx, JC2 x, X2
»v^I.SaIO4 ergios
Un cilindro con un embolo móvil, de diámetro D = 20 cm., y de longitud
i = 80 cm., esta lleno de vapor a una presión de p -1 0 kgf Icm2. ¿Qué trabajo
hace falta realizar para disminuir el volumen del vapor en dos veces si la
temperatura es constante (proceso isotérmico)?
Desarrollo
Para el proceso isotérmico pv = p0v0. El trabajo realizado en al expresión del
gas desde el volumen v0 hasta el volumen v, es igual a:
v
w= I pdv= p0v0ln— = 800*ln2 kgf / m . w = 800jtln2 kgf/m
JV2 vo
sera: w = e0et

1763
1764
Determinar el trabajo realizado en la expresión adiabática del aire, hasta ocupar
en volumen v ,= 10m3, si el volumen inicial es v0= 1 m3 y la presión
p0 =1 kgf/cm2 .
Desarrollo
Para el proceso adiabático es valida la ley de Paisson pvk = p 0Vq , donde k =
1.4, de donde: [ l - ^ - 1]
Jj2 k k - 1 V[
de donde al reemplazar sus valores se tiene: w = 15,000 kg - f / m
Un árbol vertical, de peso P y radio a, se apoya en una zanja AB la fricción
entre una parte pequeña o de la base del árbol y la superficie del apoyo que esta
en contacto con ella es igual a F = upo donde p = constante es la presión del
árbol sobre la superficie del apoyo, referida a la unidad de superficie del mismo
, y u es el coeficiente de función. Hallar el trabajo de la fuerza de fricción en
una revolución del árbol.
Si a es el radio de la base del árbol, la presión s sobre la unidad de superficie de
apoyo será P = ——-, la fuerza de frotamiento de un anillo de anchura dr, que
na '
se encuentra a una distancia r del centro, será igual a r dr .
a
1755
1766
El trabajo de la fuerza de frotamiento, sobre estos anillos, durante una vuelta
completa es: dw ■■ dr , por lo cual el trabajo total
w =
4nup f" 2
a2 Je
r~dr = —Jtupa
Calcular la energía cinética de un disco, de masa M y radio R, que gira
alrededor de un eje que pasa por su centro y es perpendicular al plano del disco
con una velocidad angular co.
Desarrollo
La energía cinética de un elemento del disco:
„ v2dm pr2ío2 , , , , , ,
d k = -------= ---------da . donde da = 27irdr
2 2
es el elemento de superficie, r, su distancia al eje de giro; p, la densidad
^ ^ 2
superficial p = ---- —de esta forma dk = ----— r2dr , de donde:
nR- 2 k R-
k
Meo2 f Ä
R2 Jo
r3rfr =
MR2(02
w = -
MR2(02
Calcular la energía cinética de un cono circular recto, de masa M, que gira
alrededor de su eje con una velocidad angular ©. El radio de la base del cono es
R, la altura H.
Desarrollo
/VI „ i :vi '
Cdm)disco = PdV
(dEc)disco =
k R2H
w2x2 3Mx2
M 2 , 3Mx¿dz
KX dz = ■
R2H
dz =
R2H
3Mw2x*dz
4R2H
Z H ;------ = — =» dz = — -dx
R - x R R

1767
r°3Mw2x W f 3Mw 4j 3 M w x /«
(Ec)cono = I — ^ = ----- — x*dx = ------- — /
J* 4R H R Jo 4/? 20/? ' o
£ .=
3Mw2R2
20
Que trabajo es necesario realizar para detener una bola de hierro de radio
R = 2m que gira alrededor de su diámetro con una velocidad angular co= 1000
vueltas / crecimiento?. (El peso especifico del hierro es r = 7.8 gf /cm 3).
Desarrollo
w - mad, hallamos masas “m” sabemos que:
y ~ ~ =>m =yV=> M =~nr3Y ... (1)
hallamos la aceleración a, este caso seria “a” por cinemática:
2 c o 2
tú' = 2aQ => 0 =— ... (2)
20
hallamos la distancia “d” este caso seria la longitud de arco:
0
2nr(—~) = d => d = n 9r ... (3)
271
para n vueltas. Reemplazando (1), (2) y (3) en w = mad
r
4 30)2 0 j j , 4 yurnO . 4,
w - —7tYr — .nOr de donde w - —n l-I r dr
3 20 3 20
4 2 r5 4 3 œ2r2
w - —rq'co'n = ^ Ylír )—^— Para n = 2 dos vueltas
N -, ,
w = — co~r kgf/m w = 2.3a108 k g- f / m
Aplicaciones de la Integral Definida

391
1768 Un triangulo de base b y altura h esta sumergido verticalmente en agua, con el
vértice hacia abajo, de forma que su base coincide con la superficie del agua.
Hallar la presión que el agua ejerce sobre el.
Desarrollo
Se sap que dp = phl dh => por relación
H - h _ H B ( H - h )
í ~ B ^ ~ H
C^ r H H —h
F = ph/dh = phB(------- )dh
Jo Jo H
B 3//3—2//3 /H B H 3
P ~H 6 / o = P H ' T
F BHF ■r.------
1769 Una presa vertical forma de trapecio. Calcular la presión total del agua sobre
dicha presa, sabiendo que la base superior tiene a = 70 cm, la base inferior
b = 50 cm y su altura h = 20 cm.
Desarrollo
1= 7 f
Je
p = ^
empleando semejanza de triangulo se tiene:
1 = y * h i = 1 ± 20 525
a b 5070
705 725- h 70
— = - - => / = (725-A)——
70 / 725
20 -70
(725- h) - h 1II1 /. p = l 13.60 tm
o 725

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