sucesion y serie agosto 2022 kada.pdf

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min min
tan min min
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tan min min
min
min
min
tan min
min
min
min
min
Una Sucesion es un conjunto de numeros ordenados cada numero ocupa una posicion
y recibe el nombre de ter o
los puntos significa que nunca acaba sigue hasta el inito
es el ter o general o ter o n esimo
n indica el lugar que ocupa
Las sucesiones se represen por letras Mayuscalas y los ter os en letras usculas
A A n C C n
B A n D D n
Es una sucesion de numeros talesque la diferencia entre ter os con utivos siempre
nos da un numero cons te Entre ter o y ter o se o se al mismo numero al que
se le llama diferencia y es denotada por d
d
d
d
d
Su y su forma mas generalizada es
n d siendo
d diferencia
n n de ter os
ter o
ter o general
d d
Una sucesion es creciente d
Una sucesion es decreciente d
Si d la Progresion es cons te todos sus ter os son iguales
La serie es la suma de los ter os de una sucesion
sucesiones aritmeticas son iguales si tienen misma diferencia y el ter o tambien es igual
Sucesion o progresion
Progresion Aritmetica
Sumatoria de n ter os
La Serie
Ejemplo
Ejemplo
U U d n U U d n a
Observacion
ter o General
n n n d
U U U U m a
U U
x x x x x
cte a cte
a a a a a a
a
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a a a
a a a
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S S
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1 2 3 4 5 3 5 7 9 11 2 1
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n n n n n
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min
min
min
lim
min
min
min
Es un tipo se sucesion donde cada ter o se obtiene multiplicando o dividiendo por el mismo
numero al que llamaremos la razon y lo denotamos por r se puede incluir la potencia y la raiz
si r es creciente
r es creciente
si r es decreciente
r es decreciente
si r el ter o es el resto son nulos
si r Todos los ter os son iguales a
si r es alternada
Si r n a
Si r r
r
r
Si r la serie diverge
Si r la serie converge a
Una sucesion a es convergente cuando tiene ite finito l el n al que la sucesion
se aproxima cada vez mas
l
si n finito la serie es convergente
si la serie es divergente
si la serie es oscilante
Hallar el caracter de la serie convergente divergente o oscilante
si la serie es convergente calculemos su suma
Si k entonces
si k o bien k a diverge
si k converge absolutamente
es convergente es convergente es falso
Sean y series de ter os positivos y
si es convergente y para todo n es convergente
si es divergente y para todo n es divergente
Progresion Geometrica
de n ter os es
Ter o General
r r
U U r
U U U U U U
Estudiar la serie
Recuerda esta formula
Recuerda esta formula
a
a
S
S a a a a a r
a a a a a r
S r
a a r r
a
a
a S
a S
a S
a
a a
a a
a b a b
b a b a
b a b a
a a a a
S r
a a r
S S r
r
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R
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n n
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n
n
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n n
n
n n
n n
n n
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n
n
n
n
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n n
n n
n n
n n n n
n n n n
n n n n
n
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n n
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n
n
a a a a a
n
n
n
n
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min
ln
ln
sup int
Criterio de Cauchy o de la raiz
Criterio D Alembert o del cociente
Criterio Logaritmico
Criterio de Raabe
Criterio de la Integral
Criterio de Comparacion
Criterio de la convergencia absoluta
totalmente elevada a la n esima potencia
utilizarlo solamente cuando la serie sea
Sea k
k
adelante la serie es convergente
si desde un valor de n en
no es concluyente pero
k la serie es divergente
k la serie es convergente
n r n
mejor utilizarlo cuando aparecen ter os
k
k
n k
k
hay que utilizar otro criterio
no es concluyente
n k
k
en adelante la serie es divergente
si n desde un valor de n
sea f x remplazando x por n
ongamos que f n es una funcion continua positiva y decreciente en el ervalo
si f x dx es convergente es convergente
si f x dx es divergente es divergente
Sucesion Geometrica r si
r es oscilante
r es convergente
r es divergente
Sucesion oscilante
r
si
r es divergente
r es convergente
Si converge converge
se utiliza para demostrar que una serie alternante sea convergente absolutamente
a a
a
a
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n
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n
n
n
n
n
n
n
n
n n
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b
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min
min
S
Aplicando el criterio de comparacion por el cociente
n
n
Si n
n
diverge si k diverge
n
converge si k converge
normalmente se utiliza cuando tenemos resiones de la forma n
si tenemos una division se mira los grados mayores del numerador y denomenador y se res
para hallar el valor de k
veamos un para entenderlo
Sea
n n
n
aqui la k
asi que calculemos n n
n n
n
n
n
la serie
n n
n
diverge
Criterio de Comparacion por ites
Criterio de Prinsgheim
Sean las series de ter os positivos y
k
si k y divergente divergente
si k y converge converge
si k y finito y tienen mismo caracter
ea una serie de ter os Positivos y las series P o armonicas generalizadas
n
si
si consideramos
ejemplo
a a
a
a
a
a
a
a b
b
a
b a
b a
a b
a
n
1
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1
1
1
1
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2 4
1
2 4
0
0
1
1
1 1
n n
n
n
n
n n
n n
n n
n n
n
n
n n
n
k
n k
n
k
n
k n
k n
k
n
n
n n
n n
n n
n
n n
n n
n n
n
k n k
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1
1
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lim
lim lim lim
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min
min
min
min min
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min
min
min
min
min exp
exp
min
calcula el ter o a de la sucesion aritmetica de la cual sabemos que a y a
calcula el ter o esimo de la sucesion de los n impares y su suma S
calcula cuantos numeros impares hay entre y y calcula su sumatoria
calcula el ter o general de a de una sucesion aritmetica sabiendo
que el primer ter o es a y la sumatoria y la suma de los primeros ter os es S
S es la suma de los ter os con utivos de una serie aritmitica
calcula el ultimo ter o de esta Sumatoria sabiendo que S
Sea la serie aritmitica de d y tal que U
calcula U Calcula U Calcula U en funcion de n
Calcula S U U U U U
U es una serie aritmetica de ter o U y de diferencia d
Expresa U en funcion de n calcula U y U
calcula S U U U U S U U U S U U U
Estudia el crecimiento y decrecimiento de las seguientes series
U n n n V n
n
n
W n n Z n
La serie de ter o general U esta definida por
n U
U U
U
U
La serie de ter o general V esta definida por n V U U
calcula V en funcion de V
Mostrar que V es una serie geometrica calcula su ter o V resa V en funcion de n
Calcula S V V V V en funcion de n
Calcula S en funcion de U y U
deduzca la resion de U en fincion de n
Halla U
Sea U la serie definida por U y U U
U
n
y V por V U
U
n Calcula U U U
Mostrar que V es una serie geometrica calculando el ter o y la razon
Expresar V en funcion de n Deduzca U en funcion de n
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
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2
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10 70
6 7 70
7 10 13
920
0 4 8 7
1 3 2
2 3 1
2 3
3
3
1 2 3
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2
1
2
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1
1 2 3
4
1 2
3
1 2
3 4
1
2
3
4
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1
2
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1
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3
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5
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8
9
10
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N
N
N
N
N
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n
n
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n
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n n
n
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n
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n n
n n n n
n n
n n
n n
n n
n
n
n
n n
n
n
n
n n
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2
2
1
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1 2 3
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42 0
5 6 7 8 27
0
5 10
0 5 1 10 5 10
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7
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Sea U la serie definida por U U n
U
n
calcula U U U n V U n Muestra que V es geometrica
Expresa V en funcion de n y V y U
S V V V V V calcula S
Sea U la serie definida por U y para n U
U
calcula U U U
Demuestre que la serie ni es aritmetica ni geometrica
Sea V n V U
Calcula V V V V
Deduzca que V es una serie geometrica
Expresa V y U en funcion de n
Estudia la convergencia de las series seguientes Utilizando criterio de D Alembert
n n
n n
n
n
Estudia la convergencia de las series seguientes Utilizando
n n
n
Estudia la convergencia de las series seguientes
n n
a
n
b
n
n
Ejercicio
Ejercicio
a
b
c
d
Ejercicio
a b c d
Ejercicio
a b c
Ejercicio
a b
Ejercicio
n
n
n
n
Criterio de Cauchy
n
Utilizando criterio Logaritmico
n
Utilizando criterio de Raabe
3
2
1
1
3 6 5
6
1
3 4
12 3
2 5
5
3
2
3 1
2
3
2
1
2 1
1
1
3 5 7 9 2 1
2 4 6 8 2
1 2
3
4
1
2
3
11
12
13
14
15
16
N
N
N
n n
n
n
n n n n
n
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n n
n n
n n
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n n
n n n
n n n
n n n
n n
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n n n
n n
n
n n
n
n n n
n
n
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1 1 1
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min
min
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min
min
min min
min min
calcula el ter o a de la sucesion aritmetica de la cual sabemos que a y a
la forma general de una es
asi que la diferencia d
a a
y por ultimo a a a a
calcula el ter o esimo de la sucesion de los n impares y su suma S
el primer ter o de los numeros impares es a y la diferencia es d
a a d n a
S
a a
calcula cuantos numeros impares hay entre y y calcula su sumatoria
Sea la sucesion de numeros impares A de aqui se deduce que d
Sabemos que en los numeros impares la diferencia d y que el ter o y el ultimo
de los numeros impares existentes entre y son a y a
n es el numero de numeros impares existentes entre y
a a d n n n n hay n impares entre y
la sumatoria de los n impares existente entre y es S
n a a
S
a a
S
calcula el ter o general de a de una sucesion aritmetica sabiendo
que el primer ter o es a y la sumatoria y la suma de los primeros ter os es S
sabemos que S
n a a
S
a a a
a a
tambien sabemos que a a d n a a d d d
asi que como conocemos el ter o y la diferencia d luego el ter o general es
a a d n a n
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
Sucesiones Aritmeticas
U U d n a siendo d diferencia
S U U U U S m a
U U
sucesion aritmetica U U d n a
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
Recuerda
Sucesiones Geometricas
U U r siendo r razon
S U U U U S U r
r
9 12
4 12 9 3
3 3 1 9 6 3
7
1 2
1 1 2 7 1 13
7 1 1
2 2
7 1 13
49
10 70
1 3 5 7 9 11 13 2
2 1
10 70 11 69
10 70
1 69 11 2 1 2 60 30 30 10 70
10 70 2 2
30
2
30 11 69
1 200
6 7 70
2 2
7
70 2
7 6
140 42 7 14
1 7 1 14 6 6 6
8
3
4
1
1 6 3
4 1
1
1
2
1
1
n a
n a
m a
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
n a
n a a a m n
a m
n a
n a a a m n a
1 3 4
4 3
3 1 1 1
1
7 1 7
1 7
1
1
1 1 30
30
1
1 1 7 7
7 7
1 1
1
1
7
7
7
30
7
1 2
1 2
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5
:
...
6
:
:
.
...
min sec
min
min
min
S es la suma de los ter os con utivos de una serie aritmitica
calcula el ultimo ter o de esta Sumatoria sabiendo que S
S U el ultimo ter o para que S
d ya que
S m
U U
m
U
m mU
U U d n a U U d m U m U m
U m
m mU
m mU m
m mU
m m m
m m
m
no vale
el ultimo ter o es U U d
Sea la serie aritmitica de d y tal que U
calcula U Calcula U Calcula U en funcion de n
Calcula S U U U U U
calculo de U sabemos que la serie aritmitica de d y U
U U d n a U U
Calculo de U U U d n a U U d U
Calculo de U en funcion de n U U d n n U n
Calcula S U U U U U
U U d U U
S U U U U U S
U U
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
Sucesiones Aritmeticas
S U U U U S m a
U U
n
Respuesta
Recuerda
S U U U U S U r
r
27
7 10 13
920
7 10 13 920
3 10 7 13 10 3
1 1
2 2
7
920 7 1840
1 7 3 1 3 4
3 4
7 1840
3 4
7 1840
3 7 4 1840 0
3 11 1840 0 121 4 3 1840 22201 149
6
11 149
6
138
23
6
160
23 1 7 3 22 73
0 4 8 7
0 4 8 7
0 4 42 27 8 7 0 4 15 14 7
27 0 8 7 0 4 27 2 1
0 2 1 0 4 2 1 0 4
5 0 2 1 0 4 5 0 1 0 1
27 5 1
2 23 2
0 1 8 7
98 9
1
2
2
1
1 2
1 2 3
4
1
2
3
4
1
2
1
1
min min
primer ter o ultimo ter o
n a
m a
U
m
m m
m
n a m m m
m
m
m
m
n
n a
n a
n n n
n a
n a a a m n
a m
n a
n a a a m n a
1
2
2
2
1
1
23 1
27
42 0
5 6 7 8 27
42 27
42 27
0 27 0 0
0
5 6 7 8 27
5 0 5 5
5 6 7 8 27
5
1 2
1 2
1
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...
8
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min
tan
m
m
U es una serie aritmetica de ter o U y de diferencia d
Expresa U en funcion de n calcula U y U
calcula S U U U U S U U U S U U U
U U d n a U U d n n U n
calculo de U y U U y U
S U U U U S
U U
S U U U S
U U
S U U U S
U U
Estudia el crecimiento y decrecimiento de las seguientes series
U n n n V n
n
n
W n n Z n
U n n o
U U n n n n n n n n n
n n n como n se cumple siempre
por lo to U U U U
V n
n
o
V V n
n
n
n
n
n
n
n
n n
n n n n n
V V
n n
V V V V
W n o
W W n n n n
n n
n n
n n
n n
n
Luego W W W W
Z n o
Z
Z
n
n
n
n
n
n
n n n n
n
n
n
Z
Z
Z Z
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
Sucesiones Aritmeticas U U d n a siendo d diferencia
S U U U U S m a
U U
n
Respuesta
estudiar el crecimiento o decrecimiento de una serie se estudia
el signo de U U otras veces el de U
U
U es creciente
V es decreciente
W es creciente
Z es creciente
Recuerda
Recuerda
1 2 2 6
1 2
2
1 10
6
5 10
0
0
1 3 2
0 3 2 3 2
3 2 5 13 3 2 10 23
5 0 1
2 6 2
3 13
48
10 1 1
2 10 2
5 23
140
10 5 1
2 6 2
13 23
108
2 3 1
2 3
3
3
2 3
1 2 1 3 2 3 2 1 2 2 3 2 3
2 1 2 1 0 1 2
0
1
2 3
1 1
2 1 3
1
2 3
2
2 1
1
2 3
1 2
2 2 1 2 6
1 2
5
0
3
1
3 3
1
3 1 3
1
3 3 3 3
1 0
3 2 1
0
3
3
1 3
3
4
3
4
4 3 3
4
1 3
4
1
1
1 2
3
1
2
3
1 2
3 4
1
2
3
4
1
2
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N
N
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n n n n
n
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n
n
n
n n
n n
n
n
n
n
n
n
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2 2
2
2
2
0
1 2
0
5 10
0 5 1 10 5 10
0
5 10 5 10
0 5
0 5
1 10
5 10
1 2 3
1 1
2 2
3 3
1
1 1
1
1 1 1
1
1 1
1
1
1
1
1
1 1
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3 4
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d
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1
2 2
2 2
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2 2
2 2 2
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9
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...
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min
min
min exp
exp
La serie de ter o general U esta definida por
n U
U U
U
U
La serie de ter o general V esta definida por n V U U
Mostrar que V es una serie geometrica calcula su ter o V resa V en funcion de n
Calcula S V V V V en funcion de n
Calcula S en funcion de U y U
deduzca la resion de U en fincion de n
Halla U
V U U
U U
U
U U U U
V
del apartado anterior se puede deducir que la serie V es geometrica de razon r
V U U V U U V
V V r V V r V
S V V V V V S V r
r
Calculo de S V V V V en funcion de n
S
V U U
V U U
V U U
V U U
podemos concluir que S U U
V U U
V U U
S U U U U S
U ya que
n
Respuesta Sucesiones Aritmeticas
S U U U U S m a
U U
Ejercicio
Recuerda
S U U U U S U r
r
2
4
4
1 2 3
3
2
1
2
0 1
1
3
2
3 3 3
1
3
1
1 2 1 1
1 3
1 1
3
1
3
1
1
1
1
1 3
1
1 3
1
1 3
1
1 3
1
4
3
1 3
1
2 4
3
1 3
1
4
5
4
3
3
1
4
5
4
3
3
1
4
5
3
1
0
1
2
1
2
3
4
5
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1
2
3
4
5
6
1
1
N
N
n
n
n
n
n a
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n
n
n n
n n n n
n n
n n
n n
n n
n
n
n n n
n n
n
n n n n
n
n n n
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n
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n
n
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n
n
n
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n k
n
n
n n
n
n n
n n n
n n n
n n n n
n
n
n
n
n
n
n
n a
n a a a m n
a m
n a
n a a a m n a
V
2
3 2
4 3
5 4
2
1
1
1
1
1
2 3
1
1
2 2 2
2
2 3
2
3
4
5
1
1 1
1 2
1
1
1
1 2
1
1 2 1 2
1
1
1 1
1
1 2
1
1
1 1
1 2
1 2
2
2
2
2
2
1
1 2 3
2
1
n 1
lim
lim lim lim
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1
:
1
:
min
min
Sea U la serie definida por U y U U
U
n
y V por V U
U
n Calcula U U U
Mostrar que V es una serie geometrica calculando el ter o y la razon
Expresar V en funcion de n Deduzca U en funcion de n
U U
U
U U
U
U U U
U
U
U U
U
U
V U
U
V U
U
U
U
U
U
U U
U U
U
U
V U
U
V V luego la serie es geometrica de r
el ter o es V U
U
Expresar V en funcion de n V V r V
V U
U
U V U V U V U V U V
V
U
Sea U la serie definida por U U n
U
n
calcula U U U n V U n Muestra que V es geometrica
Expresa V en funcion de n y V y U
S V V V V V calcula S
U U U U U U U U
U U U U
V U n V U n U n
U U n U U n U n n V n
Luego V U n V n n V V es geometrica r
V U n V U V
V V r V U V n
S V r
r
S ya que
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
3
3
0 4
2 3
3
1
1
4
2 3
4
2 3
4
3
4
2 3
4
3
4
2 4
3
3
19
18
4
2 3
19
18
4
2 19
18
3
94
93
3
1
3
1
4
2 3
3
4
2 3
1
2 3 3 12
2 3 4
5 15
1
5
1
3
1
5
1
5
1
1 3
1
3
1
3
1
5
1
3
1
1 3 1 3 1
1 3
1 3
1
5
1
1 3 3
1
5
1
1 3
1
5
1
1 5
1
3 6 5
6
1
3 4
3 6 5 5 3 3 12 5 16 9
3 18 5 133 27
3 4 3 1 4 3 7
3 6 5 3
1 6 5
3
1 3 7 9 12
3
1 9 12
3 4 3
1 9 12 3 4 3
1
1 3
3 4 4 6 4 2
2 1 3 2 1 3 0 3 4
1
1
2
1 1 3
1 1 3
2
2 3
1 1 3
3 1 1 3
3 1 1 3 3 1 3 0
1
2
3 4
1
2
3
4
1 2
3
4
1
2
3
4
0
1
N
N
N
n n
n
n
n
n
n n n n
n n n
n
n n
n
n
n
n n
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n
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n
n
n
n
n n
n n
n
n
n
n
n
n n
n n a
n a
n
n
n
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n
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n n n
n n n n n
n n n n n n
n n n n n
n n
n
n n
n
n
n n
n
n n n
n
n
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0 1 2 3
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0
1
1
1 1 1
1
1 1
1
1
1
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1
1 1 1
1 1 1 1
1 1
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tan
Sea U la serie definida por U y para n U
U
calcula U U U
Demuestre que la serie ni es aritmetica ni geometrica
Sea V n V U
Calcula V V V V
Deduzca que V es una serie geometrica
Expresa V y U en funcion de n
U
U
U
U
U
U
U
U
U U
U U
como U no es aritmetica
U
U
U
U
como U no es Geometrica
V U V U V V U V
V U V V U V
calcular V en funcion de V
V U
U U
V U V
la serie V es una serie geometrica de razon
Expresar V y U en funcion de n
V U U
U
V es geometrica por lo to V V r
V U U V
Ejercicio
a
b
c
d
a
b c
d
n
Respuesta
2
0 1
2
12 3
2 5
5
3
2 5
3
2 5
3
2 12 5
3
29
3
2 5
3
58 3 5
9
73
3
2 5
3
146 9 5
27
191
191 27 73 9 28 27
73 9 29 3 14 9
14 9 28 27
29 3
73 9
87
73
73 9
191 27
219
191
73 87 191 219
5 5 12 5 7 5 29 3 5 14 3
5 73 9 5 28 9 5 191 27 5 56 27
5 3
2 5
5 3
2 10
3
2 5
3
2
2 3
5 3
2 5
7 3
2
5 5 7 3
2
5
1
2
3
1
2
3
1
N
N
n
n n
n
n n n
n n
n
n n
n
n
n
n n
n n
n n
n n
n n n
n
n n
n n n
n
n n
n
n n n n
n
n
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0 1 3
1 2
3
0 0 0 1 1 1
2 2 2 3 3 3
0
1
1
1
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2 1
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2
2
3
1
1
0
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lim
min
Estudia la convergencia de las series seguientes Utilizando criterio de D Alembert
n n
n n
n
n
n aqui n
asi que
n
n
n
n
n n
n
n
la serie n es convergente
n
n
aqui
n
n
asi que
n
n
n
n
n n
n n
n n
n n n
n
n
n
n
n
n
n
n e la serie
n
n
es convergente
n
aqui
n
asi que
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
es convergente
n
n
aqui
n
n
asi que
n
n
n
n
n n n
n n
n
n
n
n
n
n
n e
n
n
es divergente
n
Respuesta
n e En todos los criterios cuando el ite es es
es
n r n
mejor utilizarlo cuando aparecen ter os
k
k
Ejercicio
a b c d
Criterio de D Alembert
a
b
c
d
Recuerda
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
3
2
3 1
2
3 3
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1
3
3 1
3
3 1
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1
3
0 1
3
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
2
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2
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2
3 1
2
3 1 1
2 3 1
2 3 1 1
2 2 3 1
2 3 1 1
6 2
3 4
6
3
2
1
1
2
3 1
2 2
2
2 1
1
2 2 1
2 1
2
1
2
1 1
2
1 1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1 1
1
1
n
n n n n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
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n
n n n n
n n n
n
n n n
n
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1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1 1
1
1
1
1 1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
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Estudia la convergencia de las series seguientes Utilizando
n n
n
n n n n
n la serie
n
converge
n
n
n
n
n
n la serie
n
converge
la serie converge
converge
n
n
n
n
n
n
n
n
la serie n
n
diverge
n n
n n
n
n
n
n
n n
la serie
n
converge
n n
n
n
n
n
n
la serie
n
diverge
Ejercicio
a b c
a
a
b
b
c
Ejercicio
a b
a
b
n
Criterio de Cauchy
Respuesta
Criterio de Cauchy k si
k la serie converge
k la serie diverge
k caso dudoso
utilizando Criterio D Alembert
utilizando Criterio D Alembert
n
Utilizando criterio Logaritmico
Respuesta
Criterio Logaritmico n k si
k la serie converge
k la serie diverge
k caso dudoso
Recuerda
Recuerda
a
a
1
1
1
3
2
1
2 1
1 1 1 1
1
0 0 1
1
1
1
1
0 1
1
3
2
3
2
2 3 2 3 2 3 2 3
3
1
1
3
2
3
2
3
2
3
2
3
3
3 3
3
3
1
3
1
1
3
2
1
2 1
1
2 1
1
2 1
1
2 1
2 2 1 1
2 1
1
1 1
1
1
1
1
1 1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
n
n
n
n
n n
n
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n
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n
n
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1
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2
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a
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n n
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n n
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n n
n
n n n n n n
n
la serie
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es divergente no es sumable
n
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n n
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n
n n
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n n
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n n n
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la serie
n
n
es divergente no es sumable
Ejercicio
a
b
n
Utilizando criterio de Raabe
Respuesta
Criterio de Raabe n k si
k caso dudoso
Recuerda
a a
a
a
a a
a a
a
a
a
a
1
1
3 5 7 9 2 1
2 4 6 8 2
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1
1
1 1 1
1
1
1
1 1
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1
1
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1 1
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1
3 5 7 9 2 1
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2 4 6 8 2
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2 4 6 8 2 2 1
3 5 7 9 2 1
2 4 6 8 2
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2 4 6 8 2 2 2
1 1
3 5 7 9 2 1
2 4 6 8 2
3 5 7 9 2 1 2 3
2 4 6 8 2 2 2
1
3 5 7 9 2 1 2 3
2 4 6 8 2 2 2
2 4 6 8 2
3 5 7 9 2 1
1 2 3
2 2
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1
1
3 5 7 9 2 1
2 4 6 8 2
1
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