Sucesiones y progresiones

CARL FRIEDRICH GAUSS
“El Príncipe de las Matemáticas”
(1777-1855)
Mg. Irina Basto Herrera

• Dominó en el siglo XIX en matemáticas, física y en
astronomía.
• De niño mostró una prodigiosa habilidad con los números.
• A los tres años de edad corrigió un error a su padres en el
cálculo de salarios de unos albañiles que trabajaban para
él.
• A los diez años halló la suma que su profesor les había
mandado a hacer:
1 + 2 + 3 + … + 97+ 98 + 99 + 100
100 + 99 + 98 + … + 4 + 3 + 2 + 1
101 + 101 + 101 + … + 101 + 101 + 101 + 101
Resultando: 101 x 50 = 5050
+

• A los 17 años puso en duda algunas de las conclusiones de la geometría
euclidiana, que varias generaciones de matemáticos habían considerado
intocables, señalando que muchos de los resultados no eran validos en
superficies curvas.
• A los 19 empezó un diario personal, “uno de los documentos mas preciosos
de la historia de las matemáticas”. El diario contiene 146 anotaciones que
muestra resultados que otros matemáticos descubrieron y publicaron
mucho después sin saber que Gauss se les había adelantado.
• El 10 de junio de 1796 escribió lo siguiente:
¡EUREKA! Número = + +
cualquier numero positivo se puede escribir como suma de 3 números
triangulares. Los números triangulares son:
…1 3 6 10 15
Son de la forma:
𝑛(𝑛+1)
2
para n = 0 , 1, 2, 3, ….

S
U
C
E
S
I
O
N
E
S
LIC. IRINA BASTO HERRERA

LAS SUCESIONES
Definición: una sucesión es una función cuyo dominio son los números
naturales y los miembros del rango se llaman elementos de la sucesión.
Toda sucesión es infinita.
Notación: La regla de correspondencia que define la sucesión se representa
mediante subíndices, es decir:
Si 𝒂 𝒏 es la regla de correspondencia
⟹ 𝒂 𝒏 = 𝒂 𝟏, 𝒂 𝟐, 𝒂 𝟑, … , 𝒂 𝒏 es la representación de la sucesión
Determinación y representación de una sucesión: Existen tres
maneras:
1. Mediante una regla de correspondencia:
Sea 𝒂 𝒏 = 3n + 7
𝒂 𝒏 = 𝟏𝟎, 𝟏𝟑, 𝟏𝟔, 𝟏𝟗, 𝟐𝟐, 𝟐𝟓, …
n=1 n=5n=2 n=3 n=4 n=6

2. Por una ley de recurrencia:
Si: 𝒂 𝒏 = 7 y 𝒂 𝒏+𝟏 = 3𝒂 𝒏 −10
Obtener la sucesión:
𝒂 𝒏 = 𝟕, , …
n=1 n=5n=2 n=3 n=4
11 , 23 , 59 , 167
3. Por una propiedad característica:
Ejm:
 La sucesión de números pares:
𝒂 𝒏 = 𝟐, 𝟒, 𝟔, 𝟖, 𝟏𝟎, …
Tenemos:
Si n=1 → 𝒂 𝒏 = 𝒂 𝟏 = 7
Si n=2 → 𝒂 𝒏+𝟏 = 𝒂 𝟏+𝟏 = 3𝒂 𝒏 −10
𝒂 𝟐 = 3𝒂 𝟏 −10
𝒂 𝟐 = 3(7)−10
𝒂 𝟐 =11
Si n=3 → 𝒂 𝒏+𝟏 = 𝒂 𝟐+𝟏 = 3𝒂 𝟐 −10
𝒂 𝟑 =3(𝟏𝟏) −10
𝒂 𝟑 = 33−10
𝒂 𝟑 =23
 La sucesión de números primos:
𝒂 𝒏 = 𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟕, 𝟏𝟏, 𝟏𝟑, 𝟏𝟕, …

SITUACIÓN PROBLEMÁTICA
UN TELEVISOR DE 24” POR S/. 360
Ahora con el plan GANGA puedes adquirir un TV de 24” por tan solo S/. 360 (pago único).
Aprovecha esta ocasión – precio real del TV: S/.800.
Ahorra S/. 440. Pide nuestro prospecto con las condiciones de compra.
Muchas personas solicitaron el prospecto con las condiciones de compra, que en esencia
decía lo siguiente: Por el momento con S/. 360 no recibirá el televisor, sino con cuatro bonos
que tiene que distribuir a cuatro conocidos suyos al valor de S/.360 cada uno, los S/. 1440
deben remitirlos a la compañía, y entonces obtendrá su televisor. Estos a su vez reciben cinco
bonos cada uno.
a) Elabora un diagrama para observar el crecimiento de los posibles compradores de
televisores
b) Después de que todos los integrantes del tercer grupo han recibido cinco bonos y han
logrado venderlos, ¿Cuántos son los compradores reclutados?
c) El número de persona que se van incorporando a esta campaña, sigue una regla de
formación?
d) ¿Cuántas personas se encuentran involucradas después de que todos los integrantes del
grupo que ha recibido cinco bonos han logrado venderlos todos? En estos momentos
¿cuantos poseen televisor?
e) ¿Crees que el sistema es justo? ¿Por qué?

𝑎1 = 1
𝑎2 = 4
𝑎3 = 20
𝑎4= 100
 Los beneficiados hasta 𝑎4 son: 𝑎1 +𝑎2 +𝑎3 + 𝑎4 = 1 + 4 + 20 + 100 = 125
𝒂 𝟏 = 1
𝒂 𝒏 = 𝟒 𝑥 𝟓 𝒏−𝟐
, 𝒏 ≥ 𝟐
𝑎1 = 1
𝑎2 = 4
𝑎3 =20 = 4 x 5
1
4 𝑥 50
4 𝑥 51
4 𝑥 52
𝑎4=100 = 20 x 5
 Deducimos que el número de personas que se van incorporando sigue el siguiente patrón:
(1er grupo de compradores (G.C.)
(2° G.C.)
(3° G.C.)
.
.
.
(4° G.C.)
.
.
.

𝑎1 = 1 𝑎2 = 4 𝑎3 = 20 𝑎4 = 100
𝑎5 = 500 𝑎6 = 2500 𝑎7 = 12500 𝑎8 = 62500
𝑎9 = 312500 𝑎10 = 1562500
 Después de que todos los integrantes del décimo grupo que han recibido sus
cinco bonos han logrado venderlos, el número de reclutados son:
𝑆10 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3+ 𝑎4 + ⋯ +𝑎10 , donde:
 Los que poseen televisor son:
𝑆9 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3+ 𝑎4 + ⋯ 𝑎9= 390 625
 El sistema es injusto, pues:
• Obliga a os grupos de la población que participan de la campaña paquge una
mercancía adquirida por la quinta parte restante.
• Recluta sin gasto alguno a un enorme número de agentes sin gastar un solo
centavo.
• Castiga a los que no saben el cálculo aritmético.

PROBLEMAS Y MÁS PROBLEMAS PARA DONALD
Luisa está de acuerdo en saldar una deuda de
S/. 1800 en cierto número de pagos, cada uno
de ellos (empezando con el segundo) menor que
el anterior en S/. 10. Si su quinto pago es de S/.
200. ¿Cuánto habrá abonado hasta el noveno
pago? ¿Cuánto más le falta cancelar?
SOLUCIÓN
 Si no sabemos cual fue su primer pago, entonces le colocamos una variable:
Deducimos que :
 Si su primer pago es X entonces tenemos:
X
𝒙,
𝒂 𝟏 𝒂 𝟓𝒂 𝟑 𝒂 𝟒𝒂 𝟐 𝐞𝐬 𝐞𝐥 𝐪𝐮𝐢𝐧𝐭𝐨 𝐩𝐚𝐠𝐨
𝒙 = 240𝒙 − 𝟒𝟎 = 200
𝒙 − 𝟏𝟎 , (𝒙 − 𝟒𝟎)𝒙 − 𝟑𝟎 ,𝒙 − 𝟐𝟎 ,
𝒍𝒖𝒆𝒈𝒐

PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Definición.- Una Progresión Aritmética es una sucesión de
números reales en al que cada término se halla sumando una
misma constante al elemento anterior.
En una Progresión Aritmética (P.A.) él término n-ésimo está
definido por:
𝒂 𝒏 = 𝒂 𝟏 + 𝒏 − 𝟏 𝒅
Donde:
d : razón aritmética o diferencia
𝒂 𝒏 ∶ ú𝐥𝐭𝐢𝐦𝐨 𝐭é𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐩𝐫𝐨𝐠𝐫𝐞𝐬𝐢ó𝐧 𝐨 𝐞𝐥 𝐭é𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞𝐬𝐞𝐚𝐝𝐨
Ejemplos:
cuyo primer término es
La sucesión {𝑎 𝑛} = {2, 6, 10, 14, …} es una P.A.1.
La sucesión {𝑎 𝑛} = { 6, 4, 2, …} es una P.A.2.
y la diferencia𝒂 𝟏 = 𝟐 d= 4
cuyo primer término es y la diferencia𝒂 𝟏 =6 d= - 2
𝒂 𝟏 ∶ 𝐩𝐫𝐢𝐦𝐞𝐫 𝐭é𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐩𝐫𝐨𝐠𝐫𝐞𝐬𝐢ó𝐧

1. Primer término 𝒂 𝟏 = 𝒂 𝒏 − 𝒏 − 𝟏 𝒅
Número de términos 𝒏 =
𝒂 𝒏−𝒂 𝟏
𝒅
+ 𝟏2.
Suma de términos 𝑺 𝒏 =
𝒏
𝟐
(𝒂 𝟏 + 𝒂 𝒏)3.
También

PROPIEDADES
En toda P.A. la diferencia se halla restando un término
cualquiera menos el anterior.
1.
2.
5, 10, 15, 20, 25 , …..
10 - 5 25 - 5
3.
La suma de término equidistantes de los extremos es igual
a la suma de los extremos.
7, 11, 15, 19, 23 , 27, 31, …..
Extremos
Equidistantes
Equidistantes
En una P.A. de un número impar de términos, el término central es
igual a la semisuma de los extremos.
4, 1, -2, -5, -8 , -11
𝒂 𝟏 𝒂 𝟐
𝒂 𝒄 =
𝒂 𝒏+𝒂 𝟏
𝟐

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Definición.- Una Progresión Geométrica es una sucesión de
números reales en al que cada término se halla multiplicando
una misma constante al elemento anterior.
En una Progresión Geométrica (P.G.) él término n-ésimo está
definido por:
𝒂 𝒏 = 𝒂 𝟏. 𝒓 𝒏−𝟏
Donde:
d : razón geométrica
𝒂 𝒏 ∶ ú𝐥𝐭𝐢𝐦𝐨 𝐭é𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐏. 𝐆. 𝐨 𝐞𝐥 𝐭é𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐩𝐞𝐝𝐢𝐝𝐨
Ejemplos:
cuyo primer término es
La sucesión {𝑎 𝑛} = {8, -16, 32, - 64, 128 …} es una P.G.1.
La sucesión {𝑎 𝑛} = {
4
3
,
2
3
,
2
6
,
2
12
,
2
24
, …} es una P.G.2.
y la razón𝒂 𝟏 =8 r= -2
cuyo primer término es y la razón𝒂 𝟏 =
4
3
d= 1/2
𝒂 𝟏 ∶ 𝐩𝐫𝐢𝐦𝐞𝐫 𝐭é𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐏. 𝐆.

1.
Primer término
Número de términos 𝒓 =
𝒏−𝟏 𝒂 𝒏
𝒂 𝟏
2.
Suma de términos
𝒂 𝟏 =
𝒂 𝒏
𝒓 𝒏−𝟏
3.
También
𝑺 𝒏 =
𝒂 𝟏− 𝒂 𝒏.𝒓
𝟏−𝒓
En toda P.G. la razón geométrica se halla dividiendo un
término cualquiera entre el anterior.
4.
2
3
, -2, 6, -18, 54, …..
-2 :
𝟐
𝟑 -18 : 546 : -2
𝑺 𝒏 =
𝒂 𝟏(𝟏−𝒓 𝒏)
𝟏−𝒓

LA FUTURA
PROPIEDAD DE LUIS
Luis reserva un capital de S/. 60000 para la compra de un
terreno de 3 hectáreas. Actualmente, el metro cuadrado de
terreno -en la zona que él quiere comprar- cuesta $ 2,1;
por lo que decide invertir su capital por cuatro años en un
banco. Los indicadores económicos señalan que el precio
del terreno aumentará a razón de 5% por año.
Supongamos que eres el funcionario del banco y elabora
una propuesta de inversión para Luis, indicando la tasa de
interés compuesto y el tipo de capitalización de modo que
-al cabo de los cuatro años- tenga el dinero suficiente para
comprar el terreno.
Los resultados deben ser presentados en un papelógrafo
mostrando el modelo matemático que se ha usado.

Datos
Capital : S/. 60 000 Dimensión del terreno: 3 hectáreas = 30 000 𝑚2
Precio por 𝑚2
= $ 2,1 Tiempo de inversión: 4 años
Precio total del terreno en dólares: 63 000
Precio total del terreno en soles: 1 95 300
SOLUCIÓN
𝑀 = 𝐶. 1 +
𝑟
100
𝑡
𝑀5 = 60 000 1 +
15
100
5
= 60 000 1.15 5 = 60 000(2.01) = 120 681.43
𝑀3 = 60 000 1 +
15
100
3
𝑀4 = 60 000 1 +
15
100
4
= 60 000 1.15 3
= 60 000(1.52) = 91 252.5
= 60 000 1.15 4 = 60 000(1.75) = 104 940.38
𝑀1 = 60 000 1 +
15
100
1
𝑀2 = 60 000 1 +
15
100
2
= 60 000 1.15 1 = 60 000(1.15) = 69 000
= 60 000 1.15 2 = 60 000(1.32) = 79 350
Tasa de interés 15% anualCaso 1:

𝑀7 = 60 000 1 +
15
100
7
= 60 000 1.15 7 = 60 000(2.66) = 159601.19
𝑀8 = 60 000 1 +
15
100
8
= 60 000 1.15 8 = 60 000(3.06) = 183541.37
𝑀9 = 60 000 1 +
15
100
9
= 60 000 1.15 9 = 60 000(3.52) = 211072.58
𝑀6 = 60 000 1 +
15
100
6
= 60 000 1.15 6 = 60 000(2.31) = 138 783.65

Capital : S/. 60 000
Tiempo de inversión: 4 años
Precio total del terreno en dólares: 63 000
𝑀 = 𝐶. 1 +
𝑟
100𝑘
𝑘.𝑡
𝑀4 = 60 000 1 +
10
100(2)
2(4)
𝑀5 = 60 000 1 +
10
100(2)
2(5)
= 60 000 1.05 8 = 60 000(1.48) = 88 647.33
= 60 000 1.05 10 = 60 000(1.63) = 97 733.68
𝑀3 = 60 000 1 +
10
100(2)
2(3)
= 60 000 1.05 6 = 60 000(1.34) = 80 405.74
𝑀1 = 60 000 1 +
10
100(2)
2(1)
𝑀2 = 60 000 1 +
10
100(2)
2(2)
= 60 000 1.05 2 = 60 000(1.1) = 66 150
= 60 000 1.05 4 = 60 000(1.22) = 72 930.38
Tasa de interés 10% anualCaso 2:

𝑀10 = 60 000 1 +
10
100(2)
2(10)
= 60 000 1.05 20 = 60 000(2.65) = 159 197.86
𝑀11 = 60 000 1 +
10
100(2)
2(11)
= 60 000 1.05 22 = 60 000(2.93) = 175 515.64
𝑀12 = 60 000 1 +
10
100(2)
2(12)
= 60 000 1.05 24 = 60 000(3.23) = 193 505.99
𝑀13 = 60 000 1 +
10
100(2)
2(13)
= 60 000 1.05 26 = 60 000(3.56) = 213 340.36
𝑀6 = 60 000 1 +
10
100(2)
2(6)
= 60 000 1.05 12 = 60 000(1.8) = 107 751.38
𝑀7 = 60 000 1 +
12
100(2)
2(7)
= 60 000 1.05 14 = 60 000(1.98) = 118 795.9
𝑀8 = 60 000 1 +
10
100(2)
2(8)
= 60 000 1.05 16 = 60 000(2.18) = 130 972.48
𝑀9 = 60 000 1 +
10
100(2)
2(9)
= 60 000 1.05 18 = 60 000(2.41) = 144 397.15

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