Tema 2: Distribuciones de Frecuencia
- 1. UNIVERSIDAD NACIONLA EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA” DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA PROGRAMAS DE INGENIERÍA CIVIL Y QUÍMICA UNIDAD CURRICULAR: ESTADISTICA PROF.: ING. ISAÍ YARÍ Tema N°2: DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA 1) Presentación de los Datos 1.1Datos No Procesados: Son los Datos estadísticos obtenidos y observados luego de su recolección, sin haberlos tabulado. Ejemplo 1: Una Fábrica de autos de valencia indicó que durante el último año la producción ascendió a 60 000 unidades, sin embargo la compañía ha detectado algunos problemas en su control de calidad y ha tenido dificultades para cumplir con la demanda de este año debido al número de errores por turno. Los errores registrados por turnos son los siguientes: 0 2 2 3 5 4 5 5 4 1 2 3 3 2 1 0 2 5 1.2Datos Tabulados: Son aquellos Datos que se encuentran en un cuadro o tabla de distribución, con sus respectivas frecuencias. Ejemplo 2: Considerando el ejemplo 1, la tabulación de los datos produce la siguiente tabla de Distribución de Frecuencias: N° de Errores por Turno Frecuencia 0 2 1 2 2 5 3 3 4 2 5 4
- 2. 2) Distribuciones de Frecuencias Una distribución de frecuencias es la asignación de valores de frecuencia para cada valor o característica que toma la variable. Ejemplo 3: En un grupo de 100 trabajadores, 80 son hombres y 20 son mujeres. La distribución de frecuencias sería: Sexo Frecuencia Masculino 80 Femenino 20 3) Elementos Básicos de una Tabla de Distribución de Frecuencias - Nombre de la Variable: Hace referencia a la característica que es objeto de estudio en la población o muestra. Por lo general se le denota como “X”. - Frecuencia Absoluta: Es el número de veces que se repite un dato en una población o muestra determinada. Se denota como “fi” - Frecuencia Relativa: Toma en consideración las veces que se repite un dato con respecto a todos los demás, se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta entre el número total de datos y se denota como “hi” ℎ𝑖 = 𝑓𝑖 𝑁 ⁄ - Frecuencia absoluta acumulada: Es el resultado de ir sumando progresivamente las frecuencias absolutas. Se denota como “Fi” - Frecuencia Relativa Acumulada: Es el resultado de ir Sumando progresivamente las frecuencias relativas. Se denota como “Hi” - Porcentaje: Es el producto de la frecuencia relativa multiplicada por 100. Se denota como “%” Con los elementos descritos anteriormente, una tabla de distribución de frecuencias tendría la siguiente forma: Variable (Xi) Frecuencia Absoluta (fi) Frecuencia Absoluta Acumulada (Fi) Frecuencia Relativa (hi) Frecuencia Relativa Acumulada (Hi) Porcentaje (%) 4) Clasificación de las Distribuciones de Frecuencia según el Número de Datos. 4.1Distribuciones de Frecuencias para Datos No Agrupados: este tipo de distribución se utiliza para ordenar datos cuando el número de los mismos
- 3. es menor que treinta (N<30). La tabla contiene los elementos básicos de una distribución de frecuencias. Ejemplo 4: Considere los datos del ejemplo N° 1 y elabore la tabla de distribución de frecuencias. Solución: Primero nótese que el número total de datos es 18, esto quiere decir que utilizaremos una tabla de distribución de frecuencia para datos no agrupados; N° de Errores por Turno (Xi) fi Fi hi Hi % 0 2 1 2 2 5 3 3 4 2 5 4 4.2Distribuciones de Frecuencias 4.3para datos Agrupados en intervalos o clases Este tipo de distribución se utiliza cuando se tiene un conjunto muy extenso de valores distintos lo cual hace que la construcción de la distribución sea muy laboriosa y extensa. El método consiste en “agrupar” los datos en clases o intervalos lo cual reduce significativamente el proceso de construcción de la distribución. 4.2.1 Pasos para Construir una Distribución de Frecuencias para Datos Agrupados en Clases o Intervalos - Paso N°1: Se determina el número de clases o intervalos, la cual se denota por K, por lo general se estima que el menor número de clases permisibles es cuatro (04) y el mayor es quince (15). El criterio de Sturges permite determinar o estimar el número de clases que debe tener una serie estadística de datos agrupados. La fórmula de cálculo del número de clases es la siguiente: 𝐾 ≅ 1 + 3,32log (𝑁) Dónde k es el número de clases y N el número total de datos. - Paso N°2: Se determina o estima el tamaño de cada clase, es decir, la amplitud de los intervalos, esto se hace con la siguiente ecuación;
- 4. 𝐴 ≅ 𝑅 𝐾 ; 𝑅 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 Dónde R es el rango o recorrido de la variable y K es el número de intervalos o clases calculado en el paso N°1. Cabe resaltar que la amplitud de las clases debe ser la misma en toda la distribución. - Paso N°3: Se determina el punto inicial de la primera clase o intervalo, para ello debe considerarse el menor valor de la serie estadística. Las clases estarán formadas por dos extremos o límites, uno mayor llamado límite superior y uno menor llamado límite inferior, estos a su vez pueden ser de dos tipos: aparentes y reales. Aparente: Xi – Xs Reales: Li – Ls Ejemplos: 2 - 4 1,5 – 4,5 Los límites reales se determinan sumándole y restándole 0.5 a la última cifra significativa. Se utilizan para evitar las ambigüedades a la hora de ubicar los datos en los intervalos o clases. - Paso N°4: Para efectos de cálculo es necesario calcular el punto medio de cada clase, el cual se obtiene por la semi suma de los extremos o límites, es decir, 𝑋𝑚 = 𝐿𝑖 + 𝐿𝑠 2 Donde Xm son las marcas de clase y Li y Ls son los límites inferior e inferior respectivamente. - Paso N° 5: Para asegurar que se ha realizado una buena distribución de los datos, se debe verificar que el menor valor de la serie se ubique en la primera clase y el mayor en la última. Ejemplo 5: Los siguientes datos representan los tiempos de averias que sufren los componentes electrónicos de ciertos aparatos de una compañía: 10 10 12 14 16 19 21 22 23 23 24 25 26 28 29 30 30 31 32 32 32 34 34 35 37 38 40 40 41 42 42 42 44 45 47 48 48 49 50 51 52 53 54 56 56 58 59 61 Organice los Datos en una tabla de distribución de frecuencias para datos agrupados en clases o intervalos.
- 5. TEMA 3: REPRESENTACIONES GRÁFICAS En determinados casos es más fácil interpretar un conjunto de fenómenos estadísticos por medio de un gráfico que por medio de una serie de números. Después de agrupar los datos estadísticos en tablas numéricas es conveniente hacer un dibujo al cual se le llama gráfico o diagrama, este dibujo va a depender de las necesidades y características del problema o fenómeno estudiado. A continuación Mencionaremos los gráficos más utilizados en estadística. 3.1) Grafico de Barras: En él se asocia a cada valor de la variable una barra, cuya longitud es igual o proporcional a su frecuencia. Ejemplo: 3.2) Histograma de Frecuencias: Está formado por rectángulos, cuyas bases corresponden con los intervalos de clase y sus Áreas son iguales o proporcionales a sus frecuencias. Ejemplo:
- 6. 3.3) Polígono de Frecuencias: Es una línea poligonal que une los vértices superiores de las barras de un diagrama de barras, o los puntos medios de las bases superiores de los rectángulos de un histograma. Ejemplo: 3.4) Diagrama de Sectores o Gráfico Circular: Es un gráfico formado por un círculo dividido en sectores circulares cuyas amplitudes son proporcionales a las frecuencias de los datos representados. Ejemplo: 3.5) Pictogramas: Los pictogramas son gráficos similares a los gráficos de barras, pero empleando un dibujo en una determinada escala para expresar la unidad de medida de los datos. Generalmente este dibujo debe cortarse para representar los datos. Se usan para lograr el interés masivo del público.
- 7. Ejemplo: 3.6) Grafico de Líneas: En este tipo de gráfico se representan los valores de los datos en dos ejes cartesianos ortogonales entre sí. Se pueden usar para representar una o más series. Ejemplo:
- 8. Ejercicios Propuestos En los siguientes ejercicios construya la distribución de frecuencias según el número de datos de la serie, luego elabore un grafico estadístico adecuado para el mismo. 1) Los siguientes datos corresponden a las notas obtenidas por un grupo de 24 personas en un curso de emprendimiento: 3,2 4,2 5,6 6,0 2,8 3,9 4,2 4,2 5,0 5,0 3,9 3,9 3,2 3,2 4,2 5,6 6,0 6,0 3,2 6,0 4,2 5,0 5,6 5,0 2) En una Empresa se ha encuestado a 30 trabajadores sobre el número de hijos que tienen, el resultado ha sido el siguiente: 2 1 1 0 1 2 1 5 3 6 1 2 0 3 0 1 1 2 3 4 4 2 1 1 1 2 0 3 1 1 3) Los siguientes datos corresponden a los lugares favoritos de vacaciones de los empleados de una empresa: Mar – Montaña – Campo – Mar – Mar – Montaña – Campo – Mar – Mar – Montaña – Campo – Mar – Campo – Montaña – Campo – Mar 4) Consideremos los siguientes datos, expresados en metros, correspondientes a las estaturas de 80 estudiantes de Bachillerato. 1,67 1,72 1,81 1,72 1,74 1,83 1,84 1,88 1,92 1,75 1,86 1,73 1,84 1,87 1,83 1,81 1,77 1,73 1,75 1,78 1,77 1,67 1,83 1,83 1,72 1,71 1,85 1,84 1,93 1,82 1,69 1,70 1,81 1,66 1,76 1,75 1,80 1,79 1,84 1,86 1,80 1,77 1,80 1,76 1,88 1,75 1,79 1,87 1,79 1,77 1,67 1,74 1,75 1,78 1,77 1,74 1,73 1,83 1,76 1,83 1,77 1,75 1,77 1,77 1,84 1,83 1,79 1,82 1,76 1,76 1,76 1,79 1,88 1,66 1,80 1,72 1,75 1,79 1,77 5) Los resultados de un test de inteligencia hecho a 25 personas fueron : 100, 80, 92, 101, 65, 72, 121, 68, 75, 93, 101, 100, 102, 97, 89, 73, 121, 114, 113, 106, 84, 94, 83, 74 , 90, 78, 81, 72, 102, 100, 83, 75, 85, 69.
- 9. 6) Dada la siguiente información sobre las temperaturas (°F), obtenida en una determinada ciudad durante el mes de abril: 7) Se ha obtenido la siguiente información sobre el número de transacciones mensuales de carteras gestionadas por una importante compañía de crédito: 8) .- Las masas en kilogramos de 24 personas son: 68,5 47,3 62,5 58,6 30,5 48,6 34,2 79,2 58,7 50,2 42,7 58,8 47,5 46,5 80 60,5 59,4 72 39,2 58,3 63,4 70,8 39,3 60