Tema ii sistema de ecuaciones lineales algebra uai uney

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN
INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL
PROFESOR: JULIO C BARRETO G TRAYECTO I UNIDADES ACREDITABLES I
TEMA II
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
ANTECEDENTES HISTÓRICOS
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido
como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto
de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de
primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo1
. Un ejemplo de sistema
lineal de ecuaciones sería el siguiente:








3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
Este es un sistema con 3 ecuaciones lineales y 3 incógnitas, donde zyx ,, son las
incógnitas y los números iii cba ,, con 31i son los coeficientes del sistema sobre el
cuerpo de números reales. El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de
las variables yx, y z que satisfacen las tres ecuaciones. El problema de los sistemas
lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de
aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación,
predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de
problemas no lineales de análisis numérico.
En esta sección se analizan las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales
sobre el cuerpo ,R es decir, los sistemas lineales en los cuales los coeficientes de las
ecuaciones son números reales.
1
En álgebra abstracta, un anillo es una estructura algebraica formada por un conjunto  A y
dos operaciones, llamadas usualmente suma y producto  ,,, A de modo que  ,A es
un grupo conmutativo con elemento neutro (que designamos 0), y el producto  es asociativo y
tiene la propiedad distributiva respecto de la suma. Si el producto es conmutativo hablaremos de
un anillo conmutativo y si el anillo posee un elemento neutro para el producto, lo llamaremos anillo
con unidad (a la que designaremos 1) o anillo unitario. El ejemplo más intuitivo de un anillo es el
conjunto de los números enteros.

TEMA II: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 ÁLGEBRA
TIPOS DE SISTEMAS
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que
pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:
 Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre:
a) Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.
b) Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de
soluciones.
 Sistema incompatible si no tiene solución.
Quedando así la clasificación:
 Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de
(hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto.
 Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o
rectas que se cruzan sin cortarse.
 Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se
cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión
menor.

TÉCNICAS DE RESOLUCIÓN
1) RESOLUCIÓN POR IGUALACIÓN:
Se efectúan los siguientes pasos:
a) Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
b) Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
c) Se resuelve la ecuación.
d) El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que
aparecía despejada la otra incógnita.
e) Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Vamos a explicarlo a través de un ejemplo:
Tenemos que resolver el sistema:





1852
2234
yx
yx
Esto significa, encontrar el punto de intersección entre las rectas dadas, de las cuales
se conoce su ecuación.
Despejamos una de las dos variables en las dos ecuaciones, con lo cual tenemos un
sistema equivalente (en este caso elegimos y ):









5
218
3
422
x
y
x
y
Recordamos que al tener dos ecuaciones, si los primeros miembros son iguales los
segundos también lo son, por lo tanto:
5
218
3
422 xx 


Luego:
   xx 21834225 

Esto es:
4
14
56
5614
11054620
65420110







x
x
x
xx
xx
Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos la
segunda):
 
5
4218 
y
Operamos para hallar el valor de :y
2
5
10
5
818




y
y
y
Verificamos, en ambas ecuaciones, para saber si realmente    :2,4, yx
   
   




181082542
226162344
Ahora sí, podemos asegurar que:
4x e .2y

EJERCICIO: Realice este mismo ejemplo despejando x al comienzo y
reemplazando en las dos ecuaciones.
2) RESOLUCIÓN POR SUSTITUCIÓN:
a) Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
b) Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una
ecuación con una sola incógnita.
c) Se resuelve la ecuación.
d) El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita
despejada.
Vamos a explicarlo a través del mismo ejemplo: Tenemos que resolver el sistema:





1852
2234
yx
yx
Despejamos una de las variables en una de las ecuaciones (en este caso elegimos y
en la primera ecuación):
3
422 x
y


Y la reemplazamos en la otra ecuación:
18
3
422
52 




 

x
x
Operamos para despejar la única variable existente ahora:
18
3
20110
2 


x
x
Esto es:

3
110
18
3
20
2
18
3
20
3
110
2


x
x
x
x
4
14
56
5614
3
11054
3
206








x
x
x
xx
Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos
arbitrariamente la primera):
 
2
3
6
63
16223
22316
22344






y
y
y
y
y
y
Hallamos la respuesta ,4x ,2y obviamente igual que en el caso anterior.
NOTA: No verificaremos, dado que ya sabemos que esta respuesta es correcta.
EJERCICIO: Realice este mismo ejemplo despejando x al comienzo.
3) RESOLUCIÓN POR REDUCCIÓN:
a) Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.
b) La restamos, y desaparece una de las incógnitas.
c) Se resuelve la ecuación resultante.
d) El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

Vamos a explicarlo a través del mismo ejemplo: Tenemos que resolver el sistema:





1852
2234
yx
yx
El objetivo es eliminar una de las incógnitas, dejándolas inversas aditivas, sabiendo
que una igualdad no cambia si se la multiplica por un número.
NOTA: También sabemos que una igualdad no se cambia si se le suma otra igualdad.
Si se quiere eliminar la ,x ¿por qué número debo multiplicar a la segunda ecuación,
para que al sumarla a la primera se obtenga cero?
La respuesta es -2. Veamos:
 




2Por1852
2234
yx
yx
Con lo que obtenemos:
147
36104
2234
-y-
yx
yx






Y la sumamos la primera obteniéndose:
2
7
14




y
y
Reemplazar el valor obtenido de y en la primera ecuación:
  22234 x
Y finalmente hallar el valor de :x

4
4
16
164
6224
2264





x
x
x
x
x
Hallamos la respuesta ,4x ,2y obviamente igual que en el caso anterior. Y no
verificaremos, dado que ya sabemos que esta respuesta es correcta.
EJERCICIO: Realice este mismo ejemplo pero eliminando .y
Geométricamente ocurre que:
4) RESOLUCIÓN GRÁFICA:
Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema El proceso
de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en
los siguientes pasos:
 Se despeja la incógnita ( y ) en ambas ecuaciones.
 Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la
tabla de valores correspondientes.
 Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
 En este último paso hay tres posibilidades:

a) Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos
valores de las incógnitas  ., yx "Sistema compatible determinado".
b) Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las
respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas.
"Sistema compatible indeterminado".
c) Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. "Sistema
incompatible".
EJEMPLO: Entre Adriana y Carlos tienen 600 Bs, pero Carlos tiene el doble de Bs
que Adriana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?
SOLUCIÓN: Llamemos " x " al número de Bs de Adriana y " y " al de Carlos.
Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos
tienen 600 lempiras, esto nos proporciona la ecuación .600 yx Si Carlos tiene el
doble de lempiras que Adriana, tendremos que .2xy  Ambas ecuaciones juntas forman
el siguiente sistema:





02
600
yx
yx
Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita y en ambas
ecuaciones y tendremos:





xy
xy
2
600
Vamos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas de valores:
x 200 600
600 xy 400 0
Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en
los ejes “X” y "Y", podemos ya representar gráficamente:
x 100 200
xy 2 200 400

DESCRIPCIÓN DE LA GRAFICA: Si observamos la gráfica, vemos claramente
que las dos rectas se cortan en el punto (200, 400), luego la solución del sistema es
200x e .400y
La respuesta del problema planteado es que: 200x (Adriana) 400y (Carlos) .
EJERCICIO PROPUESTO: Resuelve por los cuatro métodos anteriores:






4084
4
4
1
2
3
yx
yx
5) MÉTODO DE GAUSS:
Este método consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada
ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.
1. Ponemos como primera ecuación la que tenga como coeficiente de :x 1 ó -1, en
caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las
incógnitas.
2. Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª
ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación.
3. Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término
en .x
4. Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el
término en .y
5. Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6. Encontrar las soluciones.
EJEMPLO:








1
2435
123
zyx
zyx
zyx
1. Ponemos como primera ecuación la que tenga como coeficiente de :x 1 ó -1, en
caso de que no fuera posible lo haremos con y o ,z cambiando el orden de las
incógnitas.








2435
123
1
zyx
zyx
zyx
2. Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª
ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:
122 3E-E=E'
24
3333
123






zy
zyx
zyx
3. Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en .x
133 5E-E=E'
392
5555
2435






zy
zyx
zyx
Quedándonos:








392
24
1
zy
zy
zyx

4. Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el
término en .y
233 2E'-E'='E'
1
482
392






z
zy
zy
5. Obtenemos el sistema equivalente escalonado.








1
24
1
z
zy
zyx
6. Encontrar las soluciones.
En la 3ª ecuación tenemos que: 1z
Sustituyendo este valor en la 2ª ecuación:
6
6
42
24214




y
y
y
=--y= -·- y +
Y ahora, sustituyendo estos valores en la 1ª ecuación:
4
51
15116
x = -
-x
x=-x +



La solución viene dada por: ,1z 6y e .4x
OBSERVACIÓN: Comúnmente el método es llamado Gauss Simple.
6) RESOLUCIÓN POR DETERMINANTE:

REGLA DE CRAMER
La regla de Cramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema
lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel
Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes
courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en
su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729). La regla
de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del
sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su
aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa:
computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en
aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es
necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices
pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.
Ahora, definamos un determinante de orden 3 se calcula mediante la regla de Sarrus:
O tomemos en cuenta que sea una matriz   .nnijaA 

Si ,1n definimos   .det 11aA  Si ,2n definimos      .det1det
1
11
1



n
j
jj
j
AaA
Es decir, sabemos que un determinante se representa como:
dc
ba
se calcula de la
siguiente manera: cbda 
Sea el sistema:





222
111
cbxa
cbxa
El valor de x e y están dados por:
22
11
22
11
ba
ba
bc
bc
x  e
22
11
22
11
ba
ba
ca
ca
y 

Resolvamos el sistema:





1852
2234
yx
yx
Luego, de acuerdo con lo anterior tenemos que:
4
14
56
620
54110
52
34
518
322
22
11
22
11




ba
ba
bc
bc
x
2
14
28
620
4472
52
34
182
224
22
11
22
11




ba
ba
ca
ca
y
El punto de intersección de las rectas dadas es {(4, 2)}
Y de manera general de la forma      .det1det
1



n
j
ijij
ji
AaA
Es decir, también podemos resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres
incógnitas usando generalizando la RESOLUCIÓN POR DETERMINANTE.
La regla para un sistema de 3x3, con una división de determinantes:








lizhygx
kfzeydx
jczbyax
Luego, zyx ,, pueden ser encontradas como sigue:
,
ihg
fed
cba
ihl
fek
cbj
x 
ihg
fed
cba
ilg
fkd
cja
y 
e
ihg
fed
cba
lhg
ked
jba
z 

EJEMPLO: Dado el sistema de ecuaciones lineales:








42
22
123
zyx
zx
zyx
Los valores de yx, e z serían los que nos den al resolver:
,
211
102
123
214
102
121

x
211
102
123
241
122
113


y e
211
102
123
411
202
123


z
EJERCICIO: Realizar los cálculos anteriores.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Resuelve los siguientes sistemas usando los métodos de igualación, sustitución,
reducción y grafico:
a)





1034
8
yx
yx
b)





1642
643
yx
yx
c)







35
41
5
4
7
3
10
19
4
3
5
2
yx
yx
d) La suma de las edades de 2 niños es 8 años, el triple de uno más el doble del
otro es 23 años” Hacer el sistema y encontrar las edades de los niños.
1. Resuelve los siguientes usando los métodos de Gauss Simple y la regla de Cramer :
a)








9432
164
135
zyx
zyx
zyx
b)








1334
423
622
zyx
zyx
zyx
c)








775,05,375,0
65,05,15,3
35,15,05,2
zyx
zyx
zyx
d) Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6
kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo,

sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón
cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.
e) Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste
americano y terror. Se sabe que:
El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30%
del total de las películas.
El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror
al representan la mitad del total de las películas.
Hay 100 películas más del oeste que de infantiles.
Halla el número de películas de cada tipo.
f) Los lados de un triángulo miden 26, 28 y 34 cm. Con centro en cada vértice se
dibujan tres de conferencias, tangente entre sí dos a dos. Calcular las longitudes de
los radios de las circunferencias.
ANEXO I: SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello
seguiremos los siguientes pasos:
1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer
grado.
2. Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.
3. Se resuelve la ecuación resultante.
4. Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así
los valores correspondientes de la otra incógnita.
EJEMPLO: Resuelve el sistema





7
2522
yx
yx
SOLUCIÓN:
1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer
grado: xy  7
2. Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación:   257
22
 xx
3. Se resuelve la ecuación resultante.
251449 22
=x + x-+x o equivalentemente 01272
=x +-x
Luego, usando la resolvente de la ecuación de segundo grado:

a
cabb
x



2
42
Tomando ,12,7,1  cba tenemos que:
   
2
17
2
17
2
48497
12
121477
2








x
De aquí obtenemos: 4
2
8
2
17
1 

x y 3
2
6
2
17
2 

x
4. Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así
los valores correspondientes de la otra incógnita.
4373 y =-=yx = 
3474 y =-y =x = 
EJERCICIOS: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones no
lineales:
a)





12
8
yx
yx
b)





17
16922
yx
yx
c)





5
122
yx
xyy
d)








1
11
13
11
22
yx
yx
e) El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son
esos números?
f) Halla una fracción equivalente a
7
5
cuyos términos elevados al cuadrado sumen
1184
g) El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son
esos números?
ANEXO II: APLICACIONES EN FÍSICA: LEYES DE KIRCHOFF
LEY DE LOS NUDOS: La suma algebraica de las intensidades que concurren en un
nudo de una red es igual a 0.
  .021 ni IIII 
Adoptaremos el siguiente criterio de signos:
- Intensidades entrantes al nudo: Signo +

- Intensidades salientes del nudo: Signo –
OBSERVACIÓN: La ley se basa en el principio de la conservación de la
carga donde la carga en coulombs es el producto de la corriente en amperios y el tiempo en
segundos. Por ejemplo: Dado el siguiente nudo de una red, halla la intensidad que circula
por el cable .4I
LEY DE LAS MALLAS: La suma algebraica de las caídas de potencial a lo largo de
una malla es igual a la suma algebraica de las fuerzas electromotrices y
contraelectromotrices que en ella se encuentran.
  iii RI .
EJERCICIO: Considere el circuito de la figura:
Verifique que aplicando la ley de Kirchhoff que para la malla de la izquierda
obtenemos que 9 i1 – 3i2 = 42 y para la malla derecha -3 i1 + 7 i2 = 10.Y concluya
que la solución de este sistema de ecuaciones es: i1 = 6 A, i2 = 4 A
EJERCICIO: Encontrar i1 e i2 en el circuito:
2A
3A
1A
I4

ANEXO III: APLICACIÓN EN QUÍMICA (BALANCEO)
BALANCEO DE UNA ECUACIÓN QUÍMICA
Balancear una ecuación significa que debe de existir una equivalencia entre el
número de los reactivos y el número de los productos en una ecuación. Lo cual, existen
distintos métodos, como los que veremos a continuación: Para que un balanceo sea
correcto: “La suma de la masa de las sustancias reaccionantes debe ser igual a la suma de
las Masas de los productos”. Esta es la Ley de la conservación de las masas.
EJEMPLO: Balancear   OHCaSOOHCaSOH 24242  consiste en hallar
los valores de uzyx ,,, tal que:   OuHzCaSOOHyCaSOxH 24242  . Quede
balanceada analíticamente y no por simple tanteo.
SOLUCIÓN: Se trata de balancear la ecuación por métodos matemáticos, luego por
la ley de conservación de la masa, tenemos que:
 Para el hidrógeno: uyx 222 
 Para el azufre: zx 
 Para el oxígeno: uzyx  424
 Para el calcio: zy 
Lo que nos plantea el siguiente sistema homogéneo:
 











0
0424
0
0:mejoro0222
zy
uzyx
zx
uyxuyx

Hallando el determinante en la segunda columna de la matriz de los coeficientes,
teniendo en cuenta que allí es donde hay mayor cantidad de ceros (0) que pueden hacernos
reducir las cuentas, tenemos que de acuerdo con su determinante es 0. Así, tenemos que el
sistema tiene solución no trivial de acuerdo con el LEMA. Ahora, calculemos por Gauss
según el sistema de ecuaciones:








3
2
1
E000
E000
E00
wzyx
wzyx
wzyx
Luego nos queda:   OtHtCaSOOHtCaSOtH 24242 2 . Haciendo
,1t queda:   OHCaSOOHCaSOH 24242 2
EJERCICIOS:
1. Balancee: NOOHONH  223 usando sistemas de ecuaciones.
2. Balancee usando sistemas de ecuaciones:
  OHSSOCrSOKSOHSHOCrK 234242422722 
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 Anton, H. (1994). Introducción al Álgebra Lineal. Tercera Edición. Editorial Limusa, S.
A de C. V. Noriega Editores. México.
 Barreto J. (2016). Álgebra Lineal (Aplicaciones a las Ciencias y a la Ingeniería).
Autores Editores.
 Barreto, J. (2015). Introducción al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eléctricos, al balanceo de ecuaciones químicas, a la investigación de operaciones y
la programación lineal. Colección de Universitaria. (1).
https://www.createspace.com/5230822
 Grossman S. Stanley I. (2008). Álgebra Lineal. The McGraw-Hill Companies, Inc.
Sexta Edición. México D. F
 Luís, González. (1981). Álgebra II. Universidad Nacional Abierta. Décima primera
reimpresión 2007. Caracas, Venezuela.
 Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra
lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades.
Editorial Reverté.
 Serge Lang. (1976). Álgebra Lineal. Fondo Interamericano S. A. México D. F
“El primer paso hacia la sabiduría es el reconocimiento de la propia ignorancia”
Siddhartha

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