Teoría de las Ecuaciones
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El documento trata sobre la clasificación de ecuaciones según el número de soluciones y su grado, definiendo términos como ecuaciones compatibles y incompatibles. Se detallan las ecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo ejemplos de cómo resolverlas mediante factorización y fórmula general. Además, se abordan otros tipos de ecuaciones, como numéricas, literales, polinómicas, racionales e irracionales, explicando sus características y métodos de solución.
Teoría de las Ecuaciones
- 2. DEFINICIÓN Es una igualdad que sólo se satisface o verifica para sistemas particulares de valores numéricos asignados a sus letras. Las letras reciben el nombre de incógnitas, que por lo general se representa con las últimas letras del alfabeto (…,x,y,z). Ejemplos
- 3. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES SEGÚN EL NÚMERO DE SOLUCIONES • ECUACIÓN COMPATIBLE • DETERMINADA • INDETERMINADA • ECUACIÓN INCOMPATIBLE SEGÚN EL GRADO DE SUS MIEMBROS • ECUACIÓN DE PRIMER GRADO • ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO SEGÚN LA NATURALEZA DE SUS MIEMBROS • ECUACIÓN NUMÉRICA • ECUACIÓN LITERAL • ECUACIÓN POLINOMIAL • ECUACIÓN RACIONAL • ECUACIÓN IRRACIONAL
- 4. ECUACIÓN COMPATIBLE Es llamada también ecuación posible y ocurre cuando la ecuación admite solución y por el número de soluciones puede ser: 1. Compatible Determinada. Cuando se puede soluciones, el conjunto solución es un conjunto finito. Ejemplo: enumerar sus Tiene 3 soluciones: 1; 2 y -3 2. Compatible Indeterminada. Cuando no es posible enumerar sus soluciones, el conjunto solución es un conjunto infinito. Ejemplo: Tiene infinitas soluciones, excepto para x=3.
- 5. ECUACIÓN INCOMPATIBLE Es llamada también ecuación imposible y es aquella ecuación que no admite solución y también se le llama absurda o inconsistente. Ejemplo: Resuelve Solución: Multiplicamos en aspa, y obtenemos: Desarrollamos los productos notables y reducimos términos semejantes …ABSURDO
- 6. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Conocida también como ecuación lineal, es aquella ecuación donde la incógnita o variable es de primer grado y tiene la siguiente forma: La ecuación tiene por raíz :
- 7. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Recomendaciones para sus solución: • Suprimimos signos de colección o agrupación. • Efectuamos reducción de términos semejantes en cada miembro. • Hacemos transposición de términos, escribiendo los que son independientes en uno de los miembros y los que no lo son en el otro miembro de la ecuación. • Volvemos a reducir términos semejantes. • Despejamos la incógnita.
- 8. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Ejemplo: Solución: Suprimimos los signos de colección o agrupación Reducimos términos semejantes en cada miembro Transponemos términos, las variables en uno y los términos independiente en el otro Reducimos términos semejantes y despejamos la incógnita
- 9. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Conocida también como ecuación cuadrática, es aquella ecuación donde la incógnita o variable es de segundo grado y tiene la siguiente forma: Clases de ecuaciones cuadráticas • E. Cuadráticas Incompletas • E. Cuadráticas Completas Propiedades de las raíces de las ecuaciones cuadráticas • Suma de sus raíces • Producto de sus raíces
- 10. ECUACIÓN CUADRÁTICA INCOMPLETA Es aquella ecuación cuadrática en la que falta uno de sus términos y pueden ser: Factorizamos por factor común cero cero
- 11. ECUACIÓN CUADRÁTICA COMPLETA Esta ecuación se resuelve por factorización o por la fórmula general. 1. Por Factorización. • Se suprimen los signos de agrupación y se reducen los términos semejantes en cada miembro. • Se trasladan todos los términos de la ecuación miembro, dejando el otro miembro igual a cero. a un solo • Se reduce los términos semejantes del primer miembro de la ecuación. • Se factoriza el trinomio resultante por los métodos: trinomio cuadrado perfecto, aspa simple o completando cuadrados. • Luego se iguala cada factor de la ecuación a cero.
- 12. ECUACIÓN CUADRÁTICA COMPLETA Ejemplo : Resolver Se suprimen los signos de agrupación y se reducen los términos semejantes Trasladamos los términos de la ecuación a un solo miembro e igualamos a cero. Se reduce los términos semejantes del primer miembro de la ecuación. Se factoriza por aspa simple e igualamos a cero cada factor de la ecuación. cero cero
- 13. ECUACIÓN CUADRÁTICA COMPLETA 2. Por Fórmula General, utiliza los coeficientes de la ecuación cuadrática Ejemplo : Resolver, Solución:
- 14. PROPIEDADES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA 1. Suma de raíces de la ecuación de segundo grado es igual al coeficiente de x con signo contrario, dividido por el coeficiente de x2 2. Producto de raíces de la ecuación de segundo grado es igual al término independiente dividido por el coeficiente de x2
- 15. ECUACIÓN NUMÉRICA Se denomina así a aquella ecuación en donde la única letra que aparece es la que representa a la variable. Ejemplo: Solución:
- 16. ECUACIÓN LITERAL Ejemplo: Operamos en los paréntesis, y calculamos su mcm
- 17. ECUACIÓN POLINOMIAL Es aquella ecuación donde los miembros que la forman son funciones polinomiales, el conjunto de valores admisibles de una ecuación polinomial es el conjunto de los números complejos. Ejemplo : Desarrollamos los productos notables indicados: Multiplicamos por (-1) ambos miembros de la ecuación,
- 18. ECUACIÓN RACIONAL Es aquella ecuación donde los miembros que la forman son funciones racionales, y al menos uno de ellos además es fraccionaria. El conjunto de valores admisibles de una ecuación racional es el conjunto de los números complejos, con excepción de aquellos valores que anulan a los denominadores. Ejemplo : Sol : Calculamos el mcm y lo multiplicamos por cada término de la ecuación Reducimos términos semejantes, Factorizamos e igualamos a cero cada factor,
- 19. ECUACIÓN IRACIONAL Es aquella ecuación donde al menos uno de los miembros que la forman es una función irracional. El conjunto de valores admisibles de una ecuación irracional es el conjunto de los números complejos. Ejemplo : Elevamos al cuadrado la ecuación: ,reducimos Elevamos al cuadrado otra vez, Factorizamos e igualamos a cero cada factor,