Trabajo de prueba de hipótesis
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Este documento presenta la resolución de 8 problemas de pruebas de hipótesis utilizando estadística inferencial. Cada problema incluye la formulación de hipótesis nula e hipótesis alternativa, el cálculo del estadístico de prueba, y la decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula basada en el nivel de significancia y el valor crítico. Los problemas abarcan una variedad de pruebas paramétricas y no paramétricas como t de Student, Ji-cuadrado y z.
Trabajo de prueba de hipótesis
- 1. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN PROCESOS INDUSTRIALES ÁREA MANUFACTURA Prueba de Hipótesis Problemas Resueltos Iris Márquez 2012 MIERCOLES 1 8 eD c o A e sR I1L8 2d0 1 a b r i l mi rE l B e 2 2012 Página 1
- 2. 1. Una empresa que se dedica a hacer encuestas se queja de que un agente realiza en promedio 53 encuestas por semana. Se ha introducido una forma mas moderna de realizar las encuestas y la empresa quiere evaluar su efectividad. Los números de encuestas realizadas en una semana por una muestra aleatoria de agentes son: 53 57 50 55 58 54 60 52 59 62 60 60 51 59 56 En el nivel de significancia 0.05 puede concluirse que la cantidad media de entrevistas realizadas por los agentes es superior a 53 por semana? Evalué el valor p u= 53 n= 15 =56.4 S= # Encuestas x- (x- 53 -3.4 11.56 2809 57 0.6 0.36 3249 50 -6.4 40.96 2500 55 -1.4 1.96 3025 58 1.6 2.56 3364 54 -2.4 5.76 2916 60 -3.6 12.96 3600 52 -4.4 19.36 2704 59 2.6 6.76 3481 62 5.6 31.36 3844 60 3.6 12.96 3600 60 3.6 12.96 3600 51 -5.4 29.16 2601 59 2.6 6.76 3481 56 -0.4 0.16 3136 846 195.6 47910 Universidad Tecnológica de Torreón | Iris Márquez 2 C
- 3. Planteamiento de hipótesis a) Prueba de una cola b) Nivel de significancia 0.05 c) Estadístico de Prueba t= Área= 0.4989 d) Plantear la regla de decisión = 0.05 y gl= n-1 = 15- 1= 14 Si t > 1.761 Se rechaza y se acepta Tomar la decisión: Como t(3.53) > 1.761 se rechaza la hipótesis nula y se rechaza y se concluye que la cantidad media de entrevistas realizadas por los agentes es mayor a 53 por semana Valor p = 1.761 es 0.4989 P= 0.50 – 0.4989 = 0.0011 Universidad Tecnológica de Torreón | Iris Márquez 2 C
- 4. 2. Las puntuaciones en un test que mide la variable creatividad siguen, en la población general de adolescentes, una distribución Normal de media 11,5. En un centro escolar que ha implantado un programa de estimulación de la creatividad una muestra de 30 alumnos ha proporcionado las siguientes puntuaciones: 11 9 12 17 8 11 9 4 5 14 9 17 24 19 10 17 17 8 23 8 6 14 16 6 7 15 20 14 15 9 A un nivel de confianza del 95% ¿Puede afirmarse que el programa es efectivo? Solución = 11,5 > 11,5 El estadístico de contraste en este caso es: t= La media muestral = 11+9+12+17+8+11+9+4+5+9+14+9+17+24+19+10+17+17+8 +23+8+ 6+14+16+6+7+15+20+14+15= 374/30= 12.47 La desviación típica de la muestra es = 5.22, sustituyendo en el estadístico estos valores se obtiene: t= = t= = t= = t= 1.00 Como el contraste es unilateral, buscamos en las tablas de la t de Student, con 29 grados de libertad, el valor que deja por debajo de sí una probabilidad de 0.95, que resulta ser 1.699 El valor del estadístico es menor que el valor crítico, por consiguiente se acepta la hipótesis nula. La interpretación sería que no hay evidencia de que el programa sea efectivo. Universidad Tecnológica de Torreón | Iris Márquez 2 C
- 5. 3. Una compañía de transportes requiere comprar un gran lote de buses para el transporte urbano con el fin de reemplazar su parque automotor y para tal fin desea comprobar la afirmación hecha por el proveedor de la marca B, en el sentido de que la marca A es menos ahorradora de combustible. Para tal fin la empresa toma una muestra aleatoria de 35 vehículos marca A y encuentra que la misma tiene un promedio en el rendimiento de 18 km/galón con una desviación estándar de 8 km/galón, mientras que una muestra de 32 vehículos marca B presenta un promedio de 22 km/galón con desviación estándar de 3 km/galón. ¿Qué decisión debe tomar el gerente de la compañía con un nivel de significación del 5%? Solución Hipótesis nula e hipótesis alternativa: Nivel de Significación: Si el valor de Z calculado es menor que -1.64 se rechaza la hipótesis nula de que el rendimiento en ambas marcas es igual Calculo del estadístico sobre el cual se basara la decisión: : Z= = -2.75 Como el valor de X calculando (-2.75) se encuentra en la zona de rechazo, entonces, con un nivel de significación del 5%, debemos rechazar la hipótesis nula de que el ahorro en ambas marcas es igual y en estas condiciones debemos aceptar la hipótesis alternativa de que la marca A es menos ahorradora de combustible que la marca B. Universidad Tecnológica de Torreón | Iris Márquez 2 C
- 6. 4. Las puntuaciones en un test de razonamiento abstracto siguen una distribución Normal de media 35 y varianza 60. Para evaluar un programa de mejora de las capacidades intelectuales, a 101 individuos que están realizando este programa se les pasa el test, obteniéndose una media de 50 puntos y una varianza de 80 ¿Puede asegurarse, a un nivel de confianza del 90%, que el programa incrementa las diferencias individuales en esta variable? Solución s2 = 60 s2 > 60 El estadístico de contraste es: Sustituyendo en el estadístico obtenemos: = = 134.7 Como el contraste es unilateral buscamos en las tablas de la Ji-cuadrado, con 100 grados de libertad, el valor de la variable que deja por debajo de sí una probabilidad de 0,9, este valor es 118,5. El valor del estadístico es mayor que el valor crítico, por consiguiente se rechaza la hipótesis nula. En efecto, la varianza es significativamente mayor lo que indica que ha aumentado la dispersión de las puntuaciones lo que indica que se han incrementado las diferencias entre los individuos. Universidad Tecnológica de Torreón | Iris Márquez 2 C
- 7. 5. Suponga una variable aleatoria X para designar el peso de un pasajero de avión, que se interesa en conocer el peso promedio de todos los pasajeros. Como hay limitaciones de tiempo y dinero para pesarlos a todos, se toma una muestra de 36 pasajeros de la cual se obtiene una media muestral x= 160 lbs. Suponga además que la distribución de los pasajeros tenga una distribución normal con desviación estándar de 30, con un nivel de significancia de 0.05. Se puede concluir que el peso promedio de todos los pasajeros es menor que 170 lbs? Datos n=36 Rechazo No Rechazo Rechazo Esto quiere decir que el peso promedio de todos los pasajeros es menor que 170 lbs. Universidad Tecnológica de Torreón | Iris Márquez 2 C
- 8. 6. En una muestra de 66 alumnos se ha calculado el coeficiente de correlación de Pearson entre sus puntuaciones en el primer parcial de Análisis de Datos y el tiempo que se emplea en desplazarse desde su domicilio hasta la Facultad, obteniéndose que r vale 0,24. Podemos mantener, con un nivel de confianza del 95%, la idea de que estas variables son incorreladas, o por el contrario debemos rechazarla. Solución =0 0 El estadístico de contraste es: t= Sustituyendo tenemos: t= = t= = t= = t= 1.98 El contraste es bilateral, por ello buscamos en las tablas de la t de Student, con 60 Grados de libertad (el valor más próximo a 64 que figura en nuestras tablas), el valor que deja por debajo una probabilidad de 0,975 que es 2. Por tanto la región de aceptación será el intervalo (-2 ,, 2). El valor del estadístico pertenece a la región de aceptación, por consiguiente se acepta la hipótesis nula. No existe correlación entre ambas variables, de donde se deduce que el tiempo Empleado no influye en la calificación. Universidad Tecnológica de Torreón | Iris Márquez 2 C
- 9. 7. Un criador de de pollos sabe por experiencia que el peso de los pollos de cinco meses de 4,35 libras. Los pesos siguen una distribución normal. Para tratar de aumentar el peso de dichas aves se le agrega un aditivo al alimento. En una muestra de pollos de cinco meses se obtuvieron los siguientes pesos en libras 4.41 4.37 4.33 4.35 4.30 4.39 4.36 4.38 4.40 4.39 En el nivel 0.01 el aditivo ha aumentado el peso medio de los pollos? Estime el valor de p. n=10 u=4,35 =43,68/10=4,368 S= Peso Libras x x- (x- 4.41 0.042 0.001762 19.4481 4.37 0.002 4E-06 19.0969 4.33 -0.038 0.001444 18.7489 4.35 -0.018 0.000324 18.9225 4.3 -0.068 0.004624 18.49 4.39 0.022 0.000484 19.2721 4.36 -0.008 6.4E-05 19.0096 4.38 0.012 0.000144 19.1844 4.4 0.032 0.001024 19.36 4.39 0.022 0.000484 19.2721 43.68 0.01036 190.8046 Planteamiento de hipótesis Universidad Tecnológica de Torreón | Iris Márquez 2 C
- 10. a) Prueba de una cola b) Nivel de significancia 0.01 c) Estadístico de Prueba t= Area= 0.4535 d) Plantear la regla de decisión = 0,01 y gl= n-1 = 10- 1= 9 Si t > 2.821 Se rechaza y si acepta Tomar la decisión: Como t(1.68) > 2.821 se Acepta la hipótesis nula y se rechaza y se concluye el aditivo no aumenta el peso medio de los pollos en un 4.35 Valor p = 1.68 es 0.4535 P= 0.50 – 0.4535 = 0.046 Universidad Tecnológica de Torreón | Iris Márquez 2 C
- 11. 8. En una muestra de 1000 nacimientos el número de varones ha sido 542 ¿Puede considerarse, con un nivel de significación del 10%, que en general nacen más niños que niñas? Solución La hipótesis nula sería que nacen igual número de niños que de niñas, o lo que es lo mismo que la proporción de niños nacidos es igual 1/2. Por consiguiente: P = 0.5 P > 0.5 El estadístico de contraste es: Como la proporción muestral es 542/1000 = 0,542, sustituyendo se obtiene el valor del estadístico: = = = 2.66 Como el contraste es unilateral, buscamos en las tablas de la Normal el valor de la Variable que deja por debajo de sí una probabilidad de 0,9, este valor es 1,282. El valor del estadístico 2,66 es mayor que el valor crítico 1,282 por consiguiente, se rechaza la hipótesis nula. Efectivamente, nacen en mayor proporción niños que niñas. Universidad Tecnológica de Torreón | Iris Márquez 2 C