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Tratamiento de Datos y Azar
Mtra. Irma Moreno Valdovinos
SEXTO SEMESTRE
Alumno:
_________________________________________

FICHA TÉCNICA maestra-alumno
Docente: Mtra. Irma Moreno Valdovinos
Correo institucional: imoreno162@ver.conalep.edu.mx
Correo personal: maestravaldovinos162@gmail.com WhatsApp: 2287541602
Módulo: Tratamiento de Datos y Azar Grupo: 602 Carrera: P.T. Asistente Directivo
DATOS GENERALES DEL ALUMNO:
Nombre:
Correo institucional:
Correo personal:
WhatsApp:
Nombre del Padre o Tutor:
Teléfono del Padre o Tutor:
Matricula:
Periodo: 2.20.21.
Fecha de inicio: lunes 1 de marzo 2021.
Insertar foto del alumno

Revisión de la primera evaluación Revisión de la tercera evaluación
lunes 12 al 23 de abril 2021 lunes 21 al 2 de julio 2021
Revisión de la segunda evaluación Revisión intersemestral
lunes 17 al 28 de mayo 2021 lunes 2 al 20 de agosto 2021
CRITERIO PORCENTAJE
Asistencia 10 %
Tareas 20 %
Portafolio 30 %
Actitud 20 %
Orden 20 %
TOTAL 100 %
Por unidad de aprendizaje
FECHAS DE EVALUACIÓN Y REVISIÓN DE PORTAFOLIO

Normas de Convivencia
➢ Expresar sus ideas con respeto
➢ Asistir puntual y regularmente a clases
➢ Reflejar higiene personal: corte de cabello escolar, no usar piercing,
➢ No generar ni participar en actos de violencia, ni agresión física, emocional y verbal, a través de
medios electrónicos a ningún miembro del plantel
➢ Elaborar el portafolio de evidencias
➢ Cada mes, en fecha estipulada por el docente será revisado el portafolio de evidencias.
➢ Al término de cada unidad se presentará una evaluación de conocimientos.
➢ Cumplir responsablemente con actividades, tareas e investigaciones
➢ Utilizar lenguaje acorde a la institución educativa, evitando el uso de palabras altisonantes
➢ No poner apodos entre compañeros, ni al docente. RESPETO.
➢ Cualquier situación no prevista en estas reglas de convivencia, se resolverá a través de las
autoridades correspondientes apegadas al reglamento en vigor

Estimado estudiante:
Deseamos que este cuadernillo, el cual fue elaborado pensando en ti y en
tu desarrollo académico sea de gran apoyo para tus aprendizajes escolares,
durante este periodo de contingencia.
El cuadernillo tiene como principal objetivo la aplicación y demostración de
conocimientos, así como la adquisición de las competencias genéricas
básicas en el desarrollo de la educación del estudiante de educación media
superior, abordando temas claves para la formación integrar del alumno
tomando en cuenta los contenidos de los módulos básicos.
Este proyecto educativo ayuda al estudiante a recorrer el camino del
proceso enseñanza – aprendizaje a través de un método autodidacta con
el apoyo de los componentes, mismos que le sugerimos usar de la siguiente
manera: Explora, Comprende y Aplica. El propósito del este cuadernillo es
establecer el alcance, de metas educativas mediante su aplicación,
fortaleciendo el aprendizaje significativo para formar un criterio autónomo
en los estudiantes.
Esperamos que el acompañamiento que se te ha brindado a través de estas
páginas resulte de utilidad, las actividades aquí diseñadas fueron pensadas
para facilitar tus conocimientos, aun cuando físicamente no podemos estar
contigo. Queremos que sepas que seguimos trabajando por tu educación,
a pesar de la distancia y las circunstancias que acontecen en nuestro
entorno.
Pensando y trabajando por ti, tu maestra Irma Moreno Valdovinos

Unidad de
Aprendizaje
(Contenido
central)
Aprendizajes esperados Resultado de aprendizaje
Habilidades
socioemocionales
(HSE)*
1. Interpretación
de eventos
aleatorios.
42 horas
Organizan la información recolectada de la situación estudiada. 1.1 Recopila la información y calcula la
probabilidad de eventos aplicando las
técnicas de conteo, formulas y leyes
relacionadas. 7 horas
Fichas de HSE de
la Dimensión
Elígete – T
Perseverancia
Usa un lenguaje propio para situaciones que necesiten del estudio con
elementos de estadística y probabilidad. 1.2 Representa la información de una situación
profesional, con técnicas de conteo o
agrupación para determinar la probabilidad de
un evento.
15 horas
Usa técnicas de conteo o agrupación en la determinación de
probabilidades.
Organiza la información como parte de la estadística para el estudio de
la probabilidad.
Estudia el complemento que ofrece la estadística para la probabilidad.
Reconocen de la diversidad de situaciones que precisan de la
incertidumbre en el tratamiento del riesgo. 1.3 Analiza la incertidumbre y aleatoriedad de la
información para interpretar la probabilidad de
un evento en el contexto profesional.
20 horas
Modelan con estadística y probabilidad el estudio de la información.
Organizan la información recolectada de la situación estudiada.
Construyen fórmulas de probabilidad.
2. Interpretación
de información.
48 horas
Recolectan y ordena la información de alguna situación.
2.1 Realiza la recolección y análisis de la
información de una situación profesional y lo
representa en una gráfica.
24 horas
Interpreta y analiza la información.
Representan la información.
Calculan las medidas de tendencia central, medidas de dispersión,
medidas de forma y medidas de correlación.
Interpretan las medidas de tendencia central desde el análisis del
gráfico estadístico, así como su variabilidad y representación de la
situación contextual.
Toman decisiones a partir del análisis de la información.
2.2 Interpreta los resultados del análisis de la
información y las gráficas para tomar decisiones
sobre un evento profesional.
24 horas
Toman decisiones a partir de las medidas de tendencia central y su
representación con respecto a un conjunto de datos.
Tratamiento de Datos y Azar

TRATAMIENTO DE DATOS Y AZAR
Estimar parámetros e interpretar márgenes probables de error y tolerancia, a
partir de datos poblacionales y muestrales, para resolver problemas en
diferentes contextos.
www.pixabay.com

Unidad y Resultados de Aprendizaje
UNIDAD 1
1.1 Recopila la información y calcula la probabilidad de eventos aplicando las
técnicas de conteo, formulas y leyes relacionadas.
1.2 Representa la información de una situación profesional, con técnicas de
conteo o agrupación para determinar la probabilidad de un evento.
1.3 Analiza la incertidumbre y aleatoriedad de la información para interpretar
la probabilidad de un evento en el contexto profesional.

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA
Módulo: Tratamiento de Datos y Azar Maestra: Irma Moreno Valdovinos
Alumno: ____________________________________________Grupo: ______ Fecha: ______________Unidad: _____
El propósito de esta sección es verificar el dominio de los conocimientos que posees, pues son indispensables para un adecuado
desarrollo y aprendizaje de los contenidos, así como para el alcance de los objetivos planteados en este módulo.

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ACTIVIDAD 1
Introducción y
Conceptos básicos
MTRA. IRMA MORENO VALDOVINOS

Pero si nos interrogamos ¿Que es la Estadística? entonces tendremos que familiarizarnos con este concepto que dice lo siguiente:
ESTADÍSTICA. - Es un conjunto de procedimientos que
sirven para organizar, resumir, hacer inferencias de datos y
transmitir los resultados de una manera clara concisa y
significativa. Para su estudio se divide en dos grandes
ramas: DESCRIPTIVA e INFERENCIAL.
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. - Es un conjunto de
procedimientos que sirven para organizar,
describir y sintetizar datos y de representaros en
forma clara y ordenada. Trabaja con el total de
datos de una población
ESTADÍSTICA INFERENCIAL. - Es un conjunto de
procedimientos que se emplean para hacer inferencias
y generalizaciones de una muestra, se encarga de
analizar los resultados y tomar determinaciones con
estos.
INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS
La estadística
Es un método científico que encuentra aplicación en una gran diversidad de campos
del saber humano y se aplica en muchas ciencias, por ejemplo, mediante el uso del
Método Estadístico ,en Medicina, midiendo él grado de seguridad de los anestésicos
utilizados en cirugía o los efectos del tabaquismo o el alcoholismo en nuestra salud.,
en Ingeniería de vialidad, los efectos de la velocidad en la tasa de accidentes de
tránsito; en la actividad comercial ,el monto de egresos e ingresos , etc.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Ejemplos:
a). - Estudiantes de preparatoria con promedio de 8
b). - Fábricas de automóviles en la república mexicana
c). - El conjunto de los números primos
d). - Colegios particulares del estado de Veracruz
e). - El conjunto de los números naturales
https://youtu.be/gl9EEbT7viM
POBLACIÓN. - Se denomina también Universo y es todo conjunto
de personas, cosas u objetos con ciertas características comunes, y
a cada componente se le denomina elemento.
MUESTRA. - Definida una población cualquiera, se define muestra a toda porción de elementos extraídos de ella
GALAXIA
3 PLANETAS
LA TIERRA
POBLACIÓN
MUESTRA
ELEMENTO
POBLACIÓN FINITA: nos permite saber
la cantidad total de sus elementos.
POBLACIÓN INFINITA. no es posible
determinar la cantidad total de sus
elementos

Describa correctamente 5 poblaciones o universos, uno de personas, uno de objetos o cosas, uno de animales y uno de plantas vegetales.
Personas Objetos o cosas Animales Vegetales

MUESTREO. - Procedimiento mediante el cual se
registra características de una población
analizando información de los elementos de la
muestra
CENSO. - Consiste en hacer lo mismo que el muestreo, pero con todos los elementos que componen el Universo.
INFERENCIA ESTADÍSTICA. - Es un proceso mediante el cual se estima características de una
población a partir de las observaciones efectuadas en una muestra obtenida de esa población.
CON REMPLAZO:
Se selecciona un elemento de la
población y se regresa posteriormente.
SIN REMPLAZO:
Se selecciona un elemento de la
población, pero no se regresa a
ella.
PARAMETRO. - Es cualquier característica que se puede medir de la población o Universo, por ejemplo (densidad, peso, alturas, estaturas, etc.)

Ejercicio 1
Elabore una lista con las variables que se pueden recopilar de los alumnos del salón de clase
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)

Ejercicio 2
De las poblaciones elegidas clasifique la muestra y el elemento
POBLACIÓN MUESTRA ELEMENTO

https://youtu.be/Tb3sgUSd2SQ
Ejemplo:
Variable Estado Civil
Escala de
Medición
Nominal
Variable Alcoholismo
Escala de
Medición
Ordinal
ESTADIGRAFO. - Son valores importantes de una muestra que nos hacen suponer las características a medir de una población.
VARIABLE. - Es toda propiedad o característica que
admite variaciones dentro de un conjunto de datos. Se
clasifican en Nominal, Ordinal y Cardinal.
VARIABLE NOMINAL. - Son las más simples y abundantes y su única función es clasificar sin importar el orden y su variable operacional es una escala nominal
y numérica que sirve para clasificar las observaciones en categorías mutuamente excluyentes cuyo orden de colocación es indistinto
VARIABLE cuantitativas o numéricas:
Miden con números y resultan de una medición
VARIABLE cualitativas o categóricas:
No pueden medirse con números,
Se clasifican en categorías
VARIABLE ORDINAL. - Clasifica las categorías en forma ordenada y su variable operacional es una escala ordinal que va de la categoría más baja a la más alta o
viceversa de modo que las observaciones queden en el orden apropiado y tampoco tienen propiedades numéricas
Soltero
1
Viudo
3
Casado
2
Divorciado
4
Unión libre
5
Categórica de la variable
abstemio
1
Bebedor
Ocasional
2
Bebedor
Regular
3
Bebedor
Consuetudinario
4

Ejemplo:
VARIABLE EDAD
ESCALA DE
MEDICION
CARDINAL
CONTINUA
https://youtu.be/_wonmKS4Blk
VARIABLE HIJOS POR FAMILIA
ESCALA DE
MEDICION
CARDINAL
DISCRETA
VARIABLE CARDINAL. - Son las más complejas ya que su variable operacional es una escala que se caracteriza por que las diferencias entre dos de sus extremos
son iguales entre sí, sus cifras asociadas a las categorías son efectivamente cuantitativas y se pueden efectuar con ella operaciones aritméticas. Se clasifican
en continuas y discretas.
VARIABLE CARDINAL CONTINUA: - Son aquellas que pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo, por ejemplo: (SALARIOS, EDAD ESTATURAS, ETC.)
VARIABLE CARDINAL DISCRETA. - Son las que toman, solo algunos valores dentro de un intervalo, por ejemplo: -HIJOS POR FAMILIA, HUELGAS ANUALES,
PRODUCCIONES MENSUALES DE AUTOMOVILES, ETC
6 7 8 9 10 11 12 años
12 hijos
1 2 3 4 …….

Ejercicio 3
Elija el tipo de variable en cada caso señalando con una X:
Nominal Discreta Continua Ordinal
1. El curso favorito de los alumnos de una escuela.
2. Cantidad de libros en un anaquel.
3. Diámetro de una esfera.
4. Cantidad de clientes atendidos en un restaurante en un día.
5. Lugar que ocupa un nadador en una competencia.
6. Volumen de agua dentro de una lavadora de
200 litros de capacidad máxima.
7. Longitud de 150 tornillos producidos en una fábrica.
8. Número de pétalos que tiene una flor.
9. Color de cabello de los niños que audicionan para una película de Netflix.
10. Tiempo requerido para responder las llamadas en un call center.
11. Candidato al cuál apoyan los votantes en las elecciones presidenciales de Perú.
12. Número de televisores en una casa.
13. Número de páginas de una serie de libros de estadística.
14. Tiempo de vuelo de los aviones que van de Lima a Santiago.
15. Marcas de autos que se venden en tu país.
16. Grado de satisfacción laboral en una empresa.
17. Número de presidentes que ha tenido tu país en los últimos 5 años.
18. Peso de una persona.
19. Resultado de tirar dos dados.
20. Se define una variable como la fracción de focos defectuosos en una inspección de 100
focos escogidos aleatoriamente en el almacén de una fábrica. ¿Qué tipo de variable es?

Ejercicio 4
De acuerdo con el resultado del ejercicio número 1, clasifique las variables de los alumnos del salón según corresponda.
VARIABLES DE LOS ALUMNOS DE 2º SEM.
Cualitativas o nominales Cuantitativas
Ordinales Cardinales Discretas Cardinales
Continuas

ACTIVIDAD 2
Tablas y Gráficos

TABLAS ESTADISTICAS
Efectuados el conteo y la clasificación de datos, es necesario presentarlos de manera clara sintética y significativa para su mejor y fácil entendimiento, Para ello se
recurre a la tabla estadística y al grafico estadístico, siendo la tabla la que juega el papel fundamental en la teoría de muestreo. La tabla estadística se compone
de filas y columnas y sus elementos principales son: cabeza, cuerpo y pie.
TABLAS Y GRÁFICOS
REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN
CABEZA. - La cabeza o encabezamiento ocupa la parte superior de la misma y contiene el título que ha de expresar clara y concisamente
el contenido o significado estricto de la información; el periodo, o sea el espacio de tiempo para el cual es válida la información y la Unidad
de medida siempre y cuando sea común a toda la información.
CUERPO. - Está localizado en la parte central de la tabla y en él se encuentra la esencia misma de la información, o sea
las diversas categorías de la variable y sus correspondientes frecuencias o intensidades. Por norma general, las
categorías se colocan del lado izquierdo y las correspondientes frecuencias o intensidades del lado derecho. Algunos
autores llaman talón y campo a las partes izquierda y derecha a las que asignan nuevos nombres.
PIE. - Lo forma la parte superior de la tabla y está destinado para las notas aclaratorias indicadas en el
encabezamiento; además menciona la fuente u origen de la información, podrá no haber notas aclaratorias
en un cuadro, pero la fuente siempre debe aparecer al pie. (Cuando no exista información para el pie se
denominará datos hipotéticos).

Para que quede claro lo dicho anteriormente en este subtitulo, analicemos la estructura de algunos cuadros:
POBLACIÓN RURAL Y URBANA. MEXICO 1900 – 1930 CABEZA
(MILLONES)
CUERPO
1921.- El censo que se debió levantar en el año 1920 se retrasó un año
Debido al movimiento de la Revolución Mexicana.
Población rural: Menos de 2500 habitantes PIE
PIE. - Censos generales de Población, 1900 - 1960
AÑO TOTAL URBANA RURAL
1900 13.6 2.6 11.0
1910 15.2 3.7 11.5
1921 14.4 4.5 9.9
1930 16.5 5.5 11.0

Busque 5 tablas en revistas, periódicos o internet, recórtelas y péguelas en esta hoja o el reverso e identifique los elementos antes descritos,
escribiendo su nombre en cada ejemplo.

ALGUNAS REGLAS PARA LA CONFECCIÓN Y PRESENTACIÓN DE TABLAS ESTADÍSTICAS.
1.- La tabla debe ser lo más breve y concisa posible, para su fácil lectura y análisis.
2.- Tanto el encabezamiento de la tabla, como las categorías de las variables y los títulos de columnas de concentraciones numéricas, deben de ser claros y
brevemente redactados, dejando para el pie las aclaraciones u observaciones.
3.- Cuando los datos se dan en totales, acompañados de sus sumandos componentes, se debe seguir el principio de lo general a lo particular, es decir, primero
se anotan los totales y luego los sumandos componentes.
EJEMPLO:
El anuario estadístico 1984 de la facultad de Sociología de la Universidad Veracruzana, nos dice que hasta 1983 había 137 egresados de los cuales 80 eran
hombres y 57 mujeres repartidos como sigue: La primera generación salida en febrero de 1981, estuvo formada por 17 hombres y 11 mujeres la segunda en
agosto de 1981 por 23 y 15.; la tercera en febrero de 1982 por 11 y 10; la cuarta en agosto de 1982 por 5 y 1 y la quinta en agosto de 1983 por 24 y 20.
Solución: El primer paso consiste en localizar los elementos que formarían el encabezamiento, el cuerpo y el pie. Si leemos con detenimiento la información,
nos daremos cuenta de que se refiere a la Facultad de Sociología de la U.V.; por lo tanto, ésta es el universo. Las variables objeto de estudio son: "No. de
egresados por generación" y "sexo". La unidad de medida es **un egresado", que en el encabezamiento quedaría implícita. El período va de febrero de 1981
a agosto de 1983. Además, encontramos la fecha de egreso de cada generación. Por lo tanto, el encabezamiento podría ser el siguiente:
Egresados por generación, fecha de egreso y sexo. Fac. de sociología, U.V. (Feb 81 -ago. 83)
Egresados por generación, fecha de egreso y sexo.
Facultad de Sociología U.V. (feb 81 – ago. 83)
Generación Fecha Totales Hombres Mujeres
La feb81 28 17 11
2a ago 81 38 23 15
3a feb82 21 11 10
4a ago 82 6 5 1
5a ago 83 44 24 20
PIE: anuario estadístico 1984 de la facultad de sociología de la UV

Con la información dada en los siguientes ejercicios, construye la tabla correspondiente en cada caso:
Él anuario Estadístico 1984, de la facultad de Sociología de la U.V., nos dice que, de los 137 egresados de febrero de 1981 a agosto de 1983, 93 salieron como
regulares y 44 como irregulares: de la primera generación 22 regulares y 6 irregulares; de la segunda, 24 y 14; de la tercera 12 y 9; de la cuarta 6 y 0; de la quinta
29 y 15.
Generación Totales regulares Irregulares
1a 22 6
2a 24 14
3a 12 9
4a 6 0
b) La agenda Estadística de 1992 publicada por el INEGI nos dice que de enero a Diciembre de 1991, se produjeron en el país 976,682 miles de barriles de petróleo
crudo, dé los cuales, la primera producción estuvo compuesta por 38,885 miles para la región norte y 24,395 para la región Sur, la segunda por 34900 y 25380; la
tercera por 145,000 y 96,470, la cuarta por 229,500 y 138,865 y la quinta por 202,597 y 40893.

c). - El mismo anuario informa que, de los 188 alumnos inscritos en 1984, 130 habían realizado el propedéutico en Xalapa, 22 en Veracruz, 3 en Cd. Mendoza, 2 en
Minatitlán,3 en Coatzacoalcos, 7 en Poza Rica y 3 no hicieron propedéutico, sino que entraron a la facultad revalidando estudios.
d). - El anuario Estadístico 1964 de la Universidad Nacional Autónoma de México, nos reporta que alumnos de esa Institución, aparte de la carrera en que estaban
inscritos, estudiaban otra como se ilustra a continuación: Universitaria 410, Técnica 40; Comercial 70; Artística 280; Idiomas 1900; Normal 40 y otras 400.

e). - En la p. 49 de la agenda Estadística 1992, publicada por el INEGI, se registra que en 1990 se realizaron en el país 642,201 matrimonios, de los cuales, menores
de 20 años fueron 109,255 hombres y 239,019 mujeres de 20 a 24 años 263,704 y 235,463; de 25 a 29 , 153,547 y 96,780; de 30 a 34 56,516 y 34,081; de
35 a 39 22,938 y 14,587; de 40 a 49 , 19,176 y 12,382; de 50 y más, 16550 y 8,837 y en edad no especificada 515 y 1,052.
f). - Según el archivo del registro Civil del Municipio de Tezonapa Ver., de enero a junio de 1990 se expidieron 1,036 actas Repartidas como sigue: Nacimiento
699, defunción 85, matrimonio, 251 y reconocimientos 1.

g). - En una Encuesta aplicada a clientes de una fábrica de automóviles en 1976, a la pregunta; ¿De qué color prefiere a su automóvil?, se respondió
así: blanco 18; azul 22; verde 40; amarillo 25 y rojo 75.

ACTIVIDAD 3

Perseverancia 1
Superé adversidades
5.6
“No hay nadie menos
afortunado que el hombre a
quien la adversidad olvida,
pues no tiene oportunidad de
ponerse a prueba”.
Séneca
¿Recuerdas alguna adversidad que hayas enfrentado? ¿cómo te sentías?
Pero, ¿también logras evocar qué sentiste cuando la superaste? Superar
situaciones adversas y retos para lograr tus metas te muestran la fuer-
za, energía y vitalidad que tienes al momento de desplegar tu potencia-
lidad para lograr tus metas.
El reto es analizar retos y situaciones adversas que ha superado, con el
-
los, para favorecer la consecución de metas a largo plazo.
Actividad 1.
a. Lean, en pareja, el poema de Oscar Barrera Sánchez.
La noche del desconsuelo me impedía ver
la luz del sendero en agitada oscuridad.
Mirada oculta insinúa un tenue amanecer
de un albor emergente de mínima bondad.
Ilusión persistente, logro hallado
insistente, necedad ante lo amado.
Agradecimiento por haberlo logrado
lo que tanto esperaba, lo he encontrado.
b. Comenten el poema y contesten las preguntas en su cuaderno:
•
• ¿Qué sintieron al leerlo?
• ¿Creen que haya sido semejante a lo que pensó quien lo escribió?
• ¿Cómo concibe el haber logrado su meta, ante las adversidades que tuvo?
Actividad 2.
a. En grupo den algunos ejemplos de situaciones adversas que hayan superado y que los
fortalecieron para lograr alguna meta.
• ¿Qué estrategias emplearon para afrontar constructivamente aquello que parecía un
obstáculo?
• ¿Cómo se sintieron después de superar la adversidad?

Superé adversidades
Lección 5. Retos
Perseverancia
2
Enfrentar retos, obstáculos y adversidades te ayuda a buscar for-
mas de sobrepasarlos, pero cuando lo has logrado, te darás cuenta
que el esfuerzo emprendido es el mayor reconocimiento, el cual se
Para tu vida diaria
Escribe un poema o texto en pro-
sa dedicado a la superación de
algún obstáculo que hayas en-
familiar, compártelo con los inte-
grantes de tu familia. Si fue esco-
lar, puedes leerlo frente al grupo.
Concepto clave
Superación.
-
cultades de forma satis-
factoria.
Escribe en un minuto
qué te llevas de la lección
¿Quieres saber más?
Ve la película “Corazón valiente”
(Mel Gibson, 1995), que narra
la historia de William Wallace,
quien emprendió la lucha por la
independencia de Escocia en-
frentando retos y superándo-
los para lograr la libertad de su
pueblo.
b. Escriban una frase que resuma el sentimiento después de haber superado alguna adversidad
y alcanzado una meta. Guárdenla y léanla cuando se presente algún otro obstáculo que haya
que enfrentar.
Glosario
Evocar.
Recordar algo o alguien.

ACTIVIDAD 4
Distribución de
Frecuencias

.
Las tablas que hemos presentado o construido en el ejemplo anterior para explicar la estructura del cuerpo y el respectivo análisis en forma concisa se denomina
distribución de frecuencias.
Datos de estaturas de 10 personas en una muestra en el salón de clase x de la escuela y fecha z.
1.56 1.68 1.58 1.69 1.71 1.59 1.61 1.61 1.60 1.65
Coloque en una tabla ordenando de menor a mayor y lo contrario:
Estaturas de 10 personas
X(dato) Mayor a menor X(dato) menor a Mayor
muestra en el salón de clase x de la escuela y fecha z.
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
Frecuencia. - Es el número de veces que se repite un dato en una distribución
MANIPULACIÓN DE DATOS
Los datos recogidos deben ser organizados, tabulados y presentados para que su análisis e interpretación sean rápidos y útiles. Por ejemplo, para estudiar e
interpretar la distribución de las notas o calificaciones de un examen en una clase con 30 alumnos, primero se ordenan las notas en orden creciente: 3,0;
3,5; 4,3; 5,2; 6,1; 6,5; 6,5; 6,5; 6,8; 7,0; 7,2; 7,2; 7,3; 7,5; 7,5; 7,6; 7,7; 7,8; 7,8; 8,0; 8,3; 8,5; 8,8; 8,8; 9,0; 9,1; 9,6; 9,7; 10 y 10. Esta secuencia muestra, a
primera vista, que la máxima nota es un 10, y la mínima es un 3; el rango, diferencia entre la máxima y la mínima es 7. Esta organización que es la más
elemental la llamaremos distribución simple.
TIPOS DE CUADROS ESTADÍSTICOS.
Para datos o variables no ordenadas las cuales son un conjunto de datos que se mantienen en desorden, y se pueden representar en tabla simplemente
ordenándose llamada distribución simple.

Las calificaciones de estadística del grupo de 4º semestre. Datos hipotéticos, ordenarlos de menor a mayor: 7, 7, 5, 5, 9, 8, 6, 6, 6, 9, 8, 10, 10, 9, 8,
8, 8, 7, 6, 5, 5, 9, 9, 9, 10, 8, 10, 9, 8, 7, 10.
Horas por semana de trabajo de un grupo de maestros de la escuela, ordenar de mayor a menor en una distribución simple: 15, 12, 9, 24, 26, 14,
11, 9, 8, 27, 30, 15, 17, 19, 21, 27, 33, 25, 26, 10.
Número de hijos de un grupo de personas, ordenar de menor a mayor: 1, 0, 2, 0, 0, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 4, 3, 2, 1, 4, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 1,
2, 1, 2, 2, 5, 4, 1.
Antigüedad en años de los maestros de la escuela, ordenar de mayor a menor: 10, 8, 5, 6, 7, 7, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 3, 1, 2, 2, 1, 0, 0.

Días de trabajo de un grupo de vendedores ambulantes: 7, 8, 7, 6, 7, 5, 4, 3, 2, 6, 7, 8, 4, 3, 1, 2, 5, 3, 6, 4, 5, 4, 5, 6, 7, 6, 8, 6, 5, 4, 4, 3, 5, 3, 4, 1,
2, 1, 2, 4, 3, 5.
En una fábrica industrial se contaron durante diez horas sucesivas los artículos defectuosos que se producían cada hora. Los resultados fueron los
siguientes: 5, 5, 6, 5, 6, 10, 5, 4, 4, 3
Los siguientes son los números de niños por familia correspondientes a 15 familias que viven en una urbanización de renta baja: 2, 5, 7, 6, 5, 3, 3,
4, 4, 8, 4, 2, 6, 4, 7.
A doce empleados de una compañía de seguros se les hicieron unas pruebas para medir su satisfacción en el trabajo. He aquí los puntajes: 3, 8, 2,
6, 8, 3, 3, 9, 4, 4, 3, 7.
Una muestra de diez empresas de acarreos indicó el volumen de actividades durante el último año, medido en miles de toneladas transportadas.
Los resultados fueron: 9, 15, 11, 17, 16, 16, 10, 18, 16, 10.

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS EN FORMA CUANTITATIVA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Ejemplo de formas de conteo:
Frecuencia Método común Método alternativo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
etcétera
CONTEO: es un proceso gráfico que sirve para registrar una serie de valores y sus repeticiones
Distribución simple de frecuencias. Es la elaboración de una tabla determinando tanto la variable o clase como el número de veces que se repite, esta se
ocupa cuando son muchos datos (de 30 en adelante por convención para el curso) y se repiten algunos
Cuando se recopila información de una masa de datos pertenecientes a una variable cardinal, conviene colocarlos en forma de filas y columnas buscando dar
forma al cuerpo de esta sin repetirlos, siguiendo un orden creciente o decreciente y asociarles la frecuencia respectiva de cada uno de ellos.

Por ejemplo, si los datos dados a continuación son las edades de un grupo de personas:
22 26 22 20 28 19 21 22 25 26 22 21 20
18 17 20 18 30 28 18 19 21 21 25 21
Acomodamos en forma de columna de menor a mayor y posteriormente contabilizamos cada uno de ellos y su frecuencia respectiva se anota a la derecha de
cada dato, posteriormente se suma la columna de frecuencias y dicha suma debe coincidir con el total de datos de la distribución.
COLUMNA DE DATOS FRECUENCIAS
SUMAS TOTALES
Datos de 30 calificaciones de una persona en el salón de clase x de la escuela y fecha z.
8, 8, 7, 9, 8, 6 , 5, 9, 10, 10, 8, 8, 6, 6 , 6, 5 , 6, 7, 7, 9, 9, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 7, 10,
1º Coloque en una tabla los datos diferentes ordenados de menor a mayor o lo contrario (en este caso será de menor a mayor) y en la primera columna sin repetir,
llamada x o clase.
2º Realice el conteo según uno de los métodos descritos anteriormente, esto se debe hacer en el orden en que aparece cada dato y poniendo una marca según
corresponda hasta terminar con los datos.

3º Anotar con número al final del conteo en la otra columna (frecuencia) el total de veces que se repitió cada dato y sumar la columna de valores de frecuencia de
tal forma que debe dar como resultado el mismo número que el de datos totales de lo contrario se deberá revisar que todos los datos hayan sido contados y no
repetidos por error.
30 calificaciones de una persona
X(dato) Conteo Frecuencia
en el salón de clase x de la escuela y fecha z.

Para cada caso elaborar un cuadro como el anterior:
Calificaciones de un grupo de segundo semestre en la materia de Matemáticas II.
5 7 8 9 10 5 8 7 7 6
8 8 7 5 6 6 8 10 7 8
9 9 9 6 7 8 5 5 5 7
Número de horas de la jornada de trabajo de un conjunto de trabajadores:
6 7 8 4 3 3 8 8 5 6
8 8 7 8 2 3 4 10 8 8
9 9 6 6 5 8 8 8 5 12

Número de hijos de personas.
0 2 2 1 1 1 3 5 3 0
0 0 1 1 2 2 3 2 0 1
0 0 2 2 2 1 3 3 2 4
3 3 2 0 0 1 1 1 2 2
Por ejemplo, si los datos dados a continuación son las edades de un grupo de personas:
22 26 22 20 28 19 21 22 25 26 22 21 20
18 17 20 18 30 28 18 19 21 21 25 21

COLUMNA DE DATOS FRECUENCIAS
SUMAS TOTALES
La tabla o cuadro estadístico completo se muestra así, donde:
x f f.r % f.a. ( + ) f.a. (+) % f.a.( - ) f.a.(-)%
Ordenados todos los datos se procede a calcular las columnas que se muestran bajo los siguientes pasos y definiciones
Acomodamos en forma de columna de menor a mayor y posteriormente contabilizamos cada uno de ellos y su
frecuencia respectiva se anota a la derecha de cada dato, posteriormente se suma la columna de frecuencias y dicha
suma debe coincidir con el total de datos de la distribución.

PROCEDIMIENTO
f.r. % = Frecuencia relativa porcentual
f = frecuencia
N = Total de datos
1 1
( 1 + 3 ) = 4
3 4
25
( 25 – 1 9) = 24
3 24
(f.r. % ).- FRECUENCIA RELATIVA PORCENTUAL.- Es el cociente entre la frecuencia y el total de datos cuyo resultado se multiplica por 100 para expresarlo en
porcentaje. Se aplica la siguiente fórmula:
f.r. % =
N
f
X 100
f.a. ( + ).- FRECUENCIA ACUMULADA ASCENDENTE.- Es aquella frecuencia cuyo orden va de menor a mayor. Se anota en la primera fila de dicha columna, al
primer valor de la columna de frecuencias, posteriormente se suma el segundo valor en diagonal y se anota en la segunda fila, el proceso continuo hasta
concluir la columna
f.a.( - ) .- FRECUENCIA ACUMULADA DESCENDENTE.- Es aquella frecuencia cuyo orden va de mayor a menor Se anota en la primer fila de dicha columna la
suma total de frecuencias, a continuación se le resta el primer valor de la columna de frecuencias ( f ) y se anota en la segunda fila, el proceso continua hasta
concluir la columna.

Presenta la información dada en los siguientes incisos en una distribución simple de frecuencias añadiendo en cada caso la columna de
frecuencias:
a) Calificaciones en Estadística de un grupo de II semestre
5, 5 ,9 ,8, 7 , 7 , 7, 6, 6, 6, 3, 5 , 6 , 8 , 9 , 10 ,9, 5, 5, 6, 6, 6, 4, 9, 7, 7, 8, 10 ,7 , 7 , 7 , 7 , 10
Número de hermanos de un grupo de personas
1, 3 , 5 , 6 , 5 , 5 , 2 , 3 , 7 , 5 , 4 , 5 , 3 , 2 , 6 , 5 , 3, 0, 4 , 5 , 1, 4, 7, 5, 3 , 6 , 5 , 5 , 3 , 1 , 5 , 3 , 5 , 4 , 8 , 8 , 2 , 2 , 3 , 6
v f f.r (%) f.a.(+) f.a.(+)(%) f.a.(-) f.a.(-)(%)
v f f.r (%) f.a.(+) f.a.(+)(%) f.a.(-) f.a.(-)(%)

c) Días que trabajan a la semana un conjunto de vendedores ambulantes
7, 4, 6 , 3 , 3 , 6 , 6 , 7 , 7 , 5 , 5 , 6 , 4, 6, 6 , 3 , 6, 7, 5, 7, 7, 6, 2, 7, 7, 7, 6, 3, 3 , 4, 6, 6, 5, 2, 6, 2, 6, 7, 7, 6 , 7 , 6, 3, 5, 5, 6, 6, 5, 5
Jornada diaria de trabajo en horas de un conjunto de trabajadores menores de 16 años
4, 3 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 6 , 5 , 4 , 4 , 3 , 3 , 4 , 5 ,6, 8 , 8 , 6 5 , 4, 4, 3 , 10 , 9 , 9 , 9 , 8 , 6 ,5 , 4, 4, 4 , 3 , 3 , 4 , 4 , 5 , 6 , 8 , 6 6 ,5 .4 , 4, 4 , 5 , 6 , 8, 7, 5, 4, 4, 3, 3, 4, 4
, 5, 7, 7, 5, 4, 3, 4, 5, 5, 3, 7, 4 , 3, 10
v f f.r (%) f.a.(+) f.a.(+)(%) f.a.(-) f.a.(-)(%)
v f f.r (%) f.a.(+) f.a.(+)(%) f.a.(-) f.a.(-)(%)

e) Cantidad de bolígrafos utilizados en oficina por un conjunto de Auxiliares administrativos durante su jornada laboral semanal.
3, 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 2 , 5 , 5 , 5 , 5 , 3 , 3 , 2 , 2 , 1 , 1 , 1 , 1,8
3, 3 , 2 , 2 , 2 , 6 , 6 , 5 , 5 , 7 , 7 , 7 , 8 , 8 , 8 , 8 , 5 , 8 , 8
f) Cantidad de lápices utilizados en oficina por un conjunto de Auxiliares administrativos durante su jornada laboral mensual
4, 7 , 6 , 8 , 8 , 8 , 7 , 7 , 2 , 3 , 3 , 4 , 4 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 9 , 1 0 ,
1 , 2 , 2 , 2 , 8 , 2 , 6 , 6 , 7 , 7 , 7 , 9 , 9 , 9 , 9 , 9 , 9 , 9 , 9
v f f.r (%) f.a.(+) f.a.(+)(%) f.a.(-) f.a.(-)(%)
v f f.r (%) f.a.(+) f.a.(+)(%) f.a.(-) f.a.(-)(%)

ACTIVIDAD 5
Distribución en
Clase y Frecuencias
ias
MTRA. IRMA MORENO VALDVINOS

Ejemplo: Observemos el siguiente cuadro
AUTOMÓVILES EN CIRCULACIÓN SEGÚN TIEMPO DE SERVICIO
A Ñ O S Número
de automóviles
1 - 2 20
3 – 4 30
5 – 6 40
7 - 8 45
9 – 10 50
11 – 12 70
DISTRIBUCIÓN EN CLASE Y FRECUENCIAS CON DATOS AGRUPADOS
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS AGRUPADAS: Es la elaboración de cuadros con datos que varían mucho y se deben reunir en grupos llamados intervalos de
clase o simplemente intervalos que indican una separación entre dos datos
Cuando las categorías numéricas de una variable son distintas y numerosas, no conviene presentarlas como una distribución simple de
frecuencias, ya que resultaría una larga lista que dificultaría el análisis. Para este caso, lo mejor es agruparlas
Ahora, observamos que la diferencia existente entre cada una de las clases anteriores es de
una unidad.
Un símbolo como 7 - 8 se conoce como clase o intervalo de clase, donde:
7 - 8
Limite Límite
Inferior Superior

AGRUPAMIENTO DE DATOS EN INTERVALOS DE CLASES
Ejemplo:
Datos de estaturas de 30 personas que pasaron en la calle x el día y
1.58, 1.25, 1.56, 1.72, 1.24, 1.80, 1.64, 1.69, 1.48, 1.30,
1.71, 1.52, 1.54, 1.56, 1.65, 1.66, 1.68, 1.45, 1.53, 1.78,
1.54, 1.57, 1.65, 1.66, 1.68, 1.48, 1.18, 1.56, 1.70, 1.04,
Completar la tabla propuesta con los valores anteriores
Ejemplo:
Comprometidos en una investigación sobre los empleados de un supermercado, acopiamos datos sobre diversas variables, una de las cuales es la edad. La
información es la siguiente:
Estaturas de 30 personas
Intervalos Conteo Frecuencia
1.00 a 1.29
a 1.39
a 1.49
a 1.59
a 1.69
a 1.79
a 1.89
personas de paso en la calle x el día y.
32 20 20 24 18 18 18 18 25 26
41 37 37 37 26 26 26 27 27 32
32 32 29 40 40 44 44 18 18 45
34 34 30 30 30 28 28 28 35 28
42 42 30 22 30 24 30 22 24 20
28 20 22 28 35 22 28 35 26 26
28 44 35 45 26 32 40 20 26 32
La práctica constante en el manejo de datos diversos y numerosos nos va haciendo desarrollar algunas técnicas útiles para agruparlas cuando es necesario. Por
esta razón, basta con que nos familiaricemos con una técnica básica que ilustramos a continuación:

PROCEDIMIENTO
1.- Se localiza el menor y el mayor de los datos, y se escribe en columnas toda la serie ordenada de números naturales limitada por
ellos. Luego, utilizando cualquiera de los métodos de conteo explicados anteriormente, se van marcando los casos en que cae cada
categoría y terminado el conteo, se verifica que esté correcto y se anota a la derecha la frecuencia de este.
Dato menor = 18 Dato mayor = 45
2.- Se efectúa la diferenciaentre el dato mayor y el dato menor y se le agrega una unidad con el fin de tener el total de datos potenciales.
45 – 18 = 27 27 + 1 = 28 Total de
Datos
Potenciales
3.- Se elige el número de intervalos que debe tener la tabla ó la amplitud conveniente para cada intervalo, la práctica sostiene que el número de intervalos no
debe ser menor que 5 ni mayor que 20, además debe de ser múltiplo del total de datos potenciales:
5 < NUMERO DE INTERVALOS < 20
4.- Se obtiene la amplitud o anchura real de cada intervalo aplicando la fórmula siguiente:
28 = 4
7
5.- Se toma el menor de los datos y se le agrega la amplitud disminuida en una unidad de la siguiente forma:
18 + ( 4 – 1 ) = 18 + 3 = 21
Total, de datos potenciales = Amplitud
Numero de intervalos
De modo que nuestro primer intervalo será 18 – 21 , para el siguiente continuará el entero consecutivo hasta concluir la tabla.

INTERVALO F f.r. % f.a. (+) f.a (+) % f.a. (-) f.a. (-) %
18 - 21

1. Con los datos siguientes que representan las horas de estudio que dedican los estudiantes fuera de clase. Elabore un cuadro con 7
intervalos.
3 2 5 8 2 5 11 21 7 1 11 4 3 15 4 5 16 6 13
10 8 9 20 4 3 12 1 12 23 11 22 6 17 5 2 13 8 1 10 3
7 4 2 15 6 4 14 5 12 10 5 2 10 17 9 2 1 6 16 1
3 18 18 3 6 1 6 11 4 12
2. El precio de un paquete de pañales de una marca determinada fue indagado por una persona y encontró los siguientes resultados. Construye una distribución
de frecuencias agrupada con 5 intervalos.
60 75 82 77 65 70 67 65 78 73 69 66 72 66 68 74 61 66 74 79
67 74 80 75 70 66 76 78 79 75 72 79 69 70 74 72
Intervalo f f.r. (%) f.a. (+) f.a. (+) (%) f.a. (-) f.a. (-) (%)
Intervalo f f.r. (%) f.a. (+) f.a. (+)(%) f.a. (- ) f.a. (-)(%)

3. Los datos siguientes representan las edades de los empleados de una sucursal de supermercados. Elaborar una tabla con intervalos cuya amplitud sea de 3
años.
20 22 26 19 21 23 21 19 23 28 21 23 18 23 22 26 22 26 25 27
20 26 25 24 29 24 18 21 22 21 24 26 25 21 22 23 24 22 28 27
21 25 36 23 24 31 23 29 22 20 23 19 25 24 25 22 26 25 26 22
24 28 30 32 30 18 29 21 24 23 26 23 22 24 25 21 19
4).- Con los datos que representan litros de leche vendidos diariamente por un pequeño comerciante durante un bimestre (junio-julio de 1990). Construye una
distribución agrupada de 9 intervalos:
29 , 30 , 26 , 32 , 44 , 37 , 27 , 40 , 40 , 51 , 57 , 28 , 46 , 35 , 26 , 37 , 42 , 59 , 61 , 60
34 , 27 , 52 , 44 , 46 , 54 , 35 , 36 , 41 , 31 , 45 , 54 , 33 , 35 , 37 , 39 , 42 , 59 , 60 , 37
36 , 55 , 39 , 31 , 36 , 43 , 49 , 29 , 38 , 40 , 28 , 52 , 35 , 49 , 32 , 38 , 43 , 54 , 59 , 37
Intervalo f f.r.(%) f.a.(+) f.a.(+)(%) f.a.( - ) f.a.(-)(%)

5).- Con los datos siguientes que representan los días de zafra en cada uno de los Ingenios azucareros de la República Mexicana en el ciclo 89/90.Construye una
distribución agrupada
cuya amplitud sea de 9 días.
178 , 122 , 161 , 137 , 166 , 136 , 147 , 163 , 142 , 151 , 144 , 192 , 155 , 172 , 152
208 , 168 , 170 , 156 , 142 , 178 , 141 , 112 , 157 , 149 , 171 , 177 , 147 , 158 , 136
160 , 141 , 152 , 153 , 150 , 155 , 149 , 150 , 177 , 116 , 140 , 141 , 170 , 101 , 124
182 , 138 , 148 , 146 , 124 , 156 , 172 , 180 , 136 , 136 , 173 , 146 , 138 , 139 , 177
164 , 204 , 135

6).- Con los siguientes datos que representan el tiempo dedicado al estudio fuera de clases en horas semanarias por estudiantes universitarios, Construye una
distribución de datos agrupados de 7 intervalos:
3 , 2 , 5 , 8 , 11 , 21 , 7 , 1 , 11 , 4 , 3 , 15 , 4 , 5 , 16 , 6 , 13 , 10 , 8 , 9 , 20 , 4 , 3
12 , 1 , 12 , 23 , 11 , 22 , 6 , 17 , 5 , 2 , 13 , 8 , 1 , 10 , 33 , 33 , 7, 4 , 2 , 15 , 6 , 4 , 14
5 , 12 , 10 , 5 , 2 , 10 , 10 , 17 , 9 , 2 , 1 , 6 , 16 , 1 , 3 , 18 , 18 , 3 , 6 , 1 , 6 , 11 , 4 , 12
4).- Con los datos siguientes que representan las edades de los empleaos del sexo masculino del supermercado X en Julio de 1994. Construye una distribución de
datos agrupados cuya amplitud real sea de 3 años:
20 , 22 , 26 , 19 , 21 , 23 , 21 , 19 , 23 , 28 , 21 , 23 , 18 , 23 , 22 , 26 , 22 , 26 , 25 , 27
20 , 26 , 25 , 24 , 29 , 24 , 18 , 21 , 22 , 21 , 24 , 26 , 25 , 21 , 22 , 23 , 24 , 22 , 28 , 27
21 , 25 , 36 , 23 , 24 , 31 , 23 , 29 , 22 , 20 , 23 , 19 , 25 , 24 , 25 , 22 , 26 , 22 , 26 , 25
24 , 28 , 30 , 32 , 30 , 18 , 29 , 21 , 24 , 23 , 26 , 23 , 22 , 24 , 25 , 21 , 19

5).- En el examen de estadística, de un total de 50 reactivos los 40 alumnos del grupo
404 de HOTU del plantel CONALEP de la ciudad de Xalapa, Ver obtuvieron los siguientes resultados: Construye una distribución de 4 datos de amplitud.
25 41 18 35 28 43 30 33 24 29 28 22 36 15 44 31
21 14 49 24 20 42 33 37 27 49 26 22 34 28 25 29
26 30 38 25 30 45 44 19 38 32 39 22 35 40 33 22

Establece 3 metas, en donde proyectes con imágenes
cuáles son tus metas en relación con tu vida personal,
académica y profesional en un periodo a corto, mediano y
largo plazo.
• Prepárate con una cartulina, revistas, recortes,
dibujos, fotografías.
• Antes de empezar cierra tus ojos y regálate unas
respiraciones profundas para centrarte y conectar
contigo mismo.
• Empieza a ver las revistas con una mente abierta y
recorta todo lo positivo que llame tu atención, no te
preguntes “por qué”.
• Haz una segunda selección y deja fuera lo que “ya no
te latió” tanto y pega las demás.
• Incluye los aspectos importantes en tu vida:
• Personal
• Profesional
• Académicas
• Deja un espacio en el centro y pega una foto tuya en
donde estés feliz.
• Obsérvalo terminado y siente cómo será cuando ya
has logrado todo lo que está ahí pegado.
• Pégalo en donde lo veas todos los días.

ACTIVIDAD 7
Gráficos Estadísticos

Aunque existen muchos tipos de gráficos para este estudio analizaremos los siguientes:
A). - Grafico Rectangular
B). - Grafico Circular
C). - Histograma y polígono de frecuencias
D). - Grafico de Línea
E). - Polígono de frecuencias acumuladas (Ojivas)
Salvo el gráfico circular y el pictograma, todos los demás se trazan en el sistema de coordenadas.
Y (Ordenadas)
I I I
Origen
X (Abscissas)
I I I I V
Nota. - En el sistema de coordenadas normalmente se utiliza el primer cuadrante, puesto que la mayoría de las variables son positivas.
CONSTRUCCIÓN E INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS
Un gráfico estadístico es la representación por medio de figuras geométricas, puntos,
líneas y rectángulos, círculos, de datos estadísticos cuyas dimensiones son proporcionales
a ese valor y figura geométrica seleccionada

NORMAS ESCENCIALES PARA LA REPRESENTACION GRAFICA
1).- Siempre se debe procurar que aparezca la línea del cero y el avance progresivo es de izquierda a derecha.
2).-Cuando no aparezca la línea del origen entonces se trunca o mutila el eje horizontal de la siguiente forma.
3).- Ya que se trata de escalas, ambas deben de guardar proporcionalidad y esto se consigue mediante la ley de los ¾ de altura, en la cual nos indica que se asocia
la mayor de las frecuencias con la mayor de las alturas.
a =
4
3
b
b
Suponiendo que b = 12 cm. a =
4
3
b =
4
3
(12 ) = 9 cm.

GRÁFICO RECTANGULAR
PROCEDIMIENTO
1).- Se trazan los ejes de coordenadas y se procede a marcar el inicio y termino de cada rectángulo habiendo seleccionado previamente su separación y su anchura.
2).- Se determinan los ¾ de altura de la longitud seleccionada y mediante regla de tres simple se obtienen todas las demás alturas.
3).- Se anexan las indicaciones necesarias para su fácil comprensión y análisis utilizando colores, sombreados u otras características que los distinga
EJEMPLO:
Construir el grafico rectangular correspondiente a la tabla:
MUNICIPIOS TOTAL
COATZACOALCOS 35363
CORDOBA 13309
ORIZABA 12885
POZA RICA 10644
VERACRUZ 42592
XALAPA 22644
Este tipo de grafico se basa en la construcción de rectángulos que representan un valor numérico cuya longitud es proporcional a dicho valor y sus
características fundamentales son:
1).- Todos los rectángulos parten del eje horizontal, llamado línea base.
2).-Todos los rectángulos deberán tener la misma anchura dependiendo del número de datos.
3).- La separación entre todos ellos deberá ser la misma y equivalente a la anchura

TRAZAR LOS GRAFICOS CORRESPONDIENTES A LOS DATOS QUE SE TE PROPORCIONAN A CONTINUACIÓN:
A). - Trazar un gráfico rectangular según los datos de las tablas
NUMERO DE AUTOS POR MARCA Y COMPAÑÍA IMPORTADOS POR
NUESTRO PAIS. (1999)
TIPOS DE ALIMENTO CHATARRA CONSUMIDOS EN 2015 EN EL PLANTEL CONALEP XALAPA
AUTO 1999 ALTURAS
VOLSWAGEN 36500
TSURU II 48350
CHEVY 69783
PONTIAC 58960
TOPAZ 26590
NEON 32843
COUGAR 60000
CELEBRITY 37536
TIPO 2015 ALTURAS
CHICHARRONES 77820
TOSTADAS 56300
TACOS 64360
REFRESCOS 46700
JUGOS DE CAJA 39876
PAPAS SABRITAS 69800
CHETOS 25730
CACAHUATES 40350
HOT DOG 53000

TEMPERATURAS MAXIMAS ALCANZADAS EN LA CIUDAD DE XALAPA
TIPO DE DEPORTE ELEGIDO EN LOS PLANTELES CONALEP DEL ESTADO DE VERACRUZ
DIA TEMPERATURA ALTURAS
LUNES 18
MARTES 21
MIERCOLES 23
JUEVES 19
VIERNES 15
SABADO 18
DOMINGO 28
DEPORTE TOTAL ALTURAS
FUTBOL 39265
BEISBOL 15238
BALONCESTO 14290
NATACION 11854
VOLEIBOL 49236
ATLETISMO 21765
GIMNASIA 30890
OTROS 25400

GRAFICO CIRCULAR
.
INSTRUMENTOS NECESARIOS: Escuadra, compás y transportador.
EJEMPLO:
Construir El gráfico circular de la siguiente tabla
MUNICIPIO TOTAL
COATZACOALCOS 35363
CORDOBA 13309
ORIZABA 12885
POZARICA 10644
VERACRUZ 42592
XALAPA 22644
Se le llama también grafica de pastel y es bastante útil para representar proporciones o porcentajes. En su construcción se utiliza una
circunferencia cuyo circulo se divide en sectores tales que las medidas angulares sean proporcionales a los valores que representan
PROCEDIMIENTO:
1).- Se efectúa la suma total de la columna de frecuencias de la tabla.
2).- Se expresa en porcentaje cada valor de frecuencias dividiéndolas entre la suma total y el cociente se multiplica por 100, la suma total de dicha columna
debe ser 100%.
3).- Se multiplica cada valor porcentual por el valor constante 3.6 y eso nos proporciona la medida angular en grados, se redondean a un valor entero y la suma
total de todos los ángulos debe ser igual 360 ° , en caso contrario, de que exceda dicho valor ,se le sustrae (resta) al ángulo mayor los grados excedentes y
en caso contrario se le agrega al menor el faltante.
4).- Se traza una circunferencia de radio arbitrario y a partir de él se miden con transportador los grados correspondientes a cada sector yendo del mayor al
menor.
5).- Se anota en cada sector el valor porcentual correspondiente, se anexa el encabezamiento y el pie junto con las indicaciones necesarias.

EJEMPLO:
PRESUPUESTO PARA SEIS MUNICIPIOS DE LOS MÀS IMPORTANTES DEL ESTADO DE VERACRUZ.
MUNICIPIO TOTAL f.r. (%) X 3.6 Angulo
redondeado
COATZACOALCOS 35363
CORDOBA 13309
ORIZABA 12885
POZARICA 10644
VERACRUZ 42592
XALAPA 22644
COATZACOALCOS
CORDOBA
ORIZABA
POZARICA
VERACRUZ
XALAPA

CONSTRUIR LOS GRAFICOS QUE SE TE INDICAN DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE TABLA:
A). - Trazar un gráfico rectangular por año - columna
B). - Trazar un gráfico circular por columna
PAIS Año 1996 f.r. ( %) X 3.6 Angulo
redondeado
E. U. 95500
JAPÓN 83495
ALEMANIA 76348
FRANCIA 90965
CHINA 50490
COREA 65000
PAIS Año 1998 f.r. ( %) X 3.6 Angulo
redondeado
E. U. 240356
JAPÓN 116900
ALEMANIA 98766
FRANCIA 178670
CHINA 220000
COREA 86990

NÚMERO DE AUTOS POR MARCA Y COMPAÑÍA IMPORTADOS POR NUESTRO PAIS.
AUTO 1999 f.r. ( %) X 3.6 Angulo
redondeado
VOLSWAGEN 36500
TSURU II 48350
CHEVY 69783
PONTIAC 58960
TOPAZ 26590
NEON 32843
COUGAR 60000
CELEBRITY 37536

HISTOGRAMA Y POLIGONO DE FRECUENCIAS
Ejemplo:
AUTO 2000 f.r. ( %) X 3.6 Angulo
redondeado
VOLSWAGEN 32400
TSURU II 50350
CHEVY 70310
PONTIAC 28950
TOPAZ 64548
NEON 56584
COUGAR 49200
CELEBRITY 37455
Se da este nombre al grafico rectangular cuando representa variables continuas en la cual se marcan todos los puntos medios en la parte alta de cada
rectángulo y unidos mediante segmentos.
PROCEDIMIENTO
1).- Se elige una escala apropiada de acuerdo al número de datos para el eje horizontal y se marcan puntos igualmente espaciados sobre dicho eje.
2).- Se traza el eje de coordenadas y se procede a marcar el inicio y término de cada rectángulo, dado que no existen datos entre el origen de coordenadas, se
trunca el eje horizontal para iniciar el trazo.
3).- Para el eje vertical se utiliza la regla de los tres cuartos de altura asociando la frecuencia mayor con la altura seleccionada y mediante regla de tres simple
se calculan todas las demás.
4).- Se indica el punto medio en la parte alta de cada rectángulo y se une mediante segmentos, anexando las indicaciones necesarias junto con el
encabezamiento.

TRAZAR EL HISTOGRAMA Y EL POLÍGONO DE FRECUENCIAS DE LA SIGUIENTE TABLA.
AÑOS TOTAL ALTURA
( c.m.)
18-21 10
22-25 9
26-29 19
30-33 12
34-37 9
38-41 4
42-45 7
GRÁFICO DE LINEA
Este tipo de gráfico es bastante útil para comparar datos de dos o más distribuciones y consiste en unir por medio de segmentos de recta los puntos de
coordenadas determinados.
Ejemplo: Mediante un gráfico de línea, presentar la información de la siguiente tabla:
AÑO TOTAL URBANA RURAL
1900 13.6 2.6 11.0
1910 15.2 3.7 11.5
1921 14.4 4.5 9.9
1930 16.5 5.5 11.0
1940 19.7 6.9 12.8
1950 25.8 11.0 14.8
1960 34.9 17.7 17.2
1970 50.7 29.8 20.9
1979 67.9 44.6 23.3
1970: Población corregida y proyectada al 30 de junio de 1970
1979: Estimación del consejo Nacional de Población
Población rural: menos de 2500 habitantes
Fuente “México demográfico, breviario, 1979”, p: 44

PROCEDIMIENTO.
1.- Se trazan los ejes de coordenadas y se procede a marcar puntos igualmente espaciados para el eje horizontal y luego se mide la distancia entre el origen de
coordenadas y el punto correspondiente al último dato.
2.- Se determinan las ¾ partes de la longitud anterior y mediante regla de tres simple se obtienen todas las demás alturas y se trazan marcando exclusivamente
el punto.
3.- Se anexan las indicaciones necesarias para su fácil análisis y comprensión.

DISTRIBUCIONES ACUMULADAS Y POLIGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS (OJIVAS).
EJEMPLO:
Construir los gráficos correspondientes a la siguiente distribución.
EDAD DE LOS EMPLEADOS DE UN SUPERMERCADO X
INTERVALO FRECUENCIA f,a ( + ) cm. f.a ( -) cm.
18 – 21 10
22 – 25 9
26 – 29 19
30 – 33 12
34 – 37 9
38 – 41 4
42- 45 7
Hablamos con propiedad de distribución de frecuencias acumuladas siempre y cuando las categorías de la variable sean ordenables. Si acumulamos las
categorías de la variable de menor a mayor resulta una distribución denominada “MENOS DE “, en la cual se incluyen todas las categorías menores que cierto
valor. En cambio, si acumulamos las categorías de mayor a menor, resulta una distribución denominada “MAS DE “, en la cual se incluyen todas las categorías
mayores que cierto valor. Toda representación tabular de una distribución de frecuencias acumuladas se conoce como distribución de frecuencias acumuladas
y su representación gráfica se denomina ojivas.

Ejercicios
Trazar los gráficos indicados de acuerdo a la siguiente tabla
A).- GRAFICO RECTANGULAR (12 x 9)
B).- GRAFICO CIRCULAR
C).- HISTOGRAMA Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS (12 X 9 cm.)
D).- GRAFICO DE LINEA (marcando cada 2 cm el eje Horizontal)
E).- OJIVA ASCENDENTE
F).- OJIVA DESCENDENTE
LENGUA TOTAL ALTURAS f.r. (%) X 3.6
Angulo redondeado
TOTONACO 86300
OTOMI 79224
POPOLUCA 53833
NAHUATL 46890
HUASTECO 63599
OTRAS 22300

intervalos TOTAL ALTURAS f.r. (%) X 3.6
Angulo redondeado
15 - 18 16
19 – 22 19
23 – 26 25
27 – 30 16
31 – 34 14
35 – 38 9
39 – 42 8
43 - 46 20
47 – 50 12
intervalos TOTAL ALTURAS f.r. (%) X 3.6
Angulo redondeado
15 - 18 14
19 – 22 13
23 – 26 27
27 – 30 16
31 – 34 18
35 – 38 9
39 – 42 8
43 - 46 20
47 – 50 11

ACTIVIDAD 8
Medidas de
Tendencia Central

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL MEDIA MEDIANA Y MODA
Las medidas de tendencia central son puntos o categorías en la exploración y avance de una variable y se le denomina así porque en torno a ellas parecen agruparse
los datos, sirven para resumir todo un conjunto de valores, por ello bien se les puede considerar como sintetizadores, en general cualquier medida de tendencia
central es un valor que se localiza entre dos extremos y se les denomina de manera diferente.
DONDE
__
X = Media aritmética
∑ X = Suma total
n = Número de datos
Ejemplo:
Calcular la media aritmética del siguiente conjunto de datos:
X = 6, 7, 8, 9, 10
X = ∑ X = =
n
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE DISPERSIÓN
X =  X
n
MEDIA ARITMETICA. - Es la más conocida de las medidas de tendencia central, se conoce como “valor medio”, “promedio” o simplemente
“media” y se define como la suma de un conjunto de cantidades dividida entre el total de ellas, se simboliza con cualquier literal convenida para
representar variables coronada con una franja en la parte superior como se muestra:
MEDIANA. - Es un punto dentro de una distribución de datos que tiene la característica de dividirla en dos partes iguales. Para series de datos simples sin
frecuencia asociada no existe fórmula para determinarla, pero es preciso ordenarlos de mayor a menor o viceversa. Si el número de datos es impar (3,5,7, etc.)
se toma directamente el valor central, en caso contrario, si es par se considera el valor promedio o semisuma de esos mismos, se simboliza mediante la
abreviatura Me

Ejemplo:
Calcular la mediana de la siguiente distribución de datos:
X = 5, 6, 7, 8, 9 número de datos impar Me = 7
X = 5, 6,7, 8, 9, 10 número de datos par Me = _____
2
Me =
Número de orden de la mediana. -
Una forma más instantánea para calcular la mediana en una serie ordenada de datos es el número de orden, basta con sumar al número de datos
una unidad y dividir dicho resultado entre dos.
N = Total de datos
N.o = Número de orden
Ejemplo:
Calcular la mediana en la siguiente distribución:
X = 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
N.o. = N + 1 = 7 + 1 = 8 = 4 El número de orden es el
2 2 2 cuarto y por lo tanto la
Mediana es:
Me = 13
N.o. = N + 1
2

Ejemplo:
X = 5, 4, 6, 2, 3, 3, 4, 5, 8, 3,
Mo =
Ejemplo:
Calcular las medidas de tendencia central Media mediana y moda:
X = 3,5,5,6,4,4,4,4,7,7,7
__
X =
Me=
Mo =
MODA. - Se le denomina moda o valor modal y es el dato de variable que aparece más veces en una distribución, siendo el que tiene mayor frecuencia, en una
distribución se pueden tener más de una moda, una sola moda unimodal, dos modas bimodal,3 modas trimodal y más de tres multimodal, se simboliza con la
abreviatura “ Mo”

DETERMINAR LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL MEDIA, MEDIANA Y MODA EN LAS SIGUIENTES DISTRIBUCIONES:
1).- 3 , 4 , 5 , 7 , 6 , 4 , 2 , 3 , 4
2).- 1 , 3 , 5 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7
3).- 50 , 55 , 53 , 57 , 52 , 55 , 54 , 54 , 54 , 56 , 54
4).- 20, 30, 30, 30, 40, 20, 30, 10, 40, 50
5).- 13, 33, 44, 22, 33, 33, 44, 55, 66, 44
6).- 5, 5, 4, 7, 9, 10, 3, 5, 6, 8

7).- 8 , 9 , 6 , 8 , 4 , 5 , 7 , 3 , 10 , 8
8).- 11 , 15 , 8 , 9 , 14 , 10 , 10 , 13 , 13 , 12
9).- 6 , 6 , 5 , 3 , 2 , 5 , 6 , 4
10).- 10 , 15 , 10 , 10 , 11 , 11 , 12 , 13 , 14

CALCULO DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, MEDIA MEDIANA Y MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
(CON FRECUENCIA ASOCIADA)
PROCEDIMIENTO
1).- Para calcular la media aritmética, se suma la columna de frecuencias de la tabla y
Dicha suma se conoce como “∑f ”
2).- A continuación, se multiplica cada dato de variable por su frecuencia respectiva y
Esta columna se conoce como “f.x “
3).- Posteriormente se efectúa la suma total de esa columna, expresándola como “
∑f x. “, finalmente se dividen ambas expresiones como se indica.
Donde:
__
f = frecuencia
X = cada dato de variable
∑ f = Suma total de datos
2).- Para determinar la mediana, se calcula el número de orden que le corresponde:
N.o. = N + 1
2
A continuación se construye la columna f.a. (+) y el valor de la mediana es el dato de variable cuya frecuencia acumulada contiene o señala su número
ordinal.
3).- Para calcular la moda, en la fila de frecuencias se toma la mayor y la moda es el dato de variable en dicha fila.
La distribución y estructura de la tabla es como se muestra:
X f F . X f.a. (+)
6 13
7 16
8 10
9 25
10 10
11 9
__
X =  f X
 f

Para la media aritmética se tiene:
X = ∑ f X = =
∑ f
Para la mediana, calculamos inicialmente el número de orden
N.O. = N +1 = = =
2
Por lo tanto para la mediana, nos ubicamos en la columna de f.a(+) en el inmediato mayor a 42 y es el número 64 entonces en esa fila de la columna X
ubicamos el número 9
Me = 9
Finalmente, para la moda, nos colocamos en la columna de frecuencias y tomando la mayor, nos ubicamos entonces sobre la columna de Datos X
Y corresponde al dato 9.
Mo = 9

Hallar las medidas de tendencia central en las siguientes distribuciones.
X f F . X f.a. (+)
6 12
7 18
8 11
9 23
10 13
11 7
X = Me = Mo =
X f F . X f.a. (+)
6 11
7 14
8 12
9 27
10 13
11 19
X = Me = Mo =

X = Me = Mo =
X = Me = Mo =
X = Me = Mo =
X f F . X f.a. (+)
3 10
4 17
5 12
6 28
7 13
8 8
X f F. X f.a. (+)
3 12
4 17
5 16
6 28
7 10
8 18
X f F. X f.a. (+)
6 10
7 17
8 14
9 28
10 16
11 19

CALCULO DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL MEDIA MEDIANA Y MODA PARA DATOS AGRUPADOS
Procedimiento:
1).- Para calcular la media aritmética, se determina inicialmente el punto medio de cada intervalo y este será por lo tanto el promedio de los valores extremos. Se
multiplica cada punto medio obtenido por su frecuencia respectiva y se suma toda la columna para finalmente dividir la suma total de esa columna entre la suma
total de frecuencias.
Donde:
__
∑ F = Suma total de frecuencias
x = Punto medio de cada Intervalo
f = frecuencia
2).- Para calcular la mediana, primero se identifica el intervalo entre los cuales se localiza el valor intermedio de la media aritmética, se construye la columna “f.a
(+) “ y en esa misma fila se marca el intervalo con un asterisco (*) y esta será la base para nuestros cálculos, la fórmula para determinarla es:
Me = Li +  f ─ f.a i Donde :
f
Me = Mediana
Li = Límite inferior del intervalo
∑F = Suma total de frecuencias
f.a. = Frecuencia acumulada
Anterior al intervalo
i = Separación ó Amplitud
3).- Para calcular la moda, en la columna de frecuencias ubicamos la mayor y en esa fila la moda será el punto medio de ese intervalo.
x = f x
F

EJEMPLO: Calcular las medidas de tendencia central Media Mediana y moda
INTERVALO f X F . X . f.a. ( + )
1 - 3 38
4 - 6 26
7 - 9 36
10 - 12 50
13 - 15 19
16 – 18 7
19 – 21 7
22 - 28 5
x = f x =
F
X =
Para la mediana, se utiliza la siguiente formula:
Me = Li + [ f / 2 - f.a ] i =
f
Me =
Me =
Para la moda se tiene:
Mo =

Calcular las medidas de tendencia central media mediana y moda en las siguientes distribuciones.
1.-
I F x f. x. f.a. (+)
18 – 21 10
22 – 25 9
26 – 29 19
30 – 33 12
34 – 37 9
38 – 41 4
42 – 45 7
2.-
I F x f. x. f.a. (+)
3 – 6 20
7 – 10 35
11- 14 28
15 –18 40
19 –22 23
23 –26 20
27 –30 37
31 –34 21

3.-
I F x f. x. f.a. (+)
16 - 19 2
20 - 23 6
24 - 27 8
28 - 31 9
32 - 35 11
36 – 39 5
40 – 43 6
44 – 50 3
51 – 56 4
4).-
I F x f. x. f.a. (+)
13 - 16 9
17 - 20 10
21 - 24 14
25 - 28 16
29 - 32 13
33 - 36 11
37 - 40 8
41 - 44 7
45 - 50 2

ACTIVIDAD 9
Medidas de
Dispersion

MEDIDAS DE DISPERSION
Una medida de tendencia central no describe por si sola ni sintetiza adecuadamente una distribución de datos, para esto es necesario tener un indicador o
dispersión con que se distribuyen los datos de la variable. Una medida de dispersión indica cuanto se desvían los datos con respecto a las centrales y se tienen los
siguientes:
Ejemplo: Obtener el rango en la siguiente distribución
2 , 3 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 RANGO = 7 - 2 = 5
__
PROCEDIMIENTO.
1).- Se suma la columna de frecuencias de la tabla y se denomina “ f “.
2).- Se calcula la media aritmética como se vio previamente.
3).- Se sustrae la media aritmética obtenida de cada punto medio y se anexa una nueva columna denominada “ X
X − “ , a continuación se multiplica cada
valor obtenido por su frecuencia respectiva y se agrega una nueva columna denominada “ f ( X
X − )“ la cual posteriormente se suma .
4).- Se divide la suma obtenida en el paso anterior entre la suma total de frecuencias y el valor obtenido es el valor de la desviación media.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
__
D.M. =  f ( X ─ X)__
 f
RANGO. - Se trata de la más simple de las medidas de dispersión y representa la distancia entre el mayor y el menor de los datos de una
distribución, ya que solo toma en cuenta los valores extremos y descuida los intermedios.
DESVIACION MEDIA. -Se define como la desviación promedio de los valores absolutos de las desviaciones de los datos de una variable con respecto a su
media y se expresa mediante la siguiente fórmula:

EJEMPLO
Calcular las medidas de tendencia central media, mediana, moda, así como la desviación media en la siguiente distribución:
I F x F . X . f.a. (+)
__
X - X
__
F(X – X )
13 – 16 8
17 – 20 10
21 – 24 13
25 - 28 16
29 – 32 14
33 – 36 9
37 – 40 3
41 – 46 5
X =  f . X. = X =
F
Para la mediana se tiene:
M.e. = Li +  f /2 - f.a i =
F
M.e. =
M.e. =
Para la moda tenemos: Mo =
Para la desviación media, se aplica la siguiente fórmula:
__
D.M. = f ( X – X ) = =
F
D.M. =

Calcular las medidas de tendencia central, media, mediana y moda, así como la desviación media en las siguientes distribuciones:
I f x f.x. f.a (+) x-x f(X – X)
16 - 19 8
20 - 23 9
24 - 27 13
28 - 41 15
42 - 45 10
46 - 49 8
50 - 58 7
I f x f. X . f.a. (+) x
x − F( x
x − )
8.3 – 16.5 4
16.6 - 24.8 6
24.9 - 33.1 9
33.2 - 41.4 13
42.0 - 49 16
49.8 - 58 20
59.0 - 67.2 15
67.3 - 75.5 10
75.6 - 83.8 11

I F x F . X . f.a. (+) x
x − F( x
x − )
8.1 – 16.7 6
16.8 - 24.3 8
24.9 - 33.4 5
33.5 - 41.8 13
42.0 - 49.3 15
49.8 - 58.7 19
59.0 - 67.2 13
67.3 - 75.5 12
75.6 - 83.8 15
I F x F . X . f.a. (+) x
x − F( x
x − )
8.3 – 16.5 6
16.6 - 24.8 8
24.9 - 33.1 4
33.2 - 41.4 13
42.0 - 49 16
49.8 - 58 17
59.0 - 67.2 15
67.3 - 75.5 12
75.6 - 83.8 15

I F x F . X . f.a. (+) x
x − F( x
x − )
8.3 – 16.5 7
16.6 - 24.8 9
24.9 - 33.1 5
33.2 - 41.4 13
42.0 - 49 16
49.8 - 58 17
59.0 - 67.2 15
67.3 - 75.5 11
75.6 - 83.8 14
I F x F . X . f.a. (+) x
x − F( x
x − )
8.1 – 16.7 5
16.8 - 24.3 7
24.9 - 33.4 5
33.5 - 41.8 12
42.0 - 49.3 14
49.8 - 58.7 20
59.0 - 67.2 13
67.3 - 75.5 11
75.6 - 83.8 16

VARIANZA Y DESVIACION ESTANDAR
S =
f
)
x
x
(
f 2

−

Donde:
S = Desviación estándar
 F = Suma total de frecuencias
 f ( x
x − )2 = Suma total de desviaciones
Cuadráticas por su frecuencia
PROCEDIMIENTO
1).- Se calcula la Media aritmética, se sustrae de cada punto medio y la expresión resultante se eleva al cuadrado para eliminar así los valores negativos.
2).- Se multiplica cada valor obtenido en el paso anterior por su frecuencia respectiva y se anexa una nueva columna, la cual posteriormente se suma
Denominando la misma “ f ( X – X )2 “
3).- Se divide la suma obtenida anteriormente entre la suma total de frecuencias y la expresión que se obtiene se denomina varianza.
S2 = f ( x
x − ) 2 Varianza
 F
4).- Finalmente y para extraer la desviación estándar se le extrae raíz cuadrada a la varianza, expresado mediante:
S =
f
)
x
x
(
f 2

−

Desviación estándar
DESVIACION ESTANDAR. - Es una medida de dispersión más adecuada por sus propiedades algebraicas, se le conoce como desviación típica y su símbolo es
“S” Y se le define:

Calcular la varianza y la desviación estándar de acuerdo a los datos de la siguiente tabla :
_
X =
Me =
Mo =
D.M. =
Varianza = S2 = = f ( x
x − ) 2
 F
Para la desviación estándar tenemos
S =
f
)
x
x
(
f 2

−

S =
I f x f.x. f.a (+) x
x − ( x
x − )2
F( x
x − ) F( x
x − )2
16-19 8
20-23 9
24-27 13
28-41 15
42-45 10
46-49 8
50-58 7

Calcular las medidas de tendencia central y de dispersión en las siguientes distribuciones;
X =
Me =
Mo =
D.M. =
x − ) 2
 F
S =
f
)
x
x
(
f 2

−

S =
i F x f.x. f.a (+) x-x (x-x)2
F(x-x) F(x-x)2
8.6 - 15 2
15.7 - 22.1 3
22.3 – 28.6 6
28.8 – 35.2 8
36.3 – 42.7 10
42.9 – 49.6 13
50.0 – 56.4 6
56.5 – 62.9 8
63.0 – 69.4 9
70.0 - 76.5 11

X =
Me =
Mo =
D.M. =
x − ) 2
 F
S =
f
)
x
x
(
f 2

−

S =
i F x f.x. f.a (+) x-x (x-x)2
F(x-x) F(x-x)2
7.5 – 16.4 3
16.5 – 25.4 5
25.5 – 34.2 9
34.8 – 43.6 11
43.9 – 52.6 17
53.0 – 61.9 8
62.0 – 70.9 6
71.0 – 78.9 4
80-0 – 88.9 3
90.0’ – 97.0 16
97.5 - 110 12

X =
Me =
Mo =
D.M. =
x − ) 2
 F
S =
f
)
x
x
(
f 2

−

S =
i F x f.x. f.a (+) x-x (x-x)2
F(x-x) F(x-x)2
8.2 – 18.1 3
18.2 – 28.1 5
28.2 – 38.1 7
38.2 – 48.1 8
48.2 – 58.1 11
58.2 – 68.1 16
68.2 – 78.1 20
78.2 – 88.1 13
88.2 – 98.1 15
98.2 – 108.1 14

Calcular las medidas de tendencia central y de
dispersión en las siguientes distribuciones;
X =
Me =
Mo =
D.M. =
Varianza = S2 = f ( x
x − ) 2
 F
S =
f
)
x
x
(
f 2

−

S =
i F x f.x. f.a (+) x-x (x-x)2 F(x-x) F(x-x)2
7.5 – 16.4 2
16.5 – 25.4 7
25.5 – 34.2 9
34.8 – 43.6 11
43.9 – 52.6 19
53.0 – 61.9 5
62.0 – 70.9 9
71.0 – 78.9 14
80-0 – 88.9 10
90.0’ – 97.0 12
97.5 - 110 13

X =
Me =
Mo =
D.M. =
Varianza = S2 = f ( x
x − ) 2
 F
S =
f
)
x
x
(
f 2

−

S =
i F x f.x. f.a (+) x-x (x-x)2 F(x-x) F(x-x)2
8.2 – 18.1 4
18.2 – 28.3 6
28.4 – 38.3 7
38.4 – 48.1 3
48.2 – 58.6 11
58.7 – 68.1 17
68.2 – 78.4 20
78.5 – 88.1 15
88.6 – 98.3 12
98.6 – 108.5 10

ACTIVIDAD 10
Probabilidad

FENÓMENOS DETERMINISTAS Y ALEATORIOS
ESPACIO MUESTRAL Y EVENTO
.
EJEMPLO 1:
Determinar el espacio muestral resultante de lanzar dos volados
Águila = A { AA ,AS ,SA ,SS }
Sol = S
Como se puede observar, este tipo de experimento es bastante fácil, quizás el problema sea cuando el espacio muestral sea demasiado grande de tal manera
que se torna cada vez más difícil al alargarse la serie. Por fortuna para resolver este tipo de casos existe una técnica conocida como diagrama de árbol cuya
aplicación conduce metódicamente al espacio muestral que se desea obtener.
PROBABILIDAD
FENÓMENO DETERMINISTA. - Si ponemos un recipiente con agua en el fuego sabemos de antemano que va a hervir, indefectiblemente del tiempo que alcance
su punto de ebullición en relación inversa con la temperatura a que se le someta: a mayor intensidad del fuego, menor el tiempo en que rompa el hervor y
viceversa. Si lanzamos una piedra al vacío, sabemos de antemano que caerá, podemos incluso predecir adonde, entonces a este tipo de experimentos donde
es posible anticipar los resultados con toda certeza se le denomina fenómenos deterministas.
FENÓMENO ALEATORIO. - Si en cambio tiramos un dado en cuyas caras aparezcan símbolos del 1 al 6, desconocemos cual quedará arriba ó si lanzamos un
volado ignoramos si la moneda caerá águila ó sol. Este tipo de experimentos en que nos es posible adelantar los resultados con certeza se les denomina
fenómenos aleatorios y son el objeto de estudio de la teoría de la probabilidad.
ESPACIO MUESTRAL. - Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio
EVENTO. - Es lo que se espera ó desea obtener al realizar una ó varias veces el mismo experimento.

EJEMPLO 2 :
Se nos informa que una pareja planea procrear tres hijos, ¿De cuantas maneras diferentes puede suceder este hecho? Ó en otras palabras ¿Cuál es el espacio
muestral resultante del experimento procrear tres hijos?
Sea H Hombre
M Mujer
Primer hijo segundo hijo tercer hijo
H
H M
M H
H M
H H
M
M M
H
M
Si seguimos cada ramal por separado se obtiene el siguiente espacio muestral:
(HHH, HHM, HMH, HMM, MHH, MHM, MMH, MMM)

DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD
.
Una probabilidad no puede ni debe ser cualquier número digamos -2 ó 110 % sino un número real P que se asigna a un evento A con las siguientes
propiedades.
1).- La probabilidad de que suceda A no puede ser menor que cero ni mayor que uno. El cero indica la posibilidad de que suceda y el uno la certeza del mismo:
O < P(A) < 1
2).- Para dos eventos mutuamente excluyentes, la probabilidad de que suceda uno ú otro es igual a la suma de sus probabilidades por separado, simbólicamente
se expresa:
P(A1 ó A2) = P(A1) + P(A2)
Ahora, en caso de que sean mutuamente excluyentes y exhaustivas. O sea que juntos abarquen todo el espacio muestral, la probabilidad de que sucedan uno u
otro sigue siendo la misma, pero dicha suma debe ser igual a uno.
P(A1) + P(A2) = 1
EJEMPLO:
Una investigación efectuada en cierto colegio de bachilleres nos revela que la probabilidad de que alumno dedique al estudio, fuera del aula más de 12 horas a la
semana es 0.20, Determinar la probabilidad de que estudie 12 horas ó menos.
Sea el evento A1 = Mas de 12 horas y el evento A2 = Menos de 12 horas
P(A1) + P(A2) = 1
PROBALIDAD. - Es un número que se asigna a un evento para indicar la posibilidad de que suceda

PROBABILIDAD BAJO EL ENFOQUE CLASICO
El estudio de la probabilidad tiene sus orígenes en los juegos de azar. Donde el requisito básico de imparcialidad nos exige que ciertos resultados sean igualmente
probables y este requisito en que los resultados de un experimento aleatorio sean igualmente probables, es la característica fundamental de la teoría de la
probabilidad que dice:
Si hay n resultados igualmente probables, de los cuales f son el tipo que nos interesa, la probabilidad de que ocurra un resultado de este tipo es:
Donde:
P = Probabilidad
f = Número de casos
n = Total de casos
Ejemplos:
1).- Determinar la probabilidad de que al tirar un dado:
a). - p (sea - 3) =
b). - p (no sea 3) =
2).-Determinar la probabilidad de que en el juego de domino, se extraiga la ficha:
a). - p (seis-tres) =
b). - p (mula) =
3).- Se tiene un juego de baraja, en el cual se desean extraer las siguientes probabilidades:
a).- p (un as) =
b).- p (un Rey) =
c). - p (una quina de picas) =
P(A) = f
n

I).-Anotar el espacio muestral correspondiente a los experimentos que se indican a continuación:
1).- Se lanza un volado 4 veces
2).- una pareja planea procrear 2 hijos
3).- Se hace una tirada de un par de dados en cada una de cuyas caras está inscrita sólo una cifra del 1 al 6.
4).- De 5 preparatorianos distinguidos en la asignatura de español, Juan, Liliana, Pedro, Alma y Roberto, se va a seleccionar a dos de ellos para la exposición
de un tema ¿De cuantas maneras distintas pueden quedar formadas las parejas ¿

5).- En cierto universo se efectúa una rifa de 5 libros, cada uno de los cuales versa sobre las siguientes temáticas: Matemáticas,
física, literatura, español y química. La condición de sorteo es que el ganador pueda escoger únicamente 3 libros cualesquiera ¿ De cuantas maneras distintas
puede hacer la elección ¿
6).- Determinar el espacio muestral del experimento echar un volado 4 veces y hallar la probabilidad de obtener:
a) 0 águilas
b) 1 águila o mas
c) 2 águilas o más
d) 3 águilas ó mas
e) 4 águilas
f) 3 águilas y 1 sol en ese orden
g) 3 águilas y 1 sol, en cualquier orden
h) 2 águilas y 2 soles en cualquier orden

7).- Resuelto el ejercicio 3, hallar la probabilidad de que la suma de puntos:
a) de 12
b) no de 12
c) de 7
d) no de 7
e) de 1
f) no de 1
g) no de 13
h) de 13
i) de 9
j) No de 9
k) de 11
l) No de 11

ESCRIBIR COMO PROBABILIDADES SIMPLES A FAVOR O EN CONTRA SEGÚN SEA EL CASO
1).- La probabilidad de que un alumno de la UV haya nacido en el estado de Veracruz están a favor 21 a 4
2).- Las probabilidades de que un estudiante de alguna facultad de la capital veracruzana haya nacido en Xalapa están en contra 2 a 1.
3).- Las probabilidades a favor de que un alumno de la UV tenga menos de 24 años son 17 a 10
4).- Las apuestas a que el equipo Cruz Azul gane el próximo torneo de invierno están a favor 7 a 6
5).- Un reporte meteorológico informa que las probabilidades en contra de que el próximo fin de semana este soleado en un puerto turístico están 8 a 5.
6).- La probabilidad de que un ingenio azucarero en México muela más de 150 días por ciclo es de 0.625. Si se selecciona al azar una muestra de 4 ingenios,
determinar la probabilidad:
a) De que los 4 muelan más de 150 días
b) De que 2 muelan más de 150 días y dos menos de 150 días
c) De que los 4 muelan 150 días ó menos

ACTIVIDAD 11
Estandarización de
Datos

ESTANDARIZACIÓN DE DATOS (LA TRANSFORMACIÓN Z)
En estadística se entiende por transformación un conjunto de operaciones aritméticas que se realizan sobre los valores de una variable para obtener un nuevo
conjunto de valores. Aquí hablaremos del procedimiento conocido como estandarización que consiste en convertir datos como los que hasta ahora hemos
manejado en datos estándar.
Para transformar un conjunto de datos en datos z se procede como sigue:
Donde
Z = Dato estandarizado (Dato Z)
_ _
X – X = Diferencia entre cada dato X de X
S = Desviación estándar
Si convertimos todas las categorías de una distribución de datos z (otra forma de llamar estándar), obtenemos una nueva distribución en la cual la media aritmética
vale cero y la desviación estándar vale 1 y es esta característica o propiedad la que hace sumamente útil a los datos Z.
EJEMPLO:
Transformar a datos Z la siguiente distribución: X = 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1
X
__
X – X
__
( X – X)2
Datos Z
ESTANDARIZACIÓN DE DATOS (LA
TRANSFORMACIÓN Z)
S
x
x
Z
−
=
Procedimiento
1).- Se calcula la media aritmética de toda la serie de datos y se resta de cada dato x
2).- Se calcula la desviación estándar aplicando el método visto anteriormente.
3).- Se divide la diferencia x – x entre la desviación estándar de la distribución, simbólicamente un dato estandarizado este dado por:

Transformar a datos Z cada una de las distribuciones:
1).- 3, 4 , 5 , 7 , 6 , 4 , 2 , 3 , 4
X
__
X – X
__
( X – X)2
Datos
Z
2).- 1, 3 , 5 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7
X
__
X – X
__
( X – X)2
Datos
Z

3).- 20 , 30 , 30 , 40 , 20 , 30 , 10 , 40 , 50
X
__
X – X
__
( X – X)2
Datos
Z
4).- 50 , 55 , 53 , 57 , 52 , 55 , 54 , 54 , 56 , 54
X
__
X – X
__
( X – X)2
Datos
Z

5).- 100 , 150 , 200 , 250 , 300 , 350 , 400
X
__
X – X
__
( X – X)2
Datos
Z
6).- 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15
X
__
X – X
__
( X – X)2
Datos
Z

7).- 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12
X
__
X – X
__
( X – X)2
Datos
Z
8).- 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11
X
__
X – X
__
( X – X)2
Datos
Z

9).- 84 , 59 , 82 , 35 , 21 , 81 , 91 , 184 , 56 , 46
X
__
X – X
__
( X – X)2
Datos
Z

INTERPRETACION Y REPRESENTACION DE LOS DATOS Z
Para entender esto calculamos la siguiente serie de datos simples transformados a datos Z:
X = 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1
X
__
X – X
__
( X – X)2
Datos
Z
A continuación se grafica la columna de datos X en el eje horizontal junto con las desviaciones X- X :

Interpretar y representar las siguientes distribuciones de datos Z:
X = 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13
X
__
X – X
__
(X – X)2
Datos
Z
X = 3,5,7,9,11,13,15
X
__
X – X
__
( X – X)2
Datos
Z

Interpretar y representar las siguientes distribuciones de datos Z:
X = 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15
X
__
X – X
__
(X – X)2
Datos
Z
X = 3, 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 17 , 19
X
__
X – X
__
(X – X)2
Datos
Z

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR
Este tipo de distribución tiene la particularidad donde la media aritmética es = 0 y la desviación estándar S = 1. Se trata de hecho de una
distribución de datos Z que tiene forma normal. Su utilidad ha hecho que se construyan tablas que muestran el área bajo la curva limitada por Z ordenadas
cualquiera y se utiliza en todo conjunto de datos distribuidos normalmente luego de haber sido estandarizados. Para utilizar la tabla de área bajo la curva normal
se cumplen las siguientes características:
a). - La proporción de área total que aparece en el cuerpo de la tabla está representado por la porción sombreada.
b). - El área total bajo la curva es 100 % y dado que es simétrica el área en ambos lados de la media equivale al 50 % o .5.
Ejemplo:
Hallar el área bajo la curva limitada a un lado por la media y por el otro por Z = 1.3
De la tabla Área =
=
b) Localizar el área que se localiza por arriba de Z = 1.3
De la tabla Área =
=
c),. Localizar el área que se localiza por debajo de Z = 1.3
De la tabla área =
=
d).- ),. Localizar el área que se localiza entre Z = 1.45 y Z = 2.49
De la tabla área =
De la tabla área =
e).- ),. Localizar el área que se localiza entre Z = - 2.34 y Z = 3.59
De la tabla área =
De la tabla área =
x

DETERMINAR EL AREA BAJO LA CURVA NORMAL LIMITADA COMO SE INDICA
1).- Entre la media y Z = 2 11).- Por debajo de Z = 3.21
2).- Entre la media y Z = - 1.8 12).- Por encima de Z = 1.68
3).- Por arriba de Z = 1 13).- Entre Z = -2.34 y Z = 1.15
4).- Por debajo de Z = 1 14).- Entre la media y Z = 3.56
5).- Entre Z = - 0.5 y Z = -2.1 15).- Por debajo de Z = - 2.27

6).- Entre Z = -2.3 y Z = - 4 16).- Por encima de Z = 3.42
7).- Por arriba de Z = -2.1 17).- Entre Z = -2.34 y Z = 2.12
8).- Por debajo de Z = - 0.7 18).- Entre la media y Z = 1.85
9).- Entre la media y Z = 2.5 19).- Por encima de Z = 3.33
10).- Por arriba de Z = - 7.5 20).- Entre Z = 1.92 y Z = 2.07

DETERMINAR EL AREA BAJO LA CURVA NORMAL LIMITADA COMO SE INDICA
1).- Entre la media y Z = 2.5 11).- Por debajo de Z = 3.23
2).- Entre la media y Z = - 1.82 12).- Por encima de Z = 1.64
3).- Por arriba de Z = 1.4 13).- Entre Z = -2.33 y Z = 1.19
4).- Por debajo de Z = 1.4 14).- Entre la media y Z = 3.27
5).- Entre Z = - 0.4 y Z = -2.1 15).- Por debajo de Z = - 1.27
6).- Entre Z = -2.3 y Z = - 3.45 16).- Por encima de Z = 3.42
7).- Por arriba de Z = -2.13 17).- Entre Z = -1.34 y Z = 2.12
8).- Por debajo de Z = - 0.76 18).- Entre la media y Z = 1.65
9).- Entre la media y Z = 2.53 19).- Por encima de Z = 2.53
10).- Por arriba de Z = - 2.54 20).- Entre Z = 1.62 y Z = 2.57

11).-En una prueba de duración para determinar la vida útil de un nuevo tipo de lámparas lanzado al mercado, los datos de la muestra se distribuyeron de manera
casi normal. Se calculó una vida útil promedio de 7000 horas y una desviación típica de 520 horas. Hallar el porcentaje de lámparas que tendrán una vida útil:
a) Entre la media y 7600 horas
b) Entre 6500 y 7600 horas
c) Mas de 7600 horas
d) Menos de 7600 horas
12).- En una encuesta aplicada a vendedores ambulantes sobre la duración de su jornada de trabajo, los datos se distribuyeron casi normalmente y arrojaron una
media de 6.2 horas diarias y una desviación típica de 2.1 horas.
Hallar el porcentaje de vendedores cuya jornada:
a) Esta entre la media y 8 horas
b) Es mayor de 8 horas
c) Es menor de 8 horas
d) Esta entre 6 y 10 horas

13).- En un examen final de matemáticas la media fue 72 y la desviación estándar 15. Determinar referencias tipificadas de los estudiantes que obtuvieron
puntuaciones de
(a) 60, (b) 93 , (c) 72
__
De los datos del problema se tiene X = 72 y S = 15
__
(a) x = X – X =
s
__
(b) x = X – X =
s
__
(c) x = X – X =
s
14).- Dos estudiantes fueron informados de que habían recibido referencias tipificadas de 0.8 y ─ 0.4 , respectivamente ,en un examen de inglés. Si sus
puntuaciones fueron 88 y 64 respectivamente, hallar la media aritmética y la desviación estándar de las puntuaciones del examen.
__ __
De la formula se tiene Z = X – X despejando X= X + xs y sustituyendo
S
Los datos de los estudiantes nos quedan:
88 = X + 0.8 s ----------( 1 )
64 = X - 0.4 s ----------( 2 )
15). - La media de los pesos de 500 estudiantes en un cierto colegio es de 151 lb y la desviación estándar 15. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente,
hallar cuantos estudiantes pesan:
(a) entre 120y 155 lb,
(b) más de 85 lb

Resolver los siguientes problemas
16).- En un examen final de matemáticas la media fue 75 y la desviación estándar 15. Determinar referencias tipificadas de los estudiantes que obtuvieron
puntuaciones de
(b) 63, (b) 90, (c) 72
(d) x = X – X =
s
__
(e) x = X – X =
s
__
(f) x = X – X =
s
17).- Dos estudiantes fueron informados de que habían recibido referencias tipificadas de - 0.6 y 1.4, respectivamente, en un examen de inglés. Si sus puntuaciones
fueron 70 y 88 respectivamente, hallar la media aritmética y la desviación estándar de las puntuaciones del examen.
18). - La media de los pesos de 400 estudiantes en un cierto colegio es de 132 lb y la desviación estándar 17. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente,
hallar cuantos estudiantes pesan:
(a) entre 115 y 146 lb,
(b) menos de 120 lb
(c) Mas de 150 lb

19).- Si las alturas de 300 estudiantes se distribuyen normalmente con X =68
pulg. y S = 3.0 pulg., cuantos estudiantes tienen alturas
a)- Mayor de 72 pulg.
b).- Menor de 64 pulg.
c).- Entre 65 y 71 pulg.
20).- Si los diámetros de cojinetes de bolas se distribuyen normalmente con
X = 0.614 pulg. Y S = 0,025; Determinar el porcentaje de
Cojinetes con diámetros:
a) Entre 0.610 y 0.618 pulg.
b). - Mayor de 0.617 pulg.
c). - Menor de 0.618 pulg.
21).-). - En una encuesta aplicada a vendedores ambulantes sobre la duración de su jornada de trabajo, los datos se distribuyeron casi normalmente y arrojaron
una media de 6.5 horas diarias y una desviación típica de 2.4 horas.
Hallar el porcentaje de vendedores cuya jornada:
e) Esta entre la media y 8 horas
f) Es mayor de 8 horas
g) Es menor de 8 horas
h) Esta entre 6 y 10 horas

22.- Un investigador reporta que unos ratones vivirán un promedio de 40 meses cuando sus dietas se restringen drásticamente y después se enriquecen con
vitaminas y proteínas. Suponga que la vida de tales ratones se distribuye normalmente con una desviación estándar de 6.3 meses, encuentre la probabilidad de
que un ratón viva:
a) Mas de 32 meses
b) Menos de 28 meses
c) Entre 37 y 49 meses
d) Entre 45 y 50 meses
e) Entre 40 y 43 meses
f) ¿Cuál es la probabilidad de que de seis ratones 4 vivan más de 30 meses?
23.- Las barras de centeno que cierta panadería distribuye a las tiendas locales tienen una longitud promedio de 30 centímetros y una desviación estándar de 2
centímetros. Suponga que las longitudes se distribuyen normalmente, ¿qué porcentaje de las barras son
a) Mas largas de 31.7 cm?
b) Entre 29.3 cm. y 33.5 cm de longitud?
c) Entre 32 cm. y 35 cm?
d) Mas cortas de 38 cm?
e) Entre 27.5 cm. y 30 cm?
f) ¿Cuál es la probabilidad de que, de 4 barras, tres midan más de 35 cm.?

24.- Un abogado va todos los días de su casa a su oficina en el centro de la ciudad. El tiempo promedio del viaje es 24 minutos, con una desviación estándar de 3.8
minutos. Si las duraciones de los viajes están distribuidas normalmente:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un viaje tome al menos ½ hora?
b) Si la oficina abre a las 9:00 a.m. y él sale de su casa diariamente a las 8:45 a.m., ¿qué porcentaje de las veces llega tarde al trabajo?
c) Si sale de su casa a las 8:35 a.m. y el café se sirve en la oficina de las 8:50 a.m. a las 9:00 a.m., ¿cuál es la probabilidad de que llegue a la hora del café?
d) Encuentre cual es el tiempo mínimo que duran el 15% de los viajes más lentos?
e) Encuentre la probabilidad de que dos de los siguientes tres viajes tomen como máximo ½ hora.
25.- Las alturas de 1000 estudiantes se distribuyen normalmente con una media de 174.5 cm y una desviación estándar de 6.9 cm., ¿cuántos de estos estudiantes
se esperaría que tuvieran alturas
a) Menores de 160 cm?
b) Entre 171.5 cm y 182 cm?
c) Mayores a 165 cm?
d) Entre 174.5 cm y 180 cm?
e) Entre 180 cm y 195 cm?
f) Menores de 185 cm?
g) ¿Cuál es la probabilidad de que, de cinco estudiantes, al menos 3 midan más de 180 cm?
h) ¿Cuál es la probabilidad de que, de 3 estudiantes, ninguno mida menos de 160 cm?

26.- Los coeficientes intelectuales de 600 aspirantes de cierta universidad se distribuyen aproximadamente de forma normal con una media de 115 y una
desviación estándar de 12. Si se selecciona un aspirante al azar, encuentre la probabilidad de que:
a) Tenga un coeficiente mayor de 120.
b) Tenga un coeficiente menor de 100.
c) Tenga un coeficiente menor de 122.
d) Tenga un coeficiente entre 115 y 125.

ACTIVIDAD 12
Distribución
Binominal

En este contexto, el término éxito se refiere al resultado o categoría de la variable cuya probabilidad se quiere determinar, cualquier otro resultado se conoce
como fracaso, en otras palabras, éxito, estadísticamente hablando, equivale a resultado favorable, fracaso a resultado desfavorable.
La forma general de la función de probabilidad binomial se puede escribir así:
Donde P bin ( n1) = es la probabilidad de obtener n1 éxitos y n2 fracasos en
N = n1 + n2 intentos independientes
p = probabilidad de éxito en cualquier intento
q = 1 – p = probabilidad de fracaso en cualquier intento
Nota.- Dado un problema, conocemos o se nos da la probabilidad p a partir de la cual calculamos q para obtener la probabilidad de algún valor
particular de éxitos.
Sea n un entero positivo, entonces el factorial de n que se simboliza
n! y se lee “ n factorial “ ,es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta n. Así:
5! = 5 4 3 2 1
por definición 0! = 1 ¡ = 1
DISTRIBUCIÓN BINOMINAL
P bin ( n1) = n! pn1
qn2
n1! n2!
La distribución binomial es la distribución teórica del número de éxitos en una serie de repeticiones independientes donde la probabilidad de éxito en cada
repetición permanece constante.

Ejemplo:
Retomando el experimento de procrear 3 hijos y suponiendo que la probabilidad de engendrar un hijo varón es de 0.5.Determinar la probabilidad de que el número
de varones sea:
a) 0 b) 1 c ) 2 d)3
Solución:
En este problema, que consiste en 3 intentos o repeticiones, entendemos por éxito el engendrar un hijo varón, su probabilidad es p = 0.5 , por lo tanto
q = 1 - p , q = 0.5 así tendremos:
Para el inciso a:
n = n1 = n2 =
qn2
=
n1! n2!
Para el inciso b :
n = n1 = n2 =
qn2
n1! n2!

Para el inciso c :
n = n1 = n2 =
P bin (n1) = n! pn1
qn2
n1! n2!
Para el inciso d:
n = n1 = n2 =
P bin (n1) = n! pn1
qn2
n1! n2!
Según el censo de 1990, el 90 % de la población mexicana de 5 años y más, profesa la religión católica y el resto otra o ninguna. Si elegimos al azar 4 personas de
5 años de edad o más, determinar la probabilidad de que entre los 4 , sean católicos :
a) 0 b) 1 c)2 d)3 e)4
Para el inciso a :
n = n1 = n2 =
qn2
=
n1! n2!
Para el inciso b :
n = n1 = n2 =
qn2
n1! n2!

Para el inciso c :
n = n1 = n2 =
qn2
n1! n2!
Para el inciso d:
n = n1 = n2 =
qn2
n1! n2!
Para el inciso e :
n = n1 = n2 =
qn2
=
n1! n2!

1).- En México, la probabilidad de que una persona muera por enfermedad del aparato circulatorio es 0.2. Si se eligen al azar 5 personas:
a). - Determinar la probabilidad de que de esas 5 personas mueran exactamente 0, 1, 2 , 3 , 4 y 5 por la causa mencionada .
2).- En México, la probabilidad de que una pareja que contrae matrimonio se divorcie es .07. Si se eligen al azar 4 parejas recién casadas:
a). - Determinar la probabilidad de que de esas 4 parejas, se divorcien exactamente 0 , 1 , 2 , 3 y 4
3).- En Aguascalientes, la probabilidad de que una persona al morir tenga más de 64 años es de 0.47. Si dentro del universo de defunciones se eligen al azar 5:
a).- Determinar la probabilidad de que exactamente 0,1,2,3,4 y 5 hayan tenido al morir más de 64 años de edad

4).- En Veracruz la probabilidad de que un profesionista estudie algún nivel de postgrado es de 84%. Eligiendo al azar 3 profesionistas, determinar:
a). - La probabilidad de que de esos 3 profesionistas estudien algún nivel de Postgrado 0, 1, 2 y 3
5).- En Cd. Madero Tamaulipas, la probabilidad de que algún alumno de secundaria concluya sus estudios es de 0.48. Si se eligen al azar una muestra de 2 alumnos:
a). - Determine la probabilidad de que de esos 2 alumnos 0 , 1 y 2 concluyan sus estudios
6).- ).- En Toluca, la probabilidad de que una persona muera por enfermedad del aparato respiratorio es 0.4 . Si se eligen al azar 5 personas:
a).- Determinar la probabilidad de que de esas 5 personas mueran
exactamente 0, 1 , 2 , 3 , 4 y 5 por la causa mencionada .
7).- En Cd. Victoria Tamaulipas la probabilidad de que un estudiante foráneo estudie algún nivel de Maestría o Doctorado es de 39% Si elegimos al azar 6
alumnos:
Determinar la probabilidad de que 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 estudien algún nivel de postgrado

Organizadores Gráficos
Te ayuda a clasificar mediante textos breves, tus
ideas generales, las ideas principales, las
complementarias y los detalles sobre un
determinado tema, se usan figuras en forma de
llaves para su creación.
Te ayuda a asociar sobre un tema central,
todas las características e información
relevante sobre dicho tema, se usan
ramas para su elaboración y puede incluir
dibujos y frases concretas
Te ayuda a describir partiendo de un tema
central, dos o más conceptos los cuales puedes
conectar entre sí con textos alternos breves que
van describiendo el tema.
Mapa mental Mapa conceptual

Te ayudan a separar y establecer las diferencias
más notables entre una idea, tema, concepto
junto con otros, su apariencia debe ser en forma
de tabla y puedes incluir dibujos
Cuadros comparativos
Cuadros / Tablas
Te ayuda a contestar mediante una tabla 3
preguntas claves sobre un conocimiento
determinado, ¿Que sé?, ¿Qué quiero
aprender? y ¿Qué aprendí?
4
Cuadro SQA
S: saber Q: Quiero A: Aprendí
5
Te ayuda a escribir mediante una reflexión
personal de un tema, lo que consideres
POSITIVO, lo que consideres NEGATIVO y lo que
consideres INTERESANTE. Con esta herramienta
puedes emitir tus puntos de vista
Cuadro PNI
P: positivo N: Negativo I: Interesante
6

Te ayudan a describir procedimientos mediante
símbolos concretos, se debe de identificar en tu
diagrama de flujo: el inicio, el desarrollo y el
cierre de un proceso dado.
Diagrama de flujo
7
Gráficos procedimentales
Son figuras que se van distribuyendo sobre una
línea (vertical u horizontal), las cuales nos ayudan
a describir acontecimientos ocurridos en el
tiempo con un orden cronológico establecido.
Puedes colocar fechas, dibujos y datos precisos.
Línea del tiempo
Te ayuda a describir un procedimiento
cronológico o por secuencia, puedes colocar
formas y flechas en forma seriada, teniendo al
final la forma de un círculo o un proceso
secuencial
8
Mapa cognitivo de ciclos
o de secuencias
9

Te ayudan a expresar las ideas principales de un
texto, respetando las ideas del autor. Es una técnica
para comprender tu lectura. Se inicia, subrayando
ideas principales, para después escribirlas
nuevamente en otro apartado más simplificado.
Resumen
10
Es un depósito de más de 5 preguntas
redactadas sobre un tema específico. Te sirven
para poder responderlas y repasar de este modo
tus apuntes, lecturas o conocimientos de temas
variados.
Cuestionario
11
Te ayuda a expresar tus propias ideas, sobre un
tema en particular, es la propia interpretación
de lo que ya se aprendió o se comprendió.
Debe llevar: introducción, desarrollo y
conclusiones
Ensayo
12
Escritos

GENERAL
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IMÁGENES
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Irma Moreno Valdovinos
Desarrollador del cuadernillo
Jesús Guillermo Arévalo Owseykoff
Director General del Colegio de Educación Profesional Técnica del Estado de Veracruz
José Antonio González Sampieri
Subcoordinador de Servicios Institucionales de Conalep del Estado de Veracruz
César Armin Sampieri Cábal
Jefe de Formación Técnica del Plantel Manuel Rivera Cambas 162 Xalapa

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