Unidad 1 valor absoluto-gonzalo revelo pabon

Luis Gonzalo Revelo Pabón 1
Dpto. de Matemáticas - Goretti

ENUNCIADOS DE DESIGUALDAD

En la siguiente figura se dice que: “a es menor que b”, porque el punto a se encuentra a la izquier-
da del punto b, y se escribe a<b, (< simboliza menor).
En la gráfica también se observa que el punto b se encuentra a la derecha del punto a, y se escribe
a>b (> simboliza mayor).

Nótese que el símbolo de la desigualdad “apunta” hacia el punto de menor valor numérico entre los
dos números y “se abre” hacia el punto de mayor valor numérico entre los dos números.

He aquí dos ejemplos del empleo de estos dos símbolos de desigualdad.
3<7 se lee 3 es Menor que 7
5>-2 se lee 5 es mayor que -2.

SIMBOLOS DE DESIGUALDADES EJEMPLOS LECTURA
< Menor 3<4 3 es menor que 4
> Mayor 5>1 5 es mayor que 1
Menor o igual x 4 X es menor o igual a 4
Mayor o igual x 3 X es mayor o igual a 3

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS DESIGUALDADES

1.- Propiedad de la Tricotomía: Para dos números reales a y b, se cumple uno y solamente uno
de los siguientes casos: a<b; a>b; o a=b
2.- Propiedad de orden de la Suma: Para todos los números reales a, b y c se cumple que:
a) Sí a<b, entonces a+c < b+c
b) Sí a>b, entonces a+c > b+c.
Es decir, el mismo número se lo puede sumar o restar a cada uno de los miembros de la desigual-
dad y el sentido de la desigualdad no cambia.
3.- Propiedad de Orden de la Multiplicación: Para todos los números reales a,b y c se cumple
que:
a) Sí a<b, y c es positivo, entonces ac<bc
b) Sí a<b y c es negativo, entonces –ac>-bc.

Ejemplo 1:
Como 5< 10, entonces 5+3 < 10+3 esto es igual a:
8< 13

Como 9>3, entonces 9-2 > 3-2 esto es igual a:
7> 1
Ejemplo 2:
Resolver las siguientes desigualdades
a) -4x - (3 - 5x)>8
b) 5x +2 < 12
c) X-(4-x) > 12

Solución:
a) -4x - (3 - 5x)>8
-4x – 3 + 5x >8
X - 3>8 aumentamos a ambos miembros +3
x -3 + 3> 8+3
x>11


b) 5x + 2 < 12 disminuimos a ambos miembros -2
5x + 2 -2<12 - 2
5x< 10 multiplicamos a ambos miembros por 1/5
1/5(5x) < 1/5(10)
.x<2

c) 2x –(4 + x)>12
2x - 4 - x > 12
x – 4>12 sumamos a ambos miembros +4
x - 4+4>12 + 4
x> 16.

Ejemplo:
Determinar el conjunto solución de las siguientes desigualdades o inecuaciones:
a) 3x + 7 2x – 1
b) 2x – 4 x +2

Solución:
a) 3x + 7 2x – 1 sumamos a cada miembro -7
3x + 7 - 7 2x – 1 – 7
3x 2x -8 sumamos a cada miembro -2x
3x – 2x 2x – 8 - 2x
.x -8

b) 2x – 4 x+2 sumamos a cada miembro +4
2x – 4 + 4 x+2+4
2x x +6 sumamos a cada miembro – x
2x – x x+ 6 –x
.x 6

Ejemplo: dada la siguiente desigualdad 8<12, multiplicarla por las siguientes cantidades 2, -3,
1/4, -3/2.
a) 8<12 multiplicamos ambos miembros por 2
2(8)< 2(12)
16 < 24 se conserva el signo de la desigualdad.

b) 8<12 multiplicamos ambos miembros por - 3
-3(8) < -3(12)
- 24 > -36 el signo de la desigualdad se invierte.

c) 8<12 multiplicamos ambos miembros por 1/4
(1/4)(8)< (1/4)(12)
8/4 < 12/4 se conserva el signo de la desigualdad.
2<3
d) 8<12 multiplicamos ambos miembros por -3/2
-3/2(8) < -3/2(12)
-24/2 > - 36/2 el signo de la desigualdad se invierte.
- 12 > - 18

Ejemplo: resuelva las siguientes desigualdades o inecuaciones.
a) 5(3 – 2x) 10
b) .x/2 + 3 x/3 – 2


Solución:
a) 5(3 – 2x) 10
15 – 10x 10 sumamos a ambos miembros -15
15 – 10x – 15 10 -15
-10x -5 multiplicamos ambos miembros por -1/10
(-1/10)(-10x) (-1/10)(-5)
.x 5/10 el signo de desigualdad se invierte
.x 1/ 2

b) .x/2 + 3 x/3 – 2 multiplicamos todos los términos por 2
2(x/2) + 2(3) 2(x/3) – 2(2)
X+6 2x/3 – 4 multiplicamos todos los términos por 3
3x + 3(6) 3(2x/3) – 3(4)
3x + 18 2x -12 sumamos ambos miembros -2x
3x + 18 – 2x 2x -12 – 2x
.x + 18 -12 sumamos ambos miembros - 18
.x + 18 - 18 -12 – 18
.x - 30

TALLER No 1
Determinar el conjunto solución de las siguientes desigualdades:
1) x + 3 <12
2) - x – 5 < 13
3) x -1 > 8
4) - x +7 > 2
5) x – 5 9
6) - x – 3 -5
7) 3x + 8 < 2x + 12
8) 3x – 6 x + 8
9) - 5(x + 7) 3x – 7
10) 2(x – 1) 5x + 1
11) x/4 +2 > x/5 -2


GRAFICOS de DESIGUALDADES (Intervalos)

Ejemplo:
Exprese cada una de las siguientes desigualdades con una notacion de intervalo
a) -6 x<0
b) X<5
c) x -1
d) -2<x<4
e) x>2

Solucion:
a) -6 x<0 entonces el intervalo es [-6,0)
b) X<5 entonces el intervalo es ( , 5)
c) x -1 entonces el intervalo es ( ,-1]
d) -2<x<4 entonces el intervalo es (-2,4)
e) x>2 entonces el intervalo es (2, )

Ejemplo:
De cada uno de los siguientes intervalos graficarlos en la recta real
a) (-3,-1)
b) [0,5]
c) (3,5]
d) ( 0]
e) [2,+ )

Solucion:


Ejempl
o:
Grafique el conjunto solucion (intervalo) de las siguientes desigualdades:
a) -2(x-1) 4
b) 3x + 5< - 3x + 1
c) -2x + 1 19

Solucion:
a) -2(x-1) 4
-2x + 2 4 sumamos a ambos miembros -2
-2x + 2 – 2 4 -2
-2x 2 multiplicamos a ambos miembros por -1/2
(-1/2)(-2x) (-1/2)(2)
.x - 1 conjunto solucion

b)
3x + 5< - 3x + 1 sumamos a ambos miembros -5
3x + 5 – 5 < -3x + 1 – 5
3x < -3x -4 sumamos a ambos miembros +3x
3x +3x < -3x – 4 +3x
6x < - 4 multilicamos a ambos miembros por 1/6
(1/6)(6x) < (1/6)(- 4)
X < - 0,666

c) -2x + 1 19 sumamos a ambos miembros -1
-2x + 1 -1 19 – 1
-2x 18 multiplicamos ambos miembros por -1/2
(-1/2)(-2x) (-1/2)(18)
.x -9


TALLER

1.- Exprese cada una de las siguientes desigualdades con una notacion de intervalo
a) -5 x<2
b) -10<x<10
c) x -1
d) -2 x
e) 0<x<7

2.- De cada uno de los siguientes intervalos graficarlos en la recta real
a) [-3,-1)
b) (0,5)
c) [3,5)
d) ( -2]
e) (2,+ )

3.- Grafique el conjunto solucion (intervalo) de las siguientes desigualdades:
a) 3x + 5 17
b) 2(x+1)< x + 1
c) 3x/4 + 2 < 5x/8 – 3
d) X – 7 - 3
e) 3x +12> 2x – 5
f) -5x< 50
g) -2x +1 19
h) -5x + 5 < -3x +1
i) 3x + 5 + x >2(x-1)


DEFINICION DE VALOR ABSOLUTO Para cualquier número real X, se cumple que:

X sí x 0 ………… (1)
|X| =
- X sí x 0 ………… (2)

¿Qué tienen en común los números -5 y +5? Es obvio que son números diferentes y que son las
coordenadas de dos puntos distintos en la recta real. Sin embargo, ambos números están a una
misma distancia del cero (0) u origen de la recta.

Es decir, el punto -4 está a la misma distancia a la izquierda del cero (0), que el punto +4 a la dere-
cha del cero (0). Este hecho se lo indica con la notación del Valor Absoluto.

|-4| = 4 quiere decir “El valor absoluto de -4 es 4”.
|+4| = 4 quiere decir “El valor absoluto de +4 es 4”

PROPIEDAD 1: |x| = k entonces (1) +x = k y (2) –x = -(-k) = k, esta propiedad es una con-
secuencia directa de la definición de valor absoluto
PROPIEDAD 2: |x| k entonces -k k, es lo mismo que escribir: (1) x -k y (2) x k
PROPIEDAD 3: |x| k entonces x -k y x k

Ejemplo: Resolver las siguientes ecuaciones lineales (igualdad) con valor absoluto:
a) |5-x| = 7
b) |-x +7| = 10
c) |x+2| = -12
d) |2x – 3| = 9

Solución:
a) |5-x| = 7 aplicando la propiedad 1, tenemos que efectuar dos pasos a saber:
(1) Si (5-x) es positivo, entonces 5 –x =7
-x = 7-5
-x = 2
X = -2
(2) Si –(5-x) es negativo, entonces - 5 +x = 7
+x = 7 +5
.x = 12 Rta: x=-2 y x= 12
Comprobación:
|5- (-2)|=|5+2|=7
|5-(12)|=|5-12|=|-7|=7

b) |-x +7| = 10 aplicando la propiedad 1, tenemos que efectuar dos pasos a saber:
(1) Si (-x +7) es positivo, entonces –x + 7 = 10
-x = 10 -7
-x = 3
X = -3
(2) Si –(-x+7) es negativo, entonces +x - 7 = 10
+x = 10 + 7
.x = 17 Rta: x= - 3 y x = 17
Comprobación:
|-(-3) + 7|=|3+7|=10


|-17 + 7|=|-10|=10

c) |x+2| = -12 aplicando la propiedad 1, tenemos que efectuar dos pasos a saber:
(1) Si (x+2) es positivo, entonces x+2 =-12
x = - 12 - 2
x= - 14
(2) Si (x+2) es negativo, entonces -x - 2 = -12
-x = -12 +2
-.x = - 10
X= 10 Rta: x= 10 y x= -14
Comprobación:
|-14+2|=|-12|=12
|10 +2|=|12|=12

d) |2x -3| = 9 aplicando la propiedad 1, tenemos que efectuar dos pasos a saber:
(1) Si (2x-3) es positivo, entonces 2x -3 =9
2x = 9+3
2x = 12
X = 12/2 = 6
(2) Si –(2x-3) es negativo, entonces --2x + 3 = 9
-2x = 9 - 3
.-2x = 6
2x = -6
X =- 3 Rta: x= 6 y x=- 3
Comprobación:
|2(6)-3|=|12-3|=|9|=9
|2(-3)- 3|=|-6-3|=|-9|=9.

Ejemplo 2:
Resolver las siguientes inecuaciones lineales (o desigualdad) con valor absoluto.
a) |x-2| 3
b) |3-x| 12
c) |-x +4| 20
d) |-2+2x| 10

Solución:
a) |x-2| 3 aplicando la propiedad (2), se tiene que:
-3 x-2 3 a cada miembro de la desigualdad le aumentamos +2
-3+ 2 x-2 +2 3 +2
-1 x 5
Respuesta: todos los números comprendidos entre -1 y 5, incluidos el -1 y el 5.

b) |3-x| 12 aplicando la propiedad (2), se tiene que:
-12 3-x 12 a cada miembro de la desigualdad le disminuimos -3
-12 -3 3-x -3 12-3
- 15 x 9 multiplicamos por -1
15 x -9 ordenamos este intervalo para obtener
-9 x 15
Respuesta: todos los números comprendidos entre -9 y 15, incluidos el -9 y el 15

c) |-x+4| 20 aplicando la propiedad (2), se tiene que:
-20 -x + 4 20 a cada miembro de la desigualdad le disminuimos -4
-20 -4 -x +4-4 20 -4
-24 -x 16 multiplicamos por -1
24 x -16 ordenamos el intervalo


- x 24

Respuesta: todos los números comprendidos entre -16 y 24, incluidos el -16 y el 24

d) |-2+2x| 10 aplicando la propiedad (2), se tiene que:
-10 -2+2x 10 a cada miembro de la desigualdad le aumentamos +2
-10+2 -2+2x+2 10+2
-8 2x 12 dividimos a cada una de las desigualdades entre 2

-4 x 6

Respuesta: todos los números comprendidos entre -4 y 6, incluidos el -4 y el 6.

Ejemplo 3:
Resolver las siguientes inecuaciones lineales (o desigualdades) con valor absoluto.
a) |x+1| 2
b) |-x+7| 12
c) |2x-8| 4
d) |-x -3| -5

Solución
a) |x+1| 2 aplicando la propiedad (3), se tiene que:
(1) x+1 -2 entonces x -3
(2) x+1 2 entonces x 1 respuesta: x -3 y x 1

Solución
b) |-x+7| 2 aplicando la propiedad (3), se tiene que:
(1) -x+7 -12 entonces -x 19 multiplicamos por -1.
x -19
(2) -x+7 12 entonces -x 5 multiplicamos por -1
x -5 respuesta: x -5 y x -19

Solución
c) |2x-8| 4 aplicando la propiedad (3), se tiene que:
(1) 2x-8 - 4 entonces 2x 4 dividimos cada miembro entre 2
x 2
(2) 2x-8 4 entonces 2x 12 dividimos cada miembro entre 2
x 6 respuesta: x 2yx 6

Solución
d) |-x-3| -5 aplicando la propiedad (3), se tiene que:
(1) -x-3 -(-5) entonces -x - 3 5 sumamos a cada miembro entre +3
-x- 3+3< 5+3
-x < 8 multiplicamos a cada miembro por -1
.x -8
(2) -x-3 - 5 entonces -x -3+3 -5+3
-x> -2 multiplicamos a cada miembro por -1
.x<2 respuesta: x 2 y x - 8


TALLER

1.- Despeje x de cada una de las siguientes expresiones algebraicas:
a) |x| = ½
b) |3x – 4|=0
c) |4-x| = 3
d) |3x| = 3
e) |6 – 2x| = 4

2.- Despeje x de cada una de las siguientes expresiones algebraicas y las soluciones grafíquelas
en la recta real:
a) |3x – 6|<9
b) | x – 1 | 3
c) |x +2 | 3
d) |x +1| 3
e) |2x – 1| 7

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