Unidad i las matematicas en las finanzas

UNIDAD I
LAS MATEMATICAS EN LAS
FINANZAS

 IDENTIFICAR OPORTUNIDADES DE
FINANCIAMIENTO QUE OFRECEN UNA TASA
ADECUADA DE INTERES, CON EL PROPOSITO
DE PROPONER SOLUCIONES AUTOMATIZADAS
QUE FACILITEN A LA GERENCIA LA TOMA DE
DECISIONES.

 Del latín interesse (“importar”), el término
interés tiene un uso en las finanzas
vinculado al valor, la utilidad y la
ganancia. Por eso se conoce como interés
al lucro que produce el capital.

 SE LLAMA INTERÉS SIMPLE A LA OPERACIÓN
FINANCIERA DONDE INTERVIENE UN CAPITAL, UN
TIEMPO PREDETERMINADO DE PAGO Y UNA TASA O
RAZÓN, PARA OBTENER UN CIERTO BENEFICIO
ECONÓMICO LLAMADO INTERÉS.
 En cuanto a la definición de interés simple, se trata
de los intereses que produce una inversión en el
tiempo gracias al capital inicial. Por lo tanto, el
interés simple se calcula en base al capital principal, la
tasa de interés y el periodo (el tiempo de la inversión).


 LO IMPORTANTE A LA HORA DE CONSIDERAR
AL INTERÉS SIMPLE ES QUE LOS INTERESES
PRODUCIDOS POR EL CAPITAL EN UN
DETERMINADO PERIODO NO SE ACUMULAN
AL MISMO PARA GENERAR LOS INTERESES
CORRESPONDIENTES AL SIGUIENTE PERIODO.
 ESTO QUIERE DECIR QUE EL INTERÉS SIMPLE
QUE GENERE EL CAPITAL INVERTIDO SERÁ
IGUAL EN TODOS LOS PERIODOS DE
DURACIÓN DE LA INVERSIÓN, SIEMPRE QUE
LA TASA Y EL PLAZO NO VARÍEN.

LA FÓRMULA MAS CONOCIDA DE INTERÉS SIMPLE
ES:
ut
TRC
I
.100
..
=

 DONDE :
 I es el interés o dinero a cobrar o pagar
 C es el capital o dinero a considerar
 R es la tasa o razón
 T es el tiempo pactado de la operación
 ut es la unidad del tiempo considerado.
ut
TRC
I
.100
..
=
FORMULA DE INTERES SIMPLE

 LA UNIDAD DE TIEMPO ES EL VALOR NUMÉRICO
DE LA FRASE QUE APARECE EN LA RAZÓN

 ejemplo : razón 4 % anual
 representa:

 1 año = 12 meses = 2 semestres = 3
cuatrimestres = 4 trimestres = 6 bimestres = 360
días

 El tiempo dado T y la razón deben tener las
mismas unidades antes de sacar cuentas

 Calcular el interés Simple producido por un capital de
$5,000.00 colocado durante 3 años al 9 % anual.
FORMULA =
DATOS SOLUCION:
 C = $5,000.00
 T = 3 años I= $5,000.00 * 9 *3
I=1,350.00
 R = 9% Anual 100 * 1
 ut = 1 año I=$5,000.00 *9 = $45,000.00
 I=$45,000.00 *3 =$135,000.00
 ut =100 * 1 = 100
 I = $135,000.00/100 =
RESULTADO DE I $1,350.00
ut
TRC
I
.100
..
=

 Un capital de $4,000.00 es colocado al 5 %
mensual durante 3 Trimestres, calcular en
interés ganado:
 FORMULA
 DATOS SOLUCION
 DONDE:
 C =$4,000.00 I=$4,000.00 * 5 * 9 =
R = 5 % mensual I= $4,000.00 *5 = $20,000.00
ut = 1 mes I=$20,000.00*9 = 180,000.00
T = 3 trimestres = 9 meses ut= 100*1=100
 I= $180,000.00/100= $1,800.00
I = C .i . n

 La matemática financiera comienza luego de este tema a utilizar una fórmula
reducida de interés simple con el objeto de poder llegar a deducir otras más
complejas, por lo tanto se realizan las siguientes modificaciones:

 I es el interés o dinero a cobrar o pagar
 C es el capital o dinero a considerar =$3,000.00
 R es la tasa o razón = 5% anual
 T es el tiempo pactado de la operación = 2 semestres
 ut es la unidad del tiempo considerado. = 1
 Tasa i = R Período > n = T despejamos 5/100=0.05 y 12/1=12
 100 ut

 ahora se reemplazan la tasa ( i ) y el período (n) en la fórmula primitiva :

La fórmula principal queda reducida a I = C .i . n
=$3,000.00*0.05*12= $1,800.00

1.- Calcular el interés Simple producido por
un capital de $2,000.00 colocado durante 2
años al 5 % anual.
años al 4 % anual.
años al 6 % anual.
EJERCICIOS PARA RESOLVER

UNIVERSIDAD JUAREZ AUTONOMA DE TABASCO
EJERCICIO RESUELTO
1.- Calcular el interés Simple producido por un capital de
$2,000.00 colocado durante 2 años al 5 % anual.
DATO
S
FORMULA SOLUCION
I= ?
C= $2,000.00
R= 5% ANUAL
T = 2 AÑOS
Ut = 1 ANUAL
C.R.T
100.utI=
I =C.i.n
I= $2,000.00(5)(24)
I=$2,000.00*5=10,000.00
I=$10,000.00*24=240,000.00
Ut=100*1=100
I= 240,000/100=$2,400.00
I= $2,000.00*0.05*24=$2,400.00

EJERCICIOS RESUELTOS
2.- Calcular el interés Simple producido por un capital de $3,000.00
colocado durante 6 años al 4 % anual.
DATOS FORMULA SOLUCION
I= ?
C= $3,000.00
R= 4% ANUAL
T = 6 AÑOS
Ut = 1
I=
C.R.T
100.ut
I =C.i.n
I= $3,000.00(4)(72)
I=$3,000.00*4=$12,000.00
I=$12,000.00*72=$864,000.00
Ut=100*1=100
I= $864,000.00/100=$8,640.00
I= $3,000.00*0.04*72=$8,640.00

3.- Calcular el interés Simple producido por un capital de $8,000.00
colocado durante 3 años al 6 % anual.
I= ?
C= $8,000.00
R= 6% ANUAL
T = 3 AÑOS
Ut = 1
I=
C.R.T
100.ut
I =C.i.n
I= $8,000.00(6)(36)
I=$8,000.00*6=$48,000.00
I=$48,000.00*36=$1,728,000.00
Ut=100*1=100
I= $1,728,000.00/100=$17,280.00
I=$8,000.00*0.06*36=$17,280.00

1.-Un capital de $3,000.00 es colocado al 2
% mensual durante 2 Trimestres, calcular
en interés ganado:
2.-Un capital de $10,000.00 es colocado al
4 % mensual durante 3 Trimestres, calcular
en interés ganado:
3.-Un capital de $1,000.00 es colocado al
10 % mensual durante 2 bimestres, calcular
en interés ganado:

1.-Un capital de $3,000.00 es colocado al 2 % mensual durante 2
Trimestres, calcular en interés ganado:
I= ?
C= $3,000.00
R= 2% ANUAL
T = 2 TRIMESTRES=
6 MESES
Ut = 1
I= C.R.T
100.ut
I= $3,000.00(2)(6)
I=$8,000.00*2=$6,000.00
I=$6,000.00*6=$36,000.00
Ut=100*1=100
I= $36,000/100=$360.00
I=$3,000.00*0.02*6=$360I =C.i.n

Trimestres, calcular en interés ganado:
I= ?
C= $10,000.00
R= 4% ANUAL
T = 3 TRIMESTRES=
9 MESES
Ut = 1
I= C.R.T
100.ut
I= $10,000.00(4)(9)
I=$10,000.00*4=$40,000.00
I=$40,000.00*9=$360,000.00
Ut=100*1=100
I= $360,000/100=$3,600.00
I=$10,000.00*0.04*9=$3,600.00I =C.i.n

bimestres, calcular en interés ganado:
I= ?
C= $1,000.00
R= 10% ANUAL
T = 2 BIMESTRES=
4MESES
Ut = 1
I= C.R.T
100.ut
I= $1,000.00(10)(4)
I=$1,000.00*10=$10,000.00
I=$10,000.00*4=$40,000.00
Ut=100*1=100
I= $40,000/100=$400.00
I=$1,000.00*0.1*4=400.00I =C.i.n

 MONTO
 ES EL CAPITAL COLOCADO MAS EL
INTERES GANADO.
 El monto se obtiene al sumar el capital con
el interés simple, al final del tiempo de
préstamo. El monto se representará con la
letra M. De acuerdo a lo indicado en la
definición, se puede decir que el monto es
igual a: M = C + I


 M = C + I
 Combinando ambas fórmulas >> M = C + C
.i . n
 Factoreando (factor común, inversa de la
propiedad distributiva) >>>>>>>>>M =
C . ( 1 + i . n )

I = C .i . n
MONTO

Un capital de $5,000.00 se colocan en un
banco al 4% mensual durante 8 bimestres.
Indicar el valor del interés y del monto.
 C= $5,000.00
 T = 8 bimestres = 16 meses
 Primero se debe “arreglar” los tiempos…R = 4 %
mensual
 Luego si R = 4% entonces i = 0,04
 Al estar los tiempos convertidos el Tiempo es igual
al período “n” ….n = 16


 DATOS FORMULA RESULTADO
 C= $5,000.00 I = C . i . n = $5,000.00 * 0.04*16= I=$3200.00
 T = 8 bimestres
n = 16
 R= 4% mensual
 i = 0.04 M = C + I = $5,000.00+$3,200.00
 M=$8,200.00

 En este caso se podría hallar también con la otra fórmula:
 M = C . ( 1 + i .n )
 M = $5,000.00 .( 1 + 0.04 .16 )=1.64
 M= $5,000.00 .( 1.64)
 M= $5,000.00 . 1,64 = $8,200.00
 M=8,200.00

Un capital de $800.00 se transformó en $850.00 en 2
bimestres.
Calcular la tasa mensual.
 DATOS FORMULAS
C =$ 800.00 I = C . i . n
M =$850.00 por lo tanto
I = $50 I C n
T = 2 bimestres = 4 meses. $50 = $800 .i . 4
i=? $50 =$3,200.00 .i
 $50 / 3,200.00 = i
 0,015 = i
 Esto significa que la tasa mensual es 0,015 o la razón 1,5 %
mensual.
i=
M
C
t
-1

Un cierto capital se transformó en
$25,000.00 en dos trimestres, si se aplicó
un 3 % mensual. ¿Cuál fue el capital
inicial ?
C = x ( hay que averiguar)
M = $25,000.00
T = 2 trimestres = 6 meses
R = 3 % MENSUAL i = 3 /100 = 0. 03
 Con estos datos la única fórmula capaz de
resolver el problema es:

FORMULA = C . ( 1 + i . n )
 M= $25,000.00 = x . ( 1 + 0,03 . 6 )

 M= $25,000.00 = x . ( 1 + 0.18 )

 M= $25,000.00 = x . 1,18

 M= $25,000.00 / 1.18 = x

 C= $21,186,44 = x >>>> C = $ 21,186.44

C= M
1+it

 UNA PERSONA COMPRA UN REPRODUCTOR DE DISCO COMPACTOS
QUE CUESTA $1,500.00. PAGA UN ENGANCHE DE $800.00 Y ACUERDA
PAGAR OTROS $800.00 TRES MESES DESPUES. ¿QUE TIPO DE INTERES
SIMPLE PAGO?
SOLUCION:
C= $1,500.00- $800.00=700.00 , LA CANTIDAD QUE QUEDA A DEBER
t= 3/12=0.25
I = $800.00 - $700 =$100
Y, CON I = Cit
$100.00 = $700.00 i (0.25)
$100.00 = i (700.00) (0.25) = $175.00
i= (100.00/175.00)
i=0.57142857
PAGO UN INTERES SIMPLE DE 57.14%, 4.76% MENSUAL
I C X t

 UNA PERSONA COMPRA UN AUTOMOVIL EL PRIMERO DE ENERO EN
$195,000.00 Y LO VENDIO 17 MESES DESPUES EN $256,000.00 .
¿QUE TASA DE INTERES SIMPLE ANUAL LE RINDIO SU INVERSION?
SOLUCION:
C=$195,000.00 De M =C(1+it) $256,000.00= $195,000.00 [1+i(17/12)]
M=$256,000.00 $256,000.00 = 1+17/12 i= 1.312821
t = 17/12 meses $195,000.00
I = ? 17i = 1.312821 -1 = 0.312821
12
I= 12 (0.312821) = 0.220814
17
La tasa es de 0.2208 anual simple.
Nótese que si se hubiera preguntado el tipo de interés la respuesta hubiera sido,
convirtiendo simplemente a porcentaje: 22.08% de interés anual simple.

 ¿Cuál ES LA TASA DE INTERES SIMPLE
MENSUAL EQUIVALENTE A UNA TASA DEL
54% ANUAL?
 i= 0.54 = 0.045 o 4.5% mensual.
 12

 ¿Cuál ES EL TIPO DE INTERES MENSUAL
SIMPLE EQUIVALENTE A UNA TASA DEL
0.165 SEMESTRAL?
 i = 0.165 = 0.0275 = 2.75 % mensual
 6

 EN CUANTO TIEMPO SE DUPLICA UN CAPITAL INVERTIDO AL
49% DE INTERES ANUAL SIMPLE?
 De M= C(1+it) Suponiendo M= 2 y C = 1
 2= 1[1+(0.49)t]
 1+0.49 t = 2
 0.49 t=2-1=1
 t=1/0.49
 t=2.04 años
.04años =365(.040) días = 14.84 días
t= 2 años y 15 días, aproximadamente
Nótese que para calcular esto solo se necesito suponer un monto
del doble de cualquier capital. Utilizando M=30 C= 15
30 = 15(1+0.49 t)
30/15= 1+0.49 t
2= 1+0.49 t que es la misma expresión anterior.

 ¿en cuanto tiempo se acumularían $5,000.00 si se depositaran hoy
$3,000.00 en un fondo que paga 4% simple mensual?.
 M=$5,000.00
 C=$3,000.00
 i = 0.04 mensual
 $5,000.00 = $3,000.00 (1+0.04t)
 5,000.00
 3,000.00
 1.66667= 1+0.04t
 0.04t = 0.666667
 t=0.666667/0.04
 t= 16.67 meses
 Como la tasa i esta dada en meses, el resultado que se obtiene en t
también esta en meses, y 0.67 meses = 0.67 (30) días = 20.1 días;
entonces, se acumulan $5,000.00, si se depositan hoy$3,000.00 a
4% mensual simple en 16 meses y 20 días, aproximadamente
= 1+0.04 t

 ES IMPORTANTE ACLARAR QUE EL CAPITAL Y
EL VALOR REPRESENTA LO MISMO, SOLO QUE
EN CONTEXTOS DIFERENTES: EL CAPITAL ES
UNA CANTIDAD QUE SE INVIERTE PARA
OBTENER DESPUES UN MONTO SUPERIOR, Y
EL VALOR ACTUAL, PRECISAMENTE, EL QUE
TIENE EN ESTE MOMENTO UNA CANTIDAD
CUYO VALOR SE HA PLANTEDO EN UNA FECHA
FUTURA, EN ULTIMA INSTANCIA, AMBOS
CONCEPTOS SE PUEDEN PENSAR Y PLANTEAR
UNO EN FUNCION DEL OTRO.

 EL SEÑOR CHAVEZ TIENE UNA DEUDA
DE$21,400.00 QUE DEBE PAGAR DENTRO
DE DOS MESES. SI LA OPERACIÓN ESTA
PACTADA A 42% ANUAL DE INTERES
SIMPLE, ¿CUANTO DEBERIA PAGAR PARA
SALDAR SU DEUDA EL DIA DE HOY?.

 RESUMIENDO Y ABUNDANDO SOBRE EL EJEMPLO:
 C=$20,000.00
 I=$1,400.00
 t= 1/6
 i= 0.42
 M=$21,400.00
 Y SE PUEDE OBSERVAR QUE, EN GENERAL
 M = C + I
 $21,400.00 = $20,000.00 $1,400.00
 EL MONTO ES IGUAL AL CAPITAL MAS LOS INTERESES
 I = C i t
 1,400.00 = $20,000.00 (0.42) (1/6)
 EL INTERES ES IGUAL AL CAPITAL MULTIPLICADO POR LA TASA Y LUEGO POR EL
TIEMPO. COMBINANDO LAS DOS EXPRESIONES ANTERIORES:
 M= C + Cit
 M=C(1-it)=20 000.00[1+0.42(1/6)]=20 000.00(1.07)=21 400.00

AL FACTOR (1 + it) SE LE CONOCE COMO FACTOR DE ACUMULACION DE INTERES
SIMPLE. OTRA RELACIÓN QUE SE PUEDE OBSERVAR ES:
M = C (1 + it)
C =__M__= M (1 + it)-1 = 21 400. 00 (1.07)-1 = 21 400.00(0.934579)
(1 + it)
C= 20 000.00

ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES
ES UN CASO MUY FRECUENTE, Y POR ESO ES MAS IMPORTANTE, QUE EN
LAS OPERACIONES FINANCIERAS HAYA DOS O MÁS TRANSACCIONES
DIFERENTES QUE DEBAN REPLANTEARSE PARA EXPRESARLAS EN UNA
OPERACIÓN UNICA.
ESTE CONCEPTO DE ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES ES UNO
DE LO MAS IMPORTANTES EN MATEMATICAS FINANCIERAS.

LAS ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES SURGEN CUANDO DE
UN FLUJO DE EFECTIVO SE QUIERE DETERMINAR EL VALOR DE UNO A
VARIOS DE ELLOS BAJO DETERMINADAS CONDICIONES; POR
EJEMPLO, UN VALOR DE CONTADO SE SUSTITUYE POR UN CONJUNTO
DE 1 O MAS PAGOS. PARA PLANTEAR LAS ECUACIONES
EQUIVALENTES SIEMPRE USAN LAS FORMULAS YA VISTAS DEL
INTERES SIMPLE, A SABER: EL INTERES, EL MONTO Y EL DESCUENTO.
M= C(1 + it)
EL MONTO M ES EQUIVALENTE A UN CAPITAL C, COLOCADO A
UN TIEMPO t Y UNA TASA i.

EN LOS EJEMPLOS SIGUIENTES SE MUESTRA EL PLANTEAMIENTO Y LA
SOLUCION DE ALGUNOS PROBLEMAS DE INVERSIÓN CON INTERESES,
DONDE SE APLICAN LAS ECUCACIONES DE VALORES EQUIVALENTES.
1.UNA INVERSIÓN DE $45,000 SE RECUPERA CON TRES PAGOS IGUALES,
UNO A TRES MESES, EL SEGUNDO A CINCO MESES Y EL ULTIMO A SIETE
MESES. CON LA TASA DEL 12% ANUAL, DETERMINA EL VALOR EN CADA
PAGO.
ECUACIÓN:
C= M 45,000= 15,745.83 + 15,745.83 + 15,745.83
1+ it 1+0.1(3) 1+0.1(5) 1+0.01(7)
X= $ 15,745.83

2. EL 15 DE JUNIO DE ESTE AÑO, UN EMPRESARIO CONTRATO LOS
SIGUIENTES CREDITOS QUE YA INCLUYEN INTERESES: $ 100,000,
PAGADEROS EL 15 DE AGOSTO; $ 200, 000, CON VENCIMIENTO EL 15
DE OCTUBRE, Y $ 300, 000, QUE DEBEN SALDARSE EL 15 DE
DICIEMBRE. DETERMINA EL VALOR PRESENTE DE LAS TRES DEUDAS,
APLICANDO LA TASA DEL 15% ANUAL SIMPLE.
ECUACIÓN:
C= 100,000 + 200,000 + 300, 000
1+ 0.125(2) 1+ 0.125(4) 1+ 0.0125(6)
C = $ 567, 106.93

3. EN CIERTA FECHA UNA PERSONA FIRMO UN PAGARE POR $ 120 000 A
90 DIAS, A 25%. TREINTA DIAS DESPUÉS, CONTRAJO UNA DEUDA POR
100 000 PARA PAGARLA A 12 MESES DESPUÉS, SIN INTERESES. DOS
MESES DESPUÉS DE LA PRIMERA FECHA, ACORDO CON UN ACREEDOR
PAGAR $ 150 000 EN ESE MOMENTO Y, PARA SALDAR EL RESTO DE LA
DEUDA, HACER UN PAGO FINAL 3 MESES DESPUES DE LA ULTIMA FECHA,
CON INTERESES DEL 30%. DETERMINESE EL PAGO FINAL CONVENIDO.
SOLUCION
EN PRIMER LUGAR, CONVIENE IDENTIFICAR QUE SON 4 LAS
OPERACIONES IMPLICADAS, 2 DE CONTRATACIÓN DE DEUDA Y 2 DE
PAGO. POR OTRO LADO OBSERVESE QUE EL VALOR TOTAL DE LAS
OPERACIONES DE ADEUDO DEBE SER IGUAL AL VALOR TOTAL DE LAS
OPERACIONES DE PAGO:

OPERACIONES DE
CONTRATACIÓN DE DEUDA
OPERACIONES DE PAGO
I. $ 120 000 A 90 DIAS A 25% A. $ 150 000 2 MESES DESPUES
II. 30 DIAS DESPUÉS $ 100 000 A
DOS MESES, SIN INTERES.
B. PAGO FINAL (DESCONOCIDO), 5
MESES DESPUES DE LA PRIMERA
FECHA.

CON BASE EN EL CUADRO ANTERIOR SE PUEDE PLANTEAR LA
EQUIVALENCIA EN ESTE SIMPLE EJEMPLO, COMO:
I + II = A+ B
DE ESTA IDEA PROVIENE EL NOMBRE DE ECUACIONES
EQUIVALENTES.
SE ACOSTUMBRA A UTILIZAR LO QUE SE CONOCE COMO
“DIAGRAMA DE TIEMPO Y VALOR” PARA REPRESENTAR LA
SITUACIÓN GRAFICAMENTE:

0 1 2 3 4 5
120 000
I
100 000
II
150 000
A
X
B
SOBRE LA RECTA SE PRESENTA EL TIEMPO; EN ESTE CASO, EN MESES.
SOBRE EL TIEMPO 0 ESTA MARCADA LA OPERACIÓN I
SOBRE EL TIEMPO 1 ESTA MARCADA LA OPERACIÓN II
SOBRE EL TIEMPO 2 ESTA MARCADA LA OPERACIÓN A
SOBRE EL TIEMPO 5 ESTA MARCADA LA OPERACIÓN B

EN ESTA ULTIMA OPERACIÓN, LA X REPRESENTA LA CANTIDAD QUE ESTA
BUSCANDO.
AHORA BIEN, PARA DETERMINAR LA EQUIVALENCIA ES NECESARIO
ENCONTRAR EL VALOR DE LAS DIFERENTES OPERACIONES EN UNA SOLA
FECHA PARA QUE SEA POSIBLE COMPARARLAS. ESTO ES ASI POR QUE,
COMO SE SABE, EL VALOR DEL DINERO ES DIFERENTES EN TIEMPOS
DIFERENTES, Y LAS OPERACIONES ESTAN PLANTEADAS EN TIEMPOS
DISTINTOS.
LA FECHA QUE SE ELIGE PARA HACER COINCIDIR EL VALOR DE LAS
DIFERENTES OPERACIONES SE CONOCE COMO FECHA FOCAL, Y EN
EJEMPLO ES FACIL VER QUE RESULTA CONVENIENTE ESCOGER COMO
FECHA FOCAL EL MOMENTO EN QUE SE DEBE REALIZAR EL PAGO FINAL
PARA SALDAR TODAS LAS OPERACIONES (5 MESES DESPUÉS DE LA
PRIMERA FECHA.

ASI,
I.EL VALOR DE LA OPERACIÓN I DENTRO DE 5 MESES ES:
120 000 [1 + (0.25)(3/12)]= 127 500 QUE ES SU VALOR A LOS 90 DIAS
(3 MESES)
Y LUEGO DE SU VALOR A 90 DIAS HASTA 5º. MES (2 MESES MAS), A
30% QUE FUE LO CONVENIDO PARA SALDAR LA OPERACIÓN.
127 500 [1 + (0.30)(2/12)]= 127 500(1.0500)= 133 875
LA OPERACIÓN I (120 000 EN EL TIEMPO 0) EQUIVALE A $ 133 875 EN 5
MESES.

II. PARA LA OPERACIÓN II:
ESTA OPERACIÓN SE CONTRATO SIN INTERESES, POR ELLO VALE 100
000 DOS MESES ANTES DE LA FECHA FOCAL Y EN ESTA SU VALOR
SERA:
100 000 [1 + (0.30)(2/12)]= 100 000 (1.0500)= 105 000
A.PARA ESTA, LOS $ 150 000 QUE PAGO A LOS 2 MESES, VALEN AL
QUINTO MES:
150 000 [1 + (0.30)(3/12)]= 150 000(1.075)= $161 250
B. FINALMENTE, X SE REALIZARA EN LA FECHA FOCAL POR LO QUE
ESTARA DADO A SU VALOR EN ESE MOMENTO.

SIGUIENDO CON EL PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN DE VALORES
EQUIVALENTES.
VALOR TOTAL DE LAS DEUDAS = VALOR TOTAL DE LOS PAGOS
I+II= A + B
133 875 + 105 000= 161 250 + X
X= 133 875 + 105 000- 161 250
X=77 625
CANTIDAD QUE HABRA DE PAGAR EN EL QUINTO MES PARA SALDAR
TODAS LAS OPERACIONES.

AHORA OBSERVEMOS EN FORMA RESUMIDA TODO LO QUE SE HIZO PARA LLEGAR A LA
SOLUCIÓN.
VALOR TOTAL DE LAS DEUDAS= VALOR TOTAL DE LOS PAGOS
I+II= A+B
133 875 + 105 000 = 161 250 + X
127 500(1.0500)+100 000(1.0500)=150 000(1.0750)+ X
120 000(1.0625)(1.0500)+100 000(1.0500)=150 000(1.0750) + X
120 000 [1 + (0.25)(3/12)] [1 + (0.30)(2/12)]+100 000 [1 + (0.30)(2/12)]= 150 000 [1 +
(0.30)(3/12)]+ X
ESTA EXPRESION REPRESENTA EL PLANTEAMIENTO COMPLETO, DONDE A CADA CANTIDAD SE
LE APLICARAN LOS VALORES CORRESPONDIENTES DE TIEMPOS Y TASAS DE INTERES PARA
ENCONTRAR SU VALOR EN LA FECHA FOCAL.
EN LOS CASOS DE INTERES SIMPLE ES MUY IMPORTANTE IDENTIFICAR LA FECHA FOCAL DE
ACUERDO CON LO PACTADO EN LAS OPERACIONES, PUES EL CAMBIO DE FECHA FOCAL
PRODUCE VARIACIONES EN LAS CANTIDADES.

EJERCICIO 2
UNA PERSONA CONTRAJO UNA DEUDA HACE 8 MESES POR $200,000.00
CON 40% DE INTERES SIMPLE, Y QUE VENCE DENTRO DE 4 MESES.
ADEMAS, DEBE PAGAR OTRA DEUDA DE $150,000.00 CONTRAIDAS HACE 2
MESES, CON 35% DE INTERES SIMPLE Y QUE VENCE DENTRO DE DOS
MESES. CONSIDERANDO UN INTERES DE 42%, ¿Qué PAGO DEBERA HACER
HOY PARA SALDAR SUS DEUDAS, SI SE COMPROMETE A PAGAR
$100,000.00 DENTRO DE 6 MESES?

SOLUCION DEL EJERCICIO.
LA FECHA FOCAL ES EL DIA DE HOY.
EL DIAGRAMA DE TIEMPO Y VALOR ES:
-8
$200,000
-7 1-5 -4 -3 -2 -1 0
X
-6 2 3 4 5 6
$150,000
$100,000

SOLUCION EJERCICIO
EL VALOR DE LA PRIMERA DEUDA A SU VENCIMIENTO ES:
200,000.00 [1+0.40(12/12)]
200,000.00(1.4) = $280,000.00
Y SU VALOR EN LA FECHA FOCAL
280,000.00 = 280,000.00 =$245,614.04
1+(0.42)(4/12) 1.14
EL VALOR DE LA SEGUNDA DEUDA A SU VENCIMIENTO ES:
150,000 [1+0.35(4/12)] = 167,500.00
Y SU VALOR EN LA FECHA FOCAL
167,500.00 = 167,500 = 156,542.06
1+(0.42)(2/12) 1.07
EL VALOR DE 100,000.00 EN LA FECHA FOCAL
100,000.00 = 100,000.00 = $82,644.63
1+(0.42)(6/12) 1.21
EN DONDE
X= 245,614.04 + 156,542.06 – 82,644.63
X= $319,511.47

1.2. INTERÉS COMPUESTO
INTRODUCCIÓN
EL DINERO Y EL TIEMPO SON DOS FACTORES QUE SE ENCUENTRAN
ESTRECHAMENTE LIGADOS CON LA VIDA DE LAS PERSONAS Y DE LOS
NEGOCIOS. CUANDO SE GENERAN EXEDENTES DE EFECTIVO, SE
AHORRAN DURANTE UN PERIODO DETERMINADO A FIN DE GANAR UN
INTERES QUE AUMENTE EL CAPITAL ORIGINAL DISPONIBLE; EN OTRAS
OCASIONES, EN CAMBIO, SE TIENE NECESIDAD DE RECURSOS
FINANCIEROS DURANTE UN TIEMPO Y SE DEBE PAGAR UN INTERES POR
SU USO.
EN PERIODOS CORTOS POR LO GENERAL SE UTILIZA, EL INTERES
SIMPLE. EN PERIODOS LARGOS, SIN EMBARGO, SE UTILIZARÁ CASI
EXCLUSIVAMENTE EL INTERES COMPUESTO.

EN EL INTERES SIMPLE EL CAPITAL ORIGINAL SOBRE EL CUAL SE
CALCULAN LOS INTERESES PERMANECEN SIN VARIACIÓN ALGUNA
DURANTE TODO EL TIEMPO QUE DURA LA OPERACIÓN. EN EL INTERES
COMPUESTO, EN CAMBIO, LOS INTERESES QUE VAN GENERANDO SE
VAN INCREMENTANDO AL CAPITAL ORIGINAL EN PERIODOS
ESTABLECIDOS Y, A SU VEZ, VAN A GENERAR UN NUEVO INTERES
ADICIONAL PARA EL SIGUIENTE LAPSO.
SE DICE ENTONCES QUE EL INTERES SE CAPITALIZA Y QUE SE ESTA EN
PRESENCIA DE UNA OPERACIÓN DE INTERESES COMPUESTOS.
EN ESTAS OPERACIONES, EL CAPITAL NO ES CONSTANTE A TRAVÉS DEL
TIEMPO, PUES AUMENTA AL FINAL DE CADA PERIODO POR LA ADICION
DE LOS INTERESES GANADOS DE ACUERDO CON LA TASA CONVENIDA.

EJEMPLO:
SUPONGASE QUE SE DEPOSITAN $ 100 000 EN UNA CUENTA DE
AHORROS QUE PAGA 10% DE INTERES SEMESTRAL (20% DE INTERES
ANUAL):
¿CUÁL SERÁ EL INTERÉS GANADO AL CABO DE 6 MESES?
I=Cit
I= 100 000(0.10)(1)
I= 10 000
SUPÓNGASE QUE SE DEPOSITAN OTROS $ 100 000 EN UNA
CUENTA DE VALORES QUE PAGA EL 20% DE INTERES CONVERTIBLE
TRISMETRALMENTE. ¿CUÁL SERÁ EL INTERES GANADO AL CABO DE 6
MESES? (NOTA: LA TASA DE INTERES NOMINAL ES LA MISMA EN AMBOS
CASOS: 5% TRIMESTRAL= 20% ANUAL.)

i trimestral= 20% anual
4 trimestres
1er. Trimestre I= Cit
I= 100 000(0.05)(1)
I= 5 000
2º. Trimestre I=(C+I)it
I=(100 000+ 5 000)(0.05)(1)
I=105 000
I=5 250
I TOTAL= I 1er. Trimestre + I 2º trimestre
I TOTAL= 5 000 + 5 250
I= 10 250
EL INTERES EN EL SEGUNDO CASO ES SUPERIOR AL GANADO EN EL
PRIMERO PUES, AL ACUMULAR AL FIN DEL 1ER. TRIMESTRE AL CAPITAL
ORIGINAL EL INTERES GANADO, EL PRODUCTO DEL SEGUNDO
TRIMESTRE SERÁ SUPERIOR AL DEL PRIMERO.
= 5%

EL CAPITAL EN ESTE CASO SE INCREMENTA POR LA ADICION DE LOS
INTERESES AL FINAL DE CADA PERIODO Y ESTOS, A SU VEZ, SE
INCREMENTAN AL SER CALCULADO SOBRE UNA BASE CADA VEZ
MAYOR. LA CANTIDAD ACUMULADA AL FINAL DE LA OPERACIÓN ES
CONOCIDA COMO MONTO COMPUESTO. LA DIFERENCIA ENTRE EL
MONTO COMPUESTO Y EL CAPITAL ORIGINAL ES EL INTERES
COMPUESTO.

MONTO COMPUESTO
EN UNA DEMANDA CIVIL POR EL COBRO DE $25,000.00 EL JUEZ ORDENA A
LUCIA EL PAGO DE LA CANTIDAD ADEUDADA, CON LA TASA DE INTERES COMPUESTO
DEL 9% ANUAL DURANTE 3 AÑOS. QUE FUE ELPLAZO EN QUE LA DEUDOR DEJO DE
CUMPLIR CON SU COMPROMISO.
LA DEUDA QUE LUCIA ESTA OBLIGADA A CUBRIR SE CALCULA DE LA SIGUIENTE
MANERA:
1RO. EL CAPITAL ORIGINAL ES DE $25,000.00, LOS MONTOS POR PERIODOS SE
REGISTRAN EN LA SIGUIENTE TABLA:
EL INTERES EN EL PRIMER AÑO (25,000.00(0.09)=$2,250.00
EL MONTO AL FINAL DEL PRIMER
AÑO (NUEVO CAPITAL)
25,000.00 + 2,250 = 27,250.00
EL INTERES EN EL SEGUNDO AÑO (27,250.00)(0.09) = 2,452.50
MONTO AL FINAL DEL SEGUNDO
AÑO
27,250.00+2452.50= 29,702.50
EL INTERES EN EL TERCER AÑO
ES
(29,702.50)(0.09) = 2,673.23

MONTO COMPUESTO
ENTONCES LOS SALDOS ANUALES DE LA DEUDA SE RESUMEN EN LA TABLA:
DEUDA 27,250.00 29,702.50 32,375.70
TIEMPO 1 2 3
TABLA 1.- MONTO CON INTERES COMPUESTO
EN ESTE EJEMPLO EL PERIODO ES ANUAL, POR ESO EL MONTO DE LA
INVERSION SE CALCULA CADA AÑO, QUE ES EL TIEMPO EN QUE EL INTERES
SE CONVIERTE EN CAPITAL.
LA REPRESENTACION GRAFICA DEL MONTO DE UNA INVERSION CON EL
INTERES COMPUESTO ES UNA CURVA QUE SE DENOMINA EXPONENCIAL LA
CUAL SE MUESTRA DE LA SIGUIENTE MANERA:
MONTO
35,000
30,000
25,000
20,000
15,000
10,000
5,000
1 2 3 AÑOS
1 - - - -
1
- - - -
- - - -
- - - -
- - - -
- - - -
- - - -
Y - - - -

INTERES COMPUESTO
DE LO ANTERIOR CONCLUIMOS:
EL INTERES COMPUESTO ES UNA OPERACIÓN FINANCIERA DONDE SE REINVIERTE EL
INTERES QUE SE GENERA POR UN CAPITAL INICIAL. EL INTERES ES CAPITALIZABLE O
COVERTIBLE EN CAPITAL EN CADA PERIODO; COMO CONSECUENCIA, EL INTERES GANA
INTERES.
EL NUMERO DE VECES QUE SE CAPITALIZA EL INTERES EN UN AÑO SE LE CONOCE COMO
FRECUENCIA DE CAPITALIZACION. SI LA CAPITALIZACION ES TRIMESTRAL EN EL
COBRO DE LOS INTERESES SIGNIFICA QUE LA FRECUENCIA ES 4 (HAY 4 TRIMESTRES AL
AÑO).
TASA DE INTERES COMPUESTO.
LA TASA DE INETERES SE EXPRESA COMUNMENTE EN FORMA ANUAL INDICANDO, SI ES
NECESARIO, SU PERIODO DE CAPITALIZACION.
28% ANUAL CAPITALIZABLE MENSUALMENTE
20% ANUAL CAPITALIZABLE SEMESTRALMENTE
14% ANUAL CAPITALIZABLE TRIMESTRALMENTE.
SI EL INTERES SE EXPRESA SIN MENCION ALGUNA RESPECTO A SU CAPITALIZACION SE
ENTIENDE QUE ESTE OCURRE ANUALMENTE.

INTERES COMPUESTO.
PERIODO DE CAPITALIZACION FRECUENCIA DE CAPITALIZACION
DIARIO
DIARIO
365 (PARA EL INTERES EXACTO)
360 (PARA EL INTERES COMERCIAL O
APROXIMADO.)
SEMANA
QUINCENA
52
24
MES 12
BIMESTRE 6
TRIMESTRE 4
CUATRIMESTRE 3
SEMESTRE
ANUAL
2
1

INTERES COMPUESTO
ES MUY IMPORTANTE QUE, PARA LA SOLUCION DE CUALQUIER PROBLEMA DE INTERES
COMPUESTO EL INTERES ANUAL SEA CONVERTIDO A LA TASA QUE CORRESPONDA DE ACUERDO
CON EL PERIODO DE CAPITALIZACION QUE SE ESTABLEZCA; SI EL INTERES SE CAPITALIZA
MENSUALMENTE DEBE TRANSFORMARSE EL INTERES ANUAL AL INTERES MENSUAL; SI ES
TRIMESTRALMENTE, A INTERES TRIMESTRAL, ETC.
EL PERIODO DE CAPITALIZACION Y LA TASA DE INTERES COMPUESTO SIEMPRE DEBERAN SER
EQUIVALENTES. ASI EN EL EJEMPLO INICIAL, EL INTERES DE 20% ANUAL FUE TRANSFORMADO
EN INTERES TRIMESTRAL DE 5% PARA HACERLO EQUIVALENTE AL PERIODO DE CAPITALIZACION
QUE SE ESTABA MANEJANDO.
DOS CONCLUSIONES PUEDEN ESTABLECERSE EN ESTE MOMENTO:
A)EL INTERES COMPUESTO ES MAYOR QUE EL INTERES SIMPLE. ESTO RESULTA ASI, PUES EL
PRIMERO GANA INTERES POR SI MISMO, EN TANTO QUE EL SEGUNDO NO.
B) A MAYOR FRECUENCIA DE CONVERSION, MAYOR SERA EL INTERES QUE SE OBTENGA
INTERESE EN FORMA MENSUAL TENDRA MAYOR RENDIMIENTO QUE UNO QUE LOS OBTENGA
TRIMESTRALMENTE Y ESTE, A SU VEZ SERA MAYOR QUE OTRO QUE LO OBTENGA CADA
SEMESTRE.

INTERES COMPUESTO
EJERCICIOS :
¿CUÁL ES LA TASA DE INTERES POR PERIODO DE:?
A)30% ANUAL CAPITALIZABLE MENSUALMENTE
B)16% SEMESTRAL CAPITALIZABLE TRIMESTRALMENTE
C)2% TRIMESTRAL
D)15% ANUAL
E)18% ANUAL CAPITALIZABLE SEMESTRALMENTE
F)18% ANUAL CAPITALIZABLE MENSUALMENTE
G)0.5% MENSUAL.

MONTO COMPUESTO
EJERCICIOS :
¿CUÁL ES LA TASA DE INTERES POR PERIODO DE:?
A)30% ANUAL CAPITALIZABLE MENSUALMENTE
30% ANUAL
12
B) 16% SEMESTRAL CAPITALIZABLE TRIMESTRALMENTE
16% SEMESTRAL
2
C) 2% TRIMESTRAL
2%TRIMESTRAL
1
D) 15% ANUAL = 15% ANUAL
E) 18% ANUAL CAPITALIZABLE SEMESTRALMENTE
18%ANUAL
2
F) 18% ANUAL CAPITALIZABLE MENSUALMENTE
18% ANUAL
12
G) 0.5% MENSUAL. = 5%
=8%
=9%
0.5*100 = 5%
=2%
=1.5%
=2. 5%

EJERCICIOS DE INTERES COMPUESTO
QUE CRECIMIENTO TENDRA UNA INVERSION DE $1,000.00 EN UN AÑO, SI
SE DEPOSITA EN UNA CUENTA DE VALORES QUE PAGA:
A)10% ANUAL CONVERTIBLE SEMESTRALMENTE
B)20% ANUAL CONVERTIBLE SEMESTRALMENTE
C)30% ANUAL CONVERTIBLE TRIMESTRALMNETE
D)40% ANUAL CONVERTIBLE TRIMESTRALMENTE
E)50% ANUAL CONVERTIBLE TRIMESTRALMENTE
F)50% ANUAL CONVERTIBLE MENSUALMENTE
G)60% ANUAL CONVERTIBLE MENSUALMENTE
H)70% ANUAL CONVERTIBLE MENSUALMENTE
I)80% ANUAL CONVERTIBLE MENSUALMENTE

MONTO COMPUESTO
EL MONTO COMPUESTO, COMO YA SE HABIA ESTABLECIDO, ES EL
RESULTADO QUE SE OBTIENE AL INCREMENTAR AL CAPITAL ORIGINAL
EL INTERES COMPUESTO. SI SE DISPONE DE UN CAPITAL C Y SE
INTERVIENE EN UN BANCO Y SE DECEA CONOCER EL MONTO M DEL
CUAL SE DISPONDRA AL FINAL DEL PERIODO, SOLO DEBERA
AGREGARSELE AL INTERES I GANADO.
M= C+ I
PERO I= Cit
CUANDO t= 1, I= Ci
ASI M= C + Ci QUE FACTORIZANDO
M= C(1 + i)

MONTO COMPUESTO
COMO PUEDE VERSE, EL MONTO DE UN CAPITAL AL FINAL DE UN
PERIODO SE OBTIENE MULTIPLICANDO DICHO CAPITAL POR EL
FACTOR (1 + i). DE ESTA MANERA, AL FINAL DEL SEGUNDO PERIODO
SE TIENE QUE:
M= C(1 + i)(1+i)
CAPITAL AL
INICIAR EL
2º. PERIODO
M= C(1+i)²
AL FINAL DEL TERCER PERIODO SE TIENE:
M= C(1+i)²(1+i)

MONTO COMPUESTO
ESTA SUSECIÓN DE MONTOS FORMA UNA PROGRESIÓN GEOMETRICA
CUYO n-ESTIMO TERMINO ES IGUAL A:
M = C(1+ i)
ESTA ECUACIÓN ES CONOCIDA COMO FORMULA DEL MONTO A
INTERES COMPUESTO.

TASA NOMINAL, TASA EFECTIVA Y TASAS
EQUIVALENTES.
TASA NOMINAL
ES LA TASA ANUAL PACTADA PARA LA REALIZACION DE LAS
OPERACIONES FINANCIERAS. ESTA TASA NOMINAL PUEDE ESTAR SUJETA
A UNA CAPITALIZACION EN PERIODOS MENORES AL ESTABLECIDO; POR
EJEMPLO, EN UNA ACTIVIDAD FINANCIERA SE PUEDE ESPECIFICAR UNA
TASA DEL 18% ANUAL COMPUESTO MENSUALMENTE. ESTO IMPLICA QUE
EL COBRO O LA CAPITALIZACIONH DEL DINERO ES MENSUAL, POR LO
QUE LA TASA NOMINAL SE CONVIERTE EN UNA TASA EQUIVALENTE A LA
INDICADA POR EL PERIODO DE CAPITALIZACION.
ES COMUN EL USO DE UNA TASA NOMINAL CON CAPITALIZACIONES O
COBRO DE INTERESES EN MENORES PERIODOS POR QUE DE ESTA
MANERA EL CAPITAL GENERA MAYOR UTILIDAD, POR EJEMPLO.

EJEMPLO
EJERCICIO 1
UNA TASA DEL 18% COMPUESTA ANUALMENTE PRODUCIRA MENOS
MONTO QUE LA MISMA TASA CON CAPTALIZACION MENSUAL, COMO
SE MUESTRA A CONTINUACION.
SE INVIERTEN 175,000 EN UN PLAZO DE UN AÑO A UNA TASA DE:
A)18% ANUAL
B)18% ANUAL CAPITALIZABLE MENSUALMENTE
¿CUAL ES EL MONTO QUE PRODUCE CADA OPCIÓN?

DATOS FORMULA SOLUCION a): SOLUCION b):
C=$175,000.00 M=C(1+I) M=175,500(1.18) M=175,000(1.015)
i=0.18 ANUAL M=$206,500.00 M=$209,233.00
i=0.015 MENSUAL
t= 1 AÑO
t 12
EJERCICIO 1
LA DETERMINACION DE LA TASA NOMINAL j CON m CAPITALIZACIONES
EN 1 AÑO, SE CALCULA:
FORMULA PARA DETERMINAR LA TASA NOMINAL
J = m[ (1+i)
1
m -1
]
J= m [ √1+i -1
m
]ó
j= LA TASA ANUAL NOMINAL
m= ES EL NUMEO DE PERIODOS DE CAPITALIZACION EN UN AÑO DE LA
TASA NOMINAL.

TASA EFECTIVA O REAL
LA TASA REAL DE INTERES NOS INDICA EL CRECIMIENTO REAL DEL DINERO
PORQUE NO SE COBRA EL INTERES EN MENORES PERIODOS. ESTO QUIERE
DECIR QUE UNA TASA REAL NO ACEPTA CAPITALIZACIONES, YA QUE DE
SER ASI, EL MONTO DE LA INVERSION SE INCREMENTA. COMO SE
MUESTRA EN EL SIGUIENTE EJEMPLO YA VISTO EN EL TEMA DE LA TASA
NOMINAL.
UNA TASA DEL 18% COMPUESTA ANUALMENTE PRODUCIRA MENOS MONTO
QUE LA MISMA TASA CON CAPTALIZACION MENSUAL, COMO SE MUESTRA A
CONTINUACION.
SE INVIERTEN 175,000 EN UN PLAZO DE UN AÑO A UNA TASA DE:
A)18% ANUAL
B)18% ANUAL CAPITALIZABLE MENSUALMENTE

DATOS FORMULA SOLUCION a): SOLUCION b):
C=$175,000.00 M=C(1+I) M=175,500(1.18) M=175,000(1.015)
i=0.18 ANUAL M=$206,500 M=$209,233.00
i=0.015 MENSUAL M=$206,500.00
t= 1 AÑO
COMO SE PUEDE OBSERVAR, A MAYORES PERIODOS DE CAPITALIZACIÓN
SE OBTIENE UN MAYOR MONTO, LO CUAL SIGNIFICA QUE LA TASA
NOMINAL DEL 18% ANUAL CAPITALIZABLE MENSUALMENTE NO ES LA
TASA QUE REALMENTE SE ESTA APLICANDO.
ENTONCES, ¿Cuál ES LA TASA REAL ANUAL QUE CORRESPONDE A LA DEL
18% NOMINAL CON CAPITALIZACIÓN MENSUAL?
¿Cuál ES EL MONTO QUE PRODUCE CADA OPCIÓN?

LA RELACION ENTRE LAS TASAS REAL Y NOMINAL PUEDE ESTABLECERSE
DE LA SIGUIENTE MANERA. DENOTEMOS CON:
j-inv. = LA TASA REAL ANUAL DE INTERES
j= LA TASA ANUAL NOMINAL
m= ES EL NUMEO DE PERIODOS DE CAPITALIZACION EN UN AÑO DE LA TASA
NOMINAL.
LA RELACION PRINCIPAL ENTRE LA TASA REAL Y NOMINAL ES QUE LAS
DOS DEBEN PRODUCIR MONTOS IGUALES EN UN MISMO PERIODO DE
INVERSION, AUNQUE AMBAS TASAS SON DIFERENTES, YA QUE LA TASA
REAL POR AÑO ES MAYOR QUE LA TASA NOMINAL ANUAL, DEBIDO A QUE
LA TASA NOMINAL ESTA SUJETA A CAPITALIZACIONES EN PERIODOS
MENORES DE TIEMPO, POR EJEMPLO: SI LA INVERSION ES C, ENTONCES
LOS MONTOS ANUALES SON LOS SGUIENTES.

PARA LA TASA REAL: M=C(1+ j-invertida)
PARA LA TASA NOMINAL: M=(1+j )
m
m
COMO LOS MONTOS SON IGUALES, LA SIGUIENTE ECUACION NOS DA LA
POSIBILIDAD DE CONOCER ALGUNAS DE LAS TASAS.
C(1+i) = C(1+ j )
m
m
PARA DETERMINAR LA TASA REAL ANUAL j-inv. DESPEJAMOS ESTE PARAME-
TRO DE LA ECUACION PARA DETERMINAR LA TASA NOMINA. Y LA FORMULA
QUEDA:
i = ( 1+ j )
m
m
-1
Formula tasa efectiva o real

TASAS EQUIVALENTES
SE ESTABLECE QUE DOS TASAS SON EQUIVALENTES CUANDO PRODUCEN UN
MISMO MONTO O TIENEN UNA MISMA TASA REAL ANUAL. SEAN p y q DOS TASAS
NOMINALES ANUALES CON FRECUENCIA DE CONVERSION m y n
RESPECTIVAMENTE. ENTONCES p y q SON EQUIVALENTES SI:
FORMULA EN PINTARRON:
UNA OBSERVACION IMPORTANTE ES QUE AMBAS TASAS NOMINALES DEBEN TENER
UNA MISMA TASA REAL, POR LO QUE AL BUSCAR LA EQUIVALENCIA DE UNA CON
OTRA SE PUEDE CALCULAR PRIMERO LA TASA REAL Y DESPUES PASAR A LA TASA
NOMINAL QUE SE REQUIERE.
LA EQUIVALENCIA DE DOS TASAS, SEAN EFECTIVAS O NOMINALES, SURGE EN
RELACION AL MONTO QUE PRODUCE CON UNA MISMA INVERSION EN UN PLAZO
IGUAL DE TIEMPO. DE ESTA MANERA, LA TASA NOMINAL j = 21.73% ANUAL
CONVERTIBLE TRIMESTRALMENTE RESULTA EQUIVAENTE A LA TASA j-inv =
23.56% AFECTIVA ANUAL, PORQUE AMBAS PRODUCEN UN MISMO MONTO EN
TIEMPOS IGUALES PARA UN CAPITAL INVERTIDO.

SI SUPONEMOS UNA INVERSIÓN INICIAL DE C=$13,580, EL MONTO
PRODUCIDO EN UN AÑO POR CADA TASA ES:
DATOS FÓRMULA SOLUCIÓN
M=? M= C(1+i) M=13,580 (1.2356)
C=$13,580 M= 16,779.40
t= 1 año M= $16,799.40
i= 0.2356 EFECTIVA
j= 0.2173 NOMINAL
M=13,580 (1+0.2173/4)
M= 16,780.20
M= $16,780.20
t
1
t
1
1
2
4
2
2

DEL DESARROLLO ANTERIOR CONCLUIMOS:
TASAS EQUIVALENTES: SE CONSIDERA QUE DOS TASAS DE INTERES
SON EQUIVALENTES CUANDO, CON DIFERENTES PERIODOS DE
CAPITALIZACIÓN, PRODUCEN EL MISMO INTERES COMPUESTO AL
CABO DEL MISMO PERIODO.

1.2.2 VALOR ACTUAL
VALOR ACTUAL O VALOR PRESENTE, SIMBOLIZADO POR VP,
PODEMOS DECIR QUE EL VALOR PRESENTE DE UN MONTO O VALOR
FUTURO M QUE SE VENCE EN UNA FECHA FUTURA ES LA CANTIDAD DE
DINERO QUE, INVERTIDA HOY A UNA TASA DE INTERES DADA
PRODUCIRA EL MONTO M.
VALOR PRESENTE SIGNIFICA EL VALOR DEL DINERO EN CUALQUIER
FECHA CONVENIENTE, POR TANTO, NO SIEMPRE COINCIDE EL VALOR
PRESENTE CON EL CAPITAL ORIGINALMENTE PRESTADO O INVERTIDO.

ENCUENTRA EL VALOR PRESENTE DE $ 16 000 QUE VENCEN DENTRO
DE 5 MESES, SI LA TASA DE INTERES ES DE 27.48%
M
P=
1 + it
= VP
FORMULA DE VALOR PRESENTE
1600
P=
1 +
= 14356.21
0.2748
12
SUSTITUYENDO
(5)

$ 14 356.21 INVERTIDOS HOY, DURANTE 5 MESES, A 27.48%, SE
CONVERTIRAN EN 16 000. TAMBIEN SE DICE QUE $14 356.21 SON
EQUIVALENTES A $ 16 000 SI EL TIEMPO ES DE 5 MESES Y LA TASA DE
INTERES ES DE 27.48% ANUAL SIMPLE. LOS $14 356.21 NO
NECESARIAMENTE CORRESPONDE AL CAPITAL ORIGINAL.

UN PROCEDIMIENTO DE MUCHA APLICACIÓN EN EL INTERES
COMPUESTO ES LA CAPITALIZACION DEL DINERO QUE INDICA
EL PERIODO EN EL CUAL SE DEBE COBRAR EL INTERES.
EN EL INTERES COMPUESTO EL PERIODO QUE SE ACUERDA PARA
CONVERTIR EL INTERES EN CAPITAL SE LLAMA PERIODO DE
CAPITALIZACIÓN SEA TRIMESTRAL SIGNIFICA QUE EL INTERES
GENERADO SE SUMA AL CAPITAL AL FINAL DE CADA TRES
MESES.
EL NUMERO DE VECES QUE SE CAPITALIZA EL INTERES EN UN
AÑO SE LE CONOCE COMO FRECUENCIA DE CAPITALIZACIÓN. SI
LA CAPITALIZACION ES SIMESTRAL EN EL COBRO DE LOS
INTERESES SIGNIFICA QUE LA FRECUENCIA DE CAPITALIZACIÓN
ES 4(HAY 4 TRIMESTRES EN EL AÑO).

PERIODO DE CAPITALIZACIÓN FRECUENCIA DE
CAPITALIZACION
DIARIO 365 (PARA INTERES EXACTO)
DIARIO 360 (PARA EL INTERES
COMERCIAL O APROXIMDO)
SEMANA 52
QUINCENA 24
MES 12
BIMESTRE 6
TRIMESTRE 4
CUATRIMESTRE 3
SEMESTRE 2
ANUAL 1
TABLA DE FRECUENCIAS DE CAPITALIZACION MAS USADAS.

SI UNA TASA ES DEL 14% ANUAL CON CAPITALIZACIÓN MENSUAL
SIGNIFICA QUE EL COBRO DE INTERES DEBE HACERCE CADA MES,
LO QUE OBLIGA A REALIZAR LA CONVERSION DE LA TASA ANUAL A
UNA TASA MENSUAL.

1.3 ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS, VENCIDAS E
INMEDIATAS
UNA ANUALIDAD SE DEFINE COMO UNA SERIE DE PAGOS
GENERALMENTE IGUALES REALIZADOS EN INTERVALOS DE TIEMPOS
IGUALES. EL TERMINO ANUALIDAD PARECE IMPLICAR QUE LOS PAGOS
SE EFECTUAN CADA AÑO, SIN EMBARGO, ESTO NO ES
NECESARIAMENTE ASI, YA QUE LOS PAGOS PUEDEN SER MENSUALES,
QUINCENALES, ETC..
ES MUY FRECUENTE QUE LAS TRANSACCIONES COMERCIALES
IMPLIQUEN UNA SERIE DE PAGOS HECHOS EN INTERVALOS IGUALES DE
TIEMPO, EN VEZ DE UN PAGO UNICO REALIZADO AL FINAL DEL PLAZO.

ANUALIDAD SIMPLEANUALIDAD SIMPLE
ES AQUELLA CUYO PERIODO DE PAGO COINCIDE CON EL PERIODO DE
CAPITALIZACIÓN DE LOS INTERESES. POR EJEMPLO, REALIZAR
DEPÓSITOS MENSUALES EN UNA CUENTA DE AHORRO QUE PAGA
INTERES CAPITALIZABLES CADA MES.
ANUALIDAD CIERTAANUALIDAD CIERTA
ES AQUELLA EN LA CUAL LOS PAGOS COMIENZAN Y TERMINAN EN
FECHAS PERFECTAMENTE DEFINIDAS.

ANUALIDADES VENCIDASANUALIDADES VENCIDAS
LAS ANUALIDADES VENCIDAS, LLAMADAS TAMBIEN ANUALIDADES
ORDINARIAS, SON AQUELLAS CUYOS PAGOS SE REALIZAN AL FINAL
DE CADA PERIODO DE PAGO.
ANUALIDADES INMEDIATASANUALIDADES INMEDIATAS
LA ANUALIDAD INMEDIATA ES AQUELLA EN LA QUE NO EXISTELA ANUALIDAD INMEDIATA ES AQUELLA EN LA QUE NO EXISTE
APLAZAMIENTO ALGUNO DE LOS PAGOS, ES DECIR, LOS PAGOS SEAPLAZAMIENTO ALGUNO DE LOS PAGOS, ES DECIR, LOS PAGOS SE
REALIZAN DESDE EL PRIMER PERIODO DE PAGO.REALIZAN DESDE EL PRIMER PERIODO DE PAGO.

EXISTEN CUATRO FORMAS DE CLASIFICAR LAS ANUALIDADES.
UTILIZANDO EL TIEMPO COMO CRITERIO DE CLAIFICACION, LAS
ANUALIDADES PUEDEN SER: CIERTAS Y CONTINGENTES.
UTILIZANDO LOS PAGOS O ABONOS COMO CRITERIO DE
CLASIFICACION, LAS ANUALIDADES PUEDEN SER: VENCIDAS,
ANTICIPADAS, SIMPLES Y GENERALES.
POR ULTIMO, SI SE UTILIZA EL MOMENTO DE INICIACIÓN DE LA
UNUALIDAD COMO CRITERIO DE CLASIFICACIÓN, LAS ANUALIDADES
PUEDEN SER: INMEDIATAS Y DIFERIDAS

LOS ELEMENTOS QUE INTERVIENEN EN ESTE TIPO DE ANALUIDADES
SON:
R LA RENTA O PAGO PERIODO
C EL VALOR ACTUAL O CAPITAL DE LA ANALUIDAD. ES EL VALOR
TOTAL DE LOS PAGOS EN EL MOMENTO PRESENTE.
M EL VALOR EN EL MOMENTO DE SU VENCIMIENTO, O MONTO. ES EL
VALOR DE TODOS LOS PAGOS AL FINAL DE LA OPERACIÓN.

MONTO
DADA SU IMPORTANCIA, VALE LA PENA DESCARTAR LAS
CARACTERISTICAS DE ESTE TIPO DE ANUALIDADES:
SIMPLES: EL PERIODO DE PAGO COINCIDE CON EL DE
CAPITALIZACION.
CIERTAS: LAS FECHAS DE LOS PAGOS SON CNOCIDAS Y FIJADAS CON
ANTICIPACIÓN.
VENCIDAS: LOS PAGOS SE REALIZAN AL FINAL DE LOS
CORRESPONDIENTES PERIODOS.
INMEDIATOS: LOS PAGOS COMIENZAN A HACER DESDE EL MISMO
PERIODO EN EL QUE SE REALIZA LA OPERACION.

QUE CANTIDAD SE ACUMULARIA EN UN SEMESTRE SI SE DEPOSITARAN
$ 10 000 AL FINALIZAR CADA MES EN UNA CUENTA DE INVERSION QUE
RINDE EL 36% ANUAL CONVERTIBLE MENSUALMENTE?
SOLUCION:
PRIMERO, SE REPRESENTA LA SITUACION EN UN DIAGRAMA DE TIEMPO
Y VALOR.
100 000
100 000
100 000
100 000 100 000
GRAFICA 4.1
EL INTERES POR PERIODO, i, ES 0.36/12=0.03, Y EL MONTO DE LA ANUALIDAD
SERIA IGUAL A LA SUMA DE LOS MONTOS DE CADA UNO DE LOS DEPOSITOS AL
FINAL DEL SEMESTRE. COMO SE MUESTRA MEDIANTE CURVAS EN EL DIAGRAMA,
DONDE EL ULTIMO DEPOSITO NO AUMENTA EL VALOR, PUESTO QUE SE DEPOSITA
EN EL SEXTO MES.

EN TÉRMINOS DEL MONTO A INTERES COMPUESTO YA CONOCIDO, EL
PLANTEAMIENTO SERIA:
M=100 000(1.03)+100 000(1.03)+100 000(1.03)+100 000(1.03)+
100 000(1.03)+100 000 ó INVIRTIENDO EL ORDEN,
5 4 3 2
M=100 000+100 000(1.03)+100 000(1.03)+100 000(1.03)+100 000(1.03)+100 000(1.03)+100
000
2 4 53
M=100 000+100 000(1.03)+100 000(1.0609)+100 000(1.092727)+100
000(1.125509)+100 000(1.159274)
M=100 000+103 000+106 090+109 273+112 551+115927
M= $646 841

EN ESTE PLANTEAMIENTO CON EL ORDEN INVERTIDO SE PUEDE VER QUE
EL MONTO ES UNA PROGRESION GEOMETRICA.
t= 1000 000, EL PRIMER TERMINO
r=1.03, LA RAZON
n=6, EL NUMERO DE TERMINOS
1
Y DE LA FORMULA 1.15, DE LOS REMINOS DE UNA PROGRESION
GEOMETRICA:
S= t
(1-r )
1 - r
=
t - t r
1 - r
n
1
1 1
n

SUSTITUYENDO LOS TERMINOS DE ANUALIDADES:
M =
R- R(1+ i)
n
1 – (1 + i)
=
1- (1 + i)R
n
=
R
n
1- (1 + i)
=
1 –(1 +i)
n
1 – 1 - i -i -i
MULTIPLICADO LA FRACCIONPOR - 1,
M = R
(1 + i) - 1
n
i

QUE ES LA VERSION DE ESTA FORMULA ANTERIOR QUE COMUNMENTE SE
UTILIZA. APLICANDOLA PARA RESOLVER EL EJEMPLO ANTERIOR:
M = 100 000
(1.03) - 1
6
0.03
= 100 000(6.468409) =646 841
RESULTADO QUE ES IGUAL AL OBTENIDO ANTES.

EJEMPLO:
¿Cuál ES EL MONTO DE $ 20 000 SEMESTRAL DEPOSITADO DURANTE 4
AÑOS Y MEDIO EN UNA CUENTA BANCARIA QUE RINDE 18%
CAPITALIZABLE SEMESTRALMENTE?
SOLUCION:
R = 20 000
i = 0.18/2= 0.09
n = 4.5(2) = 9
M = 20 000
(1.09) - 1
0.09
9
= 20 000
1.171893
0.09
= 20 000 (13.021036)
M = 260 420.73

VALOR ACTUAL
¿Cuál ES EL VALOR ACTUAL DE UNA RENTA BIMESTRAL DE $ 4 500
DEPOSITADOS AL FINAL DE CADA UNO DE 7 TRIMESTRES, SI LA TASA DE
INTERES ES DE 9% TRIMESTRAL?
SOLUCION:
0 1 2 3 4 5 6 7
C 4 500 4 500 4 500 4 500 4 500 4 500 4 500
C =?
R = 4 500
i = 0.09
n = 7
ESTE ES EL CASO INVERSO DEL MONTO. EL VALOR ACTUAL DE LA
ANUALIDAD SERIA LA SUMA DE LOS VALORES ACTUALES DE LAS 7
RENTAS, O:

C = 4 500(1.09)-1
+ 4 500(1.09)-2
+ 4 500(1.09)-3
+ 4 500(1.09)-4
+ 4 500(1.09)-5
+ 4 500(1.09) -6
+ 4 500(1.09) -7
C = 4 500(0.91743119) + 4 500(0.84167999) + 4 500(0.77218348) + 4 500(0.70842521) + 4 500(0.64993139)
+ 4 500(0.59626733) + 4 500(0.54703424)
C = 4 128.44 + 3 787.56 + 3 474.83 + 3 187.91 + 2 924.69 + 2 683.20 +2 461.65
C = 22 648.28
Y AL IGUAL QUE ANTES; PUEDE VERSE QUE ESA SUMA DE TERMINOS ES
UNA PROGRESION GEOMETRICACON:

t1= 4 500(1.09)-1
= R(1 + i)-1
n = 7
r = (1.09)-1
= (1 + i)-1
S =
t1 - t 1 rn
1 - r
= 4 500(1.09)-1
– 4 500(1.09)-1
(1.09)-7
1 – (1.09)-1
S = 22 648.28
Y LA CORRESPONDIENTE FORMULA:

C =
R(1 + i)-1
– R(1+ i)-1 (1 + i)-1 n
1 – (1 + i)-1
=
C =
R(1 + i)-1
– R(1+ i)-1
(1 + i)-n
1 -
1
(1 + i)
C =
R(1 + i)-1
1 –(1 + i)-n
i
1 + i
C =
(1+ i) R(1 + i)-1
1- (1 + i)-n
i
C = R
1 – (1+ i )-n
= A
i
QUE ES LA FORMULA MASQUE ES LA FORMULA MAS
COMUN DEL VALOR ACTUALCOMUN DEL VALOR ACTUAL
DE LASDE LAS
ANUALIDADESSIMPLES,ANUALIDADESSIMPLES,
CIERTAS, VENCIDAS ECIERTAS, VENCIDAS E
INMEDIATAS.INMEDIATAS.
UTILIZANDO ESTA FORMULAUTILIZANDO ESTA FORMULA
PARA RESOLVER EL MISMOPARA RESOLVER EL MISMO
EJEMPLO:EJEMPLO:
C = 4 500
1-(1.09)-7
0.09
= 4 500(5.03295284)
C = 22 648.28

EJEMPLO
¿Cuál ES EL VALOREN EFECTIVO DE UNA ANUALIDAD DE $1000. 00 AL FINAL
DE CADA TRES MESES DURANTE 5 AÑOS, SUPONIENDO UN INTERES
ANUAL DEL 16% CONVERTIBLE TRIMESTRALMENTE?
SOLUCION R =1 000
n = 5(4) = 20(5 POR 4 TRIMESTRE DE CADA AÑO
i = 0.16/4 = 0.04
C = 1 000
1- (1.04)-20
0.04
C =1 0000(13.590326
C = $ 13 590.33

RENTA
SE CONOCE COMO RENTA AL PAGO PERIODICO QUE SE REALIZA CON
INTERVALOS IGUALES A UN TIEMPO
UNA PERSONA ADQUIERE HOY A CREDITO UNA COMPUTADORA. LA
COMPUTADORA CUESTA $19 750 Y CONVIENE EN PAGARLA CON 4
MENSUALIDADES VENCIDAS. ¿Cuánto TENDRA QUE PAGAR CADA MES
SI LE COBRAN EL 1. 8% MENSUAL DE INTERES?
SOLUCION
SE PUDE VER QUE LOS DATOS CON QUE SE CUENTAN SON:
C = 19 750
R =?
i = 1.8%
n = 4

Y DESPEJANDO LA FORMULA
A = R
1 – (1 + i)-n
i
R =
1 – (1 + i)-n
Ai
=
19 750(0.018)
1 – (1.018)-4
=
355.50
0.068873
R = $5 161.67

PLAZO
EL PLAZO O TIEMPO DE UNA ANUALIDAD SE CALCULA POR MEDIO DEL
NUMERO DE PERIODOS DE PAGO n.n.
¿Cuántos PAGOS DE $ 607.96 AL FINAL DE MES TENDRIA QUE HACER EL
COMPRADOR DE UNA LAVADORA QUE CUESTA $ 8 500, SI DA $ 2 550 DE
ENGANCHE Y ACUERDA PAGAR 24% DE INTERES CAPITALIZABLE
MENSUALMENTE SOBRE EL SALDO?
SOLUCION:
n = ?
R = 607.96
C = 8 500 – 2 550 = 5 950
i = 0.24/12= 0.02

C = R
1 – (1 + i)-n
i
5 950 = 607.96
1 – (1.02)-n
0.02
5 950(0.02)
607.96
= 1 – (1.02)-n
0.195736- 1 = – (1.02)-n
(1.02)-n
= 0.80426343
1
(1.02)-n
= 0.80426343
(1.02)-n
=
1
0.80426343
= 1.24337369

n log. 1.02 = log 1.24337369
n =
log 1.24337369
log 1.02
=
0.09460167
0.00860017
n = 11

TASA DE INTERES
PARA QUE TERMINEMO ESTE TEMA, VEREMOS UN EJEMPLO EN LOS
CUALES LO QUE INTERESA ES DETERMINAR EL INTERES QUE SE PAGA
EJERCICIO
LUCERO DE LA MAÑANA DEBE PAGAR HOY $ 350 000. COMO NO TIENE ESA
CANTIDAD DISPONIBLE, PLATICA CON SU ACREEDOR Y ACUERDA
PAGARLE MEDIANTE 6 ABONOS MENSUALES DE $ 62 000, EL PRIMERO DE
ELLOS DENTRO DE UN MES. ¿ QUE TASA DE INTERES VA A PAGAR?

SOLUCION R = $ 62 000
C = $ 350 000
n = 6
i = ?
350 000 = 62 000
1 – (1 + i)-6
i
1 – (1 + i)-6
i
=
350 000
62 000
= 5.645161
COMO NO ES POSIBLE DESPEJAR LA i, SE TIENE QUE SEGUIR UN
PROCEDIMIENTO DEAPROXIMACION PARA ENCONTRAR SU VALOR. ESTE
PROCEDIMIENTO CONSTA DE 2 PASOS:
1. ENSAYAR VALORES EN LA EXPRESION DONDE SE ENCUENTRA LA
i =
1 – (1 + i)-6
i
PARA ENCONTRAR DOS VALORES DE ELLA
QUE ESTEN CERCANOS A 5.645161, UNO
MAYOR Y OTRO MENOR.

2. INTERPOLAR ENTRE LOS DOS VALORES ENCONTRADOS EN 1 PARA
DETERMINAR EL VALOR DE i. ENTONCES, EN PRIMER LUGAR SE
ENSAYAN VALORES PARA 1 – (1 + i)-6
i
Si i = 0.02
1 – (1 + i)-6
i
=
1 – (1. 02)-6
0.02
= 5.601431
QUE ES BASTANTE CERCANO AL VALOR DE 5.645161QUE SE BUSCA, SE
CONTINUA ENSAYANDO DOS VALORES PARA APROXIMAR MAS. CABE
DESTACAR QUE, AL DISMINUIR LA TASA DE INTERES SE INCREMENTA EL
VALOR PRESENTE, Y VICEVERSA, AL INCREMENTAR LA TASA DE INTERES,
DISMINUYE EL VALOR PRESENTE.
Si i = 0.017
1 – (1.017)-6
0.017
= 5.658585

ESTE ES MAYOR QUE EL VALOR QUE SE BUSCA; AHORA UNO UN POCO
MENOR, PARA LO CUAL SE INCREMENTA LA TASA DE INTERES.
0.018
Si i = 0.018
1 – (1+ .018)-6
= 5.639435
Si i = 0.0175
1 – (1+ 0.0175)-6
0.0175
= 5.648998
AHORA YA SE TIENEN DOS VALORES MUY CERCANOSAL VALOR DESEADO,
UNO MAYOR Y OTRO MENOR. EL SEGUNDO PASO ES INTERPOLAR ENTRE
ESTOS DOS VALORES PARA DETERMINAR EN FORMA MAS EXACTA LA
TASA DE INTERES QUE SE NECESITA.
EL RAZONAMIENTO ES EL SIGIENTE:

SE NECESITA ENCONTRAR EL VALOR DE i QUE HAGA QUE 1 – (1+ i)-6
i
SEA IGUAL A 5.645161, POR QUE ESTA i ES LA QUE HACE QUE SE
CUMPLAN LAS CONDICIONES PLANTEADAS EN EL EJEMPLO Y ES,
POR LO TANTO, LA i QUE SE BUSCA.
YA SE DETERMINO EN EL PASO ANTERIOR QUE:
Si i = 0.0175
1 – (1.0175)-6
0.0175
= 5.648998
Y QUE
0.018
Si i = 0.018
1 – (1 .018)-6
= 5.639435
DONDE SE CONCLUYE QUE LA TASA i QUE SE BUSCA ESTA ENTRE 0.018 Y
0.0175.

1.4. AMORTIZACION
AMORTIZACION CON INTERES SIMPLE
MUCHAS DEUDAS SE LIQUIDAN MEDIANTE UN PAGO UNICO EN LA
FECHA DE VENCIMIENTO; SIN EMBARGO, ES COMUN QUE LOS CREDITOS
SE CONTRATEN PARA PAGARLOS MEDIANTE ABONOS O PAGOS
PARCIALES. EN ESTE CASO SE DICE QUE EL PRESTAMO SE AMORTIZA.
AMORTIZAR. SIGNIFICA SALDAR UNA DEUDA Y SUS INTERESES
MEDIANTE PAGOS PARCIALES O ABONOS, LOS CUALES PUEDEN SER
IGUALES EN VALOR O VARIABLES, EFECTUADOS A INTERVALOS DE
TIEMPO IGUALES O DIFERENTES. EN LA MAYORIA DE LAS OPERACIONES
A CREDITO SE ACOSTUMBRA A SALDAR LAS DEUDAS MEDIANTE ABONOS
DE IGUAL CUANTIA, DE MANERA QUE INCLUYAN CAPITAL E INTERESES,
Y REALIZADOS A INTERVALOS DE TIEMPO IGUALES. PARA QUE ESTO
SEA ASI, BASTA DIVIDIR EL MONTO DE LA CUENTA ENTRE EL NUMERO
DE PAGOS, ES DECIR,

ABONO =
MONTO DE LA DEUDA
NUMERO DE PAGOS
LA AMORTIZACIÓN DE UNA DEUDA PUEDE LLEVARSE A CABO
UTILIZANDO INTERES SIMPLE O COMPUESTO. LA AMORTIZACION CON
INTERES SIMPLE SE LLEVA ACABO DE DOS MANERAS DISTINTAS:
 CON EL INTERES GLOBLAL
 CON INTERES SOBRE SALDOS SOLUTOS

AMORTIZACIÓN CON INTERES GLOBAL
EN ESTE TIPO DE AMORTIZACIÓN LOS INTERESES SE CALCULAN SOBRE
EL TOTAL DE LA DEUDA, SIN TOMAR ENCUENTA LOS PAGOS PARCIALES
EFECTUADOS.
EJEMPLO:
EL SEÑOR MEDINA COMPRA UN REFRIGERADOR A CREDITO, CUYO
PRECIO DE CONTADO ES DE $ 6 000, BAJO LAS SIGUIENTES
CONDICIONES DE PAGO: TASA DE INTERES GLOBAL DE 39.84% Y 6
MESES PARA PAGAR, DANDO ABONOS MENSUALES IGUALES EN
CANTIDAD. CALCULE EL VALOR DEL ABONO MENSUAL.

SOLUCIÓN
M= 6000 1+ 0.3984
12
(6) = $ 7,195.20
EL MONTO DE LA DEUDA ES
AL DIVIDIR ESTE MONTO ENTRE LOS 6 MESES, SE OBTENDRA EL
VALOR DEL ABONO MENSUAL:
ABONO MENUAL=
7195.20
6
=$ 1,199.20

AMORTIZACION CON INTERES SOBRE SALDOS
INSOLUTOS
SI LA PALABRA INSOLUTO SIGNIFICA LO NO PAGADO, ENTONCES LOS
INTERESES COBRADOS SOBRE SALDO INSOLUTO SIGNIFICA EL
INTERES CALCULADO EN UNA DEUDA SOBRE EL SALDO QUE QUEDA POR
PAGAR CADA VEZ QUE SE REALIZA UN ABONO.
EJEMPLO
EL SEÑOR MEDINA COMPRA UN REFRIGERADOR A CREDITO, CUYO
PRECIO DE CONTADO ES DE $ 6 000, BAJO LAS SIGUIENTES
CONDICIONES DE PAGO: TASA DE INTERES GLOBAL DE 39.84% Y 6
MESES PARA PAGAR, DANDO ABONOS MENSUALES IGUALES EN
CANTIDAD. CALCULE EL VALOR DEL ABONO MENSUAL.

SOLUCIÓN
EL PROBLEMA SE RESUELVE DE DOS FORMAS; EN PRIMER LUGAR SE
RESOLVERA DESARROLLANDO UNA TABLA DE AMORTIZACIÓN, LA
CUAL MUESTRA LA EVOLUCIÓN DE LA DEUDA, PERIODO A PERIODO.
ES NECESARIO MENCIONAR LA DIFERENCIA QUE EXISTE ENTRE
ABONO Y AMORTIZACIÓN. AMORTIZAR SIGNIFICA LIQUIDAR EL
CAPITAL MEDIANTE UNA SERIE DE PAGOS, GENERALMENTE IGUALES,
MIENTRAS QUE EL ABONO ES LA SUMA DE LA AMORTIZACIÓN MAS EL
INTERES GENERADO EN EL PERIODO. POR LO ANTERIOR, LA
AMORTIZACION ES LA PARTE DEL ABONO QUE REDUCE EL CAPITAL DE
LA DEUDA. EN EL EJEMPLO ANTERIOR, LA AMORTIZACION MENSUAL
ES:
AMORTIZACION=a=
6000
6
= $ 1000

LOS INTERESES MENSUALES SE DEBEN DE CALCULAR SOBRE LA
PARTE NO PAGADA DEL CAPITAL (SALDO INSOLUTO) QUE VA
QUEDANDO DESPUES DE CADA AMORTIZACIÓN. DESDE EL INICIO DEL
CREDITO HASTA EL FINAL DEL PRIMER MES, EL SALDO INSOLUTO ES
DE $ 6 000. POR TANTO, EL INTERES A PAGAR AL EFECTUAR LA
PRIMERA AMORTIZACIÓN SERA:
I=(6000)
0.3984
12
(1) = 199.20

AL FINAL EL PRIMER MES SE TENDRA QUE PAGAR $ 1000 DE
AMORTIZACION MAS $ 199.20 DE INTERES ES DECIR, SE TENDRA QUE
DAR UN ABONO DE $ 1199.20.
EL SALDO INSOLUTO AL INICIO DEL SEGUNDO MES ES DE $6000-
$1000=$5000.
EL INTERES A PAGAR AL FINAL DEL SEGUNDO MES ES:
I=(5000)
0.3984
12
(1) = 166.00

EL SEGUNDO ABONO SERA DE $ 1000 + 166 =$ 1 166.00.
AL PAGAR EL SEGUNDO ABONO EL SALDO INSOLUTO DE $ 5000-
$1000=4000.
EL INTERES A PAGAR AL FINAL DEL TERCER MES ES:
I=(4000)
0.3984
12
(1) = 132.80
EL TERCER ABONO SERA DE $1000+ 132.80=$1 132.80.
CONTINUANDO DE ESTA MANERA, ES POSIBLE ELABORAR LA
SIGUIENTE TABLA DE AMORTIZACIÓN:

MES AMORTIZACION INTERES ABONO SALDO
INSOLUTO
0 $6 000.00
1 $1000 $199.20 $1 199.20 $5 000.00
2 $1000 $166.00 $1 166.00 $4 000.00
3 $1000 $132.80 $1 132.80 $3 000.00
4 $1000 $99.60 $1 099.60 $2 000.00
5 $1000 $66.40 $1 066.40 $1 000.00
6 $1000 $33.20 $1033.20 $0.00
TOTAL $6000 $697.20 $6 697.20
TABLA DE AMORTIZACIÓN

EL PRECIO TOTAL PAGADO POR EL REFRIGERADOR ES DE $ 6,697.20, DE
LOS CUALES $6 000 CORRESPONDEN AL CAPITAL Y $697.20 A LOS
INTERESES. COMO SE OBSERVA, EL INTERES COBRADO SOBRE LOS
SALDOS INSOLUTOS ES MENOR QUE EL COBRADO MEDIANTE EL
INTERES GLOBAL. TAMBIEN SE OBSERVA QUE EL ABONO ES CADA VEZ
MENOR DEBIDO A QUE LOS INTERESES VAN DECRECIENDO MES A MES.
ES PRACTICA COMUN QUE EL ABONO SEA IGUAL CASA MES. EN ESTE
CASO, EL ABONO MENSUAL CONSTANTE ES:
ABONO=
6697.20
6
= $ 1 116.20

LA FORMULA SE DEDUCE ANTE EL HECHO DE QUE LOS INTERESES
FORMAN UNA SECESIÓN ARITMETICA.
SEA P EL VALOR DE LA DEUDA; n, EL NUMERO DE PERIODOS; i, LA TASA
DE INTERES (EXPRESADA EN FORMA DECIMAL) Y a, LA AMORTIZACIÓN.
AL DIVIDIR EL VALOR DE LA DEUDA ENTRE EL NUMERO DE PERIODOS
SE OBTIENE a,
a=
P
n
SI P ES EL SALDO INSOLUTO AL INICIO, EL INTERES POR PAGAR AL
FINAL DEL PRIMER PERIODO SERA DE Pi. EN EL SEGUNDO PERIODO
EL SALDO INSOLUTO ES (P-a) Y EL INTERES POR PAGAR SERA (P-a)i.
EL SALDO INSOLUTO EN EL TERCER PERIODO ES (P-2a) Y EL INTERES
A PAGAR SERA (P-2a)i, Y ASI SUSECIVAMENTE, DE TAL FORMA QUE
SE TIENE EL SIGUIENTE CONJUNTO DE ELEMENTOS:

Pi,(P-a)i, (P-2a)i, (P- 3a)i………….
EL CONJUNTO ANTERIOR FORMA UNA SUCESIÓN ARITMETICA CON
DIFERENCIA COMUN –ai. POR TANTO, ES POSIBLE CALCULAR EL
VALOR DE n-ÉSIMO TERMINO DE LA SUCESION ME DIANTE LA
SIGUIENTE ECUACION.
a=n
Pi+ (n-1)(-ai)=Pi-ai(n-1)
AL SUMAR LOS TERMINOS DE LA SUCESIÓN SE OBTIENE EL INTERES
TOTAL, I. LA SUMA SE OBTIENE LA ECUACIÓN.
S=n I=
n
2
Pi+Pi-ai(-1)
SIMPLIFICADO I=
ni
2
2P-a(n-1)

AMORTIZACION CON INTERES COMPUESTO.
EL PAGO DE LA DEUDA SE LLEVA ACABO DE TAL MANERA QUE LA
CANTIDAD DESTINADA A REDUCIR EL CAPITAL AUMENTA
GRADUALMENTE, ES DECIR, SE TIENE UNA AMORTIZACIÓN GRADUAL
Y LOS ABONOS SON SIEMPRE IGUALES.
EN ESTE CASO EL ABONO SE CALCULA MEDIANTE LA FORMULA DEL
VALOR PESENTE DE UNA ANUALIDAD VENCIDA.
CADA ABONO EFECTUADO SE DIVIDE EN DOS PARTES: EN PRIMER
LUGAR SE PAGAN LOS INTERESES ADECUADOS AL MOMENTO EN QUE
SE EFECTUA EL PAGO Y EL RESTO SE APLICA A DISMINUIR EL
CAPITAL.
COMO CADA PAGO REDUCE AL CAPITAL, LOS INTERESES QUE SE
PAGAN EN CADA PERIODO VAN DISMINUYENDO; POR TANTO,
RESULTA EVIDENTE QUE LA AMORTIZACIÓN GRADUAL DE UNA DEUDA
SE LLEVA A CABO CALCULANDO LOS INTERESES SOBRE EL SALDO
INSOLUTO

EJEMPLO:
UN PRESTAMO DE $6000 SE VA A MORTIZAR POR MEDIO DE 6 PAGOS
MENSUALES IGUALES. OBTENGA EL ABONO MENSUAL SI LA TASA DE
INTERES ES DE 33% CAPITALIZABLE MENSUALMENTE.
SOLUCIÓN:
EN ESTE PROBLEMA SE NOS PIDE QUE CALCULEMOS EL VALOR DE UNA
ANUALIDAD CUYO VALOR PRESENTE ES DE $6000. DESPEJANDO A DE
LA ECUACIÓN, SE TIENE,
A= Pi
1-(1+i)
-n =
(6000)
0.33
12
0.33
12
1+1-
-6

A=$1098.4250
PARA AMORTIZAR LA DEUDA ES NECESARIO REALIZAR 6 PAGOS
MENSUALES $1098.4250.
LA TABLA DE AMORTIZACIÓN MUESTRA LA FORMA COMO SE
AMORTIZA UNA DEUDA; ESTO ES, NOS PERMITE VER COMO SE VA
REDUCIENDO LA DEUDA CON CADA ABONO EFECTUADO.

MES AMORTIZACION INTERES ABONO SALDO
INSOLUTO
0 $6000.000
1 $933.4250 $165.0000 $1098.4250 $5066.5770
2 $959.0942 $139.3308 $1098.4250 $4107.4808
3 $985.4653 $112.9557 $1098.4250 $3122.0115
4 $1012.5697 $85.8553 $1098.4250 $2109.4418
5 $1040.4154 $58.0096 $1098.4250 $1069.0264
6 $1069.0268 $29.3982 $1098.4250 $-0.0004
2
3

EXPLICACION DE CÓMO SE ELABORO LA TABLA DE
AMORTIZACIÓN.
EL SALDO INSOLUTO DE LA COLUMNA 5 AL PRINCIPIO DEL PRIMER MES
(MES 0) ES LA DEUDA ORIGINAL DE $6000. EL INTERES VENCIDO AL
FINAL DEL PRIMER MES (MES 1) SE DETERMINO UTILIZANDO LA
FORMULA DE INTERES SIMPLE.
I=(6000) 0.33
12
(1) = 165
EL PAGO MENSUAL O ABONO (COLUMNA 4), HECHO AL FINAL DEL
PRIMER MES, ES DE $1098.4250, DE LOS CUALES SE UTILIZAN $165
PARA EL PAGO DEL INTERES VENCIDO Y EL RESTO, $1098.4250-
165=933.4250 SE UTILIZA COMO ABONO AL CAPITAL
(AMORTIZACIÓN). AL FINAL DEL PRIMER MES SE TIENE UN SALDO
INSOLUTO DE $ 6000-$933.4250=5066.5750.

AL TERMINO DEL SEGUNDO MES, EL INTERES VENCIDO ES:
I=(5066.5750) 0.33
12
(1) = 139.3308
DEL ABONO MENSUAL HECHO AL FINAL DEL SEGUNDO MES, SE
DESTINAN $139.3308 PARA PAGAR EL INTERES VENCIDO Y EL RESTO,
$1098.4250- $139.3308=$959.0942, COMO ABONO AL CAPITAL. AL
FINAL DEL SEGUNDO MES EL SALDO INSOLUTO ES DE $5066.5750-
$959.0942=$4107.4808, Y ASI SUSECIVAMENTE.

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