Vectores, ángulos direccionales, leyes de senos
- 1. VECTORES, ÁNGULOS DIRECCIONALES, LEYES DE SENOS, LEYES DE COSENOS Samuel Gómez Quintero Reg.: 1631054 Centro de enseñanza técnica industrial Plantel: COLOMOS Profesor: Martínez Padilla Cesar Octavio Fecha: 2 de septiembre del 2016.
- 2. VECTORES CARTESIANOS. • Es aquel que se puede representar en un plano cartesiano mediante sus componentes en X (y) Y. cada vector posee magnitud, dirección y sentido, pero mediante el teorema de Pitágoras de puede descomponer en dos, uno horizontal y uno vertical
- 3. • Componentes rectangulares de un vector – Un vector A puede tener una, dos o tres componentes rectangulares a lo largo de los ejes x-y-z, dependiendo de su orientación. – Por dos aplicaciones sucesivas de la ley del paralelogramo A = A’ + Az A’ = Ax + Ay – Combinando las ecuaciones, A puede expresarse como A = Ax + Ay + Az
- 4. VECTORES UNITARIOS. Vector unitario es el que su módulo vale 1. Teniendo en cuenta la definición de vector unitario podemos decir que las coordenadas de un vector unitario pueden ser distintas a cero y a 1. Lo único que debes tener en cuenta es que su módulo valga 1.
- 5. ÁNGULOS DIRECCIONALES • Cosenos directores de un vector a – son cosenos de ángulos que forma el vector con positivos semiejes de coordinadas. • Para sacar Cosenos directores de un vector a es necesario las coordenadas respectivas del vector dividir en el módulo del vector . • 1) El ángulo (abertura) que forma el vector con los ejes positivos X y Y del plano cartesiano. • 2) Están comprendidos entre 0o y 180o grados • 3) No existe convención para el giro de los angulos directores. • 4) Los ángulos directores en el plano son: • α es el que forma el vector con el eje positivo de las X • β es el que forma el vector con el eje positivo de las Y
- 6. VECTOR DE POSICIÓN: • El vector posición r se define como un vector que localiza un punto en el espacio respecto a otro punto. – Ej. r = xi + yj + zk • Vector posición de B respecto a A: – La suma de vectores da rA + r = rB – Podemos escribir entones r = rB – rA = (xB – xA)i + (yB – yA)j + (zB –zA)k r = (xB – xA)i + (yB – yA)j + (zB –zA)k
- 7. • El producto escalar es una multiplicación entre dos vectores que da como resultado un escalar. Para vectores expresados en coordenadas cartesianas el producto escalar se realiza multiplicando cada coordenada por la misma coordenada en el otro vector y luego sumando los resultados. • Para vectores expresados en forma polar (módulo de cada uno y ángulo entre ellos) se calcula multiplicando los dos módulos por el coseno del ángulo que separa a los vectores.
- 8. LEY DE SENOS • Para usar la ley de los senos necesita conocer ya sea dos ángulos y un lado del triángulo (AAL o ALA) o dos lados y un ángulo opuesto de uno de ellos (LLA). Dese cuenta que para el primero de los dos casos usamos las mismas partes que utilizó para probar la congruencia de triángulos en geometría pero en el segundo caso no podríamos probar los triángulos congruentes dadas esas partes. Esto es porque las partes faltantes podrían ser de diferentes tamaños
- 9. • En ΔAMC aplicamos el seno de A y obtenemos y/b = sen A • despejamos para y, obtenemos ------> y= b sen A • En ΔBMC aplicamos el seno de B y obtenemos y/a = sen B • despejamos para y, obtenemos -------> y= a sen B • Igualamos ambas expresiones y=y de forma que: b sen A = a sen B • Entonces:
- 10. • La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado. • En ∆ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c, entonces
- 11. LEY DE COSENOS. • La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluido son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse. • La ley de los cosenos establece c2 = a2 + b2 – 2abcos C
- 12. • Esto se parece al teorema de Pitágoras excepto que para el tercer término y si C es un ángulo recto el tercer término es igual 0 porque el coseno de 90° es 0 y se obtiene el teorema de Pitágoras. Así, el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos. • La ley de los cosenos también puede establecerse como • b2 = a2 + c2 – 2accos B or • a2 = b2 + c2 – 2bccos A.
- 13. BIBLIOGRAFIAS. • Física practica.com. (2016). Producto escalar. 2 De Septiembre Del 2016, de Fisica Practica Sitio web: http://www.fisicapractica.com/producto-escalar.php • slide 1. (2013). vectores de fuerza. 2 de septiembre del 2016, de slide 1 Sitio web: http://www2.urjc.es/emff/docencia/Arquitectura/cap2.pdf • hotmath. (2014). leyes de cosenos. 2 de septiembre 2016, de hotmath Sitio web: ://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/law-of-cosines.html • hotmath. (2014). leyes de senos. 2 de septiembre del 2016, de hotmath Sitio web: http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/law-of-sines.html