Nociones de las Ec. dif. Ord
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Este documento introduce las nociones básicas de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Define una ecuación diferencial, clasifica las ecuaciones diferenciales en ordinarias y parciales, y explica el orden y grado de una ecuación diferencial ordinaria. También discute la solución general de una ecuación diferencial, las soluciones particulares, y los problemas de valor inicial y valores en la frontera.
Nociones de las Ec. dif. Ord
- 1. UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO PEDAGÓGICO “RAFAEL ALBERTO ESCOBAR LARA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA- ÁREA DE ANÁLISIS MARACAY-EDO ARAGUA Introducción a la Ecuaciones Diferenciales Ordinarias UNIDAD I: Nociones de las ecuaciones diferenciales ordinarias 1 Prof. Yerikson Suárez H. Noviembre, 2015 P.A 2015-II UNIDAD I: Nociones de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Definición de una ecuación diferencial. Orden y grado de una Ecuaciones diferencial. Clasificación de las ecuaciones diferenciales (ordinarias y parciales). Reseña histórica sobre el origen de las ecuaciones diferenciales. Problemas que conducen al planteamiento de ecuaciones diferenciales (incluidos problemas de origen geométrico). Significado del problema de resolver una ecuación diferencial. Existencia y Unicidad de la solución de una E.D.O
- 2. UNIDAD I: Nociones de las ecuaciones diferenciales ordinarias Definición. Ecuación Diferencial. Una ecuación que contiene derivadas de una función desconocida de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se denomina Ecuación Diferencial (ED) Ejemplos a) 𝒅 𝟐 𝒚 𝒅𝒙 𝟐 + 𝒙𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝟐 = 𝟎 y: variable dependiente x: variable independiente y=f(x) b) 𝒅 𝟒 𝒙 𝒅𝒕 𝟒 + 𝟓 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅𝒕 𝟐 + 𝟑𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒕 x: variables dependiente t: variables independiente x=g(t) c) 𝝏𝒗 𝝏𝒔 + 𝝏𝒗 𝝏𝒕 = 𝒗 v: variables dependiente s,t: variables independientes v=h(s,t) d) 𝝏 𝟐 𝒕 𝝏𝒙 𝟐 + 𝝏 𝟐 𝒕 𝝏𝒚 𝟐 + 𝝏 𝟐 𝒕 𝝏𝒛 𝟐 = 𝟎 t: variables dependiente x,y,z: variables independientes t=f(x,y,z) e) 𝒚′′ + 𝒚′ − 𝒙𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 y: variable dependiente x: variable independiente y=f(x) f) 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝒅𝒚 𝒅𝒕 + 𝒅𝒛 𝒅𝒕 = 𝒕 x, y , z: variables dependientes t: variable independiente x= f(t), y=g(t), z=h(t) Observaciones importantes: 1. Las ecuaciones diferenciales se clasifican según tengan una o más variables independientes. Una ED que contiene derivadas ordinarias de una función de una o más variables dependientes con respecto a una única variable independiente se denomina Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO). Como por ejemplos los casos a), b), e) y f) Una ED que contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a más de una variable independiente se denomina Ecuación Diferencial Parcial (EDP). Como por ejemplo los casos c) y d) 2. Orden y grado de una ecuación diferencial. El orden de la derivada de mayor orden que contiene una EDO es el orden de la ecuación diferencial. Así por ejemplo, las ecuaciones a) y e) son de orden 2, la ecuación b) es de orden 4, la c) y la f) es de orden 1 (con respecto a ambas v.i), la d) es de orden 2 (respecto a las 3 variables) El grado de una ED es la potencia (entera positiva) a la cual está elevada la derivada de mayor orden en la ED. La Ec. a), b) y c) son de grado 1 (primer grado) 3. En el caso de las EDO, es conveniente hacer una clasificación en torno a si son lineales o no. Una EDO orden n es lineal si y sólo si es de la forma 𝑎 𝑜 𝑥 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛 + 𝑎1 𝑥 𝑑 𝑛−1 𝑦 𝑑𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑦 = 𝑏(𝑥) (𝑎 𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑛𝑢𝑙𝑎) Nótese que la v.d y, así como sus derivadas respectivas, son de primer grado; no hay productos de y con sus derivadas, o productos entre derivadas; y no hay funciones trascendentales de y y/o de sus derivadas. La ecuación b) es una EDO Lineal (de orden 4) Otros ejemplos de EDO Lineales son 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 6𝑦 = 0 (de orden 2) ln 𝑥 𝑑5 𝑦 𝑑𝑥5 + 𝑥2 𝑑3 𝑦 𝑑𝑥3 + 𝑥3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥 (de orden 5)
- 3. No son EDO Lineales las siguientes ecuaciones: 𝑑3 𝑦 𝑑𝑥3 + 5𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 6𝑦2 = tan(x) 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 − 7 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3 + 6𝑥𝑦 = cos 2𝑥 𝑥2 𝑑4 𝑦 𝑑𝑥4 − 8𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝐿𝑛(𝑦) 4. En el caso de las ecuaciones diferenciales lineales conviene hacer una categorización de las mismas en atención a los coeficientes de la variables dependiente y de sus derivadas. Así, se habla de EDO lineales con coeficientes constantes o con coeficientes variables según sea el caso. En los ejemplos de EDOs lineales dados anteriormente se puede apreciar una caso de c/u. 5. Una solución de una ED es cualquier función que satisface la ecuación (la reduce a una identidad). Por ejemplo, consideremos la EDO (lineal, de orden dos, con coeficientes variables) 𝑥2 𝑦′′ − 4𝑥𝑦′ + 6𝑦 = 0. Una solución de tal ecuación es la función 𝑦 = 𝑥3 + 𝑥2 (comprobarlo). • Nótese que decimos “una solución” y no “la solución”, con lo cual se espera dejar abierta la posibilidad de otras soluciones. • Surgen interrogantes que irán encontrando respuestas a lo largo del curso, por ejemplo ¿cómo se obtuvo esa solución de la EDO dada?, ¿cuáles serían las otras soluciones? ¿cuántas soluciones hay? Pero sigamos ahondando en este asunto. Para ello, consideremos la EDO 𝑦´´ − 2𝑦′ − 3𝑦 = 0. En este caso, una solución de la ecuación es la función definida por 𝑦 = 𝑒3𝑥 + 𝑒−𝑥 , pero también la función 𝑦 = 2𝑒3𝑥 − 3𝑒−𝑥 es una solución. De hecho, cualquier función de la forma 𝑦 = 𝐶1 𝑒3𝑥 + 𝐶2 𝑒−𝑥 , con 𝐶1 , 𝐶2 constantes reales cualesquiera. Vale la pena aclarar, que entonces en realidad estamos hablando de una familia de funciones, donde las dos primeras son casos particulares de esta familia. Por cierto, esto no quiere decir que necesariamente todas las soluciones de esta EDO vienen de la familia descrita. Veamos otro ejemplo, a modo ilustrativo. Consideremos la nueva EDO 𝑦′′ + 𝑦 = 0. Verifique que la función 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3 cos 𝑥 , y la función definida por 𝑦 = 5𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 7 cos 𝑥 , son soluciones de la ecuación; y que estas en realidad representan casos particulares de la familia definida por 𝑦 = 𝐶1 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶2 cos 𝑥 Se habla entonces de la solución general de una ED, la cual viene dada por una familia n-paramétrica de soluciones; y de una solución particular de la ED cuando estos parámetros son prefijados con antelación. Geométricamente, la solución general de una ED representa una familia de curvas 6. Otro aspecto relevante en torno a las soluciones de una ED está referido al hecho de que las mismas pueden ser dadas de forma explícita o implícita. La solución explícita de una ED de v.d y, y v.i x es aquella que se puede escribir como una función de la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥). Por otra parte, la ED tiene dada la solución de forma implícita si esta queda determinada por una “relación” de la forma 𝑔 𝑥, 𝑦 = 0. Así, todas las soluciones dadas en la observación 5, son soluciones explícitas. Por ello, veamos en detalle, la forma explícita. Consideremos la ED 𝑥 + 𝑦𝑦′ = 0. Una solución implícita para esta ecuación está dada por la relación 𝑥2 + 𝑦2 − 25 = 0 (∗). Nótese que tal expresión NO denota de ninguna manera una función, de hecho, su representación gráfica se corresponde con una circunferencia con centro en (0,0) y radio 5. Para comprobar que esta relación es en efecto una solución implícita de la ED dada, se pueden proceder por 2 vías (se deja al lector hacer los procedimientos correspondientes). La primera opción es derivar implícitamente (∗) y sustituir en la ED para verificar la identidad. La otra alternativa consiste en intentar despejar y en función de x (lo cual no siempre es fácil o posible), para obtener así un par de funciones, c/u de las cuales sería solución explícita de la ED.
- 4. 7. Finalmente, es posible encontrar algunas soluciones singulares de la ED, esto es, aquellas que no se obtienen de la solución general. Por ejemplo, considérese la ED 𝑦´ = 3𝑦2 3 , la cual tiene como como solución general explícita la familia uni-paramétrica 𝑦 = 𝑥 − 𝑐 3 con c ∈ ℝ. Algunas soluciones explícitas particulares de las ED son 𝑦 = 𝑥 − 1 3 , 𝑦 = 𝑥 + 7 3 , 𝑦 = 𝑥 − 1/2 3 . Sin embargo, en este caso es posible identificar la solución singular 𝑦 = 0 la cual no es posible obtener de la solución general. 8. Se habla de la solución completa de una ED cuando se da la solución general – de forma explícita o implícita – junto a las soluciones singulares (si es que estas existiesen) Problemas de valor Inicial y valores en la frontera. • Una Ecuación diferencial acompañada de unas condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas, en torno a un mismo valor de la variable independiente, constituye lo que se conoce como un problema de valor inicial. A las condiciones se les denomina condiciones iniciales. Así, por ejemplo, hallar la solución de la ecuación 𝑦′′ + 2𝑦′ = 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑦 𝜋 = 1, 𝑦′ 𝜋 = 2 constituye un problema de valor inicial, ya que las condiciones se imponen en torno al mismo valor 𝑥 = 𝜋. • Si las condiciones se imponen en torno a más de una valor de la variable independiente, se está en presencia de un problema de valores en frontera, y las condiciones se denominan condiciones de frontera. Por ejemplo, podemos considerar la misma ecuación anterior pero sujeta ahora a las condiciones 𝑦 0 = 1, 𝑦 1 =1. Así, estamos en presencia de una problema de valores en frontera dado que las condiciones se imponen sobre los valores 𝑥 = 0, 𝑥 = 1. • Una solución a un problema de valor inicial o de frontera es una función (particular) que satisface la ecuación y las condiciones correspondientes. Consideremos por ejemplo, consideremos el 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑦′ − 4𝑥𝑦 = 0 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑦 0 = 1/5. Por los momentos nos conformaremos con saber que la solución general de la ecuación es la familia uni-paramétrica de funciones definida por 𝑦 = 𝐶𝑒2𝑥2 (∗) (comprobarlo). Nuestra labor, para encontrar la solución al problema de valor inicial, es encontrar un miembro de esta familia que satisfaga la condición inicial dada. Dicha condición exprese que cuando 𝑥 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦 = 1/5. Al sustituir estos valores en (∗) se obtiene 1/5= 𝐶𝑒2(0)2 , 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒 𝑎 𝐶 = 1/5. Por tanto, la solución al problema de valor inicial es la función 𝑦 = 1 5 𝑒2𝑥2 • Consideremos ahora un problema de valores en la frontera definido por 𝑦′′ = 𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑦 −2 = 4 , 𝑦′ 0 = 1. Una vez más, la solución de la ED, dada a priori, viene dada por la familia bi-paramétrica de funciones definida por 𝑦 = 𝑥3 6 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2. Las condiciones de frontera afirman que cuando 𝑥 = −2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦 = 4, 𝑦 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 0, 𝑦′ = 1. Así, de la primera condición se obtiene 16 3 = −2𝑐1 + 𝑐2, mientras que de la segunda se obtiene 𝑐1 = 1. Al sustituir esta última igualdad se deduce que 𝑐2 = 22 3 . Por lo tanto, la solución del problema de valor en frontera está dada por la función 𝑦 = 𝑥3 6 + 𝑥 + 22 3 • Aclaratoria importante: En el caso de los problemas de valor inicial o frontera deben existir tantas condiciones como sea el orden de la ED.