![Plan de l’exposé
Caractérisation de l’incertitude ?
Introduction aux GSHS
Rappel : cas des EDO et des EDS
Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude
L’équation de FPK généralisée aux GSHS
Conclusion / perspectives
Résultat numériques
Références
Prendre en comptes les sauts : la notion d’intensité moyenne de sauts
Soit R (A) = Eµ0 k ≥1 1A Xτ− , τk .
k
On dit que X admet une intensité moyenne de sauts, pour la
mesure initiale µ0 , s’il existe une application t → rt , à valeurs
dans l’ensemble des mesures positives sur E, telle que :
1 pour tout Γ ∈ E, la fonction t → rt (Γ) est mesurable ;
t
2 pour tous Γ ∈ E et t > 0, R (Γ×]0; t]) = 0 rs (Γ) ds.
Que vaut rt (dx ) ?
sauts spontanés : rt0 (dx ) = λ(x ) µt (dx )
sauts forcés : rtG (dx ) = ???
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General stochastic hybrid systems and their FPK equation
- 1. Groupe de travail SDH (GdR MACS) Exposé pour la réunion du 20 septembre 2007 Les systèmes hybrides stochastiques généraux (GSHS) et leur équation de Fokker-Planck-Kolmogorov Julien Bect Département Signaux et Systèmes Électroniques http://www.supelec.fr/deptsse 20 septembre 2007
- 2. Plan de l’exposé Introduction aux GSHS Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude Conclusion / perspectives Références 1 Plan de l’exposé 2 Introduction aux GSHS Généralités GSHS : dynamique hybride & probabilités Comparaison avec les automates hybrides Domaines d’application Un modèle de consommation électrique 3 Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude Caractérisation de l’incertitude ? Rappel : cas des EDO et des EDS L’équation de FPK généralisée aux GSHS Résultat numériques 4 Conclusion / perspectives 5 Références 2 / 23
- 3. Plan de l’exposé Généralités Introduction aux GSHS GSHS : dynamique hybride & probabilités Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude Comparaison avec les automates hybrides Conclusion / perspectives Domaines d’application Références Un modèle de consommation électrique 1 Plan de l’exposé 2 Introduction aux GSHS Généralités GSHS : dynamique hybride & probabilités Comparaison avec les automates hybrides Domaines d’application Un modèle de consommation électrique 3 Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude Caractérisation de l’incertitude ? Rappel : cas des EDO et des EDS L’équation de FPK généralisée aux GSHS Résultat numériques 4 Conclusion / perspectives 5 Références 3 / 23
- 4. Plan de l’exposé Généralités Introduction aux GSHS GSHS : dynamique hybride & probabilités Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude Comparaison avec les automates hybrides Conclusion / perspectives Domaines d’application Références Un modèle de consommation électrique Généralités sur les SHS modélisation probabiliste de l’incertitude système hybrides stochastiques vs modélisation non-déterministe automates hybrides 99% de la littérature porte sur des systèmes markoviens on s’y ramène (souvent) par augmentation de l’état processus de Markov à temps continu sujet de recherche assez ancien depuis les 70’s : modèles à sauts de paramètres markoviens introduction de modèles « à sauts forcés » processus déterministes par morceaux (Davis, 1984) formalisme GSHS (Bujorianu & Lygeros, 2004) 4 / 23
- 5. Plan de l’exposé Généralités Introduction aux GSHS GSHS : dynamique hybride & probabilités Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude Comparaison avec les automates hybrides Conclusion / perspectives Domaines d’application Références Un modèle de consommation électrique Dynamique hybride & probabilités (1) saut spontané Xτ1 ∼ K (Xτ− , · ) 1 E2 X0 saut forcé Xτ− 1 Xτ− 2 λ(Xt ) ≥ 0 Xτ2 ∼ K (Xτ− , · ) 2 E1 E3 (Librement inspiré d’un schéma de J. Lygeros, CTS-HYCON, 2006) 5 / 23
- 6. Plan de l’exposé Généralités Introduction aux GSHS GSHS : dynamique hybride & probabilités Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude Comparaison avec les automates hybrides Conclusion / perspectives Domaines d’application Références Un modèle de consommation électrique Dynamique hybride & probabilités (2) Résumé des éléments définissant un GSHS : Espace d’état « hybride » : E = ∪q∈Q{q} × Eq Dynamique continue : EDS Deux types de sauts : sauts spontanés, intensité stochastique λ(Xt ) ≥ 0 sauts forcés, déclenché par la garde G ⊂ ∂E Réinitialisation : noyau de transition K (x , dx ′ ) « Domaine invariant » : E0 = E G (par déf. on a toujours E0 ∩ G = ∅ !) 6 / 23
- 7. Plan de l’exposé Généralités Introduction aux GSHS GSHS : dynamique hybride & probabilités Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude Comparaison avec les automates hybrides Conclusion / perspectives Domaines d’application Références Un modèle de consommation électrique Comparaison avec les automates hybrides Automate hybride GSHS inclusion différentielle équation différentielle stoch. E0 ∩ G = ∅ en général E0 ∩ G = ∅ (par déf.) sauts possibles dans E0 ∩ G sauts spontanés dans E0 (non déterminisme) (probabiliste, intensité λ ≥ 0) sauts forcés dans G E0 sauts forcés dans G réinit. non-déterministe réinit. stochastique xτk ∈ Reset(xτk ) − Xτk ∼ K (Xτ− , · ) k x0 détermine un ensemble x0 détermine une loi de proba. de trajectoires admissibles sur l’ensemble des trajectoires 7 / 23
- 8. Plan de l’exposé Généralités Introduction aux GSHS GSHS : dynamique hybride & probabilités Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude Comparaison avec les automates hybrides Conclusion / perspectives Domaines d’application Références Un modèle de consommation électrique On trouve des GSHS dans des domaines très variés ! ateliers de fabrication : machines avec pannes consommation optimale de resources renouvelables systèmes embarqués (projet Columbus) gestion du trafic aérien (projet Hybridge) biologie : réseaux de régulation génétique énergie : consommation électrique, éolienne à vitesse variable ... 8 / 23
- 9. Plan de l’exposé Généralités Introduction aux GSHS GSHS : dynamique hybride & probabilités Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude Comparaison avec les automates hybrides Conclusion / perspectives Domaines d’application Références Un modèle de consommation électrique Généralisation à 2d du modèle de Malhamé et Chong (1985) pièce n 1 ˚ pièce n 2 ˚ (temp. Zt1 ) (temp. Zt2 ) thermostat Qt ∈ {0, 1} « vecteur » d’état : Xt = (Qt , Zt ) 9 / 23
- 10. Plan de l’exposé Généralités Introduction aux GSHS GSHS : dynamique hybride & probabilités Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude Comparaison avec les automates hybrides Conclusion / perspectives Domaines d’application Références Un modèle de consommation électrique Modélisation par un GSHS à sauts forcés Qt = 0 dZt = f(0, Zt ) dt + σ dBt 20 Zt1 Zt1 > zmin 24 22 Zt1 = zmin Zt1 = zmax 20 24 Zt2 Qt = 1 22 dZt = f(1, Zt ) dt + σ dBt Zt1 < zmax 1 0.5 Qt f(q, z ) = Az + zext fext + qfchauff 0 σ1 0 0 20 40 60 80 100 σ = 0 σ2 temps (minutes) 10 / 23
- 11. Plan de l’exposé Généralités Introduction aux GSHS GSHS : dynamique hybride & probabilités Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude Comparaison avec les automates hybrides Conclusion / perspectives Domaines d’application Références Un modèle de consommation électrique Espace d’état hybride du modèle E = {0} × E0 ∪ {1} × E1 z2 mode on (q = 1) E1 = −∞; zmax × R zmin zmax z1 z2 mode off (q = 0) E0 = zmin ; +∞ × R zmin zmax z1 11 / 23
- 12. Plan de l’exposé Caractérisation de l’incertitude ? Introduction aux GSHS Rappel : cas des EDO et des EDS Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude L’équation de FPK généralisée aux GSHS Conclusion / perspectives Résultat numériques Références 1 Plan de l’exposé 2 Introduction aux GSHS Généralités GSHS : dynamique hybride & probabilités Comparaison avec les automates hybrides Domaines d’application Un modèle de consommation électrique 3 Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude Caractérisation de l’incertitude ? Rappel : cas des EDO et des EDS L’équation de FPK généralisée aux GSHS Résultat numériques 4 Conclusion / perspectives 5 Références 12 / 23
- 13. Plan de l’exposé Caractérisation de l’incertitude ? Introduction aux GSHS Rappel : cas des EDO et des EDS Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude L’équation de FPK généralisée aux GSHS Conclusion / perspectives Résultat numériques Références Caractérisation de l’incertitude ? l’état Xt est une variable aléatoire. . . mais quelle est sa loi de probabilité µt ? Xt n’est (presque) jamais une V.A. gaussienne, donc pour caractériser µt , il ne suffit pas de s’intéresser à la moyenne et à la variance ! deux situations où la question se pose : propagation de l’incertitude µ0 est connue : évolution t → µt ? GSHS stable (en loi) comment trouver la loi stationnaire µst ? 13 / 23
- 14. Plan de l’exposé Caractérisation de l’incertitude ? Introduction aux GSHS Rappel : cas des EDO et des EDS Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude L’équation de FPK généralisée aux GSHS Conclusion / perspectives Résultat numériques Références Rappel : cas des EDO et des EDS systèmes dynamiques « classiques » : tps continu, E = Rn on suppose l’existence d’une ddp : µt (dx ) = pt (x ) dx deux cas particuliers en l’absence de bruit : évolution déterministe (EDO) X0 ∼ p0 (x ) dx ˙ Xt = f(Xt ) en présence de bruit : processus de diffusion (EDS) X0 ∼ p0 (x ) dx dXt = f(Xt ) dt + gk (Xt ) dBtk k 14 / 23
- 15. Plan de l’exposé Caractérisation de l’incertitude ? Introduction aux GSHS Rappel : cas des EDO et des EDS Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude L’équation de FPK généralisée aux GSHS Conclusion / perspectives Résultat numériques Références Équations de Liouville et de Fokker-Planck-Kolmogorov cas déterministe (EDO) : l’équation de Liouville ∂pt jt = fpt + div (fpt ) = 0 −→ ∂t ∂pt + div jt = 0 ∂t cas diffusif (EDS) : l’équation de FPK 1 jt = fpt − gk div (gk pt ) 2 k lorsque la dynamique est hybride : équation de FPK généralisée ! 15 / 23
- 16. Plan de l’exposé Caractérisation de l’incertitude ? Introduction aux GSHS Rappel : cas des EDO et des EDS Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude L’équation de FPK généralisée aux GSHS Conclusion / perspectives Résultat numériques Références Quelques références Processus de diffusion & équation de FPK Kolmogorov (1931), Itô (1950), Stratonovich (1966) Généralisation aux processus diffusifs par morceaux sauts spontanés (assez bien connu) Kolmogorov (1931), Gardiner (1985), Krystul, Bagchi & Blom (2003), Hespanha (2005) sauts forcés (seulement en dimension 1 !) Feller (1952, 1954), Malhamé & Chong (1985) 16 / 23
- 17. Plan de l’exposé Caractérisation de l’incertitude ? Introduction aux GSHS Rappel : cas des EDO et des EDS Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude L’équation de FPK généralisée aux GSHS Conclusion / perspectives Résultat numériques Références Prendre en comptes les sauts : la notion d’intensité moyenne de sauts Soit R (A) = Eµ0 k ≥1 1A Xτ− , τk . k On dit que X admet une intensité moyenne de sauts, pour la mesure initiale µ0 , s’il existe une application t → rt , à valeurs dans l’ensemble des mesures positives sur E, telle que : 1 pour tout Γ ∈ E, la fonction t → rt (Γ) est mesurable ; t 2 pour tous Γ ∈ E et t > 0, R (Γ×]0; t]) = 0 rs (Γ) ds. Que vaut rt (dx ) ? sauts spontanés : rt0 (dx ) = λ(x ) µt (dx ) sauts forcés : rtG (dx ) = ??? 17 / 23
- 18. Plan de l’exposé Caractérisation de l’incertitude ? Introduction aux GSHS Rappel : cas des EDO et des EDS Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude L’équation de FPK généralisée aux GSHS Conclusion / perspectives Résultat numériques Références L’équation de FPK généralisée notations µt (dx ) loi de Xt (mesure de probabilité) L∗ opérateur de Fokker-Planck, au sens des distrib. rt (dx ) intensité moyenne de sauts K (x , dy) noyau de réinitialisation t → µt obéit à l’équation d’évolution µ′ = L∗ µt + rt (K − I ) t 18 / 23
- 19. Plan de l’exposé Caractérisation de l’incertitude ? Introduction aux GSHS Rappel : cas des EDO et des EDS Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude L’équation de FPK généralisée aux GSHS Conclusion / perspectives Résultat numériques Références L’équation de FPK généralisée notations µt (dx ) loi de Xt (mesure de probabilité) L∗ opérateur de Fokker-Planck, au sens des distrib. rt (dx ) intensité moyenne de sauts K (x , dy) noyau de réinitialisation t → µt obéit à l’équation d’évolution µ′ = L∗ µt + rt (K − I ) t dérivée par rapport au temps 18 / 23
- 20. Plan de l’exposé Caractérisation de l’incertitude ? Introduction aux GSHS Rappel : cas des EDO et des EDS Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude L’équation de FPK généralisée aux GSHS Conclusion / perspectives Résultat numériques Références L’équation de FPK généralisée notations µt (dx ) loi de Xt (mesure de probabilité) L∗ opérateur de Fokker-Planck, au sens des distrib. rt (dx ) intensité moyenne de sauts K (x , dy) noyau de réinitialisation t → µt obéit à l’équation d’évolution µ′ = L∗ µt + rt (K − I ) t dérivée effet de par rapport la diffusion au temps 18 / 23
- 21. Plan de l’exposé Caractérisation de l’incertitude ? Introduction aux GSHS Rappel : cas des EDO et des EDS Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude L’équation de FPK généralisée aux GSHS Conclusion / perspectives Résultat numériques Références L’équation de FPK généralisée notations µt (dx ) loi de Xt (mesure de probabilité) L∗ opérateur de Fokker-Planck, au sens des distrib. rt (dx ) intensité moyenne de sauts K (x , dy) noyau de réinitialisation t → µt obéit à l’équation d’évolution µ′ = L∗ µt + rt (K − I ) t dérivée effet de effet des sauts par rapport la diffusion rt K = E rt (dx )K (x , · ) au temps 18 / 23
- 22. Plan de l’exposé Caractérisation de l’incertitude ? Introduction aux GSHS Rappel : cas des EDO et des EDS Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude L’équation de FPK généralisée aux GSHS Conclusion / perspectives Résultat numériques Références Corollaire important On en déduit l’expression de l’intensité moyenne de sauts forcés. Si µt (dx ) = pt (x ) dx au voisinage de G, avec p de classe C 2,1 , rtG (Γ) = jt , n ds , Γ∩G avec n la normale sortante sur G. 19 / 23
- 23. Retour sur l’exemple du thermostat Une vidéo a été projetée à ce stade de la présentation. Cette vidéo (≈ 2.3 Mo) est disponible sur la page « réunions » du site web du groupe SDH, à l’adresse suivante : http ://www.rennes.supelec.fr/sdh.
- 24. Plan de l’exposé Caractérisation de l’incertitude ? Introduction aux GSHS Rappel : cas des EDO et des EDS Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude L’équation de FPK généralisée aux GSHS Conclusion / perspectives Résultat numériques Références Considérations numériques Discrétisation spatiale : méthode des volumes finis conservation de la masse garantie matrices « très creuses » (densité : 10−6 – 10−8 ) Efficace pour le calcul du régime stationnaire calcul « direct » (recherche d’un vecteur propre) compris précision / temps de calcul comparable à une méthode de type Monte-Carlo intérêt de résoudre FPK : construction d’une approximation de µst , stockable donc réutilisable 21 / 23
- 25. Plan de l’exposé Introduction aux GSHS Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude Conclusion / perspectives Références Conclusion / perspectives GSHS : classe très générale de modèle stochastiques hybrides formalisme unifié, proposé par Bujorianu & Lygeros (2004) ⇒ besoin d’outils unifiés également ! Caractérisation de l’incertitude une équation de FPK généralisée a été établie unification + prise en compte de sauts forcés concept d’intensité moyenne de sauts Directions de recherche phénomène de Zénon, différentes formes de stabilité, etc. fonctions de Lyapunov multiples ? méthodes numériques 22 / 23
- 26. Plan de l’exposé Introduction aux GSHS Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude Conclusion / perspectives Références Références en lien avec le travail présenté J. Bect, Processus de Markov diffusifs par morceaux : outils analytiques et numériques. Thèse de doctorat, Univ. Paris-Sud 11, 2007. http ://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00169791/fr J. Bect, H. Baili et G. Fleury, Generalized Fokker-Planck equation for piecewise-diffusion processes with boundary hitting resets, MTNS 2006, Kyoto, juillet 2006. http ://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00016373/en J. Bect, Y. Phulpin, H. Baili et G. Fleury, On the Fokker-Planck equation for stochastic hybrid systems : application to a wind turbine model, PMAPS 2006, Stockholm, juin 2006. http ://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00016375/en 23 / 23