Partie i vibrations et oscillateurs

ETUDE
DES VIBRATIONS
1
DES VIBRATIONS

Chapitre I -
Présentation et définitions
2
Présentation et définitions

• Les objectifs à atteindre:
1) Savoir décrire le modèle de l'oscillateur harmonique et savoir l'appliquer
à l'étude des systèmes physiques oscillants.
• 2) Savoir étudier les réponses de ces systèmes, en tenant compte des
paramètres caractéristiques et des conditions initiales,
3
• 3) Savoir étudier l'énergie de tels systèmes.
Pour cela, il est recommandé d'aborder, dans l'ordre, les thèmes suivants :
– L'oscillateur harmonique.
– L'oscillateur harmonique amorti.
– L'oscillateur harmonique forcé

L'étude de ces thèmes nécessite certaines connaissances
préalables en mathématiques et en physique :
En physique,
• Le principe fondamental de la dynamique
• Les théorèmes généraux (de l'énergie cinétique, du moment cinétique).
• Les définitions des énergies cinétique, potentielle, énergie totale
mécanique ou électrique.
4
En mathématiques :
• il faut savoir résoudre les équations différentielles (du second ordre, linéaires, à
coefficients constants, sans et avec second membre)
• il faut connaître la représentation complexe d'une grandeur sinusoïdale
fonction du temps.
• Développement en série de Fourrier / transformée de fourrier

I) Introduction générale et Définitions
a) Exemples d’Oscillateurs
a) Exemples d’Oscillateurs
Ils peuvent être de types différents : mécanique, électrique, acoustique,
- la masse accrochée à un ressort, le pendule,
- le circuit électrique RLC,
- un enfant sur une balançoire,
5
- un enfant sur une balançoire,
- le balancier d'une horloge,
- Sismographe,
- haut-parleur, microphone,
- instruments de musique à vent ou à cordes,
- amortisseurs d'un véhicule,
- structure d'une molécule diatomique

b) Définitions
α) Vibrations : Petites variations provoquées par une excitation d’une
grandeur q autour d’une valeur moyenne qe.
La fonction q(t) décrit la réponse du système à l'excitation appliquée.
Quand l’évolution de l’oscillateur peut-être décrite par n variables
indépendantes, l’oscillateur possède n degrés de liberté.
Le système physique est appelé oscillateur lorsque q(t) varie
périodiquement
6
périodiquement
Un oscillateur est linéaire si son mouvement est décrit par une équation
différentielle linéaire.
L ‘oscillateur élémentaire linéaire possède un seul degré de liberté.
Un oscillateur est libre s’il oscille sans interventions extérieures pendant son
retour à l’équilibre.
Un oscillateur est forcé si une action extérieure lui communique de
l’énergie.
Un oscillateur dissipe de l’énergie quand il retourne vers son état
d’équilibre : il est amorti

Exemple de réponse d'un oscillateur :
• L'oscillation est de forme quelconque et de période T. La fonction de réponse
est telle que : q(t) = q(t+T)
7

β) Oscillateur Harmonique
- La forme des oscillations est sinusoïdale
- L'excitation appliquée au système est très brève, elle disparaît dès que le système oscille,
- Les oscillations sont dites libres.
-L'énergie totale du système se conserve au cours du temps
χ) Oscillateur Harmonique amorti
- Le système physique dissipe de l'énergie : l'énergie totale ne se conserve pas
8
- Le système physique dissipe de l'énergie : l'énergie totale ne se conserve pas
dans le temps. Le système est amorti.
- Les oscillations sont libres (l’excitation initiale n’est pas entretenue).
δ) L'oscillateur harmonique forcé
Le système est soumis à une excitation permanente produite par un
dispositif extérieur. Les oscillations sont dites forcées.

φ
φ
φ
φ) L'oscillateur anharmonique
- Le système évolue suivant une loi périodique de forme quelconque ( non
sinusoïdale)
- Pour des petites variations (approximation des petites oscillations), certains
systèmes se comportent comme des oscillateurs harmoniques. L'oscillateur est dit
anharmonique.
- On montre mathématiquement que toute oscillation périodique se décompose en une
somme d'oscillations harmoniques (décomposition de Fourrier).
9
la réponse de ce système physique est
celle d’un un oscillateur anharmonique.
Car q(t) :
- est une fonction périodique du temps,
- elle est de forme quelconque,

f
f .v pour un oscillateur rectiligne
d
M pour un systeme en rotation
dt
= −µ
θ
= −µ
r r
R
f
T
γ
γ
γ
γ) Forces de Frottement :
- Frottement visqueux: Les forces de frottement sont proportionnelles à la
vitesse et de sens contraire.
Exemple de dispositif :
10
la relation fondamentale s'écrit: P R T f m
+ + + = γ
r
r r r r
P
f
0
x
Exemple de dispositif :
Frottements solides : La force de frottement est constante et opposée
au mouvement

II) Démarche générale
1) Définir et décrire le système physique oscillant.
2) Appliquer le « principe fondamental de la dynamique »
3) Résoudre les équations différentielles du second ordre,
12
3) Résoudre les équations différentielles du second ordre,
linéaires, à coefficients constants
4) Déterminer les expressions des énergies cinétique,
potentielle élastique et mécanique.

Chapitre II -
L’Oscillateur Harmonique
13
L’Oscillateur Harmonique

Pendule élastique :
x
x’
l l
x
vide
P
O
T
m
T 2
k
= π
Période d’oscillation
Autres Oscillateurs Harmoniques
20
x
P
Pendule de Torsion:
θ
I
T 2
C
= π
I : moment d’inertie / ∆
C: Constante de torsion

Pendule pesant
G
O
θ
I
T 2 ∆
= π
OG = a
M: masse du pendule
I∆
∆
∆
∆: moment d’inertie / ∆
21
P
T 2
M g a
∆
= π
l
T 2
g
= π
Pour le pendule simple:

Résumé : Oscillateur libre
1. Oscillateur non amorti
On appelle oscillateur harmonique un système évoluant dans le temps
suivant la loi :
x = a sin( ω
ω
ω
ωο
ο
ο
οt + ϕ
ϕ
ϕ
ϕ )
ωo est la pulsation propre de l’oscillateur
22
2. Équation différentielle caractéristique
Inversement : tout système obéissant à l’équation ci-dessus est un oscillateur
harmonique.
2
2
2
x
x 0
t
∂
+ ω =
∂

II - Étude énergétique
1) pendule élastique :
On a : x = a sin (ω
ω
ω
ω.t + ϕ
ϕ
ϕ
ϕ) et v = a ω
ω
ω
ω cos (ω
ω
ω
ω.t + ϕ
ϕ
ϕ
ϕ )
l’énergie cinétique :
L’énergie potentielle:
1 1
Ec mv ² ma² ² cos ²( t )
2 2
= = ω ω + ϕ
= = ω ω + ϕ
= = ω ω + ϕ
= = ω ω + ϕ
1 1
x
0
0 Ep ( x ) k .x .dx
− = −
∫
23
L’énergie Mécanique de vibration s’écrit :
L’Energie mécanique totale est constante
2
1 1
Ep k.x ka² sin ²( t )
2 2
⇒ = = ω + ϕ
2
a²
E Ec Ep m ² cos ²( t ) k sin ( t )
2
= + = ω ω + ϕ + ω + ϕ
 
 
1 1 k
Soit : E k.a² m ²a² avec ²
2 2 m
= = ω ω =

2) Autres oscillateurs harmoniques
Pendule de torsion:
Pendule pesant :
2 2 2 2 2
m m m
1 1 1 1 1
Ec J ; Ep C E C J ² J
2 2 2 2 2
= θ = θ ⇒ = θ = ω θ = θ

2 2
1 1 1
Ec I. ; Ep M.g.a. ² E M.g.a.
= θ = θ ⇒ = θ

24
Circuit LC:
L’oscillateur harmonique non amorti est un système à énergie mécanique
constante: C’est un système conservatif
2 2
m
Ec I. ; Ep M.g.a. ² E M.g.a.
2 2 2
= θ = θ ⇒ = θ

2
m
Q
1
E
2 C
=

III) Équation différentielle à partir de l’énergie mécanique
t e
m
m
1 1
E k ² m . ² C
2 2
d E d d
k . m . 0
d d d
k
x x
x x
x x
t t t
= + +
= + =

25
k
0
m
x x
+ =

Qui est l’équation différentielle du mouvement pour un oscillateur
harmonique

Chapitre III -
L’Oscillateur Harmonique Amorti
27
L’Oscillateur Harmonique Amorti

2 . Mise en équation ( frottement fluide )
On utilise la relation fondamentale de la dynamique:
On obtient :
Avec l’équation devient :
ext
F ma
=
∑
r r
( )
e
x l l
= −
0
k
x x x
α
+ + =
2
2
( )
o
d l dl
m i k l l i mgi i
dt dt
α
= − − + −
r r r r
29
Avec
0
k
x x x
m m
α
+ + =

et
2
o
k
m m
α
λ ω
= =
2
2 0
o
x x x
λ ω
+ + =

Si λ ωo régime apériodique
Si λ = ωo : régime critique
Si λ ωo : régime pseudopériodique
La solution x(t) est alors une combinaison linéaire des deux solutions
31
La solution x(t) est alors une combinaison linéaire des deux solutions
particulières:
L’expression de x(t) dépend donc de la constante d’amortissement λ
λ
λ
λ:
:
:
:
1
1 ( ) r t
x t e
= 2
2 ( ) r t
x t e
=
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
x t A x t A x t
= +

32
Remarque : la fonction de réponse x(t) n’est ni sinusoïdale ni
périodique

Solution qui peut aussi s’écrire :
Si on suppose qu’ à l’instant t = 0, x = xo et v = 0 , on a :
t
e (1 t)
−λ
= + λ
o
x x
t
e (1 Bt)
−λ
= +
x A
34
et
On constate que x est toujours positif et la vitesse v est toujours négative,
donc x décroît de xo à 0 en un temps théoriquement infini: Il n’y a plus
d’oscillations.
t
o
v ²x t.e−λ
= −λ

Les constantes A et ϕ sont déterminées par les conditions
initiales.
Par exemple, si à t = 0 on a : x = xo ; v = - λ xo
nous obtenons : A = xo et ϕ = π/2
37
t
o
x x e cos t
−λ
= ω
Soit
Le système effectue des oscillations d’amplitude décroissante et de
« pseudo-période » T = 2π/ω

x(t)
x(t+2T)
Λ
Λ
Λ
Λ = 0.5
0.5
0.5
0.5 log(2
(2
(2
(2,6
,6
,6
,6 /
/
/
/0,8
0,8
0,8
0,8) =
) =
) =
) = 0,6
0,6
0,6
0,6
λ
λ
λ
λ = Λ/Τ = 0,1 s-1
T = (9,5 – 3)/2 = 6,25 s
42

Chapitre IV -
Oscillateur Harmonique Forcé
48
Oscillateur Harmonique Forcé

Réponse d’un oscillateur à une force excitatrice pour
différentes valeurs de la fréquence d’excitation.
La fréquence naturelle
de l’oscillateur est:
0
1
1
2 2
k
f Hz
m
ω
π π
= = =
f = 0,4 Hz f = 1,01 Hz f = 1,6 Hz
2 2 m
π π
La force excitatrice s’écrit:
0 cos(2 . . )
F F f t
π
=

2 - Étude du régime Forcé
On utilise la méthode des complexes.
( )
( )
( ) cos( ) .
o e a e o
e a
j t
x t x t x e ω ϕ
ω ϕ +
= + = ℜ
( )
( ) . e
j t
e o
x t x e ω
= ℜ
53
amplitude complexe de l’oscillateur
Pour la force d’excitation on obtient :
( )
( ) . e
j t
E e o
F t F e ω
= ℜ
( )
e o
a v e c . a
j
o o
x x e ϕ
=

A
( )
2 2
2
o o e e o
x j A
ω ω λω
− + = ⇒ ⇒
L’équation différentielle appliquée à la solution du régime forcé donne :
2 2
. 2 . . .
e e e e
j t j t j t j t
e o e o o o o
x e j x e x e A e
ω ω ω ω
ω λω ω
− + + =
54
( )
2 2
2
o
o
o e e
A
x
j
ω ω λω
=
− +

Chapitre V -
Oscillateurs Harmoniques
couplés
78
couplés

m1 m2
k1 K k2
Considérons deux oscillateurs harmoniques de longueur à vide l et de
raideurs k1 et k2 reliés par un ressort de longueur L et de raideur K.
On désigne par x1 et x2 les déplacements respectifs de m1 et m2 par rapport à
leurs positions d’équilibre.
T1 T
79
x1 x2
Considérons la masse m1 : elle est soumise aux tension T1 du ressort k1 et
T due au ressort K.
T1 = - k1.x1 T = + k2(x2 – x1)
T1 T

•Action du ressort k1: son allongement étant x1, il exerce sur m1 une force
T1 = ε.
ε.
ε.
ε. k1.x1 (ε=+/
ε=+/
ε=+/
ε=+/−
−
−
−1)
1)
1)
1)
– Si x10 le ressort k1 est allongé. Il va chercher à se raccourcir en exerçant sur
m1 une force T1 dirigée vers la gauche. T1 sera négatif et ε = - 1. Donc T1 = -
k1.x1
– Si x1 0 le ressort k1 est comprimé. Il va chercher à s’allonger en exerçant sur
m1 une force dirigée vers la droite. T1 0 et x1 0 ε = -1 l’expression est la
même: T = - k .x
80
même: T1 = - k1.x1
•Action du ressort K : son allongement étant ( x2 – x1) il exerce sur m1 une force
T = ε Κ.
Κ.
Κ.
Κ.(x2 – x1).
– Si ( x2 – x1) 0 , le ressort K est étiré et va chercher à se raccourcir en
exerçant sur m1 une force dirigée vers la droite. T est positif et donc ε = +1.
T = + K ( x2 – x1)
– Si (x2 – x1) 0 le ressort K est comprimé. Il va chercher à s’allonger en
repoussant m1. La force T2 est dirigée vers la gauche. T 0 et (x2 – x1) 0
ε = + 1. L’expression est la même.

Mise en équation :
Le PFD appliqué à m1 donne la relation :
• Masse m2: Sachant qu’elle subit la tension du ressort K et celle du ressort k2, le
même raisonnement conduit à la relation:
• 1) Cas du couplage d’oscillateurs symétriques.
2 2 2 2 2 1
m .x k .x K(x x )
= − − −

1 1 1 1 2 1
m .x k .x K(x x )
= − + −

81
Les deux oscillateurs reliés par le ressort K sont identiques:
m1 = m2= m et k1= k2 = ko .
Le système devient :
= − + −


= − − −


(1)
(2)
1 0 1 2 1
2 0 2 2 1
m.x k .x K(x x )
m.x k .x K(x x )

Résolution:
• en posant S = (x1 + x2) et D = (x1 – x2) on obtient les deux équations
découplées suivantes:
• Les solutions de ces équations sont:
ω ϕ ω φ
ω ω +
= + = +
= =
et
;
0 0
o 1 o 2
k k 2K
S S cos( t ) D D cos( t )
avec
= − = − +

et (
0 0
m.S k .S m.D k 2K ).D
82
Sachant que x1 = (S+D)/2 et x2 = (S – D)/2 on obtient finalement :
o o
1 1 2
o o
2 1 2
S D
x c o s ( t ) c o s ( t )
2 2
S D
x c o s ( t ) c o s ( t )
2 2
ω ϕ ω φ
ω ϕ ω φ
= + + +
= + − +
ω ω +
= =
;
0 0
k k 2K
1 2
m m
avec

Modes propres
Remarque : les oscillations couplées x1(t) et x2(t) ne sont
en général pas sinusoïdales
(la somme ou la différence de deux fonctions sinusoïdales de
fréquences différentes n’est pas une fonction sinusoïdale)
83
Définition: On appelle mode propre du système couplé un
mode d’oscillation pour lequel tous les paramètres ont
des mouvements sinusoïdaux de même pulsation

-Si Do = 0, alors x1(t) = x2(t) = So/2.cos(ω1t + ϕ).
Les deux oscillateurs oscillent en phase, avec la même
pulsation et la même amplitude: c’est le premier mode propre ou mode
propre symétrique.
-Si So = 0, alors x1(t) = - x2(t) = Do/2.cos(ω2t + φ).
Les deux oscillateurs oscillent en opposition de phase, avec la
84
Les deux oscillateurs oscillent en opposition de phase, avec la
même pulsation et la même amplitude. C’est le deuxième mode propre
ou mode propre antisymétrique
Remarque:
En général, il y a autant de modes propres et de pulsations propres (
c.a.d de pulsations pour lesquelles tous les oscillateurs sont en phase)
que d’oscillateurs.

2) Oscillateurs couplés dissymétriques
Les équations différentielles
Peuvent être mise sous la forme plus générale:
et
1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1
m .x k .x K(x x ) m .x k .x K(x x )
= − + − = − − −

+ =


+ =


1 1 1 1 2
2 2 2 2 1
x a .x b .x
x a .x b .x
85
a) Équations aux pulsations propres:
Les modes propres sont les solutions particulières du système qui sont sinusoïdales et
de même pulsation ω, c.a.d
En reportant ces solutions particulières dans le système d’équations:
et
i t i t
1 1 2 2
x (t) A .e x (t) A .e
ω ω
= =

•On obtient :
Qui n’a de solution non nulle que si le déterminant des coefficients de
A1 et A2 est nul, c’est-à-dire:
C’est l’équation aux pulsations propres
2
1 1 1 2
2
2 1 2 2
( a )A b A 0
b A ( a )A 0
ω
ω
 − + − =


− + − + =


2 2
1 2 1 2
( a )( a ) b b 0
ω ω
− + − + − =
86
C’est l’équation aux pulsations propres
Cette équation en ω
ω
ω
ω fournit les deux solutions ω
ω
ω
ω1 et ω
ω
ω
ω2 acceptables
(c.a.d positives) , pulsations propres du système dissymétrique couplé
Pour ω = ω
ω = ω
ω = ω
ω = ω1 : les deux oscillateurs oscillent en phase
Pour ω = ω
ω = ω
ω = ω
ω = ω2 : les deux oscillateurs oscillent en opposition de phase
Mais toujours avec des amplitudes différentes

• Exemples d’oscillateurs couplés
• Pendules simples
α
α
α
α α
α
α
α −
−
−
−α
α
α
α
α
α
α
α
87
X1(t)
m
X2(t)
m
X1(t)
m
X2(t)
m
1er mode propre ( ω1)
X1(t) = x2(t)
2eme mode propre ( ω2)
X1(t) = - x2(t)

• Pendule double
θ
θ
θ
θ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
Α
Α
Α
Α
Ο
Ο
Ο
Ο y
x
G
m
2m
Β
Β
Β
Β
88
• Corde plombée
y1
y3
y1
y2
y2

FIN « Vibrations »
89
FIN « Vibrations »

RAPPELS :
Transformée de Fourier
90

1) Développement d’une fonction périodique
en série de Fourier
Théorème : Toute fonction périodique f(t), de période T, bornée, est équivalente
à une somme infinie de sinusoïdes de fréquences f=n/T, n étant un entier
appelé « harmonique »
1 1
( ) .cos(2 . ) .sin(2 . )
∞ ∞
= =
= + +
∑ ∑
o n n
n n
f t a a nft b nft
π π
91
1
( ) cos( )
∞
=
= + ω + ϕ
∑
o n n
n
f t a c n t
[ ]
1
( ) cos sin
∞
=
= + ω + ω
∑
o n n
n
f t a a n t b n t
En posant
2 2 2 n
n n n n
n
b
c a b et Arctg
a
 
= + ϕ = −  
 
Cn0

0
0
0
c a lc u le le s c o e ffic ie n ts d e F o u rie r p a r:
1
( ).
2
( ). c o s( ).
2
( ). sin ( ).
=
=
=
∫
∫
∫
T
T
n
T
O n
a f t d t
T
a f t n t d t
T
b f t n t d t
ω
ω
92
0
( ). sin ( ).
= ∫
n
b f t n t d t
T
ω
Remarque : si f(t) paire bn = 0
si f(t) impaire an = 0
L’ensemble des valeurs an, bn ou Cn constitue le spectre de la fonction f

0
les termes ; .cos( ) ; .sin( )
sont les composantes de Fourier de f
n n
a a n t b n t
ω ω
En coordonnées spatiales (x) le D.S.F de ( ) s'écrit:
( ) .cos( ) .sin( )
∞ ∞
= + +
∑ ∑
h x
h x a a nkx b nkx
-La composante n = 1 est la composante fondamentale.
-Les autres, n = 2 , 3 ..... sont les Harmoniques
93
1 1
( ) .cos( ) .sin( )
avec 2 vecteur d'onde
= =
= + +
=
∑ ∑
o n n
n n
h x a a nkx b nkx
k π λ
2 2
2 2
0
0
1 1
1
P arseval: ( ).
2 2
∞ ∞
= =
= + +
∑ ∑
∫
T
n n
n n
a b
Identité de f t dt a
T

2) Transformée de Fourier
• Toute fonction f est décomposable en une somme infinie et
continue de fonctions sinusoïdales:
[ ]
+∞
= +
∫ ω ω ϕ ω ω
π 0
1
( ) ( )cos ( )
2
f t c t d
1
( ) ( ).exp( ).
+∞
= ∫
f t F j t d
ω ω ω
94
1
( ) ( ).exp( ).
2 =−∞
= ∫
f t F j t d
ω
ω ω ω
π
( ) est la Transformée de Fourier de :
où F f
ω
1
( ) ( ).exp( ).
2
+∞
=−∞
= −
∫t
F f t j t dt
ω ω
π
On voit que est la Transformée Inverse de
f F

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