Chap: Choix d'investissement en situation d'incertitude

[Cours de Décision Financière de Long Terme] TALEB Lotfi
Choix d’investissement en situation d’incertitude
Toutes décisions d’investissement reposent sur des prévisions relatives aux flux de
trésoreries qui caractérisent les projets envisagés. Ces prévisions peuvent êtres +ou –
probables, quantifiables et parfois totalement imprévisibles. IL est ainsi très important
lorsqu’on procède à une décision d’investissement de prendre en considération de cette
incertitude qui caractérise le projet d’investissement en question et de tenir compte de
cette incertitude dans les critères de choix.
Il est important d’abord de préciser la différence entre risque et incertitude
Le risque étant défini comme étant une situation dans laquelle une distribution de
probabilité peut être affectée à différents évènements futurs. L’avenir est alors qualifié
d’aléatoire ou encore probabilisable. Au contraire, l’incertitude implique une
méconnaissance des probabilités de survenances des différents événements.
En matière d’investissement ; le risque peut entourer plusieurs éléments de
l’investissement en particulier le capital investi, les flux de trésorerie espérés, la durée de
vie du projet, le taux d’actualisation choisi.
Ainsi l’objectif de ce chapitre est de développer les méthodes d’appréciation de prise en
considération du risque dans la décision d’investissement
I) Le cas d’un avenir probabilisable :
L’introduction de l’analyse du risque dans les problèmes d’investissement sous la
forme de distribution de probabilités associées aux différents niveaux de prévisions
permet une importante amélioration du processus de décision
A) Les méthodes approximatives du traitement du risque d’un projet
d’investissement :
Ces différentes méthodes consistent à ajuster la VAN d’un projet afin de tenir compte
de son risque. L’ajustement de la VAN s’effectue généralement suivants : les
méthodes suivantes : (1) ajustement de la durée de vie du projet (2) ajustement des
CFN futurs (3) ajustement du taux d’actualisation
1) Réduction de la durée de vie du projet :
En se basant sur le fait que les flux monétaires les plus éloignés dans le temps sont
les plus risqués, certains praticiens considèrent qu’un raccourcissement de la durée
de vie permet dès lors d’annuler le risque attaché au projet. Ainsi, plus un projet sera
jugé risqué par les gestionnaires, le nombre d’années qui sera retranché de sa durée
de vie initialement prévue.
Le calcul de la VAN s’effectue alors comme suit :
∑
−
= +
=
pn
j
j
j
r
i
CFN
VAN
0 )1(
Avec :
1
CHAPII

rVAN : la VAN ajustée au risque
n : durée de vie initialement prévue pour le projet
p : le nombre de période négligée pour tenir compte du risque (p < n)
i : le taux d’actualisation approprié pour les flux monétaires
Il faut noter que cette approche est très arbitraire et a tendance à pénaliser les projets
dont les flux monétaires les plus importants se situent au niveau des dernières années
2) Ajustement des flux monétaires : méthode de l’équivalent certain
Cette approche connue consiste à pénaliser la VAN en transformant les CFN espérés
d’un projet d’investissement en montant certain par le biais d’une série de coefficients
d’ajustement (ou de coefficient d’équivalence de certitude). Ces coefficients ont des
valeurs comprises entre 0 et 1 et varient de façon inverse avec le degré de risque des
cash-flows. LA VAN selon cette approche sera exprimée comme suit :
∑= +
=
n
t
t
t
t
i
CFNE
VAN
0 )1(
)(α
Avec : tα : coefficient d’ajustement du CFN de la période t
i : le taux d’actualisation sans risque
3) La méthode du taux d’actualisation ajusté :
Se basant sur le fait que le rendement exigé sur un investissement doit être lié au
niveau de risque encouru n certains considèrent que la pénalisation de la VAN afin de
tenir compte du risque peut se faire à travers l’ajustement du taux d’actualisation en
fonction du risque du projet. Ainsi pour tenir compte du facteur risque cette méthode
préconise d’ajouter au taux d’actualisation sans risque une certaine prime dénommée
prime de risque de la sorte que le taux d’actualisation serait :
ρ+=ik
Avec : k : le taux d’actualisation ajusté
i : le taux sans risque
ρ : une prime de risque
La formule de calcule de la VAN serait donc :
∑
−
= +
=
pn
j
j
j
k
CFN
VAN
0 )1(
Remarque : comparaison entre la méthode de l’équivalent certain et la méthode du
taux d’actualisation ajusté au risque
Pour effectuer cette comparaison, soit à considérer une situation dans laquelle le taux
d’actualisation ajusté au risque ( k ) est supposé être identique pour toutes les périodes
future et le taux sans risque ( i ) est supposé également être invariable dans le temps.
Si la méthode du taux d’actualisation ajusté au risque est la bonne, elle devra donner les
mêmes résultas que la méthode de l’équivalent de certitude. Ainsi on aura :
j
j
j
jj
k
CFN
r
CFN
)1()1( +
=
+
α
2

j
j
j
j
j
j
jj
k
r
rCFNkCFN
)1(
)1(
)1()1(
+
+
=⇒+=+ αα
Etant donnée que nous avons admis que r est le même pour toutes les périodes futures et
que k est supposé être supérieur à r, 1+jα doit être inférieur à jα .
Ainsi plus α est faible, plus l’EC est faible et donc plus le risque est important (l’évolution
du coefficient traduit le degré du risque)
Nous voyons dès lors que la méthode du taux d’actualisation ajusté au risque implique un
risque croissant alors que k est constante (elle ne tient pas compte de l’évolution du risque
dans le temps). On peut dire ainsi que la première méthode est bien supérieure à la deuxième
puisqu’elle prend en compte l’évolution du risque dans le temps lors de l’ajustement.
B) Les méthodes de mesures du risque d’un projet :
1) Notion de risque :
Le risque est associé à la dispersion de la distribution de probabilité des CFN prévu,
de sorte que plus grande est la dispersion, plus grand est le risque. La dispersion, qui
apprécie le risque, est généralement mesurée par l’écart-type dont la formule est la
suivante :
ijj
I
i
ijCFN PNFCCFNj
2
1
)(∑=
−=σ
Avec :
jNFC : le cash-flow espéré de l’année j : ∑=
I
i
ijij PCFN
1
n : durée de vie du projet avec j = 1 ;2,… ;n
I : nbre de possibilités pour les flux de chaque année avec i=1… ; I
Il est à noter que en plus de l’écart-type il existe une autre mesure de la dispersion
relative, il s’agit du coefficient de variation, qui est simplement l’écart-type de la
distribution de probabilité par rapport à son espérance mathématique.
2) Prise de décision d’investissement en présence de risque : L’espérance et
la variance de la VAN :
a) cas d’un projet uni périodique
La prise de décision d’investissement en présence de risque fait appel aux notions
d’espérance mathématique et de la variance de la VAN lorsqu’il s’agit d’un seul projet et à
la notion de covariance ou de coefficient de corrélation lorsqu’il s’agit d’une combinaison
de projets. Les formules de calculs sont donnés comme suit :
∑=
=
I
i
iiVANPVANE
1
)(
[ ]∑=
−=
I
i
ii VANEVANPVANVar
1
2
)()(
3

avec :
:iP La probabilité de réalisation de l’évènement i
iVAN : La VAN si le ième
évènement se réalise
Remarque :
1) pour plusieurs investisseurs, il semble que la risque soit souvent considéré comme étant la
probabilité d’avoir une VAN négative. Aussi, pour résoudre cette situation, on peut recourir à la
loi normale pour déterminer le projet qui minimise la probabilité d’avoir une VAN négative.
Exemple 3:
Soit deux projets A et B avec : E(VAN)A=4000 ; E(VAN)B=5200 ; 2500)( =AVANσ ;
3400)( =BVANσ
Soit à trouver la probabilité, pour chacun des projets d’avoir une VAN négative. Pour se faire on
peut standardiser les paramètres afin d’utiliser la loi normale et d’avoir les probabilités
recherchés.
En d’autre terme on peut supposer que :
))(),((
~~~
VANVANENNAV σ→
=−<=
−
<
−
=< )
)(
)(
(
)(
)(0
)(
)(
()0(
)()(
VAN
VANE
xP
VAN
VANE
VAN
VANEVAN
PVANP
XZ
σσσ )
)(
)(
(1
VAN
VANE
ZP
σ
<−
Ainsi la standardisation se fait selon la formule suivante :
)(
)(
VAN
VANEVAN
X m
σ
−
=
où : VANm : la VAN minimale acceptable , dans notre cas 0
Ainsi on a 6.1−=Ax et 53.1−=Bx
La lecture à partir de la table de la loi normale centrée réduite cumulée donne respectivement
une probabilité de 5.48% pour le projet A et 6.3% pour le projet B. Ainsi notre choix se porte
sur le projet A car c’est le projet qui minimise le risque d’avoir une VAN négative.
2) Lorsque nous comparons plusieurs projets de VAN espérée différentes mais à risque égal on
retient le projet ayant la VAN espérée la plus élevée, mais lorsqu’on compare plusieurs projets
de VAN espérée égales et de risque différents, on choisi le projet ayant le risque le plus faible
(écart-type le plus faible) .En fin si nous comparons des projets de VAN espérée différentes, la
solution à retenir dépend du degré d’aversion du décideur envers le risque. Cependant pour
faciliter la prise de décision certains analystes calculent le degré de risque par unité de rendement
espéré du projet représenté le coefficient de variation :
)(
)(
VANE
VAN
CV
σ
=
b) Cas d’un univers multi-prériodique :
4

Lorsque la durée des projets couver plusieurs périodes, il est nécessaire, en premier lieu,
d’identifier la nature de dépendance entre les flux monétaires successifs. 3 cas peuvent être
envisagés.
D’une manière générale on a :
∑ ∑∑=
−
= =′
′+
′′
+
+
+
=
n
j
n
j
n
j
jj
jjjj
j
t
kk
VANVar
0
1
0 1
2
2
)1(
2
)1(
)(
σσρσ
Avec :
jj
jj
jj
CFNCFNCov
′
′
′ =
σσ
ρ
),(
i) Indépendance des flux monétaires dans le temps : ( )00 =⇒=′ Covjjρ
Dans ce contexte d’indépendance des flux monétaire, la VAN espérée d’un projet se
calcul de la manière suivante : ∑= +
=
n
j
j
j
r
NFC
VANE
0 )1(
)( (voir démonstration)
Pour le calcul du risque la formule à utiliser est la suivante :
∑ +
= j
j
i
CFN
VAN 2
2
)1(
)(
)(
σ
σ (voir démonstration)
Avec :
jNFC

: le CFN espéré de la période j avec ∑=
=
I
i
ijij CFNPNFC
1
r : le taux d’actualisation supposé être égal au taux d’intérêt sans risque
:)(2
jCFNσ la variance des CFN de la période j avec
2
1
2
)()( ∑=
−=
I
i
jijij NFCCFNPCFNσ
ii) Dépendance totale des flux monétaire dans le temps : (ou corrélation parfaite 1=′jjσ )
Dans le contexte de dépendance totale des flux monétaires dans le temps, la formule de
la VAN espérée n’est pas affectée par cette modification d’hypothèse de la sorte que la
formule de la VAN est : ∑= +
=
n
t
j
j
r
CFNE
VANE
0 )1(
)(
)(
Alors que le risque du projet sera évalué comme suit : ∑= +
=
n
j
j
j
r
CFN
VAN
0 )1(
)(
)(
σ
σ
iii) Dépendance partielle des flux monétaires dans le temps : (ou
corrélation modérée)
5

Dans la plupart des situations rencontrées en pratique, les flux monétaires d’un projet sont
d’un point de vue statistique positivement mais imparfaitement corrélés. Pour aborder ce
problème, il faut introduire une série de distribution de probabilité conditionnelle. le calcul
de l’espérance de la VAN et l’écart-type se fait moyennant la méthode des arbres de
décision
3) La méthode des arbres de décisions :
Lorsqu’un investissement est réalisé il est rarement réversible. De ce fait toute entreprise va
alors rechercher à limiter les risques d’échec en essayant de substituer à un engagement
donné une série d’engagement limitée et s’éloigner dans le temps pour prendre des décisions
en fonction de l’information disponible à cette date.
Ainsi lorsqu’un projet d’investissement présente des choix séquentiels, l’analyse ne se limite
pas à une décision prise à t=0 mais à un ensemble de décisions successibles pour cette
raison on utilise souvent la méthode de l’arbre de décision.
La méthode des arbres de décisions permet de faciliter la présentation des prises de
décisions en fonctions des différents évènements possibles.
Elle fait intervenir deux catégories de nœuds : les nœuds décisionnels et les nœuds
d’évènements . Le premier permet de symboliser une décision à prendre entre
plusieurs possibilités alors que le deuxième représente une intervention au hasard entre plus
possibilités ayant chacune une probabilité de réalisation.
La construction de l’arbre de décision implique essentiellement trois phases essentielles :
• La phase de génération des nœuds
• La phase d’assignation des probabilités et des résultas associés aux
différents nœuds d’événements
• La phase d’évaluation des projets représentés par les différentes séquences des
nœuds décisionnels
Il s’agit enfin, de déterminer la séquence de décisions optimales cad celle qui maximise la
VAN.
4) L’analyse du risque dans le cadre de projets multiples
En théorie financière, l’entreprise est perçue comme étant un portefeuille d’actifs physico
financiers. De ce point de vue, toutes les techniques de gestion de risque et de rentabilité
peuvent êtres appliquées.
Exemple :
6

Une entreprise étudie actuellement trois projets d’investissements. En raison d’un problème
de rationnement de capital, elle doit limiter son chois uniquement à deux projets. Le tableau ci
après fournit les distributions des CF de chaque projet :
EN PB Projets
CFN(A) CFN(B) CF N(C)
Bon
Moyen
Mauvais
0.2
0.6
0.2
2500
5000
7500
3000
4000
3500
250
4500
500
E(VAN) 5000 3700 2850
)(VANσ 1581 400 2022
Dans une optique espérance-variance, on doit choisir les projets A et B. Le projet C étant
dominé, il réalise une E (VAN) inférieure et un risque supérieur. Mais en réalité on doit
raisonner en termes de combinaisons de projets parce que choisir les deux meilleurs projets
individuels ne permet pas de donner un résultat identique au choix de la meilleure
combinaison possible. Ceci est dû au fait que les E (VAN) respecte le principe d’additivité
alors que les variances ne le sont pas. Afin d’augmenter d’une part le rendement et de
minimiser le risque, on peut utiliser le principe de diversification de Markovitz et la
démarche inspirée de la théorie de portefeuille. D’autre part étant donné que les objectifs des
gestionnaires étant la maximisation de la valeur de l’entreprise, il apparaît plus judicieux
d’évaluer le risque global de l’entreprise en considérant l’impact du risque relatif au nouveau
projet.
Dans ce contexte l’ampleur de la réduction du risque dépend essentiellement du degré
d’indépendance entre les différents investissements réalisés. Afin d’établir la relation dans le
temps entre les variations des profits des investissements différents, on peut recourir à de
nouveaux concepts et instruments de mesure de risque notamment la covariance et le coefficient
de corrélation.
4-1 : La covariance :
Le concept de la covariance permet de mesurer l’évolution simultanée des rendements des
projets (par exemple des projets X et Y) selon les certaines variables notaomment l’évolution
des phases du cycle économiques. La covariance entre deux projets X et Y est calculée
comme suit :
[ ] [ ] CYYC
c
c
XXCyx PVANEVANVANEVANCov ×−×−= ∑=
)()(
1
Avec :
:XCVAN la valeur actuelle nette du projet X dans une conjoncture économique donnée
YCVAN : la valeur actuelle nette du projet Y dans une conjoncture économique donnée C
CP : la probabilité de réalisation de l’évènement C
7

C : le nombre d’état de nature retenue
E(VAN) : VAN espérée du projet
4-2 : Le coefficient de corrélation :
La covariance comme indicateur exprime de manière absolue le sens ou l’orientation des
résultats de deux grandeurs dans le temps, le coefficient de corrélation en exprime une
relation en terme relatif la dépendance entre ces deux variables à l’intérieur de la
fourchette ±1 (entre 1 et -1). L’avantage de ce critère réside non seulement dans
l’expression des relations entre les variables mais en plus en mettant l’accent sur le degré
(ou l’intensité) de leur interrelations. Le coefficient de corrélation entre deux variables X
et Y est donne comme suit :
YX
XY
XY
Cov
σσ
ρ =
)().(
),(
);( 1
ji
ji
j
VANVAN
VANVANCov
VANVAN
σσ
ρ =
Si : 1=ρ : les projets évoluent exactement dans la même direction , on dit qu’ils sont
positivement et parfaitement corrélés
Si 1−=ρ : les projets évoluent exactement en direction opposée. On dit qu’ils sont
négativement et parfaitement corrélés
Si 0=ρ : les projets évoluent indépendamment l’un de l’autre
Exemple 9 :
5) Analyse des projets d’investissements et le MEDAF :
L’analyse des projets d’investissement en utilisant le modèle d’équilibre des actifs financiers
permet de déterminer le taux d’actualisation approprié d’un projet d’investissement, c'est-à-dire
le taux de rendement minimum exigé sur un projet d’investissement en tenant compte de la
classe de risque de ce projet, notamment son risque systématique. Selon ce modèle le taux de
rendement est formulé comme suit :
[ ] pfMf rRErk β−+= )(
k : Le taux de rendement minimal acceptable pour le projet d’investissement
fr : Le taux de rendement sans risque
)( MRE : Le taux de rendement espéré du marché
8

pβ : Le coefficient bêta du projet qui apprécie le risque systématique :
)(
),(
2
M
Mp
R
RRCov
σ
Pour déterminer si un projet donné soit accepté ou non, il convient de comparer le
taux de rendement minimal ( k ) qu’exigerait le marché sur ce projet compte tenu de
son risque avec le taux de rendement interne espéré du projet
9

III) Les méthodes d’appréciation des projets d’investissement dans un avenir non
probabilisable :
Dans un tel cadre on se trouve confronté à des problèmes similaires à ceux associés à ce
qu’on appelle la théorie des jeux, chaque décision peut être considérée comme une stratégie
et la valeur du gain qui peut se réaliser dépendra de l’état de nature future qui reste tout de
même inconnue. Dans une telle situation on peut utiliser l’un des critères de décisions de la
théorie des jeux.
Exemple : Une société de production de biens de grande consommation désire accroître sa
part de marché et son profit, pour se faire elle envisage trois stratégies possibles :
S1 : lancer un nouveau produit
S2 : lancer une compagne publicitaire pour les produits existants
S3 : Pratiquer une politique de baisse de prix
Au terme de l’analyse de la concurrence, les dirigenats de la société sont amenés à considérer
que la réaction des concurrents peut ^prendre trois formes :
E1 : une forte réaction de la concurrence
E2 : une réaction modérée de la concurrence
E3 : une réaction faible de la concurrence
Après avoir analysé les conséquences financières de chaque stratégie dans le cadre de chacun
des états de nature, les dirigeants aboutissent à la matrice de gain suivante :
E1 E2 E3
S1 -60000 40000 110000
S2 -5000 10000 30000
S3 -10000 40000 80000
Quelle serait la décision à prendre ?
1) Le critère de Laplace Bayes :
Ce critère consiste à effectuer une simple moyenne arithmétique des revenus espérés
associés à chaque stratégie aux divers états de la nature puis à retenir la stratégie dont la
moyenne est la plus élevée.
Selon ce critère c’est la stratégie S3 (baisse de prix) qui devrait être retenu
Ce critère présente comme avantage une simplicité de calcul sauf que son inconvénient
majeur est qui est peu réaliste et il suppose implicitement l’attribution d’une même
probabilité à chaque état de nature alors qu’on sait qu’on se situe dans un univers
indéterminé et on ne connaît pas précisément les probabilités de réalisation de chaque
état.
10

2) Le critère de Wald ou Max-Min :
L’adoption de ce critère correspond à une attitude prudente de la part du preneur de
décision. Ce dernier cherche à identifier pour chaque stratégie possible l’état de nature qui
permet de conduire au moins bon des résultats. Pour notre cas, il cherche donc à se couvrir
en adoptant la stratégie qui est susceptible de lui fournir, si l’évolution de la concurrence est
défavorable, le résultat le moins mauvais possible (le maximum des minimums)
Stratégie Critère de Wald
S1
S2
S3
-60000
-5000 (max des min)
-10000
3) Le critère de Savage ou Min Max regret :
Comme le critère qui précède, le critère de Savage traduit une attitude de prudence de la part
du décideur (chef d’entreprise). Cette méthode consiste à identifier pour chacun des états de
nature la stratégie la plus favorable puis à évaluer le manque à gagner que présentera par rapport
à cette stratégie l’adoption de chacun des autres stratégies. Enfin à retenir la stratégie qui conduit
au plus petit des regrets (max des min)
Matrice des regrets
E1 E2 E3 Max des regrets
S1 +55000 0 0 55000
S2 0 30000 80000 80000
S3 -5000 10000 30000 30000
4) Le critère de Hurwicz :
Ce critère consiste à calculer pour chacune des stratégies une moyenne pondérée ( H) du pire
et du meilleur de ces résultats potentiels et à choisir la stratégie pour laquelle H est le plus
grand
MmH αα +−= )1(
Avec : m : le pire des résultas possibles
M : le meilleur des résultas possibles
α : un coefficient compris entre 0 et 1
Par exemple : si 5.0=α
Critère de Hurwicz
S1
S2
S3
H=25000
H=12500
H=35000
11

12
EN Prob CFN (A) CFN (B) CFN(C)
Bon
Moyen
Mauvais
0.2
0.6
0.2
2500
5000
7500
3000
4000
3500
250
4500
500
E(VAN)
)(VANσ
5000
1581
3700
400
2850
2022

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