oscillateurs harmoniques libres et oscillateurs libres amortis.pptx.ppt
- 1. II.2 Oscillateurs harmoniques libres II.2.1 Equation du mouvement Oscillations si Intégration 1 (Ecriture mathématique) Equation différentielle du second ordre linéaire , homogène et à coefficients constants On divise par A (Ecriture physique) où
- 2. Pulsation propre (rd/s) En physique: Phase à l’origine (rd) Amplitude (m) ou (rd) Temps (s) Phase (rd) Elongation (m) ou (rd) 2 harmoniques Constantes d’intégration à déterminer à partir des conditions initiales II.2.2 Equation horaire
- 3. q0 -q0 T0 /2 T0 T0 q(t) t Période propre (s) Variations de q(t) en fonction du temps t 3
- 4. . la coordonnée y Force élastique 2 forces Poids ( Variation en hauteur) ( Déformation du ressort) Epg Epe 2 énergies potentielles Ep = Epe + Epg 1 corps ( masse ponctuelle )1 énergie cinétique Ec = Ecm y K m 0 Analyse du système II.2.3 Exemple d’un oscillateur harmonique 4
- 5. 5 P T y K m 0 Position d’équilibre de m Détermination de l’équation du mouvement à partir du PFD
- 6. 6 y K m 0 Position de m en mouvement Equation horaire: Conditions initiales: Equation du mouvement: où
- 7. y K m 0 7 Energie potentielle: Détermination de l’équation du mouvement à partir de EM
- 8. 8 Système conservatif Energie cinétique: Energie mécanique: Equation du mouvement: Equation horaire: Conditions initiales: où
- 9. Sommaire II.2.3 Décrément logarithmique II.1 Introduction II.2.1 Equation du mouvement II.2 Oscillateurs linéaires libres amortis II.2.2 Equation horaire II.2.2.1 Régime apériodique II.2.2.2 Régime apériodique critique II.2.2.3 Régime pseudopériodique II.2.4 Facteur (ou coefficient) de qualité Q II Oscillateurs libres amortis
- 10. II.1 Introduction Systèmes libres amortis Amortisseurs de masse négligeable Masses ponctuelles Corps solides ayant des dimensions Ressorts de masse négligeable Systèmes libres non amortis ⁺ 10
- 11. Systèmes libres amortis sont caractérisés: d w0 pulsation propre coefficients d’amortissement (se lit petit delta) Amplitudes des mouvements s’atténuent
- 12. Equation différentielle deuxième ordre linéaire homogène à coefficients constants (écriture physique) On divise par A 12 II.2.1 Equation du mouvement II.2 Oscillateurs linéaires libres amortis
- 13. Equation caractéristique Le discriminant Le régime apériodique Le régime apériodique critique 13 Le régime pseudopériodique II.2.2 Equation horaire
- 14. 2 racines réelles négatives Amortissement fort Constantes d’intégration à déterminer à partir des conditions initiales 14 II.2.2.1 Régime apériodique
- 15. Le régime apériodique exponentielles décroissantes en fonction du temps t , Cas où le système est écarté de Q0 puis abandonné à lui même Dans tous les cas le système revient à sa position d’équilibre et s’arrête 15
- 16. Le régime apériodique Q0 ta q(t) t Point d’inflexion Valeur absolue de la pente à la tangente à la courbe↗ pour 0 <t <t a ⇒ Mvt accéléré Valeur absolue de la pente à la tangente à la courbe↘ pour t > t a ⇒ Mvt décéléré Le système revient à sa position d’équilibre sans osciller 16
- 17. 0 2 4 6 8 10 12 d < d t t2 t1 d d q(t) Le régime apériodique: Temps de retour à l’équilibre t ⇒ t2 > t1 d ↗ ⇒ t ↗ 17
- 18. Fonction linéaire en fonction du temps t exponentielle décroissante en fonction du temps t -d < 0 L’exponentielle l’emporte sur la fonction linéaire Dans tous les cas le système revient à la position d’équilibre et s’arrête 18 II.2.2.2 Régime apériodique critique
- 19. Le régime apériodique critique Q0 ta q(t) t Point d’inflexion Valeur absolue de pente à la tangente à la courbe↗ pour 0 <t <t a ⇒ Mvt accéléré Valeur absolue de pente à la tangente à la courbe↘ pour t > t a ⇒ Mvt décéléré Le système revient à sa position d’équilibre sans osciller t : Le temps de retour à l’équilibre est plus court dans ce régime. 19 où et
- 20. Amortissement faible 2 racines complexes conjuguées Constantes d’intégration à déterminer à partir des conditions initiales Pseudo-pulsation 20 II.2.2.3 Régime pseudopériodique
- 21. Le régime pseudopériodique , Le système revient à sa position d’équilibre en oscillant -Q0 e -dt Q0 e -dt Ta /2 Ta Ta Q0 q(t) t Allure de q(t) est une cosinusoïde (ou sunisoïde) amortie enveloppée par deux exponentielles t . Pseudopériode 21
- 22. Le régime pseudopériodique II.2.3 Décrément logarithmique Il mesure la décroissance logarithmique (népérien) des amplitudes à deux instants séparés de nTa où n est un nombre entier: Or waTa=2p 22
- 23. Le régime pseudopériodique t: un instant correspondant à un extremum n: est choisi de telle façon que 23 q(t2 ) t2 t q(t1 ) t1 2Ta n=2 q(t)
- 24. mesures expérimentales q(t) , q(t+nTa ) et Ta D Calcul Calcul Le régime pseudopériodique Calcul 24
- 25. II.2.4 Facteur (ou coefficient) de qualité Q Le régime pseudopériodique Energie mécanique Energie potentielle à l’équilibre Surplus d’énergie par rapport à l’équilibre chaleur Pendant le mouvement Atténuation des amplitudes 25
- 26. Le régime pseudopériodique Surplus d’énergie à t Perte d’énergie de t à t+Ta 26
- 27. Le régime pseudopériodique Or waTa=2p 27
- 30. Le régime pseudopériodique Cas de très faibles amortissements 30
- 31. Le régime pseudopériodique Cas de très faibles amortissements 31