Apostila de matemática financeira

Apostila de Matemática Financeira

Assunto:

MATEMÁTICA
FINANCEIRA

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Termos usados
i = do inglês Interest , é usado para representar os juros envolvidos em quaisquer
operações financeiras.

C = do inglês Capital , é usado para representar o Capital utilizado numa aplicação
financeira.

M = do inglês amount , é usado para representar o Montante que é o resultado da soma
do Capital com os juros.

n = nesse caso é uma incógnita (quem aprendeu equações do segundo grau usou muitas
incógnitas. Todos aqueles x, y, z são incógnitas.) referente ao período de tempo (dias,
semanas, meses, anos...) de uma aplicação financeira. Lembre-se da expressão : "levou
n dias para devolver o dinheiro..."

a.d. = abreviação usada para designar ao dia

a.m. = abreviação usada para designar ao mês

a.a. = abreviação usada para designar ao ano

d = do inglês Discount , é usado para representar o desconto conseguido numa
aplicação financeira.

N = do inglês Nominal , é usado para representar o valor Nominal ou de face de um
documento financeiro.

A = do inglês Actual , é usado para representar o valor real ou atual de um documento
financeiro em uma determinada data.

V = incógnita usada para representar o Valor Atual em casos de renda certa ou
anuidades

T = incógnita usada para representar o Valor Nominal em casos de renda certa ou
anuidades

an¬i = expressão que representa o fator de valor atual de uma série de pagamentos.

Sn¬i = expressão que representa o fator de acumulação de capital de uma série de
pagamentos.

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CONVERSÃO DE DATAS
Suponha que você faça um crediário no dia 10 e , claro, precisa calcular quantos dias
restam até o final do mês . "Ora (Pensa você) é só verificar qual dia termina o mês ( se
dia 28, 30 ou 31) e subtrair a diferença. Bico!"
Você estará , na verdade, 50% certo . Na verdade, existem 2 métodos para calcular um
intervalo entre duas datas:

Tempo exato : é o referido acima . Você verifica em que dia , exato, termina o prazo que
você tem e calcula a diferença. Por exemplo, entre 25 de abril e 27 de setembro você tem
155 dias.
Tempo aproximado ou comercial : é aquele no qual assumimos que cada mês possui 30
dias. Assim, Seguindo o intervalo de datas acima temos decorridos 5 meses de 25 de
abril a 25 de setembro ( ou seja 150 dias ) mais 2 dias até 27 de setembro e temos como
total 152 dias.

A diferença, é claro, acaba sendo mínima mas quando altas quantias estão envolvidas,
um dia faz muita diferença.

Lembre-se que , para fins de equivalência/proporcionalidade , um ano tem 12 meses e um
mês tem 30 dias .

JUROS SIMPLES
É composto da seguinte fórmula :

j = C.i.n

Exemplo

Você pediu a seu chefe um empréstimo de $ 10.000,00 e ele, que não é bobo, vai lhe
cobrar uma taxa de juros de 5% ao mês , sobre o capital inicial . 6 meses depois você
quita sua dívida. Quanto a mais você terá de pagar , a título de juros?

Aplicando a fórmula:

j : o que você quer descobrir
C:R$ 10.000,00
i:5% a.m.
n:6 meses
Logo: j=10000. 0,05.6 resultando R$ 3.000,00 de juros pagos (Whoa!). Quase um terço do
total emprestado
Cuidado com as taxas mensais supostamente baixas . Pelo exemplo acima , fica
evidenciado que mesmo taxas pequenas, se forem aplicadas por um período mais ou
menos longo,pode causar um verdadeiro prejuízo ao bolso.Um grande exemplo do dia-a-
dia? Cre-di-á-rio !

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MONTANTE (JUROS SIMPLES)

Montante nada mais é do que a soma de um capital com os juros aplicados a ele.
Seguindo o exemplo da seção anterior, o Capital inicial (principal) era de $ 10.000,00 e os
juros incidentes foram de $ 3.000,00 (ou seja , M = C+j). Logo, o Montante é de R$
13.000,00. Bico, não?

A fórmula para calcular o Montante direto é:

M = C. (1 + i.n)

Exemplo

Seu chefe, num ato de generosidade desmedida e pressionado pelo Sindicato, informou
que, no mês que vem, dará um aumento de 3% no salário de todos os funcionários .
Supondo-se que você ganhe $ 1.100,00 , para quanto vai o seu salário?

Aplicando a fórmula =>

M = o que você quer descobrir
C=1.100,00
i=3% a.m.
n=1 mês
Logo: M=1100. (1 + 0,03.1) resultando $ 1.133,00 , o que já dá para pagar um cineminha
ou então comprar mais alguns lanchinhos no McDonald's para a criançada. (eheheheh)...

DESCONTO COMERCIAL SIMPLES

O desconto é aplicado quando um empréstimo é saldado antes do vencimento previsto e,
claro, desde que esse desconto esteja previsto em contrato.
A fórmula é:

d = N.i.n

Exemplo

Qual o desconto de um título no valor de R$ 50.000,00, se ele for pago 2 meses antes do
vencimento à uma taxa de 5,5 % a.m.?


d : o que você quer saber
N :50.000,00
i :5,5% - 0,055

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n:2
Logo : 50000 . 0,055 . 2 = > R$ 5.500,00 de desconto

VALOR ATUAL / NOMINAL

O cálculo do valor atual está para o Desconto Simples como o Montante para o cálculo de
Juros Simples , ou seja, é o valor final após calcular o desconto.

Seguindo o exemplo da seção anterior, o Valor Nominal do título era de R$ 50.000,00 e o
desconto incidente foi de $ 5.500,00 ( ou seja , A = N-d ). Logo, o Valor Atual é de $
44.500,00. Bico, não?

A fórmula para o cálculo direto do Valor Atual é:

A = N. (1-i.n)

Exemplo

Após receber sua devolução do I.R., você resolve quitar de uma vez as suas parcelas
restantes do seu consórcio, num valor total de $ 70.000,00. Faltam 5 parcelas mensais e
o desconto será de um 1% a.m. .Quanto você terá de pagar em cash ?


A = o que você quer descobrir
N=70.000,00
i=1% a.m.
n=5 meses

Logo: A=70000. (1 - 0,01.5) resultando $ 66.500,00 .

TAXAS EQUIVALENTES
Em linguagem simples, são duas taxas ou mais taxas que, quando aplicadas, em
determinado lapso de tempo em determinada quantia têm como resultado o mesmo valor.

Digamos assim: você tem uma aplicação que rende 1 % a.m. se você aplicar durante 6
meses . E você tem outra que rende 12 % a.a. se você aplicar durante um ano. Qual é
mais vantajosa? É tudo a mesma coisa , ou seja, elas são equivalentes, ou não? Ou será
que é melhor pagar antecipadamente uma dívida ou aplicar o dinheiro e pagá-la no
vencimento previsto?

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Muitas vezes você vai ouvir sobre Taxas Nominais, Taxas Efetivas, Taxas Reais e
Aparentes. Mas, afinal, do que se trata tudo isso?

Vamos lá:

Taxa Nominal
- é quando o período de formação e o período de incorporação de juros ao Capital não
coincide com aquele a que a taxa está referenciada.
- quando você diz, por exemplo, que uma aplicação é de 35% ao ano só que a
capitalização é mensal ou que a aplicação financeira é de 0,85% ao mês só que a
capitalização é diária, como os FIFs ou FAQs, de capitalização diária, dos bancos.

Taxa Efetiva
- quando o período de formação e o período de incorporação de juros ao Capital
coincidem com aquele a que a taxa está referenciada.
- quando você diz, por exemplo, que uma aplicação é de 1 % ao mensal e capitalização é
mensal, como a poupança.
Taxa Real
- é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período. Seguindo o exemplo da
poupança, quando o Governo diz que a poupança tem um rendimento real de 0,5% ao
mês (taxa aparente), significa que seu dinheiro foi corrigido primeiro pela inflação do
período e sobre este montante foi aplicado 0,5%.

Equivalência entre duas taxas no regime de juros simples

É só pegar a taxa e multiplicá-la (ou dividí-la) pelo período correspondente ao que deseja
descobrir.

Exemplo :
você tem uma taxa de 5% a.m. e quer saber quanto é equivalente ao ano. Um ano tem 12
meses então é só multiplicar 5% por 12 e você tem 60% a.a.
O inverso também é verdadeiro : você tem uma taxa de 15% a.m. e quer saber quanto é
ao dia . É só dividir 15% por 30 dias e você tem 0,5% a.d.

Equivalência entre duas taxas no regime de juros composto

Se você quer passar de uma unidade de tempo "menor" para uma "maior" , como de mês
para ano, você eleva a taxa de juros pelo número de períodos correspondente. Se for o
contrário, como por exemplo de ano para mês, você eleva ao inverso do período .

De a. m. para a.a.= > ia = (1+im)12 -1
De a.d. para a.m. = > im = (1+id)30 -1

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De a.d. para a.a. = > ia = (1+id)360 -1
De a.a. para a.m. => im = (1+ia)1/12 -1
De a.m. para a.d. = > ia = (1+im)1/30 -1
De a.a para ad. = > id = (1+ia)1/360 -1

Exemplo :

você tem uma taxa de 24% a.a. e quer saber quanto é equivalente ao mês. Usando a
fórmula dá aproximadamente 1,81% a.m.
Faça uma prova de confirmação : use as duas taxas sobre um valor simples como R$
1.000,00 e veja se o resultado é igual.

Equivalência entre uma aplicação e um desconto no regime de juros simples

Há ocasiões em que será necessário verificar se a taxa de juros aplicada a um capital e a
taxa de juros aplicada para fins de desconto são equivalentes.
Isso é fundamental para decidir se vale a pena pagar antes, aplicar , reinvestir , etc..
A fórmula para determinar uma taxa equivalente é :

Se você tem a taxa de desconto e quer descobrir a taxa de juros correspondente:

i / 1- i.n

Se você tem a taxa de juros para aplicação e quer descobrir a taxa de desconto
correspondente:

i / 1+ i.n

Exemplo:
Vamos pegar um capital de $ 60.000,00 investido a juros simples de 8% a.m. por 3
meses. Qual a taxa de desconto simples equivalente ?
Usando a fórmula : i / 1+ i.n = > 0,08 / 1,08*3 = >0,0645

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Ou seja 6,45% a.m. de desconto é equivalente a 8% a.m. para aplicação, em regime de
juros simples, num prazo de 3 meses.

JUROS COMPOSTOS

Os juros compostos referem-se às situações em que os juros são integrados ao Capital, a
cada cálculo.

Para facilitar, vamos pegar um exemplo clássico: Caderneta de Poupança. A cada mês os
juros são incorporados ao Capital e no próximo mês os juros incidirão sobre esse
montante e assim sucessivamente.Nos caso dos juros compostos, o resultado é o próprio
Montante. A fórmula é:

Cn=C. (1 + i)n
Exemplo

Uma aplicação bancária está oferecendo juros fixos de 3% a.m. por 6 meses, sobre um
valor mínimo de $ 10.000,00. Quanto renderá ao final desse período?
Cn ou M - o que você quer saber
C - 10.000,00
i - 3 % - 0,03
n-6
Logo : 10000. (1+0,03)6 => 11.940,52.

DESCONTO COMPOSTO
O conceito de desconto em juro composto é similar ao de desconto em juro simples. A
fórmula é:

A= N. 1/ (1+i)n
No final deste texto existe uma tabela com o cálculo dos fatores (1+i)n.

Exemplo

Suponhamos que você quer descontar um título de $ 25.000,00 , 2 meses antes do
vencimento, de um banco que utiliza uma taxa de juro composto de 3% a.m.Calcule o
valor atual do título .


A - o que você quer saber
N - 25.000,00

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i - 3 % - 0,03
n-2
Logo : 25000.1/ (1+0,03)2 => 23.564,90

RENDAS CERTAS OU ANUIDADES

Anuidades ou rendas certas é o nome que se dá aos pagamentos sucessivos tanto a
nível de financiamentos quanto de investimentos.

Se a renda possui um número finito de termos será chamada de temporária caso
contrário é chamada de permanente.
Agora, se os termos da renda certa forem iguais é chamada de renda certa de termo
constante ou renda certa uniforme; senão é uma renda certa de termo variável

Finalmente, quando o período entre as datas correspondentes aos termos tiverem o
mesmo intervalo de tempo , diz-se que a renda certa é periódica ; caso contrário é não
periódica.

Exemplo

- Um financiamento de casa própria é um caso de renda certa temporária, de termo
variável (sujeito à variação da TR) e periódica.
- Um financiamento de eletrodoméstico é um caso de renda certa temporária, de termo
constante (você sabe quanto pagará de juros) e periódica.
- Já a caderneta de poupança pode se considerar como um caso de renda certa perpétua
(pelo menos enquanto o dinheiro estiver à disposição para aplicação ), de termo variável
e periódica.

As rendas periódicas podem ser divididas em :
Postecipadas
Antecipadas
Diferidas

As Postecipadas são aquelas na qual o pagamento no fim de cada período e não na
origem.
Exemplo: pagamento de fatura de cartão de crédito

As Antecipadas são aquelas na qual os pagamentos são feitos no início de cada período
respectivo.
Exemplo: financiamentos com pagamento à vista

E as Diferidas são aquelas na qual o primeiro pagamento é feito após um determinado
período.
Exemplo: promoções do tipo, compre hoje e pague daqui a x dias
Os cálculos envolvendo renda certa lembram os cálculos de Juros Compostos e
Descontos Compostos comentados em capítulos anteriores.

Em linguagem leiga,a diferença entre esses e os casos de Renda Certa , é que nesse

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último você calcula quanto teve de juros , sobre uma base de cálculo fixa, podendo a
mesma ser dividida em n parcelas ; no caso dos Juros Compostos e Descontos
Compostos, a base de cálculo varia por período.

CALCULANDO VALOR ATUAL EM CASOS DE RENDAS CERTAS
Trabalharemos aqui com cálculos de renda certas do tipo periódicos, de termos
constantes e temporários, os quais são , usualmente, os mais pedidos em concursos.

Para se calcular o Valor Atual num caso de Rendas Certas, a fórmula a ser utilizada
depende de ser postecipada , antecipada ou diferida. Assim , se for:

Postecipada a fórmula é : V=T.an¬i

Antecipada a fórmula é : V=T+T.an-1¬i

Diferida a fórmula é : V=T.an¬i/(1+i)m

m é sempre uma unidade menor do que a se deseja calcular, ou seja, se a venda é
diferida de 3 meses, m será 2 .

Para saber o valor de an¬i, você pode:
-usar as tabelas
-calcular usando a fórmula (1+i)n-1/i(1 + i )n.
Exemplo

Um carro é vendido a prazo em 12 pagamentos mensais e iguais de $2.800,00 (num total
de $ 36.000,00), sendo a primeira prestação no ato da compra, ou seja, o famoso " com
entrada" , ou ainda, um caso de renda certa antecipada. Sendo que a loja opera a uma
taxa de juros de 8% a.m. , calcule o preço à vista desse carro.
n=12
T=2800
V=2800+2800.a11¬8%=>$ 22.789,10

Outro exemplo

Um dormitório é vendido em 4 prestações de $ 750,00, com o primeiro pagamento para 3
meses após a compra (ou seja, esse é um caso de diferida) Sabendo que a loja trabalha
com juros de 6% a.m. , calcule o valor à vista .
n=4
T=750
m=2

10

i= 6%
V=750.a4¬6%/(1+.06)2=>750.3,465106/1.1236=>$2.312,95

CALCULANDO O MONTANTE EM CASOS DE RENDAS CERTAS
Como você deve se lembrar, montante nada mais é do que a somatória dos juros com o
capital principal. No caso de rendas certas , a fórmula é dada por:

M=T.Sn¬i

Para saber o valor de Sn¬i você pode:
-usar as tabelas
-calcular usando a fórmula (1+i)n-1/i.

Exemplo
Calcule o Montante de uma aplicação de $ 100,00 , feita durante 5 meses, a uma taxa de
10% a.m.
Aplicando a fórmula (esse é um caso de postecipada, porque o primeiro rendimento é um
mês após a aplicação) :
n=5
T=100
i=10% a.m.
M=100.S5¬10%=>$ 610,51

Quando for uma situação de

antecipada : subtraia 1 de n

m
diferenciada : após determinar Sn¬i, divida o resultado por (1+i)

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE
Neste sistema, o devedor obriga-se a restituir o principal em n prestações nas quais as
cotas de amortização são sempre constantes. Ou seja, o principal da dívida é dividido
pela quantidade de períodos n e os juros são calculados em relação aos saldos existentes
mês a mês. A soma do valor de amortização mais o dos juros é que fornecerá o valor da
prestação.

Não há necessidade de fórmulas complicadas mas você precisará montar uma planilha
em situações de períodos mais ou menos longos. Esse tipo de empréstimo é usado pelo

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SFH e também, em certos casos, em empréstimos às empresas privadas através de
entidades governamentais.

Exemplo

Na compra de um apartamento de $ 300.000,00, você faz um financiamento em um
banco com juros de 4% a.m., a ser pago em 5 meses. Calcule a prestação mensal.

O valor da amortização é calculado dividindo-se o principal pela quantidade de períodos,
ou seja, 300.000 por 5, o que perfaz 60.000
Os juros são calculados sobre os saldos da prestação desta forma:

1º mês 300.000 * 4% = 12.000,00
2º mês 240.000 * 4% = 9.600,00
3º mês 180.000 * 4% = 7.200,00
4º mês 120.000 * 4% = 4.800,00
5º mês 60.000 * 4% = 2.400,00

Os saldos são calculados subtraindo-se apenas o valor da amortização. Por exemplo, no
primeiro mês você pagará $ 72.000,00 de prestação mas do saldo devedor será subtraído
apenas o valor da amortização que é $ 60.000,00.

Ou seja, você ao final você pagará $ 336.000,00 em 5 prestações, sendo a primeira de $
72.000,00 , a segunda de $ 69.600,00 , a terceira de $ 67.200,00 , a quarta de $ 64.800 e
a quinta de $ 62.400,00. Disso, $ 300.000, 00 corresponde ao principal e $ 36.000,00 aos
juros.

SISTEMA PRICE DE AMORTIZAÇÃO
Batizado em homenagem ao economista inglês Richard Price, o qual incorporou a teoria
dos juros compostos às amortizações de empréstimos, no século XVIII, é uma variante do
Sistema Francês.

O sistema Price caracteriza-se por pagamentos do principal em prestações iguais
mensais, periódicas e sucessivas. A prestação é calculada pela fórmula :

T. an¬i

Os juros são calculados sobre o saldo devedor e o valor da amortização é a diferença
entre o valor dos juros e da prestação.

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Exemplo
Na compra de um apartamento de R$ 300.000,00, você faz um financiamento em um
banco com juros de 4% a.m., a ser pago em 5 meses.Calcule a prestação mensal:

F= T. an¬i
300000=T. a5¬4%
T=67.388,13
Ou seja, ao final você pagará R$ 336.940,65 em 5 prestações, correspondente R$
300.000,00 ao valor de amortização e R$ 36.940,65 aos juros .

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTA (SAM)
Esse sistema é baseado no SAC E no Sistema Price. Nesse caso, a prestação é igual à
média aritmética entre as prestações dos dois outros sistemas, nas mesmas condições.

Exemplo

Na compra de um big de um apartamento de R$ 300.000,00, você faz um financiamento
em um banco com juros de 4% a.m., a ser pago em 5 meses.Calcule a prestação mensal:

Esse problema já foi resolvido pelos outros dois sistemas, logo, tudo o que se tem a fazer
é somar os valores das prestações dos dois casos e dividir por dois .

Ou seja, você ao final você pagará $ 336.470,34 em 5 prestações,divididas da seguinte
forma :
1ª $ 69.694,06
2ª $ 68.494,07
3ª $ 67.294,07
4ª $ 66.094,07
5ª $ 64.894,07

Disso, $ 300.000,00 corresponde ao principal e $ 36.470,34 aos juros.

SISTEMA AMERICANO
Neste sistema, o devedor obriga-se a devolver o principal em um único pagamento,
normalmente ao final, enquanto os juros são pagos periodicamente. Nesse caso , não
existem cálculos complexos. Se for uma taxa de juros fixa, basta usar um cálculo de juros
simples que você terá o total de juros, dividindo o mesmo pelo período terá os
pagamentos mensais

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Exemplo:
Na compra de um apartamento de $ 300.000,00, você faz um financiamento em um
banco com juros de 4% a.m., a ser pago em 5 meses.Calcule a prestação mensal:

Calculando:
300.000 *4%*5=>60.000,00
Ou seja, você ao final você pagará $ 360.000,00 em 5 prestações, correspondendo $
300.000,00 ao valor de amortização, paga de uma única vez ao final do período e $
60.000,00 de juros, pagos em 5 prestações iguais de $ 12.000,00

Há casos em que o cliente , não desejando pagar de uma só vez o valor do principal,
negocia com o banco a criação de um fundo de amortização denominado SINKING FUND
de forma que, ao final do período, o total de fundo seja igual ao valor a pagar . Um tipo de
caderneta de poupança forçada vamos assim dizer.

A prestação é calculada pela fórmula :

M=T. Sn¬i

Ou se você preferir, divida o principal pelo número de prestações, que você terá o valor
do depósito mensal a ser feito.

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Fator de Acumulação de Capital
an= (1+i)n
n i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10
%

1 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,1
100 200 300 400 500 600 700 800 900 000
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 1,0 1,0 1,0 1,0 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,2
201 404 609 816 025 236 449 664 881 100
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 1,0 1,0 1,0 1,1 1,1 1,1 1,2 1,2 1,2 1,3
303 612 927 248 576 910 250 597 950 310
0 1 3 6 3 2 4 1 3 0

4 1,0 1,0 1,1 1,1 1,2 1,2 1,3 1,3 1,4 1,4
406 824 255 698 155 624 108 604 115 641
0 3 1 6 1 8 0 9 8 0

5 1,0 1,1 1,1 1,2 1,2 1,3 1,4 1,4 1,5 1,6
510 040 592 166 762 382 025 693 386 105
1 8 7 5 8 3 5 3 2 1

6 1,0 1,1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,5 1,6 1,7
615 261 940 653 401 185 007 868 771 715
2 6 5 2 0 2 3 7 0 6

7 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9
721 486 298 159 071 036 057 138 280 487
4 9 7 3 0 3 8 2 4 2

8 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,7 1,8 1,9 2,1
828 716 667 685 774 938 181 509 925 435
6 6 7 7 6 5 9 3 6 9

9 1,0 1,1 1,3 1,4 1,5 1,6 1,8 1,9 2,1 2,3
936 950 047 233 513 894 384 990 718 579
9 9 7 1 3 8 6 0 9 5

10 1,1 1,2 1,3 1,4 1,6 1,7 1,9 2,1 2,3 2,5
046 189 439 802 288 908 671 589 673 937
2 9 2 4 9 5 5 2 6 4

11 1,1 1,2 1,3 1,5 1,7 1,8 2,1 2,3 2,5 2,8
156 433 842 394 103 983 048 316 804 531
7 7 3 5 4 0 5 4 3 2

Tabelas
Fator de Valor Atual de uma série de Pagamentos

an¬i=(1+i)n-1 / i*(1+i)n
n/i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10

15

%

1 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9
900 803 708 615 523 433 345 259 174 090
99 92 74 38 81 96 79 26 31 91

2 1,9 1,9 1,9 1,8 1,8 1,8 1,8 1,7 1,7 1,7
703 415 134 860 594 333 080 832 591 355
95 61 70 95 10 93 18 65 11 37

3 2,9 2,8 2,8 2,7 2,7 2,6 2,6 2,5 2,5 2,4
409 838 286 750 232 730 243 770 312 868
85 83 11 91 48 12 16 97 95 52

4 3,9 3,8 3,7 3,6 3,5 3,4 3,3 3,3 3,2 3,1
019 077 170 298 459 651 872 121 397 698
66 29 98 95 51 06 11 27 20 65

5 4,8 4,7 4,5 4,4 4,3 4,2 4,1 3,9 3,8 3,7
534 134 797 518 294 123 001 927 896 907
31 60 07 22 77 64 97 10 51 87

6 5,7 5,6 5,4 5,2 5,0 4,9 4,7 4,6 4,4 4,3
954 014 171 421 756 173 665 228 859 552
76 31 91 37 92 24 40 80 19 61

7 6,7 6,4 6,2 6,0 5,7 5,5 5,3 5,2 5,0 4,8
281 719 302 020 863 823 892 063 329 684
95 91 83 55 73 81 89 70 53 19

8 7,6 7,3 7,0 6,7 6,4 6,2 5,9 5,7 5,5 5,3
516 254 196 327 632 097 712 466 348 349
78 81 92 45 13 94 99 39 19 26

9 8,5 8,1 7,7 7,4 7,1 6,8 6,5 6,2 5,9 5,7
660 622 861 353 078 016 152 468 952 590
18 37 09 32 22 92 32 88 47 24

10 9,4 8,9 8,5 8,1 7,7 7,3 7,0 6,7 6,4 6,1
713 825 302 108 217 600 235 100 176 445
05 85 03 96 35 87 82 81 58 67

Fator de Acumulação de Capital de uma série de Pagamentos

Sn¬i = (1+i)n-1 / i

16

n/i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10
%

1 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0
000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
00 00 00 00 00 00 00 00 00 00

2 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,1
100 200 300 400 500 600 700 800 900 000
00 00 00 00 00 00 00 00 00 00

3 3,0 3,0 3,0 3,1 3,1 3,1 3,2 3,2 3,2 3,3
301 604 909 216 525 836 149 464 781 100
00 00 00 00 00 00 00 00 00 00

4 4,0 4,1 4,1 4,2 4,3 4,3 4,4 4,5 4,5 4,6
604 216 836 464 101 746 399 061 731 410
01 08 27 64 25 16 43 12 29 00

5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,1
010 040 091 163 256 370 507 666 847 051
05 40 36 23 31 93 39 01 11 00

6 6,1 6,3 6,4 6,6 6,8 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7
520 081 684 329 019 753 532 359 233 156
15 21 10 75 13 19 91 29 35 10

7 7,2 7,4 7,6 7,8 8,1 8,3 8,6 8,9 9,2 9,4
135 342 624 982 420 938 540 228 004 871
35 83 62 94 08 38 21 03 35 71

8 8,2 8,5 8,8 9,2 9,5 9,8 10, 10, 11, 11,
856 829 923 142 491 974 259 636 028 435
71 69 36 26 09 68 803 628 474 888

9 9,3 9,7 10, 10, 11, 11, 11, 12, 13, 13,
685 546 159 582 026 491 977 487 021 579
27 28 106 795 564 316 989 558 036 477

10 10, 10, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 15,
462 949 463 006 577 180 816 486 192 937
213 721 879 107 893 795 448 562 930 425

CUSTO REAL E EFETIVO DAS OPERAÇÕES DE FINANCIAMENTO

Noções básicas

No mundo real, existe uma grande confusão a respeito do significado da ``taxa de juro''
que está sendo utilizada na operação financeira.
A taxa de juro que é especificada em contratos nem sempre corresponde à taxa de juro
que está sendo efetivamente praticada na operação financeira. Isso ocorre, de um lado
porque o procedimento utilizado para definição da operação financeira resulta numa taxa
de juro efetiva que pode diferir substancialmente da taxa especificada no contrato. A

17

utilização ou não de valores reais no cômputo dessa taxa efetiva, define se essa taxa
efetiva é nominal ou real.
Utilizaremos a terminologia introduzida no próximo quadro para distinguir mais claramente
as noções existentes.

18

De um modo geral podemos encontrar a taxa de juros efetiva real a partir da taxa de
inflação e da taxa efetiva nominal utilizando o resultado apresentado no próximo quadro.

20

Esse último resultado pode ser facilmente provado por argumentos elementares
apresentados a seguir.
Se VFR representa o valor final em termos reais em valor do período inicial e VI o valor
inicial, temos pela definição de taxa de juro real que

mas, se VF representa o valor final em termos nominais,

dado que i representa a taxa de inflação do período. Logo

mas, por definição,

Se substituirmos esse resultado na expressão anterior e re-arranjarmos os termos
chegamos ao resultado desejado:

21

DESCONTO DE TÍTULOS
Um exemplo comum que ilustra bem a questão associada a juros contratuais e efetivos é
o desconto comercial de títulos.
É uma prática comercial usual o desconto de títulos correspondentes a um valor a ser
recebido em um dado período futuro. Os possuidores desses títulos freqüentemente
desejam vendê-los no momento presente para investidores/instituições financeiras que
aceitam esperar para recebimento do valor estipulado no título na data do pagamento, o
qual é chamado valor de resgate.
A compra desses títulos usualmente é efetuada por um valor calculado a partir do valor de
resgate do título, do qual é subtraído um desconto, que é freqüentemente calculado em
termos percentuais.
No desconto comercial ou bancário, também chamado de desconto ``por fora'', que é o
mais comumente utilizado no Brasil, a taxa de desconto é calculada sobre o valor de
resgate. A taxa efetiva nesse caso é sempre superior à taxa de desconto definida.
Um exemplo comum de operações desse tipo é o desconto de ``duplicatas", que
correspondem a uma promessa de pagamento de um valor determinado por uma
empresa ou pessoa física para um determinado período.

Deve-se ter cuidado com o desconto de títulos que pressupõem a aplicação dos juros
sobre o capital final, como no desconto comercial de duplicatas da forma usual, pois os
juros efetivamente pagos são superiores aos estabelecidos nominalmente na operação de
desconto. Existe também o conceito de desconto ``racional'', menos utilizado na prática,
no qual a taxa de desconto é definida de forma a ser idêntica a taxa efetiva da operação.

22

PRAZOS EXATOS, COMERCIAIS E BANCÁRIOS
A determinação do prazo considerado para uma operação financeira é algo fundamental
para determinação exata dos valores devidos através do processo de capitalização.

23

O leitor deve ter bastante cuidado em examinar a definição do tipo de prazo considerado
no contrato associado à operação financeira em questão dada a influência direta deste
sobre o computo do juro devido.

EMPRÉSTIMO E FINANCIAMENTO
Nesta seção apresentaremos alguns métodos comuns utilizados para o pagamento de
dívidas que usualmente refletem empréstimos ou financiamentos. Esses métodos
envolvem a aplicação prática de alguns conceitos que desenvolvemos nas seções
anteriores.
Num contexto simples, uma dívida é constituída, de um lado, do recebimento de uma

quantia pelo tomador do empréstimo no início do período inicial, chamado de período
0, quantia essa que chamaremos de capital inicial. De outro lado a dívida é caracterizada
pelo método utilizado para reembolso desse valor ao provedor dos recursos através de
prestações periódicas. Esse provedor dos recursos é usualmente uma instituição
financeira como um banco, por exemplo.
Essas prestações são geralmente constituídas de duas parcelas: uma para restituição do
capital inicial tomado, a qual é chamada de parcela de amortização, e outra para
pagamento do juro sobre o saldo devedor da dívida.
Na prática, o ``custo'' do empréstimo ou financiamento pode incluir, além do juro para
remuneração do capital, impostos, encargos diversos, seguro e outros custos indiretos
(manutenção de um saldo médio em conta corrente, por exemplo). Pode, também, incluir
algum processo para correção monetária do saldo devedor.

24

Toda a dívida formal contraída junto a uma instituição financeira usualmente envolve um
contrato entre as partes envolvidas. Nesse contrato são definidos os procedimentos
específicos que deverão ser utilizados para recebimentos e pagamentos. As condições
contratuais estabelecidas para definição do método a ser utilizado para pagamentos
especificam detalhadamente a operação. Essas condições podem ser relativamente
complexas em muitos casos.

25

Apresentaremos, a seguir, alguns métodos gerais, usualmente citados em contratos:
• Método de amortização constante.

• Método francês.

• Método misto e misto generalizado.

• Amortização pela ``tabela Price''.

• Método americano.

• Método alemão.

Ao final da descrição desses métodos apresentamos uma análise detalhada da questão
de taxas contratuais e efetivas nos diversos métodos e princípios utilizados para
incorporação de correção monetária nos métodos de pagamento.
Na seção que trata de estudos de caso, apresentaremos alguns exemplos que
consideram situações mais realistas que incluem encargos, correção monetária e outras
complexidades usualmente consideradas em situações práticas.

MÉTODO DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE
Nesse método de pagamento o princípio geral utilizado é a utilização de parcelas de
amortização com valor constante. Essas parcelas são definidas pela divisão do saldo
devedor inicial pelo número de períodos correspondente ao prazo da operação. O juro
devido a cada período é calculado diretamente a partir do saldo devedor existente ao final
do período anterior. As prestações, nesse caso, não tem valor constante, como ocorre no
método francês que será visto na próxima seção.

26

No método de amortização constante, a existência de um prazo de carência de k
períodos para início do pagamento das amortizações pode ser tratado de três formas
alternativas.

Na primeira alternativa o pagamento das amortizações é postergado k períodos
(carência) e durante esse período as prestações incluirão somente o juro sobre o saldo
devedor existente. Uma descrição mais detalhada dessa alternativa é apresentada no
quadro introduzido a seguir.

27

Na segunda alternativa para inclusão de um prazo de carência de k períodos para início
dos pagamentos, o juro é capitalizado ao saldo devedor durante a carência e pago
integralmente no período que segue a esse prazo. Uma descrição mais detalhada dessa
alternativa é apresentada no quadro introduzido a seguir.

29

Na terceira alternativa para inclusão de um prazo de carência de k períodos para início
dos pagamentos, o juro é capitalizado ao saldo devedor durante a carência incluído no
saldo devedor para pagamento após a carência. Uma descrição mais detalhada dessa
alternativa
é

apresentada no quadro introduzido a seguir.

30

MÉTODO FRANCÊS
O método francês em lugar de utilizar parcelas de amortização constantes, como no
método de amortização constante descrito na seção anterior, utiliza prestações
constantes. Esse método é formalmente introduzido no quadro apresentado a seguir.

31

No método francês de amortização, a expressão para o valor fixo da prestação P
depende do computo do valor da série:

que é uma função de j, a taxa de juros considerada. Se o número de termos dessa série
for grande, o cálculo ``braçal'' do valor de s seria tedioso. Se observarmos, contudo, que

onde , podemos achar o valor geral de S em função de x usando o seguinte
truque: se subtrairmos s de s multiplicado por x chegamos a

ou

Substituindo na expressão que define P chegamos a

32

A consideração de períodos de carência não oferece nenhuma dificuldade para aplicação
do método francês. Nesse caso, consideraremos duas situações. No primeiros caso, para
uma carência de k períodos, os pagamentos durante a carência incluirão somente o juro
sobre o saldo devedor. Após os k períodos de carência, tudo se processará de forma
idêntica à aplicação do método francês sem consideração de carência.

35

Alternativamente, se nenhum pagamento é feito durante os períodos de carência, o juro
devido a cada período é capitalizado ao saldo devedor. O valor da prestação constante é
então calculada sobre o saldo devedor, que nesse caso inclui os juros capitalizados a
cada período.

36

MÉTODO MISTO E MISTO GENERALIZADO
No método misto, que é utilizado no Brasil pelo Sistema Financeiro de Habitação, as
amortizações, juros e prestações são obtidas a partir da média aritmética entre os valores
computados pelo método de amortização constante e pelo método francês.
A obtenção da planilha financeira para o método misto pode ser realizada a partir da
planilhas calculadas utilizando-se o método de amortização constante e o método
francês. Cada célula da planilha do método misto é calculada pela média aritmética das
células correspondentes das outras 2 planilhas. O próximo exemplo ilustra o
procedimento descrito acima.

O método misto torna as prestações um pouco mais leves no início dos pagamentos e um
pouco mais pesadas no final dos pagamentos quando comparadas às prestações
derivadas do método de amortização constante.
Se em lugar de uma média aritmética simples utilizarmos um fator de ponderação , um
número real qualquer, para cálculo de uma média ponderada entre o método francês e o
método de amortização constante, podemos gerar uma família de métodos mistos que é
dependente do valor de . A esse método chamaremos método misto generalizado. As
prestações, amortizações e juros nesse caso seriam calculados a partir do uso de
como fator de ponderação para as células das planilhas dos dois métodos utilizando:

37

onde, é a célula da linha i e coluna j da planilha financeira do método misto e e
são as células correspondentes nas planilhas do método francês e do método de
amortização constante. O caso mais comum considera

e corresponde à média aritmética entre os dois métodos. O caso em que
corresponde ao método francês e o caso em que ao método de amortização
constante.
Num resultado que demonstrado nas próximas seções, verifica-se que a taxa de juros
efetiva e contratual no sistema misto generalizado é sempre igual a taxa de juro contratual
e efetiva j que foi utilizada para elaboração das planilhas para o método de amortização
constante e para o método francês, para qualquer valor de utilizado na ponderação.

Quando os valores das prestações serão sempre decrescentes com a
evolução dos períodos ou iguais (no caso em que ). Se as prestações serão
crescentes em valor. No exemplo introduzido a seguir mostramos a evolução das
prestações quando .

38

Tabela ``Price''
Introduziremos a seguir o método de amortização pela ``tabela Price'' que é uma
especialização do método francês para o caso em que definimos uma taxa de juro anual
com capitalização mensal.

MÉTODO AMERICANO
No método americano, que é usado freqüentemente em outros países, o tomador do
empréstimo devolve o capital inicial em uma só parcela de amortização no período final
da operação. As prestações periódicas consideram um juro simples calculado sobre o
capital inicial. É usual que o tomador do empréstimo constitua um fundo de amortização
destinado à reposição do valor integral do capital inicial ao final do empréstimo.

39

O próximo exemplo ilustra o uso do método americano para amortização de um
empréstimo.

40

MÉTODO ALEMÃO
No método alemão as prestações são sempre idênticas, como ocorre no método francês.
A diferença fundamental entre esses dois métodos está no fato de que no método alemão
o juro sobre o saldo devedor é pago de forma antecipada. A quantia inicial recebida pelo
tomador do empréstimo no período 0, nesse caso, já vem deduzida do juro antecipado
correspondente a esse período. Nos métodos discutidos nas seções anteriores esse
mesmo juro só seria pago no início do período 1.

41

No início de cada período i ( ) o tomador do empréstimo deve pagar que
inclui uma parte do capital inicial e juros antecipados sobre o saldo devedor existente. A
dificuldade maior nesse caso é a obtenção de de modo que . Se
representarmos por a parcela para amortização do capital devemos ter:

•

•

•

•
mas, no último período (n) o saldo devedor será zero dado que

42

por definição de que é exatamente a parcela de amortização do capital e com isso
temos que a última prestação será definida por

Como os valores de devem ser os mesmos para podemos igualar as
definições de e para chegarmos a

mas como , temos

Se resolvermos recursivamente para , usando o mesmo raciocínio,
chegaremos a relação geral

Com essa última relação podemos em princípio conhecer qualquer valor em função de
. O problema no momento é exatamente acharmos o valor de . Como temos

podemos substituir a usando a última relação chegando a

ou

mas o termo do parênteses é uma progressão geométrica de razão logo

Como sabemos o valor de podemos encontrar por

43

e com isso podemos resolver recursivamente os valores dos outros períodos por

Finalmente, com esses últimos resultados, podemos calcular os valores das parcelas
usando

O uso do método alemão de amortização é ilustrado pelo próximo exemplo.

44

É importante salientar que no método alemão a taxa de juro efetiva é superior à taxa de
juro contratual da operação dado que o pagamento do juro é antecipado. No último
exemplo a taxa de juro contratual era 10% mas a taxa de juro efetiva seria de
aproximadamente 11,11%. A taxa efetiva, nesse caso, é computada pela taxa interna de
retorno da operação em que se recebe 100.000,00 no período 0 com a restituição dada
em 5 pagamentos iguais de 27.132,70 UM nos períodos 1 a 5.

Avaliação de alternativas de investimento em uma economia estável
Na seção em que discutimos a transformação de valores nominais em valores reais
estávamos preocupados em eliminar os efeitos da inflação em séries de valores
monetários, para fins de análise e comparação. Quando analisamos uma série extensa de
valores no tempo, algo comum em muitas operações financeiras, usualmente desejamos
que os valores dessa série estejam corrigidos para valores reais (de um certa data de
interesse). Isso tenta garantir que a quantidade de mercadorias comprada com 100 UM
disponíveis num dado período corresponde a exatamente a mesma quantidade de

45

mercadorias comprada com 100 UM disponíveis em outro período. Isso não seria possível
se tivéssemos utilizando valores nominais na análise pois a inflação nos reduziria o valor
do dinheiro na troca por mercadorias.
Nesta seção estamos preocupados com outro problema relacionado a determinação do
valor do dinheiro no tempo. Queremos saber agora qual o valor hoje de uma quantia em
UM disponível em uma data futura. Para todos os efeitos, nossa discussão considerará
que todos os valores utilizados já se encontram corrigidos para valores reais.
Suponha que você tem uma dívida de 100 UM a ser paga dentro de um mês e que a taxa
de juro que o banco está oferecendo para investimento por um mês é de 5%.
• Qual seria o valor dessas 100 UM hoje, considerando um cenário de inflação zero?

Como a taxa de juro é de 5% ao mês, poderíamos aplicar nesse investimento oferecido
pelo banco a quantia de 95,24 UM para depois de um mês receber 100 UM e pagar a
dívida contraída, dado que

Essa quantia de 95,24 UM, se disponível hoje, é chamada de valor presente ou valor
atual de 100 UM disponíveis em 1 mês, considerando uma taxa de juro de 5%.
Alternativamente, poderíamos dizer que 100 UM em um mês é o valor futuro de 95,24 UM
disponíveis hoje.
Para realizar essa operação, nos privaríamos do consumo propiciado por 95,24 UM hoje
para receber 100 UM dentro de um mês. Ou seja 100 UM disponíveis dentro de um mês
valem somente 95,24 UM hoje em termos de consumo em decorrência da alternativa de
investimento oferecida pelo banco. Isso não significa que 100 UM disponíveis dentro de
um mês possam comprar mais mercadorias que 100 UM comprariam hoje (se a inflação
fosse zero). Significa somente que o valor de 100 UM disponíveis dentro de 1 mês, no dia
de hoje, valeria somente 95,24 UM. Usando o mesmo raciocínio, 100 UM disponíveis em
2 meses valeriam somente 90,70 UM hoje pois esse valor aplicado a 5% ao mês nos
renderia 100 UM ao final de 2 meses. De forma análoga poderíamos dizer que o valor
futuro de 90,70 em 2 meses seria de 100 UM.
Na grande maioria das operações financeiras usuais é necessário que comparemos
valores reais disponíveis em momentos diferentes no tempo e para isso precisamos
utilizar a noção de valor presente e valor futuro que introduzimos informalmente no
exemplo do último parágrafo.
Valor presente e valor futuro

46

Comumente desejamos saber o valor presente de um fluxo de recebimentos ou
pagamentos considerando uma determinada taxa de juro j.

Da mesma forma que definimos o valor presente como o valor no período 0 de uma
quantia disponível no período 1, podemos também, utilizando raciocínio similar, definir o
valor futuro de como o valor no período n de uma quantia disponível no período 0.

Podemos formalizar a noção de valor presente para o caso de um fluxo de pagamentos
ou recebimentos por

47

TAXA INTERNA DE RETORNO
Em muitas situações práticas (investimentos e empréstimos por exemplo), é necessário o
cômputo da taxa de juro que ao ser usada para obtenção do valor presente de um
fluxo de recebimentos ou de pagamentos, torna esse valor igual a zero. A taxa de juro
que apresenta essa propriedade com relação a um dado fluxo de recebimentos e
pagamentos é chamada taxa interna de retorno desse fluxo.

Alguns exemplos e estudos de caso:

48

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