Arco trigonometrico
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O documento explica o conceito de arco trigonométrico, definindo-o como o conjunto de todos os números reais cuja expressão geral é 2kπ + x, onde x é a determinação principal do arco, ou seja, o número real entre 0 e 2π que tem como imagem o ponto do ciclo trigonométrico que é a extremidade do arco. O texto também mostra como encontrar a determinação principal de um número real dado e escrever a expressão geral correspondente ao arco trigonométrico.
Arco trigonometrico
- 2. Arco trigonométrico Até aqui marcamos no ciclo trigonométrico imagens de números reais do intervalo [–2π, 2π[. São os números da 1ª volta positiva ou da 1ª volta negativa. A localização da imagem de um número real permite que sejam dadas, no ciclo, tantas voltas quantas forem necessárias, tanto no sentido positivo como no negativo. Cada ponto do ciclo trigonométrico é imagem de infinitos números reais.
- 3. Arco trigonométrico A origem A, por exemplo, é imagem de todo número real que indique um número inteiro de voltas completas. O A B A’ B’ 0, 2π, 4π, 6π, ... –2π, –4π, –6π, ... Os números acima são chamados de números congruentes.
- 4. Arco trigonométrico – caso geral Considere que o número real x, 0 ≤ x ≤ 2π, tenha como imagem o ponto P do ciclo. O A B A’ B’ P x O Ponto P é imagem de: x 2π + x 4π + x 6π + x –2π + x –4π + x k.2π + x ou 2kπ + x Expressão geral dos números congruentes a x.
- 5. Arco trigonométrico Seja x um número real, 0 ≤ x < 2π, com imagem num ponto P do ciclo. Chamamos de Arco trigonométrico de extremidade P o conjunto de todos os números reais cuja expressão geral é 2kπ + x, com k inteiro. Cada um dos infinitos números congruentes que definem um arco trigonométrico é uma determinação do arco. Existe uma única determinação x que está na 1ª volta positiva. Ela é chamada de determinação principal.
- 6. Encontrando a determinação principal Conhecendo-se uma das determinações de um arco trigonométrico, podemos encontrar sua determinação principal. Com a determinação principal, podemos raciocinar na primeira volta positiva, o que facilita a localização da extremidade do arco.
- 7. 5110º 360º1910º Exemplos Achar a determinação principal de 1910º e determinar o quadrante de sua extremidade e escrever a expressão geral do arco trigonométrico. 1910º = 5 . 360º + 110º O A B A’ B’ P 110º 90º 0o 180º 270º k.360º + 110º
- 8. –6–105º 360º–2265º Exemplos Achar a determinação principal de –2265º, determinar o quadrante de sua extremidade e escrever a expressão geral do arco trigonométrico. –2265º = –6.360º – 105º O A B A’ B’ P 255º 90º 0o 180º 270º – 105º + 360º = 255º k.360º + 255º
- 9. Exemplos Achar a determinação principal de 49π/5, determinar o quadrante de sua extremidade e escrever a expressão geral do arco trigonométrico. 49π/5 = 9,8 π 8π < 49π/5 < 10π⇒ 49π 5 – 8π = 49π – 40π 5 = 9π 5 ⇒ 324º, 4º q. 2kπ + 9π/5.
- 10. Exemplos Achar a determinação principal de –17π/3, determinar o quadrante de sua extremidade e escrever a expressão geral do arco trigonométrico. –17π/3 = –5,6π –6π < –17π/3 < –4π⇒ –17π 3 + 6π = –17π + 18π 3 = π 3 ⇒ 60º, 1º q. 2kπ + π/3.
- 11. Exemplos No ciclo trigonométrico da figura os pontos P e Q são alinhados com o centro O. Para o arco trigonométrico de extremidade Q, obter, em graus e radianos, a determinação principal, a expressão geral e outras duas determinações, uma positiva e outra negativa. O A B A’ B’ P Q 30º